ფრჩხილები გამოიყენება რიცხვითი და ანბანური გამონათქვამების, აგრეთვე ცვლადების მქონე გამოსახულებებში მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობის აღსანიშნავად. მოსახერხებელია ფრჩხილებით გამოსახულებიდან გადავიდეთ იდენტურად თანაბარ გამოსახულებაზე ფრჩხილების გარეშე. ამ ტექნიკას ეწოდება ფრჩხილების გახსნა.

ფრჩხილების გაფართოება ნიშნავს ამ ფრჩხილების გამოხატვის მოცილებას.

განსაკუთრებულ ყურადღებას იმსახურებს კიდევ ერთი პუნქტი, რომელიც ეხება ფრჩხილების გახსნისას წერითი გადაწყვეტილებების თავისებურებებს. თავდაპირველი გამოხატულება შეგვიძლია ფრჩხილებით დავწეროთ და ფრჩხილების გახსნის შემდეგ მიღებული შედეგი ტოლობის სახით. მაგალითად, ფრჩხილების გახსნის შემდეგ, გამოხატვის ნაცვლად
3−(5−7) ვიღებთ გამოსახულებას 3−5+7. ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ორივე გამონათქვამი, როგორც ტოლობა 3−(5−7)=3−5+7.

და კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი წერტილი. მათემატიკაში, ჩანაწერების შესამცირებლად, ჩვეულებრივია არ დაწეროთ პლუს ნიშანი, თუ ის პირველია გამოხატულებაში ან ფრჩხილებში. მაგალითად, თუ დავამატებთ ორ დადებით რიცხვს, მაგალითად, შვიდს და სამს, მაშინ ვწერთ არა +7 + 3, არამედ უბრალოდ 7 + 3, მიუხედავად იმისა, რომ შვიდი ასევე დადებითი რიცხვია. ანალოგიურად, თუ ხედავთ, მაგალითად, გამონათქვამს (5 + x) - იცოდეთ, რომ ფრჩხილის წინ არის პლუსი, რომელიც არ არის დაწერილი, და არის პლუს + (+5 + x) წინ. ხუთი.

სამაგრის გაფართოების წესი დამატებისათვის

ფრჩხილების გახსნისას, თუ ფრჩხილების წინ არის პლუსი, მაშინ ეს პლუსი გამოტოვებულია ფრჩხილებთან ერთად.

მაგალითი. გახსენით ფრჩხილები გამონათქვამში 2 + (7 + 3) ფრჩხილების წინ პლიუს, მაშინ ფრჩხილებში რიცხვების წინ სიმბოლოები არ იცვლება.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

გამოკლებისას ფრჩხილების გაფართოების წესი

თუ ფრჩხილების წინ არის მინუსი, მაშინ ეს მინუსი გამოტოვებულია ფრჩხილებთან ერთად, მაგრამ ტერმინები, რომლებიც იყო ფრჩხილებში, ცვლის მათ ნიშანს საპირისპიროდ. ფრჩხილებში პირველ ტერმინამდე ნიშნის არარსებობა გულისხმობს + ნიშანს.

მაგალითი. გახსენით ფრჩხილები გამოსახულებაში 2 − (7 + 3)

ფრჩხილებამდე არის მინუსი, ასე რომ თქვენ უნდა შეცვალოთ ნიშნები ფრჩხილებიდან რიცხვებამდე. 7 რიცხვამდე ფრჩხილებში არ არის ნიშანი, რაც ნიშნავს, რომ შვიდი დადებითია, ითვლება, რომ მის წინ არის + ნიშანი.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

ფრჩხილების გახსნისას ვხსნით მინუს მაგალითს, რომელიც იყო ფრჩხილების წინ, და თავად ფრჩხილებს 2 − (+ 7 + 3) და ვცვლით ფრჩხილებში არსებულ ნიშნებს საპირისპიროზე.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

გამრავლებისას ფრჩხილების გაფართოება

თუ ფრჩხილების წინ არის გამრავლების ნიშანი, მაშინ ფრჩხილების შიგნით თითოეული რიცხვი მრავლდება ფრჩხილების წინ არსებულ კოეფიციენტზე. ამავდროულად, მინუს მინუსზე გამრავლება იძლევა პლიუსს, ხოლო მინუსის პლიუსზე გამრავლება, ისევე როგორც პლიუსის მინუსზე გამრავლება, იძლევა მინუსს.

ამრიგად, პროდუქტებში ფრჩხილები ფართოვდება გამრავლების გამანაწილებელი თვისების შესაბამისად.

მაგალითი. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

ფრჩხილების ფრჩხილებში გამრავლებისას, პირველი ფრჩხილის ყოველი წევრი მრავლდება მეორე ფრჩხილის თითოეულ წევრთან.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

სინამდვილეში, არ არის საჭირო ყველა წესის დამახსოვრება, საკმარისია მხოლოდ ერთი გავიხსენოთ, ეს: c(a−b)=ca−cb. რატომ? რადგან თუ c-ის ნაცვლად ერთს შევცვლით, მივიღებთ წესს (a−b)=a−b. და თუ ჩავანაცვლებთ მინუს ერთის, მივიღებთ წესს −(a−b)=−a+b. თუ c-ის ნაცვლად სხვა ფრჩხილს ჩაანაცვლებთ, შეგიძლიათ მიიღოთ ბოლო წესი.

გაყოფისას გააფართოვეთ ფრჩხილები

თუ ფრჩხილების შემდეგ არის გაყოფის ნიშანი, მაშინ ფრჩხილებში თითოეული რიცხვი იყოფა ფრჩხილების შემდეგ გამყოფზე და პირიქით.

მაგალითი. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

როგორ გავაფართოვოთ ჩასმული ფრჩხილები

თუ გამოთქმა შეიცავს ჩადგმულ ფრჩხილებს, მაშინ ისინი გაფართოვდებიან თანმიმდევრობით, დაწყებული გარედან ან შიდადან.

ამავდროულად, ერთ-ერთი ფრჩხილის გახსნისას მნიშვნელოვანია, რომ არ შეეხოთ სხვა ფრჩხილებს, უბრალოდ გადაწეროთ ისინი ისე, როგორც არის.

მაგალითი. 12 - (a + (6 - ბ) - 3) = 12 - ა - (6 - ბ) + 3 = 12 - ა - 6 + ბ + 3 = 9 - ა + ბ

ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მეხუთე საუკუნეში ძველმა ბერძენმა ფილოსოფოსმა ზენომ ელეამ ჩამოაყალიბა თავისი ცნობილი აპორიები, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია აპორია „აქილევსი და კუს“. აი, როგორ ჟღერს:

ვთქვათ აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და ათასი ნაბიჯით ჩამორჩება. იმ დროის განმავლობაში, როცა აქილევსი ამ მანძილს გარბის, კუ ასი ნაბიჯით ცოცავს იმავე მიმართულებით. როცა აქილევსი ას საფეხურს გაივლის, კუს კიდევ ათი ნაბიჯი დაცოცავს და ა.შ. პროცესი უსასრულოდ გაგრძელდება, აქილევსი კუს ვერასოდეს მიაღწევს.

ეს მსჯელობა ლოგიკური შოკი გახდა ყველა შემდგომი თაობისთვის. არისტოტელე, დიოგენე, კანტი, ჰეგელი, გილბერტი... ყველა მათგანი ასე თუ ისე ზენონის აპორიებს თვლიდა. შოკი იმდენად ძლიერი იყო, რომ " ... მსჯელობა ამჟამად გრძელდება, სამეცნიერო საზოგადოებას ჯერ არ მიუღწევია პარადოქსების არსის შესახებ საერთო მოსაზრებამდე... საკითხის შესწავლაში ჩართული იყო მათემატიკური ანალიზი, სიმრავლეების თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები. ; არცერთი მათგანი არ გახდა პრობლემის საყოველთაოდ მიღებული გადაწყვეტა ..."[ვიკიპედია," ზენონის აპორია "]. ყველას ესმის, რომ ატყუებენ, მაგრამ არავის ესმის, რა არის მოტყუება.

მათემატიკის თვალსაზრისით, ზენონმა თავის აპორიაში ნათლად აჩვენა გადასვლა მნიშვნელობიდან. ეს გადასვლა გულისხმობს გამოყენებას მუდმივების ნაცვლად. რამდენადაც მე მესმის, საზომი ცვლადი ერთეულების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ან ჯერ არ არის შემუშავებული, ან არ არის გამოყენებული ზენონის აპორიაზე. ჩვენი ჩვეული ლოგიკის გამოყენება მახეში მიგვიყვანს. ჩვენ, აზროვნების ინერციით, ვიყენებთ დროის მუდმივ ერთეულებს ურთიერთსაწინააღმდეგოზე. ფიზიკური თვალსაზრისით, როგორც ჩანს, დრო ნელდება სრულ გაჩერებამდე იმ მომენტში, როდესაც აქილევსი კუს დაეწია. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსი ვეღარ გაუსწრებს კუს.

თუ შევეჩვიეთ ლოგიკას, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება. აქილევსი მუდმივი სიჩქარით დარბის. მისი გზის ყოველი მომდევნო სეგმენტი წინაზე ათჯერ მოკლეა. შესაბამისად, მის დაძლევაზე დახარჯული დრო წინაზე ათჯერ ნაკლებია. თუ ამ სიტუაციაში გამოვიყენებთ „უსასრულობის“ ცნებას, მაშინ მართებული იქნება ვთქვათ „აქილევსი უსასრულოდ სწრაფად გაუსწრებს კუს“.

როგორ ავიცილოთ თავიდან ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით დროის მუდმივ ერთეულებში და არ გადახვიდეთ საპასუხო მნიშვნელობებზე. ზენონის ენაზე ასე გამოიყურება:

იმ დროს, რაც აქილევსს სჭირდება ათასი ნაბიჯის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით მიიწევს იმავე მიმართულებით. შემდეგი დროის ინტერვალის განმავლობაში, პირველის ტოლფასი, აქილევსი კიდევ ათას ნაბიჯს გაივლის, კუს კი ასი ნაბიჯით გაივლის. ახლა აქილევსი რვაასი ნაბიჯით უსწრებს კუს.

ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ყოველგვარი ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს არ არის პრობლემის სრული გადაწყვეტა. აინშტაინის განცხადება სინათლის სიჩქარის დაუძლეველობის შესახებ ძალიან ჰგავს ზენონის აპორიას „აქილევსი და კუს“. ჩვენ ჯერ კიდევ უნდა შევისწავლოთ, გადავხედოთ და გადავჭრათ ეს პრობლემა. და გამოსავალი უნდა ვეძიოთ არა უსასრულოდ დიდი რაოდენობით, არამედ გაზომვის ერთეულებში.

ზენონის კიდევ ერთი საინტერესო აპორია მოგვითხრობს მფრინავი ისრის შესახებ:

მფრინავი ისარი უმოძრაოა, რადგან დროის ყოველ მომენტში ის ისვენებს, და რადგან ის ისვენებს დროის ყოველ მომენტში, ის ყოველთვის ისვენებს.

ამ აპორიაში ლოგიკური პარადოქსი დაძლეულია ძალიან მარტივად - საკმარისია იმის გარკვევა, რომ დროის ყოველ მომენტში მფრინავი ისარი ისვენებს სივრცის სხვადასხვა წერტილში, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქ უნდა აღინიშნოს კიდევ ერთი წერტილი. გზაზე მანქანის ერთი ფოტოსურათიდან შეუძლებელია მისი გადაადგილების ფაქტის და მასამდე მანძილის დადგენა. მანქანის მოძრაობის ფაქტის დასადგენად საჭიროა ერთი და იმავე წერტილიდან დროის სხვადასხვა მომენტში გადაღებული ორი ფოტო, მაგრამ მათი გამოყენება მანძილის დასადგენად არ შეიძლება. მანქანამდე მანძილის დასადგენად, საჭიროა ერთდროულად ორი ფოტო გადაღებული სივრცეში სხვადასხვა წერტილიდან, მაგრამ მათგან გადაადგილების ფაქტს ვერ განსაზღვრავთ (რა თქმა უნდა, გამოთვლებისთვის დამატებითი მონაცემები მაინც გჭირდებათ, ტრიგონომეტრია დაგეხმარებათ) . კონკრეტულად მინდა აღვნიშნო, რომ ორი წერტილი დროისა და ორი წერტილი სივრცეში არის ორი განსხვავებული რამ, რაც არ უნდა აგვერიოს, რადგან ისინი აძლევენ სხვადასხვა შესაძლებლობებს კვლევისთვის.

ოთხშაბათი, 4 ივლისი, 2018 წ

ძალიან კარგად არის განსხვავებები კომპლექტსა და მრავალნაკრებს შორის აღწერილი ვიკიპედიაში. ჩვენ ვუყურებთ.

როგორც ხედავთ, „კომპლექტს არ შეიძლება ჰქონდეს ორი იდენტური ელემენტი“, მაგრამ თუ ნაკრებში იდენტური ელემენტებია, ასეთ კომპლექტს „მრავალკომპანია“ ეწოდება. გონივრული არსებები ვერასოდეს გაიგებენ აბსურდის ასეთ ლოგიკას. ეს არის მოლაპარაკე თუთიყუშების და გაწვრთნილი მაიმუნების დონე, რომელშიც გონება აკლია სიტყვას „მთლიანად“. მათემატიკოსები მოქმედებენ როგორც რიგითი ტრენერები და ქადაგებენ თავიანთ აბსურდულ იდეებს.

ოდესღაც ინჟინრები, რომლებმაც ხიდი ააშენეს, ხიდის გამოცდების დროს ნავით იმყოფებოდნენ ხიდის ქვეშ. თუ ხიდი ჩამოინგრა, უღიმღამო ინჟინერი მისი შემოქმედების ნანგრევების ქვეშ გარდაიცვალა. თუ ხიდი დატვირთვას გაუძლებდა, ნიჭიერმა ინჟინერმა სხვა ხიდები ააგო.

რაც არ უნდა იმალებოდნენ მათემატიკოსები ფრაზის მიღმა, „იგონე, მე სახლში ვარ“, უფრო სწორად, „მათემატიკა სწავლობს აბსტრაქტულ ცნებებს“, არის ერთი ჭიპლარი, რომელიც განუყოფლად აკავშირებს მათ რეალობასთან. ეს ჭიპლარი ფულია. მოდით გამოვიყენოთ მათემატიკური სიმრავლეების თეორია თავად მათემატიკოსებზე.

მათემატიკა ძალიან კარგად ვისწავლეთ და ახლა სალაროსთან ვსხედვართ და ხელფასს ვიხდით. აქ მათემატიკოსი მოდის ჩვენთან თავისი ფულისთვის. ჩვენ მას მთელ თანხას ვითვლით და ჩვენს მაგიდაზე ვდებთ სხვადასხვა გროვად, რომელშიც ერთი და იმავე ნომინალის კუპიურებს ვდებთ. შემდეგ ყოველი წყობიდან ვიღებთ თითო კუპიურას და ვაძლევთ მათემატიკოსს მის „მათემატიკურ სახელფასო კომპლექტს“. მათემატიკას ავხსნით, რომ ის მიიღებს დანარჩენ ქვითრებს მხოლოდ მაშინ, როცა დაამტკიცებს, რომ იდენტური ელემენტების გარეშე ნაკრები არ უდრის იდენტური ელემენტების სიმრავლეს. სწორედ აქ იწყება გართობა.

უპირველეს ყოვლისა, იმუშავებს დეპუტატების ლოგიკა: „შეგიძლიათ სხვებს მიმართოთ, ჩემზე კი არა! გარდა ამისა, დაიწყება გარანტიები, რომ ერთი და იმავე ნომინალის ბანკნოტებზე არის სხვადასხვა ბანკნოტების ნომრები, რაც ნიშნავს, რომ ისინი არ შეიძლება ჩაითვალოს იდენტურ ელემენტებად. აბა, ხელფასს მონეტებში ვითვლით - მონეტებზე ნომრები არ არის. აქ მათემატიკოსი სასტიკად გაიხსენებს ფიზიკას: სხვადასხვა მონეტებს აქვთ სხვადასხვა რაოდენობის ჭუჭყიანი, კრისტალური სტრუქტურა და ატომების განლაგება თითოეული მონეტისთვის უნიკალურია ...

ახლა კი ყველაზე საინტერესო კითხვა მაქვს: სად არის საზღვარი, რომლის მიღმაც მულტისიმრავლის ელემენტები გადაიქცევა სიმრავლის ელემენტებად და პირიქით? ასეთი ხაზი არ არსებობს - ყველაფერს შამანები წყვეტენ, მეცნიერება აქაც არ არის ახლოს.

ნახე აქ. ჩვენ ვირჩევთ საფეხბურთო სტადიონებს იმავე მოედანზე. ველების ფართობი იგივეა, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ გვაქვს მულტიკომპლექტი. მაგრამ ერთი და იგივე სტადიონების სახელებს თუ გავითვალისწინებთ, ბევრს მივიღებთ, რადგან სახელები განსხვავებულია. როგორც ხედავთ, ელემენტების ერთიდაიგივე კომპლექტი ერთდროულად არის კომპლექტიც და მულტიკომპლექტიც. რამდენად სწორად? აქ კი მათემატიკოსი-შამან-შულერი ამოიღებს ყდიდან კოზირის ტუზს და იწყებს ჩვენთვის მოყოლას ან კომპლექტზე ან მულტისეტზე. ყოველ შემთხვევაში, ის დაგვარწმუნებს, რომ მართალია.

იმის გასაგებად, თუ როგორ მოქმედებენ თანამედროვე შამანები სიმრავლეების თეორიასთან, აკავშირებენ მას რეალობასთან, საკმარისია ვუპასუხოთ ერთ კითხვას: რით განსხვავდება ერთი ნაკრების ელემენტები სხვა ნაკრების ელემენტებისაგან? მე გაჩვენებთ, ყოველგვარი „წარმოდგენელი, როგორც არა ერთი მთლიანი“ ან „არა წარმოდგენა, როგორც ერთი მთლიანობა“.

კვირა, 18 მარტი, 2018 წ

რიცხვის ციფრების ჯამი არის შამანების ცეკვა ტამბურთან, რომელსაც არაფერი აქვს საერთო მათემატიკასთან. დიახ, მათემატიკის გაკვეთილებზე გვასწავლიან რიცხვის ციფრების ჯამის პოვნას და მის გამოყენებას, მაგრამ ისინი ამისთვის შამანები არიან, რათა შთამომავლებს ასწავლონ თავიანთი უნარები და სიბრძნე, წინააღმდეგ შემთხვევაში შამანები უბრალოდ დაიღუპებიან.

გჭირდებათ მტკიცებულება? გახსენით ვიკიპედია და სცადეთ იპოვოთ გვერდი "რიცხვის ციფრთა ჯამი". ის არ არსებობს. მათემატიკაში არ არსებობს ფორმულა, რომლითაც შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რიცხვის ციფრების ჯამი. რიცხვები ხომ გრაფიკული სიმბოლოებია, რომლებითაც ციფრებს ვწერთ და მათემატიკის ენაზე დავალება ასე ჟღერს: „იპოვე ნებისმიერი რიცხვის გამოსახული გრაფიკული სიმბოლოების ჯამი“. მათემატიკოსებს არ შეუძლიათ ამ პრობლემის გადაჭრა, მაგრამ შამანებს ეს ელემენტარულად შეუძლიათ.

მოდით გავარკვიოთ რას და როგორ ვაკეთებთ იმისათვის, რომ ვიპოვოთ მოცემული რიცხვის ციფრების ჯამი. ასე რომ, ვთქვათ გვაქვს რიცხვი 12345. რა უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ამ რიცხვის ციფრების ჯამი? განვიხილოთ ყველა ნაბიჯი თანმიმდევრობით.

1. ჩაწერეთ რიცხვი ფურცელზე. რა გავაკეთეთ? რიცხვი გადავაქციეთ რიცხვის გრაფიკულ სიმბოლოდ. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

2. ერთი მიღებული სურათი დავჭრათ რამდენიმე ნახატად, რომლებიც შეიცავს ცალკეულ ნომრებს. სურათის ამოჭრა არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

3. ინდივიდუალური გრაფიკული სიმბოლოების რიცხვებად გადაქცევა. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

4. შეკრიბეთ მიღებული რიცხვები. ახლა ეს მათემატიკაა.

12345 რიცხვის ციფრების ჯამი არის 15. ეს არის შამანების მიერ გამოყენებული მათემატიკოსების მიერ გამოყენებული "ჭრის და კერვის კურსები". მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის.

მათემატიკის თვალსაზრისით არ აქვს მნიშვნელობა რომელ რიცხვთა სისტემაში დავწერთ რიცხვს. ასე რომ, სხვადასხვა რიცხვების სისტემაში, ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებული იქნება. მათემატიკაში რიცხვითი სისტემა მითითებულია როგორც ქვემოწერა ნომრის მარჯვნივ. დიდი რაოდენობით 12345, არ მინდა მოვიტყუო ჩემი თავი, განიხილეთ ნომერი 26 სტატიიდან. ჩავწეროთ ეს რიცხვი ორობით, რვადიან, ათობითი და თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემებში. ჩვენ არ განვიხილავთ თითოეულ ნაბიჯს მიკროსკოპის ქვეშ, ეს უკვე გავაკეთეთ. მოდით შევხედოთ შედეგს.

როგორც ხედავთ, სხვადასხვა რიცხვთა სისტემაში ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებულია. ამ შედეგს საერთო არაფერი აქვს მათემატიკასთან. ეს იგივეა, თუ თქვენ მიიღებთ სრულიად განსხვავებულ შედეგებს მართკუთხედის ფართობის მეტრებში და სანტიმეტრებში განსაზღვრისას.

ნული ყველა რიცხვთა სისტემაში ერთნაირად გამოიყურება და არ აქვს ციფრების ჯამი. ეს არის კიდევ ერთი არგუმენტი იმისა, რომ . კითხვა მათემატიკოსებს: როგორ აღინიშნება მათემატიკაში ის, რაც არ არის რიცხვი? რა, მათემატიკოსებისთვის, რიცხვების გარდა არაფერი არსებობს? შამანებისთვის მე შემიძლია ამის დაშვება, მაგრამ მეცნიერებისთვის არა. რეალობა არ არის მხოლოდ რიცხვები.

მიღებული შედეგი უნდა ჩაითვალოს მტკიცებულებად იმისა, რომ რიცხვითი სისტემები არის რიცხვების საზომი ერთეული. ჩვენ ხომ ვერ შევადარებთ რიცხვებს სხვადასხვა საზომ ერთეულებს. თუ ერთი და იგივე მოქმედებები ერთი და იგივე რაოდენობის საზომი სხვადასხვა ერთეულებით იწვევს განსხვავებულ შედეგებს მათი შედარების შემდეგ, მაშინ ამას არაფერი აქვს საერთო მათემატიკასთან.

რა არის ნამდვილი მათემატიკა? ეს ხდება მაშინ, როდესაც მათემატიკური მოქმედების შედეგი არ არის დამოკიდებული რიცხვის მნიშვნელობაზე, გამოყენებულ საზომ ერთეულზე და იმაზე, თუ ვინ ასრულებს ამ მოქმედებას.

მოაწერე კარზე კარს აღებს და ამბობს:

ოჰ! ეს ქალის საპირფარეშო არ არის?
- Ახალგაზრდა ქალი! ეს არის ზეცაში ამაღლებისას სულების განუსაზღვრელი სიწმინდის შესწავლის ლაბორატორია! ნიმბუსი თავზე და ისარი ზევით. სხვა რა ტუალეტი?

ქალი... ზევით ჰალო და ქვემოთ ისარი მამრობითია.

თუ თქვენ გაქვთ ასეთი დიზაინის ნამუშევარი თქვენს თვალწინ დღეში რამდენჯერმე ციმციმებს,

მაშინ გასაკვირი არ არის, რომ მოულოდნელად თქვენს მანქანაში აღმოაჩენთ უცნაურ ხატს:

პირადად მე საკუთარ თავზე ვცდილობ დავინახო მინუს ოთხი გრადუსი მოღუშულ ადამიანში (ერთი სურათი) (რამდენიმე სურათის შემადგენლობა: მინუს ნიშანი, ნომერი ოთხი, გრადუსის აღნიშვნა). და მე არ ვთვლი ამ გოგოს სულელად, რომელმაც ფიზიკა არ იცის. მას უბრალოდ აქვს გრაფიკული სურათების აღქმის რკალის სტერეოტიპი. და მათემატიკოსები ამას ყოველთვის გვასწავლიან. აი მაგალითი.

1A არ არის "მინუს ოთხი გრადუსი" ან "ერთი ა". ეს არის "გაფუჭებული კაცი" ან რიცხვი "ოცდაექვსი" თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემაში. ის ადამიანები, რომლებიც მუდმივად მუშაობენ ამ რიცხვების სისტემაში, ავტომატურად აღიქვამენ რიცხვს და ასოს, როგორც ერთ გრაფიკულ სიმბოლოს.

ამ სტატიაში ჩვენ დეტალურად განვიხილავთ მათემატიკის კურსში ისეთი მნიშვნელოვანი თემის ძირითად წესებს, როგორიცაა ფრჩხილების გახსნა. თქვენ უნდა იცოდეთ ფრჩხილების გახსნის წესები, რათა სწორად ამოხსნათ განტოლებები, რომლებშიც ისინი გამოიყენება.

როგორ სწორად გავხსნათ ფრჩხილები დამატებისას

გააფართოვეთ ფრჩხილები, რომლებსაც წინ უძღვის "+" ნიშანი

ეს უმარტივესი შემთხვევაა, რადგან თუ ფრჩხილების წინ არის დამატების ნიშანი, ფრჩხილების გახსნისას მათში არსებული ნიშნები არ იცვლება. მაგალითი:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

როგორ გავხსნათ ფრჩხილები, რომლებსაც წინ უძღვის "-" ნიშანი

ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გადაწეროთ ყველა ტერმინი ფრჩხილების გარეშე, მაგრამ ამავე დროს შეცვალოთ მათში არსებული ყველა ნიშანი საპირისპიროზე. ნიშნები იცვლება მხოლოდ იმ ფრჩხილების ტერმინებისთვის, რომლებსაც წინ უძღვოდა "-" ნიშანი. მაგალითი:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

როგორ გავხსნათ ფრჩხილები გამრავლებისას

ფრჩხილებს წინ უძღვის მულტიპლიკატორი

ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გაამრავლოთ თითოეული წევრი ფაქტორზე და გახსნათ ფრჩხილები ნიშნების შეცვლის გარეშე. თუ მულტიპლიკატორს აქვს ნიშანი "-", მაშინ გამრავლებისას ტერმინების ნიშნები უკუღმა ხდება. მაგალითი:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

როგორ გავხსნათ ორი ფრჩხილები მათ შორის გამრავლების ნიშნით

ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი ფრჩხილებიდან თითოეული წევრი მეორე ფრჩხილების თითოეულ წევრთან და შემდეგ დაამატოთ შედეგები. მაგალითი:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

როგორ გავხსნათ ფრჩხილები კვადრატში

თუ ორი წევრის ჯამი ან განსხვავება კვადრატულია, ფრჩხილები უნდა გაფართოვდეს შემდეგი ფორმულის მიხედვით:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

ფრჩხილებში მინუსის შემთხვევაში ფორმულა არ იცვლება. მაგალითი:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

როგორ გავხსნათ ფრჩხილები სხვა ხარისხით

თუ ტერმინების ჯამი ან სხვაობა გაიზარდა, მაგალითად, მე-3 ან მე-4 ხარისხში, მაშინ თქვენ უბრალოდ უნდა დაარღვიოთ ფრჩხილის ხარისხი "კვადრატებად". ემატება ერთი და იგივე ფაქტორების უფლებამოსილებები და გაყოფისას გამყოფის ხარისხი კლებულობს დივიდენდის ხარისხს. მაგალითი:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

როგორ გავხსნათ 3 ფრჩხილი

არის განტოლებები, რომლებშიც 3 ფრჩხილი ერთდროულად მრავლდება. ამ შემთხვევაში, ჯერ უნდა გაამრავლოთ პირველი ორი ფრჩხილის პირები ერთმანეთში, შემდეგ კი ამ გამრავლების ჯამი გაამრავლოთ მესამე ფრჩხილის ნაწილებზე. მაგალითი:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

ფრჩხილის გახსნის ეს წესები თანაბრად ვრცელდება როგორც წრფივ, ისე ტრიგონომეტრიულ განტოლებებზე.

ვაგრძელებ მეთოდოლოგიური სტატიების სერიას სწავლების თემაზე. დროა განიხილოს ინდივიდუალური მუშაობის მახასიათებლები მათემატიკის დამრიგებელი მე-7 კლასის მოსწავლეებთან. დიდი სიამოვნებით გაგიზიარებთ მოსაზრებებს მე-7 კლასში ალგებრის კურსის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი თემის - „გახსნის ფრჩხილების“ პრეზენტაციის ფორმებზე. იმისთვის, რომ არ შევეცადოთ უკიდეგანოობის ათვისებას, შევჩერდეთ მის საწყის ეტაპზე და გავაანალიზოთ დამრიგებლის მეთოდოლოგია მრავალწევრის მრავალწევრზე გამრავლების შესახებ. როგორ მათემატიკის დამრიგებელიმუშაობს რთულ სიტუაციებში სუსტი სტუდენტიარ აღიქვამს ახსნის კლასიკურ ფორმას? რა ამოცანები უნდა მოემზადოს ძლიერი მეშვიდეკლასელისთვის? მოდით განვიხილოთ ეს და სხვა კითხვები.

როგორც ჩანს, რა არის ასე რთული? „ფრჩხილი მარტივია“, იტყვის ნებისმიერი კარგი მოსწავლე. „არსებობს გამანაწილებელი კანონი და ხარისხების თვისებები მონომებთან მუშაობისთვის, ზოგადი ალგორითმი ნებისმიერი რაოდენობის ტერმინებისთვის. გაამრავლეთ თითოეული თითოეულზე და მოიყვანეთ მსგავსი. თუმცა, ყველაფერი ასე მარტივი არ არის ჩამორჩენილებთან მუშაობაში. მიუხედავად მათემატიკის დამრიგებლის მცდელობისა, მოსწავლეები ახერხებენ სხვადასხვა კალიბრის შეცდომებს უმარტივეს გარდაქმნებშიც კი. შეცდომების ბუნება გასაოცარია თავისი მრავალფეროვნებით: ასოების და ნიშნების მცირე გამოტოვებიდან დაწყებული, სერიოზული ჩიხური "სტოპის შეცდომებით".

რა უშლის ხელს მოსწავლეს გარდაქმნების სწორად შესრულებაში? რატომ არის გაუგებრობა?

არსებობს უამრავი ინდივიდუალური პრობლემა და მასალის დაუფლებისა და კონსოლიდაციის ერთ-ერთი მთავარი დაბრკოლება არის ყურადღების დროული და სწრაფი გადართვის სირთულე, დიდი რაოდენობით ინფორმაციის დამუშავების სირთულე. შეიძლება ვინმეს უცნაურად მოეჩვენოს, რომ მე ვსაუბრობ დიდ მოცულობაზე, მაგრამ მე-7 კლასის სუსტ მოსწავლეს შეიძლება ოთხი კურსზეც კი არ ჰქონდეს საკმარისი მეხსიერება და ყურადღების რესურსი. ერევა კოეფიციენტები, ცვლადები, გრადუსები (ინდიკატორები). მოსწავლე აბნევს მოქმედებების თანმიმდევრობას, ავიწყდება რომელი მონომებია უკვე გამრავლებული და რომელი დარჩა ხელუხლებელი, ვერ ახსოვს როგორ მრავლდება და ა.შ.

მათემატიკის დამრიგებლის რიცხვითი მიდგომა

რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა დაიწყოთ თავად ალგორითმის აგების ლოგიკის ახსნით. Როგორ გავაკეთო ეს? ჩვენ უნდა დავაყენოთ დავალება: როგორ შევცვალოთ მოქმედებების თანმიმდევრობა გამოხატვაში შედეგის შეცვლის გარეშე? მე საკმაოდ ხშირად ვაძლევ მაგალითებს, რომლებიც ხსნის გარკვეული წესების მოქმედებას კონკრეტულ რიცხვებზე. შემდეგ კი მათ ასოებით ვცვლი. რიცხვითი მიდგომის გამოყენების ტექნიკა ქვემოთ იქნება აღწერილი.

მოტივაციის პრობლემები.
გაკვეთილის დასაწყისში მათემატიკის დამრიგებელს უჭირს სტუდენტის შეკრება, თუ მას არ ესმის შესწავლილის აქტუალობა. მე-6-7 კლასების პროგრამის ფარგლებში ძნელია მოიძიო მრავალწევრი გამრავლების წესის გამოყენების მაგალითები. ხაზს ვუსვამდი სწავლის აუცილებლობას შეცვალეთ მოქმედებების თანმიმდევრობა გამონათქვამებშიის, რომ ეს ხელს უწყობს პრობლემების გადაჭრას, მოსწავლემ უნდა იცოდეს მსგავსი ტერმინების დამატების გამოცდილებიდან. მას ასევე უნდა დაემატებინა ისინი განტოლებების ამოხსნისას. მაგალითად, 2x+5x+13=34-ში ის იყენებს იმ 2x+5x=7x-ს. მათემატიკის დამრიგებელმა უბრალოდ უნდა გაამახვილოს მოსწავლის ყურადღება ამაზე.

მათემატიკის მასწავლებლები ხშირად უწოდებენ ფრჩხილების გახსნის ტექნიკას შადრევანი წესი.

ეს სურათი კარგად ახსოვს და უნდა იქნას გამოყენებული. მაგრამ როგორ მტკიცდება ეს წესი? გაიხსენეთ კლასიკური ფორმა აშკარა იდენტობის გარდაქმნების გამოყენებით:

(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd

მათემატიკის დამრიგებელს უჭირს აქ რაიმეზე კომენტარის გაკეთება. წერილები თავისთავად საუბრობენ. მე-7 კლასის ძლიერ მოსწავლეს კი დეტალური ახსნა არ სჭირდება. თუმცა რა ვუყოთ სუსტს, რომელიც ამ „ანბანურ მიშმაში“ ვერ ხედავს შინაარსს?

მთავარი პრობლემა, რომელიც აფერხებს „შადრევანის“ კლასიკური მათემატიკური დასაბუთების აღქმას, არის პირველი ფაქტორის დაწერის უჩვეულო ფორმა. არც მე-5 კლასში და არც მე-6 კლასში მოსწავლეს არ მოუწია პირველი ფრჩხილის გადატანა მეორის თითოეულ კურსზე. ბავშვები ეხებოდნენ მხოლოდ ციფრებს (კოეფიციენტებს), რომლებიც მდებარეობს, ყველაზე ხშირად, ფრჩხილების მარცხნივ, მაგალითად:

მე-6 კლასის ბოლოს მოსწავლემ ჩამოაყალიბა ობიექტის ვიზუალური გამოსახულება - ფრჩხილებთან დაკავშირებული ნიშნების (მოქმედებების) გარკვეული კომბინაცია. და ნებისმიერი გადახრა ჩვეულებრივი მზერიდან რაიმე ახლისკენ შეიძლება დეზორიენტაცია გაუწიოს მეშვიდე კლასელს. ეს არის „რიცხვი + ფრჩხილის“ წყვილის ვიზუალური გამოსახულება, რომელსაც მათემატიკის დამრიგებელი ახსნის მიმოქცევაში იღებს.

შემდეგი ახსნა შეიძლება შემოგთავაზოთ. დამრიგებელი ამტკიცებს: „თუ ფრჩხილის წინ იყო რაღაც რიცხვი, მაგალითად 5, მაშინ შეგვეძლო შეცვალოს მოქმედების კურსიამ გამოთქმაში? Რა თქმა უნდა. მოდით გავაკეთოთ მაშინ . დაფიქრდით, შეიცვლება თუ არა მისი შედეგი, თუ 5 რიცხვის ნაცვლად ფრჩხილებში ჩასმული 2 + 3 ჯამს შევიყვანთ? ნებისმიერი სტუდენტი ეტყვის მასწავლებელს: "რა განსხვავებაა როგორ დავწეროთ: 5 ან 2 + 3." მშვენივრად. მიიღეთ ჩანაწერი. მათემატიკის დამრიგებელი აკეთებს მცირე პაუზას, რათა მოსწავლემ ვიზუალურად დაიმახსოვროს ობიექტის სურათი-გამოსახულება. შემდეგ ის ყურადღებას ამახვილებს იმაზე, რომ ფრჩხილი, რიცხვის მსგავსად, თითოეულ ტერმინზე „გავრცელდა“ ან „გადახტა“. Რას ნიშნავს ეს? ეს ნიშნავს, რომ ეს ოპერაცია შეიძლება შესრულდეს არა მხოლოდ ნომრით, არამედ ფრჩხილითაც. მივიღეთ ორი წყვილი ფაქტორი და . სტუდენტების უმეტესობას შეუძლია ადვილად გაუმკლავდეს მათ დამოუკიდებლად და დაწეროს შედეგი დამრიგებელს. მნიშვნელოვანია, რომ მიღებული წყვილები შევადაროთ 2+3 და 6+4 ფრჩხილების შინაარსს და გაირკვეს, თუ როგორ იხსნება ისინი.

საჭიროების შემთხვევაში, რიცხვებით მაგალითის შემდეგ, მათემატიკის დამრიგებელი ატარებს სიტყვასიტყვით მტკიცებულებას. გამოდის, რომ ეს არის ნამცხვარი წინა ალგორითმის იგივე ნაწილებით.

ფრჩხილების გახსნის უნარის ფორმირება

ფრჩხილების გამრავლების უნარის ჩამოყალიბება ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ეტაპია მათემატიკის დამრიგებლის მუშაობაში თემაზე. და კიდევ უფრო მნიშვნელოვანია, ვიდრე "შადრევანი" წესის ლოგიკის ახსნის ეტაპი. რატომ? გარდაქმნების გამართლება მეორე დღესვე დაივიწყება და უნარი, თუ დროში ჩამოყალიბდა და დაფიქსირდა, დარჩება. მოსწავლეები ასრულებენ ოპერაციას მექანიკურად, თითქოს მეხსიერებიდან ამოიღებენ გამრავლების ცხრილს. ეს არის ის, რისი მიღწევაც საჭიროა. რატომ? თუ მოსწავლე ყოველ ჯერზე ფრჩხილებს გახსნის, გაიხსენებს, რატომ ხსნის ასე და არა სხვაგვარად, დაივიწყებს მის გადაწყვეტილ პრობლემას. ამიტომ მათემატიკის დამრიგებელი გაკვეთილის დარჩენილ ნაწილს ატარებს გაგების ზეპირ დამახსოვრებად გადაქცევაზე. ეს სტრატეგია ხშირად გამოიყენება სხვა თემებშიც.

როგორ შეუძლია დამრიგებელს განუვითაროს მოსწავლეს ფრჩხილების გახსნის უნარი? ამისთვის მე-7 კლასის მოსწავლემ უნდა შეასრულოს სავარჯიშოების სერია საკმარისი რაოდენობით კონსოლიდაციისთვის. ეს კიდევ ერთ პრობლემას აჩენს. სუსტი მეშვიდეკლასელი ვერ უმკლავდება გარდაქმნების გაზრდილ რაოდენობას. თუნდაც პატარები. და შეცდომები მუდმივად მოდის ერთმანეთის მიყოლებით. რა უნდა გააკეთოს მათემატიკის დამრიგებელმა? უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია რეკომენდაცია გავუწიოთ ისრების დახატვას თითოეული ტერმინიდან თითოეულზე. თუ მოსწავლე ძალიან სუსტია და ვერ ახერხებს ერთი ტიპის სამუშაოდან მეორეზე სწრაფად გადართვას, კარგავს კონცენტრაციას მასწავლებლისგან მარტივი ბრძანებების შესრულებისას, მაშინ მათემატიკის დამრიგებელი თავად ხაზავს ამ ისრებს. და არა ერთდროულად. პირველ რიგში, დამრიგებელი აკავშირებს მარცხენა ფრჩხილის პირველ წევრს მარჯვენა ფრჩხილის თითოეულ წევრს და სთხოვს შეასრულოს შესაბამისი გამრავლება. მხოლოდ ამის შემდეგ გადადის ისრები მეორე ტერმინიდან იმავე მარჯვენა ფრჩხილზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დამრიგებელი პროცესს ორ ეტაპად ყოფს. პირველ და მეორე ოპერაციას შორის უმჯობესია შეინარჩუნოთ მცირე დროებითი პაუზა (5-7 წამი).

1) ისრების ერთი ნაკრები უნდა იყოს დახატული გამონათქვამების ზემოთ და მეორე ნაკრები მათ ქვემოთ.
2) მნიშვნელოვანია მინიმუმ ხაზებს შორის გამოტოვება რამდენიმე უჯრედი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჩანაწერი იქნება ძალიან მკვრივი და ისრები არამარტო ადის წინა ხაზზე, არამედ შეერევა შემდეგი ვარჯიშის ისრებს.

3) 3-ზე 2-ზე ფორმატში ფრჩხილების გამრავლების შემთხვევაში ისრები იშლება მოკლე ფრჩხილიდან გრძელზე. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ეს „შადრევნები“ ორი კი არა, სამი იქნება. მესამეს განხორციელება შესამჩნევად უფრო რთულია ისრებისთვის თავისუფალი სივრცის არარსებობის გამო.
4) ისრები ყოველთვის ერთი წერტილიდან არის მიმართული. ჩემი ერთ-ერთი სტუდენტი ცდილობდა მათ ერთმანეთის გვერდით დაყენებას და აი რა გააკეთა:

ასეთი მოწყობა არ იძლევა საშუალებას გამოვყოთ და დავაფიქსიროთ მიმდინარე ტერმინი, რომლითაც სტუდენტი მუშაობს თითოეულ საფეხურზე.

დამრიგებლის თითების ნამუშევარი

4) გამრავლებული ტერმინების ცალკეულ წყვილზე ყურადღების შესანარჩუნებლად მათემატიკის დამრიგებელი ორ თითს უსვამს მათ. ეს უნდა გაკეთდეს ისე, რომ არ დაბლოკოს სტუდენტის ხედვა. ყველაზე უყურადღებო მოსწავლეებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ „პულსაციის“ მეთოდი. მათემატიკის დამრიგებელს პირველი თითი მიაქვს ისრის დასაწყისამდე (ერთ-ერთ ტერმინთან) და აფიქსირებს მას, ხოლო მეორე „დააკაკუნებს“ მის ბოლოზე (მეორე ტერმინზე). პულსაცია ხელს უწყობს ყურადღების ფოკუსირებას იმ ტერმინზე, რომლითაც მოსწავლე მრავლდება. მარჯვენა ფრჩხილზე პირველი გამრავლების შემდეგ, მათემატიკის დამრიგებელი ამბობს: „ახლა ჩვენ ვმუშაობთ სხვა ტერმინით“. დამრიგებელი გადააქვს მასზე „დაფიქსირებული თითი“ და „პულსირება“ გადადის ტერმინებზე სხვა ფრჩხილიდან. პულსაცია მანქანაში „ბრუნის სიგნალის“ მსგავსად მუშაობს და საშუალებას გაძლევთ მიიპყროთ დაუსწრებელი სტუდენტის ყურადღება ოპერაციაზე, რომელსაც ის ატარებს. თუ ბავშვი პატარას წერს, მაშინ თითების ნაცვლად ორი ფანქარი გამოიყენება.

გამეორების ოპტიმიზაცია

როგორც ალგებრის კურსში ნებისმიერი სხვა თემის შესწავლისას, მრავალწევრების გამრავლება შეიძლება და უნდა იყოს ინტეგრირებული ადრე გაშუქებულ მასალასთან. ამისათვის მათემატიკის დამრიგებელი იყენებს სპეციალურ ხიდის დავალებებს, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ შესწავლილი გამოყენება სხვადასხვა მათემატიკურ ობიექტებში. ისინი არა მხოლოდ აკავშირებენ თემებს ერთ მთლიანობაში, არამედ ძალიან ეფექტურად აწყობენ მათემატიკის მთელი კურსის გამეორებას. და რაც უფრო მეტ ხიდს აშენებს დამრიგებელი, მით უკეთესი.

ტრადიციულად, ალგებრის სახელმძღვანელოებში მე-7 კლასისთვის, ფრჩხილის გახსნა ინტეგრირებულია წრფივი განტოლებების ამოხსნასთან. რიცხვების სიის ბოლოს ყოველთვის შემდეგი რიგის ამოცანებია: განტოლების ამოხსნა. ფრჩხილების გახსნისას კვადრატები მცირდება და განტოლება ადვილად ამოიხსნება მე-7 კლასის საშუალებით. თუმცა, რატომღაც, სახელმძღვანელოების ავტორებს უსაფრთხოდ ავიწყდებათ ხაზოვანი ფუნქციის გრაფიკის შედგენა. ამ ხარვეზის გამოსასწორებლად მათემატიკის დამრიგებლებს ვურჩევდი, მაგალითად, წრფივი ფუნქციების ანალიტიკურ გამოსახულებებში ჩართონ ფრჩხილები. ასეთ სავარჯიშოებზე მოსწავლე არა მხოლოდ ავარჯიშებს იდენტური გარდაქმნების განხორციელების უნარებს, არამედ იმეორებს გრაფიკებს. შეგიძლიათ მოითხოვოთ ორი „მონსტრის“ გადაკვეთის წერტილის პოვნა, ხაზების ფარდობითი პოზიციის დადგენა, ღერძებთან მათი გადაკვეთის წერტილების პოვნა და ა.შ.

კოლპაკოვი A.N. მათემატიკის დამრიგებელი სტროგინოში. მოსკოვი