ფერმატის დიდი თეორემა - პიერ ფერმას (ფრანგი იურისტი და ნახევარ განაკვეთზე მათემატიკოსის) განცხადება, რომ დიოფანტინის განტოლებას X n + Y n \u003d Z n, n>2 მაჩვენებლით, სადაც n = მთელი რიცხვი, არ აქვს ამონახსნები დადებითში. მთელი რიცხვები. ავტორის ტექსტი: „შეუძლებელია კუბის დაშლა ორ კუბად, ან ბი-კვადრატის ორ ორ კვადრატად, ან ზოგადად ორზე მეტი სიმძლავრის ორ ხარისხად ერთი და იგივე მაჩვენებლით“.

"ფერმატი და მისი თეორემა", ამადეო მოდილიანი, 1920 წ

პიერმა ეს თეორემა გამოიტანა 1636 წლის 29 მარტს. და დაახლოებით 29 წლის შემდეგ ის გარდაიცვალა. მაგრამ ყველაფერი აქედან დაიწყო. ბოლოს და ბოლოს, მდიდარმა გერმანელმა მათემატიკოსმა, სახელად ვოლფსკელმა, ასი ათასი მარკა უანდერძა მას, ვინც წარმოადგენს ფერმას თეორემის სრულ მტკიცებულებას! მაგრამ თეორემის ირგვლივ მღელვარება დაკავშირებული იყო არა მხოლოდ ამას, არამედ პროფესიულ მათემატიკურ აღელვებასთან. თავად ფერმამ მიანიშნა მათემატიკურ საზოგადოებას, რომ მან იცოდა მტკიცებულება - სიკვდილამდე ცოტა ხნით ადრე, 1665 წელს, მან დატოვა შემდეგი ჩანაწერი წიგნის დიოფანტე ალექსანდრიელის "არითმეტიკა" მინდვრებში: "მე მაქვს ძალიან საოცარი მტკიცებულება, მაგრამ ეს არის. ძალიან დიდია მინდვრებზე დასაყენებლად.

სწორედ ამ მინიშნებამ (პლუს, რა თქმა უნდა, ფულადი პრიზმა) აიძულა მათემატიკოსები წარუმატებლად გაეტარებინათ საუკეთესო წლები მტკიცებულების ძიებაში (ამერიკელი მეცნიერების აზრით, მხოლოდ პროფესიონალმა მათემატიკოსებმა დახარჯეს ამაზე 543 წელი).

რაღაც მომენტში (1901 წელს) ფერმას თეორემაზე მუშაობამ მოიპოვა საეჭვო პოპულარობა „მუდმივი მოძრაობის მანქანის ძიების მსგავსი სამუშაოს“ (არსებობდა დამამცირებელი ტერმინიც კი - „ფერმატისტები“). და მოულოდნელად, 1993 წლის 23 ივნისს, რიცხვთა თეორიის მათემატიკურ კონფერენციაზე კემბრიჯში, მათემატიკის ინგლისელმა პროფესორმა პრინსტონის უნივერსიტეტიდან (ნიუ ჯერსი, აშშ) ენდრიუ უილსმა გამოაცხადა, რომ საბოლოოდ დაამტკიცა ფერმა!

თუმცა, მტკიცებულება იყო არა მხოლოდ რთული, არამედ აშკარად მცდარი, როგორც უილსმა აღნიშნეს მისი კოლეგები. მაგრამ პროფესორი უილსი მთელი ცხოვრება ოცნებობდა თეორემის დამტკიცებაზე, ამიტომ გასაკვირი არ არის, რომ 1994 წლის მაისში მან სამეცნიერო საზოგადოებას წარუდგინა დამტკიცების ახალი, გაუმჯობესებული ვერსია. მასში არ იყო ჰარმონია, სილამაზე და მაინც ძალიან რთული იყო - ამაზე მეტყველებს ის ფაქტი, რომ მათემატიკოსები მთელი წელია აანალიზებენ ამ მტკიცებულებას (!) იმის გასაგებად, არის თუ არა ის მცდარი!

მაგრამ საბოლოოდ, უილზის მტკიცებულება სწორი აღმოჩნდა. მაგრამ მათემატიკოსებმა არ აპატიეს პიერ ფერმას მისი მინიშნება არითმეტიკაში და, ფაქტობრივად, დაიწყეს მისი მატყუარა მიჩნევა. ფაქტობრივად, პირველი ადამიანი, ვინც ფერმას მორალური მთლიანობა ეჭვქვეშ დააყენა, იყო თავად ენდრიუ უილსი, რომელმაც აღნიშნა, რომ "ფერმატს არ შეეძლო ასეთი მტკიცებულება ჰქონოდა. ეს არის მეოცე საუკუნის მტკიცებულება". შემდეგ, სხვა მეცნიერებს შორის, გაძლიერდა მოსაზრება, რომ ფერმას „სხვანაირად ვერ დაამტკიცა თავისი თეორემა და ფერმამ ვერ დაამტკიცა ისე, როგორც უილსი წავიდა, ობიექტური მიზეზების გამო“.

სინამდვილეში, ფერმას, რა თქმა უნდა, შეეძლო ამის დამტკიცება და ცოტა მოგვიანებით ამ მტკიცებულებას ხელახლა შექმნიან ახალი ანალიტიკური ენციკლოპედიის ანალიტიკოსები. მაგრამ - რა არის ეს „ობიექტური მიზეზები“?
სინამდვილეში, მხოლოდ ერთი ასეთი მიზეზი არსებობს: იმ წლებში, როდესაც ფერმა ცხოვრობდა, ტანიამას ვარაუდი არ გამოჩნდა, რომელზედაც ენდრიუ უილსმა დაადგინა თავისი მტკიცებულება, რადგან მოდულური ფუნქციები, რომლებზეც მოქმედებს ტანიამას ვარაუდი, აღმოაჩინეს მხოლოდ მე-19 საუკუნის ბოლოს. .

როგორ დაამტკიცა თავად უილსმა თეორემა? კითხვა არ არის უსაქმური - ეს მნიშვნელოვანია იმის გასაგებად, თუ როგორ შეეძლო თავად ფერმას დაემტკიცებინა თავისი თეორემა. უილსმა თავისი მტკიცებულება 28 წლის იაპონელი მათემატიკოსის იუტაკა ტანიამას მიერ 1955 წელს წამოყენებული ტანიამას ვარაუდის მტკიცებულებაზე ააშენა.

ვარაუდი ასე ჟღერს: „ყოველი ელიფსური მრუდი შეესაბამება გარკვეულ მოდულურ ფორმას“. ელიფსური მრუდები, რომლებიც ცნობილია დიდი ხნის განმავლობაში, აქვთ ორგანზომილებიანი ფორმა (მდებარეობს სიბრტყეზე), ხოლო მოდულურ ფუნქციებს აქვთ ოთხგანზომილებიანი ფორმა. ანუ ტანიამას ჰიპოთეზა აერთიანებდა სრულიად განსხვავებულ ცნებებს – უბრალო ბრტყელ მოსახვევებს და წარმოუდგენელ ოთხგანზომილებიან ფორმებს. ჰიპოთეზაში განსხვავებული განზომილებიანი ფიგურების შეერთების ფაქტი მეცნიერებს აბსურდულად მოეჩვენათ, რის გამოც 1955 წელს მას არანაირი მნიშვნელობა არ მიენიჭა.

თუმცა, 1984 წლის შემოდგომაზე, "ტანიამას ჰიპოთეზა" მოულოდნელად კვლავ გაიხსენეს და არა მხოლოდ გაახსენდა, არამედ მისი შესაძლო დადასტურება დაუკავშირდა ფერმას თეორემის მტკიცებას! ეს გააკეთა ზაარბრიუკენის მათემატიკოსმა გერჰარდ ფრეიმ, რომელმაც მეცნიერულ საზოგადოებას უთხრა, რომ „თუ ვინმეს შეეძლო ტანიამას ვარაუდის დამტკიცება, მაშინ დადასტურდებოდა ფერმას ბოლო თეორემა“.

რა გააკეთა ფრეიმ? მან ფერმას განტოლება კუბურად გადააქცია, შემდეგ ყურადღება გაამახვილა იმაზე, რომ ფერმას განტოლების კუბურად გადაქცევით მიღებული ელიფსური მრუდი არ შეიძლება იყოს მოდულარული. თუმცა, ტანიამას ვარაუდით ნათქვამია, რომ ნებისმიერი ელიფსური მრუდი შეიძლება იყოს მოდულარული! შესაბამისად, ფერმას განტოლებიდან აგებული ელიფსური მრუდი არ შეიძლება არსებობდეს, რაც იმას ნიშნავს, რომ არ შეიძლება იყოს მთლიანი ამონახსნები და ფერმას თეორემა, რაც ნიშნავს, რომ ეს მართალია. ისე, 1993 წელს ენდრიუ უილსმა უბრალოდ დაამტკიცა ტანიამას ვარაუდი და აქედან გამომდინარე ფერმას თეორემა.

თუმცა, ფერმას თეორემა შეიძლება დადასტურდეს ბევრად უფრო მარტივად, იმავე მრავალგანზომილებიანობის საფუძველზე, რომელზეც მოქმედებდნენ როგორც ტანიამა, ასევე ფრეი.

დასაწყისისთვის მივაქციოთ ყურადღება თავად პიერ ფერმას მიერ დადგენილ პირობას - n>2. რატომ იყო ეს პირობა აუცილებელი? დიახ, მხოლოდ იმისთვის, რომ n=2-ისთვის ჩვეულებრივი პითაგორას თეორემა X 2 +Y 2 =Z 2 ხდება ფერმას თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელსაც აქვს უსასრულო რაოდენობის ამონახსნები - 3,4,5; 5,12,13; 7.24.25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149 და ასე შემდეგ. ამრიგად, პითაგორას თეორემა გამონაკლისია ფერმას თეორემისგან.

მაგრამ რატომ ხდება ზუსტად n=2-ის შემთხვევაში ასეთი გამონაკლისი? ყველაფერი თავის ადგილზე დგება, თუ დაინახავთ კავშირი ხარისხს (n=2) და თავად ფიგურის განზომილებას შორის. პითაგორას სამკუთხედი ორგანზომილებიანი ფიგურაა. გასაკვირი არ არის, რომ Z (ანუ ჰიპოტენუზა) შეიძლება გამოიხატოს ფეხებით (X და Y), რომლებიც შეიძლება იყოს მთელი რიცხვები. კუთხის ზომა (90) შესაძლებელს ხდის ჰიპოტენუზის ვექტორად განხილვას, ხოლო ფეხები არის ვექტორები, რომლებიც მდებარეობს ღერძებზე და მოდის საწყისიდან. შესაბამისად, შესაძლებელია გამოვხატოთ ორგანზომილებიანი ვექტორი, რომელიც არ დევს არცერთ ღერძზე, მათზე განლაგებული ვექტორების მიხედვით.

ახლა, თუ გადავალთ მესამე განზომილებაზე და, შესაბამისად, n=3-ზე, სამგანზომილებიანი ვექტორის გამოსახატავად, არ იქნება საკმარისი ინფორმაცია ორ ვექტორზე და, შესაბამისად, შესაძლებელი იქნება Z-ის გამოხატვა ფერმას განტოლებაში. მინიმუმ სამი ტერმინი (სამი ვექტორი დევს, შესაბამისად, კოორდინატთა სისტემის სამ ღერძზე).

თუ n=4, მაშინ უნდა იყოს 4 წევრი, თუ n=5, მაშინ უნდა იყოს 5 წევრი და ა.შ. ამ შემთხვევაში, იქნება საკმარისზე მეტი მთლიანი გადაწყვეტილებები. მაგალითად, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 და ასე შემდეგ (შეგიძლიათ აირჩიოთ სხვა მაგალითები n=3, n=4 და ასე შემდეგ).

რა მოჰყვება ამ ყველაფერს? აქედან გამომდინარეობს, რომ ფერმას თეორემას ნამდვილად არ აქვს სრული ამონახსნები n>2-ისთვის - მაგრამ მხოლოდ იმიტომ, რომ განტოლება თავისთავად არასწორია! იგივე წარმატებით, შეიძლება სცადოთ პარალელეპიპედის მოცულობის გამოხატვა მისი ორი კიდეების სიგრძით - რა თქმა უნდა, ეს შეუძლებელია (მთლიანი ამონახსნები არასოდეს მოიძებნება), მაგრამ მხოლოდ იმიტომ, რომ იპოვოთ პარალელეპიპედის მოცულობა. , თქვენ უნდა იცოდეთ მისი სამივე კიდის სიგრძე.

როდესაც ცნობილ მათემატიკოსს დევიდ გილბერტს ჰკითხეს, რა არის ახლა ყველაზე მნიშვნელოვანი ამოცანა მეცნიერებისთვის, მან უპასუხა: "დაჭერა ბუზი მთვარის შორეულ მხარეს". გონივრულ კითხვაზე "ვის სჭირდება ეს?" მან ასე უპასუხა: "ეს არავის სჭირდება. ოღონდ დაფიქრდი, რამდენი მნიშვნელოვანი და რთული ამოცანის გადაჭრა გჭირდებათ ამის მისაღწევად".

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფერმატმა (პირველ რიგში ადვოკატმა!) მახვილგონივრული იურიდიული ხუმრობა ითამაშა მთელ მათემატიკურ სამყაროზე, პრობლემის არასწორ ფორმულირებაზე დაყრდნობით. მან, ფაქტობრივად, შესთავაზა მათემატიკოსებს ეპოვათ პასუხი, თუ რატომ არ შეუძლია ბუზს ცხოვრება მთვარის მეორე მხარეს და არითმეტიკის მიდამოებში სურდა დაეწერა მხოლოდ ის, რომ მთვარეზე უბრალოდ ჰაერი არ არის, ე.ი. არ შეიძლება იყოს მისი თეორემის მთელი რიცხვი ამონახსნები n>2-ისთვის მხოლოდ იმიტომ, რომ n-ის თითოეული მნიშვნელობა უნდა შეესაბამებოდეს ტერმინების გარკვეულ რაოდენობას მისი განტოლების მარცხენა მხარეს.

მაგრამ ეს მხოლოდ ხუმრობა იყო? Არაფერს. ფერმას გენიალურობა სწორედ იმაში მდგომარეობს, რომ მან ფაქტობრივად პირველმა დაინახა მათემატიკური ფიგურის ხარისხსა და განზომილებას შორის ურთიერთობა - ანუ, რაც აბსოლუტურად ექვივალენტურია, განტოლების მარცხენა მხარეს მდებარე ტერმინების რაოდენობა. მისი ცნობილი თეორემის მნიშვნელობა სწორედ ის იყო, რომ არა მხოლოდ მათემატიკური სამყაროს დაყენება ამ ურთიერთობის იდეაზე, არამედ ამ ურთიერთობის არსებობის მტკიცებულების წამოწყებაც - ინტუიციურად გასაგები, მაგრამ ჯერ არ არის მათემატიკურად დასაბუთებული.

ფერმას, როგორც არავის, ესმოდა, რომ ერთი შეხედვით განსხვავებულ ობიექტებს შორის ურთიერთობის დამყარება უაღრესად ნაყოფიერია არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ ნებისმიერ მეცნიერებაში. ასეთი ურთიერთობა მიუთითებს რაღაც ღრმა პრინციპზე, რომელიც საფუძვლად უდევს ორივე ობიექტს და საშუალებას აძლევს მათ უფრო ღრმა გაგებას.

მაგალითად, თავდაპირველად ფიზიკოსები განიხილავდნენ ელექტროენერგიასა და მაგნიტიზმს, როგორც სრულიად შეუთავსებელ ფენომენებს, ხოლო მე-19 საუკუნეში თეორეტიკოსებმა და ექსპერიმენტატორებმა გააცნობიერეს, რომ ელექტროენერგია და მაგნეტიზმი მჭიდრო კავშირში იყო. შედეგი იყო ელექტროენერგიის და მაგნეტიზმის უფრო ღრმა გაგება. ელექტრული დენები წარმოქმნის მაგნიტურ ველებს და მაგნიტებს შეუძლიათ გამოიწვიონ ელექტროენერგია დირიჟორებში, რომლებიც ახლოს არიან მაგნიტებთან. ამან განაპირობა დინამოსა და ელექტროძრავების გამოგონება. საბოლოოდ გაირკვა, რომ სინათლე არის მაგნიტური და ელექტრული ველების კოორდინირებული ჰარმონიული რხევების შედეგი.

ფერმას დროის მათემატიკა შედგებოდა ცოდნის კუნძულებისგან უმეცრების ზღვაში. გეომეტრები სწავლობდნენ ფორმებს ერთ კუნძულზე, მათემატიკოსები კი ალბათობასა და შანსებს მეორე კუნძულზე. გეომეტრიის ენა ძალიან განსხვავდებოდა ალბათობის თეორიის ენისგან და ალგებრული ტერმინოლოგია უცხო იყო მათთვის, ვინც მხოლოდ სტატისტიკაზე საუბრობდა. სამწუხაროდ, ჩვენი დროის მათემატიკა დაახლოებით იგივე კუნძულებისგან შედგება.

ფერმა იყო პირველი, ვინც გააცნობიერა, რომ ყველა ეს კუნძული ერთმანეთთან არის დაკავშირებული. და მისი ცნობილი თეორემა - ფერმას დიდი თეორემა - ამის შესანიშნავი დადასტურებაა.

2-ზე მეტი n რიცხვებისთვის, განტოლებას x n + y n = z n არ აქვს არანულოვანი ამონახსნები ნატურალურ რიცხვებში.

ალბათ გახსოვთ სკოლის დროიდან პითაგორას თეორემა: მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის კუთხის კვადრატების ჯამს. თქვენ ასევე შეიძლება გახსოვთ კლასიკური მართკუთხა სამკუთხედი გვერდებით, რომელთა სიგრძე დაკავშირებულია როგორც 3: 4: 5. მისთვის პითაგორას თეორემა ასე გამოიყურება:

ეს არის პითაგორას განზოგადებული განტოლების გადაჭრის მაგალითი არანულოვანი მთელი რიცხვებით. ნ= 2. ფერმას ბოლო თეორემა (ასევე მოუწოდა "ფერმას ბოლო თეორემა" და "ფერმას ბოლო თეორემა") არის განცხადება, რომელიც მნიშვნელობებისთვის ნ> ფორმის 2 განტოლება x n + y n = z nარ აქვთ არანულოვანი ამონახსნები ნატურალურ რიცხვებში.

ფერმას ბოლო თეორემის ისტორია ძალიან გასართობი და სასწავლოა და არა მხოლოდ მათემატიკოსებისთვის. პიერ დე ფერმამ წვლილი შეიტანა მათემატიკის სხვადასხვა სფეროს განვითარებაში, მაგრამ მისი სამეცნიერო მემკვიდრეობის ძირითადი ნაწილი მხოლოდ სიკვდილის შემდეგ გამოქვეყნდა. ფაქტია, რომ მათემატიკა ფერმატისთვის იყო რაღაც ჰობი და არა პროფესიული ოკუპაცია. იგი მიმოწერას აწარმოებდა თავისი დროის წამყვან მათემატიკოსებთან, მაგრამ არ ცდილობდა გამოექვეყნებინა თავისი ნაშრომი. ფერმას სამეცნიერო ნაშრომები ძირითადად გვხვდება პირადი მიმოწერისა და ფრაგმენტული ჩანაწერების სახით, რომლებიც ხშირად გაკეთებულია სხვადასხვა წიგნის მინდვრებში. ის არის მინდვრებზე (დიოფანტეს ძველი ბერძნული არითმეტიკის მეორე ტომის. - Შენიშვნა. მთარგმნელიმათემატიკოსის გარდაცვალებიდან მალევე, შთამომავლებმა აღმოაჩინეს ცნობილი თეორემის ფორმულირება და პოსტსკრიპტი:

« ამის მართლაც მშვენიერი მტკიცებულება ვიპოვე, მაგრამ ეს ზღვარი მისთვის ძალიან ვიწროა.».

სამწუხაროდ, როგორც ჩანს, ფერმას არასოდეს შეუწუხებია დაწერა მის მიერ ნაპოვნი „სასწაულებრივი მტკიცებულება“ და შთამომავლები მას სამ საუკუნეზე მეტი ხნის განმავლობაში წარუმატებლად ეძებდნენ. ფერმას ყველა განსხვავებული სამეცნიერო მემკვიდრეობიდან, რომელიც შეიცავს ბევრ გასაოცარ განცხადებას, ეს იყო დიდი თეორემა, რომელიც ჯიუტად ეწინააღმდეგებოდა გადაწყვეტას.

ვინც არ აიღო ფერმას ბოლო თეორემის მტკიცებულება - ამაოდ! კიდევ ერთი დიდი ფრანგი მათემატიკოსი, რენე დეკარტი (რენე დეკარტი, 1596-1650) ფერმას უწოდებს "ტრაბახს", ხოლო ინგლისელმა მათემატიკოსმა ჯონ უოლისმა (ჯონ უოლისი, 1616-1703) მას "დაწყევლილი ფრანგი". თუმცა, თავად ფერმამ მაინც დატოვა თავისი თეორემის მტკიცებულება საქმისთვის ნ= 4. მტკიცებულებით ამისთვის ნ= 3 ამოხსნა მე-18 საუკუნის დიდმა შვეიცარიელ-რუსმა მათემატიკოსმა ლეონარდ ეილერმა (1707–83), რის შემდეგაც ვერ იპოვა მტკიცებულებები. ნ> 4, ხუმრობით შესთავაზა ფერმას სახლის გაჩხრეკა დაკარგული მტკიცებულების გასაღების საპოვნელად. მე-19 საუკუნეში რიცხვების თეორიის ახალმა მეთოდებმა შესაძლებელი გახადა მრავალი მთელი რიცხვის მტკიცების დამტკიცება 200-ში, მაგრამ, კიდევ ერთხელ, არა ყველასთვის.

1908 წელს ამ ამოცანისთვის დაწესდა პრიზი 100 000 DM. საპრიზო ფონდი ანდერძით გადაეცა გერმანელ მრეწვეელს პოლ ვოლფსკელს, რომელიც ლეგენდის თანახმად თვითმკვლელობას აპირებდა, მაგრამ ფერმას უკანასკნელმა თეორემამ ისე გაიტაცა, რომ გადაიფიქრა სიკვდილი. მანქანების და შემდეგ კომპიუტერების დამატების მოსვლასთან ერთად, ფასეულობების ზოლი ნდაიწყო უფრო და უფრო მაღლა ასვლა - მეორე მსოფლიო ომის დასაწყისში 617-მდე, 1954 წელს 4001-მდე, 1976 წელს 125000-მდე. მე-20 საუკუნის ბოლოს, ლოს ალამოსში (ნიუ მექსიკა, აშშ) სამხედრო ლაბორატორიების ყველაზე მძლავრი კომპიუტერები დაპროგრამებული იქნა ფერმატის პრობლემის ფონზე გადასაჭრელად (პერსონალური კომპიუტერის ეკრანმზოგის რეჟიმის მსგავსი). ამრიგად, შესაძლებელი გახდა იმის ჩვენება, რომ თეორემა მართალია წარმოუდგენლად დიდი მნიშვნელობებისთვის x, y, zდა ნ, მაგრამ ეს არ შეიძლება იყოს მკაცრი მტკიცებულება, რადგან რომელიმე ქვემოთ ჩამოთვლილი მნიშვნელობა ნან ნატურალური რიცხვების სამმაგი შეიძლება უარყოს თეორემა მთლიანობაში.

საბოლოოდ, 1994 წელს, ინგლისელმა მათემატიკოსმა ენდრიუ ჯონ უილსმა (Andrew John Wiles, b. 1953), პრინსტონში მუშაობისას, გამოაქვეყნა ფერმას ბოლო თეორემის მტკიცებულება, რომელიც, გარკვეული ცვლილებების შემდეგ, ამომწურავად იქნა მიჩნეული. მტკიცებულებას დასჭირდა ასზე მეტი ჟურნალის გვერდი და ეფუძნებოდა უმაღლესი მათემატიკის თანამედროვე აპარატის გამოყენებას, რომელიც ფერმას ეპოქაში არ იყო შემუშავებული. მაშ, რას გულისხმობდა ფერმა იმით, რომ წიგნის მიდამოებში დატოვა მტკიცებულება? მათემატიკოსთა უმეტესობამ, რომელთანაც ვესაუბრე ამ თემაზე, აღნიშნავს, რომ საუკუნეების განმავლობაში ფერმას ბოლო თეორემის საკმარისზე მეტი არასწორი მტკიცებულება იყო და სავარაუდოა, რომ თავად ფერმამ იპოვა მსგავსი მტკიცებულება, მაგრამ ვერ დაინახა შეცდომა. ის. თუმცა, შესაძლებელია, რომ ჯერ კიდევ არსებობს ფერმას ბოლო თეორემის მოკლე და ელეგანტური მტკიცებულება, რომელიც ჯერ არავის უპოვია. მხოლოდ ერთი რამ შეიძლება ითქვას დარწმუნებით: დღეს ჩვენ ზუსტად ვიცით, რომ თეორემა მართალია. მათემატიკოსთა უმეტესობა, ვფიქრობ, უპირობოდ დაეთანხმება ენდრიუ უილსს, რომელმაც თავის დამტკიცების შესახებ აღნიშნა: „ახლა ჩემი გონება მშვიდადაა“.

ფერმას ინტერესი მათემატიკით გაჩნდა რატომღაც მოულოდნელად და საკმაოდ მოწიფულ ასაკში. 1629 წელს პაპუსის ნაშრომის ლათინური თარგმანი, რომელიც შეიცავს აპოლონიუსის შედეგების მოკლე მიმოხილვას კონუსური მონაკვეთების თვისებების შესახებ, ხელში ჩაუვარდა მას. ფერმა, პოლიგლოტი, სამართლისა და უძველესი ფილოლოგიის ექსპერტი, მოულოდნელად აპირებს ცნობილი მეცნიერის მსჯელობის კურსის სრულად აღდგენას. იგივე წარმატებით, თანამედროვე იურისტს შეუძლია დამოუკიდებლად სცადოს ყველა მტკიცებულება მონოგრაფიიდან, მაგალითად, ალგებრული ტოპოლოგიის პრობლემებიდან. თუმცა, წარმოუდგენელი საწარმო წარმატებით დაგვირგვინდა. უფრო მეტიც, ძველთა გეომეტრიულ კონსტრუქციებში ჩაღრმავებით, ის აკეთებს საოცარ აღმოჩენას: ფიგურების ფართობების მაქსიმუმის და მინიმის საპოვნელად, გენიალური ნახატები არ არის საჭირო. ყოველთვის შესაძლებელია რაიმე მარტივი ალგებრული განტოლების შედგენა და ამოხსნა, რომლის ფესვები განაპირობებს ექსტრემამს. მან მოიფიქრა ალგორითმი, რომელიც დიფერენციალური გამოთვლების საფუძველი გახდებოდა.

ის სწრაფად გადავიდა. მან იპოვა საკმარისი პირობები მაქსიმუმების არსებობისთვის, ისწავლა გადახრის წერტილების განსაზღვრა და მიაპყრო ტანგენტები მეორე და მესამე რიგის ყველა ცნობილ მრუდზე. კიდევ რამდენიმე წელი და ის აღმოაჩენს ახალ წმინდა ალგებრულ მეთოდს თვითნებური რიგის პარაბოლებისა და ჰიპერბოლების კვადრატების მოსაძებნად (ანუ ფორმის ფუნქციების ინტეგრალები y p = Cx qდა y p x q \u003d C), ითვლის რევოლუციის ორგანოების ფართობებს, მოცულობას, ინერციის მომენტებს. ეს იყო ნამდვილი გარღვევა. ამის შეგრძნებით, ფერმატი იწყებს კომუნიკაციის ძიებას იმ დროის მათემატიკურ ავტორიტეტებთან. ის თავდაჯერებულია და აღიარება სურდა.

1636 წელს მან მისწერა პირველი წერილი თავის მეუფე მარინ მერსენს: „წმიდაო მამაო! უაღრესად მადლობელი ვარ თქვენი პატივისთვის, რაც მომეცი იმით, რომ იმედი მომეცით, რომ ჩვენ შევძლებთ წერილობით საუბარს; ...ძალიან მოხარული ვიქნები მოვისმინო თქვენგან ყველა ახალი ტრაქტატისა და წიგნის შესახებ მათემატიკის შესახებ, რომლებიც გამოჩნდა ბოლო ხუთი-ექვსი წლის განმავლობაში. ... ასევე ვიპოვე მრავალი ანალიტიკური მეთოდი სხვადასხვა ამოცანების, რიცხვითი და გეომეტრიული, რისთვისაც ვიეტას ანალიზი არასაკმარისია. ამ ყველაფერს გაგიზიარებთ, როცა გინდათ და, უფრო მეტიც, ყოველგვარი ამპარტავნების გარეშე, საიდანაც მე უფრო თავისუფალი და შორეული ვარ, ვიდრე ნებისმიერი სხვა ადამიანი მსოფლიოში.

ვინ არის მამა მერსენი? ეს არის ფრანცისკანელი ბერი, მოკრძალებული ნიჭის მეცნიერი და შესანიშნავი ორგანიზატორი, რომელიც 30 წლის განმავლობაში ხელმძღვანელობდა პარიზის მათემატიკურ წრეს, რომელიც გახდა ფრანგული მეცნიერების ნამდვილი ცენტრი. შემდგომში, მერსენის წრე, ლუი XIV-ის ბრძანებულებით, გარდაიქმნება პარიზის მეცნიერებათა აკადემიად. მერსენი დაუღალავად ატარებდა უზარმაზარ მიმოწერას და მისი კელია სამეფო მოედანზე მინიმების ორდენის მონასტერში ერთგვარი „ფოსტა იყო ევროპის ყველა მეცნიერისთვის, გალილეოდან ჰობსამდე“. შემდეგ კორესპონდენციამ შეცვალა სამეცნიერო ჟურნალები, რომლებიც გაცილებით გვიან გამოჩნდა. მერსენში შეხვედრები ყოველკვირეულად იმართებოდა. წრის ბირთვს შეადგენდნენ იმ დროის ყველაზე ბრწყინვალე ბუნების მეცნიერები: რობერვილი, პასკალ მამა, დეზარგი, მიდორჟი, ჰარდი და, რა თქმა უნდა, ცნობილი და საყოველთაოდ აღიარებული დეკარტი. რენე დიუ პერონ დეკარტი (კარტეზიუსი), თავადაზნაურობის მანტია, ორი საოჯახო ქონება, კარტეზანიზმის ფუძემდებელი, ანალიტიკური გეომეტრიის "მამა", ახალი მათემატიკის ერთ-ერთი ფუძემდებელი, ასევე მერსენის მეგობარი და თანამებრძოლი იეზუიტთა კოლეჯში. ეს მშვენიერი ადამიანი ფერმატისთვის კოშმარი იქნება.

მერსენმა ფერმას შედეგები საკმარისად საინტერესო აღმოაჩინა, რომ პროვინციელი თავის ელიტარულ კლუბში შემოიყვანა. ფერმა მაშინვე აწარმოებს მიმოწერას წრის ბევრ წევრთან და ფაქტიურად იძინებს თავად მერსენის წერილებით. გარდა ამისა, შემსწავლელ სასამართლოს უგზავნის დასრულებულ ხელნაწერებს: „შესავალი ბრტყელ და მყარ ადგილებში“, ხოლო ერთი წლის შემდეგ – „მაქსიმებისა და მინიმასების პოვნის მეთოდი“ და „ბ. კავალიერის კითხვებზე პასუხები“. ის, რაც ფერმამ ახსნა, სრულიად ახალი იყო, მაგრამ სენსაცია არ მომხდარა. თანამედროვეები არ აყოვნებდნენ. მათ ბევრი რამ არ ესმოდათ, მაგრამ მათ აღმოაჩინეს ცალსახა მინიშნებები, რომ ფერმატმა ისესხა მაქსიმიზაციის ალგორითმის იდეა იოჰანეს კეპლერის ტრაქტატიდან სასაცილო სათაურით "ღვინის კასრების ახალი სტერეომეტრია". მართლაც, კეპლერის მსჯელობაში არის ისეთი ფრაზები, როგორიცაა: „ფიგურის მოცულობა ყველაზე დიდია, თუ უდიდესი მნიშვნელობის ადგილის ორივე მხარეს კლება თავდაპირველად უგრძნობია“. მაგრამ ექსტრემის მახლობლად ფუნქციის მცირე გაზრდის იდეა საერთოდ არ იყო ჰაერში. იმ დროის საუკეთესო ანალიტიკური გონება არ იყო მზად მცირე რაოდენობით მანიპულაციებისთვის. ფაქტია, რომ იმ დროს ალგებრა ითვლებოდა ერთგვარ არითმეტიკად, ანუ მეორე კლასის მათემატიკა, პრიმიტიული იმპროვიზირებული ინსტრუმენტი, რომელიც შემუშავებული იყო საბაზისო პრაქტიკის საჭიროებებისთვის ("მხოლოდ ვაჭრები ითვლიან კარგად"). ტრადიცია ითვალისწინებდა მტკიცებულებების წმინდა გეომეტრიული მეთოდების დაცვას, რომელიც თარიღდება უძველესი მათემატიკიდან. ფერმამ პირველმა გაიგო, რომ უსასრულოდ მცირე რაოდენობით შეიძლება დაემატოს და შემცირდეს, მაგრამ მათი სეგმენტებად წარმოდგენა საკმაოდ რთულია.

თითქმის ერთი საუკუნე დასჭირდა იმისთვის, რომ ჟან დ'ალბერტმა თავის ცნობილ ენციკლოპედიაში აღიარა: ფერმა იყო ახალი გაანგარიშების გამომგონებელი. სწორედ მასთან ვხვდებით დიფერენციალთა პირველ გამოყენებას ტანგენტების საპოვნელად. მე-18 საუკუნის მიწურულს ჯოზეფ ლუი კონტ დე ლაგრანჟი კიდევ უფრო ნათლად გამოხატავდა თავის თავს: „მაგრამ გეომეტრებს, ფერმას თანამედროვეებს, არ ესმოდათ ეს ახალი სახის გამოთვლა. მათ მხოლოდ განსაკუთრებული შემთხვევები ნახეს. და ეს გამოგონება, რომელიც დეკარტის გეომეტრიამდე ცოტა ხნით ადრე გამოჩნდა, ორმოცი წლის განმავლობაში უნაყოფო დარჩა. ლაგრანჟი გულისხმობს 1674 წელს, როდესაც გამოქვეყნდა ისააკ ბაროუს ლექციები, რომელიც დეტალურად მოიცავდა ფერმას მეთოდს.

სხვა საკითხებთან ერთად, სწრაფად გაირკვა, რომ ფერმატი უფრო მეტად იყო მიდრეკილი ახალი პრობლემების ჩამოყალიბებისაკენ, ვიდრე მრიცხველების მიერ შემოთავაზებული პრობლემების თავმდაბლად გადაჭრისკენ. დუელების ეპოქაში, ექსპერტებს შორის დავალებების გაცვლა ზოგადად მიღებული იყო, როგორც სარდლობის ჯაჭვთან დაკავშირებული საკითხების გარკვევის ფორმა. თუმცა, ფერმამ აშკარად არ იცის ზომა. მისი თითოეული წერილი არის გამოწვევა, რომელიც შეიცავს ათობით რთულ გადაუჭრელ პრობლემას და ყველაზე მოულოდნელ თემებზე. აი, მისი სტილის მაგალითი (მიმართა ფრენიკლ დე ბესის): „პუნქტი, რომელია ყველაზე პატარა კვადრატი, რომელიც 109-ით შემცირებისას და ერთზე მიმატებისას მისცემს კვადრატს? თუ ზოგად ამოხსნას არ გამომიგზავნით, გამომიგზავნეთ ამ ორი რიცხვის კოეფიციენტი, რომელიც მე ავირჩიე პატარა, რომ ძალიან არ გაგიჭირდეთ. მას შემდეგ რაც მე მივიღებ თქვენს პასუხს, შემოგთავაზებთ სხვა რამეს. ყოველგვარი განსაკუთრებული დათქმის გარეშე ნათელია, რომ ჩემს წინადადებაში საჭიროა მთელი რიცხვების პოვნა, რადგან წილადი რიცხვების შემთხვევაში ყველაზე უმნიშვნელო არითმეტიკას შეუძლია მიაღწიოს მიზანს. ფერმა ხშირად იმეორებდა საკუთარ თავს, რამდენჯერმე აყალიბებდა ერთსა და იმავე კითხვებს და ღიად ბლეფობდა და ამტკიცებდა, რომ მას უჩვეულოდ ელეგანტური გადაწყვეტა ჰქონდა შემოთავაზებული პრობლემის შესახებ. პირდაპირი შეცდომები არ ყოფილა. ზოგიერთი მათგანი თანამედროვეებმა შეამჩნიეს და ზოგიერთი მზაკვრული განცხადება საუკუნეების განმავლობაში შეცდომაში შეჰყავდა მკითხველს.

მერსენის წრე ადეკვატურად რეაგირებდა. წერილების მეგობრულ ტონს ინარჩუნებს მხოლოდ რობერვილი, წრის ერთადერთი წევრი, რომელსაც წარმოშობის პრობლემა ჰქონდა. კარგი მწყემსი მამა მერსენი ცდილობდა მსჯელობას „ტულუზა თავხედთან“. მაგრამ ფერმა არ აპირებს გამართლებას: „მეუფეო მამაო! თქვენ მწერთ, რომ ჩემი შეუძლებელი პრობლემების წამოყენებამ აღაშფოთა და გააგრილა ბატონები სენ-მარტენი და ფრენიკელი და ეს იყო მათი წერილების შეწყვეტის მიზეზი. თუმცა, მინდა ვუპასუხო მათ, რომ ის, რაც ერთი შეხედვით შეუძლებელი ჩანს, სინამდვილეში ასე არ არის და რომ ბევრი პრობლემაა, რომლებზეც, როგორც არქიმედესმა თქვა...“ და ა.შ.

თუმცა, ფერმა არაკეთილსინდისიერია. სწორედ ფრენიკელს გაუგზავნა მართკუთხა სამკუთხედის პოვნა მთელი გვერდებით, რომლის ფართობი უდრის მთელი რიცხვის კვადრატს. მან გაგზავნა, თუმცა იცოდა, რომ პრობლემას გამოსავალი აშკარად არ ჰქონდა.

ფერმას მიმართ ყველაზე მტრული პოზიცია დაიკავა დეკარტმა. 1938 წლით დათარიღებულ მერსენისადმი მიწერილ წერილში ვკითხულობთ: „რადგან გავიგე, რომ ეს არის იგივე ადამიანი, ვინც ადრე ცდილობდა ჩემი „დიოპტრიკის“ უარყოფას და რადგან თქვენ შემატყობინეთ, რომ მან ის გაგზავნა მას შემდეგ, რაც წაიკითხა ჩემი „გეომეტრია“ და. გაკვირვებულმა, რომ მე არ ვიპოვე იგივე, ანუ (როგორც მე მაქვს ამის ინტერპრეტაციის საფუძველი) გავუგზავნე მეტოქეობაში შესვლის მიზნით და მეჩვენებინა, რომ მან ამაზე მეტი იცის, ვიდრე მე, და რადგან თქვენი წერილებიდან უფრო მეტმა მე გავიგე, რომ მას ძალიან მცოდნე გეომეტრის რეპუტაცია ჰქონდა, მაშინ თავს ვალდებულად ვთვლი, ვუპასუხო მას. დეკარტი მოგვიანებით საზეიმოდ დანიშნავს თავის პასუხს, როგორც „მათემატიკის მცირე სასამართლო პროცესი მისტერ ფერმას წინააღმდეგ“.

ადვილი გასაგებია, რამ განარისხა გამოჩენილი მეცნიერი. ჯერ ერთი, ფერმას მსჯელობაში მუდმივად ჩნდება საკოორდინაციო ღერძები და რიცხვების გამოსახვა სეგმენტებით - მოწყობილობა, რომელსაც დეკარტი ყოვლისმომცველად ავითარებს თავის ახლახან გამოქვეყნებულ "გეომეტრიაში". ფერმა მიდის იდეა, რომ ნახატი თავისით შეცვალოს გამოთვლებით, გარკვეულწილად უფრო თანმიმდევრული ვიდრე დეკარტი. მეორეც, ფერმა ბრწყინვალედ ავლენს მინიმების პოვნის მეთოდის ეფექტურობას სინათლის სხივის უმოკლესი გზის პრობლემის მაგალითზე, დეკარტის დახვეწას და შეავსებს თავისი "დიოპტრიკით".

დეკარტის, როგორც მოაზროვნის და ნოვატორის დამსახურება უზარმაზარია, მაგრამ მოდით გავხსნათ თანამედროვე "მათემატიკური ენციკლოპედია" და გადავხედოთ მის სახელთან დაკავშირებული ტერმინების ჩამონათვალს: "კარტეზიული კოორდინატები" (ლაიბნიცი, 1692), "დეკარტის ფურცელი", "დეკარტი". ოვლები". არც ერთი მისი არგუმენტი არ დარჩენილა ისტორიაში, როგორც დეკარტის თეორემა. დეკარტი, უპირველეს ყოვლისა, იდეოლოგია: ის არის ფილოსოფიური სკოლის დამფუძნებელი, ის აყალიბებს ცნებებს, აუმჯობესებს ასოების აღნიშვნების სისტემას, მაგრამ მის შემოქმედებით მემკვიდრეობაში რამდენიმე ახალი სპეციფიკური ტექნიკაა. ამის საპირისპიროდ, პიერ ფერმა ცოტას წერს, მაგრამ ნებისმიერ შემთხვევაში შეუძლია ბევრი მახვილგონივრული მათემატიკური ხრიკის მოფიქრება (იხ. იქვე. „ფერმას თეორემა“, „ფერმას პრინციპი“, „ფერმას უსასრულო წარმოშობის მეთოდი“). მათ ალბათ სრულიად სამართლიანად შურდათ ერთმანეთის. შეჯახება გარდაუვალი იყო. მერსენის იეზუიტური შუამავლობით დაიწყო ომი, რომელიც ორი წელი გაგრძელდა. თუმცა, მერსენი აქაც მართალი აღმოჩნდა ისტორიის წინ: სასტიკი ბრძოლა ორ ტიტანს შორის, მათმა დაძაბულმა, რბილად რომ ვთქვათ, პოლემიკამ ხელი შეუწყო მათემატიკური ანალიზის ძირითადი ცნებების გაგებას.

ფერმა პირველია, ვინც დისკუსიისადმი ინტერესს კარგავს. როგორც ჩანს, ის პირდაპირ ესაუბრა დეკარტს და აღარასოდეს აწყენინა მოწინააღმდეგე. თავის ერთ-ერთ ბოლო ნაშრომში "სინთეზი რეფრაქციისთვის", რომლის ხელნაწერიც დე ლა შაუმბრას გაუგზავნა, ფერმა სიტყვის საშუალებით ახსენებს "ყველაზე განათლებულ დეკარტს" და ყოველმხრივ ხაზს უსვამს მის პრიორიტეტს ოპტიკის საკითხებში. იმავდროულად, სწორედ ეს ხელნაწერი შეიცავდა ცნობილი „ფერმატის პრინციპის“ აღწერას, რომელიც იძლევა ამომწურავ ახსნას სინათლის არეკვლისა და გარდატეხის კანონების შესახებ. ამ დონის ნაწარმოებში დეკარტის მიმართ კურსები სრულიად არასაჭირო იყო.

Რა მოხდა? რატომ წავიდა ფერმა, სიამაყე გვერდზე გადადო, შერიგებაზე? ფერმას იმ წლების (1638 - 1640 წწ.) წერილების წაკითხვისას შეიძლება ვივარაუდოთ უმარტივესი რამ: ამ პერიოდში მისი სამეცნიერო ინტერესები მკვეთრად შეიცვალა. ის მიატოვებს მოდურ ციკლოიდს, წყვეტს ინტერესს ტანგენტებითა და არეებით და 20 წლის განმავლობაში ივიწყებს მაქსიმუმის პოვნის მეთოდს. უწყვეტის მათემატიკაში დიდი დამსახურებით, ფერმა მთლიანად ჩაეფლო დისკრეტულის მათემატიკაში, რის გამოც საძულველი გეომეტრიული ნახატები თავის ოპონენტებს უტოვებს. ნომრები მისი ახალი გატაცებაა. ფაქტობრივად, მთელი „რიცხვების თეორია“, როგორც დამოუკიდებელი მათემატიკური დისციპლინა, თავის დაბადებას მთლიანად ფერმას ცხოვრებასა და მოღვაწეობას ემსახურება.

<…>ფერმას გარდაცვალების შემდეგ, მისმა ვაჟმა სამუელმა 1670 წელს გამოაქვეყნა არითმეტიკის ასლი, რომელიც მამამისს ეკუთვნოდა, სათაურით "ექვსი წიგნი არითმეტიკისა ალექსანდრიელი დიოფანტეს მიერ L. G. Basche-ს კომენტარებით და პ. დე ფერმას, ტულუზის სენატორის შენიშვნებით". წიგნში ასევე შედიოდა დეკარტის რამდენიმე წერილი და ჟაკ დე ბიგლის „ახალი აღმოჩენა ანალიზის ხელოვნებაში“ სრული ტექსტი, რომელიც დაფუძნებულია ფერმას წერილებზე. პუბლიკაცია წარმოუდგენელი წარმატება იყო. გაოგნებული სპეციალისტების წინაშე უპრეცედენტო ნათელი სამყარო გაიხსნა. ფერმას რიცხვთა თეორიული შედეგების მოულოდნელობამ და რაც მთავარია ხელმისაწვდომობამ, დემოკრატიულმა ხასიათმა უამრავი იმიტაცია გამოიწვია. იმ დროს ცოტას ესმოდა, თუ როგორ იყო გამოთვლილი პარაბოლის ფართობი, მაგრამ ყველა სტუდენტს შეეძლო გაეგო ფერმას ბოლო თეორემის ფორმულირება. დაიწყო ნამდვილი ნადირობა მეცნიერის უცნობ და დაკარგულ წერილებზე. XVII საუკუნის ბოლომდე. მისი ყოველი სიტყვა, რაც აღმოჩნდა, გამოქვეყნდა და ხელახლა გამოქვეყნდა. მაგრამ ფერმას იდეების განვითარების მღელვარე ისტორია ახლახან იწყებოდა.

1

ივლიევი იუ.ა.

სტატია ეძღვნება მე-20 საუკუნის ბოლოს ფერმას ბოლო თეორემის დამტკიცების პროცესში დაშვებული ფუნდამენტური მათემატიკური შეცდომის აღწერას. აღმოჩენილი შეცდომა არა მხოლოდ ამახინჯებს თეორემის ნამდვილ მნიშვნელობას, არამედ აფერხებს ახალი აქსიომატური მიდგომის შემუშავებას რიცხვების სიმძლავრისა და რიცხვების ბუნებრივი რიგის შესასწავლად.

1995 წელს გამოქვეყნდა სტატია, რომელიც მსგავსი იყო წიგნის ზომით და მოხსენებული იყო ცნობილი ფერმას დიდი (უკანასკნელი) თეორემის (WTF) დადასტურების შესახებ (თეორემის ისტორიისა და მისი დამტკიცების მცდელობებისთვის იხილეთ, მაგალითად, ). ამ მოვლენის შემდეგ გამოჩნდა მრავალი სამეცნიერო სტატია და პოპულარული სამეცნიერო წიგნი, რომლებიც ხელს უწყობდნენ ამ მტკიცებულებას, მაგრამ არც ერთმა ამ ნაშრომმა არ გამოავლინა მასში ფუნდამენტური მათემატიკური შეცდომა, რომელიც შეაღწია არა ავტორის ბრალით, არამედ რაღაც უცნაური ოპტიმიზმის გამო. გონების მათემატიკოსები, რომლებიც განიხილავდნენ ამ პრობლემას და მასთან დაკავშირებულ კითხვებს. ამ ფენომენის ფსიქოლოგიური ასპექტები გამოკვლეულია. იგი ასევე იძლევა დეტალურ ანალიზს მომხდარი ზედამხედველობის შესახებ, რომელიც არ არის კონკრეტული ხასიათის, მაგრამ არის მთელი რიცხვების ხარისხების თვისებების არასწორი გაგების შედეგი. როგორც ნაჩვენებია, ფერმას პრობლემა სათავეს იღებს ამ თვისებების შესწავლის ახალ აქსიომატურ მიდგომაში, რომელიც ჯერ არ არის გამოყენებული თანამედროვე მეცნიერებაში. მაგრამ მის გზაზე მცდარი მტკიცებულება იდგა, რომელიც რიცხვების თეორეტიკოსებს ცრუ მითითებებს აძლევდა და ფერმას პრობლემის წამყვან მკვლევარებს მის პირდაპირ და ადეკვატურ გადაწყვეტას აშორებდა. ეს ნამუშევარი ეძღვნება ამ დაბრკოლების აღმოფხვრას.

1. WTF-ის მტკიცების დროს დაშვებული შეცდომის ანატომია

ძალიან გრძელი და დამღლელი მსჯელობის პროცესში ფერმას თავდაპირველი დებულება ხელახლა ჩამოყალიბდა p-th ხარისხის დიოფანტის განტოლებისა და მე-3 რიგის ელიფსური მრუდების შესაბამისობის თვალსაზრისით (იხ. თეორემები 0.4 და 0.5 in ). ამგვარმა შედარებამ აიძულა დე ფაქტო კოლექტიური მტკიცებულების ავტორები გამოეცხადებინათ, რომ მათი მეთოდი და მსჯელობა იწვევს ფერმატის პრობლემის საბოლოო გადაწყვეტას (შეგახსენებთ, რომ WTF-ს არ ჰქონდა აღიარებული მტკიცებულებები მთელი რიცხვების თვითნებური მთელი რიცხვების უფლების შემთხვევაში 90-იან წლებამდე. გასული საუკუნე). ამ განხილვის მიზანია ზემოაღნიშნული შედარების მათემატიკური უზუსტობის დადგენა და ანალიზის შედეგად, ფუნდამენტური შეცდომის პოვნა წარმოდგენილ მტკიცებულებაში.

ა) სად და რისი ბრალია?

მაშ ასე, გადავხედოთ ტექსტს, სადაც გვ.448-ზე ნათქვამია, რომ G. Frey-ის (G. Frey) „მახვილგონივრული იდეის“ შემდეგ გაჩნდა WTF-ის დამტკიცების შესაძლებლობა. 1984 წელს გ.ფრიმ შესთავაზა და

კ.რიბეტმა მოგვიანებით დაამტკიცა, რომ სავარაუდო ელიფსური მრუდი, რომელიც წარმოადგენს ფერმას განტოლების ჰიპოთეტურ მთელ რიცხვს,

y 2 = x(x + u p) (x - ვ p) (1)

არ შეიძლება იყოს მოდულარული. თუმცა, A.Wiles-მა და R.Taylor-მა დაამტკიცეს, რომ რაციონალური რიცხვების ველზე განსაზღვრული ნებისმიერი ნახევრად მდგრადი ელიფსური მრუდი მოდულარულია. ამან გამოიწვია დასკვნა ფერმას განტოლების მთელი რიცხვითი ამონახსნების შეუძლებლობის შესახებ და, შესაბამისად, ფერმას დებულების მართებულობის შესახებ, რომელიც ა. უილსის აღნიშვნაში იყო დაწერილი როგორც თეორემა 0.5: იყოს ტოლობა.

u p+ ვ p+ ვ p = 0 (2)

სადაც შენ, ვ, ვ- რაციონალური რიცხვები, მთელი რიცხვის მაჩვენებელი p ≥ 3; მაშინ (2) კმაყოფილდება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ uvw = 0 .

ახლა, როგორც ჩანს, უნდა დავბრუნდეთ უკან და კრიტიკულად განვიხილოთ, რატომ იყო მრუდი (1) აპრიორი აღქმული, როგორც ელიფსური და როგორია მისი რეალური კავშირი ფერმას განტოლებასთან. ამ კითხვის მოლოდინში ა. უილსი მიუთითებს ი. ჰელეგუარხის ნაშრომზე, რომელშიც მან იპოვა ფერმას განტოლების (სავარაუდოდ ამოხსნილი მთელი რიცხვებით) დაკავშირების გზა მე-3 რიგის ჰიპოთეტურ მრუდთან. გ. ფრეისგან განსხვავებით, ი. ალეგუშმა არ დააკავშირა თავისი მრუდი მოდულურ ფორმებთან, მაგრამ განტოლების (1) მიღების მისი მეთოდი გამოიყენებოდა ა. უილსის მტკიცებულების შემდგომი გასაუმჯობესებლად.

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ სამუშაოს. ავტორი თავის მსჯელობას პროექციული გეომეტრიით ატარებს. მისი ზოგიერთი აღნიშვნის გამარტივებით და მათთან შესაბამისობაში მოყვანით, აღმოვაჩენთ, რომ აბელიანის მრუდი

Y 2 = X(X - β p)(X + γ p) (3)

შედარებულია დიოფანტინის განტოლება

x p+ წ p+ ზ p = 0 (4)

სადაც x, y, ზუცნობი მთელი რიცხვებია, p არის მთელი რიცხვი (2) და დიოფანტინის განტოლების ამონახსნები (4) α p, β p, γ p გამოიყენება აბელიანის მრუდის დასაწერად (3).

ახლა, იმისათვის, რომ დავრწმუნდეთ, რომ ეს არის მე-3 რიგის ელიფსური მრუდი, აუცილებელია განიხილოს ცვლადები X და Y (3) ევკლიდეს სიბრტყეზე. ამისთვის ვიყენებთ ელიფსური მრუდების არითმეტიკის ცნობილ წესს: თუ კუბურ ალგებრულ მრუდზე ორი რაციონალური წერტილია და ამ წერტილებში გამავალი ხაზი ამ მრუდს კიდევ ერთ წერტილზე კვეთს, მაშინ ეს უკანასკნელიც რაციონალურია. წერტილი. ჰიპოთეტური განტოლება (4) ფორმალურად წარმოადგენს სწორ ხაზზე წერტილების დამატების კანონს. თუ ცვლადების ცვლილებას გავაკეთებთ x p = A, წ p=B, ზ p = C და მიმართეთ ამგვარად მიღებულ სწორ ხაზს X ღერძის გასწვრივ (3), შემდეგ ის გადაკვეთს მე-3 ხარისხის მრუდს სამ წერტილში: (X = 0, Y = 0), (X = β p , Y = 0 ), (X = - γ p , Y = 0), რაც აისახება აბელიანის მრუდის აღნიშვნაში (3) და ანალოგიურ აღნიშვნაში (1). თუმცა, მრუდი (3) ან (1) ნამდვილად ელიფსურია? ცხადია, არა, რადგან ევკლიდური წრფის სეგმენტები, მასზე ქულების დამატებისას, აღებულია არაწრფივი მასშტაბით.

ევკლიდური სივრცის წრფივი კოორდინატთა სისტემებს რომ დავუბრუნდეთ, (1) და (3) ნაცვლად ვიღებთ ფორმულებს, რომლებიც ძალიან განსხვავდებიან ელიფსური მრუდების ფორმულებისგან. მაგალითად, (1) შეიძლება იყოს შემდეგი ფორმის:

η 2p = ξ p (ξ p + u p)(ξ p - ვ p) (5)

სადაც ξ p = x, η p = y, და (1)-ზე მიმართვა ამ შემთხვევაში WTF-ის წარმოშობისთვის უკანონო ჩანს. მიუხედავად იმისა, რომ (1) აკმაყოფილებს ელიფსური მრუდების კლასის ზოგიერთ კრიტერიუმს, ის არ აკმაყოფილებს ყველაზე მნიშვნელოვან კრიტერიუმს, რომ იყოს მე-3 ხარისხის განტოლება ხაზოვან კოორდინატულ სისტემაში.

ბ) შეცდომების კლასიფიკაცია

ასე რომ, კიდევ ერთხელ ვუბრუნდებით განხილვის საწყისს და მივყვებით, თუ როგორ კეთდება დასკვნა WTF-ის სიმართლის შესახებ. პირველ რიგში, ვარაუდობენ, რომ არსებობს ფერმას განტოლების ამოხსნა დადებითი მთელი რიცხვებით. მეორეც, ეს ამონახსნი თვითნებურად არის ჩასმული ცნობილი ფორმის ალგებრულ ფორმაში (მე-3 ხარისხის სიბრტყე მრუდი) იმ ვარაუდით, რომ ამგვარად მიღებული ელიფსური მრუდები არსებობს (მეორე გადაუმოწმებელი ვარაუდი). მესამე, რადგან სხვა მეთოდებით დასტურდება, რომ აგებული ბეტონის მრუდი არამოდულარულია, ეს ნიშნავს, რომ ის არ არსებობს. აქედან გამომდინარეობს დასკვნა: არ არსებობს ფერმას განტოლების მთელი რიცხვითი ამოხსნა და, შესაბამისად, WTF მართალია.

ამ არგუმენტებში არის ერთი სუსტი რგოლი, რომელიც დეტალური შემოწმების შემდეგ შეცდომად გამოდის. ეს შეცდომა დაშვებულია მტკიცების პროცესის მეორე ეტაპზე, როდესაც ვარაუდობენ, რომ ფერმას განტოლების ჰიპოთეტური ამოხსნა არის ასევე მესამე ხარისხის ალგებრული განტოლების ამოხსნა, რომელიც აღწერს ცნობილი ფორმის ელიფსურ მრუდს. თავისთავად, ასეთი ვარაუდი გამართლებული იქნებოდა, თუ მითითებული მრუდი მართლაც ელიფსური იქნებოდა. თუმცა, როგორც ჩანს პუნქტიდან 1a), ეს მრუდი წარმოდგენილია არაწრფივი კოორდინატებით, რაც მას „ილუზიურს“ ხდის, ე.ი. ნამდვილად არ არსებობს ხაზოვან ტოპოლოგიურ სივრცეში.

ახლა ჩვენ გვჭირდება მკაფიოდ კლასიფიცირებული აღმოჩენილი შეცდომა. ის მდგომარეობს იმაში, რომ მტკიცების არგუმენტად მოყვანილია ის, რაც დასამტკიცებელია. კლასიკურ ლოგიკაში ეს შეცდომა ცნობილია როგორც "მანკიერი წრე". ამ შემთხვევაში, ფერმას განტოლების მთელი რიცხვის ამონახსნი შედარებულია (როგორც ჩანს, ცალსახად) ფიქტიურ, არარსებულ ელიფსურ მრუდთან, შემდეგ კი შემდგომი მსჯელობის მთელი პათოსი მიდის იმის დასამტკიცებლად, რომ მიღებულია ამ ფორმის კონკრეტული ელიფსური მრუდი. ფერმას განტოლების ჰიპოთეტური ამონახსნებიდან, არ არსებობს.

როგორ მოხდა, რომ ასეთი ელემენტარული შეცდომა გამოტოვეს სერიოზულ მათემატიკურ ნაშრომში? ალბათ, ეს მოხდა იმის გამო, რომ ამ ტიპის "ილუზიური" გეომეტრიული ფიგურები ადრე არ იყო შესწავლილი მათემატიკაში. მართლაც, ვინ შეიძლება იყოს დაინტერესებული, მაგალითად, ფერმას განტოლებიდან მიღებული ფიქტიური წრე x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C ცვლადების შეცვლით? ყოველივე ამის შემდეგ, მის განტოლებას C 2 = A 2 + B 2 არ აქვს მთელი რიცხვი x, y, z და n ≥ 3. არაწრფივი კოორდინატთა ღერძებში X და Y, ასეთი წრე აღწერილი იქნება განტოლებით, რომელიც ძალიან ჰგავს სტანდარტულ ფორმას:

Y 2 \u003d - (X - A) (X + B),

სადაც A და B აღარ არის ცვლადები, არამედ ზემოაღნიშნული ჩანაცვლებით განსაზღვრული კონკრეტული რიცხვები. მაგრამ თუ A და B რიცხვებს მიენიჭებათ თავდაპირველი ფორმა, რომელიც შედგება მათი სიმძლავრის ხასიათში, მაშინ განტოლების მარჯვენა მხარეს ფაქტორებში აღნიშვნის ჰეტეროგენულობა მაშინვე იპყრობს თვალს. ეს ნიშანი ეხმარება განასხვავოს ილუზია რეალობისგან და გადავიდეს არაწრფივიდან წრფივ კოორდინატებზე. მეორეს მხრივ, თუ რიცხვებს განვიხილავთ, როგორც ოპერატორებს ცვლადებთან შედარებისას, როგორც მაგალითად (1), მაშინ ორივე უნდა იყოს ერთგვაროვანი სიდიდეები, ე.ი. უნდა ჰქონდეს იგივე ხარისხი.

რიცხვების, როგორც ოპერატორების ძალაუფლების ასეთი გაგება ასევე შესაძლებელს ხდის დავინახოთ, რომ ფერმას განტოლების შედარება მოჩვენებით ელიფსურ მრუდთან არ არის ცალსახა. აიღეთ, მაგალითად, ერთ-ერთი ფაქტორი (5)-ის მარჯვენა მხარეს და გააფართოვეთ იგი p წრფივ ფაქტორებად r რთული რიცხვის შემოღებით, რომ r p = 1 (იხ. მაგალითად):

ξ p + u p = (ξ + u)(ξ + რ u)(ξ + r 2 u)...(ξ + r p-1 u) (6)

მაშინ ფორმა (5) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც რთული რიცხვების პირველ ფაქტორებად დაშლა ალგებრული იდენტობის ტიპის მიხედვით (6), თუმცა ასეთი დაშლის უნიკალურობა ზოგად შემთხვევაში საეჭვოა, რაც ერთხელ კუმერმა აჩვენა. .

2. დასკვნები

წინა ანალიზიდან გამომდინარეობს, რომ ეგრეთ წოდებულ ელიფსური მრუდების არითმეტიკას არ შეუძლია ნათელი მოჰფინოს იმაზე, თუ სად უნდა ვეძებოთ WTF-ის მტკიცებულება. სამუშაოს შემდეგ, ფერმას განცხადება, სხვათა შორის, ამ სტატიის ეპიგრაფად აღქმული, დაიწყო აღქმა, როგორც ისტორიული ხუმრობა ან პრაქტიკული ხუმრობა. თუმცა, სინამდვილეში ირკვევა, რომ ხუმრობდა არა ფერმატი, არამედ ექსპერტები, რომლებიც შეიკრიბნენ 1984 წელს გერმანიაში, ობერვოლფახში, მათემატიკურ სიმპოზიუმზე, რომელზეც გ. ფრეიმ თავისი მახვილგონივრული აზრი გააჟღერა. ასეთი უყურადღებო განცხადების შედეგებმა მთლიანად მათემატიკა მიიყვანა საზოგადოების ნდობის დაკარგვის ზღვარზე, რაც დეტალურად არის აღწერილი და რაც აუცილებლად აჩენს მეცნიერების წინაშე საზოგადოების წინაშე სამეცნიერო ინსტიტუტების პასუხისმგებლობის საკითხს. ფერმას განტოლების დახატვა ფრეის მრუდთან (1) არის უილზის მთელი მტკიცებულების „საკეტი“ ფერმას თეორემასთან მიმართებაში და თუ არ არის შესაბამისობა ფერმას მრუდსა და მოდულურ ელიფსურ მრუდებს შორის, მაშინ არ არსებობს არც მტკიცებულება.

ბოლო დროს ინტერნეტში გავრცელდა სხვადასხვა ცნობები იმის შესახებ, რომ ზოგიერთმა გამოჩენილმა მათემატიკოსმა საბოლოოდ გაარკვია უილსის მიერ ფერმას თეორემის მტკიცებულება, რაც მას საბაბს აძლევდა ევკლიდეს სივრცეში მთელი რიცხვების "მინიმალური" ხელახალი გამოთვლის სახით. თუმცა, ვერც ერთი ინოვაცია ვერ გააუქმებს კაცობრიობის უკვე მიღებულ კლასიკურ შედეგებს მათემატიკაში, კერძოდ, ის ფაქტი, რომ მიუხედავად იმისა, რომ ნებისმიერი რიგითი რიცხვი ემთხვევა მის რაოდენობრივ კოლეგას, ის ვერ იქნება მისი შემცვლელი რიცხვების ერთმანეთთან შედარების ოპერაციებში და, შესაბამისად, გარდაუვალად მოჰყვება დასკვნა, რომ ფრეის მრუდი (1) თავდაპირველად არ არის ელიფსური, ე.ი. არ არის განსაზღვრებით.

ბიბლიოგრაფია:

1. ივლიევი იუ.ა. ფერმას ბოლო თეორემის მშობლიური მტკიცებულების რეკონსტრუქცია - ერთიანი სამეცნიერო ჟურნალი (ნაწილი „მათემატიკა“). 2006 წლის აპრილი No. 7 (167) გვ.3-9, აგრეთვე იხილეთ ინფორმატიზაციის საერთაშორისო აკადემიის ლუგანსკის ფილიალის პრაცი. უკრაინის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტრო. შიდნუკრაინის ეროვნული უნივერსიტეტის სახელობის. ვ.დალი. 2006 No2 (13) გვ.19-25.
2. ივლიევი იუ.ა. მე-20 საუკუნის უდიდესი მეცნიერული თაღლითობა: ფერმას ბოლო თეორემის „მტკიცებულება“ - საბუნებისმეტყველო და ტექნიკური მეცნიერებები (განყოფილება „მათემატიკის ისტორია და მეთოდოლოგია“). 2007 წლის აგვისტო No4 (30) გვ.34-48.
3. Edwards G. (Edwards H.M.) ფერმას ბოლო თეორემა. გენეტიკური შესავალი რიცხვების ალგებრულ თეორიაში. პერ. ინგლისურიდან. რედ. ბ.ფ.სკუბენკო. M.: Mir 1980, 484 გვ.
4. Hellegouarch Y. Points d'ordre 2p h sur les courbes elliptiques - Acta Arithmetica. 1975 XXVI გვ.253-263.
5. Wiles A. მოდულური ელიფსური მრუდები და ფერმას ბოლო თეორემა - მათემატიკის ანალები. მაისი 1995 წ.141 მეორე სერია No3 გვ.443-551.

ბიბლიოგრაფიული ბმული

ივლიევი იუ.ა. უაილსის მცდარი მტკიცებულება ფერმატის დიდი თეორემის // ფუნდამენტური კვლევა. - 2008. - No 3. - გვ 13-16;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (წვდომის თარიღი: 09/25/2019). თქვენს ყურადღებას ვაქცევთ გამომცემლობა "ბუნების ისტორიის აკადემიის" მიერ გამოცემულ ჟურნალებს.

პიერ დე ფერმა, კითხულობდა დიოფანტე ალექსანდრიელის „არითმეტიკას“ და ასახავდა მის პრობლემებს, ჩვევად ჰქონდა ჩაეწერა თავისი ასახვის შედეგები წიგნის მინდვრებში მოკლე შენიშვნების სახით. წიგნის მინდვრებში დიოფანტის მერვე პრობლემის წინააღმდეგ ფერმა დაწერა: ” პირიქით, შეუძლებელია არც კუბის დაშლა ორ კუბად, არც ორკუთხედის ორ კვადრატად და, ზოგადად, არც ერთი ხარისხის კვადრატზე დიდი ორ ხარისხად ერთი და იგივე მაჩვენებლის მქონე. მე აღმოვაჩინე ამის მართლაც საოცარი მტკიცებულება, მაგრამ ეს ზღვარი ძალიან ვიწროა ამისთვის.» / E.T.Bell "მათემატიკის შემქმნელები". მ., 1979, გვ.69/. თქვენს ყურადღებას ვაქცევ ფერმის თეორემის ელემენტარულ დადასტურებას, რომლის გაგებაც მათემატიკის მოყვარული საშუალო სკოლის მოსწავლეს შეუძლია.

შევადაროთ ფერმას კომენტარი დიოფანტინე პრობლემის შესახებ ფერმას დიდი თეორემის თანამედროვე ფორმულირებას, რომელსაც განტოლების ფორმა აქვს.
« განტოლება

x n + y n = z n(სადაც n არის ორზე მეტი მთელი რიცხვი)

არ აქვს ამონახსნები დადებით რიცხვებში»

კომენტარი ლოგიკურ კავშირშია ამოცანასთან, მსგავსია პრედიკატის ლოგიკური კავშირი სუბიექტთან. რასაც ადასტურებს დიოფანტეს პრობლემა, პირიქით, ადასტურებს ფერმას კომენტარი.

ფერმას კომენტარი შეიძლება შემდეგნაირად იქნას განმარტებული: თუ კვადრატულ განტოლებას სამი უცნობით აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა პითაგორას რიცხვების ყველა სამეულზე, მაშინ, პირიქით, განტოლება სამი უცნობით კვადრატზე დიდი ხარისხით.

განტოლებაში მისი კავშირის შესახებ დიოფანტინის პრობლემასთან მინიშნებაც კი არ არის. მისი მტკიცება მოითხოვს მტკიცებულებას, მაგრამ მას არ აქვს პირობა, საიდანაც გამომდინარეობს, რომ მას არ აქვს ამონახსნები დადებით რიცხვებში.

ჩემთვის ცნობილი განტოლების დადასტურების ვარიანტები დაყვანილია შემდეგ ალგორითმზე.

1. მის დასკვნად აღებულია ფერმას თეორემის განტოლება, რომლის მართებულობა მოწმდება მტკიცების დახმარებით.
2. იგივე განტოლება ეწოდება ორიგინალურიგანტოლება, საიდანაც მისი დადასტურება უნდა მოხდეს.

შედეგი არის ტავტოლოგია: თუ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები დადებით რიცხვებში, მაშინ მას არ აქვს ამონახსნები დადებით რიცხვებში.ტავტოლოგიის მტკიცებულება აშკარად მცდარი და ყოველგვარ აზრს მოკლებულია. მაგრამ ეს დასტურდება წინააღმდეგობით.

• კეთდება ვარაუდი, რომელიც საპირისპიროა დასამტკიცებელი განტოლებით. ეს არ უნდა ეწინააღმდეგებოდეს თავდაპირველ განტოლებას, მაგრამ ასეა. იმის დამტკიცება, რაც მიღებულია მტკიცების გარეშე, და მტკიცების გარეშე მიღება, რისი დამტკიცება არის საჭირო, აზრი არ აქვს.
• მიღებული ვარაუდიდან გამომდინარე, სრულდება აბსოლუტურად სწორი მათემატიკური მოქმედებები და მოქმედებები იმის დასამტკიცებლად, რომ იგი ეწინააღმდეგება თავდაპირველ განტოლებას და მცდარია.

ამიტომ, უკვე 370 წელია, ფერმას ბოლო თეორემის განტოლების დადასტურება სპეციალისტებისა და მათემატიკის მოყვარულთა შეუძლებელ ოცნებად რჩება.

განტოლება ავიღე როგორც თეორემის დასკვნა, ხოლო დიოფანტის მერვე ამოცანა და მისი განტოლება თეორემის პირობად.

„თუ განტოლება x 2 + y 2 = z 2 (1) აქვს ამონახსნების უსასრულო ნაკრები პითაგორას რიცხვების ყველა სამეულზე, შემდეგ კი, პირიქით, განტოლება x n + y n = z n , სად n > 2 (2) არ აქვს ამონახსნები დადებითი მთელი რიცხვების სიმრავლეზე."

მტკიცებულება.

მაგრამ)ყველამ იცის, რომ განტოლებას (1) აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა პითაგორას რიცხვების ყველა სამეულზე. დავამტკიცოთ, რომ პითაგორას რიცხვებიდან არცერთი სამეული, რომელიც არის (1) განტოლების ამონახსნი, არ არის (2) განტოლების ამონახსნი.

თანასწორობის შექცევადობის კანონის საფუძველზე, (1) განტოლების მხარეები ერთმანეთს ენაცვლება. პითაგორას რიცხვები (z, x, y) შეიძლება განიმარტოს, როგორც მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების სიგრძე და კვადრატები (x2, y2, z2) შეიძლება განიმარტოს, როგორც მის ჰიპოტენუზასა და ფეხებზე აგებული კვადრატების არეები.

ჩვენ ვამრავლებთ (1) განტოლების კვადრატებს თვითნებურ სიმაღლეზე თ :

z 2 სთ = x 2 სთ + y 2 სთ (3)

განტოლება (3) შეიძლება განიმარტოს, როგორც პარალელეპიპედის მოცულობის ტოლობა ორი პარალელეპიპედის მოცულობის ჯამს.

მოდით სამი პარალელეპიპედის სიმაღლე h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

კუბის მოცულობა იშლება ორი პარალელეპიპედის ორ ტომად. ჩვენ ვტოვებთ კუბის მოცულობას უცვლელად და ვამცირებთ პირველი პარალელეპიპედის სიმაღლეს x ხოლო მეორე პარალელეპიპედის სიმაღლე შემცირდება წ . კუბის მოცულობა აღემატება ორი კუბის მოცულობის ჯამს:

z 3 > x 3 + y 3 (5)

პითაგორას რიცხვების სამეულების სიმრავლეზე ( x, y, z ) ზე n=3 არ შეიძლება იყოს (2) განტოლების ამონახსნი. შესაბამისად, პითაგორას რიცხვების ყველა სამეულის სიმრავლეზე შეუძლებელია კუბის ორ კუბად დაშლა.

განტოლებაში (3) მივცეთ სამი პარალელეპიპედის სიმაღლე h = z2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

პარალელეპიპედის მოცულობა იშლება ორი პარალელეპიპედის მოცულობის ჯამად.
ჩვენ ვტოვებთ (6) განტოლების მარცხენა მხარეს უცვლელად. მის მარჯვენა მხარეს სიმაღლე z2 შემცირებამდე X პირველ ვადაში და მდე 2-ზე მეორე ვადით.

განტოლება (6) გადაიქცა უტოლობად:

პარალელეპიპედის მოცულობა იშლება ორი პარალელეპიპედის ორ ტომად.

(8) განტოლების მარცხენა მხარეს უცვლელად ვტოვებთ.
სიმაღლის მარჯვენა მხარეს zn-2 შემცირებამდე xn-2 პირველ ვადაში და შემცირდეს y n-2 მეორე ვადით. განტოლება (8) გადაიქცევა უტოლობად:

z n > x n + y n

(9)

პითაგორას რიცხვების სამეულების სიმრავლეზე არ შეიძლება იყოს (2) განტოლების ერთი ამონახსნი.

შესაბამისად, პითაგორას ყველა სამეულის სიმრავლეზე ყველასთვის n > 2 განტოლებას (2) არ აქვს ამონახსნები.

მიღებული "პოსტ სასწაულებრივი მტკიცებულება", მაგრამ მხოლოდ სამეულისთვის პითაგორას რიცხვები. Ეს არის მტკიცებულებების ნაკლებობადა პ.ფერმას მისგან უარის თქმის მიზეზი.

ბ)მოდით დავამტკიცოთ, რომ განტოლებას (2) არ აქვს ამონახსნები არაპითაგორული რიცხვების სამეულების სიმრავლეზე, რომელიც არის პითაგორას რიცხვების თვითნებურად აღებული სამეულის ოჯახი. z=13, x=12, y=5 და დადებითი მთელი რიცხვების თვითნებური სამეულის ოჯახი z=21, x=19, y=16

რიცხვების ორივე სამეული მათი ოჯახის წევრებია:

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

ოჯახის წევრების რაოდენობა (10) და (11) უდრის ნამრავლის ნახევარს 13 12-ზე და 21-ის 20-ზე, ანუ 78 და 210.

ოჯახის თითოეული წევრი (10) შეიცავს z = 13 და ცვლადები X და ზე 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1

ოჯახის თითოეული წევრი (11) შეიცავს z = 21 და ცვლადები X და ზე , რომლებიც იღებენ მთელ რიცხვებს 21 > x > 0 , 21 > y > 0 . ცვლადები თანმიმდევრულად მცირდება 1 .

(10) და (11) მიმდევრობის რიცხვების სამეულები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მესამე ხარისხის უტოლობების მიმდევრობით:

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

და მეოთხე ხარისხის უტოლობების სახით:

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

თითოეული უტოლობის სისწორე მოწმდება რიცხვების მესამე და მეოთხე ხარისხებამდე აწევით.

დიდი რიცხვის კუბი არ შეიძლება დაიშალოს ორ პატარა კუბად. ეს არის ან ნაკლები ან მეტი, ვიდრე ორი მცირე რიცხვის კუბების ჯამი.

დიდი რიცხვის ორ კვადრატი არ შეიძლება დაიშალოს პატარა რიცხვების ორ ორ კვადრატად. ეს არის ან ნაკლები ან მეტი, ვიდრე მცირე რიცხვების ორ კვადრატების ჯამი.

მაჩვენებლის მატებასთან ერთად, ყველა უტოლობას, გარდა ყველაზე მარცხენა უტოლობისა, აქვს იგივე მნიშვნელობა:

უტოლობებს, მათ ყველა ერთი და იგივე მნიშვნელობა აქვს: უფრო დიდი რიცხვის ხარისხი მეტია, ვიდრე ერთი და იგივე მაჩვენებლის მქონე პატარა ორი რიცხვის გრადუსების ჯამი:

	13n > 12n + 12n; 13n > 12n + 11n ;…; 13n > 7n + 4n ;…; 13n > 1n + 1n	(12)
	21n > 20n + 20n; 21n > 20n + 19n ;…; ;…; 21n > 1n + 1n	(13)

მიმდევრობების ყველაზე მარცხენა წევრი (12) (13) არის ყველაზე სუსტი უტოლობა. მისი სისწორე განსაზღვრავს (12) მიმდევრობის ყველა შემდგომი უტოლობის სისწორეს n > 8 და თანმიმდევრობა (13) ამისთვის n > 14 .

მათ შორის თანასწორობა არ შეიძლება იყოს. დადებითი მთელი რიცხვების თვითნებური სამმაგი (21,19,16) არ არის ფერმას ბოლო თეორემის (2) განტოლების ამოხსნა. თუ დადებითი მთელი რიცხვების თვითნებური სამმაგი არ არის განტოლების ამონახსნი, მაშინ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები დადებითი მთელი რიცხვების სიმრავლეზე, რაც უნდა დადასტურდეს.

თან)ფერმას კომენტარში დიოფანტეს პრობლემაზე ნათქვამია, რომ მისი დაშლა შეუძლებელია. ზოგადად, კვადრატზე მეტი სიმძლავრე არ არის, ორი ძალა ერთი და იგივე მაჩვენებლით».

კოცნაკვადრატზე მეტი სიმძლავრე ნამდვილად არ შეიძლება დაიშალოს ორ ხარისხად ერთი და იგივე მაჩვენებლით. არ ვკოცნიკვადრატზე მეტი სიმძლავრე შეიძლება დაიშალოს ორ ხარისხად ერთი და იგივე მაჩვენებლით.

დადებითი მთელი რიცხვების ნებისმიერი შემთხვევით არჩეული სამეული (z, x, y) შეიძლება ეკუთვნოდეს ოჯახს, რომლის თითოეული წევრი შედგება მუდმივი რიცხვისგან ზ და ორი რიცხვით ნაკლები ზ . ოჯახის თითოეული წევრი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უტოლობის სახით და ყველა მიღებული უტოლობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უტოლობათა თანმიმდევრობით:

z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1n + 1n

(14)

უტოლობების მიმდევრობა (14) იწყება უტოლობებით, რომელთა მარცხენა მხარე ნაკლებია მარჯვენა მხარეს და მთავრდება უტოლობებით, რომელთა მარჯვენა მხარე ნაკლებია მარცხენა მხარეს. მზარდი მაჩვენებლით n > 2 უტოლობების რაოდენობა (14) მიმდევრობის მარჯვენა მხარეს იზრდება. მაჩვენებლით n=k მიმდევრობის მარცხენა მხარის ყველა უტოლობა ცვლის მნიშვნელობას და იღებს (14) მიმდევრობის უტოლობების მარჯვენა მხარის უტოლობათა მნიშვნელობას. ყველა უტოლობის მაჩვენებლის გაზრდის შედეგად, მარცხენა მხარე მეტია მარჯვენა მხარეს:

z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; zk > 2k + 1k; zk > 1k + 1k

(15)

მაჩვენებლის შემდგომი ზრდით n>k არცერთი უთანასწორობა არ ცვლის თავის მნიშვნელობას და არ გადადის თანასწორობაში. ამის საფუძველზე შეიძლება ითქვას, რომ დადებითი მთელი რიცხვების ნებისმიერი თვითნებურად აღებული სამმაგი (z, x, y) ზე n > 2 , z > x , z > y

დადებითი მთელი რიცხვების თვითნებურ სამეულში ზ შეიძლება იყოს თვითნებურად დიდი ბუნებრივი რიცხვი. ყველა ნატურალური რიცხვისთვის არაუმეტეს ზ , დადასტურებულია ფერმას ბოლო თეორემა.

დ)რაც არ უნდა დიდი რიცხვი იყოს ზ , რიცხვების ბუნებრივ სერიაში მის წინ არის მთელი რიცხვების დიდი, მაგრამ სასრული სიმრავლე, ხოლო მის შემდეგ არის უსასრულო რიცხვების სიმრავლე.

დავამტკიცოთ, რომ ნატურალური რიცხვების მთელი უსასრულო სიმრავლე მეტია ზ , ჩამოაყალიბეთ რიცხვების სამეული, რომლებიც არ არიან ფერმას ბოლო თეორემის განტოლების ამონახსნები, მაგალითად, დადებითი მთელი რიცხვების თვითნებური სამმაგი. (z+1,x,y) , სადაც z + 1 > x და z + 1 > y მაჩვენებლის ყველა მნიშვნელობისთვის n > 2 არ არის გამოსავალი ფერმას ბოლო თეორემის განტოლებისთვის.

დადებითი მთელი რიცხვების შემთხვევით არჩეული სამეული (z + 1, x, y) შეიძლება მიეკუთვნებოდეს რიცხვთა სამმაგთა ოჯახს, რომლის თითოეული წევრი შედგება მუდმივი რიცხვისგან z + 1 და ორი ნომერი X და ზე , სხვადასხვა მნიშვნელობების აღება, უფრო მცირე z + 1 . ოჯახის წევრები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც უტოლობები, რომელთა მუდმივი მარცხენა მხარე ნაკლებია ან მეტია ვიდრე მარჯვენა მხარე. უტოლობები შეიძლება დალაგდეს უტოლობების თანმიმდევრობით:

მაჩვენებლის შემდგომი ზრდით n>k უსასრულობამდე, (17) მიმდევრობის არცერთი უტოლობა არ ცვლის თავის მნიშვნელობას და არ ხდება ტოლობა. თანმიმდევრობით (16), უტოლობა წარმოიქმნება დადებითი მთელი რიცხვების თვითნებურად აღებული სამმაგიდან. (z + 1, x, y) , შეიძლება იყოს მის მარჯვენა მხარეს სახით (z + 1) n > x n + y n ან იყოს მის მარცხენა მხარეს ფორმაში (z+1)n< x n + y n .

ნებისმიერ შემთხვევაში, დადებითი მთელი რიცხვების სამმაგი (z + 1, x, y) ზე n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y (16) თანმიმდევრობით არის უტოლობა და არ შეიძლება იყოს ტოლობა, ანუ ის არ შეიძლება იყოს გამოსავალი ფერმას ბოლო თეორემის განტოლებისთვის.

ადვილი და მარტივია იმის გაგება, თუ რა წარმომავლობა აქვს ძალაუფლების უტოლობების მიმდევრობას (16), რომელშიც მარცხენა მხარის ბოლო უტოლობა და მარჯვენა მხარის პირველი უტოლობა საპირისპირო აზრის უტოლობებია. პირიქით, სკოლის მოსწავლეებისთვის, საშუალო სკოლის სტუდენტებისთვის და სკოლის სტუდენტებისთვის ადვილი და რთული არ არის იმის გაგება, თუ როგორ იქმნება უტოლობების (17) თანმიმდევრობა უტოლობების მიმდევრობიდან (16), რომელშიც ყველა უტოლობას ერთი და იგივე მნიშვნელობა აქვს.

(16) თანმიმდევრობით, უტოლობათა მთელი რიცხვის ხარისხის 1-ით გაზრდა აქცევს ბოლო უტოლობას მარცხენა მხარეს საპირისპირო მნიშვნელობის პირველ უტოლობად მარჯვენა მხარეს. ამრიგად, მიმდევრობის მეცხრე მხარეს უტოლობების რაოდენობა მცირდება, მარჯვენა მხარეს კი უტოლობა იზრდება. საპირისპირო მნიშვნელობის ბოლო და პირველ ძალაუფლების უტოლობას შორის არის ძალაუფლების თანასწორობა უშეცდომოდ. მისი ხარისხი არ შეიძლება იყოს მთელი რიცხვი, რადგან ორ ზედიზედ ნატურალურ რიცხვს შორის არის მხოლოდ არამთლიანი რიცხვები. არამთლიანი ხარისხის სიმძლავრის ტოლობა, თეორემის პირობის მიხედვით, არ შეიძლება ჩაითვალოს (1) განტოლების ამოხსნად.

თუ მიმდევრობით (16) გავაგრძელებთ ხარისხის გაზრდას 1 ერთეულით, მაშინ მისი მარცხენა მხარის ბოლო უტოლობა გადაიქცევა მარჯვენა მხარის საპირისპირო მნიშვნელობის პირველ უტოლობად. შედეგად, არ იქნება უტოლობები მარცხენა მხარეს და მხოლოდ უტოლობები მარჯვენა მხარეს, რაც იქნება ძალაუფლების უტოლობების გაზრდის თანმიმდევრობა (17). მათი მთელი ხარისხის შემდგომი ზრდა 1 ერთეულით მხოლოდ აძლიერებს მის სიმძლავრის უტოლობას და კატეგორიულად გამორიცხავს თანასწორობის შესაძლებლობას მთელ რიცხვში.

მაშასადამე, ზოგადად, სიმძლავრის უტოლობების (17) მიმდევრობის ნატურალური რიცხვის (z+1) არც ერთი მთელი რიცხვი არ შეიძლება დაიშალოს ორ მთელ ხარისხად ერთი და იგივე მაჩვენებლით. მაშასადამე, განტოლებას (1) არ აქვს ამონახსნები ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლეზე, რაც დასამტკიცებელი იყო.

მაშასადამე, ფერმას ბოლო თეორემა დადასტურებულია მთლიანობაში:

• განყოფილებაში A) ყველა სამეულისთვის (z, x, y) პითაგორას რიცხვები (ფერმატის აღმოჩენა მართლაც სასწაულებრივი მტკიცებულებაა),
• C განყოფილებაში) ნებისმიერი სამეულის ოჯახის ყველა წევრისთვის (z, x, y) პითაგორას რიცხვები,
• განყოფილებაში C) რიცხვების ყველა სამეულისთვის (z, x, y) , არა დიდი რაოდენობით ზ
• დ განყოფილებაში) ყველა სამეული რიცხვისთვის (z, x, y) რიცხვების ბუნებრივი სერია.

ცვლილებები განხორციელდა 05.09.2010წ

რომელი თეორემები შეიძლება და რომელი ვერ დადასტურდება წინააღმდეგობით

მათემატიკური ტერმინების განმარტებითი ლექსიკონი განსაზღვრავს მტკიცებულებას შებრუნებული თეორემის საპირისპირო თეორემის წინააღმდეგობით.

„დაპირისპირებით მტკიცება არის თეორემის (წინადადების) დადასტურების მეთოდი, რომელიც შედგება არა თავად თეორემის, არამედ მისი ეკვივალენტის (ექვივალენტის), საპირისპირო ინვერსიის (საპირისპირო) თეორემის დამტკიცებაში. წინააღმდეგობრივი მტკიცება გამოიყენება მაშინ, როდესაც პირდაპირი თეორემა ძნელი დასამტკიცებელია, მაგრამ საპირისპირო ინვერსია უფრო ადვილია. წინააღმდეგობით მტკიცებისას თეორემის დასკვნა იცვლება მისი უარყოფით და მსჯელობით მიდის პირობის უარყოფამდე, ე.ი. წინააღმდეგობამდე, საპირისპიროდ (მოცემულის საპირისპირო; ეს აბსურდულობამდე დაყვანა ამტკიცებს თეორემას.

წინააღმდეგობრივი მტკიცებულება ძალიან ხშირად გამოიყენება მათემატიკაში. წინააღმდეგობრივი მტკიცებულება ეფუძნება გამორიცხული შუალედის კანონს, რომელიც მდგომარეობს იმაში, რომ ორი დებულებიდან (განცხადებები) A და A (A-ს უარყოფა) ერთი ჭეშმარიტია, მეორე კი მცდარი./ მათემატიკური ტერმინების განმარტებითი ლექსიკონი: სახელმძღვანელო მასწავლებლებისთვის / ო. ვ. მანტუროვი [და სხვები]; რედ. ვ.ა.დიტკინა.- მ.: განმანათლებლობა, 1965.- 539გვ.: ill.-C.112/.

არ ჯობია ღიად განვაცხადოთ, რომ წინააღმდეგობით მტკიცების მეთოდი მათემატიკური მეთოდი არ არის, თუმცა მათემატიკაში გამოიყენება, რომ ის ლოგიკური მეთოდია და ეკუთვნის ლოგიკას. მართებულია თუ არა იმის თქმა, რომ წინააღმდეგობით მტკიცებულება „გამოიყენება მაშინ, როცა პირდაპირი თეორემა ძნელი დასამტკიცებელია“, მაშინ როცა სინამდვილეში ის გამოიყენება, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი შემცვლელი არ არსებობს.

ასევე განსაკუთრებულ ყურადღებას იმსახურებს პირდაპირი და შებრუნებული თეორემების ურთიერთობის მახასიათებელი. „შებრუნებული თეორემა მოცემული თეორემისთვის (ან მოცემული თეორემისთვის) არის თეორემა, რომელშიც პირობა არის დასკვნა და დასკვნა არის მოცემული თეორემის პირობა. ამ თეორემას საპირისპირო თეორემასთან მიმართებაში პირდაპირი თეორემა (საწყისი) ეწოდება. ამავე დროს, საპირისპირო თეორემა იქნება მოცემული თეორემა; ამიტომ პირდაპირ და ინვერსიულ თეორემებს ურთიერთშებრუნებული ეწოდება. თუ პირდაპირი (მოცემული) თეორემა ჭეშმარიტია, მაშინ საპირისპირო თეორემა ყოველთვის არ არის ჭეშმარიტი. მაგალითად, თუ ოთხკუთხედი არის რომბი, მაშინ მისი დიაგონალები ორმხრივი პერპენდიკულურია (პირდაპირი თეორემა). თუ ოთხკუთხედში დიაგონალები ერთმანეთის პერპენდიკულარულია, მაშინ ოთხკუთხედი არის რომბი - ეს არ არის ჭეშმარიტი, ანუ საპირისპირო თეორემა არ არის ჭეშმარიტი./ მათემატიკური ტერმინების განმარტებითი ლექსიკონი: სახელმძღვანელო მასწავლებლებისთვის / ო. ვ. მანტუროვი [და სხვები]; რედ. ვ.ა.დიტკინა.- მ.: განმანათლებლობა, 1965.- 539 გვ.: ill.-C.261 /.

პირდაპირი და ინვერსიული თეორემების ურთიერთკავშირის ეს დახასიათება არ ითვალისწინებს იმ ფაქტს, რომ პირდაპირი თეორემის პირობა მიღებულია როგორც მოცემული, მტკიცებულების გარეშე, ისე, რომ მისი სისწორე არ არის გარანტირებული. შებრუნებული თეორემის პირობა არ არის მიღებული როგორც მოცემული, რადგან ეს არის დადასტურებული პირდაპირი თეორემის დასკვნა. მის სისწორეს პირდაპირი თეორემის მტკიცებულება ადასტურებს. ეს არსებითი ლოგიკური განსხვავება პირდაპირი და შებრუნებული თეორემების პირობებს შორის გადამწყვეტი აღმოჩნდება იმ საკითხში, თუ რომელი თეორემები შეიძლება და რომელი არ შეიძლება დადასტურდეს ლოგიკური მეთოდით პირიქით.

დავუშვათ, რომ მხედველობაში არის პირდაპირი თეორემა, რომლის დამტკიცებაც ჩვეულებრივი მათემატიკური მეთოდით არის შესაძლებელი, მაგრამ რთულია. ჩვენ ვაყალიბებთ მას ზოგადი ფორმით მოკლე ფორმით შემდეგნაირად: დან მაგრამუნდა ე . სიმბოლო მაგრამ აქვს თეორემის მოცემული პირობის მნიშვნელობა, მიღებული მტკიცების გარეშე. სიმბოლო ე არის დასამტკიცებელი თეორემის დასკვნა.

ჩვენ დავამტკიცებთ პირდაპირ თეორემას წინააღმდეგობით, ლოგიკურიმეთოდი. ლოგიკური მეთოდი ადასტურებს თეორემას, რომელსაც აქვს არა მათემატიკურიმდგომარეობა და ლოგიკურიმდგომარეობა. მისი მიღება შესაძლებელია თუ თეორემის მათემატიკური პირობა დან მაგრამუნდა ე , დამატება საპირისპირო პირობით დან მაგრამარ გააკეთო ეს ე .

შედეგად, მიღებული იქნა ახალი თეორემის ლოგიკური წინააღმდეგობრივი პირობა, რომელიც მოიცავს ორ ნაწილს: დან მაგრამუნდა ე და დან მაგრამარ გააკეთო ეს ე . ახალი თეორემის შედეგად მიღებული პირობა შეესაბამება გამორიცხული შუალედურის ლოგიკურ კანონს და შეესაბამება თეორემის წინააღმდეგობით დამტკიცებას.

კანონის მიხედვით, ურთიერთგამომრიცხავი პირობის ერთი ნაწილი მცდარია, მეორე ნაწილი მართალია, მესამე კი გამორიცხულია. წინააღმდეგობით მტკიცებას აქვს თავისი ამოცანა და მიზანი, ზუსტად დაადგინოს თეორემის პირობის ორი ნაწილის რომელი ნაწილია მცდარი. როგორც კი პირობის მცდარი ნაწილი დადგინდება, დადგინდება, რომ მეორე ნაწილი ჭეშმარიტი ნაწილია, მესამე კი გამორიცხულია.

მათემატიკური ტერმინების განმარტებითი ლექსიკონის მიხედვით, „მტკიცებულება არის მსჯელობა, რომლის დროსაც დგინდება ნებისმიერი დებულების (განსჯა, განცხადება, თეორემა) ჭეშმარიტება ან სიცრუე“. მტკიცებულება პირიქითმიმდინარეობს დისკუსია, რომლის მსვლელობისას დგინდება სიყალბე(აბსურდულობა) დასკვნის, რომელიც გამომდინარეობს ყალბიდადასტურებული თეორემის პირობები.

მოცემული: დან მაგრამუნდა ედა დან მაგრამარ გააკეთო ეს ე .

დაამტკიცე: დან მაგრამუნდა ე .

მტკიცებულება: თეორემის ლოგიკური პირობა შეიცავს წინააღმდეგობას, რომელიც მოითხოვს მის გადაწყვეტას. პირობის წინააღმდეგობამ თავისი გადაწყვეტა უნდა ნახოს მტკიცებულებაში და მის შედეგში. შედეგი მცდარი აღმოჩნდება, თუ მსჯელობა უნაკლო და უტყუარია. ლოგიკურად სწორი მსჯელობით მცდარი დასკვნის მიზეზი შეიძლება იყოს მხოლოდ ურთიერთგამომრიცხავი პირობა: დან მაგრამუნდა ე და დან მაგრამარ გააკეთო ეს ე .

ეჭვს არ იწვევს, რომ პირობის ერთი ნაწილი მცდარია, მეორე კი ამ შემთხვევაში მართალია. პირობის ორივე ნაწილს აქვს ერთი და იგივე წარმოშობა, მიღებულია როგორც მოცემული, ვარაუდი, თანაბრად შესაძლებელია, თანაბრად დასაშვები და ა.შ. ლოგიკური მსჯელობის დროს არ იქნა ნაპოვნი არც ერთი ლოგიკური თვისება, რომელიც განასხვავებს პირობის ერთ ნაწილს. სხვა. ამიტომ, იმავე ზომით, დან მაგრამუნდა ე და შესაძლოა დან მაგრამარ გააკეთო ეს ე . განცხადება დან მაგრამუნდა ე შესაძლოა ყალბი, შემდეგ განცხადება დან მაგრამარ გააკეთო ეს ე მართალი იქნება. განცხადება დან მაგრამარ გააკეთო ეს ე შეიძლება მცდარი იყოს, მაშინ განცხადება დან მაგრამუნდა ე მართალი იქნება.

აქედან გამომდინარე, შეუძლებელია პირდაპირი თეორემის დამტკიცება წინააღმდეგობრივი მეთოდით.

ახლა ჩვენ დავამტკიცებთ იმავე პირდაპირ თეორემას ჩვეულებრივი მათემატიკური მეთოდით.

მოცემული: მაგრამ .

დაამტკიცე: დან მაგრამუნდა ე .

მტკიცებულება.

1. დან მაგრამუნდა ბ

2. დან ბუნდა AT (ადრე დადასტურებული თეორემის მიხედვით)).

3. დან ATუნდა გ (ადრე დადასტურებული თეორემის მიხედვით).

4. დან გუნდა დ (ადრე დადასტურებული თეორემის მიხედვით).

5. დან დუნდა ე (ადრე დადასტურებული თეორემის მიხედვით).

გარდამავალ კანონზე დაყრდნობით, დან მაგრამუნდა ე . პირდაპირი თეორემა მტკიცდება ჩვეულებრივი მეთოდით.

დაე, დადასტურებულ პირდაპირ თეორემას ჰქონდეს სწორი საპირისპირო თეორემა: დან ეუნდა მაგრამ .

მოდით დავამტკიცოთ ეს ჩვეულებრივი მათემატიკურიმეთოდი. შებრუნებული თეორემის მტკიცებულება შეიძლება გამოიხატოს სიმბოლური ფორმით, როგორც მათემატიკური მოქმედებების ალგორითმი.

მოცემული: ე

დაამტკიცე: დან ეუნდა მაგრამ .

მტკიცებულება.

1. დან ეუნდა დ

2. დან დუნდა გ (ადრე დადასტურებული შებრუნებული თეორემით).

3. დან გუნდა AT (ადრე დადასტურებული შებრუნებული თეორემით).

4. დან ATარ გააკეთო ეს ბ (საპირისპირო არ შეესაბამება სიმართლეს). Ამიტომაც დან ბარ გააკეთო ეს მაგრამ .

ამ სიტუაციაში აზრი არ აქვს შებრუნებული თეორემის მათემატიკური დამტკიცების გაგრძელებას. სიტუაციის მიზეზი ლოგიკურია. არასწორი შებრუნებული თეორემის რაიმეთი ჩანაცვლება შეუძლებელია. მაშასადამე, ეს შებრუნებული თეორემა ვერ დადასტურდება ჩვეულებრივი მათემატიკური მეთოდით. მთელი იმედი არის ამ შებრუნებული თეორემის დამტკიცება წინააღმდეგობით.

წინააღმდეგობებით დასამტკიცებლად საჭიროა მისი მათემატიკური მდგომარეობის შეცვლა ლოგიკური წინააღმდეგობრივი პირობით, რომელიც თავისი მნიშვნელობით შეიცავს ორ ნაწილს - მცდარი და ჭეშმარიტი.

შებრუნებული თეორემაპრეტენზიები: დან ეარ გააკეთო ეს მაგრამ . მისი მდგომარეობა ე , საიდანაც გამომდინარეობს დასკვნა მაგრამ , არის პირდაპირი თეორემის ჩვეულებრივი მათემატიკური მეთოდით დამტკიცების შედეგი. ეს პირობა უნდა შენარჩუნდეს და დაერთოს განცხადება დან ეუნდა მაგრამ . მიმატების შედეგად მიიღება ახალი შებრუნებული თეორემის წინააღმდეგობრივი პირობა: დან ეუნდა მაგრამ და დან ეარ გააკეთო ეს მაგრამ . ამის საფუძველზე ლოგიკურადწინააღმდეგობრივი პირობით, საპირისპირო თეორემა შეიძლება დადასტურდეს სწორი ლოგიკურიმსჯელობა მხოლოდ და მხოლოდ, ლოგიკურისაპირისპირო მეთოდი. წინააღმდეგობრივი მტკიცებულებისას, ნებისმიერი მათემატიკური მოქმედება და მოქმედებები ექვემდებარება ლოგიკურს და, შესაბამისად, არ ითვლება.

წინააღმდეგობრივი განცხადების პირველ ნაწილში დან ეუნდა მაგრამ მდგომარეობა ე დადასტურდა პირდაპირი თეორემის დადასტურებით. მეორე ნაწილში დან ეარ გააკეთო ეს მაგრამ მდგომარეობა ე იყო ვარაუდი და მიღებული მტკიცებულების გარეშე. ერთი მათგანი მცდარია, მეორე კი მართალია. საჭიროა იმის მტკიცება, რომელი მათგანია მცდარი.

ჩვენ ვამტკიცებთ სისწორეს ლოგიკურიმსჯელობა და აღმოაჩენს, რომ მისი შედეგი არის მცდარი, აბსურდული დასკვნა. მცდარი ლოგიკური დასკვნის მიზეზი არის თეორემის წინააღმდეგობრივი ლოგიკური პირობა, რომელიც შეიცავს ორ ნაწილს - მცდარი და ჭეშმარიტი. ყალბი ნაწილი შეიძლება იყოს მხოლოდ განცხადება დან ეარ გააკეთო ეს მაგრამ , სადაც ე მიღებულია მტკიცებულების გარეშე. ეს არის ის, რაც განასხვავებს მას ე განცხადებები დან ეუნდა მაგრამ , რაც დასტურდება პირდაპირი თეორემის დადასტურებით.

მაშასადამე, განცხადება მართალია: დან ეუნდა მაგრამ , რაც დასამტკიცებელი იყო.

დასკვნა: საპირისპიროდან მხოლოდ ის საპირისპირო თეორემა არის დადასტურებული ლოგიკური მეთოდით, რომელსაც აქვს მათემატიკური მეთოდით დადასტურებული პირდაპირი თეორემა და რომელიც მათემატიკური მეთოდით ვერ დადასტურდება.

მიღებული დასკვნა განსაკუთრებულ მნიშვნელობას იძენს ფერმას დიდი თეორემის წინააღმდეგობრივი მტკიცების მეთოდთან მიმართებაში. მისი დამტკიცების მცდელობების დიდი უმრავლესობა ეფუძნება არა ჩვეულებრივ მათემატიკურ მეთოდს, არამედ წინააღმდეგობით დამტკიცების ლოგიკურ მეთოდს. გამონაკლისი არ არის ფერმატ უილზის დიდი თეორემის დადასტურება.

დიმიტრი აბრაოვმა სტატიაში "ფერმას თეორემა: უილსის მტკიცებულებების ფენომენი" გამოაქვეყნა კომენტარი უილსის მიერ ფერმას ბოლო თეორემის დადასტურებაზე. აბრაროვის თანახმად, უილსი ამტკიცებს ფერმას ბოლო თეორემას გერმანელი მათემატიკოსის გერჰარდ ფრეის (დაბ. 1944) გასაოცარი აღმოჩენის დახმარებით, რომელიც აკავშირებს ფერმას განტოლების პოტენციურ ამოხსნას. x n + y n = z n , სად n > 2 , სხვა სრულიად განსხვავებული განტოლებით. ეს ახალი განტოლება მოცემულია სპეციალური მრუდით (ე.წ. ფრეის ელიფსური მრუდი). ფრეის მრუდი მოცემულია ძალიან მარტივი განტოლებით:
.

„სწორედ ფრეიმ შეადარა ყველა გამოსავალს (ა, ბ, გ)ფერმას განტოლება, ანუ მიმართების დამაკმაყოფილებელი რიცხვები a n + b n = c nზემოთ მოყვანილი მრუდი. ამ შემთხვევაში ფერმას ბოლო თეორემა მოჰყვება“.(ციტატა: Abrarov D. "ფერმატის თეორემა: უილსის მტკიცების ფენომენი")

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გერჰარდ ფრეიმ ვარაუდობს, რომ ფერმას ბოლო თეორემის განტოლება x n + y n = z n , სად n > 2 , აქვს ამონახსნები დადებით მთელ რიცხვებში. იგივე ამონახსნები, ფრეის ვარაუდით, მისი განტოლების ამონახსნებია
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , რომელიც მოცემულია მისი ელიფსური მრუდით.

ენდრიუ უილსმა მიიღო ფრეის ეს შესანიშნავი აღმოჩენა და მისი დახმარებით მათემატიკურიმეთოდმა დაამტკიცა, რომ ეს აღმოჩენა, ანუ ფრეის ელიფსური მრუდი, არ არსებობს. მაშასადამე, არ არსებობს განტოლება და მისი ამონახსნები, რომლებიც მოცემულია არარსებული ელიფსური მრუდით, ამიტომ უილსს უნდა დაესკვნა, რომ არ არსებობს ფერმას ბოლო თეორემისა და თავად ფერმას თეორემის განტოლება. თუმცა, ის იღებს უფრო მოკრძალებულ დასკვნას, რომ ფერმას ბოლო თეორემის განტოლებას არ აქვს ამონახსნები დადებით მთელ რიცხვებში.

შეიძლება უდაო ფაქტი იყოს, რომ უილსმა მიიღო ვარაუდი, რომელიც პირდაპირ საპირისპიროა იმ მნიშვნელობით, რაც ნათქვამია ფერმას ბოლო თეორემაში. იგი ავალდებულებს უილსს დაამტკიცოს ფერმას ბოლო თეორემა წინააღმდეგობებით. მივყვეთ მის მაგალითს და ვნახოთ, რა ხდება ამ მაგალითიდან.

ფერმას ბოლო თეორემა ამბობს, რომ განტოლება x n + y n = z n , სად n > 2 , არ აქვს ამონახსნები დადებით მთელ რიცხვებში.

წინააღმდეგობით მტკიცების ლოგიკური მეთოდის მიხედვით, ეს დებულება შენარჩუნებულია, მიიღება როგორც მოცემული მტკიცებულების გარეშე და შემდეგ ავსებს მნიშვნელობით საპირისპირო განცხადებას: განტოლებას. x n + y n = z n , სად n > 2 , აქვს ამონახსნები დადებით მთელ რიცხვებში.

ჰიპოთეზირებული განცხადება ასევე მიღებულია როგორც მოცემული, მტკიცებულების გარეშე. ორივე განცხადება, განხილული ლოგიკის ძირითადი კანონების თვალსაზრისით, თანაბრად დასაშვებია, თანაბარი უფლებებით და თანაბრად შესაძლებელია. სწორი მსჯელობით საჭიროა დადგინდეს, რომელი მათგანია მცდარი, რათა შემდეგ დადგინდეს, რომ სხვა განცხადება არის ჭეშმარიტი.

სწორი მსჯელობა მთავრდება მცდარი, აბსურდული დასკვნით, რომლის ლოგიკური მიზეზი შეიძლება იყოს მხოლოდ დადასტურებული თეორემის წინააღმდეგობრივი პირობა, რომელიც შეიცავს პირდაპირ საპირისპირო მნიშვნელობის ორ ნაწილს. ისინი იყვნენ აბსურდული დასკვნის ლოგიკური მიზეზი, წინააღმდეგობრივი მტკიცების შედეგი.

თუმცა, ლოგიკურად სწორი მსჯელობის დროს, არ იქნა ნაპოვნი არც ერთი ნიშანი, რომლითაც შესაძლებელი იქნებოდა იმის დადგენა, თუ რომელი განცხადებაა მცდარი. ეს შეიძლება იყოს განცხადება: განტოლება x n + y n = z n , სად n > 2 , აქვს ამონახსნები დადებით მთელ რიცხვებში. ამავე საფუძველზე, ეს შეიძლება იყოს განცხადება: განტოლება x n + y n = z n , სად n > 2 , არ აქვს ამონახსნები დადებით მთელ რიცხვებში.

მსჯელობის შედეგად შეიძლება იყოს მხოლოდ ერთი დასკვნა: ფერმას ბოლო თეორემა არ შეიძლება დადასტურდეს წინააღმდეგობით.

სრულიად განსხვავებული საკითხი იქნებოდა, ფერმას ბოლო თეორემა რომ ყოფილიყო შებრუნებული თეორემა, რომელსაც აქვს ჩვეულებრივი მათემატიკური მეთოდით დადასტურებული პირდაპირი თეორემა. ამ შემთხვევაში, ეს შეიძლება დადასტურდეს წინააღმდეგობით. და რადგან ეს პირდაპირი თეორემაა, მისი დადასტურება უნდა ეფუძნებოდეს არა წინააღმდეგობით მტკიცების ლოგიკურ მეთოდს, არამედ ჩვეულებრივ მათემატიკურ მეთოდს.

დ. აბრაროვის თქმით, აკადემიკოსი ვ.ი. არნოლდი, ყველაზე ცნობილი თანამედროვე რუსი მათემატიკოსი, უილზის მტკიცებულებას "აქტიურად სკეპტიკურად" უპასუხა. აკადემიკოსმა თქვა: ”ეს არ არის ნამდვილი მათემატიკა - ნამდვილი მათემატიკა გეომეტრიულია და აქვს ძლიერი კავშირი ფიზიკასთან”.

წინააღმდეგობებით შეუძლებელია იმის მტკიცება, რომ ფერმას ბოლო თეორემის განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, ან რომ აქვს ამონახსნები. უილსის შეცდომა მათემატიკური კი არა, ლოგიკურია - მტკიცების გამოყენება წინააღმდეგობით, სადაც მის გამოყენებას აზრი არ აქვს და არ ადასტურებს ფერმას ბოლო თეორემას.

არც ფერმას ბოლო თეორემა დამტკიცდება ჩვეულებრივი მათემატიკური მეთოდით, თუ იგი მოცემულია: განტოლება x n + y n = z n , სად n > 2 , არ აქვს ამონახსნები დადებით მთელ რიცხვებში და თუ საჭიროა მასში დამტკიცება: განტოლება x n + y n = z n , სად n > 2 , არ აქვს ამონახსნები დადებით მთელ რიცხვებში. ამ ფორმით არის არა თეორემა, არამედ ტავტოლოგია აზრს მოკლებული.

Შენიშვნა.ჩემი BTF მტკიცებულება განიხილებოდა ერთ-ერთ ფორუმზე. ტროტილის ერთ-ერთმა მონაწილემ, რიცხვების თეორიის სპეციალისტმა, შემდეგი ავტორიტეტული განცხადება გააკეთა სათაურით: „მოკლედ გადმოცემა იმისა, რაც გააკეთა მირგოროდსკიმ“. სიტყვასიტყვით მოვიყვან:

« მაგრამ. მან დაამტკიცა, რომ თუ z 2 \u003d x 2 + y , მაშინ z n > x n + y n . ეს ცნობილი და საკმაოდ აშკარა ფაქტია.

IN. მან აიღო ორი სამეული - პითაგორა და არაპითაგორა და მარტივი ჩამოთვლით აჩვენა, რომ სამეულების კონკრეტული, სპეციფიკური ოჯახისთვის (78 და 210 ცალი) BTF შესრულებულია (და მხოლოდ ამისთვის).

თან. შემდეგ კი ავტორმა გამოტოვა ის ფაქტი, რომ დან < შემდგომ ხარისხში შეიძლება იყოს = , არა მხოლოდ > . მარტივი საპირისპირო მაგალითია გადასვლა n=1 in n=2 პითაგორას სამეულში.

დ. ეს პუნქტი არაფერს უწყობს ხელს BTF მტკიცებულებას. დასკვნა: BTF არ არის დადასტურებული.

მის დასკვნას განვიხილავ პუნქტ-პუნქტით.

მაგრამ.მასში BTF დადასტურებულია პითაგორას რიცხვების სამეულების მთელი უსასრულო სიმრავლისთვის. დადასტურებული გეომეტრიული მეთოდით, რომელიც, როგორც ვთვლი, ჩემი აღმოჩენილი კი არ არის, ხელახლა აღმოვაჩინე. და ის, როგორც მე მჯერა, თავად პ.ფერმამ გახსნა. ფერმატს შესაძლოა ეს ჰქონოდა მხედველობაში, როცა წერდა:

"მე აღმოვაჩინე ამის მართლაც საოცარი მტკიცებულება, მაგრამ ეს ზღვარი ძალიან ვიწროა ამისთვის." ჩემი ეს ვარაუდი ემყარება იმ ფაქტს, რომ დიოფანტინის პრობლემაში, რომლის წინააღმდეგაც, წიგნის მინდვრებში, ფერმა დაწერა, საუბარია დიოფანტის განტოლების ამონახსნებზე, რომლებიც პითაგორას რიცხვების სამმაგია.

პითაგორას რიცხვების სამეულების უსასრულო სიმრავლე არის დიოფატის განტოლების ამონახსნები, ხოლო ფერმას თეორემაში, პირიქით, არც ერთი ამონახსნები არ შეიძლება იყოს გამოსავალი ფერმას თეორემის განტოლებისთვის. და ფერმას მართლაც სასწაულებრივი მტკიცებულება პირდაპირ კავშირშია ამ ფაქტზე. მოგვიანებით ფერმას შეეძლო გაევრცელებინა თავისი თეორემა ყველა ნატურალური რიცხვის სიმრავლეზე. ყველა ნატურალური რიცხვების სიმრავლეზე, BTF არ მიეკუთვნება „განსაკუთრებით ლამაზი თეორემების სიმრავლეს“. ეს არის ჩემი ვარაუდი, რომლის არც დამტკიცება და არც უარყოფა შეუძლებელია. მისი მიღება შესაძლებელია და უარყოფილიც.

IN.ამ პარაგრაფში მე ვამტკიცებ, რომ როგორც თვითნებურად აღებული რიცხვების პითაგორას სამეულის ოჯახი, ასევე BTF რიცხვების თვითნებურად აღებული არაპითაგორას სამეულის ოჯახი დაკმაყოფილებულია. ეს არის აუცილებელი, მაგრამ არასაკმარისი და შუალედური რგოლი ჩემს დადასტურებაში. BTF. მაგალითები, რომლებიც მე მოვიყვანე პითაგორული რიცხვების სამეულის ოჯახისა და არაპითაგორას რიცხვების სამეულის ოჯახის შესახებ, აქვს კონკრეტული მაგალითების მნიშვნელობა, რომელიც გულისხმობს და არ გამორიცხავს მსგავსი სხვა მაგალითების არსებობას.

ტროტილის განცხადება, რომ მე „მარტივი ჩამოთვლით ვაჩვენე, რომ სამეულების კონკრეტული, გარკვეული ოჯახისთვის (78 და 210 ცალი) BTF შესრულებულია (და მხოლოდ ამისთვის) არის უსაფუძვლო. მას არ შეუძლია უარყოს ის ფაქტი, რომ მე ასევე შემეძლო პითაგორას და არაპითაგორას სამეულების სხვა მაგალითები მივიღო, რომ ერთი კონკრეტული ოჯახი მივიღო და მეორე სამეული.

რაც არ უნდა ავიღო წყვილი სამეული, პრობლემის გადასაჭრელად მათი ვარგისიანობის შემოწმება შეიძლება განხორციელდეს, ჩემი აზრით, მხოლოდ „მარტივი ჩამოთვლის“ მეთოდით. სხვა მეთოდი ჩემთვის უცნობია და არ არის საჭირო. თუ ტროტილს არ მოსწონდა, მაშინ სხვა მეთოდი უნდა შემოეთავაზებინა, რასაც არ აკეთებს. სანაცვლოდ არაფრის შეთავაზების გარეშე არასწორია დაგმო „მარტივი ჩამოთვლა“, რომელიც ამ შემთხვევაში შეუცვლელია.

თან.გამოვტოვე = შორის< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 \u003d x 2 + y (1), რომელშიც ხარისხი n > 2 — მთლიანიდადებითი რიცხვი. უტოლობებს შორის თანასწორობიდან გამომდინარეობს სავალდებულოგანტოლების გათვალისწინება (1) ხარისხის არამთლიანი მნიშვნელობით n > 2 . ტროტილი ითვლის სავალდებულოუთანასწორობას შორის თანასწორობის გათვალისწინება, რეალურად განიხილავს საჭირო BTF მტკიცებულებაში, განტოლების (1) გათვალისწინება არა მთელი რიცხვიხარისხის ღირებულება n > 2 . მე გავაკეთე ეს ჩემთვის და აღმოვაჩინე ეს განტოლება (1). არა მთელი რიცხვიხარისხის ღირებულება n > 2 აქვს სამი რიცხვის ამონახსნი: z, (z-1), (z-1) არამთლიანი მაჩვენებლით.