ჩვენ ვაგრძელებთ მათემატიკაში გამოცდაში ჩართული ამოცანების განხილვას. ჩვენ უკვე შევისწავლეთ პრობლემები, სადაც მოცემულია პირობა და საჭიროა ვიპოვოთ მანძილი ორ მოცემულ წერტილს ან კუთხეს შორის.

პირამიდა არის მრავალკუთხედი, რომლის ფუძე არის მრავალკუთხედი, დანარჩენი სახეები სამკუთხედებია და მათ აქვთ საერთო წვერო.

რეგულარული პირამიდა არის პირამიდა, რომლის ფუძეზე დევს რეგულარული მრავალკუთხედი და მისი ზევით არის დაპროექტებული ფუძის ცენტრში.

რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდა - ფუძე არის კვადრატი.პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებულია ფუძის (კვადრატის) დიაგონალების გადაკვეთის ადგილას.

ML - აპოთემა
∠MLO - დიედრული კუთხე პირამიდის ძირში
∠MCO - კუთხე გვერდითი კიდესა და პირამიდის ფუძის სიბრტყეს შორის

ამ სტატიაში განვიხილავთ ამოცანებს სწორი პირამიდის ამოსახსნელად. საჭიროა ნებისმიერი ელემენტის, გვერდითი ზედაპირის ფართობის, მოცულობის, სიმაღლის პოვნა. რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა იცოდეთ პითაგორას თეორემა, პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის ფორმულა, პირამიდის მოცულობის პოვნის ფორმულა.

სტატიაში « » წარმოდგენილია ფორმულები, რომლებიც აუცილებელია სტერეომეტრიის პრობლემების გადასაჭრელად. ასე რომ, ამოცანებია:

SABCDწერტილი ო- ბაზის ცენტრისწვერო, ᲘᲡᲔ = 51, AC= 136. იპოვეთ გვერდითი კიდესკ.

ამ შემთხვევაში, ბაზა არის კვადრატი. ეს ნიშნავს, რომ AC და BD დიაგონალები ტოლია, ისინი იკვეთებიან და იკვეთებიან გადაკვეთის წერტილში. გაითვალისწინეთ, რომ ჩვეულებრივ პირამიდაში მისი ზემოდან ჩამოშვებული სიმაღლე გადის პირამიდის ფუძის ცენტრში. ასე რომ, SO არის სიმაღლე და სამკუთხედისოცმართკუთხა. შემდეგ პითაგორას თეორემით:

როგორ ავიღოთ დიდი რიცხვის ფესვი.

პასუხი: 85

თავად გადაწყვიტე:

ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდაში SABCDწერტილი ო- ბაზის ცენტრი სწვერო, ᲘᲡᲔ = 4, AC= 6. იპოვეთ გვერდითი კიდე სკ.

ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდაში SABCDწერტილი ო- ბაზის ცენტრი სწვერო, სკ = 5, AC= 6. იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე ᲘᲡᲔ.

ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდაში SABCDწერტილი ო- ბაზის ცენტრი სწვერო, ᲘᲡᲔ = 4, სკ= 5. იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე AC.

SABC რ- ნეკნის შუა ძვ.წ, ს- ზედა. ცნობილია, რომ AB= 7 და სრ= 16. იპოვეთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

რეგულარული სამკუთხა პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძისა და აპოთემის პერიმეტრის ნამრავლის ნახევარს (აპოთემა არის მისი ზემოდან გამოყვანილი რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე):

ან შეგიძლიათ თქვათ ეს: პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის სამი გვერდითი სახის ფართობების ჯამს. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის გვერდითი სახეები არის თანაბარი ფართობის სამკუთხედები. Ამ შემთხვევაში:

პასუხი: 168

თავად გადაწყვიტე:

ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში SABC რ- ნეკნის შუა ძვ.წ, ს- ზედა. ცნობილია, რომ AB= 1 და სრ= 2. იპოვეთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში SABC რ- ნეკნის შუა ძვ.წ, ს- ზედა. ცნობილია, რომ AB= 1, ხოლო გვერდითი ზედაპირის ფართობი არის 3. იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე სრ.

ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში SABC ლ- ნეკნის შუა ძვ.წ, ს- ზედა. ცნობილია, რომ SL= 2, ხოლო გვერდითი ზედაპირის ფართობი არის 3. იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე AB.

ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში SABC მ. სამკუთხედის ფართობი ABCარის 25, პირამიდის მოცულობა 100. იპოვეთ მონაკვეთის სიგრძე ᲥᲐᲚᲑᲐᲢᲝᲜᲘ.

პირამიდის ფუძე არის ტოლგვერდა სამკუთხედი. Ისე მარის ბაზის ცენტრი დაᲥᲐᲚᲑᲐᲢᲝᲜᲘ- რეგულარული პირამიდის სიმაღლეSABC. პირამიდის მოცულობა SABCუდრის: შეამოწმეთ ხსნარი

ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში SABCფუძის მედიანები იკვეთება წერტილში მ. სამკუთხედის ფართობი ABCარის 3, ᲥᲐᲚᲑᲐᲢᲝᲜᲘ= 1. იპოვეთ პირამიდის მოცულობა.

ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში SABCფუძის მედიანები იკვეთება წერტილში მ. პირამიდის მოცულობა არის 1, ᲥᲐᲚᲑᲐᲢᲝᲜᲘ= 1. იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი ABC.

ამით დავასრულოთ. როგორც ხედავთ, ამოცანები წყდება ერთი ან ორი ნაბიჯით. სამომავლოდ თქვენთან ერთად განვიხილავთ სხვა პრობლემებს ამ ნაწილიდან, სადაც მოცემულია რევოლუციის ორგანოები, არ გამოტოვოთ!

Წარმატებას გისურვებ!

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი.

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ სოციალურ ქსელებში მოგიყვებით საიტის შესახებ.

შესავალი

როდესაც სტერეომეტრიული ფიგურების შესწავლა დავიწყეთ, შევეხეთ თემას „პირამიდა“. ჩვენ მოგვწონს ეს თემა, რადგან პირამიდა ძალიან ხშირად გამოიყენება არქიტექტურაში. და რადგან ჩვენი მომავალი პროფესია, როგორც არქიტექტორი, ამ ფიგურით არის შთაგონებული, ვფიქრობთ, რომ ის შეძლებს დიდ პროექტებისკენ გვიბიძგოს.

არქიტექტურული სტრუქტურების სიძლიერე, მათი ყველაზე მნიშვნელოვანი ხარისხი. სიძლიერის დაკავშირება, პირველ რიგში, იმ მასალებთან, საიდანაც ისინი იქმნება და, მეორეც, დიზაინის გადაწყვეტილებების მახასიათებლებთან, აღმოჩნდება, რომ სტრუქტურის სიძლიერე პირდაპირ კავშირშია გეომეტრიულ ფორმასთან, რომელიც არის მისთვის ძირითადი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, საუბარია გეომეტრიულ ფიგურაზე, რომელიც შეიძლება მივიჩნიოთ შესაბამისი არქიტექტურული ფორმის მოდელად. გამოდის, რომ გეომეტრიული ფორმა ასევე განსაზღვრავს არქიტექტურული სტრუქტურის სიმტკიცეს.

ეგვიპტური პირამიდები დიდი ხანია ითვლებოდა ყველაზე გამძლე არქიტექტურულ ნაგებობად. მოგეხსენებათ, მათ აქვთ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდების ფორმა.

სწორედ ეს გეომეტრიული ფორმა უზრუნველყოფს უდიდეს სტაბილურობას დიდი ბაზის ფართობის გამო. მეორეს მხრივ, პირამიდის ფორმა უზრუნველყოფს მასის შემცირებას მიწის ზემოთ სიმაღლის მატებასთან ერთად. სწორედ ეს ორი თვისება ხდის პირამიდას სტაბილურს და, შესაბამისად, ძლიერს გრავიტაციის პირობებში.

პროექტის მიზანი: ისწავლე რაიმე ახალი პირამიდების შესახებ, გაიღრმავე ცოდნა და იპოვე პრაქტიკული აპლიკაციები.

ამ მიზნის მისაღწევად საჭირო იყო შემდეგი ამოცანების გადაჭრა:

გაეცანით ისტორიულ ინფორმაციას პირამიდის შესახებ

განვიხილოთ პირამიდა, როგორც გეომეტრიული ფიგურა

იპოვნეთ განაცხადი ცხოვრებაში და არქიტექტურაში

იპოვნეთ მსგავსება და განსხვავებები პირამიდებს შორის, რომლებიც მდებარეობს მსოფლიოს სხვადასხვა კუთხეში

თეორიული ნაწილი

ისტორიული ცნობები

პირამიდის გეომეტრიის დასაწყისი ჩაეყარა ძველ ეგვიპტესა და ბაბილონში, მაგრამ იგი აქტიურად განვითარდა ძველ საბერძნეთში. პირველი, ვინც დაადგინა, თუ რისი ტოლია პირამიდის მოცულობა იყო დემოკრიტე და ევდოქსი კნიდუსელმა დაამტკიცა. ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსმა ევკლიდმა სისტემატიზაცია მოახდინა პირამიდის შესახებ ცოდნის შესახებ მისი "დასაწყისების" XII ტომში და ასევე გამოაქვეყნა პირამიდის პირველი განმარტება: სხეულის ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია თვითმფრინავებით, რომლებიც ერთ წერტილში ხვდებიან ერთი სიბრტყიდან.

ეგვიპტური ფარაონების სამარხები. მათგან ყველაზე დიდი - კეოპსის, ხაფრეს და მიკერინის პირამიდები ელ გიზაში ძველად მსოფლიოს შვიდ საოცრებად ითვლებოდა. პირამიდის აღმართვა, რომელშიც ბერძნებმა და რომაელებმა უკვე დაინახეს ძეგლი მეფეთა უპრეცედენტო სიამაყისა და სისასტიკისთვის, რამაც მთელი ეგვიპტის ხალხი გააწირა უაზრო მშენებლობისთვის, იყო ყველაზე მნიშვნელოვანი საკულტო აქტი და უნდა გამოეხატა, როგორც ჩანს, ქვეყნისა და მისი მმართველის მისტიურ იდენტობას. საფლავის მშენებლობაზე ქვეყნის მოსახლეობა სასოფლო-სამეურნეო სამუშაოებისგან თავისუფალ დროს მუშაობდა. არაერთი ტექსტი მოწმობს იმ ყურადღებასა და ზრუნვას, რომელსაც თავად მეფეები (თუმცა უფრო გვიანდელი) აქცევდნენ თავიანთი საფლავის და მისი მშენებლების მშენებლობას. ასევე ცნობილია განსაკუთრებული საკულტო პატივის შესახებ, რომელიც აღმოჩნდა თავად პირამიდა.

Ძირითადი ცნებები

პირამიდამრავალკუთხედს უწოდებენ, რომლის ფუძე არის მრავალკუთხედი, ხოლო დარჩენილი სახეები არის სამკუთხედები, რომლებსაც აქვთ საერთო წვერო.

აპოთემა- რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე, მისი ზემოდან გამოყვანილი;

გვერდითი სახეები- სამკუთხედები თავმოყრილია;

გვერდითი ნეკნები- გვერდითი სახეების საერთო მხარეები;

პირამიდის მწვერვალი- გვერდითი კიდეების დამაკავშირებელი წერტილი და არ დევს ფუძის სიბრტყეში;

სიმაღლე- პერპენდიკულარულის სეგმენტი, რომელიც გაყვანილია პირამიდის ზევით მისი ფუძის სიბრტყემდე (ამ სეგმენტის ბოლოებია პირამიდის ზედა და პერპენდიკულარულის ფუძე);

პირამიდის დიაგონალური მონაკვეთი- პირამიდის მონაკვეთი, რომელიც გადის ზევით და ფუძის დიაგონალზე;

ბაზა- მრავალკუთხედი, რომელიც არ ეკუთვნის პირამიდის მწვერვალს.

სწორი პირამიდის ძირითადი თვისებები

გვერდითი კიდეები, გვერდითი სახეები და აპოთემები, შესაბამისად, თანაბარია.

ძირში დიედრული კუთხეები ტოლია.

გვერდითა კიდეებზე დიედრული კუთხეები ტოლია.

სიმაღლის თითოეული წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ყველა ფუძის წვეროდან.

თითოეული სიმაღლის წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ყველა გვერდიდან.

პირამიდის ძირითადი ფორმულები

პირამიდის გვერდითი და სრული ზედაპირის ფართობი.

პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი (სრული და შეკვეცილი) არის მისი ყველა გვერდითი ზედაპირის ფართობის ჯამი, მთლიანი ზედაპირის ფართობი არის მისი ყველა სახის ფართობის ჯამი.

თეორემა: რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძის პერიმეტრისა და პირამიდის აპოთემის ნამრავლის ნახევარს.

გვ- ბაზის პერიმეტრი;

თ- აპოთემა.

დამსხვრეული პირამიდის გვერდითი და სრული ზედაპირის ფართობი.

p1, გვ 2 - ბაზის პერიმეტრები;

თ- აპოთემა.

რ- რეგულარული შეკვეცილი პირამიდის მთლიანი ზედაპირი;

S მხარე- რეგულარული დამსხვრეული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი;

S1 + S2- ბაზის ფართობი

პირამიდის მოცულობა

ფორმა მოცულობის მასშტაბი გამოიყენება ნებისმიერი სახის პირამიდებისთვის.

ჰარის პირამიდის სიმაღლე.

პირამიდის კუთხეები

კუთხეებს, რომლებიც წარმოიქმნება პირამიდის გვერდით და ფუძით, პირამიდის ფუძესთან დიედრული კუთხეები ეწოდება.

ორმხრივი კუთხე იქმნება ორი პერპენდიკულურით.

ამ კუთხის დასადგენად, ხშირად უნდა გამოიყენოთ სამი პერპენდიკულარული თეორემა.

კუთხეებს, რომლებიც წარმოიქმნება გვერდითი კიდით და მისი პროექციით ფუძის სიბრტყეზე, ეწოდება კუთხეები გვერდითი კიდესა და ფუძის სიბრტყეს შორის.

ორი გვერდითი სახიდან წარმოქმნილი კუთხე ეწოდება დიჰედრული კუთხე პირამიდის გვერდითი კიდეზე.

კუთხე, რომელსაც პირამიდის ერთი სახის ორი გვერდითი კიდე ქმნის, ე.წ კუთხე პირამიდის თავზე.

პირამიდის მონაკვეთები

პირამიდის ზედაპირი პოლიედრონის ზედაპირია. მისი თითოეული სახე არის სიბრტყე, ამიტომ პირამიდის მონაკვეთი, რომელიც მოცემულია სეკანტური სიბრტყით არის გატეხილი ხაზი, რომელიც შედგება ცალკეული სწორი ხაზებისგან.

დიაგონალური განყოფილება

პირამიდის მონაკვეთს სიბრტყით, რომელიც გადის ორ გვერდით კიდეზე, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სახეზე, ეწოდება დიაგონალური განყოფილებაპირამიდები.

პარალელური მონაკვეთები

თეორემა:

თუ პირამიდას კვეთს ფუძის პარალელურად სიბრტყე, მაშინ პირამიდის გვერდითი კიდეები და სიმაღლეები ამ სიბრტყით იყოფა პროპორციულ ნაწილებად;

ამ სიბრტყის მონაკვეთი არის ფუძის მსგავსი მრავალკუთხედი;

მონაკვეთისა და ფუძის ფართობები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული, როგორც ზემოდან მათი მანძილის კვადრატები.

პირამიდის სახეები

სწორი პირამიდა- პირამიდა, რომლის ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი, ხოლო პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებულია ფუძის ცენტრში.

სწორ პირამიდაზე:

1. გვერდითი ნეკნები ტოლია

2. გვერდითი სახეები თანაბარია

3. აპოთემები ტოლია

4. ძირში ორმხრივი კუთხეები ტოლია

5. გვერდითი კიდეების ორმხრივი კუთხეები ტოლია

6. თითოეული სიმაღლის წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ყველა ფუძის წვეროდან

7. თითოეული სიმაღლის წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ყველა გვერდიდან

შეკვეცილი პირამიდა- პირამიდის ნაწილი, რომელიც ჩასმულია მის ფუძესა და ძირის პარალელურად საჭრელ სიბრტყეს შორის.

შეკვეცილი პირამიდის ფუძე და შესაბამისი მონაკვეთი ეწოდება დამსხვრეული პირამიდის ფუძეები.

ერთი ფუძის რომელიმე წერტილიდან მეორის სიბრტყემდე გამოყვანილ პერპენდიკულარს ეწოდება დამსხვრეული პირამიდის სიმაღლე.

Დავალებები

No1. რეგულარულ ოთხკუთხა პირამიდაში წერტილი O არის ფუძის ცენტრი, SO=8 სმ, BD=30 სმ იპოვეთ გვერდითი კიდე SA.

Პრობლემის გადაჭრა

No1. ჩვეულებრივ პირამიდაში ყველა სახე და კიდე თანაბარია.

განვიხილოთ OSB: OSB-მართკუთხა მართკუთხედი, რადგან.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

პირამიდა არქიტექტურაში

პირამიდა - მონუმენტური ნაგებობა ჩვეულებრივი რეგულარული გეომეტრიული პირამიდის სახით, რომელშიც მხარეები ერთ წერტილში იყრიან თავს. ფუნქციური დანიშნულების მიხედვით, პირამიდები ძველად სამარხი ან საკულტო თაყვანისმცემლობის ადგილი იყო. პირამიდის ფუძე შეიძლება იყოს სამკუთხა, ოთხკუთხა ან პოლიგონური წვეროების თვითნებური რაოდენობით, მაგრამ ყველაზე გავრცელებული ვერსია არის ოთხკუთხა ფუძე.

ცნობილია დიდი რაოდენობით პირამიდები, რომლებიც აშენებულია ძველი სამყაროს სხვადასხვა კულტურის მიერ, ძირითადად ტაძრებისა თუ ძეგლების სახით. ყველაზე დიდი პირამიდები ეგვიპტური პირამიდებია.

მთელ დედამიწაზე შეგიძლიათ იხილოთ არქიტექტურული სტრუქტურები პირამიდების სახით. პირამიდის შენობები ძველ დროებს მოგვაგონებს და ძალიან ლამაზად გამოიყურება.

ეგვიპტური პირამიდები ძველი ეგვიპტის უდიდესი არქიტექტურული ძეგლია, რომელთა შორის ერთ-ერთი "მსოფლიოს შვიდი საოცრება" არის კეოპსის პირამიდა. ფეხიდან ზევით აღწევს 137,3 მ, ხოლო სანამ მწვერვალს დაკარგავდა, მისი სიმაღლე 146,7 მ იყო.

1983 წელს აშენდა რადიოსადგურის შენობა სლოვაკეთის დედაქალაქში, რომელიც წააგავს შებრუნებულ პირამიდის. .

ლუვრმა, რომელიც „პირამიდასავით მდუმარე და დიდებულია“ საუკუნეების მანძილზე მრავალი ცვლილება განიცადა, სანამ მსოფლიოს უდიდეს მუზეუმად იქცა. იგი დაიბადა 1190 წელს ფილიპ ავგუსტუსის მიერ აღმართულ ციხედ, რომელიც მალე სამეფო რეზიდენციად იქცა. 1793 წელს სასახლე გახდა მუზეუმი. კოლექციები მდიდრდება ანდერძით ან შესყიდვებით.

განმარტება

პირამიდაარის მრავალკუთხედი, რომელიც შედგება მრავალკუთხედის \(A_1A_2...A_n\) და \(n\) სამკუთხედებისგან, საერთო წვერით \(P\) (მრავალკუთხედის სიბრტყეში არ დევს) და მოპირდაპირე გვერდებით, რომლებიც ემთხვევა გვერდებს. მრავალკუთხედი.
აღნიშვნა: \(PA_1A_2...A_n\) .
მაგალითი: ხუთკუთხა პირამიდა \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

სამკუთხედები \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) და ა.შ. დაურეკა გვერდითი სახეებიპირამიდები, სეგმენტები \(PA_1, PA_2\) და ა.შ. - გვერდითი ნეკნები, პოლიგონი \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – საფუძველი, წერტილი \(P\) – სამიტი.

სიმაღლეპირამიდები არის პერპენდიკულარული ვარდნა პირამიდის ზემოდან ფუძის სიბრტყემდე.

პირამიდას, რომელსაც ძირში სამკუთხედი აქვს, ეწოდება ტეტრაედონი.

პირამიდა ე.წ სწორითუ მისი ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი და დაკმაყოფილებულია ერთ-ერთი შემდეგი პირობა:

\((a)\) პირამიდის გვერდითი კიდეები ტოლია;

\((ბ)\) პირამიდის სიმაღლე გადის ფუძის მახლობლად შემოხაზული წრის ცენტრში;

\((გ)\) გვერდითი ნეკნები დახრილია ფუძის სიბრტყისკენ იმავე კუთხით.

\((დ)\) გვერდითი სახეები დახრილია ფუძის სიბრტყისკენ იმავე კუთხით.

რეგულარული ტეტრაედონიარის სამკუთხა პირამიდა, რომლის ყველა სახე ტოლგვერდა სამკუთხედია.

თეორემა

პირობები \((a), (b), (c), (d)\) ექვივალენტურია.

მტკიცებულება

დახაზეთ პირამიდის სიმაღლე \(PH\) . დაე, \(\alpha\) იყოს პირამიდის ფუძის სიბრტყე.

1) დავამტკიცოთ, რომ \((a)\) გულისხმობს \((ბ)\) . მოდით \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

იმიტომ რომ \(PH\perp \alpha\) , მაშინ \(PH\) პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყეში მდებარე ნებისმიერ წრფეზე, ამიტომ სამკუთხედები მართკუთხაა. ასე რომ, ეს სამკუთხედები ტოლია საერთო ფეხში \(PH\) და ჰიპოტენუზაში \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . ასე რომ, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . ეს ნიშნავს, რომ წერტილები \(A_1, A_2, ..., A_n\) ერთსა და იმავე მანძილზეა \(H\) წერტილიდან, შესაბამისად, ისინი დევს იმავე წრეზე \(A_1H\) რადიუსით. ეს წრე, განსაზღვრებით, შემოიფარგლება პოლიგონზე \(A_1A_2...A_n\) .

2) დავამტკიცოთ, რომ \((b)\) გულისხმობს \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)მართკუთხა და ტოლი ორ ფეხში. მაშასადამე, მათი კუთხეებიც თანაბარია, შესაბამისად, \(\კუთხე PA_1H=\კუთხე PA_2H=...=\კუთხე PA_nH\).

3) დავამტკიცოთ, რომ \((c)\) გულისხმობს \((a)\) .

პირველი წერტილის მსგავსად, სამკუთხედები \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)მართკუთხა და ფეხის გასწვრივ და მწვავე კუთხე. ეს ნიშნავს, რომ მათი ჰიპოტენუსებიც ტოლია, ანუ \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) დავამტკიცოთ, რომ \((ბ)\) გულისხმობს \((დ)\) .

იმიტომ რომ რეგულარულ მრავალკუთხედში შემოხაზული და შემოხაზული წრეების ცენტრები ერთმანეთს ემთხვევა (ზოგადად რომ ვთქვათ, ამ წერტილს რეგულარული მრავალკუთხედის ცენტრს უწოდებენ), მაშინ \(H\) არის ჩაწერილი წრის ცენტრი. დავხატოთ პერპენდიკულარები \(H\) წერტილიდან ფუძის გვერდებზე: \(HK_1, HK_2\) და ა.შ. ეს არის შემოხაზული წრის რადიუსი (განმარტებით). მაშინ, TTP-ის მიხედვით, (\(PH\) არის სიბრტყის პერპენდიკულარული, \(HK_1, HK_2\) და ა.შ. არის გვერდებზე პერპენდიკულარული პროექციები) ირიბი \(PK_1, PK_2\) და ა.შ. გვერდებზე პერპენდიკულარული \(A_1A_2, A_2A_3\) და ა.შ. შესაბამისად. ასე რომ, განსაზღვრებით \(\კუთხე PK_1H, \კუთხე PK_2H\)ტოლი კუთხეების გვერდითა სახეებსა და ფუძეს შორის. იმიტომ რომ სამკუთხედები \(PK_1H, PK_2H, ...\) ტოლია (როგორც მართკუთხა ორ ფეხზე), შემდეგ კუთხეები \(\კუთხე PK_1H, \კუთხე PK_2H, ...\)თანაბარი არიან.

5) დავამტკიცოთ, რომ \((დ)\) გულისხმობს \((ბ)\) .

მეოთხე წერტილის მსგავსად, სამკუთხედები \(PK_1H, PK_2H, ...\) ტოლია (როგორც ფეხის გასწვრივ მართკუთხა და მწვავე კუთხე), რაც ნიშნავს, რომ სეგმენტები \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) თანაბარი არიან. აქედან გამომდინარე, განმარტებით, \(H\) არის ფუძეში ჩაწერილი წრის ცენტრი. მაგრამ მას შემდეგ რეგულარული მრავალკუთხედებისთვის, შემოხაზული და შემოხაზული წრეების ცენტრები ემთხვევა, მაშინ \(H\) არის შემოხაზული წრის ცენტრი. ჩტდ.

შედეგი

რეგულარული პირამიდის გვერდითი მხარეები არის თანაბარი ტოლფერდა სამკუთხედები.

განმარტება

მისი ზემოდან გამოყვანილი რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე ე.წ აპოთემა.
რეგულარული პირამიდის ყველა გვერდითი სახის აპოთემები ერთმანეთის ტოლია და ასევე არის მედიანები და ბისექტრები.

მნიშვნელოვანი შენიშვნები

1. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის სიმაღლე ეცემა ფუძის სიმაღლეების (ან ბისექტორების, ან შუალედების) გადაკვეთის წერტილამდე (ფუძე არის რეგულარული სამკუთხედი).

2. რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის სიმაღლე ეცემა ფუძის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილს (ფუძე არის კვადრატი).

3. რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის სიმაღლე ეცემა ფუძის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილს (ფუძე არის რეგულარული ექვსკუთხედი).

4. პირამიდის სიმაღლე პერპენდიკულარულია ძირში მდებარე ნებისმიერი სწორი ხაზის მიმართ.

განმარტება

პირამიდა ე.წ მართკუთხათუ მისი ერთ-ერთი გვერდითი კიდე არის ფუძის სიბრტყის პერპენდიკულარული.

მნიშვნელოვანი შენიშვნები

1. მართკუთხა პირამიდისთვის ფუძის პერპენდიკულარული კიდე არის პირამიდის სიმაღლე. ანუ \(SR\) არის სიმაღლე.

2. რადგან \(SR\) ფუძედან რომელიმე წრფეზე პერპენდიკულარული, მაშინ \(\სამკუთხედი SRM, \სამკუთხედი SRP\)არის მართკუთხა სამკუთხედები.

3. სამკუთხედები \(\სამკუთხედი SRN, \სამკუთხედი SRK\)ასევე მართკუთხაა.
ანუ ამ კიდით წარმოქმნილი ნებისმიერი სამკუთხედი და ამ კიდის წვეროდან გამომავალი დიაგონალი, რომელიც დევს ძირში, იქნება მართკუთხა.

\[(\დიდი(\ტექსტი(პირამიდის მოცულობა და ზედაპირის ფართობი)))\]

თეორემა

პირამიდის მოცულობა უდრის ფუძის ფართობისა და პირამიდის სიმაღლის ნამრავლის მესამედს: \

შედეგები

მოდით \(a\) იყოს ფუძის მხარე, \(h\) იყოს პირამიდის სიმაღლე.

1. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის მოცულობა არის \(V_(\text(მარჯვენა სამკუთხედი პირ.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის მოცულობა არის \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის მოცულობა არის \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. რეგულარული ტეტრაედრის მოცულობა არის \(V_(\text(მარჯვნივ ტეტრა.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

თეორემა

რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძისა და აპოთემის პერიმეტრის ნამრავლის ნახევარს.

\[(\დიდი(\ტექსტი(შეკვეცილი პირამიდა)))\]

განმარტება

განვიხილოთ თვითნებური პირამიდა \(PA_1A_2A_3...A_n\) . მოდით დავხატოთ სიბრტყე პირამიდის ფუძის პარალელურად, პირამიდის გვერდით კიდეზე მდებარე გარკვეულ წერტილში. ეს სიბრტყე პირამიდას ორ პოლიედრად გაყოფს, რომელთაგან ერთი არის პირამიდა (\(PB_1B_2...B_n\)), მეორეს კი ე.წ. შეკვეცილი პირამიდა(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

ჩამოჭრილ პირამიდას აქვს ორი ფუძე - პოლიგონები \(A_1A_2...A_n\) და \(B_1B_2...B_n\) , რომლებიც ერთმანეთის მსგავსია.

დამსხვრეული პირამიდის სიმაღლე არის პერპენდიკულური, რომელიც შედგენილია ზედა ფუძის რაღაც წერტილიდან ქვედა ფუძის სიბრტყემდე.

მნიშვნელოვანი შენიშვნები

1. დამსხვრეული პირამიდის ყველა გვერდითი სახე ტრაპეციაა.

2. სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს წესიერი დამსხვრეული პირამიდის ფუძეების ცენტრებს (ანუ ჩვეულებრივი პირამიდის მონაკვეთით მიღებული პირამიდა) არის სიმაღლე.

ჰიპოთეზა:ჩვენ გვჯერა, რომ პირამიდის ფორმის სრულყოფილება განპირობებულია მის ფორმაში ჩადებული მათემატიკური კანონებით.

სამიზნე:შეისწავლა პირამიდა, როგორც გეომეტრიული სხეული, რათა აეხსნა მისი ფორმის სრულყოფილება.

Დავალებები:

1. მიეცით პირამიდის მათემატიკური განმარტება.

2. შეისწავლეთ პირამიდა, როგორც გეომეტრიული სხეული.

3. გაიგეთ რა მათემატიკური ცოდნა ჩაყარეს ეგვიპტელებმა პირამიდებში.

პირადი კითხვები:

1. რა არის პირამიდა, როგორც გეომეტრიული სხეული?

2. როგორ შეიძლება მათემატიკურად აიხსნას პირამიდის უნიკალური ფორმა?

3. რა ხსნის პირამიდის გეომეტრიულ საოცრებებს?

4. რა ხსნის პირამიდის ფორმის სრულყოფილებას?

პირამიდის განმარტება.

პირამიდა (ბერძნულიდან pyramis, გვარი n. pyramidos) - მრავალკუთხედი, რომლის ფუძე მრავალკუთხედია, ხოლო დარჩენილი სახეები სამკუთხედებია საერთო წვერით (ფიგურა). ფუძის კუთხეების რაოდენობის მიხედვით, პირამიდები არის სამკუთხა, ოთხკუთხა და ა.შ.

პირამიდა - მონუმენტური ნაგებობა, რომელსაც აქვს პირამიდის გეომეტრიული ფორმა (ზოგჯერ ასევე საფეხურიანი ან კოშკის ფორმის). მე-3-2 ათასწლეულის ძველი ეგვიპტის ფარაონების გიგანტურ სამარხებს პირამიდები ეწოდება. ე., ისევე როგორც ტაძრების უძველესი ამერიკული კვარცხლბეკები (მექსიკაში, გვატემალაში, ჰონდურასში, პერუში), რომლებიც დაკავშირებულია კოსმოლოგიურ კულტებთან.

შესაძლებელია, რომ ბერძნული სიტყვა „პირამიდა“ მომდინარეობს ეგვიპტური გამოთქმიდან per-em-us, ანუ ტერმინიდან, რომელიც პირამიდის სიმაღლეს ნიშნავდა. გამოჩენილი რუსი ეგვიპტოლოგი ვ. სტრუვე თვლიდა, რომ ბერძნული „პურამ…ჯ“ მომდინარეობს ძველი ეგვიპტური „პ“-მრ-დან.

ისტორიიდან. ატანასიანის ავტორთა სახელმძღვანელოში „გეომეტრია“ მასალის შესწავლით. ბუტუზოვამ და სხვებმა გავიგეთ, რომ: n-კუთხედ A1A2A3 შემდგარ პოლიედრონს ... An და n სამკუთხედები RA1A2, RA2A3, ..., RANA1 ეწოდება პირამიდა. მრავალკუთხედი A1A2A3 ... An არის პირამიდის საფუძველი, ხოლო სამკუთხედები RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 არის პირამიდის გვერდითი სახეები, P არის პირამიდის ზედა, სეგმენტები RA1, RA2, .. ., RAN არის გვერდითი კიდეები.

თუმცა, პირამიდის ასეთი განმარტება ყოველთვის არ არსებობდა. მაგალითად, ძველი ბერძენი მათემატიკოსი, ჩვენამდე მოღწეული თეორიული ტრაქტატების ავტორი მათემატიკის შესახებ, ევკლიდე, პირამიდას განსაზღვრავს, როგორც მყარ ფიგურას, რომელიც შემოსაზღვრულია სიბრტყეებით, რომლებიც გადადიან ერთი სიბრტყიდან ერთ წერტილამდე.

მაგრამ ეს განსაზღვრება უკვე ანტიკურ ხანაში გააკრიტიკეს. ასე რომ, ჰერონმა შემოგვთავაზა პირამიდის შემდეგი განმარტება: „ეს არის ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია ერთ წერტილში შეკრებილი სამკუთხედებით და რომლის ფუძე არის მრავალკუთხედი“.

ჩვენი ჯგუფი, ამ განმარტებების შედარებისას, მივიდა დასკვნამდე, რომ მათ არ აქვთ „ფონდის“ ცნების მკაფიო ფორმულირება.

ჩვენ შევისწავლეთ ეს განმარტებები და ვიპოვნეთ ადრიენ მარი ლეჟენდრის განმარტება, რომელიც 1794 წელს თავის ნაშრომში „გეომეტრიის ელემენტები“ პირამიდას ასე განმარტავს: „პირამიდა არის სხეულის ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ერთ წერტილში თავმოყრილი სამკუთხედებით და მთავრდება სხვადასხვა მხარეს. ბრტყელი ბაზა.”

როგორც ჩანს, ბოლო განმარტება იძლევა პირამიდის ნათელ წარმოდგენას, რადგან ის ეხება იმ ფაქტს, რომ ბაზა ბრტყელია. პირამიდის კიდევ ერთი განმარტება გამოჩნდა მე-19 საუკუნის სახელმძღვანელოში: „პირამიდა არის სიბრტყით გადაკვეთილი მყარი კუთხე“.

პირამიდა, როგორც გეომეტრიული სხეული.

რომ. პირამიდა არის მრავალკუთხედი, რომლის ერთი სახე (ფუძე) არის მრავალკუთხედი, დანარჩენი სახეები (გვერდები) არის სამკუთხედები, რომლებსაც აქვთ ერთი საერთო წვერო (პირამიდის მწვერვალი).

პირამიდის ზემოდან ფუძის სიბრტყემდე გამოყვანილ პერპენდიკულარს ეწოდება სიმაღლეთპირამიდები.

თვითნებური პირამიდის გარდა, არსებობს მარჯვენა პირამიდა,რომლის ძირში არის რეგულარული მრავალკუთხედი და შეკვეცილი პირამიდა.

ფიგურაში - პირამიდა PABCD, ABCD - მისი საფუძველი, PO - სიმაღლე.

სრული ზედაპირის ფართობი პირამიდა ეწოდება მისი ყველა სახის ფართობების ჯამს.

Sfull = Sside + Sbase,სადაც გვერდითიარის გვერდითი სახეების ფართობების ჯამი.

პირამიდის მოცულობა გვხვდება ფორმულის მიხედვით:

V=1/3Sbase თ, სადაც სოსნ. - ბაზის ფართობი თ- სიმაღლე.

რეგულარული პირამიდის ღერძი არის სწორი ხაზი, რომელიც შეიცავს მის სიმაღლეს.
Apothem ST - ჩვეულებრივი პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე.

რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის ფართობი გამოიხატება შემდეგნაირად: გვერდითი. =1/2P თსადაც P არის ფუძის პერიმეტრი, თ- გვერდითი სახის სიმაღლე (რეგულარული პირამიდის აპოთემა). თუ პირამიდა გადაკვეთილია A'B'C'D' სიბრტყით ფუძის პარალელურად, მაშინ:

1) გვერდითი კიდეები და სიმაღლე ამ სიბრტყით იყოფა პროპორციულ ნაწილებად;

2) განყოფილებაში მიიღება მრავალკუთხედი A'B'C'D' ფუძის მსგავსი;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

დამსხვრეული პირამიდის ფუძეებიმსგავსი მრავალკუთხედებია ABCD და A`B`C`D`, გვერდითი სახეები ტრაპეციაა.

სიმაღლეშეკვეცილი პირამიდა - მანძილი ფუძეებს შორის.

შეკვეცილი მოცულობაპირამიდა გვხვდება ფორმულით:

V=1/3 თ(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> რეგულარული ჩამოჭრილი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი გამოიხატება შემდეგნაირად: გვერდი. = ½(P+P') თსადაც P და P არის ფუძის პერიმეტრი, თ- გვერდითი სახის სიმაღლე (დღესასწაულებით შეკვეცილი რეგულარული აპოთემა

პირამიდის მონაკვეთები.

პირამიდის მონაკვეთები მის თავზე გამავალი თვითმფრინავებით არის სამკუთხედები.

მონაკვეთი, რომელიც გადის პირამიდის ორ არამიმდებარე გვერდითი კიდეებით, ეწოდება დიაგონალური განყოფილება.

თუ მონაკვეთი გადის გვერდითი კიდეზე და ფუძის მხარეს წერტილში, მაშინ ეს მხარე იქნება მისი კვალი პირამიდის ფუძის სიბრტყეზე.

მონაკვეთი, რომელიც გადის პირამიდის პირისპირ მდებარე წერტილზე და მონაკვეთის მოცემული კვალი ბაზის სიბრტყეზე, მაშინ კონსტრუქცია უნდა განხორციელდეს შემდეგნაირად:

იპოვეთ მოცემული სახის სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი და პირამიდის მონაკვეთის კვალი და დანიშნეთ იგი;

ააგეთ სწორი ხაზი, რომელიც გაივლის მოცემულ წერტილს და მიღებულ გადაკვეთის წერტილს;

· გაიმეორეთ ეს ნაბიჯები შემდეგი სახეებისთვის.

, რომელიც შეესაბამება მართკუთხა სამკუთხედის კიდურების თანაფარდობას 4:3. ფეხების ეს თანაფარდობა შეესაბამება კარგად ცნობილ მართკუთხა სამკუთხედს გვერდებით 3:4:5, რომელსაც ეწოდება "სრულყოფილი", "წმინდა" ან "ეგვიპტური" სამკუთხედი. ისტორიკოსების აზრით, „ეგვიპტურ“ სამკუთხედს მაგიური მნიშვნელობა მიენიჭა. პლუტარქე წერდა, რომ ეგვიპტელები სამყაროს ბუნებას ადარებდნენ „წმინდა“ სამკუთხედს; მათ სიმბოლურად შეადარეს ვერტიკალური ფეხი ქმარს, ფუძე ცოლს და ჰიპოტენუზა ორივესგან დაბადებულს.

სამკუთხედისთვის 3:4:5 ტოლობა მართალია: 32 + 42 = 52, რომელიც გამოხატავს პითაგორას თეორემას. განა ეს არ არის ეს თეორემა, რომლის შენარჩუნებაც სურდათ ეგვიპტელ ქურუმებს სამკუთხედის 3:4:5 საფუძველზე პირამიდის აღმართვით? ძნელია იპოვოთ უკეთესი მაგალითი პითაგორას თეორემის საილუსტრაციოდ, რომელიც ეგვიპტელებისთვის ცნობილი იყო პითაგორას მიერ მის აღმოჩენამდე დიდი ხნით ადრე.

ამრიგად, ეგვიპტური პირამიდების გენიალური შემქმნელები ცდილობდნენ შთაბეჭდილების მოხდენას შორეულ შთამომავლებზე თავიანთი ცოდნის სიღრმით და ამას მიაღწიეს კეოპსის პირამიდის "მთავარი გეომეტრიული იდეის" არჩევით - "ოქროს" მართკუთხა სამკუთხედი და ხაფრეს პირამიდისთვის – „წმინდა“ ანუ „ეგვიპტური“ სამკუთხედი.

ძალიან ხშირად, მეცნიერები თავიანთ კვლევებში იყენებენ პირამიდების თვისებებს ოქროს განყოფილების პროპორციებით.

მათემატიკურ ენციკლოპედიურ ლექსიკონში მოცემულია ოქროს განყოფილების შემდეგი განმარტება - ეს არის ჰარმონიული დაყოფა, დაყოფა უკიდურეს და საშუალო თანაფარდობაში - AB სეგმენტის დაყოფა ორ ნაწილად ისე, რომ მისი AC უმეტესი ნაწილი არის საშუალო. პროპორციულია მთელ AB სეგმენტსა და მის პატარა ნაწილს CB შორის.

სეგმენტის ოქროს მონაკვეთის ალგებრული აღმოჩენა AB = aმცირდება განტოლების ამოხსნამდე a: x = x: (a - x), საიდანაც x დაახლოებით უდრის 0,62a-ს. x თანაფარდობა შეიძლება გამოისახოს წილადებით 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, სადაც 2, 3, 5, 8, 13, 21 ფიბონაჩის რიცხვებია.

AB სეგმენტის ოქროს მონაკვეთის გეომეტრიული კონსტრუქცია ხორციელდება შემდეგნაირად: B წერტილში აღდგენილია AB-ზე პერპენდიკულარული, მასზე დაყრილია სეგმენტი BE \u003d 1/2 AB, A და E დაკავშირებულია, DE \. u003d BE გადაიდო და, ბოლოს, AC \u003d AD, შემდეგ სრულდება AB თანასწორობა: CB = 2: 3.

ოქროს თანაფარდობა ხშირად გამოიყენება ხელოვნების ნიმუშებში, არქიტექტურაში და გვხვდება ბუნებაში. ნათელი მაგალითია აპოლონ ბელვედერის სკულპტურა, პართენონი. პართენონის მშენებლობისას გამოყენებული იქნა შენობის სიმაღლის შეფარდება მის სიგრძესთან და ეს თანაფარდობაა 0,618. ჩვენს ირგვლივ არსებული ობიექტები ასევე გვაწვდიან ოქროს თანაფარდობის მაგალითებს, მაგალითად, მრავალი წიგნის აკინძებს აქვთ სიგანისა და სიგრძის თანაფარდობა 0,618-მდე. მცენარის საერთო ღეროზე ფოთლების განლაგების გათვალისწინებით, შეიძლება შეამჩნიოთ, რომ ყოველ ორ წყვილ ფოთოლს შორის, მესამე მდებარეობს ოქროს თანაფარდობის (სლაიდების) ადგილზე. თითოეული ჩვენგანი "ატარებს" ოქროს თანაფარდობას ჩვენთან "ჩვენს ხელში" - ეს არის თითების ფალანგების თანაფარდობა.

რამდენიმე მათემატიკური პაპირუსების აღმოჩენის წყალობით, ეგვიპტოლოგებმა რაღაც გაიგეს ძველი ეგვიპტური გამოთვლებისა და ზომების სისტემების შესახებ. მათში შემავალი ამოცანები წყვეტდნენ მწიგნობრები. ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი არის Rhind მათემატიკური პაპირუსი. ამ თავსატეხების შესწავლით, ეგვიპტოლოგებმა შეიტყვეს, თუ როგორ ეპყრობოდნენ ძველ ეგვიპტელებს წონის, სიგრძისა და მოცულობის ზომების გამოთვლისას წარმოქმნილი სხვადასხვა სიდიდეები, რომლებიც ხშირად იყენებდნენ წილადებს, ასევე, როგორ ეპყრობოდნენ ისინი კუთხეებს.

ძველი ეგვიპტელები იყენებდნენ კუთხეების გამოთვლის მეთოდს მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლისა და ფუძის თანაფარდობის საფუძველზე. ისინი გამოხატავდნენ ნებისმიერ კუთხეს გრადიენტის ენაზე. დახრილობის გრადიენტი გამოიხატა როგორც მთელი რიცხვის თანაფარდობა, რომელსაც ეწოდება "seked". მათემატიკაში ფარაონების დროს რიჩარდ პილინსი განმარტავს: „რეგულარული პირამიდის დახრილობა არის ოთხი სამკუთხა სახიდან რომელიმეს მიდრეკილება ფუძის სიბრტყეზე, რომელიც იზომება ჰორიზონტალური ერთეულების მე-n რიცხვით სიმაღლის ვერტიკალურ ერთეულზე. . ამრიგად, საზომის ეს ერთეული უდრის ჩვენი თანამედროვე კოტანგენსს დახრილობის კუთხის. მაშასადამე, ეგვიპტური სიტყვა „სეკედ“ დაკავშირებულია ჩვენს თანამედროვე სიტყვასთან „გრადიენტთან“.

პირამიდების რიცხვითი გასაღები მდგომარეობს მათი სიმაღლის ფუძის თანაფარდობაში. პრაქტიკული თვალსაზრისით, ეს არის უმარტივესი გზა იმისათვის, რომ გააკეთოთ შაბლონები, რომლებიც საჭიროა მუდმივად შეამოწმოთ დახრილობის სწორი კუთხე პირამიდის მშენებლობის დროს.

ეგვიპტოლოგები სიამოვნებით დაგვარწმუნებენ, რომ თითოეულ ფარაონს სურდა გამოეხატა თავისი ინდივიდუალობა, აქედან გამომდინარეობს განსხვავებები თითოეული პირამიდის დახრილობის კუთხეებში. მაგრამ შეიძლება იყოს სხვა მიზეზი. შესაძლოა, მათ ყველას სურდათ სხვადასხვა პროპორციებში ჩაფლული სხვადასხვა სიმბოლური ასოციაციების განსახიერება. თუმცა, ხაფრეს პირამიდის კუთხე (სამკუთხედზე დაფუძნებული (3:4:5) ჩანს რინდის მათემატიკური პაპირუსში პირამიდების მიერ წარმოდგენილ სამ ამოცანში). ასე რომ, ეს დამოკიდებულება კარგად იყო ცნობილი ძველი ეგვიპტელებისთვის.

სამართლიანი რომ ვიყოთ ეგვიპტოლოგების მიმართ, რომლებიც ამტკიცებენ, რომ ძველმა ეგვიპტელებმა არ იცოდნენ 3:4:5 სამკუთხედი, ვთქვათ, რომ ჰიპოტენუზა 5-ის სიგრძე არასოდეს ყოფილა ნახსენები. მაგრამ მათემატიკური ამოცანები პირამიდებთან დაკავშირებით ყოველთვის წყდება დახრილი კუთხის საფუძველზე - სიმაღლის შეფარდება ფუძესთან. ვინაიდან ჰიპოტენუზის სიგრძე არასოდეს იყო ნახსენები, დაასკვნეს, რომ ეგვიპტელები არასოდეს გამოთვლიდნენ მესამე მხარის სიგრძეს.

გიზას პირამიდებში გამოყენებული სიმაღლისა და ფუძის თანაფარდობა ძველ ეგვიპტელებს უთუოდ ცნობილი იყო. შესაძლებელია, რომ თითოეული პირამიდისთვის ეს კოეფიციენტები თვითნებურად იქნა არჩეული. თუმცა, ეს ეწინააღმდეგება იმ მნიშვნელობას, რომელსაც ენიჭება რიცხვითი სიმბოლიკა ეგვიპტური სახვითი ხელოვნების ყველა სახეობაში. ძალიან სავარაუდოა, რომ ასეთ ურთიერთობებს მნიშვნელოვანი მნიშვნელობა ჰქონდა, რადგან ისინი გამოხატავდნენ კონკრეტულ რელიგიურ იდეებს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გიზას მთელი კომპლექსი ექვემდებარებოდა თანმიმდევრულ დიზაინს, რომელიც შექმნილია რაიმე სახის ღვთაებრივი თემის ასახვაზე. ამით აიხსნება, თუ რატომ აირჩიეს დიზაინერებმა სამი პირამიდის სხვადასხვა კუთხე.

„ორიონის საიდუმლოში“ ბავვალმა და გილბერტმა წარმოადგინეს დამაჯერებელი მტკიცებულება გიზას პირამიდების კავშირის შესახებ ორიონის თანავარსკვლავედთან, კერძოდ, ორიონის სარტყლის ვარსკვლავებთან. იგივე თანავარსკვლავედი არის ისისისა და ოსირისის მითში და იქ. არის მიზეზი იმისა, რომ თითოეული პირამიდა სამი ძირითადი ღვთაებიდან ერთ-ერთის - ოსირისის, ისისისა და ჰორუსის გამოსახულებად მივიჩნიოთ.

სასწაულები "გეომეტრიული".

ეგვიპტის გრანდიოზულ პირამიდებს შორის განსაკუთრებული ადგილი უჭირავს ფარაონ კეოფსის დიდი პირამიდა (ხუფუ). სანამ კეოპსის პირამიდის ფორმისა და ზომის ანალიზს გავაგრძელებთ, უნდა გავიხსენოთ ზომების რა სისტემას იყენებდნენ ეგვიპტელები. ეგვიპტელებს სიგრძის სამი ერთეული ჰქონდათ: „კუბიტი“ (466 მმ), შვიდი „პალმის“ ტოლი (66,5 მმ), რაც, თავის მხრივ, ოთხ „თითს“ (16,6 მმ) უდრიდა.

გავაანალიზოთ კეოპსის პირამიდის ზომა (ნახ. 2), უკრაინელი მეცნიერის ნიკოლაი ვასიუტინსკის შესანიშნავ წიგნში „ოქროს პროპორცია“ (1990) მოცემული მსჯელობის შემდეგ.

მკვლევართა უმეტესობა თანხმდება, რომ პირამიდის ფუძის გვერდის სიგრძე, მაგალითად, გფუდრის ლ\u003d 233,16 მ. ეს მნიშვნელობა თითქმის ზუსტად შეესაბამება 500 "კუბიტს". სრული შესაბამისობა 500 „კუბიტთან“ იქნება, თუ „კუბიტის“ სიგრძე ჩაითვლება 0,4663 მ-ის ტოლი.

პირამიდის სიმაღლე ( ჰ) მკვლევარების მიერ განსხვავებულად არის შეფასებული 146,6-დან 148,2 მ-მდე და პირამიდის მიღებული სიმაღლედან გამომდინარე, იცვლება მისი გეომეტრიული ელემენტების ყველა თანაფარდობა. რა არის პირამიდის სიმაღლის შეფასებაში განსხვავებების მიზეზი? ფაქტია, რომ, მკაცრად რომ ვთქვათ, კეოპსის პირამიდა შეკვეცილია. მისი ზედა პლატფორმა დღეს არის დაახლოებით 10' 10 მ, ხოლო საუკუნის წინ იყო 6'6 მ. აშკარაა, რომ პირამიდის მწვერვალი დაიშალა და ის არ შეესაბამება თავდაპირველს.

პირამიდის სიმაღლის შეფასებისას აუცილებელია ისეთი ფიზიკური ფაქტორის გათვალისწინება, როგორიც არის სტრუქტურის „დრაფტი“. დიდი ხნის განმავლობაში, კოლოსალური წნევის გავლენის ქვეშ (500 ტონას 1 მ2 ქვედა ზედაპირზე) პირამიდის სიმაღლე მცირდებოდა თავდაპირველ სიმაღლესთან შედარებით.

რა იყო პირამიდის საწყისი სიმაღლე? ამ სიმაღლის აღდგენა შესაძლებელია, თუ იპოვით პირამიდის ძირითად „გეომეტრიულ იდეას“.

სურათი 2.

1837 წელს ინგლისელმა პოლკოვნიკმა გ.უაიზმა გაზომა პირამიდის სახეების დახრილობის კუთხე: აღმოჩნდა ტოლი. ა= 51°51". ეს მნიშვნელობა დღესაც აღიარებულია მკვლევართა უმეტესობის მიერ. კუთხის მითითებული მნიშვნელობა შეესაბამება ტანგენტს (tg ა), უდრის 1.27306. ეს მნიშვნელობა შეესაბამება პირამიდის სიმაღლის თანაფარდობას ACმისი ბაზის ნახევარზე CB(ნახ.2), ე.ი. AC / CB = ჰ / (ლ / 2) = 2ჰ / ლ.

და აქ მკვლევარებს დიდი სიურპრიზი ელოდნენ!.png" width="25" height="24">= 1.272. ამ მნიშვნელობის შედარება tg მნიშვნელობასთან ა= 1.27306, ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს მნიშვნელობები ძალიან ახლოს არის ერთმანეთთან. თუ ავიღებთ კუთხეს ა\u003d 51 ° 50", ანუ მისი შემცირება მხოლოდ ერთი რკალის წუთით, შემდეგ მნიშვნელობა აგახდება 1.272-ის ტოლი, ანუ დაემთხვევა მნიშვნელობას. უნდა აღინიშნოს, რომ 1840 წელს გ. უაიზმა გაიმეორა მისი გაზომვები და განმარტა, რომ კუთხის მნიშვნელობა ა=51°50"

ამ გაზომვებმა მკვლევარები მიიყვანა შემდეგ ძალიან საინტერესო ჰიპოთეზამდე: ქეოპსის პირამიდის სამკუთხედი ASV დაფუძნებული იყო AC მიმართებაში / CB = = 1,272!

ახლა განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი ABC, რომელშიც ფეხების თანაფარდობა AC / CB= (ნახ.2). თუ ახლა მართკუთხედის გვერდების სიგრძეები ABCაღნიშნავენ მიერ x, წ, ზ, და ასევე გაითვალისწინეთ, რომ თანაფარდობა წ/x= , მაშინ, პითაგორას თეორემის შესაბამისად, სიგრძე ზშეიძლება გამოითვალოს ფორმულით:

თუ მიიღება x = 1, წ= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

სურათი 3"ოქროს" მართკუთხა სამკუთხედი.

მართკუთხა სამკუთხედი, რომელშიც გვერდები დაკავშირებულია როგორც ტ:ოქროსფერი" მართკუთხა სამკუთხედი.

მაშინ, თუ საფუძვლად ავიღებთ ჰიპოთეზას, რომ კეოპსის პირამიდის მთავარი „გეომეტრიული იდეა“ არის „ოქროს“ მართკუთხა სამკუთხედი, მაშინ აქედან ადვილია კეოპსის პირამიდის „დიზაინის“ სიმაღლის გამოთვლა. ის უდრის:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 მ.

ახლა გამოვიყვანოთ კეოპსის პირამიდის სხვა მიმართებები, რომლებიც გამომდინარეობს „ოქროს“ ჰიპოთეზიდან. კერძოდ, ჩვენ ვხვდებით პირამიდის გარე ფართობის თანაფარდობას მისი ფუძის ფართობთან. ამისათვის ჩვენ ვიღებთ ფეხის სიგრძეს CBერთეულზე, ანუ: CB= 1. მაგრამ შემდეგ პირამიდის ფუძის გვერდის სიგრძე გფ= 2 და ბაზის ფართობი EFGHტოლი იქნება SEFGH = 4.

მოდით გამოვთვალოთ კეოპსის პირამიდის გვერდითი სახის ფართობი SD. რადგან სიმაღლე ABსამკუთხედი AEFუდრის ტ, მაშინ გვერდითი სახის ფართობი ტოლი იქნება SD = ტ. მაშინ პირამიდის ოთხივე გვერდითი სახის საერთო ფართობი 4-ის ტოლი იქნება ტდა პირამიდის მთლიანი გარე ფართობის შეფარდება საბაზისო ფართობთან იქნება ოქროს თანაფარდობის ტოლი! სწორედ ეს არის - კეოპსის პირამიდის მთავარი გეომეტრიული საიდუმლო!

კეოპსის პირამიდის „გეომეტრიული საოცრებების“ ჯგუფში შედის პირამიდის სხვადასხვა განზომილებების ურთიერთობის რეალური და გამოგონილი თვისებები.

როგორც წესი, ისინი მიიღება რაიმე „მუდმივის“ საძიებლად, კერძოდ, რიცხვის „პი“ (ლუდოლფის რიცხვი), უდრის 3,14159...; ბუნებრივი ლოგარითმების ფუძეები „ე“ (ნაპიერის რიცხვი) უდრის 2,71828...; რიცხვი "F", "ოქროს მონაკვეთის" ნომერი, ტოლია, მაგალითად, 0.618 ... და ა.შ.

შეგიძლიათ დაასახელოთ, მაგალითად: 1) ჰეროდოტეს საკუთრება: (სიმაღლე) 2 \u003d 0,5 ქ. მთავარი x აპთემა; 2) V-ის საკუთრება ფასი: სიმაღლე: 0,5 ქ. osn \u003d "Ф"-ის კვადრატული ფესვი; 3) M. Eist-ის საკუთრება: ფუძის პერიმეტრი: 2 სიმაღლე = „პი“; განსხვავებული ინტერპრეტაციით - 2 ს.კ. მთავარი : სიმაღლე = „პი“; 4) გ.რებერის საკუთრება: შემოხაზული წრის რადიუსი: 0,5 ქ. მთავარი = "F"; 5) კ. კლეპიშის საკუთრება: (ქ. მთავარი.) 2: 2 (ქ. მთავარი. x აპოთემი) \u003d (ქ. მთავარი. ვ. აპოთემი) \u003d 2 (ქ. მთავარი. x აპოთემი) : (( 2 ქ მთავარი X აპოთემა) + (ქ. მთავარი) 2). და ა.შ. თქვენ შეგიძლიათ მოიფიქროთ ბევრი ასეთი თვისება, განსაკუთრებით თუ დააკავშირებთ ორ მეზობელ პირამიდას. მაგალითად, როგორც „ა.არეფიევის თვისებები“ შეიძლება აღინიშნოს, რომ სხვაობა კეოფსის პირამიდისა და ხაფრის პირამიდის მოცულობებს შორის ტოლია მენკაურეს პირამიდის ორჯერ მოცულობის...

ბევრი საინტერესო დებულება, კერძოდ, პირამიდების აგების შესახებ „ოქროს მონაკვეთის“ მიხედვით, მოცემულია დ.ჰამბიჯის წიგნებში „დინამიური სიმეტრია არქიტექტურაში“ და მ.გიკი „პროპორციის ესთეტიკა ბუნებასა და ხელოვნებაში“. შეგახსენებთ, რომ "ოქროს მონაკვეთი" არის სეგმენტის დაყოფა ასეთი თანაფარდობით, როდესაც A ნაწილი იმდენჯერ მეტია B ნაწილზე, რამდენჯერ არის A ნაკლები მთელ სეგმენტზე A + B. შეფარდება A/B არის უდრის რიცხვს "Ф" == 1.618... "ოქროს მონაკვეთის" გამოყენება მითითებულია არა მხოლოდ ცალკეულ პირამიდებში, არამედ გიზას მთელ პირამიდის კომპლექსში.

თუმცა, ყველაზე საინტერესო ის არის, რომ კეოპსის ერთი და იგივე პირამიდა უბრალოდ „არ შეიძლება“ შეიცავდეს ამდენ შესანიშნავ თვისებას. გარკვეული ქონების სათითაოდ აღებით, შეგიძლიათ „მოასწოროთ“, მაგრამ ერთბაშად არ ჯდება – არ ემთხვევა ერთმანეთს, ეწინააღმდეგება ერთმანეთს. ამიტომ, თუ, მაგალითად, ყველა თვისების შემოწმებისას, თავდაპირველად აღებულია პირამიდის ფუძის ერთი და იგივე მხარე (233 მ), მაშინ განსხვავებული თვისებების მქონე პირამიდების სიმაღლეც იქნება განსხვავებული. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არსებობს პირამიდების გარკვეული „ოჯახი“, რომელიც გარეგნულად კეოპსის მსგავსია, მაგრამ განსხვავებული თვისებების შესაბამისი. გაითვალისწინეთ, რომ არაფერია განსაკუთრებული სასწაული "გეომეტრიულ" თვისებებში - ბევრი რამ წარმოიქმნება მხოლოდ ავტომატურად, თავად ფიგურის თვისებებიდან. "სასწაული" უნდა ჩაითვალოს მხოლოდ რაღაც აშკარად შეუძლებელი ძველი ეგვიპტელებისთვის. ეს, კერძოდ, მოიცავს "კოსმოსურ" სასწაულებს, რომლებშიც კეოპსის პირამიდის ან გიზას პირამიდის კომპლექსის გაზომვები შედარებულია ზოგიერთ ასტრონომიულ გაზომვებთან და მითითებულია "ლუწი" რიცხვები: მილიონჯერ, მილიარდჯერ ნაკლები და ასე შემდეგ. განვიხილოთ რამდენიმე „კოსმიური“ ურთიერთობა.

ერთ-ერთი განცხადება ასეთია: „თუ პირამიდის ფუძის გვერდს გავყოფთ წლის ზუსტ სიგრძეზე, მივიღებთ დედამიწის ღერძის ზუსტად 10 მემილიონედს“. გამოთვალეთ: გავყოთ 233 365-ზე, მივიღებთ 0,638-ს. დედამიწის რადიუსი 6378 კმ-ია.

სხვა განცხადება რეალურად წინას საპირისპიროა. ფ. ნოეტლინგმა აღნიშნა, რომ თუ მის მიერ გამოგონილ „ეგვიპტურ იდაყვს“ იყენებთ, მაშინ პირამიდის გვერდი შეესატყვისება „მზის წლის ყველაზე ზუსტ ხანგრძლივობას, რომელიც გამოიხატება დღის მემილიარდედამდე“ - 365.540.903.777. .

პ. სმიტის განცხადება: „პირამიდის სიმაღლე დედამიწიდან მზემდე მანძილის ზუსტად მილიარდი ნაწილია“. მიუხედავად იმისა, რომ ჩვეულებრივ აღებულია 146,6 მ სიმაღლე, სმიტმა ის აიღო როგორც 148,2 მ. თანამედროვე რადარის გაზომვების მიხედვით, დედამიწის ორბიტის ნახევრად მთავარი ღერძი არის 149,597,870 + 1,6 კმ. ეს არის საშუალო მანძილი დედამიწიდან მზემდე, მაგრამ პერიჰელიონში ის 5 000 000 კილომეტრით ნაკლებია ვიდრე აფელიონზე.

ბოლო საინტერესო განცხადება:

„როგორ ავხსნათ, რომ კეოპსის, ხაფრეს და მენკაურეს პირამიდების მასები დაკავშირებულია ერთმანეთთან, როგორც პლანეტების დედამიწა, ვენერა, მარსი? გამოვთვალოთ. სამი პირამიდის მასები დაკავშირებულია შემდეგნაირად: ხაფრე - 0,835; ხეოფსი - 1000; მიკერინი - 0,0915. სამი პლანეტის მასების შეფარდება: ვენერა - 0,815; მიწა - 1000; მარსი - 0,108.

ასე რომ, მიუხედავად სკეპტიციზმისა, ავღნიშნოთ განცხადებების აგების კარგად ცნობილი ჰარმონია: 1) პირამიდის სიმაღლე, როგორც „კოსმოსში მიმავალი“ ხაზი - შეესაბამება დედამიწიდან მზემდე მანძილს; 2) პირამიდის ფუძის მხარე, რომელიც ყველაზე ახლოს არის "სუბსტრატთან", ანუ დედამიწასთან, პასუხისმგებელია დედამიწის რადიუსზე და დედამიწის მიმოქცევაზე; 3) პირამიდის მოცულობები (წაკითხული - მასები) შეესაბამება დედამიწასთან ყველაზე ახლოს მყოფი პლანეტების მასების თანაფარდობას. მსგავსი „შიფრა“ შეიძლება მოიძებნოს, მაგალითად, ფუტკრის ენაზე, რომელიც გაანალიზებულია კარლ ფონ ფრიშის მიერ. თუმცა, ამ დროისთვის კომენტარისგან თავს ვიკავებთ.

პირამიდების ფორმა

პირამიდების ცნობილი ტეტრაედრული ფორმა მაშინვე არ გამოჩნდა. სკვითები სამარხებს აკეთებდნენ თიხის ბორცვების - ბორცვების სახით. ეგვიპტელები ააგეს ქვის „ბორცვები“ - პირამიდები. ეს პირველად მოხდა ზემო და ქვემო ეგვიპტის გაერთიანების შემდეგ, ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 28-ე საუკუნეში, როდესაც III დინასტიის დამაარსებელს ფარაონ ჯოზერს (ზოზერს) ქვეყნის ერთიანობის განმტკიცების ამოცანა დაუპირისპირდა.

აქ კი, ისტორიკოსების აზრით, ცენტრალური ხელისუფლების განმტკიცებაში მნიშვნელოვანი როლი ითამაშა მეფის „განღმერთების ახალმა კონცეფციამ“. მიუხედავად იმისა, რომ სამეფო სამარხები გამოირჩეოდა უფრო დიდი ბრწყინვალებით, ისინი პრინციპში არ განსხვავდებოდნენ სასამართლოს დიდებულთა საფლავებისგან, ეს იყო იგივე ნაგებობები - მასტაბასები. მუმიის შემცველი სარკოფაგის მქონე კამერის ზემოთ, პატარა ქვებისგან შემდგარი მართკუთხა ბორცვი იყო ჩამოსხმული, სადაც შემდეგ მოათავსეს დიდი ქვის ბლოკებისგან შემდგარი პატარა ნაგებობა - "მასტაბა" (არაბულად - "სკამი"). მისი წინამორბედის, სანახტის მასტაბას ადგილზე ფარაონმა ჯოსერმა პირველი პირამიდა აღმართა. იგი საფეხურიანი იყო და წარმოადგენდა თვალსაჩინო გარდამავალ ეტაპს ერთი არქიტექტურული ფორმიდან მეორეში, მასტაბადან პირამიდამდე.

ამგვარად ფარაონი ბრძენმა და ხუროთმოძღვარმა იმჰოტეპმა „გაზარდა“, რომელიც შემდგომ ჯადოქარად მიიჩნიეს და ბერძნებმა ღმერთ ასკლეპიუსთან გაიგივეს. თითქოს ზედიზედ ექვსი მასტაბა დაუდგეს. უფრო მეტიც, პირველ პირამიდას ეკავა ფართობი 1125 x 115 მეტრი, სავარაუდო სიმაღლე 66 მეტრი (ეგვიპტური ზომების მიხედვით - 1000 "პალმა"). თავიდან არქიტექტორმა მასტაბის აშენება დაგეგმა, მაგრამ არა წაგრძელებული, არამედ გეგმით კვადრატული. მოგვიანებით იგი გაფართოვდა, მაგრამ რადგან გაფართოება უფრო დაბალი იყო, ორი საფეხური ჩამოყალიბდა, როგორც იქნა.

ამ ვითარებამ არ დააკმაყოფილა არქიტექტორი და უზარმაზარი ბრტყელი მასტაბის ზედა პლატფორმაზე იმჰოტეპმა მოათავსა კიდევ სამი, თანდათან მცირდებოდა ზევით. საფლავი პირამიდის ქვეშ იყო.

ცნობილია კიდევ რამდენიმე საფეხურიანი პირამიდა, მაგრამ მოგვიანებით მშენებლები გადავიდნენ უფრო ნაცნობი ტეტრაედრული პირამიდების აგებაზე. თუმცა, რატომ არა სამკუთხა ან, ვთქვათ, რვაკუთხა? ირიბ პასუხს იძლევა ის ფაქტი, რომ თითქმის ყველა პირამიდა იდეალურად არის ორიენტირებული ოთხ კარდინალურ წერტილზე და, შესაბამისად, აქვს ოთხი მხარე. გარდა ამისა, პირამიდა იყო "სახლი", ოთხკუთხა სამარხი კამერის გარსი.

მაგრამ რამ განაპირობა სახეების დახრილობის კუთხე? წიგნში „პროპორციების პრინციპი“ ამას მთელი თავი ეთმობა: „რა შეეძლო პირამიდების კუთხეების განსაზღვრა“. კერძოდ, მითითებულია, რომ „გამოსახულება, რომელზედაც მიზიდავს ძველი სამეფოს დიდი პირამიდები, არის სამკუთხედი, რომლის ზედა მარჯვენა კუთხეა.

სივრცეში ეს არის ნახევრად ოქტაედონი: პირამიდა, რომელშიც ფუძის კიდეები და გვერდები ტოლია, სახეები ტოლგვერდა სამკუთხედები.ამ თემაზე გარკვეული მოსაზრებებია მოცემული ჰამბიჯის, გიკის და სხვათა წიგნებში.

რა უპირატესობა აქვს ნახევაროქტაედრის კუთხით? არქეოლოგებისა და ისტორიკოსების აღწერით, ზოგიერთი პირამიდა საკუთარი სიმძიმით ჩამოინგრა. საჭირო იყო „გამძლეობის კუთხე“, ენერგიულად ყველაზე საიმედო კუთხე. წმინდა ემპირიულად, ეს კუთხე შეიძლება იქნას აღებული მწვერვალის კუთხიდან დამსხვრეული მშრალი ქვიშის გროვაში. მაგრამ ზუსტი მონაცემების მისაღებად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ მოდელი. აიღეთ ოთხი მყარად დამაგრებული ბურთი, თქვენ უნდა დაადოთ მათზე მეხუთე და გაზომოთ დახრილობის კუთხეები. თუმცა, აქ შეგიძლიათ შეცდომა დაუშვათ, ამიტომ თეორიული გაანგარიშება დაგეხმარებათ: თქვენ უნდა დააკავშიროთ ბურთების ცენტრები ხაზებით (გონებრივად). ბაზაზე მიიღებთ კვადრატს, რომლის გვერდი უდრის ორჯერ რადიუსს. კვადრატი იქნება მხოლოდ პირამიდის საფუძველი, რომლის კიდეების სიგრძე ასევე უდრის ორჯერ რადიუსს.

ამრიგად, 1:4 ტიპის ბურთების მკვრივი შეფუთვა მოგვცემს ჩვეულებრივ ნახევრად ოქტაედრონს.

თუმცა, რატომ არ ინარჩუნებს მას მსგავსი ფორმისკენ მიზიდული მრავალი პირამიდა? ალბათ პირამიდები ბერდება. ცნობილი გამონათქვამის საწინააღმდეგოდ:

"მსოფლიოში ყველაფერს ეშინია დროის, დროს კი ეშინია პირამიდების", პირამიდების შენობები უნდა დაბერდეს, მათ შეუძლიათ და უნდა მოხდეს არა მხოლოდ გარეგანი ამინდის პროცესები, არამედ შიდა "შემცირების" პროცესებიც. , საიდანაც პირამიდები შეიძლება უფრო დაბლა გახდეს. შეკუმშვა ასევე შესაძლებელია, რადგან, როგორც დ. დავიდოვიცის ნაშრომებიდან გაირკვა, ძველი ეგვიპტელები იყენებდნენ კირის ჩიპებისგან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, „ბეტონისგან“ ბლოკების დამზადების ტექნოლოგიას. სწორედ ამ პროცესებმა შეიძლება აიხსნას კაიროს სამხრეთით 50 კმ-ში მდებარე მედუმის პირამიდის განადგურების მიზეზი. ის 4600 წლისაა, ძირის ზომებია 146 x 146 მ, სიმაღლე 118 მ. „რატომ არის ასე დასახიჩრებული?“ კითხულობს ვ.ზამაროვსკი, „ჩვეული ცნობები დროის დესტრუქციულ ზემოქმედებაზე და „ქვა სხვა შენობებისთვის გამოყენებაზე“ აქ არ ჯდება.

ბოლოს და ბოლოს, მისი ბლოკებისა და მოსაპირკეთებელი ფილების უმეტესობა ჯერ კიდევ რჩება ადგილზე, მის ძირში ნანგრევებში. "როგორც დავინახავთ, რიგი დებულებები აიძულებს ადამიანს იფიქროს, რომ ცნობილი კეოპსის პირამიდაც" შემცირდა". ყოველ შემთხვევაში. ყველა უძველეს გამოსახულებაზე პირამიდებია გამოსახული...

პირამიდების ფორმა ასევე შეიძლება წარმოიშვას იმიტაციით: ზოგიერთი ბუნებრივი ნიმუში, "სასწაული სრულყოფილება", ვთქვათ, ზოგიერთი კრისტალები რვაადარის სახით.

ასეთი კრისტალები შეიძლება იყოს ალმასის და ოქროს კრისტალები. დამახასიათებელია დიდი რაოდენობით "გადაკვეთის" ნიშნები ისეთი ცნებებისთვის, როგორიცაა ფარაონი, მზე, ოქრო, ბრილიანტი. ყველგან - კეთილშობილი, ბრწყინვალე (ბრწყინვალე), დიდებული, უნაკლო და ა.შ. მსგავსება შემთხვევითი არ არის.

მზის კულტი, მოგეხსენებათ, ძველი ეგვიპტის რელიგიის მნიშვნელოვანი ნაწილი იყო. „როგორც არ უნდა ვთარგმნოთ ყველაზე დიდი პირამიდების სახელს“, - ნათქვამია ერთ-ერთ თანამედროვე სახელმძღვანელოში, „ცა ხუფუ“ ან „ცა ხუფუ“, ეს ნიშნავს, რომ მეფე მზეა. თუ ხუფუმ, თავისი ძალაუფლების ბრწყინვალებით, თავი მეორე მზედ წარმოიდგინა, მაშინ მისი ვაჟი ჯედეფ-რა გახდა ეგვიპტის მეფეთაგან პირველი, ვინც თავის თავს "რას ძე" უწოდა, ანუ ძე. მზე. მზე თითქმის ყველა ხალხმა განასახიერა, როგორც "მზის ლითონი", ოქრო. "ნათელი ოქროს დიდი დისკი" - ასე უწოდებდნენ ეგვიპტელები ჩვენს დღის სინათლეს. ეგვიპტელებმა ძალიან კარგად იცოდნენ ოქრო, მათ იცოდნენ მისი მშობლიური ფორმები, სადაც ოქროს კრისტალები შეიძლება გამოჩნდეს რვაფეხა ფორმის სახით.

როგორც "ფორმების ნიმუში" აქ ასევე საინტერესოა "მზის ქვა" - ბრილიანტი. ალმასის სახელი მოვიდა მხოლოდ არაბული სამყაროდან, "ალმასი" - უმძიმესი, უმძიმესი, ურღვევი. ძველმა ეგვიპტელებმა იცოდნენ, რომ ალმასი და მისი თვისებები საკმაოდ კარგია. ზოგიერთი ავტორის აზრით, ბურღვისთვის ბრინჯაოს მილებსაც კი იყენებდნენ ალმასის საჭრელებით.

სამხრეთ აფრიკა ახლა ბრილიანტების მთავარი მიმწოდებელია, მაგრამ დასავლეთ აფრიკა ასევე მდიდარია ბრილიანტებით. მალის რესპუბლიკის ტერიტორიას იქ „ბრილიანტის მიწასაც“ კი უწოდებენ. იმავდროულად, სწორედ მალის ტერიტორიაზე ცხოვრობენ დოგონები, რომლებთანაც პალეოვიზიტის ჰიპოთეზის მომხრეები ბევრ იმედს ამყარებენ (იხ. ქვემოთ). ბრილიანტები ვერ იქნებოდა ძველი ეგვიპტელების ამ რეგიონთან კონტაქტების მიზეზი. თუმცა, ასეა თუ ისე, შესაძლებელია, რომ სწორედ ალმასის და ოქროს კრისტალების ოქტაედრების კოპირებით გააღმერთეს ძველი ეგვიპტელები ფარაონები, ალმასის მსგავსად „ურღვევი“ და ოქროვით „ბრწყინვალე“, მზის შვილები, შესადარებელი. მხოლოდ ბუნების ყველაზე მშვენიერი ქმნილებებით.

დასკვნა:

შევისწავლეთ პირამიდა, როგორც გეომეტრიული სხეული, გავეცანით მის ელემენტებს და თვისებებს, დავრწმუნდით პირამიდის ფორმის სილამაზის შესახებ მოსაზრების მართებულობაში.

ჩვენი კვლევის შედეგად მივედით დასკვნამდე, რომ ეგვიპტელები, რომლებმაც შეაგროვეს ყველაზე ღირებული მათემატიკური ცოდნა, განასახიერეს იგი პირამიდაში. მაშასადამე, პირამიდა ნამდვილად არის ბუნებისა და ადამიანის ყველაზე სრულყოფილი ქმნილება.

ბიბლიოგრაფია

„გეომეტრია: პროკ. 7-9 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები \ და სხვ. - მე-9 გამოცემა - M .: განათლება, 1999 წ

მათემატიკის ისტორია სკოლაში, მ: „განმანათლებლობა“, 1982 წ

გეომეტრია 10-11 კლასი, მ: „განმანათლებლობა“, 2000 წ

პიტერ ტომპკინსი "კეოპსის დიდი პირამიდის საიდუმლოებები", M: "ცენტროპოლიგრაფი", 2005 წ.

ინტერნეტ რესურსები

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

აქ არის თავმოყრილი ძირითადი ინფორმაცია პირამიდების და მასთან დაკავშირებული ფორმულებისა და კონცეფციების შესახებ. ყველა მათგანი სწავლობს მათემატიკის რეპეტიტორთან გამოცდისთვის მოსამზადებლად.

განვიხილოთ თვითმფრინავი, მრავალკუთხედი იწვა მასში და წერტილი S არ დევს მასში. შეაერთეთ S მრავალკუთხედის ყველა წვეროსთან. შედეგად წარმოქმნილ პოლიედრონს პირამიდა ეწოდება. სეგმენტებს გვერდითი კიდეები ეწოდება. მრავალკუთხედს ეწოდება ფუძე, ხოლო S წერტილს - პირამიდის მწვერვალი. n რიცხვიდან გამომდინარე, პირამიდას ეწოდება სამკუთხა (n=3), ოთხკუთხა (n=4), ხუთკუთხა (n=5) და ა.შ. სამკუთხა პირამიდის ალტერნატიული სახელი - ტეტრაედონი. პირამიდის სიმაღლე არის პერპენდიკულური, რომელიც გამოყვანილია მისი მწვერვალიდან ფუძის სიბრტყემდე.

პირამიდას ეწოდება სწორი თუ რეგულარული მრავალკუთხედი და პირამიდის სიმაღლის ფუძე (პერპენდიკულარულის საფუძველი) არის მისი ცენტრი.

დამრიგებლის კომენტარი:
არ აურიოთ ცნება "რეგულარული პირამიდა" და "რეგულარული ტეტრაედონი". ჩვეულებრივ პირამიდაში გვერდითი კიდეები სულაც არ არის ფუძის კიდეების ტოლი, მაგრამ ჩვეულებრივ ტეტრაედრონში კიდეების ექვსივე კიდე ტოლია. ეს არის მისი განმარტება. ადვილი დასამტკიცებელია, რომ ტოლობა გულისხმობს მრავალკუთხედის P ცენტრის სიმაღლის ფუძით, ამიტომ რეგულარული ტეტრაედონი არის რეგულარული პირამიდა.

რა არის აპთემა?
პირამიდის აპოთემა არის მისი გვერდითი სახის სიმაღლე. თუ პირამიდა რეგულარულია, მაშინ მისი ყველა აპთემა ტოლია. საპირისპირო არ არის სიმართლე.

მათემატიკის დამრიგებელი თავისი ტერმინოლოგიის შესახებ: პირამიდებთან მუშაობა 80% აგებულია ორი ტიპის სამკუთხედის მეშვეობით:
1) აპოთემის შემცველი SK და სიმაღლე SP
2) შეიცავს გვერდითი კიდის SA და მისი პროექციის PA

ამ სამკუთხედების მითითების გასამარტივებლად, მათემატიკის დამრიგებელი უფრო მოსახერხებელია დაასახელოს მათგან პირველი. აპოთემიურიდა მეორე სანაპირო. სამწუხაროდ, ამ ტერმინოლოგიას ვერც ერთ სახელმძღვანელოში ვერ ნახავთ და მასწავლებელმა ცალმხრივად უნდა შემოიტანოს.

პირამიდის მოცულობის ფორმულა:
1) სად არის პირამიდის ფუძის ფართობი და არის პირამიდის სიმაღლე
2) სადაც არის ჩაწერილი სფეროს რადიუსი და არის პირამიდის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.
3) , სადაც MN არის მანძილი ნებისმიერი ორი გადაკვეთის კიდეზე და არის პარალელოგრამის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება დარჩენილი ოთხი კიდის შუა წერტილებით.

პირამიდის სიმაღლის ბაზის თვისება:

წერტილი P (იხ. ფიგურა) ემთხვევა პირამიდის ძირში ჩაწერილი წრის ცენტრს, თუ დაკმაყოფილებულია ერთ-ერთი შემდეგი პირობა:
1) ყველა აპთემა თანაბარია
2) ყველა გვერდითი სახე თანაბრად არის დახრილი ბაზისკენ
3) ყველა აპოთემა თანაბრად არის მიდრეკილი პირამიდის სიმაღლეზე
4) პირამიდის სიმაღლე თანაბრად არის დახრილი ყველა მხარისკენ

მათემატიკის დამრიგებლის კომენტარი: გაითვალისწინეთ, რომ ყველა წერტილი გაერთიანებულია ერთი საერთო თვისებით: ასე თუ ისე, გვერდითი სახეები ყველგან მონაწილეობენ (აპოთემები მათი ელემენტებია). ამიტომ, დამრიგებელს შეუძლია შესთავაზოს ნაკლებად ზუსტი, მაგრამ უფრო მოსახერხებელი ფორმულირება დასამახსოვრებლად: წერტილი P ემთხვევა ჩაწერილი წრის ცენტრს, პირამიდის ფუძეს, თუ არსებობს თანაბარი ინფორმაცია მისი გვერდითი სახეების შესახებ. ამის დასამტკიცებლად საკმარისია იმის ჩვენება, რომ ყველა აპოთემური სამკუთხედი ტოლია.

წერტილი P ემთხვევა შემოხაზული წრის ცენტრს პირამიდის ფუძესთან, თუ სამი პირობიდან ერთ-ერთი მართალია:
1) ყველა გვერდითი კიდე თანაბარია
2) ყველა გვერდითი ნეკნი თანაბრად არის დახრილი ბაზისკენ
3) ყველა გვერდითი ნეკნი თანაბრად არის დახრილი სიმაღლეზე