ფორმულები

ცილინდრის მოცულობა

კონუსის მოცულობა

მოკვეთილი კონუსის მოცულობა

ბურთის მოცულობა

V=1/3∏H(R2+r2+Rr)

V=4/3 ∙ ∏R 3

მოცულობის გამოთვლის ფორმულები: ბურთი, სფერული სექტორი, სფერული ფენა, სფერული სექტორი და სფეროს ფართობი

• სფეროს ფართობია:

S=4 π რ 2 ,

სადაც R არის სფეროს რადიუსი

• ბურთის მოცულობა არის:

V = 1 ⅓ π რ 3 = 4/3 π რ 3

სადაც R არის ბურთის რადიუსი

• სფერული სეგმენტის მოცულობა უდრის:

V = π თ 2 (რ - ⅓ თ) ,

სადაც R არის ბურთის რადიუსი და h არის სეგმენტის სიმაღლე

• სფერული ფენის მოცულობა უდრის:

V = V 1 – ვ 2 ,

სადაც V 1 არის ერთი სფერული სეგმენტის მოცულობა, ხოლო V 2 არის მეორე სფერული სეგმენტის მოცულობა

• სფერული სექტორის მოცულობა უდრის:

V = ⅔ π რ 2 თ ,

სადაც R არის ბურთის რადიუსი და h არის ბურთის სეგმენტის სიმაღლე

თეორიული კარნახი

ვარიანტი 1

შეავსეთ ტექსტში გამოტოვებული სიტყვები .

• სფეროს ნებისმიერი მონაკვეთი სიბრტყით არის წრე. ამ წრის ცენტრი არის …………………… ბურთის ცენტრიდან საჭრელი სიბრტყისკენ ჩამოშვებული პერპენდიკულარი.

2. ბურთის ცენტრი არის მისი ……………………………. სიმეტრია.

3. ბურთის ღერძული მონაკვეთია …………………………….

4. ორი სფეროს გადაკვეთის ხაზებია……………………

5. ცენტრიდან თანაბარი სიბრტყეები კვეთენ ბურთს ………………… წრეებში.

6. ნებისმიერი რეგულარული პირამიდის მახლობლად, სფეროს აღწერა შეიძლება და მისი ცენტრი დევს პირამიდის ……………………

ბაზა

ცენტრი

წრე

წრე

თანაბარი

სიმაღლე

თეორიული კარნახი

ვარიანტი 2

თვითმფრინავი

წრე

სიმაღლე

პერპენდიკულარული

შეხება

სიმაღლე

ბარათი #1

სფეროს დიამეტრზე პერპენდიკულარული სიბრტყე მის ნაწილებს ყოფს 3 სმ და 9 სმ. იპოვეთ სფეროს მოცულობა?

288 P სმ³

ბარათი #2

ორი თანაბარი სფერო განლაგებულია ისე, რომ ერთის ცენტრი მეორის ზედაპირზე დევს. როგორ არის დაკავშირებული ბურთების საერთო ნაწილის მოცულობა მთელი ბურთის მოცულობასთან?

5 / 16

ბარათი #3

სფეროს მოცულობის რა ნაწილია სფერული სეგმენტის მოცულობა, რომლის სიმაღლე უდრის ბურთის დიამეტრის 0,1-ს, უდრის 20 სმ-ს?

დავალება #1

R რადიუსის ბურთის მოცულობა V-ის ტოლია. იპოვეთ: რადიუსის ბურთის მოცულობა: ა) 2 რ ბ) 0,5 რ

დავალება #2

რა არის სფერული სექტორის მოცულობა, თუ ფუძის წრის რადიუსი არის 60 სმ, ხოლო ბურთის რადიუსი 75 სმ.

სწრაფად და მოკლედ დაწერეთ პასუხები კითხვებზე:

• რამდენი სფეროს ჩატარება შეიძლება:

ა) იმავე წრის გავლით;

ბ) წრის და წერტილის გავლით, რომელიც არ ეკუთვნის მის სიბრტყეს?

2. რამდენი სფეროს დახატვა შეიძლება ოთხ წერტილში, რომლებიც წვეროებია:

ა) კვადრატი

ბ) ტოლფერდა ტრაპეცია;

3. მართალია, რომ ერთი დიდი წრე გადის სფეროს ნებისმიერ ორ წერტილში?

4. სფეროს რომელი ორი წერტილის გავლით შეიძლება გაივლოს რამდენიმე დიდი წრე?

5. როგორ უნდა განთავსდეს ორი თანაბარი წრე ისე, რომ მათში გაიაროს ერთი და იგივე რადიუსის სფერო?

უსასრულოდ

ერთი

უსასრულოდ

უსასრულოდ

არცერთი

დიამეტრალურად საპირისპირო

აქვს საერთო ცენტრი

თეორიული კარნახი

ვარიანტი 2

შეავსეთ ტექსტში გამოტოვებული სიტყვები.

• ბურთის ნებისმიერი დიამეტრული სიბრტყე არის მისი …………………… სიმეტრია.

2. სფეროს ღერძული მონაკვეთია ………………..

3. ჩვეულებრივი პირამიდის მახლობლად აღწერილი ბურთის ცენტრი დევს ……………………. პირამიდები.

4. სფეროსა და სიბრტყის შეხების წერტილამდე მიყვანილი სფეროს რადიუსი ………………………………………..ტანგენტის სიბრტყესთან.

5. ტანგენტის სიბრტყეს აქვს მხოლოდ ერთი საერთო წერტილი ბურთთან ………………………….

6. სფერო შეიძლება ჩაიწეროს ნებისმიერ ჩვეულებრივ პირამიდაში და მისი ცენტრი დევს ……………… .…….პირამიდებზე.

თვითმფრინავი

წრე

სიმაღლე

პერპენდიკულარული

შეხება

სიმაღლე

Lv.52

Დონე 1ვარიანტი 1

1. ბურთის ცენტრიდან 12 სმ დაშორებით იხატება მონაკვეთი, რომლის რადიუსი არის 9 სმ. იპოვეთ სფეროს მოცულობა და მისი ზედაპირის ფართობი.

2. 3 სმ რადიუსის სფეროს აქვს ცენტი O წერტილში (4; -2; 1). დაწერეთ განტოლება სფეროსთვის, რომელშიც გაივლის ეს სფერო, თუ ის სიმეტრიულია OXY სიბრტყის მიმართ. იპოვეთ მოცემული სფეროთი შემოსაზღვრული სფეროს მოცულობა.

Დონე 1ვარიანტი 2

1. სფეროზე დაწოლილი წერტილის მეშვეობით 3 სმ რადიუსის მონაკვეთი იხატება 60°-იანი კუთხით ამ წერტილამდე მიყვანილი სფეროს რადიუსთან. იპოვეთ სფეროს ფართობი და სფეროს მოცულობა.

2. მე-3 რადიუსის სფეროს აქვს ცენტრი O (-2;5;3) წერტილში. დაწერეთ განტოლება სფეროსთვის, რომელშიც ეს სფერო წავა, თუ ის სიმეტრიულია OX Z სიბრტყის მიმართ. იპოვეთ ამ სფეროს ფართობი.

გამოცადეთ დამოუკიდებელი სამუშაო lvl.52

დონე 2ვარიანტი 1

1. განყოფილება დახაზულია ბურთის ცენტრიდან 2√7 სმ მანძილზე. ამ მონაკვეთის აკორდი არის 4 სმ, გამოკლებული კუთხე 90°. იპოვეთ სფეროს მოცულობა და მისი ზედაპირის ფართობი.

2. სფერო, რომელიც ცენტრით O (2; 1; -2) წერტილში გადის საწყისზე. დაწერეთ განტოლება სფეროსთვის, რომელშიც გაივლის ეს სფერო, თუ ის სიმეტრიულია აბსცისის ღერძის მიმართ. იპოვეთ სფეროს მოცულობა, რომელიც შემოსაზღვრულია მიღებული სფეროთი.

დონე 2ვარიანტი 2

1. ბურთის ცენტრიდან 4 სმ-ის დაშორებით დახაზეს მონაკვეთი. ამ მონაკვეთის ცენტრიდან ამოღებული აკორდი √5 სმ-ით, 120°-იანი კუთხის გამოკლებით. იპოვეთ სფეროს მოცულობა და მისი ზედაპირის ფართობი.

2. O (-1;-2;2) წერტილის ცენტრი გადის საწყისზე. დაწერეთ განტოლება სფეროსთვის, რომელშიც მოცემული სფერო გაივლის Z = 1 სიბრტყის სიმეტრიით. იპოვეთ სფეროს ფართობი.

დამოუკიდებელი მუშაობა

ვარიანტი 2

• ბურთის დიამეტრი ½ დმ. გამოთვალეთ სფეროს მოცულობა და სფეროს ფართობი.

2. ფრენბურთს აქვს რადიუსი 12 დმ. რამდენი ჰაერია ბურთში?

ვარიანტი 1

• ბურთის რადიუსი ¾ დმ. გამოთვალეთ სფეროს მოცულობა და სფეროს ფართობი.

2. ფეხბურთის ბურთის დიამეტრი 30 დმ. რამდენი ჰაერია ბურთში?

დამოუკიდებელი მუშაობა

ვარიანტი 1

ვარიანტი 2

• პობლემების მოგვარება :

• ჩამოწერეთ სფეროს ფართობის, სფეროს მოცულობის და მისი ნაწილების ფორმულები.
• პობლემების მოგვარება :

№ 1. სფეროს მოცულობა არის 36 პსმ³. იპოვეთ სფეროს ფართობი, რომელიც ესაზღვრება მოცემულ სფეროს.

№ 2. განყოფილება შედგენილია 15 სმ რადიუსის სფეროში, რომლის ფართობია 81 სმ². იპოვეთ მონაკვეთის სიბრტყით მოწყვეტილი უფრო მცირე სფერული სეგმენტის მოცულობა.

№ 3. იპოვეთ სფერული სექტორის მოცულობა, თუ სფეროს რადიუსი 6 სმ-ია, ხოლო შესაბამისი სეგმენტის სიმაღლე სფეროს დიამეტრის მეექვსედია.

№ 1. სფეროს ზედაპირის ფართობია 144P სმ². იპოვეთ ამ სფეროს მოცულობა.

№ 2. ბურთის ცენტრიდან 9 მ მანძილზე იხატება მონაკვეთი, რომლის გარშემოწერილობა არის 24P სმ. იპოვეთ მონაკვეთის სიბრტყით მოწყვეტილი უფრო მცირე სფერული სეგმენტის მოცულობა.

№ 3. იპოვეთ სფერული სექტორის მოცულობა, თუ სფეროს რადიუსი 6 სმ-ია, ხოლო სექტორის შემქმნელი კონუსის სიმაღლე სფეროს დიამეტრის მესამედია.

113.04=4πR³/3 = R³=27, R=3. S=4πR², S=4π3²=36π. პასუხი: 3.36π. მოცემულია: ბურთი; S=64π სმ² იპოვეთ: R, V ამონახსნი: S=4πR², 64π=4πR², = R=4 V=4πR³/3, V=4π4³/3=256π/3. პასუხი: 4.256π/3. 3. მოცემულია: სფერული სეგმენტი, ფუძე=60 სმ, რბოლა=75 სმ იპოვეთ: ვსფერული სეგმენტი. ამოხსნა: V=πh²(R-⅓h) O ₁ С=√R²-r²=√75²-60²=45 h= OS-OS ₁ =75-45=30 V=π 30² (75-⅓ 30) =58500π. პასუხი: 58500π. "width = "640"

პრობლემის გადაჭრა თვითტესტით.

მოცემულია: ბურთი; V=113.04 სმ³,

იპოვეთ: R, S.

ამოხსნა: V=4πR³/3, = 113.04=4πR³/3 = R³=27, R=3.

S=4πR², S=4π3²=36π.

პასუხი: 3.36π.

მოცემულია: ბურთი; S=64π სმ²

იპოვეთ: R, V

ამოხსნა: S=4πR², 64π=4πR², = R=4

V=4πR³/3, V=4π4³/3=256π/3.

პასუხი: 4.256π/3.

3. მოცემულია: სფერული სეგმენტი, r მთავარი = 60 სმ, R ბურთი = 75 სმ.

იპოვეთ: ვსფერული სეგმენტი.

ამოხსნა: V=πh²(R-⅓h) O ₁ C=√R²-r²=√75²-60²=45

h= OS-OS 1 =75-45=30 V=π 30² (75-⅓ 30)=58500π.

პასუხი: 58500π.

ანარეკლი

აჩვენეთ თქვენი განწყობა emoji-ით.

გაკვეთილის ბოლოს აიღეთ სმაილიკი, რომელიც შეესაბამება თქვენს განწყობას და წასვლისას, მაგნიტური ფუძით მიამაგრეთ დაფაზე.

Საშინაო დავალება

• Საშინაო დავალება

• გაიმეორეთ ბურთის მოცულობის ფორმულები, სფერული სეგმენტი, სფერული ფენა, სფერული სექტორი. #723, #724, #755

ლიტერატურა და ინტერნეტ რესურსები

სახელმძღვანელო გეომეტრიაში 10-11 კლასი ატანასიანი ლ.ს., 2008 წ.

გავრილოვა ნ.ფ. გაკვეთილის განვითარება გეომეტრიაში მე-11 კლასი

ბურთის რადიუსი (აღნიშნულია როგორც r ან R) არის ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ბურთის ცენტრს მისი ზედაპირის ნებისმიერ წერტილთან. როგორც წრის შემთხვევაში, ბურთის რადიუსი არის მნიშვნელოვანი რაოდენობა, რომელიც საჭიროა ბურთის დიამეტრის, გარშემოწერილობის, ზედაპირის ფართობის და/ან მოცულობის დასადგენად. მაგრამ ბურთის რადიუსის პოვნა ასევე შესაძლებელია დიამეტრის, წრეწირის და სხვა რაოდენობების მოცემული მნიშვნელობიდან. გამოიყენეთ ფორმულა, რომელშიც შეგიძლიათ შეცვალოთ ეს მნიშვნელობები.

ნაბიჯები

რადიუსის გამოთვლის ფორმულები

გამოთვალეთ რადიუსი დიამეტრიდან.რადიუსი არის დიამეტრის ნახევარი, ამიტომ გამოიყენეთ ფორმულა d = D/2. ეს არის იგივე ფორმულა, რომელიც გამოიყენება წრის რადიუსისა და დიამეტრის გამოსათვლელად.

• მაგალითად, მოცემულია ბურთი დიამეტრით 16 სმ. ამ ბურთის რადიუსი: r = 16/2 = 8 სმ. თუ დიამეტრი 42 სმ-ია, მაშინ რადიუსი არის 21 სმ (42/2=21).

1. გამოთვალეთ რადიუსი წრის გარშემოწერილობიდან.გამოიყენეთ ფორმულა: r = C/2π. რადგან გარშემოწერილობა არის C = πD = 2πr, მაშინ წრეწირის გამოთვლის ფორმულა გაყავით 2π-ზე და მიიღეთ რადიუსის ფორმულა.

   • მაგალითად, მოცემულია ბურთი, რომლის გარშემოწერილობა 20 სმ. ამ ბურთის რადიუსი არის: r = 20/2π = 3,183 სმ.
   • იგივე ფორმულა გამოიყენება წრის რადიუსისა და წრეწირის გამოსათვლელად.

2. გამოთვალეთ რადიუსი სფეროს მოცულობიდან.გამოიყენეთ ფორმულა: r = ((V/π) (3/4)) 1/3. ბურთის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით V = (4/3)πr 3 . განტოლების ერთ მხარეს r გამოყოფით, მიიღებთ ფორმულას ((V / π) (3/4)) 3 \u003d r, ანუ რადიუსის გამოსათვლელად, გაყავით ბურთის მოცულობა π-ზე, გაამრავლეთ შედეგი. 3/4-ით და აწიეთ შედეგი 1/3-მდე (ან აიღეთ კუბის ფესვი).

   • მაგალითად, მოცემულია ბურთი 100 სმ 3 მოცულობით. ამ სფეროს რადიუსი გამოითვლება შემდეგნაირად:
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31.83)(3/4)) 1/3 = r
     • (23.87) 1/3 = r
     • 2.88 სმ= r

3. გამოთვალეთ რადიუსი ზედაპირის ფართობიდან.გამოიყენეთ ფორმულა: r = √(A/(4 π)). ბურთის ზედაპირის ფართობი გამოითვლება ფორმულით A \u003d 4πr 2. განტოლების ერთ მხარეს r-ის გამოყოფით მიიღებთ ფორმულას √(A/(4π)) = r, ანუ რადიუსის გამოსათვლელად საჭიროა აიღოთ ზედაპირის ფართობის კვადრატული ფესვი გაყოფილი 4π-ზე. ფესვის აღების ნაცვლად, გამოხატულება (A/(4π)) შეიძლება გაიზარდოს 1/2-მდე.

   • მაგალითად, მოცემულია სფერო 1200 სმ 3 ზედაპირის ფართობით. ამ სფეროს რადიუსი გამოითვლება შემდეგნაირად:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95.49) = r
     • 9,77 სმ= r

   ძირითადი რაოდენობების განსაზღვრა

   1. დაიმახსოვრე ძირითადი რაოდენობები, რომლებიც შესაბამისია ბურთის რადიუსის გამოსათვლელად.ბურთის რადიუსი არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ბურთის ცენტრს მისი ზედაპირის ნებისმიერ წერტილთან. სფეროს რადიუსი შეიძლება გამოითვალოს დიამეტრის, წრეწირის, მოცულობის ან ზედაპირის ფართობის მოცემული მნიშვნელობებით.

      გამოიყენეთ ამ რაოდენობების მნიშვნელობები რადიუსის საპოვნელად.რადიუსი შეიძლება გამოითვალოს დიამეტრის, წრეწირის, მოცულობის და ზედაპირის ფართობის მოცემული მნიშვნელობებით. უფრო მეტიც, ეს მნიშვნელობები შეიძლება მოიძებნოს რადიუსის მოცემული მნიშვნელობიდან. რადიუსის გამოსათვლელად, უბრალოდ გადააკეთეთ ფორმულები მოცემული მნიშვნელობების მოსაძებნად. ქვემოთ მოცემულია ფორმულები (რომლებშიც არის რადიუსი) დიამეტრის, წრეწირის, მოცულობის და ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად.

   რადიუსის პოვნა ორ წერტილს შორის მანძილიდან

   1. იპოვეთ ბურთის ცენტრის კოორდინატები (x, y, z).სფეროს რადიუსი უდრის მანძილს მის ცენტრსა და სფეროს ზედაპირზე მდებარე ნებისმიერ წერტილს შორის. თუ ცნობილია ბურთის ცენტრისა და მის ზედაპირზე მდებარე ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები, შეგიძლიათ იპოვოთ ბურთის რადიუსი სპეციალური ფორმულის გამოყენებით ორ წერტილს შორის მანძილის გამოთვლით. ჯერ იპოვნეთ ბურთის ცენტრის კოორდინატები. გაითვალისწინეთ, რომ რადგან ბურთი სამგანზომილებიანი ფიგურაა, წერტილს ექნება სამი კოორდინატი (x, y, z) და არა ორი (x, y).

      • განვიხილოთ მაგალითი. მოცემულია კოორდინატებით ორიენტირებული ბურთი (4,-1,12) . გამოიყენეთ ეს კოორდინატები ბურთის რადიუსის საპოვნელად.

   2. იპოვეთ წერტილის კოორდინატები სფეროს ზედაპირზე.ახლა თქვენ უნდა იპოვოთ კოორდინატები (x, y, z) ნებისმიერიწერტილი სფეროს ზედაპირზე. ვინაიდან ბურთის ზედაპირზე მდებარე ყველა წერტილი მდებარეობს ბურთის ცენტრიდან იმავე მანძილზე, ნებისმიერი წერტილის არჩევა შესაძლებელია ბურთის რადიუსის გამოსათვლელად.

      • ჩვენს მაგალითში, დავუშვათ, რომ ბურთის ზედაპირზე მდებარე რაღაც წერტილს აქვს კოორდინატები (3,3,0) . ამ წერტილსა და ბურთის ცენტრს შორის მანძილის გაანგარიშებით, თქვენ იპოვით რადიუსს.

   3. გამოთვალეთ რადიუსი ფორმულის გამოყენებით d \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).ბურთის ცენტრისა და მის ზედაპირზე მდებარე წერტილის კოორდინატების შესწავლის შემდეგ შეგიძლიათ იპოვოთ მათ შორის მანძილი, რომელიც უდრის ბურთის რადიუსს. ორ წერტილს შორის მანძილი გამოითვლება ფორმულით d \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), სადაც d არის მანძილი წერტილები, (x 1, y 1,z 1) არის ბურთის ცენტრის კოორდინატები, (x 2,y 2,z 2) არის ბურთის ზედაპირზე მდებარე წერტილის კოორდინატები.

      • ამ მაგალითში, ნაცვლად (x 1, y 1, z 1), ჩაანაცვლეთ (4, -1,12) და ნაცვლად (x 2, y 2, z 2) ჩაანაცვლეთ (3,3,0):
        • d \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d=12.69. ეს არის ბურთის სასურველი რადიუსი.

   4. გაითვალისწინეთ, რომ ზოგად შემთხვევებში r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).ბურთის ზედაპირზე დაყრილი ყველა წერტილი მდებარეობს ბურთის ცენტრიდან იმავე მანძილზე. თუ ორ წერტილს შორის მანძილის პოვნის ფორმულაში "d" ჩანაცვლებულია "r"-ით, თქვენ მიიღებთ ბურთის რადიუსის გამოთვლის ფორმულას ცენტრის ცნობილი კოორდინატებიდან (x 1, y 1, z 1). ბურთი და კოორდინატები (x 2, y 2, z 2 ) ნებისმიერი წერტილი, რომელიც მდებარეობს სფეროს ზედაპირზე.

      • ამ განტოლების ორივე მხარე მოედანზე და მიიღებთ r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 . გაითვალისწინეთ, რომ ეს განტოლება შეესაბამება სფეროს განტოლებას r 2 = x 2 + y 2 + z 2 ცენტრში (0,0,0).
   • არ დაივიწყოთ მათემატიკური მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობა. თუ არ გახსოვთ ეს ბრძანება და თქვენმა კალკულატორმა იცის ფრჩხილებით მუშაობა, გამოიყენეთ ისინი.
   • ამ სტატიაში საუბარია ბურთის რადიუსის გამოთვლაზე. მაგრამ თუ გეომეტრიის სწავლა გიჭირთ, უმჯობესია დაიწყოთ ბურთთან დაკავშირებული რადიუსის რაოდენობის გამოთვლით.
   • π (პი) არის ბერძნული ანბანის ასო, რაც ნიშნავს მუდმივას, რომელიც ტოლია წრის დიამეტრის თანაფარდობას მის გარშემოწერილობის სიგრძესთან. Pi არის ირაციონალური რიცხვი, რომელიც არ იწერება როგორც რეალური რიცხვების თანაფარდობა. არსებობს მრავალი მიახლოება, მაგალითად, თანაფარდობა 333/106 საშუალებას მოგცემთ იპოვოთ რიცხვი Pi ათწილადის შემდეგ ოთხნიშნამდე სიზუსტით. როგორც წესი, ისინი იყენებენ pi-ს მიახლოებით მნიშვნელობას, რომელიც არის 3.14.

დაწერეთ პროგრამა წრის ფართობის გამოსათვლელად სდა ბურთის მოცულობა ვმოცემულ რადიუსზე დაყრდნობით რ. განახორციელეთ პროგრამა, როგორც Windows აპლიკაცია.

პრობლემის მათემატიკური განცხადება

აპლიკაციის შემუშავების დაწყებამდე აუცილებელია პრობლემის მათემატიკური ფორმულირება, ანუ განვსაზღვროთ ფორმულები, რომლითაც მოხდება გაანგარიშება, ასევე შეყვანის მონაცემები და გამავალი შედეგები.

წრის ფართობი გამოითვლება ფორმულით:

ს = π · R²

შეყვანის მნიშვნელობა აქ არის წრის R რადიუსი, შედეგი არის წრის ფართობი - ს.
სფეროს მოცულობა გამოითვლება ფორმულით:

V = 4/3 π R³

შეყვანის მნიშვნელობა აქ არის ისევ R წრის რადიუსი, შედეგი არის ბურთის მოცულობა (თუმცა, როგორც მოგეხსენებათ, "ბურთს" მოცულობა არ აქვს).
ორივე ფორმულა შეიცავს მუდმივას π , უდრის 3,14159.
ამრიგად, ჩვენ დავხატავთ პრობლემის გადაჭრის ეტაპების თანმიმდევრობას (სურათი 1).

ბრინჯი. 1. პრობლემის გადაჭრის ეტაპები

Შესრულება

1. შექმენით აპლიკაცია VCL Form Application .

გაუშვით ვიზუალური აპლიკაციის განვითარების სისტემა Embracadero RAD Studio Delphi 2010 წელიდა შექმენით Windows აპლიკაცია. აღწერილია აპლიკაციის შექმნის დეტალური მაგალითი Windows Form Application შაბლონის გამოყენებით.

განაცხადის ფორმის საწყისი ხედი დიზაინის დაწყებამდე ნაჩვენებია სურათზე 2.

ბრინჯი. 2. პროგრამის ფანჯრის ხედი

2. Tool Palette ინსტრუმენტთა პანელის სტანდარტული ჩანართი.

ამ აპლიკაციაში თქვენ უნდა გამოიყენოთ რამდენიმე კომპონენტი, რომლებიც ჩამოთვლილია ქვემოთ:

• ტიპის კომპონენტი T ლეიბლი A, რომელიც წარმოადგენს ტექსტის ხაზს, რომელიც ნაჩვენებია ფორმაზე;
• ტიპის კომპონენტი TButton A, რომელიც წარმოადგენს ღილაკს ფორმაზე;
• ტიპის კომპონენტი TEdi t , რომელიც არის ტექსტის შეყვანის სტრიქონი.

ყველა ეს კომპონენტი განთავსებულია Tool Palette ინსტრუმენტთა პანელზე Standard ჩანართზე (იხ. ნახ. 3.).

ბრინჯი. 3. სტანდარტული ჩანართი კომპონენტის პალიტრაზე

3. TLabel კომპონენტი

3.1. TLabel კომპონენტის განთავსება ფორმაზე

ამისათვის დააწკაპუნეთ TLabel კომპონენტზე (ნახ. 4) და შემდეგ დააწკაპუნეთ ფორმის ზედა მარცხენა კუთხეში, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 5.

ბრინჯი. 4. TLabel კომპონენტი ხელსაწყოების პალიტრაზე

ბრინჯი. 5. TLabel ტიპის კომპონენტი პროგრამის ძირითად ფორმაზე

3.2. ტექსტის დაყენება TLabel-ში

TLabel კომპონენტთან რაიმე მოქმედების შესასრულებლად, ჯერ უნდა აირჩიოთ ის მაუსით ან არჩევით Object Inspector პანელში. ამის შემდეგ დააყენეთ TLabel კომპონენტის Caption თვისება მნიშვნელობაზე " R=» (სურ. 6).

ბრინჯი. 6. წარწერის თვისება

შედეგად, ფორმაზე ტექსტი "Label1" შეიცვლება ტექსტით "R =".
ობიექტის ინსპექტორი საშუალებას გაძლევთ ნახოთ ამ კომპონენტის მრავალი სხვა თვისება. ჩვენს შემთხვევაში დავინტერესდებით Name თვისებით, რომელიც შეიცავს ცვლადის (ობიექტის) სახელის მნიშვნელობას. ნაგულისხმევად, ეს მნიშვნელობა არის "Label1". ეს ნიშნავს, რომ პროგრამის კოდის დაწერის დროს, ამ კომპონენტის თვისებებზე წვდომა შესაძლებელია პრეფიქსით "Label". მაგალითად, პროგრამაში Caption თვისების შესაცვლელად, თქვენ უნდა აკრიფოთ შემდეგი ხაზი:

Label1. წარწერა:= "R=" ;

ანალოგიურად, ფორმაზე ვდებთ კომპონენტებს სახელებით Label2 და Label3, წინა კომპონენტის ქვემოთ. დააყენეთ Caption თვისების მნიშვნელობა "S = " და "V = " შესაბამისად.

განაცხადის ფორმა უნდა გამოიყურებოდეს შემდეგნაირად (ნახ. 7).

ბრინჯი. 7. განაცხადის ფორმა კომპონენტების Label1, Label2, Label3 განთავსების შემდეგ

ინსტრუმენტების პალიტრიდან ყველა სხვა კომპონენტის გადატანა და დამუშავება ანალოგიურად ხდება.

4. TEdit კომპონენტი

ხელსაწყოების პალიტრადან, სტანდარტული ჩანართიდან, დაამატეთ TEdit კომპონენტი, რომელიც წარმოადგენს შეყვანის ხაზს. ამ კომპონენტის გამოყენებით, ჩვენ მივიღებთ მომხმარებლის მიერ კლავიატურიდან შეყვანილი წრის რადიუსის მნიშვნელობებს. ფორმაში კომპონენტის დამატების შემდეგ, Delphi სისტემა ქმნის ცვლად კომპონენტს, სახელად Edit1 (Name თვისება).

წაშალეთ კომპონენტის ტექსტის თვისება.

5. TButton კომპონენტი

დაამატეთ კომპონენტი Tool Palette პალიტრა TButton-დან, რომელიც არის ჩვეულებრივი ღილაკი, რომელზეც დაწკაპუნების შემდეგ გამოითვლება წრის ფართობი და ბურთის მოცულობა. აპლიკაციაში Delphi ავტომატურად დაამატებს ცვლად კომპონენტს სახელად Button1.

ჩვენ დავაყენეთ კომპონენტის Caption თვისება მნიშვნელობაზე " გამოთვლა".

განაცხადის ფორმა დიზაინის რეჟიმში გამოიყურება, როგორც ნაჩვენებია ნახ. რვა.

ბრინჯი. 8. განაცხადის ფორმა TEdit და TButton კომპონენტების დამატების შემდეგ

6. დაწკაპუნების ღონისძიების დაპროგრამება ღილაკზე „გამოთვლა“

შემუშავებული აპლიკაციის შემდეგი ნაბიჯი არის დელფში მოვლენის დაპროგრამება, რომელიც ხდება ღილაკ1-ზე დაწკაპუნებით. ღილაკზე მაუსის დაწკაპუნების მოვლენას ეწოდება OnClick.

Delphi 2010 ავტომატურად აგენერირებს კოდის ფრაგმენტს, სადაც უნდა დაწეროთ საკუთარი მოვლენის მართვის კოდი. სისტემის მიერ გენერირებული კოდი ასე გამოიყურება:

პროცედურადაიწყოს დასასრული ;

პირველი ამოცანაა განსაზღვროს შეყვანის მონაცემები, შედეგები ან შუალედური ცვლადები, რომლებიც გამოყენებული იქნება პროგრამაში.

ჩვენს პროგრამაში არსებული პრობლემის პირობების მიხედვით, ჩვენ აღვწერთ სამ ცვლადს შესაბამისი აღნიშვნით:

• რ არის წრის რადიუსი;
• ს - წრის ფართობი;
• ვ არის სფეროს მოცულობა.

ყველა ცვლადი უნდა იყოს რეალური ტიპის.
პროგრამა ასევე იყენებს ერთ მუდმივას - რიცხვს Pi. მოდით დავარქვათ პი. გაითვალისწინეთ, რომ Delphi-ს აქვს ჩაშენებული ფუნქცია სახელწოდებით Pi, მაგრამ ეს არ იქნება გამოყენებული ჩვენს აპლიკაციაში. ამრიგად, ცვლადების და მუდმივების აღწერა სიტყვის დაწყებამდე შემდეგი იქნება:

კონსტპი = 3.1415; // პი ვარ R:რეალური; // წრის რადიუსი S:რეალური; // წრის ფართობი v:რეალური; // ბურთის მოცულობა

დასაწყისისა და დასასრულის განცხადებებს შორის შეიყვანეთ ძირითადი პროგრამის კოდის შემდეგი სტრიქონები:

// 1. წრის რადიუსის მნიშვნელობის წაკითხვა დან Edit1.Text R:= StrToFloat(Edit1.Text); S:= Pi*R*R; // 3. ბურთის მოცულობის გამოთვლა V:= 4 /3 * Pi * R * R * R; // 4. შედეგების სიზუსტით გამოტანა // 3 ათობითი ადგილი Label2.Caption:="S=" +FloatToStrF(S,ffFixed,8 ,3 ); Label3.Caption:="V=" +FloatToStrF(V,ffFixed,8 ,3 );

ავხსნათ პროგრამის კოდში გამოყენებული რამდენიმე ფუნქცია (მეთოდი). StrToFloat ფუნქცია გარდაქმნის Edit1.Text-ის სტრიქონის მნიშვნელობას რეალურ რიცხვად. მაგალითად, შემდეგი კოდის შესრულების შემდეგ

x:= StrToFloat( "-3.675" );

x-ის მნიშვნელობა ხდება -3.675.

მე-2 და მე-3 პუნქტებში, წრის ფართობისა და ბურთის მოცულობის ჩვეულებრივი გამოთვლები ხდება პასკალის ენის არითმეტიკული ოპერაციების გამოყენებით.

მე-4 პუნქტში ხორციელდება შედეგების გამოტანა. ვინაიდან პროგრამა დანერგილია როგორც Windows აპლიკაცია, შედეგის საჩვენებლად საკმარისია შეავსოთ Caption თვისების მნიშვნელობა Label2 (არეალი) და Label3 (ტომი) კომპონენტებში.

FloatToStrF ფუნქცია ასრულებს შებრუნებულ კონვერტაციას StrToFloat ფუნქციაში, ანუ ის გარდაქმნის რეალურ რიცხვს სტრიქონად. მაგალითად, რიცხვი 2.87 4 ათობითი ადგილის სიზუსტით სტრიქონად გადასაყვანად, თქვენ დაწერთ:

v:= 2.87; str:= FloatToStrF(v, ffFixed, 8, 4);

სადაც v არის რეალური ტიპის ცვლადი; str არის სტრიქონის ტიპის ცვლადი; ffFixed - კონვერტაციის ფორმატი. მუდმივი 8 ნიშნავს, რომ გამოყენებულია მთლიანი გამომავალი სიგანე 8 სიმბოლო. მუდმივი 4 ნიშნავს სიზუსტეს ათობითი წერტილის შემდეგ.

Button1 კომპონენტის OnClick მოვლენის დამუშავების პროცედურის ზოგადი ჩამონათვალი ასე გამოიყურება.

პროცედურა TForm1.Button1Click(გამომგზავნი: TObject); კონსტპი = 3.1415; // პი ვარ R:რეალური; // წრის რადიუსი S:რეალური; // წრის ფართობი v:რეალური; // ბურთის მოცულობა დაიწყოს // 1. რადიუსის მნიშვნელობის წაკითხვა// წრეები Edit1.Text-დან R:= StrToFloat(Edit1.Text); // 2. გამოთვალეთ წრის ფართობი S:= Pi*R*R; // 3. ბურთის მოცულობის გამოთვლა V:= 4/3 * Pi * R * R * R; // 4. შედეგების სიზუსტით გამოტანა // 3 ათობითი ადგილი Label2.Caption:="S=" +FloatToStrF(S,ffFixed,8 ,3 ); Label3.Caption:="V=" +FloatToStrF(V,ffFixed,8 ,3 ); დასასრული ;

7. განაცხადის დასახელების დაყენება

აპლიკაციის სახელის შესაცვლელად გაუგებარი " Form1" ნაცვლად, თქვენ უნდა დააყენოთ მნიშვნელობა ძირითადი ფორმის Caption თვისებაში: წრის ფართობისა და ბურთის მოცულობის გამოთვლა«.

8. განაცხადის შესრულების შედეგი

აპლიკაციის (პროგრამის) შესასრულებლად დაწყების შემდეგ გამოდის ფანჯარა, რომელშიც უნდა შეიყვანოთ R წრის რადიუსი. შეიყვანეთ მნიშვნელობა 2.5. პროგრამის შესრულების შედეგის ფანჯარა ნაჩვენებია სურათზე 9.

ბრინჯი. 9. განაცხადის შესრულების შედეგი

შედეგები

ამ პრობლემის გადაჭრისას გამოყენებული იქნა შემდეგი ტიპის კომპონენტები:

• TLabel - "ლეიბლის" ტიპის კომპონენტი, რომელიც წარმოადგენს რეგულარულ ტექსტურ სტრიქონს ფორმაზე გამოსატანად;
• TButton - კომპონენტი, რომელიც წარმოადგენს რეგულარულ ღილაკს ფორმაზე;
• TEdit არის კომპონენტი, რომელიც ახორციელებს შეყვანის ხაზს, რომელიც შექმნილია მომხმარებლის მიერ კლავიატურიდან შეყვანილი ინფორმაციის მისაღებად.

პროგრამის ინტერფეისის შესაქმნელად გამოყენებული იქნა Tool Palette პანელი და Object Inspector.

ასევე განიხილება ორი დამატებითი ფუნქცია, რომელიც გარდაქმნის სტრიქონს რიცხვად და პირიქით, კერძოდ:

• StrToFloat ფუნქცია, რომელიც გარდაქმნის სტრიქონს, რომელიც წარმოადგენს რიცხვს რეალურ რიცხვად (მაგალითად, '3,678' => 3.678 ) Windows-ის რეგიონალური პარამეტრების გათვალისწინებით;
• ფუნქცია FloatToStrF, რომელიც გარდაქმნის რეალურ რიცხვს სტრიქონულ ფორმაში მითითებული ფორმატის მიხედვით (მაგალითად, 2.88 => '2,880') Windows-ის რეგიონალური პარამეტრების გათვალისწინებით.

სადაც V არის სასურველი ბურთის მოცულობა, π - 3,14 , R - რადიუსი.

ამრიგად, 10 სანტიმეტრის რადიუსით ბურთის მოცულობაუდრის:

ვ

3.14×103

= 4186,7

კუბური სანტიმეტრი.

გეომეტრიაში ბურთიგანისაზღვრება, როგორც გარკვეული სხეული, რომელიც არის სივრცეში ყველა წერტილის ერთობლიობა, რომელიც მდებარეობს ცენტრიდან მოცემულ მანძილზე არაუმეტეს დაშორებით, რომელსაც ეწოდება ბურთის რადიუსი. სფეროს ზედაპირს სფერო ეწოდება და ის წარმოიქმნება მისი დიამეტრის გარშემო ნახევარწრიულის ბრუნვით, რომელიც უმოძრაოდ რჩება.

ამ გეომეტრიულ სხეულს ძალიან ხშირად ხვდებიან დიზაინერები და არქიტექტორები, რომლებსაც ხშირად უწევთ გამოთვალეთ სფეროს მოცულობა. მაგალითად, თანამედროვე მანქანების დიდი უმრავლესობის წინა საკიდის დიზაინში გამოიყენება ე.წ. მათი დახმარებით დაკავშირებულია საჭის ბორბლებისა და ბერკეტების კერები. რამდენად სწორი იქნება გამოთვლილიმათი მოცულობა დიდწილად დამოკიდებულია არა მხოლოდ ამ ერთეულების გამძლეობაზე და მათი მუშაობის სისწორეზე, არამედ მოძრაობის უსაფრთხოებაზე.

ტექნოლოგიაში ფართოდ გამოიყენება ისეთი ნაწილები, როგორიცაა ბურთულიანი საკისრები, რომელთა დახმარებით ღერძები იკვრება სხვადასხვა ერთეულებისა და შეკრებების ფიქსირებულ ნაწილებში და უზრუნველყოფილია მათი ბრუნვა. უნდა აღინიშნოს, რომ მათი გაანგარიშებისას დიზაინერებს სჭირდებათ იპოვეთ სფეროს მოცულობა(უფრო სწორად, გალიაში მოთავსებული ბურთები) მაღალი სიზუსტით. რაც შეეხება საკისრებისთვის ლითონის ბურთულების დამზადებას, ისინი მზადდება ლითონის მავთულისგან რთული ტექნოლოგიური პროცესის გამოყენებით, რომელიც მოიცავს ფორმირების, გამკვრივების, უხეში დაფქვის, დასრულების და გაწმენდის ეტაპებს. სხვათა შორის, ის ბურთები, რომლებიც შედის ყველა ბურთულიანი კალმის დიზაინში, მზადდება ზუსტად იგივე ტექნოლოგიით.

ხშირად, ბურთები გამოიყენება არქიტექტურაშიც და იქ ისინი ყველაზე ხშირად შენობებისა და სხვა სტრუქტურების დეკორატიული ელემენტებია. უმეტეს შემთხვევაში, ისინი მზადდება გრანიტისგან, რაც ხშირად მოითხოვს დიდ ხელით შრომას. რა თქმა უნდა, არ არის საჭირო ამ ბურთების დამზადებისას ისეთი მაღალი სიზუსტის დაცვა, როგორიც სხვადასხვა ერთეულებსა და მექანიზმებში გამოიყენება.

ისეთი საინტერესო და პოპულარული თამაში, როგორიცაა ბილიარდი, ბურთების გარეშე წარმოუდგენელია. მათი წარმოებისთვის გამოიყენება სხვადასხვა მასალა (ძვალი, ქვა, ლითონი, პლასტმასი) და გამოიყენება სხვადასხვა ტექნოლოგიური პროცესი. ბილიარდის ბურთების ერთ-ერთი მთავარი მოთხოვნაა მათი მაღალი სიძლიერე და მაღალი მექანიკური დატვირთვის (პირველ რიგში დარტყმის) გაძლების უნარი. გარდა ამისა, მათი ზედაპირი უნდა იყოს ზუსტი სფერო, რათა უზრუნველყოს ბილიარდის მაგიდების ზედაპირზე გლუვი და თანაბარი გორვა.

და ბოლოს, არც ერთი ახალი წელი ან ნაძვის ხე არ შეუძლია ისეთი გეომეტრიული სხეულების გარეშე, როგორიცაა ბურთები. ეს დეკორაციები უმეტეს შემთხვევაში მინისგან მზადდება აფეთქებით და მათ წარმოებაში უდიდესი ყურადღება ეთმობა არა განზომილების სიზუსტეს, არამედ პროდუქციის ესთეტიკას. ტექნოლოგიური პროცესი თითქმის მთლიანად ავტომატიზირებულია და საშობაო ბურთები მხოლოდ ხელით იფუთება.

ბურთის მოცულობა თეორემა R რადიუსის ბურთის მოცულობა უდრის 4/3 πR 3 R x B O C M A მტკიცებულება განვიხილოთ R რადიუსის ბურთი, ცენტრით O წერტილში და თვითნებურად აირჩიეთ Ox ღერძი. ბურთის მონაკვეთი Ox ღერძზე პერპენდიკულარული სიბრტყით და რომელიც გადის ამ ღერძის M წერტილში არის წრე, რომელიც ორიენტირებულია M წერტილში. ამ წრის რადიუსი ავღნიშნოთ როგორც R, ხოლო მისი ფართობი - S(x) , სადაც x არის M წერტილის აბსციზა. გამოხატეთ S( x) x-ის და R-ის მეშვეობით. OMC მართკუთხა სამკუთხედიდან ვპოულობთ R = OC²-OM² = R²-x² ვინაიდან S (x) = p r ², მაშინ S (x ) = p (R²-x²). გაითვალისწინეთ, რომ ეს ფორმულა ჭეშმარიტია M წერტილის ნებისმიერ პოზიციაზე AB დიამეტრზე, ანუ ყველა x-ისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას –R x R. სხეულების მოცულობის გამოთვლის ძირითადი ფორმულის გამოყენება a = –R, b = R. , ვიღებთ: R R R R R V = p (R²-x²) dx = p R² dxp - x²dx = p R²x - px³/3 = 4/3 pR³. -R -R -R -R -R თეორემა დადასტურებული x

სფერული სეგმენტის, სფერული შრის და სფერული სექტორის მოცულობები ა) სფერული სეგმენტი არის მისგან რაღაც სიბრტყით მოწყვეტილი ბურთის ნაწილი. სურათზე 1, სეკანტური სიბრტყე α, რომელიც გადის h-w t.B-ზე, ყოფს ბურთს 2 სფერულ სეგმენტად. მონაკვეთში მიღებულ წრეს ყოველი ამ სეგმენტის ფუძე ეწოდება, ხოლო AC დიამეტრის AB და BC სეგმენტების სიგრძეებს სეკანტური სიბრტყის პერპენდიკულარულს უწოდებენ სეგმენტების სიმაღლეებს. x АВ=h α О А С სფერული სეგმენტი ნახ.1

თუ ბურთის რადიუსი უდრის R-ს, ხოლო სეგმენტის სიმაღლე h-ს (ნახ. 1 h =AB), მაშინ სფერული სეგმენტის V მოცულობა გამოითვლება ფორმულით: V = ph² (R -1/3სთ). ბ) სფერული ფენა არის ბურთის ნაწილი, რომელიც ჩასმულია 2 პარალელურ ჭრის სიბრტყეს შორის (ნახ. 2). ამ სიბრტყეების მიერ ბურთის მონაკვეთში მიღებულ წრეებს სფერული შრის ფუძეები ეწოდება, ხოლო სიბრტყეებს შორის მანძილს სფერული შრის სიმაღლე. სფერული ფენის მოცულობა შეიძლება გამოითვალოს როგორც სხვაობა 2 სფერული სეგმენტის მოცულობას შორის. A B C x ნახ.2 სფერული შრე

გ) სფერული სექტორი არის სხეული, რომელიც მიიღება 90 გრადუსზე ნაკლები კუთხით წრიული სექტორის ბრუნვით სწორი ხაზის გარშემო, რომელიც შეიცავს წრიული სექტორის შემზღუდავ ერთ-ერთ რადიუსს (ნახ. 3). სფერული სექტორი შედგება სფერული სეგმენტისა და კონუსისგან. თუ ბურთის რადიუსი უდრის R-ს, ხოლო სფერული სეგმენტის სიმაღლე h-ის ტოლია, მაშინ სფერული სექტორის V მოცულობა გამოითვლება ფორმულით: V = 2/3 pR² h h O R r ნახ.3 სფერული სექტორი

სფეროს ფართობი ცილინდრის ან კონუსის გვერდითი ზედაპირისგან განსხვავებით, სფერო არ შეიძლება იშლება სიბრტყეზე და, მაშასადამე, ზედაპირის ფართობის განსაზღვრისა და გამოთვლის მეთოდი არ არის შესაფერისი ამისთვის. სფეროს ფართობის დასადგენად ვიყენებთ შემოხაზული პოლიედრონის კონცეფციას. დაე, სფეროს მახლობლად შემოხაზულ პოლიედრონს ჰქონდეს n სახე. ჩვენ გავზრდით n-ს განუსაზღვრელად ისე, რომ აღწერილი პოლიედრების თითოეული სახის უდიდესი ზომა ნულისკენ მიისწრაფვის. სფეროს ფართობისთვის ჩვენ ვიღებთ სფეროს გარშემო შემოხაზული პოლიედრების ზედაპირის უბნების თანმიმდევრობის ზღვარს, რადგან თითოეული სახის უდიდესი ზომა ნულისკენ მიისწრაფვის => ">