გეომეტრიის პრობლემებში წარმატება დამოკიდებულია არა მხოლოდ თეორიის ცოდნაზე, არამედ ხარისხოვან ნახატზე.
ბრტყელი ნახატებით, ყველაფერი მეტ-ნაკლებად ნათელია. მაგრამ სტერეომეტრიაში სიტუაცია უფრო რთულია. ყოველივე ამის შემდეგ, აუცილებელია ასახვა სამგანზომილებიანისხეულზე ბინანახატი და ისე, რომ თქვენც და ვინც თქვენს ნახატს უყურებს, დაინახავთ ერთსა და იმავე სამგანზომილებიან სხეულს.

Როგორ გავაკეთო ეს?
რა თქმა უნდა, თვითმფრინავზე სამგანზომილებიანი სხეულის ნებისმიერი გამოსახულება პირობითი იქნება. თუმცა, არსებობს გარკვეული წესები. არსებობს საყოველთაოდ მიღებული გზა გეგმების აგების - პარალელური პროექცია.

ავიღოთ მყარი სხეული.
მოდით ავირჩიოთ პროექციის თვითმფრინავი.
მოცულობითი სხეულის თითოეული წერტილის მეშვეობით ვხატავთ სწორ ხაზებს, ერთმანეთის პარალელურად და კვეთენ პროექციის სიბრტყეს რაღაც კუთხით. თითოეული ეს წრფე რაღაც მომენტში კვეთს პროექციის სიბრტყეს. ეს პუნქტები ერთად ყალიბდება პროექტირებამოცულობითი სხეული სიბრტყეზე, ანუ მისი ბრტყელი გამოსახულება.

როგორ ავაშენოთ მოცულობითი სხეულების პროგნოზები?
წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ გაქვთ სამგანზომილებიანი სხეულის ჩარჩო - პრიზმა, პირამიდა ან ცილინდრი. მისი განათების პარალელური სინათლის სხივით, ჩვენ ვიღებთ გამოსახულებას - ჩრდილს კედელზე ან ეკრანზე. გაითვალისწინეთ, რომ სხვადასხვა გამოსახულება მიიღება სხვადასხვა კუთხით, მაგრამ ზოგიერთი ნიმუში ჯერ კიდევ არსებობს:

სეგმენტის პროექცია იქნება სეგმენტი.

რა თქმა უნდა, თუ სეგმენტი პროექციის სიბრტყის პერპენდიკულარულია, ის გამოჩნდება ერთ წერტილში.

ზოგად შემთხვევაში, წრის პროექცია იქნება ელიფსი.

მართკუთხედის პროექცია არის პარალელოგრამი.

აი, როგორ გამოიყურება კუბის პროექცია თვითმფრინავზე:

აქ წინა და უკანა სახეები პროექციის სიბრტყის პარალელურია

თქვენ შეგიძლიათ ამის გაკეთება სხვაგვარად:

რა კუთხეც არ უნდა ავირჩიოთ, ნახაზზე პარალელური სეგმენტების პროგნოზები ასევე იქნება პარალელური სეგმენტები. ეს არის პარალელური პროექციის ერთ-ერთი პრინციპი.

ჩვენ ვხატავთ პირამიდის პროგნოზებს,

ცილინდრი:

კიდევ ერთხელ ვიმეორებთ პარალელური პროექციის ძირითად პრინციპს. ვირჩევთ პროექციის სიბრტყეს და ვხატავთ სწორ ხაზებს ერთმანეთის პარალელურად მოცულობითი სხეულის თითოეული წერტილის გავლით. ეს ხაზები კვეთს პროექციის სიბრტყეს გარკვეული კუთხით. თუ ეს კუთხე არის 90°, ეს არის მართკუთხა პროექცია. მართკუთხა პროექციის დახმარებით აგებულია სამგანზომილებიანი ნაწილების ნახაზები ინჟინერიაში. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვსაუბრობთ ზედა ხედზე, წინა ხედზე და გვერდით ხედზე.

თავი IV. ხაზები და თვითმფრინავები სივრცეში. პოლიჰედრა

§ 55. მრავალკუთხედის პროექციის არე.

შეგახსენებთ, რომ წრფესა და სიბრტყეს შორის კუთხე არის კუთხე მოცემულ ხაზსა და მის პროექციას შორის სიბრტყეზე (სურ. 164).

თეორემა. მრავალკუთხედის ორთოგონალური პროექციის ფართობი სიბრტყეზე უდრის დაპროექტებული მრავალკუთხედის ფართობს, გამრავლებული მრავალკუთხედის სიბრტყით და პროექციის სიბრტყით წარმოქმნილი კუთხის კოსინუსზე.

თითოეული მრავალკუთხედი შეიძლება დაიყოს სამკუთხედებად, რომელთა ფართობების ჯამი უდრის მრავალკუთხედის ფართობს. ამიტომ, საკმარისია სამკუთხედის თეორემას დამტკიცება.

დაე იყოს /\ ABC დაპროექტებულია თვითმფრინავზე რ. განვიხილოთ ორი შემთხვევა:
ა) ერთ-ერთი მხარე /\ ABC სიბრტყის პარალელურია რ;
ბ) არც ერთი მხარე /\ ABC არ არის პარალელური რ.

განიხილეთ პირველი შემთხვევა: ნება [AB] || რ.

დახაზეთ (AB) სიბრტყეში რ 1 || რდა პროექტირება ორთოგონალურად /\ ABC ჩართულია რ 1 და შემდეგ რ(სურ. 165); ვიღებთ /\ ABC 1 და /\ A"B"S".
საპროექციო თვისებით გვაქვს /\ ABC 1 /\ A"B"C" და ამიტომ

ს /\ ABC1=S /\ A"B"C"

დავხატოთ _|_ და სეგმენტი D 1 C 1 . მაშინ _|_ , a = φ არის კუთხე სიბრტყეს შორის /\ ABC და თვითმფრინავი რერთი . Ისე

ს /\ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

და აქედან გამომდინარე ს /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

მოდით გადავიდეთ განხილვაზე მეორე შემთხვევა. დახატეთ თვითმფრინავი რ 1 || რიმ მწვერვალზე /\ ABC, მანძილი საიდანაც თვითმფრინავამდე რყველაზე პატარა (მოდით იყოს A წვერო).
ჩვენ დავაპროექტებთ /\ ABC თვითმფრინავში რ 1 და რ(სურ. 166); დაე, მისი პროგნოზები იყოს შესაბამისად /\ AB 1 C 1 და /\ A"B"S".

დაე (მზე) გვ 1 = D. მაშინ

ს /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

დავალება.სიბრტყე დახაზულია რეგულარული სამკუთხა პრიზმის ფუძის გვერდით ფ = 30° კუთხით მისი ფუძის სიბრტყის მიმართ. იპოვეთ მიღებული მონაკვეთის ფართობი, თუ პრიზმის ფუძის მხარე ა= 6 სმ.

გამოვსახოთ ამ პრიზმის მონაკვეთი (სურ. 167). ვინაიდან პრიზმა რეგულარულია, მისი გვერდითი კიდეები პერპენდიკულარულია ფუძის სიბრტყეზე. ნიშნავს, /\ ABC არის პროექცია /\ ADC, ასე რომ

მრავალკუთხედის ორთოგონალური პროექციის თეორემის დეტალური მტკიცებულება

თუ - ბინის პროექცია ნ -მიდი სიბრტყეზე, მაშინ სად არის კუთხე მრავალკუთხედების სიბრტყეებს შორის და. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ბრტყელი მრავალკუთხედის საპროექციო ფართობი უდრის საპროექციო მრავალკუთხედის ფართობის ნამრავლს და საპროექციო სიბრტყესა და დაპროექტებული მრავალკუთხედის სიბრტყეს შორის კუთხის კოსინუსს.

მტკიცებულება. მე ეტაპი. ჯერ გავაკეთოთ მტკიცებულება სამკუთხედისთვის. განვიხილოთ 5 შემთხვევა.

1 შემთხვევა. დაწექი პროექციის სიბრტყეში .

მოდით იყოს წერტილების პროგნოზები სიბრტყეზე, შესაბამისად. ჩვენს შემთხვევაში. დავუშვათ, რომ. მოდით - სიმაღლე, მაშინ სამი პერპენდიკულარულის თეორემით შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ - სიმაღლე (- დახრილის პროექცია, - მისი ფუძე და სწორი ხაზი გადის დახრილის ფუძეს, მეტიც).

განიხილეთ. მართკუთხაა. კოსინუსის განმარტებით:

მეორეს მხრივ, რადგან და, მაშინ, განსაზღვრებით, არის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება სიბრტყეების ნახევრად სიბრტყეებით და სასაზღვრო ხაზთან და, მაშასადამე, მისი ზომა არის აგრეთვე კუთხის საზომი. სამკუთხედის პროექციის სიბრტყეები და თავად სამკუთხედი, ანუ.

იპოვეთ ფართობის თანაფარდობა:

გაითვალისწინეთ, რომ ფორმულა ჭეშმარიტი რჩება მაშინაც კი, როდესაც . Ამ შემთხვევაში

მე-2 შემთხვევა. დევს მხოლოდ პროექციის სიბრტყეში და არის პროექციის სიბრტყის პარალელურად .

მოდით იყოს წერტილების პროგნოზები სიბრტყეზე, შესაბამისად. ჩვენს შემთხვევაში.

მოდით გავავლოთ სწორი ხაზი წერტილში. ჩვენს შემთხვევაში, სწორი ხაზი კვეთს პროექციის სიბრტყეს, რაც ნიშნავს, რომ ლემის მიხედვით, სწორი ხაზი ასევე კვეთს პროექციის სიბრტყეს. დაე იყოს წერტილში ვინაიდან, მაშინ წერტილები დევს იმავე სიბრტყეში და რადგან პროექციის სიბრტყის პარალელურია, სწორი წრფის პარალელურობის ნიშნიდან და სიბრტყედან გამომდინარეობს რომ. ამიტომ არის პარალელოგრამი. განვიხილოთ და. ისინი ტოლია სამ მხარეს (- საერთო, როგორც პარალელოგრამის მოპირდაპირე მხარეები). გაითვალისწინეთ, რომ ოთხკუთხედი არის მართკუთხედი და ტოლია (ფეხისა და ჰიპოტენუზის გასწვრივ), შესაბამისად, ის ტოლია სამი მხრიდან. Ამიტომაც.

1 შემთხვევისთვის გამოიყენება: ე.ი.

მე-3 შემთხვევა. დევს მხოლოდ პროექციის სიბრტყეში და არ არის პროექციის სიბრტყის პარალელურად .

წერტილი იყოს წრფის გადაკვეთის წერტილი საპროექციო სიბრტყესთან. აღვნიშნოთ, რომ ი. 1 შემთხვევა: ი. ასე მივიღებთ ამას

4 შემთხვევა. ვერტიკები არ დევს პროექციის სიბრტყეში . განვიხილოთ პერპენდიკულარები. აიღეთ ყველაზე პატარა ამ პერპენდიკულარებს შორის. დაე იყოს პერპენდიკულარული. შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ ან მხოლოდ, ან მხოლოდ. მერე მაინც ვიღებთ.

მოდით გამოვყოთ წერტილი სეგმენტის წერტილიდან, ისე, რომ და წერტილიდან სეგმენტზე, წერტილი, ისე, რომ. ასეთი კონსტრუქცია შესაძლებელია, ვინაიდან - პერპენდიკულარებიდან ყველაზე პატარა. გაითვალისწინეთ, რომ ეს არის პროექცია და კონსტრუქციით. მოდით დავამტკიცოთ, რომ და თანაბარი.

განვიხილოთ ოთხკუთხედი. პირობით - პერპენდიკულარები ერთ სიბრტყეზე, მაშასადამე, თეორემის მიხედვით, მაშასადამე. ვინაიდან აგებით, მაშ, პარალელოგრამის საფუძველზე (პარალელური და თანაბარი მოპირდაპირე გვერდებზე), შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ - პარალელოგრამი. ნიშნავს,. ანალოგიურად დადასტურებულია, რომ . ამიტომ, და სამი მხრიდან თანაბარია. Ისე. გაითვალისწინეთ, რომ და, როგორც პარალელოგრამების მოპირდაპირე მხარეები, შესაბამისად, სიბრტყეების პარალელურობის საფუძველზე, . ვინაიდან ეს სიბრტყეები პარალელურია, ისინი ქმნიან იმავე კუთხეს პროექციის სიბრტყესთან.

წინა შემთხვევებისთვის გამოიყენება:

5 შემთხვევა. პროექციის სიბრტყე კვეთს გვერდებს . მოდით შევხედოთ სწორ ხაზებს. ისინი პროექციის სიბრტყის პერპენდიკულარულია, ამიტომ თეორემით ისინი პარალელურები არიან. წერტილებში საწყისებთან ერთად მიმართულ სხივებზე, ჩვენ გამოვყოფთ თანაბარ სეგმენტებს, შესაბამისად, ისე, რომ წვეროები დევს პროექციის სიბრტყის გარეთ. გაითვალისწინეთ, რომ ეს არის პროექცია და კონსტრუქციით. ვაჩვენოთ, რომ თანაბარია.

მას შემდეგ, რაც და, მშენებლობით, მაშინ. მაშასადამე, პარალელოგრამის საფუძველზე (ორ ტოლ და პარალელურ მხარეს) - პარალელოგრამი. ანალოგიურად შეიძლება დადასტურდეს, რომ და პარალელოგრამებია. მაგრამ შემდეგ, და (როგორც მოპირდაპირე მხარეები), შესაბამისად, ტოლია სამ მხარეს. ნიშნავს,.

გარდა ამისა, და, შესაბამისად, სიბრტყეების პარალელურობის საფუძველზე. ვინაიდან ეს სიბრტყეები პარალელურია, ისინი ქმნიან იმავე კუთხეს პროექციის სიბრტყესთან.

მოქმედი შემთხვევისთვის 4:.

II ეტაპი. მოდით გავყოთ ბრტყელი მრავალკუთხედი სამკუთხედებად წვეროდან გამოყვანილი დიაგონალების გამოყენებით: შემდეგ სამკუთხედების წინა შემთხვევების მიხედვით: .

ქ.ე.დ.