"პატარა ვაჟი მივიდა მამასთან და ჰკითხა პატარას: "რა არის კუთხეები?" მაგრამ მამამ დაავიწყდა პასუხი. ეს ძალიან ცუდია!".

ჩვენს სტატიაში ჩვენ ვთავაზობთ გავიხსენოთ მათემატიკის გაკვეთილები და იპოვოთ პასუხები ბავშვის კითხვებზე.

რა არის კუთხე

რა არის კუთხე, რა თქმა უნდა უფრო ადვილია ჩვენება, ვიდრე ახსნა. დაწყებითი კლასებიდან ვიცით, რომ ბრტყელი კუთხე:

1. ეს არის გეომეტრიული ფიგურა.
2. იგი წარმოიქმნება ორი მხარით - სხივებით.
3. სხივები გამოდის ერთი წვეროდან - წერტილიდან.
4. იზომება გრადუსით.

ანუ, თუ რომელიმე სიბრტყეზე დააყენებთ წერტილს, შემდეგ კი ამ წერტილიდან დახაზავთ ორ სხივს (სხივი არის სწორი ხაზი, რომელსაც აქვს დასაწყისი, მაგრამ არა დასასრული), მაშინ მივიღებთ კუთხეს და არა ერთს, არამედ ორს. ეს იმიტომ ხდება, რომ სხივებმა თვითმფრინავი ორ ნაწილად დაყო. ჩვენ ჩამოვაყალიბეთ ორი კუთხე - შიდა და გარე.

კუთხის აღნიშვნა

კუთხე მათემატიკაში აღინიშნება ასეთი ნიშნით - "˪" და ბერძნული ასოებით: β, δ, φ. თქვენ ასევე შეგიძლიათ დანიშნოთ კუთხეები მცირე ან დიდი ლათინური ასოებით. მცირე (d, c, b) აღნიშნავს სხივებს, რომლებიც ქმნიან კუთხეს, შესაბამისად, სახელი შედგება ორი ასოსგან და ხატისაგან - ˪ab. დიდი ლათინური ასოები აღნიშნავს კუთხის სამ წერტილს: ორი გვერდებზე და ერთი წვერო (˪DEF). უფრო მეტიც, ზედა ასო ყოველთვის იქნება სახელის შუაში და როგორ წავიკითხოთ DEF ან FED, ამას უკვე არანაირი მნიშვნელობა არ აქვს.

კუთხეების ტიპები

გრადუსებიდან (გაზომილი მნიშვნელობა) მიხედვით, კუთხეები იყოფა:

• მწვავე (> 90 გრადუსი);
• პირდაპირი (ზუსტად 90);
• მოსაწყენი (180);
• გაფართოებული (უდრის 180-ს);
• არაამოზნექილი (180-ზე მეტი, მაგრამ 360-ზე ნაკლები);
• სრული (360);

ყველა კუთხეს, რომელიც არ არის სწორი ან სწორი, ირიბი ეწოდება.

ასევე, რა არის კუთხეები?

• მიმდებარე - მათ აქვთ ერთი მხარე საერთო, ხოლო დანარჩენები ცრუობენ, არ ემთხვევა, იმავე სიბრტყეში. ამ კუთხეების ჯამი ყოველთვის იქნება 180.
• ვერტიკალური - ორი გადამკვეთი სწორი ხაზით წარმოქმნილი კუთხეები და მათ არ აქვთ საერთო მხარეები, მაგრამ მათი სხივები ერთი წერტილიდან გამოდის. ანუ ერთი კუთხის მხარე მეორის გაგრძელებაა. ეს კუთხეები ტოლია.
• ცენტრალური - კუთხე, რომლის წვერო არის წრის ცენტრი.
• ჩაწერილი კუთხე. მისი წვერო წრეზეა და მისი შემქმნელი სხივები კვეთს ამ წრეს.

ახლა თქვენ იცით, რა არის მართი კუთხე და ასევე შეგიძლიათ განსაზღვროთ რომელი კუთხეა მახვილი. ამის დამახსოვრება არ არის რთული და სხვა ტიპის კუთხეებსაც დამახასიათებელი სახელები აქვთ.

ამ სტატიაში ჩვენ ამომწურავად გავაანალიზებთ ერთ-ერთ მთავარ გეომეტრიულ ფიგურას - კუთხეს. დავიწყოთ დამხმარე ცნებებითა და განმარტებებით, რომლებიც მიგვიყვანს კუთხის განსაზღვრებამდე. ამის შემდეგ, ჩვენ ვაძლევთ მიღებულ მეთოდებს კუთხეების აღსანიშნავად. შემდეგ დეტალურად განვიხილავთ კუთხეების გაზომვის პროცესს. დასასრულს, ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ შეგიძლიათ მონიშნოთ კუთხეები ნახაზში. ჩვენ ყველა თეორიას მივაწოდეთ საჭირო ნახატები და გრაფიკული ილუსტრაციები მასალის უკეთ დასამახსოვრებლად.

გვერდის ნავიგაცია.

კუთხის განსაზღვრა.

კუთხე გეომეტრიაში ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ფიგურაა. კუთხის განმარტება მოცემულია სხივის განმარტებით. თავის მხრივ, სხივის იდეა ვერ მიიღება ისეთი გეომეტრიული ფიგურების ცოდნის გარეშე, როგორიცაა წერტილი, სწორი ხაზი და სიბრტყე. ამიტომ, სანამ კუთხის განმარტებას გაეცნოთ, გირჩევთ განაახლოთ თეორია სექციებიდან და.

ამრიგად, ჩვენ დავიწყებთ წერტილის, სიბრტყეზე სწორი ხაზის და სიბრტყის ცნებებიდან.

ჯერ მივცეთ სხივის განმარტება.

მოდით მივცეთ გარკვეული სწორი ხაზი თვითმფრინავზე. ავღნიშნოთ ასო ა. მოდით O იყოს a წრფის რაღაც წერტილი. წერტილი O ყოფს a წრფეს ორ ნაწილად. თითოეულ ამ ნაწილს O წერტილთან ერთად ეწოდება სხივიდა O წერტილი ეწოდება სხივის დასაწყისი. ისიც გესმის, რომ სხივი ე.წ ნახევრადპირდაპირი.

მოკლედ და მოხერხებულობისთვის დაინერგა სხივების შემდეგი აღნიშვნა: სხივი აღინიშნება ან მცირე ლათინური ასოებით (მაგალითად, ray p ან ray k), ან ორი დიდი ლათინური ასოებით, რომელთაგან პირველი შეესაბამება საწყისს. სხივი, ხოლო მეორე აღნიშნავს ამ სხივის გარკვეულ წერტილს (მაგალითად, სხივი OA ან სხივი CD). ნახატზე ვაჩვენოთ სხივების გამოსახულება და აღნიშვნა.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია მივცეთ კუთხის პირველი განმარტება.

განმარტება.

ინექცია- ეს არის ბრტყელი გეომეტრიული ფიგურა (ანუ მთლიანად დევს გარკვეულ სიბრტყეში), რომელიც შედგება ორი შეუსაბამო სხივისგან, საერთო წარმოშობისა. თითოეულ სხივს ე.წ კუთხის მხარე, კუთხის გვერდების საერთო დასაწყისი ეწოდება ზედა კუთხე.

შესაძლებელია, რომ კუთხის გვერდები ქმნიან სწორ ხაზს. ამ კუთხეს თავისი სახელი აქვს.

განმარტება.

თუ კუთხის ორივე მხარე ერთსა და იმავე წრფეზეა, მაშინ კუთხე ეწოდება განლაგებული.

თქვენს ყურადღებას წარმოგიდგენთ განვითარებული კუთხის გრაფიკულ ილუსტრაციას.

კუთხის სიმბოლო გამოიყენება კუთხის აღსანიშნავად. თუ კუთხის მხარეები მითითებულია პატარა ლათინური ასოებით (მაგალითად, კუთხის ერთი მხარე არის k, ხოლო მეორე არის h), მაშინ ამ კუთხის აღსანიშნავად, კუთხის ხატის შემდეგ, გვერდების შესაბამისი ასოები იწერება. ზედიზედ და ჩაწერის თანმიმდევრობას არ აქვს მნიშვნელობა (ეს არის ან). თუ კუთხის მხარეები მითითებულია ორი დიდი ლათინური ასოთი (მაგალითად, OA კუთხის ერთი მხარე და OB კუთხის მეორე მხარე), მაშინ კუთხე აღინიშნება შემდეგნაირად: კუთხის ნიშნის შემდეგ სამი ასოა. დაწერილი, რომლებიც მონაწილეობენ კუთხის გვერდების აღნიშვნაში და შუაში მდებარე კუთხის წვეროს შესაბამისი ასო (ჩვენს შემთხვევაში, კუთხე მითითებული იქნება როგორც ან ). თუ კუთხის წვერო არ არის სხვა კუთხის წვერო, მაშინ ასეთი კუთხე შეიძლება აღინიშნოს კუთხის წვეროს შესაბამისი ასოთი (მაგალითად, ). ზოგჯერ ხედავთ, რომ ნახატებში კუთხეები აღინიშნება ციფრებით (1, 2 და ა.შ.), ეს კუთხეები აღინიშნება და ა.შ. სიცხადისთვის წარმოგიდგენთ ფიგურას, რომელშიც ნაჩვენებია და მითითებულია კუთხეები.

ნებისმიერი კუთხე სიბრტყეს ორ ნაწილად ყოფს. უფრო მეტიც, თუ კუთხე არ არის განვითარებული, მაშინ სიბრტყის ერთ ნაწილს უწოდებენ შიდა კუთხის ფართობი, და სხვა გარე კუთხის ფართობი. შემდეგი სურათი ხსნის თვითმფრინავის რომელ ნაწილს შეესაბამება კუთხის შიგნით და რომელი ნაწილი გარედან.

ნებისმიერი ორი ნაწილიდან, რომლებშიც გაბრტყელებული კუთხე ყოფს სიბრტყეს, შეიძლება ჩაითვალოს გაბრტყელებული კუთხის შიდა რეგიონად.

კუთხის ინტერიერის განმარტება კუთხის მეორე განმარტებამდე მიგვიყვანს.

განმარტება.

ინექცია- ეს არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება ორი შეუსაბამო სხივისგან, საერთო წარმოშობისა და კუთხის შესაბამისი შიდა უბნისგან.

უნდა აღინიშნოს, რომ კუთხის მეორე განმარტება უფრო მკაცრია ვიდრე პირველი, რადგან ის შეიცავს მეტ პირობებს. თუმცა, არ უნდა უარვყოთ კუთხის პირველი განმარტება და არც კუთხის პირველი და მეორე განმარტებები ცალკე განიხილონ. მოდით ავხსნათ ეს წერტილი. როდესაც საქმე ეხება კუთხეს, როგორც გეომეტრიულ ფიგურას, მაშინ კუთხე გაგებულია, როგორც ფიგურა, რომელიც შედგება საერთო წარმოშობის ორი სხივისგან. თუ საჭირო გახდება ამ კუთხით რაიმე მოქმედების განხორციელება (მაგალითად, კუთხის გაზომვა), მაშინ კუთხე უკვე უნდა გავიგოთ, როგორც ორი სხივი საერთო წარმოშობისა და შიდა რეგიონის მქონე (წინააღმდეგ შემთხვევაში ორმაგი სიტუაცია წარმოიქმნება იმის გამო. კუთხის როგორც შიდა, ასევე გარე რეგიონის არსებობა).

მოდით მივცეთ მეტი განმარტება მიმდებარე და ვერტიკალური კუთხეების შესახებ.

განმარტება.

მიმდებარე კუთხეები- ეს არის ორი კუთხე, რომლებშიც ერთი მხარე საერთოა, ხოლო დანარჩენი ორი ქმნის სწორ კუთხეს.

განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მიმდებარე კუთხეები ავსებენ ერთმანეთს სწორ კუთხემდე.

განმარტება.

ვერტიკალური კუთხეებიარის ორი კუთხე, რომლებშიც ერთი კუთხის გვერდები მეორის გვერდების გაგრძელებაა.

ფიგურაში ნაჩვენებია ვერტიკალური კუთხეები.

ცხადია, ორი გადამკვეთი ხაზი ქმნის ოთხ წყვილ მიმდებარე კუთხეს და ორ წყვილ ვერტიკალურ კუთხეს.

კუთხის შედარება.

სტატიის ამ აბზაცში შევეხებით ტოლი და არათანაბარი კუთხეების განმარტებებს და ასევე არათანაბარი კუთხეების შემთხვევაში განვმარტავთ რომელი კუთხე ითვლება დიდად და რომელი უფრო მცირე.

შეგახსენებთ, რომ ორ გეომეტრიულ ფიგურას ტოლი ეწოდება, თუ მათი ზემოქმედება შესაძლებელია.

მოდით მივცეთ ორი კუთხე. მოვიყვანოთ მსჯელობა, რომელიც დაგვეხმარება პასუხის მიღებაში კითხვაზე: „ეს ორი კუთხე ტოლია თუ არა“?

ცხადია, ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია დავამთხვიოთ ორი კუთხის წვეროები, ისევე როგორც პირველი კუთხის ერთი მხარე მეორე კუთხის რომელიმე მხარესთან. მოდით გავაერთიანოთ პირველი კუთხის მხარე მეორე კუთხის იმ მხარესთან ისე, რომ კუთხეების დარჩენილი მხარეები იყოს იმ სწორი ხაზის იმავე მხარეს, რომელზეც კუთხეების გაერთიანებული მხარეები დევს. შემდეგ, თუ კუთხეების დანარჩენი ორი მხარე გასწორებულია, მაშინ კუთხეები ეწოდება თანაბარი.

თუ კუთხის დანარჩენი ორი მხარე არ ემთხვევა, მაშინ კუთხეები ეწოდება არათანაბარი, და უფრო პატარაკუთხე ითვლება მეორის ნაწილად ( დიდიარის კუთხე, რომელიც მთლიანად შეიცავს სხვა კუთხეს).

ცხადია, რომ ორი სწორი კუთხე ტოლია. ასევე აშკარაა, რომ განვითარებული კუთხე აღემატება ნებისმიერ განუვითარებელ კუთხეს.

კუთხის გაზომვა.

კუთხის გაზომვა ემყარება გაზომილი კუთხის შედარებას საზომ ერთეულად აღებულ კუთხესთან. კუთხეების გაზომვის პროცესი ასე გამოიყურება: გაზომილი კუთხის ერთ-ერთი მხრიდან დაწყებული, მისი შიდა ფართობი თანმიმდევრულად ივსება ცალკეული კუთხით, მჭიდროდ აწყობს მათ ერთმანეთზე. ამავდროულად, ახსოვს დაწყობილი კუთხეების რაოდენობა, რაც იძლევა გაზომილი კუთხის ზომას.

სინამდვილეში, ნებისმიერი კუთხე შეიძლება იქნას მიღებული, როგორც კუთხეების საზომი ერთეული. ამასთან, არსებობს მრავალი ზოგადად მიღებული ერთეული კუთხეების გაზომვისთვის, რომლებიც დაკავშირებულია მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების სხვადასხვა დარგთან, მათ მიიღეს სპეციალური სახელები.

კუთხეების საზომი ერთ-ერთი ერთეულია ხარისხი.

განმარტება.

ერთი ხარისხიარის გასწორებული კუთხის ას ოთხმოცედის ტოლი კუთხე.

ხარისხი აღინიშნება სიმბოლოთი "", შესაბამისად, ერთი ხარისხი აღინიშნება როგორც.

ამრიგად, განვითარებულ კუთხეში შეგვიძლია 180 კუთხე მოვათავსოთ ერთ გრადუსში. 180 თანაბარ ნაწილად გაჭრილ ნახევარ მრგვალ ღვეზელს ჰგავს. ძალიან მნიშვნელოვანია: "ტორტის ნაჭრები" მჭიდროდ ერგება ერთმანეთს (ანუ კუთხეების გვერდები გასწორებულია), პირველი კუთხის მხარე გასწორებულია გაბრტყელებული კუთხის ერთ მხარეს, ხოლო ბოლო ერთეული კუთხის მხარე. დაემთხვა გაბრტყელებული კუთხის მეორე მხარეს.

კუთხეების გაზომვისას ირკვევა, რამდენჯერ ჯდება გრადუსი (ან კუთხეების საზომი სხვა ერთეული) გაზომილ კუთხეში, სანამ გაზომილი კუთხის შიდა არე მთლიანად არ დაიფარება. როგორც უკვე ვნახეთ, განვითარებული კუთხით, ხარისხი ჯდება ზუსტად 180-ჯერ. ქვემოთ მოცემულია კუთხეების მაგალითები, რომლებშიც ერთგრადუსიანი კუთხე ერგება ზუსტად 30-ჯერ (ასეთი კუთხე სწორი კუთხის მეექვსედია) და ზუსტად 90-ჯერ (ნახევარი სწორი კუთხე).

ერთ გრადუსზე ნაკლები კუთხეების (ან კუთხეების საზომი სხვა ერთეულის) გასაზომად და იმ შემთხვევებში, როდესაც კუთხის გაზომვა შეუძლებელია გრადუსების მთელი რიცხვით (აღებული საზომი ერთეულები), თქვენ უნდა გამოიყენოთ გრადუსის ნაწილები (აღებული ნაწილები საზომი ერთეულები). ხარისხის ზოგიერთმა ნაწილმა მიიღო სპეციალური სახელები. ყველაზე გავრცელებულია ე.წ წუთები და წამები.

განმარტება.

წუთიარის ხარისხის სამოცდამეათე.

განმარტება.

მეორეარის წუთის ერთი სამოცი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წუთში არის სამოცი წამი, ხოლო გრადუსში სამოცი წუთი (3600 წამი). სიმბოლო "" გამოიყენება წუთების აღსანიშნავად, ხოლო სიმბოლო "" გამოიყენება წამების აღსანიშნავად (არ აურიოთ წარმოებულისა და მეორე წარმოებულის ნიშნები). შემდეგ, შემოღებული განმარტებებითა და აღნიშვნებით, გვაქვს და კუთხე, რომელშიც 17 გრადუსი 3 წუთი და 59 წამი შეესაბამება, შეიძლება აღვნიშნოთ როგორც .

განმარტება.

კუთხის ხარისხის საზომიეწოდება დადებითი რიცხვი, რომელიც გვიჩვენებს რამდენჯერ ჯდება გრადუსი და მისი ნაწილები მოცემულ კუთხეში.

მაგალითად, გასწორებული კუთხის გრადუსიანი ზომა არის ას ოთხმოცი, ხოლო კუთხის გრადუსიანი ზომა არის .

კუთხეების გასაზომად არსებობს სპეციალური საზომი ხელსაწყოები, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია პროტრაქტორი.

თუ კუთხის აღნიშვნა (მაგალითად,) და მისი ხარისხის ზომა (დავუშვათ 110) ცნობილია, მაშინ გამოიყენეთ ფორმის მოკლე აღნიშვნა. და თქვით: "კუთხე AOB არის ას ათი გრადუსი."

კუთხის განსაზღვრებიდან და კუთხის გრადუსული საზომიდან გამომდინარეობს, რომ გეომეტრიაში კუთხის ზომა გრადუსებში გამოიხატება რეალური რიცხვით ინტერვალიდან (0, 180] (ტრიგონომეტრიაში, კუთხეები თვითნებური ხარისხის საზომით. განიხილება, ეძახიან). ოთხმოცდაათ გრადუსიან კუთხეს განსაკუთრებული სახელი აქვს, ე.წ სწორი კუთხე. კუთხეს 90 გრადუსზე ნაკლები ეწოდება მწვავე კუთხე. ოთხმოცდაათი გრადუსზე მეტი კუთხე ეწოდება ბლაგვი კუთხე. ასე რომ, მწვავე კუთხის ზომა გრადუსებში გამოიხატება რიცხვით ინტერვალიდან (0, 90), ბლაგვი კუთხის ზომა - რიცხვით ინტერვალიდან (90, 180), მართი კუთხე უდრის ოთხმოცდაათს. გრადუსი. აქ მოცემულია მახვილი კუთხის, ბლაგვი კუთხის და მართი კუთხის ილუსტრაციები.

კუთხის გაზომვის პრინციპიდან გამომდინარეობს, რომ თანაბარი კუთხის გრადუსული ზომები ერთნაირია, უფრო დიდი კუთხის გრადუსული ზომა უფრო დიდია, ვიდრე პატარას გრადუსი და კუთხის გრადუსი, რომელიც შედგება რამდენიმე კუთხისგან. უდრის შემადგენელი კუთხეების ხარისხიანი ზომების ჯამს. ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა გვიჩვენებს AOB კუთხეს, რომელიც შედგება AOC, COD და DOB კუთხეებისგან, ხოლო .

ამრიგად, მიმდებარე კუთხეების ჯამი ას ოთხმოცი გრადუსია, ვინაიდან ისინი ქმნიან სწორ კუთხეს.

ამ მტკიცებიდან გამომდინარეობს, რომ . მართლაც, თუ AOB და COD კუთხეები ვერტიკალურია, მაშინ კუთხეები AOB და BOC მეზობელია და კუთხეები COD და BOC ასევე მიმდებარე, შესაბამისად, ტოლობები და მოქმედებს, საიდანაც ტოლობა მოყვება.

ხარისხთან ერთად კუთხეების საზომი ხელსაყრელი ერთეული ეწოდება რადიანი. რადიანის ზომა ფართოდ გამოიყენება ტრიგონომეტრიაში. მოდით განვსაზღვროთ რადიანი.

განმარტება.

ერთი რადიანის კუთხე- ეს ცენტრალური კუთხე, რომელიც შეესაბამება რკალის სიგრძეს, უდრის შესაბამისი წრის რადიუსის სიგრძეს.

მოდით მივცეთ ერთი რადიანის კუთხის გრაფიკული ილუსტრაცია. ნახაზზე OA რადიუსის სიგრძე (ისევე როგორც OB რადიუსი) უდრის AB რკალის სიგრძეს, შესაბამისად, განმარტებით, AOB კუთხე უდრის ერთ რადიანს.

აბრევიატურა „რად“ გამოიყენება რადიანების აღსანიშნავად. მაგალითად, 5 რადის დაწერა ნიშნავს 5 რადიანს. თუმცა წერილობით აღნიშვნა „რად“ ხშირად გამოტოვებულია. მაგალითად, როდესაც წერენ, რომ კუთხე უდრის პის, ეს ნიშნავს პი რად.

ცალკე უნდა აღინიშნოს, რომ რადიანებში გამოხატული კუთხის მნიშვნელობა არ არის დამოკიდებული წრის რადიუსის სიგრძეზე. ეს გამოწვეულია იმით, რომ მოცემული კუთხით შემოსაზღვრული ფიგურები და მოცემული კუთხის წვეროზე ორიენტირებული წრის რკალი ერთმანეთის მსგავსია.

რადიანებში კუთხეების გაზომვა შეიძლება განხორციელდეს ისევე, როგორც კუთხეების გაზომვა გრადუსით: გაარკვიეთ, რამდენჯერ ჯდება ერთი რადიანის კუთხე (და მისი ნაწილები) მოცემულ კუთხეში. და თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ შესაბამისი ცენტრალური კუთხის რკალის სიგრძე და შემდეგ გაყოთ იგი რადიუსის სიგრძეზე.

პრაქტიკის საჭიროებისთვის, სასარგებლოა იმის ცოდნა, თუ როგორ არის დაკავშირებული ხარისხი და რადიანის ზომები ერთმანეთთან, რადგან საკმაოდ დიდი ნაწილი უნდა განხორციელდეს. ამ სტატიაში მყარდება კავშირი კუთხის ხარისხსა და რადიანულ ზომას შორის და მოცემულია გრადუსების რადიანად გადაქცევის მაგალითები და პირიქით.

ნახატში კუთხეების აღნიშვნა.

ნახატებში, მოხერხებულობისა და სიცხადისთვის, კუთხეები შეიძლება აღინიშნოს რკალებით, რომლებიც, როგორც წესი, დახატულია კუთხის შიდა რეგიონში კუთხის ერთი მხრიდან მეორეზე. თანაბარი კუთხეები აღინიშნება რკალების ერთი და იგივე რაოდენობით, არათანაბარი კუთხეები რკალების განსხვავებული რაოდენობით. ნახატში მართი კუთხეები აღინიშნება ფორმის სიმბოლოთი "", რომელიც გამოსახულია მარჯვენა კუთხის შიდა რეგიონში კუთხის ერთი მხრიდან მეორეზე.

თუ ნახაზში მოგიწევთ მრავალი განსხვავებული კუთხის აღნიშვნა (ჩვეულებრივ სამზე მეტი), მაშინ კუთხის აღნიშვნისას, ჩვეულებრივი რკალების გარდა, დასაშვებია რაიმე სპეციალური ტიპის რკალების გამოყენება. მაგალითად, შეგიძლიათ გამოსახოთ დაკბილული რკალი, ან მსგავსი რამ.

გასათვალისწინებელია, რომ თქვენ არ უნდა გაიტაცოთ ნახატებში კუთხეების აღნიშვნით და არ გააფუჭოთ ნახატები. ჩვენ გირჩევთ მონიშნოთ მხოლოდ ის კუთხეები, რომლებიც აუცილებელია ამოხსნის ან დამტკიცების პროცესში.

ბიბლიოგრაფია.

• ატანასიანი ლ.ს., ბუტუზოვი ვ.ფ., კადომცევი ს.ბ., პოზნიაკი ე.გ., იუდინა ი.ი. გეომეტრია. 7-9 კლასები: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის.
• ატანასიანი ლ.ს., ბუტუზოვი ვ.ფ., კადომცევი ს.ბ., კისელევა ლ.ს., პოზნიაკი ე.გ. გეომეტრია. სახელმძღვანელო საშუალო სკოლის 10-11 კლასებისთვის.
• პოგორელოვი A.V., გეომეტრია. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების 7-11 კლასებისთვის.

რა არის კუთხე?

კუთხე არის ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ერთი წერტილიდან გამომავალი ორი სხივით (სურ. 160).
სხივები, რომლებიც წარმოიქმნება ინექცია, კუთხის გვერდებს უწოდებენ, ხოლო წერტილს, საიდანაც ისინი გამოდიან, კუთხის წვერო.
სურათზე 160, კუთხის გვერდები არის სხივები OA და OB, ხოლო მისი წვერო არის წერტილი O. ეს კუთხე აღინიშნება შემდეგნაირად: AOB.

შუაში კუთხის ჩაწერისას დაწერეთ ასო, რომელიც აღნიშნავს მის წვეროს. კუთხე ასევე შეიძლება აღინიშნოს ერთი ასოთი - მისი წვერის სახელი.

მაგალითად, "კუთხის AOB"-ის ნაცვლად უფრო მოკლედ წერენ: "კუთხე O".

სიტყვა "კუთხის" ნაცვლად აწერენ ნიშანს.

მაგალითად, AOB, O.

ფიგურაში 161, წერტილები C და D დევს AOB კუთხის შიგნით, X და Y წერტილები დევს ამ კუთხის გარეთ, და ქულები M და H - კუთხის გვერდებზე.

ყველა გეომეტრიული ფორმის მსგავსად, კუთხეები შედარებულია გადაფარვის გამოყენებით.

თუ შეიძლება ერთი კუთხის მეორეზე გადატანა ისე, რომ ისინი ერთმანეთს დაემთხვეს, მაშინ ეს კუთხეები ტოლია.

მაგალითად, ნახაზზე 162 ABC = MNK.

SOK კუთხის ზემოდან (სურ. 163) გამოყვანილია სხივი OR. ის ყოფს SOC კუთხეს ორ კუთხედ - COP და ROCK. თითოეული ეს კუთხე ROC კუთხეზე ნაკლებია.

დაწერილი: COP< COK и POK < COK.

სწორი და დახრილი

ორი ერთმანეთს ავსებს სხივიჩამოაყალიბეთ დაკეცილი კუთხე. ამ კუთხის გვერდები ერთად ქმნიან სწორ ხაზს, რომელზეც დევს გაფართოებული კუთხის ზედა ნაწილი (სურ. 164).

საათის საათის და წუთის ისრები ქმნიან განვითარებულ კუთხეს 6 საათზე (სურ. 165).

ქაღალდის ნაჭერი ორჯერ გავანახევროთ და შემდეგ გავშალოთ (სურ. 166).

დასაკეცი ხაზები ქმნიან 4 თანაბარ კუთხეს. თითოეული ეს კუთხე უდრის გასწორებული კუთხის ნახევარს. ასეთ კუთხეებს მართი კუთხეები ეწოდება.

მართი კუთხე არის ნახევარი გასწორებული კუთხე.

სამკუთხედის დახატვა

სწორი კუთხის ასაგებად გამოიყენეთ ნახაზი სამკუთხედი(სურ. 167). სწორი კუთხის ასაგებად, რომლის ერთ-ერთი მხარე არის სხივი OL, აუცილებელია:

ა) დაალაგეთ ნახაზის სამკუთხედი ისე, რომ მისი მართი კუთხის წვერო ემთხვეოდეს O წერტილს და ერთ-ერთი გვერდი მიდის OA სხივის გასწვრივ;

ბ) დახაზეთ სხივი OB სამკუთხედის მეორე გვერდის გასწვრივ.

შედეგად, მივიღებთ მართკუთხა AOB-ს.

კითხვები თემასთან დაკავშირებით

1.რა არის კუთხე?
2. რა კუთხეს უწოდებენ განლაგებულს?
3. რა კუთხეებს უწოდებენ ტოლს?
4. რა კუთხეს ჰქვია მართალი?
5. როგორ აგებულია მართი კუთხე სახატავი სამკუთხედის გამოყენებით?

ჩვენ უკვე ვიცით, რომ ნებისმიერი კუთხე სიბრტყეს ორ ნაწილად ყოფს. მაგრამ, თუ კუთხით ორივე მხარე ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე დევს, მაშინ ასეთ კუთხეს განლაგებული ეწოდება. ანუ განვითარებული კუთხით მისი ერთი მხარე არის კუთხის მეორე მხარის გაგრძელება.

ახლა მოდით შევხედოთ ფიგურას, რომელიც გვიჩვენებს განვითარებულ კუთხეს O.

თუ სწორი კუთხის წვეროდან ავიღებთ და დავხატავთ სხივს, მაშინ ის დაყოფს ამ სწორ კუთხეს კიდევ ორ კუთხედ, რომელსაც ექნება ერთი საერთო მხარე, ხოლო დანარჩენი ორი კუთხე სწორ ხაზს წარმოქმნის. ანუ ერთი გაშლილი კუთხიდან მივიღეთ ორი მიმდებარე.

თუ ავიღებთ სწორ კუთხეს და დავხატავთ ბისექტრისს, მაშინ ეს ბისექტორი სწორ კუთხეს ორ მართ კუთხად დაყოფს.

ხოლო, იმ შემთხვევაში, თუ განვითარებული კუთხის წვეროდან გამოვხატავთ თვითნებურ სხივს, რომელიც არ არის ბისექტორი, მაშინ ასეთი სხივი დაყოფს გაფართოებულ კუთხეს ორ კუთხედ, რომელთაგან ერთი იქნება მახვილი და მეორე ბლაგვი.

ბინა კუთხის თვისებები

გაფართოებულ კუთხეს აქვს შემდეგი თვისებები:

ჯერ ერთი, სწორი კუთხის გვერდები არის ანტიპარალელური და ქმნიან სწორ ხაზს;
მეორეც, განვითარებული კუთხე არის 180°;
მესამე, ორი მიმდებარე კუთხე ქმნის სწორ კუთხეს;
მეოთხე, განვითარებული კუთხე არის სრული კუთხის ნახევარი;
მეხუთე, სრული კუთხე ტოლი იქნება ორი განვითარებული კუთხის ჯამისა;
მეექვსე, გასწორებული კუთხის ნახევარი არის მართი კუთხე.

კუთხის გაზომვა

ნებისმიერი კუთხის გასაზომად ამ მიზნებისთვის ყველაზე ხშირად გამოიყენება პროტრატორი, რომელშიც საზომი ერთეული არის ერთი გრადუსი. კუთხეების გაზომვისას უნდა გვახსოვდეს, რომ ნებისმიერ კუთხეს აქვს თავისი სპეციფიკური ხარისხის საზომი და, ბუნებრივია, ეს მაჩვენებელი ნულზე მეტია. ხოლო განვითარებული კუთხე, როგორც უკვე ვიცით, უდრის 180 გრადუსს.

ანუ თუ ავიღებთ წრის რომელიმე სიბრტყეს და რადიუსებით გავყოფთ 360 ტოლ ნაწილად, მაშინ ამ წრის 1/360 იქნება კუთხოვანი ხარისხი. როგორც უკვე იცით, ხარისხი მითითებულია გარკვეული ხატით, რომელიც ასე გამოიყურება: "°".

ახლა ჩვენ ასევე ვიცით, რომ ერთი გრადუსი 1° = წრის 1/360. თუ კუთხე წრის სიბრტყის ტოლია და არის 360 გრადუსი, მაშინ ასეთი კუთხე სავსეა.

ახლა კი ვიღებთ და ვყოფთ წრის სიბრტყეს ერთ სწორ ხაზზე მდებარე ორი რადიუსის დახმარებით ორ თანაბარ ნაწილად. შემდეგ ამ შემთხვევაში, ნახევარწრის სიბრტყე იქნება სრული კუთხის ნახევარი, ანუ 360: 2 = 180 °. მივიღეთ კუთხე, რომელიც უდრის წრის ნახევარსიბრტყეს და აქვს 180 °. ეს არის გრეხილი კუთხე.

პრაქტიკული დავალება

1613. დაასახელეთ 168-ზე ნაჩვენები კუთხეები. ჩამოწერეთ მათი აღნიშვნები.

1614. დახატე ოთხი სხივი: OA, OB, OS და OD. ჩაწერეთ იმ ექვსი კუთხის სახელები, რომელთა გვერდებიც ეს სხივებია. რამდენ ნაწილად იყოფა ეს სხივები თვითმფრინავი?

1615. მიუთითეთ 169 ნახატზე რომელი წერტილები დევს KOM კუთხის შიგნით რომელი წერტილები დევს ამ კუთხის გარეთ? რომელი წერტილებია OK მხარეს და რომელი OM მხარეს?

1616. დახატე კუთხე MOD და დახატე სხივი OT შიგნით. დაასახელეთ და დაასახელეთ კუთხეები, რომლებშიც ეს სხივი ყოფს კუთხეს MOD.

1617. წუთის ისარი 10 წუთში მიუბრუნდა AOB კუთხეს, მომდევნო 10 წუთში - BOC კუთხეს, ხოლო კიდევ 15 წუთში - COD კუთხეს. შეადარეთ კუთხეები AOB და BOC, BOC და COD, AOC და AOB, AOC და COD (სურ. 170).

1618. გამოიყენეთ სახატავი სამკუთხედი 4 მართი კუთხის დასახატად სხვადასხვა პოზიციაზე.

1619. სახატავი სამკუთხედის გამოყენებით იპოვე მართი კუთხეები 171 ნახაზზე. ჩაწერეთ მათი აღნიშვნები.

1620. მონიშნეთ სწორი კუთხეები საკლასო ოთახში.

ა) 0,09 200; ბ) 208 0,4; გ) 130 0,1 + 80 0,1.

1629. 400-ის რამდენი პროცენტია რიცხვი 200; 100; 4; 40; 80; 400; 600?

1630. იპოვე გამოტოვებული რიცხვი:

ა) 2 5 3 ბ) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631. დახაზეთ კვადრატი, რომლის გვერდი უდრის რვეულის 10 უჯრედის სიგრძეს. მოდით ეს კვადრატი წარმოადგენს ველს. ჭვავს უჭირავს მინდვრის 12%, შვრიას - 8%, ხორბალს - 64%, დანარჩენი ველი კი წიწიბურას უჭირავს. აჩვენეთ სურათზე მინდვრის ის ნაწილი, რომელსაც უკავია თითოეული კულტურა. მინდვრის რამდენი პროცენტია წიწიბურა?

1632. სასწავლო წლის განმავლობაში პეტიამ გამოიყენა წლის დასაწყისში შეძენილი რვეულების 40% და დარჩა 30 რვეული. რამდენი რვეული იყიდა პეტიას სასწავლო წლის დასაწყისში?

1633. ბრინჯაო არის კალის და სპილენძის შენადნობი. შენადნობის რამდენი პროცენტია სპილენძი ბრინჯაოს ნაჭერში, რომელიც შედგება 6 კგ კალის და 34 კგ სპილენძისგან?

1634. ანტიკურ ხანაში აგებული ალექსანდრიის შუქურა, რომელსაც მსოფლიოს შვიდ საოცრებას უწოდებდნენ, 1,7-ჯერ აღემატება მოსკოვის კრემლის კოშკებს, მაგრამ უფრო დაბალია ვიდრე მოსკოვის უნივერსიტეტის შენობა 119 მ. იპოვე სიმაღლე. თითოეული ამ სტრუქტურიდან, თუ მოსკოვის კრემლის კოშკები ალექსანდრიის შუქურას 49 მ დაბლაა.

1635. მიკროკალკულატორის დახმარებით იპოვეთ:

ა) 168-დან 4,5%; გ) 569,8-დან 28,3%;
ბ) 2500-დან 147,6%; დ) 456800-დან 0,09%.

1636. ამოხსენით პრობლემა:

1) ბაღის ფართობია 6,4 ა. პირველ დღეს ბაღის 30% გაითხარა, მეორე დღეს კი ბაღის 35%. რამდენი არი დარჩა გასათხრელი?

2) სერჟას ჰქონდა 4,8 საათი თავისუფალი დრო. ის დროის 35%-ს წიგნის კითხვაში ატარებდა, 40%-ს კი სატელევიზიო გადაცემების ყურებას. რამდენი დრო რჩება მას?

1637. გააკეთეთ შემდეგი:

1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638 დახაზეთ კუთხე BAC და მონიშნეთ თითო წერტილი კუთხის შიგნით, კუთხის გარეთ და კუთხის გვერდებზე.

1639. 172-ზე მონიშნული წერტილებიდან რომელი დევს AMK კუთხის შიგნით, რომელი წერტილი დევს AMB კუთხის შიგნით, მაგრამ AMK კუთხის გარეთ, რომელი წერტილები დევს AMK კუთხის გვერდებზე?

1640. გამოიყენეთ სახატავი სამკუთხედი 173-ზე მართი კუთხის საპოვნელად.

1641. ააგეთ კვადრატი გვერდით 43 მმ. გამოთვალეთ მისი პერიმეტრი და ფართობი.

1642. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

ა) 14.791: a + 160.961: b, თუ a = 100, b = 10;
ბ) 361.62s + 1848: d თუ c = 100, d = 100.

1643. მუშას უნდა გაეკეთებინა 450 ნაწილი. პირველ დღეს მან ნაწილების 60%, მეორეზე კი დანარჩენი. რამდენი ნაწილი გააკეთა მუშაკიმეორე დღეს?

1644. ბიბლიოთეკაში 8000 წიგნი იყო. ერთი წლის შემდეგ მათი რიცხვი 2000 წიგნით გაიზარდა. რამდენი პროცენტით გაიზარდა წიგნების რაოდენობა ბიბლიოთეკაში?

1645. სატვირთო მანქანებმა პირველ დღეს დაფარეს დაგეგმილი ბილიკის 24%, მეორე დღეს - 46%, ხოლო მესამეზე - დარჩენილი 450 კმ. რამდენი კილომეტრი გაიარა ამ სატვირთოებმა?

1646. იპოვე რამდენია:

ა) ტონის 1%; გ) 7 ტონა 5%;
ბ) ლიტრის 1%; დ) 80 კმ-ის 6%.

1647. თაიგულის მასა 9-ჯერ ნაკლებია ზრდასრული წყალმცენარეების მასაზე. რა მასა აქვს ზრდასრული წყალმცენარე, თუ ბელთან ერთად მათი მასა 0,9 ტონაა?

1648. მანევრების დროს მეთაურმა თავისი ჯარისკაცებიდან 0.3 დატოვა გადასასვლელის დასაცავად, დანარჩენები კი 2 რაზმად დაყო ორი სიმაღლის დასაცავად. პირველ რაზმს მეორეზე 6-ჯერ მეტი ჯარისკაცი ჰყავდა. რამდენი ჯარისკაცი იყო პირველ რაზმში, თუ სულ 200 ჯარისკაცი იყო?

N.Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, მათემატიკის კლასი 5, სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის

კუთხის საზომი

კუთხე in-ში იზომება გრადუსებში (გრადუსი, წუთი, წამი), ბრუნში - რკალის სიგრძის თანაფარდობა s წრეწირთან L, რადიანებში - რკალის სიგრძის s შეფარდება r რადიუსთან; ისტორიულად გამოიყენებოდა სეტყვის საზომი კუთხეების გასაზომად, რომელიც ამჟამად თითქმის არ გამოიყენება.

1 ბრუნი = 2π რადიანი = 360° = 400 გრადუსი.

საზღვაო ტერმინოლოგიაში კუთხეები მითითებულია წერტილებით.

კუთხის ტიპები

მიმდებარე კუთხეები არის მწვავე (a) და ბლაგვი (b). შებრუნებული კუთხე (c)

გარდა ამისა, განიხილება კუთხე გლუვ მოსახვევებს შორის ტანგენტის წერტილში: განმარტებით, მისი მნიშვნელობა უდრის მრუდების ტანგენტს შორის კუთხს.

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

ნახეთ, რა არის "განვითარებული კუთხე" სხვა ლექსიკონებში:

ორი მართი კუთხის ტოლი კუთხე. * ზედაპირის სკანირება არის ფიგურა, რომელიც მიიღება სიბრტყეში, როდესაც მოცემული ზედაპირის წერტილები შერწყმულია ამ სიბრტყესთან ისე, რომ ხაზების სიგრძე უცვლელი რჩება. მრუდის განვითარება იხილეთ Involute ... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ინექცია- ▲ მიმართულების სხვაობა (სივრცეში) მობრუნების კუთხის ზომა ერთი მიმართულებიდან მეორეზე; მიმართულების განსხვავება; სრული შემობრუნების ნაწილი (დახრილობა #. ფორმა #). დახრილობა. მიდრეკილი. გადახრა. გადახვევა (გზა გადაიხარა მარჯვნივ) ... ...

ინექცია- კუთხეები: 1 ზოგადი ხედი; 2 მიმდებარე; 3 მიმდებარე; 4 ვერტიკალური; 5 განლაგებულია; 6 სწორი, მკვეთრი და ბლაგვი; 7 მოსახვევებს შორის; 8 სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის; 9 გადამკვეთ სწორ ხაზებს შორის (არ დევს იმავე სიბრტყეში) სწორ ხაზებს შორის. კუთხე, გეომეტრიული…… ილუსტრირებული ენციკლოპედიური ლექსიკონი

გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება ერთი და იმავე წერტილიდან გამომავალი ორი განსხვავებული სხივისგან. სხივებმა დაუძახა გვერდები U. და მათი საერთო დასაწყისია წვერო U. მოდით [ BA), [ BC) კუთხის გვერდები, B მისი წვერო, U გვერდებით განსაზღვრული სიბრტყე. ფიგურა ყოფს სიბრტყეს ... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

ორი მართი კუთხის ტოლი კუთხე. * * * გამოცხადებული კუთხე გამოცხადებული კუთხე, კუთხე ორი მართი კუთხის ტოლი ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი

მათემატიკის დარგი, რომელიც შეისწავლის სხვადასხვა ფორმის (წერტილების, ხაზების, კუთხეების, ორგანზომილებიანი და სამგანზომილებიანი ობიექტების) თვისებებს, მათ ზომასა და შედარებით მდებარეობას. სწავლების მოხერხებულობისთვის გეომეტრია იყოფა პლანიმეტრიად და მყარი გეომეტრიად. AT…… კოლიერის ენციკლოპედია

1) დახურული გატეხილი ხაზი, კერძოდ: თუ სხვადასხვა წერტილი, არცერთი მათგანი ზედიზედ სამი არ დევს ერთ სწორ ხაზზე, მაშინ ეწოდება სეგმენტების სიმრავლე. მრავალკუთხედი (იხ. სურ. 1). M. შეიძლება იყოს სივრცითი ან ბრტყელი (ქვემოთ ... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

გადაღმა- ▲ მაქსიმალური კუთხით, ირიბი კუთხით განივი. გასწვრივ სწორი კუთხით. . მაქსიმალური გადახრის მარჯვენა კუთხის კუთხე; კუთხე, რომელიც ტოლია მის მიმდებარე კუთხეს; მეოთხედი შემობრუნება. პერპენდიკულარული. პერპენდიკულარული მართი კუთხით. პერპენდიკულარული. ... ... რუსული ენის იდეოგრაფიული ლექსიკონი

ხარისხი- ა, მ 1) ბრტყელი კუთხის საზომი ერთეული, ტოლი მართი კუთხის 1/90 ან, შესაბამისად, წრის 1/360. 90 გრადუსიან კუთხეს მართი კუთხე ეწოდება. გაფართოებული კუთხე არის 180 გრადუსი. 2) საზომი ერთეული ტემპერატურის ინტერვალისთვის, რომელსაც აქვს ... ... რუსული ენის პოპულარული ლექსიკონი

შვარც კრისტოფელის თეორემა, მნიშვნელოვანი თეორემა რთული ცვლადის ფუნქციების თეორიაში, ატარებს გერმანელი მათემატიკოსების კარლ შვარცისა და ელვინ კრისტოფელის სახელს. პრაქტიკული თვალსაზრისით ძალიან მნიშვნელოვანია კონფორმალური ... ... ვიკიპედიის პრობლემა

დაწყებით სკოლაში მოსწავლეები იცნობენ კუთხის ცნებას. მაგრამ როგორც გარკვეული თვისებების მქონე გეომეტრიული ფიგურა, ისინი იწყებენ მის შესწავლას მე-7 კლასიდან გეომეტრიაში. როგორც ჩანს, საკმაოდ მარტივი ფორმარა შეიძლება ითქვას მასზე. მაგრამ, ახალი ცოდნის შეძენით, სკოლის მოსწავლეები უფრო და უფრო მეტს ესმით, რომ მის შესახებ საკმაოდ საინტერესო ფაქტების სწავლა შეგიძლიათ.

კონტაქტში

როდის არის შესწავლილი

სასკოლო გეომეტრიის კურსი დაყოფილია ორ ნაწილად: პლანიმეტრია და მყარი გეომეტრია. თითოეულ მათგანს დიდი ყურადღება ექცევა. კუთხეებს მიეცა:

• პლანიმეტრიაში მოცემულია მათი ძირითადი კონცეფცია, ხდება მათი ტიპების გაცნობა ზომით. უფრო დეტალურად არის შესწავლილი თითოეული ტიპის სამკუთხედის თვისებები. სტუდენტებისთვის ჩნდება ახალი განმარტებები - ეს არის გეომეტრიული ფიგურები, რომლებიც წარმოიქმნება ერთმანეთთან ორი ხაზის გადაკვეთაზე და სეკანტის რამდენიმე ხაზის გადაკვეთაზე.
• სტერეომეტრიაში შესწავლილია სივრცითი კუთხეები - დიედრული და სამკუთხედი.

ყურადღება!ეს სტატია განიხილავს კუთხეების ყველა ტიპსა და თვისებას პლანიმეტრიაში.

განმარტება და გაზომვა

დაიწყეთ სწავლა, ჯერ განსაზღვრეთ, რა არის კუთხეპლანიმეტრიაში.

თუ სიბრტყეზე ავიღებთ გარკვეულ წერტილს და მისგან გამოვხატავთ ორ თვითნებურ სხივს, მივიღებთ გეომეტრიულ ფიგურას - კუთხეს, რომელიც შედგება შემდეგი ელემენტებისაგან:

• წვერო - წერტილი, საიდანაც სხივები იყო გამოყვანილი, მითითებულია ლათინური ანბანის დიდი ასოებით;
• გვერდები ზემოდან გამოყვანილია ნახევრად ხაზი.

ყველა ელემენტი, რომელიც ქმნის ფიგურას, რომელსაც განვიხილავთ, იყოფა სიბრტყეზე ორი ნაწილი:

• შიდა - პლანიმეტრიაში არ აღემატება 180 გრადუსს;
• გარე.

კუთხეების გაზომვის პრინციპი პლანიმეტრიაშიინტუიციურად ახსნა. დასაწყისისთვის მოსწავლეები ეცნობიან განვითარებული კუთხის კონცეფციას.

Მნიშვნელოვანი!კუთხე განვითარებულია, თუ მისი წვეროდან გამომავალი ნახევარხაზები ქმნიან სწორ ხაზს. გაშლილი კუთხე ყველა სხვა შემთხვევაა.

თუ იგი დაყოფილია 180 ტოლ ნაწილად, მაშინ ჩვეულებრივია განიხილოს ერთი ნაწილის საზომი 10-ის ტოლი. ამ შემთხვევაში ამბობენ, რომ გაზომვა ხდება გრადუსით და ასეთი ფიგურის გრადუსიანი საზომია 180 გრადუსი.

ძირითადი ტიპები

კუთხეების ტიპები იყოფა ისეთი კრიტერიუმების მიხედვით, როგორიცაა ხარისხის ზომა, მათი ფორმირების ხასიათი და ქვემოთ წარმოდგენილი კატეგორიები.

ზომის მიხედვით

სიდიდის გათვალისწინებით, კუთხეები იყოფა:

• განლაგებული;
• სწორი;
• ბლაგვი;
• ცხარე.

რა კუთხეს უწოდებენ განლაგებულს, ზემოთ იყო წარმოდგენილი. მოდით განვსაზღვროთ სწორი ხაზის კონცეფცია.

მისი მიღება შესაძლებელია განლაგებული ორ თანაბარ ნაწილად გაყოფით. ამ შემთხვევაში მარტივია პასუხის გაცემა კითხვაზე: მართი კუთხე, რამდენი გრადუსია?

180 გრადუსი გაყავით 2-ზე რომ მიიღოთ მარჯვენა კუთხე 90 გრადუსია. ეს მშვენიერი ფიგურაა, რადგან გეომეტრიის მრავალი ფაქტი მასთან არის დაკავშირებული.

მას ასევე აქვს საკუთარი მახასიათებლები აღნიშვნაში. ფიგურაში მართი კუთხის საჩვენებლად იგი მითითებულია არა რკალით, არამედ კვადრატით.

კუთხეებს, რომლებიც მიიღება სწორი ხაზის თვითნებური სხივის გაყოფით, მწვავე ეწოდება.საგნების ლოგიკის მიხედვით, აქედან გამომდინარეობს, რომ მახვილი კუთხე მართ კუთხეზე ნაკლებია, მაგრამ მისი ზომა განსხვავდება 0 გრადუსისგან. ანუ მას აქვს მნიშვნელობა 0-დან 90 გრადუსამდე.

ბლაგვი კუთხე მართ კუთხეზე მეტია, მაგრამ სწორ კუთხეზე ნაკლები. მისი ხარისხის ზომა მერყეობს 90-დან 180 გრადუსამდე.

ეს ელემენტი შეიძლება დაიყოს სხვადასხვა ტიპის ფიგურებად, გაფართოებულის გამოკლებით.

მიუხედავად იმისა, თუ როგორ ირღვევა შეუბრუნებელი კუთხე, ყოველთვის გამოიყენება პლანიმეტრიის ძირითადი აქსიომა - „გაზომვის მთავარი თვისება“.

ზე კუთხის გაყოფა ერთი სხივითან რამდენიმე, მოცემული ფიგურის გრადუსის ზომა უდრის იმ კუთხეების ზომების ჯამს, რომლებშიც ის იყოფა.

მე-7 კლასის დონეზე მთავრდება მათი სიდიდის კუთხეების ტიპები. მაგრამ ერუდიციის გასაზრდელად შეიძლება დავამატოთ, რომ არის სხვა ჯიშებიც, რომელთა ხარისხი 180 გრადუსზე მეტია.მათ ამოზნექილს უწოდებენ.

ფიგურები ხაზების გადაკვეთაზე

შემდეგი ტიპის კუთხეები, რომლებსაც მოსწავლეები ეცნობიან, არის ელემენტები, რომლებიც წარმოიქმნება ორი წრფის გადაკვეთისას. ერთმანეთის საპირისპიროდ მოთავსებულ ფიგურებს ვერტიკალური ეწოდება. მათი განმასხვავებელი თვისება არის თანაბარი.

ელემენტებს, რომლებიც ერთსა და იმავე ხაზთანაა მიმდებარე, ეწოდება მიმდებარე. თეორემა, რომელიც ასახავს მათ თვისებებს, ამას ამბობს მიმდებარე კუთხეები ემატება 180 გრადუსს.

ელემენტები სამკუთხედში

თუ ფიგურას სამკუთხედის ელემენტად განვიხილავთ, მაშინ კუთხეები იყოფა შიდა და გარე. სამკუთხედი შემოსაზღვრულია სამი სეგმენტით და შედგება სამი წვეროსაგან. სამკუთხედის შიგნით მდებარე კუთხეები თითოეულ წვეროზე, შიდა ეწოდება.

თუ რომელიმე წვეროზე ავიღებთ რომელიმე შიდა ელემენტს და გავაგრძელებთ რომელიმე მხარეს, მაშინ კუთხეს, რომელიც წარმოიქმნება და შიდას გვერდით დგას, გარე ეწოდება. ელემენტების ამ წყვილს აქვს შემდეგი თვისება: მათი ჯამი 180 გრადუსია.

ორი სწორი ხაზის გადაკვეთა

ხაზის გადაკვეთა

როდესაც ორი სწორი ხაზი იკვეთება, იქმნება კუთხეებიც, რომლებიც ჩვეულებრივ ნაწილდება წყვილებში. ელემენტების თითოეულ წყვილს აქვს საკუთარი სახელი. ეს ასე გამოიყურება:

• შიდა ჯვარედინი დაწოლა: ∟4 და ∟6, ∟3 და ∟5;
• შიდა ცალმხრივი: ∟4 და ∟5, ∟3 და ∟6;
• შესაბამისი: ∟1 და ∟5, ∟2 და ∟6, ∟4 და ∟8, ∟3 და ∟7.

როცა სეკანტი ორს კვეთს