კუთხის ხარისხის საზომი. კუთხის რადიანის ზომა. გადაიყვანეთ გრადუსები რადიანებად და პირიქით.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

წინა გაკვეთილზე დავეუფლეთ ტრიგონომეტრიულ წრეზე კუთხეების დათვლას. ისწავლა დადებითი და უარყოფითი კუთხის დათვლა. გააცნობიერა, თუ როგორ უნდა დავხატოთ 360 გრადუსზე მეტი კუთხე. დროა გავუმკლავდეთ კუთხეების გაზომვას. განსაკუთრებით რიცხვით "პი", რომელიც ცდილობს დაგვაბნიოს სახიფათო ამოცანებში, დიახ ...

სტანდარტული ამოცანები ტრიგონომეტრიაში „პი“ რიცხვით საკმაოდ კარგად არის ამოხსნილი. ვიზუალური მეხსიერება ეხმარება. ოღონდ შაბლონიდან ნებისმიერი გადახრა - ადგილზევე დაარტყა! იმისათვის, რომ არ დაეცეს - გაგებასაჭირო. რასაც ახლა წარმატებით გავაკეთებთ. გარკვეული გაგებით - ჩვენ ყველაფერი გვესმის!

Ისე, რა კუთხეები ითვლება? ტრიგონომეტრიის სასკოლო კურსში გამოიყენება ორი ზომა: კუთხის გრადუსიანი საზომიდა კუთხის რადიანის ზომა. მოდით შევხედოთ ამ ზომებს. ამის გარეშე, ტრიგონომეტრიაში - არსად.

კუთხის ხარისხის საზომი.

ჩვენ რატომღაც მიჩვეულები ვართ ხარისხებს. გეომეტრია, სულ მცირე, გაიარა... დიახ, და ცხოვრებაში ხშირად ვხვდებით ფრაზას "გაბრუნდა 180 გრადუსით", მაგალითად. ხარისხი, მოკლედ, მარტივი რამ...

დიახ? მიპასუხე მაშინ რა არის დიპლომი? რა არ მუშაობს მაშინვე? რაღაც...

ხარისხები გამოიგონეს ძველ ბაბილონში. ეს იყო დიდი ხნის წინ ... 40 საუკუნის წინ ... და მათ ეს უბრალოდ გამოვიდნენ. აიღეს და წრე დაარღვიეს 360 თანაბარ ნაწილად. 1 გრადუსი არის წრის 1/360. და ეს არის ის. შეიძლება დაიყოს 100 ნაწილად. ან 1000-ით. მაგრამ გატეხეს ის 360-ზე. სხვათა შორის, რატომ ზუსტად 360-ით? რატომ ჯობია 360 100-ს? 100 რაღაცნაირად უფრო თანაბარი ჩანს... სცადეთ ამ კითხვაზე პასუხის გაცემა. ან სუსტი ძველი ბაბილონის წინააღმდეგ?

სადღაც ამავე დროს, ძველ ეგვიპტეში, მათ სხვა საკითხი აწუხებდა. რამდენჯერ მეტია წრის გარშემოწერილობა მისი დიამეტრის სიგრძეზე? ასე გაზომეს და ასე... ყველაფერი სამზე ცოტა მეტი აღმოჩნდა. მაგრამ რატომღაც აღმოჩნდა შაგი, არათანაბარი ... მაგრამ ისინი, ეგვიპტელები, არ არიან დამნაშავენი. მათ შემდეგ კიდევ 35 საუკუნე იტანჯებოდნენ. სანამ საბოლოოდ არ დაამტკიცეს, რომ რაც არ უნდა წვრილად გაჭრა წრე თანაბარ ნაჭრებად, ასეთი ნაჭრებისგან უნდა გააკეთო გლუვიდიამეტრის სიგრძე შეუძლებელია... პრინციპში, შეუძლებელია. რა თქმა უნდა, რამდენჯერ აღემატება წრეწირს დიამეტრზე. შესახებ. 3.1415926... ჯერ.

ეს არის ნომერი "პი". ეს შაგია, ისეთი შაგი. ათობითი წერტილის შემდეგ - უსასრულო რიცხვი ყოველგვარი რიგის გარეშე... ასეთ რიცხვებს ირაციონალურს უწოდებენ. ეს, სხვათა შორის, ნიშნავს, რომ წრის თანაბარი ნაწილებიდან დიამეტრი გლუვიარ დაკეცოთ. არასოდეს.

პრაქტიკული გამოყენებისთვის, ჩვეულებრივია დაიმახსოვროთ მხოლოდ ორი ციფრი ათობითი წერტილის შემდეგ. გახსოვდეთ:

ვინაიდან ჩვენ გავიგეთ, რომ წრის გარშემოწერილობა დიამეტრზე მეტია "Pi" ჯერ, აზრი აქვს გავიხსენოთ წრის გარშემოწერილობის ფორმულა:

სად ლარის გარშემოწერილობა და დარის მისი დიამეტრი.

სასარგებლოა გეომეტრიაში.

ზოგადი განათლებისთვის დავამატებ, რომ რიცხვი „პი“ ზის არა მხოლოდ გეომეტრიაში... მათემატიკის სხვადასხვა სექციაში და განსაკუთრებით ალბათობის თეორიაში ეს რიცხვი მუდმივად ჩნდება! Თავისით. ჩვენი სურვილების მიღმა. Ამგვარად.

მაგრამ დაუბრუნდით ხარისხს. გაარკვიეთ, რატომ იყო ძველ ბაბილონში წრე 360 თანაბარ ნაწილად? მაგრამ არა მაგალითად 100? არა? ᲙᲐᲠᲒᲘ. მე მოგცემთ ვერსიას. ძველ ბაბილონელებს ვერ ჰკითხავთ... მშენებლობისთვის, ან, ვთქვათ, ასტრონომიისთვის მოსახერხებელია წრის თანაბარ ნაწილებად დაყოფა. ახლა გაარკვიეთ რა რიცხვებზე იყოფა მთლიანად 100 და რომელი - 360? და ამ გამყოფების რა ვერსიაში მთლიანად- მეტი? ეს განყოფილება ძალიან მოსახერხებელია ხალხისთვის. მაგრამ...

როგორც ძველ ბაბილონზე გაცილებით გვიან გაირკვა, ყველას არ მოსწონს ხარისხი. უმაღლეს მათემატიკას არ უყვარს... უმაღლესი მათემატიკა სერიოზული ქალბატონია, ბუნების კანონებით მოწყობილი. და ეს ქალბატონი აცხადებს: "დღეს თქვენ გაყავით წრე 360 ნაწილად, ხვალ გაყოფთ 100 ნაწილად, ზეგ 245-ად... და რა ვქნა? არა მართლა..." უნდა დავმორჩილებოდი. ბუნებას ვერ მოატყუებ...

მე უნდა შემომეტანა კუთხის საზომი, რომელიც არ არის დამოკიდებული ადამიანის ცნებებზე. Შეხვედრა - რადიანი!

კუთხის რადიანის ზომა.

რა არის რადიანი? რადიანის განმარტება მაინც ემყარება წრეს. 1 რადიანის კუთხე არის კუთხე, რომელიც ჭრის რკალს წრიდან, რომლის სიგრძეა ( ლ) უდრის რადიუსის სიგრძეს ( რ). ჩვენ ვუყურებთ სურათებს.

ისეთი პატარა კუთხე, თითქმის არცერთი არ არის... კურსორს სურათზე ვამოძრავებთ (ან ვეხებით სურათს ტაბლეტზე) და ვხედავთ დაახლოებით ერთს რადიანი. L=R

Იგრძენი განსხვავება?

ერთი რადიანი ბევრად აღემატება ერთ გრადუსს. Რამდენჯერ?

მოდით შევხედოთ შემდეგ სურათს. რომელზედაც დავხატე ნახევარწრე. გაფართოებული კუთხე, რა თქმა უნდა, 180 ° ზომისაა.

ახლა კი ამ ნახევარწრეს რადიანებად დავჭრი! სურათზე ვტრიალებთ და ვხედავთ, რომ კუდის მქონე 3 რადიანი ჯდება 180 °.

ვინ გამოიცნობს რა არის ეს კუდი!?

დიახ! ეს კუდი არის 0.1415926.... გამარჯობა პი, ჩვენ ჯერ არ დაგივიწყებიათ!

მართლაც, არის 3,1415926 ... რადიანები 180 გრადუსში. როგორც წარმოგიდგენიათ, 3.1415926-ის მუდმივად წერა... მოუხერხებელია. ამიტომ, ამ უსასრულო რიცხვის ნაცვლად, ისინი ყოველთვის უბრალოდ წერენ:

და აქ არის ნომერი ინტერნეტში

უხერხულია დაწერა... ამიტომ, ტექსტში ვწერ სახელით - „პი“. არ დაიბნე...

ახლა საკმაოდ აზრიანია მიახლოებითი ტოლობის დაწერა:

ან ზუსტი თანასწორობა:

დაადგინეთ რამდენი გრადუსია ერთ რადიანში. Როგორ? მარტივად! თუ 3,14 რადიანში 180 გრადუსია, მაშინ 1 რადიანი 3,14-ჯერ ნაკლებია! ანუ, ჩვენ ვყოფთ პირველ განტოლებას (ფორმულა ასევე განტოლებაა!) 3.14-ზე:

ეს თანაფარდობა სასარგებლოა დასამახსოვრებლად, ერთ რადიანში არის დაახლოებით 60°. ტრიგონომეტრიაში ხშირად უნდა გაერკვიო, შეაფასო სიტუაცია. ეს არის ის, სადაც ცოდნა ძალიან ეხმარება.

მაგრამ ამ თემის მთავარი უნარი არის გრადუსების რადიანებად გადაქცევა და პირიქით.

თუ კუთხე მოცემულია რადიანებში "პი" რიცხვით, ყველაფერი ძალიან მარტივია. ჩვენ ვიცით, რომ "პი" რადიანები = 180°. ასე რომ, ჩვენ ვცვლით "Pi" რადიანების ნაცვლად - 180 °. კუთხეს მივიღებთ გრადუსით. შემცირებულს ვამცირებთ და პასუხიც მზადაა. მაგალითად, ჩვენ უნდა გავარკვიოთ რამდენი გრადუსიკუთხეში „პი“/2 რადიანი? აქ ჩვენ ვწერთ:

ან, უფრო ეგზოტიკური გამოთქმა:

ადვილია, არა?

საპირისპირო თარგმანი ცოტა უფრო რთულია. მაგრამ არა ბევრი. თუ კუთხე მოცემულია გრადუსებში, უნდა გავარკვიოთ რა არის ერთი გრადუსი რადიანებში და გავამრავლოთ ეს რიცხვი გრადუსების რაოდენობაზე. რა არის 1° რადიანებში?

ჩვენ ვუყურებთ ფორმულას და ვხვდებით, რომ თუ 180° = "Pi" რადიანები, მაშინ 1° 180-ჯერ ნაკლებია. ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განტოლებას ვყოფთ (ფორმულაც განტოლებაა!) 180-ზე. არ არის საჭირო "პი" 3.14-ად წარმოდგენა, ის მაინც ყოველთვის ასოთი იწერება. მივიღებთ, რომ ერთი ხარისხი უდრის:

Სულ ეს არის. გაამრავლეთ გრადუსების რაოდენობა ამ მნიშვნელობაზე, რათა მიიღოთ კუთხე რადიანებში. Მაგალითად:

ან, ანალოგიურად:

როგორც ხედავთ, ლირიკულ დიგრესიებთან თავისუფალ საუბარში აღმოჩნდა, რომ რადიანები ძალიან მარტივია. დიახ, და თარგმანი უპრობლემოდ ... და "პი" არის სრულიად ასატანი რამ ... მაშ საიდან არის დაბნეულობა!?

საიდუმლოს გავამხელ. ფაქტია, რომ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებში გრადუსების ხატულა იწერება. ყოველთვის. მაგალითად, sin35°. ეს არის სინუსი 35 გრადუსი . და რადიანის ხატი ( გახარებული) არ წერია! ის იგულისხმება. ან მათემატიკოსთა სიზარმაცე წაართვეს, ან რაღაც სხვა... მაგრამ მათ გადაწყვიტეს არ დაეწერათ. თუ სინუსში არ არის ხატები - კოტანგენსი, მაშინ კუთხე - რადიანებში ! მაგალითად, cos3 არის სამის კოსინუსი რადიანები .

ეს იწვევს გაუგებრობას ... ადამიანი ხედავს "Pi"-ს და თვლის, რომ ეს არის 180 °. ნებისმიერ დროს და ნებისმიერ ადგილას. სხვათა შორის, ეს მუშაობს. ამ დროისთვის, ხოლო მაგალითები სტანდარტულია. მაგრამ პი არის რიცხვი! რიცხვი 3.14 არ არის გრადუსი! ეს არის "პი" რადიანები = 180°!

კიდევ ერთხელ: "პი" არის რიცხვი! 3.14. ირაციონალური, მაგრამ რიცხვი. იგივეა, რაც 5 ან 8. შეგიძლიათ, მაგალითად, გადადგათ დაახლოებით "Pi" ნაბიჯები. სამი ნაბიჯი და ცოტა მეტი. ან იყიდეთ "პი" კილოგრამი ტკბილეული. თუ განათლებული გამყიდველი დაიჭირეს...

"პი" არის რიცხვი! რა, მიგიხვდი ამ ფრაზით? უკვე გაიგე ყველაფერი? ᲙᲐᲠᲒᲘ. შევამოწმოთ. შეგიძლიათ მითხრათ რომელი რიცხვია მეტი?

ან რა არის ნაკლები?

ეს არის ოდნავ არასტანდარტული კითხვების სერიიდან, რამაც შეიძლება გამოიწვიოს სისულელე ...

თუ თქვენც ჩავარდით სისულელეში, გაიხსენეთ შელოცვა: „პი“ რიცხვია! 3.14. პირველივე სინუსში ნათლად არის მითითებული, რომ კუთხე - გრადუსებში! აქედან გამომდინარე, შეუძლებელია "Pi" 180 ° -ით ჩანაცვლება! "პი" გრადუსია დაახლოებით 3,14°. ამიტომ შეგვიძლია დავწეროთ:

მეორე სინუსში არ არის სიმბოლოები. ასე რომ, იქ - რადიანები! აქ "Pi" 180 °-ით ჩანაცვლება საკმაოდ კარგად იმუშავებს. რადიანების ხარისხებად გადაქცევით, როგორც ზემოთ დავწერე, მივიღებთ:

რჩება ამ ორი სინუსის შედარება. Რა. დაგავიწყდა როგორ? რა თქმა უნდა, ტრიგონომეტრიული წრის დახმარებით! ვხატავთ წრეს, ვხატავთ დაახლოებით 60° და 1,05° კუთხეებს. ჩვენ ვუყურებთ ამ კუთხეების სინუსებს. მოკლედ, ყველაფერი, როგორც ტრიგონომეტრიული წრის შესახებ თემის ბოლოს, დახატულია. წრეზე (თუნდაც კეხზე!) აშკარად ჩანს, რომ sin60°მნიშვნელოვნად მეტი ვიდრე sin1.05°.

ზუსტად იგივეს გავაკეთებთ კოსინუსებთან დაკავშირებით. წრეზე ვხატავთ დაახლოებით 4 კუთხეს გრადუსიდა 4 რადიანი(გახსოვდეთ, რა არის დაახლოებით 1 რადიანი?). წრე ყველაფერს იტყვის! რა თქმა უნდა, cos4 ნაკლებია cos4°-ზე.

მოდით ვივარჯიშოთ კუთხის ზომების დამუშავებით.

გადააქციეთ ეს კუთხეები გრადუსიდან რადიანებად:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

თქვენ უნდა დაასრულოთ ეს მნიშვნელობები რადიანებში (სხვა თანმიმდევრობით!)

0

სხვათა შორის, ორ სტრიქონში სპეციალურად გამოვყავი პასუხები. კარგად, მოდით გაერკვნენ, რა არის კუთხეები პირველ ხაზზე? გრადუსით თუ რადიანებით?

დიახ! ეს არის კოორდინატთა სისტემის ღერძები! თუ გადავხედავთ ტრიგონომეტრიულ წრეს, მაშინ კუთხის მოძრავ მხარეს ამ მნიშვნელობებზე ჯდება პირდაპირ ღერძზე. ეს ღირებულებები ირონიულად უნდა იცოდეთ. და ტყუილად არ აღვნიშნე კუთხე 0 გრადუსი (0 რადიანი). და შემდეგ ზოგი ვერანაირად ვერ პოულობს ამ კუთხეს წრეზე... და, შესაბამისად, ისინი იბნევიან ნულის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებში... კიდევ ერთი რამ არის ის, რომ მოძრავი მხარის პოზიცია ნულ გრადუსზე ემთხვევა პოზიციას 360 °, ასე რომ წრეზე დამთხვევები ყოველთვის ახლოსაა.

მეორე ხაზში ასევე არის სპეციალური კუთხეები... ეს არის 30°, 45° და 60°. და რა არის მათში განსაკუთრებული? Არაფერი განსაკუთრებული. ერთადერთი განსხვავება ამ კუთხეებსა და ყველა დანარჩენს შორის არის ის, რომ თქვენ უნდა იცოდეთ ამ კუთხეების შესახებ. ყველა. და სად მდებარეობს ისინი და რა არის ამ კუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. ვთქვათ ღირებულება sin100°არ უნდა იცოდე. მაგრამ sin45°- გთხოვ იყავი კეთილი! ეს არის სავალდებულო ცოდნა, რომლის გარეშეც არაფერია გასაკეთებელი ტრიგონომეტრიაში... მაგრამ უფრო მეტი ამის შესახებ შემდეგ გაკვეთილზე.

მანამდე კი გავაგრძელოთ ვარჯიში. გადააქციეთ ეს კუთხეები რადიანებიდან გრადუსებად:

თქვენ უნდა მიიღოთ ასეთი შედეგები (აურზაურში):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

მოხდა? მაშინ შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ გრადუსების რადიანებად გადაქცევა და პირიქით- შენი პრობლემა აღარ არის.) მაგრამ კუთხეების თარგმნა პირველი ნაბიჯია ტრიგონომეტრიის გასაგებად. იმავე ადგილას, თქვენ კვლავ გჭირდებათ მუშაობა სინუს-კოსინუსებთან. დიახ, და ტანგენტებით, კოტანგენტებიც...

მეორე ძლიერი ნაბიჯი არის ტრიგონომეტრიულ წრეზე ნებისმიერი კუთხის პოზიციის განსაზღვრის უნარი.გრადუსითაც და რადიანებითაც. სწორედ ამ უნარზე მოგახსენებთ ყველა ტრიგონომეტრიაში, დიახ...) თუ ყველაფერი იცით (ან ფიქრობთ, რომ იცით ყველაფერი) ტრიგონომეტრიული წრის შესახებ და ტრიგონომეტრიულ წრეზე კუთხეების დათვლა შეგიძლიათ შეამოწმოთ. გარეთ. გადაწყვიტეთ ეს მარტივი ამოცანები:

1. რომელ კვარტალში ხვდება კუთხეები:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

ადვილად? Ჩვენ ვაგრძელებთ:

2. რომელ მეოთხედში ეცემა კუთხეები:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

ასევე პრობლემა არ არის? აბა, ნახე...)

3. თქვენ შეგიძლიათ მოათავსოთ კუთხეები მეოთხედებად:

შეძელი? აბა, შენ გაძლევ..)

4. რომელ ცულებზე დაეცემა კუთხე:

და კუთხე:

ესეც ადვილია? ჰმ...)

5. რომელ კვარტალში ხვდება კუთხეები:

და იმუშავა!? ისე, მე ნამდვილად არ ვიცი...)

6. დაადგინეთ, რომელ მეოთხედში მოხვდება კუთხეები:

1, 2, 3 და 20 რადიანი.

პასუხს გავცემ მხოლოდ ბოლო დავალების ბოლო კითხვაზე (ეს ოდნავ სახიფათოა). 20 რადიანის კუთხე დაეცემა პირველ მეოთხედში.

დანარჩენ პასუხებს სიხარბის გამო არ გავცემ.) მხოლოდ თუ შენ არ გადაწყვიტარაღაც ეჭვიშედეგად, ან დაიხარჯა No4 დავალებაზე 10 წამზე მეტიწრეზე ცუდად ხართ ორიენტირებული. ეს იქნება თქვენი პრობლემა ყველა ტრიგონომეტრიაში. ჯობია სასწრაფოდ მოიშოროთ იგი (პრობლემა და არა ტრიგონომეტრია!). ეს შეიძლება გაკეთდეს თემაში: პრაქტიკული მუშაობა ტრიგონომეტრიულ წრეზე 555-ე განყოფილებაში.

ის გვეუბნება, თუ როგორ უნდა გადაჭრას ასეთი ამოცანები მარტივად და სწორად. რა თქმა უნდა, ეს ამოცანები მოგვარებულია. მეოთხე ამოცანა კი 10 წამში მოგვარდა. დიახ, ასე გადავწყვიტე, რომ ყველას შეუძლია!

თუ თქვენ აბსოლუტურად დარწმუნებული ხართ თქვენს პასუხებში და არ გაინტერესებთ რადიანებთან მუშაობის მარტივი და უპრობლემო გზები, არ შეგიძლიათ ეწვიოთ 555-ს. მე არ ვამტკიცებ.)

კარგი გაგება საკმარისად კარგი მიზეზია წინსვლისთვის!)

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

მარტივად რომ ვთქვათ, ეს არის წყალში მოხარშული ბოსტნეული სპეციალური რეცეპტის მიხედვით. განვიხილავ ორ საწყის კომპონენტს (ბოსტნეულის სალათს და წყალს) და დასრულებულ შედეგს - ბორშს. გეომეტრიულად, ეს შეიძლება იყოს წარმოდგენილი მართკუთხედის სახით, რომელშიც ერთი მხარე აღნიშნავს სალათის ფოთოლს, მეორე მხარე აღნიშნავს წყალს. ამ ორი მხარის ჯამი აღნიშნავს ბორშს. ასეთი "ბორშის" მართკუთხედის დიაგონალი და ფართობი არის წმინდა მათემატიკური ცნებები და არასოდეს გამოიყენება ბორშის რეცეპტებში.

როგორ იქცევა სალათის ფოთოლი და წყალი მათემატიკურად ბორშად? როგორ შეიძლება ორი სეგმენტის ჯამი გადაიქცეს ტრიგონომეტრიად? ამის გასაგებად, ჩვენ გვჭირდება წრფივი კუთხის ფუნქციები.

მათემატიკის სახელმძღვანელოებში წრფივი კუთხის ფუნქციების შესახებ ვერაფერს იპოვით. მაგრამ მათ გარეშე არ შეიძლება მათემატიკა. მათემატიკის კანონები, ისევე როგორც ბუნების კანონები, მუშაობს იმისდა მიუხედავად, ვიცით თუ არა მათი არსებობა.

წრფივი კუთხოვანი ფუნქციები არის მიმატების კანონები.ნახეთ, როგორ იქცევა ალგებრა გეომეტრიად და გეომეტრია ტრიგონომეტრიად.

შესაძლებელია თუ არა ხაზოვანი კუთხოვანი ფუნქციების გარეშე? შეგიძლია, რადგან მათემატიკოსები მაინც ახერხებენ მათ გარეშე. მათემატიკოსთა ხრიკი მდგომარეობს იმაში, რომ ისინი ყოველთვის გვეუბნებიან მხოლოდ იმ ამოცანების შესახებ, რომელთა გადაჭრაც თავად შეუძლიათ და არასოდეს გვეუბნებიან იმ ამოცანების შესახებ, რომელთა გადაჭრაც მათ არ შეუძლიათ. იხ. თუ ვიცით შეკრების შედეგი და ერთი წევრი, გამოკლებას ვიყენებთ მეორე წევრის საპოვნელად. ყველაფერი. სხვა პრობლემები არ ვიცით და ვერც გადავჭრით. რა უნდა გავაკეთოთ, თუ ვიცით მხოლოდ მიმატების შედეგი და არ ვიცით ორივე ტერმინი? ამ შემთხვევაში, მიმატების შედეგი უნდა დაიშალოს ორ ტერმინად წრფივი კუთხოვანი ფუნქციების გამოყენებით. გარდა ამისა, ჩვენ თვითონ ვირჩევთ რა შეიძლება იყოს ერთი ტერმინი და წრფივი კუთხური ფუნქციები გვიჩვენებს, თუ რა უნდა იყოს მეორე წევრი, რათა მიმატების შედეგი იყოს ზუსტად ის, რაც ჩვენ გვჭირდება. ასეთი წყვილი ტერმინების უსასრულო რაოდენობა შეიძლება იყოს. ყოველდღიურ ცხოვრებაში ჩვენ ძალიან კარგად ვაკეთებთ ჯამის დაშლის გარეშე, გამოკლება საკმარისია ჩვენთვის. მაგრამ ბუნების კანონების მეცნიერულ კვლევებში ჯამის ტერმინებად გაფართოება შეიძლება ძალიან სასარგებლო იყოს.

დამატების კიდევ ერთი კანონი, რომელზედაც მათემატიკოსებს არ უყვართ ლაპარაკი (კიდევ ერთი მათი ხრიკი) მოითხოვს, რომ ტერმინებს ჰქონდეთ იგივე ზომის ერთეული. სალათის ფურცლისთვის, წყლისა და ბორშისთვის ეს შეიძლება იყოს წონის, მოცულობის, ღირებულების ან გაზომვის ერთეული.

ნახაზი გვიჩვენებს მათემატიკის განსხვავების ორ დონეს. პირველი დონე არის განსხვავებები რიცხვების ველში, რომლებიც მითითებულია ა, ბ, გ. ამას აკეთებენ მათემატიკოსები. მეორე დონე არის განსხვავებები საზომი ერთეულების ფართობში, რომლებიც ნაჩვენებია კვადრატულ ფრჩხილებში და მითითებულია ასოებით. U. ამას აკეთებენ ფიზიკოსები. ჩვენ შეგვიძლია გავიგოთ მესამე დონე - განსხვავებები აღწერილი ობიექტების ფარგლებს შორის. სხვადასხვა ობიექტს შეიძლება ჰქონდეს ერთი და იგივე ზომის ერთეულების ერთი და იგივე რაოდენობა. რამდენად მნიშვნელოვანია ეს, შეგვიძლია დავინახოთ ბორშის ტრიგონომეტრიის მაგალითზე. თუ ერთსა და იმავე აღნიშვნას დავამატებთ სხვადასხვა ობიექტის გაზომვის ერთეულებს, შეგვიძლია ზუსტად ვთქვათ, რა მათემატიკური სიდიდე აღწერს კონკრეტულ ობიექტს და როგორ იცვლება ის დროთა განმავლობაში ან ჩვენს მოქმედებებთან დაკავშირებით. წერილი ვწყალს ასოთი მოვნიშნავ სსალათს ასოთი მოვნიშნავ ბ- ბორში. აი, როგორი იქნება ბორშჩის წრფივი კუთხის ფუნქციები.

წყლის ნაწილს და სალათის ნაწილს თუ ავიღებთ, ისინი ერთად გადაიქცევიან ბორშის ერთ პორციაში. აქვე გირჩევთ, ცოტათი დაისვენოთ ბორშჩისგან და გაიხსენოთ თქვენი შორეული ბავშვობა. გახსოვთ, როგორ გვასწავლეს კურდღლებისა და იხვების შეკრება? საჭირო იყო იმის დადგენა, რამდენი ცხოველი გამოვა. მერე რა გვასწავლეს? გვასწავლეს რიცხვებისგან ერთეულების გამოყოფა და რიცხვების შეკრება. დიახ, ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება დაემატოს ნებისმიერ სხვა ნომერს. ეს არის პირდაპირი გზა თანამედროვე მათემატიკის აუტიზმისკენ - ჩვენ არ გვესმის რა, გაუგებარია რატომ და ძალიან ცუდად გვესმის, როგორ უკავშირდება ეს რეალობას, რადგან სამი დონის განსხვავების გამო, მათემატიკოსები მუშაობენ მხოლოდ ერთზე. უფრო სწორი იქნება ვისწავლოთ როგორ გადავიდეთ ერთი საზომი ერთეულიდან მეორეზე.

და კურდღლები, იხვები და პატარა ცხოველები შეიძლება დაითვალოს ნაჭრებად. ერთი საერთო საზომი ერთეული სხვადასხვა ობიექტებისთვის საშუალებას გვაძლევს დავამატოთ ისინი. ეს არის პრობლემის საბავშვო ვერსია. მოდით შევხედოთ მსგავს პრობლემას მოზრდილებში. რას იღებთ, როდესაც კურდღლებს და ფულს დაამატებთ? აქ ორი შესაძლო გამოსავალია.

პირველი ვარიანტი. ჩვენ განვსაზღვრავთ კურდღლების საბაზრო ღირებულებას და ვამატებთ მას ხელმისაწვდომ ნაღდ ფულს. ჩვენ მივიღეთ ჩვენი სიმდიდრის მთლიანი ღირებულება ფულის თვალსაზრისით.

მეორე ვარიანტი. თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ კურდღლების რაოდენობა ბანკნოტების რაოდენობას, რაც გვაქვს. მოძრავი ქონების რაოდენობას ნაწილებად მივიღებთ.

როგორც ხედავთ, იგივე დამატების კანონი საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ განსხვავებული შედეგები. ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა გვინდა ვიცოდეთ.

მაგრამ დავუბრუნდეთ ჩვენს ბორშს. ახლა ჩვენ ვხედავთ რა მოხდება ხაზოვანი კუთხის ფუნქციების კუთხის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.

კუთხე არის ნული. სალათი გვაქვს, მაგრამ წყალი არა. ბორშს ვერ ვამზადებთ. ბორშის რაოდენობაც ნულის ტოლია. ეს საერთოდ არ ნიშნავს იმას, რომ ნულოვანი ბორში უდრის ნულ წყალს. ნულოვანი ბორში ასევე შეიძლება იყოს ნულოვანი სალათი (მარჯვენა კუთხე).

პირადად ჩემთვის ეს არის მთავარი მათემატიკური დასტური იმისა, რომ . ნული არ ცვლის რიცხვს დამატებისას. ეს იმიტომ ხდება, რომ თავად დამატება შეუძლებელია, თუ არის მხოლოდ ერთი ტერმინი და აკლია მეორე წევრი. თქვენ შეგიძლიათ დაუკავშირდეთ ამას, როგორც გინდათ, მაგრამ გახსოვდეთ - ყველა მათემატიკური ოპერაცია ნულთან ერთად მათემატიკოსებმა გამოიგონეს, ასე რომ, გააუქმეთ თქვენი ლოგიკა და სულელურად შეავსეთ მათემატიკოსების მიერ გამოგონილი განმარტებები: "ნულზე გაყოფა შეუძლებელია", "ნებისმიერი რიცხვი გამრავლებული ნულზე". უდრის ნულს", "ნულ წერტილს მიღმა" და სხვა სისულელეებს. საკმარისია ერთხელ დაიმახსოვროთ, რომ ნული რიცხვი არ არის და არასოდეს გაგიჩნდებათ კითხვა, ნული ნატურალური რიცხვია თუ არა, რადგან ასეთი კითხვა საერთოდ კარგავს ყოველგვარ მნიშვნელობას: როგორ შეიძლება ჩაითვალოს რიცხვი, რომელიც არ არის რიცხვი. . ეს ჰგავს კითხვას, რა ფერს მივაკუთვნოთ უხილავი ფერი. რიცხვისთვის ნულის დამატება არარსებული საღებავით ხატვას ჰგავს. მშრალ ფუნჯს აფრიალებენ და ყველას ეუბნებიან, რომ „მოვხატეთ“. მაგრამ ცოტას ვშორდები.

კუთხე არის ნულზე მეტი, მაგრამ ორმოცდახუთი გრადუსზე ნაკლები. სალათის ფოთოლი ბევრი გვაქვს, წყალი კი ცოტა. შედეგად ვიღებთ სქელ ბორშს.

კუთხე ორმოცდახუთი გრადუსია. თანაბარი რაოდენობით გვაქვს წყალი და სალათის ფოთოლი. ეს შესანიშნავი ბორშია (მაპატიონ მზარეულებმა, ეს უბრალოდ მათემატიკაა).

კუთხე ორმოცდახუთი გრადუსზე მეტია, მაგრამ ოთხმოცდაათ გრადუსზე ნაკლები. ბევრი წყალი გვაქვს და ცოტა სალათი. მიიღეთ თხევადი ბორში.

მართი კუთხე. წყალი გვაქვს. სალათის ფოთოლზე მხოლოდ მოგონებები რჩება, რადგან ჩვენ ვაგრძელებთ კუთხის გაზომვას იმ ხაზიდან, რომელიც ოდესღაც სალათის ფოთლებს აღნიშნავდა. ბორშს ვერ ვამზადებთ. ბორშის რაოდენობა ნულის ტოლია. ამ შემთხვევაში დაიჭირეთ და დალიეთ წყალი სანამ ის ხელმისაწვდომია)))

Აქ. Რაღაც მსგავსი. აქ შემიძლია სხვა ისტორიების მოყოლა, რაც აქ უფრო შესაფერისი იქნება.

ორ მეგობარს საერთო საქმეში წილი ჰქონდათ. ერთი მათგანის მკვლელობის შემდეგ ყველაფერი მეორეზე გადავიდა.

მათემატიკის გაჩენა ჩვენს პლანეტაზე.

ყველა ეს ამბავი მოთხრობილია მათემატიკის ენაზე წრფივი კუთხოვანი ფუნქციების გამოყენებით. სხვა დროს მე გაჩვენებთ ამ ფუნქციების რეალურ ადგილს მათემატიკის სტრუქტურაში. ამასობაში, დავუბრუნდეთ ბორშის ტრიგონომეტრიას და განვიხილოთ პროგნოზები.

შაბათი, 2019 წლის 26 ოქტომბერი

მე ვუყურე საინტერესო ვიდეოს შესახებ გრანდის რიგი ერთს მინუს ერთი პლუს ერთი მინუს ერთი - Numberphile. მათემატიკოსები იტყუებიან. მათ არ ჩაატარეს თანასწორობის ტესტი მსჯელობაში.

ეს ეხმიანება ჩემს მსჯელობას.

მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ ნიშნები, რომ მათემატიკოსები გვატყუებენ. მსჯელობის დასაწყისშივე მათემატიკოსები ამბობენ, რომ მიმდევრობის ჯამი დამოკიდებულია მასში ელემენტების რაოდენობა ლუწი თუ არა. ეს არის ობიექტურად დადასტურებული ფაქტი. Შემდეგ რა მოხდება?

შემდეგ მათემატიკოსები აკლებენ თანმიმდევრობას ერთიანობას. რას იწვევს ეს? ეს იწვევს თანმიმდევრობის ელემენტების რაოდენობის ცვლილებას - ლუწი რიცხვი იცვლება კენტ რიცხვში, კენტი რიცხვი იცვლება ლუწ რიცხვში. ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ დავამატეთ ერთი ელემენტის ტოლი თანმიმდევრობით. მიუხედავად ყველა გარეგანი მსგავსებისა, ტრანსფორმაციის წინ თანმიმდევრობა არ არის გარდაქმნის შემდგომ მიმდევრობის ტოლი. მაშინაც კი, თუ ჩვენ ვსაუბრობთ უსასრულო მიმდევრობაზე, უნდა გვახსოვდეს, რომ უსასრულო მიმდევრობა კენტი რაოდენობის ელემენტებით არ არის უსასრულო მიმდევრობის ტოლი ელემენტების ლუწი რაოდენობით.

ელემენტების რაოდენობის მიხედვით განსხვავებულ ორ მიმდევრობას შორის ტოლობის ნიშნის დაყენებით, მათემატიკოსები ამტკიცებენ, რომ თანმიმდევრობის ჯამი არ არის დამოკიდებული მიმდევრობის ელემენტების რაოდენობაზე, რაც ეწინააღმდეგება ობიექტურად დადგენილ ფაქტს. შემდგომი მსჯელობა უსასრულო მიმდევრობის ჯამის შესახებ მცდარია, რადგან ის დაფუძნებულია ცრუ თანასწორობაზე.

თუ ხედავთ, რომ მათემატიკოსები მტკიცებულებების მსვლელობისას ათავსებენ ფრჩხილებს, გადააწყობენ მათემატიკური გამოთქმის ელემენტებს, დაამატებენ ან ამოიღებენ რაღაცას, იყავით ძალიან ფრთხილად, დიდი ალბათობით ისინი თქვენს მოტყუებას ცდილობენ. ბარათების შემთხვევის მსგავსად, მათემატიკოსები თქვენს ყურადღებას აქცევენ გამოხატვის სხვადასხვა მანიპულაციებით, რათა საბოლოოდ მოგცეთ ცრუ შედეგი. თუ თქვენ არ შეგიძლიათ გაიმეოროთ ბარათის ხრიკი მოტყუების საიდუმლოების ცოდნის გარეშე, მაშინ მათემატიკაში ყველაფერი ბევრად უფრო მარტივია: თქვენ არც კი გეპარებათ ეჭვი მოტყუებაზე, მაგრამ ყველა მანიპულაციის გამეორება მათემატიკური გამოთქმით საშუალებას გაძლევთ დაარწმუნოთ სხვები. შედეგის სისწორე, ისევე როგორც მაშინ, როცა დაგარწმუნეთ.

კითხვა აუდიტორიისგან: და უსასრულობა (როგორც ელემენტების რაოდენობა S მიმდევრობაში), არის ის ლუწი თუ კენტი? როგორ შეგიძლიათ შეცვალოთ პარიტეტი იმის, რასაც არ აქვს პარიტეტი?

მათემატიკოსებისთვის უსასრულობა მღვდლებისთვის ზეცის სამეფოს ჰგავს - იქ არავინ ყოფილა, მაგრამ ყველამ ზუსტად იცის, როგორ მუშაობს იქ ყველაფერი))) გეთანხმები, სიკვდილის შემდეგ აბსოლუტურად გულგრილი იქნები, იცხოვრე დღეების ლუწი თუ კენტი რაოდენობით. , მაგრამ ... თქვენი ცხოვრების დასაწყისში მხოლოდ ერთ დღეს დავამატებთ, მივიღებთ სრულიად განსხვავებულ ადამიანს: მისი გვარი, სახელი და პატრონიმი ზუსტად იგივეა, მხოლოდ დაბადების თარიღი არის სრულიად განსხვავებული - ის დაიბადა ერთი. შენს წინ დღით.

ახლა კი საქმეზე))) დავუშვათ, სასრული მიმდევრობა, რომელსაც აქვს პარიტეტი, კარგავს ამ პარიტეტს უსასრულობამდე გადასვლისას. მაშინ უსასრულო მიმდევრობის ნებისმიერმა სასრულმა სეგმენტმა ასევე უნდა დაკარგოს პარიტეტი. ჩვენ ამას არ ვაკვირდებით. ის ფაქტი, რომ დანამდვილებით ვერ ვიტყვით, ელემენტების რაოდენობა უსასრულო მიმდევრობაში ლუწია თუ კენტი, საერთოდ არ ნიშნავს, რომ პარიტეტი გაქრა. პარიტეტი, თუ ის არსებობს, უკვალოდ ვერ გაქრება უსასრულობაში, როგორც კარტის ბასრი ყდის. ამ საქმის ძალიან კარგი ანალოგია.

ოდესმე გკითხავთ საათში მჯდომ გუგულს, რომელი მიმართულებით ბრუნავს საათის ისარი? მისთვის ისარი ბრუნავს საპირისპირო მიმართულებით, რასაც ჩვენ ვუწოდებთ "საათის ისრის". შეიძლება პარადოქსულად ჟღერდეს, მაგრამ ბრუნის მიმართულება დამოკიდებულია მხოლოდ იმაზე, თუ რომელი მხრიდან ვაკვირდებით ბრუნვას. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ერთი ბორბალი, რომელიც ბრუნავს. ჩვენ ვერ ვიტყვით, რა მიმართულებით ხდება ბრუნვა, რადგან შეგვიძლია დავაკვირდეთ მას როგორც ბრუნვის სიბრტყის ერთი მხრიდან, ასევე მეორე მხრიდან. ჩვენ მხოლოდ იმის მოწმობა შეგვიძლია, რომ არსებობს როტაცია. სრული ანალოგია უსასრულო მიმდევრობის პარიტეტთან ს.

ახლა დავამატოთ მეორე მბრუნავი ბორბალი, რომლის ბრუნვის სიბრტყე პარალელურია პირველი მბრუნავი ბორბლის ბრუნვის სიბრტყის. ჩვენ ჯერ კიდევ არ შეგვიძლია ზუსტად გეტყვით, რომელი მიმართულებით ტრიალებს ეს ბორბლები, მაგრამ ჩვენ შეგვიძლია აბსოლუტური დარწმუნებით ვთქვათ, ორივე ბორბალი ტრიალებს იმავე მიმართულებით თუ საპირისპირო მიმართულებით. ორი უსასრულო მიმდევრობის შედარება სდა 1-ს, მათემატიკის დახმარებით ვაჩვენე, რომ ამ მიმდევრობებს განსხვავებული პარიტეტი აქვთ და მათ შორის ტოლობის ნიშნის დადება შეცდომაა. პირადად მე მჯერა მათემატიკის, არ ვენდობი მათემატიკოსებს))) სხვათა შორის, იმისთვის, რომ სრულად გავიგოთ უსასრულო მიმდევრობების გარდაქმნების გეომეტრია, აუცილებელია კონცეფციის შემოღება. "ერთდროულობა". ამის დახატვა დასჭირდება.

ოთხშაბათი, 7 აგვისტო, 2019 წ

საუბრის დასრულებისას ჩვენ უნდა განვიხილოთ უსასრულო ნაკრები. იმის გათვალისწინებით, რომ "უსასრულობის" კონცეფცია მოქმედებს მათემატიკოსებზე, როგორც ბოა კონსტრიქტორი კურდღელზე. უსასრულობის მომაჯადოებელი საშინელება მათემატიკოსებს ართმევს საღ აზრს. აი მაგალითი:

ორიგინალური წყარო მდებარეობს. ალფა აღნიშნავს ნამდვილ რიცხვს. ზემოთ მოცემულ გამონათქვამებში ტოლობის ნიშანი მიუთითებს იმაზე, რომ თუ უსასრულობას დაუმატებთ რიცხვს ან უსასრულობას, არაფერი შეიცვლება, შედეგი იქნება იგივე უსასრულობა. თუ მაგალითისთვის ავიღებთ ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლეს, მაშინ განხილული მაგალითები შეიძლება წარმოვიდგინოთ შემდეგნაირად:

მათი საქმის ვიზუალურად დასამტკიცებლად მათემატიკოსებმა მრავალი განსხვავებული მეთოდი მოიგონეს. მე პირადად ყველა ამ მეთოდს ვუყურებ, როგორც შამანების ცეკვას ტამბურთან. არსებითად, ისინი ყველა ჩამოდიან იმ ფაქტზე, რომ ან ზოგიერთი ოთახი დაკავებული არ არის და მათში ახალი სტუმრები სახლდებიან, ან ზოგიერთ სტუმარს დერეფანში აგდებენ სტუმრებისთვის ადგილის გასათავისუფლებლად (ძალიან ადამიანურად). მე წარმოვადგინე ჩემი შეხედულება ასეთ გადაწყვეტილებებზე ფანტასტიკური ისტორიის სახით ქერაზე. რას ეფუძნება ჩემი მსჯელობა? უსასრულო რაოდენობის ვიზიტორთა გადაადგილებას უსასრულო დრო სჭირდება. მას შემდეგ, რაც ჩვენ გავათავისუფლებთ პირველ სასტუმრო ოთახს, ერთ-ერთი სტუმარი ყოველთვის გადის დერეფნის გასწვრივ თავისი ოთახიდან მეორე ოთახში დროის ბოლომდე. რა თქმა უნდა, დროის ფაქტორის უგულებელყოფა შეიძლება სულელურად, მაგრამ ეს უკვე კატეგორიიდან იქნება „კანონი სულელებისთვის არ წერია“. ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რას ვაკეთებთ: რეალობის მორგება მათემატიკურ თეორიებზე ან პირიქით.

რა არის "უსასრულო სასტუმრო"? Infinity Inn არის სასტუმრო, რომელსაც ყოველთვის აქვს ნებისმიერი რაოდენობის ვაკანსია, რამდენი ოთახიც არ უნდა იყოს დაკავებული. თუ გაუთავებელ დერეფანში „ვიზიტორებისთვის“ ყველა ოთახი დაკავებულია, არის კიდევ ერთი გაუთავებელი დერეფანი „სტუმრებისთვის“ ოთახებით. ასეთი დერეფნების უსასრულო რაოდენობა იქნება. ამავდროულად, „უსასრულო სასტუმროს“ აქვს უსასრულო რაოდენობის სართულები უსასრულო რაოდენობის შენობებში უსასრულო რაოდენობის პლანეტებზე უსასრულო რაოდენობის ღმერთების მიერ შექმნილ სამყაროებში. მათემატიკოსები კი ბანალურ ყოველდღიურ პრობლემებს ვერ შორდებიან: ღმერთი-ალაჰ-ბუდა ყოველთვის ერთია, სასტუმრო ერთია, დერეფანი მხოლოდ ერთი. ასე რომ, მათემატიკოსები ცდილობენ სასტუმროს ნომრების სერიული ნომრების ჟონგლირებას, დაგვარწმუნონ იმაში, რომ შესაძლებელია „გაუძარცველის გადაყრა“.

მე გაჩვენებთ ჩემი მსჯელობის ლოგიკას ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლის მაგალითის გამოყენებით. ჯერ უნდა უპასუხოთ ძალიან მარტივ კითხვას: ნატურალური რიცხვების რამდენი სიმრავლე არსებობს - ერთი თუ ბევრი? ამ კითხვაზე სწორი პასუხი არ არსებობს, რადგან ჩვენ თვითონ გამოვიგონეთ რიცხვები, ბუნებაში რიცხვები არ არსებობს. დიახ, ბუნებამ მშვენივრად იცის დათვლა, მაგრამ ამისთვის იყენებს სხვა მათემატიკურ საშუალებებს, რომლებიც ჩვენთვის არ არის ნაცნობი. როგორც ბუნება ფიქრობს, სხვა დროს გეტყვით. ვინაიდან ჩვენ გამოვიგონეთ რიცხვები, ჩვენ თვითონ გადავწყვეტთ ნატურალური რიცხვების რამდენი კომპლექტი არსებობს. განიხილეთ ორივე ვარიანტი, როგორც ეს შეეფერება ნამდვილ მეცნიერს.

ვარიანტი ერთი. „მოდით მოგვცეს“ ნატურალური რიცხვების ერთი ნაკრები, რომელიც მშვიდად დევს თაროზე. ამ კომპლექტს თაროდან ვიღებთ. ესე იგი, თაროზე სხვა ნატურალური რიცხვები აღარ დარჩა და წასაღებიც არსად არის. ჩვენ ვერ დავამატებთ ამ კომპლექტს, რადგან უკვე გვაქვს. რა მოხდება, თუ მართლა გინდა? Არაა პრობლემა. ჩვენ შეგვიძლია ავიღოთ ერთეული უკვე აღებული ნაკრებიდან და დავაბრუნოთ თაროზე. ამის შემდეგ შეგვიძლია თაროდან ავიღოთ ერთეული და დავამატოთ ის რაც დაგვრჩა. შედეგად, ჩვენ კვლავ ვიღებთ ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლეს. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ყველა ჩვენი მანიპულაცია ასე:

ჩავწერე მოქმედებები ალგებრული აღნიშვნით და სიმრავლეების თეორიის აღნიშვნით, სიმრავლის ელემენტები დეტალურად ჩამოვთვალე. სუბსკრიპტი მიუთითებს, რომ ჩვენ გვაქვს ნატურალური რიცხვების ერთი და ერთადერთი ნაკრები. გამოდის, რომ ნატურალური რიცხვების სიმრავლე უცვლელი დარჩება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მას ერთი გამოაკლდება და იგივე დაემატება.

ვარიანტი ორი. თაროზე გვაქვს ბუნებრივი რიცხვების მრავალი განსხვავებული უსასრულო ნაკრები. ხაზს ვუსვამ - განსხვავებულს, მიუხედავად იმისა, რომ ისინი პრაქტიკულად არ განსხვავდებიან. ჩვენ ვიღებთ ერთ-ერთ ამ კომპლექტს. შემდეგ ვიღებთ ერთს ნატურალური რიცხვების მეორე სიმრავლიდან და ვამატებთ უკვე აღებულ სიმრავლეს. შეგვიძლია ნატურალური რიცხვების ორი კომპლექტიც კი დავამატოთ. აი რას მივიღებთ:

ხელმოწერები "ერთი" და "ორი" მიუთითებს იმაზე, რომ ეს ელემენტები განსხვავებულ კომპლექტს ეკუთვნოდა. დიახ, თუ ერთს დაუმატებთ უსასრულო კომპლექტს, შედეგი ასევე იქნება უსასრულო ნაკრები, მაგრამ ის არ იქნება იგივე, რაც ორიგინალური ნაკრები. თუ ერთი უსასრულო სიმრავლე დაემატება მეორე უსასრულო სიმრავლეს, შედეგი არის ახალი უსასრულო სიმრავლე, რომელიც შედგება პირველი ორი სიმრავლის ელემენტებისაგან.

ნატურალური რიცხვების სიმრავლე გამოიყენება დასათვლელად ისევე, როგორც საზომი სახაზავი. ახლა წარმოიდგინეთ, რომ სახაზავს ერთი სანტიმეტრი დაუმატეთ. ეს უკვე განსხვავებული ხაზი იქნება, ორიგინალის ტოლი არ არის.

შეგიძლიათ მიიღოთ ან არ მიიღოთ ჩემი მსჯელობა - ეს თქვენი საქმეა. მაგრამ თუ ოდესმე მათემატიკურ პრობლემებს წააწყდებით, დაფიქრდით, დგახართ თუ არა ცრუ მსჯელობის გზაზე, რომელსაც მათემატიკოსთა თაობა არღვევს. მათემატიკის გაკვეთილები ხომ, უპირველეს ყოვლისა, აყალიბებს ჩვენში აზროვნების სტაბილურ სტერეოტიპს და მხოლოდ ამის შემდეგ გვმატებენ გონებრივ შესაძლებლობებს (ან პირიქით, გვართმევენ თავისუფალ აზროვნებას).

pozg.ru

კვირა, 4 აგვისტო, 2019 წ

მე ვწერდი პოსტსკრიპტს სტატიის შესახებ და ვნახე ეს შესანიშნავი ტექსტი ვიკიპედიაში:

ჩვენ ვკითხულობთ: „...ბაბილონის მათემატიკის მდიდარ თეორიულ საფუძველს არ გააჩნდა ჰოლისტიკური ხასიათი და დაყვანილი იყო განსხვავებული ტექნიკის ერთობლიობამდე, მოკლებული საერთო სისტემისა და მტკიცებულების ბაზას“.

Ვაუ! რამდენად ჭკვიანები ვართ და რამდენად კარგად ვხედავთ სხვის ნაკლოვანებებს. ჩვენთვის სუსტია თანამედროვე მათემატიკის იმავე კონტექსტში შეხედვა? ზემოაღნიშნული ტექსტის ოდნავ პერიფრაზირებით, პირადად მე მივიღე შემდეგი:

თანამედროვე მათემატიკის მდიდარ თეორიულ საფუძველს არ აქვს ჰოლისტიკური ხასიათი და დაყვანილია განსხვავებული სექციების ერთობლიობამდე, მოკლებულია საერთო სისტემისა და მტკიცებულების ბაზას.

შორს არ წავალ ჩემი სიტყვების დასადასტურებლად – მას აქვს ენა და კონვენციები, რომლებიც განსხვავდება მათემატიკის მრავალი სხვა დარგის ენისა და კონვენციებისგან. მათემატიკის სხვადასხვა ფილიალში ერთსა და იმავე სახელს შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული მნიშვნელობა. მსურს პუბლიკაციების მთელი ციკლი მივუძღვნა თანამედროვე მათემატიკის ყველაზე აშკარა შეცდომებს. Მალე გნახავ.

შაბათი, 3 აგვისტო, 2019 წ

როგორ დავყოთ ნაკრები ქვეჯგუფებად? ამისათვის თქვენ უნდა შეიყვანოთ ახალი საზომი ერთეული, რომელიც არის შერჩეული ნაკრების ზოგიერთ ელემენტში. განვიხილოთ მაგალითი.

შეიძლება ბევრი გვქონდეს მაგრამშედგება ოთხი ადამიანისგან. ეს ნაკრები იქმნება „ხალხის“ საფუძველზე. მოდით, ასოების მეშვეობით განვსაზღვროთ ამ ნაკრების ელემენტები ა, ნომრის მქონე ხელმოწერა მიუთითებს ამ ნაკრების თითოეული ადამიანის რიგით ნომერს. შემოვიტანოთ ახალი საზომი ერთეული „სექსუალური მახასიათებელი“ და აღვნიშნოთ ასოებით ბ. ვინაიდან სექსუალური მახასიათებლები ყველა ადამიანშია თანდაყოლილი, ჩვენ ვამრავლებთ ნაკრების თითოეულ ელემენტს მაგრამსქესზე ბ. გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენი "ხალხის" ნაკრები ახლა გახდა "ხალხის სქესის" ნაკრები. ამის შემდეგ შეგვიძლია სექსუალური მახასიათებლები მამრობითად დავყოთ ბმდა ქალთა bwგენდერული მახასიათებლები. ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ მათემატიკური ფილტრი: ჩვენ ვირჩევთ ამ სექსუალური მახასიათებლებიდან ერთ-ერთს, არ აქვს მნიშვნელობა რომელია მამაკაცი თუ ქალი. თუ ის ადამიანშია, მაშინ ვამრავლებთ ერთზე, თუ ასეთი ნიშანი არ არის, ვამრავლებთ ნულზე. შემდეგ ჩვენ ვიყენებთ ჩვეულებრივ სასკოლო მათემატიკას. ნახეთ რა მოხდა.

გამრავლების, შემცირებისა და გადაწყობის შემდეგ მივიღეთ ორი ქვესიმრავლე: მამრობითი ქვესიმრავლე ბმდა ქალების ქვეჯგუფი bw. დაახლოებით ისევე მსჯელობენ მათემატიკოსები, როდესაც ისინი იყენებენ სიმრავლეების თეორიას პრაქტიკაში. მაგრამ ისინი არ გვიშვებენ დეტალებში, არამედ გვაძლევენ დასრულებულ შედეგს – „ბევრი ადამიანი შედგება მამაკაცების ქვეჯგუფისაგან და ქალების ქვეჯგუფისაგან“. ბუნებრივია, შეიძლება გაგიჩნდეთ კითხვა, რამდენად სწორად გამოიყენება მათემატიკა ზემოთ ჩამოთვლილ გარდაქმნებში? გარწმუნებთ, რომ რეალურად გარდაქმნები ხდება სწორად, საკმარისია ვიცოდეთ არითმეტიკის, ლოგის ალგებრის და მათემატიკის სხვა მონაკვეთების მათემატიკური დასაბუთება. რა არის ეს? სხვა დროს გეტყვით ამის შესახებ.

რაც შეეხება სუპერკომპლექტებს, შესაძლებელია ორი კომპლექტის გაერთიანება ერთ სუპერსიმრავლეში საზომი ერთეულის არჩევით, რომელიც იმყოფება ამ ორი ნაკრების ელემენტებში.

როგორც ხედავთ, საზომი ერთეულები და საერთო მათემატიკა სიმრავლეების თეორიას წარსულს აქცევს. იმის ნიშანი, რომ სიმრავლეების თეორიაში ყველაფერი კარგად არ არის, არის ის, რომ მათემატიკოსებმა გამოიგონეს საკუთარი ენა და ჩანაწერები სიმრავლეების თეორიისთვის. მათემატიკოსებმა გააკეთეს ის, რაც ერთხელ გააკეთეს შამანებმა. მხოლოდ შამანებმა იციან როგორ გამოიყენონ თავიანთი „ცოდნა“ „სწორად“. ამ "ცოდნას" ისინი გვასწავლიან.

დასასრულს, მინდა გაჩვენოთ, როგორ მანიპულირებენ მათემატიკოსები
ვთქვათ აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და ათასი ნაბიჯით ჩამორჩება. იმ დროის განმავლობაში, როცა აქილევსი ამ მანძილს გარბის, კუ ასი ნაბიჯით ცოცავს იმავე მიმართულებით. როცა აქილევსი ას საფეხურს გაივლის, კუს კიდევ ათი ნაბიჯი დაცოცავს და ა.შ. პროცესი უსასრულოდ გაგრძელდება, აქილევსი კუს ვერასოდეს მიაღწევს.

ეს მსჯელობა ლოგიკური შოკი გახდა ყველა შემდგომი თაობისთვის. არისტოტელე, დიოგენე, კანტი, ჰეგელი, გილბერტი... ყველა მათგანი ასე თუ ისე ზენონის აპორიებს თვლიდა. შოკი იმდენად ძლიერი იყო, რომ " ... მსჯელობა ამჟამად გრძელდება, სამეცნიერო საზოგადოებას ჯერ არ მიუღწევია პარადოქსების არსის შესახებ საერთო მოსაზრებამდე... საკითხის შესწავლაში ჩართული იყო მათემატიკური ანალიზი, სიმრავლეების თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები. ; არცერთი მათგანი არ გახდა პრობლემის საყოველთაოდ მიღებული გადაწყვეტა ..."[ვიკიპედია," ზენონის აპორია "]. ყველას ესმის, რომ ატყუებენ, მაგრამ არავის ესმის, რა არის მოტყუება.

მათემატიკის თვალსაზრისით, ზენონმა თავის აპორიაში ნათლად აჩვენა გადასვლა მნიშვნელობიდან. ეს გადასვლა გულისხმობს გამოყენებას მუდმივების ნაცვლად. რამდენადაც მე მესმის, საზომი ცვლადი ერთეულების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ან ჯერ არ არის შემუშავებული, ან არ არის გამოყენებული ზენონის აპორიაზე. ჩვენი ჩვეული ლოგიკის გამოყენება მახეში მიგვიყვანს. ჩვენ, აზროვნების ინერციით, ვიყენებთ დროის მუდმივ ერთეულებს ურთიერთსაწინააღმდეგოზე. ფიზიკური თვალსაზრისით, როგორც ჩანს, დრო ნელდება სრულ გაჩერებამდე იმ მომენტში, როდესაც აქილევსი კუს დაეწია. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსი ვეღარ გაუსწრებს კუს.

თუ შევეჩვიეთ ლოგიკას, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება. აქილევსი მუდმივი სიჩქარით დარბის. მისი გზის ყოველი მომდევნო სეგმენტი წინაზე ათჯერ მოკლეა. შესაბამისად, მის დაძლევაზე დახარჯული დრო წინაზე ათჯერ ნაკლებია. თუ ამ სიტუაციაში გამოვიყენებთ „უსასრულობის“ ცნებას, მაშინ მართებული იქნება ვთქვათ „აქილევსი უსასრულოდ სწრაფად გაუსწრებს კუს“.

როგორ ავიცილოთ თავიდან ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით დროის მუდმივ ერთეულებში და არ გადახვიდეთ საპასუხო მნიშვნელობებზე. ზენონის ენაზე ასე გამოიყურება:

იმ დროს, რაც აქილევსს სჭირდება ათასი ნაბიჯის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით მიიწევს იმავე მიმართულებით. შემდეგი დროის ინტერვალის განმავლობაში, პირველის ტოლფასი, აქილევსი კიდევ ათას ნაბიჯს გაივლის, კუს კი ასი ნაბიჯით გაივლის. ახლა აქილევსი რვაასი ნაბიჯით უსწრებს კუს.

ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ყოველგვარი ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს არ არის პრობლემის სრული გადაწყვეტა. აინშტაინის განცხადება სინათლის სიჩქარის დაუძლეველობის შესახებ ძალიან ჰგავს ზენონის აპორიას „აქილევსი და კუს“. ჩვენ ჯერ კიდევ უნდა შევისწავლოთ, გადავხედოთ და გადავჭრათ ეს პრობლემა. და გამოსავალი უნდა ვეძიოთ არა უსასრულოდ დიდი რაოდენობით, არამედ გაზომვის ერთეულებში.

ზენონის კიდევ ერთი საინტერესო აპორია მოგვითხრობს მფრინავი ისრის შესახებ:

მფრინავი ისარი უმოძრაოა, რადგან დროის ყოველ მომენტში ის ისვენებს, და რადგან ის ისვენებს დროის ყოველ მომენტში, ის ყოველთვის ისვენებს.

ამ აპორიაში ლოგიკური პარადოქსი დაძლეულია ძალიან მარტივად - საკმარისია იმის გარკვევა, რომ დროის ყოველ მომენტში მფრინავი ისარი ისვენებს სივრცის სხვადასხვა წერტილში, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქ უნდა აღინიშნოს კიდევ ერთი წერტილი. გზაზე მანქანის ერთი ფოტოსურათიდან შეუძლებელია მისი გადაადგილების ფაქტის და მასამდე მანძილის დადგენა. მანქანის მოძრაობის ფაქტის დასადგენად საჭიროა ერთი და იმავე წერტილიდან დროის სხვადასხვა მომენტში გადაღებული ორი ფოტო, მაგრამ მათი გამოყენება მანძილის დასადგენად არ შეიძლება. მანქანამდე მანძილის დასადგენად, საჭიროა ერთდროულად ორი ფოტო გადაღებული სივრცეში სხვადასხვა წერტილიდან, მაგრამ მათგან გადაადგილების ფაქტს ვერ განსაზღვრავთ (რა თქმა უნდა, გამოთვლებისთვის დამატებითი მონაცემები მაინც გჭირდებათ, ტრიგონომეტრია დაგეხმარებათ) . კონკრეტულად მინდა აღვნიშნო, რომ ორი წერტილი დროისა და ორი წერტილი სივრცეში არის ორი განსხვავებული რამ, რაც არ უნდა აგვერიოს, რადგან ისინი აძლევენ სხვადასხვა შესაძლებლობებს კვლევისთვის.
მე გაჩვენებთ პროცესს მაგალითით. ჩვენ ვირჩევთ "წითელ სოლიდს მუწუკში" - ეს არის ჩვენი "მთელი". ამავდროულად, ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს ნივთები არის მშვილდით და არის მშვილდის გარეშე. ამის შემდეგ ვირჩევთ „მთლიანის“ ნაწილს და ვქმნით კომპლექტს „მშვილდით“. ასე იკვებებიან შამანები თავიანთი სიმრავლის თეორიის რეალობასთან მიბმის გზით.

ახლა მოდით გავაკეთოთ პატარა ხრიკი. ავიღოთ "მყარი მუწუკში მშვილდით" და გავაერთიანოთ ეს "მთლიანები" ფერის მიხედვით, შევარჩიოთ წითელი ელემენტები. ბევრი "წითელი" მივიღეთ. ახლა რთული კითხვა: მიღებული კომპლექტები "მშვილდით" და "წითელი" ერთი და იგივე ნაკრებია თუ ორი განსხვავებული კომპლექტი? პასუხი მხოლოდ შამანებმა იციან. უფრო ზუსტად, თვითონაც არაფერი იციან, მაგრამ როგორც ამბობენ, ასეც იყოს.

ეს მარტივი მაგალითი გვიჩვენებს, რომ სიმრავლეების თეორია სრულიად უსარგებლოა, როცა საქმე რეალობას ეხება. რა არის საიდუმლო? ჩვენ ჩამოვაყალიბეთ კომპლექტი "წითელი მყარი pimply ერთად მშვილდი". ფორმირება მოხდა ოთხი განსხვავებული საზომი ერთეულის მიხედვით: ფერი (წითელი), სიმტკიცე (მყარი), უხეშობა (მუწუკში), დეკორაციები (მშვილდით). მხოლოდ საზომი ერთეულების ნაკრები იძლევა რეალური ობიექტების ადეკვატურად აღწერას მათემატიკის ენაზე.. აი, როგორ გამოიყურება.

ასო „ა“ სხვადასხვა ინდექსით აღნიშნავს სხვადასხვა საზომ ერთეულს. ფრჩხილებში ხაზგასმულია საზომი ერთეულები, რომლის მიხედვითაც წინასწარ ეტაპზე ნაწილდება „მთელი“. საზომი ერთეული, რომლის მიხედვითაც ყალიბდება ნაკრები, ამოღებულია ფრჩხილებიდან. ბოლო ხაზი აჩვენებს საბოლოო შედეგს - ნაკრების ელემენტს. როგორც ხედავთ, თუ ჩვენ ვიყენებთ ერთეულებს ნაკრების შესაქმნელად, მაშინ შედეგი არ არის დამოკიდებული ჩვენი მოქმედებების თანმიმდევრობაზე. და ეს მათემატიკაა და არა შამანების ცეკვები ტამბურით. შამანებს შეუძლიათ "ინტუიტიურად" მივიდნენ იმავე შედეგამდე, ამტკიცებენ მას "აშკარად", რადგან საზომი ერთეულები არ შედის მათ "მეცნიერულ" არსენალში.

საზომი ერთეულების დახმარებით ძალიან ადვილია ერთის დაშლა ან რამდენიმე ნაკრების ერთ სუპერსეტში გაერთიანება. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ამ პროცესის ალგებრას.

გამოთქმის cos (3/2 Pi) მნიშვნელობის გამოსათვლელად რამდენიმე ვარიანტი არსებობს.

პირველი ვარიანტი. გამოყენება
ეს ვარიანტი ყველაზე მარტივი და მარტივია და შედგება იმაში, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ შესაბამისი მნიშვნელობები ცხრილში.

ცხრილის მრავალი ვარიაციაა, რომელთაგან ზოგიერთი მხოლოდ არგუმენტებს წარმოადგენს რადიანებში, ზოგი კი გრადუსებში და ზოგი შეიცავს მნიშვნელობებს როგორც რადიანებისთვის, ასევე გრადუსებისთვის.
ხანდახან მაინც სასარგებლოა კუთხის მნიშვნელობის გრადუსამდე გადაყვანა, რათა უფრო ადვილად აღვიქვათ კოსინუსის მნიშვნელობა. მაგრამ არ არის აკრძალული მაგიდის გამოყენება გრადუსით და რადიანებით)).
ცხრილიდან ჩვენ განვსაზღვრავთ კოსინუსის მნიშვნელობას 3 Pi / 2-დან - ეს არის 0.
მათემატიკური აღნიშვნა:

მეორე ვარიანტი. .
მოსახერხებელი ვარიანტი, თუ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილი არ არის ხელმისაწვდომი. აქ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობა შეიძლება განისაზღვროს ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით.


x ღერძზე ტრიგონომეტრიულ წრეზე (ან წრეზე) არის კოსინუსური ფუნქციის მნიშვნელობები.
დავალების მიხედვით, ფუნქციის არგუმენტია 3 Pi / 2. წრეზე ეს მნიშვნელობა არის y-ღერძზე ბოლოში. მოცემული ფუნქციის მნიშვნელობის გამოსათვლელად საჭიროა Ox ღერძის პერპენდიკულარის დაწევა, რის შემდეგაც მივიღებთ მნიშვნელობას 0. ამრიგად, 3 Pi / 2-ის კოსინუსი არის 0.

მესამე ვარიანტი. გამოყენება .
თუ ცხრილი არ არის და რთულია ტრიგონომეტრიული წრის გასწვრივ ნავიგაცია, მაშინ სასარგებლოა კოსინუს გრაფის გამოყენება, რომელიც ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას მნიშვნელობის დასადგენად.

მარტივად რომ ვთქვათ, ეს არის წყალში მოხარშული ბოსტნეული სპეციალური რეცეპტის მიხედვით. განვიხილავ ორ საწყის კომპონენტს (ბოსტნეულის სალათს და წყალს) და დასრულებულ შედეგს - ბორშს. გეომეტრიულად, ეს შეიძლება იყოს წარმოდგენილი მართკუთხედის სახით, რომელშიც ერთი მხარე აღნიშნავს სალათის ფოთოლს, მეორე მხარე აღნიშნავს წყალს. ამ ორი მხარის ჯამი აღნიშნავს ბორშს. ასეთი "ბორშის" მართკუთხედის დიაგონალი და ფართობი არის წმინდა მათემატიკური ცნებები და არასოდეს გამოიყენება ბორშის რეცეპტებში.

როგორ იქცევა სალათის ფოთოლი და წყალი მათემატიკურად ბორშად? როგორ შეიძლება ორი სეგმენტის ჯამი გადაიქცეს ტრიგონომეტრიად? ამის გასაგებად, ჩვენ გვჭირდება წრფივი კუთხის ფუნქციები.

მათემატიკის სახელმძღვანელოებში წრფივი კუთხის ფუნქციების შესახებ ვერაფერს იპოვით. მაგრამ მათ გარეშე არ შეიძლება მათემატიკა. მათემატიკის კანონები, ისევე როგორც ბუნების კანონები, მუშაობს იმისდა მიუხედავად, ვიცით თუ არა მათი არსებობა.

წრფივი კუთხოვანი ფუნქციები არის მიმატების კანონები.ნახეთ, როგორ იქცევა ალგებრა გეომეტრიად და გეომეტრია ტრიგონომეტრიად.

შესაძლებელია თუ არა ხაზოვანი კუთხოვანი ფუნქციების გარეშე? შეგიძლია, რადგან მათემატიკოსები მაინც ახერხებენ მათ გარეშე. მათემატიკოსთა ხრიკი მდგომარეობს იმაში, რომ ისინი ყოველთვის გვეუბნებიან მხოლოდ იმ ამოცანების შესახებ, რომელთა გადაჭრაც თავად შეუძლიათ და არასოდეს გვეუბნებიან იმ ამოცანების შესახებ, რომელთა გადაჭრაც მათ არ შეუძლიათ. იხ. თუ ვიცით შეკრების შედეგი და ერთი წევრი, გამოკლებას ვიყენებთ მეორე წევრის საპოვნელად. ყველაფერი. სხვა პრობლემები არ ვიცით და ვერც გადავჭრით. რა უნდა გავაკეთოთ, თუ ვიცით მხოლოდ მიმატების შედეგი და არ ვიცით ორივე ტერმინი? ამ შემთხვევაში, მიმატების შედეგი უნდა დაიშალოს ორ ტერმინად წრფივი კუთხოვანი ფუნქციების გამოყენებით. გარდა ამისა, ჩვენ თვითონ ვირჩევთ რა შეიძლება იყოს ერთი ტერმინი და წრფივი კუთხური ფუნქციები გვიჩვენებს, თუ რა უნდა იყოს მეორე წევრი, რათა მიმატების შედეგი იყოს ზუსტად ის, რაც ჩვენ გვჭირდება. ასეთი წყვილი ტერმინების უსასრულო რაოდენობა შეიძლება იყოს. ყოველდღიურ ცხოვრებაში ჩვენ ძალიან კარგად ვაკეთებთ ჯამის დაშლის გარეშე, გამოკლება საკმარისია ჩვენთვის. მაგრამ ბუნების კანონების მეცნიერულ კვლევებში ჯამის ტერმინებად გაფართოება შეიძლება ძალიან სასარგებლო იყოს.

დამატების კიდევ ერთი კანონი, რომელზედაც მათემატიკოსებს არ უყვართ ლაპარაკი (კიდევ ერთი მათი ხრიკი) მოითხოვს, რომ ტერმინებს ჰქონდეთ იგივე ზომის ერთეული. სალათის ფურცლისთვის, წყლისა და ბორშისთვის ეს შეიძლება იყოს წონის, მოცულობის, ღირებულების ან გაზომვის ერთეული.

ნახაზი გვიჩვენებს მათემატიკის განსხვავების ორ დონეს. პირველი დონე არის განსხვავებები რიცხვების ველში, რომლებიც მითითებულია ა, ბ, გ. ამას აკეთებენ მათემატიკოსები. მეორე დონე არის განსხვავებები საზომი ერთეულების ფართობში, რომლებიც ნაჩვენებია კვადრატულ ფრჩხილებში და მითითებულია ასოებით. U. ამას აკეთებენ ფიზიკოსები. ჩვენ შეგვიძლია გავიგოთ მესამე დონე - განსხვავებები აღწერილი ობიექტების ფარგლებს შორის. სხვადასხვა ობიექტს შეიძლება ჰქონდეს ერთი და იგივე ზომის ერთეულების ერთი და იგივე რაოდენობა. რამდენად მნიშვნელოვანია ეს, შეგვიძლია დავინახოთ ბორშის ტრიგონომეტრიის მაგალითზე. თუ ერთსა და იმავე აღნიშვნას დავამატებთ სხვადასხვა ობიექტის გაზომვის ერთეულებს, შეგვიძლია ზუსტად ვთქვათ, რა მათემატიკური სიდიდე აღწერს კონკრეტულ ობიექტს და როგორ იცვლება ის დროთა განმავლობაში ან ჩვენს მოქმედებებთან დაკავშირებით. წერილი ვწყალს ასოთი მოვნიშნავ სსალათს ასოთი მოვნიშნავ ბ- ბორში. აი, როგორი იქნება ბორშჩის წრფივი კუთხის ფუნქციები.

წყლის ნაწილს და სალათის ნაწილს თუ ავიღებთ, ისინი ერთად გადაიქცევიან ბორშის ერთ პორციაში. აქვე გირჩევთ, ცოტათი დაისვენოთ ბორშჩისგან და გაიხსენოთ თქვენი შორეული ბავშვობა. გახსოვთ, როგორ გვასწავლეს კურდღლებისა და იხვების შეკრება? საჭირო იყო იმის დადგენა, რამდენი ცხოველი გამოვა. მერე რა გვასწავლეს? გვასწავლეს რიცხვებისგან ერთეულების გამოყოფა და რიცხვების შეკრება. დიახ, ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება დაემატოს ნებისმიერ სხვა ნომერს. ეს არის პირდაპირი გზა თანამედროვე მათემატიკის აუტიზმისკენ - ჩვენ არ გვესმის რა, გაუგებარია რატომ და ძალიან ცუდად გვესმის, როგორ უკავშირდება ეს რეალობას, რადგან სამი დონის განსხვავების გამო, მათემატიკოსები მუშაობენ მხოლოდ ერთზე. უფრო სწორი იქნება ვისწავლოთ როგორ გადავიდეთ ერთი საზომი ერთეულიდან მეორეზე.

და კურდღლები, იხვები და პატარა ცხოველები შეიძლება დაითვალოს ნაჭრებად. ერთი საერთო საზომი ერთეული სხვადასხვა ობიექტებისთვის საშუალებას გვაძლევს დავამატოთ ისინი. ეს არის პრობლემის საბავშვო ვერსია. მოდით შევხედოთ მსგავს პრობლემას მოზრდილებში. რას იღებთ, როდესაც კურდღლებს და ფულს დაამატებთ? აქ ორი შესაძლო გამოსავალია.

პირველი ვარიანტი. ჩვენ განვსაზღვრავთ კურდღლების საბაზრო ღირებულებას და ვამატებთ მას ხელმისაწვდომ ნაღდ ფულს. ჩვენ მივიღეთ ჩვენი სიმდიდრის მთლიანი ღირებულება ფულის თვალსაზრისით.

მეორე ვარიანტი. თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ კურდღლების რაოდენობა ბანკნოტების რაოდენობას, რაც გვაქვს. მოძრავი ქონების რაოდენობას ნაწილებად მივიღებთ.

როგორც ხედავთ, იგივე დამატების კანონი საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ განსხვავებული შედეგები. ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა გვინდა ვიცოდეთ.

მაგრამ დავუბრუნდეთ ჩვენს ბორშს. ახლა ჩვენ ვხედავთ რა მოხდება ხაზოვანი კუთხის ფუნქციების კუთხის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.

კუთხე არის ნული. სალათი გვაქვს, მაგრამ წყალი არა. ბორშს ვერ ვამზადებთ. ბორშის რაოდენობაც ნულის ტოლია. ეს საერთოდ არ ნიშნავს იმას, რომ ნულოვანი ბორში უდრის ნულ წყალს. ნულოვანი ბორში ასევე შეიძლება იყოს ნულოვანი სალათი (მარჯვენა კუთხე).

პირადად ჩემთვის ეს არის მთავარი მათემატიკური დასტური იმისა, რომ . ნული არ ცვლის რიცხვს დამატებისას. ეს იმიტომ ხდება, რომ თავად დამატება შეუძლებელია, თუ არის მხოლოდ ერთი ტერმინი და აკლია მეორე წევრი. თქვენ შეგიძლიათ დაუკავშირდეთ ამას, როგორც გინდათ, მაგრამ გახსოვდეთ - ყველა მათემატიკური ოპერაცია ნულთან ერთად მათემატიკოსებმა გამოიგონეს, ასე რომ, გააუქმეთ თქვენი ლოგიკა და სულელურად შეავსეთ მათემატიკოსების მიერ გამოგონილი განმარტებები: "ნულზე გაყოფა შეუძლებელია", "ნებისმიერი რიცხვი გამრავლებული ნულზე". უდრის ნულს", "ნულ წერტილს მიღმა" და სხვა სისულელეებს. საკმარისია ერთხელ დაიმახსოვროთ, რომ ნული რიცხვი არ არის და არასოდეს გაგიჩნდებათ კითხვა, ნული ნატურალური რიცხვია თუ არა, რადგან ასეთი კითხვა საერთოდ კარგავს ყოველგვარ მნიშვნელობას: როგორ შეიძლება ჩაითვალოს რიცხვი, რომელიც არ არის რიცხვი. . ეს ჰგავს კითხვას, რა ფერს მივაკუთვნოთ უხილავი ფერი. რიცხვისთვის ნულის დამატება არარსებული საღებავით ხატვას ჰგავს. მშრალ ფუნჯს აფრიალებენ და ყველას ეუბნებიან, რომ „მოვხატეთ“. მაგრამ ცოტას ვშორდები.

კუთხე არის ნულზე მეტი, მაგრამ ორმოცდახუთი გრადუსზე ნაკლები. სალათის ფოთოლი ბევრი გვაქვს, წყალი კი ცოტა. შედეგად ვიღებთ სქელ ბორშს.

კუთხე ორმოცდახუთი გრადუსია. თანაბარი რაოდენობით გვაქვს წყალი და სალათის ფოთოლი. ეს შესანიშნავი ბორშია (მაპატიონ მზარეულებმა, ეს უბრალოდ მათემატიკაა).

კუთხე ორმოცდახუთი გრადუსზე მეტია, მაგრამ ოთხმოცდაათ გრადუსზე ნაკლები. ბევრი წყალი გვაქვს და ცოტა სალათი. მიიღეთ თხევადი ბორში.

მართი კუთხე. წყალი გვაქვს. სალათის ფოთოლზე მხოლოდ მოგონებები რჩება, რადგან ჩვენ ვაგრძელებთ კუთხის გაზომვას იმ ხაზიდან, რომელიც ოდესღაც სალათის ფოთლებს აღნიშნავდა. ბორშს ვერ ვამზადებთ. ბორშის რაოდენობა ნულის ტოლია. ამ შემთხვევაში დაიჭირეთ და დალიეთ წყალი სანამ ის ხელმისაწვდომია)))

Აქ. Რაღაც მსგავსი. აქ შემიძლია სხვა ისტორიების მოყოლა, რაც აქ უფრო შესაფერისი იქნება.

ორ მეგობარს საერთო საქმეში წილი ჰქონდათ. ერთი მათგანის მკვლელობის შემდეგ ყველაფერი მეორეზე გადავიდა.

მათემატიკის გაჩენა ჩვენს პლანეტაზე.

ყველა ეს ამბავი მოთხრობილია მათემატიკის ენაზე წრფივი კუთხოვანი ფუნქციების გამოყენებით. სხვა დროს მე გაჩვენებთ ამ ფუნქციების რეალურ ადგილს მათემატიკის სტრუქტურაში. ამასობაში, დავუბრუნდეთ ბორშის ტრიგონომეტრიას და განვიხილოთ პროგნოზები.

შაბათი, 2019 წლის 26 ოქტომბერი

მე ვუყურე საინტერესო ვიდეოს შესახებ გრანდის რიგი ერთს მინუს ერთი პლუს ერთი მინუს ერთი - Numberphile. მათემატიკოსები იტყუებიან. მათ არ ჩაატარეს თანასწორობის ტესტი მსჯელობაში.

ეს ეხმიანება ჩემს მსჯელობას.

მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ ნიშნები, რომ მათემატიკოსები გვატყუებენ. მსჯელობის დასაწყისშივე მათემატიკოსები ამბობენ, რომ მიმდევრობის ჯამი დამოკიდებულია მასში ელემენტების რაოდენობა ლუწი თუ არა. ეს არის ობიექტურად დადასტურებული ფაქტი. Შემდეგ რა მოხდება?

შემდეგ მათემატიკოსები აკლებენ თანმიმდევრობას ერთიანობას. რას იწვევს ეს? ეს იწვევს თანმიმდევრობის ელემენტების რაოდენობის ცვლილებას - ლუწი რიცხვი იცვლება კენტ რიცხვში, კენტი რიცხვი იცვლება ლუწ რიცხვში. ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ დავამატეთ ერთი ელემენტის ტოლი თანმიმდევრობით. მიუხედავად ყველა გარეგანი მსგავსებისა, ტრანსფორმაციის წინ თანმიმდევრობა არ არის გარდაქმნის შემდგომ მიმდევრობის ტოლი. მაშინაც კი, თუ ჩვენ ვსაუბრობთ უსასრულო მიმდევრობაზე, უნდა გვახსოვდეს, რომ უსასრულო მიმდევრობა კენტი რაოდენობის ელემენტებით არ არის უსასრულო მიმდევრობის ტოლი ელემენტების ლუწი რაოდენობით.

ელემენტების რაოდენობის მიხედვით განსხვავებულ ორ მიმდევრობას შორის ტოლობის ნიშნის დაყენებით, მათემატიკოსები ამტკიცებენ, რომ თანმიმდევრობის ჯამი არ არის დამოკიდებული მიმდევრობის ელემენტების რაოდენობაზე, რაც ეწინააღმდეგება ობიექტურად დადგენილ ფაქტს. შემდგომი მსჯელობა უსასრულო მიმდევრობის ჯამის შესახებ მცდარია, რადგან ის დაფუძნებულია ცრუ თანასწორობაზე.

თუ ხედავთ, რომ მათემატიკოსები მტკიცებულებების მსვლელობისას ათავსებენ ფრჩხილებს, გადააწყობენ მათემატიკური გამოთქმის ელემენტებს, დაამატებენ ან ამოიღებენ რაღაცას, იყავით ძალიან ფრთხილად, დიდი ალბათობით ისინი თქვენს მოტყუებას ცდილობენ. ბარათების შემთხვევის მსგავსად, მათემატიკოსები თქვენს ყურადღებას აქცევენ გამოხატვის სხვადასხვა მანიპულაციებით, რათა საბოლოოდ მოგცეთ ცრუ შედეგი. თუ თქვენ არ შეგიძლიათ გაიმეოროთ ბარათის ხრიკი მოტყუების საიდუმლოების ცოდნის გარეშე, მაშინ მათემატიკაში ყველაფერი ბევრად უფრო მარტივია: თქვენ არც კი გეპარებათ ეჭვი მოტყუებაზე, მაგრამ ყველა მანიპულაციის გამეორება მათემატიკური გამოთქმით საშუალებას გაძლევთ დაარწმუნოთ სხვები. შედეგის სისწორე, ისევე როგორც მაშინ, როცა დაგარწმუნეთ.

კითხვა აუდიტორიისგან: და უსასრულობა (როგორც ელემენტების რაოდენობა S მიმდევრობაში), არის ის ლუწი თუ კენტი? როგორ შეგიძლიათ შეცვალოთ პარიტეტი იმის, რასაც არ აქვს პარიტეტი?

მათემატიკოსებისთვის უსასრულობა მღვდლებისთვის ზეცის სამეფოს ჰგავს - იქ არავინ ყოფილა, მაგრამ ყველამ ზუსტად იცის, როგორ მუშაობს იქ ყველაფერი))) გეთანხმები, სიკვდილის შემდეგ აბსოლუტურად გულგრილი იქნები, იცხოვრე დღეების ლუწი თუ კენტი რაოდენობით. , მაგრამ ... თქვენი ცხოვრების დასაწყისში მხოლოდ ერთ დღეს დავამატებთ, მივიღებთ სრულიად განსხვავებულ ადამიანს: მისი გვარი, სახელი და პატრონიმი ზუსტად იგივეა, მხოლოდ დაბადების თარიღი არის სრულიად განსხვავებული - ის დაიბადა ერთი. შენს წინ დღით.

ახლა კი საქმეზე))) დავუშვათ, სასრული მიმდევრობა, რომელსაც აქვს პარიტეტი, კარგავს ამ პარიტეტს უსასრულობამდე გადასვლისას. მაშინ უსასრულო მიმდევრობის ნებისმიერმა სასრულმა სეგმენტმა ასევე უნდა დაკარგოს პარიტეტი. ჩვენ ამას არ ვაკვირდებით. ის ფაქტი, რომ დანამდვილებით ვერ ვიტყვით, ელემენტების რაოდენობა უსასრულო მიმდევრობაში ლუწია თუ კენტი, საერთოდ არ ნიშნავს, რომ პარიტეტი გაქრა. პარიტეტი, თუ ის არსებობს, უკვალოდ ვერ გაქრება უსასრულობაში, როგორც კარტის ბასრი ყდის. ამ საქმის ძალიან კარგი ანალოგია.

ოდესმე გკითხავთ საათში მჯდომ გუგულს, რომელი მიმართულებით ბრუნავს საათის ისარი? მისთვის ისარი ბრუნავს საპირისპირო მიმართულებით, რასაც ჩვენ ვუწოდებთ "საათის ისრის". შეიძლება პარადოქსულად ჟღერდეს, მაგრამ ბრუნის მიმართულება დამოკიდებულია მხოლოდ იმაზე, თუ რომელი მხრიდან ვაკვირდებით ბრუნვას. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ერთი ბორბალი, რომელიც ბრუნავს. ჩვენ ვერ ვიტყვით, რა მიმართულებით ხდება ბრუნვა, რადგან შეგვიძლია დავაკვირდეთ მას როგორც ბრუნვის სიბრტყის ერთი მხრიდან, ასევე მეორე მხრიდან. ჩვენ მხოლოდ იმის მოწმობა შეგვიძლია, რომ არსებობს როტაცია. სრული ანალოგია უსასრულო მიმდევრობის პარიტეტთან ს.

ახლა დავამატოთ მეორე მბრუნავი ბორბალი, რომლის ბრუნვის სიბრტყე პარალელურია პირველი მბრუნავი ბორბლის ბრუნვის სიბრტყის. ჩვენ ჯერ კიდევ არ შეგვიძლია ზუსტად გეტყვით, რომელი მიმართულებით ტრიალებს ეს ბორბლები, მაგრამ ჩვენ შეგვიძლია აბსოლუტური დარწმუნებით ვთქვათ, ორივე ბორბალი ტრიალებს იმავე მიმართულებით თუ საპირისპირო მიმართულებით. ორი უსასრულო მიმდევრობის შედარება სდა 1-ს, მათემატიკის დახმარებით ვაჩვენე, რომ ამ მიმდევრობებს განსხვავებული პარიტეტი აქვთ და მათ შორის ტოლობის ნიშნის დადება შეცდომაა. პირადად მე მჯერა მათემატიკის, არ ვენდობი მათემატიკოსებს))) სხვათა შორის, იმისთვის, რომ სრულად გავიგოთ უსასრულო მიმდევრობების გარდაქმნების გეომეტრია, აუცილებელია კონცეფციის შემოღება. "ერთდროულობა". ამის დახატვა დასჭირდება.

ოთხშაბათი, 7 აგვისტო, 2019 წ

საუბრის დასრულებისას ჩვენ უნდა განვიხილოთ უსასრულო ნაკრები. იმის გათვალისწინებით, რომ "უსასრულობის" კონცეფცია მოქმედებს მათემატიკოსებზე, როგორც ბოა კონსტრიქტორი კურდღელზე. უსასრულობის მომაჯადოებელი საშინელება მათემატიკოსებს ართმევს საღ აზრს. აი მაგალითი:

ორიგინალური წყარო მდებარეობს. ალფა აღნიშნავს ნამდვილ რიცხვს. ზემოთ მოცემულ გამონათქვამებში ტოლობის ნიშანი მიუთითებს იმაზე, რომ თუ უსასრულობას დაუმატებთ რიცხვს ან უსასრულობას, არაფერი შეიცვლება, შედეგი იქნება იგივე უსასრულობა. თუ მაგალითისთვის ავიღებთ ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლეს, მაშინ განხილული მაგალითები შეიძლება წარმოვიდგინოთ შემდეგნაირად:

მათი საქმის ვიზუალურად დასამტკიცებლად მათემატიკოსებმა მრავალი განსხვავებული მეთოდი მოიგონეს. მე პირადად ყველა ამ მეთოდს ვუყურებ, როგორც შამანების ცეკვას ტამბურთან. არსებითად, ისინი ყველა ჩამოდიან იმ ფაქტზე, რომ ან ზოგიერთი ოთახი დაკავებული არ არის და მათში ახალი სტუმრები სახლდებიან, ან ზოგიერთ სტუმარს დერეფანში აგდებენ სტუმრებისთვის ადგილის გასათავისუფლებლად (ძალიან ადამიანურად). მე წარმოვადგინე ჩემი შეხედულება ასეთ გადაწყვეტილებებზე ფანტასტიკური ისტორიის სახით ქერაზე. რას ეფუძნება ჩემი მსჯელობა? უსასრულო რაოდენობის ვიზიტორთა გადაადგილებას უსასრულო დრო სჭირდება. მას შემდეგ, რაც ჩვენ გავათავისუფლებთ პირველ სასტუმრო ოთახს, ერთ-ერთი სტუმარი ყოველთვის გადის დერეფნის გასწვრივ თავისი ოთახიდან მეორე ოთახში დროის ბოლომდე. რა თქმა უნდა, დროის ფაქტორის უგულებელყოფა შეიძლება სულელურად, მაგრამ ეს უკვე კატეგორიიდან იქნება „კანონი სულელებისთვის არ წერია“. ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რას ვაკეთებთ: რეალობის მორგება მათემატიკურ თეორიებზე ან პირიქით.

რა არის "უსასრულო სასტუმრო"? Infinity Inn არის სასტუმრო, რომელსაც ყოველთვის აქვს ნებისმიერი რაოდენობის ვაკანსია, რამდენი ოთახიც არ უნდა იყოს დაკავებული. თუ გაუთავებელ დერეფანში „ვიზიტორებისთვის“ ყველა ოთახი დაკავებულია, არის კიდევ ერთი გაუთავებელი დერეფანი „სტუმრებისთვის“ ოთახებით. ასეთი დერეფნების უსასრულო რაოდენობა იქნება. ამავდროულად, „უსასრულო სასტუმროს“ აქვს უსასრულო რაოდენობის სართულები უსასრულო რაოდენობის შენობებში უსასრულო რაოდენობის პლანეტებზე უსასრულო რაოდენობის ღმერთების მიერ შექმნილ სამყაროებში. მათემატიკოსები კი ბანალურ ყოველდღიურ პრობლემებს ვერ შორდებიან: ღმერთი-ალაჰ-ბუდა ყოველთვის ერთია, სასტუმრო ერთია, დერეფანი მხოლოდ ერთი. ასე რომ, მათემატიკოსები ცდილობენ სასტუმროს ნომრების სერიული ნომრების ჟონგლირებას, დაგვარწმუნონ იმაში, რომ შესაძლებელია „გაუძარცველის გადაყრა“.

მე გაჩვენებთ ჩემი მსჯელობის ლოგიკას ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლის მაგალითის გამოყენებით. ჯერ უნდა უპასუხოთ ძალიან მარტივ კითხვას: ნატურალური რიცხვების რამდენი სიმრავლე არსებობს - ერთი თუ ბევრი? ამ კითხვაზე სწორი პასუხი არ არსებობს, რადგან ჩვენ თვითონ გამოვიგონეთ რიცხვები, ბუნებაში რიცხვები არ არსებობს. დიახ, ბუნებამ მშვენივრად იცის დათვლა, მაგრამ ამისთვის იყენებს სხვა მათემატიკურ საშუალებებს, რომლებიც ჩვენთვის არ არის ნაცნობი. როგორც ბუნება ფიქრობს, სხვა დროს გეტყვით. ვინაიდან ჩვენ გამოვიგონეთ რიცხვები, ჩვენ თვითონ გადავწყვეტთ ნატურალური რიცხვების რამდენი კომპლექტი არსებობს. განიხილეთ ორივე ვარიანტი, როგორც ეს შეეფერება ნამდვილ მეცნიერს.

ვარიანტი ერთი. „მოდით მოგვცეს“ ნატურალური რიცხვების ერთი ნაკრები, რომელიც მშვიდად დევს თაროზე. ამ კომპლექტს თაროდან ვიღებთ. ესე იგი, თაროზე სხვა ნატურალური რიცხვები აღარ დარჩა და წასაღებიც არსად არის. ჩვენ ვერ დავამატებთ ამ კომპლექტს, რადგან უკვე გვაქვს. რა მოხდება, თუ მართლა გინდა? Არაა პრობლემა. ჩვენ შეგვიძლია ავიღოთ ერთეული უკვე აღებული ნაკრებიდან და დავაბრუნოთ თაროზე. ამის შემდეგ შეგვიძლია თაროდან ავიღოთ ერთეული და დავამატოთ ის რაც დაგვრჩა. შედეგად, ჩვენ კვლავ ვიღებთ ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლეს. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ყველა ჩვენი მანიპულაცია ასე:

ჩავწერე მოქმედებები ალგებრული აღნიშვნით და სიმრავლეების თეორიის აღნიშვნით, სიმრავლის ელემენტები დეტალურად ჩამოვთვალე. სუბსკრიპტი მიუთითებს, რომ ჩვენ გვაქვს ნატურალური რიცხვების ერთი და ერთადერთი ნაკრები. გამოდის, რომ ნატურალური რიცხვების სიმრავლე უცვლელი დარჩება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მას ერთი გამოაკლდება და იგივე დაემატება.

ვარიანტი ორი. თაროზე გვაქვს ბუნებრივი რიცხვების მრავალი განსხვავებული უსასრულო ნაკრები. ხაზს ვუსვამ - განსხვავებულს, მიუხედავად იმისა, რომ ისინი პრაქტიკულად არ განსხვავდებიან. ჩვენ ვიღებთ ერთ-ერთ ამ კომპლექტს. შემდეგ ვიღებთ ერთს ნატურალური რიცხვების მეორე სიმრავლიდან და ვამატებთ უკვე აღებულ სიმრავლეს. შეგვიძლია ნატურალური რიცხვების ორი კომპლექტიც კი დავამატოთ. აი რას მივიღებთ:

ხელმოწერები "ერთი" და "ორი" მიუთითებს იმაზე, რომ ეს ელემენტები განსხვავებულ კომპლექტს ეკუთვნოდა. დიახ, თუ ერთს დაუმატებთ უსასრულო კომპლექტს, შედეგი ასევე იქნება უსასრულო ნაკრები, მაგრამ ის არ იქნება იგივე, რაც ორიგინალური ნაკრები. თუ ერთი უსასრულო სიმრავლე დაემატება მეორე უსასრულო სიმრავლეს, შედეგი არის ახალი უსასრულო სიმრავლე, რომელიც შედგება პირველი ორი სიმრავლის ელემენტებისაგან.

ნატურალური რიცხვების სიმრავლე გამოიყენება დასათვლელად ისევე, როგორც საზომი სახაზავი. ახლა წარმოიდგინეთ, რომ სახაზავს ერთი სანტიმეტრი დაუმატეთ. ეს უკვე განსხვავებული ხაზი იქნება, ორიგინალის ტოლი არ არის.

შეგიძლიათ მიიღოთ ან არ მიიღოთ ჩემი მსჯელობა - ეს თქვენი საქმეა. მაგრამ თუ ოდესმე მათემატიკურ პრობლემებს წააწყდებით, დაფიქრდით, დგახართ თუ არა ცრუ მსჯელობის გზაზე, რომელსაც მათემატიკოსთა თაობა არღვევს. მათემატიკის გაკვეთილები ხომ, უპირველეს ყოვლისა, აყალიბებს ჩვენში აზროვნების სტაბილურ სტერეოტიპს და მხოლოდ ამის შემდეგ გვმატებენ გონებრივ შესაძლებლობებს (ან პირიქით, გვართმევენ თავისუფალ აზროვნებას).

pozg.ru

კვირა, 4 აგვისტო, 2019 წ

მე ვწერდი პოსტსკრიპტს სტატიის შესახებ და ვნახე ეს შესანიშნავი ტექსტი ვიკიპედიაში:

ჩვენ ვკითხულობთ: „...ბაბილონის მათემატიკის მდიდარ თეორიულ საფუძველს არ გააჩნდა ჰოლისტიკური ხასიათი და დაყვანილი იყო განსხვავებული ტექნიკის ერთობლიობამდე, მოკლებული საერთო სისტემისა და მტკიცებულების ბაზას“.

Ვაუ! რამდენად ჭკვიანები ვართ და რამდენად კარგად ვხედავთ სხვის ნაკლოვანებებს. ჩვენთვის სუსტია თანამედროვე მათემატიკის იმავე კონტექსტში შეხედვა? ზემოაღნიშნული ტექსტის ოდნავ პერიფრაზირებით, პირადად მე მივიღე შემდეგი:

თანამედროვე მათემატიკის მდიდარ თეორიულ საფუძველს არ აქვს ჰოლისტიკური ხასიათი და დაყვანილია განსხვავებული სექციების ერთობლიობამდე, მოკლებულია საერთო სისტემისა და მტკიცებულების ბაზას.

შორს არ წავალ ჩემი სიტყვების დასადასტურებლად – მას აქვს ენა და კონვენციები, რომლებიც განსხვავდება მათემატიკის მრავალი სხვა დარგის ენისა და კონვენციებისგან. მათემატიკის სხვადასხვა ფილიალში ერთსა და იმავე სახელს შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული მნიშვნელობა. მსურს პუბლიკაციების მთელი ციკლი მივუძღვნა თანამედროვე მათემატიკის ყველაზე აშკარა შეცდომებს. Მალე გნახავ.

შაბათი, 3 აგვისტო, 2019 წ

როგორ დავყოთ ნაკრები ქვეჯგუფებად? ამისათვის თქვენ უნდა შეიყვანოთ ახალი საზომი ერთეული, რომელიც არის შერჩეული ნაკრების ზოგიერთ ელემენტში. განვიხილოთ მაგალითი.

შეიძლება ბევრი გვქონდეს მაგრამშედგება ოთხი ადამიანისგან. ეს ნაკრები იქმნება „ხალხის“ საფუძველზე. მოდით, ასოების მეშვეობით განვსაზღვროთ ამ ნაკრების ელემენტები ა, ნომრის მქონე ხელმოწერა მიუთითებს ამ ნაკრების თითოეული ადამიანის რიგით ნომერს. შემოვიტანოთ ახალი საზომი ერთეული „სექსუალური მახასიათებელი“ და აღვნიშნოთ ასოებით ბ. ვინაიდან სექსუალური მახასიათებლები ყველა ადამიანშია თანდაყოლილი, ჩვენ ვამრავლებთ ნაკრების თითოეულ ელემენტს მაგრამსქესზე ბ. გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენი "ხალხის" ნაკრები ახლა გახდა "ხალხის სქესის" ნაკრები. ამის შემდეგ შეგვიძლია სექსუალური მახასიათებლები მამრობითად დავყოთ ბმდა ქალთა bwგენდერული მახასიათებლები. ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ მათემატიკური ფილტრი: ჩვენ ვირჩევთ ამ სექსუალური მახასიათებლებიდან ერთ-ერთს, არ აქვს მნიშვნელობა რომელია მამაკაცი თუ ქალი. თუ ის ადამიანშია, მაშინ ვამრავლებთ ერთზე, თუ ასეთი ნიშანი არ არის, ვამრავლებთ ნულზე. შემდეგ ჩვენ ვიყენებთ ჩვეულებრივ სასკოლო მათემატიკას. ნახეთ რა მოხდა.

გამრავლების, შემცირებისა და გადაწყობის შემდეგ მივიღეთ ორი ქვესიმრავლე: მამრობითი ქვესიმრავლე ბმდა ქალების ქვეჯგუფი bw. დაახლოებით ისევე მსჯელობენ მათემატიკოსები, როდესაც ისინი იყენებენ სიმრავლეების თეორიას პრაქტიკაში. მაგრამ ისინი არ გვიშვებენ დეტალებში, არამედ გვაძლევენ დასრულებულ შედეგს – „ბევრი ადამიანი შედგება მამაკაცების ქვეჯგუფისაგან და ქალების ქვეჯგუფისაგან“. ბუნებრივია, შეიძლება გაგიჩნდეთ კითხვა, რამდენად სწორად გამოიყენება მათემატიკა ზემოთ ჩამოთვლილ გარდაქმნებში? გარწმუნებთ, რომ რეალურად გარდაქმნები ხდება სწორად, საკმარისია ვიცოდეთ არითმეტიკის, ლოგის ალგებრის და მათემატიკის სხვა მონაკვეთების მათემატიკური დასაბუთება. რა არის ეს? სხვა დროს გეტყვით ამის შესახებ.

რაც შეეხება სუპერკომპლექტებს, შესაძლებელია ორი კომპლექტის გაერთიანება ერთ სუპერსიმრავლეში საზომი ერთეულის არჩევით, რომელიც იმყოფება ამ ორი ნაკრების ელემენტებში.

როგორც ხედავთ, საზომი ერთეულები და საერთო მათემატიკა სიმრავლეების თეორიას წარსულს აქცევს. იმის ნიშანი, რომ სიმრავლეების თეორიაში ყველაფერი კარგად არ არის, არის ის, რომ მათემატიკოსებმა გამოიგონეს საკუთარი ენა და ჩანაწერები სიმრავლეების თეორიისთვის. მათემატიკოსებმა გააკეთეს ის, რაც ერთხელ გააკეთეს შამანებმა. მხოლოდ შამანებმა იციან როგორ გამოიყენონ თავიანთი „ცოდნა“ „სწორად“. ამ "ცოდნას" ისინი გვასწავლიან.

დასასრულს, მინდა გაჩვენოთ, როგორ მანიპულირებენ მათემატიკოსები
ვთქვათ აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და ათასი ნაბიჯით ჩამორჩება. იმ დროის განმავლობაში, როცა აქილევსი ამ მანძილს გარბის, კუ ასი ნაბიჯით ცოცავს იმავე მიმართულებით. როცა აქილევსი ას საფეხურს გაივლის, კუს კიდევ ათი ნაბიჯი დაცოცავს და ა.შ. პროცესი უსასრულოდ გაგრძელდება, აქილევსი კუს ვერასოდეს მიაღწევს.

ეს მსჯელობა ლოგიკური შოკი გახდა ყველა შემდგომი თაობისთვის. არისტოტელე, დიოგენე, კანტი, ჰეგელი, გილბერტი... ყველა მათგანი ასე თუ ისე ზენონის აპორიებს თვლიდა. შოკი იმდენად ძლიერი იყო, რომ " ... მსჯელობა ამჟამად გრძელდება, სამეცნიერო საზოგადოებას ჯერ არ მიუღწევია პარადოქსების არსის შესახებ საერთო მოსაზრებამდე... საკითხის შესწავლაში ჩართული იყო მათემატიკური ანალიზი, სიმრავლეების თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები. ; არცერთი მათგანი არ გახდა პრობლემის საყოველთაოდ მიღებული გადაწყვეტა ..."[ვიკიპედია," ზენონის აპორია "]. ყველას ესმის, რომ ატყუებენ, მაგრამ არავის ესმის, რა არის მოტყუება.

მათემატიკის თვალსაზრისით, ზენონმა თავის აპორიაში ნათლად აჩვენა გადასვლა მნიშვნელობიდან. ეს გადასვლა გულისხმობს გამოყენებას მუდმივების ნაცვლად. რამდენადაც მე მესმის, საზომი ცვლადი ერთეულების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ან ჯერ არ არის შემუშავებული, ან არ არის გამოყენებული ზენონის აპორიაზე. ჩვენი ჩვეული ლოგიკის გამოყენება მახეში მიგვიყვანს. ჩვენ, აზროვნების ინერციით, ვიყენებთ დროის მუდმივ ერთეულებს ურთიერთსაწინააღმდეგოზე. ფიზიკური თვალსაზრისით, როგორც ჩანს, დრო ნელდება სრულ გაჩერებამდე იმ მომენტში, როდესაც აქილევსი კუს დაეწია. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსი ვეღარ გაუსწრებს კუს.

თუ შევეჩვიეთ ლოგიკას, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება. აქილევსი მუდმივი სიჩქარით დარბის. მისი გზის ყოველი მომდევნო სეგმენტი წინაზე ათჯერ მოკლეა. შესაბამისად, მის დაძლევაზე დახარჯული დრო წინაზე ათჯერ ნაკლებია. თუ ამ სიტუაციაში გამოვიყენებთ „უსასრულობის“ ცნებას, მაშინ მართებული იქნება ვთქვათ „აქილევსი უსასრულოდ სწრაფად გაუსწრებს კუს“.

როგორ ავიცილოთ თავიდან ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით დროის მუდმივ ერთეულებში და არ გადახვიდეთ საპასუხო მნიშვნელობებზე. ზენონის ენაზე ასე გამოიყურება:

იმ დროს, რაც აქილევსს სჭირდება ათასი ნაბიჯის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით მიიწევს იმავე მიმართულებით. შემდეგი დროის ინტერვალის განმავლობაში, პირველის ტოლფასი, აქილევსი კიდევ ათას ნაბიჯს გაივლის, კუს კი ასი ნაბიჯით გაივლის. ახლა აქილევსი რვაასი ნაბიჯით უსწრებს კუს.

ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ყოველგვარი ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს არ არის პრობლემის სრული გადაწყვეტა. აინშტაინის განცხადება სინათლის სიჩქარის დაუძლეველობის შესახებ ძალიან ჰგავს ზენონის აპორიას „აქილევსი და კუს“. ჩვენ ჯერ კიდევ უნდა შევისწავლოთ, გადავხედოთ და გადავჭრათ ეს პრობლემა. და გამოსავალი უნდა ვეძიოთ არა უსასრულოდ დიდი რაოდენობით, არამედ გაზომვის ერთეულებში.

ზენონის კიდევ ერთი საინტერესო აპორია მოგვითხრობს მფრინავი ისრის შესახებ:

მფრინავი ისარი უმოძრაოა, რადგან დროის ყოველ მომენტში ის ისვენებს, და რადგან ის ისვენებს დროის ყოველ მომენტში, ის ყოველთვის ისვენებს.

ამ აპორიაში ლოგიკური პარადოქსი დაძლეულია ძალიან მარტივად - საკმარისია იმის გარკვევა, რომ დროის ყოველ მომენტში მფრინავი ისარი ისვენებს სივრცის სხვადასხვა წერტილში, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქ უნდა აღინიშნოს კიდევ ერთი წერტილი. გზაზე მანქანის ერთი ფოტოსურათიდან შეუძლებელია მისი გადაადგილების ფაქტის და მასამდე მანძილის დადგენა. მანქანის მოძრაობის ფაქტის დასადგენად საჭიროა ერთი და იმავე წერტილიდან დროის სხვადასხვა მომენტში გადაღებული ორი ფოტო, მაგრამ მათი გამოყენება მანძილის დასადგენად არ შეიძლება. მანქანამდე მანძილის დასადგენად, საჭიროა ერთდროულად ორი ფოტო გადაღებული სივრცეში სხვადასხვა წერტილიდან, მაგრამ მათგან გადაადგილების ფაქტს ვერ განსაზღვრავთ (რა თქმა უნდა, გამოთვლებისთვის დამატებითი მონაცემები მაინც გჭირდებათ, ტრიგონომეტრია დაგეხმარებათ) . კონკრეტულად მინდა აღვნიშნო, რომ ორი წერტილი დროისა და ორი წერტილი სივრცეში არის ორი განსხვავებული რამ, რაც არ უნდა აგვერიოს, რადგან ისინი აძლევენ სხვადასხვა შესაძლებლობებს კვლევისთვის.
მე გაჩვენებთ პროცესს მაგალითით. ჩვენ ვირჩევთ "წითელ სოლიდს მუწუკში" - ეს არის ჩვენი "მთელი". ამავდროულად, ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს ნივთები არის მშვილდით და არის მშვილდის გარეშე. ამის შემდეგ ვირჩევთ „მთლიანის“ ნაწილს და ვქმნით კომპლექტს „მშვილდით“. ასე იკვებებიან შამანები თავიანთი სიმრავლის თეორიის რეალობასთან მიბმის გზით.

ახლა მოდით გავაკეთოთ პატარა ხრიკი. ავიღოთ "მყარი მუწუკში მშვილდით" და გავაერთიანოთ ეს "მთლიანები" ფერის მიხედვით, შევარჩიოთ წითელი ელემენტები. ბევრი "წითელი" მივიღეთ. ახლა რთული კითხვა: მიღებული კომპლექტები "მშვილდით" და "წითელი" ერთი და იგივე ნაკრებია თუ ორი განსხვავებული კომპლექტი? პასუხი მხოლოდ შამანებმა იციან. უფრო ზუსტად, თვითონაც არაფერი იციან, მაგრამ როგორც ამბობენ, ასეც იყოს.

ეს მარტივი მაგალითი გვიჩვენებს, რომ სიმრავლეების თეორია სრულიად უსარგებლოა, როცა საქმე რეალობას ეხება. რა არის საიდუმლო? ჩვენ ჩამოვაყალიბეთ კომპლექტი "წითელი მყარი pimply ერთად მშვილდი". ფორმირება მოხდა ოთხი განსხვავებული საზომი ერთეულის მიხედვით: ფერი (წითელი), სიმტკიცე (მყარი), უხეშობა (მუწუკში), დეკორაციები (მშვილდით). მხოლოდ საზომი ერთეულების ნაკრები იძლევა რეალური ობიექტების ადეკვატურად აღწერას მათემატიკის ენაზე.. აი, როგორ გამოიყურება.

ასო „ა“ სხვადასხვა ინდექსით აღნიშნავს სხვადასხვა საზომ ერთეულს. ფრჩხილებში ხაზგასმულია საზომი ერთეულები, რომლის მიხედვითაც წინასწარ ეტაპზე ნაწილდება „მთელი“. საზომი ერთეული, რომლის მიხედვითაც ყალიბდება ნაკრები, ამოღებულია ფრჩხილებიდან. ბოლო ხაზი აჩვენებს საბოლოო შედეგს - ნაკრების ელემენტს. როგორც ხედავთ, თუ ჩვენ ვიყენებთ ერთეულებს ნაკრების შესაქმნელად, მაშინ შედეგი არ არის დამოკიდებული ჩვენი მოქმედებების თანმიმდევრობაზე. და ეს მათემატიკაა და არა შამანების ცეკვები ტამბურით. შამანებს შეუძლიათ "ინტუიტიურად" მივიდნენ იმავე შედეგამდე, ამტკიცებენ მას "აშკარად", რადგან საზომი ერთეულები არ შედის მათ "მეცნიერულ" არსენალში.

საზომი ერთეულების დახმარებით ძალიან ადვილია ერთის დაშლა ან რამდენიმე ნაკრების ერთ სუპერსეტში გაერთიანება. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ამ პროცესის ალგებრას.