„შემთხვევა არ არის შემთხვევითი“... ჟღერს ფილოსოფოსის ნათქვამი, მაგრამ სინამდვილეში უბედური შემთხვევების შესწავლა არის მათემატიკის დიდი მეცნიერების ბედი. მათემატიკაში შანსი არის ალბათობის თეორია. სტატიაში წარმოდგენილი იქნება ამოცანების ფორმულები და მაგალითები, ასევე ამ მეცნიერების ძირითადი განმარტებები.

რა არის ალბათობის თეორია?

ალბათობის თეორია არის ერთ-ერთი მათემატიკური დისციპლინა, რომელიც სწავლობს შემთხვევით მოვლენებს.

ცოტა უფრო გასაგებად რომ ვთქვათ, მოვიყვანოთ პატარა მაგალითი: თუ მონეტას ზევით გადააგდებთ, მას შეიძლება თავები ან კუდები დაეცეს. სანამ მონეტა ჰაერშია, ეს ორივე შესაძლებლობა შესაძლებელია. ანუ, შესაძლო შედეგების ალბათობა კორელაციაშია 1:1. თუ ერთი გათამაშებულია გემბანიდან 36 კარტით, მაშინ ალბათობა იქნება მითითებული 1:36. როგორც ჩანს, არაფერია გამოსაკვლევი და პროგნოზირება, განსაკუთრებით მათემატიკური ფორმულების დახმარებით. მიუხედავად ამისა, თუ ბევრჯერ გაიმეორებთ გარკვეულ მოქმედებას, მაშინ შეგიძლიათ განსაზღვროთ გარკვეული ნიმუში და, მის საფუძველზე, იწინასწარმეტყველოთ მოვლენების შედეგი სხვა პირობებში.

ყოველივე ზემოთქმულის შეჯამებისთვის, ალბათობის თეორია კლასიკური გაგებით სწავლობს ერთ-ერთი შესაძლო მოვლენის დადგომის შესაძლებლობას რიცხვითი გაგებით.

ისტორიის ფურცლებიდან

ალბათობის თეორია, ფორმულები და პირველი ამოცანების მაგალითები გაჩნდა შორეულ შუა საუკუნეებში, როდესაც პირველად გაჩნდა კარტის თამაშების შედეგის პროგნოზირების მცდელობები.

თავდაპირველად, ალბათობის თეორიას საერთო არაფერი ჰქონდა მათემატიკასთან. ის გამართლებული იყო ემპირიული ფაქტებით ან მოვლენის თვისებებით, რომელთა რეპროდუცირებაც შესაძლებელი იყო პრაქტიკაში. პირველი სამუშაოები ამ სფეროში, როგორც მათემატიკური დისციპლინა, მე-17 საუკუნეში გამოჩნდა. დამფუძნებლები იყვნენ ბლეზ პასკალი და პიერ ფერმა. დიდი ხნის განმავლობაში ისინი სწავლობდნენ აზარტულ თამაშებს და ნახეს გარკვეული ნიმუშები, რის შესახებაც გადაწყვიტეს ეთქვათ საზოგადოებას.

იგივე ტექნიკა გამოიგონა კრისტიან ჰაიგენსმა, თუმცა არ იცნობდა პასკალისა და ფერმას კვლევის შედეგებს. „ალბათობის თეორიის“ ცნება, ფორმულები და მაგალითები, რომლებიც პირველად ითვლება დისციპლინის ისტორიაში, სწორედ მის მიერ შემოვიდა.

არცთუ მცირე მნიშვნელობა აქვს იაკობ ბერნულის შრომებს, ლაპლასის და პუასონის თეორემებს. მათ ალბათობის თეორია მათემატიკურ დისციპლინას დაემსგავსა. ალბათობის თეორიამ, ფორმულებმა და ძირითადი ამოცანების მაგალითებმა დღევანდელი ფორმა მიიღო კოლმოგოროვის აქსიომების წყალობით. ყველა ცვლილების შედეგად, ალბათობის თეორია ერთ-ერთ მათემატიკურ დარგად იქცა.

ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებები. Ივენთი

ამ დისციპლინის მთავარი კონცეფციაა „მოვლენა“. ღონისძიებები სამი ტიპისაა:

• სანდო.რაც მაინც მოხდება (მონეტა დაეცემა).
• შეუძლებელია.მოვლენები, რომლებიც არ მოხდება არცერთ სცენარში (მონეტა ჰაერში დაკიდებული დარჩება).
• შემთხვევითი.ისინი, რომლებიც მოხდება ან არ მოხდება. მათზე შეიძლება გავლენა იქონიოს სხვადასხვა ფაქტორმა, რომელთა პროგნოზირება ძალიან რთულია. თუ ვსაუბრობთ მონეტაზე, მაშინ შემთხვევითი ფაქტორები, რომლებმაც შეიძლება გავლენა მოახდინონ შედეგზე: მონეტის ფიზიკური მახასიათებლები, მისი ფორმა, საწყისი პოზიცია, სროლის ძალა და ა.შ.

მაგალითებში ყველა მოვლენა აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით, გარდა R-ისა, რომელსაც განსხვავებული როლი აქვს. Მაგალითად:

• A = "სტუდენტები მოვიდნენ ლექციაზე."
• Ā = "სტუდენტები არ მოვიდნენ ლექციაზე".

პრაქტიკულ ამოცანებში მოვლენები ჩვეულებრივ სიტყვებით იწერება.

მოვლენების ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მახასიათებელია მათი თანაბარი შესაძლებლობა. ანუ, თუ მონეტას გადააგდებთ, თავდაპირველი დაცემის ყველა ვარიანტი შესაძლებელია მის დაცემამდე. მაგრამ მოვლენები ასევე არ არის თანაბრად სავარაუდო. ეს ხდება მაშინ, როდესაც ვინმე განზრახ ახდენს გავლენას შედეგზე. მაგალითად, „მონიშნული“ სათამაშო კარტები ან კამათელი, რომლებშიც გადატანილია სიმძიმის ცენტრი.

მოვლენები ასევე თავსებადი და შეუთავსებელია. თავსებადი მოვლენები არ გამორიცხავს ერთმანეთის გაჩენას. Მაგალითად:

• A = "სტუდენტი მოვიდა ლექციაზე."
• B = "სტუდენტი მოვიდა ლექციაზე."

ეს მოვლენები ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია და ერთი მათგანის გამოჩენა არ ახდენს გავლენას მეორის გარეგნობაზე. შეუთავსებელი მოვლენები განისაზღვრება იმით, რომ ერთის დადგომა გამორიცხავს მეორის დადგომას. თუ ერთსა და იმავე მონეტაზე ვსაუბრობთ, მაშინ „კუდების“ დაკარგვა შეუძლებელს ხდის იმავე ექსპერიმენტში „თავების“ გამოჩენას.

მოქმედებები მოვლენებზე

მოვლენების გამრავლება და დამატება შესაძლებელია, შესაბამისად, დისციპლინაში შემოტანილია ლოგიკური კავშირები „AND“ და „OR“.

თანხა განისაზღვრება იმით, რომ ან მოვლენა A, ან B, ან ორივე შეიძლება მოხდეს ერთდროულად. იმ შემთხვევაში, როდესაც ისინი შეუთავსებელია, ბოლო ვარიანტი შეუძლებელია, ან A ან B გამოვა.

მოვლენების გამრავლება შედგება A და B-ის ერთდროულად გამოჩენაში.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ მოიყვანოთ რამდენიმე მაგალითი, რათა უკეთ დაიმახსოვროთ საფუძვლები, ალბათობის თეორია და ფორმულები. პრობლემის გადაჭრის მაგალითები ქვემოთ.

სავარჯიშო 1: ფირმა აცხადებს კონტრაქტებს სამი სახის სამუშაოზე. შესაძლო მოვლენები, რომლებიც შეიძლება მოხდეს:

• A = "ფირმა მიიღებს პირველ კონტრაქტს."
• A 1 = "ფირმა არ მიიღებს პირველ კონტრაქტს."
• B = "ფირმა მიიღებს მეორე კონტრაქტს."
• B 1 = "ფირმა არ მიიღებს მეორე კონტრაქტს"
• C = "ფირმა მიიღებს მესამე კონტრაქტს."
• C 1 = "ფირმა არ მიიღებს მესამე კონტრაქტს."

შევეცადოთ გამოვხატოთ შემდეგი სიტუაციები მოვლენებზე მოქმედებების გამოყენებით:

• K = "ფირმა მიიღებს ყველა კონტრაქტს."

მათემატიკური ფორმით, განტოლება ასე გამოიყურება: K = ABC.

• M = "ფირმა არ მიიღებს არც ერთ კონტრაქტს."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

ჩვენ ვართულებთ დავალებას: H = "ფირმა მიიღებს ერთ კონტრაქტს." ვინაიდან უცნობია, რომელ კონტრაქტს მიიღებს ფირმა (პირველი, მეორე თუ მესამე), აუცილებელია ჩაწეროთ შესაძლო მოვლენების მთელი დიაპაზონი:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

და 1 BC 1 არის მოვლენების სერია, სადაც ფირმა არ იღებს პირველ და მესამე კონტრაქტს, მაგრამ იღებს მეორეს. სხვა შესაძლო მოვლენები ასევე აღირიცხება შესაბამისი მეთოდით. სიმბოლო υ დისციპლინაში აღნიშნავს "OR"-ის წყებას. თუ ზემოხსენებულ მაგალითს ადამიანურ ენაზე გადავთარგმნით, მაშინ კომპანია მიიღებს ან მესამე კონტრაქტს, ან მეორეს, ან პირველს. ანალოგიურად, შეგიძლიათ დაწეროთ სხვა პირობები დისციპლინაში "ალბათობის თეორია". ზემოთ წარმოდგენილი პრობლემების გადაჭრის ფორმულები და მაგალითები დაგეხმარებათ ამის გაკეთებაში.

სინამდვილეში, ალბათობა

შესაძლოა, ამ მათემატიკური დისციპლინაში მოვლენის ალბათობა ცენტრალური ცნებაა. არსებობს ალბათობის 3 განმარტება:

• კლასიკური;
• სტატისტიკური;
• გეომეტრიული.

თითოეულს თავისი ადგილი აქვს ალბათობების შესწავლაში. ალბათობის თეორია, ფორმულები და მაგალითები (მე-9 კლასი) ძირითადად იყენებს კლასიკურ განმარტებას, რომელიც ასე ჟღერს:

• A სიტუაციის ალბათობა უდრის იმ შედეგების რაოდენობის თანაფარდობას, რომლებიც ხელს უწყობენ მის დადგომას ყველა შესაძლო შედეგის რაოდენობასთან.

ფორმულა ასე გამოიყურება: P (A) \u003d m / n.

და, ფაქტობრივად, მოვლენა. თუ A-ს საპირისპირო ადგილი აქვს, ის შეიძლება დაიწეროს როგორც Ā ან A 1 .

m არის შესაძლო ხელსაყრელი შემთხვევების რაოდენობა.

n - ყველა მოვლენა, რაც შეიძლება მოხდეს.

მაგალითად, A \u003d "ამოიღეთ გულის სარჩელის ბარათი". სტანდარტულ გემბანში არის 36 კარტი, მათგან 9 არის გულის. შესაბამისად, პრობლემის გადაჭრის ფორმულა ასე გამოიყურება:

P(A)=9/36=0.25.

შედეგად, ალბათობა იმისა, რომ გულზე მორგებული კარტი დაიტანოს გემბანიდან იქნება 0,25.

უმაღლესი მათემატიკისკენ

ახლა ცოტა ცნობილი გახდა, რა არის ალბათობის თეორია, ფორმულები და ამოცანების ამოხსნის მაგალითები, რომლებიც გვხვდება სკოლის სასწავლო გეგმაში. თუმცა ალბათობის თეორია უმაღლეს მათემატიკაშიც გვხვდება, რომელსაც უნივერსიტეტებში ასწავლიან. ყველაზე ხშირად ისინი მოქმედებენ თეორიის გეომეტრიული და სტატისტიკური განმარტებებით და რთული ფორმულებით.

ძალიან საინტერესოა ალბათობის თეორია. ფორმულები და მაგალითები (უმაღლესი მათემატიკა) ჯობია სწავლა პატარადან დავიწყოთ - ალბათობის სტატისტიკური (ან სიხშირის) განსაზღვრებიდან.

სტატისტიკური მიდგომა არ ეწინააღმდეგება კლასიკურ მიდგომას, მაგრამ ოდნავ აფართოებს მას. თუ პირველ შემთხვევაში საჭირო იყო იმის დადგენა, თუ რა ხარისხის ალბათობით მოხდებოდა მოვლენა, მაშინ ამ მეთოდით აუცილებელია მიუთითოთ რამდენად ხშირად მოხდება ეს. აქ შემოტანილია „ფარდობითი სიხშირის“ ახალი კონცეფცია, რომელიც შეიძლება აღვნიშნოთ W n-ით (A). ფორმულა არ განსხვავდება კლასიკურისგან:

თუ კლასიკური ფორმულა გამოითვლება პროგნოზირებისთვის, მაშინ სტატისტიკური გამოითვლება ექსპერიმენტის შედეგების მიხედვით. მიიღეთ, მაგალითად, პატარა დავალება.

ტექნოლოგიური კონტროლის დეპარტამენტი ამოწმებს პროდუქციის ხარისხს. 100 პროდუქტს შორის 3 უხარისხო აღმოჩნდა. როგორ მოვძებნოთ ხარისხიანი პროდუქტის სიხშირის ალბათობა?

A = "ხარისხიანი პროდუქტის გამოჩენა."

W n (A)=97/100=0.97

ამრიგად, ხარისხიანი პროდუქტის სიხშირე არის 0,97. საიდან მოიტანე 97? შემოწმებული 100 პროდუქტიდან 3 უხარისხო აღმოჩნდა. 100-ს ვაკლებთ 3-ს, ვიღებთ 97-ს, ეს არის ხარისხიანი პროდუქტის რაოდენობა.

ცოტა კომბინატორიკის შესახებ

ალბათობის თეორიის სხვა მეთოდს კომბინატორიკა ეწოდება. მისი ძირითადი პრინციპია, რომ თუ გარკვეული არჩევანი A შეიძლება გაკეთდეს m სხვადასხვა გზით, და არჩევანი B n სხვადასხვა გზით, მაშინ A და B არჩევანი შეიძლება გაკეთდეს გამრავლებით.

მაგალითად, არის 5 გზა A ქალაქიდან B ქალაქამდე. B ქალაქიდან C-მდე 4 მარშრუტია. რამდენი გზა არსებობს A ქალაქიდან C ქალაქამდე მისასვლელად?

ეს მარტივია: 5x4 = 20, ანუ, არსებობს ოცი განსხვავებული გზა A წერტილიდან C წერტილამდე მისასვლელად.

დავალება გავართულოთ. რამდენი გზა არსებობს ბანქოს სათამაშოდ სოლიტერში? 36 კარტის დასტაში ეს არის საწყისი წერტილი. გზების რაოდენობის გასარკვევად, თქვენ უნდა "გამოაკლოთ" ერთი ბარათი საწყისი წერტილიდან და გაამრავლოთ.

ანუ, 36x35x34x33x32…x2x1= შედეგი არ ჯდება კალკულატორის ეკრანზე, ამიტომ ის შეიძლება უბრალოდ აღინიშნოს როგორც 36!. Ნიშანი "!" რიცხვის გვერდით მიუთითებს, რომ რიცხვების მთელი სერია ერთმანეთში მრავლდება.

კომბინატორიკაში არსებობს ისეთი ცნებები, როგორიცაა პერმუტაცია, განლაგება და კომბინაცია. თითოეულ მათგანს აქვს საკუთარი ფორმულა.

კომპლექტის ელემენტების მოწესრიგებულ კომპლექტს ეწოდება განლაგება. განთავსება შეიძლება განმეორდეს, რაც ნიშნავს, რომ ერთი ელემენტი შეიძლება გამოყენებულ იქნას რამდენჯერმე. და გამეორების გარეშე, როდესაც ელემენტები არ მეორდება. n არის ყველა ელემენტი, m არის ელემენტები, რომლებიც მონაწილეობენ განლაგებაში. განმეორების გარეშე განთავსების ფორმულა ასე გამოიყურება:

A n m =n!/(n-m)!

n ელემენტის კავშირებს, რომლებიც განსხვავდებიან მხოლოდ განლაგების თანმიმდევრობით, ეწოდება პერმუტაციები. მათემატიკაში ეს ასე გამოიყურება: P n = n!

n ელემენტის ერთობლიობა m-ით არის ისეთი ნაერთები, რომლებშიც მნიშვნელოვანია, რომელი ელემენტები იყვნენ და რამდენია მათი საერთო რაოდენობა. ფორმულა ასე გამოიყურება:

A n m =n!/m!(n-m)!

ბერნულის ფორმულა

ალბათობის თეორიაში, ისევე როგორც ყველა დისციპლინაში, არის თავიანთი დარგის გამოჩენილი მკვლევარების ნაშრომები, რომლებმაც ის ახალ დონეზე აიწიეს. ერთ-ერთი ასეთი ნამუშევარია ბერნულის ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ გარკვეული მოვლენის დამოუკიდებელ პირობებში დადგომის ალბათობა. ეს გვაფიქრებინებს, რომ A-ს გამოჩენა ექსპერიმენტში არ არის დამოკიდებული წინა ან შემდგომ ტესტებში ერთი და იგივე მოვლენის გამოჩენაზე ან არ მომხდარზე.

ბერნულის განტოლება:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

მოვლენის (A) დადგომის ალბათობა (p) უცვლელია ყოველი საცდელისთვის. ალბათობა იმისა, რომ სიტუაცია მოხდება ზუსტად m-ჯერ n რაოდენობის ექსპერიმენტში გამოითვლება ზემოთ წარმოდგენილი ფორმულით. შესაბამისად, ჩნდება კითხვა, თუ როგორ უნდა გაირკვეს რიცხვი q.

თუ მოვლენა A ხდება p რამდენჯერმე, შესაბამისად, ის შეიძლება არ მოხდეს. ერთეული არის რიცხვი, რომელიც გამოიყენება დისციპლინის სიტუაციის ყველა შედეგის დასადგენად. აქედან გამომდინარე, q არის რიცხვი, რომელიც მიუთითებს მოვლენის არ მომხდარის შესაძლებლობაზე.

ახლა თქვენ იცით ბერნულის ფორმულა (ალბათობის თეორია). ქვემოთ განხილული იქნება პრობლემის გადაჭრის მაგალითები (პირველი დონე).

დავალება 2:მაღაზიის სტუმარი შესყიდვას განახორციელებს 0,2 ალბათობით. მაღაზიაში დამოუკიდებლად 6 ვიზიტორი შემოვიდა. რა არის ალბათობა იმისა, რომ ვიზიტორი განახორციელებს შეძენას?

გამოსავალი: ვინაიდან არ არის ცნობილი რამდენმა ვიზიტორმა უნდა გააკეთოს შესყიდვა, ერთი ან ექვსივე, აუცილებელია ყველა შესაძლო ალბათობის გამოთვლა ბერნულის ფორმულის გამოყენებით.

A = "ვიზიტორი გააკეთებს შეძენას."

ამ შემთხვევაში: p = 0.2 (როგორც მითითებულია ამოცანაში). შესაბამისად, q=1-0.2 = 0.8.

n = 6 (რადგან მაღაზიაში 6 მომხმარებელია). რიცხვი m შეიცვლება 0-დან (არც ერთი მომხმარებელი არ შეიძენს) 6-მდე (მაღაზიის ყველა სტუმარი შეიძენს რაღაცას). შედეგად, ჩვენ ვიღებთ გამოსავალს:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0.8) 6 \u003d 0.2621.

არცერთი მყიდველი არ გააკეთებს შესყიდვას 0,2621 ალბათობით.

სხვაგვარად როგორ გამოიყენება ბერნულის ფორმულა (ალბათობის თეორია)? პრობლემის გადაჭრის მაგალითები (მეორე დონე) ქვემოთ.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითის შემდეგ ჩნდება კითხვები იმის შესახებ, თუ სად წავიდნენ C და p. p-ის მიმართ, რიცხვი 0-ის ხარისხზე იქნება ერთის ტოლი. რაც შეეხება C-ს, ის შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით:

C n m = n! /მ!(ნ-მ)!

ვინაიდან პირველ მაგალითში m = 0, შესაბამისად, C=1, რაც პრინციპში გავლენას არ ახდენს შედეგზე. ახალი ფორმულის გამოყენებით, შევეცადოთ გავარკვიოთ, რა არის ორი ვიზიტორის მიერ საქონლის შეძენის ალბათობა.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

ალბათობის თეორია არც ისე რთულია. ამის პირდაპირი დასტურია ბერნულის ფორმულა, რომლის მაგალითებიც ზემოთ არის წარმოდგენილი.

პუასონის ფორმულა

პუასონის განტოლება გამოიყენება საეჭვო შემთხვევითი სიტუაციების გამოსათვლელად.

ძირითადი ფორმულა:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

ამ შემთხვევაში, λ = n x p. აი ასეთი მარტივი პუასონის ფორმულა (ალბათობის თეორია). ქვემოთ განხილული იქნება პრობლემის გადაჭრის მაგალითები.

დავალება 3პასუხი: ქარხანა აწარმოებდა 100000 ნაწილს. დეფექტური ნაწილის გამოჩენა = 0.0001. რა არის იმის ალბათობა, რომ პარტიაში იქნება 5 დეფექტური ნაწილი?

როგორც ხედავთ, ქორწინება ნაკლებად სავარაუდო მოვლენაა და ამიტომ გამოსათვლელად გამოიყენება პუასონის ფორმულა (ალბათობის თეორია). ამ ტიპის პრობლემების გადაჭრის მაგალითები არაფრით განსხვავდება დისციპლინის სხვა ამოცანებისაგან, ჩვენ ვანაცვლებთ საჭირო მონაცემებს ზემოთ მოცემულ ფორმულაში:

A = "შემთხვევით შერჩეული ნაწილი იქნება დეფექტური."

p = 0,0001 (დავალების პირობის მიხედვით).

n = 100000 (ნაწილების რაოდენობა).

მ = 5 (დეფექტური ნაწილები). ჩვენ ვცვლით მონაცემებს ფორმულაში და ვიღებთ:

R 100000 (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0.0375.

ისევე, როგორც ბერნულის ფორმულა (ალბათობის თეორია), ამონახსნების მაგალითები, რომელთა გამოყენებით ზემოთ არის დაწერილი, პუასონის განტოლებას აქვს უცნობი ე. არსებითად, ის შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n.

თუმცა, არსებობს სპეციალური ცხრილები, რომლებიც შეიცავს ე.-ის თითქმის ყველა მნიშვნელობას.

დე მოივრე-ლაპლასის თეორემა

თუ ბერნულის სქემაში ცდების რაოდენობა საკმარისად დიდია და A მოვლენის დადგომის ალბათობა ყველა სქემაში ერთნაირია, მაშინ A მოვლენის დადგომის ალბათობა ცდების სერიაში გარკვეული რაოდენობის ჯერ შეიძლება მოიძებნოს ლაპლასის ფორმულა:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

ლაპლასის ფორმულის უკეთ დასამახსოვრებლად (ალბათობის თეორია), ქვემოთ მოცემული ამოცანების მაგალითები.

ჯერ ვპოულობთ X m-ს, ვანაცვლებთ მონაცემებს (ყველა ზემოთ მითითებულია) ფორმულაში და ვიღებთ 0.025. ცხრილების გამოყენებით ვპოულობთ რიცხვს ϕ (0.025), რომლის ღირებულებაა 0.3988. ახლა თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ ყველა მონაცემი ფორმულაში:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

ასე რომ, ალბათობა იმისა, რომ ფლაერი ზუსტად 267-ჯერ მოხვდება არის 0,03.

ბეიზის ფორმულა

ბეიზის ფორმულა (ალბათობის თეორია), ამოცანების ამოხსნის მაგალითები, რომელთა გამოყენებით ქვემოთ იქნება მოცემული, არის განტოლება, რომელიც აღწერს მოვლენის ალბათობას იმ გარემოებების მიხედვით, რომლებიც შეიძლება დაკავშირებული იყოს მასთან. ძირითადი ფორმულა ასეთია:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A და B არის გარკვეული მოვლენები.

P(A|B) - პირობითი ალბათობა, ანუ მოვლენა A შეიძლება მოხდეს, იმ პირობით, რომ მოვლენა B არის ჭეშმარიტი.

Р (В|А) - მოვლენის პირობითი ალბათობა В.

ასე რომ, მოკლე კურსის "ალბათობის თეორიის" დასკვნითი ნაწილი არის ბეისის ფორმულა, რომლის ამოხსნის მაგალითები მოცემულია ქვემოთ.

დავალება 5: საწყობში სამი კომპანიის ტელეფონები შემოიტანეს. ამავდროულად, ტელეფონების ნაწილი, რომელიც პირველ ქარხანაში იწარმოება 25%-ია, მეორეში - 60%, მესამეზე - 15%. ასევე ცნობილია, რომ პირველ ქარხანაში დეფექტური პროდუქციის საშუალო პროცენტი 2%-ია, მეორეში - 4%, ხოლო მესამეში - 1%. აუცილებელია იპოვოთ ალბათობა, რომ შემთხვევით შერჩეული ტელეფონი იყოს დეფექტური.

A = "შემთხვევით აღებული ტელეფონი."

B 1 - ტელეფონი, რომელიც პირველმა ქარხანამ გააკეთა. შესაბამისად, გამოჩნდება შესავალი B 2 და B 3 (მეორე და მესამე ქარხნებისთვის).

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0.25; P (B 2) \u003d 0.6; P (B 3) \u003d 0.15 - ასე ვიპოვეთ თითოეული ვარიანტის ალბათობა.

ახლა თქვენ უნდა იპოვოთ სასურველი მოვლენის პირობითი ალბათობა, ანუ ფირმებში დეფექტური პროდუქტების ალბათობა:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0.02;

P (A / B 2) \u003d 0.04;

P (A / B 3) \u003d 0.01.

ახლა ჩვენ ვანაცვლებთ მონაცემებს ბეიზის ფორმულაში და ვიღებთ:

P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

სტატიაში წარმოდგენილია ალბათობის თეორია, ფორმულები და პრობლემის გადაჭრის მაგალითები, მაგრამ ეს მხოლოდ აისბერგის წვერია უზარმაზარი დისციპლინისა. და ყოველივე ამის შემდეგ, რაც დაიწერა, ლოგიკური იქნება დავსვათ კითხვა, საჭიროა თუ არა ცხოვრებაში ალბათობის თეორია. უბრალო ადამიანს უჭირს პასუხის გაცემა, ჯობია ჰკითხო მას, ვინც მისი დახმარებით არაერთხელ მოხვდა ჯეკპოტი.

ალბათობის თეორია არის მათემატიკური მეცნიერება, რომელიც საშუალებას იძლევა, ზოგიერთი შემთხვევითი მოვლენის ალბათობით, იპოვოთ სხვა შემთხვევითი მოვლენების ალბათობა, რომლებიც დაკავშირებულია პირველთან.

განცხადება, რომლითაც ხდება მოვლენა ალბათობატოლი, მაგალითად, ½, ჯერ კიდევ არ წარმოადგენს თავისთავად საბოლოო მნიშვნელობას, რადგან ჩვენ ვისწრაფვით საიმედო ცოდნისკენ. საბოლოო შემეცნებითი მნიშვნელობა არის ალბათობის თეორიის ის შედეგები, რომლებიც საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ, რომ A მოვლენის დადგომის ალბათობა ძალიან ახლოს არის ერთიანობასთან ან (რაც იგივეა) A მოვლენის არ მომხდარის ალბათობა ძალიან მცირეა. . „საკმაოდ მცირე ალბათობების უგულებელყოფის“ პრინციპის შესაბამისად, ასეთი მოვლენა სამართლიანად ითვლება პრაქტიკულად გარკვეულად. ქვემოთ (საზღვრების თეორემების განყოფილებაში) ნაჩვენებია, რომ ამ ტიპის დასკვნები, რომლებიც მეცნიერულ და პრაქტიკულ ინტერესს წარმოადგენს, ჩვეულებრივ ეფუძნება ვარაუდს, რომ A მოვლენის დადგომა ან არ დადგომა დამოკიდებულია შემთხვევითი ფაქტორების დიდ რაოდენობაზე, რომლებიც მცირეა. ერთმანეთთან დაკავშირებული. აქედან გამომდინარე, ჩვენ ასევე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ალბათობის თეორია არის მათემატიკური მეცნიერება, რომელიც ხსნის შაბლონებს, რომლებიც წარმოიქმნება შემთხვევითი ფაქტორების დიდი რაოდენობით ურთიერთქმედებისას.

ალბათობის თეორიის საგანი.

გარკვეული პირობების S-სა და A მოვლენას შორის რეგულარული კავშირის აღსაწერად, რომლის დადგომა ან არ მომხდარი მოცემულ პირობებში შესაძლებელია ზუსტად დადგინდეს, საბუნებისმეტყველო მეცნიერება ჩვეულებრივ იყენებს შემდეგი ორი სქემიდან ერთ-ერთს:

ა) S პირობების ყოველი განხორციელებისას ხდება მოვლენა A. მაგალითად, კლასიკური მექანიკის ყველა კანონს აქვს ეს ფორმა, რომელიც ამბობს, რომ მოცემულ საწყის პირობებში და სხეულზე ან სხეულთა სისტემაზე მოქმედი ძალებით მოძრაობა მოხდება. ცალსახად განსაზღვრული გზით.

ბ) S პირობებში A მოვლენას აქვს გარკვეული ალბათობა P (A/S) ტოლი p. მაგალითად, რადიოაქტიური გამოსხივების კანონებში ნათქვამია, რომ თითოეული რადიოაქტიური ნივთიერებისთვის არის გარკვეული ალბათობა იმისა, რომ N ატომების გარკვეული რაოდენობა დაიშლება ნივთიერების მოცემული რაოდენობით დროის მოცემულ პერიოდში.

მოდით დავარქვათ A მოვლენის სიხშირე n ტესტის მოცემულ სერიაში (ანუ S პირობების განმეორებითი განხორციელების n) თანაფარდობა h = m/n იმ ცდების რიცხვისა, რომლებშიც A მოხდა მათ საერთო რიცხვთან n. . ის ფაქტი, რომ A მოვლენას S პირობებში აქვს p-ის ტოლი გარკვეული ალბათობა, გამოიხატება იმაში, რომ ცდების თითქმის ყოველ საკმარისად ხანგრძლივ სერიაში A მოვლენის სიხშირე დაახლოებით უდრის p-ს.

სტატისტიკური კანონზომიერებები, ანუ (ბ) ტიპის სქემით აღწერილი კანონზომიერებები პირველად აღმოაჩინეს აზარტული თამაშების მაგალითზე, როგორიცაა კამათელი. დაბადებისა და გარდაცვალების სტატისტიკური კანონზომიერებებიც ძალიან დიდი ხანია ცნობილია (მაგალითად, ახალშობილის ვაჟად ყოფნის ალბათობა 0,515-ია). მე-19 საუკუნის ბოლოს და მე-20 საუკუნის I ნახევარი. აღინიშნება დიდი რაოდენობით სტატისტიკური კანონზომიერების აღმოჩენით ფიზიკაში, ქიმიაში, ბიოლოგიაში და ა.შ.

ალბათობის თეორიის მეთოდების გამოყენების შესაძლებლობა მეცნიერების ძალიან შორეულ სფეროებთან დაკავშირებული სტატისტიკური კანონზომიერებების შესასწავლად, ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ მოვლენების ალბათობა ყოველთვის აკმაყოფილებს რამდენიმე მარტივ ურთიერთობას, რომელიც ქვემოთ იქნება განხილული (იხილეთ ნაწილი ალბათობის ძირითადი ცნებები თეორია). ამ მარტივი მიმართებების საფუძველზე მოვლენათა ალბათობის თვისებების შესწავლა ალბათობის თეორიის საგანია.

ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებები.

ალბათობის თეორიის, როგორც მათემატიკური დისციპლინის ძირითადი ცნებები ყველაზე მარტივად არის განსაზღვრული ეგრეთ წოდებული ალბათობის ელემენტარული თეორიის ფარგლებში. ყოველი ცდა T, განხილული ალბათობის ელემენტარულ თეორიაში, ისეთია, რომ მთავრდება ერთი და მხოლოდ ერთი მოვლენით E1, E2, ..., ES (ერთი ან მეორე, შემთხვევის მიხედვით). ამ მოვლენებს საცდელი შედეგები ეწოდება. თითოეული შედეგი Ek ასოცირდება დადებით რიცხვთან pk - ამ შედეგის ალბათობა. pk რიცხვები უნდა დაემატოს ერთს. შემდეგ განიხილება მოვლენები A, რომლებიც შედგება იმაში, რომ "ან Ei, ან Ej, ..., ან Ek ხდება". შედეგებს Ei, Ej,..., Ek ეწოდება ხელსაყრელი A, და განსაზღვრებით, ალბათობა P (A) მოვლენის ტოლია ხელსაყრელი შედეგების ალბათობათა ჯამის:

P(A) = pi + ps + … + pk. (ერთი)

სპეციალური შემთხვევა p1 = p2 =... ps = 1/S მივყავართ ფორმულამდე

P(A) = r/s. (2)

ფორმულა (2) გამოხატავს ალბათობის ეგრეთ წოდებულ კლასიკურ განმარტებას, რომლის მიხედვითაც, ნებისმიერი მოვლენის ალბათობა უდრის R რიცხვის თანაფარდობას, რომელიც ხელს უწყობს A-ს ყველა "თანაბრად შესაძლო" შედეგის s რიცხვს. ალბათობის კლასიკური განმარტება მხოლოდ ამცირებს "ალბათობის" ცნებას "თანასწორობის" ცნებამდე, რომელიც რჩება მკაფიო განმარტების გარეშე.

მაგალითი. ორი კამათლის სროლისას, 36 შესაძლო შედეგიდან თითოეული შეიძლება დაინიშნოს (i, j), სადაც i არის ქულების რაოდენობა, რომელიც მოდის პირველ კამათელზე, j - მეორეზე. მიჩნეულია, რომ შედეგები თანაბრად სავარაუდოა. მოვლენა A - "ქულების ჯამი არის 4", ხელს უწყობს სამი შედეგით (1; 3), (2; 2), (3; 1). ამიტომ, P(A) = 3/36 = 1/12.

მოვლენების ნებისმიერი მონაცემის საფუძველზე შეიძლება განისაზღვროს ორი ახალი მოვლენა: მათი გაერთიანება (ჯამობა) და კომბინაცია (პროდუქტი). B მოვლენას ეწოდება A 1, A 2,..., Ar,- მოვლენათა გაერთიანება, თუ მას აქვს ფორმა: "ან A1, ან A2,..., ან Ar ხდება".

C მოვლენას ეწოდება A1, A.2,..., Ar მოვლენების ერთობლიობა, თუ მას აქვს ფორმა: "A1, A2,..., და Ar ხდება". მოვლენათა ერთობლიობა აღინიშნება È ნიშნით, ხოლო კომბინაცია - Ç ნიშნით. ამრიგად, ისინი წერენ:

B = A1 È A2 È … È Ar, C = A1 Ç A2 Ç … Ç Ar.

A და B მოვლენებს უწოდებენ შეუთავსებელს, თუ მათი ერთდროული განხორციელება შეუძლებელია, ანუ თუ არ არის ტესტის ერთი ხელსაყრელი შედეგი როგორც A, ასევე B-სთვის.

ვ.ტ.-ის ორი ძირითადი თეორემა, ალბათობათა შეკრებისა და გამრავლების თეორემები, დაკავშირებულია მოვლენების შერწყმისა და ზედმეტად დანერგვის ოპერაციებთან.

ალბათობათა შეკრების თეორემა. თუ მოვლენები A1, A2,..., Ar ისეთია, რომ ყოველი ორი შეუთავსებელია, მაშინ მათი გაერთიანების ალბათობა უდრის მათი ალბათობების ჯამს.

ასე რომ, ზემოთ მოცემულ მაგალითში ორი კამათლის სროლით, მოვლენა B - "ქულების ჯამი არ აღემატება 4-ს", არის სამი შეუთავსებელი მოვლენის გაერთიანება A2, A3, A4, რომლებიც შედგება იმაში, რომ ქულების ჯამი არის 2. , შესაბამისად 3, 4. ამ მოვლენების ალბათობა 1/36; 2/36; 3/36. მიმატების თეორემით, ალბათობა P(B) უდრის

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

B მოვლენის პირობითი ალბათობა A პირობით განისაზღვრება ფორმულით

რაც, როგორც ჩანს, სრულ შესაბამისობაშია სიხშირეების თვისებებთან. მოვლენებს A1, A2,..., Ar ეწოდება დამოუკიდებელ, თუ თითოეული მათგანის პირობითი ალბათობა, იმ პირობით, რომ რომელიმე სხვა მოხდა, უდრის მის "უპირობო" ალბათობას.

ალბათობის გამრავლების თეორემა. A1, A2,..., Ar მოვლენების გაერთიანების ალბათობა უდრის A1 მოვლენის ალბათობას, გამრავლებული A2 მოვლენის ალბათობაზე, აღებული იმ პირობით, რომ მოხდა A1,..., გამრავლებული მოვლენის ალბათობა Ar, იმ პირობით, რომ ჩამოვიდა A1, A2,... ., Ar-1. დამოუკიდებელი მოვლენებისთვის, გამრავლების თეორემა მივყავართ ფორმულამდე:

P (A1 Ç A2 Ç … Ç Ar) = P (A1) Ї P (A2) Ї … Ї P (Ar), (3)

ანუ დამოუკიდებელი მოვლენების გაერთიანების ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლს. ფორმულა (3) ძალაში რჩება, თუ მისი ორივე ნაწილის ზოგიერთი მოვლენა ჩანაცვლდება საპირისპიროებით.

მაგალითი. ისვრის 4 გასროლას მიზანში დარტყმის ალბათობით 0,2 ერთ გასროლაზე. სამიზნე დარტყმები სხვადასხვა გასროლისთვის ითვლება დამოუკიდებელ მოვლენად. რა არის სამიზნის ზუსტად სამჯერ დარტყმის ალბათობა?

თითოეული ტესტის შედეგი შეიძლება მიეთითოს ოთხი ასოს თანმიმდევრობით [მაგ., (y, n, n, y) ნიშნავს, რომ პირველი და მეოთხე დარტყმები მოხვდა (წარმატება), ხოლო მეორე და მესამე დარტყმა არ (ჩავარდა)]. საერთო ჯამში იქნება 2Ї2Ї2Ї2 = 16 შედეგი. ცალკეული დარტყმების შედეგების დამოუკიდებლობის ვარაუდის შესაბამისად, ამ შედეგების ალბათობის დასადგენად გამოყენებული უნდა იყოს ფორმულა (3) და მასზე შენიშვნა. ასე რომ, შედეგის ალბათობა (y, n. n, n) უნდა დაინიშნოს 0.2 0.8 0.8 0.8 = 0.1024; აქ 0.8 \u003d 1-0.2 - გაშვების ალბათობა ერთი გასროლით. მოვლენა „სამიზნე სამჯერ მოხვდა“ ხელს უწყობს შედეგებს (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y), თითოეულის ალბათობა იგივეა:

0.2Ї0.2Ї0.2Ї0.8 \u003d ...... \u003d 0.8 0.2 0.2 0.2 \u003d 0.0064;

ამიტომ სასურველი ალბათობა უდრის

4Ї0.0064 = 0.0256.

გაანალიზებული მაგალითის მსჯელობის განზოგადებით შეგვიძლია გამოვიტანოთ ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი ძირითადი ფორმულა: თუ მოვლენები A1, A2,..., An დამოუკიდებელია და თითოეულს აქვს p ალბათობა, მაშინ მათგან ზუსტად m-ის დადგომის ალბათობაა. უდრის

Pn (m) = Cnmpm (1 - p) n-m; (4)

აქ Cnm აღნიშნავს n ელემენტის კომბინაციების რაოდენობას m-ით. დიდი n-ისთვის, გამოთვლები (4) ფორმულით რთული ხდება. დაე, წინა მაგალითში დარტყმების რაოდენობა იყოს 100, და საკითხავია ვიპოვოთ x ალბათობა, რომ დარტყმების რაოდენობა 8-დან 32-მდე დიაპაზონშია. ფორმულის (4) და მიმატების თეორემის გამოყენება იძლევა ზუსტ, მაგრამ პრაქტიკულად. სასურველი ალბათობისთვის შეუფერებელი გამოხატულება

x ალბათობის სავარაუდო მნიშვნელობა შეიძლება მოიძებნოს ლაპლასის თეორემის გამოყენებით

და შეცდომა არ აღემატება 0.0009-ს. ნაპოვნი შედეგი აჩვენებს, რომ მოვლენა 8 £ მ 32 ფუნტი თითქმის გარკვეულია. ეს არის ალბათობის თეორიის ზღვრული თეორემების გამოყენების უმარტივესი, მაგრამ ტიპიური მაგალითი.

ალბათობის თეორიის ელემენტარული ფორმულები ასევე მოიცავს ეგრეთ წოდებულ ალბათობის საერთო ფორმულას: თუ მოვლენები A1, A2,..., Ar წყვილში შეუთავსებელია და მათი გაერთიანება არის გარკვეული მოვლენა, მაშინ B ნებისმიერი მოვლენისთვის მისი ალბათობა ტოლია. ჯამამდე

ალბათობების გამრავლების თეორემა განსაკუთრებით სასარგებლოა რთული ტესტების განხილვისას. ცდა T შედგენილია ცდებისგან T1, T2,..., Tn-1, Tn, თუ T ტესტის თითოეული შედეგი არის შესაბამისი Ai, Bj,..., Xk, Yl ზოგიერთი შედეგის კომბინაცია. ცდები T1, T2,... , Tn-1, Tn. ამა თუ იმ მიზეზით, ალბათობა ხშირად ცნობილია

მნიშვნელოვანი შენიშვნები!
1. თუ ფორმულების ნაცვლად ხედავთ აბრაკადაბრას, გაასუფთავეთ ქეში. როგორ გავაკეთოთ ეს თქვენს ბრაუზერში წერია აქ:
2. სანამ სტატიის კითხვას დაიწყებთ, ყურადღება მიაქციეთ ჩვენს ნავიგატორს ყველაზე სასარგებლო რესურსისთვის

რა არის ალბათობა?

ამ ტერმინის წინაშე პირველად ვერ გავიგე რა არის. ამიტომ ვეცდები გასაგებად ავხსნა.

ალბათობა არის იმის შანსი, რომ მოხდეს სასურველი მოვლენა.

მაგალითად, თქვენ გადაწყვიტეთ ეწვიოთ მეგობარს, გაიხსენოთ შესასვლელი და თუნდაც იატაკი, რომელზეც ის ცხოვრობს. მაგრამ დამავიწყდა ბინის ნომერი და მდებარეობა. ახლა კი კიბეზე დგახართ და თქვენს წინ არის კარები, რომელთაგან უნდა აირჩიოთ.

რა არის შანსი (ალბათობა), რომ კარზე პირველ ზარს რომ დარეკავთ, მეგობარი გაგიღებს? მთელი ბინა და მეგობარი ცხოვრობს მხოლოდ ერთი მათგანის უკან. თანაბარი შანსებით შეგვიძლია ნებისმიერი კარი ავირჩიოთ.

მაგრამ რა არის ეს შანსი?

კარები, მარჯვენა კარი. პირველი კარის დარეკვით გამოცნობის ალბათობა: . ანუ სამიდან ერთჯერ გამოიცნობ აუცილებლად.

ერთხელ დარეკვით გვინდა ვიცოდეთ, რამდენად ხშირად გამოვიცნობთ კარს? მოდით შევხედოთ ყველა ვარიანტს:

1. შენ დაურეკე 1-ლიკარი
2. შენ დაურეკე მე-2კარი
3. შენ დაურეკე მე-3კარი

ახლა კი განიხილეთ ყველა ვარიანტი, სადაც მეგობარი შეიძლება იყოს:

ა. უკან 1-ლიკარი
ბ. უკან მე-2კარი
in. უკან მე-3კარი

შევადაროთ ყველა ვარიანტი ცხრილის სახით. ტიკი მიუთითებს ვარიანტებზე, როდესაც თქვენი არჩევანი ემთხვევა მეგობრის მდებარეობას, ჯვარი - როდესაც ის არ ემთხვევა.

როგორ ხედავ ყველაფერს შესაძლოა პარამეტრებიმეგობრის მდებარეობა და თქვენი არჩევანი, რომელ კარზე დარეკოთ.

მაგრამ ყველა ხელსაყრელი შედეგი . ანუ დროებს გამოიცნობთ კარზე ერთხელ დარეკვით, ე.ი. .

ეს არის ალბათობა - ხელსაყრელი შედეგის თანაფარდობა (როდესაც თქვენი არჩევანი დაემთხვა მეგობრის მდებარეობას) შესაძლო მოვლენების რაოდენობასთან.

განმარტება არის ფორმულა. ალბათობა ჩვეულებრივ აღინიშნება p, ასე რომ:

ასეთი ფორმულის დაწერა არც თუ ისე მოსახერხებელია, ამიტომ ჩვენ ავიღებთ - ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობას, ხოლო - შედეგების საერთო რაოდენობას.

ალბათობა შეიძლება დაიწეროს პროცენტულად, ამისათვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ მიღებული შედეგი:

ალბათ, სიტყვა „შედეგებმა“ მიიპყრო შენი თვალი. ვინაიდან მათემატიკოსები სხვადასხვა ქმედებებს (ჩვენთვის ასეთი ქმედება კარზე ზარია) ექსპერიმენტებს უწოდებენ, ჩვეულებისამებრ, ასეთი ექსპერიმენტების შედეგს შედეგს ვუწოდებთ.

ისე, შედეგები არის ხელსაყრელი და არასახარბიელო.

დავუბრუნდეთ ჩვენს მაგალითს. დავუშვათ, ერთ-ერთ კარზე დავრეკეთ, მაგრამ უცნობმა გაგვიღო. ჩვენ არ ვხვდებოდით. რა არის იმის ალბათობა, რომ თუ ერთ-ერთ დარჩენილ კარს დავურეკავთ, მას ჩვენი მეგობარი გაგვაღებს?

თუ ასე ფიქრობდი, მაშინ ეს შეცდომაა. მოდით გავარკვიოთ.

ორი კარი გვაქვს დარჩენილი. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს შესაძლო ნაბიჯები:

1) დარეკეთ 1-ლიკარი
2) დარეკეთ მე-2კარი

მეგობარი, ამ ყველაფერთან ერთად, ნამდვილად დგას ერთ-ერთი მათგანის უკან (ბოლოს და ბოლოს, ის არ ჩამორჩა იმას, ვინც ჩვენ დავურეკეთ):

ა) მეგობარი 1-ლიკარი
ბ) მეგობარი ამისთვის მე-2კარი

ისევ დავხატოთ ცხრილი:

როგორც ხედავთ, არის ყველა ვარიანტი, რომელთაგან - ხელსაყრელი. ანუ ალბათობა ტოლია.

Რატომაც არა?

ჩვენ განვიხილეთ სიტუაცია დამოკიდებული მოვლენების მაგალითი.პირველი ღონისძიება არის კარზე პირველი ზარი, მეორე ღონისძიება არის მეორე კარზე.

და მათ უწოდებენ დამოკიდებულებს, რადგან ისინი გავლენას ახდენენ შემდეგ მოქმედებებზე. ბოლოს და ბოლოს, თუ მეგობარმა კარი პირველი ზარის შემდეგ გააღო, რა იქნება იმის ალბათობა, რომ ის ამ ორიდან ერთ-ერთის უკან იმყოფებოდა? სწორად,.

მაგრამ თუ არის დამოკიდებული მოვლენები, მაშინ უნდა იყოს დამოუკიდებელი? მართალია, არსებობენ.

სახელმძღვანელოს მაგალითია მონეტის სროლა.

1. ჩვენ ვესროლეთ მონეტას. რა არის იმის ალბათობა, რომ მაგალითად თავები ამოვიდეს? ეს ასეა - რადგან ყველაფრის ვარიანტები (თავი თუ კუდი, ჩვენ უგულებელყოფთ მონეტის ზღვარზე დგომის ალბათობას), მაგრამ მხოლოდ ჩვენ ჯდება.
2. მაგრამ კუდები ამოვარდა. კარგი, მოდი ისევ გავაკეთოთ. რა არის ახლა თავების აწევის ალბათობა? არაფერი შეცვლილა, ყველაფერი იგივეა. რამდენი ვარიანტია? ორი. რამდენად ვართ კმაყოფილი? ერთი.

და კუდები ზედიზედ ათასჯერ მაინც ამოვარდეს. თავების ერთდროულად დაცემის ალბათობა იგივე იქნება. ყოველთვის არის ვარიანტები, მაგრამ ხელსაყრელი.

დამოკიდებული მოვლენების დამოუკიდებელი მოვლენებისგან გარჩევა მარტივია:

1. თუ ექსპერიმენტი ჩატარდება ერთხელ (მონეტის გადაყრის შემდეგ, კარზე ზარი ერთხელ და ა.შ.), მაშინ მოვლენები ყოველთვის დამოუკიდებელია.
2. თუ ექსპერიმენტი რამდენჯერმე ჩატარდება (მონეტა ერთხელ ისროლება, კარზე ზარი რამდენჯერმე რეკავს), მაშინ პირველი მოვლენა ყოველთვის დამოუკიდებელია. და შემდეგ, თუ იცვლება ხელსაყრელების რაოდენობა ან ყველა შედეგის რაოდენობა, მაშინ მოვლენები დამოკიდებულია და თუ არა, ისინი დამოუკიდებელია.

ცოტა ვივარჯიშოთ ალბათობის დასადგენად.

მაგალითი 1

მონეტა ორჯერ არის გადაყრილი. რა არის ზედიზედ ორჯერ თავების აწევის ალბათობა?

გადაწყვეტილება:

განიხილეთ ყველა შესაძლო ვარიანტი:

1. არწივი არწივი
2. კუდები არწივი
3. კუდები-არწივი
4. კუდები-კუდები

როგორც ხედავთ, ყველა ვარიანტი. ამათგან მხოლოდ ჩვენ ვართ კმაყოფილი. ეს არის ალბათობა:

თუ პირობა ითხოვს უბრალოდ ალბათობის პოვნას, მაშინ პასუხი უნდა იყოს მოცემული ათწილადის სახით. თუ მიეთითებოდა, რომ პასუხი პროცენტულად უნდა მიცემულიყო, მაშინ გავამრავლებდით.

პასუხი:

მაგალითი 2

შოკოლადის კოლოფში ყველა კანფეტი შეფუთულია ერთსადაიმავე შეფუთვაში. თუმცა, ტკბილეულიდან - თხილით, კონიაკით, ალუბლით, კარამელით და ნუგათი.

რა არის ალბათობა იმისა, რომ აიღოთ ერთი კანფეტი და მიიღოთ კანფეტი თხილით. მიეცით თქვენი პასუხი პროცენტულად.

გადაწყვეტილება:

რამდენი შესაძლო შედეგი არსებობს? .

ანუ ერთი კანფეტის აღება, ყუთში ერთ-ერთი იქნება.

და რამდენი ხელსაყრელი შედეგი?

რადგან ყუთში მხოლოდ შოკოლადებია თხილით.

პასუხი:

მაგალითი 3

ბურთების ყუთში. რომელთაგან თეთრი და შავია.

1. რა არის თეთრი ბურთის დახატვის ალბათობა?
2. ჩვენ დავამატეთ მეტი შავი ბურთულები ყუთში. რა არის ახლა თეთრი ბურთის დახატვის ალბათობა?

გადაწყვეტილება:

ა) ყუთში მხოლოდ ბურთებია. რომელთაგან თეთრია.

ალბათობა არის:

ბ) ახლა ყუთში არის ბურთები. და ამდენივე თეთრი დარჩა.

პასუხი:

სრული ალბათობა

ყველა შესაძლო მოვლენის ალბათობა არის ().

მაგალითად, წითელი და მწვანე ბურთების ყუთში. რამდენია წითელი ბურთის დახატვის ალბათობა? მწვანე ბურთი? წითელი თუ მწვანე ბურთი?

წითელი ბურთის დახატვის ალბათობა

მწვანე ბურთი:

წითელი ან მწვანე ბურთი:

როგორც ხედავთ, ყველა შესაძლო მოვლენის ჯამი უდრის (). ამ პუნქტის გაგება დაგეხმარებათ მრავალი პრობლემის გადაჭრაში.

მაგალითი 4

ყუთში არის ფლომასტერები: მწვანე, წითელი, ლურჯი, ყვითელი, შავი.

რა არის იმის ალბათობა, რომ დახატოს არა წითელი მარკერი?

გადაწყვეტილება:

დავთვალოთ რიცხვი ხელსაყრელი შედეგები.

არ არის წითელი მარკერი, ეს ნიშნავს მწვანე, ლურჯი, ყვითელი ან შავი.

ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა არ მოხდება, არის მინუს ალბათობა იმისა, რომ ეს მოხდება.

დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობის გამრავლების წესი

თქვენ უკვე იცით, რა არის დამოუკიდებელი მოვლენები.

და თუ გჭირდებათ იმის პოვნა, რომ ორი (ან მეტი) დამოუკიდებელი მოვლენა ზედიზედ მოხდება?

ვთქვათ, გვინდა ვიცოდეთ, რა არის იმის ალბათობა, რომ მონეტის ერთხელ გადაგდებით ორჯერ დავინახოთ არწივი?

ჩვენ უკვე განვიხილეთ - .

რა მოხდება, თუ მონეტას გადავაგდებთ? რამდენია არწივის ზედიზედ ორჯერ ნახვის ალბათობა?

სულ შესაძლო ვარიანტები:

1. არწივი-არწივი
2. არწივის თავი-კუდები
3. თავი-კუდები-არწივი
4. თავ-კუდები-კუდები
5. კუდები-არწივი
6. კუდები-თავ-კუდები
7. კუდები-კუდები-თავები
8. კუდები-კუდები-კუდები

მე არ ვიცი თქვენი, მაგრამ ერთხელ ეს სია არასწორად შევადგინე. Ვაუ! და ერთადერთი ვარიანტი (პირველი) გვიწყობს.

5 რულონისთვის შეგიძლიათ თავად გააკეთოთ შესაძლო შედეგების სია. მაგრამ მათემატიკოსები შენსავით შრომისმოყვარეები არ არიან.

ამიტომ, მათ ჯერ შენიშნეს, შემდეგ კი დაადასტურეს, რომ დამოუკიდებელი მოვლენების გარკვეული თანმიმდევრობის ალბათობა ყოველ ჯერზე მცირდება ერთი მოვლენის ალბათობით.

Სხვა სიტყვებით,

განვიხილოთ იგივე, უბედური მონეტის მაგალითი.

ტრიალში თავების გამოჩენის ალბათობა? . ახლა ჩვენ ვყრით მონეტას.

რა არის ზედიზედ კუდების მიღების ალბათობა?

ეს წესი არ მუშაობს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ გვთხოვენ ვიპოვოთ ალბათობა იმისა, რომ ერთი და იგივე მოვლენა ზედიზედ რამდენჯერმე მოხდეს.

თუ გვინდოდა კუდები-EAGLE-TAILS თანმიმდევრობის პოვნა ზედიზედ გადაბრუნებებზე, ჩვენც ასე მოვიქცევით.

კუდების მიღების ალბათობა - , თავები - .

თანმიმდევრობის მიღების ალბათობა Tails-EAGLE-TAILS-TAILS:

შეგიძლიათ თავად შეამოწმოთ ცხრილის გაკეთებით.

შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობების დამატების წესი.

ასე რომ გაჩერდი! ახალი განმარტება.

მოდით გავარკვიოთ. ავიღოთ ჩვენი გაცვეთილი მონეტა და ერთხელ გადავატრიალოთ.
შესაძლო ვარიანტები:

1. არწივი-არწივი
2. არწივის თავი-კუდები
3. თავი-კუდები-არწივი
4. თავ-კუდები-კუდები
5. კუდები-არწივი
6. კუდები-თავ-კუდები
7. კუდები-კუდები-თავები
8. კუდები-კუდები-კუდები

ასე რომ, აქ არის შეუთავსებელი მოვლენები, ეს არის მოვლენების გარკვეული, მოცემული თანმიმდევრობა. შეუთავსებელი მოვლენებია.

თუ ჩვენ გვინდა განვსაზღვროთ რა არის ორი (ან მეტი) შეუთავსებელი მოვლენის ალბათობა, მაშინ ვამატებთ ამ მოვლენების ალბათობას.

თქვენ უნდა გესმოდეთ, რომ არწივის ან კუდების დაკარგვა ორი დამოუკიდებელი მოვლენაა.

თუ გვინდა განვსაზღვროთ რა არის ალბათობა, რომ მიმდევრობა ამოვარდეს) (ან სხვა), მაშინ ვიყენებთ ალბათობების გამრავლების წესს.
რა არის ალბათობა, რომ თავები მოხვდეს პირველ დარტყმაზე და კუდები მეორეზე და მესამეზე?

მაგრამ თუ გვინდა ვიცოდეთ, რა არის ალბათობა იმისა, რომ მივიღოთ რამდენიმე მიმდევრობიდან ერთ-ერთი, მაგალითად, როდესაც თავები ამოდის ზუსტად ერთხელ, ე.ი. ოფციები და შემდეგ ჩვენ უნდა დავამატოთ ამ თანმიმდევრობის ალბათობა.

სულ ვარიანტები გვერგება.

ჩვენ შეგვიძლია იგივე მივიღოთ თითოეული მიმდევრობის გაჩენის ალბათობების შეკრებით:

ამრიგად, ჩვენ ვამატებთ ალბათობას, როდესაც გვინდა განვსაზღვროთ მოვლენათა ზოგიერთი, შეუთავსებელი, თანმიმდევრობის ალბათობა.

არსებობს შესანიშნავი წესი, რომელიც დაგეხმარებათ არ დაიბნეთ როდის გაამრავლოთ და როდის დაამატოთ:

მოდით დავუბრუნდეთ მაგალითს, როდესაც მონეტა ჯერ გადავაგდეთ და გვინდა გავიგოთ თავების ერთხელ ნახვის ალბათობა.
Რა მოხდება?

უნდა ჩამოაგდეს:
(heads AND tails AND tails) OR (კუდები AND heads AND tails) OR (კუდები AND კუდები და თავები).
და ასე გამოდის:

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 5

ყუთში არის ფანქრები. წითელი, მწვანე, ნარინჯისფერი და ყვითელი და შავი. რამდენია წითელი ან მწვანე ფანქრების დახატვის ალბათობა?

გადაწყვეტილება:

მაგალითი 6

კვარცხლბეკი ორჯერ ისვრის, რა არის ალბათობა რომ სულ 8 გამოვიდეს?

გადაწყვეტილება.

როგორ მივიღოთ ქულები?

(და) ან (და) ან (და) ან (და) ან (და).

ერთი (ნებისმიერი) სახიდან ამოვარდნის ალბათობა არის .

ჩვენ ვიანგარიშებთ ალბათობას:

Ვარჯიში.

ვფიქრობ, ახლა თქვენთვის გასაგები გახდა, როდის გჭირდებათ ალბათობების დათვლა, როდის შეკრება და როდის გამრავლება. Ეს არ არის? მოდით ვივარჯიშოთ.

Დავალებები:

ავიღოთ კარტების დასტა, რომელშიც კარტები არის ყვავი, გული, 13 ჯოხი და 13 ტამბური. თითოეული კოსტუმის ტუზიდან.

1. რა არის ზედიზედ კლუბების დახატვის ალბათობა (პირველი ამოღებული კარტი ისევ გემბანში ჩავსვით და ავურიოთ)?
2. რა არის შავი ბარათის (ყვავი ან ჯოხების) დახატვის ალბათობა?
3. რა არის სურათის დახატვის ალბათობა (ჯეკი, დედოფალი, მეფე ან ტუზი)?
4. რა არის ზედიზედ ორი სურათის დახატვის ალბათობა (გემბანიდან ამოღებულ პირველ ბარათს ვაშორებთ)?
5. რა არის იმის ალბათობა, რომ აიღოთ ორი კარტი, შეაგროვოთ კომბინაცია - (ჯეკი, დედოფალი ან მეფე) და ტუზი. თანმიმდევრობას, რომლითაც კარტები გათამაშდება, მნიშვნელობა არ აქვს.

პასუხები:

თუ თქვენ შეძლეთ ყველა პრობლემის გადაჭრა თავად, მაშინ შესანიშნავი მეგობარი ხართ! ახლა გამოცდაზე ალბათობის თეორიის დავალებებს თხილის მსგავსად დააწკაპუნებთ!

ალბათობის თეორია. შუა დონე

განვიხილოთ მაგალითი. ვთქვათ, ჩვენ ვისროლეთ სასიკვდილო. ეს როგორი ძვალია, იცი? ეს არის კუბის სახელი, რომელზეც ნომრებია სახეებზე. რამდენი სახე, ამდენი რიცხვი: რამდენამდე? ადრე.

ასე რომ, ჩვენ ვაგორებთ კვერს და გვინდა, რომ გამოვიდეს ან. და გამოვვარდებით.

ალბათობის თეორიაში ამბობენ რაც მოხდა ხელსაყრელი მოვლენა(კარგში არ უნდა აგვერიოს).

თუ ის დაეცა, ღონისძიებაც სასიხარულო იქნებოდა. საერთო ჯამში, მხოლოდ ორი ხელსაყრელი მოვლენა შეიძლება მოხდეს.

რამდენი ცუდია? ვინაიდან ყველა შესაძლო მოვლენა, მათგან არახელსაყრელი მოვლენაა (ეს თუ ამოვარდება ან).

განმარტება:

ალბათობა არის ხელსაყრელი მოვლენების რაოდენობის თანაფარდობა ყველა შესაძლო მოვლენის რაოდენობასთან.. ანუ, ალბათობა გვიჩვენებს, თუ რა პროპორციაა ყველა შესაძლო მოვლენის ხელსაყრელი.

ისინი აღნიშნავენ ალბათობას ლათინური ასოებით (როგორც ჩანს, ინგლისური სიტყვიდან ალბათობა - ალბათობა).

მიღებულია ალბათობის გაზომვა პროცენტულად (იხილეთ თემა,). ამისათვის ალბათობის მნიშვნელობა უნდა გამრავლდეს. კამათლის მაგალითში, ალბათობა.

და პროცენტულად: .

მაგალითები (გადაწყვიტეთ თავად):

1. რა არის იმის ალბათობა, რომ მონეტის გადაგდება თავებზე დაჯდეს? და რა არის კუდების ალბათობა?
2. რა არის იმის ალბათობა, რომ ლუწი რიცხვი გამოვა კამათლის სროლისას? და რა - უცნაური?
3. უბრალო, ლურჯი და წითელი ფანქრების უჯრაში. შემთხვევით ვხატავთ ერთ ფანქარს. რა არის უბრალოების ამოღების ალბათობა?

გადაწყვეტილებები:

1. რამდენი ვარიანტია? თავები და კუდები - მხოლოდ ორი. და რამდენი მათგანია ხელსაყრელი? მხოლოდ ერთია არწივი. ასე რომ, ალბათობა

   იგივე კუდები: .

2. სულ ვარიანტები: (რამდენი გვერდი აქვს კუბს, ამდენი განსხვავებული ვარიანტი). ხელსაყრელი: (ეს ყველაფერი ლუწი რიცხვებია :).
   ალბათობა. უცნაურად, რა თქმა უნდა, იგივე.
3. სულ: . ხელსაყრელი:. ალბათობა:.

სრული ალბათობა

უჯრაში ყველა ფანქარი მწვანეა. რამდენია წითელი ფანქრის დახატვის ალბათობა? შანსები არ არის: ალბათობა (ბოლოს და ბოლოს, ხელსაყრელი მოვლენები -).

ასეთ მოვლენას შეუძლებელს უწოდებენ.

რა არის მწვანე ფანქრის დახატვის ალბათობა? არის ზუსტად იმდენი ხელსაყრელი მოვლენა, რამდენიც არის მთლიანი მოვლენა (ყველა მოვლენა ხელსაყრელია). ასე რომ, ალბათობა არის ან.

ასეთ მოვლენას გარკვეული ეწოდება.

თუ ყუთში არის მწვანე და წითელი ფანქრები, რა არის ალბათობა, რომ დავხატოთ მწვანე ან წითელი? Კიდევ ერთხელ. ყურადღება მიაქციეთ შემდეგს: მწვანე ფერის დახატვის ალბათობა ტოლია, წითელი კი არის .

საერთო ჯამში, ეს ალბათობები ზუსტად ტოლია. ე.ი. ყველა შესაძლო მოვლენის ალბათობის ჯამი უდრის ან.

მაგალითი:

ფანქრების ყუთში მათ შორის არის ლურჯი, წითელი, მწვანე, მარტივი, ყვითელი, დანარჩენი კი ნარინჯისფერი. რა არის იმის ალბათობა, რომ მწვანე არ დახატო?

გადაწყვეტილება:

გახსოვდეთ, რომ ყველა ალბათობა გროვდება. და მწვანე დახატვის ალბათობა ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ მწვანე არ დახატვის ალბათობა ტოლია.

დაიმახსოვრეთ ეს ხრიკი:ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა არ მოხდება, არის მინუს ალბათობა იმისა, რომ ეს მოხდება.

დამოუკიდებელი მოვლენები და გამრავლების წესი

თქვენ ატრიალებთ მონეტას ორჯერ და გინდათ, რომ ის ორივეჯერ ამოვიდეს თავში. რა არის ამის ალბათობა?

მოდით გავიაროთ ყველა შესაძლო ვარიანტი და განვსაზღვროთ რამდენია:

არწივი-არწივი, კუდები-არწივი, არწივი-კუდები, კუდები-კუდები. Სხვა რა?

მთელი ვარიანტი. ამათგან მხოლოდ ერთი გვიწყობს: არწივი-არწივი. ასე რომ, ალბათობა ტოლია.

კარგი. ახლა მოდით გადავაბრუნოთ მონეტა. დათვალეთ თავი. მოხდა? (პასუხი).

თქვენ შეიძლება შეამჩნიეთ, რომ ყოველი შემდეგი სროლის დამატებით, ალბათობა მცირდება ფაქტორით. ზოგადი წესი ე.წ გამრავლების წესი:

იცვლება დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობა.

რა არის დამოუკიდებელი მოვლენები? ყველაფერი ლოგიკურია: ეს ისეთებია, რომლებიც ერთმანეთზე არ არიან დამოკიდებული. მაგალითად, როცა მონეტას რამდენჯერმე ვაგდებთ, ყოველ ჯერზე ხდება ახალი ჩაგდება, რომლის შედეგი არ არის დამოკიდებული ყველა წინა სროლაზე. ერთი და იგივე წარმატებით, ჩვენ შეგვიძლია ერთდროულად გადავაგდოთ ორი განსხვავებული მონეტა.

მეტი მაგალითები:

1. კვარცხლბეკი ორჯერ ისვრის. რა არის იმის ალბათობა, რომ ორივეჯერ გამოვა?
2. მონეტა იყრება ჯერ. რა არის ალბათობა იმისა, რომ ჯერ თავები და მერე კუდები ორჯერ მოხვდეთ?
3. მოთამაშე აგორებს ორ კამათელს. რა არის ალბათობა იმისა, რომ მათზე მოცემული რიცხვების ჯამი ტოლი იქნება?

პასუხები:

1. მოვლენები დამოუკიდებელია, რაც ნიშნავს, რომ გამრავლების წესი მუშაობს: .
2. არწივის ალბათობა ტოლია. კუდების ალბათობაც. ვამრავლებთ:
3. 12-ის მიღება შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ორი -კი ამოვარდება: .

შეუთავსებელი მოვლენები და დამატების წესი

შეუთავსებელი მოვლენები არის მოვლენები, რომლებიც ავსებენ ერთმანეთს სრული ალბათობით. როგორც სახელი გულისხმობს, ისინი არ შეიძლება მოხდეს ერთდროულად. მაგალითად, თუ ჩვენ ვესროლეთ მონეტას, შეიძლება ამოვარდეს ან თავები ან კუდები.

მაგალითი.

ფანქრების ყუთში მათ შორის არის ლურჯი, წითელი, მწვანე, მარტივი, ყვითელი, დანარჩენი კი ნარინჯისფერი. რა არის მწვანე ან წითელი დახატვის ალბათობა?

გადაწყვეტილება .

მწვანე ფანქრის დახატვის ალბათობა ტოლია. წითელი -.

ყველასთვის ხელსაყრელი მოვლენები: მწვანე + წითელი. ასე რომ, მწვანე ან წითელი დახატვის ალბათობა ტოლია.

იგივე ალბათობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი სახით: .

ეს არის დამატების წესი:შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობა ემატება.

შერეული დავალებები

მაგალითი.

მონეტა ორჯერ არის გადაყრილი. რა არის იმის ალბათობა, რომ რულონების შედეგი განსხვავებული იყოს?

გადაწყვეტილება .

ეს ნიშნავს, რომ თუ თავები პირველი ამოდის, კუდები მეორე უნდა იყოს და პირიქით. გამოდის, რომ აქ არის ორი წყვილი დამოუკიდებელი მოვლენა და ეს წყვილი ერთმანეთთან შეუთავსებელია. როგორ არ დავბნედეთ სად გავამრავლოთ და სად დავამატოთ.

ასეთი სიტუაციებისთვის მარტივი წესი არსებობს. შეეცადეთ აღწეროთ რა უნდა მოხდეს მოვლენების გაერთიანებებთან „AND“ ან „OR“-თან დაკავშირებით. მაგალითად, ამ შემთხვევაში:

უნდა გააფართოვოს (თავები და კუდები) ან (კუდები და თავები).

სადაც არის კავშირი "და", იქნება გამრავლება და სადაც "ან" არის შეკრება:

თავად სცადე:

1. რა არის იმის ალბათობა, რომ მონეტის ორი გადაგდება ორივე ჯერ ერთი და იგივე მხარეა?
2. კვარცხლბეკი ორჯერ ისვრის. რა არის იმის ალბათობა, რომ ჯამმა ქულები ჩამოაგდოს?

გადაწყვეტილებები:

Სხვა მაგალითი:

ჩვენ ერთხელ ვყრით მონეტას. რა არის ალბათობა იმისა, რომ თავები ერთხელ მაინც ამოვიდეს?

გადაწყვეტილება:

ალბათობის თეორია. მოკლედ მთავარის შესახებ

ალბათობა არის ხელსაყრელი მოვლენების რაოდენობის თანაფარდობა ყველა შესაძლო მოვლენის რაოდენობასთან.

დამოუკიდებელი მოვლენები

ორი მოვლენა დამოუკიდებელია, თუ ერთის დადგომა არ ცვლის მეორის დადგომის ალბათობას.

სრული ალბათობა

ყველა შესაძლო მოვლენის ალბათობა არის ().

ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა არ მოხდება, არის მინუს ალბათობა იმისა, რომ ეს მოხდება.

დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობის გამრავლების წესი

დამოუკიდებელი მოვლენების გარკვეული თანმიმდევრობის ალბათობა უდრის თითოეული მოვლენის ალბათობის ნამრავლს

შეუთავსებელი მოვლენები

შეუთავსებელი მოვლენები არის ის მოვლენები, რომლებიც არ შეიძლება მოხდეს ერთდროულად ექსპერიმენტის შედეგად. რიგი შეუთავსებელი მოვლენები ქმნიან მოვლენების სრულ ჯგუფს.

შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობა ემატება.

მას შემდეგ რაც აღვწერეთ რა უნდა მოხდეს, გაერთიანებების "AND" ან "OR" გამოყენებით, "AND"-ის ნაცვლად ჩვენ ვაყენებთ გამრავლების ნიშანს, ხოლო "OR" -ის ნაცვლად - დამატება.

ხო, თემა დასრულდა. თუ ამ სტრიქონებს კითხულობ, მაშინ ძალიან მაგარი ხარ.

იმიტომ რომ ადამიანების მხოლოდ 5%-ს შეუძლია რაღაცის დაუფლება დამოუკიდებლად. და თუ ბოლომდე წაიკითხე, მაშინ 5%-ში ხარ!

ახლა ყველაზე მთავარი.

თქვენ გაარკვიეთ თეორია ამ თემაზე. და, ვიმეორებ, ეს ... უბრალოდ სუპერა! თქვენ უკვე უკეთესი ხართ, ვიდრე თქვენი თანატოლების უმრავლესობა.

პრობლემა ის არის, რომ ეს შეიძლება არ იყოს საკმარისი ...

Რისთვის?

გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის, ბიუჯეტში ინსტიტუტში ჩასაბარებლად და, რაც მთავარია, უვადოდ.

არაფერში არ დაგარწმუნებთ, მხოლოდ ერთს გეტყვით...

ადამიანები, რომლებმაც მიიღეს კარგი განათლება, ბევრად მეტს გამოიმუშავებენ, ვიდრე მათ, ვინც არ მიუღია. ეს არის სტატისტიკა.

მაგრამ ეს არ არის მთავარი.

მთავარია, რომ ისინი უფრო ბედნიერები არიან (არის ასეთი კვლევები). ალბათ იმიტომ, რომ ბევრად მეტი შესაძლებლობა იხსნება მათ წინაშე და ცხოვრება უფრო ნათელი ხდება? არ ვიცი...

მაგრამ შენ თვითონ იფიქრე...

რა არის საჭირო იმისთვის, რომ გამოცდაზე სხვებზე უკეთესი იყო და საბოლოოდ ... ბედნიერი?

შეავსეთ ხელი, გადაჭრით პრობლემებს ამ თემაზე.

გამოცდაზე თეორიას არ მოგთხოვენ.

დაგჭირდებათ დროულად მოაგვარეთ პრობლემები.

და, თუ თქვენ არ მოაგვარეთ ისინი (ბევრი!), აუცილებლად დაუშვებთ სადღაც სულელურ შეცდომას ან უბრალოდ დროულად არ დაუშვებთ.

ეს სპორტშია - თქვენ უნდა გაიმეოროთ ბევრჯერ, რომ აუცილებლად გაიმარჯვოთ.

იპოვეთ კოლექცია სადაც გინდათ აუცილებლად გადაწყვეტილებებით, დეტალური ანალიზითდა გადაწყვიტე, გადაწყვიტე, გადაწყვიტე!

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი ამოცანები (აუცილებლად არ არის) და ჩვენ აუცილებლად გირჩევთ მათ.

იმისათვის, რომ ხელი მოკიდოთ ჩვენს ამოცანებს, თქვენ უნდა დაეხმაროთ YouClever სახელმძღვანელოს სიცოცხლის გახანგრძლივებას, რომელსაც ამჟამად კითხულობთ.

Როგორ? არის ორი ვარიანტი:

1. განბლოკეთ წვდომა ამ სტატიაში ყველა ფარულ ამოცანაზე -
2. განბლოკეთ წვდომა ყველა ფარულ დავალებაზე სახელმძღვანელოს 99-ვე სტატიაში - შეიძინეთ სახელმძღვანელო - 499 რუბლი

დიახ, ჩვენ გვაქვს 99 ასეთი სტატია სახელმძღვანელოში და წვდომა ყველა დავალებაზე და მათში ყველა ფარულ ტექსტზე შეიძლება დაუყოვნებლივ გაიხსნას.

ყველა ფარულ ამოცანაზე წვდომა უზრუნველყოფილია საიტის მთელი სიცოცხლის განმავლობაში.

Საბოლოოდ...

თუ არ მოგწონთ ჩვენი ამოცანები, იპოვეთ სხვები. უბრალოდ არ გაჩერდე თეორიით.

"გასაგებია" და "მე ვიცი როგორ გადაჭრა" სრულიად განსხვავებული უნარებია. ორივე გჭირდება.

იპოვე პრობლემები და მოაგვარე!

ალბათობის თეორია არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც შეისწავლის შემთხვევითი ფენომენების ნიმუშებს: შემთხვევით მოვლენებს, შემთხვევით ცვლადებს, მათ თვისებებს და მათზე მოქმედებებს.

დიდი ხნის განმავლობაში, ალბათობის თეორიას არ ჰქონდა მკაფიო განმარტება. იგი ჩამოყალიბდა მხოლოდ 1929 წელს. ალბათობის თეორიის, როგორც მეცნიერების გაჩენას მიეკუთვნება შუა საუკუნეები და აზარტული თამაშების მათემატიკური ანალიზის პირველი მცდელობები (toss, dice, roulette). მე-17 საუკუნის ფრანგმა მათემატიკოსებმა ბლეზ პასკალმა და პიერ დე ფერმამ აღმოაჩინეს პირველი ალბათური ნიმუშები, რომლებიც წარმოიქმნება კამათლის სროლისას აზარტულ თამაშებში მოგების პროგნოზის შესწავლისას.

ალბათობის თეორია წარმოიშვა როგორც მეცნიერება იმ რწმენიდან, რომ გარკვეული კანონზომიერებები უდევს მასიური შემთხვევითი მოვლენების საფუძველს. ალბათობის თეორია სწავლობს ამ შაბლონებს.

ალბათობის თეორია ეხება მოვლენების შესწავლას, რომელთა წარმოშობა ზუსტად არ არის ცნობილი. ის საშუალებას გაძლევთ განსაჯოთ ზოგიერთი მოვლენის მოვლენის ალბათობის ხარისხი სხვებთან შედარებით.

მაგალითად: შეუძლებელია მონეტის თავების ან კუდების სროლის შედეგის ცალსახად დადგენა, მაგრამ განმეორებითი სროლისას დაახლოებით იგივე რაოდენობის თავები და კუდები ამოვარდება, რაც ნიშნავს, რომ თავების ან კუდების დაცემის ალბათობა ტოლია. 50%-მდე.

ტესტიამ შემთხვევაში, გარკვეული პირობების განხორციელებას ეწოდება, ანუ ამ შემთხვევაში მონეტის სროლა. გამოწვევის თამაში შეიძლება შეუზღუდავი რაოდენობის ჯერ. ამ შემთხვევაში პირობების კომპლექსი მოიცავს შემთხვევით ფაქტორებს.

ტესტის შედეგი არის ღონისძიება. მოვლენა ხდება:

1. სანდო (ყოველთვის ხდება ტესტირების შედეგად).
2. შეუძლებელია (არასდროს ხდება).
3. შემთხვევითი (შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს ტესტის შედეგად).

მაგალითად, მონეტის სროლისას შეუძლებელი მოვლენა – მონეტა კიდეზე აღმოჩნდება, შემთხვევითი მოვლენა – „თავების“ ან „კუდების“ დაკარგვა. კონკრეტული ტესტის შედეგი ე.წ ელემენტარული მოვლენა. ტესტის შედეგად ხდება მხოლოდ ელემენტარული მოვლენები. ყველა შესაძლო, განსხვავებული, კონკრეტული ტესტის შედეგის მთლიანობა ეწოდება ღონისძიების ელემენტარული სივრცე.

თეორიის ძირითადი ცნებები

ალბათობა- მოვლენის დადგომის შესაძლებლობის ხარისხი. როდესაც რაიმე შესაძლო მოვლენის რეალურად წარმოშობის მიზეზები აღემატება საპირისპირო მიზეზებს, მაშინ ამ მოვლენას ეწოდება სავარაუდო, წინააღმდეგ შემთხვევაში - ნაკლებად სავარაუდო ან წარმოუდგენელი.

შემთხვევითი მნიშვნელობა- ეს არის მნიშვნელობა, რომელსაც ტესტის შედეგად შეუძლია მიიღოს ესა თუ ის მნიშვნელობა და წინასწარ არ არის ცნობილი რომელი. მაგალითად: სახანძრო სადგურების რაოდენობა დღეში, დარტყმების რაოდენობა 10 გასროლით და ა.შ.

შემთხვევითი ცვლადები შეიძლება დაიყოს ორ კატეგორიად.

1. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადიეწოდება ისეთ რაოდენობას, რომელსაც ტესტის შედეგად შეუძლია მიიღოს გარკვეული მნიშვნელობები გარკვეული ალბათობით, ჩამოაყალიბოს თვლადი სიმრავლე (სიმრავლე, რომლის ელემენტების დანომრვა შესაძლებელია). ეს ნაკრები შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო. მაგალითად, დარტყმების რაოდენობა სამიზნეზე პირველ დარტყმამდე არის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი, რადგან ამ მნიშვნელობამ შეიძლება მიიღოს მნიშვნელობების უსასრულო, თუმცა თვლადი რაოდენობა.
2. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადიარის სიდიდე, რომელსაც შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა გარკვეული სასრული ან უსასრულო ინტერვალიდან. ცხადია, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა უსასრულოა.

ალბათობის სივრცე- კონცეფცია შემოიღო ა.ნ. კოლმოგოროვი 1930-იან წლებში ალბათობის ცნების ფორმალიზებაზე, რამაც დასაბამი მისცა ალბათობის თეორიის, როგორც მკაცრი მათემატიკური დისციპლინის სწრაფ განვითარებას.

ალბათობის სივრცე არის სამმაგი (ზოგჯერ ჩასმულია კუთხის ფრჩხილებში: , სადაც

ეს არის თვითნებური ნაკრები, რომლის ელემენტებს ეწოდება ელემენტარული მოვლენები, შედეგები ან წერტილები;
- ქვესიმრავლეების სიგმა-ალგებრა, რომელსაც ეწოდება (შემთხვევითი) მოვლენები;
- ალბათობის საზომი ან ალბათობა, ე.ი. სიგმა-დანამატის სასრული ზომა ისეთი, რომ .

დე მოივრე-ლაპლასის თეორემა- ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი შემზღუდველი თეორემა, რომელიც დაარსდა ლაპლასის მიერ 1812 წელს. იგი აცხადებს, რომ წარმატებების რაოდენობა ერთი და იგივე შემთხვევითი ექსპერიმენტის გამეორებისას ორი შესაძლო შედეგით არის დაახლოებით ნორმალურად განაწილებული. ეს საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ალბათობის სავარაუდო მნიშვნელობა.

თუ ყოველი დამოუკიდებელი ცდისთვის რაიმე შემთხვევითი მოვლენის დადგომის ალბათობა უდრის () და არის ცდების რაოდენობა, რომლებშიც ის რეალურად ხდება, მაშინ უთანასწორობის მართებულობის ალბათობა ახლოა (დიდისთვის) ლაპლასის ინტეგრალის მნიშვნელობამდე.

განაწილების ფუნქცია ალბათობის თეორიაში- შემთხვევითი ცვლადის ან შემთხვევითი ვექტორის განაწილების დამახასიათებელი ფუნქცია; ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი X მიიღებს x-ზე ნაკლები ან ტოლი მნიშვნელობას, სადაც x არის თვითნებური რეალური რიცხვი. გარკვეულ პირობებში, ის მთლიანად განსაზღვრავს შემთხვევით ცვლადს.

Მოსალოდნელი ღირებულება- შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა (ეს არის შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება, განხილული ალბათობის თეორიაში). ინგლისურ ლიტერატურაში იგი აღინიშნება, რუსულად -. სტატისტიკაში, აღნიშვნა ხშირად გამოიყენება.

მიეცით ალბათობის სივრცე და მასზე განსაზღვრული შემთხვევითი ცვლადი. ეს არის, განსაზღვრებით, გაზომვადი ფუნქცია. მაშინ, თუ არსებობს ზესივრცის Lebesgue ინტეგრალი, მაშინ მას ეწოდება მათემატიკური მოლოდინი, ან საშუალო მნიშვნელობა და აღინიშნება .

შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია- მოცემული შემთხვევითი ცვლადის გავრცელების საზომი, ანუ მისი გადახრა მათემატიკური მოლოდინიდან. მითითებულია რუსულ და უცხოურ ლიტერატურაში. სტატისტიკაში აღნიშვნა ან ხშირად გამოიყენება. დისპერსიის კვადრატულ ფესვს ეწოდება სტანდარტული გადახრა, სტანდარტული გადახრა ან სტანდარტული გავრცელება.

მოდით იყოს შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც განსაზღვრულია რაიმე ალბათობის სივრცეში. მერე

სადაც სიმბოლო აღნიშნავს მათემატიკურ მოლოდინს.

ალბათობის თეორიაში ორ შემთხვევით მოვლენას უწოდებენ დამოუკიდებელითუ ერთი მათგანის დადგომა არ ცვლის მეორის დადგომის ალბათობას. ანალოგიურად, ორი შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება დამოკიდებულითუ ერთი მათგანის ღირებულება გავლენას ახდენს მეორის მნიშვნელობების ალბათობაზე.

დიდი რიცხვების კანონის უმარტივესი ფორმაა ბერნულის თეორემა, რომელიც ამბობს, რომ თუ მოვლენის ალბათობა ყველა ცდაში ერთი და იგივეა, მაშინ როცა ცდათა რაოდენობა იზრდება, მოვლენის სიხშირე მიდრეკილია მოვლენის ალბათობაზე და წყვეტს შემთხვევითობას.

დიდი რიცხვების კანონი ალბათობის თეორიაში ამბობს, რომ ფიქსირებული განაწილებიდან სასრული ნიმუშის საშუალო არითმეტიკული მიახლოებაა ამ განაწილების თეორიულ საშუალოსთან. კონვერგენციის ტიპებიდან გამომდინარე, განასხვავებენ დიდი რიცხვების სუსტ კანონს, როდესაც ხდება ალბათობის კონვერგენცია და დიდი რიცხვების ძლიერ კანონს, როდესაც კონვერგენცია თითქმის აუცილებლად ხდება.

დიდი რიცხვების კანონის ზოგადი მნიშვნელობა იმაში მდგომარეობს, რომ დიდი რაოდენობით იდენტური და დამოუკიდებელი შემთხვევითი ფაქტორების ერთობლივი მოქმედება იწვევს შედეგს, რომელიც ლიმიტში არ არის დამოკიდებული შემთხვევითობაზე.

სასრული ნიმუშის ანალიზზე დაფუძნებული ალბათობის შეფასების მეთოდები ეფუძნება ამ თვისებას. კარგი მაგალითია არჩევნების შედეგების პროგნოზირება ამომრჩეველთა შერჩევის საფუძველზე.

ცენტრალური ლიმიტის თეორემები- თეორემების კლასი ალბათობის თეორიაში, სადაც ნათქვამია, რომ საკმარისად დიდი რაოდენობის სუსტად დამოკიდებული შემთხვევითი ცვლადების ჯამს, რომლებსაც აქვთ დაახლოებით იგივე მასშტაბი (არცერთი ტერმინი არ დომინირებს, გადამწყვეტი წვლილი არ აქვს ჯამში) აქვს განაწილება ახლოს. ნორმალური.

ვინაიდან აპლიკაციებში მრავალი შემთხვევითი ცვლადი ყალიბდება რამდენიმე სუსტად დამოკიდებული შემთხვევითი ფაქტორის გავლენის ქვეშ, მათი განაწილება ნორმალურად ითვლება. ამ შემთხვევაში უნდა იყოს დაცული პირობა, რომ არცერთი ფაქტორი არ არის დომინანტი. ცენტრალური ლიმიტის თეორემები ამ შემთხვევებში ამართლებს ნორმალური განაწილების გამოყენებას.

მოვლენები, რომლებიც ხდება რეალობაში ან ჩვენს წარმოსახვაში, შეიძლება დაიყოს 3 ჯგუფად. ეს არის გარკვეული მოვლენები, რომლებიც აუცილებლად უნდა მოხდეს, შეუძლებელი მოვლენები და შემთხვევითი მოვლენები. ალბათობის თეორია სწავლობს შემთხვევით მოვლენებს, ე.ი. მოვლენები, რომლებიც შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს. ამ სტატიაში მოკლედ იქნება წარმოდგენილი ალბათობის ფორმულების თეორია და ალბათობის თეორიაში ამოცანების ამოხსნის მაგალითები, რომლებიც იქნება მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მე-4 ამოცანაში (პროფილის დონე).

რატომ გვჭირდება ალბათობის თეორია?

ისტორიულად ამ პრობლემების შესწავლის აუცილებლობა წარმოიშვა მე-17 საუკუნეში აზარტული თამაშების განვითარებასა და პროფესიონალიზაციასთან და კაზინოების გაჩენასთან დაკავშირებით. ეს იყო რეალური ფენომენი, რომელიც საჭიროებდა მის შესწავლას და კვლევას.

ბანქოს, ​​კამათლის, რულეტის თამაშმა შექმნა სიტუაციები, სადაც შეიძლება მოხდეს ნებისმიერი სასრული რაოდენობის თანაბრად სავარაუდო მოვლენა. საჭირო იყო მოვლენის დადგომის შესაძლებლობის რიცხვითი შეფასებების მიცემა.

მე-20 საუკუნეში გაირკვა, რომ ეს ერთი შეხედვით არასერიოზული მეცნიერება მნიშვნელოვან როლს თამაშობს მიკროსამყაროში მიმდინარე ფუნდამენტური პროცესების გაგებაში. შეიქმნა ალბათობის თანამედროვე თეორია.

ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებები

ალბათობის თეორიის შესწავლის ობიექტია მოვლენები და მათი ალბათობები. თუ მოვლენა რთულია, მაშინ ის შეიძლება დაიყოს მარტივ კომპონენტებად, რომელთა ალბათობაც ადვილი საპოვნელია.

A და B მოვლენების ჯამს ეწოდება მოვლენა C, რომელიც შედგება იმაში, რომ მოვლენა A, ან მოვლენა B, ან მოვლენები A და B ერთდროულად მოხდა.

A და B მოვლენების პროდუქტი არის მოვლენა C, რომელიც შედგება იმაში, რომ მოხდა A და B მოვლენა.

A და B მოვლენები შეუთავსებელია, თუ ისინი არ შეიძლება მოხდეს ერთდროულად.

მოვლენა A შეუძლებელია, თუ ის არ შეიძლება მოხდეს. ასეთი მოვლენა აღინიშნება სიმბოლოთი.

A მოვლენას ეწოდება გარკვეული, თუ ის აუცილებლად მოხდება. ასეთი მოვლენა აღინიშნება სიმბოლოთი.

დაე, თითოეულ მოვლენას A მიენიჭოს რიცხვი P(A). ამ რიცხვს P(A) ეწოდება A მოვლენის ალბათობა, თუ შემდეგი პირობები დაკმაყოფილებულია ასეთი შესაბამისობით.

მნიშვნელოვანი კონკრეტული შემთხვევაა სიტუაცია, როდესაც არის თანაბრად სავარაუდო ელემენტარული შედეგები და ამ შედეგებიდან თვითნებურია მოვლენები A. ამ შემთხვევაში, ალბათობა შეიძლება შემოვიდეს ფორმულით. ამ გზით დანერგილ ალბათობას კლასიკური ალბათობა ეწოდება. შეიძლება დადასტურდეს, რომ თვისებები 1-4 მოქმედებს ამ შემთხვევაში.

ალბათობის თეორიის პრობლემები, რომლებიც მათემატიკაში გამოცდაზე გვხვდება, ძირითადად კლასიკურ ალბათობას უკავშირდება. ასეთი ამოცანები შეიძლება იყოს ძალიან მარტივი. განსაკუთრებით მარტივია ალბათობის თეორიის პრობლემები სადემონსტრაციო ვერსიებში. ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობის გამოთვლა ადვილია, ყველა შედეგის რაოდენობა პირდაპირ პირობაში იწერება.

პასუხს ფორმულის მიხედვით ვიღებთ.

დავალების მაგალითი მათემატიკაში გამოცდიდან ალბათობის დასადგენად

მაგიდაზე 20 ღვეზელია - 5 კომბოსტოთი, 7 ვაშლით და 8 ბრინჯით. მარინას სურს ღვეზელის აღება. რა არის იმის ალბათობა, რომ ის წაიღებს ბრინჯის ნამცხვარს?

გადაწყვეტილება.

სულ არის 20 თანაბარი ელემენტარული შედეგი, ანუ მარინას შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი 20 ღვეზელი. მაგრამ ჩვენ უნდა შევაფასოთ ალბათობა იმისა, რომ მარინა აიღებს ბრინჯის ღვეზელს, ანუ სადაც A არის ბრინჯის ღვეზელის არჩევანი. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ გვაქვს სულ 8 ხელსაყრელი შედეგი (ბრინჯის ღვეზელის არჩევა), შემდეგ ალბათობა დადგინდება ფორმულით:

დამოუკიდებელი, საპირისპირო და თვითნებური მოვლენები

თუმცა, უფრო რთული ამოცანები დაიწყო ამოცანების ღია ბანკში გამოჩენა. ამიტომ, მკითხველის ყურადღება მივაპყროთ ალბათობის თეორიაში შესწავლილ სხვა კითხვებს.

A და B მოვლენებს დამოუკიდებლად უწოდებენ, თუ თითოეული მათგანის ალბათობა არ არის დამოკიდებული იმაზე, მოხდა თუ არა სხვა მოვლენა.

მოვლენა B შედგება იმაში, რომ მოვლენა A არ მომხდარა, ე.ი. მოვლენა B არის A მოვლენის საპირისპირო. საპირისპირო მოვლენის ალბათობა უდრის ერთს გამოკლებული პირდაპირი მოვლენის ალბათობა, ე.ი. .

შეკრების და გამრავლების თეორემები, ფორმულები

თვითნებური A და B მოვლენებისთვის ამ მოვლენების ჯამის ალბათობა უდრის მათი ალბათობების ჯამს მათი ერთობლივი მოვლენის ალბათობის გარეშე, ე.ი. .

დამოუკიდებელი A და B მოვლენებისთვის ამ მოვლენების ნამრავლის ალბათობა უდრის მათი ალბათობების ნამრავლს, ე.ი. ამ შემთხვევაში .

ბოლო 2 დებულებას ალბათობათა შეკრების და გამრავლების თეორემა ეწოდება.

შედეგების რაოდენობის დათვლა ყოველთვის ასე მარტივი არ არის. ზოგიერთ შემთხვევაში აუცილებელია კომბინატორიკის ფორმულების გამოყენება. ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ დავთვალოთ მოვლენების რაოდენობა, რომლებიც აკმაყოფილებენ გარკვეულ პირობებს. ზოგჯერ ასეთი გამოთვლები შეიძლება გახდეს დამოუკიდებელი ამოცანები.

რამდენი გზით შეიძლება 6 მოსწავლის დაჯდომა 6 ცარიელ ადგილზე? პირველი მოსწავლე დაიკავებს 6 ადგილიდან ნებისმიერს. თითოეული ეს ვარიანტი შეესაბამება მეორე მოსწავლის განთავსების 5 გზას. მესამე მოსწავლისთვის არის 4 თავისუფალი ადგილი, მეოთხესთვის - 3, მეხუთესთვის - 2, მეექვსე დაიკავებს ერთადერთ ადგილს. ყველა ვარიანტის რაოდენობის საპოვნელად, თქვენ უნდა იპოვოთ პროდუქტი, რომელიც აღინიშნება სიმბოლოთი 6! და წაიკითხეთ "ექვს ფაქტორიალი".

ზოგად შემთხვევაში ამ კითხვაზე პასუხი მოცემულია n ელემენტის პერმუტაციების რაოდენობის ფორმულით.ჩვენს შემთხვევაში .

ახლა განვიხილოთ კიდევ ერთი შემთხვევა ჩვენს სტუდენტებთან. რამდენი გზით შეიძლება 2 სტუდენტის დაჯდომა 6 ცარიელ ადგილზე? პირველი მოსწავლე დაიკავებს 6 ადგილიდან ნებისმიერს. თითოეული ეს ვარიანტი შეესაბამება მეორე მოსწავლის განთავსების 5 გზას. ყველა ვარიანტის რაოდენობის გასარკვევად, თქვენ უნდა იპოვოთ პროდუქტი.

ზოგად შემთხვევაში, ამ კითხვაზე პასუხი მოცემულია k ელემენტების მიერ n ელემენტის განლაგების რაოდენობის ფორმულით.

ჩვენს შემთხვევაში.

და ბოლო ამ სერიაში. რამდენი გზა არსებობს 6-დან 3 მოსწავლის არჩევისთვის? პირველი მოსწავლის არჩევა შესაძლებელია 6 გზით, მეორეს 5, ხოლო მესამეს 4 გზით. მაგრამ ამ ვარიანტებს შორის ერთი და იგივე სამი სტუდენტი გვხვდება 6-ჯერ. ყველა ვარიანტის რაოდენობის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ მნიშვნელობა: . ზოგადად, ამ კითხვაზე პასუხი მოცემულია ელემენტების მიერ ელემენტების კომბინაციების რაოდენობის ფორმულით:

ჩვენს შემთხვევაში.

ალბათობის დასადგენად მათემატიკაში გამოცდიდან ამოცანების ამოხსნის მაგალითები

ამოცანა 1. კრებულიდან, რედ. იაშჩენკო.

თეფშზე 30 ღვეზელია: 3 ხორცით, 18 კომბოსტოთი და 9 ალუბლით. საშა შემთხვევით ირჩევს ერთ ღვეზელს. იპოვეთ ალბათობა, რომ ის ჩერდება.

.

პასუხი: 0.3.

ამოცანა 2. კრებულიდან, რედ. იაშჩენკო.

თითოეულ პარტიაში 1000 ნათურა, საშუალოდ 20 დეფექტური. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ პარტიიდან შემთხვევით არჩეული ნათურა კარგია.

გამოსავალი: მომსახურე ნათურების რაოდენობაა 1000-20=980. მაშინ ალბათობა იმისა, რომ პარტიიდან შემთხვევით აღებული ნათურა იქნება გამოსადეგი არის:

პასუხი: 0.98.

ალბათობა იმისა, რომ სტუდენტმა უ.-მ სწორად ამოხსნას 9-ზე მეტი ამოცანა მათემატიკის ტესტზე არის 0,67. ალბათობა იმისა, რომ უ.მ სწორად გადაჭრას 8-ზე მეტი პრობლემა არის 0,73. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ უ. სწორად ამოხსნის ზუსტად 9 ამოცანას.

თუ წარმოვიდგენთ რიცხვით წრფეს და მასზე მოვნიშნავთ 8 და 9 წერტილებს, მაშინ დავინახავთ, რომ პირობა „U. სწორად გადაჭრით ზუსტად 9 ამოცანის“ პირობა „U. სწორად გადაჭრის 8-ზე მეტი პრობლემა“, მაგრამ არ ვრცელდება პირობაზე „W. სწორად გადაჭრის 9-ზე მეტი პრობლემა.

თუმცა, პირობა „უ. 9-ზე მეტი ამოცანის სწორად გადაჭრა“ შეიცავს პირობას „U. სწორად გადაჭრის 8-ზე მეტი პრობლემა. ამრიგად, თუ ჩვენ დავნიშნავთ მოვლენებს: „ვ. სწორად ამოხსნით ზუსტად 9 ამოცანის“ - A-ს მეშვეობით, „U. სწორად გადაჭრით 8-ზე მეტი პრობლემა“ - B-ს მეშვეობით, „U. სწორად გადაჭრით 9-ზე მეტი პრობლემა ”C-ის საშუალებით. მაშინ გამოსავალი ასე გამოიყურება:

პასუხი: 0.06.

გეომეტრიის გამოცდაზე სტუდენტი პასუხობს ერთ კითხვას საგამოცდო კითხვების სიიდან. ალბათობა იმისა, რომ ეს არის ტრიგონომეტრიული შეკითხვა არის 0.2. ალბათობა იმისა, რომ ეს არის გარე კუთხეების შეკითხვა არის 0,15. ამ ორ თემასთან დაკავშირებული კითხვები ერთდროულად არ არსებობს. იპოვნეთ ალბათობა იმისა, რომ სტუდენტს ექნება შეკითხვა ამ ორი თემიდან ერთ-ერთზე გამოცდაზე.

დავფიქრდეთ რა მოვლენები გვაქვს. ჩვენ გვეძლევა ორი შეუთავსებელი მოვლენა. ანუ ან შეკითხვა ეხება თემას „ტრიგონომეტრია“, ან თემას „გარე კუთხეები“. ალბათობის თეორემის მიხედვით, შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობა უდრის თითოეული მოვლენის ალბათობების ჯამს, უნდა ვიპოვოთ ამ მოვლენების ალბათობების ჯამი, ანუ:

პასუხი: 0.35.

ოთახს სამი ნათურიანი ფარანი ანათებს. წელიწადში ერთი ნათურის ჩაქრობის ალბათობაა 0,29. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მინიმუმ ერთი ნათურა არ დაიწვება ერთი წლის განმავლობაში.

განვიხილოთ შესაძლო მოვლენები. ჩვენ გვაქვს სამი ნათურა, რომელთაგან თითოეული შეიძლება დაიწვას ან არ დაიწვას სხვა ნათურებისგან დამოუკიდებლად. ეს არის დამოუკიდებელი ღონისძიებები.

შემდეგ ჩვენ მივუთითებთ მსგავსი მოვლენების ვარიანტებს. ჩვენ ვიღებთ აღნიშვნას: - ნათურა ჩართულია, - ნათურა დამწვარია. და მაშინვე ჩვენ ვიანგარიშებთ მოვლენის ალბათობას. მაგალითად, მოხდა მოვლენის ალბათობა, რომელშიც სამი დამოუკიდებელი მოვლენა "ნათურა დაიწვა", "ნათურა ჩართულია", "ნათურა ჩართულია" მოხდა: .