ამ სტატიაში ჩვენ გაჩვენებთ როგორ კუთხისა და რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტება ტრიგონომეტრიაში. აქ ვისაუბრებთ აღნიშვნებაზე, მოვიყვანთ ჩანაწერების მაგალითებს, მოვიყვანთ გრაფიკულ ილუსტრაციებს. დასასრულს, ჩვენ ვავლით პარალელს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებებს შორის ტრიგონომეტრიასა და გეომეტრიაში.

გვერდის ნავიგაცია.

სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტება

მივყვეთ როგორ ყალიბდება სასკოლო მათემატიკის კურსში სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის ცნება. გეომეტრიის გაკვეთილებზე მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტება. მოგვიანებით კი შესწავლილია ტრიგონომეტრია, რომელიც ეხება ბრუნვის კუთხისა და რიცხვის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს. ჩვენ ვაძლევთ ყველა ამ განმარტებას, ვაძლევთ მაგალითებს და ვაძლევთ საჭირო კომენტარებს.

მახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში

გეომეტრიის კურსიდან ცნობილია მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები. ისინი მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების თანაფარდობით. წარმოგიდგენთ მათ ფორმულირებებს.

განმარტება.

მახვილი კუთხის სინუსი მართკუთხა სამკუთხედშიარის საპირისპირო ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.

განმარტება.

მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის კოსინუსიარის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

განმარტება.

მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ტანგენსიარის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მეზობელ ფეხთან.

განმარტება.

მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის კოტანგენსიარის მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირე ფეხის მიმართ.

იქვეა შემოტანილი სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის აღნიშვნაც - შესაბამისად sin, cos, tg და ctg.

მაგალითად, თუ ABC არის მართკუთხა სამკუთხედი C მართი კუთხით, მაშინ A მახვილი კუთხის სინუსი უდრის მოპირდაპირე ფეხის BC შეფარდებას AB ჰიპოტენუზასთან, ანუ sin∠A=BC/AB.

ეს განმარტებები საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მწვავე კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის მნიშვნელობები მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების ცნობილი სიგრძიდან, აგრეთვე სინუსის, კოსინუსის ცნობილი მნიშვნელობებიდან. ტანგენსი, კოტანგენსი და ერთი გვერდის სიგრძე, იპოვეთ მეორე გვერდის სიგრძე. მაგალითად, თუ ვიცოდით, რომ მართკუთხა სამკუთხედში AC წვერი არის 3 და ჰიპოტენუზა AB არის 7, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ A მწვავე კუთხის კოსინუსი განმარტებით: cos∠A=AC/AB=3/7.

ბრუნვის კუთხე

ტრიგონომეტრიაში ისინი იწყებენ კუთხის უფრო ფართო თვალიერებას - შემოაქვთ ბრუნვის კუთხის კონცეფცია. ბრუნვის კუთხე, მწვავე კუთხისგან განსხვავებით, არ შემოიფარგლება ჩარჩოებით 0-დან 90 გრადუსამდე, ბრუნის კუთხე გრადუსებში (და რადიანებში) შეიძლება გამოისახოს ნებისმიერი რეალური რიცხვით −∞-დან +∞-მდე.

ამ კუთხით სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებები აღარ არის მახვილი კუთხე, არამედ თვითნებური სიდიდის კუთხე - ბრუნვის კუთხე. ისინი მოცემულია A 1 წერტილის x და y კოორდინატებით, რომელშიც გადის ეგრეთ წოდებული საწყისი წერტილი A(1, 0) მას შემდეგ, რაც ბრუნავს α კუთხით O წერტილის გარშემო - მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის დასაწყისი. და ერთეული წრის ცენტრი.

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის სინუსიα არის A 1 წერტილის ორდინატი, ანუ sinα=y .

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის კოსინუსიα ეწოდება A 1 წერტილის აბსცისა, ანუ cosα=x.

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის ტანგენსიα არის A 1 წერტილის ორდინატის შეფარდება მის აბსცისასთან, ანუ tgα=y/x .

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის კოტანგენსიα არის A 1 წერტილის აბსცისის შეფარდება მის ორდინატთან, ანუ ctgα=x/y .

სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება α კუთხისთვის, რადგან ყოველთვის შეგვიძლია განვსაზღვროთ წერტილის აბსცისა და ორდინატი, რომელიც მიიღება საწყისი წერტილის α კუთხით ბრუნვით. და ტანგენსი და კოტანგენსი არ არის განსაზღვრული არცერთი კუთხისთვის. ტანგენსი არ არის განსაზღვრული α ისეთი კუთხისთვის, რომლებშიც საწყისი წერტილი მიდის წერტილამდე ნულოვანი აბსცისით (0, 1) ან (0, −1) , და ეს ხდება 90°+180° k , k∈Z კუთხით. (π /2+π კ რად). მართლაც, ბრუნის ასეთ კუთხით გამოხატვას tgα=y/x აზრი არ აქვს, რადგან ის შეიცავს გაყოფას ნულზე. რაც შეეხება კოტანგენტს, ის არ არის განსაზღვრული α კუთხეებისთვის, რომლებშიც საწყისი წერტილი მიდის წერტილამდე ნულოვანი ორდინატით (1, 0) ან (−1, 0), და ეს ეხება 180° k კუთხეებს, k ∈Z (π k rad).

ასე რომ, სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება ნებისმიერი ბრუნვის კუთხისთვის, ტანგენსი განისაზღვრება ყველა კუთხისთვის, გარდა 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), ხოლო კოტანგენსი არის ყველა კუთხისთვის, გარდა 180. ° ·k , k∈Z (π·k რად).

ჩვენთვის უკვე ცნობილი აღნიშვნები ჩნდება განმარტებებში sin, cos, tg და ctg, ისინი ასევე გამოიყენება ბრუნვის კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის აღსანიშნავად (ზოგჯერ შეგიძლიათ იპოვოთ აღნიშვნა tan და cot, რომლებიც შეესაბამება ტანგენტს და კოტანგენსი). ასე რომ, ბრუნვის კუთხის 30 გრადუსიანი სინუსი შეიძლება დაიწეროს, როგორც sin30°, ჩანაწერები tg(−24°17′) და ctgα შეესაბამება ბრუნვის კუთხის ტანგენტს −24 გრადუსი 17 წუთი და კოტანგენსს ბრუნვის კუთხის α. . შეგახსენებთ, რომ კუთხის რადიანის ზომის დაწერისას ხშირად გამოტოვებენ აღნიშვნას „რად“. მაგალითად, სამი პი რადის ბრუნვის კუთხის კოსინუსი ჩვეულებრივ აღინიშნება cos3 π.

ამ პუნქტის დასასრულს, აღსანიშნავია, რომ ბრუნვის კუთხის სინუსზე, კოსინუსზე, ტანგენტსა და კოტანგენსზე საუბრისას ხშირად გამოტოვებულია ფრაზა „ბრუნის კუთხე“ ან სიტყვა „ბრუნვა“. ანუ ფრაზის ნაცვლად "ალფას ბრუნვის კუთხის სინუსი" ჩვეულებრივ გამოიყენება ფრაზა "ალფას კუთხის სინუსი" ან კიდევ უფრო მოკლე - "ალფას სინუსი". იგივე ეხება კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს.

მოდით ასევე ვთქვათ, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები შეესაბამება 0-დან 90-მდე ბრუნვის კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს. გრადუსი. ჩვენ ამას დავამტკიცებთ.

ნომრები

განმარტება.

რიცხვის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი t არის რიცხვი, რომელიც ტოლია ბრუნვის კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს t რადიანებში, შესაბამისად.

მაგალითად, 8 π-ის კოსინუსი, განსაზღვრებით, არის რიცხვი, რომელიც უდრის 8 π rad კუთხის კოსინუსს. ხოლო კუთხის კოსინუსი 8 π rad-ში უდრის ერთს, შესაბამისად, 8 π რიცხვის კოსინუსი უდრის 1-ს.

არსებობს სხვა მიდგომა რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენსის განმარტებასთან დაკავშირებით. ის მდგომარეობს იმაში, რომ თითოეულ რეალურ რიცხვს t ენიჭება ერთეული წრის წერტილი, რომელიც ორიენტირებულია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის საწყისზე, ხოლო სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი განისაზღვრება ამ წერტილის კოორდინატებით. ამაზე უფრო დეტალურად ვისაუბროთ.

ვნახოთ, როგორ დგინდება შესაბამისობა ნამდვილ რიცხვებსა და წრის წერტილებს შორის:

• რიცხვს 0 ენიჭება საწყისი წერტილი A(1, 0);
• დადებითი რიცხვი t ასოცირდება ერთეული წრის წერტილთან, რომელსაც მივიღებთ, თუ წრეს ამოვავლებთ საწყისი წერტილიდან საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით და გავივლით t ​​სიგრძის გზას;
• უარყოფითი რიცხვი t ასოცირდება ერთეული წრის წერტილთან, რომელსაც მივიღებთ, თუ წრეს ამოვავლებთ საწყისი წერტილიდან საათის ისრის მიმართულებით და გავივლით |t| სიგრძის ბილიკს. .

ახლა გადავიდეთ t რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებებზე. დავუშვათ, რომ რიცხვი t შეესაბამება A 1 წრის წერტილს (x, y) (მაგალითად, რიცხვი &pi/2; შეესაბამება A 1 (0, 1) წერტილს).

განმარტება.

რიცხვის სინუსი t არის t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის ორდინატი, ანუ sint=y.

განმარტება.

რიცხვის კოსინუსი t ეწოდება t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის აბსცისა, ანუ ღირებულება=x.

განმარტება.

რიცხვის ტანგენტი t არის ორდინატისა და t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის აბსცისის შეფარდება, ანუ tgt=y/x. სხვა ეკვივალენტურ ფორმულირებაში, t რიცხვის ტანგენსი არის ამ რიცხვის სინუსის შეფარდება კოსინუსთან, ანუ tgt=sint/cost .

განმარტება.

რიცხვის კოტანგენსი t არის აბსცისის შეფარდება t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის ორდინატთან, ანუ ctgt=x/y. კიდევ ერთი ფორმულირება ასეთია: t რიცხვის ტანგენსი არის t რიცხვის კოსინუსის შეფარდება t რიცხვის სინუსთან: ctgt=cost/sint.

აქ ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ახლახან მოცემული განმარტებები ეთანხმება ამ ქვეგანყოფილების დასაწყისში მოცემულ განმარტებას. მართლაც, t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილი ემთხვევა წერტილს, რომელიც მიღებულ იქნა საწყისი წერტილის ბრუნვით t რადიანების კუთხით.

ასევე ღირს ამ პუნქტის გარკვევა. ვთქვათ, გვაქვს sin3 ჩანაწერი. როგორ გავიგოთ არის თუ არა კითხვის ნიშნის ქვეშ 3 რიცხვის სინუსი თუ 3 რადიანის ბრუნვის კუთხის სინუსი? ეს, როგორც წესი, ნათელია კონტექსტიდან, წინააღმდეგ შემთხვევაში, ალბათ, ამას მნიშვნელობა არ აქვს.

კუთხოვანი და რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

წინა აბზაცში მოცემული განმარტებების მიხედვით, ყოველი ბრუნვის კუთხე α შეესაბამება კარგად განსაზღვრულ sin α მნიშვნელობას, ისევე როგორც cos α მნიშვნელობას. გარდა ამისა, ბრუნვის ყველა კუთხე, გარდა 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) შეესაბამება tgα მნიშვნელობებს და გარდა 180° k , k∈Z (π k rad ) არის ctgα-ს მნიშვნელობები. ამიტომ sinα, cosα, tgα და ctgα არის α კუთხის ფუნქციები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის კუთხური არგუმენტის ფუნქციები.

ანალოგიურად, შეგვიძლია ვისაუბროთ რიცხვითი არგუმენტის სინუსზე, კოსინუსზე, ტანგენტსა და კოტანგენსზე. მართლაც, თითოეული რეალური რიცხვი t შეესაბამება sint-ის კარგად განსაზღვრულ მნიშვნელობას, ისევე როგორც ღირებულებას. გარდა ამისა, ყველა რიცხვი, გარდა π/2+π·k, k∈Z შეესაბამება tgt მნიშვნელობებს, ხოლო რიცხვები π·k, k∈Z შეესაბამება ctgt მნიშვნელობებს.

ფუნქციებს სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი ეწოდება ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

როგორც წესი, კონტექსტიდან ირკვევა, რომ საქმე გვაქვს კუთხოვანი არგუმენტის ან რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან. წინააღმდეგ შემთხვევაში, დამოუკიდებელი ცვლადი შეგვიძლია მივიჩნიოთ როგორც კუთხის საზომად (კუთხის არგუმენტი) და როგორც რიცხვითი არგუმენტი.

თუმცა, სკოლა ძირითადად სწავლობს რიცხვით ფუნქციებს, ანუ ფუნქციებს, რომელთა არგუმენტები, ისევე როგორც მათი შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობები, არის რიცხვები. ამიტომ, თუ ვსაუბრობთ ფუნქციებზე, მაშინ მიზანშეწონილია ტრიგონომეტრიული ფუნქციები განვიხილოთ რიცხვითი არგუმენტების ფუნქციებად.

განსაზღვრებების კავშირი გეომეტრიიდან და ტრიგონომეტრიიდან

თუ გავითვალისწინებთ α ბრუნვის კუთხეს 0-დან 90 გრადუსამდე, მაშინ მონაცემები ბრუნვის კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტების ტრიგონომეტრიის კონტექსტში სრულად შეესაბამება სინუსის, კოსინუსის განმარტებებს. , მახვილი კუთხის ტანგენსი და კოტანგენსი მართკუთხა სამკუთხედში, რომლებიც მოცემულია გეომეტრიის კურსში. დავამტკიცოთ ეს.

დახაზეთ ერთეული წრე მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში Oxy. გაითვალისწინეთ საწყისი წერტილი A(1, 0). მოვატრიალოთ ის α კუთხით, რომელიც მერყეობს 0-დან 90 გრადუსამდე, მივიღებთ წერტილს A 1 (x, y) . მოდით, A 1 H პერპენდიკულარული A 1 წერტილიდან Ox ღერძზე დავტოვოთ.

ადვილი მისახვედრია, რომ მართკუთხა სამკუთხედში A 1 OH კუთხე უდრის α ბრუნვის კუთხეს, ამ კუთხის მიმდებარე ფეხის OH სიგრძე უდრის A 1 წერტილის აბსცისას, ანუ |OH. |=x, A 1 H კუთხის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძე უდრის A 1 წერტილის ორდინატს, ანუ |A 1 H|=y და ჰიპოტენუზის OA 1 სიგრძე უდრის ერთს. , ვინაიდან ეს არის ერთეული წრის რადიუსი. შემდეგ, გეომეტრიის განმარტებით, მართკუთხა სამკუთხედში α მწვავე კუთხის სინუსი A 1 OH უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან, ანუ sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. ხოლო ტრიგონომეტრიის განმარტებით, α ბრუნვის კუთხის სინუსი უდრის A 1 წერტილის ორდინატს, ანუ sinα=y. ეს გვიჩვენებს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის განმარტება უდრის α ბრუნვის კუთხის სინუსის განმარტებას α 0-დან 90 გრადუსამდე.

ანალოგიურად, შეიძლება აჩვენოს, რომ α მწვავე კუთხის კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები შეესაბამება α ბრუნვის კუთხის კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებებს.

ბიბლიოგრაფია.

1. გეომეტრია. 7-9 კლასები: სწავლობს. ზოგადი განათლებისთვის დაწესებულებები / [ლ. ს. ატანასიანი, ვ.ფ.ბუტუზოვი, ს.ბ.კადომცევი და სხვები]. - მე-20 გამოცემა. მ.: განათლება, 2010. - 384გვ.: ავად. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. პოგორელოვი A.V.გეომეტრია: პროკ. 7-9 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A.V. Pogorelov. - მე-2 გამოცემა - მ.: განმანათლებლობა, 2001. - 224 გვ.: ილ. - ISBN 5-09-010803-X.
3. ალგებრა და ელემენტარული ფუნქციები: სახელმძღვანელო საშუალო სკოლის მე-9 კლასის მოსწავლეებისთვის / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; ფიზიკა-მათემატიკის მეცნიერებათა დოქტორი O.N. Golovin-ის რედაქტირებულია - 4th ed. მოსკოვი: განათლება, 1969 წ.
4. Ალგებრა:პროკ. 9 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა / იუ. ნ.მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა; რედ. S. A. Telyakovsky.- M.: განმანათლებლობა, 1990.- 272 გვ.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn და სხვები; რედ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: განმანათლებლობა, 2004.- 384 გვ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. მორდკოვიჩი ა.გ.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი. მე-10 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის (პროფილის დონე) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - მე-4 გამოცემა, დაამატეთ. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Ალგებრადა მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. მე-10 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები: ძირითადი და პროფილი. დონეები /[იუ. მ.კოლიაგინი, მ.ვ.ტკაჩევა, ნ.ე.ფედოროვა, მ.ი.შაბუნინი]; რედ. A.B. ჟიჟჩენკო. - მე-3 გამოცემა. - I .: განათლება, 2010. - 368გვ.: ავადმყოფი - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. ბაშმაკოვი მ.ი.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა - მე-3 გამოცემა. - მ.: განმანათლებლობა, 1993. - 351გვ.: ილ. - ISBN 5-09-004617-4.
9. გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.

სინუსიმართკუთხა სამკუთხედის α მახვილი კუთხე არის თანაფარდობა საწინააღმდეგოკათეტერი ჰიპოტენუზაში.
იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: sin α.

კოსინუსიმართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხე α არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.
იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: cos α.

ტანგენტიმწვავე კუთხე α არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მიმდებარე ფეხთან.
იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: tg α.

კოტანგენსიმწვავე კუთხე α არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირე ფეხის მიმართ.
იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: ctg α.

კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი დამოკიდებულია მხოლოდ კუთხის სიდიდეზე.

წესები:

ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები მართკუთხა სამკუთხედში:

(α - მწვავე კუთხე ფეხის მოპირდაპირედ ბ და ფეხის მიმდებარედ ა . მხარე თან - ჰიპოტენუზა. β - მეორე მწვავე კუთხე).

ბ სინა = - გ	sin 2 α + cos 2 α = 1
ა cosα = - გ	1 1 + tg 2 α = -- cos 2 α
ბ tgα = - ა	1 1 + ctg 2 α = -- sin2α
ა ctgα = - ბ	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sina tgα = -- cosα

როგორც მწვავე კუთხე იზრდებასინა დაtg α ზრდა დაcos α მცირდება.

ნებისმიერი მწვავე კუთხისთვის α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

განმარტებითი მაგალითი:

ჩავდოთ მართკუთხა სამკუთხედი ABC
AB = 6,
BC = 3,
კუთხე A = 30º.

იპოვეთ A კუთხის სინუსი და B კუთხის კოსინუსი.

გადაწყვეტილება .

1) ჯერ ვიპოვით B კუთხის მნიშვნელობას. აქ ყველაფერი მარტივია: რადგან მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხეების ჯამი არის 90º, შემდეგ კუთხე B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) გამოთვალეთ ცოდვა A. ჩვენ ვიცით, რომ სინუსი ტოლია მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებასა და ჰიპოტენუზას. A კუთხისთვის მოპირდაპირე ფეხი არის BC მხარე. Ისე:

ძვ.წ 3 1
ცოდვა A = -- = - = -
AB 6 2

3) ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ cos B. ჩვენ ვიცით, რომ კოსინუსი უდრის მიმდებარე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან. B კუთხისთვის, მიმდებარე ფეხი არის იგივე მხარე BC. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ კვლავ უნდა დავყოთ BC AB-ად - ანუ შეასრულოთ იგივე მოქმედებები, როგორც A კუთხის სინუსის გამოთვლისას:

ძვ.წ 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

შედეგი არის:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

აქედან გამომდინარეობს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში ერთი მახვილი კუთხის სინუსი უდრის სხვა მახვილი კუთხის კოსინუსს - და პირიქით. ეს არის ზუსტად ის, რასაც ჩვენი ორი ფორმულა ნიშნავს:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

მოდით კიდევ ერთხელ შევამოწმოთ:

1) მოდით α = 60º. α-ს მნიშვნელობის სინუს ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:
ცოდვა (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) მოდით α = 30º. α-ს მნიშვნელობის ჩანაცვლებით კოსინუსების ფორმულაში მივიღებთ:
cos (90° - 30º) = ცოდვა 30º.
cos 60° = ცოდვა 30º.

(ტრიგონომეტრიის შესახებ მეტი იხილეთ ალგებრას განყოფილება)

ტრიგონომეტრიული იდენტობებიარის ტოლობები, რომლებიც ამყარებენ ურთიერთობას ერთი კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის, რაც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ რომელიმე ამ ფუნქციიდან, იმ პირობით, რომ რომელიმე სხვა ცნობილია.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

ეს იდენტურობა ამბობს, რომ ერთი კუთხის სინუსის კვადრატისა და ერთი კუთხის კოსინუსის კვადრატის ჯამი უდრის ერთს, რაც პრაქტიკაში შესაძლებელს ხდის ერთი კუთხის სინუსის გამოთვლას, როდესაც ცნობილია მისი კოსინუსი და პირიქით. .

ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების კონვერტაციისას ძალიან ხშირად გამოიყენება ეს იდენტურობა, რაც საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ ერთი კუთხის კოსინუსის და სინუსის კვადრატების ჯამი ერთით და ასევე შეასრულოთ ჩანაცვლების ოპერაცია საპირისპირო მიზნით.

ტანგენტისა და კოტანგენტის პოვნა სინუსისა და კოსინუსის მეშვეობით

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

ეს იდენტობები ჩამოყალიბებულია სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის განმარტებებიდან. ბოლოს და ბოლოს, თუ დააკვირდებით, მაშინ განსაზღვრებით, y-ის ორდინატი არის სინუსი, ხოლო x-ის აბსცისა არის კოსინუსი. მაშინ ტანგენსი თანაფარდობის ტოლი იქნება \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)და თანაფარდობა \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- იქნება კოტანგენსი.

ჩვენ დავამატებთ, რომ მხოლოდ ისეთ კუთხეებს \ალფა, რომლებისთვისაც მათში შემავალი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები აზრიანია, იდენტობები მოხდება, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Მაგალითად: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)მოქმედებს \alpha კუთხეებისთვის, რომლებიც განსხვავდება \frac(\pi)(2)+\pi z, ა ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z-ის გარდა \alpha კუთხისთვის, z არის მთელი რიცხვი.

კავშირი ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

ეს იდენტურობა მოქმედებს მხოლოდ \alpha კუთხებისთვის, რომლებიც განსხვავდება \frac(\pi)(2) z. წინააღმდეგ შემთხვევაში, არც კოტანგენსი და არც ტანგენსი არ განისაზღვრება.

ზემოთ მოყვანილი პუნქტებიდან გამომდინარე, ჩვენ ამას მივიღებთ tg \alpha = \frac(y)(x), ა ctg\alpha=\frac(x)(y). აქედან გამომდინარეობს, რომ tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. ამრიგად, ერთი კუთხის ტანგენსი და კოტანგენსი, რომლითაც ისინი აზრს იძენენ, ორმხრივი რიცხვებია.

კავშირი ტანგენტსა და კოსინუსს, კოტანგენტსა და სინუსს შორის

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- კუთხის \ალფას და 1-ის ტანგენსის კვადრატის ჯამი უდრის ამ კუთხის კოსინუსის შებრუნებულ კვადრატს. ეს იდენტიფიკაცია მოქმედებს ყველა \alpha-სთვის, გარდა \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1-ისა და კუთხის \ალფა კოტანგენსის კვადრატის ჯამი უდრის მოცემული კუთხის სინუსის შებრუნებულ კვადრატს. ეს იდენტიფიკაცია მოქმედებს ნებისმიერი \alpha-სთვის, გარდა \pi z.

მაგალითები პრობლემების გადაწყვეტით ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით

მაგალითი 1

იპოვეთ \sin \alpha და tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12და \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

ფუნქციები \sin \alpha და \cos \alpha დაკავშირებულია ფორმულით \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. ჩანაცვლება ამ ფორმულაში \cos \alpha = -\frac12, ვიღებთ:

\sin^(2)\alpha + \მარცხნივ (-\frac12 \მარჯვნივ)^2 = 1

ამ განტოლებას აქვს 2 ამონახსნი:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

პირობით \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . მეორე კვარტალში სინუსი დადებითია, ასე რომ \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

tg \alpha-ს საპოვნელად ვიყენებთ ფორმულას tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

მაგალითი 2

იპოვეთ \cos \alpha და ctg \alpha თუ და \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

ჩანაცვლება ფორმულაში \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1პირობითი ნომერი \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), ვიღებთ \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. ამ განტოლებას ორი ამონახსნი აქვს \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

პირობით \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . მეორე კვარტალში კოსინუსი უარყოფითია, ასე რომ \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ctg \alpha, ვიყენებთ ფორმულას ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). ჩვენ ვიცით შესაბამისი მნიშვნელობები.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი არის ტრიგონომეტრიის ძირითადი კატეგორიები - მათემატიკის ფილიალი და განუყოფლად არის დაკავშირებული კუთხის განსაზღვრასთან. ამ მათემატიკური მეცნიერების ფლობა მოითხოვს ფორმულებისა და თეორემების დამახსოვრებასა და გააზრებას, ასევე განვითარებულ სივრცით აზროვნებას. ამიტომ ტრიგონომეტრიული გამოთვლები ხშირად უქმნის სირთულეებს სკოლის მოსწავლეებსა და სტუდენტებს. მათ დასაძლევად უფრო მეტად უნდა გაეცნოთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს და ფორმულებს.

ცნებები ტრიგონომეტრიაში

ტრიგონომეტრიის ძირითადი ცნებების გასაგებად, ჯერ უნდა გადაწყვიტოთ რა არის მართკუთხა სამკუთხედი და კუთხე წრეში და რატომ არის დაკავშირებული ყველა ძირითადი ტრიგონომეტრიული გამოთვლა მათთან. სამკუთხედი, რომელშიც ერთ-ერთი კუთხე 90 გრადუსია, არის მართკუთხა სამკუთხედი. ისტორიულად, ამ ფიგურას ხშირად იყენებდნენ ადამიანები არქიტექტურაში, ნავიგაციაში, ხელოვნებაში, ასტრონომიაში. შესაბამისად, ამ ფიგურის თვისებების შესწავლისა და ანალიზის შედეგად, ადამიანები მივიდნენ მისი პარამეტრების შესაბამისი კოეფიციენტების გაანგარიშებამდე.

მართკუთხა სამკუთხედებთან დაკავშირებული ძირითადი კატეგორიებია ჰიპოტენუზა და ფეხები. ჰიპოტენუზა არის სამკუთხედის გვერდი, რომელიც მართი კუთხის საპირისპიროა. ფეხები, შესაბამისად, არის დანარჩენი ორი მხარე. ნებისმიერი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის 180 გრადუსია.

სფერული ტრიგონომეტრია არის ტრიგონომეტრიის ის განყოფილება, რომელიც არ არის შესწავლილი სკოლაში, მაგრამ გამოყენებით მეცნიერებებში, როგორიცაა ასტრონომია და გეოდეზია, მეცნიერები მას იყენებენ. სფერულ ტრიგონომეტრიაში სამკუთხედის თავისებურება ის არის, რომ მას ყოველთვის აქვს 180 გრადუსზე მეტი კუთხეების ჯამი.

სამკუთხედის კუთხეები

მართკუთხა სამკუთხედში კუთხის სინუსი არის სასურველი კუთხის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა სამკუთხედის ჰიპოტენუზასთან. შესაბამისად, კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხისა და ჰიპოტენუზის თანაფარდობა. ორივე ამ მნიშვნელობას ყოველთვის აქვს ერთზე ნაკლები მნიშვნელობა, რადგან ჰიპოტენუზა ყოველთვის გრძელია ვიდრე ფეხი.

კუთხის ტანგენსი არის მნიშვნელობა, რომელიც უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას სასურველი კუთხის მეზობელ წვერთან, ან სინუსსა და კოსინუსს. კოტანგენსი, თავის მხრივ, არის სასურველი კუთხის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა საპირისპირო კაქტესთან. კუთხის კოტანგენსი ასევე შეიძლება მივიღოთ ერთეულის ტანგენსის მნიშვნელობაზე გაყოფით.

ერთეული წრე

ერთეული წრე გეომეტრიაში არის წრე, რომლის რადიუსი უდრის ერთს. ასეთი წრე აგებულია დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში, წრის ცენტრი ემთხვევა საწყის წერტილს, ხოლო რადიუსის ვექტორის საწყისი პოზიცია განისაზღვრება X ღერძის დადებითი მიმართულებით (აბსცისის ღერძი). წრის თითოეულ წერტილს აქვს ორი კოორდინატი: XX და YY, ანუ აბსცისა და ორდინატის კოორდინატები. XX სიბრტყეში წრეზე ნებისმიერი წერტილის არჩევით და მისგან პერპენდიკულარულის აბსცისის ღერძზე ჩამოშვებით, მივიღებთ მართკუთხა სამკუთხედს, რომელიც წარმოიქმნება არჩეული წერტილის რადიუსით (მოდით ავღნიშნოთ იგი ასო C-ით), პერპენდიკულარული X ღერძი (გადაკვეთის წერტილი აღინიშნება ასო G-ით) და აბსცისის ღერძის სეგმენტი საწყისს (წერტილი აღინიშნება ასო A) და გადაკვეთის წერტილს G შორის. შედეგად მიღებული სამკუთხედი ACG არის მართკუთხა სამკუთხედი, რომელიც ჩაწერილია წრე, სადაც AG არის ჰიპოტენუზა, ხოლო AC და GC არის ფეხები. კუთხე AC წრის რადიუსსა და აბსცისის ღერძის სეგმენტს შორის AG აღნიშვნით, ჩვენ განვსაზღვრავთ, როგორც α (ალფა). ასე რომ, cos α = AG/AC. იმის გათვალისწინებით, რომ AC არის ერთეული წრის რადიუსი და ის უდრის ერთს, გამოდის, რომ cos α=AG. ანალოგიურად, sin α=CG.

გარდა ამისა, ამ მონაცემების ცოდნით, თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ C წერტილის კოორდინატი წრეზე, რადგან cos α=AG და sin α=CG, რაც ნიშნავს, რომ C წერტილს აქვს მოცემული კოორდინატები (cos α; sin α). იმის ცოდნა, რომ ტანგენსი უდრის სინუსის თანაფარდობას კოსინუსთან, შეგვიძლია განვსაზღვროთ, რომ tg α \u003d y / x და ctg α \u003d x / y. უარყოფით კოორდინატთა სისტემაში კუთხეების გათვალისწინებით, შეიძლება გამოვთვალოთ, რომ ზოგიერთი კუთხის სინუსის და კოსინუსების მნიშვნელობები შეიძლება იყოს უარყოფითი.

გამოთვლები და ძირითადი ფორმულები

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები

ერთეული წრის მეშვეობით ტრიგონომეტრიული ფუნქციების არსის გათვალისწინებით, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიტანოთ ამ ფუნქციების მნიშვნელობები ზოგიერთი კუთხისთვის. მნიშვნელობები ჩამოთვლილია ქვემოთ მოცემულ ცხრილში.

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული იდენტობები

განტოლებებს, რომლებშიც არის უცნობი მნიშვნელობა ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ, ეწოდება ტრიგონომეტრიული. იდენტობები მნიშვნელობით sin x = α, k არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, გადაწყვეტილებების გარეშე.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

იდენტობები cos x = a მნიშვნელობით, სადაც k არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, გადაწყვეტილებების გარეშე.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

იდენტობები tg x = a მნიშვნელობით, სადაც k არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

იდენტობები მნიშვნელობით ctg x = a, სადაც k არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

ჩამოსხმის ფორმულები

მუდმივი ფორმულების ეს კატეგორია აღნიშნავს მეთოდებს, რომლითაც შეგიძლიათ გადახვიდეთ ფორმის ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიდან არგუმენტის ფუნქციებზე, ანუ გადაიყვანოთ ნებისმიერი მნიშვნელობის კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი კუთხის შესაბამის ინდიკატორებზე. ინტერვალი 0-დან 90 გრადუსამდე გამოთვლების მეტი მოხერხებულობისთვის.

კუთხის სინუსისთვის ფუნქციების შემცირების ფორმულები ასე გამოიყურება:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

კუთხის კოსინუსისთვის:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

ზემოაღნიშნული ფორმულების გამოყენება შესაძლებელია ორი წესით. პირველი, თუ კუთხე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მნიშვნელობა (π/2 ± a) ან (3π/2 ± a), ფუნქციის მნიშვნელობა იცვლება:

• ცოდვიდან კოსამდე;
• კოსიდან ცოდვამდე;
• tg-დან ctg-მდე;
• ctg-დან tg-მდე.

ფუნქციის მნიშვნელობა უცვლელი რჩება, თუ კუთხე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც (π ± a) ან (2π ± a).

მეორეც, შემცირებული ფუნქციის ნიშანი არ იცვლება: თუ თავდაპირველად დადებითი იყო, ასე რჩება. იგივე ეხება უარყოფით ფუნქციებს.

დამატების ფორმულები

ეს ფორმულები გამოხატავს ორი ბრუნვის კუთხის ჯამისა და სხვაობის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის მნიშვნელობებს მათი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით. კუთხეები ჩვეულებრივ აღინიშნება α და β.

ფორმულები ასე გამოიყურება:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

ეს ფორმულები მოქმედებს ნებისმიერი α და β კუთხისთვის.

ორმაგი და სამმაგი კუთხის ფორმულები

ორმაგი და სამმაგი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფორმულები არის ფორმულები, რომლებიც აკავშირებენ 2α და 3α კუთხეების ფუნქციებს, შესაბამისად, კუთხის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან. მიღებული დამატების ფორმულებიდან:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

ჯამიდან პროდუქტზე გადასვლა

იმის გათვალისწინებით, რომ 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), ამ ფორმულის გამარტივებით, ჩვენ ვიღებთ იდენტურობას sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. ანალოგიურად, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

პროდუქტიდან ჯამზე გადასვლა

ეს ფორმულები თანხის პროდუქტზე გადასვლის იდენტობიდან გამომდინარეობს:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

შემცირების ფორმულები

ამ იდენტობებში, სინუსისა და კოსინუსის კვადრატული და კუბური სიმძლავრეები შეიძლება გამოიხატოს მრავალი კუთხის პირველი სიმძლავრის სინუსის და კოსინუსის მიხედვით:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

უნივერსალური ჩანაცვლება

უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების ფორმულები გამოხატავს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს ნახევარი კუთხის ტანგენტის მიხედვით.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), ხოლო x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), სადაც x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), სადაც x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), ხოლო x \u003d π + 2πn.

განსაკუთრებული შემთხვევები

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ცალკეული შემთხვევები მოცემულია ქვემოთ (k არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი).

პირადი სინუსისთვის:

sin x მნიშვნელობა	x მნიშვნელობა
0	პკ
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk ან 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk ან -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk ან 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk ან -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk ან 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk ან -2π/3 + 2πk

კოსინუსების კოეფიციენტები:

cos x მნიშვნელობა	x მნიშვნელობა
0	π/2 + 2πk
1	2 πკ
-1	2 + 2 πკ
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

პირადი ტანგენტისთვის:

tg x მნიშვნელობა	x მნიშვნელობა
0	პკ
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

კოტანგენტების კოეფიციენტები:

ctg x მნიშვნელობა	x მნიშვნელობა
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

თეორემები

სინუსების თეორემა

თეორემის ორი ვერსია არსებობს - მარტივი და გაფართოებული. მარტივი სინუსების თეორემა: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. ამ შემთხვევაში, a, b, c არის სამკუთხედის გვერდები, ხოლო α, β, γ არის მოპირდაპირე კუთხეები, შესაბამისად.

გაფართოებული სინუსების თეორემა თვითნებური სამკუთხედისთვის: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. ამ იდენტურობაში R აღნიშნავს წრის რადიუსს, რომელშიც ჩაწერილია მოცემული სამკუთხედი.

კოსინუსების თეორემა

იდენტურობა ნაჩვენებია ამ გზით: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. ფორმულაში a, b, c არის სამკუთხედის გვერდები, ხოლო α არის კუთხე a მოპირდაპირე მხარეს.

ტანგენტის თეორემა

ფორმულა გამოხატავს ურთიერთობას ორი კუთხის ტანგენტსა და მათ მოპირდაპირე გვერდების სიგრძეს შორის. გვერდებს აწერიათ a, b, c და შესაბამისი საპირისპირო კუთხეებია α, β, γ. ტანგენტის თეორემის ფორმულა: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

კოტანგენტის თეორემა

აკავშირებს სამკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსს მისი გვერდების სიგრძესთან. თუ a, b, c არის სამკუთხედის გვერდები და A, B, C, შესაბამისად, მათი საპირისპირო კუთხეები, r არის ჩაწერილი წრის რადიუსი და p არის სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი, შემდეგი იდენტობები. გამართავს:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

აპლიკაციები

ტრიგონომეტრია არ არის მხოლოდ თეორიული მეცნიერება, რომელიც დაკავშირებულია მათემატიკურ ფორმულებთან. მისი თვისებები, თეორემები და წესები პრაქტიკაში გამოიყენება ადამიანის საქმიანობის სხვადასხვა დარგებში - ასტრონომია, საჰაერო და საზღვაო ნავიგაცია, მუსიკის თეორია, გეოდეზია, ქიმია, აკუსტიკა, ოპტიკა, ელექტრონიკა, არქიტექტურა, ეკონომიკა, მანქანათმშენებლობა, საზომი სამუშაოები, კომპიუტერული გრაფიკა, კარტოგრაფია, ოკეანოგრაფია და მრავალი სხვა.

სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი არის ტრიგონომეტრიის ძირითადი ცნებები, რომლითაც შეგიძლიათ მათემატიკურად გამოხატოთ კავშირი სამკუთხედის კუთხეებსა და გვერდების სიგრძეებს შორის და იპოვოთ სასურველი სიდიდეები იდენტობების, თეორემებისა და წესების მეშვეობით.

ლექცია: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, თვითნებური კუთხის კოტანგენსი

სინუსი, თვითნებური კუთხის კოსინუსი

იმის გასაგებად, თუ რა არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მივმართოთ წრეს ერთეული რადიუსით. ეს წრე ორიენტირებულია საწყისზე კოორდინატულ სიბრტყეზე. მოცემული ფუნქციების დასადგენად გამოვიყენებთ რადიუსის ვექტორს ან, რომელიც იწყება წრის ცენტრში და წერტილი რარის წერტილი წრეზე. ეს რადიუსის ვექტორი ღერძთან ქმნის ალფა კუთხეს ოჰ. ვინაიდან წრეს აქვს ერთის ტოლი რადიუსი, მაშინ ან = R = 1.

თუ წერტილიდან რჩამოაგდეს პერპენდიკულარი ღერძზე ოჰ, მაშინ მივიღებთ მართკუთხა სამკუთხედს ჰიპოტენუზით ერთის ტოლი.

თუ რადიუსის ვექტორი მოძრაობს საათის ისრის მიმართულებით, მაშინ ეს მიმართულება ეწოდება უარყოფითი, მაგრამ თუ ის მოძრაობს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ - დადებითი.

კუთხის სინუსი ან, არის წერტილის ორდინატი რვექტორები წრეზე.

ანუ მოცემული კუთხის ალფას სინუსის მნიშვნელობის მისაღებად აუცილებელია კოორდინატის დადგენა ზეზედაპირზე.

როგორ იქნა მიღებული ეს ღირებულება? ვინაიდან ჩვენ ვიცით, რომ მართკუთხა სამკუთხედში თვითნებური კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან, მივიღებთ, რომ

და მას შემდეგ R=1, მაშინ sin(α) = y 0 .

ერთეულ წრეში ორდინატთა მნიშვნელობა არ შეიძლება იყოს -1-ზე ნაკლები და 1-ზე მეტი, რაც იმას ნიშნავს

სინუსი დადებითია ერთეული წრის პირველ და მეორე მეოთხედში, ხოლო მესამე და მეოთხეში უარყოფითი.

კუთხის კოსინუსირადიუსის ვექტორით წარმოქმნილი მოცემული წრე ან, არის წერტილის აბსციზა რვექტორები წრეზე.

ანუ მოცემული კუთხის ალფას კოსინუსის მნიშვნელობის მისაღებად საჭიროა კოორდინატის დადგენა Xზედაპირზე.

მართკუთხა სამკუთხედში თვითნებური კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან, მივიღებთ რომ

და მას შემდეგ R=1, მაშინ cos(α) = x 0 .

ერთეულ წრეში აბსცისის მნიშვნელობა არ შეიძლება იყოს -1-ზე ნაკლები და 1-ზე მეტი, რაც ნიშნავს რომ

კოსინუსი დადებითია ერთეული წრის პირველ და მეოთხე კვადრატში, ხოლო უარყოფითი მეორე და მესამე.

ტანგენსითვითნებური კუთხეგამოითვლება სინუსისა და კოსინუსის შეფარდება.

თუ გავითვალისწინებთ მართკუთხა სამკუთხედს, მაშინ ეს არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მეზობელთან. თუ ვსაუბრობთ ერთეულ წრეზე, მაშინ ეს არის ორდინატის თანაფარდობა აბსცისასთან.

ამ მიმართებებით თუ ვიმსჯელებთ, შეიძლება გვესმოდეს, რომ ტანგენსი არ შეიძლება არსებობდეს, თუ აბსცისის მნიშვნელობა ნულია, ანუ 90 გრადუსიანი კუთხით. ტანგენტს შეუძლია მიიღოს ყველა სხვა მნიშვნელობა.

ტანგენსი დადებითია ერთეული წრის პირველ და მესამე მეოთხედში, ხოლო მეორე და მეოთხეში უარყოფითი.