დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია (გაფანტვა). D(X) არის შემთხვევითი ცვლადის კვადრატული გადახრის მათემატიკური მოლოდინი მისი მათემატიკური მოლოდინისაგან.
1 ქონება. C მუდმივის დისპერსია ნულია; D(C) = 0.
მტკიცებულება.დისპერსიის განმარტებით, D(C) = M(2).
მოლოდინის პირველი თვისებიდან D(C) = M[(C – C) 2 ] = M(0) = 0.
2 ქონება.მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნეს დისპერსიის ნიშნიდან მისი კვადრატში:
D(CX) = C 2 D(X)
მტკიცებულება.დისპერსიის განმარტებით, D(CX) = M(2)
მეორე მოლოდინის თვისებიდან D(CX)=M( 2 )= C 2 M( 2 )=C 2 D(X)
3 ქონება.ორი დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადის ჯამის დისპერსია უდრის ამ ცვლადების ვარიაციების ჯამს:
D = D[X] + D.
მტკიცებულება.დისპერსიის გამოთვლის ფორმულის მიხედვით გვაქვს
D(X + Y) = M[(X + Y) 2 ] - 2
ფრჩხილების გახსნით და რამდენიმე სიდიდის ჯამის და ორი დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადის ნამრავლის მათემატიკური მოლოდინის თვისებების გამოყენებით, მივიღებთ
D(X + Y) = M − 2 = M(X2) + 2M(X)M(Y) + M(Y2) − M2(X) − 2M(X)M(Y) − M2(Y) = ( M(X2) - 2)+(M(Y2) - 2) = D(X) + D(Y). ასე რომ D(X + Y) = D(X) + D(Y)
4 ქონება. ორი დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადის სხვაობის განსხვავება უდრის მათი ვარიაციების ჯამს:
D(X − Y) = D(X) + D(Y)
მტკიცებულება.მესამე თვისების ძალით D(X − Y) = D(X) + D(–Y). მეორე ქონებით
D(X - Y) = D(X) + (–1) 2 D(Y) ან D(X - Y) = D(X) + D(Y)
შემთხვევითი ცვლადების სისტემების რიცხვითი მახასიათებლები. კორელაციის კოეფიციენტი, კორელაციის კოეფიციენტის თვისებები.
კორელაციის მომენტი.შემთხვევით ცვლადებს შორის დამოკიდებულების მახასიათებელია გადახრების პროდუქტის მათემატიკური მოლოდინი და მათი განაწილების ცენტრებიდან (როგორც ზოგჯერ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი ეწოდება), რომელსაც კორელაციის მომენტი ან კოვარიანსი ეწოდება:
დისკრეტული მნიშვნელობების კორელაციის მომენტის გამოსათვლელად გამოიყენება შემდეგი ფორმულა:
და უწყვეტი რაოდენობებისთვის - ფორმულა:
Კორელაციის კოეფიციენტი X და Y შემთხვევითი ცვლადების rxy არის კორელაციის მომენტის თანაფარდობა მნიშვნელობების სტანდარტული გადახრების ნამრავლთან:
- კორელაციის კოეფიციენტი;
კორელაციის კოეფიციენტის თვისებები:
1. თუ X და Y დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადებია, მაშინ r = 0;
2. -1≤ r ≤1 მეტიც, თუ |r| =1, მაშინ X და Y შორის არის ფუნქციური, კერძოდ, წრფივი ურთიერთობა;
3. r ახასიათებს M(XY)-ის გადახრის ფარდობით მნიშვნელობას M(X)M(Y-დან) და ვინაიდან გადახრა ხდება მხოლოდ დამოკიდებულ სიდიდეებზე, შემდეგ r ახასიათებს დამოკიდებულების სიმკაცრეს.
ხაზოვანი რეგრესიის ფუნქცია.
განვიხილოთ ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადი (X, Y), სადაც X და Y არის დამოკიდებული შემთხვევითი ცვლადები. ჩვენ წარმოვადგენთ ერთ სიდიდეს მეორის ფუნქციად. ჩვენ შემოვიფარგლებით Y-ის მიახლოებითი წარმოდგენით (ზუსტი დაახლოება, ზოგადად რომ ვთქვათ, შეუძლებელია) X-ის წრფივი ფუნქციით:
სადაც α და β არის განსაზღვრული პარამეტრები.
თეორემა. წრფივი საშუალო კვადრატული რეგრესია Y X-ზე აქვს ფორმა
სადაც m x =M(X), m y =M(Y), σ x =√D(X), σ y =√D(Y), r=μ xy /(σ x σ y)- X და Y მნიშვნელობების კორელაციის კოეფიციენტი.
კოეფიციენტი β=rσ y /σ x ეწოდება რეგრესიის კოეფიციენტი Y-დან X-მდე და სწორი ხაზი
მოუწოდა პირდაპირ საშუალო კვადრატული რეგრესია
Y-დან X-მდე.
მარკოვის უთანასწორობა.
განცხადება მარკოვის უთანასწორობის შესახებ
თუ არ არის X შემთხვევითი ცვლადის უარყოფითი მნიშვნელობები, მაშინ ალბათობა იმისა, რომ ის მიიღებს რაიმე მნიშვნელობას, რომელიც აღემატება დადებით რიცხვს A არის არაუმეტეს წილადი, ე.ი.
და ალბათობა იმისა, რომ ის მიიღებს რაიმე მნიშვნელობას, რომელიც არ აღემატება დადებით რიცხვს A არ არის ნაკლები, ე.ი.
ჩებიშევის უთანასწორობა.
ჩებიშევის უთანასწორობა. ალბათობა იმისა, რომ X შემთხვევითი ცვლადის გადახრა მისი მათემატიკური მოლოდინიდან აბსოლუტური სიდიდით ნაკლებია დადებით რიცხვზე ε, არანაკლებ 1 -D[X]ε 2
P(|X – M(X)|< ε) ≥ 1 –D(X)ε 2
მტკიცებულება.უთანასწორობის რეალიზებაში შემდგარი მოვლენებიდან
P(|X−M(X)|< ε) и P(|X – M(X)| ≥ε) противоположны, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.
P(|X – M(X)|< ε) + P(|X – M(X)| ≥ ε) = 1.
აქედან გამომდინარეობს ალბათობა, რომელიც ჩვენ გვაინტერესებს
P(|X – M(X)|< ε) = 1 − P(|X – M(X)| > ε).
ამრიგად, პრობლემა მცირდება P(|X –M(X)| ≥ ε) ალბათობის გამოთვლამდე.
მოდით დავწეროთ გამოხატულება X შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიისთვის
D(X) = 2p1 + 2p2 + . . . + 2 პნ
ამ თანხის ყველა პირობა არ არის უარყოფითი. ჩვენ უარვყოფთ იმ ტერმინებს, რომლებისთვისაც |x i – M(X)|< ε (для оставшихся слагаемых |x j – M(X)| ≥ ε), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся считать для определенности, что отброшено k первых слагаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таблице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,
D(X) ≥ 2 p k+1 + 2 p k+2 + . . . + 2 პნ
უტოლობის ორივე ნაწილი |x j –M(X)| ≥ ε (j = k+1, k+2, . . ., n) დადებითია, შესაბამისად, მათი კვადრატში ვიღებთ ეკვივალენტურ უტოლობას |x j – M(X)| 2 ≥ε 2. თითოეული ფაქტორის ჩანაცვლება დარჩენილი ჯამით
|xj – M(X)| 2 ε 2 რიცხვით (ამ შემთხვევაში, უტოლობა შეიძლება მხოლოდ გაიზარდოს), ვიღებთ
D(X) ≥ ε 2 (p k+1 + p k+2 + . . . + p n)
მიმატების თეორემით, ალბათობათა ჯამი არის p k+1 +p k+2 +. . .+p n არის ალბათობა იმისა, რომ X მიიღებს ერთს, არ აქვს მნიშვნელობა რომელი მნიშვნელობებიდან x k+1 +x k+2 +. . .+x n , და რომელიმე მათგანისთვის გადახრა აკმაყოფილებს უტოლობას |x j – M(X)| ≥ ε. აქედან გამომდინარეობს, რომ ჯამი p k+1 + p k+2 + . . . + p n გამოხატავს ალბათობას
P(|X – M(X)| ≥ ε).
ეს საშუალებას გვაძლევს გადავწეროთ D(X)-ის უტოლობა როგორც
D(X) ≥ ε 2 P(|X – M(X)| ≥ ε)
P(|X – M(X)|≥ ε) ≤D(X)/ε 2
ბოლოს მივიღებთ
P(|X – M(X)|< ε) ≥D(X)/ε 2
ჩებიშევის თეორემა.
ჩებიშევის თეორემა. Თუ - წყვილი დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადები და მათი ვარიაციები ერთნაირად შეზღუდულია (არ აღემატებოდეს მუდმივ რიცხვსთან ), მაშინ რაც არ უნდა მცირე იყოს დადებითი რიცხვიε , უთანასწორობის ალბათობა
თვითნებურად ახლოს იქნება ერთიანობასთან, თუ შემთხვევითი ცვლადების რაოდენობა საკმარისად დიდია.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თეორემის პირობებში
მტკიცებულება. მოდით განვიხილოთ ახალი შემთხვევითი ცვლადი - შემთხვევითი ცვლადების საშუალო არითმეტიკული
ვიპოვოთ მათემატიკური მოლოდინი X. მათემატიკური მოლოდინის თვისებების გამოყენებით (მათემატიკური მოლოდინის ნიშნიდან შეიძლება ამოღებულ იქნას მუდმივი ფაქტორი, ჯამის მათემატიკური მოლოდინი უდრის ტერმინების მათემატიკური მოლოდინების ჯამს) , ვიღებთ
| (1) |
ჩებიშევის უტოლობის გამოყენება X-ზე, გვაქვს
ან (1) მიმართების გათვალისწინებით
დისპერსიის თვისებების გამოყენებით (მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას დისპერსიის ნიშნიდან კვადრატში; დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამის დისპერსია უდრის ტერმინების ვარიაციების ჯამს), ვიღებთ.
პირობით, ყველა შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიები შემოიფარგლება მუდმივი რიცხვით C, ე.ი. არის უთანასწორობები:
 (2)
|
(2)-ის მარჯვენა მხარის ჩანაცვლება უტოლობით (1) (რატომ შეიძლება მხოლოდ ამ უკანასკნელის გაძლიერება), გვაქვს
მაშასადამე, n→∞-ის ლიმიტზე გადასვლისას მივიღებთ
საბოლოოდ, იმის გათვალისწინებით, რომ ალბათობა არ შეიძლება აღემატებოდეს ერთს, საბოლოოდ შეგვიძლია დავწეროთ
თეორემა დადასტურდა.
ბერნულის თეორემა.
ბერნულის თეორემა. თუ თითოეულ n დამოუკიდებელ ცდაში A მოვლენის დადგომის p ალბათობა მუდმივია, მაშინ ალბათობა თვითნებურად ახლოს არის ერთიანობასთან, რომ ფარდობითი სიხშირის გადახრა ალბათობიდან p აბსოლუტურ მნიშვნელობაში იქნება თვითნებურად მცირე, თუ ცდების რაოდენობა. საკმარისად დიდია.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ ε არის თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვი, მაშინ თეორემის პირობებში გვაქვს ტოლობა
მტკიცებულება. აღნიშნეთ მიერ x1დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი - მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა პირველ ტესტში, მეშვეობით x2- მეორეში, ..., X n-ში ნე ტესტი. ცხადია, რომ თითოეულ რაოდენობას შეუძლია მიიღოს მხოლოდ ორი მნიშვნელობა: 1 (მოვლენა A მოხდა) ალბათობით. გვდა 0 (მოვლენა არ მომხდარა) ალბათობით.
თემა 8.12. შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია.
ო.შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია არის შემთხვევითი ცვლადის კვადრატული გადახრის მათემატიკური მოლოდინი მისი მათემატიკური მოლოდინისაგან.
დისპერსია ახასიათებს შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების დისპერსიის ხარისხს მის მათემატიკური მოლოდინის მიმართ. თუ შემთხვევითი ცვლადის ყველა მნიშვნელობა მჭიდროდ არის კონცენტრირებული მის მათემატიკური მოლოდინის გარშემო და მათემატიკური მოლოდინიდან დიდი გადახრები ნაკლებად სავარაუდოა, მაშინ ასეთ შემთხვევით ცვლადს აქვს მცირე დისპერსია. თუ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები მიმოფანტულია და მათემატიკური მოლოდინიდან დიდი გადახრების ალბათობაა, მაშინ ასეთ შემთხვევით ცვლადს აქვს დიდი დისპერსია.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის დისკრეტული ცვლადის განმარტების გამოყენებით, დისკრეციის გამოთვლის ფორმულა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:
თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ სხვა ფორმულა დისპერსიის გამოსათვლელად:
ამრიგად, შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია უდრის სხვაობას შემთხვევითი ცვლადის კვადრატის მათემატიკური მოლოდინისა და მისი მათემატიკური მოლოდინის კვადრატს შორის.
დისპერსიული თვისებები.
ჩვენ ვტოვებთ ამ ქონებას მტკიცებულების გარეშე.
ბინომალური განაწილების კანონი.
მოდით რიცხვები იყოს მოცემული n ეკუთვნის ნდა გვ(0 <გვ< ერთი). შემდეგ ინტერვალიდან თითოეულ მთელ რიცხვს შეიძლება მიენიჭოს ბერნულის ფორმულით გამოთვლილი ალბათობა. მივიღოთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი (დავარქვათ მას B(betta))
ჩვენ ვიტყვით, რომ შემთხვევითი ცვლადი ნაწილდება ბერნულის კანონის მიხედვით. ასეთი შემთხვევითი ცვლადი არის მოვლენის A-ში დადგომის სიხშირე ნგანმეორებითი დამოუკიდებელი ცდები, თუ ყოველ საცდელ მოვლენაში A ხდება ალბათობით გვ.
განიხილეთ ცალკე მე- ე ტესტი. მისთვის ელემენტარული შედეგების სივრცეს აქვს ფორმა
წინა თემაში განხილული იყო შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი
ამისთვის მე= 1,2, ... , ნჩვენ ვიღებთ სისტემას ნდამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადები, რომლებსაც აქვთ იგივე განაწილების კანონები. 
მაგალითი.
კონტროლისთვის შერჩეული 20 პროდუქტის ნიმუშიდან 4 არასტანდარტული აღმოჩნდა. მოდით შევაფასოთ ალბათობა იმისა, რომ პროდუქტის შემთხვევით შერჩეული ასლი არ აკმაყოფილებს სტანდარტს თანაფარდობით R *= 4/20 = 0,2.
როგორც Xშემთხვევითი მნიშვნელობა, R *ასევე არის შემთხვევითი ცვლადი. ღირებულებები R *შეიძლება განსხვავდებოდეს ერთი ექსპერიმენტიდან მეორეში (განსახილველ შემთხვევაში ექსპერიმენტი არის 20 პროდუქტის შემთხვევითი შერჩევა და კონტროლი). რა არის მათემატიკური მოლოდინი R *? Იმდენად, რამდენადაც Xარის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც წარმოადგენს წარმატებების რაოდენობას ნბერნულის ტესტი, M( x) = np. შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინისთვის რ* განმარტებით ვიღებთ: მ(გვ*) = M(x/n), მაგრამ ნაქ არის მუდმივი, ასე რომ, მოლოდინის თვისებით
მ(გვ*) = 1/n*M(x)=1/n np=p
ამრიგად, "საშუალო" არის ნამდვილი მნიშვნელობა რ, რაც მოსალოდნელია. ეს არის შეფასების თვისება R*რაოდენობები რაქვს სახელი: R*არის მიუკერძოებელიშეფასება ამისთვის რ. არ არის სისტემატური გადახრა სავარაუდო პარამეტრის მნიშვნელობიდან რადასტურებს ღირებულების გამოყენების შესაძლებლობას R*როგორც შეფასება. შეფასების სიზუსტის საკითხს ჯერ ღიად ვტოვებთ.
მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია შემთხვევითი ცვლადის ყველაზე ხშირად გამოყენებული რიცხვითი მახასიათებლებია. ისინი ახასიათებენ განაწილების ყველაზე მნიშვნელოვან მახასიათებლებს: მის პოზიციას და დისპერსიის ხარისხს. პრაქტიკის ბევრ პრობლემაში შემთხვევითი ცვლადის - განაწილების კანონის - სრული, ამომწურავი აღწერა ან საერთოდ ვერ მოიპოვება, ან საერთოდ არ არის საჭირო. ამ შემთხვევებში, ისინი შემოიფარგლება შემთხვევითი ცვლადის სავარაუდო აღწერით რიცხვითი მახასიათებლების გამოყენებით.
მათემატიკური მოლოდინი ხშირად მოიხსენიება უბრალოდ, როგორც შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა. შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია არის დისპერსიის მახასიათებელი, შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია მისი მათემატიკური მოლოდინის გარშემო.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი
მოდით მივუდგეთ მათემატიკური მოლოდინის კონცეფციას, პირველ რიგში, დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების მექანიკური ინტერპრეტაციიდან გამომდინარე. მოდით, ერთეული მასა გადანაწილდეს x-ღერძის წერტილებს შორის x1 , x 2 , ..., xნდა თითოეულ მატერიალურ წერტილს აქვს შესაბამისი მასა გვ1 , გვ 2 , ..., გვნ. საჭიროა x ღერძზე ერთი წერტილის არჩევა, რომელიც ახასიათებს მატერიალური წერტილების მთელი სისტემის პოზიციას მათი მასების გათვალისწინებით. ბუნებრივია მატერიალური წერტილების სისტემის მასის ცენტრი ასეთ წერტილად ავიღოთ. ეს არის შემთხვევითი ცვლადის შეწონილი საშუალო X, რომელშიც თითოეული წერტილის აბსციზა xმეშემოდის შესაბამისი ალბათობის ტოლი „წონით“. ამგვარად მიღებული შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა Xეწოდება მის მათემატიკური მოლოდინი.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი არის მისი ყველა შესაძლო მნიშვნელობის პროდუქციის ჯამი და ამ მნიშვნელობების ალბათობა:
მაგალითი 1მოეწყო მომგებიანი ლატარია. არის 1000 მოგება, აქედან 400 თითო 10 რუბლია. თითოეული 300-20 რუბლი თითო 200-100 რუბლი. და თითოეული 100 - 200 რუბლი. რა არის საშუალო მოგება იმისთვის, ვინც ყიდულობს ერთ ბილეთს?
გადაწყვეტილება. საშუალო მოგებას ვიპოვით, თუ მოგების ჯამური რაოდენობა, რომელიც უდრის 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 რუბლს, გაიყოფა 1000-ზე (მოგების მთლიანი რაოდენობა). შემდეგ ვიღებთ 50000/1000 = 50 რუბლს. მაგრამ საშუალო მოგების გამოთვლის გამოხატულება ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ფორმით:
მეორეს მხრივ, ამ პირობებში, მოგების ოდენობა არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელსაც შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები 10, 20, 100 და 200 რუბლი. 0,4-ის ტოლი ალბათობით; 0.3; 0.2; 0.1. მაშასადამე, მოსალოდნელი საშუალო ანაზღაურება უდრის ანაზღაურების ზომის პროდუქტების ჯამს და მათი მიღების ალბათობას.
მაგალითი 2გამომცემლობამ ახალი წიგნის გამოცემა გადაწყვიტა. წიგნის გაყიდვას 280 მანეთად აპირებს, საიდანაც 200 მას გადაეცემა, 50 წიგნის მაღაზიას, 30 კი ავტორს. ცხრილში მოცემულია ინფორმაცია წიგნის გამოცემის ღირებულებისა და წიგნის გარკვეული რაოდენობის ასლების გაყიდვის ალბათობის შესახებ.
იპოვეთ გამომცემლის მოსალოდნელი მოგება.
გადაწყვეტილება. შემთხვევითი ცვლადი „მოგება“ უდრის სხვაობას გაყიდვიდან შემოსავალსა და დანახარჯების ღირებულებას შორის. მაგალითად, თუ წიგნის 500 ეგზემპლარი გაიყიდება, მაშინ გაყიდვიდან შემოსავალი არის 200 * 500 = 100 000, ხოლო გამოცემის ღირებულება 225 000 რუბლს შეადგენს. ამრიგად, გამომცემელს 125000 რუბლის ზარალი ემუქრება. შემდეგი ცხრილი აჯამებს შემთხვევითი ცვლადის - მოგების მოსალოდნელ მნიშვნელობებს:
| ნომერი | მოგება xმე | ალბათობა გვმე | xმე გვმე |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| სულ: | 1,00 | 25000 |
ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ გამომცემლის მოგების მათემატიკურ მოლოდინს:
.
მაგალითი 3ერთი გასროლით დარტყმის შანსი გვ= 0.2. განსაზღვრეთ ჭურვების მოხმარება, რომლებიც უზრუნველყოფენ 5-ის ტოლი დარტყმების რაოდენობის მათემატიკურ მოლოდინს.
გადაწყვეტილება. იგივე მოლოდინის ფორმულიდან, რომელსაც აქამდე ვიყენებდით, გამოვხატავთ x- ჭურვების მოხმარება:
.
მაგალითი 4დაადგინეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი xდარტყმების რაოდენობა სამი გასროლით, თუ ყოველი გასროლით დარტყმის ალბათობაა გვ = 0,4 .
მინიშნება: იპოვნეთ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების ალბათობა ბერნულის ფორმულა .
მოლოდინის თვისებები
განვიხილოთ მათემატიკური მოლოდინის თვისებები.
საკუთრება 1.მუდმივი მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინი ამ მუდმივის ტოლია:
საკუთრება 2.მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას მოლოდინის ნიშნიდან:
საკუთრება 3.შემთხვევითი ცვლადების ჯამის (განსხვავების) მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ჯამს (განსხვავებას):
საკუთრება 4.შემთხვევითი ცვლადების ნამრავლის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ნამრავლს:
საკუთრება 5.თუ შემთხვევითი ცვლადის ყველა მნიშვნელობა Xკლება (გადიდება) იმავე რაოდენობით თან, მაშინ მისი მათემატიკური მოლოდინი შემცირდება (გაიზრდება) იგივე რაოდენობით:
როცა მხოლოდ მათემატიკური მოლოდინით ვერ შემოიფარგლები
უმეტეს შემთხვევაში, მხოლოდ მათემატიკური მოლოდინი არ შეუძლია ადეკვატურად დაახასიათოს შემთხვევითი ცვლადი.
დაუშვით შემთხვევითი ცვლადები Xდა იმოცემულია შემდეგი განაწილების კანონებით:
| მნიშვნელობა X | ალბათობა |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| მნიშვნელობა ი | ალბათობა |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
ამ სიდიდეების მათემატიკური მოლოდინი იგივეა - ნულის ტოლია:
თუმცა, მათი განაწილება განსხვავებულია. შემთხვევითი მნიშვნელობა Xშეუძლია მიიღოს მხოლოდ მნიშვნელობები, რომლებიც ოდნავ განსხვავდება მათემატიკური მოლოდინისა და შემთხვევითი ცვლადისგან იშეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები, რომლებიც მნიშვნელოვნად განსხვავდება მათემატიკური მოლოდინისგან. მსგავსი მაგალითი: საშუალო ხელფასი არ იძლევა საშუალებას ვიმსჯელოთ მაღალა და დაბალანაზღაურებადი მუშაკების პროპორციის შესახებ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მათემატიკური მოლოდინით არ შეიძლება ვიმსჯელოთ მისგან, საშუალოდ მაინც, რა გადახრებია შესაძლებელი. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია
დისპერსიადისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი Xმათემატიკური მოლოდინისგან მისი გადახრის კვადრატის მათემატიკური მოლოდინი ეწოდება:
შემთხვევითი ცვლადის სტანდარტული გადახრა Xარის მისი ვარიაციის კვადრატული ფესვის არითმეტიკული მნიშვნელობა:
.
მაგალითი 5გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადების ვარიაციები და სტანდარტული გადახრები Xდა ი, რომლის განაწილების კანონები მოცემულია ზემოთ მოცემულ ცხრილებში.
გადაწყვეტილება. შემთხვევითი ცვლადების მათემატიკური მოლოდინი Xდა იროგორც ზემოთ ვნახეთ, ნულის ტოლია. დისპერსიის ფორმულის მიხედვით ე(X)=ე(წ)=0 ვიღებთ:
შემდეგ შემთხვევითი ცვლადების სტანდარტული გადახრები Xდა იშეადგენენ
.
ამრიგად, იგივე მათემატიკური მოლოდინებით, შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია Xძალიან პატარა და შემთხვევითი ი- მნიშვნელოვანი. ეს არის მათი განაწილების სხვაობის შედეგი.
მაგალითი 6ინვესტორს აქვს 4 ალტერნატიული საინვესტიციო პროექტი. ცხრილი აჯამებს მონაცემებს ამ პროექტებში მოსალოდნელი მოგების შესახებ შესაბამისი ალბათობით.
| პროექტი 1 | პროექტი 2 | პროექტი 3 | პროექტი 4 |
| 500, პ=1 | 1000, პ=0,5 | 500, პ=0,5 | 500, პ=0,5 |
| 0, პ=0,5 | 1000, პ=0,25 | 10500, პ=0,25 | |
| 0, პ=0,25 | 9500, პ=0,25 |
იპოვეთ თითოეული ალტერნატივის მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და სტანდარტული გადახრა.
გადაწყვეტილება. მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ გამოითვლება ეს რაოდენობები მე-3 ალტერნატივისთვის:
ცხრილი აჯამებს ნაპოვნი მნიშვნელობებს ყველა ალტერნატივისთვის.
ყველა ალტერნატივას აქვს ერთი და იგივე მათემატიკური მოლოდინი. ეს ნიშნავს, რომ გრძელვადიან პერსპექტივაში ყველას ერთნაირი შემოსავალი აქვს. სტანდარტული გადახრა შეიძლება განიმარტოს, როგორც რისკის საზომი - რაც უფრო დიდია ის, მით მეტია ინვესტიციის რისკი. ინვესტორი, რომელსაც არ სურს დიდი რისკი, აირჩევს პროექტს 1, რადგან მას აქვს ყველაზე მცირე სტანდარტული გადახრა (0). თუ ინვესტორი უპირატესობას ანიჭებს რისკს და მაღალ შემოსავალს მოკლე პერიოდში, მაშინ ის აირჩევს პროექტს ყველაზე დიდი სტანდარტული გადახრით - პროექტი 4.
დისპერსიული თვისებები
წარმოგიდგენთ დისპერსიის თვისებებს.
საკუთრება 1.მუდმივი მნიშვნელობის დისპერსია ნულია:
საკუთრება 2.მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნეს დისპერსიის ნიშნიდან მისი კვადრატში:
.
საკუთრება 3.შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია ტოლია ამ მნიშვნელობის კვადრატის მათემატიკური მოლოდინისა, რომელსაც აკლდება თავად მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინის კვადრატი:
,
სადაც 
.
საკუთრება 4.შემთხვევითი ცვლადების ჯამის (განსხვავების) დისპერსია უდრის მათი ვარიაციების ჯამს (განსხვავებას):
მაგალითი 7ცნობილია, რომ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი Xიღებს მხოლოდ ორ მნიშვნელობას: −3 და 7. გარდა ამისა, ცნობილია მათემატიკური მოლოდინი: ე(X) = 4. იპოვეთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია.
გადაწყვეტილება. აღნიშნეთ მიერ გვალბათობა, რომლითაც შემთხვევითი ცვლადი იღებს მნიშვნელობას x1 = −3 . მაშინ მნიშვნელობის ალბათობა x2 = 7 იქნება 1 − გვ. მოდით გამოვიტანოთ განტოლება მათემატიკური მოლოდინისთვის:
ე(X) = x 1 გვ + x 2 (1 − გვ) = −3გვ + 7(1 − გვ) = 4 ,
სადაც ვიღებთ ალბათობას: გვ= 0.3 და 1 - გვ = 0,7 .
შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი:
| X | −3 | 7 |
| გვ | 0,3 | 0,7 |
ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიას ფორმულის გამოყენებით დისპერსიის 3 თვისებიდან:
დ(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და შემდეგ ნახეთ გამოსავალი
მაგალითი 8დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი Xიღებს მხოლოდ ორ მნიშვნელობას. ის იღებს 3 მნიშვნელობებს უფრო დიდს, ალბათობით 0,4. გარდა ამისა, ცნობილია შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიაც დ(X) = 6. იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი.
მაგალითი 9ურნა შეიცავს 6 თეთრ და 4 შავ ბურთულას. ურნიდან იღებენ 3 ბურთულას. თეთრი ბურთების რაოდენობა დახატულ ბურთებს შორის არის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი X. იპოვეთ ამ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაცია.
გადაწყვეტილება. შემთხვევითი მნიშვნელობა Xშეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები 0, 1, 2, 3. შესაბამისი ალბათობები შეიძლება გამოითვალოს ალბათობათა გამრავლების წესი. შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| გვ | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
აქედან გამომდინარეობს ამ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი:
მ(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
მოცემული შემთხვევითი ცვლადის ვარიაციაა:
დ(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის, მათემატიკური მოლოდინის მექანიკური ინტერპრეტაცია ინარჩუნებს იგივე მნიშვნელობას: მასის ცენტრი ერთეული მასისთვის, რომელიც განაწილებულია მუდმივად x ღერძზე სიმკვრივით. ვ(x). დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისგან განსხვავებით, რომლისთვისაც ფუნქციის არგუმენტია xმეიცვლება მკვეთრად, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის შემთხვევაში, არგუმენტი მუდმივად იცვლება. მაგრამ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი ასევე დაკავშირებულია მის საშუალო მნიშვნელობასთან.
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინისა და დისპერსიის საპოვნელად, თქვენ უნდა იპოვოთ განსაზღვრული ინტეგრალები. . თუ მოცემულია უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის სიმკვრივის ფუნქცია, მაშინ ის პირდაპირ შედის ინტეგრანდში. თუ მოცემულია ალბათობის განაწილების ფუნქცია, მაშინ მისი დიფერენცირებით, თქვენ უნდა იპოვოთ სიმკვრივის ფუნქცია.
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის არითმეტიკული საშუალო ეწოდება მას მათემატიკური მოლოდინი, აღინიშნება ან .
წინაში ჩვენ მივეცით რამდენიმე ფორმულა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ფუნქციების რიცხვითი მახასიათებლები, როდესაც ცნობილია არგუმენტების განაწილების კანონები. თუმცა, ხშირ შემთხვევაში, ფუნქციების რიცხვითი მახასიათებლების საპოვნელად კი არ არის საჭირო არგუმენტების განაწილების კანონების ცოდნა, არამედ საკმარისია ვიცოდეთ მხოლოდ მათი რიცხვითი მახასიათებლები; ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვაკეთებთ განაწილების კანონების გარეშე. ფუნქციების რიცხვითი მახასიათებლების განსაზღვრა არგუმენტების მოცემული რიცხვითი მახასიათებლებით ფართოდ გამოიყენება ალბათობის თეორიაში და შესაძლებელს ხდის მნიშვნელოვნად გაამარტივებს რიგი ამოცანების გადაწყვეტას. უმეტესწილად, ასეთი გამარტივებული მეთოდები ეხება წრფივ ფუნქციებს; თუმცა, ზოგიერთი ელემენტარული არაწრფივი ფუნქციაც იძლევა ამ მიდგომის საშუალებას.
ამჟამად წარმოგიდგენთ რამდენიმე თეორემას ფუნქციების რიცხვითი მახასიათებლების შესახებ, რომლებიც მთლიანობაში წარმოადგენს ამ მახასიათებლების გამოსათვლელ ძალიან მარტივ აპარატს, რომელიც გამოიყენება პირობების ფართო სპექტრში.
1. არა შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი
აღნიშნული ქონება საკმაოდ აშკარაა; ეს შეიძლება დადასტურდეს არაშემთხვევითი ცვლადის ცალკეული ტიპის შემთხვევითი ცვლადის გათვალისწინებით, ერთი შესაძლო მნიშვნელობით ერთის ალბათობით; შემდეგ მათემატიკური მოლოდინის ზოგადი ფორმულის მიხედვით:
.
2. არაშემთხვევითი ცვლადის დისპერსია
თუ არის არა შემთხვევითი მნიშვნელობა, მაშინ
3. არაშემთხვევითი ცვლადის ამოღება მათემატიკური მოლოდინის ნიშნის მიღმა
, (10.2.1)
ანუ, არა შემთხვევითი მნიშვნელობა შეიძლება ამოღებულ იქნეს მოლოდინის ნიშნიდან.
მტკიცებულება.
ა) წყვეტილი რაოდენობით
ბ) უწყვეტი რაოდენობით
.
4. დისპერსიისა და სტანდარტული გადახრის ნიშნისთვის არაშემთხვევითი მნიშვნელობის ამოღება
თუ არის არა შემთხვევითი ცვლადი და არის შემთხვევითი, მაშინ
, (10.2.2)
ანუ არაშემთხვევითი მნიშვნელობა შეიძლება ამოღებულ იქნეს დისპერსიის ნიშნიდან მისი კვადრატში.
მტკიცებულება. დისპერსიის განმარტებით
შედეგი
,
ანუ, არა შემთხვევითი მნიშვნელობა შეიძლება ამოღებულ იქნას სტანდარტული გადახრის ნიშნიდან მისი აბსოლუტური მნიშვნელობით. ჩვენ ვიღებთ მტკიცებულებას ფორმულიდან (10.2.2) კვადრატული ფესვის ამოღებით და იმის გათვალისწინებით, რომ რ.ს.ც. არსებითად დადებითი ღირებულებაა.
5. შემთხვევითი ცვლადების ჯამის მათემატიკური მოლოდინი
მოდით დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი ორი შემთხვევითი ცვლადი და
ანუ ორი შემთხვევითი ცვლადის ჯამის მათემატიკური მოლოდინი მათი მათემატიკური მოლოდინების ჯამის ტოლია.
ეს თვისება ცნობილია, როგორც მოლოდინის დამატების თეორემა.
მტკიცებულება.
ა) მოდით იყოს წყვეტილი შემთხვევითი ცვლადების სისტემა. შემთხვევითი ცვლადების ჯამს გამოვიყენოთ ზოგადი ფორმულა (10.1.6) ორი არგუმენტის ფუნქციის მათემატიკური მოლოდინისთვის:
.
Ho სხვა არაფერია, თუ არა მთლიანი ალბათობა იმისა, რომ მნიშვნელობა მიიღებს მნიშვნელობას:
;
აქედან გამომდინარე,
.
ანალოგიურად, ჩვენ ამას დავამტკიცებთ
,
და თეორემა დადასტურებულია.
ბ) იყოს უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების სისტემა. ფორმულის მიხედვით (10.1.7)
. (10.2.4)
ჩვენ გარდაქმნით ინტეგრალთაგან პირველს (10.2.4):
;
ისევე
,
და თეორემა დადასტურებულია.
საგანგებოდ უნდა აღინიშნოს, რომ მათემატიკური მოლოდინების დამატების თეორემა მოქმედებს ნებისმიერ შემთხვევით ცვლადზე - როგორც დამოკიდებულზე, ასევე დამოუკიდებელზე.
მოლოდინის დამატების თეორემა შეიძლება განზოგადდეს ტერმინების თვითნებურ რაოდენობაზე:
, (10.2.5)
ანუ რამდენიმე შემთხვევითი ცვლადის ჯამის მათემატიკური მოლოდინი მათი მათემატიკური მოლოდინების ჯამის ტოლია.
ამის დასამტკიცებლად საკმარისია სრული ინდუქციის მეთოდის გამოყენება.
6. წრფივი ფუნქციის მათემატიკური მოლოდინი
განვიხილოთ რამდენიმე შემთხვევითი არგუმენტის წრფივი ფუნქცია:
სადაც არის არა შემთხვევითი კოეფიციენტები. ეს დავამტკიცოთ
, (10.2.6)
ანუ წრფივი ფუნქციის საშუალო ტოლია არგუმენტების საშუალოს იგივე წრფივი ფუნქციისა.
მტკიცებულება. მიმატების თეორემის გამოყენებით m.o. და m.o-ს ნიშნიდან არაშემთხვევითი ცვლადის ამოღების წესს მივიღებთ:
.
7. დისპეპშემთხვევითი ცვლადების ეს ჯამი
ორი შემთხვევითი ცვლადის ჯამის დისპერსია ტოლია მათი ვარიაციების ჯამის პლუს კორელაციის მომენტის ორჯერ:
მტკიცებულება. აღნიშნეთ
მათემატიკური მოლოდინების შეკრების თეორემის მიხედვით
მოდით გადავიდეთ შემთხვევითი ცვლადებიდან შესაბამის ცენტრში ცვლადებზე. თუ გამოვაკლებთ ტერმინს ტოლობის (10.2.8) ტოლობას (10.2.9), მივიღებთ:
დისპერსიის განმარტებით
ქ.ე.დ.
ჯამის დისპერსიის ფორმულა (10.2.7) შეიძლება განზოგადდეს ტერმინების ნებისმიერ რაოდენობაზე:
,
(10.2.10)
სადაც არის მნიშვნელობების კორელაციის მომენტი, ჯამის ქვეშ ნიშანი ნიშნავს, რომ ჯამი ვრცელდება შემთხვევითი ცვლადების ყველა შესაძლო წყვილთა კომბინაციაზე 
.
მტკიცებულება წინას მსგავსია და გამომდინარეობს მრავალწევრის კვადრატის ფორმულიდან.
ფორმულა (10.2.10) შეიძლება დაიწეროს სხვა ფორმით:
, (10.2.11)
სადაც ორმაგი ჯამი ვრცელდება რაოდენობათა სისტემის კორელაციური მატრიცის ყველა ელემენტზე , რომელიც შეიცავს როგორც კორელაციის მომენტებს, ასევე დისპერსიებს.
თუ ყველა შემთხვევითი ცვლადი სისტემაში შემავალი, არაკორელირებულია (ანუ ზე), ფორმულა (10.2.10) იღებს ფორმას:
, (10.2.12)
ე.ი. არაკორელირებული შემთხვევითი ცვლადების ჯამის დისპერსია ტოლია ტერმინების ვარიაციების ჯამის.
ეს წინადადება ცნობილია, როგორც დისპერსიის დამატების თეორემა.
8. წრფივი ფუნქციის დისპერსია
განვიხილოთ რამდენიმე შემთხვევითი ცვლადის წრფივი ფუნქცია.
სადაც არის არა შემთხვევითი ცვლადები.
დავამტკიცოთ, რომ ამ წრფივი ფუნქციის დისპერსია გამოიხატება ფორმულით
, (10.2.13)
სად არის სიდიდეების კორელაციის მომენტი, .
მტკიცებულება. შემოვიღოთ აღნიშვნა:
. (10.2.14)
ფორმულის გამოყენებით (10.2.10) ჯამის დისპერსიისთვის გამოსახულების მარჯვენა მხარეს (10.2.14) და იმის გათვალისწინებით, რომ , მივიღებთ:
სად არის სიდიდეების კორელაციის მომენტი:
.
მოდით გამოვთვალოთ ეს მომენტი. Ჩვენ გვაქვს:
;
ისევე
ამ გამოთქმის ჩანაცვლებით (10.2.15), მივდივართ ფორმულამდე (10.2.13).
კონკრეტულ შემთხვევაში, როდესაც ყველა რაოდენობა არაკორელირებული, ფორმულა (10.2.13) იღებს ფორმას:
, (10.2.16)
ე.ი. არაკორელირებული შემთხვევითი ცვლადების წრფივი ფუნქციის ვარიაცია უდრის კოეფიციენტების კვადრატების ნამრავლებისა და შესაბამისი არგუმენტების ვარიაციების ჯამს.
9. შემთხვევითი ცვლადების ნამრავლის მათემატიკური მოლოდინი
ორი შემთხვევითი ცვლადის ნამრავლის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ნამრავლს პლუს კორელაციის მომენტს:
მტკიცებულება. ჩვენ გავაგრძელებთ კორელაციის მომენტის განმარტებას:
ჩვენ ამ გამონათქვამს გარდაქმნით მათემატიკური მოლოდინის თვისებების გამოყენებით:
რომელიც აშკარად ექვივალენტურია ფორმულის (10.2.17).
თუ შემთხვევითი ცვლადები არაკორელირებულია, მაშინ ფორმულა (10.2.17) იღებს ფორმას:
ანუ ორი არაკორელირებული შემთხვევითი ცვლადის ნამრავლის საშუალო ტოლია მათი საშუალო ნამრავლის.
ეს განცხადება ცნობილია, როგორც მოლოდინის გამრავლების თეორემა.
ფორმულა (10.2.17) სხვა არაფერია, თუ არა სისტემის მეორე შერეული ცენტრალური მომენტის გამოხატულება მეორე შერეული საწყისი მომენტისა და მათემატიკური მოლოდინების თვალსაზრისით:
. (10.2.19)
ეს გამოთქმა ხშირად გამოიყენება პრაქტიკაში კორელაციური მომენტის გაანგარიშებისას ისევე, როგორც ერთი შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია ხშირად გამოითვლება მეორე საწყისი მომენტისა და მათემატიკური მოლოდინის მეშვეობით.
მოლოდინის გამრავლების თეორემა ასევე შეიძლება განზოგადდეს ფაქტორების თვითნებურ რაოდენობაზე, მხოლოდ ამ შემთხვევაში მისი გამოსაყენებლად საკმარისი არ არის სიდიდეების არაკორელაცია, არამედ საჭიროა გაქრეს რამდენიმე უმაღლესი შერეული მომენტიც, რომელთა რაოდენობა დამოკიდებულია ტერმინების რაოდენობა პროდუქტში. ეს პირობები, რა თქმა უნდა, დაკმაყოფილებულია, თუ პროდუქტში შემავალი შემთხვევითი ცვლადები დამოუკიდებელია. Ამ შემთხვევაში
, (10.2.20)
ანუ დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ნამრავლის მათემატიკური მოლოდინი მათი მათემატიკური მოლოდინების ნამრავლის ტოლია.
ეს წინადადება მარტივად შეიძლება დადასტურდეს სრული ინდუქციით.
10. დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ნამრავლის დისპერსია
მოდით დავამტკიცოთ ეს დამოუკიდებელი ცვლადებისთვის
მტკიცებულება. აღვნიშნოთ. დისპერსიის განმარტებით
ვინაიდან რაოდენობები დამოუკიდებელია და
დამოუკიდებელისთვის, რაოდენობებიც დამოუკიდებელია; აქედან გამომდინარე,
,
მაგრამ სხვა არაფერია, თუ არა რაოდენობის მეორე საწყისი მომენტი და, შესაბამისად, გამოიხატება დისპერსიის თვალსაზრისით:
;
ისევე
.
ამ გამონათქვამების (10.2.22) ფორმულით ჩანაცვლებით და მსგავსი ტერმინების მოყვანით, მივდივართ ფორმულამდე (10.2.21).
იმ შემთხვევაში, როდესაც მრავლდება ორიენტირებული შემთხვევითი ცვლადები (მნიშვნელობები მათემატიკური მოლოდინებით ნულის ტოლია), ფორმულა (10.2.21) იღებს ფორმას:
, (10.2.23)
ანუ დამოუკიდებელი ცენტრირებული შემთხვევითი ცვლადების ნამრავლის დისპერსია უდრის მათი დისპერსიების ნამრავლს.
11. შემთხვევითი ცვლადების ჯამის უმაღლესი მომენტები
ზოგიერთ შემთხვევაში აუცილებელია დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამის უფრო მაღალი მომენტების გამოთვლა. მოდით დავამტკიცოთ რამდენიმე დაკავშირებული ურთიერთობა.
1) თუ რაოდენობები დამოუკიდებელია, მაშინ
მტკიცებულება.
საიდანაც მოლოდინის გამრავლების თეორემით
მაგრამ პირველი ცენტრალური მომენტი ნებისმიერი სიდიდისთვის არის ნული; ორი შუა ტერმინი ქრება და ფორმულა (10.2.24) დამტკიცდა.
კავშირი (10.2.24) ადვილად განზოგადდება დამოუკიდებელი ტერმინების თვითნებური რაოდენობის ინდუქციის გზით:
. (10.2.25)
2) ორი დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადის ჯამის მეოთხე ცენტრალური მომენტი გამოიხატება ფორმულით
სად არის დისპერსიები და .
მტკიცებულება ზუსტად იგივეა, რაც წინა.
სრული ინდუქციის მეთოდის გამოყენებით, ადვილია დაამტკიცოთ ფორმულის განზოგადება (10.2.26) დამოუკიდებელი ტერმინების თვითნებურ რაოდენობაზე.
შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია და მისი თვისებები.
ბევრ შემთხვევით ცვლადს აქვს იგივე მათემატიკური მოლოდინი, მაგრამ განსხვავებული შესაძლო მნიშვნელობები. ამიტომ, ერთი მათემატიკური მოლოდინი არ არის საკმარისი შემთხვევითი ცვლადის დასახასიათებლად.
ნება შემოსავალი Xდა ი(დოლარებში) ორი ფირმა მოცემულია დისტრიბუციების მიხედვით:
ზოგჯერ მოსახერხებელია სხვა ფორმულის გამოყენება, რომლის მიღებაც შესაძლებელია მათემატიკური მოლოდინის თვისებების გამოყენებით,
დისპერსია არსებობს, თუ სერია (შესაბამისად, ინტეგრალი) იყრის თავს.
არაუარყოფითი რიცხვი 
დაურეკა სტანდარტული გადახრაშემთხვევითი ცვლადი X.მას აქვს შემთხვევითი ცვლადის განზომილება Xდა განსაზღვრავს სტანდარტული rms დისპერსიის ინტერვალს, სიმეტრიულ მათემატიკური მოლოდინის მიმართ. მნიშვნელობას ზოგჯერ სტანდარტულ გადახრას უწოდებენ.
შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება ორიენტირებული, თუ . შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება ნორმალიზებული(სტანდარტული) თუ .
გავაგრძელოთ მაგალითი. გამოთვალეთ ორი ფირმის შემოსავლის განსხვავება:
დისპერსიის შედარებისას, ჩვენ ვხედავთ, რომ მეორე ფირმის შემოსავალი უფრო განსხვავდება, ვიდრე პირველი.
დისპერსიული თვისებები.
1. მუდმივი მნიშვნელობის დისპერსია ნულის ტოლია, ე.ი. , თუ მუდმივი. ეს აშკარაა, ვინაიდან მუდმივ მნიშვნელობას აქვს მათემატიკური მოლოდინი მუდმივი მნიშვნელობის ტოლი, ე.ი. .
2. მუდმივი მამრავლი Cშეიძლება ამოღებულ იქნეს დისპერსიული ნიშნიდან ჯერ მისი კვადრატით.
მართლაც,
3. ორი დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადის ალგებრული ჯამის დისპერსია უდრის მათი ვარიაციების ჯამს, ე.ი.
გამოთქმა ე.წ X და Y-ის კოვარიანტობა(იხ. თემა 4, §2). დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადებისთვის კოვარიანსი არის ნული, ე.ი.
ამ თანასწორობის გამოყენებით, შეგიძლიათ დაამატოთ მათემატიკური მოლოდინის თვისებების სიას. თუ შემთხვევითი ცვლადები X და Y დამოუკიდებელია, მაშინ პროდუქტის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათემატიკური მოლოდინების ნამრავლს, კერძოდ:
თუ შემთხვევითი ცვლადი გარდაიქმნება წრფივად, ე.ი. , მაშინ
.
მაგალითი 1. დაუშვათ იგი წარმოებული ნდამოუკიდებელი ტესტები, მოვლენის დადგომის ალბათობა მაგრამრომელთაგან თითოეულში მუდმივი და ტოლია გვ. როგორია მოვლენის შემთხვევების რაოდენობის განსხვავება მაგრამამ გამოცდებში?
გადაწყვეტილება. მოდით იყოს მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა მაგრამპირველ საცდელში არის მოვლენის დამთხვევის რაოდენობა მაგრამმეორე ტესტში და ა.შ. შემდეგ მოვლენის საერთო რაოდენობა მაგრამ in ნგამოცდები უდრის
დისპერსიის მე-3 თვისების გამოყენებით ვიღებთ
აქ ჩვენ გამოვიყენეთ ის ფაქტი, რომ 
, მე= (იხ. მაგალითები 1 და 2, პუნქტი 3.3.1.).
მაგალითი 2. მოდით X -ბანკში ანაბრის ოდენობა (დოლარებში) - მოცემულია ალბათობის განაწილებით
| X | ||||||
| მე = | 0,01 | 0,03 | 0,10 | 0,30 | 0,5 | 0,06 |
იპოვეთ შენატანების საშუალო ოდენობა და განსხვავება.
გადაწყვეტილება. ანაბრის საშუალო თანხა მათემატიკური მოლოდინის ტოლია
დისპერსიის გამოსათვლელად ვიყენებთ ფორმულას
D (X) \u003d 8196 - 7849.96 \u003d 348.04.
Სტანდარტული გადახრა
მომენტები.
შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების მათემატიკურ მოლოდინზე გავლენის გათვალისწინების მიზნით X, რომლებიც დიდია, მაგრამ დაბალი ალბათობით, მიზანშეწონილია გავითვალისწინოთ შემთხვევითი ცვლადის დადებითი მთელი რიცხვის სიმძლავრის მათემატიკური მოლოდინები.
