ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები

მათემატიკური ანალიზის ცნებები. ფუნქციის მიერ მიღებული სიმრავლის გარკვეულ წერტილში, რომელზეც ეს ფუნქცია არის განსაზღვრული, ეწოდება ამ სიმრავლის ყველაზე დიდი (უმცირესი) მნიშვნელობა, თუ ფუნქციას არ აქვს უფრო დიდი (პატარა) მნიშვნელობა სიმრავლის ნებისმიერ სხვა წერტილში. ნ და ნ. თ. ვ. მის მნიშვნელობებთან შედარებით ყველა საკმარისად ახლო წერტილს ეწოდება ფუნქციის უკიდურესი (შესაბამისად, მაქსიმუმი და მინიმალური). ნ და ნ. თ. ფ., მოცემული სეგმენტზე, შეიძლება მიღწეული იყოს ან წერტილებში, სადაც წარმოებული ტოლია ნულის, ან წერტილებში, სადაც ის არ არსებობს, ან სეგმენტის ბოლოებში. სეგმენტზე მოცემული უწყვეტი ფუნქცია აუცილებლად აღწევს მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს; თუ უწყვეტი ფუნქცია განიხილება ინტერვალზე (ანუ სეგმენტი გამორიცხული ბოლოებით), მაშინ ამ ინტერვალზე მის მნიშვნელობებს შორის შეიძლება არ იყოს მაქსიმუმი ან მინიმალური. მაგალითად, ფუნქცია ზე = xინტერვალზე მოცემული , აღწევს უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობებს, შესაბამისად, at x= 1 და x= 0 (ანუ სეგმენტის ბოლოებში); თუ განვიხილავთ ამ ფუნქციას ინტერვალზე (0; 1), მაშინ მის მნიშვნელობებს შორის ამ ინტერვალზე არ არის არც უდიდესი და არც უმცირესი, რადგან თითოეული x0ყოველთვის არის ამ ინტერვალის წერტილი მარჯვნივ (მარცხნივ) x0და ისეთი, რომ ფუნქციის მნიშვნელობა ამ მომენტში იქნება უფრო დიდი (შესაბამისად, ნაკლები), ვიდრე წერტილში x0. მსგავსი განცხადებები მოქმედებს რამდენიმე ცვლადის ფუნქციისთვის. აგრეთვე ექსტრემალური.

დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია. - მ.: საბჭოთა ენციკლოპედია. 1969-1978 .

ნახეთ, რა არის "ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები" სხვა ლექსიკონებში:

დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

მათემატიკური ანალიზის ცნებები. ფუნქციის მიერ მიღებული მნიშვნელობა სიმრავლის გარკვეულ წერტილში, რომელზეც მოცემულია ეს ფუნქცია, ეწოდება ყველაზე დიდი (ყველაზე პატარა) ამ სიმრავლეში, თუ არცერთ სხვა წერტილში ფუნქციას არ აქვს უფრო დიდი (პატარა) ... ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი

მათემატიკის ცნებები. ანალიზი. ფუნქციის მიერ მიღებული მნიშვნელობა კომპლექტის კონკრეტულ წერტილში, ამ ფუნქციას მოცემულია, ე.წ. ყველაზე დიდი (ყველაზე პატარა) ამ კომპლექტში, თუ სხვა წერტილში ფუნქციას არ აქვს უფრო დიდი (პატარა) მნიშვნელობა ... ბუნებისმეტყველება. ენციკლოპედიური ლექსიკონი

მაქსიმალური და მინიმალური ფუნქცია- შესაბამისად, ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები მის მნიშვნელობებთან შედარებით ყველა საკმარისად ახლო წერტილში. მაღალ და დაბალ წერტილებს უკიდურეს წერტილებს უწოდებენ... დიდი პოლიტექნიკური ენციკლოპედია

ფუნქციის უდიდესი და, შესაბამისად, უმცირესი მნიშვნელობები, რომელიც იღებს რეალურ მნიშვნელობებს. განსახილველი ფუნქციის განსაზღვრის დომენის წერტილი, რომელშიც ის იღებს მაქსიმუმს ან მინიმუმს, ეწოდება. შესაბამისად მაქსიმალური ქულა ან მინიმალური ქულა ... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

სამიანი ფუნქცია ფუნქციონალური სისტემებისა და სამეული ლოგიკის თეორიაში არის იმ ტიპის ფუნქცია, სადაც არის სამეული სიმრავლე და არის არაუარყოფითი მთელი რიცხვი, რომელსაც ეწოდება ფუნქციის არიტულობა ან ლოკალიზაცია. ნაკრების ელემენტები ციფრულია ... ... ვიკიპედია

ლოგიკური ფუნქციების წარმოდგენა ნორმალური ფორმებით (იხ. ლოგიკური ფუნქციების ნორმალური ფორმები). უმარტივესი სირთულის გარკვეული საზომით. ჩვეულებრივ, ნორმალური ფორმის სირთულე გაგებულია, როგორც მასში არსებული ასოების რაოდენობა. ამ შემთხვევაში, უმარტივეს ფორმას უწოდებენ ... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

ფუნქცია, რომელიც იღებს უსასრულოდ მცირე ნამატებს, როგორც არგუმენტი უსასრულოდ იზრდება. ერთმნიშვნელოვან ფუნქციას f (x) ეწოდება უწყვეტი x0 არგუმენტის მნიშვნელობისთვის, თუ x არგუმენტის ყველა მნიშვნელობისთვის, რომელიც საკმარისად ცოტა განსხვავდება x0-დან ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

- (ლათინური მაქსიმუმი და მინიმალური, სიტყვასიტყვით უდიდესი და უმცირესი) (მათ.), ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები მის მნიშვნელობებთან შედარებით საკმარისად ახლო წერტილებში. სურათზე, ფუნქციას y \u003d f (x) აქვს მაქსიმუმი x1 და x3 წერტილებში, ხოლო x2 წერტილში ... ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი

- (ლათინური მაქსიმალური და მინიმალური, უდიდესი და უმცირესი) (მათემატიკური), ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები მის მნიშვნელობებთან შედარებით საკმარისად ახლო წერტილებში. მაღალ და დაბალ წერტილებს უკიდურეს წერტილებს უწოდებენ... თანამედროვე ენციკლოპედია

ზოგჯერ B15 პრობლემებში არის „ცუდი“ ფუნქციები, რომელთა წარმოებულის პოვნა რთულია. ადრე ეს მხოლოდ ზონდებზე იყო, მაგრამ ახლა ეს ამოცანები იმდენად გავრცელებულია, რომ მათი იგნორირება აღარ შეიძლება ამ გამოცდისთვის მომზადებისას.

ამ შემთხვევაში მუშაობს სხვა ხრიკები, რომელთაგან ერთ-ერთია - ერთფეროვანი.

ფუნქციას f (x) ეწოდება სეგმენტზე მონოტონურად მზარდი, თუ ამ სეგმენტის x 1 და x 2 წერტილებისთვის მართებულია შემდეგი:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

f (x) ფუნქციას ეწოდება მონოტონურად კლებადი სეგმენტზე, თუ ამ სეგმენტის x 1 და x 2 წერტილებისთვის მართებულია შემდეგი:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > ფ ( x2).

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მზარდი ფუნქციისთვის, რაც უფრო დიდია x, მით უფრო დიდია f(x). კლებადი ფუნქციისთვის საპირისპიროა მართალი: რაც მეტია x, მით უფრო პატარა f(x).

მაგალითად, ლოგარითმი მონოტონურად იზრდება, თუ ფუძე a > 1 და მცირდება მონოტონურად, თუ 0.< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

არითმეტიკული კვადრატული (და არა მხოლოდ კვადრატული) ფესვი მონოტონურად იზრდება განმარტების მთელ დომენზე:

ექსპონენციალური ფუნქცია ლოგარითმის მსგავსად იქცევა: ის იზრდება a > 1-ით და მცირდება 0-ით.< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

და ბოლოს, გრადუსი უარყოფითი მაჩვენებლით. შეგიძლიათ დაწეროთ ისინი წილადად. მათ აქვთ შესვენების წერტილი, სადაც ირღვევა ერთფეროვნება.

ყველა ეს ფუნქცია არასოდეს გვხვდება მათი სუფთა სახით. მათ ემატება მრავალწევრები, წილადები და სხვა სისულელეები, რის გამოც წარმოებულის გამოთვლა რთული ხდება. რა ხდება ამ შემთხვევაში - ახლა გავაანალიზებთ.

პარაბოლას წვეროს კოორდინატები

ყველაზე ხშირად, ფუნქციის არგუმენტი იცვლება კვადრატული ტრინომიალიფორმის y = ax 2 + bx + c . მისი გრაფიკი არის სტანდარტული პარაბოლა, რომელშიც ჩვენ გვაინტერესებს:

1. პარაბოლის ტოტები - შეიძლება ავიდეს მაღლა (> 0-ზე) ან ქვემოთ (ა< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. პარაბოლის წვერო არის კვადრატული ფუნქციის უკიდურესი წერტილი, სადაც ეს ფუნქცია იღებს უმცირეს (> 0-ისთვის) ან უდიდეს (a)< 0) значение.

ყველაზე დიდი ინტერესია პარაბოლას ზევით, რომლის აბსციზა გამოითვლება ფორმულით:

ამრიგად, ჩვენ ვიპოვეთ კვადრატული ფუნქციის უკიდურესი წერტილი. მაგრამ თუ თავდაპირველი ფუნქცია მონოტონურია, მისთვის წერტილი x 0 ასევე იქნება ექსტრემალური წერტილი. ამრიგად, ჩვენ ჩამოვაყალიბებთ ძირითად წესს:

კვადრატული ტრინომის უკიდურესი წერტილები და კომპლექსური ფუნქცია, რომელშიც ის შედის, ერთმანეთს ემთხვევა. ამიტომ, შეგიძლიათ მოძებნოთ x 0 კვადრატული ტრინომისთვის და დაივიწყოთ ფუნქცია.

ზემოაღნიშნული მსჯელობიდან გაურკვეველი რჩება, რა სახის წერტილს მივიღებთ: მაქსიმუმს თუ მინიმუმს. თუმცა, ამოცანები სპეციალურად არის შემუშავებული ისე, რომ ამას მნიშვნელობა არ აქვს. თავად განსაჯეთ:

1. პრობლემის მდგომარეობაში სეგმენტი არ არის. აქედან გამომდინარე, არ არის საჭირო f(a) და f(b) გამოთვლა. რჩება მხოლოდ ექსტრემალური წერტილების გათვალისწინება;
2. მაგრამ არსებობს მხოლოდ ერთი ასეთი წერტილი - ეს არის პარაბოლას x 0 ზედა, რომლის კოორდინატები გამოითვლება სიტყვასიტყვით ზეპირად და ყოველგვარი წარმოებულების გარეშე.

ამრიგად, პრობლემის გადაწყვეტა მნიშვნელოვნად გამარტივდა და შემცირდა მხოლოდ ორ ეტაპად:

1. ჩაწერეთ პარაბოლის განტოლება y = ax 2 + bx + c და იპოვეთ მისი წვერო ფორმულის გამოყენებით: x 0 = −b /2a;
2. იპოვეთ ორიგინალური ფუნქციის მნიშვნელობა ამ ეტაპზე: f (x 0). თუ დამატებითი პირობები არ არის, ეს იქნება პასუხი.

ერთი შეხედვით, ეს ალგორითმი და მისი დასაბუთება შეიძლება რთული ჩანდეს. მე განზრახ არ ვაქვეყნებ "შიშველი" გადაწყვეტის სქემას, რადგან ასეთი წესების დაუფიქრებელი გამოყენება სავსეა შეცდომებით.

განვიხილოთ რეალური ამოცანები მათემატიკაში საცდელი გამოცდიდან - სწორედ აქ არის ეს ტექნიკა ყველაზე გავრცელებული. ამავდროულად, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ ამ გზით B15-ის მრავალი პრობლემა თითქმის ვერბალური გახდება.

ფესვის ქვეშ არის კვადრატული ფუნქცია y \u003d x 2 + 6x + 13. ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა ტოტებით ზემოთ, რადგან კოეფიციენტი a \u003d 1\u003e 0.

პარაბოლის ზედა ნაწილი:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

ვინაიდან პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ, x 0 \u003d −3 წერტილში, ფუნქცია y \u003d x 2 + 6x + 13 იღებს უმცირეს მნიშვნელობას.

ფესვი მონოტონურად იზრდება, ამიტომ x 0 არის მთელი ფუნქციის მინიმალური წერტილი. Ჩვენ გვაქვს:

დავალება. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა:

y = ჟურნალი 2 (x 2 + 2x + 9)

ლოგარითმის ქვეშ კვლავ არის კვადრატული ფუნქცია: y \u003d x 2 + 2x + 9. გრაფიკი არის პარაბოლა ტოტებით ზემოთ, რადგან a = 1 > 0.

პარაბოლის ზედა ნაწილი:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

ამრიგად, x 0 = −1 წერტილში კვადრატული ფუნქცია იღებს უმცირეს მნიშვნელობას. მაგრამ ფუნქცია y = log 2 x არის ერთფეროვანი, ასე რომ:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

მაჩვენებელი არის კვადრატული ფუნქცია y = 1 − 4x − x 2. გადავიწეროთ ნორმალური სახით: y = −x 2 − 4x + 1.

ცხადია, ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა, განშტოებული ქვემოთ (a = -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

თავდაპირველი ფუნქცია ექსპონენციალურია, ის მონოტონურია, ამიტომ ყველაზე დიდი მნიშვნელობა იქნება ნაპოვნი წერტილში x 0 = −2:

ყურადღებიანი მკითხველი აუცილებლად შეამჩნევს, რომ ჩვენ არ დავწერეთ ფესვისა და ლოგარითმის დასაშვები მნიშვნელობების ფართობი. მაგრამ ეს არ იყო საჭირო: შიგნით არის ფუნქციები, რომელთა მნიშვნელობები ყოველთვის დადებითია.

შედეგები ფუნქციის სფეროდან

ზოგჯერ B15 პრობლემის გადასაჭრელად საკმარისი არ არის მხოლოდ პარაბოლის წვეროს პოვნა. სასურველი მნიშვნელობა შეიძლება იყოს სეგმენტის ბოლოს, მაგრამ არა უკიდურეს წერტილში. თუ ამოცანა საერთოდ არ აკონკრეტებს სეგმენტს, შეხედეთ ტოლერანტობის დიაპაზონიორიგინალური ფუნქცია. კერძოდ:

კიდევ ერთხელ მიაქციეთ ყურადღება: ნული შეიძლება იყოს ფესვის ქვეშ, მაგრამ არასოდეს იყოს წილადის ლოგარითმში ან მნიშვნელში. ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს კონკრეტული მაგალითებით:

დავალება. იპოვნეთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა:

ფესვის ქვეშ კვლავ არის კვადრატული ფუნქცია: y \u003d 3 - 2x - x 2. მისი გრაფიკი არის პარაბოლა, მაგრამ განშტოება ქვემოთ, რადგან a = -1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

ჩვენ ვწერთ დასაშვებ მნიშვნელობების არეალს (ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; ერთი]

ახლა იპოვეთ პარაბოლის წვერო:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

წერტილი x 0 = −1 ეკუთვნის ODZ სეგმენტს - და ეს კარგია. ახლა ჩვენ განვიხილავთ ფუნქციის მნიშვნელობას x 0 წერტილში, ისევე როგორც ODZ-ის ბოლოებში:

y(−3) = y(1) = 0

ასე რომ, მივიღეთ რიცხვები 2 და 0. გვთხოვენ ვიპოვოთ უდიდესი - ეს არის რიცხვი 2.

დავალება. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა:

y = ჟურნალი 0.5 (6x - x 2 - 5)

ლოგარითმის შიგნით არის კვადრატული ფუნქცია y \u003d 6x - x 2 - 5. ეს არის პარაბოლა ტოტებით ქვემოთ, მაგრამ არ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვები ლოგარითმში, ამიტომ ჩვენ ვწერთ ODZ-ს:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: უთანასწორობა მკაცრია, ამიტომ ბოლოები არ ეკუთვნის ODZ-ს. ამით ლოგარითმი განსხვავდება ფესვისგან, სადაც სეგმენტის ბოლოები საკმაოდ კარგად გვერგება.

პარაბოლის წვეროს ვეძებთ:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

პარაბოლის ზედა ნაწილი ჯდება ODZ-ის გასწვრივ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). მაგრამ რადგან სეგმენტის ბოლოები არ გვაინტერესებს, ჩვენ განვიხილავთ ფუნქციის მნიშვნელობას მხოლოდ x 0 წერტილში:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა

ფუნქციის უდიდეს მნიშვნელობას უწოდებენ ყველაზე დიდს, უმცირეს მნიშვნელობას არის უმცირესი მისი ყველა მნიშვნელობიდან.

ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ ერთი უდიდესი და მხოლოდ ერთი უმცირესი მნიშვნელობა, ან შეიძლება საერთოდ არ ჰქონდეს. უწყვეტი ფუნქციების უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნა ეფუძნება ამ ფუნქციების შემდეგ თვისებებს:

1) თუ რაიმე ინტერვალში (სასრული ან უსასრულო) ფუნქცია y=f(x) უწყვეტია და აქვს მხოლოდ ერთი უკიდურესი და თუ ეს არის მაქსიმალური (მინიმუმი), მაშინ ეს იქნება ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობა. ამ ინტერვალში.

2) თუ ფუნქცია f(x) უწყვეტია გარკვეულ სეგმენტზე, მაშინ მას აუცილებლად აქვს უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები ამ სეგმენტზე. ეს მნიშვნელობები მიიღწევა ან სეგმენტის შიგნით მდებარე უკიდურეს წერტილებში, ან ამ სეგმენტის საზღვრებში.

სეგმენტზე უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების მოსაძებნად, რეკომენდებულია შემდეგი სქემის გამოყენება:

1. იპოვეთ წარმოებული.

2. იპოვეთ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები, სადაც =0 ან არ არსებობს.

3. იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობები კრიტიკულ წერტილებში და სეგმენტის ბოლოებში და აირჩიეთ მათგან ყველაზე დიდი f max და ყველაზე პატარა f min.

გამოყენებითი პრობლემების გადაჭრისას, კერძოდ, ოპტიმიზაციის ამოცანების გადაჭრისას მნიშვნელოვანია X ინტერვალზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების (გლობალური მაქსიმალური და გლობალური მინიმალური) პოვნის პრობლემები. ასეთი ამოცანების გადასაჭრელად საჭიროა, პირობის საფუძველზე. , აირჩიეთ დამოუკიდებელი ცვლადი და გამოთქვით შესასწავლი მნიშვნელობა ცვლადის მეშვეობით. შემდეგ იპოვნეთ მიღებული ფუნქციის სასურველი მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობა. ამ შემთხვევაში, პრობლემის მდგომარეობიდან განისაზღვრება დამოუკიდებელი ცვლადის ცვლილების ინტერვალიც, რომელიც შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო.

მაგალითი.ავზი, რომელსაც აქვს მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმა კვადრატული ფსკერით, ზემოდან ღია, შიგნიდან უნდა იყოს დაკონსერვებული თუნუქით. როგორი უნდა იყოს ავზის ზომები 108 ლიტრი მოცულობით. წყალი ისე, რომ მისი დაკონსერვების ღირებულება ყველაზე ნაკლები იყოს?

გადაწყვეტილება.ავზის თუნუქით დაფარვის ღირებულება ყველაზე დაბალი იქნება, თუ მოცემული სიმძლავრის შემთხვევაში მისი ზედაპირი მინიმალურია. აღნიშნეთ dm - ფუძის მხარე, b dm - ავზის სიმაღლე. მაშინ მისი ზედაპირის ფართობი S უდრის

და

შედეგად მიღებული კავშირი ადგენს ურთიერთობას ტანკის S (ფუნქცია) ზედაპირის ფართობსა და a ბაზის მხარეს შორის (არგუმენტი). ჩვენ ვიკვლევთ S ფუნქციას ექსტრემისთვის. იპოვეთ პირველი წარმოებული, გაუტოლეთ ნულს და ამოხსენით მიღებული განტოლება:

აქედან გამომდინარე a = 6. (a) > 0 a > 6-ისთვის, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

მაგალითი. იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები შორის.

გადაწყვეტილება: მითითებული ფუნქცია უწყვეტია მთელ რიცხვთა ღერძზე. ფუნქციის წარმოებული

წარმოებული at და at. მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები ამ წერტილებში:

.

მოცემული ინტერვალის ბოლოებში ფუნქციის მნიშვნელობები უდრის. მაშასადამე, ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა უდრის როდის, ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა უდრის როდის.

კითხვები თვითშემოწმებისთვის

1. ჩამოაყალიბეთ L'Hopital-ის წესი ფორმის გაურკვევლობის გამჟღავნების შესახებ. ჩამოთვალეთ სხვადასხვა ტიპის გაურკვევლობა, რისთვისაც შეიძლება გამოყენებულ იქნას L'Hospital-ის წესი.

2. ჩამოაყალიბეთ ფუნქციის გაზრდის და შემცირების ნიშნები.

3. განსაზღვრეთ ფუნქციის მაქსიმუმი და მინიმალური.

4. ჩამოაყალიბეთ ექსტრემის არსებობისთვის აუცილებელი პირობა.

5. არგუმენტის რომელ მნიშვნელობებს (რა წერტილებს) უწოდებენ კრიტიკულს? როგორ მოვძებნოთ ეს პუნქტები?

6. რა არის ფუნქციის ექსტრემუმის არსებობის საკმარისი ნიშნები? დახაზეთ ფუნქციის შესწავლის სქემა ექსტრემისთვის პირველი წარმოებულის გამოყენებით.

7. დახაზეთ მეორე წარმოებულის გამოყენებით ექსტრემისთვის ფუნქციის შესწავლის სქემა.

8. განსაზღვრეთ მრუდის ამოზნექილი, ჩაზნექილი.

9. რა არის ფუნქციის გრაფიკის დახრის წერტილი? დააკონკრეტეთ როგორ მოვძებნოთ ეს პუნქტები.

10. ჩამოაყალიბეთ მოცემულ სეგმენტზე მრუდის ამოზნექილობისა და ჩაზნექის აუცილებელი და საკმარისი ნიშნები.

11. განსაზღვრეთ მრუდის ასიმპტოტი. როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის გრაფიკის ვერტიკალური, ჰორიზონტალური და ირიბი ასიმპტოტები?

12. დახაზეთ ფუნქციის კვლევისა და მისი გრაფიკის აგების ზოგადი სქემა.

13. ჩამოაყალიბეთ წესი მოცემულ ინტერვალზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების საპოვნელად.

როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები სეგმენტზე?

Ამისთვის ჩვენ მივყვებით ცნობილ ალგორითმს:

1 . ჩვენ ვპოულობთ ODZ ფუნქციებს.

2 . ფუნქციის წარმოებულის პოვნა

3 . წარმოებულის გაუტოლება ნულს

4 . ჩვენ ვპოულობთ ინტერვალებს, რომლებშიც წარმოებული ინარჩუნებს თავის ნიშანს და მათგან განვსაზღვრავთ ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალებს:

თუ I ინტერვალზე ფუნქციის წარმოებული 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} იზრდება ამ ინტერვალით.

თუ I ინტერვალზე არის ფუნქციის წარმოებული, მაშინ ფუნქცია მცირდება ამ ინტერვალით.

5 . Ჩვენ ვიპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური ქულები.

AT ფუნქცია მაქსიმალური წერტილი, წარმოებული ცვლის ნიშანს "+"-დან "-"-ზე.

AT ფუნქციის მინიმალური წერტილიწარმოებული ცვლის ნიშანს "-"-დან "+"-მდე.

6 . ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის მნიშვნელობას სეგმენტის ბოლოებში,

• შემდეგ ვადარებთ ფუნქციის მნიშვნელობას სეგმენტის ბოლოებში და მაქსიმალურ წერტილებში და აირჩიეთ მათგან ყველაზე დიდი, თუ გჭირდებათ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობის პოვნა
• ან ვადარებთ ფუნქციის მნიშვნელობას სეგმენტის ბოლოებზე და მინიმალურ წერტილებზე და აირჩიეთ მათგან ყველაზე პატარა, თუ გჭირდებათ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობის პოვნა

თუმცა, იმისდა მიხედვით, თუ როგორ იქცევა ფუნქცია ინტერვალზე, ეს ალგორითმი შეიძლება მნიშვნელოვნად შემცირდეს.

განიხილეთ ფუნქცია . ამ ფუნქციის გრაფიკი ასე გამოიყურება:

მოდით განვიხილოთ პრობლემების გადაჭრის რამდენიმე მაგალითი Open Task Bank-ისგან

ერთი . ამოცანა B15 (#26695)

ჭრილზე.

1. ფუნქცია განისაზღვრება x-ის ყველა რეალური მნიშვნელობისთვის

ცხადია, ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები და წარმოებული დადებითია x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის. მაშასადამე, ფუნქცია იზრდება და იღებს უდიდეს მნიშვნელობას ინტერვალის მარჯვენა ბოლოში, ანუ x=0-ზე.

პასუხი: 5.

2 . დავალება B15 (No. 26702)

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა სეგმენტზე.

1.ODZ ფუნქცია title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

წარმოებული არის ნული ზე, თუმცა ამ წერტილებში ის არ ცვლის ნიშანს:

ამიტომ, title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} იზრდება და იღებს უდიდეს მნიშვნელობას ინტერვალის მარჯვენა ბოლოს, ზე.

იმის გასაგებად, თუ რატომ არ ცვლის წარმოებული ნიშანს, წარმოებულის გამონათქვამს შემდეგნაირად ვცვლით:

Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

პასუხი: 5.

3 . ამოცანა B15 (#26708)

იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა ინტერვალზე.

1. ODZ ფუნქციები: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

ამ განტოლების ფესვები დავდოთ ტრიგონომეტრიულ წრეზე.

ინტერვალი შეიცავს ორ რიცხვს: და

დავდოთ ნიშნები. ამისათვის ჩვენ განვსაზღვრავთ წარმოებულის ნიშანს x=0 წერტილში: . წერტილებში გავლისას და წარმოებული იცვლება ნიშანი.

გამოვსახოთ ფუნქციის წარმოებულის ნიშნების ცვლილება კოორდინატთა ხაზზე:

ცხადია, წერტილი არის მინიმალური წერტილი (სადაც წარმოებული ცვლის ნიშანს "-"-დან "+"-მდე), და იმისათვის, რომ იპოვოთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე, თქვენ უნდა შეადაროთ ფუნქციის მნიშვნელობები მინიმალური წერტილი და სეგმენტის მარცხენა ბოლოს, .

და მის გადასაჭრელად საჭიროა თემის მინიმალური ცოდნა. შემდეგი სასწავლო წელი იწურება, ყველას სურს შვებულებაში წასვლა და ამ მომენტის დასაახლოებლად, მაშინვე საქმეს ვუშვებ:

დავიწყოთ ტერიტორიით. მდგომარეობაში მითითებული ტერიტორია არის შეზღუდული დახურული წერტილების ნაკრები თვითმფრინავში. მაგალითად, სამკუთხედით შემოსაზღვრული წერტილების ნაკრები, მთელი სამკუთხედის ჩათვლით (თუ დან საზღვრები"ამოიღეთ" მინიმუმ ერთი წერტილი, მაშინ ტერიტორია აღარ დაიხურება). პრაქტიკაში ასევე არის მართკუთხა, მრგვალი და ოდნავ უფრო რთული ფორმის ადგილები. უნდა აღინიშნოს, რომ მათემატიკური ანალიზის თეორიაში მოცემულია მკაცრი განმარტებები შეზღუდვები, იზოლაცია, საზღვრები და ა.შ., მაგრამ მე ვფიქრობ, რომ ყველამ იცის ეს ცნებები ინტუიციურ დონეზე და ახლა მეტი არ არის საჭირო.

ბრტყელი ფართობი სტანდარტულად აღინიშნება ასოთი და, როგორც წესი, მოცემულია ანალიტიკურად - რამდენიმე განტოლებით. (არ არის აუცილებელი წრფივი); ნაკლებად ხშირად უთანასწორობა. ტიპიური ვერბალური ბრუნვა: "დახურული ზონა შემოიფარგლება ხაზებით".

განსახილველი ამოცანის განუყოფელი ნაწილია ნახაზზე ტერიტორიის აგება. Როგორ გავაკეთო ეს? აუცილებელია ყველა ჩამოთვლილი ხაზის დახაზვა (ამ შემთხვევაში 3 სწორი) და გააანალიზეთ რა მოხდა. სასურველი უბანი ჩვეულებრივ მსუბუქად არის გამოჩეკილი და მისი საზღვარი ხაზგასმულია თამამი ხაზით:


იგივე ფართობის დაყენება შესაძლებელია წრფივი უტოლობა: , რომლებიც რატომღაც უფრო ხშირად იწერება როგორც აღრიცხვის სია და არა სისტემა.
ვინაიდან საზღვარი ეკუთვნის რეგიონს, მაშინ ყველა უთანასწორობა, რა თქმა უნდა, არა მკაცრი.

ახლა კი საქმის არსი. წარმოიდგინეთ, რომ ღერძი პირდაპირ თქვენკენ მიდის კოორდინატების საწყისიდან. განვიხილოთ ფუნქცია, რომელიც უწყვეტი თითოეულშიფართობის წერტილი. ამ ფუნქციის გრაფიკი არის ზედაპირი, და პატარა ბედნიერება ისაა, რომ დღევანდელი პრობლემის მოსაგვარებლად, საერთოდ არ გვჭირდება ვიცოდეთ, როგორ გამოიყურება ეს ზედაპირი. ის შეიძლება განთავსდეს ზემოთ, ქვემოთ, გადაკვეთოს თვითმფრინავი - ეს ყველაფერი არ არის მნიშვნელოვანი. და მნიშვნელოვანია შემდეგი: მიხედვით ვაიერშტრასის თეორემები, უწყვეტი in შეზღუდული დახურულიფართობი, ფუნქცია აღწევს მაქსიმუმს ("უმაღლესი")და ყველაზე ნაკლებად ("ყველაზე დაბალი")მოსაძებნი ღირებულებები. ეს ღირებულებები მიღწეულია ან in სტაციონარული წერტილები, რეგიონს ეკუთვნისდ , ანწერტილებში, რომლებიც დევს ამ რეგიონის საზღვარზე. საიდანაც მოყვება მარტივი და გამჭვირვალე ამოხსნის ალგორითმი:

მაგალითი 1

შეზღუდულ დახურულ ტერიტორიაზე

გადაწყვეტილება: უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გამოსახოთ ნახაზზე ფართობი. სამწუხაროდ, ტექნიკურად მიჭირს პრობლემის ინტერაქტიული მოდელის გაკეთება და ამიტომაც მაშინვე მოგცემთ საბოლოო ილუსტრაციას, სადაც ნაჩვენებია კვლევის დროს აღმოჩენილი ყველა „საეჭვო“ პუნქტი. როგორც წესი, ისინი იშლება ერთმანეთის მიყოლებით, როდესაც ისინი აღმოჩნდებიან:

პრეამბულიდან გამომდინარე, გადაწყვეტილება მოხერხებულად შეიძლება დაიყოს ორ პუნქტად:

ი) ვიპოვოთ სტაციონარული წერტილები. ეს არის სტანდარტული მოქმედება, რომელიც არაერთხელ განვახორციელეთ გაკვეთილზე. რამდენიმე ცვლადის უკიდურესობის შესახებ:

ნაპოვნია სტაციონარული წერტილი ეკუთვნისსფეროები: (მონიშნეთ ნახატზე), რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობა მოცემულ წერტილში:

- როგორც სტატიაში სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები, გამოვყოფ მნიშვნელოვან შედეგებს თამამად. რვეულში მოსახერხებელია მათი ფანქრით შემოხაზვა.

ყურადღება მიაქციეთ ჩვენს მეორე ბედნიერებას - შემოწმებას აზრი არ აქვს საკმარისი პირობა ექსტრემისთვის. რატომ? მაშინაც კი, თუ ფუნქცია აღწევს წერტილში, მაგალითად, ადგილობრივი მინიმუმი, მაშინ ეს არ ნიშნავს, რომ მიღებული მნიშვნელობა იქნება მინიმალურიმთელ რეგიონში (იხილეთ გაკვეთილის დასაწყისი უპირობო უკიდურესობების შესახებ) .

რა მოხდება, თუ სტაციონარული წერტილი არ ეკუთვნის ტერიტორიას? Თითქმის არაფერი! უნდა აღინიშნოს, რომ და გადადით შემდეგ აბზაცზე.

II) ვიკვლევთ რეგიონის საზღვარს.

ვინაიდან საზღვარი შედგება სამკუთხედის გვერდებისგან, მოსახერხებელია კვლევის 3 ქვეპუნქტად დაყოფა. მაგრამ უმჯობესია ამის გაკეთება არანაირად. ჩემი გადმოსახედიდან, თავდაპირველად უფრო ხელსაყრელია კოორდინატთა ღერძების პარალელურად განხილული სეგმენტები და, პირველ რიგში, თავად ღერძებზე დაყრილი. იმისათვის, რომ დაიჭიროთ მოქმედებების მთელი თანმიმდევრობა და ლოგიკა, შეეცადეთ შეისწავლოთ დასასრული "ერთი ამოსუნთქვით":

1) მოდით გაუმკლავდეთ სამკუთხედის ქვედა მხარეს. ამისათვის ჩვენ პირდაპირ ჩავცვლით ფუნქციას:

ალტერნატიულად, შეგიძლიათ ამის გაკეთება შემდეგნაირად:

გეომეტრიულად ეს ნიშნავს, რომ კოორდინატთა სიბრტყე (რაც ასევე მოცემულია განტოლებით)"ამოჭრა" საწყისი ზედაპირები"სივრცითი" პარაბოლა, რომლის ზედა მყისვე ვარდება ეჭვის ქვეშ. მოდით გავარკვიოთ სად არის ის:

- მიღებულმა მნიშვნელობამ "დაარტყა" მიდამოში და ეს შეიძლება იყოს ზუსტად იმ წერტილში (მონიშვნა ნახაზზე)ფუნქცია აღწევს უდიდეს ან უმცირეს მნიშვნელობას მთელ ტერიტორიაზე. ყოველ შემთხვევაში, მოდით გავაკეთოთ გამოთვლები:

სხვა „კანდიდატები“, რა თქმა უნდა, სეგმენტის ბოლოები არიან. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები წერტილებში (მონიშვნა ნახაზზე):

აქ, სხვათა შორის, შეგიძლიათ შეასრულოთ ზეპირი მინი შემოწმება "გაშიშვლებულ" ვერსიაზე:

2) სამკუთხედის მარჯვენა გვერდის შესასწავლად მას ვცვლით ფუნქციაში და „მოვაწესრიგებთ იქ ნივთებს“:

აქ ჩვენ დაუყოვნებლივ ვასრულებთ უხეშ შემოწმებას, "ვრეკავთ" სეგმენტის უკვე დამუშავებულ ბოლოს:
, სრულყოფილი.

გეომეტრიული სიტუაცია დაკავშირებულია წინა პუნქტთან:

- შედეგად მიღებული მნიშვნელობა ასევე "შევიდა ჩვენი ინტერესების ფარგლებში", რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ რის ტოლია ფუნქცია იმ წერტილში, რომელიც გამოჩნდა:

განვიხილოთ სეგმენტის მეორე ბოლო:

ფუნქციის გამოყენებით , შევამოწმოთ:

3) ყველამ ალბათ იცის, როგორ გამოიკვლიოს დარჩენილი მხარე. ჩვენ ვცვლით ფუნქციას და ვახორციელებთ გამარტივებებს:

ხაზი მთავრდება უკვე გამოკვლეულია, მაგრამ პროექტზე მაინც ვამოწმებთ, სწორად ვიპოვეთ თუ არა ფუნქცია :
– დაემთხვა 1-ლი ქვეპუნქტის შედეგს;
– დაემთხვა მე-2 ქვეპუნქტის შედეგს.

რჩება იმის გარკვევა, არის თუ არა რაიმე საინტერესო სეგმენტის შიგნით:

- იქ არის! სწორი ხაზის განტოლებაში ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ ამ "საინტერესოობის" ორდინატს:

ნახაზზე ვნიშნავთ წერტილს და ვპოულობთ ფუნქციის შესაბამის მნიშვნელობას:

გავაკონტროლოთ გათვლები „ბიუჯეტის“ ვერსიით :
, შეკვეთა.

და ბოლო ნაბიჯი: ყურადღებით გადახედეთ ყველა "მსუქან" რიცხვს, დამწყებთათვისაც კი ვურჩევ შეადგინონ ერთი სია:

საიდანაც ვირჩევთ უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობებს. უპასუხედაწერე პოვნის პრობლემის სტილში ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები ინტერვალზე:

ყოველი შემთხვევისთვის, კიდევ ერთხელ გავაკეთებ კომენტარს შედეგის გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე:
– აქ არის რეგიონის ზედაპირის უმაღლესი წერტილი;
- აქ არის ზედაპირის ყველაზე დაბალი წერტილი ამ ტერიტორიაზე.

გაანალიზებულ პრობლემაში აღმოვაჩინეთ 7 „საეჭვო“ წერტილი, მაგრამ მათი რიცხვი განსხვავდება დავალების მიხედვით. სამკუთხა რეგიონისთვის მინიმალური „საძიებო ნაკრები“ შედგება სამი წერტილისგან. ეს ხდება, როდესაც ფუნქცია, მაგალითად, დაყენებულია თვითმფრინავი- სავსებით ნათელია, რომ არ არის სტაციონარული წერტილები და ფუნქციას შეუძლია მიაღწიოს მაქსიმალურ / მინიმალურ მნიშვნელობებს მხოლოდ სამკუთხედის წვეროებზე. მაგრამ არ არსებობს ასეთი მაგალითები ერთხელ, ორჯერ - ჩვეულებრივ, თქვენ უნდა გაუმკლავდეთ რაიმე სახის მე-2 რიგის ზედაპირი.

თუ ასეთ ამოცანებს ცოტა ამოხსნით, მაშინ სამკუთხედებს შეუძლიათ თავი დაგიტრიალონ და ამიტომ მე მოვამზადე არაჩვეულებრივი მაგალითები, რომ ის კვადრატში გახადო :))

მაგალითი 2

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები ხაზებით შემოზღუდულ დახურულ ტერიტორიაზე

მაგალითი 3

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები შეზღუდულ დახურულ ზონაში.

განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციეთ ტერიტორიის საზღვრის შესწავლის რაციონალურ წესრიგს და ტექნიკას, ასევე შუალედური შემოწმებების ჯაჭვს, რომელიც თითქმის მთლიანად თავიდან აიცილებს გამოთვლით შეცდომებს. ზოგადად, თქვენ შეგიძლიათ მოაგვაროთ ის, როგორც გსურთ, მაგრამ ზოგიერთ პრობლემაში, მაგალითად, იგივე მაგალითში 2, არის ყველა შანსი, რომ მნიშვნელოვნად გაართულოთ თქვენი ცხოვრება. გაკვეთილის ბოლოს დავალებების დასრულების სავარაუდო მაგალითი.

ჩვენ ვაწარმოებთ გადაწყვეტის ალგორითმს სისტემატიზაციას, წინააღმდეგ შემთხვევაში, ობობის ჩემი მონდომებით, ის რატომღაც დაიკარგა პირველი მაგალითის კომენტარების გრძელ ძაფში:

- პირველ საფეხურზე ვაშენებთ ტერიტორიას, სასურველია დავჩრდილოთ, საზღვარი კი თამამი ხაზით გამოვყოთ. ამოხსნის დროს გამოჩნდება წერტილები, რომლებიც ნახაზზე უნდა დაიტანოთ.

- იპოვნეთ სტაციონარული წერტილები და გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები მხოლოდ მათში, რომლებიც ეკუთვნის ტერიტორიას . მიღებული მნიშვნელობები ხაზგასმულია ტექსტში (მაგალითად, შემოხაზულია ფანქრით). თუ სტაციონარული წერტილი არ ეკუთვნის ტერიტორიას, მაშინ აღვნიშნავთ ამ ფაქტს ხატით ან სიტყვიერად. თუ საერთოდ არ არის სტაციონარული წერტილები, მაშინ ვაკეთებთ წერილობით დასკვნას, რომ ისინი არ არიან. ნებისმიერ შემთხვევაში, ამ ნივთის გამოტოვება შეუძლებელია!

- სასაზღვრო ტერიტორიის შესწავლა. პირველ რიგში, მომგებიანია სწორ ხაზებთან გამკლავება, რომლებიც პარალელურია კოორდინატთა ღერძებთან (თუ არსებობს). ასევე მონიშნულია "საეჭვო" წერტილებში გამოთვლილი ფუნქციის მნიშვნელობები. ბევრი ითქვა ზემოაღნიშნული გადაწყვეტის ტექნიკის შესახებ და კიდევ სხვა რამ იქნება ნათქვამი ქვემოთ - წაიკითხეთ, ხელახლა წაიკითხეთ, ჩაღრმავდით!

- არჩეული რიცხვებიდან აირჩიეთ ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობები და გაეცით პასუხი. ზოგჯერ ხდება, რომ ფუნქცია ასეთ მნიშვნელობებს აღწევს ერთდროულად რამდენიმე წერტილში - ამ შემთხვევაში, ყველა ეს წერტილი უნდა აისახოს პასუხში. მოდით, მაგალითად, და აღმოჩნდა, რომ ეს არის ყველაზე მცირე მნიშვნელობა. მერე ამას ვწერთ

საბოლოო მაგალითები ეძღვნება სხვა სასარგებლო იდეებს, რომლებიც გამოგადგებათ პრაქტიკაში:

მაგალითი 4

იპოვნეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები დახურულ ზონაში .

მე შევინარჩუნე ავტორის ფორმულირება, რომელშიც ფართობი მოცემულია ორმაგ უტოლობად. ეს პირობა შეიძლება დაიწეროს ექვივალენტური სისტემით ან უფრო ტრადიციული ფორმით ამ პრობლემისთვის:

შეგახსენებთ, რომ ერთად არაწრფივიჩვენ შევხვდით უთანასწორობას და თუ თქვენ არ გესმით ჩანაწერის გეომეტრიული მნიშვნელობა, გთხოვთ, არ გადადოთ და ახლავე განმარტოთ სიტუაცია ;-)

გადაწყვეტილება, როგორც ყოველთვის, იწყება ტერიტორიის მშენებლობით, რომელიც ერთგვარი "ერთადერთია":

ჰმ, ხანდახან გიწევს არამარტო მეცნიერების გრანიტის გახეხვა...

ი) იპოვნეთ სტაციონარული წერტილები:

იდიოტის ოცნების სისტემა :)

სტაციონარული წერტილი ეკუთვნის რეგიონს, კერძოდ, მდებარეობს მის საზღვარზე.

ასე რომ, ეს არაფერია ... მხიარული გაკვეთილი წავიდა - აი რას ნიშნავს სწორი ჩაის დალევა =)

II) ვიკვლევთ რეგიონის საზღვარს. ზედმეტის გარეშე, დავიწყოთ x-ღერძი:

1) თუ, მაშინ

იპოვნეთ სად არის პარაბოლას ზედა:
– დააფასეთ ასეთი მომენტები – „დაარტყით“ ზუსტად იმ წერტილში, საიდანაც უკვე ყველაფერი ნათელია. მაგრამ არ დაგავიწყდეთ შეამოწმოთ:

მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში:

2) „ერთ სხდომაზე“ „ძირის“ ქვედა ნაწილს შევეხებით - ყოველგვარი კომპლექსების გარეშე ვანაცვლებთ მას ფუნქციაში, უფრო მეტიც, ჩვენ დავინტერესდებით მხოლოდ სეგმენტით:

Კონტროლი:

ახლა ეს უკვე მოაქვს გარკვეული აღორძინება მონოტონურ მგზავრობას დახრილ ტრასაზე. მოდი ვიპოვოთ კრიტიკული წერტილები:

Ჩვენ ვწყვეტთ კვადრატული განტოლებაეს გახსოვს? ... თუმცა დაიმახსოვრეთ, რა თქმა უნდა, წინააღმდეგ შემთხვევაში თქვენ არ წაიკითხავდით ამ სტრიქონებს =) თუ წინა ორ მაგალითში ათწილადი წილადების გამოთვლები მოსახერხებელი იყო (რაც, სხვათა შორის, იშვიათია), მაშინ აქ ჩვენ ველოდებით ჩვეულებრივი ჩვეულებრივი წილადები. ჩვენ ვპოულობთ "x" ფესვებს და განტოლების გამოყენებით განვსაზღვრავთ "კანდიდატი" პუნქტების შესაბამის "თამაშის" კოორდინატებს:


გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები ნაპოვნი წერტილებში:

თავად შეამოწმეთ ფუნქცია.

ახლა ჩვენ ყურადღებით ვსწავლობთ მოგებულ თასებს და ვწერთ პასუხი:

აი, "კანდიდატები", მაშ "კანდიდატები"!

დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 5

იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები დახურულ ტერიტორიაზე

ჩანაწერი ხვეული ბრეკეტებით ასე იკითხება: „პუნქტების ნაკრები ისეთი, რომ“.

ზოგჯერ ასეთ მაგალითებში იყენებენ ლაგრანგის გამრავლების მეთოდი, მაგრამ მისი გამოყენების რეალური საჭიროება ნაკლებად სავარაუდოა. ასე, მაგალითად, თუ მოცემულია ფუნქცია იგივე ფართობის მქონე "de", მაშინ მასში ჩანაცვლების შემდეგ - წარმოებული არ არის სირთულეები; უფრო მეტიც, ყველაფერი შედგენილია "ერთი ხაზით" (ნიშანებით) ზედა და ქვედა ნახევარწრეების ცალკე განხილვის გარეშე. მაგრამ, რა თქმა უნდა, არის უფრო რთული შემთხვევები, სადაც ლაგრანგის ფუნქციის გარეშე (სადაც, მაგალითად, იგივე წრის განტოლებაა)ძნელია გაძლება - რა ძნელია კარგი დასვენების გარეშე!

ყველა საუკეთესო, რომ გაიაროთ სესია და შევხვდეთ მალე მომავალ სეზონში!

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

მაგალითი 2: გადაწყვეტილება: დახაზეთ ფართობი ნახაზზე: