უტოლობების გადაჭრა ონლაინ

უტოლობების ამოხსნამდე საჭიროა კარგად გავიგოთ, როგორ იხსნება განტოლებები.

არ აქვს მნიშვნელობა უტოლობა მკაცრია () თუ არამკაცრი (≤, ≥), პირველი ნაბიჯი არის განტოლების ამოხსნა უტოლობის ნიშნის ტოლობით (=) ჩანაცვლებით.

ახსენით რას ნიშნავს უტოლობის ამოხსნა?

განტოლებების შესწავლის შემდეგ, სტუდენტს თავში აქვს შემდეგი სურათი: თქვენ უნდა იპოვოთ ცვლადის ისეთი მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც განტოლების ორივე ნაწილი ერთსა და იმავე მნიშვნელობებს იღებს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იპოვნეთ ყველა წერტილი, სადაც თანასწორობაა. ყველაფერი სწორია!

უტოლობაზე საუბრისას იგულისხმება იმ ინტერვალების (სეგმენტების) მოძიება, რომლებზეც უტოლდება. თუ უტოლობაში ორი ცვლადია, მაშინ ამოხსნა აღარ იქნება ინტერვალები, არამედ სიბრტყის ზოგიერთი არე. გამოიცანით რა იქნება სამ ცვლადში უტოლობის ამოხსნა?

როგორ მოვაგვაროთ უტოლობები?

ინტერვალების მეთოდი (აგრეთვე ინტერვალების მეთოდი) მიჩნეულია უტოლობების ამოხსნის უნივერსალურ გზად, რომელიც მოიცავს ყველა იმ ინტერვალის განსაზღვრას, რომლის ფარგლებშიც შესრულდება მოცემული უტოლობა.

უტოლობის ტიპში შესვლის გარეშე, ამ შემთხვევაში ეს არ არის არსი, საჭიროა შესაბამისი განტოლების ამოხსნა და მისი ფესვების დადგენა, რასაც მოჰყვება ამ ამონახსნების აღნიშვნა რიცხვითი ღერძზე.

რა არის სწორი გზა უტოლობის ამოხსნის დასაწერად?

როდესაც თქვენ განსაზღვრავთ უტოლობის ამოხსნის ინტერვალებს, სწორად უნდა ჩაწეროთ ამონახსნები თავად. არის მნიშვნელოვანი ნიუანსი - შედის თუ არა ამოხსნაში ინტერვალების საზღვრები?

აქ ყველაფერი მარტივია. თუ განტოლების ამონახსნი აკმაყოფილებს ODZ-ს და უტოლობა არ არის მკაცრი, მაშინ უტოლობის ამოხსნაში შედის ინტერვალის საზღვარი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, არა.

თითოეული ინტერვალის გათვალისწინებით, უტოლობის ამოხსნა შეიძლება იყოს თავად ინტერვალი, ან ნახევარი ინტერვალი (როდესაც მისი ერთ-ერთი საზღვარი აკმაყოფილებს უტოლობას), ან სეგმენტი - ინტერვალი მის საზღვრებთან ერთად.

მნიშვნელოვანი წერტილი

არ იფიქროთ, რომ მხოლოდ ინტერვალები, ნახევარინტერვალები და სეგმენტები შეიძლება იყოს უტოლობის გამოსავალი. არა, ცალკეული ქულებიც შეიძლება ჩაერთოს გამოსავალში.

მაგალითად, უტოლობას |x|≤0 აქვს მხოლოდ ერთი ამონახსნი - წერტილი 0.

და უტოლობა |x|

რისთვის არის უტოლობის კალკულატორი?

უტოლობის კალკულატორი იძლევა სწორ საბოლოო პასუხს. ამ შემთხვევაში, უმეტეს შემთხვევაში, მოცემულია რიცხვითი ღერძის ან სიბრტყის ილუსტრაცია. თქვენ ხედავთ, შედის თუ არა ხსნარში ინტერვალების საზღვრები - წერტილები ნაჩვენებია შევსებული ან გახვრეტილი.

ონლაინ უტოლობის კალკულატორის წყალობით, შეგიძლიათ შეამოწმოთ სწორად იპოვეთ განტოლების ფესვები, მონიშნეთ ისინი რიცხვით ხაზზე და შეამოწმეთ უტოლობის პირობები ინტერვალებზე (და საზღვრებზე)?

თუ თქვენი პასუხი განსხვავდება კალკულატორის პასუხისგან, მაშინ აუცილებლად უნდა გადაამოწმოთ თქვენი გამოსავალი და დაადგინოთ დაშვებული შეცდომა.

დღეს, მეგობრებო, არ იქნება სნეული და სენტიმენტი. სამაგიეროდ მე გამოგიგზავნით ბრძოლაში მე-8-9 კლასის ალგებრის კურსზე ერთ-ერთ ყველაზე ძლიერ მოწინააღმდეგესთან დამატებითი კითხვების გარეშე.

დიახ, თქვენ სწორად გაიგეთ ყველაფერი: ჩვენ ვსაუბრობთ უტოლობებზე მოდულით. ჩვენ განვიხილავთ ოთხ ძირითად ტექნიკას, რომლითაც თქვენ ისწავლით ამ პრობლემების დაახლოებით 90%-ის გადაჭრას. რაც შეეხება დანარჩენ 10%-ს? კარგად, მათზე ვისაუბრებთ ცალკე გაკვეთილზე. :)

თუმცა, სანამ რაიმე ხრიკს გავაანალიზებ, მსურს გავიხსენო ორი ფაქტი, რომელიც უკვე უნდა იცოდე. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ რისკავთ, რომ საერთოდ არ გაიგოთ დღევანდელი გაკვეთილის მასალა.

რაც უკვე უნდა იცოდეთ

კაპიტანი მტკიცებულება, როგორც ეს იყო, მიანიშნებს, რომ უტოლობების მოდულით გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ორი რამ:

1. როგორ წყდება უთანასწორობა?
2. რა არის მოდული.

დავიწყოთ მეორე პუნქტით.

მოდულის განმარტება

აქ ყველაფერი მარტივია. არსებობს ორი განმარტება: ალგებრული და გრაფიკული. დავიწყოთ ალგებრით:

განმარტება. $x$ რიცხვის მოდული არის ან თავად რიცხვი, თუ ის არაუარყოფითია, ან მისი საპირისპირო რიცხვი, თუ ორიგინალი $x$ მაინც უარყოფითია.

ასე წერია:

\[\მარცხნივ| x \მარჯვნივ|=\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

მარტივი სიტყვებით, მოდული არის "რიცხვი მინუსის გარეშე". და ეს არის ამ ორმაგობა (სადმე არ გჭირდებათ არაფრის გაკეთება ორიგინალური ნომრით, მაგრამ სადღაც თქვენ უნდა ამოიღოთ რაღაც მინუსი) და ყველა სირთულე დევს ახალბედა სტუდენტებისთვის.

ასევე არსებობს გეომეტრიული განმარტება. მისი ცოდნაც სასარგებლოა, მაგრამ მას მხოლოდ რთულ და ზოგიერთ განსაკუთრებულ შემთხვევებში მივმართავთ, სადაც გეომეტრიული მიდგომა უფრო მოსახერხებელია ვიდრე ალგებრული (სპოილერი: დღეს არა).

განმარტება. დაე, წერტილი $a$ იყოს მონიშნული რეალურ ხაზზე. შემდეგ მოდული $\left| x-a \right|$ არის მანძილი $x$ წერტილიდან $a$ წერტილამდე ამ ხაზის.

თუ ნახატს დახატავთ, მიიღებთ ასეთ რამეს:

გრაფიკული მოდულის განმარტება

ამა თუ იმ გზით, მისი ძირითადი თვისება დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს მოდულის განმარტებიდან: რიცხვის მოდული ყოველთვის არაუარყოფითი მნიშვნელობაა. ეს ფაქტი იქნება წითელი ძაფი, რომელიც გადის მთელ ჩვენს ისტორიას დღეს.

უტოლობების ამოხსნა. ინტერვალის მეთოდი

ახლა მოდით გავუმკლავდეთ უთანასწორობებს. ბევრი მათგანია, მაგრამ ახლა ჩვენი ამოცანაა შევძლოთ მათგან სულ მცირე უმარტივესი ამოხსნა. ისინი, რომლებიც დაყვანილია წრფივ უტოლობამდე, ასევე ინტერვალების მეთოდზე.

მე მაქვს ორი დიდი გაკვეთილი ამ თემაზე (სხვათა შორის, ძალიან, ძალიან სასარგებლო - გირჩევთ სწავლას):

1. უტოლობების ინტერვალის მეთოდი (განსაკუთრებით ნახეთ ვიდეო);
2. წილადი-რაციონალური უტოლობა ძალიან მოცულობითი გაკვეთილია, მაგრამ ამის შემდეგ საერთოდ აღარ დარჩება კითხვები.

თუ თქვენ იცით ეს ყველაფერი, თუ ფრაზა "მოდით გადავიდეთ უთანასწორობიდან განტოლებაზე" არ გაგიჩენთ კედელთან თავის მოკვლის გაურკვეველ სურვილს, მაშინ მზად ხართ: კეთილი იყოს თქვენი მობრძანება ჯოჯოხეთში გაკვეთილის მთავარ თემაზე. :)

1. „ფუნქციაზე ნაკლები მოდული“ ფორმის უტოლობები.

ეს არის ერთ-ერთი ყველაზე ხშირად ნაცნობი ამოცანა მოდულებით. საჭიროა ფორმის უტოლობის ამოხსნა:

\[\მარცხნივ| f\right| \ltg\]

ნებისმიერს შეუძლია შეასრულოს $f$ და $g$ ფუნქციები, მაგრამ, როგორც წესი, ისინი პოლინომებია. ასეთი უტოლობების მაგალითები:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & \მარცხნივ| 2x+3\მარჯვნივ| \ltx+7; \\ & \მარცხნივ| ((x)^(2))+2x-3 \მარჯვნივ|+3\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ) \lt 0; \\ & \მარცხნივ| ((x)^(2))-2\მარცხნივ| x \მარჯვნივ|-3 \მარჯვნივ| \lt 2. \\\ბოლო(გასწორება)\]

ყველა მათგანი წყდება სიტყვასიტყვით ერთ ხაზზე სქემის მიხედვით:

\[\მარცხნივ| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \მარცხნივ(\Rightarrow \მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\ბოლო(გასწორება) \მართალია მართალია)\]

ადვილი მისახვედრია, რომ ჩვენ ვიშორებთ მოდულს, მაგრამ სამაგიეროდ ვიღებთ ორმაგ უტოლობას (ან, რაც იგივეა, ორი უტოლობის სისტემას). მაგრამ ეს გადასვლა ითვალისწინებს აბსოლუტურად ყველა შესაძლო პრობლემას: თუ მოდულის ქვეშ რიცხვი დადებითია, მეთოდი მუშაობს; თუ უარყოფითია, ის მაინც მუშაობს; და თუნდაც ყველაზე არაადეკვატური ფუნქციით $f$ ან $g$-ის ნაცვლად, მეთოდი მაინც იმუშავებს.

ბუნებრივია, ჩნდება კითხვა: არ არის ადვილი? სამწუხაროდ, არ შეგიძლია. ეს არის მოდულის მთელი აზრი.

მაგრამ საკმარისია ფილოსოფოსი. მოდით მოვაგვაროთ რამდენიმე პრობლემა:

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| 2x+3\მარჯვნივ| \ltx+7\]

გადაწყვეტილება. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ფორმის კლასიკური უტოლობა "მოდული ნაკლებია" - გარდაქმნის არაფერია. ჩვენ ვმუშაობთ ალგორითმის მიხედვით:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & \მარცხნივ| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \მარცხნივ| 2x+3\მარჯვნივ| \lt x+7\მარჯვენა ისარი -\მარცხნივ(x+7 \მარჯვნივ) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\ბოლო (გასწორება)\]

ნუ იჩქარებთ ფრჩხილების გახსნას, რომლებსაც წინ უძღვის „მინუსი“: სავსებით შესაძლებელია, რომ აჩქარების გამო დაუშვათ შეურაცხმყოფელი შეცდომა.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი (გასწორება) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი (გასწორება) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\]

პრობლემა დაყვანილია ორ ელემენტარულ უთანასწორობამდე. ჩვენ აღვნიშნავთ მათ გადაწყვეტილებებს პარალელურ რეალურ ხაზებზე:

მრავალის კვეთა

ამ კომპლექტების კვეთა იქნება პასუხი.

პასუხი: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \მარჯვნივ)$

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| ((x)^(2))+2x-3 \მარჯვნივ|+3\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ) \lt 0\]

გადაწყვეტილება. ეს ამოცანა ცოტა უფრო რთულია. დასაწყისისთვის, ჩვენ გამოვყოფთ მოდულს მეორე ტერმინის მარჯვნივ გადაადგილებით:

\[\მარცხნივ| ((x)^(2))+2x-3 \მარჯვნივ| \lt -3\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)\]

ცხადია, ჩვენ კვლავ ვაწყდებით ფორმის უთანასწორობას „მოდული ნაკლებია“, ასე რომ, მოდულს ვაშორებთ უკვე ცნობილი ალგორითმის მიხედვით:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \მარჯვნივ)\]

ახლა ყურადღება: ვიღაც იტყვის, რომ მე ცოტა გარყვნილი ვარ ყველა ამ ფრჩხილებით. მაგრამ კიდევ ერთხელ შეგახსენებთ, რომ ჩვენი მთავარი მიზანია სწორად ამოხსენით უტოლობა და მიიღეთ პასუხი. მოგვიანებით, როცა სრულყოფილად აითვისებთ ყველაფერს, რაც ამ გაკვეთილზეა აღწერილი, შეგიძლიათ საკუთარი თავის გარყვნილება, როგორც გსურთ: გახსენით ფრჩხილები, დაამატეთ მინუსები და ა.შ.

და დამწყებთათვის, ჩვენ უბრალოდ მოვიშორებთ მარცხნივ ორმაგ მინუსს:

\[-\left(-3\left(x+1 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ)=\მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ)\cdot \left(-3 \მარჯვნივ)\cdot \left(x+1 \მარჯვნივ) =3\მარცხნივ(x+1\მარჯვნივ)\]

ახლა გავხსნათ ყველა ფრჩხილები ორმაგ უტოლობაში:

გადავიდეთ ორმაგ უთანასწორობაზე. ამჯერად გამოთვლები უფრო სერიოზული იქნება:

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\ მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( გასწორება)\მარჯვნივ.\]

ორივე უტოლობა კვადრატულია და წყდება ინტერვალის მეთოდით (ამიტომ ვამბობ: თუ არ იცით რა არის, ჯობია ჯერ არ აიღოთ მოდულები). გადავდივართ განტოლებაზე პირველ უტოლობაში:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\ მარცხენა (x+5 \მარჯვნივ)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\ბოლო (გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, გამომავალი აღმოჩნდა არასრული კვადრატული განტოლება, რომელიც ამოხსნილია ელემენტარულად. ახლა მოდით გაუმკლავდეთ სისტემის მეორე უთანასწორობას. აქ თქვენ უნდა გამოიყენოთ ვიეტას თეორემა:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\ბოლო (გასწორება)\]

მიღებულ რიცხვებს აღვნიშნავთ ორ პარალელურ წრფეზე (ცალკე პირველი უტოლობა და ცალკე მეორე):

ისევ, რადგან ჩვენ ვხსნით უტოლობათა სისტემას, ჩვენ გვაინტერესებს დაჩრდილული სიმრავლეთა კვეთა: $x\in \left(-5;-2 \right)$. ეს არის პასუხი.

პასუხი: $x\in \left(-5;-2 \მარჯვნივ)$

ვფიქრობ, ამ მაგალითების შემდეგ გადაწყვეტის სქემა ძალიან ნათელია:

1. მოდულის იზოლირება ყველა სხვა ტერმინის გადატანით უტოლობის საპირისპირო მხარეს. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ $\left| ფორმის უტოლობას f\right| \ltg$.
2. მოაგვარეთ ეს უთანასწორობა მოდულის მოშორებით, როგორც ზემოთ იყო აღწერილი. რაღაც მომენტში, საჭირო იქნება ორმაგი უტოლობიდან გადატანა ორი დამოუკიდებელი გამონათქვამის სისტემაზე, რომელთაგან თითოეული უკვე შეიძლება ცალკე გადაიჭრას.
3. და ბოლოს, რჩება მხოლოდ ამ ორი დამოუკიდებელი გამოთქმის ამონახსნების გადაკვეთა - და ეს არის ის, ჩვენ მივიღებთ საბოლოო პასუხს.

მსგავსი ალგორითმი ასევე არსებობს შემდეგი ტიპის უტოლობებისთვის, როდესაც მოდული ფუნქციაზე მეტია. თუმცა არის რამდენიმე სერიოზული „მაგრამ“. ამ „მაგრამ“ ახლა ვისაუბრებთ.

2. „მოდული მეტია ფუნქციაზე“ ფორმის უტოლობები.

ისინი ასე გამოიყურებიან:

\[\მარცხნივ| f\right| \gt g\]

წინას მსგავსი? Როგორც ჩანს. მიუხედავად ამისა, ასეთი ამოცანები სულ სხვაგვარად წყდება. ფორმალურად, სქემა შემდეგია:

\[\მარცხნივ| f\right| \gt g\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\]

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ განვიხილავთ ორ შემთხვევას:

1. პირველ რიგში, ჩვენ უბრალოდ უგულებელყოფთ მოდულს - ვხსნით ჩვეულებრივ უტოლობას;
2. შემდეგ, ფაქტობრივად, ვხსნით მოდულს მინუს ნიშნით და შემდეგ უტოლობის ორივე ნაწილს ვამრავლებთ −1-ზე, ნიშნით.

ამ შემთხვევაში, ვარიანტები გაერთიანებულია კვადრატულ ფრჩხილთან, ე.ი. ჩვენ გვაქვს ორი მოთხოვნის კომბინაცია.

კიდევ ერთხელ მიაქციეთ ყურადღება: ჩვენს წინაშე არის არა სისტემა, არამედ აგრეგატი პასუხში კომპლექტები გაერთიანებულია და არა იკვეთება. ეს არის ფუნდამენტური განსხვავება წინა აბზაცისგან!

ზოგადად, ბევრ სტუდენტს აქვს ბევრი დაბნეულობა გაერთიანებებთან და კვეთებთან დაკავშირებით, ასე რომ, მოდით ერთხელ და სამუდამოდ მივხედოთ ამ საკითხს:

• "∪" არის შეერთების ნიშანი. სინამდვილეში, ეს არის სტილიზებული ასო "U", რომელიც ჩვენამდე მოვიდა ინგლისური ენიდან და არის "Union"-ის აბრევიატურა, ე.ი. "ასოციაციები".
• "∩" არის გადაკვეთის ნიშანი. ეს სისულელე არსაიდან მოსულა, მაგრამ უბრალოდ „∪“-ს ოპოზიციად გამოჩნდა.

დასამახსოვრებლად კიდევ უფრო გასაადვილებლად, უბრალოდ დაამატეთ ფეხები ამ ნიშნებს სათვალეების გასაკეთებლად (უბრალოდ ახლა ნუ დამაბრალებთ ნარკომანიის და ალკოჰოლიზმის ხელშეწყობას: თუ სერიოზულად სწავლობთ ამ გაკვეთილს, მაშინ უკვე ნარკომანი ხართ):

განსხვავება სიმრავლეთა კვეთასა და გაერთიანებას შორის

რუსულად თარგმნილი, ეს ნიშნავს შემდეგს: გაერთიანება (კრებული) მოიცავს ელემენტებს ორივე ნაკრებიდან, შესაბამისად, არანაკლებ თითოეულ მათგანზე; მაგრამ კვეთა (სისტემა) მოიცავს მხოლოდ იმ ელემენტებს, რომლებიც არიან როგორც პირველ კომპლექტში, ასევე მეორეში. მაშასადამე, სიმრავლეთა კვეთა არასოდეს არის უფრო დიდი ვიდრე წყაროს ნაკრები.

ასე უფრო ნათელი გახდა? Მაგარია. მოდით გადავიდეთ პრაქტიკაზე.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| 3x+1 \მარჯვნივ| \gt 5-4x\]

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვმოქმედებთ სქემის მიხედვით:

\[\მარცხნივ| 3x+1 \მარჯვნივ| \gt 5-4x\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\მარცხნივ(5-4x \მარჯვნივ) \\\ბოლო (გასწორება) \ მართალია.\]

ჩვენ ვხსნით თითოეულ პოპულაციის უთანასწორობას:

\[\მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (გასწორება) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

ჩვენ აღვნიშნავთ თითოეულ მიღებულ კომპლექტს რიცხვით ხაზზე და შემდეგ ვაკავშირებთ მათ:

კომპლექტების გაერთიანება

ცხადია, პასუხი არის $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

პასუხი: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \მარჯვნივ)$

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| ((x)^(2))+2x-3 \მარჯვნივ| \gtx\]

გადაწყვეტილება. კარგად? არა, სულ ერთია. მოდულის მქონე უტოლობიდან გადავდივართ ორი უტოლობის სიმრავლეზე:

\[\მარცხნივ| ((x)^(2))+2x-3 \მარჯვნივ| \gt x\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

ჩვენ ვხსნით თითოეულ უტოლობას. სამწუხაროდ, ფესვები იქ არ იქნება ძალიან კარგი:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\ბოლო (გასწორება)\]

მეორე უტოლობაში ასევე არის ცოტა თამაში:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ახლა ჩვენ უნდა მოვნიშნოთ ეს რიცხვები ორ ღერძზე - თითო ღერძი თითოეული უტოლობისთვის. თუმცა, თქვენ უნდა მონიშნოთ ქულები სწორი თანმიმდევრობით: რაც უფრო დიდია რიცხვი, მით უფრო შორდება წერტილი მარჯვნივ.

და აქ ჩვენ ველოდებით დაყენებას. თუ ყველაფერი ნათელია $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (პირველის მრიცხველის ტერმინები წილადი ნაკლებია მეორეს მრიცხველში მოცემულ წევრებზე, ამიტომ ჯამიც უფრო მცირეა, რიცხვებით $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt). (21))(2)$ ასევე არ იქნება სირთულე (პოზიტიური რიცხვი აშკარად უფრო უარყოფითია), მაგრამ ბოლო წყვილთან ერთად ყველაფერი არც ისე მარტივია. რომელია უფრო დიდი: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ თუ $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? პუნქტების განლაგება რიცხვით ხაზებზე და, ფაქტობრივად, პასუხი დამოკიდებული იქნება ამ კითხვაზე პასუხზე.

ასე რომ შევადაროთ:

\[\begin(მატრიცა) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end (მატრიცა)\]

ჩვენ გამოვყავით ფესვი, მივიღეთ არაუარყოფითი რიცხვები უტოლობის ორივე მხარეს, ასე რომ, გვაქვს უფლება ორივე მხარის კვადრატში:

\[\begin(მატრიცა) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end (მატრიცა)\]

ვფიქრობ, რომ $4\sqrt(13) \gt 3$, ასე რომ, $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) არ არის გონივრული. 2)$, ბოლოს ღერძებზე წერტილები ასე იქნება მოწყობილი:

მახინჯი ფესვების საქმე

შეგახსენებთ, რომ ჩვენ ვხსნით კომპლექტს, ამიტომ პასუხი იქნება გაერთიანება და არა დაჩრდილული სიმრავლეთა გადაკვეთა.

პასუხი: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

როგორც ხედავთ, ჩვენი სქემა მშვენივრად მუშაობს როგორც მარტივი, ასევე ძალიან რთული ამოცანებისთვის. ამ მიდგომის ერთადერთი „სუსტი წერტილი“ არის ის, რომ საჭიროა ირაციონალური რიცხვების სწორად შედარება (და მერწმუნეთ: ეს არ არის მხოლოდ ფესვები). მაგრამ ცალკე (და ძალიან სერიოზული გაკვეთილი) დაეთმობა შედარების კითხვებს. და ჩვენ მივდივართ.

3. უტოლობა არაუარყოფითი „კუდებით“

ასე რომ, ჩვენ მივედით ყველაზე საინტერესოზე. ეს არის ფორმის უტოლობები:

\[\მარცხნივ| f\right| \gt\მარცხნივ| g\right|\]

ზოგადად რომ ვთქვათ, ალგორითმი, რომელზეც ახლა ვისაუბრებთ, მართალია მხოლოდ მოდულისთვის. ის მუშაობს ყველა უტოლობაში, სადაც არის გარანტირებული არაუარყოფითი გამონათქვამები მარცხნივ და მარჯვნივ:

რა ვუყოთ ამ ამოცანებს? უბრალოდ გახსოვდეთ:

არაუარყოფითი კუდების მქონე უთანასწორობებში, ორივე მხარე შეიძლება აიწიოს ნებისმიერ ბუნებრივ ძალამდე. დამატებითი შეზღუდვები არ იქნება.

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ დავინტერესდებით კვადრატში - ის წვავს მოდულებს და ფესვებს:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\ left(\sqrt(f) \მარჯვნივ))^(2))=f. \\\ბოლო (გასწორება)\]

უბრალოდ არ აურიოთ ეს კვადრატის ფესვის აღებაში:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\მარცხენა| f \right|\ne f\]

უთვალავი შეცდომა დაუშვა, როცა სტუდენტს დაავიწყდა მოდულის დაყენება! მაგრამ ეს სრულიად განსხვავებული ამბავია (ეს, როგორც იქნა, ირაციონალური განტოლებებია), ამიტომ ახლა მასში არ შევალთ. მოდი ჯობია გადავჭრათ რამდენიმე პრობლემა:

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| x+2 \მარჯვნივ|\ge \მარცხნივ| 1-2x \მარჯვნივ|\]

გადაწყვეტილება. ჩვენ მაშინვე ვამჩნევთ ორ რამეს:

1. ეს არის არა მკაცრი უთანასწორობა. რიცხვითი ხაზის ქულები ამოიჭრება.
2. უტოლობის ორივე მხარე აშკარად არაუარყოფითია (ეს არის მოდულის თვისება: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია უტოლობის ორივე მხარე კვადრატში, რათა მოვიშოროთ მოდული და მოვაგვაროთ პრობლემა ჩვეულებრივი ინტერვალის მეთოდით:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((\ მარცხნივ(\ მარცხნივ| x+2 \მარჯვნივ| \მარჯვნივ))^(2))\ge ((\ მარცხნივ(\მარცხნივ| 1-2x \მარჯვნივ| \მარჯვნივ) )^(2)); \\ & ((\ მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))^(2))\ge ((\ მარცხნივ(2x-1 \მარჯვნივ))^(2)). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ბოლო საფეხურზე ცოტა მოვიტყუე: ტერმინების თანმიმდევრობა შევცვალე მოდულის პარიტეტის გამოყენებით (ფაქტობრივად, გამონათქვამი $1-2x$ გავამრავლე −1-ზე).

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((\ მარცხნივ(2x-1 \მარჯვნივ))^(2))-((\left(x+2 \მარჯვნივ))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \მარჯვნივ)-\left(x+2 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ)\cdot \left(\left(2x-1 \მარჯვნივ)+\მარცხნივ(x+2 \ მარჯვენა)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \მარჯვნივ)\le 0; \\ & \left(x-3 \მარჯვნივ)\cdot \left(3x+1 \მარჯვნივ)\le 0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ვხსნით ინტერვალის მეთოდით. გადავიდეთ უტოლობიდან განტოლებაზე:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\ბოლო (გასწორება)\]

აღმოჩენილ ფესვებს ვნიშნავთ რიცხვთა წრფეზე. კიდევ ერთხელ: ყველა წერტილი დაჩრდილულია, რადგან თავდაპირველი უთანასწორობა არ არის მკაცრი!

მოდულის ნიშნის მოშორება

შეგახსენებთ განსაკუთრებით ჯიუტისთვის: ჩვენ ვიღებთ ნიშნებს ბოლო უტოლობიდან, რომელიც ჩაწერილი იყო განტოლებაზე გადასვლამდე. და ჩვენ ვხატავთ საჭირო უბნებს იმავე უთანასწორობით. ჩვენს შემთხვევაში, ეს არის $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Ის არის. პრობლემა მოგვარებულია.

პასუხი: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \მარჯვნივ]$.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| ((x)^(2))+x+1 \მარჯვნივ|\le \მარცხნივ| ((x)^(2))+3x+4 \მარჯვნივ|\]

გადაწყვეტილება. ჩვენ ყველაფერს ერთნაირად ვაკეთებთ. კომენტარს არ გავაკეთებ - უბრალოდ გადახედეთ მოქმედებების თანმიმდევრობას.

მოდი გავასწოროთ კვადრატში:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\ მარცხნივ(\ მარცხნივ| ((x)^(2))+x+1 \მარჯვნივ| \მარჯვნივ))^(2))\le ((\მარცხნივ(\მარცხნივ | ((x)^(2))+3x+4 \მარჯვნივ| \მარჯვნივ))^(2)); \\ & ((\ მარცხნივ(((x)^(2))+x+1 \მარჯვნივ))^(2))\le ((\ მარცხნივ(((x)^(2))+3x+4 \მარჯვნივ))^(2)); \\ & ((\ მარცხნივ(((x)^(2))+x+1 \მარჯვნივ))^(2))-((\ left(((x)^(2))+3x+4 \ მარჯვნივ))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \მარჯვნივ)\ჯერ \\ & \ჯერ \მარცხნივ(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \მარჯვნივ)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \მარჯვნივ)\left(2((x)^(2))+4x+5 \მარჯვნივ)\le 0. \\\ბოლო(გასწორება)\]

დაშორების მეთოდი:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \მარცხნივ(-2x-3 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(2((x)^(2))+4x+5 \მარჯვნივ)=0 \\ & -2x-3=0\ მარჯვენა ისარი x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\ბოლო (გასწორება)\]

რიცხვთა წრფეზე მხოლოდ ერთი ფესვია:

პასუხი არის მთელი დიაპაზონი

პასუხი: $x\in \left[ -1.5;+\infty \მარჯვნივ)$.

მცირე შენიშვნა ბოლო დავალების შესახებ. როგორც ჩემმა ერთ-ერთმა სტუდენტმა ზუსტად აღნიშნა, ორივე ქვემოდულის გამოხატულება ამ უთანასწორობაში აშკარად დადებითია, ამიტომ მოდულის ნიშანი შეიძლება გამოტოვდეს ჯანმრთელობისთვის ზიანის მიყენების გარეშე.

მაგრამ ეს უკვე სრულიად განსხვავებული აზროვნების დონეა და სხვა მიდგომა - მას პირობითად შეიძლება ეწოდოს შედეგების მეთოდი. მის შესახებ - ცალკე გაკვეთილზე. ახლა კი გადავიდეთ დღევანდელი გაკვეთილის ბოლო ნაწილზე და განვიხილოთ უნივერსალური ალგორითმი, რომელიც ყოველთვის მუშაობს. მაშინაც კი, როცა ყველა წინა მიდგომა უძლური იყო. :)

4. ვარიანტების ჩამოთვლის მეთოდი

რა მოხდება, თუ ყველა ეს ხრიკი არ მუშაობს? თუ უთანასწორობა არ შეიძლება შემცირდეს არაუარყოფით კუდებამდე, თუ შეუძლებელია მოდულის იზოლირება, თუ საერთოდ ტკივილი-სევდა-ლტოლვა?

შემდეგ სცენაზე შემოდის ყველა მათემატიკის „მძიმე არტილერია“ – აღრიცხვის მეთოდი. რაც შეეხება უტოლობას მოდულთან, ეს ასე გამოიყურება:

1. ჩამოწერეთ ყველა ქვემოდულის გამონათქვამი და გაათანაბრე ისინი ნულთან;
2. ამოხსენით მიღებული განტოლებები და მონიშნეთ ნაპოვნი ფესვები ერთ რიცხვით წრფეზე;
3. სწორი ხაზი დაიყოფა რამდენიმე მონაკვეთად, რომლის ფარგლებშიც თითოეულ მოდულს აქვს ფიქსირებული ნიშანი და ამიტომ ცალსახად ფართოვდება;
4. ამოხსენით უტოლობა თითოეულ ასეთ მონაკვეთზე (შეგიძლიათ ცალკე განიხილოთ მე-2 პუნქტში მიღებული სასაზღვრო ფესვები - სანდოობისთვის). შეუთავსეთ შედეგები - ეს იქნება პასუხი. :)

აბა, როგორ? სუსტი? მარტივად! მხოლოდ დიდი ხნის განმავლობაში. ვნახოთ პრაქტიკაში:

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| x+2 \მარჯვნივ| \lt\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|+x-\frac(3)(2)\]

გადაწყვეტილება. ეს სისულელე არ იშლება უტოლობებით, როგორიცაა $\left| f\right| \lt g$, $\მარცხენა| f\right| \gt g$ ან $\მარცხენა| f\right| \lt\მარცხნივ| g \right|$, ასე რომ, მოდით წავიდეთ წინ.

ჩვენ ვწერთ ქვემოდულის გამონათქვამებს, ვატოლებთ მათ ნულს და ვპოულობთ ფესვებს:

\[\begin(გასწორება) & x+2=0\მარჯვენა arrow x=-2; \\ & x-1=0\მარჯვენა ისარი x=1. \\\ბოლო (გასწორება)\]

საერთო ჯამში, ჩვენ გვაქვს ორი ფესვი, რომელიც ყოფს რიცხვთა ხაზს სამ ნაწილად, რომლის შიგნით თითოეული მოდული ცალსახად ვლინდება:

რიცხვითი წრფის გაყოფა სუბმოდულური ფუნქციების ნულებზე

მოდით განვიხილოთ თითოეული განყოფილება ცალკე.

1. მოდით $x \lt -2$. მაშინ ორივე ქვემოდულის გამონათქვამი უარყოფითია და თავდაპირველი უტოლობა გადაიწერება შემდეგნაირად:

\[\დაწყება(გასწორება) & -\მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ) \lt -\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\ბოლო (გასწორება)\]

ჩვენ მივიღეთ საკმაოდ მარტივი შეზღუდვა. მოდით გადავკვეთოთ ის თავდაპირველი ვარაუდით, რომ $x \lt -2$:

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\მარჯვენა ისარი x\\varnothing\]

ცხადია, $x$ ცვლადი ერთდროულად არ შეიძლება იყოს −2-ზე ნაკლები, მაგრამ 1,5-ზე მეტი. ამ სფეროში გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

1.1. ცალკე განვიხილოთ სასაზღვრო შემთხვევა: $x=-2$. მოდით ჩავანაცვლოთ ეს რიცხვი თავდაპირველ უტოლობაში და შევამოწმოთ: ინახება?

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((\მარცხნივ. \მარცხნივ| x+2 \მარჯვნივ| \lt \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|+x-1,5 \მარჯვნივ|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \მარცხნივ| -3 \მარჯვნივ|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\ბოლო (გასწორება)\]

ცხადია, გამოთვლების ჯაჭვმა მიგვიყვანა არასწორ უთანასწორობამდე. მაშასადამე, თავდაპირველი უტოლობა ასევე მცდარია და $x=-2$ არ შედის პასუხში.

2. ახლა მოდით $-2 \lt x \lt 1$. მარცხენა მოდული უკვე გაიხსნება "პლუს"-ით, მაგრამ მარჯვენა მაინც "მინუსით". Ჩვენ გვაქვს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & x+2 \lt -\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\ბოლო (გასწორება)\]

ჩვენ კვლავ ვკვეთთ თავდაპირველ მოთხოვნას:

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\მარჯვნივ ისარი x\in \varnothing \]

და ისევ, ამონახსნების ცარიელი სიმრავლე, რადგან არ არსებობს რიცხვები, რომლებიც −2,5-ზე ნაკლები და −2-ზე მეტია.

2.1. და ისევ სპეციალური შემთხვევა: $x=1$. ჩვენ ვცვლით თავდაპირველ უტოლობას:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\მარცხნივ. \მარცხნივ| x+2 \მარჯვნივ| \lt \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|+x-1,5 \მარჯვნივ|)_(x=1)) \\ & \მარცხნივ| 3\მარჯვნივ| \lt\მარცხნივ| 0 \მარჯვნივ|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\ბოლო (გასწორება)\]

წინა „განსაკუთრებული შემთხვევის“ მსგავსად, რიცხვი $x=1$ აშკარად არ შედის პასუხში.

3. ხაზის ბოლო ნაწილი: $x \gt 1$. აქ ყველა მოდული გაფართოვდა პლუს ნიშნით:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \ბოლო (გასწორება)\ ]

და ისევ ჩვენ ვკვეთთ ნაპოვნი სიმრავლეს თავდაპირველ შეზღუდვას:

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\მარჯვნივ ისარი x\მარცხნივ(4,5;+\infty \მარჯვნივ)\]

ბოლოს და ბოლოს! ჩვენ ვიპოვეთ ინტერვალი, რომელიც იქნება პასუხი.

პასუხი: $x\in \left(4,5;+\infty \მარჯვნივ)$

და ბოლოს, ერთი შენიშვნა, რომელიც შეიძლება გიხსნას სულელური შეცდომებისგან რეალური პრობლემების გადაჭრისას:

უტოლობების ამონახსნები მოდულებთან, როგორც წესი, უწყვეტი სიმრავლეებია რიცხვთა წრფეზე - ინტერვალები და სეგმენტები. იზოლირებული წერტილები გაცილებით იშვიათია. და კიდევ უფრო იშვიათად, ხდება, რომ ამოხსნის საზღვრები (სეგმენტის დასასრული) ემთხვევა განსახილველი დიაპაზონის საზღვარს.

შესაბამისად, თუ საზღვრები (იგივე „განსაკუთრებული შემთხვევები“) არ არის შეტანილი პასუხში, მაშინ ამ საზღვრების მარცხნივ-მარჯვნივ მდებარე უბნები თითქმის არ ჩაირთვება პასუხში. და პირიქით: საპასუხოდ შემოვიდა საზღვარი, რაც იმას ნიშნავს, რომ მის ირგვლივ რამდენიმე ადგილიც იქნება პასუხები.

გაითვალისწინეთ ეს თქვენი გადაწყვეტილებების შემოწმებისას.

წრფივი უტოლობები ეწოდებარომლის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები წრფივი ფუნქციებია უცნობი სიდიდის მიმართ. ეს მოიცავს, მაგალითად, უთანასწორობებს:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) მკაცრი უტოლობა: ax+b>0ან ნაჯახი+ბ<0

2) არა მკაცრი უტოლობები: ax+b≤0ან ნაჯახი+ბ≫ 0

ავიღოთ ეს დავალება. პარალელოგრამის ერთი მხარე არის 7 სმ. რა უნდა იყოს მეორე მხარის სიგრძე ისე, რომ პარალელოგრამის პერიმეტრი 44 სმ-ზე მეტი იყოს?

სასურველი მხარე იყოს Xსმ ამ შემთხვევაში პარალელოგრამის პერიმეტრი წარმოდგენილი იქნება (14 + 2x) სმ-ით, უტოლობა 14 + 2x > 44 არის პარალელოგრამის პერიმეტრის ამოცანის მათემატიკური მოდელი. თუ ამ უტოლობაში შევცვლით ცვლადს Xმაგალითად, რიცხვზე 16, მაშინ მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ უტოლობას 14 + 32\u003e 44. ამ შემთხვევაში, რიცხვი 16 არის 14 + 2x\u003e 44 უტოლობის ამოხსნა.

უთანასწორობის ამოხსნადაასახელეთ ცვლადის მნიშვნელობა, რომელიც აქცევს მას ნამდვილ რიცხვობრივ უტოლობად.

მაშასადამე, თითოეული რიცხვი 15.1; 20;73 მოქმედებს როგორც გამოსავალი 14 + 2x > 44 უტოლობისთვის და რიცხვი 10, მაგალითად, არ არის მისი ამონახსნები.

ამოხსენით უტოლობანიშნავს მისი ყველა გადაწყვეტის დადგენას ან იმის მტკიცებას, რომ გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

უტოლობის ამოხსნის ფორმულირება განტოლების ფესვის ფორმულირების მსგავსია. და მაინც არ არის ჩვეულებრივი "უთანასწორობის ფესვის" დანიშვნა.

რიცხვითი ტოლობების თვისებები დაგვეხმარა განტოლებების ამოხსნაში. ანალოგიურად, რიცხვითი უტოლობების თვისებები დაეხმარება უტოლობების ამოხსნას.

განტოლების ამოხსნით მას ვცვლით სხვა, უფრო მარტივ, მაგრამ მოცემულის ექვივალენტურ განტოლებაში. ანალოგიურად, პასუხი ნაპოვნია უტოლობაზე. განტოლების მის ეკვივალენტურ განტოლებაზე გადასვლისას იყენებენ თეორემას განტოლების ერთი ნაწილიდან საპირისპიროში ტერმინების გადატანისა და განტოლების ორივე ნაწილის ერთსა და იმავე არანულოვან რიცხვზე გამრავლების შესახებ. უტოლობის ამოხსნისას მასა და განტოლებას შორის მნიშვნელოვანი განსხვავებაა, რაც მდგომარეობს იმაში, რომ განტოლების ნებისმიერი ამონახსნის შემოწმება შესაძლებელია უბრალოდ მისი ორიგინალური განტოლებით ჩანაცვლებით. უტოლობაში ასეთი მეთოდი არ არსებობს, ვინაიდან შეუძლებელია ამონახსნების უსასრულო რაოდენობის ჩანაცვლება თავდაპირველ უტოლობაში. აქედან გამომდინარე, არსებობს მნიშვნელოვანი კონცეფცია, ეს ისრები<=>არის ეკვივალენტური, ანუ ეკვივალენტური გარდაქმნების ნიშანი. ტრანსფორმაცია ე.წ ექვივალენტიან ექვივალენტითუ ისინი არ შეცვლიან გადაწყვეტილების კომპლექტს.

უტოლობების ამოხსნის მსგავსი წესები.

თუ რომელიმე ტერმინი გადატანილია უტოლობის ერთი ნაწილიდან მეორეზე, მისი ნიშნის საპირისპირო ნიშნით ჩანაცვლებისას, მაშინ მივიღებთ მოცემულის ტოლფას უტოლობას.

თუ უტოლობის ორივე ნაწილი გამრავლებულია (გაიყოფა) ერთსა და იმავე დადებით რიცხვზე, მაშინ მივიღებთ მოცემულის ტოლფას უტოლობას.

თუ უტოლობის ორივე ნაწილი გავამრავლოთ (გაიყოთ) ერთსა და იმავე უარყოფით რიცხვზე, ხოლო უტოლობის ნიშნის საპირისპირო ნიშნით შევცვალოთ, მაშინ მივიღებთ მოცემულის ტოლფას უტოლობას.

ამათ გამოყენება რეგულაციებიჩვენ ვიანგარიშებთ შემდეგ უტოლობებს.

1) გავაანალიზოთ უთანასწორობა 2x - 5 > 9.

Ეს არის წრფივი უტოლობაიპოვეთ მისი ამოხსნა და განიხილეთ ძირითადი ცნებები.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 საპირისპირო ნიშნით მარცხენა მხარეს გადავიდა), შემდეგ ყველაფერი გავყავით 2-ზე და გვაქვს x > 7. ჩვენ ვიყენებთ ხსნარების კომპლექტს ღერძზე x

ჩვენ მივიღეთ დადებითად მიმართული სხივი. ჩვენ აღვნიშნავთ ამონახსნთა სიმრავლეს ან უტოლობის სახით x > 7, ან x(7; ∞) ინტერვალით. და რა არის ამ უთანასწორობის კონკრეტული გამოსავალი? Მაგალითად, x=10არის ამ უთანასწორობის განსაკუთრებული გადაწყვეტა, x=12ასევე არის ამ უთანასწორობის განსაკუთრებული გადაწყვეტა.

არსებობს ბევრი კონკრეტული გამოსავალი, მაგრამ ჩვენი ამოცანაა ვიპოვოთ ყველა გამოსავალი. და გადაწყვეტილებები, როგორც წესი, უსასრულოა.

გავაანალიზოთ მაგალითი 2:

2) ამოხსენით უტოლობა 4a - 11 > a + 13.

მოდი მოვაგვაროთ: აგადაადგილება ერთ მხარეს 11 გადავიდეთ მეორე მხარეს, მივიღებთ 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 უთანასწორობას აქვს ფორმა ა<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3ა< 24 <=>ა< 8 .

ჩვენ ასევე გამოვაჩენთ კომპლექტს ა< 8 , მაგრამ უკვე ღერძზე ა.

პასუხი ან იწერება როგორც უტოლობა a< 8, либо ა(-∞;8), 8 არ ირთვება.

უთანასწორობაარის გამოხატულება, ≤, ან ≥-ით. მაგალითად, 3x - 5 უტოლობის ამოხსნა ნიშნავს ცვლადის ყველა მნიშვნელობის პოვნას, რომლებისთვისაც ეს უტოლობა მართალია. თითოეული ეს რიცხვი არის უტოლობის ამოხსნა და ყველა ასეთი ამონახსნის სიმრავლე არის მისი ბევრი გადაწყვეტა. უტოლობები, რომლებსაც აქვთ ამონახსნების ერთნაირი ნაკრები ეწოდება ეკვივალენტური უტოლობები.

წრფივი უტოლობა

უტოლობების ამოხსნის პრინციპები მსგავსია განტოლებების ამოხსნის პრინციპების.

უტოლობების ამოხსნის პრინციპები
ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის a, b და c:
უტოლობების დამატების პრინციპი: Თუ უტოლობების გამრავლების პრინციპი: თუ a 0 მართალია, მაშინ ac თუ a bc ასევე მართალია.
მსგავსი განცხადებები ასევე ვრცელდება a ≤ b-ზე.

როდესაც უტოლობის ორივე მხარე მრავლდება უარყოფით რიცხვზე, უტოლობის ნიშანი უნდა შეიცვალოს.
პირველი დონის უტოლობები, როგორც მაგალით 1-ში (ქვემოთ), ეწოდება წრფივი უტოლობა.

მაგალითი 1ამოხსენით თითოეული შემდეგი უტოლობა. შემდეგ დახაზეთ გადაწყვეტილებების ნაკრები.
ა) 3x - 5 ბ) 13 - 7x ≥ 10x - 4
გადაწყვეტილება
11/5-ზე ნაკლები ნებისმიერი რიცხვი არის გამოსავალი.
ამონახსნების სიმრავლე არის (x|x
შემოწმების გასაკეთებლად შეგვიძლია გამოვსახოთ y 1 = 3x - 5 და y 2 = 6 - 2x. მაშინ აქედან ჩანს, რომ x
ამოხსნის სიმრავლე არის (x|x ≤ 1), ან (-∞, 1] ამონახსნების სიმრავლის გრაფიკი ნაჩვენებია ქვემოთ.

ორმაგი უტოლობა

როდესაც ორი უტოლობა ერთმანეთთან არის დაკავშირებული სიტყვით და, ან, შემდეგ იქმნება ორმაგი უთანასწორობა. ორმაგი უთანასწორობა მოსწონს
-3 და 2x + 5 ≤ 7
დაურეკა დაკავშირებულიარადგან იყენებს და. ჩანაწერი -3 ორმაგი უტოლობების ამოხსნა შესაძლებელია უტოლობათა შეკრებისა და გამრავლების პრინციპების გამოყენებით.

მაგალითი 2ამოხსნა -3 გადაწყვეტილებაᲩვენ გვაქვს

ამონახსნების ნაკრები (x|x ≤ -1 ან x > 3). ჩვენ ასევე შეგვიძლია დავწეროთ ამოხსნა ინტერვალის აღნიშვნისა და სიმბოლოს გამოყენებით ასოციაციებიან ორივე სიმრავლის ჩართვა: (-∞ -1] (3, ∞) ამონახსნების სიმრავლის გრაფიკი ნაჩვენებია ქვემოთ.

შესამოწმებლად დახაზეთ y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 და y 3 = 1. გაითვალისწინეთ, რომ (x|x ≤ -1 ან x > 3), y 1 ≤ y 2 ან y 1 > y 3 .

უტოლობები აბსოლუტური მნიშვნელობით (მოდული)

უტოლობები ზოგჯერ შეიცავს მოდულებს. მათი გადასაჭრელად გამოიყენება შემდეგი თვისებები.
> 0-სთვის და ალგებრული გამოსახულებისთვის x:
|x| |x| > a უდრის x ან x > a.
მსგავსი განცხადებები |x|-ისთვის ≤ a და |x| ≥ ა.

Მაგალითად,
|x| |y| ≥ 1 უდრის y ≤ -1-ს ან y ≥ 1;
და |2x + 3| ≤ 4 უდრის -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

მაგალითი 4ამოხსენით თითოეული შემდეგი უტოლობა. დახაზეთ გადაწყვეტილებების ნაკრები.
ა) |3x + 2| ბ) |5 - 2x| ≥ 1

გადაწყვეტილება
ა) |3x + 2|

ხსნარის ნაკრები არის (x|-7/3
ბ) |5 - 2x| ≥ 1
ამოხსნის ნაკრები არის (x|x ≤ 2 ან x ≥ 3), ან (-∞, 2] )