პრეზენტაციების წინასწარი გადახედვის გამოსაყენებლად შექმენით Google ანგარიში (ანგარიში) და შედით: https://accounts.google.com

სლაიდების წარწერები:

თეორია თემაზე: „პრობლემის გადაჭრა ინტერესისთვის“.

ტიპი 1: პროცენტის ათწილადად გადაქცევა. პროცენტი  წილადი A%  A გაყოფილი 100-ზე ამოცანები: 20%; 75%; 125%; 50%; 40%; 1%; 70%; 35%; 80%.... შეავსეთ ცხრილი 1% 5% 10% 20% 25% 50% 75% 100%

ტიპი 2: წილადის პროცენტად გადაქცევა. რიცხვი  პროცენტები A  A გამრავლებული 100% წილადების გადაქცევა პროცენტებად: 3/4; 0,07; 2.4. (GIA, თემატური ამოცანები) შეუსაბამეთ წილადები, რომლებიც გამოხატავენ გარკვეული მნიშვნელობის წილებს და მათ შესაბამის პროცენტებს. ა.1/4; ბ) 3/5; გ) 0,5; დ) 0,05 1) 5%; 2) 25%; 3) 50%; 4) 60% პასუხი: A B C D

ტიპი 3: რიცხვის პროცენტის პოვნა. A-ს X% 1) X% წარმოდგენილია ათობითი წილადის სახით 2) რიცხვი A მრავლდება ათობითი წილადზე. დავალება არის მაგალითი. ერთ თვეში კომპანიამ 500 მოწყობილობა გამოუშვა. წარმოებული მოწყობილობების 20%-მა ვერ გაიარა ხარისხის კონტროლი. რამდენმა მოწყობილობამ ვერ შეძლო ხარისხის კონტროლი? გადაწყვეტილება. თქვენ უნდა იპოვოთ წარმოებული მოწყობილობების მთლიანი რაოდენობის 20% (500). 20% = 0.2. 500 * 0.2 = 100. წარმოებული მოწყობილობების საერთო რაოდენობის 100-მა ხარისხის კონტროლი ვერ გაიარა.

ტიპი 4: იპოვნეთ რიცხვი პროცენტის მიხედვით. და ეს არის X%: 1) X% წარმოდგენილია როგორც ათობითი წილადი 2) A იყოფა ათობითი წილადით. დავალება არის მაგალითი. გამოცდისთვის მომზადებისას მოსწავლემ სახელმძღვანელოდან 38 ამოცანა ამოხსნა თვითშესწავლისთვის. რაც არის სახელმძღვანელოში ყველა დავალების რაოდენობის 25%. რამდენი დავალებაა თავმოყრილი ამ თვითშესწავლის სახელმძღვანელოში? გადაწყვეტილება. ჩვენ არ ვიცით რამდენი დავალებაა სახელმძღვანელოში. მაგრამ მეორეს მხრივ, ჩვენ ვიცით, რომ 38 დავალება არის მათი საერთო რაოდენობის 25%. 25%=0.25 38/0.25 = 152. ამ კოლექციაში არის 152 პრობლემა.

ტიპი 5: იპოვეთ ორი რიცხვის პროცენტი. A და B ნომრები. რამდენი % არის A-ს B? 1) B / A 2) გავამრავლოთ მიღებული კოეფიციენტი 100% -ით დავალება არის ნიმუში. კლასში 30 მოსწავლეა. მათგან 15 გოგონაა. გოგოების რამდენი პროცენტია კლასში? გადაწყვეტილება. იმის გასარკვევად, თუ რამდენი პროცენტია ერთი რიცხვი მეორისგან, გჭირდებათ რიცხვი, რომლის პოვნაც გსურთ, გაყავით საერთო რიცხვზე და გაამრავლეთ 100%-ზე. ასე რომ, 1) 15 / 30 = 0.5 2) 0.5 * 100% = 50% ამოცანა არის ნიმუში. 1 საათის განმავლობაში ავტომატური მანქანა 240 ნაწილს აწარმოებდა. ამ აპარატის რეკონსტრუქციის შემდეგ მან დაიწყო 288 იგივე ნაწილის წარმოება საათში. რამდენ პროცენტით გაიზარდა აპარატის პროდუქტიულობა? გადაწყვეტილება. დანადგარის პროდუქტიულობა გაიზარდა 288-240=48 ნაწილით საათში. თქვენ უნდა გაარკვიოთ 240 ნაწილის რამდენი პროცენტია 48 ნაწილი. იმისათვის, რომ გაიგოთ, რამდენი პროცენტია 48 რიცხვიდან 240, თქვენ უნდა გაყოთ რიცხვი 48 240-ზე და გაამრავლოთ შედეგი 100%-ზე. 48/240 *100% =20% პასუხი: მანქანის პროდუქტიულობა გაიზარდა 20%-ით

ტიპი 6: გაზარდეთ რიცხვი პროცენტით. შეამცირეთ რიცხვი პროცენტით. A არის რიცხვი; გაიზარდა X%-ით, შემდეგ ის გაიზარდა (1 + x / 100) ჯერ. : 1) რიცხვი A მრავლდება 2-ზე) (1 + x / 100). დავალება არის მაგალითი. . გასული წლის მათემატიკის გამოცდაზე 140-მა საშუალო სკოლის მოსწავლემ ა მიიღო. წელს წარჩინებულთა რაოდენობა 15%-ით გაიზარდა. რამდენმა ადამიანმა მიიღო A-ები მათემატიკის გამოცდაზე წელს? გადაწყვეტილება. 140 * (1 + 15/100) = 161. A - ნომერი; ჩვენ მცირდება X% -ით, შემდეგ ის შემცირდა (1 - x / 100) ჯერ. : 1) რიცხვი A მრავლდება 2-ზე) (1 - x / 100). დავალება არის მაგალითი. ერთი წლის წინ სკოლა 100-მა ბავშვმა დაამთავრა. წელს კი 25%-ით ნაკლებია კურსდამთავრებულები. რამდენი კურსდამთავრებულია წელს? გადაწყვეტილება. 100 * (1 - 25/100) = 75.

ტიპი 7: ხსნარის კონცენტრაცია. დავალება არის მაგალითი. კილოგრამი მარილი იხსნება 9 ლიტრ წყალში. რა არის მიღებული ხსნარის კონცენტრაცია? (1 ლიტრი წყლის მასა არის 1 კგ) (პეტერსონი 6 უჯრედი) ხსნარი 1) გახსნილი ნივთიერების მასა არის 1 კგ 2) მთელი ხსნარის მასა 1 + 9 \u003d 10 (კგ) 9 კგ არის მასა წყალი ხსნარში (არ აგვერიოს ხსნარის მთლიან მასასთან) 3) 1/10 * 100% \u003d 10% 10% - ხსნარის კონცენტრაცია

ტიპი 8: ლითონის პროცენტი შენადნობაში. ამოცანა - ნიმუში 1. არის სპილენძისა და კალის შენადნობის ნაჭერი საერთო მასით 12 კგ, რომელიც შეიცავს 45% სპილენძს. რამდენი სუფთა კალა უნდა დაემატოს შენადნობის ამ ნაჭერს, რათა მიღებული შენადნობი შეიცავდეს 40% სპილენძს? გამოსავალი.1)12 . 0,45= 5,4 (კგ) - სუფთა სპილენძი პირველ შენადნობში; 2) 5.4: 0.4= 13.5 (კგ) - ახალი შენადნობის წონა; 3) 13,5- 12= 1,5 (კგ) თუნუქის. პასუხი: საჭიროა 1,5 კგ თუნუქის.

ამოცანა - ნიმუში 2. არსებობს ორი შენადნობი, რომელიც შედგება სპილენძის, თუთიისა და კალისგან. ცნობილია, რომ პირველი შენადნობი შეიცავს 40% კალის, ხოლო მეორე - 26% სპილენძს. თუთიის პროცენტული რაოდენობა პირველ და მეორე შენადნობებში იგივეა. პირველი შენადნობის 150 კგ და მეორის 250 კგ დნობის შემდეგ მიიღეს ახალი შენადნობი, რომელშიც 30% თუთია აღმოჩნდა. დაადგინეთ რამდენი კილოგრამი კალა შეიცავს მიღებულ ახალ შენადნობას. ვინაიდან პირველ და მეორე შენადნობებში თუთიის პროცენტი ერთნაირია და მესამე შენადნობაში აღმოჩნდა 30%, მაშინ პირველ და მეორე შენადნობებში თუთიის პროცენტი 30%-ია. 250 * 0.3 \u003d 75 (კგ) - თუთია მეორე შენადნობაში; 250 * 0.26 \u003d 65 (კგ) - სპილენძი მეორე შენადნობაში; 250-(75+65)= 110 (კგ) კალა მეორე შენადნობაში; 150 . 0,4= 60 (კგ) - კალა პირველ შენადნობში; 110 + 60 = 170 (კგ) - კალა მესამე შენადნობაში. პასუხი: 170 კგ. 1 შენადნობი 2 შენადნობი ახალი შენადნობი (3) სპილენძი 26% თუთია 30% 30% 30% თუთია 40% ?კგ წონა 150 კგ 250 კგ 150+250=400

ტიპი 9: „მშრალ ნივთიერებაზე“. თითქმის ნებისმიერი პროდუქტი - ვაშლი, საზამთრო, სოკო, კარტოფილი, მარცვლეული, პური და ა.შ. შედგება წყლისა და მშრალი მასალისგან. უფრო მეტიც, როგორც ახალი, ასევე ხმელი საკვები შეიცავს წყალს. გაშრობის პროცესში მხოლოდ წყალი აორთქლდება და მშრალი ნივთიერების მასა არ იცვლება. ა.გ. მორდკოვიჩი „მათემატიკა 6“ ამოცანა No362 ამოცანა არის ნიმუში. ახალი სოკო შეიცავს 90% წყალს, ხოლო გამხმარი - 15%. რამდენი ჩირი მიიღება 17 კგ ახალი სოკოდან? რამდენი ახალი სოკოს მიღება გჭირდებათ 3,4 კგ ჩირის მისაღებად? გადაწყვეტილება. შევადგინოთ ცხრილი: ამოცანის 1 ნაწილი: ნივთიერება ნივთიერების მასა (კგ) წყლის პროცენტი მშრალი ნივთიერების პროცენტი მშრალი ნივთიერების მასა (კგ) ახალი სოკო 17 კგ 90% 10% 17*0.1=1.7 ხმელი სოკო X კგ 15% 85% X * o.85 \u003d 0.85x ვინაიდან მშრალ და ახალ სოკოში მშრალი ნივთიერების მასა უცვლელი რჩება, ჩვენ ვიღებთ განტოლებას: 0.85x \u003d 1.7, x \u003d 1.7: 0.85, x \u003d 2.

ამოცანის მე-2 ნაწილი: ნივთიერება ნივთიერების მასა (კგ) წყლის პროცენტი წყლის პროცენტი მშრალი ნივთიერების მასა (კგ) ახალი სოკო х 90% 10% 0.1х ხმელი სოკო 3.4 15% 85% 3.4*0.85=2 .89 0.1x = 2.89, x = 2.89: 0.1, x = 28.9. პასუხი: 17 კგ ახალი სოკოდან იღებთ 2 კგ ჩირს; 3,4 კგ ხმელი სოკოს მისაღებად საჭიროა 28,9 კგ ახალი სოკოს მიღება.

დღეს ჩვენ ცოტათი გადავუხვიეთ სტანდარტულ ლოგარითმებს, ინტეგრალებს, ტრიგონომეტრიას და ა.შ. და ერთად განვიხილავთ უფრო მნიშვნელოვან ამოცანას მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან, რომელიც პირდაპირ კავშირშია ჩვენს ჩამორჩენილ რუსულ რესურსებზე დაფუძნებულ ეკონომიკასთან. და უფრო ზუსტად, განვიხილავთ დეპოზიტების, პროცენტების და სესხების პრობლემას. რადგან სწორედ პროცენტული ამოცანები დაემატა მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მეორე ნაწილს ცოტა ხნის წინ. მაშინვე გავაკეთებ დათქმას, რომ ამ პრობლემის გადასაჭრელად, ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის სპეციფიკაციების მიხედვით, შემოთავაზებულია ერთდროულად სამი ძირითადი პუნქტი, ანუ გამომცდელები ამ ამოცანას ერთ-ერთ ყველაზე რთულად თვლიან.

ამავდროულად, მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან რომელიმე ამ ამოცანის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იცოდეთ მხოლოდ ორი ფორმულა, რომელთაგან თითოეული საკმაოდ ხელმისაწვდომია სკოლის ნებისმიერი კურსდამთავრებულისთვის, თუმცა, ჩემთვის გაუგებარი მიზეზების გამო, ეს ფორმულები არის სრულიად იგნორირებულია როგორც სკოლის მასწავლებლების, ისე გამოცდის მოსამზადებლად სხვადასხვა დავალების შემდგენელების მიერ. ამიტომ, დღეს მე არ გეტყვით მხოლოდ რა არის ეს ფორმულები და როგორ გამოვიყენოთ ისინი, არამედ გამოვიყვან თითოეულ ამ ფორმულებს სიტყვასიტყვით თქვენს თვალწინ, მათემატიკაში ღია USE ბანკის დავალებების საფუძველზე.

მაშასადამე, გაკვეთილი საკმაოდ მოცულობითი, საკმაოდ შინაარსიანი აღმოჩნდა, ასე რომ თავი კომფორტულად იგრძნოთ და ჩვენ ვიწყებთ.

ფულის ჩადება ბანკში

პირველ რიგში მინდა გავაკეთო მცირე ლირიკული გადახვევა ფინანსებთან, ბანკებთან, სესხებთან და დეპოზიტებთან დაკავშირებით, რის საფუძველზეც მივიღებთ იმ ფორმულებს, რომლებსაც გამოვიყენებთ ამ პრობლემის გადასაჭრელად. მაშ ასე, ცოტა გადავუხვიოთ გამოცდებს, მოახლოებულ სასკოლო პრობლემებს და გადავხედოთ მომავალს.

ვთქვათ, გაიზარდეთ და აპირებთ ბინის ყიდვას. ვთქვათ, თქვენ აპირებთ იყიდოთ არა ცუდი ბინა გარეუბანში, არამედ კარგი ხარისხის ბინა 20 მილიონ რუბლში. ამავდროულად, დავუშვათ, რომ მეტ-ნაკლებად ნორმალური სამსახური მიიღეთ და თვეში 300 ათასი რუბლი გამოიმუშავეთ. ამ შემთხვევაში, წლის განმავლობაში შეგიძლიათ დაზოგოთ დაახლოებით სამი მილიონი რუბლი. რა თქმა უნდა, თვეში 300 ათასი რუბლის გამომუშავებით, წლისთვის მიიღებთ ოდნავ უფრო დიდ თანხას - 3,600,000 - მაგრამ მოდით, ეს 600,000 დახარჯოთ საკვებზე, ტანსაცმელზე და სხვა ყოველდღიურ საოჯახო სიხარულზე. მთლიანი შეყვანის მონაცემები ასეთია: აუცილებელია ოცი მილიონი რუბლის გამომუშავება, მაშინ როცა ჩვენ განკარგულებაში გვაქვს წელიწადში მხოლოდ სამი მილიონი რუბლი. ჩნდება ბუნებრივი კითხვა: რამდენი წელი უნდა გამოვყოთ სამი მილიონი, რომ მივიღოთ იგივე ოცი მილიონი. ელემენტარულად ითვლება:

\[\frac(20)(3)=6,....\ 7-მდე\]

თუმცა, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, თვეში 300 ათას რუბლს გამოიმუშავებთ, რაც იმას ნიშნავს, რომ ჭკვიანი ხალხი ხართ და ფულს „ბალიშის ქვეშ“ კი არ დაზოგავთ, არამედ მიიტანეთ ბანკში. და, შესაბამისად, ყოველწლიურად იმ დეპოზიტებზე, რომლებიც ბანკში შემოიტანეთ, პროცენტი დაგერიცხებათ. ვთქვათ, ირჩევთ სანდო, მაგრამ ამავდროულად მეტ-ნაკლებად მომგებიან ბანკს და, შესაბამისად, თქვენი დეპოზიტები ყოველწლიურად გაიზრდება 15%-ით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ თქვენს ანგარიშებზე თანხა ყოველწლიურად 1,15-ჯერ იზრდება. შეგახსენებთ ფორმულას:

მოდით გამოვთვალოთ რამდენი თანხა იქნება თქვენს ანგარიშებზე ყოველი წლის შემდეგ:

პირველ წელს, როცა ფულის დაზოგვას იწყებთ, პროცენტი არ დაგროვდება, ანუ წლის ბოლოს დაზოგავთ სამ მილიონ რუბლს:

მეორე წლის ბოლოს პროცენტი უკვე დაერიცხება იმ სამ მილიონ რუბლს, რომელიც დარჩა პირველი წლიდან, ე.ი. უნდა გავამრავლოთ 1.15-ზე. თუმცა, მეორე წლის განმავლობაში თქვენ ასევე შეატყობინეთ კიდევ სამი მილიონი რუბლი. რა თქმა უნდა, ამ სამ მილიონს პროცენტი ჯერ არ ჰქონდა დარიცხული, რადგან მეორე წლის ბოლოს ეს სამი მილიონი მხოლოდ ანგარიშზე გამოჩნდა:

ასე რომ, მესამე წელი. მესამე წლის ბოლოს ამ თანხას დაერიცხება პროცენტი, ანუ აუცილებელია მთელი ამ თანხის 1,15-ზე გამრავლება. და ისევ, მთელი წლის განმავლობაში თქვენ იმუშავეთ და სამი მილიონი რუბლი გადადეთ:

\[\მარცხნივ(3მ\cdot 1.15+3m \მარჯვნივ)\cdot 1.15+3m\]

გამოვთვალოთ კიდევ მეოთხე წელი. ისევ მთელი ის თანხა, რაც გვქონდა მესამე წლის ბოლოს, მრავლდება 1,15-ზე, ე.ი. პროცენტი დაირიცხება მთელ თანხაზე. ეს მოიცავს პროცენტს. და ამ თანხას კიდევ სამი მილიონი ემატება, რადგან მეოთხე წელს თქვენც იმუშავეთ და ფულიც დაზოგეთ:

\[\ left(\ left(3m\cdot 1.15+3m \მარჯვნივ)\cdot 1.15+3m \მარჯვნივ)\cdot 1.15+3m\]

ახლა კი გავხსნათ ფრჩხილები და ვნახოთ რა თანხა გვექნება ფულის დაზოგვის მეოთხე წლის ბოლომდე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& \მარცხნივ(\მარცხნივ(3მ\cdot 1,15+3m \მარჯვნივ)\cdot 1,15+3m \მარჯვნივ)\cdot 1,15+3m= \\& =\მარცხნივ( 3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot ((1,15)^(3 ))+3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\მარცხნივ(((1,15)^(3))+(1 ,15)^(2))+1,15+1 \მარჯვნივ)= \\& =3მ\მარცხნივ(1+1,15+((1,15)^(2))+(1,15) ^(3)) \მარჯვნივ) \\\ბოლო(გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, ფრჩხილებში გვაქვს გეომეტრიული პროგრესიის ელემენტები, ანუ გვაქვს გეომეტრიული პროგრესიის ელემენტების ჯამი.

შეგახსენებთ, რომ თუ გეომეტრიული პროგრესია მოცემულია $((b)_(1))$ ელემენტით, ასევე $q$ მნიშვნელით, მაშინ ელემენტების ჯამი გამოითვლება შემდეგი ფორმულით:

ეს ფორმულა უნდა იყოს ცნობილი და მკაფიოდ გამოყენებული.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ფორმულა ნელემენტი ასე ჟღერს:

\[((ბ)_(ნ))=((ბ)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

ამ ხარისხის გამო, ბევრი სტუდენტი დაბნეულია. საერთო ჯამში გვაქვს მხოლოდ ნთანხისთვის n-ელემენტები და ნ-ე ელემენტს აქვს ხარისხი $n-1$. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ ახლა ვცდილობთ გამოვთვალოთ გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი, მაშინ უნდა გავითვალისწინოთ შემდეგი:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((ბ)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\ბოლო (გასწორება)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

ცალკე გამოვთვალოთ მრიცხველი:

\[((1,15)^(4))=((\ მარცხნივ((((1,15)^(2)) \მარჯვნივ))^(2))=((\ მარცხნივ(1,3225 \მარჯვნივ ))^(2))=1.74900625\დაახლოებით 1.75\]

მთლიანობაში, გეომეტრიული პროგრესიის ჯამს დავუბრუნდებით, მივიღებთ:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15)=5\]

შედეგად ვიღებთ, რომ დანაზოგის ოთხ წელიწადში ჩვენი საწყისი თანხა ოთხჯერ კი არ გაიზრდება, თითქოს ბანკში არ გვქონდეს შენახული თანხა, არამედ ხუთჯერ, ანუ თხუთმეტი მილიონი. ცალკე დავწეროთ:

4 წელი → 5 ჯერ

მომავალს რომ ვუყურებ, ვიტყვი, რომ ჩვენ რომ დავზოგოთ არა ოთხი წელი, არამედ ხუთი წელი, შედეგად, ჩვენი დანაზოგი 6,7-ჯერ გაიზრდებოდა:

5 წელი → 6,7 ჯერ

ანუ მეხუთე წლის ბოლომდე ანგარიშზე შემდეგი თანხა გვექნებოდა:

ანუ, დაზოგვის მეხუთე წლის ბოლოს, ანაბრის პროცენტის გათვალისწინებით, ჩვენ უკვე მივიღებდით ოც მილიონ რუბლს. ამგვარად, საბანკო პროცენტების მთლიანი შემნახველი ანგარიში შემცირდება თითქმის შვიდი წლიდან ხუთ წლამდე, ანუ თითქმის ორი წლით.

ამრიგად, მიუხედავად იმისა, რომ ბანკი საკმაოდ დაბალ პროცენტს ახდევინებს ჩვენს დეპოზიტებს (15%), ხუთი წლის შემდეგ იგივე 15% იძლევა ზრდას, რომელიც მნიშვნელოვნად აღემატება ჩვენს წლიურ შემოსავალს. ამავდროულად, ძირითადი მულტიპლიკატორული ეფექტი ვლინდება ბოლო წლებში და თუნდაც, დაზოგვის ბოლო წელს.

რატომ დავწერე ეს ყველაფერი? რა თქმა უნდა, არა იმისთვის, რომ ბანკში ფულის გადატანა არ აგიტაციოთ. იმის გამო, რომ თუ თქვენ ნამდვილად გსურთ თქვენი დანაზოგის გაზრდა, მაშინ უნდა ჩადოთ ისინი არა ბანკში, არამედ რეალურ ბიზნესში, სადაც იგივე პროცენტები, ანუ მომგებიანობა რუსეთის ეკონომიკის პირობებში, იშვიათად ეცემა 30%-ზე ქვემოთ, ანუ ორჯერ. იმდენი საბანკო დეპოზიტი.

მაგრამ რაც ნამდვილად გამოდგება ყველა ამ მსჯელობაში არის ფორმულა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ დეპოზიტის საბოლოო ოდენობა წლიური გადახდების ოდენობით, ასევე იმ პროცენტით, რომელსაც ბანკი აწესებს. ასე რომ დავწეროთ:

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\text(%))^(n))-1)(\text(%)-1)\]

თავისთავად, % გამოითვლება შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

ეს ფორმულა ასევე უნდა იყოს ცნობილი, ისევე როგორც ძირითადი ფორმულა შენატანის ოდენობისთვის. და, თავის მხრივ, მთავარ ფორმულას შეუძლია მნიშვნელოვნად შეამციროს გამოთვლები იმ პრობლემებში პროცენტებით, სადაც საჭიროა წვლილის გამოთვლა.

რატომ გამოვიყენოთ ფორმულები ცხრილების ნაცვლად?

ალბათ ბევრს გაუჩნდება კითხვა, რატომ საერთოდ ეს სირთულეები, შესაძლებელია თუ არა ყოველი წლის უბრალოდ ჩაწერა ტაბლეტზე, როგორც ამას ბევრ სახელმძღვანელოში აკეთებენ, გამოთვალოთ ყოველი წელი ცალ-ცალკე და შემდეგ გამოთვალოთ შემოწირულობის მთლიანი თანხა? რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ ზოგადად დაივიწყოთ გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი და დათვალოთ ყველაფერი კლასიკური ტაბლეტების გამოყენებით - ეს კეთდება უმეტეს კოლექციაში გამოცდისთვის მოსამზადებლად. თუმცა, ჯერ ერთი, გამოთვლების მოცულობა მკვეთრად იზრდება და მეორეც, შედეგად იზრდება შეცდომის დაშვების ალბათობა.

ზოგადად, მაგიდების გამოყენება ამ შესანიშნავი ფორმულის ნაცვლად იგივეა, რაც სამშენებლო მოედანზე ხელებით თხრიან თხრილებს, ნაცვლად იმისა, რომ გამოიყენოთ ექსკავატორი, რომელიც იქვე დგას და სრულად მუშაობს.

ანუ, იგივეა, რაც ხუთის ათზე გამრავლება არა გამრავლების ცხრილის გამოყენებით, არამედ თავისთვის ხუთის ათჯერ ზედიზედ დამატება. თუმცა, მე უკვე გადავუხვიე, ამიტომ კიდევ ერთხელ გავიმეორებ ყველაზე მნიშვნელოვან აზრს: თუ არის რაიმე გზა გამოთვლების გასამარტივებლად და შემცირებისთვის, მაშინ ეს არის გამოსაყენებელი გზა.

პროცენტები სესხებზე

ჩვენ გავარკვიეთ დეპოზიტები, ამიტომ გადავდივართ შემდეგ თემაზე, კერძოდ, სესხებზე პროცენტებზე.

ასე რომ, სანამ ზოგავ ფულს, ყურადღებით გეგმავ ბიუჯეტს, ფიქრობ შენს მომავალ ბინაზე, შენმა კლასელმა, ახლა კი უბრალო უმუშევარმა, გადაწყვიტა დღეისთვის ეცხოვრა და მხოლოდ სესხი აიღო. თან მაინც დაგაცინებს და გაცინებსო, ამბობენ, საკრედიტო ტელეფონი და მეორადი მანქანა აქვს კრედიტით აღებული, შენ კი მეტროში მაინც დადიხარ და ძველი ღილაკიანი ტელეფონით იყენებ. რა თქმა უნდა, ყველა ამ იაფფასიანი „გამოფენისთვის“ თქვენს ყოფილ თანაკლასელს ძვირი გადახდა მოუწევს. რამდენად ძვირია - ეს არის ის, რასაც ჩვენ ახლა გამოვთვლით.

პირველი, მოკლე შესავალი. ვთქვათ, თქვენმა ყოფილმა კლასელმა კრედიტით აიღო ორი მილიონი რუბლი. ამავდროულად, ხელშეკრულების თანახმად, მან უნდა გადაიხადოს x რუბლი თვეში. ვთქვათ, მან აიღო სესხი წლიური 20%-იანი განაკვეთით, რაც დღევანდელ პირობებში საკმაოდ წესიერად გამოიყურება. ასევე, დავუშვათ, რომ სესხის ვადა მხოლოდ სამი თვეა. შევეცადოთ დავაკავშიროთ ყველა ეს რაოდენობა ერთ ფორმულაში.

ასე რომ, თავიდანვე, როგორც კი თქვენი ყოფილი კლასელი ბანკიდან წავიდა, ჯიბეში ორი მილიონი აქვს და ეს მისი ვალია. ამავდროულად, არც ერთი წელი გავიდა და არც ერთი თვე, მაგრამ ეს მხოლოდ დასაწყისია:

შემდეგ, ერთი თვის შემდეგ, პროცენტი დაერიცხება დავალიანებას. როგორც უკვე ვიცით, პროცენტის გამოსათვლელად საკმარისია ორიგინალური დავალიანების გამრავლება კოეფიციენტზე, რომელიც გამოითვლება შემდეგი ფორმულით:

ჩვენს შემთხვევაში, ჩვენ ვსაუბრობთ წლიურ განაკვეთზე 20%, ანუ შეგვიძლია დავწეროთ:

ეს არის იმ თანხის თანაფარდობა, რომელიც დაირიცხება წელიწადში. არადა, ჩვენი კლასელი არც ისე ჭკვიანია და არც ხელშეკრულება წაუკითხავს და რეალურად სესხს აძლევდნენ არა წელიწადში 20%-ით, არამედ თვეში 20%-ით. პირველი თვის ბოლომდე კი ამ თანხაზე პროცენტი დაერიცხება და 1,2-ჯერ გაიზრდება. ამის შემდეგ დაუყოვნებლივ, პირმა უნდა გადაიხადოს შეთანხმებული თანხა, ანუ x რუბლი თვეში:

\[\მარცხნივ(2მ\cdot 1,2-x\მარჯვნივ)\cdot 1,2-x\]

და ისევ, ჩვენი ბიჭი იხდის გადახდას $x$ რუბლის ოდენობით.

შემდეგ, მესამე თვის ბოლოს, მისი ვალის ოდენობა კვლავ იზრდება 20%-ით:

\[\ მარცხნივ (\ მარცხნივ (2 მ\ cdot 1,2- x\ მარჯვენა)\cdot 1,2- x\ მარჯვენა) 1,2- x\]

ხოლო სამი თვის პირობის მიხედვით მან სრულად უნდა გადაიხადოს, ანუ ბოლო მესამე გადახდის შემდეგ მისი ვალის ოდენობა ნულის ტოლი უნდა იყოს. ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ეს განტოლება:

\[\ მარცხნივ(\ მარცხნივ(2მ\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]

მოდით გადავწყვიტოთ:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& \მარცხნივ(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2 )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\მარცხნივ((( 1,2)^(2))+1,2+1 \მარჯვნივ) \\\ბოლო(გასწორება)\]

ჩვენს წინაშე ისევ გეომეტრიული პროგრესიაა, უფრო სწორად, გეომეტრიული პროგრესიის სამი ელემენტის ჯამი. მოდით გადავიწეროთ ის ელემენტების ზრდადი თანმიმდევრობით:

ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ გეომეტრიული პროგრესიის სამი ელემენტის ჯამი. Მოდი დავწეროთ:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\ბოლო (გასწორება)\]

ახლა ვიპოვოთ გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

შეგახსენებთ, რომ გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი ასეთი პარამეტრებით $\left(((b)_(1));q \right)$ გამოითვლება ფორმულით:

\[((S)_(n))=((ბ)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

ეს არის ფორმულა, რომელიც ჩვენ ახლახან გამოვიყენეთ. ჩაანაცვლეთ ეს ფორმულა ჩვენს გამონათქვამში:

შემდგომი გამოთვლებისთვის უნდა გავარკვიოთ, თუ რას უდრის $((1,2)^(3))$. სამწუხაროდ, ამ შემთხვევაში, ბოლოჯერ ვეღარ ვხატავთ ორმაგი კვადრატის სახით, მაგრამ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ასე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\ბოლო (გასწორება)\]

ჩვენ ხელახლა ვწერთ ჩვენს გამონათქვამს:

ეს არის კლასიკური ხაზოვანი გამოხატულება. დავუბრუნდეთ შემდეგ ფორმულას:

ფაქტობრივად, თუ განვაზოგადებთ, მივიღებთ ფორმულას, რომელიც აკავშირებს პროცენტებს, სესხებს, გადახდებს და პირობებს. ფორმულა ასე გამოიყურება:

აი, ეს არის დღევანდელი ვიდეოგაკვეთილის ყველაზე მნიშვნელოვანი ფორმულა, რომლის დახმარებითაც განიხილება მეორე ნაწილის მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ყველა ეკონომიკური ამოცანის 80% მაინც.

ყველაზე ხშირად რეალურ ამოცანებში მოგთხოვენ გადახდას, ან ცოტა უფრო იშვიათად სესხს, ანუ იმ დავალიანების მთლიან ოდენობას, რაც ჩვენს კლასელს ჰქონდა გადახდების დასაწყისში. უფრო რთულ ამოცანებში მოგეთხოვებათ პროცენტის პოვნა, მაგრამ ძალიან რთულისთვის, რომელსაც ცალკე ვიდეო გაკვეთილზე განვიხილავთ, მოგეთხოვებათ იპოვოთ დრო, რომლის განმავლობაშიც მოცემული სესხის და გადახდის პარამეტრებით, ჩვენი უმუშევარი თანაკლასელი შეძლებს ბანკის სრულად გადახდას.

ალბათ ვინმემ ახლა იფიქროს, რომ მე ვარ სესხების, ფინანსების და ზოგადად საბანკო სისტემის სასტიკი მოწინააღმდეგე. ასე რომ, არაფერი მსგავსი! პირიქით, მიმაჩნია, რომ საკრედიტო ინსტრუმენტები ძალიან სასარგებლო და აუცილებელია ჩვენი ეკონომიკისთვის, მაგრამ მხოლოდ იმ პირობით, რომ სესხი ბიზნესის განვითარებისთვის არის აღებული. ექსტრემალურ შემთხვევებში შეგიძლიათ აიღოთ სესხი სახლის შესაძენად, ანუ იპოთეკა ან გადაუდებელი სამედიცინო დახმარება – ესე იგი, სესხის აღების სხვა მიზეზი უბრალოდ არ არსებობს. და ყველანაირი უმუშევარი, რომლებიც სესხებს იღებენ „შოუ-აფის“ შესაძენად და ამავდროულად საერთოდ არ ფიქრობენ შედეგებზე საბოლოოდ და ხდება კრიზისებისა და პრობლემების მიზეზი ჩვენს ეკონომიკაში.

დღევანდელი გაკვეთილის თემას რომ დავუბრუნდე, მინდა აღვნიშნო, რომ ასევე აუცილებელია ვიცოდეთ ეს ფორმულა, რომელიც აკავშირებს სესხებს, გადახდებს და პროცენტებს, ასევე გეომეტრიული პროგრესიის ოდენობას. სწორედ ამ ფორმულების დახმარებით წყდება რეალური ეკონომიკური ამოცანები მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან. ჰოდა, ახლა, როცა ეს ყველაფერი კარგად იცით, როცა გაიგებთ, რა არის სესხი და რატომ არ უნდა აიღოთ, გადავიდეთ რეალური ეკონომიკური პრობლემების გადაჭრაზე მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან.

მათემატიკაში გამოცდიდან რეალურ ამოცანებს ვხსნით

მაგალითი #1

ასე რომ, პირველი ამოცანაა:

2014 წლის 31 დეკემბერს ალექსეიმ ბანკიდან აიღო სესხი 9,282,000 რუბლის ოდენობით, წლიური 10%. სესხის დაფარვის სქემა ასეთია: ყოველი მომდევნო წლის 31 დეკემბერს ბანკს ერიცხება პროცენტი დავალიანების დარჩენილ თანხაზე (ანუ ზრდის ვალს 10%-ით), შემდეგ ალექსეი გადარიცხავს X რუბლს ბანკში. რა უნდა იყოს X თანხა, რომ ალექსიმ გადაიხადოს დავალიანება ოთხი თანაბარი გადახდით (ე.ი. ოთხი წლის განმავლობაში)?

ასე რომ, ეს არის სესხის პრობლემა, ამიტომ ჩვენ დაუყოვნებლივ ვწერთ ჩვენს ფორმულას:

ჩვენ ვიცით სესხი - 9,282,000 რუბლი.

ახლა პროცენტებთან გვაქვს საქმე. ჩვენ ვსაუბრობთ პრობლემის 10%-ზე. ამიტომ, ჩვენ შეგვიძლია მათი თარგმნა:

ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ განტოლება:

ჩვენ მივიღეთ ჩვეულებრივი წრფივი განტოლება $x$-ის მიმართ, თუმცა საკმაოდ დიდი კოეფიციენტებით. ვცადოთ მისი მოგვარება. ჯერ ვიპოვოთ გამოთქმა $((1,1)^(4))$:

$\begin(გასწორება)& ((1,1)^(4))=((\მარცხნივ(((1,1)^(2)) \მარჯვნივ))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\ბოლო (გასწორება)$

ახლა გადავწეროთ განტოლება:

\[\ დასაწყისი (გასწორება)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\ბოლო (გასწორება)\]\[\]

ესე იგი, პროცენტებით ჩვენი პრობლემა მოგვარებულია.

რა თქმა უნდა, ეს იყო მხოლოდ უმარტივესი დავალება მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის პროცენტებით. რეალურ გამოცდაში, დიდი ალბათობით, ასეთი დავალება არ იქნება. და თუ ასეა, ჩათვალეთ, რომ ძალიან იღბლიანი ხართ. ისე, ვისაც თვლა უყვარს და არ უყვარს რისკების აღება, გადავიდეთ შემდეგ უფრო რთულ ამოცანებზე.

მაგალითი #2

2014 წლის 31 დეკემბერს სტეპანმა ბანკიდან ისესხა 4 004 000 რუბლი წლიური 20%-ით. სესხის დაფარვის სქემა ასეთია: ყოველი მომდევნო წლის 31 დეკემბერს ბანკს ერიცხება პროცენტი დავალიანების დარჩენილ თანხაზე (ანუ ზრდის ვალს 20%-ით), შემდეგ სტეპანი ახორციელებს გადახდას ბანკში. სტეპანმა მთელი ვალი გადაიხადა 3 თანაბარი გადახდით. რამდენ მანეთით ნაკლებს მისცემდა ბანკს, თუკი შეეძლო დავალიანების გადახდა 2 თანაბარი გადახდით.

ჩვენს წინაშე არის სესხების პრობლემა, ამიტომ ჩვენ ვწერთ ჩვენს ფორმულას:

\[\]\

რა ვიცით? პირველი, ჩვენ ვიცით მთლიანი კრედიტი. პროცენტებიც ვიცით. მოდი ვიპოვოთ თანაფარდობა:

რაც შეეხება $n$-ს, საჭიროა ყურადღებით წაიკითხოთ პრობლემის მდგომარეობა. ანუ, ჯერ უნდა გამოვთვალოთ რამდენი გადაიხადა მან სამი წლის განმავლობაში, ანუ $n=3$ და შემდეგ კვლავ შეასრულეთ იგივე ნაბიჯები, მაგრამ გამოვთვალოთ გადახდები ორი წლის განმავლობაში. მოდით დავწეროთ განტოლება იმ შემთხვევისთვის, როდესაც გადახდა ხდება სამი წლის განმავლობაში:

მოდით ამოვხსნათ ეს განტოლება. მაგრამ ჯერ ვიპოვოთ გამოთქმა $((1,2)^(3))$:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\ბოლო (გასწორება)\]

ჩვენ ხელახლა ვწერთ ჩვენს გამონათქვამს:

\[\ დასაწყისი (გასწორება)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1)(0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728 )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\ბოლო (გასწორება)\]

საერთო ჯამში, ჩვენი გადახდა იქნება 1900800 რუბლი. ამასთან, ყურადღება მიაქციეთ: დავალებაში მოგვიწია გვეპოვა არა ყოველთვიური გადახდა, არამედ რამდენს გადაიხდიდა სტეპანი მთლიანობაში სამი თანაბარი გადასახდელისთვის, ანუ სესხის გამოყენების მთელი პერიოდისთვის. აქედან გამომდინარე, მიღებული მნიშვნელობა კვლავ უნდა გავამრავლოთ სამზე. დავთვალოთ:

საერთო ჯამში, სტეპანი გადაიხდის 5,702,400 რუბლს სამი თანაბარი გადახდისთვის. სწორედ ამდენი დაუჯდება მას სამი წლის განმავლობაში სარგებლობა სესხით.

ახლა განიხილეთ მეორე სიტუაცია, როდესაც სტეპანმა თავი მოიყარა, მოემზადა და გადაიხადა მთელი სესხი არა სამში, არამედ ორ თანაბარ გადახდაში. ჩვენ ვწერთ იმავე ფორმულას:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\ბოლო (გასწორება)\]

მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის, რადგან ახლა ჩვენ გამოვთვალეთ მხოლოდ ერთი ორი გადახდიდან, ასე რომ მთლიანობაში სტეპანი გადაიხდის ზუსტად ორჯერ მეტს:

კარგია, ახლა ჩვენ ახლოს ვართ საბოლოო პასუხთან. მაგრამ ყურადღება მიაქციეთ: არავითარ შემთხვევაში არ მიგვიღია საბოლოო პასუხი, რადგან სამი წლის განმავლობაში სტეპანი გადაიხდის 5,702,400 რუბლს, ხოლო გადახდის ორი წლის განმავლობაში ის გადაიხდის 5,241,600 რუბლს, ანუ ცოტა ნაკლებს. რამდენით ნაკლები? ამის გასარკვევად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ მეორე გადახდის თანხა პირველი გადახდის თანხას:

საერთო საბოლოო პასუხია 460,800 რუბლი. ზუსტად რამდენს დაზოგავს სტეპანი, თუ გადაიხდის არა სამ წელს, არამედ ორს.

როგორც ხედავთ, პროცენტის, ვადების და გადახდების დამაკავშირებელი ფორმულა მნიშვნელოვნად ამარტივებს გამოთვლებს კლასიკურ ცხრილებთან შედარებით და, სამწუხაროდ, გაურკვეველი მიზეზების გამო, პრობლემების კოლექციების უმეტესობა მაინც იყენებს ცხრილებს.

ცალკე მინდა თქვენი ყურადღება გავამახვილო სესხის აღებულ ვადაზე და ყოველთვიური გადასახდელების ოდენობაზე. ფაქტია, რომ ეს კავშირი ჩვენ მიერ ჩაწერილი ფორმულებიდან პირდაპირ არ ჩანს, მაგრამ მისი გაგება აუცილებელია გამოცდაზე რეალური პრობლემების სწრაფი და ეფექტური გადაწყვეტისთვის. ფაქტობრივად, ეს ურთიერთობა ძალიან მარტივია: რაც უფრო გრძელია სესხის აღება, მით უფრო მცირე იქნება თანხა ყოველთვიურ გადასახდელებში, მაგრამ რაც უფრო დიდი თანხა დაგროვდება სესხით სარგებლობის მთელი პერიოდის განმავლობაში. და პირიქით: რაც უფრო მოკლეა ვადა, მით მეტია ყოველთვიური გადასახადი, მაგრამ რაც უფრო დაბალია საბოლოო ზედმეტად გადახდა და მით ნაკლებია სესხის მთლიანი ღირებულება.

რა თქმა უნდა, ყველა ეს განცხადება თანაბარი იქნება მხოლოდ იმ პირობით, რომ სესხის ოდენობა და საპროცენტო განაკვეთი ორივე შემთხვევაში ერთნაირი იქნება. ზოგადად, ჯერ მხოლოდ დაიმახსოვრეთ ეს ფაქტი - ის გამოყენებული იქნება ამ თემაზე ურთულესი პრობლემების გადასაჭრელად, მაგრამ ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ უფრო მარტივ პრობლემას, სადაც თქვენ უბრალოდ უნდა იპოვოთ ორიგინალური სესხის მთლიანი თანხა.

მაგალითი #3

ასე რომ, კიდევ ერთი დავალება სესხისთვის და, კომბინაციით, ბოლო დავალება დღევანდელ ვიდეო გაკვეთილში.

2014 წლის 31 დეკემბერს ვასილიმ ბანკიდან კრედიტით აიღო გარკვეული თანხა წლიური 13%-ით. სესხის დაფარვის სქემა ასეთია: ყოველი მომდევნო წლის 31 დეკემბერს ბანკს ერიცხება პროცენტი დავალიანების დარჩენილ თანხაზე (ანუ ის ზრდის ვალს 13%-ით), შემდეგ ვასილი გადარიცხავს 5,107,600 რუბლს ბანკში. რა თანხა აიღო ვასილიმ ბანკიდან, თუ დავალიანება ორ თანაბარ განვადებით (ორი წლის განმავლობაში) დაფარა?

ასე რომ, უპირველეს ყოვლისა, ეს პრობლემა ისევ სესხებს ეხება, ამიტომ ჩვენ ვწერთ ჩვენს მშვენიერ ფორმულას:

ვნახოთ, რა ვიცით პრობლემის მდგომარეობიდან. პირველი, გადახდა - ის უდრის წელიწადში 5,107,600 რუბლს. მეორეც, პროცენტები, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ თანაფარდობა:

გარდა ამისა, პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, ვასილიმ ბანკიდან სესხი აიღო ორი წლით, ე.ი. გადახდილია ორ თანაბარ განვადებით, შესაბამისად $n=2$. ყველაფერი ჩავანაცვლოთ და ისიც აღვნიშნოთ, რომ სესხი ჩვენთვის უცნობია, ე.ი. თანხა მან აიღო და ავღნიშნოთ როგორც $x$. ჩვენ ვიღებთ:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

მოდით გადავწეროთ ჩვენი განტოლება ამ ფაქტის გათვალისწინებით:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000 )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000) \1276 \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\ბოლო (გასწორება)\]

ესე იგი, ეს არის საბოლოო პასუხი. სწორედ ეს თანხა აიღო ვასილიმ თავიდანვე.

ახლა გასაგებია, რატომ გვთხოვენ ამ პრობლემაში სესხის აღებას მხოლოდ ორი წლით, რადგან აქ ჩნდება ორნიშნა საპროცენტო განაკვეთები, კერძოდ 13%, რაც კვადრატში უკვე საკმაოდ „სასტიკ“ რიცხვს იძლევა. მაგრამ ეს არ არის ლიმიტი - შემდეგ ცალკეულ გაკვეთილზე განვიხილავთ უფრო რთულ ამოცანებს, სადაც საჭირო იქნება სესხის ვადის პოვნა, ხოლო განაკვეთი იქნება ერთი, ორი ან სამი პროცენტი.

ზოგადად, ისწავლეთ დეპოზიტებისა და სესხების პრობლემების გადაჭრა, მოემზადეთ გამოცდებისთვის და ჩააბარეთ ისინი „ჩინებულად“. და თუ დღევანდელი ვიდეოგაკვეთილის მასალებში რაღაც არ არის ნათელი, მაშინ ნუ მოგერიდებათ - დაწერეთ, დარეკეთ და ვეცდები დაგეხმაროთ.

მათემატიკაში ამოცანების ამოხსნა ინტერესის ძირითადი ცნებების გამოყენებაზე.

პროცენტებით ამოცანების ამოხსნას მე-5 კლასიდან ასწავლიან.

ამ ტიპის პრობლემების გადაჭრა მჭიდროდ არის დაკავშირებული სამ ალგორითმთან:

1. რიცხვის პროცენტის პოვნა
2. რიცხვის პოვნა მისი პროცენტით,
3. პროცენტის პოვნა.

მოსწავლეებთან ერთად გაკვეთილებზე მათ ესმით, რომ მეტრის მეასედი არის სანტიმეტრი, რუბლის მეასედი არის პენი, ცენტნერის მეასედი არის კილოგრამი. ხალხმა დიდი ხანია შეამჩნია, რომ ფასეულობების მეასედი მოსახერხებელია პრაქტიკაში. ამიტომ მათთვის სპეციალური სახელი შექმნეს - პროცენტი.

ასე რომ, ერთი პენი არის ერთი რუბლის ერთი პროცენტი, ხოლო ერთი სანტიმეტრი არის ერთი პროცენტი ერთი მეტრის.

ერთი პროცენტი რიცხვის მეასედია. მათემატიკურად ერთი პროცენტი ასე იწერება: 1%.

ერთი პროცენტის განმარტება შეიძლება დაიწეროს როგორც: 1% \u003d 0.01. ა

5%=0.05, 23%=0.23, 130%=1.3 და ა.შ.

როგორ მოვძებნოთ რიცხვის 1%?

ვინაიდან 1% არის მეასედი, თქვენ უნდა გაყოთ რიცხვი 100-ზე. 100-ზე გაყოფა შეიძლება შეიცვალოს 0,01-ზე გამრავლებით. ამიტომ, მოცემული რიცხვის 1%-ის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ იგი 0,01-ზე. და თუ თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვის 5%, მაშინ გაამრავლეთ ეს რიცხვი 0,05-ზე და ა.შ.

მაგალითი. იპოვეთ: 25% 120-დან.

1. 25% = 0,25;
2. 120 . 0,25 = 30.

წესი 1. რიცხვის პროცენტების მოცემული რაოდენობის საპოვნელად, თქვენ უნდა დაწეროთ პროცენტები ათწილადის სახით და შემდეგ გაამრავლოთ რიცხვი ამ ათობითი წილადზე.

მაგალითი. ტურნერმა ერთ საათში 40 ნაწილად აქცია. უფრო ძლიერი ფოლადისგან დამზადებული საჭრელის გამოყენებით, მან საათში 10 მეტი ნაწილის ტრიალი დაიწყო. რა პროცენტით გაიზარდა შრომის პროდუქტიულობა?

ამ პრობლემის გადასაჭრელად, ჩვენ უნდა გავარკვიოთ, რამდენი პროცენტია 10 ნაწილი 40-დან. ამისათვის ჯერ ვიპოვით რა ნაწილია რიცხვი 10 40-დან. ვიცით, რომ 10 უნდა გავყოთ 40-ზე. გამოდის 0.25. ახლა ჩავწეროთ პროცენტულად - 25%.

პასუხი: ტერნერის პროდუქტიულობა გაიზარდა 25%-ით.

წესი 2. იმის დასადგენად, თუ რამდენი პროცენტია ერთი რიცხვი მეორისგან, უნდა გაყოთ პირველი რიცხვი მეორეზე და დაწეროთ მიღებული წილადი პროცენტულად.

მაგალითი. დღეში 60 ავტომობილის დაგეგმილი სამიზნით, ქარხანა აწარმოებდა 66 მანქანას. რამდენი პროცენტით შეასრულა ქარხანამ გეგმა?

66: 60 \u003d 1.1 - ეს ნაწილი შედგება წარმოებული მანქანებისგან, მანქანების რაოდენობის მიხედვით, გეგმის მიხედვით. ჩავწეროთ პროცენტებში = 110%.

პასუხი: 110%.

მაგალითი. ბრინჯაო არის კალის და სპილენძის შენადნობი. შენადნობის რამდენი პროცენტია სპილენძი ბრინჯაოს ნაჭერში, რომელიც შედგება 6 კგ კალის და 34 კგ სპილენძისგან?

1. 6+ 34 \u003d 40 (კგ) - მთელი შენადნობის მასა.
2. 34: 40 = 0.85 = 85 (%) - შენადნობი არის სპილენძი.

პასუხი: 85%.

მაგალითი. ბავშვმა სპილომ გაზაფხულზე დაკარგა 20%, შემდეგ ზაფხულში მოიმატა 30%, შემოდგომაზე ისევ 20% და ზამთარში 10%. მისი წონა წელს იგივე დარჩა? თუ შეიცვალა, რა პროცენტით და რა მიმართულებით?

1. 100 - 20 = 80 (%) - გაზაფხულის შემდეგ.
2. 80 + 80 . 0.3 = 104 (%) - ზაფხულის შემდეგ.
3. 104-104 წწ. 0.2 = 83.2 (%) - შემოდგომის შემდეგ.
4. 83,2 + 83,2. 0.1 = 91.52 (%) - ზამთრის შემდეგ.

პასუხი: წონაში დაიკლო 8,48%-ით.

მაგალითი. შესანახად დავტოვეთ 20 კგ მარცვალი, რომლის კენკრა 99% წყალს შეიცავს. კენკრაში წყლის შემცველობა 98%-მდე შემცირდა. რამდენი მარცვალი იქნება შედეგი?

1. 100 - 99 \u003d 1 (%) \u003d 0.01 - მშრალი ნივთიერების პროპორცია პირველ რიგში გოგრაში.
2. 20 . 0.01 \u003d 0.2 (კგ) - მშრალი ნივთიერება.
3. 100 - 98 \u003d 2 (%) \u003d 0.02 - მშრალი ნივთიერების პროპორცია ბურღულში შენახვის შემდეგ.
4. 0.2: 0.02 \u003d 10 (კგ) - ბატკანი გახდა.

პასუხი: 10 კგ.

მაგალითი. რა ბედი ეწევა პროდუქტის ფასს, თუ ის ჯერ 25%-ით გაიზრდება, შემდეგ კი 25%-ით დაიკლებს?

პროდუქტის ფასი იყოს x რუბლი, შემდეგ გაზრდის შემდეგ პროდუქტი ღირს წინა ფასის 125%, ე.ი. 1,25x, ხოლო 25%-იანი კლების შემდეგ მისი ღირებულება არის გაზრდილი ფასის 75% ანუ 0,75, ე.ი.

0.75 .1.25x = 0.9375x,

მაშინ საქონლის ფასი 6,25%-ით დაეცა.

x - 0,9375x = 0,0625x;
0,0625 . 100% = 6,25%

პასუხი: პროდუქტის საწყისი ფასი შემცირდა 6,25%-ით.

წესი 3. ორი A და B რიცხვის პროცენტის საპოვნელად საჭიროა ამ რიცხვების თანაფარდობა 100%-ზე გაამრავლოთ, ანუ გამოთვალოთ (A: B). 100%.

მაგალითი. იპოვეთ რიცხვი, თუ მისი 15% არის 30.

1. 15% = 0,15;
2. 30: 0,15 = 200.

x არის მოცემული რიცხვი;
0.15 . x = 300;
x = 200.

პასუხი: 200.

მაგალითი. ნედლი ბამბა აწარმოებს 24% ბოჭკოს. რამდენი ნედლი ბამბა უნდა მივიღოთ 480 კგ ბოჭკოს მისაღებად?

24% ჩავწეროთ 0,24 ათწილადის წილადად და მივიღოთ რიცხვის პოვნის ამოცანა მისი ცნობილი ნაწილიდან (წილადიდან).
480: 0,24= 2000 კგ = 2 ტ

პასუხი: 2 ტ.

მაგალითი. რამდენი კგ სოკო უნდა მოვიკრიფოთ 1 კგ ხმელი სოკოს მისაღებად, თუ ახალი სოკოს გადამუშავებისას რჩება მისი მასის 50%, ხოლო გაშრობისას დამუშავებული სოკოს მასის 10%?

1 კგ გამხმარი სოკო არის 10% ანუ 0,01 ნაწილი დამუშავებული, ე.ი.
1 კგ: 0,1=10 კგ გადამუშავებული სოკო, რაც არის დაკრეფილი სოკოს 50% ანუ 0,5, ე.ი.
10 კგ: 0,05=20 კგ.

პასუხი: 20 კგ.

მაგალითი. ახალი სოკო შეიცავს 90% წყალს წონის მიხედვით, ხოლო მშრალი 12%. რამდენი მშრალი სოკო მიიღება 22 კგ ახალიდან?

1. 22. 0,1 = 2,2 (კგ) - სოკო წონით ახალ სოკოში; (0.1 არის 10% მშრალი ნივთიერება);
2. 2.2: 0.88 = 2.5 (კგ) - მშრალი სოკო, მიღებული ახალი (მშრალი ნივთიერების რაოდენობა არ შეცვლილა, მაგრამ მისი პროცენტი სოკოში შეიცვალა და ახლა 2.2 კგ არის 88% ანუ 0.88 მშრალი სოკო).

პასუხი: 2,5 კგ.

წესი 4. რიცხვის საპოვნელად მისი პროცენტების მიხედვით, თქვენ უნდა გამოხატოთ პროცენტები წილადად და შემდეგ გაყოთ პროცენტული მნიშვნელობა ამ წილადზე.

საბანკო გამოთვლების პრობლემებში ჩვეულებრივ გვხვდება მარტივი და რთული პროცენტი. რა განსხვავებაა მარტივი და რთული პროცენტის ზრდას შორის? მარტივი ზრდის შემთხვევაში, პროცენტი გამოითვლება ყოველ ჯერზე საწყისი მნიშვნელობიდან გამომდინარე, ხოლო კომპლექსური ზრდის შემთხვევაში, ის გამოითვლება წინა მნიშვნელობიდან. მარტივი ზრდის შემთხვევაში, 100% არის საწყისი თანხა, ხოლო რთული ზრდის შემთხვევაში, 100% არის ახალი ყოველ ჯერზე და უდრის წინა მნიშვნელობას.

მაგალითი. ანაბრის თანხიდან ბანკი იხდის შემოსავალს თვეში 4%-ს. 300 ათასი რუბლი ჩაირიცხა ანგარიშზე, შემოსავალი ერიცხება ყოველთვიურად. გამოთვალეთ შენატანის ღირებულება 3 თვის შემდეგ.

1. 100 + 4 = 104 (%) = 1,04 - წინა თვესთან შედარებით დეპოზიტის ზრდის წილი.
2. 300 . 1.04 \u003d 312 (ათასი რუბლი) - შენატანის ოდენობა 1 თვის შემდეგ.
3. 312 . 1.04 \u003d 324.48 (ათასი რუბლი) - შენატანის ოდენობა 2 თვის შემდეგ.
4. 324.48. 1.04 = 337.4592 (ათასი r) = 337 459.2 (r) - შენატანის ღირებულება 3 თვის შემდეგ.

ან შეგიძლიათ შეცვალოთ 2-4 პუნქტები ერთით, გაიმეოროთ ხარისხის კონცეფცია ბავშვებთან ერთად: 300.1.043 \u003d 337.4592 (ათასი რუბლი) \u003d 337,459.2 (r) - შენატანის ოდენობა 3 თვის შემდეგ.

პასუხი: 337,459.2 რუბლი

მაგალითი. ვასიამ გაზეთში წაიკითხა, რომ ბოლო 3 თვის განმავლობაში საკვების ფასები თვეში საშუალოდ 10%-ით გაიზარდა. რა პროცენტით გაიზარდა ფასები 3 თვეში?

მაგალითი. ცნობილი კომპანიის აქციებში ჩადებულ ფულს ყოველწლიურად შემოსავალი 20% მოაქვს. რამდენ წელიწადში გაორმაგდება ინვესტიცია?

განვიხილოთ მსგავსი დავალების გეგმა კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით.

მაგალითი. (ვარიანტი 1 No 16. OGE-2016. მათემატიკა. ტიპიური ტესტის ამოცანები_რედ. Yashchenko_2016 -80-იანი წლები)

სპორტულ მაღაზიაში მოქმედებს აქცია. ნებისმიერი ჯუმპერი ღირს 400 რუბლი. ორი ჯემპრის შეძენისას - 75% ფასდაკლება მეორე ჯემპერზე. რამდენი რუბლის გადახდა მომიწევს აქციის პერიოდში ორი ჯემპერის შესაძენად?

პრობლემის პირობის მიხედვით, გამოდის, რომ პირველი ჯემპერი ყიდულობს მისი საწყისი ღირებულების 100%-ს, ხოლო მეორეს 100 - 75 = 25 (%), ე.ი. მთლიანობაში, მყიდველმა უნდა გადაიხადოს საწყისი ღირებულების 100 + 25 = 125 (%). გამოსავალი შეიძლება განიხილებოდეს სამი გზით.

1 გზა.

ჩვენ ვიღებთ 400 რუბლს, როგორც 100%. შემდეგ 1% შეიცავს 400: 100 = 4 (რუბლი) და 125%
4 . 125 = 500 (რუბლი)

2 გზა.

რიცხვის პროცენტი გვხვდება რიცხვის პროცენტის შესაბამის წილადზე გამრავლებით, ან რიცხვის მოცემულ პროცენტზე გამრავლებით და 100-ზე გაყოფით.
400 . 1.25 = 500 ან 400. 125/100 = 500.

3 გზა.

პროპორციის თვისების გამოყენება:
400 რუბლი. - 100%
x რუბლს შეადგენს. - 125%, ვიღებთ x \u003d 125. 400 / 100 = 500 (რუბლი)

პასუხი: 500 რუბლი.

მაგალითი. (ვარიანტი 4 No 16. OGE-2016. მათემატიკა. ტიპიური ტესტის ამოცანები_რედ. Yashchenko_2016 -80-იანი წლები)

გოშას ასაკის ბიჭების საშუალო წონა 57 კგ-ია. გოშას წონა საშუალო წონის 150%-ია. რამდენ კილოგრამს იწონის გოშა?

ზემოთ განხილული მაგალითის მსგავსად, შეგიძლიათ გააკეთოთ პროპორცია:

57 კგ - 100%
x კგ - 150%, ვიღებთ x \u003d 57. 150 / 100 = 85,5 (კგ)

პასუხი: 85,5 კგ.

მაგალითი. (ვარიანტი 7 No 16. OGE-2016. მათემატიკა. ტიპიური ტესტის ამოცანები_რედ. Yashchenko_2016 - 80-იანი წლები)

ტელევიზორის შემცირების შემდეგ მისი ახალი ფასი ძველის 0,52 იყო. რა პროცენტით შემცირდა ფასი შემცირების შედეგად?

1 გზა.

ჯერ ვიპოვოთ ფასის შემცირების წილი. თუ საწყისი ფასი აღებულია როგორც 1, მაშინ 1 - 0.52 = 0.48 არის ფასის შემცირების წილი. შემდეგ მივიღებთ, 0.48. 100% = 48%. იმათ. ფასდაკლების შედეგად ფასი 48%-ით შემცირდა.

2 გზა.

თუ საწყისი ღირებულება ავიღეთ A, მაშინ მარკდაუს შემდეგ ტელევიზორის ახალი ფასი იქნება 0,52A, ე.ი. ის შემცირდება A-ით - 0.52A = 0.48A.

მოდით გავაკეთოთ პროპორცია:
A - 100%
0.48A - x%, ვიღებთ x = 0.48A. 100 / A = 48 (%).

პასუხი: შემცირების შედეგად ფასი შემცირდა 48%-ით.

მაგალითი. (ვარიანტი 9 No 16. OGE-2016. მათემატიკა. ტიპიური ტესტის ამოცანები_რედ. Yashchenko_2016 - 80-იანი წლები)

გასაყიდი პროდუქტი 15%-ით შემცირდა, ხოლო ფასი 680 რუბლით დაიწყო. რა ღირდა ნივთი გაყიდვამდე?

ფასის დაკლებამდე პროდუქტი 100%-ით ღირდა. პროდუქციის ფასი გაყიდვის შემდეგ შემცირდა 15%-ით, ე.ი. გახდა 100 - 15 = 85 (%), რუბლებში ეს მნიშვნელობა უდრის 680 რუბლს.

1 გზა.

680: 85 = 8 (რუბლი) - 1% -ში
რვა . 100 \u003d 800 (რუბლი) - საქონლის ღირებულება გაყიდვამდე.

2 გზა.

ეს არის რიცხვის პოვნის პრობლემა მის პროცენტზე, ის წყდება რიცხვის შესაბამის პროცენტზე გაყოფით და მიღებული წილადის პროცენტად გადაქცევით, 100-ზე გამრავლებით, ან პროცენტებიდან გადაყვანით მიღებულ წილადზე გაყოფით.
680:85. 100 \u003d 800 (რუბლი) ან 680: 0.85 \u003d 800 (რუბლი)

3 გზა.

პროპორციით:
680 რუბლი. - 85%
x რუბლს შეადგენს. - 100%, ვიღებთ x = 680. 100 / 85 = 800 (რუბლი)

პასუხი: 800 მანეთი ღირდა საქონელი გაყიდვამდე.

ნარევებისა და შენადნობების ამოცანების ამოხსნა, „პროცენტული“, „კონცენტრაცია“, „% ხსნარი“ ცნებების გამოყენებით.

ამ ტიპის უმარტივესი ამოცანები ჩამოთვლილია ქვემოთ.

მაგალითი. რამდენი კგ მარილია 10 კგ მარილიან წყალში, თუ მარილის პროცენტი არის 15%.

ათი . 0,15 = 1,5 (კგ) მარილი.

პასუხი: 1,5 კგ.

ნივთიერების პროცენტი ხსნარში (მაგ. 15%), რომელიც ზოგჯერ მოიხსენიება როგორც %ხსნარი (მაგ. 15% მარილიანი ხსნარი).

მაგალითი. შენადნობი შეიცავს 10 კგ კალის და 15 კგ თუთიას. რა არის კალის და თუთიის პროცენტი შენადნობაში?

ნივთიერების პროცენტი შენადნობაში არის ის ნაწილი, რომელსაც მოცემული ნივთიერების წონა შეადგენს მთელი შენადნობის წონისგან.

1. 10 + 15 = 25 (კგ) - შენადნობი;
2. 10:25 სთ. 100% = 40% - კალის პროცენტი შენადნობაში;
3. 15:25. 100% = 60% - თუთიის პროცენტი შენადნობაში.

პასუხი: 40%, 60%.

ამ ტიპის ამოცანებში მთავარია „კონცენტრაციის“ ცნება. Რა არის ეს?

განვიხილოთ, მაგალითად, მჟავას ხსნარი წყალში.

ჭურჭელი შეიცავდეს 10 ლიტრ ხსნარს, რომელიც შედგება 3 ლიტრი მჟავისა და 7 ლიტრი წყლისგან. მაშინ ფარდობითი (მთელ მოცულობასთან მიმართებაში) მჟავას შემცველობა ხსნარში ტოლია. ეს რიცხვი განსაზღვრავს მჟავას კონცენტრაციას ხსნარში. ხანდახან საუბრობენ ხსნარში მჟავის პროცენტულ რაოდენობაზე. მოცემულ მაგალითში პროცენტი იქნება ასეთი: . როგორც ხედავთ, კონცენტრაციიდან პროცენტზე გადასვლა და პირიქით ძალიან მარტივია.

ასე რომ, M მასის ნარევი შეიცავდეს m მასის რაღაც ნივთიერებას.

• მოცემული ნივთიერების კონცენტრაცია ნარევში (შენადნობაში) არის რაოდენობა;
• მოცემული ნივთიერების პროცენტს ეწოდება c × 100%;

ბოლო ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ნივთიერების ცნობილ კონცენტრაციებში და ნარევის (შენადნობის) მთლიანი მასის დროს მოცემული ნივთიერების მასა განისაზღვრება m=c×M ფორმულით.

ნარევების (შენადნობების) პრობლემები შეიძლება დაიყოს ორ ტიპად:

1. მაგალითად, მოცემულია ორი ნარევი (შენადნობები) m1 და m2 მასებით და მათში გარკვეული ნივთიერების კონცენტრაციით, შესაბამისად c1 და c2-ის ტოლი. ნარევები (შენადნობები) დრენირებულია (შედუღებული). საჭიროა განისაზღვროს ამ ნივთიერების მასა ახალ ნარევში (შენადნობაში) და მისი ახალი კონცენტრაცია. ცხადია, რომ ახალ ნარევში (შენადნობაში) მოცემული ნივთიერების მასა უდრის c1m1+c2m2, ხოლო კონცენტრაცია.
2. დგება ნარევის (შენადნობის) გარკვეული მოცულობა და ამ მოცულობიდან იწყებენ გარკვეული რაოდენობის ნარევის (შენადნობის) ჩამოსხმას (ამოღებას) და შემდეგ უმატებენ (დაამატებენ) იმავე ან სხვადასხვა რაოდენობის ნარევის (შენადნობას). ) ამ ნივთიერების იგივე კონცენტრაციით ან განსხვავებული კონცენტრაციით. ეს ოპერაცია რამდენჯერმე ტარდება.

ასეთი პრობლემების გადაჭრისას აუცილებელია კონტროლის დამყარება მოცემული ნივთიერების რაოდენობაზე და მის კონცენტრაციაზე ყოველ ღვარცოფზე, ასევე ნარევის ყოველ დამატებაზე. ასეთი კონტროლის შედეგად ვიღებთ ამოხსნის განტოლებას. განვიხილოთ კონკრეტული ამოცანები.

თუ ნივთიერების კონცენტრაცია ნაერთში მასის მიხედვით არის P%, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ ამ ნივთიერების მასა არის მთელი ნაერთის მასის P%.

მაგალითი. ვერცხლის კონცენტრაცია 300გრ შენადნობაში არის 87%. ეს ნიშნავს, რომ სუფთა ვერცხლი შენადნობაში არის 261 გ.

300 . 0,87 = 261 (გ).

ამ მაგალითში ნივთიერების კონცენტრაცია გამოხატულია პროცენტულად.

ხსნარში სუფთა კომპონენტის მოცულობის თანაფარდობას ნარევის მთლიან მოცულობასთან ეწოდება ამ კომპონენტის მოცულობითი კონცენტრაცია.

ნარევის შემადგენელი ყველა კომპონენტის კონცენტრაციების ჯამი არის 1.

თუ ნივთიერების პროცენტი ცნობილია, მაშინ მისი კონცენტრაცია გვხვდება ფორმულით:
K \u003d P / 100%,
სადაც K არის ნივთიერების კონცენტრაცია;
P არის ნივთიერების პროცენტი (პროცენტებში).

მაგალითი. (ვარიანტი 8 No. 22. OGE-2016. მათემატიკა. ტიპიური ტესტის ამოცანები_რედ. Yashchenko_2016 - 80-იანი წლები)

ახალი ხილი შეიცავს 75% წყალს, ჩირი კი 25%. რამდენი ახალი ხილია საჭირო 45 კგ ჩირის მოსამზადებლად?

თუ ახალი ხილი შეიცავს 75% წყალს, მაშინ მშრალი ნივთიერება იქნება 100 - 75 \u003d 25 (%), ხოლო გამხმარი - 25%, მაშინ მათ ექნებათ 100 - 25 \u003d 75 (%) მშრალი ნივთიერება.

პრობლემის გადაჭრისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ ცხრილი:

ახალი ხილი x 25% = 0.25 0.25. X

ჩირი 45 75% = 0.75 0.75. 45 = 33,75

იმიტომ რომ ახალი და ხმელი ხილის მშრალი ნივთიერების მასა არ იცვლება, ვიღებთ განტოლებას:

0.25 . x = 33,75;
x = 33,75: 0,25;
x = 135 (კგ) - საჭიროა ახალი ხილი.

პასუხი: 135 კგ.

მაგალითი. (ვარიანტი 8 No 11. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა-2016. მათემატიკა. ტიპიური. ტესტი. ამოცანები. რედ. იაშჩენკო 2016 -56წ.)

70% და 60% მჟავა ხსნარების შერევით და 2 კგ სუფთა წყლის დამატებით მიიღება 50% მჟავა ხსნარი. თუ 2 კგ წყლის ნაცვლად 2 კგ იმავე მჟავას 90%-იან ხსნარს დაემატება, მაშინ მიიღება მჟავას 70%-იანი ხსნარი. რამდენი კილოგრამი 70%-იანი ხსნარი გამოიყენეს ნარევის დასამზადებლად?

საერთო წონა, კგ | მშრალი ნივთიერების კონცენტრაცია | მშრალი ნივთიერების მასა
I x 70% \u003d 0.7 0.7. X
II 60%-ში = 0.6 0.6. ზე
წყალი 2 - -
I + II + წყალი x + y + 2 50% \u003d 0.5 0.5. (x + y + 2)
III 2 90% = 0,9 0,9. 2 = 1.8
I + II + III x + y + 2 70% \u003d 0.7 0.7. (x + y + 2)

ცხრილის ბოლო სვეტის გამოყენებით, ჩვენ შევადგენთ 2 განტოლებას:

0.7. x + 0.6. y = 0.5. (x + y + 2) და 0.7. x + 0.6. y + 1.8 = 0.7. (x + y + 2).

მათი სისტემაში გაერთიანებით და მისი ამოხსნით, მივიღებთ, რომ x = 3 კგ.

პასუხი: ნარევის მისაღებად გამოიყენეს 3 კილოგრამი 70%-იანი ხსნარი.

მაგალითი. (ვარიანტი 2 No 11. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა-2016. მათემატიკა. ტიპიური. ტესტი. დავალებები. რედ. იაშჩენკო 2016 -56წ.)

სამი კილოგრამი ალუბალი იგივე ღირს, რაც ხუთი კილოგრამი ალუბალი, ხოლო სამი კილოგრამი ალუბალი იგივეა, რაც ორი კილოგრამი მარწყვი. რამდენი პროცენტით არის კილოგრამი მარწყვი უფრო იაფი ვიდრე კილოგრამი ალუბალი?

პრობლემის პირველი წინადადებიდან ვიღებთ შემდეგ თანასწორობებს:

3 სთ = 5 ვ,
3v = 2k.
საიდანაც შეგვიძლია გამოვხატოთ: h \u003d 5v / 3, k \u003d 3v / 2.

ამრიგად, შეგიძლიათ გააკეთოთ პროპორცია:
5ვ/3 - 100%
3v / 2 - x%, ვიღებთ x \u003d (3. 100. c.3) / (2. 5. c), x \u003d 90% არის კილოგრამი მარწყვის ღირებულება კილოგრამის ღირებულებიდან. ალუბალი.

ასე რომ, 100 - 90 = 10 (%) - კილოგრამი მარწყვი უფრო იაფია ვიდრე კილოგრამი ალუბალი.

პასუხი: კილოგრამი მარწყვი 10 პროცენტით იაფია, ვიდრე კილოგრამი ალუბალი.

ამოცანების ამოხსნა „შედგენილი“ პროცენტისთვის, გაზრდის (კლების) კოეფიციენტის ცნების გამოყენებით.

დადებითი რიცხვი A p პროცენტით რომ გავზარდოთ, გავამრავლოთ რიცხვი A გაზრდის კოეფიციენტზე K = (1 + 0.01p).

დადებითი რიცხვი A p პროცენტით შესამცირებლად, გავამრავლოთ რიცხვი A შემცირების ფაქტორით K = (1 - 0.01p).

მაგალითი. (ვარიანტი 29 No. 22. OGE-2015. მათემატიკა. ტიპიური გამოცდის ვარიანტები: 36 ვარიანტი / რედაქტირებულია Yashchenko, 2015 - 224c)

ერთი და იგივე პროცენტით ორჯერ შემცირდა საქონლის ფასი. რამდენი პროცენტით იკლებს საქონლის ფასი ყოველ ჯერზე, თუ მისი საწყისი ღირებულება იყო 5000 რუბლი, ხოლო საბოლოო ღირებულება იყო 4050 რუბლი?

1 გზა.

იმიტომ რომ საქონლის ფასი შემცირდა იმავე რაოდენობით %-ით, მოდი, %-ის რაოდენობა ავღნიშნოთ x-ით. დაე, პროდუქტის ფასი პირველ და მეორედ შემცირდეს x%-ით, შემდეგ პირველი შემცირების შემდეგ პროდუქტის ფასი გახდა (100 - x)%.

მოდით გავაკეთოთ პროპორცია
5000 რუბლი. - 100%
რუბლზე. - (100 - x)%, ვიღებთ y \u003d 5000. (100 - x) / 100 = 50 . (100 - x) რუბლი - საქონლის ღირებულება პირველი შემცირების შემდეგ.

მოდით გავაკეთოთ ახალი პროპორცია ახალი ფასისთვის:
ორმოცდაათი . (100 - x) რუბლს შეადგენს. - 100%
z რუბლს შეადგენს. - (100 - x)%, ვიღებთ z \u003d 50. (100 - x) (100 - x) / 100 = 0.5. (100 - x) 2 რუბლი - საქონლის ღირებულება მეორე შემცირების შემდეგ.

ვიღებთ განტოლებას 0.5. (100 - x) 2 \u003d 4050. მისი ამოხსნის შემდეგ მივიღებთ, რომ x \u003d 10%.

2 გზა.

იმიტომ რომ საქონლის ფასი შემცირდა იმავე რაოდენობის%-ით, მოდით ავღნიშნოთ %-ის რაოდენობა x, x% = 0,01 x.

შემცირების ფაქტორის კონცეფციის გამოყენებით, ჩვენ დაუყოვნებლივ ვიღებთ განტოლებას:
5000 . (1 - 0.01x) 2 = 4050.

პასუხი: საქონლის ფასი ყოველ ჯერზე 10%-ით იკლებს.

მაგალითი. (ვარიანტი 30 No. 22. OGE-2015. მათემატიკა. ტიპიური გამოცდის ვარიანტები: 36 ვარიანტი / რედაქტირებულია Yashchenko, 2015 - 224c)

ერთი და იგივე პროცენტით ორჯერ გაიზარდა საქონელზე ფასი. რამდენი პროცენტით იზრდებოდა საქონლის ფასი ყოველ ჯერზე, თუ მისი საწყისი ღირებულება იყო 3000 რუბლი, ხოლო საბოლოო ღირებულება იყო 3630 რუბლი?

იმიტომ რომ საქონლის ფასი გაიზარდა იმავე რაოდენობით %, მოდით ავღნიშნოთ % რიცხვი x-ით, x % = 0,01 x.

გადიდების ფაქტორის კონცეფციის გამოყენებით, ჩვენ დაუყოვნებლივ ვიღებთ განტოლებას:
3000 . (1 + 0.01x) 2 = 3630.

მისი ამოხსნით მივიღებთ, რომ x = 10%.

პასუხი: ყოველ ჯერზე საქონლის ფასის 10%-იანი ზრდა.

მაგალითი. (ვარიანტი 4 No 11. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა-2016. მათემატიკა. ტიპიური. ტესტი. ასს. რედ. Yashchenko 2016 -56s)

ხუთშაბათს კომპანიის აქციები გარკვეული პროცენტით გაძვირდა, პარასკევს კი ამდენივე პროცენტით გაძვირდა. შედეგად, მათ დაიწყეს 9%-ით იაფი ფასი, ვიდრე ხუთშაბათს ვაჭრობის გახსნაზე. რამდენი პროცენტით გაძვირდა კომპანიის აქციები ხუთშაბათს?

მოდით, კომპანიის აქციები გაიზარდოს და გაიაფდეს x% -ით, x% = 0.01 x, ხოლო აქციების საწყისი ღირებულება იყო A. პრობლემის ყველა პირობის გამოყენებით ვიღებთ განტოლებას:

(1 + 0,01 x) (1 - 0,01 x) A \u003d (1 - 0,09) A,
1 - (0.01 x) 2 \u003d 0.91,
(0.01 x)2 = (0.3)2,
0.01 x \u003d 0.3,
x = 30%.

პასუხი: ხუთშაბათს კომპანიის აქციები 30 პროცენტით გაიზარდა.

"საბანკო" ამოცანების გადაჭრა USE-2016-ის ახალ ვერსიაში მათემატიკაში.

მაგალითი. (ვარიანტი 2 No17. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა-2016. მათემატიკა. 50 ტიპი. რევ. რედ. Yashchenko 2016)

15 იანვარს იგეგმება ბანკიდან სესხის აღება 15 თვით. მისი დაბრუნების პირობები შემდეგია:

ცნობილია, რომ მერვე გადახდამ შეადგინა 108 ათასი რუბლი. რა თანხა უნდა გადაიხადოს ბანკს სესხის მთელი ვადის განმავლობაში?

მე-2-დან მე-14-მდე გადახდილია A/15 +0.01A.

ამის შემდეგ, დავალიანების ოდენობა იქნება 1.01A - A / 15 - 0.01A \u003d 14A / 15.

2 თვის შემდეგ ვიღებთ: 1.01. 14A/15.

მეორე გადახდა A/15 + 0.01. 14A/15.

მაშინ დავალიანება მეორე გადახდის შემდეგ არის 13A/15.

ანალოგიურად, მივიღებთ, რომ მერვე გადახდა ასე გამოიყურება:

A/15 + 0.01. 8A/15 = A/15. (1 + 0.08) = 1.08A / 15.

და პირობის მიხედვით, ის უდრის 108 ათას რუბლს. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ და ამოხსნათ განტოლება:

1.08A / 15 \u003d 108,

A=1500 (ათასი მანეთი) - დავალიანების საწყისი თანხა.

2) იმ თანხის საპოვნელად, რომელიც უნდა გადაიხადოს ბანკში სესხის მთელი პერიოდის განმავლობაში, უნდა ვიპოვოთ სესხზე ყველა გადახდის ოდენობა.

სესხზე ყველა გადახდის ჯამი ასე გამოიყურება:

(A / 15 + 0.01A) + (A / 15 + 0.01. 14A / 15) + (A / 15 + 0.01. 13A / 15) + ... + (A / 15 + 0.01. A /15) \u003d A + 0,01A / 15 (15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) \u003d A + (0,01. 120A)/15 = 1,08 ა.

ასე რომ 1.08. 1500 \u003d 1620 (ათასი რუბლი) \u003d 1620000 რუბლი ბანკს უნდა დაუბრუნდეს სესხის მთელი პერიოდის განმავლობაში.

პასუხი: 1620000 რუბლი.

მაგალითი. (ვარიანტი 6 No17. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა-2016. მათემატიკა. 50 ტიპი. რევ. რედ. Yashchenko 2016)

15 იანვარს იგეგმება ბანკიდან სესხის აღება 24 თვით. მისი დაბრუნების პირობები შემდეგია:

• ყოველი თვის პირველ რიცხვს ვალები წინა თვის ბოლოსთან შედარებით 1%-ით იზრდება;
• ყოველი თვის 2-დან 14-მდე უნდა გადაიხადოს ვალის ნაწილი;
• ყოველი თვის მე-15 დღეს დავალიანება იმავე ოდენობით ნაკლები უნდა იყოს წინა თვის მე-15 დღის ვალზე.

ცნობილია, რომ პირველი 12 თვის განმავლობაში აუცილებელია ბანკისთვის 177,75 ათასი რუბლის გადახდა. რამდენის სესხებას გეგმავთ?

1) დავუშვათ A სესხის თანხა, 1% = 0.01.

შემდეგ 1.01A ვალი პირველი თვის შემდეგ.

მე-2-დან მე-14-მდე ფასიანია A/24 +0.01A.

ამის შემდეგ, დავალიანების ოდენობა იქნება 1.01A - A / 24 - 0.01A \u003d A - A / 24 \u003d 23A / 24.

ამ სქემით, დავალიანება ხდება იმავე ოდენობით ნაკლები, ვიდრე წინა თვის 15-ე დღეს.

2 თვის შემდეგ ვიღებთ: 1.01. 23A/24.

მეორე გადახდა A/24 + 0.01. 23A/24.

მაშინ დავალიანება მეორე გადახდის შემდეგ არის 1.01. 23A/24 - A/24 - 0.01. 23A / 24 \u003d 23A / 24 (1.01 - 0.01) - A / 24 \u003d 23A / 24 - A / 24 \u003d 22A / 24.

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ, რომ პირველი 12 თვის განმავლობაში თქვენ უნდა გადაიხადოთ ბანკს შემდეგი თანხა:
A/24 +0.01A. 24/24 + A/24 + 0.01. 23A/24 + A/24 + 0.01. 22A/24 + ... + A/24 + 0.01. 13A/24 = 12A/24 + 0.01A/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = A/2 + 222A/2400 = 711A/1200.

და პირობის მიხედვით, ის უდრის 177,375 ათას რუბლს. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ და ამოხსნათ განტოლება:
711A / 1200 \u003d 177.75,
A = 300 (ათასი მანეთი) = 300,000 რუბლი - დაგეგმილია სესხის აღება.

პასუხი: 300,000 რუბლი.

პროცენტებით ტექსტური ამოცანების სწორად და სწრაფად გადაჭრა აუცილებელია არა მხოლოდ სტუდენტებისთვის, რომლებიც აპირებენ გამოცდის ჩაბარებას მათემატიკაში საბაზო ან სპეციალიზებულ დონეზე, არამედ ყველა ზრდასრული ადამიანისთვის, რადგან ასეთი ამოცანები მუდმივად გვხვდება ყოველდღიურ ცხოვრებაში. ფასების აწევა, ოჯახის ბიუჯეტის დაგეგმვა, სახსრების მომგებიანი ინვესტიცია და ბევრი სხვა საკითხი ამ უნარების გარეშე ვერ მოგვარდება. სასერთიფიკატო ტესტის ჩაბარების მომზადებისას აუცილებელია გავიმეოროთ, თუ როგორ უნდა გადაჭრას პრობლემები პროცენტებში: მათემატიკაში USE-ში ისინი გვხვდება როგორც საბაზისო, ისე პროფილის დონეზე.

უნდა გვახსოვდეს

პროცენტი არის \(\frac(1)(100)\) ზოგიერთი რიცხვის ნაწილი. აღნიშნავს რაღაცის პროპორციას მთლიანთან მიმართებაში. დაწერილი სიმბოლოა \(\%\) . „ინტერესის“ თემაზე ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მომზადებისას სკოლის მოსწავლეებმა როგორც მოსკოვში, ისე რუსეთის ფედერაციის სხვა ნაწილებში უნდა დაიმახსოვრონ შემდეგი ფორმულა:

\

როგორ გამოვიყენოთ იგი?

მათემატიკაში გამოცდაზე პროცენტებით მარტივი ამოცანის გადასაჭრელად საჭიროა:

1. მოცემული რიცხვი გაყავით \(100\)-ზე.
2. მიღებული მნიშვნელობა გაამრავლეთ მოსაძებნად \(\%\) ოდენობით.

მაგალითად, \(10\%\) \(300\)-დან გამოსათვლელად, იპოვით \(1\) პროცენტს \(300:100=3\) გაყოფით. და წინა მოქმედებიდან მიღებული რიცხვი \(3\cdot10=30\). პასუხი: \(30\).

ეს არის უმარტივესი ამოცანები. მე-11 კლასის მოსწავლეებს აშშ-ში აწყდებიან რთული პრობლემების პროცენტებით გადაჭრის აუცილებლობის წინაშე. როგორც წესი, საუბარია საბანკო დეპოზიტებზე ან გადახდებზე. ფორმულებს და მათი გამოყენების წესებს შეგიძლიათ გაეცნოთ „თეორიული მითითების“ განყოფილებაში გადასვლით. აქ შეგიძლიათ არა მხოლოდ გაიმეოროთ ძირითადი განმარტებები, არამედ გაეცნოთ საბანკო სესხის პროცენტის კომპლექსური პრობლემების გადაჭრის ვარიანტებს, ასევე ალგებრის სხვა სექციების სავარჯიშოებს, მაგალითად,

სამუშაოს ტიპი: 11
თემა: ამოცანები პროცენტებისთვის

მდგომარეობა

ელენამ ბანკში შეიტანა ანაბარი 5500 რუბლის ოდენობით. ანაბარზე პროცენტი გამოითვლება წელიწადში ერთხელ და ემატება მიმდინარე დეპოზიტის თანხას. ერთი წლის შემდეგ ნატალიამ იგივე თანხა შეიტანა იმავე ბანკში და იგივე პირობებით. ერთი წლის შემდეგ, ელენამ და ნატალიამ ერთდროულად დახურეს თავიანთი დეპოზიტები და წაიღეს ფული. შედეგად, ელენამ მიიღო 739,2 მანეთი მეტი, ვიდრე ნატალიამ მიიღო. იპოვეთ წელიწადში რამდენ პროცენტს ახდევინებდა ბანკი დეპოზიტებზე?

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

მოდით წლიური პროცენტი იყოს x, შემდეგ ერთი წლის შემდეგ ელენას წვლილი იყო:

5500 + 0.01x \cdot 5500 = 5500(1 + 0.01x)რუბლი, ხოლო ერთი წლის შემდეგ - 5500(1 + 0.01x)^2 რუბლი. ნატალიას ანაბარი ბანკში მხოლოდ ერთი წელი იყო, ამიტომ უდრის 5500(1 + 0,01x) რუბლს. და ელენასა და ნატალიას მიღებულ შენატანებს შორის სხვაობამ შეადგინა 739,2 რუბლი.

შევქმნათ და ამოხსნათ განტოლება:

5500(1+0.01x)^2-5500(1+0.01x)= 739,2,

(1+0.01x)^2-(1+0.01x)=0.1344,

x^2+100x-1344=0,

x_1=-112,\სივრცე x_2=12.

ბანკი ყოველწლიურად 12%-ს არიცხავდა.

უპასუხე

სამუშაოს ტიპი: 11
თემა: ამოცანები პროცენტებისთვის

მდგომარეობა

მეწარმე პეტროვმა 2005 წელს 12000 რუბლის მოგება მიიღო. ყოველ მომდევნო წელს მისი მოგება წინა წელთან შედარებით 110%-ით იზრდებოდა. რამდენი მანეთი გამოიმუშავა პეტროვმა 2008 წელს?

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

2005 წელს მოგება შეადგენდა 12\000 რუბლს, ყოველ მომდევნო წელს ის გაიზარდა 110\%, ანუ ის გახდა 210\% \u003d 2.1 წინა წლიდან. სამ წელიწადში იქნება 12\,000 \cdot 2,1^3 = 111\,132რუბლი.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 11
თემა: ამოცანები პროცენტებისთვის

მდგომარეობა

არსებობს ორი შენადნობები. პირველი შენადნობი შეიცავს 12% რკინას, მეორე - 28% რკინას. მეორე შენადნობის მასა პირველის მასაზე 2 კგ-ით მეტია. ამ ორი შენადნობიდან გაკეთდა მესამე შენადნობი რკინის შემცველობით 21%. იპოვეთ მესამე შენადნობის მასა. მიეცით პასუხი კილოგრამებში.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

პირველი შენადნობის მასა ავღნიშნოთ x კგ. მაშინ მეორე შენადნობის მასა არის (x + 2) კგ. რკინის შემცველობა პირველ შენადნობაში არის 0,12x კგ, მეორე შენადნობაში - 0,28(x + 2) კგ. მესამე შენადნობას აქვს მასა x + x + 2 = 2x + 2 (კგ), ხოლო რკინის შემცველობა არის 2(x + 1) \cdot 0.21 = 0.42 (x + 1)კგ.

შევქმნათ და ამოხსნათ განტოლება:

0.12x+ 0.28 (x + 2) = 0.42 (x+1),

6x + 14 (x + 2) = 21 (x + 1),

X = 7.

მესამე შენადნობის მასა 2 \cdot 7 + 2 = 16 (კგ).

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 11
თემა: ამოცანები პროცენტებისთვის

მდგომარეობა

მაღაზიაში ტელევიზორის ფასი კვარტალურად (კვარტალში - სამ თვეში) წინა ფასთან შედარებით იგივე პროცენტით მცირდება. ცნობილია, რომ 50 000 რუბლის ღირებულების ტელევიზორი ორი კვარტლის შემდეგ 41 405 რუბლად გაიყიდა. იპოვეთ პროცენტი, რომლითაც ტელევიზორის ღირებულება კვარტალურად შემცირდა.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

ტელევიზორის ფასი თავდაპირველად 50 000 მანეთი იყო. მეოთხედის შემდეგ ის გახდა 50\,000-50\,000\cdot0,01x = 50\,000 (1-0,01x)რუბლი, სადაც x არის პროცენტი, რომლითაც ტელევიზორის ფასი კვარტალურად მცირდება. ორი კვარტლის შემდეგ მისი ფასი გახდა

50\,000(1-0,01x)(1-0,01x)=50\,000(1-0,01x)^2.

შევქმნათ და ამოხსნათ განტოლება:

50\,000 (1-0,01x)^2=41\,405,

(1-0.01x)^2=0.8281,

1-0.01x=0.91,

x=9.

ასე რომ, ტელევიზორის ფასი კვარტალურად 9 პროცენტით შემცირდა.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 11
თემა: ამოცანები პროცენტებისთვის

მდგომარეობა

2005 წელს სოფელში 55000 ადამიანი ცხოვრობდა. 2006 წელს ახალი სახლების მშენებლობის შედეგად მოსახლეობის რაოდენობა 6%-ით გაიზარდა, ხოლო 2007 წელს - 10%-ით 2006 წელთან შედარებით. იპოვეთ სოფლის მცხოვრებთა რაოდენობა 2007 წელს.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

2006 წელს სოფლის მცხოვრებთა რაოდენობა 6%-ით გაიზარდა ე.ი. გახდა 106%, რაც უდრის 55\000 \cdot 1.06 = 58\300 (მოსახლე). 2007 წელს სოფლის მცხოვრებთა რაოდენობა 2006 წელთან შედარებით 10%-ით გაიზარდა (110%), ე.ი. სოფლის მცხოვრებთა რაოდენობა გახდა 58\300 \cdot 1,1 = 64\130 კაცი.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 11
თემა: ამოცანები პროცენტებისთვის

მდგომარეობა

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

3 ლიტრი 14% წყალხსნარი შეიცავს 3 \ cdot0.14 \u003d 0.42 ლიტრს. რაღაც ნივთიერება. დაუმატეს 4 ლიტრი წყალი, გახდა 7 ლიტრი ხსნარი. ამ 7 ლიტრ ახალ ხსნარში - 0,42 ლიტრი რაღაც ნივთიერება. ვიპოვოთ ახალი ხსნარის კონცენტრაცია: 0,42:7\cdot100=6%.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 11
თემა: ამოცანები პროცენტებისთვის

მდგომარეობა

სამშენებლო კომპანიებმა დააარსეს კომპანია საწესდებო კაპიტალით 150 მილიონი რუბლი. პირველმა კომპანიამ შეიტანა საწესდებო კაპიტალის 20%, მეორე კომპანიამ - 22,5 მილიონი რუბლი, მესამემ - საწესდებო კაპიტალის 0,3, მეოთხე კომპანიამ შეიტანა დანარჩენი.