მბრუნავი სხეულის კინეტიკური ენერგია უდრის სხეულის ყველა ნაწილაკების კინეტიკური ენერგიის ჯამს:

ნებისმიერი ნაწილაკის მასა, მისი წრფივი (წრიული) სიჩქარე, პროპორციულია ამ ნაწილაკების მანძილის ბრუნვის ღერძიდან. ამ გამონათქვამში ჩანაცვლებით და ყველა ნაწილაკისთვის საერთო o კუთხური სიჩქარის ჯამის ნიშნიდან გამოვიყვანთ, ვიპოვით:

მბრუნავი სხეულის კინეტიკური ენერგიის ეს ფორმულა შეიძლება შემცირდეს მთარგმნელობითი მოძრაობის კინეტიკური ენერგიის გამოხატვის მსგავს ფორმამდე, თუ შემოვიყვანთ სხეულის ე.წ. ინერციის მომენტის მნიშვნელობას. მატერიალური წერტილის ინერციის მომენტი არის წერტილის მასისა და ბრუნვის ღერძიდან მისი მანძილის კვადრატის ნამრავლი. სხეულის ინერციის მომენტი არის სხეულის ყველა მატერიალური წერტილის ინერციის მომენტების ჯამი:

ამრიგად, მბრუნავი სხეულის კინეტიკური ენერგია განისაზღვრება შემდეგი ფორმულით:

ფორმულა (2) განსხვავდება ფორმულისგან, რომელიც განსაზღვრავს სხეულის კინეტიკურ ენერგიას მთარგმნელობით მოძრაობაში იმით, რომ სხეულის მასის ნაცვლად აქ შემოდის ინერციის მომენტი I და სიჩქარის ნაცვლად ჯგუფის სიჩქარე.

მბრუნავი მფრინავის დიდი კინეტიკური ენერგია გამოიყენება ტექნოლოგიაში, რათა შეინარჩუნოს აპარატის ერთგვაროვნება მოულოდნელად ცვალებადი დატვირთვის პირობებში. თავდაპირველად, ინერციის დიდი მომენტის მქონე ბორბალი ბრუნვაში მოსაყვანად, მანქანა მოითხოვს მნიშვნელოვან სამუშაოს, მაგრამ როდესაც დიდი დატვირთვა მოულოდნელად ჩართულია, მანქანა არ ჩერდება და მუშაობს ბუკინის კინეტიკური ენერგიის რეზერვის გამო.

განსაკუთრებით მასიური მფრინავები გამოიყენება მოძრავი ქარხნებში, რომლებიც ამოძრავებს ელექტროძრავით. აქ არის ერთ-ერთი ასეთი ბორბლის აღწერა: „ბორბალს აქვს 3,5 მ დიამეტრი და იწონის ნორმალური სიჩქარით 600 ბრ/წთ, ბორბლის კინეტიკური ენერგია ისეთია, რომ ბორბლის გადახვევის დროს წისქვილს აძლევს ძალას. 20000 ლიტრი. თან. საკისრებში ხახუნი მინიმუმამდეა დაყვანილი ზღაპრის მიერ ზეწოლის ქვეშ და ცენტრიდანული ინერციის ძალების მავნე ზემოქმედების თავიდან ასაცილებლად, ბორბალი დაბალანსებულია ისე, რომ ბორბლის გარშემოწერილობაზე მოთავსებული დატვირთვა გამოჰყავს მას დასვენებისგან.

ჩვენ წარმოვადგენთ (გამოთვლების შესრულების გარეშე) ზოგიერთი სხეულის ინერციის მომენტების მნიშვნელობებს (ვარაუდობენ, რომ თითოეულ ამ სხეულს აქვს იგივე სიმკვრივე ყველა მონაკვეთში).

წვრილი რგოლის ინერციის მომენტი ღერძის მიმართ, რომელიც გადის მის ცენტრში და სიბრტყეზე პერპენდიკულარულია (სურ. 55):

მრგვალი დისკის (ან ცილინდრის) ინერციის მომენტი ღერძის მიმართ, რომელიც გადის მის ცენტრში და სიბრტყეზე პერპენდიკულარულია (დისკის ინერციის პოლარული მომენტი; სურ. 56):

წვრილი მრგვალი დისკის ინერციის მომენტი ღერძის მიმართ, რომელიც ემთხვევა მის დიამეტრს (დისკის ინერციის ეკვატორული მომენტი; სურ. 57):

ბურთის ინერციის მომენტი ბურთის ცენტრში გამავალი ღერძის მიმართ:

რადიუსის თხელი სფერული ფენის ინერციის მომენტი ცენტრში გამავალი ღერძის მიმართ:

სქელი სფერული ფენის ინერციის მომენტი (ღრუ ბურთი, რომელსაც აქვს გარე ზედაპირის რადიუსი და ღრუს რადიუსი) ცენტრში გამავალი ღერძის მიმართ:

სხეულების ინერციის მომენტების გამოთვლა ხორციელდება ინტეგრალური კალკულუსის გამოყენებით. ასეთი გამოთვლების მსვლელობის შესახებ წარმოდგენის მიზნით, ჩვენ ვპოულობთ ღეროს ინერციის მომენტს მის პერპენდიკულარულ ღერძთან შედარებით (ნახ. 58). იყოს ღეროს მონაკვეთი, სიმკვრივე. გამოვყოფთ ღეროს ელემენტარულად მცირე ნაწილს, რომელსაც აქვს სიგრძე და მდებარეობს ბრუნვის ღერძიდან x მანძილზე. მაშინ მისი მასა ვინაიდან ის არის x მანძილზე ბრუნვის ღერძიდან, მაშინ მისი ინერციის მომენტი ჩვენ ვაერთიანებთ ნულიდან I-მდე:

მართკუთხა პარალელეპიპედის ინერციის მომენტი სიმეტრიის ღერძის გარშემო (სურ. 59)

რგოლოვანი ტორსის ინერციის მომენტი (სურ. 60)

განვიხილოთ, როგორ არის დაკავშირებული სიბრტყის გასწვრივ მოძრავი სხეულის ბრუნვის ენერგია (მოცურვის გარეშე) ამ სხეულის მთარგმნელობითი მოძრაობის ენერგიასთან.

მოძრავი სხეულის მთარგმნელობითი მოძრაობის ენერგია არის , სადაც არის სხეულის მასა და გადაადგილების მოძრაობის სიჩქარე. აღვნიშნოთ მოძრავი სხეულის ბრუნვის კუთხური სიჩქარე და სხეულის რადიუსი. ადვილი გასაგებია, რომ სრიალის გარეშე მოძრავი სხეულის მთარგმნელობითი მოძრაობის სიჩქარე უდრის სხეულის წრეწირის სიჩქარეს სხეულის სიბრტყესთან შეხების წერტილებში (იმ დროს, როდესაც სხეული აკეთებს ერთ შემობრუნებას, სხეულის სიმძიმის ცენტრი მოძრაობს მანძილზე, ამიტომ,

ამრიგად,

ბრუნვის ენერგია

აქედან გამომდინარე,

აქ ინერციის მომენტების ზემოაღნიშნული მნიშვნელობების ჩანაცვლებით, აღმოვაჩენთ, რომ:

ა) მოძრავი რგოლის ბრუნვითი მოძრაობის ენერგია უდრის მისი გადამყვანი მოძრაობის ენერგიას;

ბ) მოძრავი ერთგვაროვანი დისკის ბრუნვის ენერგია ტოლია გადამყვანი მოძრაობის ენერგიის ნახევარს;

გ) მოძრავი ერთგვაროვანი ბურთის ბრუნვის ენერგია არის მთარგმნელობითი მოძრაობის ენერგია.

ინერციის მომენტის დამოკიდებულება ბრუნვის ღერძის პოზიციაზე.მოდით, C წერტილში სიმძიმის ცენტრის მქონე ღერო (ნახ. 61) ბრუნავს კუთხური სიჩქარით (o ღერძის გარშემო, ნახატის სიბრტყის პერპენდიკულარულად. დავუშვათ, რომ გარკვეული პერიოდის განმავლობაში იგი გადავიდა A B პოზიციიდან და სიმძიმის ცენტრი აღწერს რკალს. ეს მოძრაობის ღერო შეიძლება ჩაითვალოს ისე, თითქოს ღერო ჯერ ტრანსლალურად (ანუ თავის პარალელურად რჩება) გადავიდა პოზიციაზე და შემდეგ შემოტრიალდა C გარშემო პოზიციამდე. მოდით აღვნიშნოთ (ცენტრის მანძილი). გრავიტაცია ბრუნვის ღერძიდან) a-ით, ხოლო კუთხე - როდესაც ღერო მოძრაობს პოზიციიდან და პოზიციიდან, მისი თითოეული ნაწილაკების გადაადგილება იგივეა, რაც სიმძიმის ცენტრის გადაადგილება, ანუ ტოლია ან მივიღოთ ღეროს რეალური მოძრაობა, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ორივე მოძრაობა ერთდროულად შესრულდება O-ში გამავალი ღერძის გარშემო შეიძლება დაიყოს ორ ნაწილად.

მოდით განვსაზღვროთ ხისტი სხეულის კინეტიკური ენერგია, რომელიც ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო. დავყოთ ეს სხეული n მატერიალურ წერტილად. თითოეული წერტილი მოძრაობს წრფივი სიჩქარით υ =ωr i , შემდეგ წერტილის კინეტიკური ენერგია

ან

მბრუნავი ხისტი სხეულის მთლიანი კინეტიკური ენერგია უდრის მისი ყველა მატერიალური წერტილის კინეტიკური ენერგიის ჯამს:

(3.22)

(J - სხეულის ინერციის მომენტი ბრუნვის ღერძის მიმართ)

თუ ყველა წერტილის ტრაექტორია დევს პარალელურ სიბრტყეში (ცილინდრის მსგავსად, რომელიც დახრილ სიბრტყეში მოძრაობს, თითოეული წერტილი მოძრაობს თავის სიბრტყეში ლეღვი), ეს არის ბრტყელი მოძრაობა. ეილერის პრინციპის მიხედვით, სიბრტყის მოძრაობა ყოველთვის შეიძლება დაიშალოს უსასრულო რაოდენობის გზებით მთარგმნელობით და ბრუნვით მოძრაობად. თუ ბურთი დაეცემა ან სრიალებს დახრილი სიბრტყის გასწვრივ, ის მხოლოდ წინ მიიწევს; როდესაც ბურთი ტრიალებს, ის ასევე ბრუნავს.

თუ სხეული ერთდროულად ასრულებს მთარგმნელობით და ბრუნვით მოძრაობებს, მაშინ მისი მთლიანი კინეტიკური ენერგია უდრის

(3.23)

მთარგმნელობითი და ბრუნვითი მოძრაობების კინეტიკური ენერგიის ფორმულების შედარებიდან ჩანს, რომ ბრუნვის დროს ინერციის საზომი არის სხეულის ინერციის მომენტი.

§ 3.6 გარე ძალების მუშაობა ხისტი სხეულის ბრუნვის დროს

როდესაც ხისტი სხეული ბრუნავს, მისი პოტენციური ენერგია არ იცვლება, შესაბამისად, გარე ძალების ელემენტარული მუშაობა უდრის სხეულის კინეტიკური ენერგიის ზრდას:

dA = dE ან

იმის გათვალისწინებით, რომ Jβ = M, ωdr = dφ, გვაქვს სხეულის α სასრული კუთხით φ უდრის

(3.25)

როდესაც ხისტი სხეული ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო, გარე ძალების მუშაობა განისაზღვრება მოცემულ ღერძზე ამ ძალების მომენტის მოქმედებით. თუ ღერძის გარშემო ძალების მომენტი ნულის ტოლია, მაშინ ეს ძალები არ წარმოქმნიან სამუშაოს.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

მაგალითი 2.1. მფრინავის მასამ=5 კგ და რადიუსირ= 0,2 მ ბრუნავს ჰორიზონტალური ღერძის გარშემო სიხშირითν 0 =720 წთ -1 და ჩერდება დამუხრუჭებისასტ=20 წმ. იპოვნეთ დამუხრუჭების ბრუნვის სიჩქარე და რევოლუციების რაოდენობა გაჩერებამდე.

დამუხრუჭების ბრუნვის დასადგენად, ჩვენ ვიყენებთ ბრუნვის მოძრაობის დინამიკის ძირითად განტოლებას.

სადაც I=mr 2 არის დისკის ინერციის მომენტი; Δω \u003d ω - ω 0, და ω \u003d 0 არის საბოლოო კუთხოვანი სიჩქარე, ω 0 \u003d 2πν 0 არის საწყისი. M არის დისკზე მოქმედი ძალების დამუხრუჭების მომენტი.

ყველა რაოდენობის ცოდნით, შესაძლებელია დამუხრუჭების ბრუნვის განსაზღვრა

ბატონი 2 2 πν 0 = МДt (1)

(2)

ბრუნვის მოძრაობის კინემატიკიდან, დისკის ბრუნვის დროს შეჩერებისას ბრუნვის კუთხე შეიძლება განისაზღვროს ფორმულით

(3)

სადაც β არის კუთხოვანი აჩქარება.

ამოცანის პირობის მიხედვით: ω = ω 0 - βΔt, ვინაიდან ω=0, ω 0 = βΔt.

შემდეგ გამონათქვამი (2) შეიძლება დაიწეროს როგორც:

მაგალითი 2.2. ორი ბორბალი ერთი და იგივე რადიუსის და მასის დისკის სახით დატრიალდა ბრუნვის სიჩქარემდენ= 480 rpm და დარჩა თავისთვის. საკისრებზე ლილვების ხახუნის ძალების გავლენის ქვეშ, პირველი შეჩერდა შემდეგტ\u003d 80 წმ და მეორემ გააკეთან= 240 რევოლუცია გაჩერება. რომელ ბორბალში იყო ლილვების ხახუნის ძალების მომენტი საკისრებზე და რამდენჯერ იყო დიდი.

ჩვენ ვიპოვით პირველი მფრინავის M 1 ეკლის ძალების მომენტს ბრუნვის მოძრაობის დინამიკის ძირითადი განტოლების გამოყენებით.

M 1 Δt \u003d Iω 2 - Iω 1

სადაც Δt არის ხახუნის ძალების მომენტის მოქმედების დრო, I \u003d mr 2 - საფრენი ბორბლის ინერციის მომენტი, ω 1 \u003d 2πν და ω 2 \u003d 0 არის საფრენი ბორბლების საწყისი და საბოლოო კუთხური სიჩქარე.

მერე

მეორე მფრინავის ხახუნის ძალების M 2 მომენტი გამოიხატება ხახუნის ძალების A მუშაობასა და მისი კინეტიკური ენერგიის ცვლის ΔE k შორის ურთიერთობით:

სადაც Δφ = 2πN არის ბრუნვის კუთხე, N არის მფრინავის ბრუნვის რაოდენობა.

მერე სად

ო თანაფარდობა იქნება

მეორე მფრინავის ხახუნის ბრუნვა 1,33-ჯერ მეტია.

მაგალითი 2.3. ერთგვაროვანი მყარი დისკის მასა m, დატვირთვის მასები m 1 და მ 2 (სურ.15). ცილინდრის ღერძში არ არის ძაფის ცურვა და ხახუნი. იპოვეთ მასების აჩქარება და ძაფის დაჭიმვის თანაფარდობამოძრაობის პროცესში.

ძაფის ცურვა არ ხდება, ამიტომ, როდესაც m 1 და m 2 ახორციელებენ გადაადგილების მოძრაობას, ცილინდრი ბრუნავს O წერტილის გავლით გამავალი ღერძის გარშემო. განსაზღვრულობისთვის დავუშვათ, რომ m 2 > m 1.

შემდეგ დატვირთვა m 2 იკლებს და ცილინდრი ბრუნავს საათის ისრის მიმართულებით. ჩამოვწეროთ სისტემაში შემავალი სხეულების მოძრაობის განტოლებები

პირველი ორი განტოლება იწერება m 1 და m 2 მასის მქონე სხეულებისთვის, რომლებიც ასრულებენ მთარგმნელობით მოძრაობას, ხოლო მესამე განტოლება არის მბრუნავი ცილინდრისთვის. მესამე განტოლებაში, მარცხნივ არის ცილინდრზე მოქმედი ძალების ჯამური მომენტი (ძალის T 1 მომენტი აღებულია მინუს ნიშნით, რადგან T 1 ძალა ცილინდრის საწინააღმდეგოდ აბრუნებს). მარჯვნივ I არის ცილინდრის ინერციის მომენტი O ღერძის მიმართ, რომელიც უდრის

სადაც R არის ცილინდრის რადიუსი; β არის ცილინდრის კუთხოვანი აჩქარება.

ვინაიდან ძაფის ცურვა არ არის,
. I და β გამონათქვამების გათვალისწინებით, მივიღებთ:

სისტემის განტოლებების მიმატებით მივდივართ განტოლებამდე

აქედან ვპოულობთ აჩქარებას ატვირთი

მიღებული განტოლებიდან ჩანს, რომ ძაფის დაჭიმულობა იგივე იქნება, ე.ი. =1 თუ ცილინდრის მასა წონების მასაზე ბევრად ნაკლებია.

მაგალითი 2.4. ღრუ ბურთულას მასა m = 0,5 კგ აქვს გარე რადიუსი R = 0,08 მ და შიდა რადიუსი r = 0,06 მ. ბურთი ბრუნავს ღერძის გარშემო, რომელიც გადის მის ცენტრში. გარკვეულ მომენტში ბურთზე იწყებს მოქმედებას ძალა, რის შედეგადაც ბურთის ბრუნვის კუთხე იცვლება კანონის მიხედვით.
. განსაზღვრეთ გამოყენებული ძალის მომენტი.

ამოცანას ვხსნით ბრუნვის მოძრაობის დინამიკის ძირითადი განტოლების გამოყენებით
. მთავარი სირთულე არის ღრუ ბურთის ინერციის მომენტის დადგენა, ხოლო β კუთხური აჩქარება გვხვდება როგორც
. ღრუ ბურთის I ინერციის მომენტი უდრის სხვაობას R რადიუსის ბურთისა და r რადიუსის ბურთის ინერციის მომენტებს შორის:

სადაც ρ არის ბურთის მასალის სიმკვრივე. ჩვენ ვიპოვით სიმკვრივეს, ვიცით ღრუ ბურთის მასა

აქედან ჩვენ განვსაზღვრავთ ბურთის მასალის სიმკვრივეს

ძალის M მომენტისთვის ვიღებთ შემდეგ გამოსახულებას:

მაგალითი 2.5. თხელი ღერო 300 გ მასით და 50 სმ სიგრძით ბრუნავს 10 წამის კუთხური სიჩქარით. -1 ჰორიზონტალურ სიბრტყეში ვერტიკალური ღერძის გარშემო, რომელიც გადის ღეროს შუაზე. იპოვეთ კუთხური სიჩქარე, თუ იმავე სიბრტყეში ბრუნვისას ღერო ისე მოძრაობს, რომ ბრუნვის ღერძი გაიაროს ღეროს ბოლოში.

ჩვენ ვიყენებთ კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონს

(1)

(J i - ღეროს ინერციის მომენტი ბრუნვის ღერძის მიმართ).

სხეულების იზოლირებული სისტემისთვის კუთხური იმპულსის ვექტორული ჯამი მუდმივი რჩება. იმის გამო, რომ ღეროს მასის განაწილება ბრუნვის ღერძთან შედარებით იცვლება, ღეროს ინერციის მომენტიც იცვლება (1) შესაბამისად:

J 0 ω 1 = J 2 ω 2 . (2)

ცნობილია, რომ ღერძის ინერციის მომენტი მასის ცენტრში გამავალი და ღეროზე პერპენდიკულარული ღერძის მიმართ ტოლია

J 0 \u003d mℓ 2 / 12. (3)

შტაინერის თეორემის მიხედვით

J = J 0 +m ა 2

(J არის ღეროს ინერციის მომენტი ბრუნის თვითნებური ღერძის მიმართ; J 0 არის ინერციის მომენტი მასის ცენტრში გამავალი პარალელური ღერძის მიმართ; ა- მანძილი მასის ცენტრიდან ბრუნვის შერჩეულ ღერძამდე).

ვიპოვოთ ინერციის მომენტი ღერძის მიმართ, რომელიც გადის მის ბოლოზე და ღეროზე პერპენდიკულარულია:

J 2 \u003d J 0 +m ა 2, J 2 = mℓ 2 /12 +m(ℓ/2) 2 = mℓ 2 /3. (4)

მოდით ჩავანაცვლოთ ფორმულები (3) და (4) (2):

mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2 /3

ω 2 \u003d ω 1 /4 ω 2 \u003d 10s-1/4 \u003d 2.5s -1

მაგალითი 2.6 . მასობრივი ადამიანიმ= 60 კგ, დგას პლატფორმის კიდეზე M = 120 კგ მასით, ინერციით ბრუნავს ფიქსირებული ვერტიკალური ღერძის გარშემო, სიხშირით ν. 1 = 12 წთ -1 , მიდის მის ცენტრში. პლატფორმის მრგვალ ერთგვაროვან დისკად და პიროვნების წერტილის მასად განხილვით, განსაზღვრეთ რა სიხშირით ν 2 შემდეგ პლატფორმა ბრუნავს.

მოცემული:მ=60 კგ, M=120 კგ, ν 1 =12 წთ -1 = 0.2 წმ -1 .

Პოვნა: v 1

გადაწყვეტილება:პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით, პლატფორმა ადამიანთან ბრუნავს ინერციით, ე.ი. მბრუნავი სისტემის მიმართ გამოყენებული ყველა ძალის შედეგად მიღებული მომენტი არის ნული. მაშასადამე, „პლატფორმა-ადამიანის“ სისტემისთვის, იმპულსის შენარჩუნების კანონი შესრულებულია

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

სადაც
- სისტემის ინერციის მომენტი, როდესაც ადამიანი დგას პლატფორმის კიდეზე (გავითვალისწინეთ, რომ პლატფორმის ინერციის მომენტი უდრის (R არის რადიუსი p
პლატფორმა), პლატფორმის კიდეზე პირის ინერციის მომენტი არის mR 2).

- სისტემის ინერციის მომენტი, როდესაც ადამიანი დგას პლატფორმის ცენტრში (გავითვალისწინეთ, რომ პლატფორმის ცენტრში მდგომი ადამიანის მომენტი ნულის ტოლია). კუთხოვანი სიჩქარე ω 1 = 2π ν 1 და ω 1 = 2π ν 2 .

წერილობითი გამონათქვამების (1) ფორმულით ჩანაცვლებით, ვიღებთ

საიდანაც სასურველი ბრუნვის სიჩქარე

უპასუხე: v 2 =24 წთ -1.

დავიწყოთ სხეულის ბრუნვის გათვალისწინებით ფიქსირებული ღერძის გარშემო, რომელსაც დავარქმევთ z-ღერძს (სურ. 41.1). ელემენტარული მასის წრფივი სიჩქარე არის ის, სადაც არის მასის მანძილი ღერძიდან. ამრიგად, ელემენტარული მასის კინეტიკური ენერგიისთვის მიიღება გამოხატულება

სხეულის კინეტიკური ენერგია შედგება მისი ნაწილების კინეტიკური ენერგიებისგან:

ამ თანაფარდობის მარჯვენა მხარეს ჯამი არის სხეულის 1 ინერციის მომენტი ბრუნვის ღერძის მიმართ. ამრიგად, სხეულის კინეტიკური ენერგია, რომელიც ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო

დაე, მასაზე მოქმედებდეს შინაგანი და გარეგანი ძალა (იხ. სურ. 41.1). (20.5) მიხედვით, ეს ძალები სამუშაოს დროის განმავლობაში შეასრულებენ

ვექტორების შერეულ პროდუქტებში ფაქტორების ციკლური პერმუტაციის განხორციელებისას (იხ. (2.34)) მივიღებთ:

სადაც N არის შიდა ძალის მომენტი O წერტილის მიმართ, N არის გარე ძალის ანალოგიური მომენტი.

გამოთქმის (41.2) შეჯამებით ყველა ელემენტარულ მასაზე, ვიღებთ სხეულზე შესრულებულ ელემენტარულ სამუშაოს dt დროის განმავლობაში:

შინაგანი ძალების მომენტების ჯამი ნულის ტოლია (იხ. (29.12)). მაშასადამე, N-ის მეშვეობით გარე ძალების მთლიანი მომენტის აღსანიშნავად, მივდივართ გამოხატულებამდე

(გამოვიყენეთ ფორმულა (2.21)).

დაბოლოს, იმის გათვალისწინებით, რომ არსებობს კუთხე, რომლის მეშვეობითაც სხეული დროში ბრუნავს, მივიღებთ:

სამუშაოს ნიშანი დამოკიდებულია ნიშანზე, ანუ ვექტორის N-ის პროექციის ნიშანზე ვექტორის მიმართულებაზე.

ამრიგად, როდესაც სხეული ბრუნავს, შინაგანი ძალები არ ასრულებენ მუშაობას, ხოლო გარე ძალების მუშაობა განისაზღვრება ფორმულით (41.4).

ფორმულა (41.4) შეიძლება მივიღოთ იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ სხეულზე გამოყენებული ყველა ძალის მიერ შესრულებული სამუშაო მიდის მისი კინეტიკური ენერგიის გაზრდაზე (იხ. (19.11)). ტოლობის ორივე მხარის დიფერენციალიდან (41.1) მივდივართ მიმართებაში

განტოლების მიხედვით (38.8), ასე რომ, ჩანაცვლებით მივიღებთ ფორმულას (41.4).

ცხრილი 41.1

მაგიდაზე. 41.1, ბრუნვითი მოძრაობების მექანიკის ფორმულები შედარებულია მთარგმნელობითი მოძრაობის მექანიკის მსგავს ფორმულებთან (წერტილის მექანიკა). ამ შედარებიდან ადვილია დავასკვნათ, რომ ყველა შემთხვევაში მასის როლს ასრულებს ინერციის მომენტი, ძალის როლს ძალის მომენტი, იმპულსის როლს ასრულებს იმპულსის მომენტი და ა.შ.

ფორმულა. (41.1) მივიღეთ იმ შემთხვევისთვის, როდესაც სხეული ბრუნავს სხეულში დაფიქსირებული ფიქსირებული ღერძის გარშემო. ახლა დავუშვათ, რომ სხეული თვითნებურად ბრუნავს ფიქსირებულ წერტილზე, რომელიც ემთხვევა მის მასის ცენტრს.

მოდით, მკაცრად დავაკავშიროთ დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სხეულთან, რომლის საწყისი მოთავსდება სხეულის მასის ცენტრში. i-ე ელემენტარული მასის სიჩქარე არის ამიტომ სხეულის კინეტიკური ენერგიისთვის შეგვიძლია დავწეროთ გამოხატულება

სად არის კუთხე ვექტორებს შორის, ჩანაცვლება ა და იმის გათვალისწინებით, თუ რას მივიღებთ:

ჩვენ ვწერთ სკალარულ პროდუქტებს ვექტორების პროგნოზების მიხედვით სხეულთან დაკავშირებული კოორდინატთა სისტემის ღერძებზე:

საბოლოოდ, კუთხური სიჩქარის კომპონენტების ერთნაირ ნამრავლებთან ტერმინების გაერთიანებით და ჯამების ნიშნებიდან ამ ნამრავლების ამოღებით მივიღებთ: ასე რომ, ფორმულა (41.7) იღებს ფორმას (შეადარეთ (41.1)). როდესაც თვითნებური სხეული ბრუნავს ინერციის ერთ-ერთი მთავარი ღერძის გარშემო, ვთქვათ, ღერძი და ფორმულა (41.7) შედის (41.10.

ამგვარად. მბრუნავი სხეულის კინეტიკური ენერგია უდრის ინერციის მომენტისა და კუთხური სიჩქარის კვადრატის ნამრავლის ნახევარს სამ შემთხვევაში: 1) ფიქსირებული ღერძის გარშემო მბრუნავი სხეულისთვის; 2) სხეულისთვის, რომელიც ბრუნავს ინერციის ერთ-ერთი მთავარი ღერძის გარშემო; 3) ბურთის ზედა. სხვა შემთხვევებში კინეტიკური ენერგია განისაზღვრება უფრო რთული ფორმულებით (41.5) ან (41.7).

ჯერ განვიხილოთ ხისტი სხეული, რომელიც ბრუნავს OZ ფიქსირებული ღერძის გარშემო კუთხური სიჩქარით ω (ნახ.5.6). დავყოთ სხეული ელემენტარულ მასებად. ელემენტარული მასის წრფივი სიჩქარე არის , სად არის მისი მანძილი ბრუნვის ღერძიდან. Კინეტიკური ენერგია მე-რომ ელემენტარული მასა ტოლი იქნება

.

ამრიგად, მთელი სხეულის კინეტიკური ენერგია შედგება მისი ნაწილების კინეტიკური ენერგიებისგან

.

იმის გათვალისწინებით, რომ ამ მიმართების მარჯვენა მხარეს ჯამი წარმოადგენს სხეულის ინერციის მომენტს ბრუნვის ღერძის მიმართ, საბოლოოდ მივიღებთ

. (5.30)

მბრუნავი სხეულის კინეტიკური ენერგიის ფორმულები (5.30) მსგავსია სხეულის მთარგმნელობითი მოძრაობის კინეტიკური ენერგიის შესაბამისი ფორმულებისა. ისინი მიიღება ამ უკანასკნელისგან ფორმალური ჩანაცვლებით .

ზოგად შემთხვევაში, ხისტი სხეულის მოძრაობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მოძრაობათა ჯამი - გადამყვანი სიჩქარით, რომელიც უდრის სხეულის მასის ცენტრის სიჩქარეს და ბრუნვა კუთხური სიჩქარით მყისიერი ღერძის გარშემო, რომელიც გადის მასის ცენტრი. ამ შემთხვევაში, სხეულის კინეტიკური ენერგიის გამოხატულება იღებს ფორმას

.

ახლა ვიპოვოთ გარე ძალების მომენტის მიერ შესრულებული სამუშაო ხისტი სხეულის ბრუნვის დროს. გარე ძალების ელემენტარული მუშაობა დროში dtუტოლდება სხეულის კინეტიკური ენერგიის ცვლილებას

ბრუნვის მოძრაობის კინეტიკური ენერგიისგან დიფერენციალის აღებით ვპოულობთ მის ზრდას

.

ბრუნვის მოძრაობის დინამიკის ძირითადი განტოლების შესაბამისად

ამ მიმართებების გათვალისწინებით ელემენტარული სამუშაოს გამოთქმას ფორმამდე ვამცირებთ

სადაც არის გარე ძალების მომენტის პროექცია ბრუნვის ღერძის მიმართულებით OZ, არის სხეულის ბრუნვის კუთხე განხილული დროის განმავლობაში.

ინტეგრირებით (5.31), ვიღებთ მბრუნავ სხეულზე მოქმედი გარე ძალების მუშაობის ფორმულას

თუ , მაშინ ფორმულა გამარტივებულია

ამრიგად, გარე ძალების მუშაობა მყარი სხეულის ფიქსირებული ღერძის გარშემო ბრუნვისას განისაზღვრება მოცემულ ღერძზე ამ ძალების მომენტის პროექციის მოქმედებით.

გიროსკოპი

გიროსკოპი არის სწრაფად მბრუნავი სიმეტრიული სხეული, რომლის ბრუნვის ღერძს შეუძლია შეცვალოს მისი მიმართულება სივრცეში. იმისათვის, რომ გიროსკოპის ღერძი თავისუფლად ტრიალოს სივრცეში, გიროსკოპი მოთავსებულია ეგრეთ წოდებულ გიმბალის საკიდში (სურ. 5.13). გიროსკოპის მფრინავი ბრუნავს შიდა რგოლოვან გალიაში C 1 C 2 ღერძის გარშემო, რომელიც გადის მის სიმძიმის ცენტრში. თავის მხრივ, შიდა გალიას შეუძლია ბრუნოს გარე გალიაში B 1 B 2 ღერძის გარშემო C 1 C 2 პერპენდიკულარულად. და ბოლოს, გარე რბოლას შეუძლია თავისუფლად ბრუნოს საყრდენებში A 1 A 2 ღერძის გარშემო C 1 C 2 და B 1 B 2 ღერძების პერპენდიკულარული. სამივე ღერძი იკვეთება რაღაც ფიქსირებულ O წერტილში, რომელსაც ეწოდება შეჩერების ცენტრი ან გიროსკოპის საყრდენი წერტილი. გიროსკოპს გიმბალში აქვს თავისუფლების სამი ხარისხი და, შესაბამისად, შეუძლია ნებისმიერი ბრუნის გაკეთება გიმბალის ცენტრის გარშემო. თუ გიროსკოპის დაკიდების ცენტრი ემთხვევა მის სიმძიმის ცენტრს, მაშინ გიროსკოპის ყველა ნაწილის სიმძიმის მომენტი დაკიდების ცენტრთან მიმართებაში ტოლია ნულის ტოლი. ასეთ გიროსკოპს დაბალანსებული ეწოდება.

ახლა განვიხილოთ გიროსკოპის ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისებები, რომლებმაც მას ფართო გამოყენება ჰპოვა სხვადასხვა სფეროში.

1) მდგრადობა.

დაბალანსებული გიროსკოპის თაროს ნებისმიერი ბრუნვისას, მისი ბრუნვის ღერძი იგივე მიმართულება რჩება ლაბორატორიული საცნობარო ჩარჩოს მიმართ. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ყველა გარე ძალების მომენტი, ტოლი ხახუნის ძალების მომენტისა, არის ძალიან მცირე და პრაქტიკულად არ იწვევს გიროსკოპის კუთხური იმპულსის ცვლილებას, ე.ი.

ვინაიდან კუთხოვანი იმპულსი მიმართულია გიროსკოპის ბრუნვის ღერძის გასწვრივ, მისი ორიენტაცია უცვლელი უნდა დარჩეს.

თუ გარე ძალა მოქმედებს მცირე ხნით, მაშინ ინტეგრალი, რომელიც განსაზღვრავს კუთხური იმპულსის ზრდას, მცირე იქნება.

. (5.34)

ეს ნიშნავს, რომ თუნდაც დიდი ძალების მოკლევადიანი გავლენის ქვეშ, დაბალანსებული გიროსკოპის მოძრაობა ოდნავ იცვლება. გიროსკოპი, როგორც ეს იყო, ეწინააღმდეგება ყველა მცდელობას შეცვალოს მისი კუთხური იმპულსის სიდიდე და მიმართულება. ამასთან დაკავშირებულია გასაოცარი სტაბილურობა, რომელსაც გიროსკოპის მოძრაობა იძენს სწრაფ ბრუნვაში მოყვანის შემდეგ. გიროსკოპის ეს თვისება ფართოდ გამოიყენება თვითმფრინავების, გემების, რაკეტების და სხვა მანქანების მოძრაობის ავტომატურად გასაკონტროლებლად.

თუმცა, თუ გიროსკოპზე დიდი ხნის განმავლობაში მოქმედებს გარე ძალების მუდმივი მიმართულებით მომენტი, მაშინ გიროსკოპის ღერძი საბოლოოდ დაყენებულია გარე ძალების მომენტის მიმართულებით. ეს ფენომენი გამოიყენება გიროკომპასში. ეს მოწყობილობა არის გიროსკოპი, რომლის ღერძი თავისუფლად ტრიალებს ჰორიზონტალურ სიბრტყეში. დედამიწის ყოველდღიური ბრუნვისა და ცენტრიდანული ძალების მომენტის მოქმედების გამო, გიროსკოპის ღერძი ისე ბრუნავს, რომ შორის კუთხე მინიმალური ხდება (ნახ. 5.14). ეს შეესაბამება გიროსკოპის ღერძის პოზიციას მერიდიანულ სიბრტყეში.

2). გიროსკოპიული ეფექტი.

თუ წყვილი ძალები და მიმართულია მბრუნავ გიროსკოპზე, მიდრეკილია მისი ბრუნვისკენ ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარული ღერძის გარშემო, მაშინ ის ბრუნავს მესამე ღერძის გარშემო, პირველი ორის პერპენდიკულარულად (ნახ. 5.15). გიროსკოპის ამ უჩვეულო ქცევას გიროსკოპული ეფექტი ეწოდება. ეს აიხსნება იმით, რომ ძალების წყვილის მომენტი მიმართულია O 1 O 1 ღერძის გასწვრივ და ვექტორის ცვლილებას მნიშვნელობით დროთა განმავლობაში ექნება იგივე მიმართულება. შედეგად, ახალი ვექტორი ბრუნავს O 2 O 2 ღერძის გარშემო. ამრიგად, გიროსკოპის ერთი შეხედვით არაბუნებრივი ქცევა სრულად შეესაბამება ბრუნვის მოძრაობის დინამიკის კანონებს.

3). გიროს პრეცესია.

გიროსკოპის პრეცესია არის მისი ღერძის კონუსური მოძრაობა. ეს ხდება მაშინ, როდესაც გარე ძალების მომენტი, რომელიც რჩება სიდიდით მუდმივი, ბრუნავს ერთდროულად გიროსკოპის ღერძთან და მუდმივად ქმნის მასთან სწორ კუთხეს. პრეცესიის დემონსტრირებას შეუძლია ველოსიპედის ბორბალი გაფართოებული ღერძით, რომელიც მოყვანილია სწრაფ ბრუნვაში (ნახ. 5.16).

თუ ბორბალი შეკიდულია ღერძის გაფართოებული ბოლოთი, მაშინ მისი ღერძი დაიწყებს წინსვლას ვერტიკალური ღერძის გარშემო საკუთარი წონის მოქმედებით. სწრაფად მბრუნავი ზედა ასევე შეიძლება იყოს პრეცესიის დემონსტრირება.

გაარკვიეთ გიროსკოპის პრეცესიის მიზეზები. განვიხილოთ გაუწონასწორებელი გიროსკოპი, რომლის ღერძი თავისუფლად ტრიალებს გარკვეული O წერტილის გარშემო (სურ. 5.16). გიროსკოპზე გამოყენებული გრავიტაციის მომენტი სიდიდით ტოლია

სადაც არის გიროსკოპის მასა, არის მანძილი O წერტილიდან გიროსკოპის მასის ცენტრამდე, არის კუთხე, რომელიც ქმნის გიროსკოპის ღერძს ვერტიკალურთან. ვექტორი მიმართულია გიროსკოპის ღერძზე გამავალი ვერტიკალური სიბრტყის პერპენდიკულურად.

ამ მომენტის გავლენით გიროსკოპის კუთხური იმპულსი (მისი დასაწყისი მოთავსებულია O წერტილში) მიიღებს დროში ზრდას, ხოლო ვერტიკალური სიბრტყე, რომელიც გადის გიროსკოპის ღერძზე, ბრუნავს კუთხით. ვექტორი ყოველთვის პერპენდიკულარულია, ამიტომ, სიდიდის შეცვლის გარეშე, ვექტორი იცვლება მხოლოდ მიმართულებით. ამ შემთხვევაში, გარკვეული პერიოდის შემდეგ, ვექტორების ფარდობითი პოზიცია და იგივე იქნება, რაც საწყის მომენტში. შედეგად, გიროსკოპის ღერძი განუწყვეტლივ ბრუნავს ვერტიკალის გარშემო, აღწერს კონუსს. ამ მოძრაობას პრეცესია ეწოდება.

მოდით განვსაზღვროთ პრეცესიის კუთხური სიჩქარე. ნახ.5.16-ის მიხედვით, კონუსის ღერძზე გამავალი სიბრტყისა და გიროსკოპის ღერძის ბრუნვის კუთხე ტოლია

სად არის გიროსკოპის კუთხოვანი იმპულსი და არის მისი ზრდა დროთა განმავლობაში.

ზემოაღნიშნული მიმართებებისა და გარდაქმნების გათვალისწინებით, ვიღებთ პრეცესიის კუთხურ სიჩქარეს.

. (5.35)

ტექნოლოგიაში გამოყენებული გიროსკოპებისთვის, პრეცესიის კუთხური სიჩქარე მილიონჯერ ნაკლებია გიროსკოპის ბრუნვის სიჩქარეზე.

დასასრულს აღვნიშნავთ, რომ პრეცესიის ფენომენი ასევე შეინიშნება ატომებში ელექტრონების ორბიტალური მოძრაობის გამო.

დინამიკის კანონების გამოყენების მაგალითები

როდესაც ბრუნავს

1. განვიხილოთ კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონის რამდენიმე მაგალითი, რომელიც შეიძლება განხორციელდეს ჟუკოვსკის სკამზე. უმარტივეს შემთხვევაში, ჟუკოვსკის სკამი არის დისკის ფორმის პლატფორმა (სკამი), რომელსაც შეუძლია თავისუფლად ბრუნოს ვერტიკალური ღერძის გარშემო ბურთულა საკისრებზე (ნახ. 5.17). დემონსტრანტი ზის ან დგას სკამზე, რის შემდეგაც იგი მოჰყავთ ბრუნვით მოძრაობაში. იმის გამო, რომ საკისრების გამოყენების გამო ხახუნის ძალები ძალიან მცირეა, სისტემის კუთხური იმპულსი, რომელიც შედგება სკამისგან და დემონსტრირებისგან ბრუნვის ღერძის გარშემო, დროში ვერ შეიცვლება, თუ სისტემა თავისთავად დარჩა. თუ დემონსტრატორს ხელში უჭირავს მძიმე ჰანტელები და ხელებს გვერდებზე გაშლის, მაშინ ის გაზრდის სისტემის ინერციის მომენტს და, შესაბამისად, ბრუნვის კუთხური სიჩქარე უნდა შემცირდეს ისე, რომ კუთხის იმპულსი უცვლელი დარჩეს.

კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონის მიხედვით, ამ შემთხვევისთვის ვადგენთ განტოლებას

სადაც არის ადამიანისა და სკამების ინერციის მომენტი და არის ჰანტელების ინერციის მომენტი პირველ და მეორე პოზიციებზე და არის სისტემის კუთხური სიჩქარეები.

სისტემის ბრუნვის კუთხური სიჩქარე გვერდებზე ჰანტელების გამოყვანისას ტოლი იქნება

.

ჰანტების გადაადგილებისას ადამიანის მიერ შესრულებული სამუშაო შეიძლება განისაზღვროს სისტემის კინეტიკური ენერგიის ცვლილებით

2. კიდევ ერთი ექსპერიმენტი მივცეთ ჟუკოვსკის სკამზე. დემონსტრატორი ზის ან დგას სკამზე და ეძლევა სწრაფად მბრუნავი ბორბალი ვერტიკალურად მიმართული ღერძით (სურ. 5.18). ამის შემდეგ დემონსტრატორი ატრიალებს ბორბალს 180 0 . ამ შემთხვევაში, ბორბლის კუთხოვანი იმპულსის ცვლილება მთლიანად გადადის სკამზე და დემონსტრატორზე. შედეგად, სკამი დემონსტრატორთან ერთად ბრუნდება კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონის საფუძველზე განსაზღვრული კუთხური სიჩქარით.

სისტემის კუთხური იმპულსი საწყის მდგომარეობაში განისაზღვრება მხოლოდ ბორბლის კუთხური იმპულსით და უდრის

სადაც არის ბორბლის ინერციის მომენტი, არის მისი ბრუნვის კუთხური სიჩქარე.

180 0 კუთხით ბორბლის მობრუნების შემდეგ, სისტემის იმპულსის მომენტი უკვე განისაზღვრება სკამზე იმპულსის მომენტის ჯამით ადამიანთან და ბორბლის იმპულსის მომენტით. იმის გათვალისწინებით, რომ ბორბლის იმპულსის ვექტორმა შეიცვალა მიმართულება საპირისპირო მიმართულებით და მისი პროექცია ვერტიკალურ ღერძზე უარყოფითი გახდა, ვიღებთ

,

სადაც არის „ადამიანი-პლატფორმის“ სისტემის ინერციის მომენტი, არის სკამზე ადამიანთან ბრუნვის კუთხური სიჩქარე.

კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონის მიხედვით

და .

შედეგად, ჩვენ ვპოულობთ სკამების ბრუნვის სიჩქარეს

3. წვრილი წნელოვანი მასა მდა სიგრძე ლბრუნავს კუთხური სიჩქარით ω=10 s -1 ჰორიზონტალურ სიბრტყეში ღეროს შუაზე გამავალი ვერტიკალური ღერძის გარშემო. აგრძელებს ბრუნვას იმავე სიბრტყეში, ღერო ისე მოძრაობს, რომ ბრუნვის ღერძი ახლა გადის ღეროს ბოლოში. იპოვეთ კუთხური სიჩქარე მეორე შემთხვევაში.

ამ პრობლემაში, იმის გამო, რომ იცვლება ღეროს მასის განაწილება ბრუნვის ღერძთან მიმართებაში, იცვლება ღეროს ინერციის მომენტიც. იზოლირებული სისტემის კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონის შესაბამისად გვაქვს

აქ - ღეროს ინერციის მომენტი ღერძის მიმართ ღერძის შუაზე; - ღეროს ინერციის მომენტი მის ბოლოზე გამავალი ღერძის მიმართ და ნაპოვნი შტაინერის თეორემით.

ამ გამონათქვამების ჩანაცვლებით კუთხოვანი იმპულსის შენარჩუნების კანონით, მივიღებთ

,

.

4. ღეროს სიგრძე ლ=1,5 მ და წონა მ 1=10 კგ არის დაკიდებული ზედა ბოლოზე. ტყვია მასით ხვდება ღეროს ცენტრს მ2=10გრ, დაფრინავს ჰორიზონტალურად =500მ/წმ სიჩქარით და იჭედება ღეროში. რა კუთხით გადაიხრება ღერო დარტყმის შემდეგ?

წარმოვიდგინოთ ნახ. 5.19. ურთიერთქმედების სხეულების სისტემა „ღერო-ტყვია“. გარე ძალების მომენტები (გრავიტაცია, ღერძის რეაქცია) დარტყმის მომენტში ნულის ტოლია, ამიტომ შეგვიძლია გამოვიყენოთ კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონი.

სისტემის კუთხური იმპულსი დარტყმის წინ ტოლია ტყვიის კუთხური იმპულსის შეჩერების წერტილთან მიმართებაში.

სისტემის კუთხური იმპულსი არაელასტიური ზემოქმედების შემდეგ განისაზღვრება ფორმულით

,

სადაც არის ღეროს ინერციის მომენტი დაკიდების წერტილთან მიმართებაში, არის ტყვიის ინერციის მომენტი, არის ღეროს კუთხური სიჩქარე ტყვიასთან დარტყმისთანავე.

ჩანაცვლების შემდეგ მიღებული განტოლების ამოხსნა, ჩვენ ვპოულობთ

.

ახლა გამოვიყენოთ მექანიკური ენერგიის შენარჩუნების კანონი. მოდით გავაიგივოთ ღეროს კინეტიკური ენერგია ტყვიის მოხვედრის შემდეგ მის პოტენციურ ენერგიასთან აღმართის უმაღლეს წერტილში:

,

სად არის მოცემული სისტემის მასის ცენტრის სიმაღლე.

აუცილებელი გარდაქმნების განხორციელების შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ

ღეროს გადახრის კუთხე დაკავშირებულია მნიშვნელობასთან თანაფარდობით

.

გამოთვლების განხორციელების შემდეგ ვიღებთ =0,1p=18 0 .

5. განვსაზღვროთ სხეულების აჩქარება და ძაფის დაჭიმულობა ატვუდის მანქანაზე, იმ ვარაუდით, რომ (სურ. 5.20). ბლოკის ინერციის მომენტი ბრუნვის ღერძის მიმართ არის მე, ბლოკის რადიუსი რ. უგულებელყოთ ძაფის მასა.

მოვაწყოთ დატვირთვებზე და ბლოკზე მოქმედი ყველა ძალა და შევადგინოთ მათთვის დინამიკის განტოლებები.

თუ ბლოკის გასწვრივ ძაფის ცურვა არ არის, მაშინ წრფივი და კუთხური აჩქარება დაკავშირებულია მიმართებით.

ამ განტოლებების ამოხსნით, მივიღებთ

შემდეგ ვპოულობთ T 1 და T 2 .

6. ობერბეკის ჯვრის ბორბალზე მიმაგრებულია ძაფი (სურ. 5.21), რომელზედაც მასის დატვირთვა. მ= 0,5 კგ. განსაზღვრეთ რამდენი დრო სჭირდება ტვირთის სიმაღლიდან ჩამოვარდნას თ=1 მ ქვედა პოზიციამდე. პულის რადიუსი რ\u003d 3 სმ. მასის ოთხი წონა მ=250გრ თითო მანძილზე რ= 30 სმ მისი ღერძიდან. უგულებელყოთ თავად ჯვრისა და საბურავის ინერციის მომენტი წონების ინერციის მომენტთან შედარებით.

კინეტიკური ენერგია არის დამატებითი რაოდენობა. ამრიგად, სხეულის კინეტიკური ენერგია, რომელიც მოძრაობს თვითნებურად, უდრის ყველა n მატერიალური წერტილის კინეტიკური ენერგიის ჯამს, რომლებზეც ეს სხეული გონებრივად შეიძლება დაიყოს:

თუ სხეული ბრუნავს ფიქსირებული z ღერძის გარშემო კუთხური სიჩქარით, მაშინ i-ე წერტილის წრფივი სიჩქარე , Ri არის მანძილი ბრუნვის ღერძამდე. აქედან გამომდინარე,

შედარება და ჩანს, რომ I სხეულის ინერციის მომენტი არის ინერციის საზომი ბრუნვითი მოძრაობისას, ისევე როგორც მასა m არის ინერციის საზომი მთარგმნელობითი მოძრაობისას.

ზოგად შემთხვევაში, ხისტი სხეულის მოძრაობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი მოძრაობის ჯამი - გადამყვანი სიჩქარით vc და ბრუნი კუთხური სიჩქარით ω ინერციის ცენტრში გამავალი მყისიერი ღერძის გარშემო. შემდეგ ამ სხეულის მთლიანი კინეტიკური ენერგია

აქ Ic არის ინერციის მომენტი ბრუნვის მყისიერი ღერძის მიმართ, რომელიც გადის ინერციის ცენტრში.

ბრუნვის მოძრაობის დინამიკის ძირითადი კანონი.

ბრუნვის დინამიკა

ბრუნვის მოძრაობის დინამიკის ძირითადი კანონი:

ან M=Je, სადაც M არის ძალის მომენტი M=[r F], J -ინერციის მომენტი არის სხეულის იმპულსის მომენტი.

თუ M(გარე)=0 - კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონი. - მბრუნავი სხეულის კინეტიკური ენერგია.

ბრუნვითი სამუშაო.

კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონი.

A მატერიალური წერტილის კუთხური იმპულსი (იმპულსი) ფიქსირებულ O წერტილთან მიმართებაში არის ფიზიკური სიდიდე, რომელიც განისაზღვრება ვექტორული ნამრავლით:

სადაც r არის O წერტილიდან A წერტილამდე გამოყვანილი რადიუსის ვექტორი, p=mv არის მატერიალური წერტილის იმპულსი (ნახ. 1); L არის ფსევდოვექტორი, რომლის მიმართულება ემთხვევა მარჯვენა ხრახნის გადაადგილების მიმართულებას r-დან p-მდე ბრუნვის დროს.

იმპულსის ვექტორული მოდული

სადაც α არის კუთხე r და p ვექტორებს შორის, l არის p ვექტორის მხრი O წერტილის მიმართ.

კუთხური იმპულსი ფიქსირებულ ღერძთან z არის სკალარული მნიშვნელობა Lz, რომელიც უდრის პროექციას კუთხური იმპულსის ვექტორის ამ ღერძზე, განსაზღვრული ამ ღერძის თვითნებური O წერტილის მიმართ. კუთხური იმპულსი Lz არ არის დამოკიდებული O წერტილის პოზიციაზე z ღერძზე.

როდესაც აბსოლუტურად ხისტი სხეული ბრუნავს ფიქსირებული z ღერძის გარშემო, სხეულის თითოეული წერტილი მოძრაობს მუდმივი რი რადიუსის წრის გასწვრივ vi სიჩქარით. სიჩქარე vi და იმპულსი mivi პერპენდიკულარულია ამ რადიუსზე, ანუ რადიუსი არის ვექტორული mivi-ს მკლავი. ასე რომ, შეგვიძლია დავწეროთ, რომ ცალკეული ნაწილაკების კუთხური იმპულსი არის

და მიმართულია ღერძის გასწვრივ მარჯვენა ხრახნის წესით განსაზღვრული მიმართულებით.

ხისტი სხეულის იმპულსი ღერძთან მიმართებაში არის ცალკეული ნაწილაკების იმპულსის ჯამი:

ფორმულის გამოყენებით vi = ωri, ვიღებთ

ამრიგად, ხისტი სხეულის კუთხური იმპულსი ღერძის გარშემო უდრის სხეულის ინერციის მომენტს იმავე ღერძის გარშემო, გამრავლებული კუთხური სიჩქარით. მოდით განვასხვავოთ განტოლება (2) დროის მიხედვით:

ეს ფორმულა არის ხისტი სხეულის ბრუნვის მოძრაობის დინამიკის განტოლების კიდევ ერთი ფორმა ფიქსირებული ღერძის გარშემო: ხისტი სხეულის კუთხური იმპულსის წარმოებული ღერძის გარშემო უდრის ძალების მომენტს იმავე ღერძის გარშემო.

შეიძლება აჩვენოს, რომ ვექტორული თანასწორობა მოქმედებს

დახურულ სისტემაში გარე ძალების მომენტი არის M = 0 და საიდან

გამოხატულება (4) არის კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონი: დახურული სისტემის კუთხური იმპულსი შენარჩუნებულია, ანუ არ იცვლება დროთა განმავლობაში.

კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონი, ისევე როგორც ენერგიის შენარჩუნების კანონი ბუნების ფუნდამენტური კანონია. იგი ასოცირდება სივრცის სიმეტრიულ თვისებასთან - მის იზოტროპიასთან, ანუ ფიზიკური კანონების უცვლელობასთან მიმართებაში საცნობარო სისტემის კოორდინატთა ღერძების მიმართულების არჩევასთან დაკავშირებით (სივრცეში დახურული სისტემის ბრუნვის მიმართ). ნებისმიერი კუთხე).

აქ ჩვენ ვაჩვენებთ კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონს ჟუკოვსკის სკამზე. სკამზე მჯდომი ადამიანი, რომელიც ბრუნავს ვერტიკალური ღერძის გარშემო და ჰანტელებს უჭირავს გაშლილი ხელებით (ნახ. 2), ბრუნავს გარე მექანიზმით ω1 კუთხური სიჩქარით. თუ ადამიანი ჰანტელებს სხეულს დააჭერს, მაშინ სისტემის ინერციის მომენტი შემცირდება. მაგრამ გარე ძალების მომენტი ნულის ტოლია, სისტემის კუთხური იმპულსი შენარჩუნებულია და ბრუნვის კუთხური სიჩქარე ω2 იზრდება. ანალოგიურად, ტანმოვარჯიშე, თავზე ხტუნვისას, ხელებს და ფეხებს აახლოვებს სხეულთან, რათა შეამციროს ინერციის მომენტი და ამით გაზარდოს ბრუნვის კუთხური სიჩქარე.

წნევა სითხესა და გაზში.

გაზის მოლეკულები, რომლებიც ახდენენ ქაოტურ, ქაოტურ მოძრაობას, არ არიან შებოჭილი ან უფრო სუსტად შებოჭილი ურთიერთქმედების ძალებით, რის გამოც ისინი თითქმის თავისუფლად მოძრაობენ და, შეჯახების შედეგად, იფანტებიან ყველა მიმართულებით, ავსებენ მათ მთელ მოცულობას. ანუ, გაზის მოცულობა განისაზღვრება გაზის მიერ დაკავებული მოცულობითი ჭურჭლით.

და სითხე, რომელსაც აქვს გარკვეული მოცულობა, იღებს ჭურჭლის ფორმას, რომელშიც ის არის ჩასმული. მაგრამ სითხეებში აირებისგან განსხვავებით, მოლეკულებს შორის საშუალო მანძილი საშუალოდ მუდმივი რჩება, ამიტომ სითხეს აქვს თითქმის უცვლელი მოცულობა.

სითხეებისა და აირების თვისებები ძალიან განსხვავებულია მრავალი თვალსაზრისით, მაგრამ რამდენიმე მექანიკურ მოვლენაში მათი თვისებები განისაზღვრება ერთი და იგივე პარამეტრებით და იდენტური განტოლებით. ამ მიზეზით, ჰიდროაერომექანიკა არის მექანიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს აირებისა და სითხეების წონასწორობასა და მოძრაობას, მათ შორის ურთიერთქმედებას და მათ ირგვლივ მყოფ მყარ სხეულებს შორის, ე.ი. გამოიყენება სითხეებისა და აირების შესწავლის ერთიანი მიდგომა.

მექანიკაში სითხეები და აირები განიხილება მაღალი სიზუსტით, როგორც უწყვეტი, განუწყვეტლივ განაწილებული მათ მიერ დაკავებული სივრცის ნაწილში. გაზებში, სიმკვრივე მნიშვნელოვნად არის დამოკიდებული წნევაზე. გამოცდილებიდან ჩამოყალიბებული. რომ სითხისა და აირის შეკუმშვა ხშირად შეიძლება უგულებელვყოთ და მიზანშეწონილია გამოვიყენოთ ერთი კონცეფცია - სითხის შეკუმშვა - ყველგან ერთნაირი სიმკვრივის სითხე, რომელიც დროთა განმავლობაში არ იცვლება.

ჩვენ მას ვათავსებთ თხელ ფირფიტაში მოსვენებულ მდგომარეობაში, რის შედეგადაც სითხის ნაწილები, რომლებიც მდებარეობს ფირფიტის მოპირდაპირე მხარეს, იმოქმედებს მის თითოეულ ელემენტზე ΔS ძალებით ΔF, რომელიც ტოლი იქნება აბსოლუტური მნიშვნელობით და მიმართულია ადგილის პერპენდიკულარულად. ΔS, განურჩევლად უბნის ორიენტაციისა, წინააღმდეგ შემთხვევაში ტანგენციალური ძალების არსებობა სითხის ნაწილაკებს მოძრაობაში აყენებს (ნახ. 1).

სითხის (ან აირის) მხრიდან მოქმედი ნორმალური ძალით განსაზღვრულ ფიზიკურ რაოდენობას ერთეულ ფართობზე ეწოდება წნევა p/თხევადი (ან აირი): p=ΔF/ΔS.

წნევის ერთეული არის პასკალი (Pa): 1 Pa უდრის წნევას, რომელიც წარმოიქმნება 1 N ძალით, რომელიც თანაბრად ნაწილდება მის ნორმალურ 1 მ2 ზედაპირზე (1 Pa = 1 N/m2).

სითხეების (აირების) წონასწორობის დროს წნევა ემორჩილება პასკალის კანონს: დასვენების დროს სითხის ნებისმიერ ადგილას წნევა ყველა მიმართულებით ერთნაირია და წნევა თანაბრად გადადის მთელ მოცულობაზე, რომელსაც იკავებს სითხე მოსვენებულ მდგომარეობაში.

მოდით გამოვიკვლიოთ სითხის წონის გავლენა სტაციონარული შეუკუმშვადი სითხის შიგნით წნევის განაწილებაზე. როდესაც სითხე წონასწორობაშია, წნევა ნებისმიერი ჰორიზონტალური ხაზის გასწვრივ ყოველთვის ერთნაირია, წინააღმდეგ შემთხვევაში წონასწორობა არ იქნებოდა. ეს ნიშნავს, რომ მოსვენებულ მდგომარეობაში სითხის თავისუფალი ზედაპირი ყოველთვის ჰორიზონტალურია (არ ვითვალისწინებთ სითხის მიზიდულობას ჭურჭლის კედლებით). თუ სითხე შეკუმშვადია, მაშინ სითხის სიმკვრივე დამოუკიდებელია წნევისგან. შემდეგ, თხევადი სვეტის განივი კვეთით S, მისი სიმაღლე h და სიმკვრივე ρ, წონა არის P=ρgSh, ხოლო ქვედა ფუძეზე წნევა არის: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

ანუ წნევა იცვლება წრფივად სიმაღლეზე. წნევა ρgh ეწოდება ჰიდროსტატიკური წნევა.

(1) ფორმულის მიხედვით, სითხის ქვედა ფენებზე წნევის ძალა უფრო დიდი იქნება, ვიდრე ზედაზე, ამიტომ არქიმედეს კანონით განსაზღვრული ძალა მოქმედებს სითხეში (აირში) ჩაძირულ სხეულზე: ზევით მძლავრი. სხეულის მიერ გადაადგილებული სითხის (აირების) წონის ტოლი ძალა: FA = ρgV, სადაც ρ არის სითხის სიმკვრივე, V არის სითხეში ჩაძირული სხეულის მოცულობა.