ჩვენ უკვე ვიცით, რომ $R$ რეალური რიცხვების სიმრავლე იქმნება რაციონალური და ირაციონალური რიცხვებით.

რაციონალური რიცხვები ყოველთვის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ათწილადების სახით (სასრული ან უსასრულო პერიოდული).

ირაციონალური რიცხვები იწერება როგორც უსასრულო, მაგრამ არაგანმეორებადი ათწილადები.

რეალური რიცხვების სიმრავლე $R$ ასევე შეიცავს ელემენტებს $-\infty $ და $+\infty $, რომლისთვისაც უტოლობები $-\infty

განიხილეთ რეალური რიცხვების წარმოდგენის გზები.

საერთო წილადები

ჩვეულებრივი წილადები იწერება ორი ნატურალური რიცხვისა და ჰორიზონტალური წილადი ზოლის გამოყენებით. წილადი ზოლი რეალურად ცვლის გაყოფის ნიშანს. წრფის ქვემოთ რიცხვი არის მნიშვნელი (გამყოფი), წრფის ზემოთ რიცხვი არის მრიცხველი (გამყოფი).

განმარტება

წილადს სათანადო ეწოდება, თუ მისი მრიცხველი მნიშვნელზე ნაკლებია. პირიქით, წილადს უწოდებენ არასწორს, თუ მისი მრიცხველი აღემატება ან ტოლია მის მნიშვნელზე.

ჩვეულებრივი წილადებისთვის არის მარტივი, პრაქტიკულად აშკარა, შედარების წესები ($m$,$n$,$p$ არის ნატურალური რიცხვები):

1. ორი ერთნაირი მნიშვნელის მქონე წილადიდან, უფრო დიდი მრიცხველის მქონე უფრო დიდია, ანუ $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ $m>n$-ისთვის;
2. ერთი და იგივე მრიცხველის მქონე ორი წილადიდან, უფრო მცირე მნიშვნელის მქონე წილადი უფრო დიდია, ანუ $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ $ m-ისთვის
3. სწორი წილადი ყოველთვის ერთზე ნაკლებია; არასწორი წილადი ყოველთვის ერთზე მეტია; წილადი, რომლის მრიცხველიც მნიშვნელის ტოლია, ერთის ტოლია;
4. ნებისმიერი არასწორი წილადი აღემატება ნებისმიერ სათანადო წილადს.

ათწილადი რიცხვები

ათობითი რიცხვის აღნიშვნას (ათწილადი წილადი) აქვს ფორმა: მთელი ნაწილი, ათობითი წერტილი, წილადი ნაწილი. ჩვეულებრივი წილადის ათობითი აღნიშვნა შეიძლება მივიღოთ მრიცხველის „კუთხის“ მნიშვნელზე გაყოფით. ამან შეიძლება გამოიწვიოს სასრული ათობითი წილადი ან უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადი.

განმარტება

წილადის ციფრებს ათწილადი ადგილები ეწოდება. ამ შემთხვევაში ათწილადის შემდეგ პირველ ციფრს ეწოდება მეათედი ციფრი, მეორეს - მეასედის, მესამეს - მეათასედიანი და ა.შ.

მაგალითი 1

ჩვენ განვსაზღვრავთ ათობითი რიცხვის მნიშვნელობას 3.74. ვიღებთ: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

ათობითი რიცხვი შეიძლება დამრგვალდეს. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა მიუთითოთ ციფრი, რომელზედაც შესრულებულია დამრგვალება.

დამრგვალების წესი ასეთია:

1. ამ ციფრის მარჯვნივ ყველა ციფრი შეიცვლება ნულებით (თუ ეს ციფრები ათწილადის წერტილამდეა) ან გაუქმებულია (თუ ეს ციფრები არის ათობითი წერტილის შემდეგ);
2. თუ მოცემული ციფრის შემდეგ პირველი ციფრი 5-ზე ნაკლებია, მაშინ ამ ციფრის ციფრი არ იცვლება;
3. თუ მოცემული ციფრის შემდეგ პირველი ციფრი არის 5 ან მეტი, მაშინ ამ ციფრის ციფრი იზრდება ერთით.

მაგალითი 2

1. დავამრგვალოთ რიცხვი 17302 ათასამდე: 17000.
2. დავამრგვალოთ რიცხვი 17378 უახლოეს ასეულამდე: 17400.
3. დავამრგვალოთ რიცხვი 17378,45 ათეულებამდე: 17380.
4. დავამრგვალოთ რიცხვი 378.91434 მეასედამდე: 378.91.
5. დავამრგვალოთ რიცხვი 378,91534 მეასედამდე: 378,92.

ათობითი რიცხვის გადაქცევა საერთო წილადად.

შემთხვევა 1

ათობითი რიცხვი არის ბოლო ათწილადი.

კონვერტაციის მეთოდი ნაჩვენებია შემდეგ მაგალითში.

მაგალითი 2

გვაქვს: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

შეამცირეთ საერთო მნიშვნელამდე და მიიღეთ:

წილადი შეიძლება შემცირდეს: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

შემთხვევა 2

ათობითი რიცხვი არის უსასრულო განმეორებადი ათწილადი.

ტრანსფორმაციის მეთოდი ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ პერიოდული ათობითი წილადის პერიოდული ნაწილი შეიძლება ჩაითვალოს უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრების ჯამად.

მაგალითი 4

$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. პროგრესიის პირველი წევრია $a=0.74$, პროგრესიის მნიშვნელი არის $q=0.01$.

მაგალითი 5

$0.5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . პროგრესიის პირველი წევრია $a=0.08$, პროგრესიის მნიშვნელი არის $q=0.1$.

უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამი გამოითვლება $s=\frac(a)(1-q) $ ფორმულით, სადაც $a$ არის პირველი წევრი და $q$ არის $ პროგრესიის მნიშვნელი. \მარცხნივ (0

მაგალითი 6

მოდით გადავიყვანოთ უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადი $0,\left(72\right)$ ჩვეულებრივად.

პროგრესიის პირველი წევრია $a=0.72$, პროგრესიის მნიშვნელი არის $q=0.01$. ვიღებთ: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)(99) =\frac(8) ) (11)$. ასე რომ, $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.

მაგალითი 7

მოდით გადავიყვანოთ უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადი $0.5\left(3\right)$ ჩვეულებრივად.

პროგრესიის პირველი წევრია $a=0.03$, პროგრესიის მნიშვნელი არის $q=0.1$. ვიღებთ: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)(90) =\frac(1 ) (30)$.

ასე რომ, $0.5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac(1)(30 ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

რეალური რიცხვები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს რიცხვითი ხაზის წერტილებით.

ამ შემთხვევაში ციფრულ ღერძს ვუწოდებთ უსასრულო სწორ ხაზს, რომელზედაც არჩეულია საწყისი (წერტილი $O$), დადებითი მიმართულება (მითითებულია ისრით) და მასშტაბი (მნიშვნელობების საჩვენებლად).

ყველა რეალურ რიცხვსა და რიცხვითი ღერძის ყველა წერტილს შორის არის ერთი-ერთზე შესაბამისობა: თითოეული წერტილი შეესაბამება ერთ რიცხვს და, პირიქით, თითოეული რიცხვი შეესაბამება ერთ წერტილს. მაშასადამე, ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე არის უწყვეტი და უსასრულო, ისევე როგორც რიცხვითი ღერძი უწყვეტი და უსასრულო.

რეალური რიცხვების სიმრავლის ზოგიერთ ქვეჯგუფს რიცხვითი ინტერვალები ეწოდება. რიცხვითი ინტერვალის ელემენტები არის რიცხვები $x\in R$, რომლებიც აკმაყოფილებენ გარკვეულ უტოლობას. მოდით $a\in R$, $b\in R$ და $a\le b$. ამ შემთხვევაში, ხარვეზების ტიპები შეიძლება იყოს შემდეგი:

1. ინტერვალი $\left(a,\; b\right)$. ამავე დროს $ ა
2. სეგმენტი $\left$. უფრო მეტიც, $a\le x\le b$.
3. ნახევრად სეგმენტები ან ნახევარი ინტერვალები $\left$. ამავე დროს $ a \le x
4. უსასრულო დიაპაზონი, მაგ. $a

დიდი მნიშვნელობა აქვს ასევე ერთგვარ ინტერვალს, რომელსაც წერტილის მეზობლობას უწოდებენ. მოცემული $x_(0) წერტილის მეზობლობა \in R$ არის თვითნებური ინტერვალი $\left(a,\; b\right)$, რომელიც შეიცავს ამ წერტილს თავის შიგნით, ანუ $a 0$ - მე-10 რადიუსი.

რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა

$x$ რეალური რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა (ან მოდული) არის არაუარყოფითი რეალური რიცხვი $\left|x\right|$, რომელიც განისაზღვრება ფორმულით: $\left|x\right|=\left\(\ დასაწყისი (მასივი) (გ) (\; \; x\; \; (\rm ჩართულია)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm ჩართულია)\; \; x

გეომეტრიულად, $\left|x\right|$ ნიშნავს მანძილს $x$-სა და 0-ს შორის რეალურ ღერძზე.

აბსოლუტური სიდიდეების თვისებები:

1. განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
2. ჯამის მოდულისთვის და ორი რიცხვის სხვაობის მოდულისთვის უტოლობები $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ მარცხენა|x-y\მარჯვნივ|\le \მარცხნივ|x\მარჯვნივ|+\მარცხნივ|y\მარჯვნივ|$ და ასევე $\მარცხნივ|x+y\მარჯვნივ|\ge \მარცხნივ|x\მარჯვნივ|-\მარცხნივ|y \მარჯვნივ|$,$\ მარცხენა|x-y\right|\ge \მარცხნივ|x\მარჯვნივ|-\მარცხნივ|y\მარჯვნივ|$;
3. ნამრავლის მოდული და ორი რიცხვის კოეფიციენტის მოდული აკმაყოფილებს $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ და $\left |\frac(x)(y) \მარჯვნივ|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

$a>0$ თვითნებური რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობის განსაზღვრაზე დაყრდნობით, ასევე შეიძლება დავადგინოთ შემდეგი წყვილი უტოლობების ეკვივალენტობა:

1. თუ $ \მარცხნივ|x\მარჯვნივ|
2. თუ $\left|x\right|\le a$ მაშინ $-a\le x\le a$;
3. თუ $\left|x\right|>a$ მაშინ ან $xa$;
4. თუ $\left|x\right|\ge a$, მაშინ ან $x\le -a$ ან $x\ge a$.

მაგალითი 8

ამოხსენით უტოლობა $\left|2\cdot x+1\right|

ეს უტოლობა უდრის $-7 უტოლობას

აქედან ვიღებთ: -8$

განმარტება 1. რიცხვითი ღერძი სწორ ხაზს უწოდებენ მასზე არჩეული საწყისის, მასშტაბისა და მიმართულების მიხედვით.

თეორემა 1. რიცხვითი ღერძის წერტილებსა და რეალურ რიცხვებს შორის არის ერთი-ერთზე შესაბამისობა (ბიექცია).

საჭიროება.ვაჩვენოთ, რომ რიცხვითი ღერძის თითოეული წერტილი შეესაბამება რეალურ რიცხვს. ამისათვის გამოყავით ერთეული სიგრძის მასშტაბის სეგმენტი

ჯერ ასე რომ წერტილი წერტილის მარცხნივ დაიწვება და წერტილი
უკვე მარჯვნივ. შემდეგი სეგმენტი
გაყოფა
ნაწილები და გამოვყოთ სეგმენტი და ჯერ ასე რომ წერტილი წერტილის მარცხნივ დაიწვება და წერტილი
უკვე მარჯვნივ. ამრიგად, თითოეულ ეტაპზე, რიცხვი
,
… თუ ეს პროცედურა რაიმე ეტაპზე დასრულდება, ჩვენ მივიღებთ ნომერს
(წერტილის კოორდინატი რიცხვთა ხაზზე). თუ არა, მაშინ ჩვენ ვუწოდებთ ნებისმიერი ინტერვალის მარცხენა საზღვარს "ნომერს მინუსით“, ხოლო სწორი - „ნომერი ჭარბად“, ანუ „რიცხვის მიახლოება დეფიციტით ან სიჭარბით, ”და თავად რიცხვი იქნება უსასრულო არაპერიოდული (რატომ?) ათობითი წილადი. შეიძლება აჩვენოს, რომ ყველა ოპერაცია ირაციონალური რიცხვის რაციონალური მიახლოებით ცალსახად არის განსაზღვრული.

ადეკვატურობა.ვაჩვენოთ, რომ ნებისმიერი რეალური რიცხვი შეესაბამება რიცხვის ღერძის ერთ წერტილს. 

განმარტება 2. Თუ
, შემდეგ რიცხვის ინტერვალი
დაურეკასეგმენტი , თუ
, შემდეგ რიცხვის ინტერვალი დაურეკაინტერვალი , თუ
, შემდეგ რიცხვის ინტერვალი
დაურეკანახევარი ინტერვალი .

ო
განმარტება 3. თუ სეგმენტი
წყობილი სეგმენტები ისე, რომ
, ა
, მაშინ ასეთ სისტემას ეწოდება SHS (წყობილი სეგმენტის სისტემა ).

განმარტება 4. ამას ამბობენ

(სეგმენტის სიგრძე
მიდრეკილია ნულისკენ , იმ პირობით, რომ
), თუ.

განმარტება 5. SVS, რომელიც
ეწოდება SSS (სეგმენტების კონტრაქტის სისტემა).

კანტორ-დედეკინდის აქსიომა: ნებისმიერ SHS-ში არის მინიმუმ ერთი წერტილი, რომელიც ეკუთვნის ყველა მათგანს ერთდროულად.

რიცხვის რაციონალური მიახლოებით შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შეკუმშვის სეგმენტების სისტემით, შემდეგ რაციონალური რიცხვით შეესაბამება რიცხვითი ღერძის ერთ წერტილს, თუ სეგმენტების შეკუმშვის სისტემაში არის ერთი წერტილი, რომელიც ეკუთვნის ყველა მათგანს ერთდროულად ( კანტორის თეორემა). მოდით ვაჩვენოთ ეს პირიქით.

. დაე იყოს და ორი ასეთი წერტილი და
,
. თ
კარგი როგორ,
, მაშინ
. მაგრამ მეორე მხარეს,
და ისინი. რაღაც რიცხვიდან დაწყებული
,
ნებისმიერ მუდმივზე ნაკლები იქნება. ეს წინააღმდეგობა ადასტურებს იმას, რაც საჭიროა. ■

ამრიგად, ჩვენ ვაჩვენეთ, რომ რიცხვითი ღერძი უწყვეტია (არ აქვს „ხვრელები“) და მასზე მეტი რიცხვის განთავსება შეუძლებელია. თუმცა, ჩვენ ჯერ კიდევ არ ვიცით როგორ გამოვყოთ ფესვები ნებისმიერი რეალური რიცხვებიდან (კერძოდ, უარყოფითიდან) და არ ვიცით როგორ ამოხსნათ განტოლებები, როგორიცაა
. მე-5 ნაწილში ჩვენ განვიხილავთ ამ პრობლემის გადაჭრას.

3. 4. სახეების თეორია

განმარტება 1. Რამოდენიმე
შემოიფარგლება ზემოდან (ქვემოდან ) თუ არის ნომერი , ისეთივე როგორც
. ნომერი დაურეკაზედა (ქვედა ) ზღვარი .

განმარტება 2. Რამოდენიმეშეზღუდული თუ იგი შემოსაზღვრულია როგორც ზემოთ, ასევე ქვემოდან.

განმარტება 3. ზუსტი ზედა ზღვარი რეალური რიცხვების ზედა შემოსაზღვრული სიმრავლე
დაურეკა :

(ისინი. - ერთ-ერთი ზედა სახე);

(ისინი. - უძრავი).

კომენტარი. რიცხვების ნაკრების დიდი ზედა ზღვარი (TSB).
აღინიშნა
(ლათ. უმაღლესი- ყველაზე პატარა).

კომენტარი. TNG-ის შესაბამისი განმარტება ( ზუსტი ქვედა კიდე) მიეცი საკუთარი თავი. TNG ნომრის ნაკრები
აღინიშნა
(ლათ. infinum- ყველაზე პატარა ყველაზე დიდი).

კომენტარი. შეიძლება ეკუთვნოდეს
, ან იქნებ არა. ნომერი არის უარყოფითი რეალური რიცხვების სიმრავლის TNG და დადებითი რეალური რიცხვების სიმრავლის TNG, მაგრამ არ ეკუთვნის არც ერთს და არც მეორეს. ნომერი არის ნატურალური რიცხვების სიმრავლის TNG და ეხება მათ.

ჩნდება კითხვა: აქვს თუ არა რომელიმე შემოსაზღვრულ სიმრავლეს ზუსტი საზღვრები და რამდენია?

თეორემა 1. ზემოდან შემოსაზღვრული რეალური რიცხვების ნებისმიერ ცარიელ კომპლექტს აქვს უნიკალური TVG. (ასევე, ჩამოაყალიბეთ და დამოუკიდებლად დაამტკიცეთ TNG თეორემა).

დიზაინი.Რამოდენიმე
ზემოდან შემოსაზღვრული რეალური რიცხვების არა ცარიელი ნაკრები. მერე
და
. გაყავით სეგმენტი

პ
ბოძები და მას სეგმენტი უწოდეს
რომელსაც აქვს შემდეგი თვისებები:

ხაზის სეგმენტი
შეიცავს მინიმუმ ერთ პუნქტს
. (მაგალითად, წერტილი );

მთელი ნაკრები
დევს წერტილის მარცხნივ , ე.ი.
.

ამ პროცედურის გაგრძელებით, ჩვენ ვიღებთ CCC
. ამრიგად, კანტორის თეორემით, არსებობს უნიკალური წერტილი , ეკუთვნის ყველა სეგმენტს ერთდროულად. მოდით ვაჩვენოთ ეს
.

მოდით ვაჩვენოთ ეს
(ისინი. ერთ-ერთი კიდე). დავუშვათ, რომ პირიქით
. როგორც
, მაშინ
ერთხელ
,
, ე.ი.
, ე.ი.
. ქულების შერჩევის წესის მიხედვით
, წერტილი ყოველთვის მარცხნივ , ე.ი.
მაშასადამე და
. მაგრამ არჩეულია ისე, რომ ყველა
, ა
, ე.ი. და
. ეს წინააღმდეგობა ადასტურებს თეორემის ამ ნაწილს.

ვაჩვენოთ უძრავობა , ე.ი.
. გამოვასწოროთ
და იპოვნეთ ნომერი. მიხედვით
სეგმენტების არჩევის წესით 1. ჩვენ ეს ახლახან ვაჩვენეთ
, ე.ი.
, ან
. ამგვარად
, ან
. ■

ღერძი არის სწორი ხაზი, რომელზეც ორი შესაძლო მიმართულებიდან ერთ-ერთი ხაზგასმულია, როგორც დადებითი (საპირისპირო მიმართულება ითვლება უარყოფითად). დადებითი მიმართულება ჩვეულებრივ მითითებულია ისრით. რიცხვითი (ან კოორდინატის) ღერძი არის ღერძი, რომელზედაც არჩეულია საწყისი წერტილი (ან საწყისი) O და მასშტაბის ერთეული ან მასშტაბის სეგმენტი OE (ნახ. 1).

ამრიგად, რიცხვითი ღერძი მოცემულია პირდაპირი მიმართულების, წარმოშობისა და მასშტაბის მითითებით.

რიცხვთა ხაზის წერტილები წარმოადგენს რეალურ რიცხვებს. მთელი რიცხვები წარმოდგენილია წერტილებით, რომლებიც მიიღება სკალის სეგმენტის საჭირო რაოდენობის გათიშვით O-ს დასაწყისიდან მარჯვნივ დადებითი მთელი რიცხვის შემთხვევაში და მარცხნივ უარყოფითი რიცხვის შემთხვევაში. ნული წარმოდგენილია საწყისი წერტილით O (ასო O თავისთავად ნულს მოგაგონებთ; ეს არის სიტყვის ორიგოს პირველი ასო, რაც ნიშნავს „დასაწყისს“). წილადი (რაციონალური) რიცხვები ასევე უბრალოდ წარმოდგენილია ღერძის წერტილებით; მაგალითად, რიცხვის შესაბამისი წერტილის ასაგებად, სამი მასშტაბის სეგმენტი და მასშტაბის სეგმენტის ერთი მესამედი უნდა განთავსდეს O-დან მარცხნივ (პუნქტი A ნახ. 1-ში). A წერტილის გარდა ნახ. 1 აჩვენებს მეტ წერტილს B, C, D, რომლებიც წარმოადგენს რიცხვებს -2, შესაბამისად; 3/2; 4.

არსებობს მთელი რიცხვების უსასრულო რაოდენობა, მაგრამ რიცხვით ღერძზე მთელი რიცხვები წარმოდგენილია "იშვიათად" მდებარე წერტილებით, ღერძის მთელი რიცხვი გამოყოფილია მეზობლებისგან მასშტაბის ერთეულით. რაციონალური წერტილები განლაგებულია ღერძზე ძალიან "მჭიდროდ" - ადვილია იმის ჩვენება, რომ ღერძის ნებისმიერ თვითნებურად მცირე მონაკვეთზე არის უსასრულოდ ბევრი წერტილი რაციონალური რიცხვების გამომხატველი. თუმცა, რიცხვთა წრფეზე არის წერტილები, რომლებიც არ არის რაციონალური რიცხვების გამოსახულებები. ასე რომ, თუ თქვენ ააგებთ OA სეგმენტს რეალურ ღერძზე, რომელიც ტოლია OEC მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზას OS-ს, მაშინ ამ სეგმენტის სიგრძე (პითაგორას თეორემის მიხედვით, გვ. 216) ტოლი იქნება და A წერტილი იქნება. არ იყოს რაციონალური რიცხვის გამოსახულება.

ისტორიულად, სწორედ სეგმენტების არსებობის ფაქტმა, რომელთა სიგრძე რიცხვით (რაციონალური რიცხვით!) ვერ გამოისახება, განაპირობა ირაციონალური რიცხვების შემოღება.

ირაციონალური რიცხვების შემოღება, რომლებიც რაციონალურ რიცხვებთან ერთად ქმნიან ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლეს, მივყავართ იმ ფაქტს, რომ რიცხვითი ღერძის თითოეული წერტილი შეესაბამება ერთ რეალურ რიცხვს, რომლის გამოსახულებას ის ემსახურება. პირიქით, თითოეული რეალური რიცხვი წარმოდგენილია რიცხვითი ღერძის კარგად განსაზღვრული წერტილით. მყარდება ერთი-ერთზე შესაბამისობა რიცხვითი ღერძის რეალურ რიცხვებსა და წერტილებს შორის.

ვინაიდან რიცხვთა ღერძი მიგვაჩნია უწყვეტ წრფედ და მისი წერტილები ერთ-ერთ შესაბამისობაშია რეალურ რიცხვებთან, საუბარია ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლის უწყვეტობის თვისებაზე (პუნქტი 6).

ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ, რომ გარკვეული გაგებით (ჩვენ არ ვაკონკრეტებთ) შეუდარებლად მეტი ირაციონალური რიცხვებია, ვიდრე რაციონალური.

რიცხვს, რომელიც წარმოდგენილია რიცხვითი ღერძის A წერტილით, ამ წერტილის კოორდინატი ეწოდება; ის, რომ a არის A წერტილის კოორდინატი, იწერება შემდეგნაირად: A (a). ნებისმიერი A წერტილის კოორდინატი გამოიხატება, როგორც OA სეგმენტის OA / OE თანაფარდობა OE მასშტაბის სეგმენტთან, რომელსაც O-ს დასაწყისიდან უარყოფითი მიმართულებით მდებარე წერტილებისთვის ენიჭება მინუს ნიშანი.

ახლა ჩვენ წარმოგიდგენთ მართკუთხა დეკარტის კოორდინატებს სიბრტყეზე. ავიღოთ ორი ურთიერთ პერპენდიკულარული რიცხვითი ღერძი Ox და Oy, რომლებსაც აქვთ საერთო საწყისი O და თანაბარი მასშტაბის სეგმენტები (პრაქტიკაში ხშირად გამოიყენება საკოორდინაციო ღერძები სხვადასხვა მასშტაბის ერთეულებით). ვთქვათ, რომ ეს ღერძები (სურ. 3) ქმნიან სიბრტყეზე დეკარტის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემას. O წერტილს კოორდინატების საწყისი ეწოდება, Ox და Oy ღერძი არის კოორდინატთა ღერძი (Ox ღერძს ეწოდება აბსცისის ღერძი, Oy ღერძი არის ორდინატთა ღერძი). ნახ. 3, როგორც ყოველთვის, აბსციზა ჰორიზონტალურია, y-ღერძი ვერტიკალურია. სიბრტყეს, რომელზეც მოცემულია კოორდინატთა სისტემა, ეწოდება კოორდინატთა სიბრტყე.

სიბრტყის თითოეულ წერტილს ენიჭება რიცხვების წყვილი - ამ წერტილის კოორდინატები მოცემულ კოორდინატულ სისტემასთან შედარებით. კერძოდ, ვიღებთ M წერტილის მართკუთხა პროექციას Ox და Oy ღერძებზე, შესაბამისი წერტილები Ox, Oy ღერძებზე მითითებულია ნახ. 3-მდე

წერტილს აქვს, როგორც რიცხვითი ღერძის წერტილი, კოორდინატი (აბსციზა) x, წერტილი, როგორც რიცხვითი ღერძის წერტილი, კოორდინატი (ორდინატი) y. ამ ორ რიცხვს y (იწერება მითითებული თანმიმდევრობით) M წერტილის კოორდინატები ეწოდება.

ამავე დროს წერენ: (x, y).

ასე რომ, სიბრტყის თითოეულ წერტილს ენიჭება რეალური რიცხვების მოწესრიგებული წყვილი (x, y) - ამ წერტილის დეკარტის მართკუთხა კოორდინატები. ტერმინი „მოწესრიგებული წყვილი“ მიუთითებს იმაზე, რომ უნდა განვასხვავოთ წყვილის პირველი რიცხვი - აბსცისა და მეორე - ორდინატი. პირიქით, რიცხვების თითოეული წყვილი (x, y) განსაზღვრავს ერთ წერტილს M, რომლის x არის აბსცისა და y არის ორდინატი. სიბრტყეში მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის დაყენება ადგენს ერთ-ერთ შესაბამისობას სიბრტყის წერტილებსა და რეალური რიცხვების მოწესრიგებულ წყვილებს შორის.

კოორდინატთა ღერძები კოორდინატულ სიბრტყეს ყოფს ოთხ ნაწილად, ოთხ კვადრატად. კვადრატები დანომრილია, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 3, რომაული ციფრებით.

წერტილის კოორდინატების ნიშნები დამოკიდებულია იმაზე, თუ რომელ კვადრატშია ის, როგორც ეს ნაჩვენებია შემდეგ ცხრილში:

ღერძზე მდებარე წერტილებს აქვთ y ორდინატი ნულის ტოლი, Oy ღერძის წერტილებს აქვთ ნულის ტოლი აბსციზა. O საწყისის ორივე კოორდინატი ნულის ტოლია: .

მაგალითი 1. ააგეთ წერტილები სიბრტყეზე

გამოსავალი მოცემულია ნახ. 4.

თუ გარკვეული წერტილის კოორდინატები ცნობილია, მაშინ ადვილია მასთან სიმეტრიული წერტილების კოორდინატების მითითება Ox, Oy ღერძებისა და საწყისის შესახებ: M-ის სიმეტრიულ წერტილს Ox ღერძის მიმართ ექნება a-ს კოორდინატები. წერტილი სიმეტრიულია M-თან კოორდინატთან დაკავშირებით, ბოლოს და ბოლოს, წერტილში, რომელიც სიმეტრიულია M-სთან საწყისთან მიმართებაში, კოორდინატები იქნება (-x, -y).

ასევე შეგიძლიათ მიუთითოთ წყვილი წერტილის კოორდინატებს შორის მიმართება, რომლებიც სიმეტრიულია კოორდინატთა კუთხეების ბისექტრის მიმართ (ნახ. 5); თუ ამ წერტილებიდან M-ს აქვს x და y კოორდინატები, მაშინ მეორე აბსცისის y უდრის პირველი წერტილის ორდინატს, ხოლო ორდინატი არის პირველი წერტილის აბსცისა.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, N წერტილის კოორდინატები, M-თან სიმეტრიული კოორდინატთა კუთხეების ბისექტრის მიმართ, იქნება ამ პოზიციის დასამტკიცებლად, განიხილეთ მართკუთხა სამკუთხედები O AM და OBN. ისინი განლაგებულია სიმეტრიულად კოორდინატთა კუთხის ბისექტრის მიმართ და ამიტომ ტოლია. მათი შესაბამისი ფეხების შედარება, ჩვენ გადავამოწმებთ ჩვენი განცხადების სისწორეს.

დეკარტის მართკუთხა კოორდინატების სისტემა შეიძლება გარდაიქმნას მისი საწყისი O გადაადგილებით ახალ O წერტილში ღერძების მიმართულებისა და მასშტაბის სეგმენტის ზომის შეცვლის გარეშე. ნახ. სურათი 6 გვიჩვენებს ერთდროულად ორ კოორდინატულ სისტემას: "ძველი" საწყისი O და "ახალი" საწყისი O. თვითნებურ წერტილს M ახლა აქვს ორი წყვილი კოორდინატი, ერთი შედარებით ძველ კოორდინატულ სისტემასთან. მეორე ნათესავი ახალთან. თუ ძველ სისტემაში ახალი საწყისის კოორდინატები აღინიშნა -ით, მაშინ M წერტილის ძველ კოორდინატებსა და მის ახალ კოორდინატებს შორის (x, y) კავშირი გამოიხატება ფორმულებით.

ამ ფორმულებს უწოდებენ კოორდინატთა სისტემის გადაცემის ფორმულებს; როდესაც ისინი ნაჩვენებია ნახ. 6, არჩეულია M წერტილის ყველაზე მოსახერხებელი პოზიცია, რომელიც დევს როგორც ძველი, ისე ახალი სისტემების პირველ კვადრატში.

ჩანს, რომ ფორმულები (8.1) მოქმედებს M წერტილის ნებისმიერ ადგილას.

M წერტილის მდებარეობა სიბრტყეზე შეიძლება განისაზღვროს არა მხოლოდ მისი დეკარტის მართკუთხა კოორდინატებით y, არამედ სხვა გზებითაც. დავუკავშიროთ, მაგალითად, M წერტილი O საწყისთან (ნახ. 7) და განვიხილოთ შემდეგი ორი რიცხვი: სეგმენტის სიგრძე და ამ სეგმენტის დახრილობის კუთხე ღერძის დადებით მიმართულებასთან; , თუ ბრუნვა არის საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, წინააღმდეგ შემთხვევაში უარყოფითი, როგორც ეს ჩვეულებრივ ტრიგონომეტრიაშია. სეგმენტს ეწოდება M წერტილის პოლარული რადიუსი, კუთხე არის პოლარული კუთხე, რიცხვების წყვილი არის M წერტილის პოლარული კოორდინატები. როგორც ხედავთ. , წერტილის პოლარული კოორდინატების დასადგენად, თქვენ უნდა მიუთითოთ მხოლოდ ერთი კოორდინატთა ღერძი Ox (ამ შემთხვევაში პოლარული ღერძი ეწოდება). თუმცა, მოსახერხებელია ერთდროულად განვიხილოთ როგორც პოლარული, ასევე დეკარტის მართკუთხა კოორდინატები, როგორც ეს კეთდება ნახ. 7.

წერტილის პოლარული კუთხე ორაზროვნად განისაზღვრება წერტილის მითითებით: თუ წერტილის ერთ-ერთი პოლარული კუთხეა, მაშინ ნებისმიერი კუთხე.

იქნება მისი პოლარული კუთხე. პოლარული რადიუსისა და კუთხის დაზუსტება უნიკალური გზით განსაზღვრავს წერტილის პოზიციას. საწყისი O (ე.წ. პოლარული კოორდინატთა სისტემის პოლუსს) აქვს რადიუსი ტოლი ნულისა, O წერტილისთვის განსაზღვრული პოლარული კუთხე არ არის მინიჭებული.

წერტილის დეკარტიულ და პოლარულ კოორდინატებს შორის არსებობს შემდეგი მიმართებები:

პირდაპირ გამომდინარეობს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განსაზღვრებიდან (სექ. 97). ეს ურთიერთობები შესაძლებელს ხდის დეკარტის კოორდინატების პოვნა მოცემული პოლარული კოორდინატებიდან. შემდეგი ფორმულები:

შებრუნებული ამოცანის ამოხსნის საშუალებას იძლევა: წერტილის მოცემული დეკარტის კოორდინატების გამოყენებით იპოვე მისი პოლარული კოორდინატები.

ამ შემთხვევაში, მნიშვნელობით (ან), შეგიძლიათ იპოვოთ კუთხის ორი შესაძლო მნიშვნელობა პირველ წრეში; ერთ-ერთ მათგანს ირჩევს ნიშნის კოეფიციენტი. თქვენ ასევე შეგიძლიათ განსაზღვროთ კუთხე მისი ტანგენტით: , მაგრამ ამ შემთხვევაში, მეოთხედი, რომელშიც დევს, მითითებულია ნიშნის კოეფიციენტით ან .

წერტილი, რომელიც მოცემულია მისი პოლარული კოორდინატებით, აგებულია (დეკარტის კოორდინატების გამოთვლის გარეშე) მისი პოლარული კუთხით და რადიუსით.

მაგალითი 2. იპოვეთ წერტილების დეკარტის კოორდინატები.

2 პირველი ხარისხის განტოლებები და უტოლობა
თემის შესწავლა დაიწყეთ 1-ლი თავიდან გამეორების ამოცანების ამოხსნით

§ 4. უთანასწორობა

რიცხვითი უტოლობები და მათი თვისებები

175. ციფრებს შორის დაუსვით უტოლობის ნიშანი ადა ბთუ ცნობილია, რომ:
1) (ა - ბ) დადებითი რიცხვია;
2) (ა - ბ) - უარყოფითი რიცხვი;
3) (ა - ბ) არის არაუარყოფითი რიცხვი.

176. X, თუ:
1) X> 0; 2) X < 0; 3) 1 < X; 4) X > -3,2?

177. დაწერეთ უთანასწორობის ნიშნების გამოყენებით:
1) X- დადებითი რიცხვი;
2) ზე- უარყოფითი რიცხვი;
3) | ა| - არაუარყოფითი რიცხვი;
4) ორი დადებითი რიცხვის საშუალო არითმეტიკული ადა ბარანაკლებ მათი გეომეტრიული საშუალოზე;
5) ორი რაციონალური რიცხვის ჯამის აბსოლუტური მნიშვნელობა ადა ბარაუმეტეს ტერმინთა აბსოლუტური მნიშვნელობების ჯამი.

178. რა შეიძლება ითქვას რიცხვების ნიშნებზე ადა ბ, თუ:

1) ბ> 0; 2) ა / ბ > 0; 3) ბ< 0; 4) ა / ბ < 0?

179. 1) დაალაგეთ შემდეგი რიცხვები ზრდის მიხედვით, დააკავშირეთ ისინი უტოლობის ნიშნით: 0; -5; 2. როგორ წავიკითხოთ ეს ჩანაწერი?

2) დაალაგეთ შემდეგი რიცხვები კლებადობით, დააკავშირეთ ისინი უტოლობის ნიშნით: -10; 0.1;-2/3. როგორ წავიკითხოთ ეს ჩანაწერი?

180. ზრდადი თანმიმდევრობით ჩამოწერეთ ყველა სამნიშნა რიცხვი, რომელთაგან თითოეული შეიცავს რიცხვებს 2; 0; 5 და დააკავშირეთ ისინი უთანასწორობის ნიშნით.

181. 1) გარკვეული სიგრძის ერთხელ გაზომვისას ლაღმოჩნდა, რომ ის 217 სმ-ზე მეტია, მაგრამ 218 სმ-ზე ნაკლები. ჩაწერეთ გაზომვის შედეგი, აიღეთ ეს რიცხვები, როგორც სიგრძის მნიშვნელობის საზღვრები. ლ.

2) საგნის აწონვისას აღმოჩნდა, რომ ის 19,5 გ-ზე მძიმეა, მაგრამ 20,0 გ-ზე მსუბუქია. ჩაწერეთ აწონვის შედეგი საზღვრების მითითებით.

182. 0,05 კგ სიზუსტით საგნის აწონვისას მივიღეთ წონა
Р ≈ 26,4 კგ. მიუთითეთ ამ ნივთის წონის ლიმიტები.

183. სადაც რიცხვთა წრფეზე დევს რიცხვის გამომსახველი წერტილი X, თუ:
1) 3 < X < 10; 2) - 2 < X < 7; 3) - 1 > X > - 6?

184. იპოვნეთ და მიუთითეთ რიცხვების ღერძზე მთელი მნიშვნელობები X, უთანასწორობების დაკმაყოფილება.

1) 0,2 < X <4;
2)-3 < X <2;
3) 1 / 2 < X< 5;
4) -1< X<;3.

185. რა არის 9-ის ჯერადი 141-სა და 152-ს შორის? მიეცით ილუსტრაცია ციფრულ ხაზზე.

186. დაადგინეთ ორი რიცხვიდან რომელია მეტი, თუ ცნობილია, რომ თითოეული მათგანი 103-ზე მეტია და 115-ზე ნაკლები, ხოლო პირველი რიცხვი 13-ის ნამრავლია, მეორე კი 3-ის ნამრავლი. მიეცით გეომეტრიული ილუსტრაცია.

187. რომელია უახლოესი მთელი რიცხვები შესაბამის წილადებს შორის? შესაძლებელია თუ არა ორი მთელი რიცხვის დაზუსტება, რომელთა შორისაა ყველა არასწორი წილადი?

188. ვიყიდე 6 წიგნი მათემატიკაზე, ფიზიკაზე და ისტორიაზე. რამდენი წიგნი იყიდა თითოეულ საგანში, თუ მათემატიკაში უფრო მეტი წიგნი იყიდა, ვიდრე ისტორიაში და ნაკლები ფიზიკაში, ვიდრე ისტორიაში?

189. ალგებრის გაკვეთილზე სამი მოსწავლის ცოდნა შემოწმდა. რა შეფასება მიიღო თითოეულმა მოსწავლემ, თუ ცნობილია, რომ პირველმა მეორეზე მეტი მიიღო, ხოლო მეორემ მესამეზე მეტი და თითოეული მოსწავლის მიერ მიღებული ქულების რაოდენობა ორზე მეტია?

190. საჭადრაკო ტურნირში საუკეთესო შედეგს მიაღწიეს მოჭადრაკეებმა A, B, C და D. შესაძლებელია თუ არა იმის გარკვევა, თუ რა ადგილი დაიკავა ტურნირის თითოეულმა მონაწილემ, თუ ცნობილია, რომ A-მ D-ზე მეტი ქულა დააგროვა, ხოლო B-მ ნაკლები. ვიდრე C?

191. უთანასწორობის გათვალისწინებით a > b. ხომ ყოველთვის a c > b c? მიეცით მაგალითები.

192. უთანასწორობის გათვალისწინებით ა< ბ. სწორია თუ არა უტოლობა? ა > - ბ?

193. შესაძლებელია თუ არა უთანასწორობის ნიშნის შეცვლის გარეშე მისი ორივე ნაწილის გამრავლება გამოსახულებით X 2 + 1, სადაც X- რაიმე რაციონალური რიცხვი?

194. გაამრავლეთ უტოლობის ორივე მხარე ფრჩხილებში მოცემულ ფაქტორზე.

1)-3 < 1 (5); 2) 2 < 5 (-1); 3) X > 2 (X);
4) ა < - 1 (ა); 5) ბ < - 3 (-ბ); 6)X -2 > 1 (X).

195. მიიყვანეთ უთანასწორობის მთელ ფორმამდე:

196. მოცემული ფუნქცია y = kx, სად კ ზემზარდი არგუმენტით Xთუ: 1) კ> 0; 2) კ < 0? Обосновать ответы.

197. მოცემული ფუნქცია y = kx + b, სად კ =/= 0, ბ=/= 0. როგორ იცვლება ფუნქციის მნიშვნელობები ზეარგუმენტის მნიშვნელობების კლებით Xთუ: 1) კ > 0; 2) კ < 0? Обосновать ответы.

198. დაამტკიცეთ, რომ თუ a > bდა თან> 0, მაშინ ა / გ > ბ / გ; თუ a > bდა თან< 0, то ა / გ < ბ / გ .

199. უტოლობის ორივე მხარე გაყავით ფრჩხილებში მოცემულ რიცხვებზე:

1) - 6 < 3 (1 / 3); 2) 4 > -1,5 (-1); 3) ა < - 2ა 2 (ა);
4) ა > ა 2 (ა); 5) ა 3 > ა 2 (-ა).

200. დაუმატეთ ტერმინით უტოლობები:

1) 12 > 11 და 1 > -3;
2) -5 < 2 и 4 < 8,2;
3) ა - 2 < 8 + ბდა 5-2 ა < 2 - ბ;
4) X 2 + 1 > 2Xდა X - 3 < 9 - X 2 .

201. დაამტკიცეთ, რომ ამოზნექილი ოთხკუთხედის თითოეული დიაგონალი მის ნახევარპერიმეტრზე ნაკლებია.

202. დაამტკიცეთ, რომ ამოზნექილი ოთხკუთხედის ორი მოპირდაპირე გვერდის ჯამი ნაკლებია მისი დიაგონალების ჯამზე.

203. გამოვაკლოთ ტერმინით მეორე უტოლობა პირველს:

1)5 > 2; -3 < 1;
2) 0,2 < 3; 0,3 > -2;
3) 7 < 11; -4 < -3;
4) 2ა- 1 > 3ბ; 2ბ > 3.

204. დაამტკიცეთ, რომ თუ | x |< а , შემდეგ - ა< х < а .

205. დაწერეთ შემდეგი უტოლობა ორმაგ უტოლობად:
1) | ტ |< 1; 2) | X - 2 | < 2.

206. რიცხვთა ღერძზე მიუთითეთ ყველა მნიშვნელობის ნაკრები Xუტოლობების დაკმაყოფილება: 1) | X |< 2; 2) | X | < 1; 3) | X | > 3; 4) | X - 1 | < 1.

207. დაამტკიცე, რომ თუ - ა< х < а , შემდეგ | x |< ა.

208. შეცვალეთ ორმაგი უტოლობები შემოკლებული აღნიშვნით:
1) -2 < ა < 2; 2) -1 < 2პ < 1; 3) 1 < x < 3.

209. სავარაუდო სიგრძე ლ= 24,08 (±0,01) მმ. სიგრძის ლიმიტების დაყენება ლ.

210. ერთი და იგივე მანძილის ხუთჯერ გაზომვამ მრიცხველის სახაზავი მისცა შემდეგი შედეგები: 21,56; 21.60; 21.59; 21.55; 21.61 (მ). იპოვეთ გაზომვის შედეგების საშუალო არითმეტიკული, აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომების საზღვრების მითითებით.

211. ტვირთის აწონვისას მიიღეს P = 16,7 (± 0,4%) კგ. იპოვეთ R წონის ზღვრები.

212. ა≈ 16.4, ფარდობითი შეცდომა ε = 0.5%. იპოვნეთ აბსოლუტური შეცდომა
Δ ადა დააყენეთ საზღვრები, რომელთა შორის არის სავარაუდო რიცხვი.

213. დაადგინეთ თითოეული შემდეგი რიცხვის სავარაუდო მნიშვნელობის ფარდობითი ცდომილების ზღვარი, თუ მიახლოებითი მნიშვნელობა აღებულია სწორი ციფრების მითითებული რაოდენობით: 1) 11/6 სამი სწორი ციფრით; 2) √5 ოთხი სწორი ციფრით.

214. რუკაზე ორ ქალაქს შორის მანძილის გაზომვისას აღმოაჩინეს, რომ ის 24,4 სმ-ზე მეტია, მაგრამ 24,8 სმ-ზე ნაკლები. იპოვეთ ქალაქებს შორის ფაქტობრივი მანძილი და აბსოლუტური გამოთვლის შეცდომა, თუ რუკის მასშტაბი არის 1: 2,500,000.

215. შეასრულეთ გამოთვლები და დაადგინეთ შედეგის აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომები: x = a + b - c, თუ ა= 7,22 (±0,01); 3.14< ბ < 3,17; თან= 5.4 (±0.05).

216. გაამრავლეთ უტოლობები ტერმინებით:

1) 7 > 5 და 3 > 2; 2) 3< 5 и 2 / 3 <2;

3) - 6 < - 2 и - 3 < - 1; 4)ა> 2 და ბ < -2.

217. უთანასწორობის გათვალისწინებით ა > ბ. ხომ ყოველთვის ა 2 > ბ 2? მიეცით მაგალითები.

218. Თუ a > b > 0 და პარის ბუნებრივი რიცხვი, მაშინ ზევით > ბ. დაამტკიცე.

219. რომელია მეტი: (0.3) 20 თუ (0.1) 10?

220. Თუ a > b > 0 ან ბ< а < 0 შემდეგ 1 / ა < 1 / ბ. დაამტკიცე.

221. გამოთვალეთ მართკუთხა მიწის ნაკვეთის ფართობი, რომლის სიგრძეა 437 მ და სიგანე 162 მ, თუ ნაკვეთის სიგრძის გაზომვისას შესაძლებელია ±2 მ, ხოლო გაზომვისას ±1 მ. სიგანე.