პრეზენტაციების წინასწარი გადახედვის გამოსაყენებლად შექმენით Google ანგარიში (ანგარიში) და შედით: https://accounts.google.com

სლაიდების წარწერები:

გადახედვა:

Თემა

არითმეტიკული პროგრესია

მიზანი:

• არითმეტიკული პროგრესიის ამოცნობის სწავლება მისი განმარტებისა და ნიშნის გამოყენებით;
• ასწავლეთ ამოცანების ამოხსნას პროგრესიის ზოგადი წევრის განმარტების, ნიშნის, ფორმულის გამოყენებით.

გაკვეთილის მიზნები:

მიეცით არითმეტიკული პროგრესიის განმარტება, დაამტკიცეთ არითმეტიკული პროგრესიის ნიშანი და ასწავლეთ როგორ გამოიყენოთ ისინი ამოცანების გადაჭრაში.

სწავლების მეთოდები:

მოსწავლეთა ცოდნის აქტუალიზაცია, დამოუკიდებელი მუშაობა, ინდივიდუალური მუშაობა, პრობლემური სიტუაციის შექმნა.

თანამედროვე ტექნოლოგიები:

ICT, პრობლემაზე დაფუძნებული სწავლება, დიფერენცირებული სწავლება, ჯანმრთელობის დაზოგვის ტექნოლოგიები.

ᲒᲐᲙᲕᲔᲗᲘᲚᲘᲡ ᲒᲔᲒᲛᲐ

	გაკვეთილის ეტაპები.	განხორციელების დრო.
	ორგანიზების დრო.	2 წუთი
	წარსულის გამეორება	5 წუთი
	ახალი მასალის სწავლა	15 წუთი
	ფიზიკური აღზრდის წუთი	3 წუთი
	დავალების შესრულება თემაზე	15 წუთი
	Საშინაო დავალება	2 წუთი
	შეჯამება	3 წუთი

გაკვეთილების დროს:

1. ბოლო გაკვეთილზე გავეცანით „მიმდევრობის“ ცნებას.

დღეს გავაგრძელებთ რიცხვთა მიმდევრობის შესწავლას, განვსაზღვრავთ ზოგიერთ მათგანს, გავეცნობით მათ თვისებებსა და თვისებებს.

1. უპასუხეთ კითხვებს: რა არის თანმიმდევრობა?

რა არის თანმიმდევრობა?

როგორ შეგიძლიათ დააყენოთ თანმიმდევრობა?

რა არის რიცხვითი თანმიმდევრობა?

რა არის რიცხვითი მიმდევრობის დაზუსტების გზები იცით? რა ფორმულას ეწოდება რეკურსიული?

1. მოცემულია რიცხვების თანმიმდევრობა:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

იპოვეთ ნიმუში თითოეულ მიმდევრობაში და დაასახელეთ თითოეულის შემდეგი სამი წევრი.

1. a n = a n -1 +1
2. a n \u003d a n -1 + 3
3. a n = a n -1 + (-2)
4. a n \u003d a n -1 + 0.5

დაასახელეთ რეკურსიული ფორმულა თითოეული მიმდევრობისთვის.

სლაიდი 1

რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი, მეორედან დაწყებული, უდრის წინა წევრს, დამატებული იმავე რიცხვს, ეწოდება არითმეტიკული პროგრესია.

რიცხვს d ეწოდება არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობას.

არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, ამიტომ ის შეიძლება იყოს მზარდი, კლებადი, მუდმივი. მოიყვანეთ ასეთი თანმიმდევრობის მაგალითები, დაასახელეთ თითოეული პროგრესირების განსხვავება, გამოიტანეთ დასკვნა.

ჩვენ გამოვიყვანთ არითმეტიკული პროგრესიის საერთო ტერმინის ფორმულას.

დაფაზე: მოდით ა 1 არის პროგრესიის პირველი წევრი, d არის მისი განსხვავება, მაშინ

a 2 \u003d a 1 + d

a 3 \u003d (a 1 + d) + d \u003d a 1 + 2d

a 4 \u003d (a 1 + 2d) + d \u003d a 1 + 3d

a 5 \u003d (a 1 + 3d) + d \u003d a 1 + 4d

a n \u003d a 1 + d (n-1) - არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა.

ამოიღეთ პრობლემა: არითმეტიკული პროგრესიის დროს პირველი წევრი არის 5, ხოლო სხვაობა არის 4.

იპოვეთ ამ პროგრესიის 22-ე წევრი.

მოსწავლე დაფაზე წყვეტს: ა n =a 1 +d(n-1)

A 22 \u003d a 1 + 21d \u003d 5 + 21 * 4 \u003d 89

ფიზკულტმინუტკა.

ავდექით.

ხელები ქამარზე. იხრება მარცხნივ, მარჯვნივ, (2-ჯერ);

იხრება წინ, უკან (2-ჯერ);

ხელები მაღლა ასწიეთ, ღრმად ამოისუნთქეთ, ხელები ქვემოთ ჩამოწიეთ, ამოისუნთქეთ. (2 ჯერ)

ხელები ჩამოართვეს. Გმადლობთ.

დაჯდა. ვაგრძელებთ გაკვეთილს.

ჩვენ ვხსნით ამოცანებს არითმეტიკული პროგრესიის ზოგადი წევრის ფორმულის გამოყენებაზე.

მოსწავლეებს ეძლევათ შემდეგი დავალებები:

1. არითმეტიკული პროგრესიის დროს პირველი წევრია -2, d=3, a n=118.

იპოვე ნ.

1. არითმეტიკული პროგრესიით, პირველი წევრი არის 7, მეთხუთმეტე წევრი არის -35. იპოვე განსხვავება.
2. ცნობილია, რომ არითმეტიკული პროგრესიაში d=-2, a39=83. იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი.

მოსწავლეები იყოფიან ჯგუფებად. დავალება მოცემულია 5 წუთის განმავლობაში. შემდეგ პირველი 3 მოსწავლე, ვინც ამოხსნა ამოცანები, წყვეტს მათ დაფაზე. ხსნარი დუბლირებულია სლაიდებზე.

განვიხილოთ არითმეტიკული პროგრესიის დამახასიათებელი თვისებები.

არითმეტიკული პროგრესიით

a n -d=a (n-1)

n+d=a (n+1)

ამ ორ თანასწორობას ვამატებთ ტერმინით, მივიღებთ: 2а n=a(n+1)+a(n-1)

A n =(a (n+1) +a (n-1))/2

ეს ნიშნავს, რომ არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, გარდა პირველისა და უკანასკნელისა, უდრის წინა და მომდევნო წევრების საშუალო არითმეტიკულს.

თეორემა:

რიცხვითი მიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი თითოეული წევრი, გარდა პირველისა (და ბოლო, სასრული მიმდევრობის შემთხვევაში), უდრის წინა და მომდევნო წევრების საშუალო არითმეტიკულს (მახასიათებელი თვისება არითმეტიკული პროგრესია).

მათემატიკასა და ფიზიკაში მრავალი თემის გააზრება ასოცირდება რიცხვთა სერიების თვისებების ცოდნასთან. მე-9 კლასის მოსწავლეები საგნის „ალგებრას“ შესწავლისას თვლიან რიცხვთა ერთ-ერთ მნიშვნელოვან თანმიმდევრობას – არითმეტიკულ პროგრესიას. მოვიყვანოთ არითმეტიკული პროგრესიის ძირითადი ფორმულები (მე-9 კლასი), ასევე ამოცანების გადასაჭრელად მათი გამოყენების მაგალითები.

ალგებრული ან არითმეტიკული პროგრესია

რიცხვთა სერია, რომელიც განხილული იქნება ამ სტატიაში, ეწოდება ამ აბზაცის სათაურში წარმოდგენილი ორი განსხვავებული გზით. ასე რომ, მათემატიკაში არითმეტიკული პროგრესია გაგებულია, როგორც რიცხვების რიგი, რომელშიც ერთმანეთის გვერდით მდგომი ნებისმიერი ორი რიცხვი განსხვავდება ერთი და იგივე რაოდენობით, რასაც სხვაობა ეწოდება. რიცხვები ასეთ სერიებში ჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით ქვედა მთელი რიცხვის ინდექსით, მაგალითად, a1, a2, a3 და ასე შემდეგ, სადაც ინდექსი მიუთითებს სერიის ელემენტის რაოდენობაზე.

არითმეტიკული პროგრესიის ზემოაღნიშნული განმარტებიდან გამომდინარე, შეგვიძლია დავწეროთ შემდეგი ტოლობა: a2-a1 =...=an-an-1=d, აქ d არის ალგებრული პროგრესიის სხვაობა და n არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი. თუ d>0, მაშინ შეიძლება ველოდოთ, რომ სერიის ყოველი მომდევნო წევრი იქნება წინაზე მეტი, ამ შემთხვევაში ვსაუბრობთ მზარდ პროგრესირებაზე. თუ დ

არითმეტიკული პროგრესირების ფორმულები (კლასი 9)

განსახილველ რიცხვთა სერიას, რადგან ის დალაგებულია და ემორჩილება გარკვეულ მათემატიკურ კანონს, აქვს ორი თვისება, რომლებიც მნიშვნელოვანია მისი გამოყენებისთვის:

პირველი, მხოლოდ ორი რიცხვის a1 და d ცოდნით, შეგიძლიათ იპოვოთ მიმდევრობის ნებისმიერი წევრი. ეს კეთდება შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: an = a1+(n-1)*d.

მეორეც, პირველი პირების n წევრთა ჯამის გამოსათვლელად არ არის საჭირო მათი თანმიმდევრობით დამატება, რადგან შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ფორმულა: Sn = n*(an+a1)/2.

პირველი ფორმულა ადვილად გასაგებია, რადგან ეს არის პირდაპირი შედეგი იმისა, რომ განხილული სერიის თითოეული წევრი განსხვავდება მეზობელისაგან ერთი და იგივე განსხვავებით.

მეორე არითმეტიკული პროგრესიის ფორმულა შეიძლება მივიღოთ იმით, რომ ჯამი a1+an უდრის a2+an-1, a3+an-2 და ა.შ. მართლაც, რადგან a2 = d+a1, an-2 = -2*d+an, a3 = 2*d+a1 და an-1 = -d+an, მაშინ ამ გამონათქვამების ჩანაცვლება შესაბამის ჯამებში, მივიღებთ, რომ ისინი იგივე იქნებიან. ფაქტორი n/2 მე-2 ფორმულაში (Sn-ისთვის) ჩნდება იმის გამო, რომ არის ზუსტად n/2 ჯამი ai+1+an-i, აქ i არის მთელი რიცხვი, რომელიც მერყეობს 0-დან n/2-მდე. .

შემორჩენილი ისტორიული მტკიცებულებების მიხედვით, Sn ჯამის ფორმულა პირველად მიიღო კარლ გაუსმა (ცნობილმა გერმანელმა მათემატიკოსმა), როდესაც მას სკოლის მასწავლებელმა დაავალა დაემატა პირველი 100 რიცხვი.

მაგალითი პრობლემა #1: იპოვე განსხვავება

ამოცანები, რომლებიც სვამენ კითხვას შემდეგნაირად: არითმეტიკული პროგრესიის ფორმულების ცოდნა, როგორ მოვძებნოთ q (d), ყველაზე მარტივია, რაც შეიძლება იყოს მხოლოდ ამ თემისთვის.

აი მაგალითი: მოცემული რიცხვითი მიმდევრობით -5, -2, 1, 4, ..., აუცილებელია მისი სხვაობის დადგენა, ანუ დ.

ამის გაკეთება ისეთივე მარტივია, როგორც მსხლის ჭურვი: თქვენ უნდა აიღოთ ორი ელემენტი და გამოაკლოთ პატარა უფროსს. ამ შემთხვევაში გვაქვს: d = -2 - (-5) = 3.

იმისთვის, რომ დარწმუნდეთ მიღებულ პასუხში, რეკომენდებულია დარჩენილი განსხვავებების შემოწმება, რადგან წარმოდგენილი თანმიმდევრობა შეიძლება არ აკმაყოფილებდეს ალგებრული პროგრესირების პირობას. გვაქვს: 1-(-2)=3 და 4-1=3. ეს მონაცემები მიუთითებს იმაზე, რომ მივიღეთ სწორი შედეგი (d=3) და დავამტკიცეთ, რომ პრობლემის ფორმულირებაში რიცხვების სერია მართლაც ალგებრული პროგრესიაა.

ამოცანის ნიმუში #2: იპოვნეთ განსხვავება პროგრესის ორი ტერმინის ცოდნაში

განვიხილოთ კიდევ ერთი საინტერესო პრობლემა, რომელსაც აჩენს კითხვა, თუ როგორ უნდა იპოვოთ განსხვავება. არითმეტიკული პროგრესირების ფორმულა ამ შემთხვევაში უნდა იყოს გამოყენებული n-ე ტერმინისთვის. ასე რომ, დავალება: მოცემულია სერიის პირველი და მეხუთე რიცხვები, რომლებიც შეესაბამება ალგებრული პროგრესიის ყველა თვისებას, მაგალითად, ეს არის რიცხვები a1 = 8 და a5 = -10. როგორ მოვძებნოთ განსხვავება დ?

ამ ამოცანის ამოხსნა უნდა დაიწყოთ n-ე ელემენტის ფორმულის ზოგადი ფორმის დაწერით: an = a1+d*(-1+n). ახლა შეგიძლიათ ორი გზით წახვიდეთ: ან დაუყოვნებლივ ჩაანაცვლეთ რიცხვები და უკვე იმუშავეთ მათთან, ან გამოხატეთ d და შემდეგ გადადით კონკრეტულ a1 და a5-ზე. გამოვიყენოთ ბოლო მეთოდი, მივიღებთ: a5 = a1+d*(-1+5) ან a5 = 4*d+a1, რაც გულისხმობს, რომ d = (a5-a1)/4. ახლა თქვენ შეგიძლიათ უსაფრთხოდ ჩაანაცვლოთ მდგომარეობიდან ცნობილი მონაცემები და მიიღოთ საბოლოო პასუხი: d = (-10-8)/4 = -4.5.

გაითვალისწინეთ, რომ ამ შემთხვევაში პროგრესიის სხვაობა უარყოფითი აღმოჩნდა, ანუ არის რიცხვების კლებადი თანმიმდევრობა. ამ ფაქტს ყურადღება უნდა მიექცეს პრობლემების გადაჭრისას, რათა არ აგვერიოს ნიშნები „+“ და „-“. ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფორმულა უნივერსალურია, ამიტომ ისინი ყოველთვის უნდა იქნას დაცული, მიუხედავად იმ რიცხვების ნიშნისა, რომლითაც ოპერაციები ხორციელდება.

No3 ამოცანის ამოხსნის მაგალითი: იპოვე a1, იცოდე განსხვავება და ელემენტი

მოდით ცოტა შევცვალოთ პრობლემის მდგომარეობა. იყოს ორი რიცხვი: სხვაობა d=6 და პროგრესიის მე-9 ელემენტი a9 = 10. როგორ ვიპოვოთ a1? არითმეტიკული პროგრესიის ფორმულები უცვლელი რჩება, ჩვენ მათ გამოვიყენებთ. a9 რიცხვისთვის გვაქვს შემდეგი გამოხატულება: a1+d*(9-1) = a9. საიდანაც ადვილად მივიღებთ სერიის პირველ ელემენტს: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38.

#4 ამოცანის ამოხსნის მაგალითი: იპოვე a1, იცოდე ორი ელემენტი

პრობლემის ეს ვერსია წინას რთული ვერსიაა. არსი იგივეა, აუცილებელია a1-ის გამოთვლა, მაგრამ ახლა სხვაობა d არ არის ცნობილი და მის ნაცვლად მოცემულია პროგრესის სხვა ელემენტი.

ამ ტიპის პრობლემის მაგალითია შემდეგი: იპოვეთ პირველი რიცხვი მიმდევრობაში, რომელიც ცნობილია, როგორც არითმეტიკული პროგრესია და რომლის მე-15 და 23-ე ელემენტებია, შესაბამისად, 7 და 12.

ამ ამოცანის ამოხსნა აუცილებელია პირობითიდან ცნობილი თითოეული ელემენტისთვის n-ე წევრის გამოხატვის ჩაწერით, გვაქვს: a15 = d*(15-1)+a1 და a23 = d*(23-1)+a1. როგორც ხედავთ, მივიღეთ ორი წრფივი განტოლება, რომლებიც ამოხსნილია a1 და d მიმართ. მოდით ასე მოვიქცეთ: გამოვაკლოთ პირველი განტოლება მეორე განტოლებას, შემდეგ მივიღებთ შემდეგ გამოსახულებას: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d. ბოლო განტოლების გამოყვანისას, a1-ის მნიშვნელობები გამოტოვებულია, რადგან გამოკლებისას ისინი უქმდება. ცნობილი მონაცემების ჩანაცვლებით ვპოულობთ განსხვავებას: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0.625.

d-ის მნიშვნელობა უნდა შეიცვალოს ნებისმიერი ფორმულით ცნობილი ელემენტისთვის, რათა მივიღოთ მიმდევრობის პირველი წევრი: a15 = 14*d+a1, საიდანაც: a1=a15-14*d = 7-14*0.625 = - 1.75.

შევამოწმოთ შედეგი, ამისთვის ვპოულობთ a1-ს მეორე გამონათქვამის მეშვეობით: a23 = d*22+a1 ან a1 = a23-d*22 = 12 - 0.625*22 = -1.75.

No5 ამოცანის ამოხსნის მაგალითი: იპოვეთ n ელემენტის ჯამი

როგორც ხედავთ, ამ მომენტამდე ამონახსნებისთვის გამოყენებული იყო მხოლოდ ერთი არითმეტიკული პროგრესირების ფორმულა (მე-9 კლასი). ახლა წარმოგიდგენთ პრობლემას, რომლის ამოხსნისთვის უნდა ვიცოდეთ მეორე ფორმულა, ანუ ჯამისთვის Sn.

მოცემული რიცხვების შემდეგი მოწესრიგებული სერიების -1.1, -2.1, -3.1,..., თქვენ უნდა გამოთვალოთ მისი პირველი 11 ელემენტის ჯამი.

ამ სერიიდან ჩანს, რომ ის მცირდება და a1 = -1.1. მისი განსხვავებაა: d = -2.1 - (-1.1) = -1. ახლა განვსაზღვროთ მე-11 წევრი: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1.1) = -11.1. მოსამზადებელი გამოთვლების დასრულების შემდეგ, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ზემოაღნიშნული ფორმულა ჯამისთვის, გვაქვს: S11 \u003d 11 * (-1.1 + (-11.1)) / 2 \u003d -67.1. ვინაიდან ყველა წევრი იყო უარყოფითი რიცხვი, მათ ჯამს ასევე აქვს შესაბამისი ნიშანი.

No6 ამოცანის ამოხსნის მაგალითი: იპოვეთ ელემენტების ჯამი n-დან m-მდე

შესაძლოა, ამ ტიპის პრობლემა ყველაზე რთულია სტუდენტების უმეტესობისთვის. მოვიყვანოთ ტიპიური მაგალითი: მოცემული რიცხვების 2, 4, 6, 8 ... რიგის გათვალისწინებით, თქვენ უნდა იპოვოთ ჯამი მე-7-დან მე-13 წევრამდე.

არითმეტიკული პროგრესირების ფორმულები (მე-9 კლასი) გამოიყენება ზუსტად ისევე, როგორც ყველა დავალებაზე ადრე. ამ ამოცანის გადაჭრა რეკომენდებულია ეტაპობრივად:

პირველი, იპოვეთ 13 ტერმინის ჯამი სტანდარტული ფორმულის გამოყენებით.

შემდეგ გამოთვალეთ ეს ჯამი პირველი 6 ელემენტისთვის.

შემდეგ გამოვაკლოთ მე-2 1-ლი ჯამს.

გადავიდეთ გადაწყვეტილებამდე. როგორც წინა შემთხვევაში, ჩვენ განვახორციელებთ მოსამზადებელ გამოთვლებს: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12, a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26.

გამოვთვალოთ ორი ჯამი: S13 = 13*(2+26)/2 = 182, S6 = 6*(2+12)/2 = 42. აიღეთ განსხვავება და მიიღეთ სასურველი პასუხი: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140. გაითვალისწინეთ, რომ ამ მნიშვნელობის მიღებისას, ეს იყო პროგრესიის 6 ელემენტის ჯამი, რომელიც გამოიყენებოდა ქვეტრაჰენდის სახით, ვინაიდან მე-7 ტერმინი შედის S7-13-ის ჯამში.

Კლასი: 9

გაკვეთილის ტიპი: გაკვეთილის შემსწავლელი ახალი მასალა.

გაკვეთილის მიზანი: არითმეტიკული პროგრესიის ცნების ჩამოყალიბება, როგორც მიმდევრობის ერთ-ერთი სახეობა, n-ე წევრის ფორმულის გამოყვანა, არითმეტიკული პროგრესიის წევრებისთვის დამახასიათებელი თვისების გაცნობა. Პრობლემის გადაჭრა.

გაკვეთილის მიზნები:

• საგანმანათლებლო- გააცნოს არითმეტიკული პროგრესიის ცნება; n-ე წევრის ფორმულები; დამახასიათებელი თვისება, რომელიც აქვთ არითმეტიკული პროგრესიის წევრებს.
• საგანმანათლებლო- განუვითარდეს მათემატიკური ცნებების შედარების, მსგავსებისა და განსხვავებების პოვნის, დაკვირვების, ნიმუშების შემჩნევის, ანალოგიით მსჯელობის უნარი; ზოგიერთი რეალური სიტუაციის მათემატიკური მოდელის აგებისა და ინტერპრეტაციის უნარის ჩამოყალიბება.
• საგანმანათლებლო- ხელი შეუწყოს მათემატიკისა და მისი გამოყენებისადმი ინტერესის განვითარებას, აქტივობას, კომუნიკაციის უნარს და გონივრული შეხედულებების დაცვას.

აღჭურვილობა: კომპიუტერი, მულტიმედიური პროექტორი, პრეზენტაცია (დანართი 1)

სახელმძღვანელოები: ალგებრა 9, იუ.ნ.

Გაკვეთილის გეგმა:

1. ორგანიზაციული მომენტი, დავალების დაყენება
2. ცოდნის აქტუალიზაცია, ზეპირი მუშაობა
3. ახალი მასალის სწავლა
4. პირველადი დამაგრება
5. გაკვეთილის შეჯამება
6. Საშინაო დავალება

მასალასთან მუშაობის ხილვადობისა და მოხერხებულობის გაზრდის მიზნით გაკვეთილს ახლავს პრეზენტაცია. თუმცა ეს არ არის წინაპირობა და იგივე გაკვეთილი შეიძლება ჩატარდეს ისეთ კლასებში, რომლებიც არ არის აღჭურვილი მულტიმედიური აღჭურვილობით. ამისათვის საჭირო მონაცემები შეიძლება მომზადდეს დაფაზე ან ცხრილებისა და პლაკატების სახით.

გაკვეთილების დროს

I. საორგანიზაციო მომენტი, ამოცანის დადგენა.

სალამი.

დღევანდელი გაკვეთილის თემაა არითმეტიკული პროგრესია. ამ გაკვეთილზე გავიგებთ, რა არის არითმეტიკული პროგრესია, რა ზოგადი ფორმა აქვს მას, გავარკვევთ, როგორ განვასხვავოთ არითმეტიკული პროგრესია სხვა თანმიმდევრობებისაგან და მოვაგვაროთ ამოცანები, რომლებიც იყენებენ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებებს.

II. ცოდნის აქტუალიზაცია, ზეპირი მუშაობა.

თანმიმდევრობა () მოცემულია ფორმულით: =. რა არის ამ მიმდევრობის წევრის რიცხვი, თუ ის უდრის 144-ს? 225? 100? რიცხვები ამ მიმდევრობის 48 წევრია? 49? 168?

ცნობილია თანმიმდევრობის შესახებ () რომ, . რა ჰქვია ამ სახის თანმიმდევრობას? იპოვეთ ამ მიმდევრობის პირველი ოთხი წევრი.

ცნობილია თანმიმდევრობის შესახებ () რომ . რა ჰქვია ამ სახის თანმიმდევრობას? იპოვე თუ?

III. ახალი მასალის სწავლა.

პროგრესია - მნიშვნელობების თანმიმდევრობა, რომელთაგან თითოეული საერთოა მთელი პროგრესიისთვის, რაც დამოკიდებულია წინაზე. ტერმინი ახლა ძირითადად მოძველებულია და გვხვდება მხოლოდ „არითმეტიკული პროგრესიის“ და „გეომეტრიული პროგრესიის“ კომბინაციებში.

ტერმინი „პროგრესია“ ლათინური წარმოშობისაა (პროგრესია, რაც ნიშნავს „წინსვლას“) და შემოიღო რომაელმა ავტორმა ბოეთიუსმა (VI ს.). ეს ტერმინი მათემატიკაში იყენებდნენ რიცხვების ნებისმიერ თანმიმდევრობას, რომელიც აგებულია ისეთი კანონის მიხედვით, რომელიც საშუალებას აძლევს ამ თანმიმდევრობას განუსაზღვრელი ვადით გაგრძელდეს ერთი მიმართულებით. ამჟამად ტერმინი „პროგრესი“ თავდაპირველი ფართო გაგებით არ გამოიყენება. პროგრესიის ორ მნიშვნელოვან კონკრეტულ ტიპს - არითმეტიკული და გეომეტრიული - შეინარჩუნეს თავიანთი სახელები.

განვიხილოთ რიცხვების თანმიმდევრობა:

• 2, 6, 10, 14, 18, :.
• 11, 8, 5, 2, -1, :.
• 5, 5, 5, 5, 5, :.

რა არის პირველი რიგის მესამე წევრი? შემდეგი წევრი? წინა წევრი? რა განსხვავებაა მეორე და პირველ ტერმინებს შორის? მესამე და მეორე წევრები? მეოთხე და მესამე?

თუ მიმდევრობა აგებულია ერთი კანონის მიხედვით, რა განსხვავება იქნება პირველი რიგის მეექვსე და მეხუთე წევრებს შორის? მეშვიდე და მეექვსე შორის?

დაასახელეთ თითოეული მიმდევრობის შემდეგი ორი წევრი. Რატომ ფიქრობ ასე?

(სტუდენტი პასუხობს)

რა საერთო თვისება აქვთ ამ თანმიმდევრობებს? მიუთითეთ ეს ქონება.

(სტუდენტი პასუხობს)

რიცხვითი მიმდევრობები, რომლებსაც აქვთ ეს თვისება, ეწოდება არითმეტიკული პროგრესიები. მოიწვიე სტუდენტები, რომ თავად შეეცადონ ჩამოაყალიბონ განმარტება.

არითმეტიკული პროგრესიის განმარტება: არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა, რომელშიც ყოველი ტერმინი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას, დამატებული იგივე რიცხვით:

( არის არითმეტიკული პროგრესია, თუ სად არის რაღაც რიცხვი.

ნომერი დ, რომელიც გვიჩვენებს, თუ რამდენად განსხვავდება მიმდევრობის შემდეგი წევრი წინასგან, ეწოდება პროგრესირების განსხვავება: .

მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ თანმიმდევრობებს და ვისაუბროთ განსხვავებებზე. რა თვისებები აქვს თითოეულ თანმიმდევრობას და რას უკავშირდება ისინი?

თუ არითმეტიკულ პროგრესიაში განსხვავება დადებითია, მაშინ პროგრესია იზრდება: 2, 6, 10, 14, 18, :. (

თუ არითმეტიკულ პროგრესიაში განსხვავება უარყოფითია ( , მაშინ პროგრესია მცირდება: 11, 8, 5, 2, -1, :. (

თუ სხვაობა არის ნული () და პროგრესიის ყველა წევრი ერთი და იგივე რიცხვის ტოლია, მიმდევრობას სტაციონარული ეწოდება: 5, 5, 5, 5, :.

როგორ დავაყენოთ არითმეტიკული პროგრესია? განვიხილოთ შემდეგი პრობლემა.

დავალება. 1-ში საწყობში 50 ტონა ნახშირი იყო. ერთი თვის განმავლობაში ყოველდღე საწყობში მოდის სატვირთო მანქანა 3 ტონა ნახშირით. რამდენი ქვანახშირი იქნება 30-ში საწყობში, თუ ამ ხნის განმავლობაში საწყობიდან ნახშირი არ მოიხმარა.

თუ თითოეული ნომრის საწყობში ნახშირის რაოდენობას ჩავწერთ, მივიღებთ არითმეტიკულ პროგრესიას. როგორ მოვაგვაროთ ეს პრობლემა? ნამდვილად საჭიროა ქვანახშირის რაოდენობის გამოთვლა თვის ყოველ დღეს? შესაძლებელია როგორმე ამის გარეშე? აღვნიშნავთ, რომ 30-მდე საწყობში მოვა 29 სატვირთო მანქანა ნახშირით. ამრიგად, 30-ში მარაგში იქნება 50+329=137 ტონა ნახშირი.

ამრიგად, არითმეტიკული პროგრესიის მხოლოდ პირველი წევრის და სხვაობის ცოდნით, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ მიმდევრობის ნებისმიერი წევრი. ყოველთვის ასეა?

მოდით გავაანალიზოთ, თუ როგორ არის დამოკიდებული მიმდევრობის თითოეული წევრი პირველ წევრზე და განსხვავებაზე:

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ არითმეტიკული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულა.

მაგალითი 1 თანმიმდევრობა () არის არითმეტიკული პროგრესია. იპოვეთ თუ და.

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას n-ე ტერმინისთვის ,

პასუხი: 260.

განიხილეთ შემდეგი პრობლემა:

არითმეტიკული პროგრესიით, ლუწი წევრები აღმოჩნდა გადაწერილი: 3, :, 7, :, 13: შესაძლებელია თუ არა დაკარგული რიცხვების აღდგენა?

მოსწავლეებმა შესაძლოა ჯერ გამოთვალონ პროგრესიის სხვაობა და შემდეგ იპოვონ პროგრესიის უცნობი პირობები. შემდეგ შეგიძლიათ მოიწვიოთ ისინი, რათა იპოვონ ურთიერთობა მიმდევრობის უცნობ წევრს შორის, წინა და მომდევნო.

გადაწყვეტილება:გამოვიყენოთ ის ფაქტი, რომ არითმეტიკული პროგრესიის დროს სხვაობა მეზობელ ტერმინებს შორის მუდმივია. მოდით იყოს მიმდევრობის სასურველი წევრი. მერე

.

კომენტარი.არითმეტიკული პროგრესიის ეს თვისება მისი დამახასიათებელი თვისებაა. ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის დროს, ყოველი ტერმინი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინა და შემდგომი საშუალო არითმეტიკის ( . და, პირიქით, ნებისმიერი თანმიმდევრობა, რომელშიც ყოველი ტერმინი, მეორიდან დაწყებული, ტოლია წინა და შემდგომი საშუალო არითმეტიკულის, არის არითმეტიკული პროგრესია.

IV. პირველადი დამაგრება.

• No575 აბ - ზეპირად
• No576 ავდ - ზეპირად
• No577b - დამოუკიდებლად გადამოწმებით

თანმიმდევრობა (- არითმეტიკული პროგრესია. იპოვეთ თუ და

გამოვიყენოთ n-ე წევრის ფორმულა,

პასუხი: -24.2.

იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის 23-ე და მე-8 წევრები; -6,5; :

გადაწყვეტილება:არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრია -8. ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, ამისთვის საჭიროა წინას გამოკლება მიმდევრობის მომდევნო წევრს: -6,5-(-8)=1,5.

გამოვიყენოთ n-ე ტერმინის ფორმულა:

იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის () პირველი წევრი თუ .

გავიხსენოთ ჩვენი გაკვეთილის დასაწყისი, ბიჭებო. შეძელით თუ არა დღევანდელ გაკვეთილზე რაიმე ახლის სწავლა, გარკვეული აღმოჩენების გაკეთება? რა არის გაკვეთილის მიზნები? როგორ ფიქრობთ, მივაღწიეთ ჩვენს მიზნებს?

Საშინაო დავალება.

პუნქტი 25, No578a, No580b, No582, No586a, No601a.

კრეატიული დავალება ძლიერი მოსწავლეებისთვის: დაამტკიცეთ, რომ არითმეტიკული პროგრესიით ნებისმიერი რიცხვისთვის, რომ კ თანასწორობებს და .

მადლობა ბიჭებო გაკვეთილისთვის. თქვენ დღეს ბევრი იმუშავეთ.

მათემატიკას აქვს თავისი სილამაზე, ისევე როგორც მხატვრობას და პოეზიას.

რუსი მეცნიერი, მექანიკოსი ნ.ე. ჟუკოვსკი

მათემატიკაში შესასვლელ ტესტებში ძალიან გავრცელებული ამოცანებია არითმეტიკული პროგრესიის კონცეფციასთან დაკავშირებული ამოცანები. ასეთი პრობლემების წარმატებით გადასაჭრელად აუცილებელია არითმეტიკული პროგრესიის თვისებების კარგად ცოდნა და მათი გამოყენების გარკვეული უნარ-ჩვევები.

ჯერ გავიხსენოთ არითმეტიკული პროგრესიის ძირითადი თვისებები და წარმოგიდგინოთ ყველაზე მნიშვნელოვანი ფორმულები, დაკავშირებულია ამ კონცეფციასთან.

განმარტება. რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლებშიც ყოველი მომდევნო ტერმინი წინადან ერთი და იგივე რიცხვით განსხვავდება, არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება. ამავე დროს, ნომერიპროგრესირების განსხვავებას უწოდებენ.

არითმეტიკული პროგრესიისთვის, ფორმულები მოქმედებს

, (1)

სად . ფორმულა (1) ეწოდება არითმეტიკული პროგრესიის საერთო ტერმინის ფორმულას, ხოლო ფორმულა (2) არის არითმეტიკული პროგრესიის მთავარი თვისება: პროგრესიის თითოეული წევრი ემთხვევა მისი მეზობელი წევრების საშუალო არითმეტიკას და .

გაითვალისწინეთ, რომ სწორედ ამ თვისების გამო განხილულ პროგრესიას ეწოდება „არითმეტიკა“.

ზემოთ (1) და (2) ფორმულები შეჯამებულია შემდეგნაირად:

(3)

ჯამის გამოსათვლელადპირველი არითმეტიკული პროგრესიის წევრებიფორმულა ჩვეულებრივ გამოიყენება

(5) სად და .

თუ გავითვალისწინებთ ფორმულას (1), მაშინ ფორმულა (5) გულისხმობს

თუ დავნიშნავთ

სად . ვინაიდან , მაშინ ფორმულები (7) და (8) არის შესაბამისი ფორმულების (5) და (6) განზოგადება.

Კერძოდ , ფორმულიდან (5) გამომდინარეობს, რა

სტუდენტების უმეტესობისთვის ნაკლებად ცნობილი მათ შორის არის არითმეტიკული პროგრესიის თვისება, რომელიც ჩამოყალიბებულია შემდეგი თეორემის საშუალებით.

თეორემა.თუ, მაშინ

მტკიცებულება.თუ, მაშინ

თეორემა დადასტურდა.

Მაგალითად , თეორემის გამოყენებით, ამის ჩვენება შეიძლება

გადავიდეთ ამოცანების ამოხსნის ტიპიური მაგალითების განხილვაზე თემაზე „არითმეტიკული პროგრესია“.

მაგალითი 1დაე და . Პოვნა .

გადაწყვეტილება.ფორმულის გამოყენებით (6), ვიღებთ. მას შემდეგ, რაც და, მაშინ ან.

მაგალითი 2დავტოვოთ სამჯერ მეტი და როცა გაყოფთ კოეფიციენტზე გამოდის 2 და ნაშთი არის 8. განვსაზღვროთ და.

გადაწყვეტილება.განტოლებათა სისტემა გამომდინარეობს მაგალითის მდგომარეობიდან

ვინაიდან , , და , მაშინ განტოლებათა სისტემიდან (10) ვიღებთ

ამ განტოლებათა სისტემის ამონახსნია და .

მაგალითი 3იპოვეთ თუ და.

გადაწყვეტილება.ფორმულის მიხედვით (5) გვაქვს ან . თუმცა, ქონების (9) გამოყენებით ვიღებთ .

მას შემდეგ, რაც და, მაშინ თანასწორობიდან განტოლება შემდეგნაირადან .

მაგალითი 4იპოვეთ თუ.

გადაწყვეტილება.ფორმულით (5) გვაქვს

თუმცა, თეორემის გამოყენებით, შეიძლება დაწეროთ

აქედან და ფორმულიდან (11) ვიღებთ.

მაგალითი 5. მოცემული: . Პოვნა .

გადაწყვეტილება.Მას შემდეგ . თუმცა , ამიტომ .

მაგალითი 6დაე , და . Პოვნა .

გადაწყვეტილება.ფორმულის (9) გამოყენებით ვიღებთ. ამიტომ, თუ , მაშინ ან .

მას შემდეგ, რაც და მაშინ აქ გვაქვს განტოლებათა სისტემა

რომლის ამოხსნაც მივიღებთ და .

განტოლების ბუნებრივი ფესვიარის .

მაგალითი 7იპოვეთ თუ და.

გადაწყვეტილება.ვინაიდან (3) ფორმულის მიხედვით გვაქვს ეს, მაშინ განტოლებათა სისტემა გამომდინარეობს პრობლემის მდგომარეობიდან

თუ გამონათქვამს შევცვლითსისტემის მეორე განტოლებაში, მაშინ მივიღებთ ან .

კვადრატული განტოლების ფესვებიადა .

განვიხილოთ ორი შემთხვევა.

1. მოდით, მაშინ. მას შემდეგ რაც და მერე.

ამ შემთხვევაში, ფორმულის მიხედვით (6) გვაქვს

2. თუ , მაშინ , და

პასუხი: და.

მაგალითი 8ცნობილია, რომ და Პოვნა .

გადაწყვეტილება.ფორმულის (5) და მაგალითის მდგომარეობის გათვალისწინებით ვწერთ და .

ეს გულისხმობს განტოლებათა სისტემას

თუ სისტემის პირველ განტოლებას გავამრავლებთ 2-ზე და შემდეგ დავუმატებთ მეორე განტოლებას, მივიღებთ

ფორმულის მიხედვით (9) გვაქვს. ამასთან დაკავშირებით, (12)-დან გამომდინარეობსან .

მას შემდეგ რაც და მერე.

პასუხი:.

მაგალითი 9იპოვეთ თუ და.

გადაწყვეტილება.მას შემდეგ, რაც და პირობით, მაშინ ან .

ფორმულიდან (5) ცნობილია, რა . Მას შემდეგ .

აქედან გამომდინარე, აქ გვაქვს წრფივი განტოლებათა სისტემა

აქედან ვიღებთ და . ფორმულის (8) გათვალისწინებით, ჩვენ ვწერთ.

მაგალითი 10ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება.მოცემული განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ . დავუშვათ, რომ , და . Ამ შემთხვევაში .

(1) ფორმულის მიხედვით შეგვიძლია დავწეროთ ან .

ვინაიდან, განტოლებას (13) აქვს უნიკალური შესაფერისი ფესვი.

მაგალითი 11.იპოვეთ მაქსიმალური მნიშვნელობა იმ პირობით, რომ და .

გადაწყვეტილება.მას შემდეგ, განხილული არითმეტიკული პროგრესია მცირდება. ამასთან დაკავშირებით, გამოხატულება იღებს მაქსიმალურ მნიშვნელობას, როდესაც ეს არის პროგრესიის მინიმალური დადებითი ტერმინის რიცხვი.

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას (1) და ფაქტს, რომელიც და . მაშინ მივიღებთ ამას ან.

იმიტომ რომ, მაშინ ან . თუმცა ამ უთანასწორობაშიუდიდესი ბუნებრივი რიცხვი, Ამიტომაც .

თუ მნიშვნელობები და ჩანაცვლებულია ფორმულაში (6), მაშინ მივიღებთ.

პასუხი:.

მაგალითი 12.იპოვეთ ყველა ორნიშნა ნატურალური რიცხვის ჯამი, რომლებსაც 6-ზე გაყოფისას აქვთ დარჩენილი 5.

გადაწყვეტილება.აღნიშნეთ ყველა ორმნიშვნელოვანი ნატურალური რიცხვის სიმრავლით, ე.ი. . შემდეგი, ჩვენ ვაშენებთ ქვესიმრავლეს, რომელიც შედგება სიმრავლის იმ ელემენტებისაგან (რიცხვებისგან), რომლებიც 6 რიცხვზე გაყოფისას ნაშთი 5-ს იძლევა.

მარტივი ინსტალაცია, რა . ცხადია, რომ ნაკრების ელემენტებიარითმეტიკული პროგრესიის ფორმირება, რომელშიც და .

ნაკრების კარდინალურობის (ელემენტების რაოდენობა) დასადგენად, ვივარაუდოთ, რომ . ვინაიდან და , მაშინ ფორმულა (1) გულისხმობს ან . ფორმულის (5) გათვალისწინებით, ვიღებთ.

პრობლემების გადაჭრის ზემოთ მოყვანილი მაგალითები არავითარ შემთხვევაში არ შეიძლება იყოს ამომწურავი. ეს სტატია დაწერილია მოცემულ თემაზე ტიპიური პრობლემების გადაჭრის თანამედროვე მეთოდების ანალიზის საფუძველზე. არითმეტიკული პროგრესიასთან დაკავშირებული ამოცანების გადაჭრის მეთოდების უფრო ღრმა შესწავლისთვის მიზანშეწონილია მიმართოთ რეკომენდებული ლიტერატურის ჩამონათვალს.

1. დავალებების კრებული მათემატიკაში ტექნიკური უნივერსიტეტების აპლიკანტებისთვის / რედ. მ.ი. სკანავი. - მ .: სამყარო და განათლება, 2013. - 608გვ.

2. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: სასკოლო სასწავლო გეგმის დამატებითი განყოფილებები. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216გვ.

3. მედინსკი მ.მ. ელემენტარული მათემატიკის სრული კურსი ამოცანებსა და სავარჯიშოებში. წიგნი 2: რიცხვების თანმიმდევრობა და პროგრესი. – მ.: ედიტუსი, 2015. - 208გვ.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები?

დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

თემა: არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიები

Კლასი: 9

სასწავლო სისტემა: მასალა ალგებრაში თემის შესწავლის მოსამზადებლად და OGE გამოცდის ჩაბარების მოსამზადებელი ეტაპისთვის

სამიზნე: არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიის ცნებების ფორმირება

Დავალებები: ასწავლეთ პროგრესირების ტიპების გარჩევა, სწორად სწავლება, ფორმულების გამოყენება

არითმეტიკული პროგრესიადაასახელეთ რიცხვების თანმიმდევრობა (პროგრესიის წევრები)

რომელშიც ყოველი მომდევნო ტერმინი წინადან განსხვავდება ფოლადის ტერმინით, რომელსაც ასევე უწოდებენ საფეხურს ან პროგრესირების განსხვავებას.

ამრიგად, პროგრესირების საფეხურის და მისი პირველი ტერმინის დაყენებით, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი ნებისმიერი ელემენტი ფორმულის გამოყენებით

1) არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორე რიცხვიდან დაწყებული, არის პროგრესიის წინა და შემდეგი წევრის არითმეტიკული საშუალო.

პირიქითაც მართალია. თუ პროგრესიის მეზობელი კენტი (ლუწი) წევრების საშუალო არითმეტიკული ტოლია იმ წევრს, რომელიც მათ შორის დგას, მაშინ რიცხვების ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია. ამ მტკიცებით ძალიან ადვილია ნებისმიერი თანმიმდევრობის შემოწმება.

ასევე არითმეტიკული პროგრესიის თვისებით, ზემოაღნიშნული ფორმულა შეიძლება განზოგადდეს შემდეგზე

ამის გადამოწმება ადვილია, თუ ტერმინებს ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ დავწერთ

ის ხშირად გამოიყენება პრაქტიკაში პრობლემების გამოთვლების გასამარტივებლად.

2) არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი გამოითვლება ფორმულით

კარგად დაიმახსოვრეთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულა, ის შეუცვლელია გამოთვლებში და საკმაოდ გავრცელებულია მარტივ ცხოვრებისეულ სიტუაციებში.

3) თუ თქვენ გჭირდებათ არა მთლიანი ჯამის, არამედ მიმდევრობის ნაწილის პოვნა, რომელიც იწყება მისი k-ე წევრიდან, მაშინ შემდეგი ჯამის ფორმულა გამოგადგებათ.

4) პრაქტიკული ინტერესია არითმეტიკული პროგრესიის n წევრის ჯამის პოვნა k-ე რიცხვიდან დაწყებული. ამისათვის გამოიყენეთ ფორმულა

იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის ორმოცდამეათე წევრი 4;7;...

გადაწყვეტილება:

პირობის მიხედვით გვაქვს

განსაზღვრეთ პროგრესის საფეხური

ცნობილი ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ პროგრესიის ორმოცდამეათე წევრს

არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია მისი მესამე და მეშვიდე წევრების მიერ. იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი და ათი ჯამი.

გადაწყვეტილება:

პროგრესიის მოცემულ ელემენტებს ვწერთ ფორმულების მიხედვით

არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია მნიშვნელისა და მისი ერთ-ერთი წევრის მიერ. იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი, მისი 50 წევრის ჯამი 50-დან და პირველი 100-ის ჯამი.

გადაწყვეტილება:

მოდით დავწეროთ პროგრესიის მეასე ელემენტის ფორმულა

და იპოვე პირველი

პირველზე დაყრდნობით ვხვდებით პროგრესიის 50-ე ტერმინს

პროგრესიის ნაწილის ჯამის პოვნა

და პირველი 100-ის ჯამი

პროგრესიის ჯამი არის 250. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის წევრების რაოდენობა, თუ:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

გადაწყვეტილება:

განტოლებებს ვწერთ პირველი წევრისა და პროგრესიის საფეხურის მიხედვით და განვსაზღვრავთ მათ

მიღებულ მნიშვნელობებს ვანაცვლებთ ჯამის ფორმულას, რათა განვსაზღვროთ ჯამში წევრების რაოდენობა.

გამარტივებების გაკეთება

და ამოხსენით კვადრატული განტოლება

ნაპოვნი ორი მნიშვნელობიდან მხოლოდ ნომერი 8 არის შესაფერისი პრობლემის მდგომარეობისთვის. ამრიგად, პროგრესიის პირველი რვა წევრის ჯამი არის 111.

განტოლების ამოხსნა

1+3+5+...+x=307.

გადაწყვეტილება:

ეს განტოლება არის არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი. ჩვენ ვწერთ მის პირველ ტერმინს და ვპოულობთ პროგრესირების განსხვავებას

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობებს პროგრესიის ჯამის ფორმულაში, რათა ვიპოვოთ ტერმინების რაოდენობა

როგორც წინა ამოცანაში, ვასრულებთ გამარტივებებს და ვხსნით კვადრატულ განტოლებას

აირჩიეთ ორი მნიშვნელობიდან უფრო ლოგიკური. გვაქვს, რომ პროგრესიის 18 წევრის ჯამი მოცემული მნიშვნელობებით a1=1, d=2 უდრის Sn=307.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები: არითმეტიკული პროგრესია

დავალება 1

სტუდენტურმა გუნდმა გააფორმა კონტრაქტი ახალგაზრდული კლუბის დარბაზში 288მ2 ფართობის იატაკზე კერამიკული ფილების დაგებაზე.გამოცდილების შეგროვებით მოსწავლეები ყოველი მეორე დღიდან დაწყებული მეორიდან 2მ2-ით მეტს აწყობდნენ წინაზე და მათ ჰქონდათ საკმარისი ფილები ზუსტად 11 დღის მუშაობისთვის. იმავე გზით გეგმავდა პროდუქტიულობის გაზრდას, წინამძღვარმა დაადგინა, რომ სამუშაოს დასრულებას კიდევ 5 დღე დასჭირდებოდა. რამდენი ყუთი ფილები უნდა შეუკვეთოს, თუ 1 ყუთი საკმარისია 1,2 მ2 იატაკისთვის, ხოლო 3 ყუთი სჭირდება უხარისხო ფილების გამოცვლას?

გადაწყვეტილება

პრობლემის პირობით, ცხადია, რომ საუბარია არითმეტიკულ პროგრესიაზე, რომელშიც ლ

a1=x, Sn=288, n=16

შემდეგ ვიყენებთ ფორმულას: Sn= (2а1+d(n-1))*n/0.86=200mm Hg. Ხელოვნება.

288=(2x+2*15)*16/2

გამოთვალეთ რამდენ მ2-ს დააყენებენ მოსწავლეები 11 დღეში: S11=(2*3+2*10)*11.2=143m 2

11 დღის მუშაობის შემდეგ დარჩა 288-143=145მ2, ე.ი. 5 დღის განმავლობაში

145/1,2=121(დაახლოებით) ყუთის შეკვეთა საჭიროა 5 დღის განმავლობაში.

დეფექტებით უნდა შეუკვეთოთ 121+3=124 ყუთი

პასუხი: 124 ყუთი

დავალება 2

განზავების ტუმბოს დგუშის ყოველი მოძრაობის შემდეგ მასში არსებული ჰაერის 20% ამოღებულია ჭურჭლიდან. მოდით განვსაზღვროთ ჰაერის წნევა გემის შიგნით ექვსი დგუშის მოძრაობის შემდეგ, თუ საწყისი წნევა იყო 760 მმ Hg. Ხელოვნება.

გადაწყვეტილება

ვინაიდან დგუშის ყოველი მოძრაობის შემდეგ ჭურჭლიდან იხსნება არსებული ჰაერის 20%, ჰაერის 80% რჩება. დგუშის შემდეგი მოძრაობის შემდეგ ჭურჭელში ჰაერის წნევის გასარკვევად, დგუშის წინა მოძრაობის წნევა უნდა გაზარდოთ 0,8-ით.

ჩვენ გვაქვს გეომეტრიული პროგრესია, რომლის პირველი წევრია 760 და რომლის მნიშვნელი არის 0,8. რიცხვი, რომელიც გამოხატავს ჭურჭელში ჰაერის წნევას (მმ Hg) დგუშის ექვსი დარტყმის შემდეგ, ამ პროგრესიის მეშვიდე წევრია. უდრის 760*0.86=200მმ ვწყ.სვ. Ხელოვნება.

პასუხი: 200 mmHg

მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია, სადაც მეხუთე და მეათე წევრი უდრის შესაბამისად 38 და 23. იპოვეთ პროგრესიის მეთხუთმეტე წევრი და მისი პირველი ათი წევრის ჯამი.

გადაწყვეტილება:

იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის წევრის რიცხვი 5,14,23,..., თუ ​​მისი მე-ა წევრი უდრის 239-ს.

გადაწყვეტილება:

Პოვნა არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა რიცხვია 9,12,15,..., თუ ​​მისი ჯამი არის 306..

გადაწყვეტილება:

იპოვეთ x, რომლისთვისაც რიცხვები x-1, 2x-1, x2-5 ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას

გადაწყვეტილება:

იპოვნეთ განსხვავება პროგრესის 1 და 2 წევრს შორის:

d=(2x-1)-(x-1)=x

იპოვნეთ განსხვავება პროგრესის 2 და 3 წევრს შორის:

d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4

იმიტომ რომ განსხვავება იგივეა, მაშინ პროგრესის პირობები შეიძლება გაიგივდეს:

ორივე შემთხვევაში შემოწმებისას მიიღება არითმეტიკული პროგრესია

პასუხი: x=-1 და x=4-ზე

არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია მისი მესამე და მეშვიდე წევრებით a3=5; a7=13. იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი და ათი ჯამი.

გადაწყვეტილება:

პირველ განტოლებას ვაკლებთ მეორე განტოლებას, შედეგად ვპოულობთ პროგრესირების საფეხურს

a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, ასე რომ d=2

ნაპოვნი მნიშვნელობა შეიცვლება რომელიმე განტოლებაში არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრის საპოვნელად

გამოთვალეთ პროგრესიის პირველი ათი წევრის ჯამი

S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100

პასუხი: a1=1; S10=100

არითმეტიკულ პროგრესიაში, რომლის პირველი წევრია -3,4 და სხვაობა 3, იპოვეთ მეხუთე და მეთერთმეტე წევრი.

ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ a1 = -3.4; d = 3. იპოვეთ: a5, a11-.

გადაწყვეტილება.არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის საპოვნელად ვიყენებთ ფორმულას: an = a1+ (n – 1)d. Ჩვენ გვაქვს:

a5 \u003d a1 + (5 - 1) d \u003d -3.4 + 4 3 \u003d 8.6;

a11 \u003d a1 + (11 - 1) d \u003d -3.4 + 10 3 \u003d 26.6.

როგორც ხედავთ, ამ შემთხვევაში გამოსავალი არ არის რთული.

არითმეტიკული პროგრესიის მეთორმეტე წევრია 74, სხვაობა კი -4. იპოვეთ ამ პროგრესიის ოცდამეოთხე წევრი.

გვეუბნებიან, რომ a12 = 74; d = -4 და თქვენ უნდა იპოვოთ a34-.

ამ პრობლემაში შეუძლებელია an = a1 + (n – 1)d ფორმულის დაუყოვნებლივ გამოყენება, რადგან პირველი ტერმინი a1 ცნობილი არ არის. ეს პრობლემა შეიძლება მოგვარდეს რამდენიმე ეტაპად.

1. a12 ტერმინისა და n-ე წევრის ფორმულის გამოყენებით ვპოულობთ a1-ს:

a12 = a1 + (12 – 1)d, ახლა გაამარტივეთ და ჩაანაცვლეთ d: a12 = a1 + 11 (-4). ამ განტოლებიდან ვპოულობთ a1: a1 = a12 - (-44);

ამოცანის მდგომარეობიდან მეთორმეტე წევრი ვიცით, ამიტომ უპრობლემოდ ვიანგარიშებთ a1-ს

a1 = 74 + 44 = 118. გადავიდეთ მეორე საფეხურზე - a34-ის გამოთვლაზე.

2. ისევ an = a1 + (n - 1)d ფორმულის მიხედვით, რადგან a1 უკვე ცნობილია, განვსაზღვრავთ a34-,

a34 = a1 + (34 - 1)d = 118 + 33 (-4) = 118 - 132 = -14.

პასუხი: არითმეტიკული პროგრესიის ოცდამეოთხე წევრია -14.

როგორც ხედავთ, მეორე მაგალითის გადაწყვეტა უფრო რთულია. ერთი და იგივე ფორმულა ორჯერ გამოიყენება პასუხის მისაღებად. მაგრამ ყველაფერი იმდენად რთულია. გამოსავალი შეიძლება შემცირდეს დამატებითი ფორმულების გამოყენებით.

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, თუ a1 ცნობილია პრობლემაში, მაშინ ძალიან მოსახერხებელია არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის განსაზღვრის ფორმულის გამოყენება. მაგრამ, თუ პირობაში არ არის მითითებული პირველი ტერმინი, მაშინ შეიძლება გამოვიდეს ფორმულა, რომელიც აკავშირებს ჩვენთვის საჭირო n-ე ტერმინს და პრობლემაში მითითებულ ტერმინს ak.

an = ak + (n – k)d.

მოდით გადავჭრათ მეორე მაგალითი, მაგრამ ახალი ფორმულის გამოყენებით.

მოცემულია: a12 = 74; d=-4. იპოვეთ: a34-.

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას an = ak + (n – k)d. ჩვენს შემთხვევაში ეს იქნება:

a34 = a12 + (34 - 12) (-4) = 74 + 22 (-4) = 74 - 88 = -14.

პრობლემაში პასუხი გაცილებით სწრაფად იქნა მიღებული, რადგან არ იყო საჭირო დამატებითი მოქმედებების შესრულება და პროგრესის პირველი წევრის ძებნა.

ზემოაღნიშნული ფორმულების გამოყენებით შეგიძლიათ ამოხსნათ პრობლემები არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობის გამოსათვლელად. ასე რომ, an = a1 + (n - 1)d ფორმულის გამოყენებით, შეგვიძლია გამოვხატოთ d:

d = (an - a1) / (n - 1). თუმცა, მოცემული პირველი ტერმინის ამოცანები არც თუ ისე გავრცელებულია და მათი ამოხსნა შესაძლებელია ჩვენი ფორმულით an = ak + (n – k)d, საიდანაც ჩანს, რომ d = (an – ak) / (n – ლ). განვიხილოთ ასეთი ამოცანა.

იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, თუ ცნობილია, რომ a3 = 36; a8 = 106.

ჩვენ მიერ მიღებული ფორმულის გამოყენებით, პრობლემის გადაწყვეტა შეიძლება დაიწეროს ერთ სტრიქონში:

d = (a8 - a3) / (8 - 3) = (106 - 36) / 5 = 14.

ეს ფორმულა არსენალში რომ არ ყოფილიყო, პრობლემის გადაჭრას გაცილებით მეტი დრო დასჭირდებოდა, რადგან უნდა ამოხსნას ორი განტოლების სისტემა.

გეომეტრიული პროგრესიები

1. მე-ე წევრის ფორმულა (პროგრესიის გენერალური წევრი).
2. პროგრესიის პირველი წევრების ჯამის ფორმულა:. როდესაც ჩვეულებრივად არის საუბარი კონვერგენტულ გეომეტრიულ პროგრესირებაზე; ამ შემთხვევაში, თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ მთელი პროგრესიის ჯამი ფორმულის გამოყენებით.
3. „გეომეტრიული საშუალოს“ ფორმულა: თუ , , არის გეომეტრიული პროგრესიის სამი თანმიმდევრული წევრი, მაშინ განმარტების მიხედვით გვაქვს ურთიერთობა: ან ან .