მოდულიან აბსოლუტური მნიშვნელობანამდვილ რიცხვს ეწოდება თავად რიცხვი, თუ Xარის არაუარყოფითი და საპირისპირო რიცხვი, ე.ი. -x თუ Xუარყოფითი:

ცხადია, მაგრამ განსაზღვრებით, |x| > 0. ცნობილია აბსოლუტური სიდიდეების შემდეგი თვისებები:

• 1) ჰუ| = |dg| |რ/1;
• 2>--H;

ზეზე

• 3) |x+r/|
• 4) |დტ-გ/|

ორი რიცხვის განსხვავების მოდული X - ა| არის მანძილი წერტილებს შორის Xდა არიცხვთა ხაზზე (ნებისმიერი Xდა ა).

აქედან გამომდინარეობს, კერძოდ, რომ უტოლობის ამონახსნები X - ა 0) არის ყველა წერტილი Xინტერვალი (ა- გ, ა + გ), ე.ი. რიცხვები, რომლებიც აკმაყოფილებენ უტოლობას ა-დ + გ.

ასეთი ინტერვალი (ა- 8, ა+ დ) ეწოდება წერტილის 8-სამეზობლო ა.

ფუნქციების ძირითადი თვისებები

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, მათემატიკაში ყველა სიდიდე იყოფა მუდმივებად და ცვლადებად. მუდმივი ღირებულებაეწოდება სიდიდე, რომელიც ინარჩუნებს იგივე მნიშვნელობას.

ცვლადიარის სიდიდე, რომელსაც შეუძლია მიიღოს სხვადასხვა რიცხვითი მნიშვნელობა.

განმარტება 10.8. ცვლადი ზედაურეკა ფუნქცია x ცვლადის, თუ რაიმე წესის მიხედვით, x e-ის თითოეული მნიშვნელობა Xმინიჭებული აქვს კონკრეტული მნიშვნელობა ზეევროპა; დამოუკიდებელ ცვლადს x-ს ჩვეულებრივ უწოდებენ არგუმენტს და სკოპს Xმის ცვლილებას ფუნქციის ფარგლები ეწოდება.

Ის ფაქტი, რომ ზეარსებობს ფუნქცია otx, რომელიც ყველაზე ხშირად გამოხატულია სიმბოლური აღნიშვნით: ზე= /(x).

ფუნქციების განსაზღვრის რამდენიმე გზა არსებობს. მთავარად სამი ითვლება: ანალიტიკური, ცხრილი და გრაფიკული.

ანალიტიკურიგზა. ეს მეთოდი მოიცავს არგუმენტს (დამოუკიდებელ ცვლადს) და ფუნქციას შორის კავშირის დაყენებას ფორმულის (ან ფორმულების) სახით. ჩვეულებრივ /(x) არის რაღაც ანალიტიკური გამოხატულება, რომელიც შეიცავს x. ამ შემთხვევაში, ფუნქცია განისაზღვრება ფორმულით, მაგალითად, ზე= 2x + 1, ზე= tgx და ა.შ.

ცხრილიფუნქციის განსაზღვრის გზა არის ის, რომ ფუნქცია მოცემულია ცხრილით, რომელიც შეიცავს x არგუმენტის მნიშვნელობებს და f(.r) ფუნქციის შესაბამის მნიშვნელობებს. მაგალითებია გარკვეული პერიოდის დანაშაულთა რაოდენობის ცხრილები, ექსპერიმენტული გაზომვების ცხრილები, ლოგარითმების ცხრილი.

გრაფიკულიგზა. სიბრტყეზე მოცემული იყოს დეკარტის მართკუთხა კოორდინატების სისტემა ჰო.ფუნქციის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია ეფუძნება შემდეგს.

განმარტება 10.9. განრიგიფუნქციას ეწოდება სიბრტყის წერტილების ლოკუსი, კოორდინატები (x, y)რომელიც აკმაყოფილებს პირობას: w-ah).

ფუნქცია მოცემულია გრაფიკულად, თუ მისი გრაფიკი დახატულია. გრაფიკული მეთოდი ფართოდ გამოიყენება ექსპერიმენტულ გაზომვებში თვითჩამწერი მოწყობილობების გამოყენებით.

ფუნქციების ვიზუალური გრაფიკი თვალწინ რომ გქონდეთ, ძნელი არ არის მისი მრავალი თვისების წარმოდგენა, რაც გრაფიკს ფუნქციის შესასწავლად შეუცვლელ ინსტრუმენტად აქცევს. მაშასადამე, შედგენა ფუნქციის შესწავლის ყველაზე მნიშვნელოვანი (ჩვეულებრივ საბოლოო) ნაწილია.

თითოეულ მეთოდს აქვს თავისი დადებითი და უარყოფითი მხარეები. ასე რომ, გრაფიკული მეთოდის უპირატესობებში შედის მისი ხილვადობა, უარყოფითი მხარეები - მისი უზუსტობა და შეზღუდული წარმოდგენა.

მოდით მივმართოთ ფუნქციების ძირითადი თვისებების განხილვას.

ლუწი და კენტი.ფუნქცია y = f(x)დაურეკა თუნდაც,თუ რომელიმესთვის Xმდგომარეობა f(-x) = f(x).თუ ამისთვის Xგანმარტების დომენიდან დაკმაყოფილებულია პირობა f(-x) = -/(x), შემდეგ ფუნქციას ეძახიან. კენტი.ფუნქციას, რომელიც არ არის ლუწი ან კენტი, ფუნქცია ეწოდება ზოგადი ხედი.

• 1) y = x 2არის თანაბარი ფუნქცია, ვინაიდან f(-x) = (-x) 2 = x 2,ანუ/(-x) =/(.r);
• 2) y= x 3 - კენტი ფუნქცია, ვინაიდან (-x) 3 \u003d -x 3, ტ.ს. /(-x) = -/(x);
• 3) y= x 2 + x არის ზოგადი ფუნქცია. აქ / (x) \u003d x 2 + x, / (-x) \u003d (-x) 2 +
• (-x) \u003d x 2 - x, / (-x) * / (x); / (-x) - / "/ (-x).

ლუწი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია ღერძის მიმართ ოჰ,ხოლო კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია საწყისის მიმართ.

მონოტონური. ფუნქცია ზე=/(x) ეწოდება იზრდებაშორის x,თუ რომელიმე x, x 2 e X x 2 > x უტოლობიდან გამომდინარეობს / (x 2) > / (x,). ფუნქცია ზე=/(x) ეწოდება მცირდება,თუ x 2 > x-დან მოჰყვება / (x 2) (x,).

ფუნქციას ეძახიან ერთფეროვანიშორის x,თუ ის ან იზრდება მთელ ამ ინტერვალზე ან მცირდება მასზე.

მაგალითად, ფუნქცია y= x 2 მცირდება (-°°; 0) და იზრდება (0; +°°-ით).

გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ მივეცით მონოტონური ფუნქციის განმარტება მკაცრი გაგებით. ზოგადად, მონოტონური ფუნქციები მოიცავს არაკლებად ფუნქციებს, ე.ი. რომელთათვისაც x 2 > x-დან მოჰყვება / (x 2) > / (x,) და არამზარდი ფუნქციები, ე.ი. ისინი, რისთვისაც x 2 > x, შემდეგია / (x 2)

შეზღუდვა. ფუნქცია ზე=/(x) ეწოდება შეზღუდულიშორის x,თუ არის ასეთი რიცხვი M > 0 ისეთი, რომ |/(x)| M ნებისმიერი x e-სთვის x.

მაგალითად, ფუნქცია ზე =-

ესაზღვრება მთელ რიცხვთა წრფეზე, ასე

პერიოდულობა. ფუნქცია ზე = f(x)დაურეკა პერიოდულითუ არის ასეთი რიცხვი თ^ ოჰ რა f(x + T = f(x)ყველასთვის Xფუნქციის ფარგლებიდან.

Ამ შემთხვევაში თფუნქციის პერიოდს უწოდებენ. ცხადია, თუ T -ფუნქციონირების პერიოდი y = f(x),მაშინ ამ ფუნქციის პერიოდებიც არის 2T, 3 თდა ა.შ. ამიტომ, ჩვეულებრივ, ფუნქციის პერიოდი არის ყველაზე პატარა დადებითი პერიოდი (თუ ის არსებობს). მაგალითად, ფუნქციებს / = cos.r აქვს წერტილი T= 2P,და ფუნქცია y=ტგ Zx -პერიოდი p/3.

Შენი მიზანი:

ნათლად იცოდეს რეალური რიცხვის მოდულის განმარტება;

გაიგოს რეალური რიცხვის მოდულის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია და შეძლოს მისი გამოყენება ამოცანების ამოხსნისას;

იცოდეს მოდულის თვისებები და შეძლოს პრობლემების გადაჭრაში გამოყენება;

შეძლოს კოორდინატთა ხაზის ორ წერტილს შორის მანძილის გაგება და მისი გამოყენება ამოცანების გადაჭრისას.

შეყვანის ინფორმაცია

რეალური რიცხვის მოდულის კონცეფცია. რეალური რიცხვის მოდული ეწოდება თავად ამ რიცხვს, თუ , და მის საპირისპირო რიცხვს, თუ< 0.

რიცხვის მოდული აღინიშნება და იწერება:

მოდულის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია . გეომეტრიულადრეალური რიცხვის მოდული არის მანძილი კოორდინატთა წრფეზე მოცემული რიცხვის წარმომადგენლი წერტილიდან საწყისამდე.

მოდულის გეომეტრიული მნიშვნელობის საფუძველზე განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა მოდულებით. „საკოორდინატთა ხაზის ორ წერტილს შორის მანძილის“ გამოყენებით შესაძლებელია ამოხსნათ ფორმის ან ფორმის უტოლობების განტოლებები, სადაც ნიშნის ნაცვლად ნებისმიერი ნიშანი შეიძლება იყოს .

მაგალითი.მოდი ამოვხსნათ განტოლება.

გადაწყვეტილება.მოდით გადავაფორმოთ პრობლემა გეომეტრიულად. ვინაიდან არის მანძილი კოორდინატთა ხაზზე წერტილებს შორის კოორდინატებით და , ეს ნიშნავს, რომ საჭიროა ასეთი წერტილების კოორდინატების პოვნა, მანძილი, საიდანაც 1 კოორდინატის მქონე წერტილებამდე უდრის 2-ს.

მოკლედ, კოორდინატთა წრფეზე იპოვეთ წერტილთა კოორდინატების სიმრავლე, რომლიდანაც მანძილი 1 კოორდინატის წერტილამდე უდრის 2-ს.

მოვაგვაროთ ეს პრობლემა. კოორდინატთა წრფეზე აღვნიშნავთ წერტილს, რომლის კოორდინატი უდრის 1-ს (ნახ. 6). წერტილები, რომელთა კოორდინატები უდრის -1-ს და 3-ს, ამ წერტილიდან ამოღებულია ორი ერთეული. შესაბამისად, წერტილების კოორდინატების საჭირო სიმრავლე. არის სიმრავლე, რომელიც შედგება რიცხვებისგან -1 და 3.

პასუხი: -1; 3.

როგორ მოვძებნოთ მანძილი ორ წერტილს შორის კოორდინატთა წრფეზე. რიცხვი, რომელიც გამოხატავს მანძილს წერტილებს შორის და , უწოდა მანძილი რიცხვებს შორის და .

ნებისმიერი ორი წერტილისთვის და კოორდინატისთვის, მანძილი

.

რეალური რიცხვის მოდულის ძირითადი თვისებები:

3. ;

7. ;

8. ;

9. ;

როცა გვაქვს:

11. მაშინ მხოლოდ მაშინ, როცა ან ;

12. მაშინ მხოლოდ მაშინ, როცა ;

13. მაშინ მხოლოდ მაშინ, როცა ან ;

14. მაშინ მხოლოდ მაშინ, როცა;

11. მაშინ მხოლოდ მაშინ, როცა .

პრაქტიკული ნაწილი

სავარჯიშო 1. აიღეთ ცარიელი ფურცელი და ჩაწერეთ ქვემოთ მოცემული ზეპირი სავარჯიშოების პასუხები.

შეამოწმეთ თქვენი პასუხები პასუხებით ან მოკლე ინსტრუქციებით, რომლებიც განთავსებულია სასწავლო ელემენტის ბოლოს სათაურით „თქვენი დამხმარე“.

1. გაფართოების მოდულის ნიშანი:

ა) |–5|; ბ) |5|; გ) |0|; დ) |პ|.

2. შეადარეთ რიცხვები:

ა) || და -; გ) |0| და 0; ე) – |–3| და -3; ზ) –4| ა| და 0;

ბ) |–p| და p; დ) |–7.3| და -7.3; ვ) | ა| და 0; თ) 2| ა| და |2 ა|.

3. როგორ, მოდულის ნიშნის გამოყენებით, დავწეროთ ეს რიცხვებიდან ერთი მაინც ა, ბან თანგანსხვავდება ნულიდან?

4. როგორ გამოვიყენოთ ტოლობის ნიშანი თითოეული რიცხვის დასაწერად ა, ბდა თანნულის ტოლია?

5. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

ა) | ა| – ა; ბ) ა + |ა|.

6. ამოხსენით განტოლება:

ა) | X| = 3; გ) | X| = -2; ე) |2 X– 5| = 0;

ბ) | X| = 0; დ) | X– 3| = 4; ვ) |3 X– 7| = – 9.

7. რა შეიძლება ითქვას ციფრებზე Xდა ზე, თუ:

ა) | X| = X; ბ) | X| = –X; გ) | X| = |ზე|?

8. ამოხსენით განტოლება:

ა) | X– 2| = X– 2; გ) | X– 3| =|7 – X|;

ბ) | X– 2| = 2 – X; დ) | X– 5| =|X– 6|.

9. რა შეიძლება ითქვას რიცხვზე ზეთუ თანასწორობა მოქმედებს:

ა) ი Xï = ზე; ბ) ი Xï = – ზე ?

10. ამოხსენით უტოლობა:

ა) | X| > X; გ) | X| > –X; ე) | X| £ X;

ბ) | X| ³ X; დ) | X| ³ – X; ვ) | X| £ – X.

11. ჩამოთვალეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც თანასწორობა მოქმედებს:

ა) | ა| = ა; ბ) | ა| = –ა; in) ა – |–ა| =0; დ) | ა|ა= –1; ე) = 1.

12. იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ბ, რომლისთვისაც მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:

ა) | ბ| ³ 1; ბ) | ბ| < 1; в) |ბ| £0; დ) | ბ| ³ 0; ე) 1< |ბ| < 2.

მათემატიკის გაკვეთილებზე შეიძლება შეგხვედრიათ შემდეგი დავალება. გადაწყვიტეთ, რომელი დავალების შესრულება გჭირდებათ. სირთულის შემთხვევაში მიმართეთ განყოფილებას „თქვენი თანაშემწე“, მასწავლებლის რჩევისთვის ან მეგობრის დახმარებისთვის.

დავალება 2.რეალური რიცხვის მოდულის განსაზღვრის საფუძველზე ამოხსენით განტოლება:

დავალება 4.მანძილი წერტილებს შორის, რომლებიც წარმოადგენენ რეალურ რიცხვებს α და β კოორდინატთა ხაზზე, უდრის | α – β |. გამოიყენეთ ეს განტოლების ამოსახსნელად.

სკოლაში, ყოველწლიურად, მოსწავლეები ახალ თემებს იღებენ მათემატიკის გაკვეთილზე. მე-6 კლასი ჩვეულებრივ სწავლობს რიცხვის მოდულს - ეს არის მნიშვნელოვანი ცნება მათემატიკაში, რომელთანაც მუშაობა მოგვიანებით გვხვდება ალგებრასა და უმაღლეს მათემატიკაში. ძალიან მნიშვნელოვანია თავიდანვე სწორად გაიგოთ ტერმინის ახსნა და გაიგოთ ეს თემა, რათა წარმატებით გაიაროთ სხვა თემები.

დასაწყისისთვის, უნდა გვესმოდეს, რომ აბსოლუტური მნიშვნელობა არის პარამეტრი სტატისტიკაში (იზომება რაოდენობრივად), რომელიც ახასიათებს შესასწავლ ფენომენს მისი მოცულობის მიხედვით. ამ შემთხვევაში, ფენომენი უნდა განხორციელდეს გარკვეული დროის ფარგლებში და გარკვეული ლოკაციით. განასხვავებენ ღირებულებებს:

• შეჯამება - შესაფერისია ერთეულების ჯგუფისთვის ან მთელი მოსახლეობისთვის;
• ინდივიდუალური - შესაფერისია მხოლოდ გარკვეული მოსახლეობის ერთეულთან მუშაობისთვის.

ცნებები ფართოდ გამოიყენება სტატისტიკურ გაზომვებში, რომელთა შედეგია ინდიკატორები, რომლებიც ახასიათებენ გარკვეული ფენომენის თითოეული ერთეულის აბსოლუტურ განზომილებებს. ისინი იზომება ორ ინდიკატორში: ბუნებრივი, ე.ი. ფიზიკური ერთეულები (ცალი, ხალხი) და პირობითად ბუნებრივი. მოდული მათემატიკაში არის ამ ინდიკატორების ჩვენება.

რა არის რიცხვის მოდული?

Მნიშვნელოვანი!"მოდულის" ეს განმარტება ლათინურიდან ითარგმნება როგორც "ზომა" და ნიშნავს ნებისმიერი ნატურალური რიცხვის აბსოლუტურ მნიშვნელობას.

მაგრამ ამ კონცეფციას ასევე აქვს გეომეტრიული ახსნა, რადგან მოდული გეომეტრიაში უდრის მანძილს კოორდინატთა სისტემის საწყისიდან X წერტილამდე, რომელიც იზომება გაზომვის ჩვეულ ერთეულებში.

რიცხვისთვის ამ ინდიკატორის დასადგენად, არ უნდა გავითვალისწინოთ მისი ნიშანი (მინუს, პლუს), მაგრამ უნდა გვახსოვდეს, რომ ის არასოდეს შეიძლება იყოს უარყოფითი. ეს მნიშვნელობა ქაღალდზე ხაზგასმულია გრაფიკულად კვადრატული ფრჩხილების სახით - |a|. ამ შემთხვევაში, მათემატიკური განმარტება არის:

|x| = x თუ x მეტია ან ტოლია ნულისა და -x თუ ნულზე ნაკლებია.

ინგლისელი მეცნიერი რ.კოტესი იყო ადამიანი, ვინც პირველად გამოიყენა ეს კონცეფცია მათემატიკური გამოთვლებში. მაგრამ კ.ვაიერშტრასმა, მათემატიკოსმა გერმანიიდან, გამოიგონა და გამოიყენა გრაფიკული სიმბოლო.

მოდულის გეომეტრიაში შეგვიძლია განვიხილოთ კოორდინატთა ხაზის მაგალითი, რომელზეც გამოსახულია 2 თვითნებური წერტილი. დავუშვათ, რომ ერთს - A-ს აქვს 5-ის მნიშვნელობა, ხოლო მეორეს B-ს - 6. ნახატის დეტალური შესწავლის შედეგად ირკვევა, რომ მანძილი A-დან B-მდე არის 5 ერთეული ნულიდან, ე.ი. საწყისი, ხოლო B წერტილი მდებარეობს საწყისიდან 6 ერთეულით. შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მოდულის წერტილები, A = 5, და წერტილები B = 6. გრაფიკულად, ეს შეიძლება აღვნიშნოთ შემდეგნაირად: | 5 | = 5. ანუ მანძილი წერტილიდან საწყისამდე არის მოცემული წერტილის მოდული.

სასარგებლო ვიდეო: რა არის რეალური რიცხვის მოდული?

Თვისებები

ნებისმიერი მათემატიკური კონცეფციის მსგავსად, მოდულს აქვს საკუთარი მათემატიკური თვისებები:

1. ის ყოველთვის დადებითია, ამიტომ დადებითი მნიშვნელობის მოდული თავად არის, მაგალითად, 6-ის და -6-ის მოდული არის 6. მათემატიკურად, ეს თვისება შეიძლება დაიწეროს როგორც |a| = a, a> 0-ისთვის;
2. საპირისპირო რიცხვების მაჩვენებლები ერთმანეთის ტოლია. ეს თვისება უფრო მკაფიოა გეომეტრიულ პრეზენტაციაში, რადგან სწორ ხაზზე ეს რიცხვები განლაგებულია სხვადასხვა ადგილას, მაგრამ ამავე დროს ისინი გამოყოფილია საწყისიდან თანაბარი რაოდენობის ერთეულებით. მათემატიკურად ეს იწერება შემდეგნაირად: |a| = |-a|;
3. ნულის მოდული არის ნული, იმ პირობით, რომ რეალური რიცხვი არის ნული. ამ თვისებას მხარს უჭერს ის ფაქტი, რომ ნული არის საწყისი. გრაფიკულად ეს იწერება შემდეგნაირად: |0| = 0;
4. თუ გსურთ იპოვოთ ორი გამრავლებული ციფრის მოდული, უნდა გესმოდეთ, რომ ის ტოლი იქნება მიღებული ნამრავლის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, A და B რაოდენობების ნამრავლი = AB, იმ პირობით, რომ ისინი დადებითი ან უარყოფითია და მაშინ ნამრავლი უდრის -AB. გრაფიკულად, ეს შეიძლება დაიწეროს როგორც |A*B| = |A| * |B|.

მოდულით განტოლებების წარმატებული ამოხსნა დამოკიდებულია ამ თვისებების ცოდნაზე, რაც ნებისმიერს დაეხმარება ამ ინდიკატორის სწორად გამოთვლაში და მუშაობაში.

მოდულის თვისებები

Მნიშვნელოვანი! მაჩვენებელი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, რადგან ის განსაზღვრავს მანძილს, რომელიც ყოველთვის დადებითია.

განტოლებებში

მათემატიკური უტოლობების მუშაობისა და ამოხსნის შემთხვევაში, რომლებშიც არის მოდული, ყოველთვის უნდა გვახსოვდეს, რომ საბოლოო სწორი შედეგის მისაღებად, უნდა გახსნათ ფრჩხილები, ე.ი. ღია ნიშნის მოდული. ხშირად, ეს არის განტოლების მნიშვნელობა.

ღირს გვახსოვდეს, რომ:

• თუ გამონათქვამი იწერება კვადრატულ ფრჩხილებში, ის უნდა ამოხსნას: |A + 5| \u003d A + 5, როდესაც A მეტია ან ტოლია ნულზე და 5-A, A-ს შემთხვევაში ნულზე ნაკლები;
• კვადრატული ფრჩხილები ყველაზე ხშირად უნდა გაფართოვდეს ცვლადის მნიშვნელობების მიუხედავად, მაგალითად, თუ კვადრატში გამოსახულება ჩასმულია ფრჩხილებში, რადგან გაფართოება მაინც დადებითი რიცხვი იქნება.

ძალიან მარტივია განტოლებების ამოხსნა მოდულით მნიშვნელობების კოორდინატულ სისტემაში შეყვანით, რადგან მაშინ ადვილია ვიზუალურად ნახოს მნიშვნელობები და მათი ინდიკატორები.

სასარგებლო ვიდეო: რეალური რიცხვების მოდული და მისი თვისებები

დასკვნა

ასეთი მათემატიკური კონცეფციის, როგორც მოდულის გაგების პრინციპი ძალზე მნიშვნელოვანია, რადგან ის გამოიყენება უმაღლეს მათემატიკასა და სხვა მეცნიერებებში, ამიტომ თქვენ უნდა შეძლოთ მასთან მუშაობა.

კონტაქტში

ამ სტატიაში ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა. ჩვენ მივცემთ რიცხვის მოდულის სხვადასხვა განმარტებას, შემოგთავაზებთ აღნიშვნას და ვაძლევთ გრაფიკულ ილუსტრაციებს. ამ შემთხვევაში განვიხილავთ რიცხვის მოდულის განსაზღვრის სხვადასხვა მაგალითს. ამის შემდეგ ჩამოვთვლით და ვამართლებთ მოდულის ძირითად თვისებებს. სტატიის ბოლოს ვისაუბრებთ იმაზე, თუ როგორ არის განსაზღვრული და ნაპოვნი რთული რიცხვის მოდული.

გვერდის ნავიგაცია.

რიცხვის მოდული - განმარტება, აღნიშვნა და მაგალითები

ჯერ წარმოგიდგენთ მოდულის აღნიშვნა. a რიცხვის მოდული დაიწერება როგორც , ანუ რიცხვის მარცხნივ და მარჯვნივ დავსვამთ ვერტიკალურ ხაზებს, რომლებიც ქმნიან მოდულის ნიშანს. მოდით მოვიყვანოთ რამდენიმე მაგალითი. მაგალითად, modulo -7 შეიძლება დაიწეროს როგორც ; მოდული 4,125 იწერება როგორც , ხოლო მოდული იწერება როგორც .

მოდულის შემდეგი განმარტება ეხება და, შესაბამისად, მთელ რიცხვებს და რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვებს, როგორც რეალური რიცხვების სიმრავლის შემადგენელ ნაწილებს. ჩვენ ვისაუბრებთ კომპლექსური რიცხვის მოდულზე.

განმარტება.

მოდული აარის ან თავად რიცხვი a, თუ a დადებითი რიცხვია, ან რიცხვი −a, a რიცხვის საპირისპირო, თუ a უარყოფითი რიცხვია, ან 0, თუ a=0.

რიცხვის მოდულის გახმოვანებული განმარტება ხშირად იწერება შემდეგი ფორმით , ეს აღნიშვნა ნიშნავს, რომ თუ a>0 , თუ a=0 და თუ a<0 .

ჩანაწერი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უფრო კომპაქტური ფორმით . ეს აღნიშვნა ნიშნავს, რომ თუ (a მეტია ან ტოლია 0-ზე), და თუ a<0 .

არის ჩანაწერიც . აქ ცალკე უნდა აიხსნას შემთხვევა, როცა a=0. ამ შემთხვევაში გვაქვს , მაგრამ −0=0 , ვინაიდან ნული ითვლება თავის საპირისპირო რიცხვად.

მოვიყვანოთ რიცხვის მოდულის პოვნის მაგალითებიმოცემული განმარტებით. მაგალითად, ვიპოვოთ 15 და ნომრების მოდულები. დავიწყოთ მოძიებით. ვინაიდან რიცხვი 15 დადებითია, მისი მოდული, განსაზღვრებით, უდრის თავად ამ რიცხვს, ანუ . რა არის რიცხვის მოდული? ვინაიდან უარყოფითი რიცხვია, მაშინ მისი მოდული უდრის რიცხვის საპირისპირო რიცხვს, ანუ რიცხვს . ამრიგად, .

ამ პუნქტის დასასრულს ჩვენ ვაძლევთ ერთ დასკვნას, რომელიც ძალიან მოსახერხებელია პრაქტიკაში რიცხვის მოდულის პოვნისას. რიცხვის მოდულის განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, რომ რიცხვის მოდული უდრის რიცხვს მოდულის ნიშნის ქვეშ, მიუხედავად მისი ნიშნისადა ზემოთ განხილული მაგალითებიდან ეს ძალიან ნათლად ჩანს. გაჟღერებული განცხადება განმარტავს, თუ რატომ არის ასევე მოწოდებული რიცხვის მოდული რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა. ასე რომ, რიცხვის მოდული და რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა ერთი და იგივეა.

რიცხვის მოდული მანძილის სახით

გეომეტრიულად, რიცხვის მოდული შეიძლება განიმარტოს როგორც მანძილი. მოვიყვანოთ რიცხვის მოდულის განსაზღვრა მანძილის მიხედვით.

განმარტება.

მოდული აარის მანძილი საწყისიდან კოორდინატთა წრფეზე a რიცხვის შესაბამის წერტილამდე.

ეს განმარტება შეესაბამება პირველ აბზაცში მოცემული რიცხვის მოდულის განმარტებას. მოდით ავხსნათ ეს წერტილი. მანძილი საწყისიდან დადებითი რიცხვის შესაბამის წერტილამდე ამ რიცხვის ტოლია. ნული შეესაბამება საწყისს, ამიტომ მანძილი საწყისიდან წერტილამდე 0 კოორდინატით არის ნული (არც ერთი სეგმენტი და არც ერთი სეგმენტი, რომელიც ადგენს ერთეული სეგმენტის რომელიმე წილადს, არ უნდა გადაიდოს, რათა O წერტილიდან წერტილამდე მივიდეთ. კოორდინატით 0). მანძილი საწყისიდან უარყოფითი კოორდინატის მქონე წერტილამდე უდრის მოცემული წერტილის კოორდინატის საპირისპირო რიცხვს, ვინაიდან ის უდრის მანძილს საწყისიდან იმ წერტილამდე, რომლის კოორდინატი არის საპირისპირო რიცხვი.

მაგალითად, რიცხვი 9-ის მოდული არის 9, რადგან მანძილი საწყისიდან 9 კოორდინატამდე წერტილამდე არის ცხრა. ავიღოთ სხვა მაგალითი. წერტილი −3.25 კოორდინატით არის O წერტილიდან 3.25 დაშორებით, ასე რომ .

რიცხვის მოდულის გახმოვანებული განსაზღვრება არის ორი რიცხვის სხვაობის მოდულის განსაზღვრის განსაკუთრებული შემთხვევა.

განმარტება.

ორი რიცხვის განსხვავების მოდული a და b უდრის მანძილს კოორდინატთა ხაზის წერტილებს შორის a და b კოორდინატებთან.

ანუ, თუ A(a) და B(b) კოორდინატთა წრფეზე მოცემულია წერტილები, მაშინ მანძილი A წერტილიდან B წერტილამდე უდრის a და b რიცხვებს შორის სხვაობის მოდულის. თუ B წერტილად ავიღებთ O წერტილს (საცნობარო პუნქტს), მაშინ მივიღებთ ამ აბზაცის დასაწყისში მოცემული რიცხვის მოდულის განსაზღვრას.

რიცხვის მოდულის განსაზღვრა არითმეტიკული კვადრატული ფესვის მეშვეობით

ზოგჯერ ნაპოვნი მოდულის განსაზღვრა არითმეტიკული კვადრატული ფესვის მეშვეობით.

მაგალითად, გამოვთვალოთ −30 რიცხვების მოდულები და ამ განმარტებაზე დაყრდნობით. Ჩვენ გვაქვს . ანალოგიურად, ჩვენ ვიანგარიშებთ ორი მესამედის მოდულს: .

რიცხვის მოდულის განსაზღვრა არითმეტიკული კვადრატული ფესვის მიხედვით ასევე შეესაბამება ამ მუხლის პირველ პუნქტში მოცემულ განმარტებას. ვაჩვენოთ. მოდით, დადებითი რიცხვი იყოს, ხოლო −a უარყოფითი. მერე და , თუ a=0 , მაშინ .

მოდულის თვისებები

მოდულს აქვს მრავალი დამახასიათებელი შედეგი - მოდულის თვისებები. ახლა ჩვენ მივცემთ მათ მთავარ და ყველაზე ხშირად გამოყენებას. ამ თვისებების დასაბუთებისას დავეყრდნობით რიცხვის მოდულის განსაზღვრას მანძილის მიხედვით.

დავიწყოთ მოდულის ყველაზე აშკარა თვისებით - რიცხვის მოდული არ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვი. პირდაპირი ფორმით, ამ თვისებას აქვს ნებისმიერი რიცხვის ფორმა a . ამ თვისების დასაბუთება ძალიან ადვილია: რიცხვის მოდული არის მანძილი, ხოლო მანძილი არ შეიძლება გამოისახოს როგორც უარყოფითი რიცხვი.

მოდით გადავიდეთ მოდულის შემდეგ თვისებაზე. რიცხვის მოდული ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ეს რიცხვი ნულის ტოლია. ნულის მოდული განსაზღვრებით ნულია. ნული შეესაბამება საწყისს, არც ერთი სხვა წერტილი კოორდინატთა წრფეზე არ შეესაბამება ნულს, ვინაიდან თითოეული რეალური რიცხვი ასოცირდება კოორდინატთა წრფის ერთ წერტილთან. ამავე მიზეზით, ნულის გარდა ნებისმიერი რიცხვი შეესაბამება საწყისის გარდა სხვა წერტილს. და მანძილი საწყისიდან ნებისმიერ წერტილამდე, გარდა O წერტილისა, არ არის ნულის ტოლი, ვინაიდან ორ წერტილს შორის მანძილი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს წერტილები ემთხვევა. ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა ადასტურებს, რომ მხოლოდ ნულის მოდული უდრის ნულს.

Გაინძერი. საპირისპირო რიცხვებს აქვთ თანაბარი მოდულები, ანუ ნებისმიერი რიცხვისთვის a . მართლაც, კოორდინატთა ხაზის ორი წერტილი, რომელთა კოორდინატები საპირისპირო რიცხვებია, ერთსა და იმავე მანძილზეა საწყისთან, რაც ნიშნავს, რომ საპირისპირო რიცხვების მოდულები ტოლია.

შემდეგი მოდულის თვისებაა: ორი რიცხვის ნამრავლის მოდული უდრის ამ რიცხვების მოდულების ნამრავლს, ე.ი. განმარტებით, a და b რიცხვების ნამრავლის მოდული არის a b თუ , ან −(a b) თუ . ნამდვილ რიცხვთა გამრავლების წესებიდან გამომდინარეობს, რომ a და b რიცხვების მოდულების ნამრავლი ტოლია ან b , , ან −(a b) , თუ , რომელიც ადასტურებს განხილულ თვისებას.

a-ს b-ზე გაყოფის კოეფიციენტის ტოლია a-ის მოდულის b-ზე გაყოფის კოეფიციენტი., ე.ი. მოდით გავამართლოთ მოდულის ეს თვისება. ვინაიდან კოეფიციენტი ტოლია პროდუქტის, მაშინ . წინა ქონების ძალით გვაქვს . რჩება მხოლოდ ტოლობის გამოყენება, რომელიც ძალაშია რიცხვის მოდულის განსაზღვრის გამო.

შემდეგი მოდულის თვისება იწერება როგორც უტოლობა: , a , b და c არის თვითნებური რეალური რიცხვები. წერილობითი უთანასწორობა სხვა არაფერია თუ არა სამკუთხედის უტოლობა. ამის გასაგებად, ავიღოთ წერტილები A(a), B(b) , C(c) კოორდინატთა წრფეზე და განვიხილოთ გადაგვარებული სამკუთხედი ABC, რომლის წვეროები დევს იმავე წრფეზე. განმარტებით, სხვაობის მოდული უდრის AB სეგმენტის სიგრძეს, - AC სეგმენტის სიგრძეს და - CB სეგმენტის სიგრძეს. ვინაიდან სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდის სიგრძე არ აღემატება დანარჩენი ორი გვერდის სიგრძის ჯამს, უტოლობა მაშასადამე, უთანასწორობაც მოქმედებს.

ახლახან დადასტურებული უთანასწორობა ბევრად უფრო ხშირია ფორმაში . ჩაწერილი უტოლობა ჩვეულებრივ განიხილება, როგორც მოდულის ცალკეული თვისება ფორმულირებით: ” ორი რიცხვის ჯამის მოდული არ აღემატება ამ რიცხვების მოდულების ჯამს". მაგრამ უტოლობა პირდაპირ გამომდინარეობს უტოლობიდან, თუ მასში b-ის ნაცვლად −b ჩავსვამთ და ავიღებთ c=0.

კომპლექსური რიცხვების მოდული

მივცეთ რთული რიცხვის მოდულის განსაზღვრა. მოგვცეს რთული რიცხვი, დაწერილი ალგებრული ფორმით, სადაც x და y არის რამდენიმე რეალური რიცხვი, რომლებიც, შესაბამისად, წარმოადგენს მოცემული z რთული რიცხვის რეალურ და წარმოსახვით ნაწილებს და არის წარმოსახვითი ერთეული.

ჯერ განვსაზღვრავთ გამოხატვის ნიშანს მოდულის ნიშნის ქვეშ და შემდეგ ვაფართოვებთ მოდულს:

• თუ გამოხატვის მნიშვნელობა ნულზე მეტია, მაშინ ჩვენ უბრალოდ ამოვიღებთ მას მოდულის ნიშნის ქვეშ,
• თუ გამონათქვამი არის ნულზე ნაკლები, მაშინ ჩვენ მას ვიღებთ მოდულის ნიშნის ქვეშ, ნიშნის შეცვლისას, როგორც ეს ადრე გავაკეთეთ მაგალითებში.

აბა, ვცადოთ? მოდით შევაფასოთ:

(დაგავიწყდა, გაიმეორე.)

თუ ასეა, რა არის ნიშანი? Რა თქმა უნდა, !

და, შესაბამისად, ჩვენ გამოვავლენთ მოდულის ნიშანს გამოხატვის ნიშნის შეცვლით:

Გავიგე? მაშინ სცადე შენ თვითონ:

პასუხები:

სხვა რა თვისებები აქვს მოდულს?

თუ დაგვჭირდება მოდულის ნიშნის შიგნით რიცხვების გამრავლება, შეგვიძლია უსაფრთხოდ გავამრავლოთ ამ რიცხვების მოდული!!!

მათემატიკური თვალსაზრისით, რიცხვთა ნამრავლის მოდული უდრის ამ რიცხვების მოდულების ნამრავლს.

Მაგალითად:

მაგრამ რა მოხდება, თუ ჩვენ დაგვჭირდება ორი რიცხვის (გამოსახულებების) გაყოფა მოდულის ნიშნის ქვეშ?

დიახ, იგივე, რაც გამრავლებისას! მოდით დავყოთ იგი ორ ცალკეულ რიცხვად (გამონათქვამები) მოდულის ნიშნის ქვეშ:

იმ პირობით, რომ (რადგან ნულზე ვერ გაყოფთ).

ღირს გავიხსენოთ მოდულის კიდევ ერთი თვისება:

რიცხვთა ჯამის მოდული ყოველთვის ნაკლებია ან ტოლია ამ რიცხვების მოდულების ჯამზე:

Რატომ არის, რომ? ყველაფერი ძალიან მარტივია!

როგორც გვახსოვს, მოდული ყოველთვის დადებითია. მაგრამ მოდულის ნიშნის ქვეშ შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი: დადებითიც და უარყოფითიც. დავუშვათ, რომ რიცხვები და ორივე დადებითია. მაშინ მარცხენა გამოხატულება იქნება მარჯვენა გამოსახულების ტოლი.

მოდით შევხედოთ მაგალითს:

თუ მოდულის ნიშნის ქვეშ ერთი რიცხვი უარყოფითია, მეორე კი დადებითი, მარცხენა გამოხატულება ყოველთვის ნაკლები იქნება ვიდრე მარჯვენა:

როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია ამ თვისებით, მოდით განვიხილოთ მოდულის კიდევ რამდენიმე სასარგებლო თვისება.

რა მოხდება, თუ გვაქვს ეს გამოთქმა:

რა ვუყოთ ამ გამოთქმას? ჩვენ არ ვიცით x-ის მნიშვნელობა, მაგრამ უკვე ვიცით რას ნიშნავს.

რიცხვი ნულზე მეტია, რაც ნიშნავს, რომ შეგიძლიათ უბრალოდ დაწეროთ:

ასე რომ, მივედით სხვა საკუთრებამდე, რომელიც ზოგადად შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

რას ნიშნავს ეს გამოთქმა:

ასე რომ, ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ ნიშანი მოდულის ქვეშ. აუცილებელია თუ არა აქ ნიშნის განსაზღვრა?

რა თქმა უნდა არა, თუ გახსოვთ, რომ ნებისმიერი რიცხვი კვადრატში ყოველთვის მეტია ნულზე! თუ არ გახსოვს, ნახე თემა. და რა ხდება? და აი რა:

მშვენიერია, არა? საკმაოდ მოსახერხებელი. ახლა კონკრეტული მაგალითისთვის:

აბა, რატომ ეჭვი? ვიმოქმედოთ თამამად!

გაიგე ყველაფერი? შემდეგ განაგრძეთ და ივარჯიშეთ მაგალითებით!

1. იპოვეთ if გამოხატვის მნიშვნელობა.

2. რა რიცხვებს უდრის მოდული?

3. იპოვე გამოთქმების მნიშვნელობა:

თუ ჯერ ყველაფერი არ არის ნათელი და არის სირთულეები გადაწყვეტილების მიღებაში, მაშინ მოდით გაერკვნენ:

გამოსავალი 1:

ასე რომ, მოდით ჩავანაცვლოთ მნიშვნელობები გამოხატულებაში

გამოსავალი 2:

როგორც გვახსოვს, საპირისპირო რიცხვები მოდულო ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ მოდულის მნიშვნელობა უდრის ორ რიცხვს: და.

გამოსავალი 3:

ა)
ბ)
in)
გ)

დაიჭირე ყველაფერი? მაშინ დროა გადავიდეთ უფრო რთულზე!

ვცადოთ გამოთქმის გამარტივება

გადაწყვეტილება:

ასე რომ, ჩვენ გვახსოვს, რომ მოდულის მნიშვნელობა არ შეიძლება იყოს ნულზე ნაკლები. თუ რიცხვი მოდულის ნიშნის ქვეშ არის დადებითი, მაშინ შეგვიძლია უბრალოდ გამოვრიცხოთ ნიშანი: რიცხვის მოდული ამ რიცხვის ტოლი იქნება.

მაგრამ თუ მოდულის ნიშნის ქვეშ არის უარყოფითი რიცხვი, მაშინ მოდულის ღირებულება უდრის საპირისპირო რიცხვს (ანუ "-" ნიშნით აღებული რიცხვი).

ნებისმიერი გამონათქვამის მოდულის საპოვნელად, ჯერ უნდა გაარკვიოთ, იღებს მას დადებითი მნიშვნელობა თუ უარყოფითი.

გამოდის, მოდულის ქვეშ პირველი გამოხატვის მნიშვნელობა.

ამიტომ, მოდულის ნიშნის ქვეშ გამოხატვა უარყოფითია. მეორე გამოხატულება მოდულის ნიშნის ქვეშ ყოველთვის დადებითია, რადგან ჩვენ ვამატებთ ორ დადებით რიცხვს.

ასე რომ, პირველი გამოხატვის მნიშვნელობა მოდულის ნიშნის ქვეშ არის უარყოფითი, მეორე დადებითი:

ეს ნიშნავს, რომ პირველი გამონათქვამის მოდულის ნიშნის გაფართოებისას ეს გამოთქმა უნდა მივიღოთ „-“ ნიშნით. Ამგვარად:

მეორე შემთხვევაში, ჩვენ უბრალოდ ვტოვებთ მოდულის ნიშანს:

მოდით გავამარტივოთ ეს გამოთქმა მთლიანად:

რიცხვის მოდული და მისი თვისებები (მკაცრი განმარტებები და მტკიცებულებები)

განმარტება:

რიცხვის მოდული (აბსოლუტური მნიშვნელობა) არის თავად რიცხვი, თუ და რიცხვი, თუ:

Მაგალითად:

მაგალითი:

გამოხატვის გამარტივება.

გადაწყვეტილება:

მოდულის ძირითადი თვისებები

Ყველასთვის:

მაგალითი:

დაამტკიცეთ ქონება #5.

მტკიცებულება:

დავუშვათ, რომ არსებობს

მოდით გავამრავლოთ უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები (ეს შეიძლება გაკეთდეს, რადგან უტოლობის ორივე ნაწილი ყოველთვის არაუარყოფითია):

და ეს ეწინააღმდეგება მოდულის განმარტებას.

შესაბამისად, ასეთი არ არსებობს, რაც ნიშნავს, რომ ყველა უთანასწორობისთვის

დამოუკიდებელი გადაწყვეტის მაგალითები:

1) დაამტკიცეთ თვისება #6.

2) გამოთქმის გამარტივება.

პასუხები:

1) გამოვიყენოთ თვისება No3: , და მას შემდეგ, მაშინ

გამარტივების მიზნით, თქვენ უნდა გააფართოვოთ მოდულები. და მოდულების გაფართოებისთვის, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, მოდულის ქვეშ მყოფი გამონათქვამები დადებითია თუ უარყოფითი?

ა. შევადაროთ რიცხვები და და:

ბ. ახლა შევადაროთ:

ჩვენ ვამატებთ მოდულების მნიშვნელობებს:

რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა. მოკლედ მთავარის შესახებ.

რიცხვის მოდული (აბსოლუტური მნიშვნელობა) არის თავად რიცხვი, თუ და რიცხვი, თუ:

მოდულის თვისებები:

1. რიცხვის მოდული არის არაუარყოფითი რიცხვი: ;
2. საპირისპირო რიცხვების მოდულები ტოლია: ;
3. ორი (ან მეტი) რიცხვის ნამრავლის მოდული უდრის მათი მოდულების ნამრავლს: ;
4. ორი რიცხვის კოეფიციენტის მოდული უდრის მათი მოდულების კოეფიციენტს: ;
5. რიცხვთა ჯამის მოდული ყოველთვის ნაკლებია ან ტოლია ამ რიცხვების მოდულების ჯამისა: ;
6. მუდმივი დადებითი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას მოდულის ნიშნიდან: at;