მაგალითი

იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა იმ პირობით, რომ Xდა ზედაკავშირებულია თანაფარდობით: . გეომეტრიულად პრობლემა ნიშნავს შემდეგს: ელიფსზე
თვითმფრინავი
.

ეს პრობლემა შეიძლება გადაწყდეს შემდეგნაირად: განტოლებიდან
იპოვე
X:

იმ პირობით, რომ
, დაყვანილია ერთი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობის პოვნის პრობლემამდე, სეგმენტზე
.

გეომეტრიულად პრობლემა ნიშნავს შემდეგს: ელიფსზე მიღებული ცილინდრის გადაკვეთით
თვითმფრინავი
, საჭიროა აპლიკაციის მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობის პოვნა (ნახ. 9). ეს პრობლემა შეიძლება გადაწყდეს შემდეგნაირად: განტოლებიდან
იპოვე
. y-ის ნაპოვნი მნიშვნელობის ჩანაცვლებით სიბრტყის განტოლებაში, მივიღებთ ერთი ცვლადის ფუნქციას X:

ამრიგად, ფუნქციის ექსტრემის პოვნის პრობლემა
იმ პირობით, რომ
, დაყვანილია ერთი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობის პოვნის პრობლემამდე, სეგმენტზე.

Ისე, პირობითი ექსტრემის პოვნის პრობლემაარის ობიექტური ფუნქციის ექსტრემის პოვნის პრობლემა
, იმ პირობით, რომ ცვლადები Xდა ზეექვემდებარება შეზღუდვას
დაურეკა კავშირის განტოლება.

ჩვენ ამას ვიტყვით წერტილი
, რომელიც აკმაყოფილებს შეზღუდვის განტოლებას, არის ლოკალური პირობითი მაქსიმუმის წერტილი (მინიმუმი) თუ არის სამეზობლო
ისეთი, რომ ნებისმიერი პუნქტისთვის
, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს შეზღუდვის განტოლებას, უტოლობა მოქმედებს.

თუ კომუნიკაციის განტოლებიდან შესაძლებელია გამოთქმის პოვნა ზე, შემდეგ, ამ გამონათქვამის ჩანაცვლებით თავდაპირველ ფუნქციაში, ამ უკანასკნელს ვაქცევთ ერთი ცვლადის კომპლექსურ ფუნქციად X.

პირობითი ექსტრემალური პრობლემის გადაჭრის ზოგადი მეთოდია ლაგრანგის გამრავლების მეთოდი. შევქმნათ დამხმარე ფუნქცია, სადაც ─ რაღაც ნომერი. ეს ფუნქცია ე.წ ლაგრანგის ფუნქცია, ა ─ ლაგრანჟის მულტიპლიკატორი. ამრიგად, პირობითი ექსტრემის პოვნის პრობლემა შემცირდა ლაგრანგის ფუნქციისთვის ადგილობრივი ექსტრემის წერტილების პოვნამდე. შესაძლო ექსტრემის წერტილების საპოვნელად საჭიროა ამოხსნათ 3 განტოლებისგან შემდგარი სისტემა სამი უცნობით. x, yდა.

შემდეგ უნდა გამოიყენოთ შემდეგი საკმარისი ექსტრემალური მდგომარეობა.

თეორემა. წერტილი იყოს შესაძლო უკიდურესობის წერტილი ლაგრანგის ფუნქციისთვის. ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ წერტილის სიახლოვეს
არსებობს ფუნქციების უწყვეტი მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები და . აღნიშნეთ

მაშინ თუ
, მაშინ
─ ფუნქციის პირობითი უკიდურესი წერტილი
შეზღუდვის განტოლებაზე
ამასობაში თუ
, მაშინ
─ პირობითი მინიმალური ქულა, თუ
, მაშინ
─ პირობითი მაქსიმუმის წერტილი.

§რვა. გრადიენტი და მიმართულების წარმოებული

დაუშვით ფუნქცია
განსაზღვრულია ზოგიერთ (ღია) დომენში. განიხილეთ ნებისმიერი წერტილი
ეს ტერიტორია და ნებისმიერი მიმართული სწორი ხაზი (ღერძი) ამ წერტილის გავლით (სურ. 1). დაე იყოს
- ამ ღერძის სხვა პუნქტი,
- შორის სეგმენტის სიგრძე
და
, აღებული პლუსის ნიშნით, თუ მიმართულება
ემთხვევა ღერძის მიმართულებას და მინუს ნიშნით, თუ მათი მიმართულებები საპირისპიროა.

დაე იყოს
უახლოვდება განუსაზღვრელი ვადით
. Ზღვარი

დაურეკა ფუნქციის წარმოებული
მიმართ (ან ღერძის გასწვრივ ) და აღინიშნება შემდეგნაირად:

.

ეს წარმოებული ახასიათებს ფუნქციის „ცვლის სიჩქარეს“ წერტილში
მიმართ . კერძოდ, და ჩვეულებრივი ნაწილობრივი წარმოებულები ,ასევე შეიძლება ჩაითვალოს წარმოებულებად „მიმართულების მიმართ“.

ახლა დავუშვათ, რომ ფუნქცია
აქვს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები განსახილველ რეგიონში. დაუშვით ღერძი კოორდინატთა ღერძებით აყალიბებს კუთხეებს
და . გაკეთებული ვარაუდებით მიმართულების წარმოებული არსებობს და გამოიხატება ფორმულით

.

თუ ვექტორი
დადგენილი მისი კოორდინატებით
, შემდეგ ფუნქციის წარმოებული
ვექტორის მიმართულებით
შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით:

.

ვექტორი კოორდინატებით
დაურეკა გრადიენტის ვექტორიფუნქციები
წერტილში
. გრადიენტის ვექტორი მიუთითებს მოცემულ წერტილში ფუნქციის ყველაზე სწრაფი ზრდის მიმართულებაზე.

მაგალითი

მოცემულია ფუნქცია , წერტილი A(1, 1) და ვექტორი
. იპოვეთ: 1) grad z A წერტილში; 2) წარმოებული A წერტილში ვექტორის მიმართულებით .

მოცემული ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები წერტილში
:

;
.

მაშინ ფუნქციის გრადიენტის ვექტორი ამ ეტაპზე არის:
. გრადიენტის ვექტორი ასევე შეიძლება დაიწეროს ვექტორული გაფართოების გამოყენებით და :

. ფუნქციის წარმოებული ვექტორის მიმართულებით :

Ისე,
,
.◄

საკმარისი პირობა ორი ცვლადის ფუნქციის ექსტრემისთვის

1. ფუნქცია იყოს უწყვეტად დიფერენცირებადი წერტილის რომელიმე მიდამოში და ჰქონდეს უწყვეტი მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები (სუფთა და შერეული).

2. აღნიშნეთ მეორე რიგის განმსაზღვრელი

ექსტრემალური ცვლადი სალექციო ფუნქცია

თეორემა

თუ წერტილი კოორდინატებით არის ფუნქციის სტაციონარული წერტილი, მაშინ:

ა) როდესაც ეს არის ლოკალური ექსტრემის წერტილი და ლოკალური მაქსიმუმზე – ლოკალური მინიმუმი;

გ) როდესაც წერტილი არ არის ლოკალური ექსტრემალური წერტილი;

გ) თუ, შესაძლოა ორივე.

მტკიცებულება

ჩვენ ვწერთ ტეილორის ფორმულას ფუნქციისთვის, შემოვიფარგლებით ორი წევრით:

ვინაიდან თეორემის პირობის მიხედვით წერტილი სტაციონარულია, მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ნულის ტოლია, ე.ი. და. მერე

აღნიშნეთ

შემდეგ ფუნქციის ზრდა მიიღებს ფორმას:

მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულების (სუფთა და შერეული) უწყვეტობის გამო, თეორემის მდგომარეობის მიხედვით, შეგვიძლია დავწეროთ:

სად ან; ,

1. მოდით და, ე.ი. ან.

2. ვამრავლებთ ფუნქციის ნამატს და ვყოფთ, მივიღებთ:

3. შეავსეთ გამოთქმა ხვეული ფრჩხილებში ჯამის სრულ კვადრატში:

4. ხვეული ფრჩხილებში გამოთქმა არაუარყოფითია, ვინაიდან

5. მაშასადამე, თუ და აქედან გამომდინარე, და, მაშინ და, მაშასადამე, განმარტების მიხედვით, წერტილი არის ლოკალური მინიმალური წერტილი.

6. თუ და ნიშნავს, და, მაშინ, განმარტების მიხედვით, წერტილი კოორდინატებით არის ლოკალური მაქსიმალური წერტილი.

2. განვიხილოთ კვადრატული ტრინომი, მისი განმასხვავებელი, .

3. თუ, მაშინ არის ისეთი წერტილები, რომ მრავალწევრი

4. ფუნქციის ჯამურ ზრდას წერტილში I-ში მიღებული გამოხატვის შესაბამისად ვწერთ სახით:

5. მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულების უწყვეტობის გამო, თეორემის პირობით წერტილში შეგვიძლია დავწეროთ, რომ

ამრიგად, არსებობს წერტილის ისეთი სამეზობლო, რომ ნებისმიერი წერტილისთვის კვადრატული ტრინომი მეტია ნულზე:

6. განვიხილოთ - წერტილის მეზობლობა.

მოდით ავირჩიოთ ნებისმიერი მნიშვნელობა, ასე რომ, ეს არის მთავარი. ვივარაუდოთ, რომ ფუნქციის გაზრდის ფორმულაში

რასაც ვიღებთ:

7. მას შემდეგ.

8. ძირზე ანალოგიურად მსჯელობით მივიღებთ, რომ წერტილის ნებისმიერ - სამეზობლოში არის წერტილი, რომლისთვისაც, მაშასადამე, წერტილის სიახლოვეს იგი არ ინახავს ნიშანს, შესაბამისად, წერტილში არ არის ექსტრემუმი.

ორი ცვლადის ფუნქციის პირობითი ექსტრემი

ორი ცვლადის ფუნქციის ექსტრემის ძიებისას ხშირად წარმოიქმნება პრობლემები ე.წ. პირობით ექსტრემთან. ეს კონცეფცია შეიძლება აიხსნას ორი ცვლადის ფუნქციის მაგალითით.

0xy სიბრტყეზე მოცემული იყოს ფუნქცია და წრფე L. ამოცანაა იპოვოთ ისეთი წერტილი P (x, y) L წრფეზე, რომელზედაც ფუნქციის მნიშვნელობა არის ყველაზე დიდი ან უმცირესი ამ ფუნქციის მნიშვნელობებთან შედარებით L ხაზის წერტილებში, რომელიც მდებარეობს ახლოს. წერტილი P. ასეთ წერტილებს P ეწოდება პირობითი უკიდურესი წერტილების ფუნქციებს L წრფეზე. ჩვეულებრივი უკიდურესი წერტილისგან განსხვავებით, ფუნქციის მნიშვნელობა პირობით უკიდურეს წერტილში შედარებულია ფუნქციის მნიშვნელობებთან არა ყველა წერტილში. მისი ზოგიერთი უბნის, მაგრამ მხოლოდ მათთან, რომლებიც მდებარეობს ხაზზე L.

სავსებით ნათელია, რომ ჩვეულებრივი ექსტრემის წერტილი (ისინი ასევე ამბობენ უპირობო ექსტრემუმს) ასევე არის პირობითი ექსტრემის წერტილი ამ წერტილში გამავალი ნებისმიერი ხაზისთვის. საპირისპირო, რა თქმა უნდა, არ შეესაბამება სიმართლეს: პირობითი ექსტრემალური წერტილი შეიძლება არ იყოს ჩვეულებრივი ექსტრემალური წერტილი. მოდი ილუსტრაციულად განვმარტოთ ნათქვამი მაგალითით.

მაგალითი #1.ფუნქციის გრაფიკი არის ზედა ნახევარსფერო (ნახ. 2).

ბრინჯი. 2.

ამ ფუნქციას აქვს მაქსიმუმი სათავეში; იგი შეესაბამება ნახევარსფეროს M წვეროს. თუ წრფე L არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის A და B წერტილებს (მისი განტოლება), მაშინ გეომეტრიულად ნათელია, რომ ამ ხაზის წერტილებისთვის ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა მიიღწევა A და A წერტილებს შორის შუაში მდებარე წერტილში. B. ეს არის პირობითი უკიდურესი (მაქსიმალური) წერტილის ფუნქციები ამ ხაზზე; ის შეესაბამება M 1 წერტილს ნახევარსფეროზე და ნახატიდან ჩანს, რომ აქ არ შეიძლება იყოს რაიმე ჩვეულებრივი ექსტრემის შესახებ საუბარი.

გაითვალისწინეთ, რომ დახურულ რეგიონში ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის ამოცანის დასკვნით ნაწილში, ამ რეგიონის საზღვარზე უნდა იპოვოთ ფუნქციის უკიდურესი მნიშვნელობები, ე.ი. რაღაც ხაზზე და ამით მოაგვარეთ პრობლემა პირობითი ექსტრემისთვის.

განმარტება 1.ისინი ამბობენ, რომ სად აქვს პირობითი ან ფარდობითი მაქსიმუმი (მინიმუმი) იმ წერტილში, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას: თუ რომელიმე, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას, უტოლობა

განმარტება 2.ფორმის განტოლებას ეწოდება შეზღუდვის განტოლება.

თეორემა

თუ ფუნქციები და განუწყვეტლივ დიფერენცირებადია წერტილის, და ნაწილობრივი წარმოებულის სიახლოვეს, ხოლო წერტილი არის ფუნქციის პირობითი უკიდურესობის წერტილი შეზღუდვის განტოლებასთან მიმართებაში, მაშინ მეორე რიგის განმსაზღვრელი უდრის ნულს:

მტკიცებულება

1. ვინაიდან, თეორემის, ნაწილობრივი წარმოებულის და ფუნქციის მნიშვნელობის პირობის მიხედვით, მაშინ რომელიმე მართკუთხედში

განსაზღვრული იმპლიციტური ფუნქცია

ორი ცვლადის კომპლექსურ ფუნქციას წერტილში ექნება ლოკალური ექსტრემი, შესაბამისად, ან.

2. მართლაც, პირველი რიგის დიფერენციალური ფორმულის ინვარიანტობის თვისების მიხედვით

3. კავშირის განტოლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ამ ფორმით, რაც ნიშნავს

4. გაამრავლეთ განტოლება (2) და (3) და დაამატეთ ისინი

ამიტომ, როცა

თვითნებური. ჰ.ტ.დ.

შედეგი

ორი ცვლადის ფუნქციის პირობითი უკიდურესი წერტილების ძიება პრაქტიკაში ხორციელდება განტოლებათა სისტემის ამოხსნით.

ასე რომ, ზემოთ მოყვანილ მაგალითში No1 კომუნიკაციის განტოლებიდან გვაქვს. აქედან ადვილია იმის შემოწმება, თუ რა აღწევს მაქსიმუმს. მაგრამ შემდეგ კომუნიკაციის განტოლებიდან. ვიღებთ P წერტილს, რომელიც გეომეტრიულად არის ნაპოვნი.

მაგალითი #2.იპოვეთ ფუნქციის პირობითი უკიდურესი წერტილები შეზღუდვის განტოლების მიმართ.

ვიპოვოთ მოცემული ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები და კავშირის განტოლება:

მოდით გავაკეთოთ მეორე რიგის განმსაზღვრელი:

მოდით ჩამოვწეროთ განტოლებათა სისტემა პირობითი უკიდურესი წერტილების საპოვნელად:

აქედან გამომდინარე, არსებობს ფუნქციის ოთხი პირობითი უკიდურესი წერტილი კოორდინატებით: .

მაგალითი #3.იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილები.

ნაწილობრივი წარმოებულების ნულთან გათანაბრება: , ვპოულობთ ერთ სტაციონალურ წერტილს - საწყისს. Აქ,. აქედან გამომდინარე, წერტილი (0, 0) არც არის ექსტრემალური წერტილი. განტოლება არის ჰიპერბოლური პარაბოლოიდის განტოლება (ნახ. 3), ნახაზი აჩვენებს, რომ წერტილი (0, 0) არ არის ექსტრემალური წერტილი.

ბრინჯი. 3.

ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა დახურულ არეში

1. ფუნქცია იყოს განსაზღვრული და უწყვეტი შეზღუდულ დახურულ დომენში D.

2. ფუნქციას ჰქონდეს სასრული ნაწილობრივი წარმოებულები ამ რეგიონში, გარდა რეგიონის ცალკეული წერტილებისა.

3. ვაიერშტრასის თეორემის შესაბამისად, ამ არეში არის წერტილი, სადაც ფუნქცია იღებს უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობებს.

4. თუ ეს წერტილები D რეგიონის შიდა წერტილებია, მაშინ აშკარაა, რომ მათ ექნებათ მაქსიმუმი ან მინიმუმი.

5. ამ შემთხვევაში ჩვენთვის საინტერესო წერტილები ექსტრემის საეჭვო წერტილებს შორისაა.

6. თუმცა ფუნქციას ასევე შეუძლია მიიღოს მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობა D რეგიონის საზღვარზე.

7. იმისათვის, რომ იპოვოთ ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობა D არეში, თქვენ უნდა იპოვოთ ყველა შიდა წერტილი, რომელიც საეჭვოა ექსტრემისთვის, გამოთვალოთ მათში არსებული ფუნქციის მნიშვნელობა და შემდეგ შეადაროთ ფუნქციის მნიშვნელობა ტერიტორიის სასაზღვრო წერტილები და ნაპოვნი მნიშვნელობებიდან ყველაზე დიდი იქნება ყველაზე დიდი დახურულ რეგიონში D.

8. ლოკალური მაქსიმუმის ან მინიმალურის პოვნის მეთოდი ადრე განხილული იყო 1.2 ნაწილში. და 1.3.

9. რჩება რეგიონის საზღვარზე ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობების პოვნის მეთოდის გათვალისწინება.

10. ორი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში ფართობი ჩვეულებრივ გამოდის შემოსაზღვრული მრუდით ან რამდენიმე მრუდით.

11. ასეთი მრუდის (ან რამდენიმე მრუდის) გასწვრივ ცვლადები ან ერთმანეთზეა დამოკიდებული, ან ორივე ერთ პარამეტრზეა დამოკიდებული.

12. ამრიგად, საზღვარზე ფუნქცია გამოდის დამოკიდებული ერთ ცვლადზე.

13. ადრე იყო განხილული ერთი ცვლადის ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობის პოვნის მეთოდი.

14. D რეგიონის საზღვარი მოცემული იყოს პარამეტრული განტოლებებით:

მაშინ ამ მრუდზე ორი ცვლადის ფუნქცია იქნება პარამეტრის რთული ფუნქცია: . ასეთი ფუნქციისთვის, უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა განისაზღვრება ერთი ცვლადის ფუნქციისთვის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების განსაზღვრის მეთოდით.

დაე, ფუნქცია z - f(x, y) განისაზღვროს ზოგიერთ D დომენში და მოდით იყოს Mo(xo, y0) ამ დომენის შიდა წერტილი. განმარტება. თუ არსებობს ისეთი რიცხვი, რომ უტოლობა მართალია ყველასთვის, რაც აკმაყოფილებს პირობებს, მაშინ Mo(xo, yo) წერტილს ეწოდება f(x, y) ფუნქციის ლოკალური მაქსიმუმის წერტილი; თუმცა, თუ ყველა Dx, Du აკმაყოფილებს პირობებს | მაშინ წერტილს Mo(x0, y0) ეწოდება წვრილი ლოკალური მინიმუმი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წერტილი M0(x0, y0) არის f(x, y) ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური წერტილი, თუ არსებობს A/o(x0, y0) წერტილის 6-მეზობლობა, რომ საერთოდ ამ უბნის M(x, y) წერტილები, ფუნქციის ზრდა ინარჩუნებს ნიშანს. მაგალითები. 1. ფუნქციისთვის წერტილი არის მინიმალური წერტილი (სურ. 17). 2. ფუნქციისთვის წერტილი 0(0,0) არის მაქსიმალური წერტილი (სურ. 18). 3. ფუნქციისთვის წერტილი 0(0,0) არის ადგილობრივი მაქსიმალური წერტილი. 4 მართლაც, არის 0(0, 0) წერტილის სამეზობლო, მაგალითად, j რადიუსის წრე (იხ. სურ. 19), რომლის ნებისმიერ წერტილში, 0(0, 0) წერტილისგან განსხვავებით, f(x, y) ფუნქციის მნიშვნელობა 1-ზე ნაკლები = ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ მკაცრი მაქსიმუმის და ფუნქციების მინიმალური წერტილებს, როდესაც მკაცრი უტოლობა ან მკაცრი უტოლობა მოქმედებს ყველა წერტილზე M(x) y) ზოგიერთი პუნქცია 6-სამეზობლოდან. წერტილი Mq. მაქსიმალურ წერტილში ფუნქციის მნიშვნელობას ეწოდება მაქსიმუმი, ხოლო ფუნქციის მნიშვნელობას მინიმალურ წერტილში ამ ფუნქციის მინიმუმს. ფუნქციის მაქსიმალურ და მინიმალურ წერტილებს ეწოდება ფუნქციის უკიდურესი წერტილები, ხოლო თავად ფუნქციის მაქსიმუმს და მინიმუმს - მის უკიდურესობას. თეორემა 11 (აუცილებელი პირობა ექსტრემისთვის). თუ ფუნქცია ექსტრემუმი რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ცნება. აუცილებელი და საკმარისი პირობები ექსტრემისთვის პირობითი ექსტრემუმი უწყვეტი ფუნქციების უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობებს აქვთ ექსტრემი იმ წერტილში, შემდეგ ამ მომენტში ყოველი ნაწილობრივი წარმოებული და u ან ქრება ან არ არსებობს. მოდით ფუნქცია z = f(x) y) აქვს უკიდურესი M0(x0, y0) წერტილში. მოდით მივცეთ y ცვლადის მნიშვნელობა yo. მაშინ z = /(x, y) ფუნქცია იქნება ერთი x ცვლადის ფუნქცია, ვინაიდან x = xo-ზე მას აქვს უკიდურესი (მაქსიმუმი ან მინიმალური, სურ. 20), მაშინ მისი წარმოებული x = “o, მიმართებით, | (*o,l>)" უდრის ნულს, ან არ არსებობს. ანალოგიურად, ჩვენ ვამოწმებთ, რომ) ან ნულის ტოლია, ან არ არსებობს. წერტილები, რომლებშიც = 0 და u = 0 ან არ არსებობს, ეწოდება z = Dx, y ფუნქციის კრიტიკული წერტილები) წერტილებს, რომლებშიც $£ = u = 0 ასევე უწოდებენ ფუნქციის სტაციონარულ წერტილებს. თეორემა 11 გამოხატავს მხოლოდ უკიდურესობის აუცილებელ პირობებს, რომლებიც არასაკმარისია. 18 ნახ.20 immt წარმოებულები, რომლებიც ქრება ზე. მაგრამ ეს ფუნქცია საკმაოდ თხელია imvat “straumum-ზე. მართლაც, ფუნქცია ნულის ტოლია 0(0, 0) წერტილში და იღებს M(x, y) წერტილებს, რაც გნებავთ 0(0, 0) წერტილთან, kkk დადებით და უარყოფით მნიშვნელობებს. მისთვის, ასე რომ, წერტილებში (0, y) თვითნებურად მცირე წერტილებისთვის, ამ ტიპის 0(0, 0) წერტილს მინი-მაქს წერტილი ეწოდება (ნახ. 21). ორი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობის საკმარისი პირობები გამოიხატება შემდეგი თეორემით. თეორემა 12 (საკმარისი პირობები ბუნდოვანი ცვლადების ექსტრემისთვის). წერტილი Mo(xo, y0) იყოს f(x, y) ფუნქციის სტაციონარული წერტილი, ხოლო წერტილის ზოგიერთ სამეზობლოში / თვით Mo წერტილის ჩათვლით, ფუნქციას f(r, y) აქვს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები. მეორე რიგის ჩათვლით. მაშინ "1) წერტილში Mq(xq, V0) ფუნქცია f(x, y) აქვს მაქსიმუმი, თუ განმსაზღვრელი არის ამ წერტილში 2) წერტილში Mo(x0, V0) ფუნქცია f(x, y) აქვს მინიმალური, თუ წერტილში Mo(xo, yo) ფუნქციას f(x, y) არ აქვს უკიდურესი, თუ D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо> Wo) f(x, y) ფუნქციის უკიდურესი შეიძლება იყოს ან არ იყოს. ამ შემთხვევაში საჭიროა შემდგომი გამოკვლევა. ჩვენ შემოვიფარგლებით თეორემის 1) და 2) მტკიცებით. დავწეროთ ტეილორის მეორე რიგის ფორმულა ფუნქციისთვის /(i, y): სად. ვარაუდით, საიდანაც ცხადია, რომ ნამატის D/ ნიშანი განისაზღვრება (1-ის) მარჯვენა მხარეს ტრინომის ნიშნით, ანუ მეორე დიფერენციალური d2f ნიშნით. მოკლედ აღვნიშნოთ. მაშინ ტოლობა (l) შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: MQ(ასე, y0) წერტილში გვაქვს M0(s0,yo) წერტილის მეზობლობა. თუ პირობა (A/0 წერტილში) დაკმაყოფილებულია და, უწყვეტობის გამო, წარმოებული /,z(s, y) შეინარჩუნებს თავის ნიშანს Af0 წერტილის ზოგიერთ მიმდებარე ტერიტორიაზე. რეგიონში, სადაც A ∆ 0, გვაქვს 0 M0(x0) y0 წერტილის რაღაც მეზობლად), მაშინ AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 ტრინომის ნიშანს ემთხვევა A ნიშანს C წერტილში განსხვავებული ნიშნები არ შეიძლება ჰქონდეს). ვინაიდან AAs2 + 2BAxAy + CAy2 ჯამის ნიშანი (s0 + $ Ax, yo + 0 Dy) განსაზღვრავს სხვაობის ნიშანს, მივდივართ შემდეგ დასკვნამდე: თუ ფუნქცია f(s, y) სტაციონარული წერტილი (s0, yo) აკმაყოფილებს მდგომარეობას, მაშინ საკმარისად მცირე || უთანასწორობა შენარჩუნდება. ამრიგად, წერტილში (კვ, y0) ფუნქციას /(s, y) აქვს მაქსიმუმი. მაგრამ თუ პირობა დაკმაყოფილებულია სტაციონარულ წერტილში (s0, yo), მაშინ ყველა საკმარისად მცირე |Ar| და |გააკეთო| უტოლობა არის ჭეშმარიტი, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქციას /(s, y) აქვს მინიმალური წერტილი (so, yo). მაგალითები. 1. გამოიკვლიეთ ფუნქცია 4 ექსტრემისთვის. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ ნაწილობრივ წარმოებულებს, u და ვატოლებთ მათ ნულს. ვიღებთ განტოლებათა სისტემას, საიდანაც - სტაციონარული წერტილი. ახლა გამოვიყენოთ თეორემა 12. ჩვენ გვაქვს აქედან გამომდინარე, არის უკიდურესობა Ml წერტილში. რადგან ეს არის მინიმალური. თუ g ფუნქციას გადავიყვანთ ფორმაში, მაშინ ადვილი მისახვედრია, რომ მარჯვენა მხარე (")" იქნება მინიმალური, როდესაც არის ამ ფუნქციის აბსოლუტური მინიმუმი. 2. გამოიკვლიეთ ფუნქცია ექსტრემისთვის, ვპოულობთ ფუნქციის სტაციონარულ წერტილებს, რომლისთვისაც აქედან ვადგენთ განტოლებათა სისტემას ისე, რომ წერტილი სტაციონარული იყოს. ვინაიდან, მე-12 თეორემის ძალით, M წერტილში არ არის ექსტრემუმი. * 3. გამოიკვლიეთ ფუნქცია ექსტრემისთვის იპოვეთ ფუნქციის სტაციონარული წერტილები. განტოლებათა სისტემიდან ვიღებთ იმას, რომ წერტილი სტაციონარულია. გარდა ამისა, ჩვენ გვაქვს ისე, რომ თეორემა 12 არ იძლევა პასუხს ექსტრემის არსებობის ან არარსებობის კითხვაზე. მოდი ასე მოვიქცეთ. წერტილის გარდა ყველა წერტილის შესახებ ფუნქციისთვის ისე, რომ განსაზღვრებით A/o(0,0) წერტილში r ფუნქციას აქვს აბსოლუტური მინიმუმი. ანალოგიური გაშრობით ვადგენთ, რომ ფუნქციას აქვს მაქსიმალური წერტილი, მაგრამ ფუნქციას არ აქვს ექსტრემუმი წერტილში. მოდით, η დამოუკიდებელი ცვლადების ფუნქცია იყოს დიფერენცირებადი წერტილში. წერტილს Mo ეწოდება ფუნქციის სტაციონარული წერტილი, თუ. თეორემა 13 (საკმარისი პირობები უკიდურესობისთვის). დაე, ფუნქცია განისაზღვროს და ჰქონდეს მეორე რიგის უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები Mc(xi...) წვრილი ხაზის ზოგიერთ მიმდებარედ, რომელიც არის სტაციონარული წვრილი ფუნქცია, თუ კვადრატული ფორმაა (f ფუნქციის მეორე დიფერენციალი წვრილმანში წერტილი არის დადებით-განსაზღვრული (უარყოფითი-განსაზღვრული), მინიმალური წერტილი (შესაბამისად, ჯარიმა მაქსიმუმი) f ფუნქციის ჯარიმაა თუ კვადრატული ფორმა (4) ნიშან-ცვლილია, მაშინ ჯარიმაში LG0 უკიდურესობა არ არის 15.2 პირობითი. extremum აქამდე ჩვენ ვზრუნავდით ფუნქციის ლოკალური ექსტრემების მოძიებით მისი განმარტების მთელ დომენში, როდესაც ფუნქციის არგუმენტები არ არის შეზღუდული რაიმე დამატებითი პირობებით. მოდით, ფუნქცია z \u003d / (x, y) განისაზღვროს D რეგიონში. დავუშვათ, რომ მრუდი L მოცემულია ამ რეგიონში და საჭიროა მხოლოდ f (x> y) ფუნქციის უკიდურესი პოვნა. მის მნიშვნელობებს შორის, რომლებიც შეესაბამება L მრუდის წერტილებს. იგივე უკიდურესობას უწოდებენ z = f(x) y) ფუნქციის პირობით კიდურს L მრუდზე. განმარტება ნათქვამია, რომ დევს წერტილში. მრუდზე L, ფუნქციას f(x, y) აქვს პირობითი მაქსიმუმი (მინიმუმი), თუ უტოლობა დაკმაყოფილებულია, შესაბამისად, ყველა წერტილში M (s, y) მრუდი L, რომელიც მიეკუთვნება M0(x0) წერტილის რომელიმე მეზობელს, Yo) და განსხვავდება M0 წერტილისგან (თუ მრუდი L მოცემულია განტოლებით, მაშინ მრუდზე r - f(x, y) ფუნქციის პირობითი კიდურების პოვნის ამოცანა! შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: იპოვნეთ x = /(z, y) ფუნქციის უკიდურესობა D რეგიონში, იმ პირობით, რომ ამგვარად, z = y ფუნქციის პირობითი კიდურების პოვნისას, zn არგუმენტები აღარ განიხილება. როგორც დამოუკიდებელი ცვლადები: ისინი ერთმანეთთან დაკავშირებულია y ) = 0 მიმართებით, რომელსაც ეწოდება შეზღუდვის განტოლება. m «* D y-ს, როგორც უპირობო და პირობით კიდურს შორის სხვაობის გასარკვევად, მოდით გადავხედოთ სხვა მაგალითს, ფუნქციის უპირობო მაქსიმუმს (ნახ. 23) უდრის ერთს და მიიღწევა წერტილში (0,0). ის ზუსტად შეესაბამება M - პვვბოლოიდის წვეროს.დავამატოთ შეზღუდვის განტოლება y = j. მაშინ პირობითი მაქსიმუმი აშკარად ტოლი იქნება.მიღწეულია (o, |) წერტილში და შეესაბამება პვვბოლოიდის Afj წვეროს, რომელიც არის პვვბოლოიდის გადაკვეთის წრფე y = j სიბრტყესთან. უპირობო მინიმალური s-ის შემთხვევაში გვაქვს ყველაზე პატარა აპლიკატი ზედაპირის ყველა ექსპლექტს შორის * = 1 - n;2 ~ y1; slumvv პირობითი - მხოლოდ vllkvt წერტილებს შორის pvrboloidv, რომელიც შეესაბამება y = j სწორი ხაზის * წერტილს xOy სიბრტყის არა. თანდასწრებითა და კავშირით ფუნქციის პირობითი ექსტრემის პოვნის ერთ-ერთი მეთოდი შემდეგია. დავუშვათ, კავშირის განტოლება y)-0 განსაზღვრავს y-ს, როგორც x არგუმენტის ერთმნიშვნელოვნად დიფერენცირებად ფუნქციას: y-ის ნაცვლად ფუნქციის ჩანაცვლებით, მივიღებთ ერთი არგუმენტის ფუნქციას, რომელშიც კავშირის პირობა უკვე გათვალისწინებულია. . ფუნქციის (უპირობო) ექსტრემი არის სასურველი პირობითი ექსტრემი. მაგალითი. იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი პირობით რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ექსტრემუმი ცნება რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობა. აუცილებელი და საკმარისი პირობები ექსტრემისთვის პირობითი ექსტრემუმი უწყვეტი ფუნქციების უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები A \u003d 1 - კრიტიკული წერტილი;, ისე, რომ იძლევა r ფუნქციის პირობით მინიმუმს (ნახ. 24). მოდით მივუთითოთ გადაჭრის სხვა გზა პირობითი კიდურების პრობლემა, რომელსაც ეწოდება ლაგრანჟის გამრავლების მეთოდი. მოდით იყოს ფუნქციის პირობითი ექსტრემის წერტილი კავშირის არსებობისას. დავუშვათ, რომ კავშირის განტოლება განსაზღვრავს უნიკალურ განუწყვეტლივ დიფერენცირებად ფუნქციას წერტილის ზოგიერთ სამეზობლოში. xi თუ ვივარაუდებთ, რომ წარმოებული xq ფუნქციის /(r, ip(x)) x-ის მიმართ xq წერტილში უნდა იყოს ნულის ტოლი ან, რაც ამის ტოლია, f (x, y) დიფერენციალი. ) წერტილში Mo "O) კავშირის განტოლებიდან გვაქვს (5) შემდეგ, dx-ის თვითნებობის გამო, ვიღებთ ტოლობებს (6) და (7) გამოხატავს აუცილებელ პირობებს უპირობო ექსტრემისთვის ფუნქციის წერტილში, რომელსაც ლაგრანჟის ფუნქცია ეწოდება. ამრიგად, ფუნქციის პირობითი უკიდურესობის წერტილი / (x, y), თუ, აუცილებლად არის ლაგრანგის ფუნქციის სტაციონარული წერტილი, სადაც A არის რაღაც რიცხვითი კოეფიციენტი. აქედან ვიღებთ წესს პირობითი კიდურების პოვნისათვის: იმისათვის, რომ ვიპოვოთ წერტილები, რომლებიც შეიძლება იყოს ფუნქციის აბსოლუტური კიდურების წერტილები კავშირის არსებობისას, 1) ვადგენთ ლაგრანგის ფუნქციას, 2) ამ ფუნქციის წარმოებულებს და W-ს გავატოლებთ. ნულამდე და მიღებულ განტოლებებს დავუმატებთ კავშირის განტოლებას, ვიღებთ სამი განტოლების სისტემას, საიდანაც ვპოულობთ A-ს მნიშვნელობებს და შესაძლო უკიდურესი წერტილების x, y კოორდინატებს. პირობითი ექსტრემის არსებობისა და ბუნების საკითხი წყდება ლაგრანგის ფუნქციის მეორე დიფერენციალური ნიშნის შესწავლის საფუძველზე მნიშვნელობების განხილული სისტემისთვის x0, Yo, A, მიღებული (8) პირობით. რომ თუ, მაშინ (x0, Yo) წერტილში f(x, y ) ფუნქციას აქვს პირობითი მაქსიმუმი; თუ d2F > 0 - მაშინ პირობითი მინიმუმი. კერძოდ, თუ სტაციონარულ წერტილში (xo, J/o) F(x, y) ფუნქციის D განმსაზღვრელი დადებითია, მაშინ (®o, V0) წერტილში არის ფუნქციის პირობითი მაქსიმუმი /( x, y) თუ, და ფუნქციის პირობითი მინიმუმი /(x, y), თუ მაგალითი. მოდით კვლავ მივმართოთ წინა მაგალითის პირობებს: იპოვნეთ ფუნქციის უკიდურესი იმ პირობით, რომ x + y \u003d 1. ჩვენ მოვაგვარებთ პრობლემას ლაგრანგის გამრავლების მეთოდის გამოყენებით. ლაგრანგის ფუნქციას ამ შემთხვევაში აქვს ფორმა სტაციონარული წერტილების საპოვნელად, ჩვენ ვადგენთ სისტემას სისტემის პირველი ორი განტოლებიდან, ვიღებთ, რომ x = y. შემდეგ სისტემის მესამე განტოლებიდან (დაწყვილების განტოლებიდან) ვხვდებით, რომ x - y = j - შესაძლო ექსტრემის წერტილის კოორდინატები. ამ შემთხვევაში (მითითებულია, რომ A \u003d -1. ამრიგად, ლაგრანჟის ფუნქცია. არის ფუნქციის პირობითი მინიმალური წერტილი * \u003d x2 + y2 იმ პირობით, რომ არ არსებობს უპირობო ექსტრემი ლაგრანგური ფუნქციისთვის. P ( x, y) ჯერ არ ნიშნავს პირობითი კიდურების არარსებობას ფუნქციისთვის /(x, y) კავშირის არსებობისას მაგალითი: იპოვნეთ ფუნქციის უკიდურესი y პირობით 4 ვაწერთ ლაგრანჟის ფუნქციას და ვწერთ. სისტემა A-ს და შესაძლო უკიდურესი წერტილების კოორდინატების დასადგენად: პირველი ორი განტოლებიდან ვიღებთ x + y = 0 და მივდივართ სისტემაში y = A = 0. ამრიგად, შესაბამის ლაგრანჟის ფუნქციას აქვს ფორმა წერტილი (0). , 0), ფუნქციას F(x, y; 0) არ აქვს უპირობო ექსტრემი, არამედ ფუნქციის პირობითი ექსტრემი r = xy. როდესაც y = x, არის "ნამდვილად, ამ შემთხვევაში r = x2. აქ ირკვევა, რომ (0,0) წერტილში არის პირობითი მინიმუმი. „ლაგრანჟის მულტიპლიკატორების მეთოდი გადადის ნებისმიერი რაოდენობის არგუმენტების ფუნქციების შემთხვევაში / ფუნქციის ექსტრემუმი მოძებნილი იყოს თანდასწრებით. კავშირის განტოლებები Sostaalyaem Lagrange ფუნქცია სადაც A|, Az,..., A„, - არა გარკვეული მუდმივი ფაქტორები. F ფუნქციის პირველი რიგის ყველა ნაწილობრივი წარმოებულის ნულის ტოლფასი და მიღებულ განტოლებებს დავუმატებთ კავშირის განტოლებებს (9), მივიღებთ n + m განტოლებათა სისტემას, საიდანაც ვადგენთ Ab A3|..., Am და კოორდინატები x\) x2) . » xn პირობითი ექსტრემის შესაძლო წერტილები. კითხვა იმის შესახებ, არის თუ არა ლაგრანგის მეთოდით ნაპოვნი წერტილები მართლაც პირობითი ექსტრემალური წერტილები, ხშირად შეიძლება გადაწყდეს ფიზიკური ან გეომეტრიული ხასიათის მოსაზრებების საფუძველზე. 15.3. უწყვეტი ფუნქციების მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობები მოითხოვოს z = /(x, y) ფუნქციის მაქსიმალური (უმცირესი) მნიშვნელობის პოვნა ზოგიერთ გაფართოებულ შეზღუდულ დომენში D. თეორემა 3-ით, ამ რეგიონში არის წერტილი (xo, V0), სადაც ფუნქცია იღებს უდიდეს (უმცირეს) მნიშვნელობას. თუ წერტილი (xo, y0) დევს D დომენის შიგნით, მაშინ ფუნქციას / აქვს მასში მაქსიმუმი (მინიმუმი), ასე რომ ამ შემთხვევაში ჩვენთვის საინტერესო წერტილი შეიცავს ფუნქციის /(x) კრიტიკულ წერტილებს შორის. , y). თუმცა ფუნქცია /(x, y) ასევე შეუძლია მიაღწიოს თავის მაქსიმალურ (უმცირეს) მნიშვნელობას რეგიონის საზღვარზე. მაშასადამე, იმისათვის, რომ ვიპოვოთ z = /(x, y) ფუნქციის მიერ მიღებული უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობა შემოსაზღვრულ დახურულ არეალში 2), საჭიროა ვიპოვოთ ამ არეს შიგნით მიღწეული ფუნქციის ყველა მაქსიმუმი (მინიმუმი). , ასევე ფუნქციის ყველაზე დიდი (უმცირესი) მნიშვნელობა ამ ტერიტორიის საზღვარზე. ყველა ამ რიცხვიდან ყველაზე დიდი (უმცირესი) იქნება z = /(x, y) ფუნქციის სასურველი მაქსიმალური (უმცირესი) მნიშვნელობა 27 რეგიონში. მოდით ვაჩვენოთ, როგორ კეთდება ეს დიფერენცირებადი ფუნქციის შემთხვევაში. პრმმრ. იპოვეთ 4 ფართობის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები. ვპოულობთ ფუნქციის კრიტიკულ წერტილებს D არეალის შიგნით. ამისათვის ჩვენ ვქმნით განტოლებათა სისტემას. აქედან ვიღებთ x \u003d y \u003e 0. , ისე რომ წერტილი 0 (0,0) არის x ფუნქციის კრიტიკული წერტილი. ვინაიდან ახლა ვიპოვოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები D რეგიონის საზღვარზე Г. საზღვრის ნაწილზე გვაქვს ისე, რომ y \u003d 0 არის კრიტიკული წერტილი და მას შემდეგ, რაც \u003d ამ მიუთითეთ ფუნქცია z \u003d 1 + y2 აქვს მინიმუმ ერთის ტოლი. G სეგმენტის ბოლოებზე", წერტილებზე (, გვაქვს. სიმეტრიის გათვალისწინებით ვიღებთ იგივე შედეგებს საზღვრის სხვა ნაწილებისთვის. ბოლოს ვიღებთ: z \u003d x2 + y2 ფუნქციის უმცირეს მნიშვნელობას რეგიონი "B" უდრის ნულს და ის მიიღწევა შიდა წერტილის 0( 0, 0) ფართობზე, ხოლო ამ ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა, ორის ტოლი, მიიღწევა საზღვრის ოთხ წერტილში (ნახ.25). ნახ.25 ფუნქციების სავარჯიშოები: იპოვეთ ფუნქციების ნაწილობრივი წარმოებულები და მათი ჯამური დიფერენციაციები: იპოვეთ რთული ფუნქციების წარმოებულები: 3 იპოვეთ J. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის უკიდურესი ცნება. უწყვეტი ფუნქციების უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები. ორ ცვლადში იპოვეთ |J და ფუნქციები: იპოვნეთ jj იმპლიციტური ფუნქციები: 40. იპოვეთ ტანგენსი მრუდის დახრილობა x = 3 სწორ ხაზთან გადაკვეთის წერტილში. 41. იპოვეთ წერტილები, სადაც x-მრუდის ტანგენსი x-ღერძის პარალელურია. . შემდეგ ამოცანებში იპოვეთ და Z: დაწერეთ ტანგენსი სიბრტყის და ზედაპირის ნორმალის განტოლებები: 49. დაწერეთ ზედაპირის ტანგენტის სიბრტყეების განტოლებები x2 + 2y2 + Zr2 \u003d 21 სიბრტყის პარალელურად x +. 4y + 6z \u003d 0. იპოვეთ გაფართოების პირველი სამი-ოთხი წევრი ტეილორის ფორმულის გამოყენებით: 50. y წერტილის სამეზობლოში (0, 0). ფუნქციის უკიდურესობის განსაზღვრის გამოყენებით, გამოიკვლიეთ შემდეგი ფუნქციები ექსტრემისთვის:). საკმარისი პირობების გამოყენებით ორი ცვლადის ფუნქციის კიდურებისთვის, გამოიკვლიეთ ფუნქციის უკიდურესობა: 84. იპოვეთ z \u003d x2 - y2 ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები დახურულ წრეში 85. იპოვეთ უდიდესი და უმცირესი. * \u003d x2y (4-x-y) ფუნქციის მნიშვნელობები სამკუთხედში, რომელიც შემოიფარგლება x \u003d 0, y = 0, x + y = b. 88. დაადგინეთ უმცირესი ზედაპირის მქონე მართკუთხა ღია აუზის ზომები, იმ პირობით, რომ მისი მოცულობა ტოლია V. 87. იპოვეთ მართკუთხა პარალელეპიპედის ზომები მოცემული მთლიანი ზედაპირით 5 მაქსიმალური მოცულობით. პასუხები 1. და | კვადრატი, რომელიც წარმოიქმნება x ხაზის სეგმენტებით მისი გვერდების ჩათვლით. 3. კონცენტრული რგოლების ოჯახი 2= 0,1,2,... .4. მთელი სიბრტყე გარდა y სწორი წრფეების წერტილებისა. თვითმფრინავის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს პარაბოლის ზემოთ y \u003d -x?. 8. შემოხაზეთ x წერტილები. მთელი სიბრტყე, გარდა სწორი ხაზებისა x რადიკალური გამოხატულება არის არაუარყოფითი ორ შემთხვევაში j * ^ ან j x ^ ^, რაც შესაბამისად უტოლობების უსასრულო სერიის ექვივალენტურია. განსაზღვრების დომენი არის დაჩრდილული კვადრატები (ნახ. 26) ; l, რომელიც უსასრულო სერიის ექვივალენტია ფუნქცია განისაზღვრება წერტილებში. ა) x წრფის პარალელურ ხაზებს ბ) საწყისზე ორიენტირებული კონცენტრირებული წრეები. 10. ა) პარაბოლები y) პარაბოლები y ა) პარაბოლები ბ) ჰიპერბოლები | .თვითმფრინავები xc. 13.პრიმი - ოზის ღერძის გარშემო რევოლუციის ერთ ღრუს ჰიპერბოლოიდები; ოზის ღერძის ირგვლივ ბრუნვის ორფურცლიანი ჰიპერბოლოიდები და არიან, ზედაპირების ორივე ოჯახი გამოყოფილია კონუსით; არ არსებობს ზღვარი, ბ) 0. 18. მოდით y = kxt შემდეგ z lim z = -2, ისე რომ მოცემულ ფუნქციას (0,0) წერტილში არ ჰქონდეს ლიმიტი. 19. ა) ქულა (0.0); ბ) წერტილი (0,0). 20. ა) წყვეტის ხაზი - წრე x2 + y2 = 1; ბ) წყვეტის ხაზი არის სწორი ხაზი y \u003d x. 21. ა) წყვეტის ხაზები - კოორდინატთა ღერძები Ox და Oy; ბ) 0 (ცარიელი ნაკრები). 22. ყველა წერტილი (m, n), სადაც და n მთელი რიცხვებია

პირობითი ექსტრემალური

მოცემული ფუნქციის (ან ფუნქციონალური) მიერ მიღწეული მინიმალური ან მაქსიმალური მნიშვნელობა იმ პირობით, რომ ზოგიერთი სხვა ფუნქცია (ფუნქციონალი) იღებს მნიშვნელობებს მოცემული დასაშვები ნაკრებიდან. თუ არ არსებობს პირობები, რომლებიც ზღუდავს ცვლილებებს დამოუკიდებელ ცვლადებში (ფუნქციებში) მითითებული გაგებით, მაშინ საუბარია უპირობო ექსტრემზე.
კლასიკური დავალება ვ.ე. არის რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის მინიმუმის განსაზღვრის პრობლემა

იმ პირობით, რომ ზოგიერთი სხვა ფუნქცია მიიღებს მოცემულ მნიშვნელობებს:

ამ პრობლემაში G, რომელზეც ფუნქციონირებს ვექტორის მნიშვნელობები g=(გ 1, ...,გ მ), დამატებით პირობებში (2) შედის ფიქსირებული წერტილი c=(c 1, ..., ტ) m-განზომილებიან ევკლიდეს სივრცეში
თუ (2)-ში ტოლობის ნიშანთან ერთად დაუშვებელია უტოლობის ნიშნები

ეს იწვევს პრობლემას არაწრფივი პროგრამირება(ცამეტი). ამოცანაში (1), (3), ვექტორული ფუნქციის g დასაშვები მნიშვნელობების G სიმრავლე არის გარკვეული მრუდი, რომელიც მიეკუთვნება m 1-ით განსაზღვრულ (n-m 1) განზომილებიან ჰიპერზედას. , მ 1 თანასწორობის ტიპის პირობები (3). მითითებული მრუდი პოლიედრონის საზღვრები აგებულია გათვალისწინებით პ-მ 1 უტოლობა შედის (3).
პრობლემის განსაკუთრებული შემთხვევა (1), (3) U.v. არის ამოცანა ხაზოვანი პროგრამირება,რომელშიც ყველა განხილული ფუნქცია f და გიწრფივია x l-ში , ... , x გვ.ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემაში ვექტორული ფუნქციის შესაძლო მნიშვნელობების G ნაკრები გ,შედის ცვლადების დიაპაზონის შეზღუდვის პირობებში x 1, .....x n,არის , რომელიც მიეკუთვნება (n-t 1)-განზომილებიან ჰიპერთავმხედველობას, რომელიც განსაზღვრულია m 1 თანასწორობის ტიპის პირობებით (3).
ანალოგიურად, ოპტიმიზაციის პრობლემების უმეტესობა ფუნქციონალებისთვის, რომლებიც წარმოადგენს პრაქტიკულს ინტერესი, დაყვანილია ამოცანები უ.ე. (სმ. იზოპერიმეტრიული პრობლემა, რგოლის პრობლემა, ლაგრანჟის პრობლემა, მანერის პრობლემა). ისევე როგორც მათემატიკაში. პროგრამირება, ვარიაციების გაანგარიშების ძირითადი ამოცანები და ოპტიმალური კონტროლის თეორია არის ამოზნექილი ე.
აშშ-ში პრობლემების გადაჭრისას, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც განიხილება თეორიული. C. e.-ის პრობლემებთან დაკავშირებული კითხვები, გამოდის, რომ ძალიან სასარგებლოა განუსაზღვრელი გამოყენება ლაგრანგის მამრავლები,საშუალებას იძლევა შემცირდეს პრობლემა U. e. პრობლემის უპირობო და გამარტივებული ოპტიმალური პირობების შესახებ. ლაგრანგის მულტიპლიკატორების გამოყენება უდევს საფუძვლად კლასიკურის უმეტესობას პრობლემების გადაჭრის მეთოდები აშშ-ში.

განათებული: ჰედლი ჯ., არაწრფივი და , ტრანს. ინგლისურიდან, მ., 1967; ბლისი გ.ა., ლექციები ვარიაციების გაანგარიშებაზე, ტრანს. ინგლისურიდან, მ., 1950; Pontryagin L. S. [et al.], Mathematical Optimal Processes, 2nd ed., M., 1969 წ.
I.B. ვაპნიარსკი.

მათემატიკური ენციკლოპედია. - მ.: საბჭოთა ენციკლოპედია. I. M. ვინოგრადოვი. 1977-1985 წწ.

ნახეთ, რა არის „პირობითი ექსტრემალური“ სხვა ლექსიკონებში:

ფარდობითი ექსტრემი, n + m ცვლადის f (x1,..., xn + m) ფუნქციის უკიდურესი, თუ ვივარაუდებთ, რომ ეს ცვლადები ექვემდებარება m უფრო დაწყვილების განტოლებებს (პირობებს): φk (x1,..., xn + მ) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (იხ. ექსტრემი).……

მიეცით ფუნქციები ღია კომპლექტს და ჩართვას. დაე იყოს. ამ განტოლებებს უწოდებენ შეზღუდვის განტოლებებს (ტერმინოლოგია ნასესხებია მექანიკიდან). დაე, ფუნქცია განისაზღვროს G ... ვიკიპედიაზე

- (ლათინური extremum უკიდურესიდან) უწყვეტი ფუნქციის f (x) მნიშვნელობა, რომელიც არის მაქსიმალური ან მინიმალური. უფრო ზუსტად: ფუნქცია f (x) უწყვეტ x0 წერტილში აქვს მაქსიმუმი (მინიმუმი) x0-ზე, თუ არის ამ წერტილის სამეზობლო (x0 + δ, x0 δ), ... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ ექსტრემალური (მნიშვნელობები). ექსტრემუმი (ლათინური extremum უკიდურესი) მათემატიკაში არის ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობა მოცემულ სიმრავლეზე. წერტილი, სადაც მიიღწევა ექსტრემუმი არის ... ... ვიკიპედია

ფუნქცია, რომელიც გამოიყენება ამოცანების გადასაჭრელად რამდენიმე ცვლადისა და ფუნქციის ფუნქციების პირობითი ექსტრემისთვის. L.f-ის დახმარებით. პირობითი ექსტრემისთვის ამოცანებში ჩაწერილია ოპტიმალური პირობების აუცილებელი პირობები. არ არის საჭირო მხოლოდ ცვლადების გამოხატვა... მათემატიკური ენციკლოპედია

მათემატიკური დისციპლინა, რომელიც ეძღვნება ცვლადების ფუნქციების უკიდურესი (მაქსიმალური და მინიმალური) მნიშვნელობების პოვნას ერთი ან მეტი ფუნქციის არჩევის მიხედვით. In და. ამ თავის ბუნებრივი განვითარებაა…… დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

ცვლადები, რომელთა დახმარებით აგებულია ლაგრანჟის ფუნქცია პირობითი ექსტრემის ამოცანების შესწავლისას. L.m.-ისა და ლაგრანგის ფუნქციის გამოყენება შესაძლებელს ხდის ოპტიმალური პირობების ერთგვაროვნად მიღებას პირობითი ექსტრემის პრობლემებში ... მათემატიკური ენციკლოპედია

ვარიაციების გაანგარიშება არის ფუნქციური ანალიზის ფილიალი, რომელიც შეისწავლის ფუნქციონალების ვარიაციებს. ვარიაციების გაანგარიშების ყველაზე ტიპიური ამოცანაა იპოვოთ ფუნქცია, რომელზეც მოცემული ფუნქცია აღწევს ... ... ვიკიპედია

მათემატიკის განყოფილება, რომელიც ეძღვნება ფუნქციების ექსტრემების პოვნის მეთოდების შესწავლას, რომლებიც დამოკიდებულია ერთი ან მეტი ფუნქციის არჩევანზე სხვადასხვა სახის შეზღუდვებზე (ფაზა, დიფერენციალური, ინტეგრალური და ა.შ.) დაწესებული ... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

ვარიაციების გამოთვლა არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს ფუნქციების ვარიაციებს. ვარიაციების გაანგარიშების ყველაზე ტიპიური ამოცანაა იპოვოთ ფუნქცია, რომელზეც ფუნქციური აღწევს უკიდურეს მნიშვნელობას. მეთოდები ... ... ვიკიპედია

წიგნები

• ლექციები კონტროლის თეორიაზე. ტომი 2. ოპტიმალური კონტროლი, V. Boss. განხილულია ოპტიმალური კონტროლის თეორიის კლასიკური პრობლემები. პრეზენტაცია იწყება სასრულ განზომილებიანი სივრცეებში ოპტიმიზაციის ძირითადი ცნებებით: პირობითი და უპირობო ექსტრემუმი, ...

ჯერ განვიხილოთ ორი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევა. $z=f(x,y)$ ფუნქციის პირობითი ექსტრემუმი $M_0(x_0;y_0)$ არის ამ ფუნქციის უკიდურესობა, მიღწეული იმ პირობით, რომ ცვლადები $x$ და $y$ ამ წერტილის სიახლოვეს დააკმაყოფილეთ შეზღუდვის განტოლება $\ varphi(x,y)=0$.

სახელწოდება „პირობითი“ ექსტრემი განპირობებულია იმით, რომ ცვლადებზე დაწესებულია დამატებითი პირობა $\varphi(x,y)=0$. თუ შესაძლებელია კავშირის განტოლებიდან ერთი ცვლადის გამოხატვა მეორის მიხედვით, მაშინ პირობითი ექსტრემის განსაზღვრის პრობლემა მცირდება ერთი ცვლადის ფუნქციის ჩვეული უკიდურესობის პრობლემამდე. მაგალითად, თუ $y=\psi(x)$ გამომდინარეობს შეზღუდვის განტოლებიდან, მაშინ $y=\psi(x)$-ით ჩანაცვლება $z=f(x,y)$-ით, მივიღებთ $ ცვლადის ფუნქციას. z=f\მარცხნივ (x,\psi(x)\მარჯვნივ)$. თუმცა, ზოგად შემთხვევაში, ეს მეთოდი ნაკლებად გამოიყენება, ამიტომ ახალი ალგორითმია საჭირო.

ლაგრანგის მულტიპლიკატორების მეთოდი ორი ცვლადის ფუნქციისთვის.

ლაგრანჟის მულტიპლიკატორების მეთოდი არის ის, რომ პირობითი ექსტრემის საპოვნელად, ლაგრანგის ფუნქცია შედგენილია: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (პარამეტრი $\lambda. $-ს ეწოდება ლაგრანგის მულტიპლიკატორი). აუცილებელი ექსტრემალური პირობები მოცემულია განტოლებათა სისტემით, საიდანაც განისაზღვრება სტაციონარული წერტილები:

$$ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & \frac(\ნაწილობრივი F)(\ნაწილი x)=0;\\ & \frac(\ნაწილობრივი F)(\ნაწილობრივი y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(გასწორებული)\მარჯვნივ.$$

ნიშანი $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. თუ სტაციონარულ წერტილში $d^2F > 0$, მაშინ $z=f(x,y)$ ფუნქციას აქვს პირობითი მინიმუმი ამ ეტაპზე, მაგრამ თუ $d^2F< 0$, то условный максимум.

არსებობს კიდევ ერთი გზა ექსტრემის ბუნების დასადგენად. შეზღუდვის განტოლებიდან ვიღებთ: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, ასე რომ ნებისმიერ სტაციონარულ წერტილში გვაქვს:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \მარჯვნივ)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\მარჯვნივ)$$

მეორე ფაქტორი (მდებარეობს ფრჩხილებში) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ამ ფორმით:

$\left|-ის ელემენტები \ დასაწყისი(მასივი) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ დასასრული (მასივი) \right|$ რომელიც არის ლაგრანგის ფუნქციის ჰესიანი. თუ $H > 0$, მაშინ $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, ე.ი. გვაქვს $z=f(x,y)$ ფუნქციის პირობითი მინიმუმი.

შენიშვნა $H$ განმსაზღვრელი ფორმის შესახებ. ჩვენება დამალვა

$$ H=-\მარცხნივ|\begin(მასივი) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ დასასრული(მასივი) \right| $$

ამ სიტუაციაში, ზემოთ ჩამოყალიბებული წესი იცვლება შემდეგნაირად: თუ $H > 0$, მაშინ ფუნქციას აქვს პირობითი მინიმუმი, ხოლო $H-სთვის< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

ორი ცვლადის ფუნქციის შესწავლის ალგორითმი პირობითი ექსტრემისთვის

1. შეადგინეთ ლაგრანგის ფუნქცია $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. სისტემის ამოხსნა $ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & \frac(\ნაწილობრივი F)(\ნაწილი x)=0;\\ & \frac(\ნაწილი F)(\ნაწილობრივი y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(გასწორებული)\right.$
3. განსაზღვრეთ ექსტრემის ბუნება წინა აბზაცში ნაპოვნი თითოეულ სტაციონარულ წერტილში. ამისათვის გამოიყენეთ რომელიმე შემდეგი მეთოდი:
   • შეადგინეთ $H$ განმსაზღვრელი და გაარკვიეთ მისი ნიშანი
   • შეზღუდვის განტოლების გათვალისწინებით, გამოთვალეთ $d^2F$-ის ნიშანი

ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდი n ცვლადის ფუნქციებისთვის

დავუშვათ, გვაქვს $n$ ცვლადის ფუნქცია $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ და $m$ შეზღუდვის განტოლებები ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

ლაგრანჟის მულტიპლიკატორების აღნიშვნისას როგორც $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, ჩვენ ვადგენთ Lagrange ფუნქციას:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

პირობითი ექსტრემის არსებობისთვის აუცილებელი პირობები მოცემულია განტოლებების სისტემით, საიდანაც ნაპოვნია სტაციონარული წერტილების კოორდინატები და ლაგრანგის მულტიპლიკატორების მნიშვნელობები:

$$\ მარცხნივ\(\ დასაწყისი (გასწორებული) & \frac(\ ნაწილობრივი F)(\ ნაწილობრივი x_i)=0; (i=\ გადახაზული (1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(გასწორებული) \მარჯვნივ.$$

შესაძლებელია გაირკვეს, აქვს თუ არა ფუნქციას პირობითი მინიმუმი თუ პირობითი მაქსიმუმი ნაპოვნი წერტილში, როგორც ადრე, ნიშნის $d^2F$-ის გამოყენებით. თუ ნაპოვნი წერტილში $d^2F > 0$, მაშინ ფუნქციას აქვს პირობითი მინიმუმი, მაგრამ თუ $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

მატრიცის განმსაზღვრელი $\left| \begin(მასივი) (cccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\ ნაწილობრივი^2F)(\ნაწილობრივი x_(1)\ნაწილი x_(3)) &\ldots & \frac(\ნაწილობრივი^2F)(\ნაწილობრივი x_(1)\ ნაწილობრივი x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\ ნაწილობრივი x_(2)\ ნაწილობრივი x_(3)) &\ldots & \frac(\ ნაწილობრივი^2F)(\ ნაწილობრივი x_(2)\ ნაწილობრივი x_(n))\\ \frac(\ ნაწილობრივი^2F )(\ ნაწილობრივი x_(3) \ნაწილობრივი x_(1)) & \frac(\ ნაწილობრივი^2F)(\ ნაწილობრივი x_(3)\ ნაწილობრივი x_(2)) & \frac(\ ნაწილობრივი^2F)(\ ნაწილობრივი x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots \\ \frac(\ ნაწილობრივი^2F)(\ ნაწილობრივი x_(n)\ ნაწილობრივი x_(1)) & \frac(\ ნაწილობრივი^2F)(\ ნაწილობრივი x_(n)\ ნაწილობრივი x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( მასივი) \right|$ ხაზგასმულია წითლად $L$ მატრიცაში არის ლაგრანგის ფუნქციის ჰესიანი. ჩვენ ვიყენებთ შემდეგ წესს:

• თუ კუთხის მინორების ნიშნებია $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ მატრიცები $L$ ემთხვევა $(-1)^m$ ნიშანს, მაშინ შესასწავლი სტაციონარული წერტილი არის $z ფუნქციის პირობითი მინიმალური წერტილი. =f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
• თუ კუთხის მინორების ნიშნებია $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ მონაცვლეობით და მცირეს ნიშანი $H_(2m+1)$ ემთხვევა რიცხვის ნიშანს $(-1)^(m+1 )$, მაშინ შესწავლილი სტაციონარული წერტილი არის $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ ფუნქციის პირობითი მაქსიმალური წერტილი.

მაგალითი #1

იპოვეთ $z(x,y)=x+3y$ ფუნქციის პირობითი უკიდურესი $x^2+y^2=10$ პირობით.

ამ ამოცანის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია ასეთია: საჭიროა ვიპოვოთ $z=x+3y$ სიბრტყის აპლიკატის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა მისი გადაკვეთის წერტილებისთვის $x^2+y^2 ცილინდრთან. = 10$.

გარკვეულწილად რთულია შეზღუდვის განტოლებიდან ერთი ცვლადის მეორის მნიშვნელობით გამოხატვა და მისი ჩანაცვლება $z(x,y)=x+3y$ ფუნქციით, ამიტომ გამოვიყენებთ ლაგრანგის მეთოდს.

$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$-ის აღსანიშნავად, ჩვენ ვადგენთ Lagrange ფუნქციას:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\ ნაწილობრივი F)(\ნაწილობრივი x)=1+2\ლამბდა x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

ჩამოვწეროთ განტოლებათა სისტემა ლაგრანგის ფუნქციის სტაციონარული წერტილების დასადგენად:

$$ \მარცხნივ \( \ დასაწყისი (გასწორებული) & 1+2\ლამბდა x=0;\\ & 3+2\ლამბდა y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \დასასრული (გასწორებული)\მარჯვნივ.$$

თუ დავუშვებთ $\lambda=0$, მაშინ პირველი განტოლება ხდება: $1=0$. შედეგად მიღებული წინააღმდეგობა ამბობს, რომ $\lambda\neq 0$. $\lambda\neq 0$ პირობით, პირველი და მეორე განტოლებიდან გვაქვს: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. მიღებული მნიშვნელობების მესამე განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \მარჯვნივ)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(გასწორებული) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(გასწორებული) $$

ამრიგად, სისტემას აქვს ორი გამოსავალი: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ და $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. მოდით გავარკვიოთ ექსტრემის ბუნება თითოეულ სტაციონარულ წერტილში: $M_1(1;3)$ და $M_2(-1;-3)$. ამისათვის ჩვენ გამოვთვალეთ $H$ განმსაზღვრელი თითოეულ წერტილში.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\ლამბდა;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\ლამბდა.\\ H=\მარცხნივ| \begin(მასივი) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(მასივი) \მარჯვნივ|= \მარცხნივ| \begin(მასივი) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(მასივი) \მარჯვნივ|= 8\cdot\left| \ დასაწყისი (მასივი) (cccc) 0 & x & y\\ x & \ლამბდა & 0 \\ y & 0 & \ლამბდა \ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ| $$

$M_1(1;3)$ წერტილში ვიღებთ: $H=8\cdot\left| \ დასაწყისი (მასივი) (ccc) 0 & x & y\\ x & \ლამბდა & 0 \\ y & 0 & \ლამბდა \ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ|= 8\cdot\ მარცხნივ| \begin(მაივი) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end (მასივი) \მარჯვნივ|=40 > 0$, ასე რომ, წერტილში $M_1(1;3)$ ფუნქციას $z(x,y)=x+3y$ აქვს პირობითი მაქსიმუმი, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

ანალოგიურად, $M_2(-1;-3)$ წერტილში ვპოულობთ: $H=8\cdot\left| \ დასაწყისი (მასივი) (ccc) 0 & x & y\\ x & \ლამბდა & 0 \\ y & 0 & \ლამბდა \ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ|= 8\cdot\ მარცხნივ| \begin(მაივი) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(მაივი) \მარჯვნივ|=-40$. მას შემდეგ, რაც $ H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

მე აღვნიშნავ, რომ იმის ნაცვლად, რომ გამოვთვალოთ $H$ განმსაზღვრელი მნიშვნელობის თითოეულ წერტილში, ბევრად უფრო მოსახერხებელია მისი გახსნა ზოგადი გზით. იმისთვის, რომ ტექსტი დეტალებით არ გადაიტვირთოს, ამ მეთოდს ჩანაწერის ქვეშ დავმალავ.

განმსაზღვრელი $H$ აღნიშვნა ზოგადი ფორმით. ჩვენება დამალვა

$$ H=8\cdot\left|\begin(მასივი)(cccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(მასივი)\მარჯვნივ| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

პრინციპში, უკვე აშკარაა, თუ რომელი ნიშანი აქვს $H$-ს. ვინაიდან არცერთი წერტილი $M_1$ ან $M_2$ არ ემთხვევა საწყისს, მაშინ $y^2+x^2>0$. ამიტომ, $H$-ის ნიშანი საპირისპიროა $\lambda$-ის ნიშნისა. თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეასრულოთ გამოთვლები:

$$ \დაწყება(გასწორებული) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\მარჯვნივ)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\მარჯვნივ)=-40. \ბოლო (გასწორებული) $$

კითხვა $M_1(1;3)$ და $M_2(-1;-3)$ სტაციონარულ წერტილებზე ექსტრემის ბუნების შესახებ შეიძლება გადაწყდეს $H$ განმსაზღვრელი გამოყენების გარეშე. იპოვეთ $d^2F$-ის ნიშანი თითოეულ სტაციონარულ წერტილში:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

აღვნიშნავ, რომ აღნიშვნა $dx^2$ ნიშნავს ზუსტად $dx$ ამაღლებულს მეორე ხარისხში, ე.ი. $\მარცხნივ(dx\მარჯვნივ)^2$. აქედან გამომდინარე, გვაქვს: $dx^2+dy^2>0$, ასე რომ $\lambda_1=-\frac(1)(2)$-ისთვის მივიღებთ $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

უპასუხე: $(-1;-3)$ წერტილში ფუნქციას აქვს პირობითი მინიმუმი, $z_(\min)=-10$. $(1;3)$ წერტილში ფუნქციას აქვს პირობითი მაქსიმუმი, $z_(\max)=10$

მაგალითი #2

იპოვეთ $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ფუნქციის პირობითი უკიდურესი $x+y=0$.

პირველი გზა (ლაგრანჟის მულტიპლიკატორების მეთოდი)

$\varphi(x,y)=x+y$ აღვნიშნავთ, ჩვენ ვადგენთ ლაგრანგის ფუნქციას: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\ ნაწილობრივი F)(\ნაწილობრივი y)=9y^2-x+\ლამბდა.\\ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(გასწორებული)\მარჯვნივ.$$

სისტემის ამოხსნისას მივიღებთ: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ და $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$, $\lambda_2=-10$. გვაქვს ორი სტაციონარული წერტილი: $M_1(0;0)$ და $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. მოდით გავარკვიოთ ექსტრემის ბუნება თითოეულ სტაციონარულ წერტილში $H$ განმსაზღვრელი გამოყენებით.

$$ H=\მარცხენა| \begin(მასივი) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(მასივი) \მარჯვნივ|= \მარცხნივ| \begin(მაივი) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(მაივი) \მარჯვნივ|=-10-18y $$

წერტილში $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, ასე რომ ამ ეტაპზე ფუნქციას აქვს პირობითი მაქსიმუმი, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

ჩვენ ვიკვლევთ ექსტრემის ბუნებას თითოეულ წერტილში განსხვავებული მეთოდით, $d^2F$ ნიშნის საფუძველზე:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

შეზღუდვის განტოლებიდან $x+y=0$ გვაქვს: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

ვინაიდან $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, მაშინ $M_1(0;0)$ არის $z(x,y)=3y^3+ ფუნქციის პირობითი მინიმალური წერტილი 4x^ 2-xy$. ანალოგიურად, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

მეორე გზა

შეზღუდვის განტოლებიდან $x+y=0$ ვიღებთ: $y=-x$. $y=-x$ ფუნქციით $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ჩანაცვლებით, მივიღებთ $x$ ცვლადის ზოგიერთ ფუნქციას. ავღნიშნოთ ეს ფუნქცია, როგორც $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

ამრიგად, ორი ცვლადის ფუნქციის პირობითი კიდურების პოვნის პრობლემა ერთი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობის განსაზღვრის პრობლემამდე შევამცირეთ.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

მივიღე ქულები $M_1(0;0)$ და $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. შემდგომი კვლევა ცნობილია ერთი ცვლადის ფუნქციების დიფერენციალური გაანგარიშების კურსიდან. $u_(xx)^("")$-ის ნიშნის გამოკვლევით თითოეულ სტაციონარულ წერტილში ან $u_(x)^(")$-ის ნიშნის ცვლილების შემოწმებისას აღმოჩენილ წერტილებში, მივიღებთ იგივე დასკვნებს, როგორც პირველის ამოხსნისას. მეთოდი. მაგალითად, შეამოწმეთ ნიშანი $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

ვინაიდან $u_(xx)^("")(M_1)>0$, მაშინ $M_1$ არის $u(x)$ ფუნქციის მინიმალური წერტილი, ხოლო $u_(\min)=u(0)=0 $ . $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

$u(x)$ ფუნქციის მნიშვნელობები მოცემული კავშირის პირობებში ემთხვევა $z(x,y)$ ფუნქციის მნიშვნელობებს, ე.ი. $u(x)$ ფუნქციის ნაპოვნი უკიდურესი არის $z(x,y)$ ფუნქციის სასურველი პირობითი ექსტრემა.

უპასუხე: $(0;0)$ წერტილში ფუნქციას აქვს პირობითი მინიმუმი, $z_(\min)=0$. $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ წერტილში ფუნქციას აქვს პირობითი მაქსიმუმი, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

მოდით განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი, რომელშიც ჩვენ ვიგებთ ექსტრემის ბუნებას $d^2F$ ნიშნის განსაზღვრით.

მაგალითი #3

იპოვეთ $z=5xy-4$ ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობები, თუ ცვლადები $x$ და $y$ დადებითია და აკმაყოფილებენ შეზღუდვის განტოლებას $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

შეადგინეთ ლაგრანგის ფუნქცია: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. იპოვეთ ლაგრანგის ფუნქციის სტაციონარული წერტილები:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \მარცხნივ \( \ დასაწყისი (გასწორებული) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(გასწორებული) \მარჯვნივ.$$

ყველა შემდგომი ტრანსფორმაცია ხორციელდება $x > 0-ის გათვალისწინებით; \; y > 0$ (ეს გათვალისწინებულია პრობლემის პირობებში). მეორე განტოლებიდან გამოვხატავთ $\lambda=-\frac(5x)(y)$ და აღმოჩენილ მნიშვნელობას ვცვლით პირველ განტოლებაში: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. $x=2y$ მესამე განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

ვინაიდან $y=1$, შემდეგ $x=2$, $\lambda=-10$. ექსტრემის ბუნება $(2;1)$ წერტილში განისაზღვრება $d^2F$ ნიშნით.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\ლამბდა. $$

ვინაიდან $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, მაშინ:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

პრინციპში, აქ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ შეცვალოთ სტაციონარული წერტილის კოორდინატები $x=2$, $y=1$ და პარამეტრი $\lambda=-10$, რითაც მიიღოთ:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \მარჯვნივ)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \მარჯვნივ)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

თუმცა, პირობითი ექსტრემის სხვა პრობლემებში შეიძლება იყოს რამდენიმე სტაციონარული წერტილი. ასეთ შემთხვევებში, უმჯობესია წარმოვადგინოთ $d^2F$ ზოგადი ფორმით და შემდეგ ჩაანაცვლოთ თითოეული ნაპოვნი სტაციონარული წერტილის კოორდინატები შედეგად გამოსახულებაში:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \მარჯვნივ)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \მარჯვნივ)\cdot dx^2 $$

$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ ჩანაცვლებით მივიღებთ:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \მარჯვნივ)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

ვინაიდან $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

უპასუხე: $(2;1)$ წერტილში ფუნქციას აქვს პირობითი მაქსიმუმი, $z_(\max)=6$.

შემდეგ ნაწილში განვიხილავთ ლაგრანგის მეთოდის გამოყენებას ცვლადების უფრო დიდი რაოდენობის ფუნქციებისთვის.