კუთხე თვითმფრინავებს შორის

განვიხილოთ ორი სიბრტყე α 1 და α 2, რომლებიც მოცემულია შესაბამისად განტოლებით:

ქვეშ კუთხეორ სიბრტყეს შორის ვგულისხმობთ ამ სიბრტყეების მიერ წარმოქმნილ ერთ-ერთ დიედრალურ კუთხეს. აშკარაა, რომ ნორმალურ ვექტორებსა და α 1 და α 2 სიბრტყეებს შორის კუთხე უდრის ერთ-ერთ მითითებულ მიმდებარე დიედრალურ კუთხეს ან . Ისე . იმიტომ რომ და , მაშინ

.

მაგალითი.დაადგინეთ კუთხე სიბრტყეებს შორის x+2წ-3ზ+4=0 და 2 x+3წ+ზ+8=0.

ორი სიბრტყის პარალელურობის მდგომარეობა.

ორი სიბრტყე α 1 და α 2 პარალელურია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათი ნორმალური ვექტორები და პარალელურია, და აქედან გამომდინარე .

ასე რომ, ორი სიბრტყე ერთმანეთის პარალელურია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ კოეფიციენტები შესაბამის კოორდინატებზე პროპორციულია:

ან

სიბრტყეების პერპენდიკულარულობის მდგომარეობა.

ცხადია, რომ ორი სიბრტყე პერპენდიკულარულია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათი ნორმალური ვექტორები პერპენდიკულარულია და, შესაბამისად, ან .

ამრიგად, .

მაგალითები.

პირდაპირი სივრცეში.

ვექტორული განტოლება პირდაპირი.

პარამეტრული განტოლებები პირდაპირი

სწორი ხაზის პოზიცია სივრცეში მთლიანად განისაზღვრება მისი რომელიმე ფიქსირებული წერტილის მითითებით მ 1 და ვექტორი ამ ხაზის პარალელურად.

სწორი ხაზის პარალელურ ვექტორს ეწოდება სახელმძღვანელოამ ხაზის ვექტორი.

ასე რომ, ნება პირდაპირ ლგადის წერტილს მ 1 (x 1 , წ 1 , ზ 1) დაწოლა ვექტორის პარალელურ სწორ ხაზზე.

განვიხილოთ თვითნებური წერტილი M(x,y,z)სწორ ხაზზე. ფიგურიდან ჩანს, რომ .

ვექტორები და არის კოლინარული, ამიტომ არის ასეთი რიცხვი ტ, რა , სად არის მულტიპლიკატორი ტშეუძლია მიიღოს ნებისმიერი რიცხვითი მნიშვნელობა წერტილის პოზიციიდან გამომდინარე მსწორ ხაზზე. ფაქტორი ტეწოდება პარამეტრი. წერტილების რადიუსის ვექტორების აღნიშვნა მ 1 და მშესაბამისად, მეშვეობით და , ვიღებთ . ეს განტოლება ე.წ ვექტორისწორი ხაზის განტოლება. ეს აჩვენებს, რომ თითოეული პარამეტრის მნიშვნელობა ტშეესაბამება რაღაც წერტილის რადიუსის ვექტორს მსწორ ხაზზე წევს.

ჩვენ ვწერთ ამ განტოლებას კოორდინატების სახით. გაითვალისწინეთ, რომ, და აქედან

მიღებული განტოლებები ე.წ პარამეტრულისწორი ხაზის განტოლებები.

პარამეტრის შეცვლისას ტკოორდინატები იცვლება x, წდა ზდა წერტილი მმოძრაობს სწორი ხაზით.

კანონიკური განტოლებები პირდაპირი

დაე იყოს მ 1 (x 1 , წ 1 , ზ 1) - წერტილი, რომელიც დევს სწორ ხაზზე ლ, და არის მისი მიმართულების ვექტორი. ისევ აიღეთ თვითნებური წერტილი სწორ ხაზზე M(x,y,z)და განიხილეთ ვექტორი.

ცხადია, რომ ვექტორები და არიან კოლინარული, ამიტომ მათი შესაბამისი კოორდინატები პროპორციული უნდა იყოს, შესაბამისად

– კანონიკურისწორი ხაზის განტოლებები.

შენიშვნა 1.გაითვალისწინეთ, რომ წრფის კანონიკური განტოლებები შეიძლება მივიღოთ პარამეტრული განტოლებებიდან პარამეტრის აღმოფხვრით ტ. მართლაც, პარამეტრული განტოლებიდან ვიღებთ ან .

მაგალითი.დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება პარამეტრული გზით.

აღნიშნეთ , აქედან გამომდინარე x = 2 + 3ტ, წ = –1 + 2ტ, ზ = 1 –ტ.

შენიშვნა 2.მოდით ხაზი იყოს პერპენდიკულარული ერთ-ერთი საკოორდინატო ღერძის მიმართ, მაგალითად, ღერძი ოქსი. მაშინ წრფის მიმართულების ვექტორი პერპენდიკულურია ოქსი, შესაბამისად, მ=0. შესაბამისად, სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები იღებენ ფორმას

პარამეტრის ამოღება განტოლებიდან ტ, ვიღებთ სწორი ხაზის განტოლებებს ფორმაში

თუმცა, ამ შემთხვევაშიც თანახმა ვართ სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებების ფორმაში ჩაწერაზე . ამრიგად, თუ ერთ-ერთი წილადის მნიშვნელი არის ნული, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ წრფე პერპენდიკულარულია შესაბამის კოორდინატთა ღერძზე.

ანალოგიურად, კანონიკური განტოლებები შეესაბამება ღერძების პერპენდიკულარულ სწორ ხაზს ოქსიდა ოიან პარალელური ღერძი ოზი.

მაგალითები.

ზოგადი განტოლებები პირდაპირი ხაზი, როგორც ორი სიბრტყის ჩაჭრის ხაზი

სივრცეში ყოველი სწორი ხაზი გადის უსასრულო რაოდენობის სიბრტყეზე. ნებისმიერი ორი მათგანი, რომელიც იკვეთება, განსაზღვრავს მას სივრცეში. აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი ორი ასეთი სიბრტყის განტოლებები, ერთად განხილული, არის ამ წრფის განტოლებები.

ზოგადად, ნებისმიერი ორი არაპარალელური სიბრტყე, რომელიც მოცემულია ზოგადი განტოლებებით

განსაზღვრეთ მათი გადაკვეთის ხაზი. ეს განტოლებები ე.წ ზოგადი განტოლებებისწორი.

მაგალითები.

ააგეთ განტოლებებით მოცემული სწორი ხაზი

ხაზის ასაგებად საკმარისია მისი ნებისმიერი ორი წერტილის პოვნა. უმარტივესი გზაა წრფის გადაკვეთის წერტილების არჩევა კოორდინატულ სიბრტყეებთან. მაგალითად, სიბრტყესთან გადაკვეთის წერტილი xOyვიღებთ სწორი ხაზის განტოლებიდან, თუ ვივარაუდებთ ზ= 0:

ამ სისტემის გადაჭრით, ჩვენ ვპოულობთ აზრს მ 1 (1;2;0).

ანალოგიურად, ვარაუდით წ= 0, ვიღებთ წრფის გადაკვეთის წერტილს სიბრტყესთან xOz:

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლებიდან შეიძლება გადავიდეთ მის კანონიკურ ან პარამეტრულ განტოლებამდე. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ რაღაც წერტილი მ 1 წრფეზე და წრფის მიმართულების ვექტორი.

წერტილის კოორდინატები მ 1 ვიღებთ განტოლებათა ამ სისტემიდან, რაც ერთ-ერთ კოორდინატს ვაძლევთ თვითნებურ მნიშვნელობას. მიმართულების ვექტორის საპოვნელად, გაითვალისწინეთ, რომ ეს ვექტორი უნდა იყოს პერპენდიკულარული ორივე ნორმალური ვექტორის მიმართ და . მაშასადამე, სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორისთვის ლთქვენ შეგიძლიათ აიღოთ ნორმალური ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი:

.

მაგალითი.მიეცით სწორი ხაზის ზოგადი განტოლებები კანონიკურ ფორმამდე.

იპოვნეთ წერტილი სწორ ხაზზე. ამისათვის ჩვენ თვითნებურად ვირჩევთ ერთ-ერთ კოორდინატს, მაგალითად, წ= 0 და ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

წრფის განმსაზღვრელი სიბრტყეების ნორმალურ ვექტორებს აქვთ კოორდინატები ამიტომ მიმართულების ვექტორი სწორი იქნება

. აქედან გამომდინარე, ლ: .

კუთხე უფლებებს შორის

კუთხესივრცეში სწორ ხაზებს შორის ჩვენ დავარქმევთ ნებისმიერ მიმდებარე კუთხეს, რომელიც წარმოიქმნება მონაცემების პარალელურად თვითნებური წერტილით გამოყვანილი ორი სწორი ხაზით.

სივრცეში ორი სწორი ხაზი იყოს მოცემული:

ცხადია, კუთხე φ ხაზებს შორის შეიძლება მივიღოთ, როგორც კუთხე მათ მიმართულების ვექტორებსა და . ვინაიდან , მაშინ ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსის ფორმულის მიხედვით ვიღებთ

ა. მოყვანილი იყოს ორი ხაზი, ეს ხაზები, როგორც აღინიშნა პირველ თავში, ქმნიან სხვადასხვა დადებით და უარყოფით კუთხეებს, რომლებიც შეიძლება იყოს მკვეთრი ან ბლაგვი. ამ კუთხიდან ერთ-ერთის ცოდნით, ჩვენ ადვილად ვიპოვით სხვას.

სხვათა შორის, ყველა ამ კუთხისთვის, ტანგენტის რიცხვითი მნიშვნელობა იგივეა, განსხვავება შეიძლება იყოს მხოლოდ ნიშანში

ხაზების განტოლებები. რიცხვები არის პირველი და მეორე წრფეების მიმართული ვექტორების პროგნოზები, ამ ვექტორებს შორის კუთხე ტოლია სწორი ხაზებით წარმოქმნილ ერთ-ერთ კუთხეს. მაშასადამე, პრობლემა მცირდება ვექტორებს შორის კუთხის განსაზღვრამდე, ვიღებთ

სიმარტივისთვის, შეგვიძლია შევთანხმდეთ კუთხეზე ორ სწორ ხაზს შორის მწვავე დადებითი კუთხის გასაგებად (როგორც, მაგალითად, სურ. 53).

მაშინ ამ კუთხის ტანგენსი ყოველთვის დადებითი იქნება. ამრიგად, თუ მინუსის ნიშანი მიიღება (1) ფორმულის მარჯვენა მხარეს, მაშინ ჩვენ უნდა გავაუქმოთ იგი, ანუ შევინარჩუნოთ მხოლოდ აბსოლუტური მნიშვნელობა.

მაგალითი. განსაზღვრეთ კუთხე ხაზებს შორის

ფორმულით (1) გვაქვს

თან. თუ მითითებულია კუთხის რომელი მხარეა მისი დასაწყისი და რომელი დასასრული, მაშინ კუთხის მიმართულების ყოველთვის საწინააღმდეგოდ დათვლა შეგვიძლია ფორმულებიდან (1). როგორც ადვილი შესამჩნევია ნახ. 53 (1) ფორმულის მარჯვენა მხარეს მიღებული ნიშანი მიუთითებს რომელი - მწვავე თუ ბლაგვი - კუთხე ქმნის მეორე ხაზს პირველთან.

(ნამდვილად, ნახაზი 53-დან ვხედავთ, რომ პირველი და მეორე მიმართულების ვექტორებს შორის კუთხე ან ტოლია სასურველი კუთხის ხაზებს შორის, ან განსხვავდება მისგან ±180°-ით.)

დ. თუ წრფეები პარალელურია, მაშინ მათი მიმართულების ვექტორებიც პარალელურია, ორი ვექტორის პარალელურობის პირობის გამოყენებით მივიღებთ!

ეს არის აუცილებელი და საკმარისი პირობა, რომ ორი ხაზი იყოს პარალელური.

მაგალითი. პირდაპირი

პარალელურები არიან იმიტომ

ე. თუ ხაზები პერპენდიკულარულია, მაშინ მათი მიმართულების ვექტორებიც პერპენდიკულარულია. ორი ვექტორის პერპენდიკულარობის პირობის გამოყენებით ვიღებთ ორი წრფის პერპენდიკულარობის პირობას, კერძოდ

მაგალითი. პირდაპირი

პერპენდიკულარული იმიტომ

პარალელურობისა და პერპენდიკულარობის პირობებთან დაკავშირებით მოვაგვარებთ შემდეგ ორ ამოცანას.

ვ. დახაზეთ წრფე მოცემული წრფის პარალელურად წერტილში

გადაწყვეტილება მიიღება ასე. ვინაიდან სასურველი წრფე პარალელურია მოცემული წრფისა, მაშინ მისი მიმართულების ვექტორისთვის შეგვიძლია ავიღოთ იგივე, რაც მოცემული წრფისა, ანუ ვექტორი A და B პროექციებით. და შემდეგ დაიწერება სასურველი წრფის განტოლება. სახით (§ 1)

მაგალითი. სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის წრფის პარალელურ წერტილში (1; 3).

შემდეგი იქნება!

გ. დახაზეთ წრფე მოცემული წრფის პერპენდიკულარულ წერტილში

აქ აღარ არის შესაფერისი ვექტორის აღება A პროექციებით და როგორც მიმართულ ვექტორად, მაგრამ აუცილებელია მასზე პერპენდიკულარული ვექტორის აღება. ამრიგად, ამ ვექტორის პროგნოზები უნდა შეირჩეს იმ პირობით, რომ ორივე ვექტორი იყოს პერპენდიკულარული, ე.ი.

ეს პირობა შეიძლება შესრულდეს უსასრულო რაოდენობის გზით, რადგან აქ არის ერთი განტოლება ორი უცნობით, მაგრამ ყველაზე მარტივი გზაა მისი აღება. შემდეგ სასურველი სწორი ხაზის განტოლება დაიწერება სახით.

მაგალითი. წრფის განტოლება, რომელიც გადის წერტილში (-7; 2) პერპენდიკულარულ წრფეში

იქნება შემდეგი (მეორე ფორმულის მიხედვით)!

თ. იმ შემთხვევაში, როდესაც ხაზები მოცემულია ფორმის განტოლებით

ამ განტოლებების სხვაგვარად გადაწერა, გვაქვს

მოკლედ ვიქნები. ორ წრფეს შორის კუთხე ტოლია მათ მიმართულების ვექტორებს შორის. ამრიგად, თუ მოახერხებთ a \u003d (x 1; y 1; z 1) და b \u003d (x 2; y 2; z 2) მიმართულების ვექტორების კოორდინატების პოვნას, შეგიძლიათ იპოვოთ კუთხე. უფრო ზუსტად, კუთხის კოსინუსი ფორმულის მიხედვით:

ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს ფორმულა კონკრეტულ მაგალითებზე:

დავალება. E და F წერტილები აღინიშნება ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 კუბში - A 1 B 1 და B 1 C 1 კიდეების შუა წერტილები, შესაბამისად. იპოვეთ კუთხე AE და BF წრფეებს შორის.

ვინაიდან კუბის კიდე არ არის მითითებული, ჩვენ ვაყენებთ AB = 1. შემოგვაქვს სტანდარტული კოორდინატთა სისტემა: საწყისი არის A წერტილში, ხოლო x, y, z ღერძები მიმართულია შესაბამისად AB, AD და AA 1-ის გასწვრივ. . ერთეული სეგმენტი უდრის AB = 1. ახლა ვიპოვოთ მიმართულების ვექტორების კოორდინატები ჩვენი ხაზებისთვის.

იპოვეთ AE ვექტორის კოორდინატები. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება წერტილები A = (0; 0; 0) და E = (0.5; 0; 1). ვინაიდან E წერტილი არის A 1 B 1 სეგმენტის შუა, მისი კოორდინატები ტოლია ბოლოების კოორდინატების საშუალო არითმეტიკულის. გაითვალისწინეთ, რომ AE ვექტორის წარმოშობა ემთხვევა საწყისს, ამიტომ AE = (0.5; 0; 1).

ახლა მოდით გავუმკლავდეთ BF ვექტორს. ანალოგიურად, ჩვენ ვაანალიზებთ წერტილებს B = (1; 0; 0) და F = (1; 0.5; 1), რადგან F - სეგმენტის შუა B 1 C 1. Ჩვენ გვაქვს:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).

ასე რომ, მიმართულების ვექტორები მზად არის. წრფეებს შორის კუთხის კოსინუსი არის მიმართულების ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი, ამიტომ გვაქვს:

დავალება. ABCA 1 B 1 C 1 რეგულარულ სამკუთხედ პრიზმაში, რომლის ყველა კიდე 1-ის ტოლია, D და E წერტილები აღინიშნება - A 1 B 1 და B 1 C 1 კიდეების შუა წერტილები, შესაბამისად. იპოვეთ კუთხე AD და BE წრფეებს შორის.

ჩვენ შემოგთავაზებთ სტანდარტულ კოორდინატთა სისტემას: საწყისი არის A წერტილში, x-ღერძი მიმართულია AB-ის გასწვრივ, z - AA 1-ის გასწვრივ. ჩვენ მივმართავთ y ღერძს ისე, რომ OXY სიბრტყე დაემთხვა ABC სიბრტყეს. ერთეული სეგმენტი უდრის AB = 1. იპოვეთ მიმართულების ვექტორების კოორდინატები სასურველი ხაზებისთვის.

ჯერ ვიპოვოთ AD ვექტორის კოორდინატები. განვიხილოთ წერტილები: A = (0; 0; 0) და D = (0.5; 0; 1), რადგან D - A 1 B 1 სეგმენტის შუა. ვინაიდან AD ვექტორის დასაწყისი ემთხვევა საწყისს, ვიღებთ AD ​​= (0.5; 0; 1).

ახლა ვიპოვოთ BE ვექტორის კოორდინატები. წერტილი B = (1; 0; 0) ადვილი გამოსათვლელია. E წერტილით - C 1 B 1 სეგმენტის შუა - ცოტა უფრო რთული. Ჩვენ გვაქვს:

რჩება კუთხის კოსინუსის პოვნა:

დავალება. რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმაში ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, რომლის ყველა კიდე 1-ის ტოლია, K და L წერტილები აღინიშნება - A 1 B 1 და B 1 C 1 კიდეების შუა წერტილები, შესაბამისად. იპოვეთ კუთხე AK და BL წრფეებს შორის.

ჩვენ შემოგთავაზებთ პრიზმის სტანდარტულ კოორდინატთა სისტემას: ვათავსებთ კოორდინატების საწყისს ქვედა ფუძის ცენტრში, ვმართავთ x ღერძს FC-ის გასწვრივ, y-ღერძს AB და DE სეგმენტების შუა წერტილებში და z-ღერძი. ვერტიკალურად ზემოთ. ერთეული სეგმენტი ისევ AB = 1-ის ტოლია. მოდით ჩამოვწეროთ ჩვენთვის საინტერესო წერტილების კოორდინატები:

წერტილები K და L არის A 1 B 1 და B 1 C 1 სეგმენტების შუა წერტილები, შესაბამისად, მათი კოორდინატები გვხვდება საშუალო არითმეტიკული საშუალებით. წერტილების ცოდნით, ვპოულობთ მიმართულების ვექტორების AK და BL კოორდინატებს:

ახლა ვიპოვოთ კუთხის კოსინუსი:

დავალება. ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდაში SABCD, რომლის ყველა კიდე 1-ის ტოლია, E და F წერტილები აღინიშნება - SB და SC გვერდების შუა წერტილები, შესაბამისად. იპოვეთ კუთხე AE და BF წრფეებს შორის.

შემოგვაქვს სტანდარტული კოორდინატთა სისტემა: საწყისი არის A წერტილში, x და y ღერძები მიმართულია შესაბამისად AB და AD გასწვრივ, ხოლო z ღერძი მიმართულია ვერტიკალურად ზემოთ. ერთეული სეგმენტი უდრის AB = 1.

წერტილები E და F არის SB და SC სეგმენტების შუა წერტილები, შესაბამისად, მათი კოორდინატები გვხვდება ბოლოების საშუალო არითმეტიკული სახით. ჩვენ ვწერთ ჩვენთვის საინტერესო წერტილების კოორდინატებს:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

წერტილების ცოდნა, ჩვენ ვპოულობთ მიმართულების ვექტორების AE და BF კოორდინატებს:

AE ვექტორის კოორდინატები ემთხვევა E წერტილის კოორდინატებს, ვინაიდან A წერტილი არის საწყისი. რჩება კუთხის კოსინუსის პოვნა:

განმარტება.თუ ორი წრფე მოცემულია y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , მაშინ ამ წრფეებს შორის მახვილი კუთხე განისაზღვრება როგორც

ორი წრფე პარალელურია, თუ k 1 = k 2 . ორი წრფე პერპენდიკულარულია, თუ k 1 = -1/ k 2 .

თეორემა.სწორი ხაზები Ax + Vy + C \u003d 0 და A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 პარალელურია, როდესაც კოეფიციენტები A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB პროპორციულია. თუ ასევე С 1 = λС, მაშინ ხაზები ემთხვევა. ორი წრფის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები გვხვდება ამ წრფეების განტოლებათა სისტემის ამონახსნის სახით.

მოცემულ წერტილში გამავალი წრფის განტოლება

ამ ხაზის პერპენდიკულარული

განმარტება.ხაზი, რომელიც გადის M 1 წერტილში (x 1, y 1) და პერპენდიკულარულია y \u003d kx + b წრფეზე, წარმოდგენილია განტოლებით:

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე

თეორემა.თუ მოცემულია წერტილი M(x 0, y 0), მაშინ მანძილი Ax + Vy + C \u003d 0 წრფემდე განისაზღვრება, როგორც

.

მტკიცებულება.წერტილი M 1 (x 1, y 1) იყოს M წერტილიდან მოცემულ წრფეზე ჩამოშვებული პერპენდიკულარულის საფუძველი. შემდეგ მანძილი M და M 1 წერტილებს შორის:

(1)

x 1 და y 1 კოორდინატები შეიძლება მოიძებნოს განტოლებათა სისტემის ამოხსნის სახით:

სისტემის მეორე განტოლება არის სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში M 0 მოცემულ სწორ ხაზზე პერპენდიკულარულად. თუ სისტემის პირველ განტოლებას გადავიყვანთ ფორმაში:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

შემდეგ, ამოხსნით, მივიღებთ:

ამ გამონათქვამების (1) განტოლებით ჩანაცვლებით, ჩვენ ვპოულობთ:

თეორემა დადასტურდა.

მაგალითი. დაადგინეთ კუთხე წრფეებს შორის: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

მაგალითი. აჩვენეთ, რომ წრფეები 3x - 5y + 7 = 0 და 10x + 6y - 3 = 0 პერპენდიკულურია.

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვპოულობთ: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, შესაბამისად, ხაზები პერპენდიკულარულია.

მაგალითი. მოცემულია A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) სამკუთხედის წვეროები. იპოვეთ C წვეროდან გამოყვანილი სიმაღლის განტოლება.

გადაწყვეტილება. ვპოულობთ AB გვერდის განტოლებას: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

სასურველი სიმაღლის განტოლებაა: Ax + By + C = 0 ან y = kx + b. k = . მაშინ y =. იმიტომ რომ სიმაღლე გადის C წერტილში, მაშინ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებენ ამ განტოლებას: საიდანაც b = 17. სულ: .

პასუხი: 3x + 2y - 34 = 0.

მოცემულ წერტილში მოცემული მიმართულებით გამავალი წრფის განტოლება. ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება. კუთხე ორ ხაზს შორის. ორი წრფის პარალელურობის და პერპენდიკულარულობის პირობა. ორი წრფის გადაკვეთის წერტილის განსაზღვრა

1. მოცემულ წერტილში გამავალი წრფის განტოლება ა(x 1 , წ 1) მოცემული მიმართულებით, განსაზღვრული ფერდობზე კ,

წ - წ 1 = კ(x - x 1). (1)

ეს განტოლება განსაზღვრავს ხაზების ფანქარს, რომელიც გადის წერტილში ა(x 1 , წ 1), რომელსაც სხივის ცენტრს უწოდებენ.

2. სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის ორ წერტილში: ა(x 1 , წ 1) და ბ(x 2 , წ 2) ასე წერია:

ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის დახრილობა განისაზღვრება ფორმულით

3. კუთხე სწორ ხაზებს შორის ადა ბარის კუთხე, რომლითაც უნდა შემობრუნდეს პირველი სწორი ხაზი აამ ხაზების გადაკვეთის წერტილის გარშემო საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით, სანამ ის მეორე ხაზს არ დაემთხვევა ბ. თუ ორი წრფე მოცემულია დახრილობის განტოლებით

წ = კ 1 x + ბ 1 ,

წ = კ 2 x + ბ 2 , (4)

მაშინ მათ შორის კუთხე განისაზღვრება ფორმულით

გასათვალისწინებელია, რომ წილადის მრიცხველში პირველი სწორი ხაზის დახრილობა გამოკლებულია მეორე სწორი ხაზის დახრილობას.

თუ სწორი ხაზის განტოლებები მოცემულია ზოგადი სახით

ა 1 x + ბ 1 წ + C 1 = 0,

ა 2 x + ბ 2 წ + C 2 = 0, (6)

მათ შორის კუთხე განისაზღვრება ფორმულით

4. ორი წრფის პარალელურობის პირობები:

ა) თუ წრფეები მოცემულია (4) განტოლებით დახრილობით, მაშინ მათი პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობაა მათი დახრილობის ტოლობა:

კ 1 = კ 2 . (8)

ბ) იმ შემთხვევისთვის, როდესაც წრფეები მოცემულია განტოლებებით ზოგადი ფორმით (6), მათი პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობაა, რომ კოეფიციენტები შესაბამის მიმდინარე კოორდინატებზე მათ განტოლებებში იყოს პროპორციული, ე.ი.

5. ორი წრფის პერპენდიკულარულობის პირობები:

ა) იმ შემთხვევაში, როდესაც ხაზები მოცემულია (4) განტოლებით დახრილობით, მათი პერპენდიკულარობის აუცილებელი და საკმარისი პირობაა, რომ მათი ფერდობები სიდიდით ურთიერთსაწინააღმდეგო იყოს და ნიშნით საპირისპირო, ე.ი.

ეს პირობა ასევე შეიძლება ჩაიწეროს ფორმაში

კ 1 კ 2 = -1. (11)

ბ) თუ სწორი ხაზების განტოლებები მოცემულია ზოგადი სახით (6), მაშინ მათი პერპენდიკულარულობის (აუცილებელი და საკმარისი) პირობა არის ტოლობის შესრულება.

ა 1 ა 2 + ბ 1 ბ 2 = 0. (12)

6. ორი წრფის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები გვხვდება განტოლებათა სისტემის ამოხსნით (6). წრფეები (6) იკვეთება თუ და მხოლოდ თუ

1. დაწერეთ M წერტილში გამავალი წრფეების განტოლებები, რომელთაგან ერთი პარალელურია, მეორე კი მოცემული l წრფის პერპენდიკულარული.

Oh-oh-oh-oh-oh ... კარგი, ეს თინაა, თითქოს შენთვის წაიკითხე წინადადება =) თუმცა, მაშინ დასვენება დაგეხმარებათ, მით უმეტეს, რომ დღეს შევიძინე შესაფერისი აქსესუარები. ამიტომ, მოდით გადავიდეთ პირველ ნაწილზე, იმედი მაქვს, სტატიის ბოლომდე შევინარჩუნებ ხალისიან განწყობას.

ორი სწორი ხაზის ურთიერთგანლაგება

შემთხვევა, როცა დარბაზი გუნდში მღერის. ორი ხაზი შეიძლება:

1) მატჩი;

2) იყოს პარალელური: ;

3) ან იკვეთება ერთ წერტილზე: .

დახმარება დუიმებისთვის : გთხოვთ დაიმახსოვროთ კვეთის მათემატიკური ნიშანი, ის ძალიან ხშირად მოხდება. ჩანაწერი ნიშნავს, რომ ხაზი კვეთს ხაზს წერტილში.

როგორ განვსაზღვროთ ორი ხაზის შედარებითი პოზიცია?

დავიწყოთ პირველი შემთხვევით:

ორი წრფე ემთხვევა თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი შესაბამისი კოეფიციენტები პროპორციულია, ანუ არის ისეთი რიცხვი „ლამბდა“ რომ ტოლები

განვიხილოთ სწორი ხაზები და შევადგინოთ სამი განტოლება შესაბამისი კოეფიციენტებიდან: . თითოეული განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ, შესაბამისად, ეს ხაზები ემთხვევა.

მართლაც, თუ განტოლების ყველა კოეფიციენტი გავამრავლოთ -1-ზე (შეცვალეთ ნიშნები) და შეამციროთ განტოლების ყველა კოეფიციენტი 2-ით, მიიღებთ იგივე განტოლებას: .

მეორე შემთხვევა, როდესაც ხაზები პარალელურია:

ორი წრფე პარალელურია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი კოეფიციენტები ცვლადებში პროპორციულია: , მაგრამ.

მაგალითად, განვიხილოთ ორი სწორი ხაზი. ჩვენ ვამოწმებთ შესაბამისი კოეფიციენტების პროპორციულობას ცვლადებისთვის:

თუმცა, ცხადია, რომ.

და მესამე შემთხვევა, როდესაც ხაზები იკვეთება:

ორი წრფე იკვეთება, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ცვლადების მათი კოეფიციენტები პროპორციული არ არის, ანუ არ არსებობს "ლამბდას" ისეთი მნიშვნელობა, რომ ტოლობები შესრულდეს

ასე რომ, სწორი ხაზებისთვის ჩვენ შევქმნით სისტემას:

პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ , ხოლო მეორე განტოლებიდან: , მაშასადამე, სისტემა არათანმიმდევრულია(არ არის გადაწყვეტილებები). ამრიგად, ცვლადებში კოეფიციენტები არ არის პროპორციული.

დასკვნა: ხაზები იკვეთება

პრაქტიკულ პრობლემებში შეიძლება გამოყენებულ იქნას ახლად განხილული გადაწყვეტის სქემა. სხვათა შორის, ის ძალიან ჰგავს ვექტორების კოლინარობის შემოწმების ალგორითმს, რომელიც განვიხილეთ გაკვეთილზე. ვექტორების წრფივი (არა) დამოკიდებულების ცნება. ვექტორული საფუძველი. მაგრამ არსებობს უფრო ცივილიზებული პაკეტი:

მაგალითი 1

გაარკვიეთ ხაზების შედარებითი პოზიცია:

გადაწყვეტილებასწორი ხაზების მიმართული ვექტორების შესწავლის საფუძველზე:

ა) განტოლებიდან ვპოულობთ წრფეების მიმართულების ვექტორებს: .

, ასე რომ, ვექტორები არ არის ხაზოვანი და ხაზები იკვეთება.

ყოველი შემთხვევისთვის გზაჯვარედინზე დავდებ ქვას მითითებით:

დანარჩენები ახტებიან ქვას და მიჰყვებიან პირდაპირ კაშჩეის უკვდავებამდე =)

ბ) იპოვეთ წრფეების მიმართულების ვექტორები:

ხაზებს აქვთ იგივე მიმართულების ვექტორი, რაც ნიშნავს, რომ ისინი ან პარალელურები არიან ან ერთნაირი. აქ განმსაზღვრელი არ არის საჭირო.

ცხადია, უცნობის კოეფიციენტები პროპორციულია, ხოლო .

მოდით გავარკვიოთ არის თუ არა თანასწორობა ჭეშმარიტი:

ამრიგად,

გ) იპოვეთ წრფეების მიმართულების ვექტორები:

მოდით გამოვთვალოთ განმსაზღვრელი, რომელიც შედგება ამ ვექტორების კოორდინატებისგან:
მაშასადამე, მიმართულების ვექტორები კოლინარულია. ხაზები ან პარალელურია ან ემთხვევა.

პროპორციულობის კოეფიციენტი „ლამბდა“ ადვილი შესამჩნევია პირდაპირ კოლინარული მიმართულების ვექტორების თანაფარდობიდან. თუმცა, ის ასევე შეიძლება მოიძებნოს თავად განტოლებების კოეფიციენტების საშუალებით: .

ახლა მოდით გავარკვიოთ არის თუ არა თანასწორობა ჭეშმარიტი. ორივე უფასო ტერმინი ნულის ტოლია, ასე რომ:

მიღებული მნიშვნელობა აკმაყოფილებს ამ განტოლებას (ნებისმიერი რიცხვი ზოგადად აკმაყოფილებს მას).

ამრიგად, ხაზები ემთხვევა ერთმანეთს.

უპასუხე:

ძალიან მალე ისწავლით (ან უკვე ისწავლეთ) განხილული პრობლემის სიტყვიერად გადაჭრას რამდენიმე წამში. ამასთან დაკავშირებით, მე ვერ ვხედავ მიზეზს, რომ შემოგთავაზოთ რაიმე დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის, უმჯობესია გეომეტრიულ საძირკველში კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი აგურის ჩაყრა:

როგორ გავავლოთ წრფე მოცემულის პარალელურად?

ამ უმარტივესი ამოცანის უცოდინრობის გამო, ბულბული ყაჩაღი სასტიკად სჯის.

მაგალითი 2

სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით. დაწერეთ განტოლება პარალელური ხაზისთვის, რომელიც გადის წერტილში.

გადაწყვეტილება: უცნობი სტრიქონის აღნიშვნა ასოთი . რას ამბობს მდგომარეობა ამაზე? ხაზი გადის წერტილში. ხოლო თუ წრფეები პარალელურია, მაშინ აშკარაა, რომ „ce“ წრფის მიმართულების ვექტორიც შესაფერისია „de“ წრფის ასაგებად.

განტოლებიდან ამოვიღებთ მიმართულების ვექტორს:

უპასუხე:

მაგალითის გეომეტრია მარტივია:

ანალიტიკური შემოწმება შედგება შემდეგი ნაბიჯებისგან:

1) ვამოწმებთ, რომ წრფეებს აქვთ ერთნაირი მიმართულების ვექტორი (თუ წრფის განტოლება სათანადოდ არ არის გამარტივებული, მაშინ ვექტორები იქნება კოლინარული).

2) შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა წერტილი მიღებულ განტოლებას.

ანალიტიკური გადამოწმება უმეტეს შემთხვევაში ადვილი შესასრულებელია სიტყვიერად. შეხედეთ ორ განტოლებას და ბევრი თქვენგანი სწრაფად გაიგებს, თუ როგორ არის წრფეები პარალელურად ყოველგვარი ნახაზის გარეშე.

კრეატიული იქნება დღევანდელი თვითგადაჭრის მაგალითები. იმიტომ, რომ ბაბა იაგას მაინც უნდა ეჯიბრო და ის, მოგეხსენებათ, ყველანაირი გამოცანების მოყვარულია.

მაგალითი 3

დაწერეთ განტოლება წრფის, რომელიც გადის წრფის პარალელურ წერტილში, თუ

არსებობს გადაჭრის რაციონალური და არც თუ ისე რაციონალური გზა. უმოკლესი გზა არის გაკვეთილის ბოლოს.

ჩვენ გავაკეთეთ მცირე მუშაობა პარალელური ხაზებით და მათ მოგვიანებით დავუბრუნდებით. სტრიქონების დამთხვევის შემთხვევა ნაკლებად საინტერესოა, ამიტომ განვიხილოთ პრობლემა, რომელიც თქვენთვის კარგად არის ცნობილი სკოლის სასწავლო გეგმიდან:

როგორ მოვძებნოთ ორი წრფის გადაკვეთის წერტილი?

თუ სწორი იკვეთება წერტილში, მაშინ მისი კოორდინატები გამოსავალია წრფივი განტოლებათა სისტემები

როგორ მოვძებნოთ ხაზების გადაკვეთის წერტილი? გადაჭრით სისტემა.

აი შენ ორი უცნობი წრფივი განტოლების სისტემის გეომეტრიული მნიშვნელობაარის ორი გადამკვეთი (ყველაზე ხშირად) სწორი ხაზი სიბრტყეზე.

მაგალითი 4

იპოვეთ ხაზების გადაკვეთის წერტილი

გადაწყვეტილება: გადაჭრის ორი გზა არსებობს - გრაფიკული და ანალიტიკური.

გრაფიკული გზა არის უბრალოდ მოცემული ხაზების დახატვა და გადაკვეთის წერტილის გარკვევა პირდაპირ ნახაზიდან:

აქ არის ჩვენი აზრი: . შესამოწმებლად, თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ მისი კოორდინატები სწორი ხაზის თითოეულ განტოლებაში, ისინი უნდა შეესაბამებოდეს იქაც და იქაც. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წერტილის კოორდინატები არის სისტემის ამოხსნა. ფაქტობრივად, ჩვენ განვიხილეთ გადაჭრის გრაფიკული გზა წრფივი განტოლებათა სისტემებიორი განტოლებით, ორი უცნობით.

გრაფიკული მეთოდი, რა თქმა უნდა, არ არის ცუდი, მაგრამ არის შესამჩნევი უარყოფითი მხარეები. არა, საქმე ის არ არის, რომ მეშვიდე კლასელები ასე წყვეტენ, საქმე ისაა, რომ სწორი და ზუსტი ნახატის გაკეთებას დრო დასჭირდება. გარდა ამისა, ზოგიერთი ხაზი არც ისე ადვილია ასაშენებელი და თავად გადაკვეთის წერტილი შეიძლება იყოს სადღაც ოცდამეათე სამეფოში ნოუთბუქის ფურცლის მიღმა.

ამიტომ უფრო მიზანშეწონილია გადაკვეთის წერტილის ძიება ანალიტიკური მეთოდით. მოდით გადავჭრათ სისტემა:

სისტემის ამოსახსნელად გამოყენებული იქნა განტოლებათა ტერმინული შეკრების მეთოდი. შესაბამისი უნარების გასავითარებლად ეწვიეთ გაკვეთილს როგორ ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა?

უპასუხე:

გადამოწმება ტრივიალურია - გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს სისტემის თითოეულ განტოლებას.

მაგალითი 5

იპოვეთ წრფეების გადაკვეთის წერტილი, თუ ისინი იკვეთებიან.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. მოსახერხებელია პრობლემის რამდენიმე ეტაპად დაყოფა. მდგომარეობის ანალიზი ვარაუდობს, რომ აუცილებელია:
1) დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება.
2) დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება.
3) გაარკვიეთ ხაზების ფარდობითი პოზიცია.
4) თუ ხაზები იკვეთება, მაშინ იპოვეთ გადაკვეთის წერტილი.

მოქმედების ალგორითმის შემუშავება დამახასიათებელია მრავალი გეომეტრიული პრობლემისთვის და ამაზე არაერთხელ გავამახვილებ ყურადღებას.

სრული გადაწყვეტა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს:

წყვილი ფეხსაცმელი ჯერ არ არის გაცვეთილი, რადგან მივედით გაკვეთილის მეორე განყოფილებაში:

პერპენდიკულარული ხაზები. მანძილი წერტილიდან ხაზამდე.
კუთხე ხაზებს შორის

დავიწყოთ ტიპიური და ძალიან მნიშვნელოვანი ამოცანებით. პირველ ნაწილში ვისწავლეთ როგორ ავაგოთ სწორი ხაზი მოცემულის პარალელურად და ახლა ქათმის ფეხებზე ქოხი 90 გრადუსით დაბრუნდება:

როგორ დავხატოთ მოცემული წრფის პერპენდიკულარული?

მაგალითი 6

სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით. დაწერეთ განტოლება პერპენდიკულარულ წრფეზე, რომელიც გადის წერტილს.

გადაწყვეტილება: ვარაუდით ცნობილია რომ . კარგი იქნებოდა სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის პოვნა. ვინაიდან ხაზები პერპენდიკულარულია, ხრიკი მარტივია:

განტოლებიდან „ამოგვაქვს“ ნორმალური ვექტორი: , რომელიც იქნება სწორი ხაზის მიმართული ვექტორი.

ჩვენ ვადგენთ სწორი ხაზის განტოლებას წერტილით და მიმართული ვექტორით:

უპასუხე:

მოდით გავშალოთ გეომეტრიული ესკიზი:

ჰმ... ნარინჯისფერი ცა, ნარინჯისფერი ზღვა, ნარინჯისფერი აქლემი.

ხსნარის ანალიტიკური შემოწმება:

1) ამოიღეთ მიმართულების ვექტორები განტოლებიდან და დახმარებით ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლივასკვნით, რომ წრფეები მართლაც პერპენდიკულარულია: .

სხვათა შორის, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნორმალური ვექტორები, ეს კიდევ უფრო ადვილია.

2) შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა წერტილი მიღებულ განტოლებას .

გადამოწმება, ისევ და ისევ, მარტივია სიტყვიერად შესრულება.

მაგალითი 7

იპოვეთ პერპენდიკულარული წრფეების გადაკვეთის წერტილი, თუ განტოლება ცნობილია და წერტილი.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. ამოცანაში რამდენიმე მოქმედებაა, ამიტომ მოსახერხებელია ამოხსნის პუნქტად მოწყობა.

ჩვენი საინტერესო მოგზაურობა გრძელდება:

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე

ჩვენს თვალწინ არის მდინარის სწორი ზოლი და ჩვენი ამოცანაა უმოკლესი გზით მივაღწიოთ მას. არ არსებობს დაბრკოლებები და ყველაზე ოპტიმალური მარშრუტი იქნება მოძრაობა პერპენდიკულარულის გასწვრივ. ანუ, მანძილი წერტილიდან ხაზამდე არის პერპენდიკულარული სეგმენტის სიგრძე.

მანძილი გეომეტრიაში ტრადიციულად აღინიშნება ბერძნული ასო "ro"-ით, მაგალითად: - მანძილი წერტილიდან "em" სწორ ხაზამდე "de".

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე გამოიხატება ფორმულით

მაგალითი 8

იპოვეთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე

გადაწყვეტილება: ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ არის გულდასმით ჩაანაცვლოთ რიცხვები ფორმულაში და გააკეთოთ გამოთვლები:

უპასუხე:

მოდით შევასრულოთ ნახაზი:

ნაპოვნი მანძილი წერტილიდან ხაზამდე არის ზუსტად წითელი სეგმენტის სიგრძე. თუ თქვენ გააკეთებთ ნახატს ჭადრაკულ ქაღალდზე 1 ერთეულის მასშტაბით. \u003d 1 სმ (2 უჯრედი), შემდეგ მანძილის გაზომვა შესაძლებელია ჩვეულებრივი მმართველით.

განიხილეთ სხვა დავალება იმავე ნახაზის მიხედვით:

ამოცანაა იპოვოთ წერტილის კოორდინატები, რომელიც სიმეტრიულია წერტილის მიმართ წრფესთან მიმართებაში. . მე ვთავაზობ მოქმედებების დამოუკიდებლად შესრულებას, თუმცა მე გამოვყოფ ამოხსნის ალგორითმს შუალედური შედეგებით:

1) იპოვეთ წრფე, რომელიც არის წრფის პერპენდიკულარული.

2) იპოვეთ წრფეების გადაკვეთის წერტილი: .

ორივე მოქმედება დეტალურად არის განხილული ამ გაკვეთილზე.

3) წერტილი არის სეგმენტის შუა წერტილი. ჩვენ ვიცით შუა და ერთ-ერთი ბოლოების კოორდინატები. ავტორი ფორმულები შუა სეგმენტის კოორდინატებისთვისიპოვე .

ზედმეტი არ იქნება იმის შემოწმება, რომ მანძილიც უდრის 2.2 ერთეულს.

სირთულეები აქ შეიძლება წარმოიშვას გამოთვლებში, მაგრამ კოშკში მიკროკალკულატორი ბევრს ეხმარება, რაც საშუალებას გაძლევთ დათვალოთ ჩვეულებრივი წილადები. ბევრჯერ ვურჩიე და კიდევ გირჩევ.

როგორ მოვძებნოთ მანძილი ორ პარალელურ წრფეს შორის?

მაგალითი 9

იპოვეთ მანძილი ორ პარალელურ წრფეს შორის

ეს არის კიდევ ერთი მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის. პატარა მინიშნება: გადაჭრის უსასრულოდ ბევრი გზა არსებობს. გაკვეთილის ბოლოს ბრიფინგი, ოღონდ სცადეთ თავად გამოიცნოთ, ვფიქრობ, კარგად მოახერხეთ თქვენი ჭკუის დაშლა.

კუთხე ორ ხაზს შორის

რაც არ უნდა იყოს კუთხე, მაშინ ჯამი:


გეომეტრიაში, კუთხე ორ წრფეს შორის აღებულია როგორც უფრო მცირე კუთხე, საიდანაც ავტომატურად ირკვევა, რომ ის არ შეიძლება იყოს ბლაგვი. ნახატზე წითელი რკალით მითითებული კუთხე არ ითვლება გადამკვეთ ხაზებს შორის. და მისი "მწვანე" მეზობელი ან საპირისპიროდ ორიენტირებულიჟოლოსფერი კუთხე.

თუ ხაზები პერპენდიკულარულია, მაშინ 4 კუთხიდან რომელიმე შეიძლება მივიღოთ მათ შორის კუთხედ.

რით განსხვავდება კუთხეები? ორიენტაცია. პირველ რიგში, ფუნდამენტურად მნიშვნელოვანია კუთხის "გადახვევის" მიმართულება. მეორეც, უარყოფითად ორიენტირებული კუთხე იწერება მინუს ნიშნით, მაგალითად, თუ .

რატომ ვთქვი ეს? როგორც ჩანს, თქვენ შეგიძლიათ გაუმკლავდეთ კუთხის ჩვეულ კონცეფციას. ფაქტია, რომ ფორმულებში, რომლებითაც ვიპოვით კუთხეებს, ადვილად შეიძლება უარყოფითი შედეგის მიღება და ეს არ უნდა გაგიკვირდეთ. მინუს ნიშნის მქონე კუთხე არ არის უარესი და აქვს ძალიან სპეციფიკური გეომეტრიული მნიშვნელობა. უარყოფითი კუთხისთვის ნახაზში აუცილებელია მისი ორიენტაციის (საათის ისრის მიმართულებით) მითითება ისრით.

როგორ მოვძებნოთ კუთხე ორ წრფეს შორის?არსებობს ორი სამუშაო ფორმულა:

მაგალითი 10

იპოვეთ კუთხე ხაზებს შორის

გადაწყვეტილებადა მეთოდი პირველი

განვიხილოთ განტოლებებით მოცემული ორი სწორი ხაზი ზოგადი ფორმით:

თუ სწორი არა პერპენდიკულარული, მაშინ ორიენტირებულიმათ შორის კუთხე შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით:

დიდი ყურადღება მივაქციოთ მნიშვნელს - ეს არის ზუსტად სკალარული პროდუქტისწორი ხაზების მიმართულების ვექტორები:

თუ , მაშინ ფორმულის მნიშვნელი ქრება და ვექტორები ორთოგონალური იქნება და წრფეები პერპენდიკულარული. სწორედ ამიტომ გაკეთდა დათქმა ფორმულირებაში ხაზების არაპერპენდიკულარულობის შესახებ.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, გამოსავალი მოხერხებულად ფორმალიზებულია ორ ეტაპად:

1) გამოთვალეთ სწორი ხაზების მიმართული ვექტორების სკალარული ნამრავლი:
ასე რომ, ხაზები არ არის პერპენდიკულარული.

2) ხაზებს შორის კუთხეს ვპოულობთ ფორმულით:

ინვერსიული ფუნქციის გამოყენებით, ადვილია თავად კუთხის პოვნა. ამ შემთხვევაში ვიყენებთ რკალის ტანგენსის უცნაურობას (იხ. ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები):

უპასუხე:

პასუხში ჩვენ მივუთითებთ ზუსტ მნიშვნელობას, ისევე როგორც სავარაუდო მნიშვნელობას (სასურველია, როგორც გრადუსებში, ასევე რადიანებში), გამოთვლილი კალკულატორის გამოყენებით.

კარგი, მინუს, ასე რომ მინუს, არა უშავს. აქ არის გეომეტრიული ილუსტრაცია:

გასაკვირი არ არის, რომ კუთხე უარყოფითი ორიენტაციის აღმოჩნდა, რადგან პრობლემის პირობებში პირველი რიცხვი არის სწორი ხაზი და კუთხის „გადახვევა“ სწორედ მისგან დაიწყო.

თუ ნამდვილად გსურთ დადებითი კუთხის მიღება, თქვენ უნდა შეცვალოთ სწორი ხაზები, ანუ აიღოთ კოეფიციენტები მეორე განტოლებიდან. და აიღეთ კოეფიციენტები პირველი განტოლებიდან. მოკლედ, თქვენ უნდა დაიწყოთ პირდაპირი .