„მათემატიკოსი არის ის, ვინც იცის როგორ მოძებნოს ანალოგიები განცხადებებს შორის. საუკეთესო მათემატიკოსია ის, ვინც ამტკიცებს მტკიცებულებების ანალოგიებს. რაც უფრო ძლიერია შეიძლება შეამჩნიოთ თეორიების ანალოგიები. მაგრამ არიან ისეთებიც, ვინც ანალოგიებს ხედავს ანალოგიებს შორის.
სტეფან ბანახი

მათემატიკის სტატისტიკა დუიმებისთვის

ყველაზე ხშირად მათემატიკური სტატისტიკა შეისწავლება ალბათობის თეორიასთან ერთად(კურსი "ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა", TViMS). სასარგებლო მასალები ალბათობის თეორიაზე (ონლაინ სახელმძღვანელო, კალკულატორები, ამონახსნების მაგალითები და ა.შ.) თქვენ.

თემები: 1. საერთო პოპულაცია და შერჩევა 2. საშუალოების შედარება 3. კორელაცია და რეგრესია.

ონლაინ რესურსები

• Klokov S.A., პრობლემები ალბათობის თეორიაში და მათემატიკური სტატისტიკაში. მათემატიკური სპეციალობების სტუდენტებისთვის ამოცანები პასუხებით, ზოგი ამოხსნით.
• Manita AD, ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა. წიგნი განკუთვნილია მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტის ბუნებრივი ფაკულტეტების სტუდენტებისთვის. მ.ვ. ლომონოსოვი. სახელმძღვანელოს ნაბეჭდი ვერსიის შესახებ ინფორმაციის გარდა, ამ საიტზე ნახავთ წიგნის სრულ ტექსტს მოკლე სტატისტიკურ ცხრილებთან ერთად.

  ძირითადი შინაარსის სექციები:მოვლენები და მათი ალბათობა. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადები და მათი განაწილება. ზოგადი შემთხვევითი ცვლადები. ზოგადი შემთხვევითი ცვლადების ერთობლივი განაწილება. ალბათობის თეორიის ლიმიტის კანონები. მათემატიკური სტატისტიკის მეთოდების კვლევა. მინიმალური კვადრატის მეთოდი. ნდობის ინტერვალები. სტატისტიკური ჰიპოთეზები. ცხრილები (სტანდარტული ნორმალური კანონი, ჩი-კვადრატის განაწილების რაოდენობები, სტუდენტური განაწილების რაოდენობა).

• ჩერნოვა NI, ლექციები მათემატიკური სტატისტიკის შესახებ ლექციების სემესტრული კურსი. ძალიან დეტალური და გასაგები, რეკომენდებულია ეკონომიკის სტუდენტებისთვის.
• მათემატიკური სტატისტიკის ელექტრონული სახელმძღვანელო.
  

  სახელმძღვანელო მოიცავს: 1) ლექციების კურსი მათემატიკური სტატისტიკის შესახებ: ვ.ვ. შელომოვსკი. მათემატიკური სტატისტიკა (მურმანსკი: MGPU, 2005. - 128 გვ.), 2) ნეკერჩხლის გამოყენებით შესრულებული ლაბორატორიული სამუშაოების ციკლი, რომელიც საშუალებას იძლევა უკეთ გავიგოთ გამოთვლის მეთოდები, 3) ტესტების ციკლი ცოდნის შესამოწმებლად.

მეტი ფილტრები

დამრიგებელთან ან სტუდენტთან

დამრიგებელთან

სტუდენტთან

დისტანციურად

ფასი საათში

დან

ადრე

რუბლს შეადგენს

ჩვენება

მხოლოდ ფოტოთი

მხოლოდ მიმოხილვებით

მხოლოდ დამოწმებული

კურსდამთავრებული

სკოლის მასწავლებელი

უნივერსიტეტის პროფესორი

კერძო მასწავლებელი

Მშობლიურ ენაზე მოსაუბრე

10 წელზე მეტი

50 წელზე მეტი ასაკის

სტატისტიკა:

ნაპოვნია 501 დამრიგებელი

2260 მიმოხილვა სტუდენტების მიერ დატოვებული

საშუალო ქულა: 4.5 5 1 დამრიგებლების საშუალო რეიტინგი ნაპოვნი ფილტრის მიხედვით

ნაპოვნია 501 დამრიგებელი

ფილტრების გადატვირთვა

OGE (GIA) გამოყენება მზადება ოლიმპიადისთვისსკოლის კურსი ალგებრა ანალიტიკური გეომეტრია უმაღლესი მათემატიკა+8 გეომეტრიის კომბინატორიკა ხაზოვანი ალგებრა მათემატიკის სტატისტიკა მათემატიკური ანალიზი გამოყენებითი მათემატიკა ალბათობის თეორიატრიგონომეტრია

ბავშვები 6-7 წლის სკოლის მოსწავლეები 1-11 კლასებისტუდენტები მოზარდები

მ.ოზერნაია მ.იუგო-ზაპადნაია მ.კუნცევსკაია (ფილოვსკაია)

ალექსანდრე ალექსანდროვიჩი

უნივერსიტეტის მასწავლებლის გამოცდილება 17 წელი

2000 რუბლიდან საათში

უფასო კონტაქტი

დამრიგებელთან

ძალიან ეფექტური დამრიგებელი და ნიჭიერი მასწავლებელი - მან იცის როგორ წარმოადგინოს უნივერსიტეტის უმაღლესი მათემატიკის პროგრამა ისე, რომ კოშმარიდან მათემატიკის კურსი გამაღიზიანებელი გახდა. აუცილებლობა - მიუხედავად იმისა, რომ სკოლის კურსიდან სტუდენტმა დამაჯერებლად იცოდა მხოლოდ 5-6 კლასების პროგრამა.ყველა მიმოხილვა (46)

ანალიტიკური გეომეტრია ვარიაციების გაანგარიშება ვექტორული ანალიზი +33 უმაღლესი მათემატიკაგეომეტრია დისკრეტული მათემატიკა დიფერენციალური გეომეტრია დიფერენციალური განტოლებებიკომბინატორიკა ხაზოვანი ალგებრა ხაზოვანი გეომეტრია ხაზოვანი პროგრამირება მათემატიკის სტატისტიკა მათემატიკური ფიზიკა მათემატიკური მოდელები მათემატიკური ანალიზი გადაწყვეტილების ოპტიმალური მეთოდები ოპტიმიზაციის მეთოდები ოპტიმალური კონტროლი გამოყენებითი მათემატიკასოპრომატი ტენზორული ანალიზი თეორიული მექანიკა ალბათობის თეორიაგრაფიკის თეორია თამაშის თეორია ოპტიმიზაციის თეორიარიცხვების თეორია ტოპოლოგია ტრიგონომეტრია TFKT ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებები მათემატიკური ფიზიკის განტოლებები ფინანსური მათემატიკა ფუნქციური ანალიზიეკონომიკა

სკოლის მოსწავლეები 9-11 კლასებშისტუდენტები მოზარდები

მ დიმიტრი დონსკოის ბულვარი

ალექსეი ვასილიევიჩი

უნივერსიტეტის მასწავლებლის გამოცდილება 44 წელი

1500 რუბლიდან / საათში

უფასო კონტაქტი

მათემატიკური სტატისტიკის დამრიგებელი

დამრიგებელთან

ფიზიკა-მათემატიკის მეცნიერებათა დოქტორი. მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტის წამყვანი მეცნიერ-თანამშრომელი (მექანიკა-მათემატიკის ფაკულტეტი), დამატებითი განათლების ფაკულტეტის პროფესორი. MGIMO, იყო მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტის, MGIMO, MGUDT მათემატიკის საგამოცდო კომიტეტების წევრი.

ალექსეი ვასილიევიჩი სწორედ ის მასწავლებელია, რომელსაც დიდი ხანია ვეძებდით. მან იცის როგორ მოძებნოს მიდგომა მოსწავლესთან და კომპეტენტურად წარმოადგინოს სასწავლო მასალა. ყველა მიმოხილვა (29)

10-11 კლასის მოსწავლეებისტუდენტები

მ რამენკი

ალექსეი ალექსანდროვიჩი

პირადი მასწავლებლის გამოცდილება 11 წელი

1600 რუბლიდან / საათში

უფასო კონტაქტი

მათემატიკური სტატისტიკის დამრიგებელი

ლომონოსოვის ოლიმპიადის 2007 წლის პრიზიორი საგნებში - ზეპირი და წერითი მათემატიკა, კომპოზიცია. ოლიმპიადის ამოცანების ფაკულტეტთაშორისი სპეციალური კურსის მონაწილე გაფართოება მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტის მეხ-მატის მათემატიკური ანალიზის განყოფილება. 2007-2012 წწ. არჩევითი მათემატიკა ლიცეუმში 1553. ალგებრის, გეომეტრიის, კომპიუტერული მეცნიერებების, ინგლისური ენის მასწავლებელი ლიცეუმში 1553 2011 წ. ინგლისისა და მალტის ენობრივ ბანაკებში ბავშვების სწავლების თანმხლები 2011-2012 წწ. სამწლიანი გამოცდილება საცალო მენეჯმენტში დსთ-ს უმსხვილესი ბანკის ცენტრალურ ოფისში. გაკვეთილებს ვატარებ Wacom-ის გრაფიკული ტაბლეტის და ონლაინ თეთრი დაფის გამოყენებით (ფასიანი, რომელსაც აქვს ერთდროულად რამდენიმე ადამიანის გამოყენების შესაძლებლობა, ერთობლივი მონტაჟი, ვიდეო და ხმა). გაკვეთილის შემდეგ რჩება ოთახის ლინკები - მოსწავლეს ყოველთვის აქვს წვდომა გაკვეთილზე დაწერილზე და აქვს წვდომა მთელი კურსის შენიშვნებზე, დაფაზე დაწერილი ყველა მასალა ასევე ეგზავნება კლიენტს PDF ფორმატში. იგი გამოიყენება როგორც სკაიპის, ასევე ონლაინ ოთახის კომუნიკაციისთვის. გამოცდებისთვის მომზადებული სტუდენტების რაოდენობა 100-ზე მეტია; გამოცდებისთვის მომზადებული მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტის მექანიკა-მათემატიკის სხვადასხვა უნივერსიტეტის სტუდენტები, ფიზიკის ფაკულტეტი, ეკონომიკის ფაკულტეტი, მოსკოვის სახელმწიფო პედაგოგიური უნივერსიტეტი, პლეხანოვი, პრეზიდენტის დაქვემდებარებული ფინანსური აკადემია, MGIMO, MEPhI და ა.შ. მე ვამზადებ ბავშვებს რუსულ, ლომონოსოვის და ვუზოვსკის ოლიმპიადებისთვის ბაუმანისა და მიფის, MIPT-ის ხელმძღვანელობით. სწავლება ჩემი მთავარი საქმიანობაა. ასევე ვემზადები ინგლისურ და შვეიცარიულ კოლეჯებში ჩასაბარებლად. ინგლისური ენის ერთიანი A დონის გამოცდის ჩაბარება მათემატიკასა და ფიზიკაში. ვამზადებ სკოლის მოსწავლეებს ინგლისური OGE-ს და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩასაბარებლად.

მე ვსწავლობდი ალექსეი ალექსანდროვიჩთან და ერთ თვეში მოვახერხე მასთან მომზადება მათემატიკური ანალიზისთვის ხელახლა ჩასატარებლად. გარკვევით და გარკვევით ამიხსნა საგანი, გაფართოება უპრობლემოდ გავიდა მისი წყალობით.ყველა მიმოხილვა (52)

OGE (GIA) გამოიყენეთ სკოლის კურსი ალგებრა ანალიტიკური გეომეტრია უმაღლესი მათემატიკაგეომეტრია +12 დისკრეტული მათემატიკა დიფერენციალური განტოლებები ხაზოვანი ალგებრა ხაზოვანი გეომეტრია მათემატიკის სტატისტიკა მათემატიკური ანალიზი Ინგლისურად ალბათობის თეორიაგრაფიკის თეორია თამაშის თეორია ტრიგონომეტრია ეკონომეტრია

სკოლის მოსწავლეები 1-11 კლასებისტუდენტები მოზარდები

მ.კრასნოგვარდეისკაია

მაქსიმ ალექსეევიჩი

პირადი მასწავლებლის გამოცდილება 9 წელი

1500 რუბლიდან / საათში

უფასო კონტაქტი

მათემატიკური სტატისტიკის დამრიგებელი

დამრიგებელთან, სტუდენტთან, დისტანციურად

დაამთავრა მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტის მეხსიერების ფაკულტეტი. არის საბანკო სექტორში ანალიტიკოსის გამოცდილება, IT განვითარების სფეროში სისტემური ანალიტიკოსის გამოცდილება. ცოდნის გაფართოება პროგრამირება, რელაციური მონაცემთა ბაზები (sql). პირველი კატეგორია ჭადრაკში. არსებობს ყველა კატეგორიის სტუდენტებთან მუშაობის წარმატებული გამოცდილება: სკოლის მოსწავლეები (OGE, ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა, აკადემიური მოსწრების გაუმჯობესება) სტუდენტები (უმაღლესი მათემატიკისა და მექანიკის თითქმის ყველა განყოფილება) მოზრდილები (კლასები "საკუთარი თავისთვის", დახმარება სამუშაო საკითხებში).

ალბათობის თეორიისა და მათემატიკური სტატისტიკის კურსი. სევასტიანოვი ბ.ა.

მ.: მეცნიერება. ჩ. რედ. ფიზ.-მათ. ლიტ., 1982.- 256გვ.

წიგნი ეფუძნება ავტორის მიერ რამდენიმე წლის განმავლობაში მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტის მექანიკა-მათემატიკის ფაკულტეტის მათემატიკის კათედრაზე ლექციების ერთწლიან კურსს. ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებები და ფაქტები თავდაპირველად შემოტანილია სასრული სქემისთვის. მათემატიკური მოლოდინი ზოგადად განისაზღვრება ისევე, როგორც ლებეგის ინტეგრალი, მაგრამ მკითხველს არ უნდა ჰქონდეს წინასწარი ცოდნა ლებეგის ინტეგრაციის შესახებ.

წიგნი შეიცავს შემდეგ სექციებს: დამოუკიდებელი ტესტები და მარკოვის ჯაჭვები, დე მოივრე-ლაპლასისა და პუასონის ზღვრული თეორემები, შემთხვევითი ცვლადები, დამახასიათებელი და წარმომქმნელი ფუნქციები, დიდი რიცხვების კანონი, ცენტრალური ლიმიტის თეორემა, მათემატიკური სტატისტიკის ძირითადი ცნებები, სტატისტიკური ჰიპოთეზების ტესტირება. სტატისტიკური შეფასებები, ნდობის ინტერვალები.

ალბათობის თეორიის შემსწავლელი უნივერსიტეტებისა და ტექნიკური კოლეჯების ბაკალავრიატის სტუდენტებისთვის.

ფორმატი: djvu/zip

Ზომა: 2.5 7 Mb

/ Გადმოწერეთ ფაილი

ᲡᲐᲠᲩᲔᲕᲘ
წინასიტყვაობა 7
თავი 1 ალბათობის სივრცე 9
§ 1. ალბათობის თეორიის საგანი 9
§ 2. მოვლენები 12
§ 3. ალბათობის სივრცე 16
§ 4. სასრული ალბათობის სივრცე. ალბათობის კლასიკური განმარტება 19
§ 5 გეომეტრიული ალბათობები 23
ამოცანები 24
თავი 2. პირობითი ალბათობები. დამოუკიდებლობა 26
§ 6. პირობითი ალბათობები 26
§ 7. საერთო ალბათობის ფორმულა 28
§ 8. Bayes Formulas 29
§ 9. მოვლენათა დამოუკიდებლობა 30
§ 10. დანაყოფების, ალგებრების და ა-ალგებრების დამოუკიდებლობა.... 33
§ 11. დამოუკიდებელი ტესტები 35
ამოცანები 39
თავი 3. შემთხვევითი ცვლადები (საბოლოო სქემა). 41
§ 12. შემთხვევითი ცვლადები. ინდიკატორები 41
§ 13. მათემატიკური მოლოდინი 45
§ 14. განაწილების მრავალგანზომილებიანი კანონები 50
§ 15. შემთხვევითი ცვლადების დამოუკიდებლობა 53
§ 10. შემთხვევითი ცვლადების ევკლიდური სივრცე. . . . მე-5
§ 17. პირობითი მოლოდინი 5E
§ 18. ჩებიშევის უთანასწორობა. დიდი რიცხვების კანონი.... 61
ამოცანები 64
თავი 4. ზღვრული თეორემები ბერნულის სქემაში. 65
§ 19. ბინომალური განაწილება 65
§ 20. პუასონის თეორემა 66
§ 21. დე მოივრის ლოკალური ზღვრული თეორემა - ლაპლასი. . 70
§ 22. დე მოივრის ინტეგრალური ზღვრული თეორემა - ლაპლასი 71
§ 23. ზღვრული თეორემების გამოყენება. 73
ამოცანები 76
თავი 5. მარკოვის ჯაჭვები 77
§ 24. მარკოვის დამოკიდებულების ტესტი 77
§ 25. გარდამავალი ალბათობები 78
§ 26. თეორემა შეზღუდვის ალბათობაზე 80
ამოცანები 83
თავი 6. შემთხვევითი ცვლადები (ზოგადი შემთხვევა) 84
§ 27. შემთხვევითი ცვლადები და მათი განაწილება 84
§ 28. მრავალვარიანტული განაწილება 92
§ 29. შემთხვევითი ცვლადების დამოუკიდებლობა 96
ამოცანები 98
თავი 7. მოლოდინი 100
§ 30. მათემატიკური მოლოდინის განმარტება 100
§ 31. მათემატიკური მოლოდინის გამოთვლის ფორმულები 108
ამოცანები 115
თავი 8 ფუნქციების გენერირება 117
§ 32. მთელი შემთხვევითი ცვლადები და მათი გენერირების ფუნქციები 117
§ 33. ფაქტორული მომენტები 118
§ 34. გამრავლების თვისება 120
§ 35. უწყვეტობის თეორემა 123
§ 36. განშტოების პროცესები 125
ამოცანები 127
თავი 9 დამახასიათებელი ფუნქციები 129
§ 37. მახასიათებელი ფუნქციების განმარტება და ელემენტარული თვისებები 129
§ 38. დამახასიათებელი ფუნქციების ინვერსიის ფორმულები 136
§ 39. უწყვეტი შესაბამისობის თეორემა დამახასიათებელ ფუნქციათა სიმრავლესა და განაწილების ფუნქციათა სიმრავლეს შორის 140
ამოცანები 145
თავი 10. ცენტრალური ზღვრული თეორემა 146
§ 40. ცენტრალური ზღვრული თეორემა იდენტურად განაწილებული დამოუკიდებელი ტერმინებისთვის 146
§ 41. ლიაპუნოვის თეორემა 147
§ 42. ცენტრალური ლიმიტის თეორემის გამოყენება 150
ამოცანები 153
თავი 11
§ 43. განმარტება და ელემენტარული თვისებები 154
§ 44. კონვერტაციის ფორმულა 158
§ 45. ზღვრული თეორემები დამახასიათებელი ფუნქციებისთვის 159
§ 46. მრავალვარიანტული ნორმალური განაწილება და მასთან დაკავშირებული განაწილებები 164
ამოცანები 173
თავი 12
§ 47. ბორელ-კანტელი ლემა. კანონი „0 ან 1“ კოლმოგოროვი 174
§ 48 შემთხვევითი ცვლადების კონვერგენციის სხვადასხვა ტიპები. . . 177
§ 49. დიდი რიცხვების ძლიერი კანონი 181
ამოცანები 188
თავი 13. სტატისტიკა 189
§ 50. მათემატიკური სტატისტიკის ძირითადი ამოცანები .... 189
§ 51. შერჩევის მეთოდი 190
ამოცანები 194
თავი 14. სტატისტიკური ტესტები 195
§ 52. სტატისტიკური ჰიპოთეზები 195
§ 53. ტესტის მნიშვნელოვნების დონე და ძალა 197
§ 54. ოპტიმალური ნეიმან-პირსონის კრიტერიუმი .... 199
§ 55. ოპტიმალური კრიტერიუმები ნორმალური და ბინომიური განაწილების პარამეტრების შესახებ ჰიპოთეზების შესამოწმებლად 201
§ 56. რთული ჰიპოთეზების ტესტირების კრიტერიუმები 2E4
§ 57. არაპარამეტრული ტესტები 206
ამოცანები 211
თავი 15 პარამეტრის შეფასება 213
§ 58. სტატისტიკური შეფასებები და მათი თვისებები 213
§ 59. განაწილების პირობითი კანონები 216
§ 60. საკმარისი სტატისტიკა 220
§ 61. შეფასებების ეფექტურობა 223
§ 62. შეფასებების პოვნის მეთოდები 228
ამოცანები 232
თავი 16. ნდობის ინტერვალები 234
§ 63. ნდობის ინტერვალების განსაზღვრა 234
§ 64. ნორმალური განაწილების პარამეტრების ნდობის ინტერვალები 236
§ 65. ბერნულის სქემაში წარმატების ალბათობის ნდობის ინტერვალები 240
ამოცანები 244
პასუხები 245 ამოცანებზე
ნორმალური განაწილების ცხრილები 251
ლიტერატურა 253
ინდექსი 254

რუსეთის ფედერაციის კომუნიკაციებისა და ინფორმატიზაციის სამინისტრო

ციმბირის სახელმწიფო ტელეკომუნიკაციისა და ინფორმატიკის უნივერსიტეტი

N. I. ჩერნოვა

მათემატიკური

სტატისტიკა

სახელმძღვანელო

ნოვოსიბირსკი

ასოცირებული პროფესორი, კანდ. ფიზ.-მათ. მეცნიერებები N. I. ჩერნოვა. მათემატიკური სტატისტიკა: სახელმძღვანელო / SibGUTI.- Novosibirsk, 2009. - 90გვ.

სახელმძღვანელო შეიცავს ლექციების ნახევარწლიურ კურსს მათემატიკური სტატისტიკის შესახებ ეკონომიკური სპეციალობების სტუდენტებისთვის. სახელმძღვანელო შეესაბამება პროფესიული საგანმანათლებლო პროგრამების სახელმწიფო საგანმანათლებლო სტანდარტის მოთხოვნებს სპეციალობაში 080116 - „მათემატიკური მეთოდები ეკონომიკაში“.

თავმჯდომარე MMBP ჩანართი. 7, ნახატები - 9, სია ლიტ. - 8 სახელი

რეცენზენტები: A.P. Kovalevsky, Ph.D. ფიზ.-მათ. მეცნიერება, NSTU უმაღლესი მათემატიკის კათედრის ასოცირებული პროფესორი V. I. Lotov, ფიზიკა-მათემატიკის მეცნიერებათა დოქტორი. მეცნიერებათა კათედრის პროფესორი

ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა NSU

სპეციალობისთვის 080116 - "მათემატიკური მეთოდები ეკონომიკაში"

დამტკიცებულია SibGUTI-ს სარედაქციო და საგამომცემლო საბჭოს მიერ, როგორც სახელმძღვანელო

c ციმბირის სახელმწიფო უნივერსიტეტი

ტელეკომუნიკაცია და ინფორმატიკა, 2009 წ

Წინასიტყვაობა. . . . . . . . . .
	I. მათემატიკური სტატისტიკის ძირითადი ცნებები. . . . . . . .
	მათემატიკური სტატისტიკის ამოცანები . . . . . . . . . . . . . . . . .
	ნიმუში. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	შერჩეული მახასიათებლები. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	ემპირიული განაწილების ფუნქციის თვისებები. . . . . . . . .

§ 5. ნიმუშების მომენტების თვისებები. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

§ 6. ჰისტოგრამა, როგორც სიმკვრივის შეფასება. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

§ 7. კითხვები და სავარჯიშოები. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

თავი II. ქულების შეფასება. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

§ 1. ქულათა შეფასებები და მათი თვისებები. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

§ 2. მომენტების მეთოდი. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

	მომენტების მეთოდის შეფასების თვისებები. . . . . . . . . . . . . . . . .
	მაქსიმალური ალბათობის მეთოდი. . . . . . . . . . . . . . .
	შეფასებების ასიმპტომური ნორმალურობა. . . . . . . . . . . . . .
	კითხვები და სავარჯიშოები. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		კლასების შედარება. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	ძირეული საშუალო კვადრატული მიდგომა შეფასებების შედარებისადმი. . . . . . . . .
	რაო-კრამერის უთანასწორობა. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	კითხვები და სავარჯიშოები. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	IV. ინტერვალის შეფასება. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	ნდობის ინტერვალები. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	ნდობის ინტერვალების აგების პრინციპები. . . . . . . .
	კითხვები და სავარჯიშოები. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		ნორმალურთან დაკავშირებული განაწილებები. . . . . . . . . .
	ძირითადი სტატისტიკური განაწილებები. . . . . . . . . . . . . .
	ნორმალური ნიმუშების ტრანსფორმაციები. . . . . . . . . . . . . . .
	ნდობის ინტერვალები ნორმალური განაწილებისთვის. . .

§ 1. ჰიპოთეზები და კრიტერიუმები. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

§ 2. კითხვები და სავარჯიშოები. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

თავი VII. თანხმობის კრიტერიუმები. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

§ 1. მორგების კრიტერიუმების სიკეთის ზოგადი შეხედულება. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

§ 2. მარტივი ჰიპოთეზების ტესტირება პარამეტრების შესახებ. . . . . . . . . . . . . . 53

§ 3. განაწილების ჰიპოთეზის შემოწმების კრიტერიუმები. . . . . . . . 56

§ 4. პარამეტრული ჰიპოთეზების შემოწმების კრიტერიუმები. . . . . . . . 59

§ 5. ჰომოგენურობის შემოწმების კრიტერიუმები. . . . . . . . . . . . . . . 61

§ 6. კრიტერიუმი χ 2 დამოუკიდებლობის შესამოწმებლად. . . . . . . . . . . . . 70

§ 7. კითხვები და სავარჯიშოები. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

§ 2. მაქსიმალური ალბათობის მეთოდი.. . . . . . . . . . . . . . . 74

§ 3. უმცირესი კვადრატების მეთოდი.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

წინასიტყვაობა

სახელმძღვანელო შეიცავს ლექციების სრულ კურსს მათემატიკური სტატისტიკის შესახებ სტუდენტებისთვის, რომლებიც სწავლობენ ციმბირის ტელეკომუნიკაციისა და ინფორმატიკის სახელმწიფო უნივერსიტეტის სპეციალობაში "მათემატიკური მეთოდები ეკონომიკაში". კურსის შინაარსი სრულად შეესაბამება მითითებულ სპეციალობაში ბაკალავრის მომზადების საგანმანათლებლო სტანდარტებს.

მათემატიკური სტატისტიკის კურსი ეფუძნება ალბათობის თეორიის სემესტრის კურსს და არის ეკონომეტრიის ყოველწლიური კურსის საფუძველი. საგნის შესწავლის შედეგად მოსწავლეებმა უნდა აითვისონ მათემატიკური სტატისტიკის სხვადასხვა მოდელის შესწავლის მათემატიკური მეთოდები.

კურსი შედგება რვა თავისგან. პირველი თავი მთავარია საგნის გასაგებად. იგი მკითხველს აცნობს მათემატიკური სტატისტიკის ძირითად ცნებებს. მეორე თავი ეძღვნება უცნობი განაწილების პარამეტრების წერტილოვანი შეფასების მეთოდებს: მომენტები და მაქსიმალური ალბათობა.

მესამე თავი ეხება შეფასებების შედარებას ფესვის საშუალო კვადრატის გაგებით. აქ რაო-კრამერის უთანასწორობა ასევე შესწავლილია, როგორც შეფასებების ეფექტურობის შემოწმების საშუალება.

მეოთხე თავი ეხება პარამეტრების ინტერვალურ შეფასებას, რომელიც შემდეგ თავში სრულდება ნორმალური განაწილების პარამეტრების ინტერვალების აგებით. ამისათვის დანერგილია სპეციალური სტატისტიკური განაწილებები, რომლებიც შემდეგ გამოიყენება მერვე თავში მოცემული სიკეთის ტესტებში. მეექვსე თავში მოცემულია ჰიპოთეზის ტესტირების თეორიის აუცილებელი ძირითადი ცნებები, ამიტომ მკითხველმა უნდა შეისწავლოს იგი ძალიან ფრთხილად.

და ბოლოს, მეშვიდე და მე-8 თავებში მოცემულია პრაქტიკაში ყველაზე ხშირად გამოყენებული თანხმობის კრიტერიუმების სია. მეცხრე თავში განხილულია რეგრესიული ანალიზის მარტივი მოდელები და მეთოდები და დადასტურებულია მიღებული შეფასებების ძირითადი თვისებები.

თითქმის ყველა თავი მთავრდება თავის ტექსტში სავარჯიშოების ჩამონათვალით. აპლიკაცია შეიცავს ცხრილებს დისკრეტული და აბსოლუტურად უწყვეტი განაწილების ძირითადი მახასიათებლების ჩამონათვალით, ძირითადი სტატისტიკური განაწილების ცხრილებით.

წინასიტყვაობა

წიგნის ბოლოს არის დეტალური ინდექსი. ცნობარების სიაში ჩამოთვლილია სახელმძღვანელოები, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კურსის გარდა, და პრაქტიკული სავარჯიშოების დავალებების კრებული.

თითოეულ თავში აბზაცების ნუმერაცია ცალკეა. ფორმულები, მაგალითები, განცხადებები და ა.შ ინომრება თანმიმდევრობით. სხვა თავის ობიექტზე მითითებისას, მკითხველის მოხერხებულობისთვის, მითითებულია გვერდის ნომერი, რომელზეც არის ობიექტი. იმავე თავის ობიექტზე მითითებისას მოცემულია მხოლოდ ფორმულის, მაგალითის, განცხადების ნომერი. მტკიცებულებების დასასრული აღინიშნება .

თავი I

მათემატიკური სტატისტიკის ძირითადი ცნებები

მათემატიკური სტატისტიკა ეფუძნება ალბათობის თეორიის მეთოდებს, მაგრამ წყვეტს სხვა ამოცანებს. ალბათობის თეორიაში განიხილება შემთხვევითი ცვლადები მოცემული განაწილებით ან შემთხვევითი ექსპერიმენტებით, რომელთა თვისებები სრულად არის ცნობილი. მაგრამ საიდან მოდის ცოდნა განაწილების შესახებ პრაქტიკულ ექსპერიმენტებში? რა არის ალბათობა, მაგალითად, რომ გერბი გამოჩნდეს მოცემულ მონეტაზე? ამ ალბათობის დასადგენად, ჩვენ შეგვიძლია მონეტა ბევრჯერ მოვატრიალოთ. მაგრამ ნებისმიერ შემთხვევაში, დასკვნების გამოტანა მოგიწევთ სასრული რაოდენობის დაკვირვების შედეგებიდან. ასე რომ, 10000 მონეტის სროლის შემდეგ 5035 გერბის დაკვირვებით შეუძლებელია ზუსტი დასკვნის გაკეთება გერბის ამოვარდნის ალბათობის შესახებ: მაშინაც კი, თუ ეს ალბათობა განსხვავდება 0,5-დან, გერბი შეიძლება 5035-ჯერ ამოვარდეს. . განაწილების შესახებ ზუსტი დასკვნების გაკეთება შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც ჩატარდება უსასრულო რაოდენობის ტესტები, რაც შეუძლებელია. მათემატიკური სტატისტიკა საშუალებას იძლევა, სასრული რაოდენობის ექსპერიმენტების შედეგებზე დაყრდნობით, გამოიტანოს მეტ-ნაკლებად ზუსტი დასკვნები ამ ექსპერიმენტებში დაფიქსირებული შემთხვევითი ცვლადების განაწილების შესახებ.

§ 1. მათემატიკური სტატისტიკის ამოცანები

დავუშვათ, რომ გავიმეოროთ ერთი და იგივე შემთხვევითი ექსპერიმენტი იმავე პირობებში. ექსპერიმენტის ყოველი გამეორების შედეგად შეინიშნება მონაცემთა გარკვეული ნაკრები (რიცხობრივი თუ სხვა).

ეს ბადებს შემდეგ კითხვებს.

1. თუ დაფიქსირდა ერთი შემთხვევითი ცვლადი, როგორ შეიძლება გაკეთდეს ყველაზე ზუსტი დასკვნა მისი განაწილების შესახებ რამდენიმე ექსპერიმენტში მისი მნიშვნელობების ნაკრებიდან გამომდინარე?

2. თუ შეინიშნება ორი ან მეტი ნიშნის გამოვლინება, რა შეიძლება ითქვას დაკვირვებული შემთხვევითი ცვლადების დამოკიდებულების ტიპსა და სიძლიერეზე?

ხშირად შესაძლებელია გარკვეული ვარაუდების გაკეთება დაკვირვებული განაწილების ან მისი თვისებების შესახებ. ამ შემთხვევაში, ექსპერიმენტული მონაცემებით, საჭიროა ამ ვარაუდების („ჰიპოთეზების“) დადასტურება ან უარყოფა. ამავდროულად, უნდა გვახსოვდეს, რომ პასუხის „დიახ“ ან „არა“ მხოლოდ გარკვეული დარწმუნებით შეიძლება მიცემული იყოს და რაც უფრო დიდხანს შევძლებთ ექსპერიმენტის გაგრძელებას, მით უფრო ზუსტი იქნება დასკვნები. ზოგჯერ შესაძლებელია წინასწარ დადასტურდეს ყოფნა

8 თავი I. მათემატიკური სტატისტიკის ძირითადი ცნებები

დაკვირვებული ექსპერიმენტის ზოგიერთი თვისება - მაგალითად, დაკვირვებულ სიდიდეებს შორის ფუნქციური დამოკიდებულების შესახებ, განაწილების ნორმალურობაზე, მის სიმეტრიაზე, განაწილებაში სიმკვრივის არსებობის ან მისი დისკრეტული ხასიათის შესახებ და ა.შ.

ასე რომ, მათემატიკური სტატისტიკა მუშაობს იქ, სადაც არის შემთხვევითი ექსპერიმენტი, რომლის თვისებები ნაწილობრივ ან სრულიად უცნობია, და სადაც შეგვიძლია ამ ექსპერიმენტის გამეორება იმავე პირობებში რამდენჯერმე (ან უკეთესი, ნებისმიერ) ჯერ.

ექსპერიმენტული შედეგები შეიძლება იყოს რაოდენობრივი ან ხარისხობრივი. რაოდენობრივი შედეგები შეიძლება, მაგალითად, შეჯამდეს. ამრიგად, მათი ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი მახასიათებელია დაკვირვების საშუალო არითმეტიკული. უაზროა ხარისხობრივი შედეგების შეკრება, თუმცა მათი რიცხვითი ფორმაც შეიძლება. დავუშვათ, რომ გამოკითხულის დაბადების თვე არის თვისებრივი და არა რაოდენობრივი დაკვირვება: მიუხედავად იმისა, რომ ის შეიძლება იყოს რიცხვის სახით, ამ რიცხვების საშუალო არითმეტიკული იმდენივე გონივრულ ინფორმაციას ატარებს, როგორც შეტყობინებას, რომ საშუალოდ ადამიანი დაიბადა. ივნისსა და ივლისს შორის.

პირველ თავებში შევისწავლით რაოდენობრივი დაკვირვების შედეგებთან მუშაობას.

§ 2. შერჩევა

მოდით ξ : Ω → R იყოს შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც დაფიქსირდა შემთხვევით ექსპერიმენტში. ამ ექსპერიმენტის n-ჯერ ჩატარებისას იმავე პირობებში მივიღებთ რიცხვებს X1 , X2 , . . . , Xn - დაკვირვებული შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები პირველ, მეორე და ა.შ. ექსპერიმენტებში. შემთხვევით ცვლადს ξ აქვს გარკვეული განაწილება F, რომელიც ჩვენთვის ნაწილობრივ ან სრულიად უცნობია.

მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ სიმრავლე X = (X1 , . . . . , Xn ), რომელსაც ეწოდება ნიმუში.

უკვე ჩატარებული ექსპერიმენტების სერიაში, ნიმუში არის რიცხვების ნაკრები. მაგრამ სანამ ექსპერიმენტი ჩატარდება, აზრი აქვს განიხილოს ნიმუში, როგორც შემთხვევითი ცვლადების ნაკრები (დამოუკიდებელი და განაწილებული ისევე, როგორც ξ ). მართლაც, ექსპერიმენტების ჩატარებამდე ვერ ვიტყვით, თუ რა მნიშვნელობებს მიიღებს ნიმუშის ელემენტები: ეს იქნება შემთხვევითი ცვლადის ξ. მაშასადამე, აზრი აქვს ჩაითვალოს, რომ ექსპერიმენტამდე Xi არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც თანაბრად ნაწილდება ξ-თან, ხოლო ექსპერიმენტის შემდეგ ეს არის რიცხვი, რომელსაც ვაკვირდებით i-ე ექსპერიმენტში, ანუ შემთხვევითობის ერთ-ერთი შესაძლო მნიშვნელობა. ცვლადი Xi.

განმარტება 1. ნიმუში X = (X1 , . . . . . , Xn) n ზომის F განაწილებიდან არის n დამოუკიდებელი და იდენტურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის ნაკრები, რომლებსაც აქვთ განაწილება F.

ნიმუშის ელემენტები ხშირად გარდაიქმნება მონაცემთა დიდ ნაკრებთან მუშაობის მოხერხებულობისთვის - ისინი დალაგებულია ან დაჯგუფებულია.

თუ ნიმუშის ელემენტებია X1, . . . , Xn დაალაგეთ აღმავალი მიმდევრობით, ვიღებთ ახალი შემთხვევითი ცვლადების ერთობლიობას, რომელსაც ეწოდება ვარიაციული სერია:

X(1) 6 X(2) 6 . . . 6 X(n−1) 6 X(n) .

აქ X(1) = min(X1, . . . , Xn), X(n) = max(X1, . . . , Xn). ელემენტს X(k) ეწოდება ვარიაციული სერიის k -ე წევრი ან k -th რიგის სტატისტიკა.

მონაცემების დაჯგუფებისას განასხვავებენ ნიმუშის ელემენტების მნიშვნელობების რამდენიმე ჯგუფს, ითვლიან თითოეულ ჯგუფში ელემენტების რაოდენობას და შემდეგ განიხილება მხოლოდ ამ ახალი მონაცემთა ნაკრები. როგორც დაჯგუფება, ისე შეკვეთის მონაცემები უარყოფს ნიმუშში შემავალ ზოგიერთ ინფორმაციას.

მათემატიკური სტატისტიკის ამოცანაა გამოიტანოს დასკვნები ნიმუშიდან უცნობი განაწილების F-ის შესახებ, საიდანაც იგი ამოღებულია. განაწილებას ახასიათებს განაწილების ფუნქცია, სიმკვრივე ან ცხრილი, რიცხვითი მახასიათებლების ნაკრები: E ξ = E X1 , Dξ = D X1 , EX k = E X1 k . ნიმუშზე დაყრდნობით, ადამიანს უნდა შეეძლოს ყველა ამ მახასიათებლის მიახლოების აგება. ასეთ მიახლოებებს შეფასებებს უწოდებენ. ტერმინს „ქულა“ არავითარი კავშირი არ აქვს უთანასწორობასთან. განაწილების ზოგიერთი უცნობი მახასიათებლის შეფასება არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც აგებულია ნიმუშიდან, რომელიც გარკვეულწილად არის განაწილების ამ უცნობი მახასიათებლის მიახლოება.

მაგალითი 1. ექვსკუთხა კუბიკს ახვევენ 100-ჯერ. პირველი სახე 25-ჯერ ამოვარდა, მეორე და მეხუთე - 14-ჯერ, მესამე - 21-ჯერ, მეოთხე - 15-ჯერ, მეექვსე - 11-ჯერ. საქმე გვაქვს ციფრულ ნიმუშთან, რომელიც მოხერხებულობისთვის დაჯგუფებულია ჩამოშვებული ქულების რაოდენობით.

ექსპერიმენტის შედეგების მიხედვით შეუძლებელია p1 , ალბათობების დადგენა. . . , p6 სახის წვეთები. შეგვიძლია მხოლოდ ვთქვათ, რომ რიცხვითი შეფასებები მიღებულია ამ ალბათობებისთვის: 0,25 p1-სთვის, 0,14 p2-სთვის და p5-სთვის და ა.შ.

ასეთი ექსპერიმენტის ჩატარების გარეშეც, წინასწარ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ უცნობი ალბათობის შეფასება p1 იქნება შემთხვევითი ცვლადი.

და p2 ალბათობის შეფასება არის შემთხვევითი ცვლადი

ექსპერიმენტების ამ სერიაში, ამ შემთხვევითმა ცვლადებმა მიიღეს მნიშვნელობები, შესაბამისად, 0.25 და 0.14. სხვა სერიაში მათი მნიშვნელობა შეიცვლება.

თავი I. მათემატიკური სტატისტიკის ძირითადი ცნებები

§ 3. შერჩეული მახასიათებლები

ალბათობის თეორიიდან ჩვენ ვიცით უნივერსალური ინსტრუმენტი ყველა სახის მათემატიკური მოლოდინების სავარაუდო გამოთვლისთვის: დიდი რიცხვების კანონი. ეს კანონი იძლევა გარანტიას, რომ დამოუკიდებელი და იდენტურად განაწილებული ტერმინების არითმეტიკული საშუალებები გარკვეულწილად უახლოვდება ტიპიური ტერმინის მოლოდინს (თუ, რა თქმა უნდა, ეს მათემატიკური მოლოდინი არსებობს).

მაშასადამე, უცნობი მათემატიკური მოლოდინის E X1 მიახლოებით (შეფასება) შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნიმუშის ყველა ელემენტის საშუალო არითმეტიკული: ნიმუშის საშუალო

X1 + . . . +Xn

როგორც შეფასება E X1 k-სთვის, ნიმუში k -ე მომენტი

X1 k + . . . + Xn k

Xi k =

და როგორც შეფასება დისპერსიისთვის D X1 = E (X1 − E X1 )2 = E X1 2 − (E X1 )2

გამოიყენება ნიმუშის ვარიაცია

S2 =n 1

(Xi − X)2 = X2 − X

ზოგადად, ღირებულება

g(X1) + . . . + g (Xn)

გ(Xi) =

შეიძლება გამოყენებულ იქნას E g(X1 ) რაოდენობის შესაფასებლად.

ანალოგიურად, ბერნულის კანონი დიდი რიცხვების შესახებ გვაძლევს საშუალებას შევაფასოთ სხვადასხვა ალბათობა. მაგალითად, მოვლენის ალბათობა (X1< 3} можно заменить на долю успешных испытаний в схеме Бернулли: если для каждого элемента выборки успехом считать событие {Xi < 3}, то доля успехов

p = Xi-ს რაოდენობა< 3n

გადავა (ალბათობით) წარმატების ალბათობასთან P(X1< 3). Оценивать неизвестную функцию распределения F (y) = P(X1 < y) мож-

მაგრამ ემპირიული განაწილების ფუნქციის დახმარებით

გსურთ იპოვოთ მათემატიკის სტატისტიკის მასწავლებელი მოსკოვში? ჩვენს მონაცემთა ბაზაში არის 164 მათგანი!

თუ არ გაქვთ დრო, რომ თავად აირჩიოთ მათემატიკური სტატისტიკის დამრიგებელი, გადახედეთ ყველა პროფილს, შეგიძლიათ დაწეროთ როგორი დამრიგებელი გჭირდებათ და ადმინისტრატორი უფასოდაირჩიეთ თქვენთვის შესაფერისი ვარიანტები.

მათემატიკური სტატისტიკის მასწავლებლები

მათემატიკური სტატისტიკის კერძო მასწავლებელი მოსკოვში.
სწავლება 5 - 11 კლასების მოსწავლეების, სტუდენტების, მოზარდების. მზადება გამოცდისთვის, OGE. სასკოლო პროგრამის მაღალი ხარისხის გავლა. მომზადება ყველა წამყვან ფიზიკურ და მათემატიკურ სკოლაში, ლიცეუმში. დაეხმარეთ მოსწავლეებს მათემატიკის თვითშესწავლაში. შესაძლებელია საზაფხულო გაკვეთილები.
გაკვეთილები მინი ჯგუფში (2-4 კაცი) შესაძლებელია ოფიციალურზე დაბალ ფასად.
ვმუშაობ შედეგებისთვის. ვიყენებ სწავლების მეთოდს, რომლის დროსაც მოსწავლეები სრულყოფილად ავითარებენ შემოქმედებით შესაძლებლობებს და ლოგიკურ აზროვნებას, ასევე ინტერესდებიან მათემატიკით. მე ვმუშაობ ჩემი სპეციალური სახელმძღვანელოების და მეთოდების მიხედვით (სხვათა შორის, პრაქტიკაში გამოცდილი) ...
  

• გაკვეთილის ღირებულება: 1500 რუბლი. / 60 წთ
• ნივთები:
• ქალაქი:მოსკოვი
• უახლოესი მეტრო სადგურები:ელექტროზავოდსკაია, ავიამოტორნაია
• სახლში ვიზიტი:არა
• სტატუსი:სკოლის მასწავლებელი
• Განათლება:სწავლობდა ფიზიკა-მათემატიკის სკოლაში. ა.ნ. კოლმოგოროვა (ამჟამად SUNC მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტში) 1986-1988 წლებში. დაამთავრა მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტის ფიზიკის ფაკულტეტი. მ.ვ.ლომონოსოვი 1994 წელს. 1994 წლიდან ვარ მათემატიკის მასწავლებელი...

მათემატიკა 2-11 კლასების მოსწავლეებისთვის, აპლიკანტები, სტუდენტები. მომზადება მათემატიკაში გამოცდისთვის. მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტში SU-HSE ოლიმპიადისა და მისაღები გამოცდებისთვის მომზადება. დახმარება სასკოლო სასწავლო გეგმის ყველა სფეროში, გამოცდილება სკოლაში. რჩევები სტუდენტებისთვის უმაღლესი მათემატიკის ყველა მიმართულებით (მათემატიკური ანალიზი, წრფივი ალგებრა, ანალიტიკური გეომეტრია, ალბათობის თეორია, მათემატიკური სტატისტიკა, ეკონომეტრია, დისკრეტული მათემატიკა და სხვა).
  

• გაკვეთილის ღირებულება: 2000 რუბლი. / 60 წთ
• ნივთები:
• ქალაქი:მოსკოვი
• უახლოესი მეტროსადგური:კუნცევსკაია
• სახლში ვიზიტი:ხელმისაწვდომი
• სტატუსი:უნივერსიტეტის პროფესორი
• Განათლება:მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტი მ.ვ.ლომონოსოვი (მსუ), მექანიკა-მათემატიკის ფაკულტეტი, დაამთავრა 1981 წელს. ფიზიკა-მათემატიკის მეცნიერებათა კანდიდატი. ვასწავლი SU-HSE-ში.

მათემატიკური სტატისტიკის დამრიგებლის მომსახურება.
მზადება გამოცდისთვის, GIA. სტუდენტების მომზადება მათემატიკის ნებისმიერ სფეროში, სკოლის მოსწავლეებსა და სტუდენტებში ხარვეზების აღმოფხვრა. ნებისმიერ უნივერსიტეტში მისაღები გამოცდებისთვის აპლიკანტების მომზადება. ინფორმატიკა და პროგრამირება.
  

• გაკვეთილის ღირებულება: 1500 რუბლი. / 60 წთ
• ნივთები:მათემატიკა, კალკულუსი, ალბათობის თეორია, კომპიუტერული მეცნიერება
• ქალაქები:მოსკოვი, კრასნოგორსკი
• უახლოესი მეტრო სადგურები:ახალგაზრდობა, სტროგინო
• სახლში ვიზიტი:ხელმისაწვდომი
• სტატუსი:კერძო მასწავლებელი
• Განათლება:მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტი მ.ვ.ლომონოსოვი, მექანიკა-მათემატიკის ფაკულტეტი, დაამთავრა 1996 წელს.

მათემატიკური სტატისტიკის ინდივიდუალური დამრიგებელი.
მათემატიკა: მზადება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის და GIA, ალგებრა (მათ შორის ტრიგონომეტრია, არითმეტიკა, მათემატიკური ლოგიკა), გეომეტრია (პლანიმეტრია, სტერეომეტრია), მათემატიკური ანალიზი, უმაღლესი მათემატიკა, ალბათობის თეორია, წრფივი ალგებრა, დისკრეტული მათემატიკა და სხვა დისციპლინები. უნივერსიტეტის გამოცდებზე ჩაბარებისთვის. ფიზიკა: სასკოლო სასწავლო გეგმა, გამოცდისთვის მომზადება, GIA.
გეოგრაფია: სასკოლო სასწავლო გეგმა, გამოცდისთვის მომზადება, GIA.
თითოეული მოსწავლისადმი მიდგომა ინდივიდუალურია. თქვენ მეუბნებით იმ შედეგს, რისი მიღებაც გსურთ ამ გაკვეთილებიდან და ერთად მივაღწევთ.
თითოეული მოსწავლისადმი მიდგომა ინდივიდუალურია...
  

• გაკვეთილის ღირებულება: 60 წუთი / 2200-2900 რუბლი (გაკვეთილის ადგილმდებარეობისა და ტრენინგის დონის მიხედვით);
  90 წუთი / 3200 - 4000 რუბლი (გაკვეთილის ადგილმდებარეობისა და ტრენინგის დონის მიხედვით);
  120 წუთი/410...
• ნივთები:მათემატიკა, ფიზიკა, გეოგრაფია, ალბათობის თეორია
• ქალაქები:მოსკოვი, ოდინცოვო
• უახლოესი მეტროსადგური:კრილაცკოე
• სახლში ვიზიტი:ხელმისაწვდომი
• სტატუსი:კერძო მასწავლებელი
• Განათლება:მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტი მ.ვ.ლომონოსოვი, მექანიკა-მათემატიკის ფაკულტეტი, დაამთავრა 2010 წელს. საშუალო ქულაა 4,5. სკოლა დაამთავრა მედლით.

მათემატიკური სტატისტიკის კერძო მასწავლებელი.
სკოლის მოსწავლეების მომზადება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის და შიდა გამოცდებისთვის, უცხოურ სკოლებში ჩასაბარებლად, ეხმარება მოსწავლეებს შეავსონ ხარვეზები მათემატიკური ანალიზში, TFKP, უმაღლეს მათემატიკაში (წრფივი ალგებრა, ანალიტიკური გეომეტრია, უმაღლესი მათემატიკა).
სერტიფიცირებული USE ექსპერტი მათემატიკაში, USE-სთვის მომზადების 12 წლიანი გამოცდილება, რეპეტიტორობის 30 წელზე მეტი გამოცდილება. სტუდენტები ბიუჯეტში შედიან მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტის ეკონომიკის ფაკულტეტზე, სახელმწიფო უნივერსიტეტში - ეკონომიკის უმაღლეს სკოლაში, FA. არსებობს GSCE, A-Level-ისთვის მომზადების წარმატებული გამოცდილება.
  

• გაკვეთილის ღირებულება: 60 წუთი / 2000 რუბლი;
  120 წუთი / 4000 რუბლი.
• ნივთები:მათემატიკა, კალკულუსი, ალბათობის თეორია, წრფივი ალგებრა
• ქალაქი:მოსკოვი
• უახლოესი მეტრო სადგურები:კიტაი-გოროდი, ლუბიანკა
• სახლში ვიზიტი:ხელმისაწვდომი
• სტატუსი:უნივერსიტეტის პროფესორი
• Განათლება:ურალის პედაგოგიური ინსტიტუტის ფიზიკა-მათემატიკის ფაკულტეტი, დაამთავრა 1982 წელს, დიპლომი წარჩინებით. ფიზიკა-მათემატიკის მეცნიერებათა კანდიდატი, სახელმწიფო უნივერსიტეტის ასოცირებული პროფესორი.

• გაკვეთილის ღირებულება: 1500 რ.-2000 რ./60 წთ. კლასის მიხედვით.
• ნივთები:მათემატიკა, კალკულუსი, წრფივი ალგებრა, ალბათობის თეორია
• ქალაქი:მოსკოვი
• უახლოესი მეტროსადგური:ნოვოგირეევო
• სახლში ვიზიტი:ხელმისაწვდომი
• სტატუსი:სკოლის მასწავლებელი
• Განათლება:სვერდლოვსკის პედაგოგიური ინსტიტუტი, სპეციალობა: მათემატიკა, კომპიუტერული მეცნიერება და კომპიუტერული მეცნიერება, დაამთავრა 1991 წელს.

მათემატიკური სტატისტიკის გამოცდილი მასწავლებელი.
პროფესიონალური და ხარისხიანი მომზადება HSE ლიცეუმის მე-9 კლასისთვის 2019 წელს. ინტენსიური მუშაობა HSE ყოვლისმომცველი ტესტების ვარიანტებზე, ასევე დავალებებს, რომლებიც მკაცრად შეესაბამება საგამოცდო ვარიანტებს! ყოვლისმომცველი ტესტის ყველა ამოცანის ამოხსნის მეთოდების ფრთხილად შემუშავება! სტუდენტი კარგად იქნება მომზადებული!
ცოდნის სისტემატიზაცია 5 - 11 კლასებისთვის. ეფექტური და მნიშვნელოვანი აზიდვები პროგრამაში (ალგებრა და გეომეტრია). მუდმივად მაღალი აკადემიური მოსწრების უზრუნველყოფა („4“ და „5“). საფუძვლიანი მომზადება OGE - 2019. OGE პარამეტრების 1-ლი და მე-2 ნაწილების ამოცანების ამოხსნის სწავლა ...
  

მათემატიკური სტატისტიკის კერძო მასწავლებელი.
5-11 კლასების მოსწავლეები, აპლიკანტები (მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტში მომზადება ან ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე C5 და C6 დავალებისთვის), სტუდენტები (კლასები უმაღლესი მათემატიკის ზოგად კურსში: მათემატიკური ანალიზი, ანალიტიკური გეომეტრია, წრფივი ალგებრა, ალბათობის თეორია) .
ვატარებ საკმაოდ სერიოზულ გაკვეთილებს საავტორო მასალებზე, თითოეული მოსწავლისთვის ინდივიდუალურად შერჩეულ დავალებებს. გარდა ამისა, ვაანალიზებ კომპლექსურ ოლიმპიადის ნომრებს და C6-ს ერთიანი სახელმწიფო გამოცდით.
გაკვეთილის მინიმალური ფასია 90 წთ. 3300 რუბლი.
თუ მომზადება მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტში ან C5 და C6 დავალებებისთვის ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე - 3800-4000 რუბლის ფარგლებში.
მათემატიკის პროფესიონალი მასწავლებელი. მუშაობის გარანტირებული ხარისხი. თითოეული მოსწავლისთვის ინდივიდუალური მიდგომა და მეთოდების შერჩევა...
  

• გაკვეთილის ღირებულება: 2200 რუბლი. / 60 წთ
• ნივთები:მათემატიკა, კალკულუსი, ალბათობის თეორია, წრფივი ალგებრა
• ქალაქი:მოსკოვი
• უახლოესი მეტროსადგური:შუკინსკაია
• სახლში ვიზიტი:არა
• სტატუსი:კერძო მასწავლებელი
• Განათლება:უმაღლესი პედაგოგიური განათლება: მოსკოვის სახელმწიფო პედაგოგიური უნივერსიტეტის მათემატიკის ფაკულტეტი. დაამთავრა 1996 წელს.

მათემატიკური სტატისტიკის კვალიფიციური დამრიგებელი.
საგნები: მათემატიკა (სკოლა და უმაღლესი, OGE და EGE), ფიზიკა (სკოლა, OGE და EGE), ალბათობის თეორია, მათემატიკური სტატისტიკა, კომბინატორიკა.
მოსწავლეები, აპლიკანტები, სტუდენტები. მზადება ნებისმიერი უნივერსიტეტისთვის, USE, ოლიმპიადისთვის. საგნები: მათემატიკა, ფიზიკა, მათემატიკური ანალიზი, წრფივი ალგებრა, ანალიტიკური გეომეტრია, ალბათობის თეორია, მათემატიკური სტატისტიკა, შემთხვევითი პროცესები.
უნივერსიტეტის მოსამზადებელი კურსების მასწავლებელი.
  

• გაკვეთილის ღირებულება:ჩემი კურსი დოლგოპრუდნიში სახლში არის 3000 რუბლი/60 წთ. , მოსწავლის სახლში - 3700 რუბლი / 60 წთ. , დისტანციური კლასები (Skype) - 2700 რუბლი / 60 წთ.
• ნივთები:მათემატიკა, ფიზიკა, ალბათობის თეორია, კალკულუსი
• ქალაქები:მოსკოვი, ლობნია, დოლგოპრუდნი, დმიტროვი
• უახლოესი მეტრო სადგურები:ალტუფიევო, მდინარის სადგური
• სახლში ვიზიტი:ხელმისაწვდომი
• სტატუსი:უნივერსიტეტის პროფესორი
• Განათლება:მოსკოვის ფიზიკა-ტექნიკური ინსტიტუტი (MIPT), კონტროლისა და გამოყენებითი მათემატიკის ფაკულტეტი, დოქტორი.

გამოცდილი მათემატიკის დამრიგებელი.
მათემატიკა და ფიზიკა საშუალო და საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის, სტუდენტებისთვის, მოზრდილებისთვის, მომზადება OGE-სთვის და USE-სთვის. კლასები უნივერსიტეტის აპლიკანტებთან. ყველაზე ეფექტურია ინდივიდუალური გაკვეთილები. სწავლების დიდი გამოცდილება ურთულესი საკითხების წარმატებით შესწავლის გარანტიაა.
  

• გაკვეთილის ღირებულება:მათემატიკა და ფიზიკა: 90 წთ / 900 რუბლი სკოლის მოსწავლეებისთვის.
  სტუდენტები და მოზარდები 90 წთ. / 1200 რუბლი.
• ნივთები:მათემატიკა, კალკულუსი, ფიზიკა
• ქალაქები:მოსკოვი, ჟუკოვსკი, ჟუკოვსკი, ჟუკოვსკი, ჟუკოვსკი
• უახლოესი მეტრო სადგურები:კოტელნიკი, ვიხინო
• სახლში ვიზიტი:ხელმისაწვდომი
• სტატუსი:კერძო მასწავლებელი
• Განათლება:მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტი მ.ვ.ლომონოსოვი, ფიზიკის ფაკულტეტი, მათემატიკის განყოფილება ფიზიკის ფაკულტეტზე, 1976წ. რუსეთის მეწარმეობის აკადემია, 1994 წ