ხაზოვანი ოპერატორის საკუთრივ მნიშვნელობები და საკუთრივვექტორები. საკუთრივ მნიშვნელობები (რიცხვები) და საკუთრივვექტორები ამონახსნების მაგალითები

დიაგონალური ტიპის მატრიცები ყველაზე მარტივად არის მოწყობილი. ჩნდება კითხვა, შეუძლებელია თუ არა ისეთი საფუძვლის პოვნა, რომლითაც ხაზოვანი ოპერატორის მატრიცას დიაგონალური ფორმა ექნება. ასეთი საფუძველი არსებობს.
მოცემულია წრფივი სივრცე R n და მასში მოქმედი წრფივი ოპერატორი A; ამ შემთხვევაში ოპერატორი A იღებს R n-ს, ანუ A:R n → R n.

განმარტება. არანულოვან ვექტორს x ეწოდება A ოპერატორის საკუთრივ ვექტორს, თუ ოპერატორი A გარდაქმნის x-ს მის კოლინარულ ვექტორად, ე.ი. რიცხვს λ ეწოდება x საკუთრივ ვექტორის შესაბამისი ოპერატორის საკუთრივ მნიშვნელობა ან საკუთრივ მნიშვნელობა.
ჩვენ აღვნიშნავთ საკუთრივ მნიშვნელობების და საკუთრივვექტორების ზოგიერთ თვისებას.
1. საკუთრივ ვექტორების ნებისმიერი წრფივი კომბინაცია ოპერატორის A, რომელიც შეესაბამება იმავე საკუთრივ მნიშვნელობას λ არის საკუთრივ ვექტორი იგივე საკუთრივ მნიშვნელობით.
2. საკუთრივ ვექტორები ოპერატორი A წყვილი განსხვავებული საკუთარი მნიშვნელობებით λ 1 , λ 2 , ..., λ m წრფივად დამოუკიდებელია.
3. თუ საკუთარი მნიშვნელობები λ 1 =λ 2 = λ m = λ, მაშინ საკუთრივ მნიშვნელობა λ შეესაბამება არაუმეტეს m წრფივად დამოუკიდებელ საკუთრივექტორებს.

ასე რომ, თუ არსებობს n წრფივად დამოუკიდებელი საკუთარი ვექტორები შეესაბამება სხვადასხვა საკუთრივ მნიშვნელობებს λ 1 , λ 2 , ..., λ n , მაშინ ისინი წრფივად დამოუკიდებელნი არიან, შესაბამისად, ისინი შეიძლება იქნას მიღებული როგორც R n სივრცის საფუძველი. მოდი ვიპოვოთ წრფივი ოპერატორის A მატრიცის ფორმა მისი საკუთრივვექტორების საფუძველზე, რისთვისაც ვმოქმედებთ A ოპერატორთან საბაზისო ვექტორებზე: მაშინ .
ამრიგად, A ხაზოვანი ოპერატორის მატრიცას მისი საკუთრივვექტორების საფუძველზე აქვს დიაგონალური ფორმა, ხოლო ოპერატორი A-ს საკუთარი მნიშვნელობები დიაგონალზეა.
არის თუ არა სხვა საფუძველი, რომლითაც მატრიცას აქვს დიაგონალური ფორმა? ამ კითხვაზე პასუხი მოცემულია შემდეგი თეორემით.

თეორემა. წრფივი A ოპერატორის მატრიცას საფუძველში (i = 1..n) აქვს დიაგონალური ფორმა, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ საფუძვლის ყველა ვექტორი არის A ოპერატორის საკუთარი ვექტორები.

საკუთარი მნიშვნელობებისა და საკუთრივვექტორების პოვნის წესი

მოდით ვექტორი

, სადაც x 1 , x 2 , …, x n - x ვექტორის კოორდინატები საფუძველთან მიმართებაში

და x არის წრფივი ოპერატორის A საკუთრივ ვექტორი, რომელიც შეესაბამება λ საკუთრივ მნიშვნელობას, ე.ი. ეს კავშირი შეიძლება დაიწეროს მატრიცის სახით

. (*)

განტოლება (*) შეიძლება ჩაითვალოს x-ის საპოვნელ განტოლებად და, ანუ, ჩვენ გვაინტერესებს არატრივიალური ამონახსნები, ვინაიდან საკუთრივვექტორი არ შეიძლება იყოს ნული. ცნობილია, რომ წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის არატრივიალური ამონახსნები არსებობს, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ det(A - λE) = 0. ამრიგად, იმისათვის, რომ λ იყოს A ოპერატორის საკუთრივ მნიშვნელობა, აუცილებელია და საკმარისია, რომ det(A - λE). ) = 0.
თუ განტოლება (*) დეტალურად არის დაწერილი კოორდინატების სახით, მაშინ მივიღებთ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებების სისტემას:

(1)
სადაც არის ხაზოვანი ოპერატორის მატრიცა.

სისტემას (1) აქვს არანულოვანი ამონახსნი, თუ მისი განმსაზღვრელი D ნულის ტოლია

ჩვენ მივიღეთ განტოლება საკუთარი მნიშვნელობების საპოვნელად.
ამ განტოლებას ეწოდება დამახასიათებელი განტოლება, ხოლო მის მარცხენა მხარეს - მატრიცის (ოპერატორი) A დამახასიათებელი პოლინომი. თუ დამახასიათებელ მრავალწევრს არ აქვს ნამდვილი ფესვები, მაშინ A მატრიცას არ აქვს საკუთარი ვექტორები და ვერ დაიყვანება დიაგონალურ ფორმამდე.
მოდით λ 1 , λ 2 , …, λ n იყოს დამახასიათებელი განტოლების რეალური ფესვები და მათ შორის შეიძლება იყოს ჯერადი. ამ მნიშვნელობების თავის მხრივ (1) სისტემაში ჩანაცვლებით, ჩვენ ვპოულობთ საკუთრივ ვექტორებს.

მაგალითი 12. წრფივი ოპერატორი A მოქმედებს R 3-ში კანონის მიხედვით, სადაც x 1 , x 2 , .., x n არის ვექტორის კოორდინატები საფუძველში. , , . იპოვეთ ამ ოპერატორის საკუთრივ მნიშვნელობები და საკუთრივვექტორები.
გადაწყვეტილება. ჩვენ ვაშენებთ ამ ოპერატორის მატრიცას:
.
ჩვენ ვქმნით სისტემას საკუთარი ვექტორების კოორდინატების დასადგენად:

ჩვენ ვადგენთ დამახასიათებელ განტოლებას და ვხსნით მას:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
თუ შევცვლით λ = -1 სისტემაში, გვაქვს:
ან
როგორც , მაშინ არის ორი დამოკიდებული ცვლადი და ერთი თავისუფალი ცვლადი.
მოდით x 1 იყოს თავისუფალი უცნობი, მაშინ ჩვენ ვხსნით ამ სისტემას ნებისმიერი გზით და ვპოულობთ ამ სისტემის ზოგად ამონახსნებს: ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შედგება ერთი ამოხსნისგან, ვინაიდან n - r = 3 - 2 = 1.
საკუთრივვექტორთა სიმრავლეს, რომელიც შეესაბამება λ = -1 საკუთრივ მნიშვნელობას, აქვს ფორმა: , სადაც x 1 არის ნებისმიერი რიცხვი, გარდა ნულისა. მოდით ავირჩიოთ ერთი ვექტორი ამ ნაკრებიდან, მაგალითად, x 1 = 1 დაყენებით: .
ანალოგიურად კამათით, ჩვენ ვპოულობთ საკუთრივ ვექტორს, რომელიც შეესაბამება λ = 3 საკუთრივ მნიშვნელობას: .
სივრცეში R 3 საფუძველი შედგება სამი წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორისგან, მაგრამ ჩვენ მივიღეთ მხოლოდ ორი წრფივად დამოუკიდებელი საკუთრივვექტორი, საიდანაც R3-ში საფუძველი არ შეიძლება ჩამოყალიბდეს. შესაბამისად, წრფივი ოპერატორის A მატრიცა ვერ დაიყვანება დიაგონალურ ფორმამდე.

მაგალითი 13 მოცემულია მატრიცა .
1. დაამტკიცეთ, რომ ვექტორი არის A მატრიცის საკუთრივვექტორი. იპოვეთ ამ საკუთრივვექტორის შესაბამისი საკუთრივ მნიშვნელობა.
2. იპოვეთ საფუძველი, რომელშიც A მატრიცას აქვს დიაგონალური ფორმა.
გადაწყვეტილება.
1. თუ , მაშინ x არის საკუთარი ვექტორი

.
ვექტორი (1, 8, -1) არის საკუთარი ვექტორი. საკუთარი მნიშვნელობა λ = -1.
მატრიცას აქვს დიაგონალური ფორმა, რომელიც შედგება საკუთარი ვექტორებისგან. ერთ-ერთი მათგანი ცნობილია. მოდი ვიპოვოთ დანარჩენი.
ჩვენ ვეძებთ საკუთრივ ვექტორებს სისტემიდან:

დამახასიათებელი განტოლება: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
იპოვეთ საკუთრივვექტორი, რომელიც შეესაბამება λ = -3 საკუთრივ მნიშვნელობას:

ამ სისტემის მატრიცის რანგი უდრის ორს და უდრის უცნობთა რაოდენობას, ამიტომ ამ სისტემას აქვს მხოლოდ ნულოვანი ამონახსნი x 1 = x 3 = 0. x 2 აქ შეიძლება იყოს ნებისმიერი სხვა, გარდა ნულისა, მაგალითად, x 2 = 1. ამრიგად, ვექტორი (0 ,1,0) არის λ = -3 შესაბამისი საკუთრივვექტორი. მოდით შევამოწმოთ:
.
თუ λ = 1, მაშინ მივიღებთ სისტემას
მატრიცის წოდება არის ორი. გადახაზეთ ბოლო განტოლება.
მოდით x 3 იყოს თავისუფალი უცნობი. შემდეგ x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 \u003d -9x 3.
თუ დავუშვებთ x 3 = 1, გვაქვს (-3,-9,1) - საკუთრივ ვექტორი, რომელიც შეესაბამება λ = 1 საკუთრივ მნიშვნელობას. შეამოწმეთ:

.
ვინაიდან საკუთრივ მნიშვნელობები რეალური და განსხვავებულია, მათ შესაბამისი ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია, ამიტომ ისინი შეიძლება იქნას მიღებული როგორც საფუძველი R3-ში. ამრიგად, საფუძველში , , A მატრიცას აქვს ფორმა:
.
წრფივი ოპერატორის A:R n → R n ყველა მატრიცა არ შეიძლება დაიყვანდეს დიაგონალურ ფორმამდე, რადგან ზოგიერთი წრფივი ოპერატორისთვის შეიძლება იყოს n-ზე ნაკლები წრფივი დამოუკიდებელი საკუთრივვექტორი. თუმცა, თუ მატრიცა არის სიმეტრიული, მაშინ ზუსტად m წრფივი დამოუკიდებელი ვექტორები შეესაბამება m სიმრავლის დამახასიათებელი განტოლების ფესვს.

განმარტება. სიმეტრიული მატრიცა არის კვადრატული მატრიცა, რომელშიც ელემენტები, რომლებიც სიმეტრიულია მთავარ დიაგონალთან მიმართებაში, ტოლია, ანუ რომელშიც .
შენიშვნები. 1. სიმეტრიული მატრიცის ყველა საკუთრივ მნიშვნელობა რეალურია.
2. სიმეტრიული მატრიცის საკუთრივ ვექტორები, რომლებიც შეესაბამება წყვილ-წყვილად სხვადასხვა საკუთრივ მნიშვნელობებს, ორთოგონალურია.
როგორც შესწავლილი აპარატის მრავალრიცხოვანი გამოყენება, განვიხილავთ მეორე რიგის მრუდის ფორმის განსაზღვრის პრობლემას.

განმარტება 9.3.ვექტორი X დაურეკა საკუთარი ვექტორიმატრიცები მაგრამთუ არის ასეთი რიცხვი λ, რომ თანასწორობა მოქმედებს: მაგრამ X= λ X, ანუ მიმართვის შედეგი X მატრიცით მოცემული წრფივი ტრანსფორმაცია მაგრამ, არის ამ ვექტორის გამრავლება რიცხვზე λ . თავად ნომერი λ დაურეკა საკუთარი ნომერიმატრიცები მაგრამ.

ჩანაცვლება ფორმულებში (9.3) x` j = λx j,ვიღებთ განტოლებათა სისტემას საკუთარი ვექტორის კოორდინატების დასადგენად:

. (9.5)

ამ წრფივ ერთგვაროვან სისტემას ექნება არატრივიალური ამოხსნა მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი მთავარი განმსაზღვრელი არის 0 (კრამერის წესი). ამ პირობის ჩაწერით ფორმაში:

ვიღებთ განტოლებას საკუთრივ მნიშვნელობების დასადგენად λ დაურეკა დამახასიათებელი განტოლება. მოკლედ, ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

| A-λE | = 0, (9.6)

რადგან მისი მარცხენა მხარე არის მატრიცის განმსაზღვრელი A-λE. პოლინომიის მიმართ λ | A-λE| დაურეკა დამახასიათებელი მრავალწევრიმატრიცები ა.

დამახასიათებელი მრავალწევრის თვისებები:

1) წრფივი გარდაქმნის დამახასიათებელი პოლინომი არ არის დამოკიდებული საფუძვლის არჩევანზე. მტკიცებულება. (იხ. (9.4)), მაგრამ აქედან გამომდინარე, . ამრიგად, ეს არ არის დამოკიდებული საფუძვლის არჩევანზე. აქედან გამომდინარე, და | A-λE| არ იცვლება ახალ ბაზაზე გადასვლისას.

2) თუ მატრიცა მაგრამწრფივი ტრანსფორმაცია არის სიმეტრიული(ისინი. ა ი = ა ჯი), მაშინ დამახასიათებელი განტოლების (9.6) ყველა ფესვი რეალური რიცხვია.

საკუთარი მნიშვნელობების და საკუთრივ ვექტორების თვისებები:

1) თუ ჩვენ ვირჩევთ საფუძველს საკუთრივ ვექტორებიდან x 1, x 2, x 3 საკუთარი მნიშვნელობების შესაბამისი λ 1, λ 2, λ 3მატრიცები მაგრამ, მაშინ ამ საფუძველზე A წრფივ ტრანსფორმაციას აქვს დიაგონალური მატრიცა:

(9.7) ამ თვისების დადასტურება გამომდინარეობს საკუთრივ ვექტორების განმარტებიდან.

2) თუ ტრანსფორმაციის საკუთრივ მნიშვნელობები მაგრამგანსხვავებულია, მაშინ მათ შესაბამისი საკუთრივვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია.

3) თუ მატრიცის დამახასიათებელი მრავალწევრი მაგრამაქვს სამი განსხვავებული ფესვი, შემდეგ გარკვეულწილად მატრიცა მაგრამაქვს დიაგონალური ფორმა.

ვიპოვოთ მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობები და საკუთრივვექტორები, გავაკეთოთ დამახასიათებელი განტოლება: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

იპოვეთ თითოეული ნაპოვნი მნიშვნელობის შესაბამისი საკუთარი ვექტორების კოორდინატები λ. (9.5)-დან გამომდინარეობს, რომ თუ X (1) ={x 1, x 2, x 3) არის შესაბამისი საკუთრივვექტორი λ 1 = -2, მაშინ

არის თანამშრომლობითი, მაგრამ განუსაზღვრელი სისტემა. მისი ამოხსნა შეიძლება დაიწეროს როგორც X (1) ={ა,0,-ა), სადაც a არის ნებისმიერი რიცხვი. კერძოდ, თუ თქვენ მოითხოვთ, რომ | x (1) |=1, X (1) =

ჩანაცვლება სისტემაში (9.5) λ 2 =3, ვიღებთ სისტემას მეორე საკუთარი ვექტორის კოორდინატების დასადგენად - x (2) ={y1, y2, y3}:

, სად X (2) ={ბ,-ბ,ბ) ან, გათვალისწინებული | x (2) |=1, x (2) =

ამისთვის λ 3 = 6 იპოვნეთ საკუთარი ვექტორი x (3) ={z1, z2, z3}:

, x (3) ={გ,2c,c) ან ნორმალიზებულ ვერსიაში

x (3) = ჩანს რომ X (1) X (2) = აბ-აბ= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = ძვ.წ- 2ძვ.წ+ძვ.წ= 0. ამრიგად, ამ მატრიცის საკუთრივ ვექტორები წყვილი ორთოგონალურია.

ლექცია 10

კვადრატული ფორმები და მათი კავშირი სიმეტრიულ მატრიცებთან. სიმეტრიული მატრიცის საკუთრივ ვექტორების და საკუთრივ მნიშვნელობების თვისებები. კვადრატული ფორმის შემცირება კანონიკურ ფორმამდე.

განმარტება 10.1.კვადრატული ფორმარეალური ცვლადები x 1, x 2,…, x nამ ცვლადებთან მიმართებაში მეორე ხარისხის პოლინომი ეწოდება, რომელიც არ შეიცავს პირველი ხარისხის თავისუფალ წევრს და ტერმინებს.

კვადრატული ფორმების მაგალითები:

(ნ = 2),

(ნ = 3). (10.1)

გაიხსენეთ სიმეტრიული მატრიცის განმარტება, რომელიც მოცემულია ბოლო ლექციაში:

განმარტება 10.2.კვადრატული მატრიცა ეწოდება სიმეტრიული, თუ , ანუ თუ მატრიცის ელემენტები სიმეტრიული მთავარი დიაგონალის მიმართ ტოლია.

სიმეტრიული მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობებისა და საკუთრივვექტორების თვისებები:

1) სიმეტრიული მატრიცის ყველა საკუთრივ მნიშვნელობა რეალურია.

მტკიცებულება (ამისთვის ნ = 2).

მოდით მატრიცა მაგრამროგორც ჩანს: . მოდით გავაკეთოთ დამახასიათებელი განტოლება:

(10.2) იპოვეთ დისკრიმინანტი:

მაშასადამე, განტოლებას მხოლოდ რეალური ფესვები აქვს.

2) სიმეტრიული მატრიცის საკუთრივვექტორები ორთოგონალურია.

მტკიცებულება (ამისთვის ნ= 2).

საკუთრივ ვექტორების კოორდინატები და უნდა აკმაყოფილებდეს განტოლებებს.

ლექცია 9

კოორდინატების წრფივი გარდაქმნები. მატრიცის საკუთრივვექტორები და საკუთრივ მნიშვნელობები, მათი თვისებები. მატრიცის დამახასიათებელი მრავალწევრი, მისი თვისებები.

ამას ვიტყვით ვექტორთა სიმრავლეზერმოცემული ტრანსფორმაცია მაგრამ , თუ თითოეული ვექტორი X რ რაღაც წესის მიხედვით ვექტორი მაგრამ X რ.

განმარტება 9.1.ტრანსფორმაცია მაგრამ დაურეკა ხაზოვანი, თუ რაიმე ვექტორისთვის X და ზე და ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის λ თანასწორობა შესრულებულია:

მაგრამ ( X + ზე )=მაგრამ X+ ა ზე ,A(λ X ) = λ A X. (9.1)

განმარტება 9.2.წრფივი ტრანსფორმაცია ე.წ იდენტური, თუ ის გარდაქმნის რომელიმე ვექტორს X საკუთარ თავში.

იდენტურობის ტრანსფორმაცია აღინიშნება მისი X= X .

განვიხილოთ სამგანზომილებიანი სივრცე საფუძვლით e 1 , e 2, e 3 , რომელშიც მითითებულია წრფივი ტრანსფორმაცია მაგრამ. საფუძვლების ვექტორებზე მისი გამოყენებისას ვიღებთ ვექტორებს მაგრამ e 1, მაგრამ e 2, მაგრამ e 3 ამ სამგანზომილებიან სივრცეს ეკუთვნის. აქედან გამომდინარე, თითოეული მათგანი შეიძლება გაფართოვდეს უნიკალური გზით საბაზისო ვექტორების თვალსაზრისით:

მაგრამ ე 1 = 11 e 1+ 21 e 2+a 31 e 3,

მაგრამ ე 2 = 12 e 1+ 22 e 2+ 32 e 3 ,(9.2)

მაგრამ e 3= 13 e 1+ 23 e 2+ 33 e 3 .

მატრიცა დაურეკა ხაზოვანი ტრანსფორმაციის მატრიცა მაგრამ საფუძველზე e 1 , e 2, e 3 . ამ მატრიცის სვეტები შედგება საბაზისო ტრანსფორმაციის ფორმულებში (9.2) კოეფიციენტებისგან.

კომენტარი. ცხადია, იდენტობის ტრანსფორმაციის მატრიცა არის იდენტობის მატრიცა ე.

თვითნებური ვექტორისთვის X = x 1 e 1+ x 2 e 2+ x 3 e 3 მასზე წრფივი ტრანსფორმაციის გამოყენების შედეგი მაგრამიქნება ვექტორი მაგრამ X, რომელიც შეიძლება გაფართოვდეს იმავე საფუძვლის ვექტორებში: მაგრამ X =x` 1 e 1+ x` 2 e 2+ x` 3 e 3 , სადაც კოორდინატებიx` მეშეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულების გამოყენებით:

X` 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x` 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3,(9.3)

x` 3 = ა 31 x 1 + ა 32 x 2 + ა 33 x 3 .

ამ წრფივი ტრანსფორმაციის ფორმულების კოეფიციენტები მატრიცის რიგების ელემენტებია მაგრამ.

ხაზოვანი ტრანსფორმაციის მატრიცის ტრანსფორმაცია

ახალ ბაზაზე გადასვლისას.

განვიხილოთ წრფივი ტრანსფორმაცია A და ორი ფუძე სამგანზომილებიან სივრცეში: e 1, e 2, e 3 და ე 1 , ე 2 , ე 3 . მოდით C მატრიცამ განსაზღვროს გადასვლის ფორმულები საფუძვლიდან (ე კ) საფუძვლამდე ( ე კ). თუ ამ ფუძეებიდან პირველში არჩეული წრფივი ტრანსფორმაცია მოცემულია A მატრიცით, ხოლო მეორეში - მატრიცით. მაგრამ, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ურთიერთობა ამ მატრიცებს შორის, კერძოდ:

A \u003d C -1 მაგრამ C(9.4)

მართლაც, მაშინ მაგრამ . მეორეს მხრივ, იგივე წრფივი ტრანსფორმაციის გამოყენების შედეგები მაგრამსაფუძველზე (ე კ), ე.ი. და საფუძველზე (ე კ ): შესაბამისად - დაკავშირებულია მატრიცით თან: , საიდანაც გამომდინარეობს, რომ SA= მაგრამთან. მარცხნივ ამ თანასწორობის ორივე მხარის გამრავლება თან-1, მივიღებთ თან -1 CA = = C -1 მაგრამთან, რომელიც ადასტურებს ფორმულის მართებულობას (9.4).

მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობები და საკუთრივვექტორები.

ჩანაცვლება ფორმულებში (9.3)x` ჯ = λ x j, ვიღებთ განტოლებათა სისტემას საკუთარი ვექტორის კოორდინატების დასადგენად:

აქედან

.(9.5)

ეს ხაზოვანი ერთგვაროვანისისტემას ექნება არატრივიალური გამოსავალი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი მთავარი განმსაზღვრელი არის 0 (კრამერის წესი). ამ პირობის ჩაწერით ფორმაში:

| ა -λ ე | = 0,(9.6)

რადგან მისი მარცხენა მხარე არის მატრიცის განმსაზღვრელი მაგრამ - λE. პოლინომიის მიმართ λ| ა -λ ე| დაურეკა დამახასიათებელი მრავალწევრიმატრიცები ა.

დამახასიათებელი მრავალწევრის თვისებები:

1) წრფივი გარდაქმნის დამახასიათებელი მრავალწევრი არ არის დამოკიდებული საფუძვლის არჩევაზე.მტკიცებულება. (იხ. (9.4)), მაგრამ აქედან გამომდინარე, . ამრიგად, ეს არ არის დამოკიდებული საფუძვლის არჩევანზე. აქედან გამომდინარე, და |ა-λ ე| არ იცვლება ახალ ბაზაზე გადასვლისას.

2) თუ მატრიცა მაგრამწრფივი ტრანსფორმაცია არის სიმეტრიული(ისინი. ა იჯ= ჯი), მაშინ დამახასიათებელი განტოლების (9.6) ყველა ფესვი რეალური რიცხვია.

საკუთარი მნიშვნელობების და საკუთრივ ვექტორების თვისებები:

2) თუ ტრანსფორმაციის საკუთრივ მნიშვნელობებია მაგრამგანსხვავებულია, მაშინ მათ შესაბამისი საკუთრივვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია.

მაგალითი.

ვიპოვოთ C მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობები და საკუთრივვექტორები, დავტოვოთ დამახასიათებელი განტოლება: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

იპოვეთ თითოეული ნაპოვნი მნიშვნელობის შესაბამისი საკუთარი ვექტორების კოორდინატები λ. (9.5)-დან გამომდინარეობს, რომ თუ X (1) ={ x 1 , x 2 , x 3 ) არის შესაბამისი საკუთრივვექტორი λ 1 = -2, მაშინ

არის თანამშრომლობითი, მაგრამ განუსაზღვრელი სისტემა. მისი ამოხსნა შეიძლება დაიწეროს როგორც X (1) ={ ა,0,- ა), სადაც a არის ნებისმიერი რიცხვი. კერძოდ, თუ თქვენ მოითხოვთ, რომ |x (1) |=1, X (1) =

ჩანაცვლება სისტემაში (9.5) λ 2 =3, ვიღებთ სისტემას მეორე საკუთრივვექტორის კოორდინატების დასადგენად.x (2) ={ წ 1 , წ 2 , წ 3

ამას ვიტყვით ვექტორთა სიმრავლეზე რმოცემული ტრანსფორმაციამაგრამ , თუ თითოეული ვექტორი X რ რაღაც წესის მიხედვით ვექტორი მაგრამX რ.

განმარტება 9.1.ტრანსფორმაცია მაგრამდაურეკა ხაზოვანი, თუ რაიმე ვექტორისთვის X და ზე და ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის λ თანასწორობა შესრულებულია:

მაგრამ (X + ზე )=მაგრამX + აზე ,A(λX ) =λ AX . (9.1)

იდენტურობის ტრანსფორმაცია აღინიშნება მისიX = X .

განვიხილოთ სამგანზომილებიანი სივრცე საფუძვლით ე 1 , ე 2 , ე 3 , რომელშიც მითითებულია წრფივი ტრანსფორმაცია მაგრამ. საფუძვლების ვექტორებზე მისი გამოყენებისას ვიღებთ ვექტორებს მაგრამე 1 , მაგრამე 2 , მაგრამე 3 ამ სამგანზომილებიან სივრცეს ეკუთვნის. აქედან გამომდინარე, თითოეული მათგანი შეიძლება გაფართოვდეს უნიკალური გზით საბაზისო ვექტორების თვალსაზრისით:

მაგრამე 1 = ა 11 ე 1 + ა 21 ე 2 +ა 31 ე 3 ,

მაგრამე 2 = ა 12 ე 1 + ა 22 ე 2 + ა 32 ე 3 , (9.2)

მაგრამე 3 = ა 13 ე 1 + ა 23 ე 2 + ა 33 ე 3 .

მატრიცა
დაურეკა ხაზოვანი ტრანსფორმაციის მატრიცამაგრამ საფუძველზე ე 1 , ე 2 , ე 3 . ამ მატრიცის სვეტები შედგება საბაზისო ტრანსფორმაციის ფორმულებში (9.2) კოეფიციენტებისგან.

თვითნებური ვექტორისთვის X =x 1 ე 1 + x 2 ე 2 + x 3 ე 3 მასზე წრფივი ტრანსფორმაციის გამოყენების შედეგი მაგრამიქნება ვექტორი მაგრამX , რომელიც შეიძლება გაფართოვდეს იმავე საფუძვლის ვექტორებში: მაგრამX =x` 1 ე 1 + x` 2 ე 2 + x` 3 ე 3 , სადაც კოორდინატები x` მეშეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულების გამოყენებით:

X` 1 = ა 11 x 1 + ა 12 x 2 + ა 13 x 3 ,

x` 2 = ა 21 x 1 + ა 22 x 2 + ა 23 x 3 , (9.3)

x` 3 = ა 31 x 1 + ა 32 x 2 + ა 33 x 3 .

ხაზოვანი ტრანსფორმაციის მატრიცის ტრანსფორმაცია

ახალ ბაზაზე გადასვლისას.

განვიხილოთ წრფივი ტრანსფორმაცია A და ორი ფუძე სამგანზომილებიან სივრცეში: ე 1 , ე 2 , ე 3 და ე 1 , ე 2 , ე 3 . მოდით C მატრიცამ განსაზღვროს გადასვლის ფორმულები საფუძვლიდან ( ე კ) საფუძვლამდე ( ე კ). თუ ამ ფუძეებიდან პირველში არჩეული წრფივი ტრანსფორმაცია მოცემულია A მატრიცით, ხოლო მეორეში - მატრიცით. მაგრამ, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ურთიერთობა ამ მატრიცებს შორის, კერძოდ:

A \u003d C -1 მაგრამ C (9.4)

მართლაც,
, მაშინ მაგრამ
. მეორეს მხრივ, იგივე წრფივი ტრანსფორმაციის გამოყენების შედეგები მაგრამსაფუძველზე ( ე კ), ე.ი. და საფუძველზე ( ე კ ): შესაბამისად - დაკავშირებულია მატრიცით თან:
, საიდანაც გამომდინარეობს, რომ SA=მაგრამ თან. მარცხნივ ამ თანასწორობის ორივე მხარის გამრავლება თან-1, მივიღებთ თან - 1 CA = = C -1 მაგრამ თან, რომელიც ადასტურებს ფორმულის მართებულობას (9.4).

მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობები და საკუთრივვექტორები.

განმარტება 9.3.ვექტორი X დაურეკა საკუთარი ვექტორიმატრიცები მაგრამთუ არის ასეთი რიცხვი λ, რომ თანასწორობა მოქმედებს: მაგრამX = λ X , ანუ მიმართვის შედეგი X მატრიცით მოცემული წრფივი ტრანსფორმაცია მაგრამ, არის ამ ვექტორის გამრავლება რიცხვზე λ . თავად ნომერი λ დაურეკა საკუთარი ნომერიმატრიცები მაგრამ.

ჩანაცვლება ფორმულებში (9.3) x` ჯ = λ x ჯ , ვიღებთ განტოლებათა სისტემას საკუთარი ვექტორის კოორდინატების დასადგენად:

. (9.5)

| ა - λ ე| = 0, (9.6)

რადგან მისი მარცხენა მხარე არის მატრიცის განმსაზღვრელი A-λE. პოლინომიის მიმართ λ | ა - λ ე| დაურეკა დამახასიათებელი მრავალწევრიმატრიცები ა.

დამახასიათებელი მრავალწევრის თვისებები:

საკუთარი მნიშვნელობების და საკუთრივ ვექტორების თვისებები:

თუ ჩვენ ვირჩევთ საფუძველს საკუთრივ ვექტორებიდან X 1 , X 2 , X 3 საკუთარი მნიშვნელობების შესაბამისი λ 1 , λ 2 , λ 3 მატრიცები მაგრამ, მაშინ ამ საფუძველზე A წრფივ ტრანსფორმაციას აქვს დიაგონალური მატრიცა:

თუ ტრანსფორმაციის საკუთრივ მნიშვნელობებია მაგრამგანსხვავებულია, მაშინ მათ შესაბამისი საკუთრივვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია.

თუ მატრიცის დამახასიათებელი მრავალწევრი მაგრამაქვს სამი განსხვავებული ფესვი, შემდეგ გარკვეულწილად მატრიცა მაგრამაქვს დიაგონალური ფორმა.

მოდი ვიპოვოთ მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობები და საკუთრივვექტორები მოდით გავაკეთოთ დამახასიათებელი განტოლება:
(1-λ )(5 -λ )(1 -λ ) + 6 - 9(5 -λ ) - (1 -λ ) - (1 -λ ) = 0,λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2,λ 2 = 3,λ 3 = 6.

იპოვეთ თითოეული ნაპოვნი მნიშვნელობის შესაბამისი საკუთარი ვექტორების კოორდინატები λ. (9.5)-დან გამომდინარეობს, რომ თუ X (1) ={x 1 , x 2 , x 3 ) არის შესაბამისი საკუთრივვექტორი λ 1 = -2, მაშინ

არის თანამშრომლობითი, მაგრამ განუსაზღვრელი სისტემა. მისი ამოხსნა შეიძლება დაიწეროს როგორც X (1) ={ა,0,-ა), სადაც a არის ნებისმიერი რიცხვი. კერძოდ, თუ თქვენ მოითხოვთ, რომ | x (1) |=1,X (1) =

ჩანაცვლება სისტემაში (9.5) λ 2 =3, ვიღებთ სისტემას მეორე საკუთარი ვექტორის კოორდინატების დასადგენად - x (2) ={წ 1 , წ 2 , წ 3 }:

, სად X (2) ={ბ,- ბ, ბ) ან, გათვალისწინებული | x (2) |=1,x (2) =

ამისთვის λ 3 = 6 იპოვნეთ საკუთარი ვექტორი x (3) ={ზ 1 , ზ 2 , ზ 3 }:

,x (3) ={გ,2 გ, გ) ან ნორმალიზებულ ვერსიაში

X (3) =
ჩანს რომ X (1) X (2) =აბ – აბ = 0,x (1) x (3) =აწ – აწ = 0,x (2) x (3) =ძვ.წ - 2ძვ.წ + ძვ.წ = 0. ამრიგად, ამ მატრიცის საკუთრივ ვექტორები წყვილი ორთოგონალურია.

საკუთარი მნიშვნელობებისა და საკუთრივვექტორების პოვნის წესი

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ