ხარისხების შედარება რეალურ მაჩვენებელთან. ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით და მისი თვისებებით

I კურსის სტუდენტის დამოუკიდებელი მუშაობა თემაზე დიპლომები მოქმედი მაჩვენებლით. ხარისხის თვისებები რეალური მაჩვენებლით (6 საათი)

    თეორიული მასალის შესწავლა და ჩანაწერების გაკეთება (2 საათი)

    ამოხსენით კროსვორდი (2 საათი)

    საშინაო დავალების შესრულება (2 საათი)

მითითება და დიდაქტიკური მასალა მოცემულია ქვემოთ.

რაციონალური მაჩვენებლით ხარისხის ცნებაზე

ზოგიერთი ყველაზესაერთო

ტრანსცენდენტული ფუნქციების ტიპები ადრე

სრულიად საჩვენებელი, ღია წვდომა

ბევრი კვლევა.

ლ.ეილერი

სულ უფრო რთული ალგებრული ამოცანების გადაჭრისა და ძალებით მუშაობის პრაქტიკიდან, საჭირო გახდა ხარისხის ცნების განზოგადება და მისი გაფართოება ნულოვანი, უარყოფითი და წილადი რიცხვების მაჩვენებლის სახით.

თანასწორობა a 0 = 1 (for ) გამოიყენებოდა მის ნაწერებში მე-15 საუკუნის დასაწყისში. სამარყანდელი მეცნიერი ალ-კაში. მისგან დამოუკიდებლად ნულოვანი მაჩვენებელი XV საუკუნეში შემოიღო ნ.შუკემ. ამ უკანასკნელმა ასევე შემოიტანა უარყოფითი მაჩვენებლები. წილადის მაჩვენებლების იდეას შეიცავს ფრანგი მათემატიკოსი ნ.ორემი (XIV ს.) მის

ნაშრომი "პროპორციების ალგორიზმი". ჩვენი ნიშნის ნაცვლად მან დაწერა, სამაგიეროდ დაწერა 4. Orem სიტყვიერად აყალიბებს მოქმედებების წესებს გრადუსით, მაგალითად (თანამედროვე აღნიშვნებით): , და ა.შ.

მოგვიანებით, წილადური, ისევე როგორც უარყოფითი, მაჩვენებლები გვხვდება გერმანელი მათემატიკოსის მ.შტიფელისა და ს.სტივინის „სრულ არითმეტიკაში“ (1544 წ.). ეს უკანასკნელი წერს, რომ ფუძის ხარისხი პნომრიდან აშეიძლება ჩაითვალოს ხარისხად აწილადით.

ნულოვანი, უარყოფითი და წილადი ინდიკატორებისა და თანამედროვე სიმბოლოების შემოღების მიზანშეწონილობა პირველად 1665 წელს დაწერა ინგლისელმა მათემატიკოსმა ჯონ ვალისმა. მისი ნამუშევარი დაასრულა ი.ნიუტონმა, რომელმაც დაიწყო ახალი სიმბოლოების სისტემატური გამოყენება, რის შემდეგაც ისინი შევიდნენ საერთო გამოყენებაში.

რაციონალური მაჩვენებლით ხარისხის შემოღება არის მათემატიკური მოქმედების ცნების განზოგადების მრავალი მაგალითი. ხარისხი ნულოვანი, უარყოფითი და წილადი მაჩვენებლებით განისაზღვრება ისე, რომ მასზე მოქმედებს იგივე მოქმედების წესები, რაც ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე ხარისხზე, ე. , კერძოდ:

რაციონალური მაჩვენებლით ხარისხის ახალი განმარტება არ ეწინააღმდეგება ხარისხის ძველ განმარტებას ბუნებრივი მაჩვენებლით, ანუ რაციონალური მაჩვენებლით ხარისხის ახალი განმარტების მნიშვნელობა დაცულია ხარისხის კონკრეტული შემთხვევისთვის. ბუნებრივი მაჩვენებელი. ამ პრინციპს, რომელიც შეინიშნება მათემატიკური ცნებების განზოგადებისას, ეწოდება მუდმივობის პრინციპი (შენარჩუნება, მუდმივობა). იგი არასრულყოფილი ფორმით გამოითქვა 1830 წელს ინგლისელმა მათემატიკოსმა ჯ. პიკოკმა და სრულად და ნათლად დაადგინა გერმანელმა მათემატიკოსმა გ. ჰანკელმა 1867 წელს. მუდმივობის პრინციპი ასევე დაცულია რიცხვის ცნების განზოგადებისა და გაფართოებისას. ის რეალური რიცხვის ცნებამდე, მანამდე კი წილადზე გამრავლების ცნების შემოღება და ა.შ.

დენის ფუნქცია დაგრაფიკულიგანტოლებების ამოხსნა დაუთანასწორობები

კოორდინატების და ანალიტიკური გეომეტრიის მეთოდის აღმოჩენის წყალობით, მე-17 საუკუნიდან იწყება. შესაძლებელი გახდა ფუნქციების ზოგადად გამოსაყენებელი გრაფიკული შესწავლა და განტოლებათა გრაფიკული ამოხსნა.

Ძალაფუნქცია ფორმის ფუნქციაა

სადაც α არის მუდმივი რეალური რიცხვი. თუმცა თავდაპირველად ჩვენ თავს ვიზღუდავთ α-ს რაციონალური მნიშვნელობებით და თანასწორობის ნაცვლად (1) ვწერთ:

სადაც - რაციონალური რიცხვი. შესაბამისად და განმარტებით, გვაქვს:

ზე=1, y = x.

განრიგიამ ფუნქციებიდან პირველი სიბრტყეზე არის სწორი ხაზი ღერძის პარალელურად ოჰ,ხოლო მეორე არის 1-ლი და მე-3 კოორდინატთა კუთხის ბისექტორი.

როცა ფუნქციის გრაფიკი პარაბოლაა . დეკარტი, რომელმაც პირველი უცნობი აღნიშნა ზ, მეორე - მეშვეობით y,მესამე - გავლით x:, პარაბოლის განტოლება დაწერა ასე: ( ზ- აბსციზა). ის ხშირად იყენებდა პარაბოლას განტოლებების ამოსახსნელად. მაგალითად, მე-4 ხარისხის განტოლების ამოსახსნელად

დეკარტი ჩანაცვლების გზით

მივიღეთ კვადრატული განტოლება ორი უცნობით:

ერთ სიბრტყეში მდებარე წრეზე გამოსახული (ზx) თანპარაბოლა (4). ამრიგად, დეკარტმა შემოიღო მეორე უცნობი (X),ყოფს განტოლებას (3) ორ განტოლებად (4) და (5), რომელთაგან თითოეული წარმოადგენს წერტილების გარკვეულ ადგილს. მათი გადაკვეთის წერტილების ორდინატები იძლევა (3) განტოლების ფესვებს.

„ერთ დღეს მეფემ გადაწყვიტა თავისი პირველი თანაშემწე აერჩია თავისი კარისკაცებიდან. მან ყველა უზარმაზარ ციხესიმაგრეში მიიყვანა. "ვინც პირველი გახსნის, ის პირველი დამხმარე იქნება." ციხეს არც კი შეხებია. მხოლოდ ერთი ვაზირი მოვიდა და საკეტი გააღო. ჩაკეტილი არ იყო.

მაშინ მეფემ თქვა: ”თქვენ მიიღებთ ამ თანამდებობას, რადგან ეყრდნობით არა მხოლოდ იმას, რასაც ხედავთ და გესმით, არამედ ეყრდნობით საკუთარ ძალებს და არ გეშინიათ მცდელობის გაკეთება”.

და დღეს ჩვენ შევეცდებით, შევეცადოთ მივიღოთ სწორი გადაწყვეტილება.

1. რომელ მათემატიკური ცნებასთან არის დაკავშირებული სიტყვები:

ბაზა

ინდიკატორი (ხარისხი)

რა სიტყვებს შეუძლიათ სიტყვების გაერთიანება:

რაციონალური რიცხვი

მთელი რიცხვი

ბუნებრივი რიცხვი

ირაციონალური რიცხვი (რეალური რიცხვი)

ჩამოაყალიბეთ გაკვეთილის თემა. (ძალა რეალური მაჩვენებლით)

- გაიმეორეთ ხარისხის თვისებები

– განიხილეთ ხარისხის თვისებების გამოყენება გამოთვლებში და გამონათქვამების გამარტივებაში

- გამოთვლითი უნარების განვითარება.

ასე რომ, a p, სადაც p არის რეალური რიცხვი.

მიეცით მაგალითები (აირჩიეთ გამოთქმებიდან 5–2, , 43, ) გრადუსი

- ბუნებრივი მაჩვენებლით

- მთელი მნიშვნელობით

- რაციონალური მაჩვენებლით

- ირაციონალური მაჩვენებლით

a-ს რა მნიშვნელობებისთვის აქვს გამოხატულება აზრი?

a n, სადაც n (a არის ნებისმიერი)

a m, სადაც m (და არა 0-ის ტოლი) როგორ გადავიდეთ უარყოფითი მაჩვენებლიდან დადებით მაჩვენებელზე?

სადაც p, q (a > 0)

რა მოქმედებები (მათემატიკური მოქმედებები) შეიძლება შესრულდეს გრადუსით?

მატჩის დაყენება:

თანაბარი ფუძეებით ძალების გამრავლებისას

ფუძეები მრავლდება, მაგრამ მაჩვენებელი იგივე რჩება

თანაბარი საფუძვლებით ძალების გაყოფისას

ფუძეები იყოფა, მაგრამ მაჩვენებლები იგივე რჩება


მას შემდეგ რაც დადგინდა ხარისხი, ლოგიკურია საუბარი ხარისხის თვისებები. ამ სტატიაში ჩვენ მივცემთ რიცხვის ხარისხის ძირითად თვისებებს, ხოლო შეხებით ყველა შესაძლო მაჩვენებელს. აქ ჩვენ მივცემთ მტკიცებულებებს ხარისხის ყველა თვისების შესახებ და ასევე ვაჩვენებთ, თუ როგორ გამოიყენება ეს თვისებები მაგალითების ამოხსნისას.

გვერდის ნავიგაცია.

ხარისხების თვისებები ბუნებრივი მაჩვენებლებით

ავტორი ხარისხის განსაზღვრა ბუნებრივი მაჩვენებლით n-ის სიმძლავრე არის n ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს. ამ განმარტებაზე დაყრდნობით და გამოყენებით რეალური რიცხვების გამრავლების თვისებები, შეგვიძლია მივიღოთ და დავასაბუთოთ შემდეგი ხარისხის თვისებები ბუნებრივი მაჩვენებლით:

  1. a m ·a n =a m+n ხარისხის ძირითადი თვისება, მისი განზოგადება;
  2. ერთი და იგივე ფუძის მქონე ნაწილობრივი სიძლიერის თვისება a m:a n =a m−n ;
  3. პროდუქტის ხარისხის თვისება (a b) n =a n b n, მისი გაფართოება;
  4. კოეფიციენტური თვისება ნატურით (a:b) n =a n:b n ;
  5. ექსპონენტაცია (a m) n =a m n, მისი განზოგადება ((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
  6. ხარისხის შედარება ნულთან:
    • თუ a>0, მაშინ a n >0 ნებისმიერი ბუნებრივი n-სთვის;
    • თუ a=0, მაშინ a n =0;
    • თუ<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 თუ ა<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
  7. თუ a და b დადებითი რიცხვებია და a
  8. თუ m და n ისეთი ნატურალური რიცხვებია, რომ m>n, მაშინ 0-ზე 0 უტოლობა a m >a n მართალია.

ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ ყველა წერილობითი თანასწორობა არის იდენტურიმითითებულ პირობებში და მათი მარჯვენა და მარცხენა ნაწილების შეცვლა შესაძლებელია. მაგალითად, a m a n = a m + n წილადის მთავარი თვისება გამოთქმების გამარტივებახშირად გამოიყენება m+n = a m a n სახით.

ახლა მოდით განვიხილოთ თითოეული მათგანი დეტალურად.

    დავიწყოთ ერთი და იგივე ფუძის მქონე ორი სიმძლავრის ნამრავლის თვისებით, რომელსაც ე.წ ხარისხის მთავარი თვისება: ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის და ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის m და n, ტოლობა a m ·a n =a m+n მართალია.

    მოდით დავამტკიცოთ ხარისხის ძირითადი თვისება. ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განსაზღვრებით, a m a n ფორმის იგივე ფუძეების მქონე ძალების ნამრავლი შეიძლება ჩაიწეროს ნამრავლად. გამრავლების თვისებებიდან გამომდინარე, მიღებული გამოხატულება შეიძლება დაიწეროს როგორც და ეს ნამრავლი არის a-ს სიმძლავრე m+n ბუნებრივი მაჩვენებლით, ანუ m+n. ეს ასრულებს მტკიცებულებას.

    მოვიყვანოთ მაგალითი, რომელიც ადასტურებს ხარისხის ძირითად თვისებას. ავიღოთ გრადუსები იგივე საფუძვლებით 2 და ბუნებრივი ხარისხებით 2 და 3, ხარისხის ძირითადი თვისების მიხედვით შეგვიძლია დავწეროთ ტოლობა 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . მოდით შევამოწმოთ მისი ვალიდობა, რისთვისაც გამოვთვალოთ 2 2 · 2 3 და 2 5 გამონათქვამების მნიშვნელობები. ასრულებდა ექსპონენტაცია, ჩვენ გვაქვს 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32და 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, რადგან მიიღება თანაბარი მნიშვნელობები, მაშინ ტოლობა 2 2 2 3 \u003d 2 5 სწორია და ის ადასტურებს ხარისხის მთავარ თვისებას.

    გამრავლების თვისებებზე დაფუძნებული ხარისხის ძირითადი თვისება შეიძლება განზოგადდეს სამი ან მეტი სიმძლავრის ნამრავლზე ერთი და იგივე ფუძეებით და ბუნებრივი მაჩვენებლებით. ასე რომ, k ნატურალური რიცხვების ნებისმიერი რიცხვისთვის n 1 , n 2 , …, n k ტოლობა a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

    Მაგალითად, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    შეგიძლიათ გადახვიდეთ გრადუსების შემდეგ თვისებაზე ბუნებრივი მაჩვენებლით - იგივე საფუძვლების ნაწილობრივი უფლებამოსილებების საკუთრება: ნებისმიერი არანულოვანი რეალური რიცხვისთვის და თვითნებური ნატურალური რიცხვებისთვის m და n, რომლებიც აკმაყოფილებს m>n პირობას, ტოლობა a m:a n =a m−n არის ჭეშმარიტი.

    სანამ ამ საკუთრების დამადასტურებელ მტკიცებულებას მივცემთ, განვიხილოთ განცხადებაში დამატებითი პირობების მნიშვნელობა. პირობა a≠0 აუცილებელია, რათა თავიდან ავიცილოთ გაყოფა ნულზე, რადგან 0 n =0, და როცა გავეცანით გაყოფას, შევთანხმდით, რომ ნულზე გაყოფა შეუძლებელია. პირობა m>n შემოტანილია ისე, რომ ბუნებრივ მაჩვენებლებს არ გავცდეთ. მართლაც, m>n-სთვის მაჩვენებლის m−n არის ნატურალური რიცხვი, წინააღმდეგ შემთხვევაში ის იქნება ან ნული (რაც ხდება m−n) ან უარყოფითი რიცხვი (რაც ხდება m-სთვის.

    მტკიცებულება. წილადის მთავარი თვისება საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ ტოლობა a m−n a n =a (m−n)+n =a m. მიღებული ტოლობიდან a m−n ·a n =a m და მისგან გამომდინარეობს, რომ m−n არის m და a n ხარისხების კოეფიციენტი. ეს ადასტურებს ნაწილობრივი უფლებამოსილების თვისებას იმავე საფუძვლებით.

    ავიღოთ მაგალითი. ავიღოთ ორი გრადუსი ერთი და იგივე ფუძეებით π და ბუნებრივი მაჩვენებლებით 5 და 2, ხარისხის განხილული თვისება შეესაბამება π 5 ტოლობას: π 2 = π 5−3 = π 3.

    ახლა განიხილეთ პროდუქტის ხარისხის თვისება: ნებისმიერი ორი რეალური რიცხვის ნამრავლის n ბუნებრივი ხარისხი a და b უდრის a n და b n გრადუსების ნამრავლს, ანუ (a b) n =a n b n .

    მართლაც, ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განსაზღვრებით, ჩვენ გვაქვს . ბოლო პროდუქტი, გამრავლების თვისებებზე დაყრდნობით, შეიძლება გადაიწეროს როგორც , რომელიც უდრის a n b n-ს.

    აი მაგალითი: .

    ეს თვისება ვრცელდება სამი ან მეტი ფაქტორის პროდუქტის ხარისხზე. ანუ k ფაქტორების ნამრავლის ბუნებრივი სიმძლავრის თვისება n იწერება როგორც (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

    სიცხადისთვის, ჩვენ ვაჩვენებთ ამ თვისებას მაგალითით. სამი ფაქტორის ნამრავლისთვის 7-ის ხარისხზე გვაქვს .

    შემდეგი ქონება არის ბუნებრივი საკუთრება: a და b , b≠0 რეალური რიცხვების კოეფიციენტი n ნატურალურ ხარისხზე უდრის a n და b n ხარისხების კოეფიციენტს, ანუ (a:b) n =a n:b n .

    მტკიცებულება შეიძლება განხორციელდეს წინა ქონების გამოყენებით. Ისე (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, და ტოლობა (a:b) n b n =a n გულისხმობს, რომ (a:b) n არის a n-ის კოეფიციენტი გაყოფილი b n-ზე.

    მოდით დავწეროთ ეს თვისება კონკრეტული რიცხვების მაგალითის გამოყენებით: .

    ახლა მოდით ხმა ექსპონენტაციის თვისება: ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის a და ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის m და n, a m-ის სიმძლავრე n-ის ხარისხზე უდრის a-ის ხარისხს m·n მაჩვენებლით, ანუ (a m) n =a m·n .

    მაგალითად, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6.

    სიმძლავრის თვისების მტკიცებულება ხარისხით არის ტოლობების შემდეგი ჯაჭვი: .

    განხილული ქონება შეიძლება გაფართოვდეს ხარისხამდე ხარისხის ფარგლებში და ა.შ. მაგალითად, ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის p, q, r და s, ტოლობა . მეტი სიცხადისთვის, აქ არის მაგალითი კონკრეტული რიცხვებით: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    რჩება შეჩერება ხარისხების ბუნებრივ მაჩვენებელთან შედარების თვისებებზე.

    ჩვენ ვიწყებთ ნულისა და სიმძლავრის შედარების თვისების დამტკიცებით ბუნებრივი მაჩვენებლით.

    ჯერ გავამართლოთ, რომ a n >0 ნებისმიერი a>0-სთვის.

    ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლი არის დადებითი რიცხვი, როგორც ჩანს გამრავლების განმარტებიდან. ეს ფაქტი და გამრავლების თვისებები გვაძლევს იმის მტკიცებას, რომ დადებითი რიცხვების ნებისმიერი რაოდენობის გამრავლების შედეგიც დადებითი რიცხვი იქნება. ხოლო a-ს სიმძლავრე n-ის ბუნებრივი მაჩვენებლით, განსაზღვრებით, არის n ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს. ეს არგუმენტები საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი დადებითი ფუძისთვის a n-ის ხარისხი დადებითი რიცხვია. დადასტურებული თვისების ძალით 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 და .

    სავსებით აშკარაა, რომ ნებისმიერი ბუნებრივი n-სთვის a=0-ით a n-ის ხარისხი არის ნული. მართლაც, 0 n =0·0·…·0=0 . მაგალითად, 0 3 =0 და 0 762 =0.

    გადავიდეთ უარყოფით საფუძვლებზე.

    დავიწყოთ იმ შემთხვევით, როდესაც მაჩვენებელი ლუწი რიცხვია, აღვნიშნოთ ის 2 m , სადაც m არის ნატურალური რიცხვი. მერე . a·a ფორმის თითოეული ნამრავლისთვის ტოლია a და a რიცხვების მოდულების ნამრავლის, შესაბამისად, დადებითი რიცხვია. შესაბამისად, პროდუქტიც დადებითი იქნება. და ხარისხი 2 მ. აი მაგალითები: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 და .

    და ბოლოს, როდესაც a-ს ფუძე უარყოფითი რიცხვია და მაჩვენებელი კენტი რიცხვია 2 m−1, მაშინ . ყველა ნამრავლი a·a დადებითი რიცხვია, ამ დადებითი რიცხვების ნამრავლი ასევე დადებითია და მისი გამრავლება დარჩენილ უარყოფით რიცხვზე a იწვევს უარყოფით რიცხვს. ამ თვისების გამო (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    ჩვენ მივმართავთ ხარისხების შედარების თვისებას იმავე ბუნებრივ მაჩვენებლებთან, რომელსაც აქვს შემდეგი ფორმულირება: ორი გრადუსიდან ერთი და იგივე ბუნებრივი მაჩვენებლებით, n ნაკლებია ვიდრე ის, ვისი ფუძეც ნაკლებია და მეტი, ვისი ფუძეც დიდია. დავამტკიცოთ.

    უტოლობა a n უტოლობების თვისებები a n ფორმის დადასტურებული უტოლობა (2,2) 7 და .

    რჩება ძალაუფლების ჩამოთვლილი თვისებების ბოლო დამტკიცება ბუნებრივი მაჩვენებლებით. ჩამოვაყალიბოთ. ორი გრადუსიდან ბუნებრივი მაჩვენებლებით და ერთი და იგივე დადებითი საფუძვლებით ერთზე ნაკლები, ხარისხი უფრო დიდია, რომლის მაჩვენებელი ნაკლებია; ხოლო ორი ხარისხის ბუნებრივი მაჩვენებლებით და ერთზე მეტი ერთი და იგივე ფუძეებით, ხარისხი უფრო დიდია, რომლის მაჩვენებელიც მეტია. ჩვენ მივმართავთ ამ ქონების მტკიცებულებას.

    დავამტკიცოთ, რომ m>n და 0 0 საწყისი პირობის გამო m>n , აქედან გამომდინარეობს, რომ 0-ზე

    რჩება ქონების მეორე ნაწილის დამტკიცება. დავამტკიცოთ, რომ m>n და a>1-ისთვის a m >a n მართალია. სხვაობა a m −a n ფრჩხილებიდან n-ის ამოღების შემდეგ იღებს a n ·(a m−n −1) ფორმას. ეს ნამრავლი დადებითია, ვინაიდან a>1-სთვის a n-ის ხარისხი დადებითი რიცხვია, ხოლო სხვაობა a m−n −1 დადებითი რიცხვია, ვინაიდან m−n>0 საწყისი პირობის გამო, ხოლო a>1-ისთვის, m−n-ის ხარისხი ერთზე მეტია. მაშასადამე, a m − a n >0 და a m >a n, რაც დასამტკიცებელი იყო. ეს თვისება ილუსტრირებულია უტოლობით 3 7 >3 2 .

გრადუსების თვისებები მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით

ვინაიდან დადებითი მთელი რიცხვები ნატურალური რიცხვებია, მაშინ დადებითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლების მქონე ხარისხების ყველა თვისება ზუსტად ემთხვევა წინა აბზაცში ჩამოთვლილ და დადასტურებულ ნატურალური მაჩვენებლების ხარისხების თვისებებს.

გრადუსი მთელი რიცხვის უარყოფითი მაჩვენებლით, ისევე როგორც ხარისხი ნულოვანი მაჩვენებლით, ჩვენ განვსაზღვრეთ ისე, რომ ტოლობებით გამოხატული ბუნებრივი მაჩვენებლების მქონე გრადუსების ყველა თვისება ძალაში რჩება. მაშასადამე, ყველა ეს თვისება მოქმედებს როგორც ნულოვანი, ასევე უარყოფითი მაჩვენებლებისთვის, მაშინ როცა, რა თქმა უნდა, გრადუსების საფუძვლები არ არის ნულოვანი.

ასე რომ, ნებისმიერი რეალური და არანულოვანი რიცხვებისთვის a და b, ისევე როგორც ნებისმიერი მთელი რიცხვი m და n, შემდეგი ჭეშმარიტია გრადუსების თვისებები მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით:

  1. a m a n \u003d a m + n;
  2. a m: a n = a m−n;
  3. (ა ბ) n = a n b n;
  4. (a:b) n =a n:b n ;
  5. (a m) n = a m n;
  6. თუ n დადებითი მთელი რიცხვია, a და b დადებითი რიცხვებია და a ბ-ნ;
  7. თუ m და n მთელი რიცხვებია და m>n, მაშინ 0-ზე 1 უტოლობა a m >a n სრულდება.

a=0-სთვის, a m და a n ხარისხებს აქვთ აზრი მხოლოდ მაშინ, როდესაც m და n დადებითი მთელი რიცხვებია, ანუ ნატურალური რიცხვები. ამრიგად, ახლად დაწერილი თვისებები ასევე მოქმედებს იმ შემთხვევისთვის, როდესაც a=0 და რიცხვები m და n დადებითი მთელი რიცხვებია.

თითოეული ამ თვისების დამტკიცება არ არის რთული, ამისათვის საკმარისია გამოვიყენოთ ხარისხის განსაზღვრებები ბუნებრივი და მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, ასევე მოქმედებების თვისებები რეალურ რიცხვებთან. მაგალითად, დავამტკიცოთ, რომ სიმძლავრის თვისება მოქმედებს როგორც დადებით, ასევე არაპოზიტიურ რიცხვებზე. ამისათვის ჩვენ უნდა ვაჩვენოთ, რომ თუ p არის ნული ან ნატურალური რიცხვი და q არის ნული ან ნატურალური რიცხვი, მაშინ ტოლობები (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) და (a−p)−q =a (−p) (−q). Მოდი გავაკეთოთ ეს.

დადებითი p და q, ტოლობა (a p) q =a p·q დადასტურდა წინა ქვეთავში. თუ p=0, მაშინ გვაქვს (a 0) q =1 q =1 და a 0 q =a 0 =1, საიდანაც (a 0) q =a 0 q . ანალოგიურად, თუ q=0, მაშინ (a p) 0 =1 და a p 0 =a 0 =1, საიდანაც (a p) 0 =a p 0. თუ ორივე p=0 და q=0 , მაშინ (a 0) 0 =1 0 =1 და a 0 0 =a 0 =1, საიდანაც (a 0) 0 =a 0 0 .

ახლა დავამტკიცოთ, რომ (a −p) q =a (−p) q . უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განმარტებით, მაშინ . ხარისხში კოეფიციენტის თვისებით გვაქვს . ვინაიდან 1 p =1·1·…·1=1 და , მაშინ . ბოლო გამოთქმა, განსაზღვრებით, არის a −(p q) ფორმის ხარისხში, რომელიც გამრავლების წესების მიხედვით შეიძლება დაიწეროს როგორც (−p) q.

ანალოგიურად .

და .

იმავე პრინციპით, ხარისხის ყველა სხვა თვისების დამტკიცება შეიძლება ტოლობის სახით დაწერილი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით.

ჩამოწერილი თვისებიდან ბოლო ბოლოში ღირს შეჩერება a −n >b −n უტოლობის მტკიცებულებაზე, რომელიც მართალია ნებისმიერი უარყოფითი მთელი რიცხვისთვის −n და ნებისმიერი დადებითი a და b, რომლისთვისაც არის a პირობა. . ვინაიდან პირობით ა 0 . a n ·b n ნამრავლი ასევე დადებითია, როგორც a n და b n დადებითი რიცხვების ნამრავლი. მაშინ მიღებული წილადი დადებითია როგორც b n − a n და a n b n დადებითი რიცხვების კოეფიციენტი. მაშასადამე, საიდანაც a −n >b −n, რომელიც დასამტკიცებელი იყო.

გრადუსების უკანასკნელი თვისება მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით დასტურდება ისევე, როგორც გრადუსების ანალოგიური თვისება ბუნებრივ მაჩვენებლებთან.

ძალაუფლების თვისებები რაციონალური მაჩვენებლებით

ხარისხი წილადის მაჩვენებლითჩვენ განვსაზღვრეთ მასზე მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისებების გაფართოებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წილადის მაჩვენებლების მქონე ხარისხებს აქვთ იგივე თვისებები, რაც ხარისხებს მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით. კერძოდ:

წილადის მაჩვენებლებით გრადუსების თვისებების დადასტურება ემყარება წილადის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განსაზღვრას, მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე გრადუსის თვისებებზე. მოდი მტკიცებულება მივცეთ.

ხარისხის განსაზღვრებით წილადის მაჩვენებლით და , მაშინ . არითმეტიკული ფესვის თვისებები საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ შემდეგი ტოლობები. გარდა ამისა, გრადუსის თვისების გამოყენებით მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, ვიღებთ , ხოლო მიღებული ხარისხის მაჩვენებლის გარდაქმნა შესაძლებელია შემდეგნაირად: . ეს ასრულებს მტკიცებულებას.

წილადი მაჩვენებლების მქონე ძალაუფლების მეორე თვისება ზუსტად ასეა დადასტურებული:

დანარჩენი თანასწორობა დასტურდება მსგავსი პრინციპებით:

ჩვენ მივმართავთ შემდეგი ქონების მტკიცებულებას. დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი დადებითი a და b , a ბ პ . რაციონალურ რიცხვს p ვწერთ, როგორც m/n, სადაც m არის მთელი რიცხვი, ხოლო n არის ნატურალური რიცხვი. პირობები გვ<0 и p>0 ამ შემთხვევაში იქნება m პირობების ექვივალენტი<0 и m>0 შესაბამისად. იყიდება m>0 და a

ანალოგიურად, მ<0 имеем a m >b m, საიდანაც არის, და a p >b p.

რჩება ჩამოთვლილი თვისებებიდან ბოლო დასამტკიცებლად. დავამტკიცოთ, რომ რაციონალური რიცხვებისთვის p და q , p>q 0-სთვის 0 – უტოლობა a p >a q . ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია რაციონალური რიცხვები p და q შევამციროთ საერთო მნიშვნელამდე, მივიღოთ ჩვეულებრივი წილადები და სადაც m 1 და m 2 არის მთელი რიცხვები, ხოლო n არის ნატურალური რიცხვი. ამ შემთხვევაში, პირობა p>q შეესაბამება m 1 >m 2 პირობას, რომელიც გამომდინარეობს . შემდეგ, ძალაუფლების შედარების თვისებით იგივე ფუძეებით და ბუნებრივი მაჩვენებლებით 0-ზე 1 – უტოლობა a m 1 >a m 2 . ეს უტოლობები ფესვების თვისებების თვალსაზრისით შეიძლება გადაიწეროს, შესაბამისად, როგორც და . და რაციონალური მაჩვენებლით ხარისხის განსაზღვრა საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ უტოლობებზე და, შესაბამისად. აქედან გამოვიტანთ საბოლოო დასკვნას: p>q და 0-სთვის 0 – უტოლობა a p >a q .

გრადუსების თვისებები ირაციონალური მაჩვენებლებით

იმის მიხედვით, თუ როგორ არის განსაზღვრული ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მას აქვს რაციონალური მაჩვენებლების მქონე ძალების ყველა თვისება. ასე რომ, ნებისმიერი a>0, b>0 და ირაციონალური რიცხვებისთვის p და q სწორია გრადუსების თვისებები ირაციონალური მაჩვენებლებით:

  1. a p a q = a p + q;
  2. a p:a q = a p−q;
  3. (ა ბ) p = a p b p;
  4. (a:b) p =a p:b p ;
  5. (a p) q = a p q;
  6. ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის a და b , a 0 უტოლობა a p ბ p ;
  7. ირაციონალური რიცხვებისთვის p და q , p>q 0-ზე 0 – უტოლობა a p >a q .

აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ p და q ნებისმიერი რეალური მაჩვენებლების მქონე ხარისხებს a>0 აქვთ იგივე თვისებები.

ბიბლიოგრაფია.

  • ვილენკინი ნ.ია., ჟოხოვი ვ.ი., ჩესნოკოვი ა.ს., შვარცბურდი ს.ი. მათემატიკის ჟ სახელმძღვანელო 5 უჯრედისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
  • მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო 7 უჯრედისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
  • მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
  • მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო 9 უჯრედისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
  • კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის.
  • გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის).

შეგახსენებთ, რომ ამ გაკვეთილში ჩვენ გვესმის ხარისხის თვისებებიბუნებრივი მაჩვენებლებით და ნულით. რაციონალური ინდიკატორების ხარისხები და მათი თვისებები განხილული იქნება მე-8 კლასის გაკვეთილებზე.

ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე მაჩვენებელს აქვს რამდენიმე მნიშვნელოვანი თვისება, რაც საშუალებას გაძლევთ გაამარტივოთ გამოთვლები მაჩვენებლის მაგალითებში.

ქონება #1
ძალაუფლების პროდუქტი

გახსოვდეს!

ძალაუფლების ერთსა და იმავე ფუძეზე გამრავლებისას ფუძე უცვლელი რჩება და ემატება მაჩვენებლები.

a m a n \u003d a m + n, სადაც "a"- ნებისმიერი რიცხვი და" m", "n" - ნებისმიერი ნატურალური რიცხვები.

ძალაუფლების ეს თვისება ასევე მოქმედებს სამი ან მეტი სიმძლავრის ნამრავლზე.

  • გამოხატვის გამარტივება.
    b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
  • წარადგინე როგორც ხარისხი.
    6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
  • წარადგინე როგორც ხარისხი.
    (0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

Მნიშვნელოვანი!

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მითითებულ თვისებაში საუბარი იყო მხოლოდ სიმძლავრეების გამრავლებაზე იგივე საფუძველი . ეს არ ეხება მათ დამატებას.

თქვენ არ შეგიძლიათ შეცვალოთ ჯამი (3 3 + 3 2) 3 5-ით. ეს გასაგებია თუ
გამოთვალეთ (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 და 3 5 = 243

ქონება #2
კერძო დიპლომები

გახსოვდეს!

ძალაუფლების ერთიდაიგივე ფუძით გაყოფისას ფუძე უცვლელი რჩება და გამყოფის მაჩვენებელს აკლდება დივიდენდის მაჩვენებელს.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
  • მაგალითი. ამოხსენით განტოლება. ჩვენ ვიყენებთ ნაწილობრივი ხარისხის თვისებებს.
    3 8: t = 3 4

    T = 3 8 − 4

    პასუხი: t = 3 4 = 81

    • No1 და No2 თვისებების გამოყენებით შეგიძლიათ მარტივად გაამარტივოთ გამონათქვამები და შეასრულოთ გამოთვლები.

    • მაგალითი. გამოხატვის გამარტივება.
      4 5 მ + 6 4 მ + 2: 4 4 მ + 3 = 4 5 მ + 6 + მ + 2: 4 4 მ + 3 = 4 6 მ + 8 − 4 მ − 3 = 4 2 მ + 5
    • მაგალითი. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა ხარისხის თვისებების გამოყენებით.
      = = = 2 9 + 2
      2 5
      = 2 11
      2 5
      = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

      Მნიშვნელოვანი!

      გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ საკუთრება 2 ეხებოდა მხოლოდ უფლებამოსილებების დაყოფას იმავე საფუძვლებით.

      თქვენ არ შეგიძლიათ შეცვალოთ განსხვავება (4 3 −4 2) 4 1-ით. ეს გასაგებია თუ გავითვალისწინებთ (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 და 4 1 = 4

      Ფრთხილად იყავი!

      ქონება #3
      ექსპონენტაცია

      გახსოვდეს!

      სიმძლავრის სიმძლავრემდე აყვანისას, სიმძლავრის საფუძველი უცვლელი რჩება და მაჩვენებლები მრავლდება.

      (a n) m \u003d a n m, სადაც "a" არის ნებისმიერი რიცხვი, ხოლო "m", "n" არის ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი.


      თვისებები 4
      პროდუქტის ხარისხი

      გახსოვდეს!

      პროდუქტის სიმძლავრემდე აყვანისას, თითოეული ფაქტორი ამაღლებულია სიმძლავრემდე. შემდეგ შედეგები მრავლდება.

      (a b) n \u003d a n b n, სადაც "a", "b" არის ნებისმიერი რაციონალური რიცხვი; "n" - ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი.

      • მაგალითი 1
        (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
      • მაგალითი 2
        (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

      Მნიშვნელოვანი!

      გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ თვისება No4, ისევე როგორც გრადუსების სხვა თვისებები, ასევე გამოიყენება საპირისპირო თანმიმდევრობით.

      (a n b n)= (a b) n

      ანუ ერთი და იგივე მაჩვენებლებით ძალაუფლების გასამრავლებლად, შეგიძლიათ გაამრავლოთ ფუძეები და დატოვოთ მაჩვენებლები უცვლელი.

      • მაგალითი. გამოთვალეთ.
        2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000
      • მაგალითი. გამოთვალეთ.
        0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

      უფრო რთულ მაგალითებში შეიძლება იყოს შემთხვევები, როდესაც გამრავლება და გაყოფა უნდა განხორციელდეს სხვადასხვა ფუძეებითა და განსხვავებული მაჩვენებლების მქონე ხარისხებზე. ამ შემთხვევაში, ჩვენ გირჩევთ გააკეთოთ შემდეგი.

      Მაგალითად, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

      ათობითი წილადის გაძლიერების მაგალითი.

      4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

      თვისებები 5
      კოეფიციენტის სიმძლავრე (წილადები)

      გახსოვდეს!

      კოეფიციენტის ხარისხზე ასამაღლებლად, შეგიძლიათ დივიდენდი და გამყოფი ცალ-ცალკე გაზარდოთ ამ ხარისხზე და გაყოთ პირველი შედეგი მეორეზე.

      (a: b) n \u003d a n: b n, სადაც "a", "b" არის ნებისმიერი რაციონალური რიცხვი, b ≠ 0, n არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი.

      • მაგალითი. გამოხატეთ გამოხატვა ნაწილობრივი ძალების სახით.
        (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

      შეგახსენებთ, რომ კოეფიციენტი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. ამიტომ, წილადის სიმძლავრემდე აწევის თემაზე უფრო დეტალურად შევჩერდებით შემდეგ გვერდზე.

    ეს გაკვეთილი არის თემის ნაწილი "ძალებისა და ფესვების შემცველი გამონათქვამების გარდაქმნა".

    რეზიუმე არის გაკვეთილის დეტალური განვითარება ხარისხის თვისებებზე რაციონალური და რეალური მაჩვენებლით. გამოყენებულია კომპიუტერული, ჯგუფური და თამაშის სწავლის ტექნოლოგიები.

    ჩამოტვირთვა:


    გადახედვა:

    გაკვეთილის მეთოდური განვითარება ალგებრაში

    მათემატიკის მასწავლებელი GAU KO PO KST

    პეხოვა ნადეჟდა იურიევნა

    თემაზე: „ხარისხის თვისებები რაციონალური და რეალური მაჩვენებლით“.

    გაკვეთილის მიზნები:

    • საგანმანათლებლო: ხარისხის თვისებების რაციონალური მაჩვენებლით ცოდნის კონსოლიდაცია და გაღრმავება და მათი გამოყენება სავარჯიშოებში; ხარისხების განვითარების ისტორიის შესახებ ცოდნის გაუმჯობესება;
    • განვითარება: თვითკონტროლის და ურთიერთკონტროლის უნარის განვითარება; ინტელექტუალური შესაძლებლობების განვითარება, სააზროვნო უნარები,
    • განათლება: საგნის მიმართ შემეცნებითი ინტერესის აღზრდა, შესრულებულ სამუშაოზე პასუხისმგებლობის აღზრდა, აქტიური შემოქმედებითი მუშაობის ატმოსფეროს შექმნის ხელშეწყობა.

    გაკვეთილის ტიპი: გაკვეთილები ცოდნის, უნარებისა და შესაძლებლობების გასაუმჯობესებლად.

    ჩატარების ხერხები: ვერბალური – ვიზუალური.

    პედაგოგიური ტექნოლოგიები: კომპიუტერული, ჯგუფური და თამაშის სწავლის ტექნოლოგიები.

    საგაკვეთილო აღჭურვილობა: საპროექციო მოწყობილობა, კომპიუტერი, პრეზენტაცია გაკვეთილზე, სამუშაო

    ნოუთბუქები, სახელმძღვანელოები, ბარათები კროსვორდის ტექსტით და ამსახველი ტესტი.

    გაკვეთილის დრო: 1 საათი 20 წთ.

    გაკვეთილის ძირითადი ეტაპები:

    1. საორგანიზაციო მომენტი. შეტყობინების თემები, გაკვეთილის მიზნები.

    2. საბაზისო ცოდნის აქტუალიზაცია. ხარისხის თვისებების გამეორება რაციონალური მაჩვენებლით.

    3. მათემატიკური კარნახი ხარისხის თვისებებზე რაციონალური მაჩვენებლით.

    4. მოსწავლეთა შეტყობინებები კომპიუტერული პრეზენტაციის გამოყენებით.

    5. ჯგუფებში მუშაობა.

    6. კროსვორდის ამოხსნა.

    7. შეჯამება, შეფასება.ანარეკლი.

    8. საშინაო დავალება.

    გაკვეთილების დროს:

    1. ორგ. მომენტი. შეტყობინება თემაზე, გაკვეთილის მიზნები, გაკვეთილის გეგმა.სლაიდები 1, 2.

    2. საბაზისო ცოდნის განახლება.

    1) ხარისხის თვისებების გამეორება რაციონალური მაჩვენებლით: მოსწავლეებმა უნდა გააგრძელონ წერილობითი თვისებები - ფრონტალური გამოკითხვა.სლაიდი 3.

    2) მოსწავლეები დაფაზე - სავარჯიშოების ანალიზი სახელმძღვანელოდან (ალიმოვი შ.ა.): ა) No74, ბ) No77.

    გ) No82-a;ბ;გ.

    No74: ა) = = ა;

    ბ) + = ;

    ბ) : = = = ბ.

    No77: ა) = = ;

    ბ) = = = ბ.

    No82: ა) = = = ;

    ბ) = = y;

    ბ) () () = .

    3. მათემატიკური კარნახი ურთიერთდამოწმებით. მოსწავლეები იზიარებენ თავიანთ ნამუშევრებს, ადარებენ პასუხებს და აძლევენ შეფასებებს.

    სლაიდები 4 - 5

    4. ზოგიერთი ისტორიული ფაქტის სტუდენტების შეტყობინებები შესასწავლ თემაზე.

    სლაიდები 6 - 12:

    პირველი მოსწავლე: სლაიდი 6

    უძველეს ხალხებშიც კი ჩამოყალიბდა ბუნებრივი მაჩვენებლის ხარისხის ცნება. კვადრატი და კუბირიცხვები გამოიყენებოდა ფართობისა და მოცულობის გამოსათვლელად. ზოგიერთი რიცხვის ძალა გამოიყენებოდა გარკვეული პრობლემების გადასაჭრელად ძველი ეგვიპტისა და ბაბილონის მეცნიერების მიერ.

    III საუკუნეში გამოიცა ბერძენი მეცნიერის დიოფანტის წიგნი„არითმეტიკა“, რომელშიც ანბანური სიმბოლოების დანერგვა დაიწყო. დიოფანტე შემოაქვს სიმბოლოებს უცნობის პირველი ექვსი ძალისა და მათი ურთიერთსაწინააღმდეგო ნიშნებისთვის. ამ წიგნში კვადრატი აღინიშნება ნიშნით და ინდექსით; მაგალითად, კუბი არის k ნიშანი r ინდექსით და ა.შ.

    მეორე მოსწავლე: სლაიდი 7

    ხარისხის ცნების შემუშავებაში დიდი წვლილი შეიტანა ძველ ბერძენ მეცნიერს პითაგორას. მას ჰქონდა მთელი სკოლა და მის ყველა მოსწავლეს პითაგორას ეძახდნენ. მათ გაუჩნდათ იდეა, რომ თითოეული რიცხვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ფიგურების სახით. მაგალითად, ისინი წარმოადგენდნენ 4, 9 და 16 რიცხვებს კვადრატებად.

    პირველი მოსწავლე: სლაიდები 8-9

    სლაიდი 8

    სლაიდი 9

    XVI საუკუნე. ამ საუკუნეში გაფართოვდა ხარისხის ცნება: მისი მიკუთვნება დაიწყო არა მხოლოდ კონკრეტულ რიცხვს, არამედ ცვლადსაც. როგორც მაშინ თქვეს "ზოგადად რიცხვებს" ინგლისელი მათემატიკოსის.სტივინი შეიმუშავა აღნიშვნა ხარისხის აღსანიშნავად: აღნიშვნა 3(3)+5(2)–4 აღნიშნავს ასეთ თანამედროვე აღნიშვნას 3 3 + 5 2 – 4.

    მეორე მოსწავლე: სლაიდი 10

    მოგვიანებით, წილადი და უარყოფითი მაჩვენებლები გვხვდება გერმანელი მათემატიკოსის მ. შტიფელისა და ს. სტევინის „სრულ არითმეტიკაში“ (1544 წ.).

    ს. სტივინმა შესთავაზა ხარისხში იგულისხმებოდეს ფორმის ინდიკატორიფესვი, ე.ი. .

    პირველი მოსწავლე: სლაიდი 11

    მეთექვსმეტე საუკუნის ბოლოს ფრანსუა ვიეტშემოიღო ასოები არა მხოლოდ ცვლადების, არამედ მათი კოეფიციენტების აღსანიშნავად. მან გამოიყენა აბრევიატურები: N, Q, C - პირველი, მეორე და მესამე ხარისხისთვის.

    მაგრამ თანამედროვე აღნიშვნები (როგორიცაა, ) შემოიღო რენე დეკარტმა მე-17 საუკუნეში.

    მეორე მოსწავლე: სლაიდი 12

    თანამედროვე განმარტებებიდა ხარისხის აღნიშვნა ნულოვანი, უარყოფითი და წილადი მაჩვენებლით წარმოიშვა ინგლისელი მათემატიკოსების ნაშრომიდან.ჯონ უოლისი (1616-1703) და ისააკ ნიუტონი.

    5. კროსვორდის ამოხსნა.

    მოსწავლეებს ეძლევათ კროსვორდები. ამოხსენით წყვილებში. წყვილი, რომელიც პირველი გადაწყვეტს, იღებს ქულას.სლაიდები 13-15.

    6. Ჯგუფური სამუშაო.სლაიდი 16.

    მოსწავლეები ასრულებენ დამოუკიდებელ სამუშაოს, მუშაობენ 4 კაციან ჯგუფში, უწევენ ერთმანეთს რჩევებს. შემდეგ ნამუშევარი გადაეცემა განსახილველად.

    7. შეჯამება, შეფასება.

    ანარეკლი.

    მოსწავლეები ასრულებენ რეფლექსიურ ტესტს. მონიშნეთ "+", თუ თანახმა ხართ, ხოლო "-" წინააღმდეგ შემთხვევაში.

    ამრეკლავი ტესტი:

    1. ბევრი ახალი რამ ვისწავლე.

    2. მომავალში გამომადგება.

    3. გაკვეთილზე იყო რაღაც მოსაფიქრებელი.

    4. მივიღე (ა) პასუხი ყველა კითხვაზე, რომელიც გაჩნდა გაკვეთილზე.

    5. გაკვეთილზე ვმუშაობდი კეთილსინდისიერად და მივაღწიე გაკვეთილის მიზნებს.

    8. საშინაო დავალება: სლაიდი 17.

    1) № 76 (1; 3); № 70 (1; 2)

    2) სურვილისამებრ: გააკეთეთ კროსვორდი შესწავლილი თემის ძირითადი ცნებებით.

    ცნობები:

    1. ალიმოვი შ.ა. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი 10-11 კლასები, სახელმძღვანელო - მ .: განათლება, 2010 წ.
    2. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი მე-10 კლასი. დიდაქტიკური მასალები. განმანათლებლობა, 2012 წ.

    ინტერნეტ რესურსები:

    1. საგანმანათლებლო საიტი - RusCopyBook.Com - ელექტრონული სახელმძღვანელოები და GDZ
    2. საიტი ინტერნეტის საგანმანათლებლო რესურსები - სკოლის მოსწავლეებისა და სტუდენტებისთვის. http://www.aleng.ru/edu/educ.htm
    3. საიტის მასწავლებელთა პორტალი - http://www.uchportal.ru/

    ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ