ტრიგონომეტრია ქიმია. ტრიგონომეტრიის კავშირი რეალურ ცხოვრებასთან

align=center>

ტრიგონომეტრია- მათემატიკის მიკროსექცია, რომელიც სწავლობს კავშირს სამკუთხედების გვერდების კუთხეებსა და სიგრძეებს შორის, აგრეთვე ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ალგებრულ იდენტობებს.
არსებობს მრავალი სფერო, სადაც გამოიყენება ტრიგონომეტრია და ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. ტრიგონომეტრია ან ტრიგონომეტრიული ფუნქციები გამოიყენება ასტრონომიაში, საზღვაო და საჰაერო ნავიგაციაში, აკუსტიკაში, ოპტიკაში, ელექტრონიკაში, არქიტექტურაში და სხვა სფეროებში.

ტრიგონომეტრიის შექმნის ისტორია

ტრიგონომეტრიის ისტორია, როგორც მეცნიერება სამკუთხედის კუთხეებსა და გვერდებსა და სხვა გეომეტრიულ ფიგურებს შორის ურთიერთობის შესახებ, მოიცავს ორ ათასწლეულზე მეტს. ამ ურთიერთობების უმეტესობა არ შეიძლება გამოიხატოს ჩვეულებრივი ალგებრული ოპერაციების გამოყენებით და ამიტომ საჭირო იყო სპეციალური ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემოღება, რომლებიც თავდაპირველად წარმოდგენილი იყო რიცხვითი ცხრილების სახით.
ისტორიკოსები თვლიან, რომ ტრიგონომეტრია შექმნეს უძველესი ასტრონომების მიერ და ცოტა მოგვიანებით მისი გამოყენება არქიტექტურაში დაიწყო. დროთა განმავლობაში, ტრიგონომეტრიის სფერო მუდმივად ფართოვდებოდა, დღეს ის მოიცავს თითქმის ყველა საბუნებისმეტყველო მეცნიერებას, ტექნოლოგიას და საქმიანობის უამრავ სხვა სფეროს.

ადრეული საუკუნეები

ბაბილონური მათემატიკიდან ჩვენ მიჩვეულები ვართ კუთხეების გაზომვას გრადუსით, წუთებით და წამებით (ამ ერთეულების შეყვანა ძველ ბერძნულ მათემატიკაში ჩვეულებრივ ძვ. წ. II საუკუნეს მიაწერენ).

ამ პერიოდის მთავარი მიღწევა იყო ფეხებისა და ჰიპოტენუზის თანაფარდობა მართკუთხა სამკუთხედში, რომელსაც მოგვიანებით პითაგორას თეორემა უწოდეს.

Უძველესი საბერძნეთი

ტრიგონომეტრიული მიმართებების ზოგადი და ლოგიკურად თანმიმდევრული პრეზენტაცია გამოჩნდა ძველ ბერძნულ გეომეტრიაში. ბერძენი მათემატიკოსები ჯერ კიდევ არ გამოყოფდნენ ტრიგონომეტრიას, როგორც ცალკეულ მეცნიერებას, მათთვის ის ასტრონომიის ნაწილი იყო.
უძველესი ტრიგონომეტრიული თეორიის მთავარი მიღწევა იყო "სამკუთხედების ამოხსნის" პრობლემის ზოგადი ფორმით გადაწყვეტა, ანუ სამკუთხედის უცნობი ელემენტების პოვნა მის სამ ელემენტზე (რომელთაგან ერთი მაინც არის). მხარე).
გამოყენებითი ტრიგონომეტრიული ამოცანები ძალიან მრავალფეროვანია - მაგალითად, ჩამოთვლილ რაოდენობებზე მოქმედებების გაზომვადი შედეგები (მაგალითად, კუთხეების ჯამი ან გვერდის სიგრძის თანაფარდობა) შეიძლება დაყენდეს.
სიბრტყე ტრიგონომეტრიის განვითარების პარალელურად, ბერძნებმა, ასტრონომიის გავლენით, შორს დააწინაურეს სფერული ტრიგონომეტრია. ევკლიდეს "პრინციპებში" ამ თემაზე, არსებობს მხოლოდ თეორემა სხვადასხვა დიამეტრის ბურთების მოცულობის თანაფარდობაზე, მაგრამ ასტრონომიისა და კარტოგრაფიის საჭიროებებმა გამოიწვია სფერული ტრიგონომეტრიის სწრაფი განვითარება და მასთან დაკავშირებული სფეროები - ციური კოორდინატთა სისტემა, კარტოგრაფიული პროგნოზების თეორია და ასტრონომიული ინსტრუმენტების ტექნოლოგია.

Შუა საუკუნეები

პირველი სპეციალიზებული ტრაქტატი ტრიგონომეტრიის შესახებ იყო შუააზიელი მეცნიერის (X-XI სს.) ნაშრომი „ასტრონომიის მეცნიერების გასაღებების წიგნი“ (995-996 წწ.). ტრიგონომეტრიის მთელი კურსი მოიცავდა ალ-ბირუნის მთავარ ნაშრომს - „მასუდის კანონი“ (წიგნი III). სინუსების ცხრილების გარდა (15 "საფეხურით), ალ-ბირუნიმ მისცა ტანგენტების ცხრილები (1 ° ნაბიჯით).

XII-XIII საუკუნეებში არაბული ტრაქტატების ლათინურ ენაზე თარგმნის შემდეგ, ინდოელი და სპარსელი მათემატიკოსების მრავალი იდეა გახდა ევროპული მეცნიერების საკუთრება. როგორც ჩანს, ევროპელების პირველი გაცნობა ტრიგონომეტრიასთან ზიჯის წყალობით მოხდა, რომლის ორი თარგმანი XII საუკუნეში გაკეთდა.

პირველ ევროპულ ნაშრომს, რომელიც მთლიანად ეძღვნება ტრიგონომეტრიას, ხშირად უწოდებენ ოთხ ტრაქტატს პირდაპირი და შებრუნებული აკორდების შესახებ ინგლისელი ასტრონომის რიჩარდ უოლინგფორდის (დაახლოებით 1320 წ.). ტრიგონომეტრიული ცხრილები, ხშირად თარგმნილი არაბულიდან, მაგრამ ზოგჯერ ორიგინალური, შეიცავს მე-14-მე-15 საუკუნეების სხვა ავტორების ნაშრომებში. შემდეგ საუნივერსიტეტო კურსებს შორის ადგილი დაიკავა ტრიგონომეტრიამ.

ახალი დრო

თანამედროვე დროში ტრიგონომეტრიის განვითარება უაღრესად მნიშვნელოვანი გახდა არა მხოლოდ ასტრონომიისა და ასტროლოგიისთვის, არამედ სხვა აპლიკაციებისთვისაც, პირველ რიგში, არტილერიისთვის, ოპტიკისა და ნავიგაციისთვის შორ მანძილზე საზღვაო მოგზაურობის დროს. ამიტომ მე-16 საუკუნის შემდეგ ამ თემას მრავალი გამოჩენილი მეცნიერი შეეხო, მათ შორის ნიკოლოზ კოპერნიკი, იოჰანეს კეპლერი, ფრანსუა ვიეტი. კოპერნიკმა ტრიგონომეტრიას ორი თავი მიუძღვნა თავის ტრაქტატში ციური სფეროების რევოლუციების შესახებ (1543). მალე (1551 წ.) კოპერნიკის მოწაფის, რეტიკუსის 15-ნიშნა ტრიგონომეტრიული ცხრილები გამოჩნდა. კეპლერმა გამოაქვეყნა ოპტიკური ასტრონომია (1604).

ვიეტამ თავისი "მათემატიკური კანონის" პირველ ნაწილში (1579) მოათავსა სხვადასხვა ცხრილები, მათ შორის ტრიგონომეტრიული, ხოლო მეორე ნაწილში მან წარმოადგინა სიბრტყე და სფერული ტრიგონომეტრია დეტალური და სისტემატური, თუმცა მტკიცებულების გარეშე. 1593 წელს ვიეტამ მოამზადა ამ კაპიტალური ნაშრომის გაფართოებული გამოცემა.
ალბრეხტ დიურერის მუშაობის წყალობით, სინუსოიდი დაიბადა.

მე -18 საუკუნე

მან ტრიგონომეტრიას თანამედროვე სახე მისცა. უსასრულოების ანალიზის შესავალში (1748) ეილერმა მისცა თანამედროვეს ექვივალენტური ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტება და შესაბამისად განსაზღვრა შებრუნებული ფუნქციები.

ეილერმა დასაშვებად მიიჩნია ნეგატიური კუთხეები და 360°-ზე მეტი კუთხეები, რამაც შესაძლებელი გახადა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განსაზღვრა მთელ რეალურ რიცხვთა წრფეზე და შემდეგ გააფართოვა ისინი კომპლექსურ სიბრტყეზე. როდესაც ჩნდებოდა საკითხი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ბლაგვ კუთხეებამდე გაფართოების შესახებ, ეილერამდე ამ ფუნქციების ნიშნები ხშირად შეცდომით იყო არჩეული; ბევრი მათემატიკოსი მიიჩნევდა, მაგალითად, ბლაგვი კუთხის კოსინუსი და ტანგენსი დადებითად. ეილერმა დაადგინა ეს ნიშნები კუთხეებისთვის სხვადასხვა კოორდინატთა კვადრატებში შემცირების ფორმულების საფუძველზე.
ეილერმა არ შეისწავლა ტრიგონომეტრიული სერიების ზოგადი თეორია და არ გამოიკვლია მიღებული სერიების კონვერგენცია, მაგრამ რამდენიმე მნიშვნელოვანი შედეგი მიიღო. კერძოდ, მან გამოიტანა სინუსისა და კოსინუსის მთელი რიცხვითი ძალების გაფართოებები.

ტრიგონომეტრიის გამოყენება

ისინი, ვინც ამბობენ, რომ რეალურ ცხოვრებაში ტრიგონომეტრია არ არის საჭირო, თავისებურად მართლები არიან. კარგად, რა არის მისი ჩვეულებრივი გამოყენებითი ამოცანები? გაზომეთ მანძილი მიუწვდომელ ობიექტებს შორის.
დიდი მნიშვნელობა აქვს სამკუთხედის ტექნიკას, რომელიც შესაძლებელს ხდის ასტრონომიაში ახლომდებარე ვარსკვლავებამდე მანძილის გაზომვას, გეოგრაფიის ღირშესანიშნაობებს შორის და სატელიტური სანავიგაციო სისტემების გაკონტროლებას. ასევე აღსანიშნავია ტრიგონომეტრიის გამოყენება ისეთ სფეროებში, როგორიცაა ნავიგაციის ტექნოლოგია, მუსიკის თეორია, აკუსტიკა, ოპტიკა, ფინანსური ბაზრის ანალიზი, ელექტრონიკა, ალბათობის თეორია, სტატისტიკა, ბიოლოგია, მედიცინა (ულტრაბგერითი და კომპიუტერული ტომოგრაფიის ჩათვლით), ფარმაცევტიკა, ქიმია, რიცხვების თეორია. (და, შედეგად, კრიპტოგრაფია), სეისმოლოგია, მეტეოროლოგია, ოკეანოლოგია, კარტოგრაფია, ფიზიკის მრავალი ფილიალი, ტოპოგრაფია და გეოდეზია, არქიტექტურა, ფონეტიკა, ეკონომიკა, ელექტრონული ინჟინერია, მექანიკური ინჟინერია, კომპიუტერული გრაფიკა, კრისტალოგრაფია და ა.შ.
დასკვნა:ტრიგონომეტრია უზარმაზარი დამხმარეა ჩვენს ყოველდღიურ ცხოვრებაში.

ტრიგონომეტრია მედიცინასა და ბიოლოგიაში

ბორითმის მოდელიშეიძლება აშენდეს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენებით. ბიორიტმების მოდელის ასაგებად, თქვენ უნდა შეიყვანოთ პირის დაბადების თარიღი, მითითების თარიღი (დღე, თვე, წელი) და პროგნოზის ხანგრძლივობა (დღეების რაოდენობა).

გულის ფორმულა. ირანის შირაზის უნივერსიტეტის სტუდენტის, ვაჰიდ-რეზა აბასის მიერ ჩატარებული კვლევის შედეგად, ექიმებმა პირველად შეძლეს ინფორმაციის გამარტივება, რომელიც დაკავშირებულია გულის ელექტრულ აქტივობასთან, ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ელექტროკარდიოგრაფიასთან. ფორმულა არის რთული ალგებრულ-ტრიგონომეტრიული განტოლება, რომელიც შედგება 8 გამოსახულებისგან, 32 კოეფიციენტისა და 33 ძირითადი პარამეტრისგან, მათ შორის რამდენიმე დამატებითი არითმიის გამოთვლებისთვის. ექიმების აზრით, ეს ფორმულა მნიშვნელოვნად უწყობს ხელს გულის აქტივობის ძირითადი პარამეტრების აღწერის პროცესს, რითაც აჩქარებს დიაგნოზს და ფაქტობრივი მკურნალობის დაწყებას.

ტრიგონომეტრია ასევე ეხმარება ჩვენს ტვინს ობიექტებამდე მანძილის განსაზღვრაში.

1) ტრიგონომეტრია ეხმარება ჩვენს ტვინს ობიექტებამდე მანძილის განსაზღვრაში.

ამერიკელი მეცნიერები ირწმუნებიან, რომ ტვინი აფასებს მანძილს ობიექტებამდე მიწის სიბრტყესა და მხედველობის სიბრტყეს შორის კუთხის გაზომვით. მკაცრად რომ ვთქვათ, "კუთხის გაზომვის" იდეა ახალი არ არის. ძველი ჩინეთის მხატვრებიც კი ხატავდნენ შორეულ ობიექტებს ხედვის ველში, გარკვეულწილად უგულებელყოფდნენ პერსპექტივის კანონებს. მე-11 საუკუნის არაბმა მეცნიერმა ალჰაზენმა ჩამოაყალიბა მანძილის განსაზღვრის თეორია კუთხეების შეფასებით. გასული საუკუნის შუა ხანებში დიდი ხნის დავიწყების შემდეგ ეს იდეა გააცოცხლა ფსიქოლოგმა ჯეიმსმა

2)თევზის მოძრაობა წყალშიხდება სინუსის ან კოსინუსის კანონის მიხედვით, თუ დააფიქსირებთ წერტილს კუდზე და შემდეგ განიხილავთ მოძრაობის ტრაექტორიას. ცურვისას თევზის სხეული იღებს მრუდის ფორმას, რომელიც წააგავს y=tg(x) ფუნქციის გრაფიკს.
5. დასკვნა

კვლევითი მუშაობის შედეგად:

· გავეცანი ტრიგონომეტრიის ისტორიას.

· ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის სისტემატიზებული მეთოდები.

· გაეცნო ტრიგონომეტრიის გამოყენებას არქიტექტურაში, ბიოლოგიაში, მედიცინაში.

MBOU Tselinnaya საშუალო სკოლა

შეატყობინეთ ტრიგონომეტრიას რეალურ ცხოვრებაში

მომზადებული და ჩატარებული

მათემატიკის მასწავლებელი

საკვალიფიკაციო კატეგორია

ილინა ვ.პ.

ცელინი 2014 წლის მარტი

Სარჩევი.

1. შესავალი .

2. ტრიგონომეტრიის შექმნის ისტორია:

ადრეული საუკუნეები.

Უძველესი საბერძნეთი.

Შუა საუკუნეები.

ახალი დრო.

სფერული გეომეტრიის განვითარების ისტორიიდან.

3. ტრიგონომეტრია და რეალური ცხოვრება:

ტრიგონომეტრიის გამოყენება ნავიგაციაში.

ტრიგონომეტრია ალგებრაში.

ტრიგონომეტრია ფიზიკაში.

ტრიგონომეტრია მედიცინასა და ბიოლოგიაში.

ტრიგონომეტრია მუსიკაში.

ტრიგონომეტრია კომპიუტერულ მეცნიერებაში

ტრიგონომეტრია მშენებლობასა და გეოდეზიაში.

4. დასკვნა .

5. ცნობარების სია.

შესავალი

მათემატიკაში დიდი ხანია დადგენილია, რომ მათემატიკის სისტემატური შესწავლისას ჩვენ მოსწავლეებს ტრიგონომეტრიას სამჯერ უნდა შევხვდეთ. შესაბამისად, მისი შინაარსი, როგორც ჩანს, სამი ნაწილისგან შედგება. ტრენინგის დროს ეს ნაწილები დროულად არის განცალკევებული ერთმანეთისგან და არ ჰგავს ერთმანეთს როგორც ძირითადი ცნებების განმარტებებში ჩადებული მნიშვნელობით, ასევე განვითარებული აპარატისა და სერვისის ფუნქციების (აპლიკაციების) თვალსაზრისით.

მართლაც, პირველად ტრიგონომეტრიულ მასალას მე-8 კლასში შევხვდით თემის ,,მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებსა და კუთხეებს შორის თანაფარდობების“ შესწავლისას. ჩვენ ვისწავლეთ რა არის სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი, ვისწავლეთ ბრტყელი სამკუთხედების ამოხსნა.

თუმცა გავიდა გარკვეული დრო და მე-9 კლასში ისევ ტრიგონომეტრიას დავუბრუნდით. მაგრამ ეს ტრიგონომეტრია არ ჰგავს ადრე შესწავლილს. მისი თანაფარდობები ახლა განისაზღვრება წრის (ერთეული ნახევარწრის) დახმარებით და არა მართკუთხა სამკუთხედის. მიუხედავად იმისა, რომ ისინი ჯერ კიდევ განისაზღვრება, როგორც კუთხეების ფუნქციები, ეს კუთხეები უკვე თვითნებურად დიდია.

მე-10 კლასში გადასვლის შემდეგ, ჩვენ კვლავ შევხვდით ტრიგონომეტრიას და დავინახეთ, რომ ის კიდევ უფრო გართულდა, შემოიღეს კუთხის რადიანის გაზომვის კონცეფცია და გამოიყურება ტრიგონომეტრიული იდენტობები, პრობლემების ფორმულირება და მათი ამონახსნების ინტერპრეტაცია. განსხვავებული. შემოღებულია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკები. ბოლოს ჩნდება ტრიგონომეტრიული განტოლებები. და მთელი ეს მასალა ჩვენს წინაშე გამოჩნდა უკვე როგორც ალგებრის ნაწილი და არა როგორც გეომეტრია. და ჩვენთვის ძალიან საინტერესო გახდა ტრიგონომეტრიის ისტორიის შესწავლა, მისი გამოყენება ყოველდღიურ ცხოვრებაში, რადგან მათემატიკის მასწავლებლის მიერ ისტორიული ინფორმაციის გამოყენება არ არის სავალდებულო გაკვეთილის მასალის წარდგენისას. თუმცა, როგორც K. A. Malygin აღნიშნავს, ”... ექსკურსიები ისტორიულ წარსულში აცოცხლებს გაკვეთილს, აძლევს მოდუნებას ფსიქიკურ სტრესს, ზრდის ინტერესს შესასწავლი მასალის მიმართ და ხელს უწყობს მის ხანგრძლივ ათვისებას”. უფრო მეტიც, მასალა მათემატიკის ისტორიის შესახებ ძალიან ვრცელი და საინტერესოა, რადგან მათემატიკის განვითარება მჭიდრო კავშირშია გადაუდებელი პრობლემების გადაწყვეტასთან, რომლებიც წარმოიშვა ცივილიზაციის არსებობის ყველა პერიოდში.

ვისწავლეთ ტრიგონომეტრიის გაჩენის ისტორიული მიზეზების შესახებ და შევისწავლეთ, თუ როგორ იმოქმედა დიდი მეცნიერების საქმიანობის ნაყოფი მათემატიკის ამ სფეროს განვითარებაზე და კონკრეტული პრობლემების გადაჭრაზე, ჩვენ, სკოლის მოსწავლეებს შორის, ვზრდით. ინტერესი შესასწავლი საგნის მიმართ და დავინახავთ მის პრაქტიკულ მნიშვნელობას.

პროექტის მიზანი - ალგებრის კურსში თემის „ტრიგონომეტრიის“ შესწავლისადმი ინტერესის განვითარება და ანალიზის დაწყება შესასწავლი მასალის გამოყენებითი მნიშვნელობის პრიზმაში; ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი გრაფიკული გამოსახულებების გაფართოება; ტრიგონომეტრიის გამოყენება ისეთ მეცნიერებებში, როგორიცაა ფიზიკა, ბიოლოგია და ა.შ.

ტრიგონომეტრიის კავშირი გარე სამყაროსთან, ტრიგონომეტრიის მნიშვნელობა მრავალი პრაქტიკული პრობლემის გადაჭრაში, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკული შესაძლებლობები შესაძლებელს ხდის სკოლის მოსწავლეების ცოდნის „მატერიალიზაციას“. ეს საშუალებას გაძლევთ უკეთ გაიგოთ ტრიგონომეტრიის შესწავლისას მიღებული ცოდნის სასიცოცხლო საჭიროება, ზრდის ინტერესს ამ თემის შესწავლის მიმართ.

კვლევის მიზნები:

1. განვიხილოთ ტრიგონომეტრიის გაჩენისა და განვითარების ისტორია.

2. აჩვენეთ ტრიგონომეტრიის პრაქტიკული გამოყენება სხვადასხვა მეცნიერებებში კონკრეტული მაგალითებით.

3. კონკრეტულ მაგალითებზე ახსენით ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენების შესაძლებლობები, რაც საშუალებას იძლევა „პატარა საინტერესო“ ფუნქციების ფუნქციებად გადაქცევა, რომელთა გრაფიკებს ძალიან ორიგინალური სახე აქვს.

"ერთი რამ ცხადია, რომ სამყარო მუქარით და ლამაზადაა მოწყობილი."

ნ.რუბცოვი

ტრიგონომეტრია - არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს სამკუთხედების გვერდების კუთხეებსა და სიგრძეებს შორის ურთიერთობას, აგრეთვე ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ალგებრულ იდენტობებს. ძნელი წარმოსადგენია, მაგრამ ამ მეცნიერებას ვხვდებით არა მხოლოდ მათემატიკის გაკვეთილებზე, არამედ ყოველდღიურ ცხოვრებაშიც. ჩვენ შეიძლება არ ვიცოდეთ ამის შესახებ, მაგრამ ტრიგონომეტრია გვხვდება ისეთ მეცნიერებებში, როგორიცაა ფიზიკა, ბიოლოგია, ის მნიშვნელოვან როლს თამაშობს მედიცინაში და, რაც ყველაზე საინტერესოა, მუსიკა და არქიტექტურაც კი მის გარეშე არ შეიძლება. მათემატიკის შესწავლისას მიღებული თეორიული ცოდნის პრაქტიკაში გამოყენების უნარ-ჩვევების გამომუშავებაში მნიშვნელოვან როლს თამაშობს პრაქტიკული შინაარსის პრობლემები. მათემატიკის ყველა სტუდენტს აინტერესებს როგორ და სად გამოიყენება მიღებული ცოდნა. ეს ნაშრომი იძლევა პასუხს ამ კითხვაზე.

ტრიგონომეტრიის შექმნის ისტორია

ადრეული საუკუნეები

ამ პერიოდის მთავარი მიღწევა იყო ფეხების და ჰიპოტენუზის თანაფარდობა მართკუთხა სამკუთხედში, რომელმაც მოგვიანებით მიიღო სახელი.

Უძველესი საბერძნეთი

Შუა საუკუნეები

IV საუკუნეში, ანტიკური მეცნიერების გარდაცვალების შემდეგ, მათემატიკის განვითარების ცენტრი ინდოეთში გადავიდა. მათ შეცვალეს ტრიგონომეტრიის ზოგიერთი კონცეფცია, დააახლოვეს ისინი თანამედროვეებთან: მაგალითად, მათ პირველებმა შემოიტანეს კოსინუსი გამოყენებაში.
პირველი სპეციალიზებული ტრაქტატი ტრიგონომეტრიის შესახებ იყო შუააზიელი მეცნიერის (X-XI სს.) ნაშრომი „ასტრონომიის მეცნიერების გასაღებების წიგნი“ (995-996 წწ.). ტრიგონომეტრიის მთელი კურსი მოიცავდა ალ-ბირუნის მთავარ ნაშრომს - „მასუდის კანონი“ (წიგნი III). სინუსების ცხრილების გარდა (15 "საფეხურით), ალ-ბირუნიმ მისცა ტანგენტების ცხრილები (1 ° ნაბიჯით).

პირველ ევროპულ ნაშრომს, რომელიც მთლიანად ეძღვნება ტრიგონომეტრიას, ხშირად უწოდებენ ოთხ ტრაქტატს პირდაპირი და შებრუნებული აკორდების შესახებ ინგლისელი ასტრონომის მიერ (დაახლოებით 1320 წ.). ტრიგონომეტრიული ცხრილები, ხშირად თარგმნილი არაბულიდან, მაგრამ ზოგჯერ ორიგინალური, შეიცავს მე-14-მე-15 საუკუნეების სხვა ავტორების ნაშრომებში. შემდეგ საუნივერსიტეტო კურსებს შორის ადგილი დაიკავა ტრიგონომეტრიამ.

ახალი დრო

სიტყვა „ტრიგონომეტრია“ პირველად გვხვდება (1505 წ.) გერმანელი თეოლოგისა და მათემატიკოსის პიტისკუსის წიგნის სათაურში, ამ სიტყვის წარმოშობა ბერძნულია: სამკუთხედი, ზომა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ტრიგონომეტრია არის სამკუთხედების გაზომვის მეცნიერება. მიუხედავად იმისა, რომ სახელი შედარებით ცოტა ხნის წინ გაჩნდა, ტრიგონომეტრიასთან დაკავშირებული მრავალი ცნება და ფაქტი უკვე ცნობილი იყო ორი ათასი წლის წინ.

სინუს კონცეფციას დიდი ისტორია აქვს. ფაქტობრივად, სამკუთხედისა და წრის სეგმენტების (და, არსებითად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების) სხვადასხვა შეფარდება უკვე გვხვდება ӀӀӀ ს-ში. ძვ.წ ე ძველი საბერძნეთის დიდი მათემატიკოსების - ევკლიდე, არქიმედეს, პერგას აპოლონიუს შრომებში. რომაულ პერიოდში ეს ურთიერთობები უკვე საკმაოდ სისტემატურად შეისწავლა მენელაოსმა (ძვ. წ. საუკუნე), თუმცა მათ განსაკუთრებული სახელი არ მიუღიათ. კუთხის თანამედროვე მინუსი, მაგალითად, შესწავლილი იყო, როგორც ნახევრად აკორდების ნამრავლი, რომელზედაც ცენტრალური კუთხე მხარს უჭერს მნიშვნელობას, ან როგორც გაორმაგებული რკალის აკორდი.

შემდგომ პერიოდში მათემატიკა ყველაზე აქტიურად ავითარებდნენ ინდოელ და არაბი მეცნიერებს დიდი ხნის განმავლობაში. Ӏ-შივ- ვსაუკუნეებს კერძოდ, განსაკუთრებული ტერმინი გამოჩნდა დიდი ინდოელი მეცნიერის არიაბჰატას (476-550 წწ.) ასტრონომიის შესახებ ნაშრომებში, რომლის სახელსაც ეწოდა დედამიწის პირველი ინდური თანამგზავრი.

მოგვიანებით, უფრო მოკლე სახელი ჯივა მიიღეს. არაბი მათემატიკოსები იXin. სიტყვა ჯივა (ან ჯიბა) შეიცვალა არაბული სიტყვით ჯაიბი (გამობურცული). არაბული მათემატიკური ტექსტების თარგმნისასXΙΙin. ეს სიტყვა შეიცვალა ლათინური სინუსით (სინუსი- მოხრილი, გამრუდება)

სიტყვა კოსინუსი გაცილებით ახალგაზრდაა. კოსინუსი ლათინური გამოთქმის აბრევიატურააშეავსებსსინუსი, ანუ "დამატებითი სინუსი" (ან სხვაგვარად "დამატებითი რკალის სინუსი"; გახსოვდეთcosა= ცოდვა(90°- ა)).

რაც შეეხება ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს, ჩვენ არსებითად გავდივართ „სამკუთხედების გაზომვის“ ამოცანის ფარგლებს. ამიტომ, ცნობილმა მათემატიკოსმა ფ. კლაინმა (1849-1925) შესთავაზა „ტრიგონომეტრიული“ ფუნქციების თეორიას სხვაგვარად ეწოდოს - გონიომეტრია (კუთხე). თუმცა, ეს სახელი არ დარჩენილა.

ტანგენტები წარმოიშვა ჩრდილის სიგრძის განსაზღვრის პრობლემის გადაწყვეტასთან დაკავშირებით. შემოტანილია ტანგენსი (ისევე როგორც კოტანგენსი, სეკანტი და კოსეკანტი).Xin. არაბი მათემატიკოსი აბუ-ლ-ვაფა, რომელმაც ასევე შეადგინა პირველი ცხრილები ტანგენტებისა და კოტანგენტების საპოვნელად. თუმცა, ეს აღმოჩენები ევროპელი მეცნიერებისთვის დიდი ხნის განმავლობაში უცნობი რჩებოდა და ტანგენტები ხელახლა აღმოაჩინესXIVin. ჯერ ინგლისელი მეცნიერის ტ.ბრავერდინის, მოგვიანებით კი გერმანელი მათემატიკოსის, ასტრონომის რეჯიომონტანუსის (1467) მიერ. სახელწოდება "ტანგენტი" მომდინარეობს ლათინურიდანტანჯერი(შეხება), გამოჩნდა 1583 წელსტანგენტებიითარგმნება როგორც "შეხება" (გახსოვდეთ: ტანგენტების ხაზი ტანგენტია ერთეულ წრეზე)

თანამედროვე აღნიშვნებირკალი ცოდვადა arctgგამოჩნდება 1772 წელს ვენელი მათემატიკოსის შერფერისა და ცნობილი ფრანგი მეცნიერის ჟ. მაგრამ ეს სიმბოლოები ზოგადად მიღებული მხოლოდ ბოლოს გახდაXVΙΙΙსაუკუნეებს. პრეფიქსი "რკალი" მოდის ლათინურიდანარკუსიxმაგალითად - ეს არის კუთხე (ან, შეიძლება ითქვას, რკალი), რომლის სინუსი ტოლიაx.

დიდი ხნის განმავლობაში ტრიგონომეტრია ვითარდებოდა როგორც გეომეტრიის ნაწილი, ე.ი. ფაქტები, რომლებსაც ახლა ვაყალიბებთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით, ჩამოყალიბდა და დადასტურდა გეომეტრიული ცნებებისა და განცხადებების დახმარებით. შესაძლოა, ტრიგონომეტრიის განვითარების ყველაზე დიდი სტიმული წარმოიშვა ასტრონომიის პრობლემების გადაჭრასთან დაკავშირებით, რაც დიდ პრაქტიკულ ინტერესს წარმოადგენდა (მაგალითად, ჭურჭლის ადგილმდებარეობის განსაზღვრის პრობლემების გადაჭრა, დაბნელების პროგნოზირება და ა.შ.)

ასტრონომებს აინტერესებდათ სფერული სამკუთხედების გვერდებსა და კუთხეებს შორის ურთიერთობა, რომლებიც შედგენილია სფეროზე დიდი წრეებისგან. და უნდა აღინიშნოს, რომ ანტიკურ მათემატიკოსებს წარმატებით გაუმკლავდნენ პრობლემებს, რომლებიც ბევრად უფრო რთული იყო, ვიდრე სიბრტყის სამკუთხედების ამოხსნის ამოცანები.

ნებისმიერ შემთხვევაში, გეომეტრიული ფორმით, ჩვენთვის ცნობილი ტრიგონომეტრიის მრავალი ფორმულა აღმოაჩინეს და ხელახლა აღმოაჩინა ძველმა ბერძენმა, ინდოელმა, არაბმა მათემატიკოსებმა (თუმცა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განსხვავების ფორმულები ცნობილი გახდა მხოლოდXVΙӀ v. - ისინი გამოიტანა ინგლისელმა მათემატიკოსმა ნაპიერმა ტრიგონომეტრიული ფუნქციებით გამოთვლების გასამარტივებლად. და სინუსოიდის პირველი ნახაზი გამოჩნდა 1634 წელს.)

ფუნდამენტური მნიშვნელობა ჰქონდა კ.პტოლემეოსის მიერ სინუსების პირველი ცხრილის შედგენას (დიდი ხნის განმავლობაში მას ეძახდნენ აკორდების ცხრილს): გამოჩნდა პრაქტიკული ინსტრუმენტი რიგი გამოყენებითი ამოცანების გადასაჭრელად და, პირველ რიგში, ასტრონომიის პრობლემების გადასაჭრელად. .

როდესაც საქმე გვაქვს მზა ცხრილებთან, ან კალკულატორის გამოყენებით, ხშირად არ ვფიქრობთ იმაზე, რომ იყო დრო, როდესაც ცხრილები ჯერ კიდევ არ იყო გამოგონილი. მათი შედგენისთვის საჭირო იყო არა მხოლოდ დიდი რაოდენობით გამოთვლების შესრულება, არამედ ცხრილების შედგენის ხერხის მოფიქრებაც. პტოლემეოს ცხრილები ზუსტია ხუთი ათწილადის ჩათვლით.

ტრიგონომეტრიის თანამედროვე ფორმა მისცა უდიდესმა მათემატიკოსმაXVΙӀΙ საუკუნე ლ. ეილერი (1707-1783), წარმოშობით შვეიცარიელი, მრავალი წლის განმავლობაში მუშაობდა რუსეთში და იყო პეტერბურგის მეცნიერებათა აკადემიის წევრი. სწორედ ეილერმა შემოიტანა პირველად ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცნობილი განმარტებები, დაიწყო თვითნებური კუთხის ფუნქციების განხილვა და მიიღო შემცირების ფორმულები. ეს ყველაფერი მცირე ნაწილია იმისა, რისი გაკეთებაც ეილერმა მოახერხა მათემატიკაში დიდი ხნის განმავლობაში: მან დატოვა 800-ზე მეტი ნაშრომი, დაამტკიცა მრავალი თეორემა, რომლებიც კლასიკური გახდა, დაკავშირებული მათემატიკის ყველაზე მრავალფეროვან სფეროებთან. მაგრამ თუ თქვენ ცდილობთ იმუშაოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციებით გეომეტრიული ფორმით, ანუ ისე, როგორც მათემატიკოსთა მრავალი თაობა აკეთებდა ეილერამდე, მაშინ შეძლებთ დააფასოთ ეილერის დამსახურება ტრიგონომეტრიის სისტემატიზაციაში. ეილერის შემდეგ ტრიგონომეტრიამ შეიძინა გაანგარიშების ახალი ფორმა: სხვადასხვა ფაქტების დამტკიცება დაიწყო ტრიგონომეტრიის ფორმულების ფორმალური გამოყენებით; მტკიცებულებები გახდა ბევრად უფრო კომპაქტური და მარტივი.

სფერული გეომეტრიის განვითარების ისტორიიდან .

საყოველთაოდ ცნობილია, რომ ევკლიდეს გეომეტრია ერთ-ერთი უძველესი მეცნიერებაა: უკვე შემოსულიაIIIსაუკუნეში ძვ გაჩნდა ევკლიდეს კლასიკური ნაწარმოები „საწყისები“. ნაკლებად ცნობილია, რომ სფერული გეომეტრია ოდნავ ახალგაზრდაა. მისი პირველი სისტემატური ექსპოზიცია ეხებამე- IIსაუკუნეებს. ბერძენი მათემატიკოსის მენელაუსის მიერ დაწერილი წიგნში "სფერო" (მეგ.), შესწავლილი იქნა სფერული სამკუთხედების თვისებები; კერძოდ, დადასტურდა, რომ სფერული სამკუთხედის კუთხეების ჯამი 180 გრადუსზე მეტია. კიდევ ერთმა ბერძენმა მათემატიკოსმა კლავდიუს პტოლემეოსმა გადადგა წინ დიდი ნაბიჯი (IIin.). არსებითად, მან პირველმა შეადგინა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილები და შემოიტანა სტერეოგრაფიული პროექცია.

ისევე, როგორც ევკლიდეს გეომეტრია, სფერული გეომეტრია წარმოიშვა პრაქტიკული ხასიათის პრობლემების გადაჭრისას და, პირველ რიგში, ასტრონომიის პრობლემების გადაწყვეტისას. ეს დავალებები საჭირო იყო, მაგალითად, მოგზაურთათვის და ნავიგატორებისთვის, რომლებიც ნავიგაციას უწევდნენ ვარსკვლავებს. და რადგან ასტრონომიულ დაკვირვებებში მოსახერხებელია ვივარაუდოთ, რომ როგორც მზე, ასევე მთვარე და ვარსკვლავები მოძრაობენ გამოსახული "ციური სფეროს" გასწვრივ, ბუნებრივია, რომ სფეროს გეომეტრიის ცოდნა იყო საჭირო მათი მოძრაობის შესასწავლად. ამიტომ, შემთხვევითი არ არის, რომ პტოლემეოს ყველაზე ცნობილ ნაშრომს ეწოდა „ასტრონომიის დიდი მათემატიკური კონსტრუქცია 13 წიგნში“.

სფერული ტრიგონომეტრიის ისტორიაში ყველაზე მნიშვნელოვანი პერიოდი ახლო აღმოსავლეთის მეცნიერთა საქმიანობას უკავშირდება. ინდოელმა მეცნიერებმა წარმატებით გადაჭრეს სფერული ტრიგონომეტრიის პრობლემები. თუმცა, პტოლემეოს მიერ აღწერილი და სრული ოთხკუთხედის მენელაოსის თეორემაზე დამყარებული მეთოდი მათ არ გამოიყენეს. ხოლო სფერულ ტრიგონომეტრიაში ისინი იყენებდნენ პროექციულ მეთოდებს, რომლებიც შეესაბამებოდა პტოლემეოს ანალემის მეთოდებს. შედეგად, მათ მიიღეს სპეციფიკური გამოთვლითი წესების ნაკრები, რამაც შესაძლებელი გახადა სფერული ასტრონომიის თითქმის ნებისმიერი პრობლემის გადაჭრა. მათი დახმარებით, ასეთი პრობლემა საბოლოოდ შემცირდა მსგავსი ბრტყელი მართკუთხა სამკუთხედების ერთმანეთთან შედარებამდე. ამოხსნისას ხშირად იყენებდნენ კვადრატული განტოლებების თეორიას და თანმიმდევრული მიახლოებების მეთოდს. ასტრონომიული პრობლემის მაგალითი, რომელიც ინდოელმა მეცნიერებმა გადაჭრეს მათ მიერ შემუშავებული წესების გამოყენებით, არის პრობლემა, რომელიც განხილულია ვარაჰამიჰირას ნაშრომში Panga Siddhantika.ვ- VI). იგი შედგება მზის სიმაღლის პოვნაში, თუ ცნობილია ადგილის გრძედი, მზის დახრილობა და მისი საათობრივი კუთხე. ამ პრობლემის გადაჭრის შედეგად, მთელი რიგი კონსტრუქციების შემდეგ, დგინდება მიმართება, რომელიც ექვივალენტურია თანამედროვე კოსინუსების თეორემის სფერული სამკუთხედისთვის. თუმცა, ეს მიმართება და სინუსების თეორემის სხვა ეკვივალენტი არ განზოგადებულა როგორც წესები, რომლებიც გამოიყენება ნებისმიერი სფერული სამკუთხედისთვის.

პირველ აღმოსავლელ მეცნიერთა შორის, რომლებიც მიმართეს მენელაუსის თეორემის განხილვას, უნდა დავასახელოთ ძმები ბანუ მუსა - მუჰამედი, ჰასანი და აჰმედი, მუსა იბნ შაკირის ვაჟები, რომლებიც მუშაობდნენ ბაღდადში და სწავლობდნენ მათემატიკას, ასტრონომიას და მექანიკას. მაგრამ მენელაუსის თეორემაზე ყველაზე ადრე შემორჩენილი ნაშრომი არის მათი სტუდენტის ტაბიტ იბნ კორას (836-901) "ტრაქტატი სეკანტის ფიგურაზე"

თაბიტ იბნ კორას ტრაქტატი ჩვენამდე მოვიდა არაბული ორიგინალით. და ლათინურ თარგმანშიXIIin. გერანდო კრემონელის (1114-1187) ეს თარგმანი ფართოდ გამოიყენებოდა შუა საუკუნეების ევროპაში.

გამოყენებითი ტრიგონომეტრიული ამოცანები ძალიან მრავალფეროვანია - მაგალითად, ჩამოთვლილ რაოდენობებზე მოქმედებების გაზომვადი შედეგები (მაგალითად, კუთხეების ჯამი ან გვერდის სიგრძის თანაფარდობა) შეიძლება დაყენდეს.

სიბრტყე ტრიგონომეტრიის განვითარების პარალელურად, ბერძნებმა, ასტრონომიის გავლენით, შორს დააწინაურეს სფერული ტრიგონომეტრია. ევკლიდეს "პრინციპებში" ამ თემაზე, არსებობს მხოლოდ თეორემა სხვადასხვა დიამეტრის ბურთების მოცულობის თანაფარდობაზე, მაგრამ ასტრონომიისა და კარტოგრაფიის საჭიროებებმა გამოიწვია სფერული ტრიგონომეტრიის სწრაფი განვითარება და მასთან დაკავშირებული სფეროები - ციური კოორდინატთა სისტემა, კარტოგრაფიული პროგნოზების თეორია და ასტრონომიული ინსტრუმენტების ტექნოლოგია.

კურსები.

ტრიგონომეტრია და რეალური ცხოვრება

ტრიგონომეტრიულმა ფუნქციებმა გამოიყენეს მათემატიკური ანალიზი, ფიზიკა, კომპიუტერული მეცნიერებები, გეოდეზია, მედიცინა, მუსიკა, გეოფიზიკა და ნავიგაცია.

ტრიგონომეტრიის გამოყენება ნავიგაციაში

ნავიგაცია (ეს სიტყვა მოდის ლათინურიდანნავიგაცია- გემზე ცურვა) - ერთ-ერთი უძველესი მეცნიერება. ნავიგაციის უმარტივესი ამოცანები, როგორიცაა, მაგალითად, უმოკლესი მარშრუტის განსაზღვრა, მოძრაობის მიმართულების არჩევა, პირველივე ნავიგატორების წინაშე აღმოჩნდნენ. ამჟამად ეს და სხვა ამოცანები უნდა გადაწყვიტონ არა მხოლოდ მეზღვაურებმა, არამედ პილოტებმა და ასტრონავტებმაც. მოდით განვიხილოთ ნავიგაციის რამდენიმე კონცეფცია და დავალება უფრო დეტალურად.

დავალება. ცნობილია გეოგრაფიული კოორდინატები - დედამიწის ზედაპირის A და B წერტილების გრძედი და განედი:, და, . საჭიროა დედამიწის ზედაპირის გასწვრივ A და B წერტილებს შორის უმოკლეს მანძილის პოვნა (დედამიწის რადიუსი ცნობილია:რ= 6371 კმ)

გადაწყვეტილება. ჯერ გავიხსენოთ, რომ დედამიწის ზედაპირის M წერტილის გრძედი არის OM რადიუსით წარმოქმნილი კუთხის მნიშვნელობა, სადაც O არის დედამიწის ცენტრი, ეკვატორის სიბრტყით: ≤ და ეკვატორის ჩრდილოეთით. გრძედი ითვლება დადებითად, ხოლო სამხრეთით - უარყოფითად

M წერტილის გრძედი არის დიედრული კუთხის მნიშვნელობა COM და SON სიბრტყეებს შორის, სადაც C არის დედამიწის ჩრდილოეთ პოლუსი, ხოლო H არის წერტილი გრინვიჩის ობსერვატორიის შესაბამისი: ≤ (გრინიჩის მერიდიანის აღმოსავლეთით. გრძედი დადებითად ითვლება, დასავლეთით - უარყოფითი).

როგორც უკვე ცნობილია, დედამიწის ზედაპირზე A და B წერტილებს შორის უმოკლეს მანძილი არის A და B დამაკავშირებელი დიდი წრის რკალებიდან პატარას სიგრძე (ასეთ რკალს ეწოდება ორთოდრომი - ბერძნულიდან თარგმნილი ნიშნავს "სწორ გარბენს" ). ამრიგად, ჩვენი ამოცანა მცირდება ABC სფერული სამკუთხედის AB გვერდის სიგრძის განსაზღვრამდე (C არის ჩრდილოეთ პოლუსი).

სამკუთხედის ABC და შესაბამისი სამკუთხედის OABS კუთხის ელემენტების სტანდარტული აღნიშვნის გამოყენებით, ამოცანის მდგომარეობიდან ვხვდებით: α = = - , β = (ნახ. 2).

C კუთხის გამოხატვა ასევე არ არის რთული A და B წერტილების კოორდინატებით. განმარტებით, ≤ , შესაბამისად, ან კუთხე C = თუ ≤ , ან - თუ. ცოდნა = კოსინუსების თეორემის გამოყენებით: = + (-). იცის და, შესაბამისად, კუთხე, ჩვენ ვპოულობთ საჭირო მანძილს: =.

ტრიგონომეტრია ნავიგაციაში 2.

გემის კურსის გამოსათვლელად რუკაზე გერჰარდ მერკატორის პროექციაში (1569 წ.), საჭირო იყო განედების დადგენა. ხმელთაშუა ზღვაში ცურვისას მცურავი მიმართულებით მდეXVIIin. გრძედი არ იყო მითითებული. პირველად ედმონდ გიუნტერმა (1623) გამოიყენა ტრიგონომეტრიული გამოთვლები ნავიგაციაში.

ტრიგონომეტრია ეხმარება გამოთვალოს ქარის გავლენა თვითმფრინავის ფრენაზე. სიჩქარის სამკუთხედი არის სამკუთხედი, რომელიც წარმოიქმნება ჰაერის სიჩქარის ვექტორით (ვ), ქარის ვექტორი (ვ), გრუნტის სიჩქარის ვექტორი (ვპ ). PU - ბილიკის კუთხე, SW - ქარის კუთხე, KUV - მიმართულების ქარის კუთხე.

ნავიგაციის სიჩქარის სამკუთხედის ელემენტებს შორის ურთიერთობას აქვს ფორმა:

ვ პ = ვ cos აშშ + ვ cos UV; ცოდვა აშშ = * ცოდვა UV, ტგ SW =

სიჩქარის სანავიგაციო სამკუთხედი წყდება დამთვლელი მოწყობილობების დახმარებით, სანავიგაციო სახაზავზე და დაახლოებით გონებაში.

ტრიგონომეტრია ალგებრაში.

აქ მოცემულია რთული განტოლების ამოხსნის მაგალითი ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენებით.

განტოლების გათვალისწინებით

დაე იყოს , ვიღებთ

;

სადაც: ან

შეზღუდვების გათვალისწინებით, ჩვენ ვიღებთ:

ტრიგონომეტრია ფიზიკაში

სადაც საქმე გვაქვს პერიოდულ პროცესებთან და რხევებთან – იქნება ეს აკუსტიკა, ოპტიკა თუ ქანქარის რხევა – საქმე გვაქვს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან. რხევის ფორმულები:

სადაც ა- რხევის ამპლიტუდა, - რხევის კუთხური სიხშირე, - რხევის საწყისი ფაზა

რხევის ფაზა.

როდესაც საგნები წყალშია ჩაძირული, ისინი არ იცვლიან ფორმას და ზომას. მთელი საიდუმლო არის ოპტიკური ეფექტი, რომელიც აიძულებს ჩვენს ხედვას სხვაგვარად აღიქვას ობიექტი. უმარტივესი ტრიგონომეტრიული ფორმულები და სხივის დაცემის და გარდატეხის კუთხის სინუსის მნიშვნელობები შესაძლებელს ხდის გამოთვალოს მუდმივი გარდატეხის ინდექსი სინათლის სხივის საშუალოდან საშუალოზე გადასვლის დროს. მაგალითად, ცისარტყელა წარმოიქმნება იმის გამო, რომ მზის შუქი ირღვევა ჰაერში შეჩერებულ წყლის წვეთებში, გარდატეხის კანონის მიხედვით:

ცოდვა α / ცოდვა β =n 1 /n 2

სადაც:

n 1 - პირველი გარემოს რეფრაქციული ინდექსი
n 2 - მეორე გარემოს რეფრაქციული ინდექსი

α - დამთხვევის კუთხე, β არის სინათლის გარდატეხის კუთხე.

მზის ქარის დამუხტული ნაწილაკების შეღწევა პლანეტების ზედა ატმოსფეროში განისაზღვრება პლანეტის მაგნიტური ველის მზის ქართან ურთიერთქმედებით.

მაგნიტურ ველში მოძრავ დამუხტულ ნაწილაკზე მოქმედ ძალას ლორენცის ძალა ეწოდება. იგი პროპორციულია ნაწილაკების მუხტისა და ველის ვექტორული ნამრავლისა და ნაწილაკების სიჩქარისა.

როგორც პრაქტიკული მაგალითი, განიხილეთ ფიზიკური პრობლემა, რომელიც მოგვარებულია ტრიგონომეტრიის გამოყენებით.

დავალება. დახრილ სიბრტყეზე, რომელიც ქმნის 24,5 კუთხეს ჰორიზონტთანშესახებ , არის 90 კგ მასის სხეული. იპოვეთ ძალა, რომლითაც ეს სხეული აჭერს დახრილ სიბრტყეზე (ანუ რა წნევას ახდენს სხეული ამ სიბრტყეზე).

გადაწყვეტილება:

X და Y ღერძების აღნიშვნის შემდეგ, ჩვენ დავიწყებთ ღერძებზე ძალების პროგნოზების აგებას, ჯერ ამ ფორმულის გამოყენებით:

დედა = ნ + მგ , შემდეგ შეხედეთ სურათს,

X : ma = 0 + მგ sin24.5 0

Y: 0 = N - მგ cos24.5 0

ნ = მგ cos 24,5 0

ჩვენ ვცვლით მასას, ვხვდებით, რომ ძალა არის 819 N.

პასუხი: 819 ნ

ტრიგონომეტრია მედიცინასა და ბიოლოგიაში

Ერთ - ერთი ფუნდამენტური თვისებებიცოცხალი ბუნება არის მასში მიმდინარე პროცესების უმეტესობის ციკლურობა.

ბიოლოგიური რიტმები, ბიორიტმებიმეტ-ნაკლებად რეგულარული ცვლილებებია ბიოლოგიური პროცესების ბუნებასა და ინტენსივობაში.

ძირითადი დედამიწის რიტმი- ყოველდღიურად.

ბიორითმების მოდელი შეიძლება აშენდეს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენებით.

ბიორიტმების მოდელის ასაგებად, თქვენ უნდა შეიყვანოთ პირის დაბადების თარიღი, მითითების თარიღი (დღე, თვე, წელი) და პროგნოზის ხანგრძლივობა (დღეების რაოდენობა).

თავის ტვინის ზოგიერთ ნაწილსაც კი სინუსებს უწოდებენ.

სინუსების კედლები წარმოიქმნება დურა მატერით, რომელიც დაფარულია ენდოთელიუმით. სინუსების სანათური, სარქველები და კუნთოვანი გარსი, სხვა ვენებისგან განსხვავებით, არ არის. სინუსების ღრუში არის ბოჭკოვანი ძგიდეები დაფარული ენდოთელიუმით. სინუსებიდან სისხლი შედის შიდა საუღლე ვენებში, გარდა ამისა, არსებობს კავშირი სინუსებსა და თავის ქალას გარე ზედაპირის ვენებს შორის სარეზერვო ვენური კურსდამთავრებულების მეშვეობით.

თევზის მოძრაობა წყალში ხდება სინუსის ან კოსინუსის კანონის მიხედვით, თუ დააფიქსირებთ წერტილს კუდზე და შემდეგ განიხილავთ მოძრაობის ტრაექტორიას.

ცურვისას თევზის სხეული მრუდის ფორმას იღებს, რომელიც გრაფას წააგავს.

ფუნქციები წ= tgx.

ტრიგონომეტრია მუსიკაში

ჩვენ ვუსმენთ მუსიკასmp3.

აუდიო სიგნალი არის ტალღა, აქ არის მისი "გრაფიკი".

როგორც ხედავთ, მიუხედავად იმისა, რომ ის ძალიან რთულია, ის არის სინუსოიდი, რომელიც ემორჩილება ტრიგონომეტრიის კანონებს.

მოსკოვის სამხატვრო თეატრში 2003 წლის გაზაფხულზე გაიმართა ჯგუფის "ღამის სნაიპერების" ალბომის "ტრიგონომეტრიის" პრეზენტაცია, სოლისტი დიანა არბენინა. ალბომის შინაარსი ცხადყოფს სიტყვა „ტრიგონომეტრიის“ ორიგინალურ მნიშვნელობას - დედამიწის გაზომვას.

ტრიგონომეტრია კომპიუტერულ მეცნიერებაში

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები შეიძლება გამოყენებულ იქნას ზუსტი გამოთვლებისთვის.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენებით, შეგიძლიათ მიახლოებით ნებისმიერი

(გარკვეული გაგებით, "კარგი") ფუნქცია გაფართოებით ფურიეს სერიაში:

ა 0 + ა 1 cos x + b 1 sin x + a 2 cos 2x + b 2 ცოდვა 2x + ა 3 cos 3x + b 3 ცოდვა 3x +...

სწორი ნომრების არჩევა a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., შესაძლებელია კომპიუტერში თითქმის ნებისმიერი ფუნქციის წარმოდგენა საჭირო სიზუსტით ასეთი (უსასრულო) ჯამის სახით.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები გამოსადეგია გრაფიკულ ინფორმაციასთან მუშაობისას. აუცილებელია რაიმე ობიექტის გარკვეული ღერძის გარშემო ბრუნვის სიმულაცია (კომპიუტერში აღწერა). არსებობს როტაცია გარკვეული კუთხით. წერტილების კოორდინატების დასადგენად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ სინუსებზე და კოსინუსებზე.

ჯასტინ ვინდელი, პროგრამისტი და დიზაინერიGoogle გრაფიკა ლაბორატორია გამოაქვეყნა დემო ვერსია, რომელშიც ნაჩვენებია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენების მაგალითები დინამიური ანიმაციების შესაქმნელად.

ტრიგონომეტრია მშენებლობასა და გეოდეზიაში

სიბრტყეზე თვითნებური სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები და კუთხეები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული გარკვეული მიმართებებით, რომელთაგან ყველაზე მნიშვნელოვანს კოსინუსებისა და სინუსების თეორემები ეწოდება.

2აბ

= =

ამ ფორმულებში,ბ, გ- ABC სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები, რომლებიც დევს შესაბამისად A, B, C კუთხეების საპირისპიროდ. ეს ფორმულები საშუალებას გვაძლევს აღვადგინოთ დარჩენილი სამი ელემენტი სამკუთხედის სამი ელემენტიდან - გვერდების სიგრძე და კუთხეები. ისინი გამოიყენება პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრაში, მაგალითად, გეოდეზიაში.

ყველა "კლასიკური" გეოდეზია ეფუძნება ტრიგონომეტრიას. მას შემდეგ, რაც, ფაქტობრივად, უძველესი დროიდან, ამზომველები დაკავებულნი იყვნენ სამკუთხედების "ამოხსნით".

შენობების, გზების, ხიდების და სხვა ნაგებობების აგების პროცესი იწყება აზომვითი და საპროექტო სამუშაოებით. სამშენებლო მოედანზე ყველა გაზომვა ხორციელდება გეოდეზიური ინსტრუმენტების გამოყენებით, როგორიცაა თეოდოლიტი და ტრიგონომეტრიული დონე. ტრიგონომეტრიული ნიველირებით განისაზღვრება სიმაღლის სხვაობა დედამიწის ზედაპირზე რამდენიმე წერტილს შორის.

დასკვნა

ტრიგონომეტრია გაცოცხლდა კუთხეების გაზომვის აუცილებლობით, მაგრამ საბოლოოდ ჩამოყალიბდა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მეცნიერებაში.

ტრიგონომეტრია მჭიდროდ არის დაკავშირებული ფიზიკასთან, რომელიც გვხვდება ბუნებაში, მუსიკაში, არქიტექტურაში, მედიცინასა და ტექნოლოგიაში.

ტრიგონომეტრია აისახება ჩვენს ცხოვრებაში და ის სფეროები, სადაც ის მნიშვნელოვან როლს ასრულებს, გაფართოვდება, ამიტომ მისი კანონების ცოდნა ყველასთვის აუცილებელია.

მათემატიკის კავშირი გარე სამყაროსთან საშუალებას გაძლევთ „მატერიალიზაცია“ მოახდინოთ სკოლის მოსწავლეების ცოდნისა. ეს გვეხმარება უკეთ გავიგოთ სკოლაში მიღებული ცოდნის სასიცოცხლო საჭიროება.

პრაქტიკული შინაარსის მათემატიკური ამოცანის ქვეშ (გამოყენებითი ხასიათის დავალება) ვგულისხმობთ პრობლემას, რომლის შეთქმულება ავლენს მათემატიკის გამოყენებას დაკავშირებულ აკადემიურ დისციპლინებში, ტექნოლოგიასა და ყოველდღიურ ცხოვრებაში.

სიუჟეტი ტრიგონომეტრიის გაჩენის ისტორიული მიზეზების, მისი განვითარებისა და პრაქტიკული გამოყენების შესახებ ჩვენს სკოლის მოსწავლეებს უბიძგებს დაინტერესდნენ შესასწავლი საგნით, აყალიბებს ჩვენს მსოფლმხედველობას და აუმჯობესებს ჩვენს ზოგად კულტურას.

ეს ნამუშევარი გამოადგებათ საშუალო სკოლის მოსწავლეებს, რომლებსაც ჯერ არ უნახავთ ტრიგონომეტრიის სილამაზე და არ იცნობენ მისი გამოყენების სფეროებს გარემომცველ ცხოვრებაში.

ბიბლიოგრაფია:

გაიმეორეთ ტრიგონომეტრიის ძირითადი ფორმულები და გააძლიერეთ ცოდნა სავარჯიშოების დროს;
განუვითარდებათ თვითკონტროლის უნარები, კომპიუტერულ პრეზენტაციასთან მუშაობის უნარი.
საგანმანათლებლო საქმისადმი პასუხისმგებელი დამოკიდებულების განათლება, ნებისყოფა და გამძლეობა საბოლოო შედეგების მისაღწევად.

აღჭურვილობა: კომპიუტერები, კომპიუტერული პრეზენტაცია.

Მოსალოდნელი შედეგი:

თითოეულმა მოსწავლემ უნდა იცოდეს ტრიგონომეტრიის ფორმულები და შეძლოს მათი გამოყენება ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გარდაქმნისთვის საჭირო შედეგების დონეზე.
იცოდეთ ამ ფორმულების წარმოშობა და შეძლოთ მათი გამოყენება ტრიგონომეტრიული გამოსახულებების გადასაყვანად.
იცოდე ტრიგონომეტრიის ფორმულები, შეძლოს ამ ფორმულების გამოყვანა და მათი გამოყენება უფრო რთულ ტრიგონომეტრიულ გამოსახულებებზე.

გაკვეთილის ძირითადი ეტაპები:

თემის მესიჯი, მიზანი, გაკვეთილის ამოცანები და საგანმანათლებლო საქმიანობის მოტივაცია.
ვერბალური დათვლა
შეტყობინება მათემატიკის ისტორიიდან
ტრიგონომეტრიის ფორმულების გამეორება (მე-9 კლასიდან) კომპიუტერული პრეზენტაციის გამოყენებით
ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყენება გამონათქვამების კონვერტაციისთვის
ტესტის შესრულება
გაკვეთილის შეჯამება
დავალების დაყენება სახლში

გაკვეთილების დროს

ᲛᲔ. ორგანიზების დრო.

გაკვეთილის თემის, მიზნების, ამოცანების მოხსენება და სასწავლო აქტივობების მოტივაცია

II. ზეპირი სამუშაო (დავალებები წინასწარ არის დაბეჭდილი თითოეული მოსწავლისთვის):

სამკუთხედის ორი კუთხის რადიანის ზომა არის და. იპოვეთ სამკუთხედის თითოეული კუთხის ზომა. უპასუხე: 60, 30, 90

იპოვეთ სამკუთხედის კუთხეების რადიანის ზომა, თუ მათი თანაფარდობაა 2:3:4. პასუხი: , ,

შეიძლება თუ არა კოსინუსი ტოლი იყოს: ა), ბ), გ), დ), ე) -2? პასუხი: ა) დიახ; ბ) არა; გ) არა; დ) დიახ; ე) დიახ.

შეიძლება თუ არა სინუსის ტოლი: ა) -3, 7 ბ), გ)? პასუხი: ა) არა; ბ) დიახ; გ) არა.

a და b-ის რომელ მნიშვნელობებს შეესაბამება შემდეგი ტოლობები: ა) cos x = ; ბ) ცოდვა x=; გ) cosx= ; დ) tg x= ; ე) sin x = a? პასუხი: ა) /ა/ 7; ბ) /ა/ ; გ) 0 დ) ბ – ნებისმიერი რიცხვი; ე) -

III. შეტყობინება ტრიგონომეტრიის ისტორიიდან (მოკლე ისტორიული ფონი):

ტრიგონომეტრია წარმოიშვა და განვითარდა ანტიკურ ხანაში, როგორც ასტრონომიის ერთ-ერთი განყოფილება, როგორც მისი გამოთვლითი მოწყობილობა, რომელიც აკმაყოფილებს ადამიანის პრაქტიკულ საჭიროებებს.

ზოგიერთი ტრიგონომეტრიული ინფორმაცია იცოდნენ ძველი ბაბილონელები და ეგვიპტელები, მაგრამ ამ მეცნიერების საფუძველი ძველ საბერძნეთში ჩაეყარა.

ბერძენი ასტრონომი ჰიპარქე II საუკუნეში. ძვ.წ ე. შეადგინა აკორდების რიცხვითი მნიშვნელობების ცხრილი, რაც დამოკიდებულია მათ მიერ შეკუმშული რკალების სიდიდეზე. უფრო სრულ ინფორმაციას ტრიგონომეტრიიდან შეიცავს პტოლემეოს ცნობილ „ალმაგესტში“. გაკეთებულმა გამოთვლებმა საშუალება მისცა პტოლემეოსს შეედგინა ცხრილი, რომელიც შეიცავდა აკორდებს 0-დან 180-მდე.

სინუსებისა და კოსინუსების ხაზების სახელები პირველად შემოიღეს ინდოელმა მეცნიერებმა. მათ ასევე შეადგინეს სინუსების პირველი ცხრილები, თუმცა ნაკლებად ზუსტი ვიდრე პტოლემეოსი.

ინდოეთში, არსებითად, იწყება დოქტრინა ტრიგონომეტრიული სიდიდეების შესახებ, რომელსაც მოგვიანებით გონიომეტრია უწოდეს ("გონიიდან" - კუთხე და "მეტრიო" - ვზომავ).

მე-17 საუკუნის ზღურბლზე ტრიგონომეტრიის განვითარებაში იწყება ახალი მიმართულება - ანალიტიკური.

ტრიგონომეტრია უზრუნველყოფს აუცილებელ მეთოდს მრავალი კონცეფციისა და მეთოდის შემუშავებისთვის რეალური პრობლემების გადასაჭრელად, რომლებიც წარმოიქმნება ფიზიკაში, მექანიკაში, ასტრონომიაში, გეოდოზიაში, კარტოგრაფიაში და სხვა მეცნიერებებში. გარდა ამისა, ტრიგონომეტრია დიდი დახმარებაა სტერეომეტრიული პრობლემების გადაჭრაში.

IV. კომპიუტერებზე მუშაობა პრეზენტაციით:

"ტრიგონომეტრიის ძირითადი ფორმულები" (დანართი 1)

წინასწარ შეხსენება უსაფრთხოების ზომებიკომპიუტერული მეცნიერების კლასში.

ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები.
დამატების ფორმულები.
ჩამოსხმის ფორმულები
სინუსების (კოსინუსების) ჯამისა და სხვაობის ფორმულები.
ორმაგი არგუმენტის ფორმულები.
ნახევარი არგუმენტის ფორმულები.

V. ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყენება გამონათქვამების გარდაქმნაზე.

ა) ერთი მოსწავლე ასრულებს დავალებას დაფის უკანა მხარეს, დანარჩენები ადგილიდან ამოწმებენ და აწევენ სასიგნალო ბარათებს (სწორი - „+“, არასწორი - „-“) ადგილიდან.

აირჩიეთ პასუხი.

გაამარტივე გამოთქმა 7 cos - 5.

ა) 1+cos; ბ) 2; 12 საათზე; დ) 12

გამოთქმის გამარტივება 5 – 4 si n

ა) 1; ბ) 9; გ) 1+8სინ; დ) 1+cos.