მტკიცებულება

დაე იყოს ABC" არის თვითნებური სამკუთხედი. მოდით გადავიდეთ ზევით ბ სწორი ხაზი სწორი ხაზის პარალელურად AC (ასეთ სწორ ხაზს ევკლიდეს სწორ ხაზს უწოდებენ). მონიშნეთ მასზე წერტილიდ ისე რომ ქულებია დად დაწექი სწორი ხაზის მოპირდაპირე მხარეს ძვ.წ.კუთხები DBCდა ACBტოლია, როგორც შიდა ჯვარი ტყუილი, ჩამოყალიბებული სეკანტით ძვ.წპარალელური ხაზებით ACდა BD. მაშასადამე, სამკუთხედის კუთხეების ჯამი წვეროებზე ბდა თანკუთხის ტოლი ABD.სამკუთხედის სამივე კუთხის ჯამი უდრის კუთხეების ჯამს ABDდა BAC. ვინაიდან ეს კუთხეები შიდა ცალმხრივია პარალელურად ACდა BDსეკანტზე AB, მაშინ მათი ჯამი არის 180°. თეორემა დადასტურდა.

შედეგები

თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერ სამკუთხედს აქვს ორი მახვილი კუთხე. მართლაც, მტკიცებულების წინააღმდეგობის გამოყენებით, დავუშვათ, რომ სამკუთხედს აქვს მხოლოდ ერთი მახვილი კუთხე ან საერთოდ არ არის მახვილი კუთხე. მაშინ ამ სამკუთხედს აქვს მინიმუმ ორი კუთხე, რომელთაგან თითოეული არის მინიმუმ 90°. ამ კუთხეების ჯამი არ არის 180°-ზე ნაკლები. მაგრამ ეს შეუძლებელია, რადგან სამკუთხედის ყველა კუთხის ჯამი არის 180°. ქ.ე.დ.

განზოგადება სიმპლექსის თეორიამდე

სად არის კუთხე სიმპლექსის i და j სახეებს შორის.

შენიშვნები

• სფეროზე სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის აღემატება 180°-ს, განსხვავებას ეწოდება სფერული ჭარბი და პროპორციულია სამკუთხედის ფართობისა.
• ლობაჩევსკის სიბრტყეში სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის 180°-ზე ნაკლებია. განსხვავება ასევე პროპორციულია სამკუთხედის ფართობისა.

იხილეთ ასევე

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

• ტეილორი
• ქვედა გედების ხიდი

ნახეთ, რა არის "თეორემა სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ" სხვა ლექსიკონებში:

მრავალკუთხედის კუთხის ჯამის თეორემა- მრავალკუთხედების თვისება ევკლიდეს გეომეტრიაში: მრავალკუთხედის n კუთხეების ჯამი არის 180°(n 2). სარჩევი 1 მტკიცებულება 2 შენიშვნა ... ვიკიპედია

პითაგორას თეორემა- პითაგორას თეორემა არის ევკლიდეს გეომეტრიის ერთ-ერთი ფუნდამენტური თეორემა, რომელიც აყალიბებს მიმართებას მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს შორის. სარჩევი 1 ... ვიკიპედია

სამკუთხედის ფართობი

პითაგორას თეორემა- პითაგორას თეორემა არის ევკლიდეს გეომეტრიის ერთ-ერთი ფუნდამენტური თეორემა, რომელიც აყალიბებს მიმართებას მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს შორის. სარჩევი 1 განცხადებები 2 მტკიცებულებები ... ვიკიპედია

კოსინუსების თეორემა- კოსინუსების თეორემა არის პითაგორას თეორემის განზოგადება. სამკუთხედის გვერდის კვადრატი უდრის მისი დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამს ამ გვერდების ნამრავლის გაორმაგების გარეშე მათ შორის კუთხის კოსინუსზე. ბრტყელი სამკუთხედისთვის a, b, c გვერდებით და α კუთხით ... ... ვიკიპედია

სამკუთხედი- ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ სამკუთხედი (მნიშვნელობები). სამკუთხედი (ევკლიდეს სივრცეში) არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც ჩამოყალიბებულია სამი ხაზის სეგმენტით, რომლებიც აკავშირებს სამ არაწრფივ წერტილს. სამი წერტილი, ... ... ვიკიპედია

სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები- სტანდარტული აღნიშვნა სამკუთხედი არის უმარტივესი მრავალკუთხედი, რომელსაც აქვს 3 წვერო (კუთხე) და 3 გვერდი; სიბრტყის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია სამი წერტილით, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე, და სამი ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ამ წერტილებს წყვილებში. სამკუთხედის წვეროები ... ვიკიპედია

ევკლიდე- ძველი ბერძენი მათემატიკოსი. III საუკუნეში მოღვაწეობდა ალექსანდრიაში. ძვ.წ ე. მთავარი ნაშრომი "დასაწყისები" (15 წიგნი), რომელიც შეიცავს ძველი მათემატიკის საფუძვლებს, ელემენტარულ გეომეტრიას, რიცხვთა თეორიას, ურთიერთობების ზოგად თეორიას და ფართობებისა და მოცულობების განსაზღვრის მეთოდს, ... ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი

EUCLID- (გარდაიცვალა ძვ. წ. 275-270 წლებში) ძველი ბერძენი მათემატიკოსი. მისი დაბადების დროისა და ადგილის შესახებ ინფორმაცია ჩვენამდე არ მოაღწია, მაგრამ ცნობილია, რომ ევკლიდე ცხოვრობდა ალექსანდრიაში და მისი მოღვაწეობის აყვავება მოდის ეგვიპტეში პტოლემე I-ის მეფობის დროს ... ... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

არაევკლიდური გეომეტრია- გეომეტრია ევკლიდეს გეომეტრიის მსგავსია იმით, რომ ის განსაზღვრავს ფიგურების მოძრაობას, მაგრამ განსხვავდება ევკლიდური გეომეტრიისგან იმით, რომ მისი ხუთი პოსტულატიდან ერთ-ერთი (მეორე ან მეხუთე) იცვლება მისი უარყოფით. ევკლიდეს ერთ-ერთი პოსტულატის უარყოფა ... ... კოლიერის ენციკლოპედია

Მიზნები და ამოცანები:

საგანმანათლებლო:

• სამკუთხედის შესახებ ცოდნის გამეორება და განზოგადება;
• სამკუთხედის ჯამის თეორემას დამტკიცება;
• თეორემის ფორმულირების სისწორის პრაქტიკულად გადამოწმება;
• ისწავლეთ მიღებული ცოდნის გამოყენება პრობლემების გადაჭრაში.

განვითარება:

• განავითაროს გეომეტრიული აზროვნება, საგნისადმი ინტერესი, მოსწავლეთა შემეცნებითი და შემოქმედებითი აქტივობა, მათემატიკური მეტყველება, ცოდნის დამოუკიდებლად შეძენის უნარი.

საგანმანათლებლო:

• მოსწავლეთა ისეთი პიროვნული თვისებების ჩამოყალიბება, როგორიცაა მონდომება, შეუპოვრობა, სიზუსტე, გუნდში მუშაობის უნარი.

აღჭურვილობა:მულტიმედიური პროექტორი, ფერადი ქაღალდისგან დამზადებული სამკუთხედები, სასწავლო მასალა "ცოცხალი მათემატიკა", კომპიუტერი, ეკრანი.

მოსამზადებელი ეტაპი:მასწავლებელი მოსწავლეს აძლევს დავალებას მოამზადოს ისტორიული ფონი თეორემაზე „სამკუთხედის კუთხეების ჯამი“.

გაკვეთილის ტიპი: ახალი მასალის შესწავლა.

გაკვეთილების დროს

I. საორგანიზაციო მომენტი

სალამი. სტუდენტების ფსიქოლოგიური დამოკიდებულება მუშაობისადმი.

II. Გახურება

წინა გაკვეთილებზე შევხვდით გეომეტრიულ ფიგურას „სამკუთხედს“. გავიმეოროთ ის, რაც ვიცით სამკუთხედის შესახებ?

მოსწავლეები მუშაობენ ჯგუფებში. მათ ეძლევათ ერთმანეთთან კომუნიკაციის შესაძლებლობა, თითოეულმა დამოუკიდებლად ააგოს შემეცნების პროცესი.

Რა მოხდა? თითოეული ჯგუფი აკეთებს თავის წინადადებებს და მასწავლებელი წერს დაფაზე. შედეგები განიხილება:

სურათი 1

III. ვაყალიბებთ გაკვეთილის დავალებას

ასე რომ, ჩვენ უკვე ბევრი რამ ვიცით სამკუთხედის შესახებ. მაგრამ არა ყველა. თითოეულ თქვენგანს აქვს სამკუთხედები და პროტრაქტორები თქვენს მაგიდაზე. როგორ ფიქრობთ, რა დავალება შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ?

მოსწავლეები აყალიბებენ გაკვეთილის დავალებას - იპოვონ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი.

IV. ახალი მასალის ახსნა

პრაქტიკული ნაწილი(ხელს უწყობს ცოდნის აქტუალიზაციას და თვითშემეცნების უნარ-ჩვევებს).კუთხები კუთხით გაზომეთ და იპოვეთ მათი ჯამი. ჩაწერეთ შედეგები რვეულში (მოუსმინეთ მიღებულ პასუხებს). გავარკვიეთ, რომ კუთხეების ჯამი ყველასთვის განსხვავებული აღმოჩნდა (ეს შეიძლება მოხდეს იმის გამო, რომ პროტრაქტორი არაზუსტად იყო გამოყენებული, გამოთვლა გაუფრთხილებლად შესრულდა და ა.შ.).

გადაკეცეთ წერტილოვანი ხაზების გასწვრივ და გაარკვიეთ კიდევ რის ტოლია სამკუთხედის კუთხეების ჯამი:

ა)
სურათი 2

ბ)
სურათი 3

in)
სურათი 4

გ)
სურათი 5

ე)
სურათი 6

პრაქტიკული სამუშაოს დასრულების შემდეგ მოსწავლეები აყალიბებენ პასუხს: სამკუთხედის კუთხეების ჯამი უდრის გაფართოებული კუთხის გრადუსის ზომას, ანუ 180°.

მასწავლებელი: მათემატიკაში პრაქტიკული სამუშაო მხოლოდ რაიმე სახის განცხადების გაკეთების საშუალებას იძლევა, მაგრამ ამას დამტკიცება სჭირდება. დებულებას, რომლის მართებულობა დადასტურებულია მტკიცებით, თეორემა ეწოდება. რა თეორემა შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ და დავამტკიცოთ?

სტუდენტები: სამკუთხედის კუთხეების ჯამი 180 გრადუსია.

ისტორიის მითითება:სამკუთხედის კუთხეების ჯამის თვისება დამკვიდრდა ძველ ეგვიპტეში. თანამედროვე სახელმძღვანელოებში მოცემული მტკიცებულება გვხვდება პროკლეს კომენტარებში ევკლიდეს ელემენტების შესახებ. პროკლე ირწმუნება, რომ ეს მტკიცებულება (სურ. 8) აღმოაჩინეს პითაგორელებმა (ძვ. წ. V ს.). ელემენტების პირველ წიგნში ევკლიდე აყალიბებს თეორემის კიდევ ერთ მტკიცებულებას სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ, რომელიც ადვილად გასაგებია ნახატის დახმარებით (ნახ. 7):

სურათი 7

Ფიგურა 8

ნახატები ეკრანზე ნაჩვენებია პროექტორის საშუალებით.

მასწავლებელი სთავაზობს თეორემის დამტკიცებას ნახატების დახმარებით.

შემდეგ მტკიცებულება ხორციელდება CMD "ცოცხალი მათემატიკის" გამოყენებით.. მასწავლებელი კომპიუტერზე აპროექტებს თეორემის დამტკიცებას.

სამკუთხედის კუთხეების ჯამის თეორემა: "სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°"

სურათი 9

მტკიცებულება:

ა)

სურათი 10

ბ)

სურათი 11

in)

სურათი 12

რვეულში მოსწავლეები აკეთებენ თეორემის დადასტურების მოკლე ჩანაწერს:

თეორემა:სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°.

სურათი 13

მოცემული:Δ ABC

დაამტკიცე: A + B + C = 180°.

მტკიცებულება:

რისი დამტკიცება იყო საჭირო.

ვ.ფიზ. წუთი.

VI. ახალი მასალის ახსნა (გაგრძელება)

თეორემის შედეგი სამკუთხედის კუთხეების ჯამზე მიღებულია სტუდენტების მიერ დამოუკიდებლად, რაც ხელს უწყობს საკუთარი თვალსაზრისის ჩამოყალიბების, მისი გამოხატვისა და არგუმენტაციის უნარის განვითარებას:

ნებისმიერ სამკუთხედში ან ყველა კუთხე არის მახვილი, ან ორი მახვილი კუთხე, ხოლო მესამე ბლაგვი ან მართი.

თუ სამკუთხედში ყველა კუთხე მახვილია, მაშინ მას ე.წ მწვავე-კუთხოვანი.

თუ სამკუთხედის ერთ-ერთი კუთხე ბლაგვია, მაშინ მას უწოდებენ ბლაგვი.

თუ სამკუთხედის ერთ-ერთი კუთხე მართია, მაშინ მას ეძახიან მართკუთხა.

სამკუთხედის ჯამის თეორემა საშუალებას გვაძლევს სამკუთხედების კლასიფიკაცია არა მხოლოდ გვერდების, არამედ კუთხეების მიხედვითაც. (სამკუთხედების ტიპების გაცნობის პროცესში მოსწავლეები ავსებენ ცხრილს)

ცხრილი 1

სამკუთხედის ხედი	ტოლფერდა	ტოლგვერდა	მრავალმხრივი
მართკუთხა
ბლაგვი
მწვავე-კუთხოვანი

VII. შესწავლილი მასალის კონსოლიდაცია.

1. ამოიღეთ პრობლემები ზეპირად:

(ნახატები ნაჩვენებია ეკრანზე პროექტორის საშუალებით)

(ძირითადი რეზიუმე)

ვიზუალური გეომეტრია მე-7 კლასი. საცნობარო რეზიუმე No4 სამკუთხედის კუთხეების ჯამი.

XVII საუკუნის დიდი ფრანგი მეცნიერი ბლეზ პასკალი ბავშვობაში მას უყვარდა გეომეტრიული ფორმების შეხება. იცნობდა პროტრაქტორს და იცოდა კუთხეების გაზომვა. ახალგაზრდა მკვლევარმა შენიშნა, რომ ყველა სამკუთხედისთვის სამი კუთხის ჯამი ერთნაირია - 180 °. „როგორ შეგიძლია ამის დამტკიცება? გაიფიქრა პასკალმა. ”ბოლოს და ბოლოს, თქვენ არ შეგიძლიათ შეამოწმოთ ყველა სამკუთხედის კუთხის ჯამი - მათ შორის უსასრულო რაოდენობაა.” შემდეგ მან მაკრატლით ამოჭრა სამკუთხედის ორი კუთხე და მიამაგრა მესამე კუთხეში. აღმოჩნდა განვითარებული კუთხე, რომელიც, როგორც მოგეხსენებათ, უდრის 180 °. ეს იყო მისი პირველი აღმოჩენა. ბიჭის შემდგომი ბედი უკვე წინასწარ იყო განსაზღვრული.

ამ თემაში თქვენ შეისწავლით მართკუთხა სამკუთხედის ტოლობის ხუთ მახასიათებელს და ალბათ ყველაზე პოპულარულ თვისებას 30° მართკუთხა სამკუთხედის. ასე ჟღერს: 30 ° კუთხის მოპირდაპირე ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს. ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლეზე გაყოფით, მაშინვე მივიღებთ ამ თვისების მტკიცებულებას.

თეორემა. სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°. ამის დასამტკიცებლად ჩვენ ვხატავთ წრფეს ფუძის პარალელურად წვეროში. მუქი კუთხეები ტოლია და ნაცრისფერი კუთხეები ტოლია, რადგან ისინი პარალელურ ხაზებზე დევს. მუქი კუთხე, ნაცრისფერი კუთხე და კუთხე მწვერვალზე ქმნიან სწორ კუთხეს, მათი ჯამი არის 180°. თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ ტოლგვერდა სამკუთხედის კუთხეები თითო 60°-ია, ხოლო მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხეების ჯამი 90°-ია.

გარე კუთხესამკუთხედს ეწოდება სამკუთხედის კუთხის მიმდებარე კუთხე. ამიტომ, ზოგჯერ თავად სამკუთხედის კუთხეებს შიდა კუთხეებს უწოდებენ.

თეორემა სამკუთხედის გარე კუთხეზე. სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის ორი შიდა კუთხის ჯამს, რომლებიც არ არიან მის გვერდით. მართლაც, გარე კუთხე და ორი შიდა კუთხე მის მიმდებარედ ავსებს შევსებულ კუთხეს 180°-მდე. თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ გარე კუთხე მეტია ნებისმიერ შიდა კუთხეზე, რომელიც არ არის მის მიმდებარედ.

თეორემა სამკუთხედის გვერდებსა და კუთხეებს შორის ურთიერთობის შესახებ. სამკუთხედში უფრო დიდი გვერდი უფრო დიდი კუთხის საპირისპიროა, ხოლო დიდი გვერდი უფრო დიდი კუთხის საპირისპიროა. აქედან გამომდინარეობს: 1) ფეხი ნაკლებია ჰიპოტენუზაზე. 2) პერპენდიკულარი ფერდობზე ნაკლებია.

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე . ვინაიდან პერპენდიკულარი ნაკლებია იმავე წერტილიდან გამოყვანილ ნებისმიერ ირიბზე, მისი სიგრძე აღებულია, როგორც მანძილი წერტილიდან წრფემდე.

სამკუთხედის უტოლობა . სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდის სიგრძე ნაკლებია მისი დანარჩენი ორი გვერდის ჯამზე, ე.ი. ა< b + с , ბ< а + с , თან< а + ბ . შედეგი. პოლიხაზის სიგრძე აღემატება მის ბოლოების დამაკავშირებელ სეგმენტს.

თანასწორობის ნიშნები
მართკუთხა სამკუთხედები

ორ ფეხზე. თუ ერთი მართკუთხა სამკუთხედის ორი წვერი უდრის მეორე სამკუთხედის ორ წვერს, მაშინ ასეთი სამკუთხედები თანმიმდევრულია.

ფეხისა და მიმდებარე მწვავე კუთხის გასწვრივ. თუ ერთი მართკუთხა სამკუთხედის მიმდებარე ფეხი და მახვილი კუთხე, შესაბამისად, ტოლია სხვა სამკუთხედის წრის და მის მიმდებარე მახვილი კუთხე, მაშინ ასეთი სამკუთხედები კონგრუენტულია.

ფეხის გასწვრივ და მოპირდაპირე მწვავე კუთხით. თუ ერთი მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი და მოპირდაპირე მახვილი კუთხე, შესაბამისად, ტოლია სხვა სამკუთხედის კუთხის და მოპირდაპირე მახვილი კუთხის, მაშინ ასეთი სამკუთხედები კონგრუენტულია.

ჰიპოტენუზით და მწვავე კუთხით. თუ ერთი მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა და მახვილი კუთხე, შესაბამისად, ტოლია მეორე სამკუთხედის ჰიპოტენუზასა და მახვილ კუთხეს, მაშინ ასეთი სამკუთხედები კონგრუენტულია.

ამ კრიტერიუმების დადასტურება მაშინვე მცირდება სამკუთხედების ტოლობის ერთ-ერთ კრიტერიუმამდე.

ფეხით და ჰიპოტენუზით. თუ ერთი მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი და ჰიპოტენუზა შესაბამისად ტოლია მეორე მართკუთხა სამკუთხედის ფეხისა და ჰიპოტენუზას, მაშინ ასეთი სამკუთხედები კონგრუენტულია.

მტკიცებულება. ჩვენ ვიყენებთ სამკუთხედებს თანაბარი ფეხებით. ვიღებთ ტოლფერდა სამკუთხედს. ზემოდან დახატული მისი სიმაღლე ასევე იქნება მედიანური. მაშინ სამკუთხედების მეორე ფეხები ტოლია, ხოლო სამკუთხედები ტოლია სამი მხრიდან.

თეორემა 30° კუთხის მოპირდაპირე ფეხის თვისებაზე. 30° კუთხის მოპირდაპირე ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს. ეს მტკიცდება სამკუთხედის ტოლგვერდამდე შევსებით.

თეორემა კუთხის ბისექტრის წერტილების თვისებაზე. კუთხის ბისექტრის ნებისმიერი წერტილი მისი გვერდებისგან თანაბარი მანძილითაა დაშორებული. თუ წერტილი თანაბრად არის დაშორებული კუთხის გვერდებიდან, მაშინ ის მდებარეობს კუთხის ბისექტორზე. დადასტურებულია კუთხის გვერდებზე ორი პერპენდიკულარულის დახატვით და მართკუთხა სამკუთხედების გათვალისწინებით.

მეორე შესანიშნავი წერტილი . სამკუთხედის ბისექტრები ერთ წერტილში იკვეთება.

მანძილი პარალელურ ხაზებს შორის. თეორემა. ორი პარალელური წრფის ყველა წერტილი იმავე მანძილზეა მეორე ხაზისგან. პარალელურ წრფეებს შორის მანძილის განსაზღვრა გამომდინარეობს თეორემიდან.

განმარტება. მანძილი ორ პარალელურ წრფეს შორის არის მანძილი ერთი პარალელური ხაზის ნებისმიერი წერტილიდან მეორე წრფემდე.

თეორემების დეტალური მტკიცებულებები

ეს არის საცნობარო აბსტრაქტი No4 გეომეტრიაში მე-7 კლასში. აირჩიეთ შემდეგი ნაბიჯები:

სამკუთხედი . მახვილი, ბლაგვი და მართკუთხა სამკუთხედები.

ფეხები და ჰიპოტენუზა. ტოლგვერდა და ტოლგვერდა სამკუთხედი.

სამკუთხედის კუთხეების ჯამი.

სამკუთხედის გარე კუთხე. სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები.

მშვენიერი ხაზები და წერტილები სამკუთხედში: სიმაღლეები, მედიანა,

ბისექტრები, მედიანაე პერპენდიკულარები, ორთოცენტრი,

სიმძიმის ცენტრი, შემოხაზული წრის ცენტრი, ჩაწერილი წრის ცენტრი.

Პითაგორას თეორემა. თვითნებური სამკუთხედის ასპექტის თანაფარდობა.

სამკუთხედი არის მრავალკუთხედი სამი გვერდით (ან სამი კუთხით). სამკუთხედის გვერდები ხშირად აღინიშნება პატარა ასოებით, რომლებიც შეესაბამება საპირისპირო წვეროების აღმნიშვნელ დიდ ასოებს.

თუ სამივე კუთხე მწვავეა (სურ. 20), მაშინ ეს მწვავე სამკუთხედი . თუ რომელიმე კუთხე სწორია(C, სურ.21), ანუ მართკუთხა სამკუთხედი; მხარეებია , ბმართი კუთხის ფორმირებას უწოდებენ ფეხები; მხარესგმოპირდაპირე მართი კუთხე ეწოდება ჰიპოტენუზა. თუ ერთ-ერთიბლაგვი კუთხეები (B, სურ.22), ანუ ბლაგვი სამკუთხედი.


სამკუთხედი ABC (ნახ. 23) - ტოლფერდა, თუ ორიმისი მხარეები თანაბარიაა= გ); ეს თანაბარი მხარეები ეწოდება გვერდითი, მესამე მხარე ე.წ საფუძველისამკუთხედი. სამკუთხედი ABC (ნახ. 24) - ტოლგვერდა, თუ ყველამისი მხარეები თანაბარიაა = ბ = გ). Ზოგადად ( ა ≠ ბ ≠ გ) ჩვენ გვაქვს სკალენისამკუთხედი .

სამკუთხედების ძირითადი თვისებები. ნებისმიერ სამკუთხედში:

1. უფრო დიდი მხარის საპირისპიროდ უფრო დიდი კუთხეა და პირიქით.

2. თანაბარი კუთხეები განლაგებულია თანაბარი გვერდების საპირისპიროდ და პირიქით.

კერძოდ, ყველა კუთხეში ტოლგვერდასამკუთხედი ტოლია.

3. სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180 º .

ბოლო ორი თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ თითოეული კუთხე ტოლგვერდა

სამკუთხედი არის 60 º.

4. სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდის გაგრძელება (AC, სურ. 25), ვიღებთ გარე

კუთხე BCD . სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის შიდა კუთხეების ჯამს,

არ უკავშირდება მას :BCD=A+B.

5. ნებისმიერი სამკუთხედის გვერდი ნაკლებია დანარჩენი ორი გვერდის ჯამზე და მეტი

მათი განსხვავებები (ა < ბ + გ, ა > ბ – გ;ბ < ა + გ, ბ > ა – გ;გ < ა + ბ,გ > ა – ბ).

სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები.

სამკუთხედები თანმიმდევრულია, თუ ისინი შესაბამისად ტოლია:

ა ) ორი გვერდი და კუთხე მათ შორის;

ბ ) ორი კუთხე და მათ მიმდებარე მხარე;

გ) სამი მხარე.

მართკუთხა სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები.

ორი მართკუთხასამკუთხედები თანმიმდევრულია, თუ ერთ-ერთი შემდეგი პირობა მართალია:

1) მათი ფეხები თანაბარია;

2) ერთი სამკუთხედის ფეხი და ჰიპოტენუზა ტოლია მეორის ფეხისა და ჰიპოტენუზას;

3) ერთი სამკუთხედის ჰიპოტენუზა და მახვილი კუთხე უდრის მეორის ჰიპოტენუზას და მახვილ კუთხეს;

4) ერთი სამკუთხედის ფეხი და მიმდებარე მახვილი კუთხე ტოლია მეორის ფეხისა და მიმდებარე მახვილი კუთხისა;

5) ერთი სამკუთხედის ფეხი და მოპირდაპირე მახვილი კუთხე ტოლია ფეხის და მეორის მწვავე კუთხის საპირისპიროდ.

მშვენიერი ხაზები და წერტილები სამკუთხედში.

სიმაღლე სამკუთხედი არისპერპენდიკულარული,დაეცა ნებისმიერი წვეროდან მოპირდაპირე მხარეს ( ან მისი გაგრძელება). ამ მხარეს ე.წსამკუთხედის საფუძველი . სამკუთხედის სამი სიმაღლე ყოველთვის იკვეთებაერთ მომენტშიდაურეკა ორთოცენტრისამკუთხედი. მახვილი სამკუთხედის ორთოცენტრი (წერტილიო , სურ. 26) მდებარეობს სამკუთხედის შიგნით დაბლაგვი სამკუთხედის ორთოცენტრი (წერტილიო , სურ.27) – გარეთ; მართკუთხა სამკუთხედის ორთოცენტრი ემთხვევა მართი კუთხის წვეროს.

მედიანური - ეს ხაზის სეგმენტი , აკავშირებს სამკუთხედის ნებისმიერ წვეროს მოპირდაპირე მხარის შუა წერტილთან. სამკუთხედის სამი შუალედი (AD , BE , CF , სურ.28) იკვეთება ერთ წერტილში ო , რომელიც ყოველთვის დევს სამკუთხედის შიგნითდა მისი ყოფნა გრავიტაციის ცენტრი. ეს წერტილი ყოფს თითოეულ მედიანას ზემოდან 2:1.

ბისექტორი - ეს ბისექტრული სეგმენტიკუთხე ზემოდან წერტილამდე გადაკვეთა მოპირდაპირე მხარეს. სამკუთხედის სამი ბისექტორი (AD , BE , CF , სურ.29) იკვეთება ერთ წერტილში ოჰ, ყოველთვის იწვა სამკუთხედის შიგნითდა ყოფნა ჩაწერილი წრის ცენტრი(იხ. განყოფილება „ჩაწერილიდა შემოხაზული მრავალკუთხედები).

ბისექტორი მოპირდაპირე მხარეს ყოფს მიმდებარე გვერდების პროპორციულ ნაწილებად ; მაგალითად, სურ.29 AE: CE = AB: BC.

მედიანა პერპენდიკულარული არის საშუალოდან გამოყვანილი პერპენდიკულარისეგმენტის წერტილები (გვერდები). ABC სამკუთხედის სამი პერპენდიკულარული ბისექტორი(KO, MO, NO, სურ.30 ) იკვეთება ერთ წერტილში O, რომელიც არის ცენტრი შემოხაზული წრე (ქულები K, M, N სამკუთხედის გვერდების შუა წერტილები ABC).

მწვავე სამკუთხედში ეს წერტილი სამკუთხედის შიგნით დევს; ბლაგვში - გარეთ; მართკუთხაში - ჰიპოტენუზის შუაში. ორთოცენტრი, სიმძიმის ცენტრი, შემოხაზული წრის ცენტრი და ცენტრი ემთხვევა მხოლოდ ტოლგვერდა სამკუთხედს.

Პითაგორას თეორემა. მართკუთხა სამკუთხედში, სიგრძის კვადრატიჰიპოტენუზა უდრის ფეხების სიგრძის კვადრატების ჯამს.

პითაგორას თეორემის დადასტურება აშკარად გამომდინარეობს ნახ.31-დან. განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი ABC ფეხებით ა , ბდა ჰიპოტენუზა გ.

ავაშენოთ მოედანი AKMB ჰიპოტენუზის გამოყენებით AB როგორც მხარე. მერეგააფართოვეთ მართკუთხა სამკუთხედის გვერდები ABC კვადრატის მისაღებად CDEF , რომლის გვერდი უდრისa + b .ახლა ნათელია, რომ კვადრატის ფართობი CDEF არის ( a+b) 2 . მეორე მხრივ, ეს ფართობი ჯამის ტოლიატერიტორიები ოთხი მართკუთხა სამკუთხედიდა კვადრატული AKMB, ანუ

გ 2 + 4 (აბ / 2) = გ 2 + 2 აბ,

აქედან,

გ 2 + 2 აბ= (a+b) 2 ,

და ბოლოს გვაქვს:

გ 2 =ა 2 +ბ 2 .

თვითნებური სამკუთხედის ასპექტის თანაფარდობა.

ზოგად შემთხვევაში (თვითნებური სამკუთხედისთვის) გვაქვს:

გ 2 =ა 2 +ბ 2 – 2აბ· cos გ,

სადაც C - კუთხე გვერდებს შორისადა ბ .

>>გეომეტრია: სამკუთხედის კუთხეების ჯამი. სრული გაკვეთილები

გაკვეთილის თემა: სამკუთხედის კუთხეების ჯამი.

გაკვეთილის მიზნები:

• მოსწავლეთა ცოდნის კონსოლიდაცია და შემოწმება თემაზე: „სამკუთხედის კუთხეების ჯამი“;
• სამკუთხედის კუთხეების თვისებების დადასტურება;
• ამ ქონების გამოყენება უმარტივესი პრობლემების გადაჭრაში;
• ისტორიული მასალის გამოყენება მოსწავლეთა შემეცნებითი აქტივობის განვითარებისათვის;
• ნახატების აგებისას სიზუსტის უნარის დანერგვა.

გაკვეთილის მიზნები:

• შეამოწმეთ მოსწავლეთა პრობლემების გადაჭრის უნარი.

Გაკვეთილის გეგმა:

1. სამკუთხედი;
2. თეორემა სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ;
3. დავალების მაგალითი.

სამკუთხედი.

ფაილი:O.gif სამკუთხედი- უმარტივესი მრავალკუთხედი, რომელსაც აქვს 3 წვერო (კუთხე) და 3 გვერდი; სიბრტყის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია სამი წერტილით და სამი ხაზით, რომლებიც აკავშირებს ამ წერტილებს წყვილებში.
სივრცეში სამი წერტილი, რომლებიც არ დევს ერთ სწორ ხაზზე, შეესაბამება ერთ და მხოლოდ ერთ სიბრტყეს.
ნებისმიერი მრავალკუთხედი შეიძლება დაიყოს სამკუთხედებად - ამ პროცესს ე.წ სამკუთხედი.
არსებობს მათემატიკის ნაწილი, რომელიც მთლიანად ეძღვნება სამკუთხედების ნიმუშების შესწავლას - ტრიგონომეტრია.

თეორემა სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ.

ფაილი:T.gif სამკუთხედის კუთხეების ჯამის თეორემა არის კლასიკური თეორემა ევკლიდეს გეომეტრიაში, რომელიც ამბობს, რომ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°.

მტკიცებულება" :

მიეცით Δ ABC. B წვეროზე გავავლოთ (AC) პარალელურ წრფე და მოვნიშნოთ მასზე D წერტილი ისე, რომ A და D წერტილები ცდებოდეს BC წრფის მოპირდაპირე მხარეს. მაშინ კუთხე (DBC) და კუთხე (ACB) ტოლია, როგორც შიდა ჯვრები, რომლებიც მდებარეობს პარალელურ ხაზებზე BD და AC და სეკანტი (BC). მაშინ B და C წვეროებზე სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ტოლია კუთხის (ABD). მაგრამ კუთხე (ABD) და კუთხე (BAC) ABC სამკუთხედის A წვეროსთან არის შიდა ცალმხრივი პარალელური ხაზებით BD და AC და სეკანტით (AB), და მათი ჯამი არის 180°. მაშასადამე, სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°. თეორემა დადასტურდა.

შედეგები.

სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის სამკუთხედის ორი კუთხის ჯამს, რომლებიც არ არიან მის გვერდით.

მტკიცებულება:

მიეცით Δ ABC. წერტილი D დევს AC წრფეზე ისე, რომ A დევს C-სა და D-ს შორის. მაშინ BAD გარეა სამკუთხედის კუთხის A წვეროზე და A + BAD = 180°. მაგრამ A + B + C = 180 °, და აქედან გამომდინარე, B + C = 180 ° - A. აქედან გამომდინარე, BAD = B + C. დასკვნა დადასტურებულია.

შედეგები.

სამკუთხედის გარე კუთხე აღემატება სამკუთხედის ნებისმიერ კუთხეს, რომელიც არ არის მის მიმდებარედ.

დავალება.

სამკუთხედის გარე კუთხე არის ამ სამკუთხედის ნებისმიერი კუთხის მიმდებარე კუთხე. დაამტკიცეთ, რომ სამკუთხედის გარე კუთხე ტოლია სამკუთხედის ორი კუთხის ჯამის, რომლებიც არ არიან მიმდებარე.
(ნახ.1)

გადაწყვეტილება:

მოდით Δ ABC ∠DAC იყოს გარე (ნახ.1). შემდეგ ∠DAC=180°-∠BAC (მიმდებარე კუთხეების თვისების მიხედვით), თეორემის მიხედვით სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ ∠B+∠C =180°-∠BAC. ამ ტოლობებიდან ვიღებთ ∠DAC=∠B+∠C

Საინტერესო ფაქტი:

სამკუთხედის კუთხეების ჯამი :

ლობაჩევსკის გეომეტრიაში სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის 180-ზე ნაკლებია, ევკლიდეს გეომეტრიაში ის ყოველთვის 180-ის ტოლია. რიმანის გეომეტრიაში სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის 180-ზე მეტია.

მათემატიკის ისტორიიდან:

ევკლიდე (ძვ. წ. III ს.) ნაშრომში "დასაწყისები" იძლევა შემდეგ განმარტებას: "პარალელური არის სწორი ხაზები, რომლებიც ერთ სიბრტყეშია და, განუსაზღვრელი ვადით ორივე მიმართულებით გაშლილი, არ ხვდებიან ერთმანეთს არც ერთ მხარეს" .
პოსიდონიუსი (ძვ. წ. I ს.) "ორი სწორი ხაზი დევს ერთ სიბრტყეში, ერთმანეთისგან თანაბარ მანძილზე"
ძველმა ბერძენმა მეცნიერმა პაპუსმა (ძვ. წ. III ს.) შემოიღო პარალელური ხაზების სიმბოლო - ნიშანი =. შემდგომში ინგლისელმა ეკონომისტმა რიკარდომ (1720-1823) ეს სიმბოლო ტოლობის ნიშნად გამოიყენა.
მხოლოდ მე-18 საუკუნეში დაიწყეს პარალელური ხაზების სიმბოლოს - ნიშნის || გამოყენება.
თაობებს შორის ცოცხალი კავშირი ერთი წუთითაც არ წყდება, ყოველდღე ვსწავლობთ ჩვენი წინაპრების მიერ დაგროვილ გამოცდილებას. ძველი ბერძნები, დაკვირვებისა და პრაქტიკული გამოცდილების საფუძველზე, გამოიტანეს დასკვნები, გამოთქვეს ჰიპოთეზები, შემდეგ კი, მეცნიერთა შეხვედრებზე - სიმპოზიუმებზე (სიტყვასიტყვით "დღესასწაული") - ცდილობდნენ ამ ჰიპოთეზების დასაბუთებას და დამტკიცებას. ამ დროს ჩამოყალიბდა განცხადება: „ჭეშმარიტება კამათში იბადება“.

კითხვები:

1. რა არის სამკუთხედი?
2. რას ამბობს სამკუთხედის ჯამის თეორემა?
3. რა არის სამკუთხედის გარე კუთხე?