გსურთ იცოდეთ რა არის თქვენი ფსონის წარმატებული მათემატიკური შანსები? მაშინ ჩვენ გვაქვს ორი კარგი ამბავი თქვენთვის. პირველი: გამავლობის გამოსათვლელად, არ გჭირდებათ რთული გამოთვლების ჩატარება და დიდი დროის დახარჯვა. საკმარისია მარტივი ფორმულების გამოყენება, რომლებთან მუშაობას რამდენიმე წუთი დასჭირდება. მეორეც, ამ სტატიის წაკითხვის შემდეგ, თქვენ მარტივად შეძლებთ გამოთვალოთ თქვენი რომელიმე გარიგების გავლის ალბათობა.

გამავლობის სწორად დასადგენად, თქვენ უნდა გადადგათ სამი ნაბიჯი:

• გამოთვალეთ მოვლენის შედეგის ალბათობის პროცენტი ტოტალიზატორის მიხედვით;
• თავად გამოთვალეთ ალბათობა სტატისტიკური მონაცემებიდან;
• გაარკვიეთ ფსონის ღირებულება ორივე ალბათობის გათვალისწინებით.

მოდით დეტალურად განვიხილოთ თითოეული ნაბიჯი, არა მხოლოდ ფორმულების, არამედ მაგალითების გამოყენებით.

სწრაფი გავლა

ფსონების შანსებში ჩადებული ალბათობის გაანგარიშება

პირველი ნაბიჯი არის იმის გარკვევა, თუ რა ალბათობით აფასებს ტოტალიზატორი კონკრეტული შედეგის შანსებს. ყოველივე ამის შემდეგ, ცხადია, რომ ტოტალიზატორები არ დებენ ფსონებს მხოლოდ ასე. ამისთვის ვიყენებთ შემდეგ ფორმულას:

პბ=(1/K)*100%,

სადაც P B არის შედეგის ალბათობა ტოტალიზატორის ოფისის მიხედვით;

K - ტოტალიზატორის შანსები შედეგისთვის.

ვთქვათ, ლონდონის არსენალის გამარჯვების შანსები ბაიერნთან დუელში არის 4. ეს ნიშნავს, რომ მისი გამარჯვების ალბათობა BC-ით განიხილება როგორც (1/4) * 100% = 25%. ან ჯოკოვიჩი სამხრეთის წინააღმდეგ თამაშობს. ნოვაკის გამარჯვების მულტიპლიკატორი არის 1,2, მისი შანსები უდრის (1/1,2)*100%=83%.

ასე აფასებს თავად ტოტალიზატორი თითოეული მოთამაშისა და გუნდის წარმატების შანსებს. პირველი ნაბიჯის დასრულების შემდეგ გადავდივართ მეორეზე.

მოთამაშის მიერ მოვლენის ალბათობის გაანგარიშება

ჩვენი გეგმის მეორე პუნქტი არის მოვლენის ალბათობის ჩვენივე შეფასება. ვინაიდან მათემატიკურად ვერ გავითვალისწინებთ ისეთ პარამეტრებს, როგორიცაა მოტივაცია, თამაშის ტონი, გამოვიყენებთ გამარტივებულ მოდელს და გამოვიყენებთ მხოლოდ წინა შეხვედრების სტატისტიკას. შედეგის სტატისტიკური ალბათობის გამოსათვლელად ვიყენებთ ფორმულას:

პდა\u003d (UM / M) * 100%,

სადაცპდა- მოვლენის ალბათობა მოთამაშის მიხედვით;

UM - წარმატებული მატჩების რაოდენობა, რომლებშიც მოხდა ასეთი ღონისძიება;

M არის მატჩების საერთო რაოდენობა.

უფრო გასაგებად რომ ვთქვათ, მოვიყვანოთ მაგალითები. ენდი მარეიმ და რაფაელ ნადალმა 14 მატჩი ჩაატარეს. მათგან 6-ში სულ 21-მდე თამაში დაფიქსირდა, 8-ში - სულ ზედ. აუცილებელია გაირკვეს ალბათობა იმისა, რომ შემდეგი მატჩი ითამაშებს ტოტალური ოვერით: (8/14)*100=57%. ვალენსიამ მესტალაზე ატლეტიკოს წინააღმდეგ 74 მატჩი ჩაატარა, რომელშიც 29 გამარჯვება მოიპოვა. ვალენსიას მოგების ალბათობა: (29/74)*100%=39%.

და ეს ყველამ ვიცით მხოლოდ წინა თამაშების სტატისტიკის წყალობით! ბუნებრივია, ასეთი ალბათობა არ შეიძლება გამოითვალოს ახალი გუნდისთვის ან მოთამაშისთვის, ამიტომ ფსონების ეს სტრატეგია შესაფერისია მხოლოდ მატჩებისთვის, რომლებშიც მოწინააღმდეგეები პირველად არ ხვდებიან. ახლა ჩვენ ვიცით როგორ განვსაზღვროთ ფსონები და შედეგების საკუთარი ალბათობა და გვაქვს ყველა ცოდნა ბოლო საფეხურზე გადასასვლელად.

ფსონის ღირებულების განსაზღვრა

ფსონის ღირებულება (ღირებულობა) და გამტარობა პირდაპირ კავშირშია: რაც უფრო მაღალია შეფასება, მით მეტია პასის შანსი. ღირებულება გამოითვლება შემდეგნაირად:

V=პდა*K-100%,

სადაც V არის მნიშვნელობა;

P I - შედეგის ალბათობა უკეთესის მიხედვით;

K - ტოტალიზატორის შანსები შედეგისთვის.

ვთქვათ, გვინდა ფსონი დავდოთ მილანზე რომასთან მატჩის მოგებაზე და გამოვთვალეთ, რომ წითელ-შავების გამარჯვების ალბათობა 45%-ია. ტოტალიზატორი ამ შედეგისთვის გვთავაზობს კოეფიციენტს 2.5. იქნება ასეთი ფსონი ღირებული? ჩვენ ვაწარმოებთ გამოთვლებს: V \u003d 45% * 2.5-100% \u003d 12.5%. მშვენიერია, ჩვენ გვაქვს ღირებული ფსონი გავლის კარგი შანსებით.

ავიღოთ სხვა შემთხვევა. მარია შარაპოვა პეტრა კვიტოვას წინააღმდეგ თამაშობს. ჩვენ გვინდა, რომ მარიამ მოიგოს გარიგება, რასაც ჩვენი გათვლებით 60%-იანი ალბათობა აქვს. ტოტალიზატორები გვთავაზობენ მულტიპლიკატორს 1.5 ამ შედეგისთვის. განსაზღვრეთ მნიშვნელობა: V=60%*1.5-100=-10%. როგორც ხედავთ, ამ მაჩვენებელს არავითარი მნიშვნელობა არ აქვს და მისგან თავი უნდა შეიკავოთ.

ნაკლებად სავარაუდოა, რომ ბევრმა იფიქროს იმაზე, შესაძლებელია თუ არა მეტ-ნაკლებად შემთხვევითი მოვლენების გამოთვლა. მარტივი სიტყვებით, რეალურია თუ არა იმის ცოდნა, თუ რომელი მხარე დაეცემა სამაჯურს შემდეგ. სწორედ ეს კითხვა დაუსვეს ორმა დიდმა მეცნიერმა, რომლებმაც საფუძველი ჩაუყარეს ისეთ მეცნიერებას, როგორიცაა ალბათობის თეორია, რომელშიც საკმაოდ ვრცლად არის შესწავლილი მოვლენის ალბათობა.

წარმოშობა

თუ თქვენ ცდილობთ განსაზღვროთ ისეთი კონცეფცია, როგორიცაა ალბათობის თეორია, მიიღებთ შემდეგს: ეს არის მათემატიკის ერთ-ერთი დარგი, რომელიც სწავლობს შემთხვევითი მოვლენების მუდმივობას. რა თქმა უნდა, ეს კონცეფცია მთელ არსს ნამდვილად არ ამჟღავნებს, ამიტომ მისი უფრო დეტალურად განხილვა აუცილებელია.

მინდა დავიწყოთ თეორიის შემქმნელებით. როგორც ზემოთ აღინიშნა, ორი მათგანი იყო და სწორედ ისინი იყვნენ პირველთა შორის, ვინც ცდილობდა გამოეთვალათ მოვლენის შედეგი ფორმულებისა და მათემატიკური გამოთვლების გამოყენებით. მთლიანობაში, ამ მეცნიერების დასაწყისი შუა საუკუნეებში გაჩნდა. იმ დროს, სხვადასხვა მოაზროვნეები და მეცნიერები ცდილობდნენ აზარტული თამაშების გაანალიზებას, როგორიცაა რულეტკა, კრაპები და ა.შ. საფუძველი ჩაეყარა XVII საუკუნეში ზემოხსენებულმა მეცნიერებმა.

თავდაპირველად, მათი ნამუშევარი არ შეიძლება მიეწეროს ამ სფეროში დიდ მიღწევებს, რადგან ყველაფერი, რაც მათ გააკეთეს, უბრალოდ ემპირიული ფაქტები იყო, ექსპერიმენტები კი ვიზუალურად, ფორმულების გამოყენების გარეშე იყო დაყენებული. დროთა განმავლობაში დიდი შედეგების მიღწევა აღმოჩნდა, რაც კამათლის სროლაზე დაკვირვების შედეგად გამოჩნდა. ეს იყო ეს ინსტრუმენტი, რომელიც დაეხმარა პირველი გასაგები ფორმულების გამომუშავებას.

თანამოაზრეები

შეუძლებელია არ ვახსენო ისეთი ადამიანი, როგორიც არის კრისტიან ჰაიგენსი, თემის შესწავლის პროცესში, სახელწოდებით „ალბათობის თეორია“ (მოვლენის ალბათობა სწორედ ამ მეცნიერებაშია გაშუქებული). ეს ადამიანი ძალიან საინტერესოა. ის, ისევე როგორც ზემოთ წარმოდგენილი მეცნიერები, ცდილობდა გამოეყვანა შემთხვევითი მოვლენების კანონზომიერება მათემატიკური ფორმულების სახით. აღსანიშნავია, რომ მას ეს არ გაუკეთებია პასკალთან და ფერმასთან ერთად, ანუ მისი ყველა ნამუშევარი არანაირად არ იკვეთება ამ გონებასთან. ჰაიგენსმა გამოიყვანა

საინტერესო ფაქტია, რომ მისი ნამუშევარი აღმომჩენთა მუშაობის შედეგებამდე დიდი ხნით ადრე გამოვიდა, უფრო სწორად, ოცი წლით ადრე. დანიშნულ ცნებებს შორის ყველაზე ცნობილია:

• ალბათობის ცნება, როგორც შემთხვევითობის სიდიდე;
• მათემატიკური მოლოდინი დისკრეტული შემთხვევებისთვის;
• გამრავლებისა და ალბათობების შეკრების თეორემები.

ასევე შეუძლებელია არ გვახსოვდეს, თუ ვინ შეიტანა ასევე მნიშვნელოვანი წვლილი პრობლემის შესწავლაში. საკუთარი ტესტების ჩატარებით, ვინმესგან დამოუკიდებლად, მან მოახერხა დიდი რიცხვების კანონის მტკიცებულების წარდგენა. თავის მხრივ, მეცნიერებმა პუასონმა და ლაპლასმა, რომლებიც მუშაობდნენ მეცხრამეტე საუკუნის დასაწყისში, შეძლეს ორიგინალური თეორემების დამტკიცება. სწორედ ამ მომენტიდან დაიწყო ალბათობის თეორიის გამოყენება დაკვირვების მსვლელობისას შეცდომების გასაანალიზებლად. რუსმა მეცნიერებმა, უფრო სწორად, მარკოვმა, ჩებიშევმა და დიაპუნოვმა ვერც ამ მეცნიერებას გვერდი აუარეს. დიდი გენიოსების მიერ შესრულებული სამუშაოს საფუძველზე მათ ეს საგანი მათემატიკის დარგად დააფიქსირეს. ეს ფიგურები მუშაობდნენ უკვე მეცხრამეტე საუკუნის ბოლოს და მათი წვლილის წყალობით, ისეთი ფენომენები, როგორიცაა:

• დიდი რიცხვების კანონი;
• მარკოვის ჯაჭვების თეორია;
• ცენტრალური ლიმიტის თეორემა.

ასე რომ, მეცნიერების დაბადების ისტორიითა და ძირითადი ადამიანებით, რომლებმაც მასზე გავლენა მოახდინეს, ყველაფერი მეტ-ნაკლებად ნათელია. ახლა დროა ყველა ფაქტის დაკონკრეტება.

Ძირითადი ცნებები

სანამ კანონებსა და თეორემებს შევეხებით, ღირს ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებების შესწავლა. ღონისძიება მასში წამყვან როლს იკავებს. ეს თემა საკმაოდ მოცულობითია, მაგრამ ამის გარეშე სხვა ყველაფრის გაგება შეუძლებელი იქნება.

მოვლენა ალბათობის თეორიაში არის ექსპერიმენტის შედეგების ნებისმიერი ნაკრები. ამ ფენომენის ამდენი კონცეფცია არ არსებობს. ასე რომ, მეცნიერმა ლოტმანმა, რომელიც მუშაობს ამ სფეროში, თქვა, რომ ამ შემთხვევაში ჩვენ ვსაუბრობთ იმაზე, რაც "მოხდა, თუმცა ეს შეიძლება არ მომხდარიყო".

შემთხვევითი მოვლენები (ალბათობის თეორია მათ განსაკუთრებულ ყურადღებას აქცევს) არის ცნება, რომელიც გულისხმობს აბსოლუტურად ნებისმიერ ფენომენს, რომელსაც აქვს არსებობის უნარი. ან, პირიქით, ეს სცენარი შეიძლება არ მოხდეს, როცა ბევრი პირობა დაკმაყოფილებულია. ასევე ღირს იმის ცოდნა, რომ ეს არის შემთხვევითი მოვლენები, რომლებიც ასახავს ფენომენების მთელ მოცულობას, რაც მოხდა. ალბათობის თეორია მიუთითებს, რომ ყველა პირობა შეიძლება მუდმივად განმეორდეს. სწორედ მათ ქცევას ეწოდა „ექსპერიმენტი“ ან „ტესტი“.

გარკვეული მოვლენა არის ის, რომელიც 100% მოხდება მოცემულ ტესტში. შესაბამისად, შეუძლებელი მოვლენა არის ის, რაც არ მოხდება.

მოქმედებების წყვილის ერთობლიობა (პირობითად შემთხვევა A და შემთხვევა B) არის ფენომენი, რომელიც ერთდროულად ხდება. ისინი დანიშნულია როგორც AB.

A და B მოვლენების წყვილის ჯამი არის C, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ მათგან ერთი მაინც მოხდება (A ან B), მაშინ მიიღება C. აღწერილი ფენომენის ფორმულა იწერება შემდეგნაირად: C \u003d A. + B.

განცალკევებული მოვლენები ალბათობის თეორიაში გულისხმობს, რომ ეს ორი შემთხვევა ურთიერთგამომრიცხავია. ისინი არასოდეს შეიძლება მოხდეს ერთდროულად. ერთობლივი მოვლენები ალბათობის თეორიაში მათი ანტიპოდია. ეს ნიშნავს, რომ თუ A მოხდა, მაშინ ის არანაირად არ უშლის ხელს B-ს.

საპირისპირო მოვლენები (ალბათობის თეორია მათ დეტალურად ეხება) ადვილად გასაგებია. უმჯობესია მათთან შედარებით გაუმკლავდეთ. ისინი თითქმის იგივეა, რაც შეუთავსებელი მოვლენები ალბათობის თეორიაში. მაგრამ მათი განსხვავება მდგომარეობს იმაში, რომ ერთ-ერთი მრავალი ფენომენი ნებისმიერ შემთხვევაში უნდა მოხდეს.

თანაბრად სავარაუდო მოვლენებია ის მოქმედებები, რომელთა განმეორების შესაძლებლობა თანაბარია. უფრო გასაგებად რომ ვთქვათ, ჩვენ შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ მონეტის სროლა: მისი ერთ-ერთი მხარის დაკარგვის ალბათობა მეორისგანაც იგივეა.

ხელსაყრელი მოვლენის დანახვა უფრო ადვილია მაგალითით. დავუშვათ, არის ეპიზოდი B და ეპიზოდი A. პირველი არის კენტი რიცხვის ფიგურა, ხოლო მეორე არის ხუთეულის გამოჩენა კვერზე. შემდეგ გამოდის, რომ A უპირატესობას ანიჭებს B-ს.

დამოუკიდებელი მოვლენები ალბათობის თეორიაში პროეცირებულია მხოლოდ ორ ან მეტ შემთხვევაზე და გულისხმობს ნებისმიერი მოქმედების დამოუკიდებლობას მეორისგან. მაგალითად, A - კუდების ვარდნა მონეტის სროლისას და B - ჯეკის მიღება გემბანიდან. ისინი დამოუკიდებელი მოვლენებია ალბათობის თეორიაში. ამ ეტაპზე უფრო ნათელი გახდა.

ალბათობის თეორიაში დამოკიდებული მოვლენები ასევე დასაშვებია მხოლოდ მათი სიმრავლისთვის. ისინი გულისხმობენ ერთის მეორეზე დამოკიდებულებას, ანუ B ფენომენი შეიძლება მოხდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ A უკვე მოხდა ან, პირიქით, არ მომხდარა, როდესაც ეს არის B-სთვის მთავარი პირობა.

ერთი კომპონენტისგან შემდგარი შემთხვევითი ექსპერიმენტის შედეგი არის ელემენტარული მოვლენები. ალბათობის თეორია განმარტავს, რომ ეს არის ფენომენი, რომელიც მხოლოდ ერთხელ მოხდა.

ძირითადი ფორმულები

ასე რომ, ზემოთ განხილული იქნა ცნებები "მოვლენა", "ალბათობის თეორია", ასევე მოცემულია ამ მეცნიერების ძირითადი ტერმინების განმარტება. ახლა დროა უშუალოდ გაეცნოთ მნიშვნელოვან ფორმულებს. ეს გამონათქვამები მათემატიკურად ადასტურებენ ყველა ძირითად ცნებას ისეთ რთულ საგანში, როგორიცაა ალბათობის თეორია. მოვლენის ალბათობა აქაც დიდ როლს თამაშობს.

ჯობია მთავარით დავიწყოთ და სანამ მათზე გადავიდოდეთ, ღირს დაფიქრდეთ რა არის.

კომბინატორიკა, უპირველეს ყოვლისა, მათემატიკის ფილიალია, ის ეხება მთელი რიცხვების უზარმაზარი რაოდენობის შესწავლას, ასევე როგორც თავად რიცხვების, ასევე მათი ელემენტების სხვადასხვა პერმუტაციებს, სხვადასხვა მონაცემებს და ა.შ., რამაც გამოიწვია მრავალი კომბინაციის გამოჩენა. გარდა ალბათობის თეორიისა, ეს დარგი მნიშვნელოვანია სტატისტიკისთვის, კომპიუტერული მეცნიერებისთვის და კრიპტოგრაფიისთვის.

ასე რომ, ახლა თქვენ შეგიძლიათ გადახვიდეთ თავად ფორმულების პრეზენტაციაზე და მათ განმარტებაზე.

პირველი მათგანი იქნება გამოხატულება პერმუტაციების რაოდენობისთვის, ის ასე გამოიყურება:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

განტოლება მოქმედებს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ელემენტები განსხვავდებიან მხოლოდ მათი თანმიმდევრობით.

ახლა განიხილება განთავსების ფორმულა, ასე გამოიყურება:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (ნ - მ)!

ეს გამოთქმა ეხება არა მხოლოდ ელემენტის წესრიგს, არამედ მის შემადგენლობას.

კომბინატორიკის მესამე განტოლებას, და ის ასევე ბოლოა, ეწოდება კომბინაციების რაოდენობის ფორმულა:

C_n^m = n! : ((ნ - მ))! :მ!

კომბინაციას უწოდებენ შერჩევას, რომელიც არ არის შეკვეთილი, შესაბამისად, და ეს წესი მათზე ვრცელდება.

კომბინატორიკის ფორმულების გარკვევა ადვილი აღმოჩნდა, ახლა შეგვიძლია გადავიდეთ ალბათობის კლასიკურ განსაზღვრებაზე. ეს გამოთქმა ასე გამოიყურება:

ამ ფორმულაში m არის A მოვლენისთვის ხელსაყრელი პირობების რაოდენობა, ხოლო n არის აბსოლუტურად ყველა თანაბრად შესაძლო და ელემენტარული შედეგის რაოდენობა.

გამოთქმების დიდი რაოდენობაა, სტატია არ მოიცავს ყველა მათგანს, მაგრამ მათგან ყველაზე მნიშვნელოვანს შევეხებით, როგორიცაა, მაგალითად, მოვლენათა ჯამის ალბათობა:

P(A + B) = P(A) + P(B) - ეს თეორემა არის მხოლოდ შეუთავსებელი მოვლენების დასამატებლად;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - და ეს არის მხოლოდ თავსებადიების დასამატებლად.

მოვლენების წარმოქმნის ალბათობა:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - ეს თეორემა არის დამოუკიდებელი მოვლენებისთვის;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - და ეს არის დამოკიდებულებისთვის.

ღონისძიების ფორმულა დაასრულებს სიას. ალბათობის თეორია გვეუბნება ბეიზის თეორემაზე, რომელიც ასე გამოიყურება:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., ნ

ამ ფორმულაში H 1 , H 2 , ..., H n არის ჰიპოთეზების სრული ჯგუფი.

მაგალითები

თუ თქვენ ყურადღებით შეისწავლით მათემატიკის რომელიმე დარგს, ის არ არის სრულყოფილი სავარჯიშოებისა და ამონახსნების ნიმუშის გარეშე. ასეა ალბათობის თეორიაც: მოვლენები, მაგალითები აქ არის განუყოფელი კომპონენტი, რომელიც ადასტურებს მეცნიერულ გამოთვლებს.

პერმუტაციების რაოდენობის ფორმულა

ვთქვათ, არის ოცდაათი კარტი კარტების დასტაში, დაწყებული ნომინალური ღირებულებით ერთი. Შემდეგი შეკითხვა. რამდენი გზა არსებობს გემბანის დასაწყობად ისე, რომ ერთი და ორი ნომინალური ღირებულების ბარათები ერთმანეთის გვერდით არ იყოს?

ამოცანა დასახულია, ახლა გადავიდეთ მის გადაჭრაზე. ჯერ უნდა დაადგინოთ ოცდაათი ელემენტის პერმუტაციების რაოდენობა, ამისთვის ვიღებთ ზემოთ მოცემულ ფორმულას, გამოდის P_30 = 30!.

ამ წესიდან გამომდინარე, ჩვენ გავარკვევთ, რამდენი ვარიანტია გემბანის დასაკეცი სხვადასხვა გზით, მაგრამ მათ უნდა გამოვაკლოთ ის, რომლებშიც პირველი და მეორე კარტებია. ამისათვის დავიწყოთ იმ ვარიანტით, როცა პირველი მეორეზე მაღლა დგას. გამოდის, რომ პირველ კარტს შეუძლია ოცდაცხრა ადგილი დაიკავოს - პირველიდან ოცდამეცხრემდე, ხოლო მეორე კარტი მეორიდან ოცდამეათემდე, გამოდის მხოლოდ ოცდაცხრა ადგილი წყვილი კარტისთვის. თავის მხრივ, დანარჩენს შეუძლია დაიკავოს ოცდარვა ადგილი და ნებისმიერი თანმიმდევრობით. ანუ, ოცდარვა კარტის პერმუტაციისთვის არის ოცდარვა ვარიანტი P_28 = 28!

შედეგად, გამოდის, რომ თუ გავითვალისწინებთ გადაწყვეტილებას, როდესაც პირველი კარტი მეორეზე მაღლა დგას, არის 29 ⋅ 28 დამატებითი შესაძლებლობა! = 29!

იგივე მეთოდის გამოყენებით, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ზედმეტი ვარიანტების რაოდენობა იმ შემთხვევისთვის, როდესაც პირველი ბარათი მეორეზეა. ისიც გამოდის 29 ⋅ 28! = 29!

აქედან გამომდინარეობს, რომ არის 2 ⋅ 29! დამატებითი ვარიანტი, ხოლო გემბანის ასაგებად 30 აუცილებელი გზა! - 2 ⋅ 29!. რჩება მხოლოდ დათვლა.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

ახლა თქვენ უნდა გაამრავლოთ ყველა რიცხვი ერთიდან ოცდაცხრამდე და ბოლოს ყველაფერი გაამრავლოთ 28-ზე. პასუხი არის 2.4757335 ⋅〖10〗^32

მაგალითი გადაწყვეტა. განთავსების ნომრის ფორმულა

ამ პრობლემაში თქვენ უნდა გაარკვიოთ რამდენი გზა არსებობს თხუთმეტი ტომის ერთ თაროზე დასადებად, მაგრამ იმ პირობით, რომ სულ ოცდაათი ტომია.

ამ პრობლემის გადაწყვეტა ოდნავ უფრო მარტივია, ვიდრე წინა. უკვე ცნობილი ფორმულის გამოყენებით, აუცილებელია გამოვთვალოთ შეთანხმებების საერთო რაოდენობა თხუთმეტი ოცდაათი ტომიდან.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 72003

პასუხი, შესაბამისად, უდრის 202,843,204,931,727,360,000.

ახლა მოდით დავალება ცოტა უფრო რთულად მივიღოთ. თქვენ უნდა გაარკვიოთ რამდენი გზა არსებობს ოცდაათი წიგნის ორ თაროზე მოსაწყობად, იმ პირობით, რომ მხოლოდ თხუთმეტი ტომი შეიძლება იყოს ერთ თაროზე.

გადაწყვეტის დაწყებამდე მინდა განვმარტო, რომ ზოგიერთი პრობლემა წყდება რამდენიმე გზით, ამიტომ ამ ერთში ორი გზაა, მაგრამ ორივეში ერთი და იგივე ფორმულა გამოიყენება.

ამ პრობლემაში შეგიძლიათ პასუხი აიღოთ წინადან, რადგან იქ ჩვენ გამოვთვალეთ რამდენჯერ შეგიძლიათ შეავსოთ თარო თხუთმეტი წიგნით სხვადასხვა გზით. აღმოჩნდა A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

მეორე თაროს პერმუტაციის ფორმულის მიხედვით ვიანგარიშებთ, რადგან მასში თხუთმეტი წიგნია მოთავსებული, თხუთმეტი კი რჩება. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას P_15 = 15!.

გამოდის, რომ საერთო ჯამში იქნება A_30^15 ⋅ P_15 გზები, მაგრამ, გარდა ამისა, ოცდაათიდან თექვსმეტამდე ყველა რიცხვის ნამრავლი უნდა გამრავლდეს რიცხვების ნამრავლზე ერთიდან თხუთმეტამდე, შედეგად, მიიღება ყველა რიცხვის ნამრავლი ერთიდან ოცდაათამდე, ანუ პასუხი უდრის 30-ს!

მაგრამ ეს პრობლემა შეიძლება მოგვარდეს სხვა გზით - უფრო ადვილია. ამისათვის თქვენ წარმოიდგინეთ, რომ არის ერთი თარო ოცდაათი წიგნისთვის. ყველა მათგანი მოთავსებულია ამ თვითმფრინავზე, მაგრამ რადგან პირობა მოითხოვს, რომ იყოს ორი თარო, ერთი გრძელი დავჭრათ შუაზე, გამოდის ორი თხუთმეტი. აქედან გამოდის, რომ განთავსების ვარიანტები შეიძლება იყოს P_30 = 30!.

მაგალითი გადაწყვეტა. კომბინაციის ნომრის ფორმულა

ახლა განვიხილავთ მესამე პრობლემის ვარიანტს კომბინატორიკიდან. თქვენ უნდა გაარკვიოთ რამდენი გზა არსებობს თხუთმეტი წიგნის მოსაწყობად, იმ პირობით, რომ თქვენ უნდა აირჩიოთ ოცდაათი აბსოლუტურად იდენტური წიგნიდან.

ამოხსნისთვის, რა თქმა უნდა, გამოყენებული იქნება კომბინაციების რაოდენობის ფორმულა. მდგომარეობიდან ირკვევა, რომ იდენტური თხუთმეტი წიგნის თანმიმდევრობა არ არის მნიშვნელოვანი. ამიტომ, თავდაპირველად თქვენ უნდა გაარკვიოთ თხუთმეტი წიგნის ოცდაათი კომბინაციის საერთო რაოდენობა.

C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : თხუთმეტი! = 155 117 520

Სულ ეს არის. ამ ფორმულის გამოყენებით უმოკლეს დროში შესაძლებელი გახდა ასეთი პრობლემის გადაჭრა, პასუხი, შესაბამისად, არის 155 117 520.

მაგალითი გადაწყვეტა. ალბათობის კლასიკური განმარტება

ზემოთ მოყვანილი ფორმულის გამოყენებით შეგიძლიათ იპოვოთ პასუხი მარტივ პრობლემაში. მაგრამ ეს ხელს შეუწყობს მოქმედებების ვიზუალურად დანახვას და კვალს.

პრობლემა მოცემულია, რომ ურნაში არის ათი აბსოლუტურად იდენტური ბურთი. აქედან ოთხი ყვითელია, ექვსი კი ლურჯი. ერთი ბურთი ამოღებულია ურნიდან. თქვენ უნდა გაარკვიოთ ლურჯის მიღების ალბათობა.

პრობლემის გადასაჭრელად აუცილებელია ლურჯი ბურთის მიღება A მოვლენად დასახელდეს. ამ გამოცდილებას შეიძლება ჰქონდეს ათი შედეგი, რომლებიც, თავის მხრივ, ელემენტარული და თანაბრად სავარაუდოა. ამავდროულად, ათიდან ექვსი ხელსაყრელია მოვლენისთვის A. ჩვენ ამოვხსნით ფორმულის გამოყენებით:

P(A) = 6: 10 = 0.6

ამ ფორმულის გამოყენებით გავარკვიეთ, რომ ლურჯი ბურთის მიღების ალბათობა არის 0,6.

მაგალითი გადაწყვეტა. მოვლენათა ჯამის ალბათობა

ახლა წარმოდგენილი იქნება ვარიანტი, რომელიც იხსნება მოვლენათა ჯამის ალბათობის ფორმულის გამოყენებით. ამრიგად, იმ პირობით, რომ არის ორი ყუთი, პირველი შეიცავს ერთ ნაცრისფერ და ხუთ თეთრ ბურთულებს, ხოლო მეორე შეიცავს რვა ნაცრისფერ და ოთხ თეთრ ბურთულებს. შედეგად, ერთი მათგანი ამოიღეს პირველი და მეორე ყუთებიდან. აუცილებელია გაირკვეს, რა არის შანსი, რომ ამოღებული ბურთები იყოს ნაცრისფერი და თეთრი.

ამ პრობლემის გადასაჭრელად აუცილებელია მოვლენების დანიშვნა.

• ასე რომ, A - აიღეთ ნაცრისფერი ბურთი პირველი ყუთიდან: P(A) = 1/6.
• A '- მათ ასევე აიღეს თეთრი ბურთი პირველი ყუთიდან: P (A ") \u003d 5/6.
• B - ნაცრისფერი ბურთი ამოიღეს უკვე მეორე ყუთიდან: P(B) = 2/3.
• B' - აიღეს ნაცრისფერი ბურთი მეორე ყუთიდან: P(B") = 1/3.

პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, აუცილებელია, რომ მოხდეს ერთ-ერთი ფენომენი: AB 'ან A'B. ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

ახლა გამოყენებულია ალბათობის გამრავლების ფორმულა. შემდეგი, პასუხის გასარკვევად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ განტოლება მათი მიმატებისთვის:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

ასე რომ, ფორმულის გამოყენებით, შეგიძლიათ გადაჭრათ მსგავსი პრობლემები.

შედეგი

სტატიაში მოცემულია ინფორმაცია თემაზე „ალბათობის თეორია“, რომელშიც გადამწყვეტ როლს თამაშობს მოვლენის ალბათობა. რა თქმა უნდა, ყველაფერი არ იყო გათვალისწინებული, მაგრამ, წარმოდგენილი ტექსტიდან გამომდინარე, თეორიულად შეიძლება მათემატიკის ამ მონაკვეთის გაცნობა. მოცემული მეცნიერება შეიძლება სასარგებლო იყოს არა მხოლოდ პროფესიულ საქმიანობაში, არამედ ყოველდღიურ ცხოვრებაშიც. მისი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ ნებისმიერი მოვლენის შესაძლებლობა.

ტექსტი ასევე ეხებოდა ალბათობის თეორიის, როგორც მეცნიერების ჩამოყალიბების ისტორიაში მნიშვნელოვან თარიღებს და იმ ადამიანების სახელებს, რომელთა ნამუშევრებიც მასში იყო ჩადებული. ასე მიიყვანა ადამიანის ცნობისმოყვარეობამ, რომ ადამიანებმა ისწავლეს შემთხვევითი მოვლენების გამოთვლაც კი. ოდესღაც ისინი უბრალოდ დაინტერესდნენ, მაგრამ დღეს უკვე ყველამ იცის ამის შესახებ. და არავინ იტყვის, რა გველოდება მომავალში, კიდევ რა ბრწყინვალე აღმოჩენები იქნება განსახილველ თეორიასთან დაკავშირებული. მაგრამ ერთი რამ ცხადია - კვლევა არ დგას!

უკეთესი პროფესიონალი უნდა იყოს კარგად გათვითცნობიერებული შანსებში, სწრაფად და სწორად შეაფასეთ მოვლენის ალბათობა კოეფიციენტითდა, საჭიროების შემთხვევაში, შეძლებს შანსების გადაქცევა ერთი ფორმატიდან მეორეში. ამ სახელმძღვანელოში ვისაუბრებთ იმაზე, თუ რა ტიპის კოეფიციენტებია, ასევე მაგალითების გამოყენებით გავაანალიზებთ, თუ როგორ შეგიძლიათ გამოთვალეთ ალბათობა ცნობილი კოეფიციენტიდანდა პირიქით.

რა არის კოეფიციენტების ტიპები?

ტოტალიზატორის მიერ შემოთავაზებული შანსების სამი ძირითადი ტიპია: ათობითი შანსები, წილადის შანსები(ინგლისური) და ამერიკული შანსები. ევროპაში ყველაზე გავრცელებული შანსები არის ათობითი. ამერიკული შანსები პოპულარულია ჩრდილოეთ ამერიკაში. ფრაქციული შანსები ყველაზე ტრადიციული ტიპია, ისინი დაუყოვნებლივ ასახავს ინფორმაციას იმის შესახებ, თუ რამდენის დადება გჭირდებათ გარკვეული თანხის მისაღებად.

ათწილადი შანსები

ათწილადებიანდა ეძახიან ევროპული შანსები- ეს არის ჩვეულებრივი რიცხვის ფორმატი, რომელიც წარმოდგენილია ათწილადის წილადით მეასედების, ზოგჯერ კი მეათასედების სიზუსტით. ათობითი კოეფიციენტის მაგალითია 1.91. ათწილადის შანსების შემთხვევაში მოგების გამოთვლა ძალიან მარტივია, უბრალოდ გაამრავლეთ თქვენი ფსონის თანხა ამ კოეფიციენტზე. მაგალითად, მატჩში "მანჩესტერ იუნაიტედი" - "არსენალი" "MU"-ს გამარჯვება 2.05 კოეფიციენტით დგინდება, ფრე 3.9 კოეფიციენტით არის შეფასებული, ხოლო "არსენალის" გამარჯვება უდრის - 2.95. ვთქვათ, ჩვენ დარწმუნებული ვართ, რომ "იუნაიტედი" გაიმარჯვებს და მასზე 1000$ დადებს ფსონს. მაშინ ჩვენი შესაძლო შემოსავალი გამოითვლება შემდეგნაირად:

2.05 * $1000 = $2050;

მართლა ასე ძნელი არ არის? ანალოგიურად, შესაძლო შემოსავალი იანგარიშება ფრეზე და არსენალის გამარჯვებაზე დადებისას.

დახატვა: 3.9 * $1000 = $3900;
არსენალის მოგება: 2.95 * $1000 = $2950;

როგორ გამოვთვალოთ მოვლენის ალბათობა ათობითი შანსებით?

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ მოვლენის ალბათობა ტოტალიზატორის მიერ დადგენილი ათობითი შანსებით. ამის გაკეთება ასევე ძალიან მარტივია. ამისათვის ჩვენ ვყოფთ ერთეულს ამ კოეფიციენტზე.

ავიღოთ უკვე არსებული მონაცემები და გამოვთვალოთ თითოეული მოვლენის ალბათობა:

მანჩესტერ იუნაიტედმა მოიგო: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
დახატვა: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
არსენალის მოგება: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

წილადის შანსები (ინგლისური)

როგორც სახელი გულისხმობს წილადის კოეფიციენტიწარმოდგენილია ჩვეულებრივი წილადით. ინგლისური კოეფიციენტის მაგალითია 5/2. წილადის მრიცხველი შეიცავს რიცხვს, რომელიც არის წმინდა მოგების პოტენციური რაოდენობა, ხოლო მნიშვნელი შეიცავს რიცხვს, რომელიც მიუთითებს იმ თანხაზე, რომლის დადებაც გჭირდებათ ამ მოგების მისაღებად. მარტივად რომ ვთქვათ, ჩვენ უნდა დავდოთ $2 დოლარი, რომ მოვიგოთ $5. შანსები 3/2 ნიშნავს, რომ იმისათვის, რომ მივიღოთ 3$ წმინდა მოგება, ჩვენ მოგვიწევს ფსონის დადება 2$.

როგორ გამოვთვალოთ მოვლენის ალბათობა წილადის შანსებით?

წილადი კოეფიციენტებით მოვლენის ალბათობა ასევე არ არის რთული გამოსათვლელი, თქვენ უბრალოდ უნდა გაყოთ მნიშვნელი მრიცხველისა და მნიშვნელის ჯამზე.

წილადისთვის 5/2 ვიანგარიშებთ ალბათობას: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
წილადისთვის 3/2 ვიანგარიშებთ ალბათობას:

ამერიკული შანსები

ამერიკული შანსებიარაპოპულარული ევროპაში, მაგრამ ძალიან არაპოპულარული ჩრდილოეთ ამერიკაში. შესაძლოა, ამ ტიპის კოეფიციენტები ყველაზე რთულია, მაგრამ ეს მხოლოდ ერთი შეხედვით. სინამდვილეში, ამ ტიპის კოეფიციენტებში არაფერია რთული. ახლა მოდით გადავხედოთ ყველაფერს თანმიმდევრობით.

ამერიკული შანსების მთავარი მახასიათებელი ის არის, რომ ისინი შეიძლება იყოს ან დადებითი, და უარყოფითი. ამერიკული შანსების მაგალითია (+150), (-120). ამერიკული შანსები (+150) ნიშნავს, რომ 150 დოლარის გამომუშავებისთვის საჭიროა 100 დოლარის დადება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დადებითი ამერიკული მულტიპლიკატორი ასახავს პოტენციურ წმინდა მოგებას $100 ფსონზე. უარყოფითი ამერიკული კოეფიციენტი ასახავს ფსონის ოდენობას, რომელიც უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ მიიღოთ წმინდა მოგება $100. მაგალითად, კოეფიციენტი (- 120) გვეუბნება, რომ 120$-ის დადებით ჩვენ მოვიგებთ $100-ს.

როგორ გამოვთვალოთ მოვლენის ალბათობა ამერიკული შანსების გამოყენებით?

მოვლენის ალბათობა ამერიკული შანსების მიხედვით გამოითვლება შემდეგი ფორმულების მიხედვით:

(-(M)) / ((-(M)) + 100), სადაც M არის უარყოფითი ამერიკული კოეფიციენტი;
100/(P+100), სადაც P არის დადებითი ამერიკული კოეფიციენტი;

მაგალითად, გვაქვს კოეფიციენტი (-120), მაშინ ალბათობა გამოითვლება შემდეგნაირად:

(-(M)) / ((-(M)) + 100); ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობას (-120) „M“-ის ნაცვლად;
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

ამრიგად, მოვლენის ალბათობა ამერიკული კოეფიციენტით (-120) არის 54,5%.

მაგალითად, გვაქვს კოეფიციენტი (+150), შემდეგ ალბათობა გამოითვლება შემდეგნაირად:

100/(P+100); ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობას (+150) ნაცვლად "P";
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

ამრიგად, მოვლენის ალბათობა ამერიკული კოეფიციენტით (+150) არის 40%.

როგორ, ალბათობის პროცენტული ცოდნით, გადათარგმნოთ ის ათობითი კოეფიციენტად?

იმისათვის, რომ გამოვთვალოთ ათობითი კოეფიციენტი ალბათობის ცნობილი პროცენტისთვის, თქვენ უნდა გაყოთ 100 მოვლენის ალბათობაზე პროცენტებში. მაგალითად, თუ მოვლენის ალბათობა არის 55%, მაშინ ამ ალბათობის ათობითი კოეფიციენტი იქნება 1,81-ის ტოლი.

100 / 55% = 1,81

როგორ, ალბათობის პროცენტული ცოდნით, გადათარგმნოთ იგი წილადის კოეფიციენტად?

წილადის კოეფიციენტის გამოსათვლელად ალბათობის ცნობილი პროცენტიდან, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ერთი 100-ის გაყოფას მოვლენის ალბათობაზე პროცენტებში. მაგალითად, გვაქვს ალბათობის პროცენტი 40%, მაშინ ამ ალბათობის წილადი კოეფიციენტი იქნება 3/2-ის ტოლი.

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
წილადის კოეფიციენტი არის 1,5/1 ან 3/2.

ალბათობის პროცენტული ცოდნით როგორ გადათარგმნოთ იგი ამერიკულ კოეფიციენტად?

თუ მოვლენის ალბათობა 50%-ზე მეტია, მაშინ გამოთვლა ხდება ფორმულის მიხედვით:

- ((V) / (100 - V)) * 100, სადაც V არის ალბათობა;

მაგალითად, გვაქვს მოვლენის 80% ალბათობა, მაშინ ამ ალბათობის ამერიკული კოეფიციენტი იქნება (-400).

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

თუ მოვლენის ალბათობა 50%-ზე ნაკლებია, მაშინ გამოთვლა ხდება ფორმულის მიხედვით:

((100 - V) / V) * 100, სადაც V არის ალბათობა;

მაგალითად, თუ ჩვენ გვაქვს მოვლენის ალბათობის პროცენტი 20%, მაშინ ამ ალბათობის ამერიკული კოეფიციენტი იქნება (+400).

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

როგორ გადავიტანოთ კოეფიციენტი სხვა ფორმატში?

არის შემთხვევები, როდესაც აუცილებელია კოეფიციენტების გადაყვანა ერთი ფორმატიდან მეორეზე. მაგალითად, გვაქვს წილადის კოეფიციენტი 3/2 და ის უნდა გადავიყვანოთ ათწილადში. წილადური შანსების ათწილადის შანსებად გადასაყვანად ჯერ განვსაზღვრავთ მოვლენის ალბათობას წილადის შანსებით, შემდეგ კი ამ ალბათობას ვაქცევთ ათწილადის შანსებად.

მოვლენის ალბათობა წილადის კოეფიციენტით 3/2 არის 40%.

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

ახლა ჩვენ ვთარგმნით მოვლენის ალბათობას ათობითი კოეფიციენტად, ამისათვის ჩვენ ვყოფთ 100-ს მოვლენის ალბათობაზე პროცენტულად:

100 / 40% = 2.5;

ამრიგად, წილადი 3/2 უდრის ათწილადის კოეფიციენტს 2.5. ანალოგიურად, მაგალითად, ამერიკული შანსები გარდაიქმნება წილადად, ათობითი - ამერიკულში და ა.შ. ამ ყველაფრის ყველაზე რთული ნაწილი მხოლოდ გამოთვლებია.

სამყაროში ყველაფერი დეტერმინისტულად ან შემთხვევით ხდება...
არისტოტელე

ალბათობა: ძირითადი წესები

ალბათობის თეორია ითვლის სხვადასხვა მოვლენის ალბათობას. ალბათობის თეორიაში ძირითადია შემთხვევითი მოვლენის კონცეფცია.

მაგალითად, თქვენ გადააგდებთ მონეტას, ის შემთხვევით ეშვება გერბზე ან კუდზე. წინასწარ არ იცი, რომელ მხარეს დაჯდება მონეტა. თქვენ დადებთ დაზღვევის ხელშეკრულებას, წინასწარ არ იცით გადახდები იქნება თუ არა.

აქტუარულ გამოთვლებში ადამიანს უნდა შეეძლოს სხვადასხვა მოვლენის ალბათობის შეფასება, ამიტომ ალბათობის თეორია მთავარ როლს თამაშობს. მათემატიკის არცერთ სხვა დარგს არ შეუძლია გაუმკლავდეს მოვლენების ალბათობას.

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ მონეტის ჩაგდებას. არსებობს 2 ურთიერთგამომრიცხავი შედეგი: გერბი ან კუდი. სროლის შედეგი შემთხვევითია, ვინაიდან დამკვირვებელს არ შეუძლია გააანალიზოს და გაითვალისწინოს ყველა ის ფაქტორი, რომელიც გავლენას ახდენს შედეგზე. რა არის გერბის ალბათობა? უმეტესობა პასუხობს ½-ს, მაგრამ რატომ?

დაე ფორმალურად მაგრამაღნიშნავს გერბის დაკარგვას. დაე, მონეტა გადააგდოს ნერთხელ. მაშინ მოვლენის ალბათობა მაგრამშეიძლება განისაზღვროს, როგორც იმ რულონების პროპორცია, რომელიც იწვევს გერბს:

სადაც ნსროლების საერთო რაოდენობა n(A)გერბების რაოდენობა.

მიმართება (1) ეწოდება სიხშირეივენთი მაგრამტესტების გრძელ სერიაში.

გამოდის, რომ ტესტების სხვადასხვა სერიაში შესაბამისი სიხშირე დიდია ნგროვდება გარკვეული მუდმივი მნიშვნელობის გარშემო P(A). ეს მნიშვნელობა ე.წ მოვლენის ალბათობა მაგრამდა აღინიშნება ასოთი რ- ინგლისური სიტყვის აბრევიატურა ალბათობა - ალბათობა.

ფორმალურად გვაქვს:

(2)

ამ კანონს ე.წ დიდი რიცხვების კანონი.

თუ მონეტა სწორია (სიმეტრიულია), მაშინ გერბის მიღების ალბათობა უდრის კუდების მიღების ალბათობას და უდრის ½-ს.

დაე იყოს მაგრამდა ATგარკვეული მოვლენები, მაგალითად, მოხდა თუ არა სადაზღვევო შემთხვევა. ორი მოვლენის გაერთიანება არის მოვლენა, რომელიც შედგება მოვლენის შესრულებაში მაგრამ, ივენთი AT, ან ორივე მოვლენა ერთად. ორი მოვლენის გადაკვეთა მაგრამდა ATეწოდა მოვლენა, რომელიც შედგება იმპლემენტაციისგან, როგორც მოვლენა მაგრამდა მოვლენები AT.

ფუნდამენტური წესებიმოვლენის ალბათობა შემდეგია:

1. ნებისმიერი მოვლენის ალბათობა ნულსა და ერთს შორისაა:

2. მოდით A და B იყოს ორი მოვლენა, მაშინ:

ასე იკითხება:ორი მოვლენის გაერთიანების ალბათობა ტოლია ამ მოვლენების ალბათობების ჯამის გამოკლებული მოვლენათა გადაკვეთის ალბათობის გამოკლებით. თუ მოვლენები შეუთავსებელია ან არ არის გადახურული, მაშინ ორი მოვლენის გაერთიანების (ჯამის) ალბათობა უდრის ალბათობათა ჯამს. ამ კანონს კანონი ჰქვია დამატებები ალბათობები.

ჩვენ ვამბობთ, რომ მოვლენა გარკვეულია, თუ მისი ალბათობა უდრის 1-ს. გარკვეული ფენომენის გაანალიზებისას ჩნდება კითხვა, თუ როგორ მოქმედებს მოვლენის დადგომა. ATღონისძიებისთვის მაგრამ. ამისათვის შედით პირობითი ალბათობა :

(4)

ასე იკითხება:გაჩენის ალბათობა მაგრამიმის გათვალისწინებით, რომ ATუდრის გადაკვეთის ალბათობას მაგრამდა ATგაყოფილი მოვლენის ალბათობაზე AT.
ფორმულა (4) ვარაუდობს, რომ მოვლენის ალბათობა ATნულის ზემოთ.

ფორმულა (4) ასევე შეიძლება დაიწეროს როგორც:

(5)

ეს არის ფორმულა ალბათობების გამრავლება.

ასევე ცნობილია როგორც პირობითი ალბათობა. უკანა მხარეს მოვლენის ალბათობა მაგრამ- დადგომის ალბათობა მაგრამდაწყების შემდეგ AT.

ამ შემთხვევაში, თავად ალბათობა ეწოდება აპრიორი ალბათობა. არსებობს კიდევ რამდენიმე მნიშვნელოვანი ფორმულა, რომლებიც ფართოდ გამოიყენება აქტუარულ გამოთვლებში.

საერთო ალბათობის ფორმულა

დავუშვათ, რომ ტარდება ექსპერიმენტი, რომლის პირობებიც წინასწარ შეიძლება გაკეთდეს ორმხრივადურთიერთგამომრიცხავი ვარაუდები (ჰიპოთეზები):

ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ან ჰიპოთეზა ხდება, ან ... ან. ამ ჰიპოთეზების ალბათობა ცნობილია და თანაბარია:

მაშინ ფორმულა მოქმედებს სრულიალბათობები :

(6)

მოვლენის ალბათობა მაგრამუდრის მოვლენის ალბათობის ნამრავლების ჯამს მაგრამთითოეული ჰიპოთეზისთვის ამ ჰიპოთეზის ალბათობის შესახებ.

ბეიზის ფორმულა

ბეიზის ფორმულა საშუალებას გაძლევთ ხელახლა გამოთვალოთ ჰიპოთეზების ალბათობა ახალი ინფორმაციის ფონზე, რომელიც მისცა შედეგმა მაგრამ.

ბეიზის ფორმულა, გარკვეული გაგებით, არის მთლიანი ალბათობის ფორმულის შებრუნებული.

განვიხილოთ შემდეგი პრაქტიკული პრობლემა.

დავალება 1

დავუშვათ, ავიაკატასტროფა მოხდა და ექსპერტები დაკავებულნი არიან მისი მიზეზების გამოძიებით. წინასწარ ცნობილია ოთხი მიზეზი, რისთვისაც მოხდა კატასტროფა: ან მიზეზი, ან, ან, ან. არსებული სტატისტიკის მიხედვით, ამ მიზეზებს შემდეგი ალბათობა აქვს:

ავარიის ადგილის შესწავლისას აღმოჩნდა საწვავის აალების კვალი, სტატისტიკის მიხედვით, ამა თუ იმ მიზეზით ამ მოვლენის ალბათობა ასეთია:

კითხვა: რა არის კატასტროფის ყველაზე სავარაუდო მიზეზი?

გამოთვალეთ მიზეზების ალბათობა მოვლენის დადგომის პირობით მაგრამ.

ეს აჩვენებს, რომ პირველი მიზეზი ყველაზე სავარაუდოა, რადგან მისი ალბათობა მაქსიმალურია.

დავალება 2

განვიხილოთ თვითმფრინავის დაშვება აეროპორტში.

დაშვებისას ამინდის პირობები შეიძლება იყოს შემდეგი: არ არის დაბალი ღრუბლის საფარი (), არის დაბალი ღრუბლის საფარი (). პირველ შემთხვევაში, წარმატებული დაშვების ალბათობაა P1. მეორე შემთხვევაში - P2. გასაგებია რომ P1>P2.

მოწყობილობებს, რომლებიც უზრუნველყოფენ ბრმა დაშვებას, აქვთ უპრობლემოდ მუშაობის ალბათობა რ. თუ ღრუბლოვანი საფარი დაბალია და ბრმა სადესანტო ინსტრუმენტები ვერ ხერხდება, წარმატებული დაშვების ალბათობა არის P3, და P3<Р2 . ცნობილია, რომ მოცემული აეროდრომისთვის წელიწადის დღეების ფრაქცია დაბალი ღრუბლით არის ტოლი.

იპოვნეთ თვითმფრინავის უსაფრთხო დაშვების ალბათობა.

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ალბათობა.

არსებობს ორი ურთიერთგამომრიცხავი ვარიანტი: ბრმა სადესანტო მოწყობილობები მუშაობს, ბრმა სადესანტო მოწყობილობები გაუმართავია, ამიტომ გვაქვს:

აქედან, საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით:

დავალება 3

სადაზღვევო კომპანია ეხება სიცოცხლის დაზღვევას. ამ კომპანიაში დაზღვეულთა 10% მწეველია. თუ დაზღვეული არ ეწევა, წლის განმავლობაში მისი გარდაცვალების ალბათობა 0,01-ია, თუ მწეველია, მაშინ ეს ალბათობა 0,05-ია.

როგორია მწეველთა წილი წლის განმავლობაში გარდაცვლილ დაზღვეულთა შორის?

პასუხის ვარიანტები: (A) 5%, (B) 20%, (C) 36%, (D) 56%, (E) 90%.

გადაწყვეტილება

მოდით შევიდეთ მოვლენებში:

პრობლემის მდგომარეობა იმას ნიშნავს

გარდა ამისა, მას შემდეგ, რაც მოვლენები და ქმნიან წყვილთა შორის შეუთავსებელი მოვლენების სრულ ჯგუფს, მაშინ .
ალბათობა, რომელიც ჩვენ გვაინტერესებს არის.

ბეიზის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ გვაქვს:

ასე რომ სწორი ვარიანტია ( AT).

დავალება 4

სადაზღვევო კომპანია სიცოცხლის დაზღვევის კონტრაქტებს სამ კატეგორიად ყიდის: სტანდარტული, პრივილეგირებული და ულტრაპრივილეგირებული.

ყველა დაზღვეულის 50% არის სტანდარტული, 40% სასურველია და 10% ულტრაპრიორიტეტული.

ერთი წლის განმავლობაში გარდაცვალების ალბათობა სტანდარტული დაზღვეულისთვის არის 0,010, პრივილეგირებულისათვის 0,005, ულტრაპრივილეგირებულისათვის კი 0,001.

რა არის იმის ალბათობა, რომ გარდაცვლილი დაზღვეული იყოს ულტრა პრივილეგირებული?

გადაწყვეტილება

განვიხილოთ შემდეგი მოვლენები:

ამ მოვლენების თვალსაზრისით, ალბათობა, რომელიც ჩვენ გვაინტერესებს არის. პირობით:

მას შემდეგ, რაც მოვლენები , , ქმნიან წყვილში შეუთავსებელი მოვლენების სრულ ჯგუფს, ბეიზის ფორმულის გამოყენებით გვაქვს:

შემთხვევითი ცვლადები და მათი მახასიათებლები

დაუშვით შემთხვევითი ცვლადი, მაგალითად, ხანძრის შედეგად მიღებული ზიანი ან სადაზღვევო გადახდების ოდენობა.
შემთხვევითი ცვლადი სრულად ხასიათდება მისი განაწილების ფუნქციით.

განმარტება.ფუნქცია დაურეკა განაწილების ფუნქცია შემთხვევითი ცვლადი ξ .

განმარტება.თუ არსებობს ისეთი ფუნქცია, რომ თვითნებური ა შესრულებულია

მაშინ ჩვენ ვამბობთ, რომ შემთხვევითი ცვლადი ξ Მას აქვს ალბათობის განაწილების სიმკვრივე f(x).

განმარტება.იყოს . უწყვეტი განაწილების ფუნქციისთვის ფ თეორიული α-კვანტილიგანტოლების ამოხსნა ეწოდება.

ეს გამოსავალი შეიძლება არ იყოს ერთადერთი.

დონის კვანტილი ½ თეორიულს უწოდებენ მედიანური , დონის კვანტილები ¼ და ¾ -ქვედა და ზედა კვარტლები შესაბამისად.

აქტუარულ განაცხადებში მნიშვნელოვან როლს ასრულებს ჩებიშევის უთანასწორობა:

ნებისმიერისთვის

მათემატიკური მოლოდინის სიმბოლო.

ასე იკითხება:ალბათობა იმისა, რომ მოდული არის ნაკლები ან ტოლი მოდულის მოლოდინის გაყოფაზე.

სიცოცხლის ხანგრძლივობა, როგორც შემთხვევითი ცვლადი

სიკვდილის მომენტის გაურკვევლობა სიცოცხლის დაზღვევაში მთავარი რისკფაქტორია.

პიროვნების გარდაცვალების მომენტზე დაზუსტებით ვერაფერს ვიტყვით. თუმცა, თუ საქმე გვაქვს ადამიანთა დიდ ჰომოგენურ ჯგუფთან და არ გვაინტერესებს ამ ჯგუფის ცალკეული ადამიანების ბედი, მაშინ ჩვენ ვართ ალბათობის თეორიის ჩარჩოებში, როგორც მასობრივი შემთხვევითი ფენომენების მეცნიერება სიხშირის სტაბილურობის თვისებით.

შესაბამისად, ჩვენ შეგვიძლია ვისაუბროთ სიცოცხლის ხანგრძლივობაზე, როგორც შემთხვევითი T ცვლადი.

გადარჩენის ფუნქცია

ალბათობის თეორიაში ისინი აღწერენ ნებისმიერი შემთხვევითი ცვლადის სტოქასტურ ბუნებას თგანაწილების ფუნქცია F(x),რომელიც განისაზღვრება როგორც შემთხვევითი ცვლადის ალბათობა თრიცხვზე ნაკლები x:

.

აქტუარულ მათემატიკაში სასიამოვნოა მუშაობა არა განაწილების ფუნქციით, არამედ დამატებითი განაწილების ფუნქციით . სიცოცხლის ხანგრძლივობის თვალსაზრისით, ეს არის ალბათობა იმისა, რომ ადამიანი იცოცხლებს ასაკამდე xწლები.

დაურეკა გადარჩენის ფუნქცია(გადარჩენის ფუნქცია):

გადარჩენის ფუნქციას აქვს შემდეგი თვისებები:

ცხოვრების ცხრილებში, ჩვეულებრივ, ვარაუდობენ, რომ არსებობს რამდენიმე ასაკობრივი შეზღუდვა (შეზღუდვის ასაკი) (როგორც წესი, წლები) და, შესაბამისად, ზე x>.

სიკვდილიანობის ანალიტიკური კანონებით აღწერისას, ჩვეულებრივ, ვარაუდობენ, რომ სიცოცხლის ხანგრძლივობა შეუზღუდავია, თუმცა კანონების ტიპი და პარამეტრები ისეა შერჩეული, რომ გარკვეულ ასაკში სიცოცხლის ალბათობა უმნიშვნელოა.

გადარჩენის ფუნქციას აქვს მარტივი სტატისტიკური მნიშვნელობა.

ვთქვათ, ვაკვირდებით ახალშობილთა ჯგუფს (ჩვეულებრივ), რომლებსაც ვაკვირდებით და შეგვიძლია მათი გარდაცვალების მომენტების ჩაწერა.

ავღნიშნოთ ამ ჯგუფის ცოცხალი წარმომადგენლების რაოდენობა ასაკობრივად . შემდეგ:

.

სიმბოლო ეაქ და ქვემოთ გამოიყენება მათემატიკური მოლოდინის აღსანიშნავად.

ასე რომ, გადარჩენის ფუნქცია უდრის ახალშობილთა გარკვეული ფიქსირებული ჯგუფიდან ასაკამდე გადარჩენილთა საშუალო პროპორციას.

აქტუარულ მათემატიკაში, ადამიანი ხშირად მუშაობს არა გადარჩენის ფუნქციით, არამედ ახლად დანერგილი მნიშვნელობით (ჯგუფის საწყისი ზომის დაფიქსირებით).

გადარჩენის ფუნქცია შეიძლება აღდგეს სიმკვრივისგან:

სიცოცხლის ხანგრძლივობის მახასიათებლები

პრაქტიკული თვალსაზრისით, მნიშვნელოვანია შემდეგი მახასიათებლები:

1 . საშუალოსიცოცხლის განმავლობაში

,
2 . დისპერსიასიცოცხლის განმავლობაში

,
სადაც
,

მესმის, რომ ყველას უნდა წინასწარ იცოდეს, როგორ დასრულდება სპორტული ღონისძიება, ვინ მოიგებს და ვინ წააგებს. ამ ინფორმაციის საშუალებით შეგიძლიათ შიშის გარეშე დადოთ ფსონი სპორტულ მოვლენებზე. მაგრამ შესაძლებელია თუ არა საერთოდ და თუ ასეა, როგორ გამოვთვალოთ მოვლენის ალბათობა?

ალბათობა ფარდობითი სიდიდეა, ამიტომ ის ვერც ერთ მოვლენაზე ვერ ილაპარაკებს სიზუსტით. ეს მნიშვნელობა საშუალებას გაძლევთ გაანალიზოთ და შეაფასოთ ფსონის დადების აუცილებლობა კონკრეტულ კონკურსზე. ალბათობების განმარტება არის მთელი მეცნიერება, რომელიც მოითხოვს ფრთხილად შესწავლას და გაგებას.

ალბათობის კოეფიციენტი ალბათობის თეორიაში

სპორტულ ფსონებში შეჯიბრის შედეგის რამდენიმე ვარიანტი არსებობს:

• პირველი გუნდის გამარჯვება;
• მეორე გუნდის გამარჯვება;
• ხატვა;
• სულ

კონკურსის თითოეულ შედეგს აქვს თავისი ალბათობა და სიხშირე, რომლითაც მოხდება ეს მოვლენა, იმ პირობით, რომ დაცულია საწყისი მახასიათებლები. როგორც უკვე აღვნიშნეთ, შეუძლებელია რაიმე მოვლენის ალბათობის ზუსტად გამოთვლა – შეიძლება ემთხვეოდეს ან არ დაემთხვა. ამრიგად, თქვენს ფსონს შეუძლია მოიგოს ან წააგოს.

შეჯიბრის შედეგების ზუსტი 100%-იანი პროგნოზი არ შეიძლება, რადგან ბევრი ფაქტორი გავლენას ახდენს მატჩის შედეგზე. ბუნებრივია, ტოტალიზატორები წინასწარ არ იციან მატჩის შედეგს და მხოლოდ ვარაუდობენ შედეგს, იღებენ გადაწყვეტილებას თავიანთი ანალიზის სისტემაზე და გვთავაზობენ ფსონების გარკვეულ შანსებს.

როგორ გამოვთვალოთ მოვლენის ალბათობა?

ვთქვათ, რომ ტოტალიზატორის შანსები არის 2.1/2 - ვიღებთ 50%. გამოდის, რომ კოეფიციენტი 2 უდრის 50%-ის ალბათობას. ამავე პრინციპით, შეგიძლიათ მიიღოთ გარღვევის ალბათობის თანაფარდობა - 1 / ალბათობა.

ბევრი მოთამაშე ფიქრობს, რომ რამდენიმე განმეორებითი მარცხის შემდეგ, მოგება აუცილებლად მოხდება - ეს მცდარი მოსაზრებაა. ფსონის მოგების ალბათობა არ არის დამოკიდებული წაგების რაოდენობაზე. მაშინაც კი, თუ მონეტების თამაშში ზედიზედ რამდენიმე თავი დააგდეთ, კუდების სროლის ალბათობა იგივე რჩება - 50%.