რა საერთო აქვს ჩვენს ხელში ხეს, ზღვის სანაპიროს, ღრუბელსა თუ სისხლძარღვებს? ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს, რომ ყველა ამ ობიექტს საერთო არაფერი აქვს. თუმცა, ფაქტობრივად, არსებობს სტრუქტურის ერთი თვისება, რომელიც თანდაყოლილია ყველა ჩამოთვლილ ობიექტში: ისინი საკუთარი თავის მსგავსია. ტოტიდან, ისევე როგორც ხის ღეროდან, უფრო მცირე პროცესები გამოდის, მათგან - უფრო პატარა და ა.შ., ანუ ტოტი მთელი ხის მსგავსია. სისხლის მიმოქცევის სისტემაც ანალოგიურადაა მოწყობილი: არტერიოლები გამოდიან არტერიებიდან, მათგან კი - უმცირესი კაპილარები, რომლებითაც ჟანგბადი შედის ორგანოებსა და ქსოვილებში. გადავხედოთ ზღვის სანაპიროს სატელიტურ სურათებს: დავინახავთ ყურეებს და ნახევარკუნძულებს; მოდით შევხედოთ მას, ოღონდ ჩიტის თვალთახედვით: დავინახავთ ყურეებს და კონცხებს; ახლა წარმოიდგინეთ, რომ ჩვენ ვდგავართ სანაპიროზე და ვუყურებთ ჩვენს ფეხებს: ყოველთვის იქნება კენჭები, რომლებიც დანარჩენზე უფრო შორს ამოდიან წყალში. ანუ, გადიდებისას სანაპირო ზოლი თავის მსგავსი რჩება. ამერიკელმა მათემატიკოსმა ბენუა მანდელბროტმა (თუმცა საფრანგეთში გაზრდილი) ობიექტების ამ თვისებას ფრაქტალობა უწოდა, ხოლო თავად ასეთ ობიექტებს - ფრაქტალები (ლათინური fractus - გატეხილი).

ამ კონცეფციას არ აქვს მკაცრი განმარტება. ამიტომ სიტყვა „ფრაქტალი“ არ არის მათემატიკური ტერმინი. ჩვეულებრივ, ფრაქტალი არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ თვისებებს ერთ ან მეტს: მას აქვს რთული სტრუქტურა ნებისმიერი გადიდების დროს (განსხვავებით, მაგალითად, სწორი ხაზისგან, რომლის ნებისმიერი ნაწილი არის უმარტივესი გეომეტრიული ფიგურა - სეგმენტი). ეს არის (დაახლოებით) საკუთარი თავის მსგავსი. მას აქვს ფრაქციული ჰაუსდორფის (ფრაქტალური) განზომილება, რომელიც ტოპოლოგიურზე დიდია. შეიძლება აშენდეს რეკურსიული პროცედურებით.

გეომეტრია და ალგებრა

მე-19 და მე-20 საუკუნეების მიჯნაზე ფრაქტალების შესწავლა უფრო ეპიზოდური იყო, ვიდრე სისტემატური, რადგან ადრინდელი მათემატიკოსები ძირითადად სწავლობდნენ „კარგ“ ობიექტებს, რომელთა შესწავლაც შეიძლებოდა ზოგადი მეთოდებისა და თეორიების გამოყენებით. 1872 წელს გერმანელმა მათემატიკოსმა კარლ ვაიერშტრასმა შექმნა უწყვეტი ფუნქციის მაგალითი, რომელიც არსად დიფერენცირებადია. თუმცა, მისი კონსტრუქცია სრულიად აბსტრაქტული და ძნელად გასაგები იყო. ამიტომ, 1904 წელს შვედმა ჰელგე ფონ კოხმა გამოავლინა უწყვეტი მრუდი, რომელსაც არსად არ აქვს ტანგენსი და მისი დახატვა საკმაოდ მარტივია. აღმოჩნდა, რომ მას აქვს ფრაქტალის თვისებები. ამ მრუდის ერთ-ერთ ვარიაციას კოხის ფიფქი ეწოდება.

ფიგურების თვითმსგავსების იდეა ფრანგმა პოლ პიერ ლევიმ, ბენუა მანდელბროტის მომავალმა მენტორმა აიტაცა. 1938 წელს გამოქვეყნდა მისი სტატია „სიბრტყე და სივრცითი მრუდები და მთლიანის მსგავსი ნაწილებისგან შემდგარი ზედაპირი“, რომელშიც აღწერილია კიდევ ერთი ფრაქტალი - ლევის C-მრუდი. ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფრაქტალი პირობითად შეიძლება მივაკუთვნოთ კონსტრუქციული (გეომეტრიული) ფრაქტალების ერთ კლასს.

კიდევ ერთი კლასი არის დინამიური (ალგებრული) ფრაქტალები, რომლებიც მოიცავს მანდელბროტის კომპლექტს. პირველი კვლევა ამ მიმართულებით მე-20 საუკუნის დასაწყისში დაიწყო და დაკავშირებულია ფრანგი მათემატიკოსების გასტონ ჯულიას და პიერ ფატუს სახელებთან. 1918 წელს გამოქვეყნდა ჯულიას მემუარების თითქმის ორასი გვერდი, რომელიც მიეძღვნა რთული რაციონალური ფუნქციების გამეორებას, რომელშიც აღწერილია ჯულიას სიმრავლეები - ფრაქტალების მთელი ოჯახი, რომელიც მჭიდროდ არის დაკავშირებული მანდელბროტის ნაკრებთან. ეს ნამუშევარი დაჯილდოვდა საფრანგეთის აკადემიის პრიზით, მაგრამ ის არ შეიცავდა არც ერთ ილუსტრაციას, ამიტომ შეუძლებელი იყო აღმოჩენილი ობიექტების სილამაზის დაფასება. იმისდა მიუხედავად, რომ ამ ნამუშევარმა ჯულია ცნობილი გახადა იმდროინდელ მათემატიკოსთა შორის, ის სწრაფად დავიწყებას მიეცა. ისევ მასზე ყურადღება მიიპყრო მხოლოდ ნახევარი საუკუნის შემდეგ კომპიუტერების მოსვლასთან ერთად: სწორედ მათ გახადეს თვალსაჩინო ფრაქტალების სამყაროს სიმდიდრე და სილამაზე.

ფრაქტალური ზომები

მოგეხსენებათ, გეომეტრიული ფიგურის განზომილება (გაზომვების რაოდენობა) არის კოორდინატების რაოდენობა, რომელიც აუცილებელია ამ ფიგურაზე მდებარე წერტილის პოზიციის დასადგენად.
მაგალითად, წერტილის პოზიცია მრუდზე განისაზღვრება ერთი კოორდინატით, ზედაპირზე (აუცილებლად სიბრტყეზე) ორი კოორდინატით, სამგანზომილებიან სივრცეში სამი კოორდინატით.
უფრო ზოგადი მათემატიკური თვალსაზრისით, განზომილება შეიძლება განისაზღვროს შემდეგნაირად: წრფივი ზომების ზრდა, ვთქვათ, ორჯერ, ერთგანზომილებიანი (ტოპოლოგიური თვალსაზრისით) ობიექტებისთვის (სეგმენტი) იწვევს ზომის (სიგრძის) ზრდას. ) ორჯერ, ორგანზომილებიანი (კვადრატისთვის) წრფივი ზომების იგივე მატება იწვევს ზომის (ფართის) გაზრდას 4-ჯერ, სამგანზომილებიანი (კუბისთვის) - 8-ჯერ. ანუ „რეალური“ (ე.წ. ჰაუსდორფი) განზომილება შეიძლება გამოითვალოს, როგორც ობიექტის „ზომის“ გაზრდის ლოგარითმის თანაფარდობა მისი ხაზოვანი ზომის გაზრდის ლოგარითმთან. ანუ სეგმენტისთვის D=log (2)/log (2)=1, სიბრტყისთვის D=log (4)/log (2)=2, მოცულობისთვის D=log (8)/log (2 )=3.
ახლა გამოვთვალოთ კოხის მრუდის განზომილება, რომლის ასაგებადაც ერთეული სეგმენტი იყოფა სამ თანაბარ ნაწილად და შუა ინტერვალი ჩანაცვლებულია ტოლგვერდა სამკუთხედით ამ სეგმენტის გარეშე. მინიმალური სეგმენტის ხაზოვანი ზომების სამჯერ გაზრდით, კოხის მრუდის სიგრძე იზრდება ჟურნალში (4) / ჟურნალში (3) ~ 1.26. ანუ კოხის მრუდის განზომილება წილადია!

მეცნიერება და ხელოვნება

1982 წელს გამოიცა მანდელბროტის წიგნი „ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია“, რომელშიც ავტორმა შეაგროვა და სისტემატიზირებული თითქმის ყველა ინფორმაცია იმ დროისთვის ხელმისაწვდომი ფრაქტალების შესახებ და მარტივად და ხელმისაწვდომად წარმოადგინა. მანდელბროტმა თავის პრეზენტაციაში მთავარი აქცენტი გააკეთა არა მძიმე ფორმულებზე და მათემატიკურ კონსტრუქციებზე, არამედ მკითხველთა გეომეტრიულ ინტუიციაზე. კომპიუტერული გენერირებული ილუსტრაციებისა და ისტორიული ისტორიების წყალობით, რომლითაც ავტორი ოსტატურად აზავებდა მონოგრაფიის სამეცნიერო კომპონენტს, წიგნი გახდა ბესტსელერი, ხოლო ფრაქტალები ცნობილი გახდა ფართო საზოგადოებისთვის. მათი წარმატება არამათემატიკოსებს შორის დიდწილად განპირობებულია იმით, რომ ძალიან მარტივი კონსტრუქციებისა და ფორმულების დახმარებით, რომელთა გაგებაც საშუალო სკოლის მოსწავლესაც კი შეუძლია, საოცარი სირთულის და სილამაზის გამოსახულებები მიიღება. როდესაც პერსონალური კომპიუტერები საკმარისად მძლავრი გახდა, ხელოვნების მთელი ტენდენციაც კი გამოჩნდა - ფრაქტალის ფერწერა და ამის გაკეთება თითქმის ნებისმიერ კომპიუტერის მფლობელს შეეძლო. ახლა ინტერნეტში შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ამ თემისადმი მიძღვნილი მრავალი საიტი.

კოხის მრუდის მიღების სქემა

Ომი და მშვიდობა

როგორც ზემოთ აღინიშნა, ერთ-ერთი ბუნებრივი ობიექტი, რომელსაც აქვს ფრაქტალური თვისებები, არის სანაპირო ზოლი. მას უკავშირდება ერთი საინტერესო ამბავი, უფრო სწორად, მისი სიგრძის გაზომვის მცდელობა, რაც მანდელბროტის სამეცნიერო სტატიას დაედო საფუძვლად და ასევე აღწერილია მის წიგნში „ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია“. ჩვენ ვსაუბრობთ ექსპერიმენტზე, რომელიც მოაწყო ლუის რიჩარდსონმა, ძალიან ნიჭიერმა და ექსცენტრიულმა მათემატიკოსმა, ფიზიკოსმა და მეტეოროლოგმა. მისი კვლევის ერთ-ერთი მიმართულება იყო ორ ქვეყანას შორის შეიარაღებული კონფლიქტის მიზეზებისა და ალბათობის მათემატიკური აღწერის მცდელობა. პარამეტრებს შორის, რომელიც მან გაითვალისწინა, იყო ორ მეომარ ქვეყანას შორის საერთო საზღვრის სიგრძე. როდესაც მან შეაგროვა მონაცემები რიცხვითი ექსპერიმენტებისთვის, მან აღმოაჩინა, რომ სხვადასხვა წყაროებში მონაცემები ესპანეთისა და პორტუგალიის საერთო საზღვრებზე მნიშვნელოვნად განსხვავდება. ამან მიიყვანა იგი შემდეგ აღმოჩენამდე: ქვეყნის საზღვრების სიგრძე დამოკიდებულია მმართველზე, რომლითაც გავზომავთ მათ. რაც უფრო მცირეა მასშტაბი, მით უფრო გრძელი იქნება საზღვარი. ეს იმის გამო ხდება, რომ უფრო მაღალი გადიდებისას შესაძლებელი ხდება სანაპიროს უფრო და უფრო მეტი მოსახვევების გათვალისწინება, რომლებიც ადრე იგნორირებული იყო გაზომვების უხეშობის გამო. და თუ ყოველი გადიდებისას იხსნება ხაზების მანამდე გაუთვალისწინებელი მოხვევები, გამოდის, რომ საზღვრების სიგრძე უსასრულოა! მართალია, სინამდვილეში ეს არ ხდება - ჩვენი გაზომვების სიზუსტეს აქვს სასრული ზღვარი. ამ პარადოქსს რიჩარდსონის ეფექტს უწოდებენ.

კონსტრუქციული (გეომეტრიული) ფრაქტალები

ზოგად შემთხვევაში კონსტრუქციული ფრაქტალის აგების ალგორითმი შემდეგია. უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ გვჭირდება ორი შესაფერისი გეომეტრიული ფორმა, დავარქვათ მათ საფუძველი და ფრაგმენტი. პირველ ეტაპზე გამოსახულია მომავალი ფრაქტალის საფუძველი. შემდეგ მის ზოგიერთ ნაწილს ცვლის შესაფერისი მასშტაბით აღებული ფრაგმენტი - ეს კონსტრუქციის პირველი გამეორებაა. შემდეგ მიღებულ ფიგურაში ზოგიერთი ნაწილი ისევ იცვლება ფრაგმენტის მსგავს ფიგურებად და ა.შ., თუ ​​ამ პროცესს განუსაზღვრელი ვადით გავაგრძელებთ, მაშინ ლიმიტში მივიღებთ ფრაქტალს.

განვიხილოთ ეს პროცესი კოხის მრუდის მაგალითის გამოყენებით (იხილეთ გვერდითი ზოლი წინა გვერდზე). ნებისმიერი მრუდი შეიძლება მივიღოთ კოხის მრუდის საფუძვლად (კოხის ფიფქისთვის ეს არის სამკუთხედი). მაგრამ ჩვენ შემოვიფარგლებით უმარტივესი შემთხვევით - სეგმენტით. ფრაგმენტი არის გატეხილი ხაზი, რომელიც ნაჩვენებია ფიგურის თავზე. ალგორითმის პირველი გამეორების შემდეგ, ამ შემთხვევაში, თავდაპირველი სეგმენტი დაემთხვევა ფრაგმენტს, შემდეგ მისი თითოეული შემადგენელი სეგმენტი თავად შეიცვლება ფრაგმენტის მსგავსი გატეხილი ხაზით და ა.შ. ნახატზე ნაჩვენებია პირველი ოთხი. ამ პროცესის ნაბიჯები.

მათემატიკის ენა: დინამიური (ალგებრული) ფრაქტალები

ამ ტიპის ფრაქტალები წარმოიქმნება არაწრფივი დინამიკური სისტემების შესწავლისას (აქედან სახელწოდებაც). ასეთი სისტემის ქცევა შეიძლება აღწერილი იყოს რთული არაწრფივი ფუნქციით (პოლინომი) f (z). ავიღოთ საწყისი z0 წერტილი კომპლექსურ სიბრტყეზე (იხ. გვერდითი ზოლი). ახლა განვიხილოთ რიცხვების ასეთი უსასრულო თანმიმდევრობა კომპლექსურ სიბრტყეზე, რომელთაგან თითოეული მიღებულია წინადან: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). z0 საწყისი წერტილიდან გამომდინარე, ასეთი მიმდევრობა შეიძლება განსხვავებულად იქცეს: მიდრეკილება უსასრულობისკენ, როგორც n -> ∞; მიახლოება რაღაც ბოლო წერტილში; ციკლურად მიიღოს მთელი რიგი ფიქსირებული მნიშვნელობები; შესაძლებელია უფრო რთული ვარიანტები.

რთული რიცხვები

რთული რიცხვი არის რიცხვი, რომელიც შედგება ორი ნაწილისაგან - რეალური და წარმოსახვითი, ანუ ფორმალური ჯამი x + iy (x და y აქ არის ნამდვილი რიცხვები). მე ვარ ე.წ. წარმოსახვითი ერთეული, ანუ რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას მე ^ 2 = -1. კომპლექსურ რიცხვებზე განისაზღვრება ძირითადი მათემატიკური მოქმედებები - შეკრება, გამრავლება, გაყოფა, გამოკლება (მხოლოდ შედარების ოპერაცია არ არის განსაზღვრული). რთული რიცხვების საჩვენებლად ხშირად გამოიყენება გეომეტრიული გამოსახულება - სიბრტყეზე (მას კომპლექსს უწოდებენ), რეალური ნაწილი გამოსახულია აბსცისის ღერძის გასწვრივ, ხოლო წარმოსახვითი ნაწილი ორდინატთა ღერძის გასწვრივ, ხოლო რთული რიცხვი შეესაბამება წერტილს. დეკარტის კოორდინატებით x და y.

ამრიგად, რთული სიბრტყის ნებისმიერ z წერტილს აქვს ქცევის საკუთარი ხასიათი f (z) ფუნქციის გამეორებისას და მთელი სიბრტყე იყოფა ნაწილებად. უფრო მეტიც, ამ ნაწილების საზღვრებზე მდებარე წერტილებს აქვთ შემდეგი თვისება: თვითნებურად მცირე გადაადგილებისთვის, მათი ქცევის ბუნება მკვეთრად იცვლება (ასეთ წერტილებს უწოდებენ ბიფურკაციის წერტილებს). ასე რომ, გამოდის, რომ წერტილების სიმრავლეებს, რომლებსაც აქვთ ქცევის ერთი კონკრეტული ტიპი, ისევე როგორც ბიფურკაციის წერტილების სიმრავლე, ხშირად აქვთ ფრაქტალური თვისებები. ეს არის ჯულიას კომპლექტები f(z) ფუნქციისთვის.

დრაკონების ოჯახი

ბაზისა და ფრაგმენტის შეცვლით, შეგიძლიათ მიიღოთ კონსტრუქციული ფრაქტალების განსაცვიფრებელი მრავალფეროვნება.
უფრო მეტიც, მსგავსი ოპერაციები შეიძლება შესრულდეს სამგანზომილებიან სივრცეში. მოცულობითი ფრაქტალების მაგალითებია „მენგერის ღრუბელი“, „სიერპინსკის პირამიდა“ და სხვა.
დრაკონების ოჯახს ასევე მოიხსენიებენ კონსტრუქციულ ფრაქტალებს. მათ ზოგჯერ აღმომჩენთა სახელით მოიხსენიებენ, როგორც "ჰეივეი-ჰარტერის დრაკონებს" (ისინი თავიანთი ფორმით ჩინურ დრაკონებს ჰგვანან). ამ მრუდის აგების რამდენიმე გზა არსებობს. მათგან უმარტივესი და აშკარაა: თქვენ უნდა აიღოთ საკმარისად გრძელი ქაღალდის ზოლი (რაც უფრო თხელია ქაღალდი, მით უკეთესი) და გახეხეთ შუაზე. შემდეგ კვლავ მოხარეთ იგი შუაზე იმავე მიმართულებით, როგორც პირველად. რამდენიმე გამეორების შემდეგ (ჩვეულებრივ, ხუთი ან ექვსი დაკეცვის შემდეგ ზოლი ძალიან სქელი ხდება შემდგომი ფრთხილად მოსახვევისთვის), თქვენ უნდა გაასწოროთ ზოლი უკან და შეეცადოთ ჩამოაყალიბოთ 90˚ კუთხეები ნაკეცებთან. შემდეგ დრაკონის მრუდი აღმოჩნდება პროფილში. რა თქმა უნდა, ეს იქნება მხოლოდ მიახლოება, ისევე როგორც ფრაქტალური ობიექტების გამოსახვის ყველა ჩვენი მცდელობა. კომპიუტერი საშუალებას გაძლევთ წარმოაჩინოთ კიდევ ბევრი ნაბიჯი ამ პროცესში და შედეგი არის ძალიან ლამაზი ფიგურა.

მანდელბროტის ნაკრები გარკვეულწილად განსხვავებულად არის აგებული. განვიხილოთ ფუნქცია fc (z) = z 2 +c, სადაც c არის რთული რიცხვი. ავაშენოთ ამ ფუნქციის თანმიმდევრობა z0=0-ით, c პარამეტრიდან გამომდინარე, ის შეიძლება განსხვავდებოდეს უსასრულობამდე ან დარჩეს შეზღუდული. უფრო მეტიც, c-ის ყველა მნიშვნელობა, რომლითაც ეს თანმიმდევრობა შემოიფარგლება, ქმნის მანდელბროტის სიმრავლეს. იგი დეტალურად შეისწავლეს თავად მანდელბროტმა და სხვა მათემატიკოსებმა, რომლებმაც აღმოაჩინეს ამ ნაკრების მრავალი საინტერესო თვისება.

ჩანს, რომ ჯულია და მანდელბროტის კომპლექტების განმარტებები ერთმანეთის მსგავსია. სინამდვილეში, ეს ორი ნაკრები მჭიდრო კავშირშია. კერძოდ, მანდელბროტის სიმრავლე არის c კომპლექსური პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც დაკავშირებულია ჯულიას სიმრავლე fc (z) (კომპლექტს უწოდებენ დაკავშირებულს, თუ ის არ შეიძლება დაიყოს ორ გადამკვეთ ნაწილად, გარკვეული დამატებითი პირობებით).

ფრაქტალები და სიცოცხლე

დღესდღეობით ფრაქტალების თეორია ფართოდ გამოიყენება ადამიანის საქმიანობის სხვადასხვა სფეროში. კვლევისთვის წმინდა სამეცნიერო ობიექტისა და უკვე ნახსენები ფრაქტალის ფერწერის გარდა, ფრაქტალები გამოიყენება ინფორმაციის თეორიაში გრაფიკული მონაცემების შეკუმშვისთვის (აქ ძირითადად გამოიყენება ფრაქტალების თვითმსგავსების თვისება - ბოლოს და ბოლოს, მცირე ფრაგმენტის დასამახსოვრებლად. ნახატისა და გარდაქმნების შესახებ, რომლითაც შეგიძლიათ მიიღოთ დანარჩენი ნაწილები, გაცილებით ნაკლები მეხსიერება სჭირდება, ვიდრე მთლიანი ფაილის შესანახად). შემთხვევითი არეულობა ფორმულებში, რომლებიც განსაზღვრავენ ფრაქტალს, შეიძლება მივიღოთ სტოქასტური ფრაქტალები, რომლებიც ძალიან დამაჯერებლად გადმოგვცემენ ზოგიერთ რეალურ ობიექტს - რელიეფის ელემენტებს, წყლის ობიექტების ზედაპირს, ზოგიერთ მცენარეს, რაც წარმატებით გამოიყენება ფიზიკაში, გეოგრაფიაში და კომპიუტერულ გრაფიკაში. სიმულირებული ობიექტების უფრო დიდი მსგავსება რეალურთან. რადიო ელექტრონიკაში, ბოლო ათწლეულში, მათ დაიწყეს ანტენების წარმოება, რომლებსაც აქვთ ფრაქტალური ფორმა. მცირე ადგილს იკავებენ, ისინი უზრუნველყოფენ საკმაოდ მაღალი ხარისხის სიგნალის მიღებას. ეკონომისტები იყენებენ ფრაქტალებს ვალუტის რყევების მრუდების აღსაწერად (ეს თვისება მანდელბროტმა აღმოაჩინა 30 წელზე მეტი ხნის წინ). ჩვენ დავასრულებთ ამ მოკლე ექსკურსიას ფრაქტალების სამყაროში, საოცარი სილამაზითა და მრავალფეროვნებით.

მეცნიერების ყველაზე გენიალურ აღმოჩენებს შეუძლია რადიკალურად შეცვალოს ადამიანის ცხოვრება. გამოგონილ ვაქცინას შეუძლია მილიონობით ადამიანის გადარჩენა, იარაღის შექმნა კი, პირიქით, ამ სიცოცხლეს ართმევს. სულ ახლახან (ადამიანის ევოლუციის მასშტაბით) ჩვენ ვისწავლეთ ელექტროენერგიის „მოთვინიერება“ - და ახლა ჩვენ ვერ წარმოვიდგენთ ცხოვრებას ყველა ამ მოსახერხებელი მოწყობილობის გარეშე, რომელიც იყენებს ელექტროენერგიას. მაგრამ არის აღმოჩენებიც, რომლებსაც ცოტა ადამიანი ანიჭებს მნიშვნელობას, თუმცა ისინი ასევე დიდ გავლენას ახდენენ ჩვენს ცხოვრებაზე.

ერთ-ერთი ასეთი "შეუმჩნეველი" აღმოჩენა არის ფრაქტალები. ალბათ გსმენიათ ეს ჩამჭრელი სიტყვა, მაგრამ იცით, რას ნიშნავს და რამდენი საინტერესო რამ იმალება ამ ტერმინში?

ყველა ადამიანს აქვს ბუნებრივი ცნობისმოყვარეობა, მის გარშემო არსებული სამყაროს გაცნობის სურვილი. და ამ მისწრაფებაში ადამიანი ცდილობს განსჯებში ლოგიკის დაცვას. მის ირგვლივ მიმდინარე პროცესების გაანალიზებისას ის ცდილობს მოძებნოს მომხდარის ლოგიკა და გამოიტანოს გარკვეული კანონზომიერება. პლანეტის ყველაზე დიდი გონება ამ საქმით არის დაკავებული. უხეშად რომ ვთქვათ, მეცნიერები ეძებენ ნიმუშს, სადაც ის არ უნდა იყოს. მიუხედავად ამისა, ქაოსშიც კი შეიძლება მოვლენებს შორის კავშირის პოვნა. და ეს კავშირი არის ფრაქტალი.

ჩვენი პატარა ქალიშვილი, ოთხნახევარი წლის, ახლა იმ მშვენიერ ასაკშია, როდესაც უამრავი კითხვაა "რატომ?" ბევრჯერ აღემატება იმ პასუხების რაოდენობას, რომელთა გაცემაც მოზარდებს აქვთ დრო. არც ისე დიდი ხნის წინ, მიწიდან აწეულ ტოტს რომ შევხედე, ჩემმა ქალიშვილმა უცებ შენიშნა, რომ ეს ტოტი, კვანძებითა და ტოტებით, თავად ხეს ჰგავდა. და, რა თქმა უნდა, მოჰყვა ჩვეული კითხვა „რატომ?“, რისთვისაც მშობლებს უნდა ეძიათ ბავშვის გასაგებად მარტივი ახსნა.

ბავშვის მიერ აღმოჩენილ მთლიან ხესთან ერთი ტოტის მსგავსება ძალიან ზუსტი დაკვირვებაა, რაც კიდევ ერთხელ მოწმობს ბუნებაში რეკურსიული თვითმსგავსების პრინციპზე. ბუნებაში ძალიან ბევრი ორგანული და არაორგანული ფორმა წარმოიქმნება ანალოგიურად. ღრუბლები, ზღვის ჭურვები, ლოკოკინას „სახლი“, ხეების ქერქი და გვირგვინი, სისხლის მიმოქცევის სისტემა და ასე შემდეგ – ყველა ამ ობიექტის შემთხვევითი ფორმების აღწერა შესაძლებელია ფრაქტალის ალგორითმით.

⇡ ბენუა მანდელბროტი: ფრაქტალის გეომეტრიის მამა

თავად სიტყვა „ფრაქტალი“ გაჩნდა ბრწყინვალე მეცნიერის ბენუა ბ. მანდელბროტის წყალობით.

მან ეს ტერმინი თავად გამოიგონა 1970-იან წლებში, ისესხა სიტყვა fractus ლათინურიდან, სადაც ის სიტყვასიტყვით ნიშნავს "გატეხილს" ან "დამსხვრევას". Რა არის ეს? დღეს სიტყვა "ფრაქტალი" ყველაზე ხშირად გამოიყენება სტრუქტურის გრაფიკულ გამოსახულებაზე, რომელიც მსგავსია უფრო ფართო მასშტაბით.

ფრაქტალების თეორიის გაჩენის მათემატიკური საფუძველი ჩაეყარა ბენუა მანდელბროტის დაბადებამდე მრავალი წლით ადრე, მაგრამ მისი განვითარება მხოლოდ გამოთვლითი მოწყობილობების გამოჩენით შეიძლებოდა. სამეცნიერო კარიერის დასაწყისში ბენუა მუშაობდა IBM კვლევით ცენტრში. ამ დროს ცენტრის თანამშრომლები მონაცემთა დისტანციურ გადაცემაზე მუშაობდნენ. კვლევის დროს მეცნიერებს შეექმნათ ხმაურის ჩარევის შედეგად წარმოქმნილი დიდი დანაკარგების პრობლემა. ბენუას წინაშე რთული და ძალიან მნიშვნელოვანი ამოცანა იყო - იმის გაგება, თუ როგორ უნდა იწინასწარმეტყველოთ ხმაურის ჩარევის წარმოშობა ელექტრონულ სქემებში, როდესაც სტატისტიკური მეთოდი არაეფექტურია.

ხმაურის გაზომვის შედეგების დათვალიერებისას მანდელბროტმა ყურადღება მიიპყრო ერთ უცნაურ ნიმუშზე - სხვადასხვა მასშტაბის ხმაურის გრაფიკები ერთნაირად გამოიყურებოდა. იდენტური ნიმუში დაფიქსირდა იმისდა მიუხედავად, იყო ეს ხმაურის ნაკვეთი ერთი დღის, კვირის ან საათის განმავლობაში. ღირდა გრაფიკის მასშტაბის შეცვლა და სურათი ყოველ ჯერზე მეორდებოდა.

სიცოცხლის განმავლობაში ბენუა მანდელბროტმა არაერთხელ თქვა, რომ მას საქმე არ ჰქონდა ფორმულებთან, არამედ უბრალოდ თამაშობდა ნახატებთან. ეს ადამიანი ძალიან გადატანითი მნიშვნელობით ფიქრობდა და ნებისმიერი ალგებრული პრობლემა გეომეტრიის ველში გადაიტანა, სადაც, მისი თქმით, სწორი პასუხი ყოველთვის აშკარაა.

გასაკვირი არ არის, რომ სწორედ ასეთი მდიდარი სივრცითი წარმოსახვის მქონე ადამიანი გახდა ფრაქტალის გეომეტრიის მამა. ყოველივე ამის შემდეგ, ფრაქტალების არსის გაცნობიერება ხდება ზუსტად მაშინ, როდესაც დაიწყებთ ნახატების შესწავლას და ფიქრობთ უცნაური მორევის ნიმუშების მნიშვნელობაზე.

ფრაქტალ ნიმუშს არ აქვს იდენტური ელემენტები, მაგრამ აქვს მსგავსება ნებისმიერი მასშტაბით. ასეთი გამოსახულების მაღალი ხარისხის დეტალების ხელით აგება უბრალოდ შეუძლებელი იყო ადრე, მას დიდი გამოთვლები სჭირდებოდა. მაგალითად, ფრანგმა მათემატიკოსმა პიერ ჟოზეფ ლუი ფატუმ აღწერა ეს ნაკრები ბენუა მანდელბროს აღმოჩენამდე სამოცდაათი წლით ადრე. თუ ვსაუბრობთ თვითმსგავსების პრინციპებზე, მაშინ ისინი ნახსენები იყო ლაიბნიცისა და გეორგ კანტორის ნაშრომებში.

ფრაქტალის ერთ-ერთი პირველი ნახატი იყო მანდელბროტის ნაკრების გრაფიკული ინტერპრეტაცია, რომელიც წარმოიშვა გასტონ მორის ჯულიას კვლევის შედეგად.

გასტონ ჯულია (ყოველთვის ნიღბიანი - პირველი მსოფლიო ომის ტრავმა)

ამ ფრანგ მათემატიკოსს აინტერესებდა, როგორი იქნებოდა ნაკრები, თუ იგი აგებული იქნებოდა უკუკავშირის მარყუჟის მიერ გამეორებული მარტივი ფორმულით. თუ ახსნილია „თითებზე“, ეს ნიშნავს, რომ კონკრეტული რიცხვისთვის ჩვენ ვპოულობთ ახალ მნიშვნელობას ფორმულის გამოყენებით, რის შემდეგაც მას კვლავ ჩავცვლით ფორმულაში და ვიღებთ სხვა მნიშვნელობას. შედეგი არის რიცხვების დიდი თანმიმდევრობა.

ასეთი ნაკრების სრული სურათის მისაღებად, თქვენ უნდა გააკეთოთ უზარმაზარი გამოთვლები - ასობით, ათასობით, მილიონობით. უბრალოდ შეუძლებელი იყო ამის ხელით გაკეთება. მაგრამ როდესაც მათემატიკოსების განკარგულებაში გამოჩნდა ძლიერი გამოთვლითი მოწყობილობები, მათ შეძლეს ახალი დათვალიერება ფორმულებსა და გამონათქვამებზე, რომლებიც დიდი ხანია საინტერესო იყო. მანდელბროტმა პირველმა გამოიყენა კომპიუტერი კლასიკური ფრაქტალის გამოსათვლელად. დიდი რაოდენობით მნიშვნელობებისაგან შემდგარი თანმიმდევრობის დამუშავების შემდეგ, ბენუამ შედეგები გადაიტანა გრაფიკზე. აი რა მიიღო მან.

შემდგომში, ეს გამოსახულება შეღებილი იქნა (მაგალითად, შეღებვის ერთ-ერთი გზა გამეორებების რაოდენობის მიხედვით) და გახდა ადამიანის მიერ ოდესმე შექმნილ ერთ-ერთ ყველაზე პოპულარულ სურათად.

როგორც ჰერაკლიტე ეფესელს მიეწერება უძველესი გამონათქვამი ამბობს: „ერთ მდინარეში ორჯერ ვერ შეხვალ“. ის საუკეთესოდ შეეფერება ფრაქტალების გეომეტრიის ინტერპრეტაციას. რაც არ უნდა დეტალურად განვიხილოთ ფრაქტალის სურათი, ჩვენ ყოველთვის დავინახავთ მსგავს ნიმუშს.

მათ, ვისაც სურს ნახოს, როგორ გამოიყურება მანდელბროტის სივრცის გამოსახულება მრავალჯერ გადიდებისას, შეუძლიათ ამის გაკეთება ანიმაციური GIF-ის ატვირთვით.

⇡ ლორენ კარპენტერი: ბუნების მიერ შექმნილი ხელოვნება

ფრაქტალების თეორიამ მალევე იპოვა პრაქტიკული გამოყენება. ვინაიდან ეს მჭიდროდ არის დაკავშირებული საკუთარი თავის მსგავსი სურათების ვიზუალიზაციასთან, გასაკვირი არ არის, რომ პირველებმა გამოიყენეს ალგორითმები და პრინციპები უჩვეულო ფორმების ასაგებად, იყვნენ მხატვრები.

ლეგენდარული Pixar სტუდიის მომავალმა თანადამფუძნებელმა, ლორენ კარპენტერმა 1967 წელს დაიწყო მუშაობა Boeing Computer Services-ში, რომელიც იყო ცნობილი კორპორაციის ერთ-ერთი განყოფილება, რომელიც დაკავებული იყო ახალი თვითმფრინავების შემუშავებით.

1977 წელს მან შექმნა პრეზენტაციები მფრინავი მოდელების პროტოტიპებით. ლორენი პასუხისმგებელი იყო შემუშავებული თვითმფრინავის სურათების შემუშავებაზე. მას მოუწია ახალი მოდელების სურათების შექმნა, მომავალი თვითმფრინავების ჩვენება სხვადასხვა კუთხით. რაღაც მომენტში Pixar Animation Studios-ის მომავალ დამფუძნებელს გაუჩნდა კრეატიული იდეა მთების გამოსახულების ფონად გამოსაყენებლად. დღეს ნებისმიერ სკოლის მოსწავლეს შეუძლია ასეთი პრობლემის გადაჭრა, მაგრამ გასული საუკუნის სამოცდაათიანი წლების ბოლოს კომპიუტერები ვერ უმკლავდებოდნენ ასეთ რთულ გამოთვლებს - არ იყო გრაფიკული რედაქტორები, რომ აღარაფერი ვთქვათ სამგანზომილებიანი გრაფიკის აპლიკაციებზე. 1978 წელს ლორენმა შემთხვევით ნახა ბენუა მანდელბროტის წიგნი ფრაქტალები: ფორმა, შემთხვევითობა და განზომილება მაღაზიაში. ამ წიგნში მისი ყურადღება მიიპყრო იმ ფაქტმა, რომ ბენუამ მოიყვანა ფრაქტალის ფორმების უამრავი მაგალითი რეალურ ცხოვრებაში და დაამტკიცა, რომ მათი აღწერა შეიძლება მათემატიკური გამოსახულებით.

ეს ანალოგია მათემატიკოსმა შემთხვევით არ აირჩია. ფაქტია, რომ როგორც კი მან გამოაქვეყნა თავისი კვლევა, მას კრიტიკის მთელი აურზაური მოუხდა. მთავარი, რითაც კოლეგებმა საყვედურობდნენ, შემუშავებული თეორიის უსარგებლობა იყო. - დიახ, - უთხრეს, - ეს ლამაზი სურათებია, მაგრამ მეტი არაფერი. ფრაქტალების თეორიას პრაქტიკული მნიშვნელობა არ აქვს“. იყვნენ ისეთებიც, რომლებსაც ზოგადად სჯეროდათ, რომ ფრაქტალის შაბლონები უბრალოდ „ეშმაკის მანქანების“ მუშაობის გვერდითი პროდუქტი იყო, რომელიც სამოცდაათიანი წლების ბოლოს ბევრს ეჩვენებოდა, რომ ძალიან რთული და შეუსწავლელი იყო, რომ სრულად ენდობოდა. მანდელბროტი ცდილობდა ეპოვა ფრაქტალების თეორიის აშკარა გამოყენება, მაგრამ, ზოგადად, მას ამის გაკეთება არ სჭირდებოდა. ბენუა მანდელბროტის მიმდევრები მომდევნო 25 წლის განმავლობაში დიდად გამოიყენეს ასეთი „მათემატიკური ცნობისმოყვარეობისთვის“ და ლორენ კარპენტერი იყო ერთ-ერთი პირველი, ვინც პრაქტიკაში გამოიყენა ფრაქტალის მეთოდი.

წიგნის შესწავლის შემდეგ, მომავალმა ანიმატორი სერიოზულად შეისწავლა ფრაქტალის გეომეტრიის პრინციპები და დაიწყო კომპიუტერულ გრაფიკაში მისი განხორციელების გზის ძიება. მხოლოდ სამი დღის განმავლობაში ლორენმა შეძლო მთის სისტემის რეალისტური გამოსახულების ვიზუალიზაცია თავის კომპიუტერზე. ანუ ფორმულების დახმარებით მან სრულიად ცნობადი მთის პეიზაჟი დახატა.

პრინციპი, რომელიც ლორენმა გამოიყენა თავისი მიზნის მისაღწევად, ძალიან მარტივი იყო. იგი შედგებოდა უფრო დიდი გეომეტრიული ფიგურის წვრილ ელემენტებად დაყოფაში და ისინი, თავის მხრივ, იყოფა უფრო მცირე ზომის მსგავს ფიგურებად.

უფრო დიდი სამკუთხედების გამოყენებით, კარპენტერმა დაყო ისინი ოთხ მცირედ და შემდეგ გაიმეორა ეს პროცედურა უსასრულოდ, სანამ მას რეალისტური მთის პეიზაჟი არ ჰქონდა. ამრიგად, მან მოახერხა გამხდარიყო პირველი მხატვარი, რომელმაც გამოიყენა ფრაქტალის ალგორითმი კომპიუტერულ გრაფიკაში სურათების შესაქმნელად. როგორც კი ცნობილი გახდა შესრულებული სამუშაოს შესახებ, ენთუზიასტებმა მთელ მსოფლიოში აითვისეს ეს იდეა და დაიწყეს ფრაქტალის ალგორითმის გამოყენება რეალისტური ბუნებრივი ფორმების სიმულაციისთვის.

ერთ-ერთი პირველი 3D რენდერი ფრაქტალის ალგორითმის გამოყენებით

სულ რამდენიმე წლის შემდეგ ლორენ კარპენტერმა შეძლო თავისი მიღწევების გამოყენება ბევრად უფრო დიდ პროექტში. ანიმატორმა ისინი დააფუძნა ორწუთიან დემო ვერსიაზე, Vol Libre, რომელიც აჩვენეს Siggraph-ზე 1980 წელს. ამ ვიდეომ შოკში ჩააგდო ყველა, ვინც ნახა და ლორენმა მიიღო მოწვევა Lucasfilm-ისგან.

ანიმაცია გადაღებულია VAX-11/780 კომპიუტერზე Digital Equipment Corporation-ის საათის სიჩქარით ხუთი მეგაჰერცი, და თითოეული კადრის დახატვას დაახლოებით ნახევარი საათი დასჭირდა.

Lucasfilm Limited-ში მუშაობისას ანიმატორმა შექმნა იგივე 3D პეიზაჟები Star Trek საგის მეორე ფუნქციისთვის. ხანის რისხვაში კარპენტერმა შეძლო მთელი პლანეტის შექმნა ფრაქტალური ზედაპირის მოდელირების იგივე პრინციპის გამოყენებით.

ამჟამად, ყველა პოპულარული აპლიკაცია 3D ლანდშაფტების შესაქმნელად იყენებს ბუნებრივი ობიექტების გენერირების იმავე პრინციპს. Terragen, Bryce, Vue და სხვა 3D რედაქტორები ეყრდნობიან ფრაქტალური ზედაპირისა და ტექსტურის მოდელირების ალგორითმს.

⇡ ფრაქტალური ანტენები: ნაკლები უკეთესია, მაგრამ უკეთესი

ბოლო ნახევარი საუკუნის განმავლობაში ცხოვრება სწრაფად შეიცვალა. უმეტესობა ჩვენგანს მიაჩნია მიღწეულ მიღწევებს თანამედროვე ტექნოლოგიებში. ყველაფერს, რაც ცხოვრებას უფრო კომფორტულს ხდის, ძალიან სწრაფად ეჩვევი. იშვიათად ვინმე სვამს კითხვებს "საიდან გაჩნდა ეს?" და "როგორ მუშაობს?". მიკროტალღური ღუმელი ათბობს საუზმეს - კარგი, მშვენიერია, სმარტფონი საშუალებას გაძლევთ ისაუბროთ სხვა ადამიანთან - შესანიშნავია. ეს ჩვენთვის აშკარა შესაძლებლობად გვეჩვენება.

მაგრამ ცხოვრება შეიძლება იყოს სრულიად განსხვავებული, თუ ადამიანი არ ეძებს ახსნას მომხდარ მოვლენებს. აიღეთ, მაგალითად, მობილური ტელეფონები. გახსოვთ დასაკეცი ანტენები პირველ მოდელებზე? ისინი ერეოდნენ, გაზარდეს მოწყობილობის ზომა, საბოლოოდ, ხშირად იშლებოდა. ჩვენ გვჯერა, რომ ისინი სამუდამოდ დაივიწყეს და ნაწილობრივ ამის გამო ... ფრაქტალები.

ფრაქტალური ნახატები ხიბლავს მათი ნიმუშებით. ისინი ნამდვილად წააგავს კოსმოსური ობიექტების გამოსახულებებს - ნისლეულებს, გალაქტიკათა გროვას და ა.შ. ამიტომ, სავსებით ბუნებრივია, რომ როდესაც მანდელბროტმა გააჟღერა თავისი ფრაქტალების თეორია, მისმა კვლევამ გაზარდა ინტერესი მათ შორის, ვინც ასტრონომიას სწავლობდა. ერთ-ერთი ასეთი მოყვარული, სახელად ნათან კოენი, ბუდაპეშტში ბენუა მანდელბროტის ლექციაზე დასწრების შემდეგ, შთაგონებული იყო მიღებული ცოდნის პრაქტიკული გამოყენების იდეით. მართალია, მან ეს ინტუიციურად გააკეთა და შემთხვევითობამ მნიშვნელოვანი როლი ითამაშა მის აღმოჩენაში. როგორც რადიომოყვარული, ნათანი ცდილობდა შეექმნა ანტენა მაქსიმალური მგრძნობელობით.

ანტენის პარამეტრების გაუმჯობესების ერთადერთი გზა, რაც იმ დროისთვის იყო ცნობილი, იყო მისი გეომეტრიული ზომების გაზრდა. თუმცა, ნათანის ბოსტონის ცენტრში ბინის მფლობელი კატეგორიულად ეწინააღმდეგებოდა სახურავის დიდი მოწყობილობების დაყენებას. შემდეგ ნათანმა დაიწყო ექსპერიმენტები სხვადასხვა ფორმის ანტენებით, ცდილობდა მაქსიმალური შედეგი მიეღო მინიმალური ზომით. ფრაქტალური ფორმების იდეით გაშეშებულმა კოენმა, როგორც ამბობენ, შემთხვევით გააკეთა მავთულისგან ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი ფრაქტალი - "კოხის ფიფქი". შვედმა მათემატიკოსმა ჰელგე ფონ კოხმა ეს მრუდი ჯერ კიდევ 1904 წელს გამოიგონა. იგი მიიღება სეგმენტის სამ ნაწილად დაყოფით და შუა სეგმენტის ჩანაცვლებით ტოლგვერდა სამკუთხედით ამ სეგმენტთან დამთხვევის გვერდის გარეშე. განმარტება ცოტა რთული გასაგებია, მაგრამ ფიგურა ნათელი და მარტივია.

ასევე არსებობს "კოხის მრუდის" სხვა სახეობები, მაგრამ მრუდის სავარაუდო ფორმა მსგავსი რჩება.

როდესაც ნათანმა ანტენა რადიოს მიმღებს დაუკავშირა, ძალიან გაუკვირდა - მგრძნობელობა მკვეთრად გაიზარდა. ექსპერიმენტების სერიის შემდეგ, ბოსტონის უნივერსიტეტის მომავალმა პროფესორმა გააცნობიერა, რომ ფრაქტალის ნიმუშის მიხედვით დამზადებულ ანტენას აქვს მაღალი ეფექტურობა და კლასიკურ გადაწყვეტილებებთან შედარებით გაცილებით ფართო სიხშირის დიაპაზონს მოიცავს. გარდა ამისა, ანტენის ფორმამ ფრაქტალური მრუდის სახით შეიძლება მნიშვნელოვნად შეამციროს გეომეტრიული ზომები. ნათან კოენმა თეორემაც კი შეიმუშავა, რომელიც ამტკიცებს, რომ ფართოზოლოვანი ანტენის შესაქმნელად საკმარისია მას მივცეთ მსგავსი ფრაქტალური მრუდის ფორმა.

ავტორმა დააპატენტა თავისი აღმოჩენა და დააარსა ფირმა ფრაქტალური ანტენების განვითარებისა და დიზაინისთვის Fractal Antenna Systems, მართებულად თვლიდა, რომ მომავალში, მისი აღმოჩენის წყალობით, მობილურ ტელეფონებს შეეძლებათ თავი დაეღწია ნაყარი ანტენებისგან და გახდნენ უფრო კომპაქტური.

ძირითადად, ასეც მოხდა. მართალია, დღემდე ნათანი სასამართლოშია მსხვილ კორპორაციებთან, რომლებიც უკანონოდ იყენებენ მის აღმოჩენას კომპაქტური საკომუნიკაციო მოწყობილობების დასამზადებლად. მობილური მოწყობილობების ზოგიერთმა ცნობილმა მწარმოებელმა, როგორიცაა Motorola, უკვე მიაღწია სამშვიდობო შეთანხმებას ფრაქტალური ანტენის გამომგონებელთან.

⇡ ფრაქტალური ზომები: გონება არ ესმის

ბენუამ ეს კითხვა ცნობილი ამერიკელი მეცნიერის ედვარდ კასნერისგან ისესხა.

ამ უკანასკნელს, ისევე როგორც ბევრ სხვა ცნობილ მათემატიკოსს, ძალიან უყვარდა ბავშვებთან ურთიერთობა, მათთვის კითხვების დასმა და მოულოდნელი პასუხების მიღება. ზოგჯერ ეს იწვევს გასაოცარ შედეგებს. ასე, მაგალითად, ედვარდ კასნერის ცხრა წლის ძმისშვილმა მოიფიქრა ახლა კარგად ცნობილი სიტყვა "გუგოლი", რომელიც აღნიშნავს ერთეულს ასი ნულით. მაგრამ დავუბრუნდეთ ფრაქტალებს. ამერიკელ მათემატიკოსს მოსწონდა კითხვა, რამდენი ხანია აშშ-ს სანაპირო ზოლი. თანამოსაუბრის აზრის მოსმენის შემდეგ ედვარდმა თავად თქვა სწორი პასუხი. თუ გაზომავთ სიგრძეს რუკაზე გატეხილი სეგმენტებით, მაშინ შედეგი იქნება არაზუსტი, რადგან სანაპირო ზოლს აქვს დიდი რაოდენობით დარღვევები. და რა მოხდება, თუ მაქსიმალურად ზუსტად გაზომავთ? თქვენ მოგიწევთ თითოეული უთანასწორობის სიგრძის გათვალისწინება - თქვენ უნდა გაზომოთ თითოეული კონცხი, თითოეული ყურე, კლდე, კლდოვანი რაფის სიგრძე, მასზე ქვა, ქვიშის მარცვალი, ატომი და ა.შ. ვინაიდან დარღვევების რაოდენობა უსასრულობისკენ მიისწრაფვის, სანაპირო ზოლის გაზომილი სიგრძე უსასრულობამდე გაიზრდება ყოველი ახალი დარღვევით.

რაც უფრო მცირეა ზომა გაზომვისას, მით მეტია გაზომილი სიგრძე

საინტერესოა, რომ ედვარდის მოთხოვნის შემდეგ ბავშვები უფროსებზე ბევრად სწრაფად ამბობდნენ სწორ პასუხს, ხოლო ამ უკანასკნელებს უჭირდათ ასეთი წარმოუდგენელი პასუხის მიღება.

ამ პრობლემის მაგალითის გამოყენებით მანდელბროტმა შესთავაზა გაზომვების ახალი მიდგომის გამოყენება. ვინაიდან სანაპირო ზოლი ახლოს არის ფრაქტალ მრუდთან, ეს ნიშნავს, რომ მასზე შეიძლება გამოყენებულ იქნას დამახასიათებელი პარამეტრი, ეგრეთ წოდებული ფრაქტალური განზომილება.

რა არის ჩვეულებრივი განზომილება, ყველასთვის გასაგებია. თუ განზომილება ერთის ტოლია, მივიღებთ სწორ ხაზს, თუ ორი - ბრტყელ ფიგურას, სამს - მოცულობას. თუმცა, განზომილების ასეთი გაგება მათემატიკაში არ მუშაობს ფრაქტალური მრუდებით, სადაც ამ პარამეტრს აქვს წილადური მნიშვნელობა. მათემატიკაში ფრაქტალის განზომილება პირობითად შეიძლება ჩაითვალოს „უხეშობად“. რაც უფრო მაღალია მრუდის უხეშობა, მით მეტია მისი ფრაქტალური განზომილება. მრუდს, რომელსაც მანდელბროტის მიხედვით აქვს ფრაქტალური განზომილება უფრო მაღალი ვიდრე მისი ტოპოლოგიური განზომილება, აქვს სავარაუდო სიგრძე, რომელიც არ არის დამოკიდებული განზომილებების რაოდენობაზე.

ამჟამად მეცნიერები სულ უფრო მეტ სფეროს პოულობენ ფრაქტალის თეორიის გამოყენებისთვის. ფრაქტალების დახმარებით შეგიძლიათ გააანალიზოთ აქციების ფასების რყევები, შეისწავლოთ ყველა სახის ბუნებრივი პროცესი, როგორიცაა სახეობების რაოდენობის რყევები, ან ნაკადების დინამიკის სიმულაცია. ფრაქტალური ალგორითმები შეიძლება გამოყენებულ იქნას მონაცემთა შეკუმშვისთვის, მაგალითად გამოსახულების შეკუმშვისთვის. სხვათა შორის, კომპიუტერის ეკრანზე ლამაზი ფრაქტალის მისაღებად, არ არის აუცილებელი გქონდეთ დოქტორის ხარისხი.

⇡ ფრაქტალი ბრაუზერში

შესაძლოა, ფრაქტალის ნიმუშის მისაღებად ერთ-ერთი ყველაზე მარტივი გზაა ახალგაზრდა ნიჭიერი პროგრამისტის ტობი შაჩმანის ონლაინ ვექტორული რედაქტორის გამოყენება. ამ მარტივი გრაფიკული რედაქტორის ინსტრუმენტთა ნაკრები ეფუძნება თვითმსგავსების იმავე პრინციპს.

თქვენს განკარგულებაშია მხოლოდ ორი მარტივი ფორმა - კვადრატი და წრე. თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ ისინი ტილოზე, გააფართოვოთ (ერთ-ერთი ღერძის გასწვრივ მასშტაბირება, დააჭიროთ Shift ღილაკს) და დაატრიალოთ. ლოგიკური მიმატების ოპერაციების პრინციპის გადაფარვით, ეს უმარტივესი ელემენტები ქმნიან ახალ, ნაკლებად ტრივიალურ ფორმებს. გარდა ამისა, ეს ახალი ფორმები შეიძლება დაემატოს პროექტს და პროგრამა განუსაზღვრელი ვადით გაიმეორებს ამ სურათების გენერაციას. ფრაქტალზე მუშაობის ნებისმიერ ეტაპზე შეგიძლიათ დაუბრუნდეთ რთული ფორმის ნებისმიერ კომპონენტს და შეცვალოთ მისი პოზიცია და გეომეტრია. ეს ძალიან სახალისოა, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც თვლით, რომ ერთადერთი ინსტრუმენტი, რომელიც გჭირდებათ კრეატიულობისთვის, არის ბრაუზერი. თუ არ გესმით ამ რეკურსიულ ვექტორულ რედაქტორთან მუშაობის პრინციპი, გირჩევთ უყუროთ ვიდეოს პროექტის ოფიციალურ ვებგვერდზე, სადაც დეტალურად არის ნაჩვენები ფრაქტალის შექმნის მთელი პროცესი.

⇡ XaoS: ფრაქტალები ყველა გემოვნებისთვის

ბევრ გრაფიკულ რედაქტორს აქვს ჩაშენებული ხელსაწყოები ფრაქტალის შაბლონების შესაქმნელად. თუმცა, ეს ხელსაწყოები, როგორც წესი, მეორეხარისხოვანია და არ გაძლევენ გენერირებული ფრაქტალის ნიმუშის დაზუსტების საშუალებას. იმ შემთხვევებში, როდესაც აუცილებელია მათემატიკურად ზუსტი ფრაქტალის შექმნა, XaoS კროს პლატფორმის რედაქტორი მოვა სამაშველოში. ეს პროგრამა შესაძლებელს ხდის არა მხოლოდ საკუთარი თავის მსგავსი სურათის შექმნას, არამედ მასთან ერთად სხვადასხვა მანიპულაციების შესრულებას. მაგალითად, რეალურ დროში შეგიძლიათ „გაიაროთ“ ფრაქტალში მისი მასშტაბის შეცვლით. ანიმაციური მოძრაობა ფრაქტალის გასწვრივ შეიძლება შეინახოს როგორც XAF ფაილი და შემდეგ დაკვრა თავად პროგრამაში.

XaoS-ს შეუძლია პარამეტრების შემთხვევითი ნაკრების ჩატვირთვა, ასევე გამოსახულების შემდგომი დამუშავების სხვადასხვა ფილტრების გამოყენება - ბუნდოვანი მოძრაობის ეფექტის დამატება, ფრაქტალ წერტილებს შორის მკვეთრი გადასვლების გამარტივება, 3D გამოსახულების სიმულაცია და ა.შ.

⇡ ფრაქტალის ზუმერი: კომპაქტური ფრაქტალის გენერატორი

სხვა ფრაქტალური გამოსახულების გენერატორებთან შედარებით, მას აქვს რამდენიმე უპირატესობა. ჯერ ერთი, ის საკმაოდ მცირე ზომისაა და არ საჭიროებს ინსტალაციას. მეორეც, ის ახორციელებს სურათის ფერთა პალიტრის განსაზღვრის უნარს. თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ ჩრდილები RGB, CMYK, HVS და HSL ფერის მოდელებში.

ასევე ძალიან მოსახერხებელია ფერთა ჩრდილების შემთხვევითი შერჩევის და სურათზე ყველა ფერის ინვერსიის ფუნქციის გამოყენება. ფერის დასარეგულირებლად არის ჩრდილების ციკლური შერჩევის ფუნქცია - შესაბამისი რეჟიმის ჩართვისას პროგრამა აცოცხლებს სურათს, ციკლურად ცვლის მასზე ფერებს.

Fractal Zoomer-ს შეუძლია 85 სხვადასხვა ფრაქტალის ფუნქციის ვიზუალიზაცია და ფორმულები ნათლად არის ნაჩვენები პროგრამის მენიუში. პროგრამაში არის ფილტრები სურათების შემდგომი დამუშავებისთვის, თუმცა მცირე რაოდენობით. თითოეული მინიჭებული ფილტრი შეიძლება ნებისმიერ დროს გაუქმდეს.

⇡ Mandelbulb3D: 3D ფრაქტალის რედაქტორი

როდესაც ტერმინი "ფრაქტალი" გამოიყენება, ის ყველაზე ხშირად ნიშნავს ბრტყელ ორგანზომილებიან გამოსახულებას. თუმცა, ფრაქტალის გეომეტრია სცილდება 2D განზომილებას. ბუნებაში შეგიძლიათ იპოვოთ ბრტყელი ფრაქტალის ფორმების ორივე მაგალითი, მაგალითად, ელვის გეომეტრია და სამგანზომილებიანი სამგანზომილებიანი ფიგურები. ფრაქტალის ზედაპირები შეიძლება იყოს 3D და 3D ფრაქტალების ერთი ძალიან გრაფიკული ილუსტრაცია ყოველდღიურ ცხოვრებაში არის კომბოსტოს თავი. ალბათ ფრაქტალების სანახავად საუკეთესო საშუალებაა რომანესკოში, ყვავილოვანი კომბოსტოს და ბროკოლის ჰიბრიდი.

და ამ ფრაქტალის ჭამა შეიძლება

Mandelbulb3D პროგრამას შეუძლია შექმნას მსგავსი ფორმის სამგანზომილებიანი ობიექტები. 3D ზედაპირის მისაღებად ფრაქტალის ალგორითმის გამოყენებით, ამ აპლიკაციის ავტორებმა, დენიელ უაიტმა და პოლ ნილანდერმა, მანდელბროტის ნაკრები გადააკეთეს სფერულ კოორდინატებად. მათ მიერ შექმნილი Mandelbulb3D პროგრამა არის ნამდვილი სამგანზომილებიანი რედაქტორი, რომელიც აყალიბებს სხვადასხვა ფორმის ფრაქტალურ ზედაპირებს. ვინაიდან ბუნებაში ხშირად ვაკვირდებით ფრაქტალის ნიმუშებს, ხელოვნურად შექმნილი ფრაქტალის სამგანზომილებიანი ობიექტი წარმოუდგენლად რეალისტური და თუნდაც „ცოცხალი“ ჩანს.

შეიძლება მცენარეს ჰგავდეს, უცნაურ ცხოველს, პლანეტას ან სხვა რამეს დაემსგავსოს. ამ ეფექტს აძლიერებს რენდერის გაფართოებული ალგორითმი, რომელიც შესაძლებელს ხდის რეალისტური ასახვის მიღებას, გამჭვირვალობისა და ჩრდილების გამოთვლას, ველის სიღრმის ეფექტის სიმულაციას და ა.შ. Mandelbulb3D-ს აქვს უამრავი პარამეტრი და რენდერის პარამეტრები. თქვენ შეგიძლიათ აკონტროლოთ სინათლის წყაროების ჩრდილები, აირჩიოთ მოდელირებული ობიექტის ფონი და დეტალების დონე.

Incendia ფრაქტალის რედაქტორი მხარს უჭერს გამოსახულების ორმაგ გამარტივებას, შეიცავს ორმოცდაათი სხვადასხვა სამგანზომილებიანი ფრაქტალის ბიბლიოთეკას და აქვს ცალკე მოდული ძირითადი ფორმების რედაქტირებისთვის.

აპლიკაცია იყენებს ფრაქტალ სკრიპტირებას, რომლითაც შეგიძლიათ დამოუკიდებლად აღწეროთ ფრაქტალის სტრუქტურების ახალი ტიპები. Incendia-ს აქვს ტექსტურის და მასალის რედაქტორები და რენდერის ძრავა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ მოცულობითი ნისლის ეფექტები და სხვადასხვა შადერები. პროგრამას აქვს შესაძლებლობა შეინახოს ბუფერი გრძელვადიანი რენდერის დროს, მხარდაჭერილია ანიმაციის შექმნა.

Incendia საშუალებას გაძლევთ ექსპორტი გააკეთოთ ფრაქტალის მოდელი პოპულარულ 3D გრაფიკულ ფორმატებში - OBJ და STL. Incendia მოიცავს პატარა Geometrica-ს - სპეციალურ ხელსაწყოს ფრაქტალური ზედაპირის სამგანზომილებიან მოდელზე ექსპორტის დასაყენებლად. ამ პროგრამის გამოყენებით, შეგიძლიათ განსაზღვროთ 3D ზედაპირის გარჩევადობა, მიუთითოთ ფრაქტალის გამეორებების რაოდენობა. ექსპორტირებული მოდელების გამოყენება შესაძლებელია 3D პროექტებში 3D რედაქტორებთან მუშაობისას, როგორიცაა Blender, 3ds max და სხვა.

ცოტა ხნის წინ, Incendia პროექტზე მუშაობა გარკვეულწილად შენელდა. ამ დროისთვის ავტორი ეძებს სპონსორებს, რომლებიც დაეხმარებიან მას პროგრამის განვითარებაში.

თუ თქვენ არ გაქვთ საკმარისი ფანტაზია ამ პროგრამაში ლამაზი სამგანზომილებიანი ფრაქტალის დახატვისთვის, არ აქვს მნიშვნელობა. გამოიყენეთ პარამეტრების ბიბლიოთეკა, რომელიც მდებარეობს INCENDIA_EX\parameters საქაღალდეში. PAR ფაილების დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ სწრაფად იპოვოთ ყველაზე უჩვეულო ფრაქტალის ფორმები, მათ შორის ანიმაციური.

⇡ ხმოვანი: როგორ მღერიან ფრაქტალები

ჩვენ ჩვეულებრივ არ ვსაუბრობთ პროექტებზე, რომლებზეც ახლახან მიმდინარეობს მუშაობა, მაგრამ ამ შემთხვევაში გამონაკლისი უნდა გავაკეთოთ, ეს ძალიან უჩვეულო აპლიკაციაა. პროექტი სახელწოდებით Aural გამოვიდა იმავე ადამიანთან ერთად, როგორც Incendia. მართალია, ამჯერად პროგრამა არ ახდენს ფრაქტალის ნაკრების ვიზუალიზაციას, არამედ ახმოვანებს მას, აქცევს მას ელექტრონულ მუსიკად. იდეა ძალიან საინტერესოა, განსაკუთრებით ფრაქტალების უჩვეულო თვისებების გათვალისწინებით. Aural არის აუდიო რედაქტორი, რომელიც ქმნის მელოდიებს ფრაქტალის ალგორითმების გამოყენებით, ანუ, ფაქტობრივად, ის არის აუდიო სინთეზატორი-სექვენერატორი.

ამ პროგრამის მიერ გაცემული ბგერების თანმიმდევრობა უჩვეულო და ... ლამაზია. ის შეიძლება კარგად გამოდგეს თანამედროვე რიტმების დასაწერად და, ჩვენი აზრით, განსაკუთრებით შესაფერისია საუნდტრეკის შესაქმნელად სატელევიზიო და რადიო გადაცემების ინტროსთვის, ასევე კომპიუტერული თამაშებისთვის ფონური მუსიკის „მარყუჟებისთვის“. რამიროს ჯერ არ გაუკეთებია თავისი პროგრამის დემო ვერსია, მაგრამ გვპირდება, რომ როცა ამას აკეთებს, აურალთან მუშაობისთვის, მას არ დასჭირდება ფრაქტალების თეორიის სწავლა - უბრალოდ ითამაშე ალგორითმის პარამეტრებთან ნოტების თანმიმდევრობის შესაქმნელად. . მოუსმინეთ როგორ ჟღერს ფრაქტალები და.

ფრაქტალები: მუსიკალური პაუზა

სინამდვილეში, ფრაქტალებს შეუძლიათ დაგეხმარონ მუსიკის დაწერაში პროგრამული უზრუნველყოფის გარეშეც კი. მაგრამ ეს შეიძლება გააკეთოს მხოლოდ მას, ვინც ნამდვილად არის გაჟღენთილი ბუნებრივი ჰარმონიის იდეით და ამავე დროს არ გადაიქცა უბედურ „ნერდად“. აზრი აქვს მუსიკოსისგან, სახელად ჯონათან კულტონისგან, რომელიც, სხვა საკითხებთან ერთად, წერს კომპოზიციებს ჟურნალის Popular Science-ისთვის. და სხვა მხატვრებისგან განსხვავებით, კოლტონი აქვეყნებს თავის ყველა ნამუშევარს Creative Commons Attribution-არაკომერციული ლიცენზიით, რომელიც (არაკომერციული მიზნებისთვის გამოყენებისას) ითვალისწინებს ნამუშევრის უფასო კოპირებას, გავრცელებას, სხვებისთვის გადაცემას, ასევე მის მოდიფიკაციას (შექმნას). წარმოებული სამუშაოების) თქვენს საჭიროებებზე მორგების მიზნით.

ჯონათან კოლტონს, რა თქმა უნდა, აქვს სიმღერა ფრაქტალებზე.

⇡ დასკვნა

ყველაფერში, რაც ჩვენს გარშემოა, ჩვენ ხშირად ვხედავთ ქაოსს, მაგრამ სინამდვილეში ეს არ არის შემთხვევითი, არამედ იდეალური ფორმა, რომლის ამოცნობაშიც ფრაქტალები გვეხმარება. ბუნება არის საუკეთესო არქიტექტორი, იდეალური მშენებელი და ინჟინერი. ის ძალიან ლოგიკურად არის მოწყობილი და თუ სადმე ვერ ვხედავთ შაბლონებს, ეს ნიშნავს, რომ ის სხვა მასშტაბით უნდა ვეძებოთ. ადამიანები ამას უკეთესად და უკეთესად ესმით, ცდილობენ მრავალი გზით მიბაძონ ბუნებრივ ფორმებს. ინჟინრები ქმნიან დინამიკების სისტემებს გარსის სახით, ქმნიან ანტენებს ფიფქის გეომეტრიით და ა.შ. დარწმუნებული ვართ, რომ ფრაქტალები ჯერ კიდევ ბევრ საიდუმლოს ინახავს და ბევრი მათგანი ჯერ კიდევ არ არის აღმოჩენილი ადამიანმა.

როგორც გაირკვა ბოლო ათწლეულების განმავლობაში (თვითორგანიზაციის თეორიის განვითარებასთან დაკავშირებით), თვითმსგავსება ხდება მრავალფეროვან ობიექტებსა და ფენომენებში. მაგალითად, თვითმსგავსება შეიძლება შეინიშნოს ხეების და ბუჩქების ტოტებში, განაყოფიერებული ზიგოტის, ფიფქების, ყინულის კრისტალების დაყოფაში, ეკონომიკური სისტემების განვითარებაში, მთის სისტემების სტრუქტურაში, ღრუბლებში.

ყველა ჩამოთვლილი ობიექტი და სხვა მსგავსი მათი სტრუქტურა ფრაქტალია. ანუ მათ აქვთ თვითმსგავსების, ანუ მასშტაბის უცვლელობის თვისებები. და ეს ნიშნავს, რომ მათი სტრუქტურის ზოგიერთი ფრაგმენტი მკაცრად მეორდება გარკვეული სივრცითი ინტერვალებით. ცხადია, ეს ობიექტები შეიძლება იყოს ნებისმიერი ხასიათისა და მათი გარეგნობა და ფორმა უცვლელი რჩება მასშტაბის მიუხედავად. როგორც ბუნებაში, ასევე საზოგადოებაში, თვითგამეორება ხდება საკმაოდ დიდი მასშტაბით. ამგვარად, ღრუბელი იმეორებს თავის გახეხილ სტრუქტურას 10 4 მ-დან (10 კმ) 10-4 მ-მდე (0,1 მმ). განშტოება მეორდება ხეებზე 10-2-დან 10 2 მ-მდე. კოლაფსირებული მასალები, რომლებიც წარმოქმნიან ბზარებს, ასევე იმეორებენ თავის მსგავსებას რამდენიმე მასშტაბით. ხელზე ჩამოვარდნილი ფიფქი დნება. დნობის პერიოდში, ერთი ფაზიდან მეორეზე გადასვლა, ფიფქის წვეთი ასევე ფრაქტალია.

ფრაქტალი არის უსასრულო სირთულის ობიექტი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ ნახოთ არანაკლებ დეტალები ახლოდან, ვიდრე შორიდან. ამის კლასიკური მაგალითია დედამიწა. კოსმოსიდან ის ბურთს ჰგავს. მასთან მიახლოებისას ჩვენ ვიპოვით ოკეანეებს, კონტინენტებს, სანაპიროებს და მთიანეთებს. მოგვიანებით, უფრო მცირე დეტალები გამოჩნდება: მიწის ნაკვეთი მთის ზედაპირზე, ისეთივე რთული და არათანაბარი, როგორც თავად მთა. შემდეგ გამოჩნდება ნიადაგის პაწაწინა ნაწილაკები, რომელთაგან თითოეული თავისთავად ფრაქტალის ობიექტია.

ფრაქტალი არის არაწრფივი სტრუქტურა, რომელიც ინარჩუნებს თავის მსგავსებას უსასრულოდ ზევით ან კლებისას. არაწრფივობა მხოლოდ მცირე სიგრძეზე გარდაიქმნება წრფივად. ეს განსაკუთრებით შესამჩნევია დიფერენციაციის მათემატიკური პროცედურაში.

ამრიგად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ფრაქტალები, როგორც მოდელები, გამოიყენება მაშინ, როდესაც რეალური ობიექტი არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს კლასიკური მოდელების სახით. და ეს ნიშნავს, რომ საქმე გვაქვს არაწრფივ კავშირებთან და მონაცემთა არადეტერმინისტულ ხასიათთან. არაწრფივიობა იდეოლოგიური გაგებით ნიშნავს განვითარების გზების მრავალვარიანტულობას, ალტერნატიული გზებიდან არჩევანის ხელმისაწვდომობას და ევოლუციის გარკვეულ ტემპს, ასევე ევოლუციური პროცესების შეუქცევადობას. მათემატიკური გაგებით, არაწრფივი არის გარკვეული ტიპის მათემატიკური განტოლებები (არაწრფივი დიფერენციალური განტოლებები), რომლებიც შეიცავს სასურველ სიდიდეებს ერთზე მეტი სიმძლავრით ან კოეფიციენტებით, რომლებიც დამოკიდებულია საშუალების თვისებებზე. ანუ, როდესაც ვიყენებთ კლასიკურ მოდელებს (მაგალითად, ტენდენცია, რეგრესია და ა.შ.), ჩვენ ვამბობთ, რომ ობიექტის მომავალი ცალსახად არის განსაზღვრული. ჩვენ შეგვიძლია ვიწინასწარმეტყველოთ იგი, ვიცოდეთ ობიექტის წარსული (საწყისი მონაცემები მოდელირებისთვის). და ფრაქტალები გამოიყენება იმ შემთხვევაში, როდესაც ობიექტს აქვს განვითარების რამდენიმე ვარიანტი და სისტემის მდგომარეობა განისაზღვრება იმ პოზიციით, რომელშიც ის ამჟამად მდებარეობს. ანუ ვცდილობთ ქაოტური განვითარების სიმულაციას.

როდესაც ისინი საუბრობენ გარკვეული სისტემის დეტერმინიზმზე, გულისხმობენ, რომ მის ქცევას ახასიათებს ცალსახა მიზეზობრივი კავშირი. ანუ სისტემის საწყისი პირობებისა და მოძრაობის კანონის ცოდნით შესაძლებელია მისი მომავლის ზუსტად პროგნოზირება. სამყაროში მოძრაობის ეს იდეა არის კლასიკური, ნიუტონის დინამიკის დამახასიათებელი. ქაოსი, პირიქით, გულისხმობს ქაოტურ, შემთხვევით პროცესს, როდესაც მოვლენათა მიმდინარეობის არც წინასწარმეტყველება და არც რეპროდუცირება შეუძლებელია.

ქაოსი წარმოიქმნება არაწრფივი სისტემის შინაგანი დინამიკით - მისი თვისება ექსპონენციურად სწრაფად გამოყოს თვითნებურად დახურული ტრაექტორიები. შედეგად, ტრაექტორიების ფორმა ძალიან ძლიერ არის დამოკიდებული საწყის პირობებზე. სისტემების შესწავლისას, რომლებიც, ერთი შეხედვით, ქაოტურად ვითარდება, ხშირად იყენებენ ფრაქტალების თეორიას, რადგან სწორედ ეს მიდგომა საშუალებას იძლევა დავინახოთ გარკვეული კანონზომიერება სისტემის განვითარებაში „შემთხვევითი“ გადახრების წარმოქმნაში.

ბუნებრივი ფრაქტალური სტრუქტურების შესწავლა საშუალებას გვაძლევს უკეთ გავიგოთ თვითორგანიზაციისა და არაწრფივი სისტემების განვითარების პროცესები. ჩვენ უკვე გავარკვიეთ, რომ ყველაზე მრავალფეროვანი, გრაგნილი ხაზების ბუნებრივი ფრაქტალები გვხვდება ჩვენს ირგვლივ. ეს არის ზღვის სანაპირო, ხეები, ღრუბლები, ელვისებური გამონადენი, ლითონის სტრუქტურა, ადამიანის ნერვული ან სისხლძარღვთა სისტემა. ეს რთული ხაზები და უხეში ზედაპირი მოექცა სამეცნიერო კვლევების ყურადღების ცენტრში, რადგან ბუნებამ გვაჩვენა სირთულის სრულიად განსხვავებული დონე, ვიდრე იდეალურ გეომეტრიულ სისტემებში. შესწავლილი სტრუქტურები სივრცით-დროით მიმართებაში თვითმსგავსი აღმოჩნდა. ისინი უსასრულოდ იმეორებდნენ საკუთარ თავს და იმეორებდნენ სხვადასხვა სიგრძისა და დროის მასშტაბებს. ნებისმიერი არაწრფივი პროცესი საბოლოოდ მივყავართ ჩანგალამდე. სისტემა ამ შემთხვევაში, განშტოების წერტილში, ირჩევს ამა თუ იმ გზას. სისტემის განვითარების ტრაექტორია ჰგავს ფრაქტალს, ანუ გაწყვეტილ ხაზს, რომლის ფორმა შეიძლება შეფასდეს, როგორც განშტოებული, რთული გზა, რომელსაც აქვს თავისი ლოგიკა და ნიმუში.

სისტემის განშტოება შეიძლება შევადაროთ ხის განშტოებას, სადაც თითოეული ტოტი შეესაბამება მთელი სისტემის მესამედს. განშტოება საშუალებას აძლევს ხაზოვან სტრუქტურას შეავსოს სამგანზომილებიანი სივრცე, ან, უფრო ზუსტად: ფრაქტალური სტრუქტურა კოორდინაციას უწევს სხვადასხვა სივრცეებს. ფრაქტალი შეიძლება გაიზარდოს, ავსებს მიმდებარე სივრცეს, ისევე როგორც კრისტალი იზრდება ზეგაჯერებულ ხსნარში. ამ შემთხვევაში, განშტოების ბუნება ასოცირდება არა შემთხვევით, არამედ გარკვეულ ნიმუშთან.

ფრაქტალური სტრუქტურა ანალოგიურად მეორდება სხვა დონეზე, ადამიანის ცხოვრების ორგანიზების უფრო მაღალ დონეზე, მაგალითად, კოლექტივის ან გუნდის თვითორგანიზების დონეზე. ქსელებისა და ფორმების თვითორგანიზება მიკრო დონიდან მაკრო დონეზე გადადის. ერთობლივად, ისინი წარმოადგენენ ჰოლისტურ ერთობას, სადაც შეიძლება მთელის განსჯა ნაწილის მიხედვით. ამ კურსურ ნაშრომში, მაგალითად, განხილულია სოციალური პროცესების ფრაქტალური თვისებები, რაც მიუთითებს ფრაქტალების თეორიის უნივერსალურობაზე და მის ლოიალობაზე მეცნიერების სხვადასხვა დარგის მიმართ.

დაასკვნეს, რომ ფრაქტალი არის სხვადასხვა განზომილების და ბუნების სივრცეების ორგანიზებული ურთიერთქმედების საშუალება. ზემოაღნიშნულს უნდა დაემატოს არა მხოლოდ სივრცითი, არამედ დროითი. მაშინ ადამიანის ტვინი და ნერვული ქსელებიც კი იქნება ფრაქტალური სტრუქტურა.

ბუნებას ძალიან უყვარს ფრაქტალური ფორმები. ფრაქტალ ობიექტს აქვს გაშლილი, იშვიათი სტრუქტურა. ასეთ ობიექტებზე მზარდი გადიდებით დაკვირვებისას შეიძლება დაინახოთ, რომ ისინი აჩვენებენ შაბლონს, რომელიც მეორდება სხვადასხვა დონეზე. ჩვენ უკვე ვთქვით, რომ ფრაქტალ ობიექტს შეუძლია ზუსტად იგივე გამოიყურებოდეს, მიუხედავად იმისა, ვაკვირდებით მას მეტრებში, მილიმეტრებში თუ მიკრონი (1:1,000,000 მეტრის მასშტაბი). ფრაქტალური ობიექტების სიმეტრიის თვისება ვლინდება მასშტაბის მიმართ ინვარიანტობაში. ფრაქტალები სიმეტრიულია გაჭიმვის ცენტრის მიმართ, ისევე როგორც მრგვალი სხეულები სიმეტრიულია ბრუნვის ღერძის მიმართ.

არაწრფივი დინამიკის სათაყვანებელი გამოსახულებაა ფრაქტალური სტრუქტურები, რომლებშიც მასშტაბის ცვლილებით, აღწერა აგებულია იმავე წესის მიხედვით. რეალურ ცხოვრებაში, ამ პრინციპის განხორციელება შესაძლებელია მცირე ვარიაციებით. მაგალითად, ფიზიკაში, დონიდან დონეზე გადასვლისას (ატომური პროცესებიდან ბირთვულზე, ბირთვულიდან ელემენტარულ ნაწილაკებამდე), იცვლება კანონზომიერებები, მოდელები და აღწერის მეთოდები. იგივეს ვხედავთ ბიოლოგიაში (ორგანიზმის, ქსოვილის, უჯრედის პოპულაციის დონე და ა.შ.) სინერგეტიკის მომავალი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რამდენად შეძლებს არაწრფივი მეცნიერების დახმარებას ამ სტრუქტურული ჰეტეროგენურობის აღწერაში და სხვადასხვა "ინტერდონის" ფენომენები. ამჟამად, სამეცნიერო დისციპლინების უმეტესობას არ გააჩნია სანდო ფრაქტალური კონცეპტუალური მოდელები.

დღეს ფრაქტალების თეორიის ფარგლებში განვითარებული მოვლენები მიმდინარეობს რომელიმე კონკრეტულ მეცნიერებაში - ფიზიკაში, სოციოლოგიაში, ფსიქოლოგიაში, ლინგვისტიკაში და ა.შ. მაშინ საზოგადოება, სოციალური ინსტიტუტები, ენა და აზროვნებაც კი ფრაქტალებია.

დისკუსიებში, რომელიც ბოლო წლებში მეცნიერებსა და ფილოსოფოსებს შორის დაიწყო ფრაქტალების კონცეფციის ირგვლივ, ყველაზე საკამათო საკითხი შემდეგია: შესაძლებელია თუ არა საუბარი ფრაქტალების უნივერსალურობაზე, რომ ბუნების ყოველი ობიექტი შეიცავს ფრაქტალს ან გადის ფრაქტალის სტადია? არსებობს მეცნიერთა ორი ჯგუფი, რომლებიც ამ კითხვას პასუხობენ ზუსტად საპირისპიროდ. პირველი ჯგუფი ("რადიკალები", ინოვატორები) მხარს უჭერს თეზისს ფრაქტალების უნივერსალურობის შესახებ. მეორე ჯგუფი ("კონსერვატორები") უარყოფს ამ თეზისს, მაგრამ მაინც ამტკიცებს, რომ ბუნების ყველა ობიექტს არ აქვს ფრაქტალი, მაგრამ ფრაქტალი შეიძლება მოიძებნოს ბუნების ყველა სფეროში.

თანამედროვე მეცნიერებამ საკმაოდ წარმატებით მოახდინა ფრაქტალების თეორიის ადაპტირება ცოდნის სხვადასხვა სფეროსთვის. ასე რომ, ეკონომიკაში ფრაქტალების თეორია გამოიყენება ფინანსური ბაზრების ტექნიკურ ანალიზში, რომლებიც ას წელზე მეტია არსებობს მსოფლიოს განვითარებულ ქვეყნებში. პირველად, საფონდო ფასების სამომავლო ქცევის პროგნოზირების შესაძლებლობა, თუ ცნობილია მისი მიმართულება ბოლო პერიოდის განმავლობაში, აღნიშნა C. Dow-მა. 1990-იან წლებში, რამდენიმე სტატიის გამოქვეყნების შემდეგ, დოუმ შენიშნა, რომ აქციების ფასები ექვემდებარებოდა ციკლურ რყევებს: ხანგრძლივი ზრდის შემდეგ მოჰყვება ხანგრძლივი ვარდნა, შემდეგ კვლავ მატება და ვარდნა.

მე-20 საუკუნის შუა ხანებში, როდესაც მთელი სამეცნიერო სამყარო მოხიბლული იყო ფრაქტალების ახლად წარმოქმნილი თეორიით, კიდევ ერთმა ცნობილმა ამერიკელმა ფინანსისტმა, რ. ელიოტმა, შემოგვთავაზა აქციების ფასის ქცევის თავისი თეორია, რომელიც დაფუძნებული იყო ფრაქტალის გამოყენებაზე. თეორია. ელიოტი გამომდინარეობდა იქიდან, რომ ფრაქტალების გეომეტრია ხდება არა მხოლოდ ცოცხალ ბუნებაში, არამედ სოციალურ პროცესებშიც. მან აქციების ბირჟაზე ვაჭრობაც სოციალურ პროცესებს მიაწერა.

თეორიის საფუძველია ტალღის დიაგრამა ე.წ. ეს თეორია შესაძლებელს ხდის ფასის ტენდენციის შემდგომი ქცევის პროგნოზირებას, მისი ქცევის ისტორიის ცოდნაზე და მასობრივი ფსიქოლოგიური ქცევის განვითარების წესების დაცვით.

ფრაქტალების თეორიამ ასევე იპოვა გამოყენება ბიოლოგიაში. მცენარეების, ცხოველებისა და ადამიანების ბევრ, თუ არა ყველა, ბიოლოგიურ სტრუქტურას და სისტემას აქვს ფრაქტალური ბუნება, გარკვეული მსგავსება: ნერვული სისტემა, ფილტვის სისტემა, სისხლის მიმოქცევის და ლიმფური სისტემები და ა.შ. გაჩნდა მტკიცებულება, რომ ავთვისებიანი სიმსივნის განვითარებაც ფრაქტალის პრინციპით მიმდინარეობს. თვითმიმართულობისა და ფრაქტალის კონგრუენტობის პრინციპის გათვალისწინებით, შეიძლება აიხსნას ორგანული სამყაროს ევოლუციის მთელი რიგი გადაუჭრელი პრობლემები. ფრაქტალურ ობიექტებს ასევე ახასიათებთ ისეთი თვისება, როგორიცაა კომპლემენტარობის გამოვლინება. ბიოქიმიაში კომპლემენტარულობა არის ორი მაკრომოლეკულის ქიმიურ სტრუქტურაში ურთიერთშესაბამისობა, რაც უზრუნველყოფს მათ ურთიერთქმედებას - დნმ-ის ორი ჯაჭვის დაწყვილებას, ფერმენტის კავშირს სუბსტრატთან, ანტიგენის ანტისხეულთან. დამატებითი სტრუქტურები ერთმანეთში ჯდება, როგორც საკეტის გასაღები (კირილესა და მეთოდეს ენციკლოპედია). ამ თვისებას ფლობს დნმ პოლინუკლეოტიდური ჯაჭვები.

ფრაქტალების ერთ-ერთი ყველაზე ძლიერი პროგრამა მდგომარეობს კომპიუტერულ გრაფიკაში. პირველ რიგში, ეს არის სურათების ფრაქტალური შეკუმშვა და მეორე, პეიზაჟების, ხეების, მცენარეების აგება და ფრაქტალური ტექსტურების წარმოქმნა. ამავდროულად, ინფორმაციის შეკუმშვის, ჩაწერისთვის საჭიროა ფრაქტალის თვითმსგავსი მატება, ხოლო მისი წაკითხვისთვის, შესაბამისად, თვითმსგავსი მატება.

ფრაქტალური გამოსახულების შეკუმშვის ალგორითმების უპირატესობები არის შეფუთული ფაილის ძალიან მცირე ზომა და გამოსახულების აღდგენის მოკლე დრო. ფრაქტალურად შეფუთული სურათების მასშტაბირება შესაძლებელია პიქსელაციის გარეშე. მაგრამ შეკუმშვის პროცესს დიდი დრო სჭირდება და ზოგჯერ საათობით გრძელდება. დაკარგვის ფრაქტალის შეფუთვის ალგორითმი საშუალებას გაძლევთ დააყენოთ შეკუმშვის დონე, jpeg ფორმატის მსგავსი. ალგორითმი დაფუძნებულია გამოსახულების დიდი ნაწილების პოვნაზე, რომლებიც მსგავსია ზოგიერთი პატარა ნაწილის მსგავსი. და მხოლოდ ინფორმაცია ერთი ნაწილის მეორესთან მსგავსების შესახებ იწერება გამომავალ ფაილში. შეკუმშვისას ჩვეულებრივ გამოიყენება კვადრატული ბადე (ნაწილები არის კვადრატები), რაც იწვევს სურათის აღდგენისას მცირე კუთხით; ექვსკუთხა ბადე თავისუფალია ასეთი ნაკლისაგან.

ლიტერატურულ ნაწარმოებებს შორის არის ისეთებიც, რომლებსაც აქვთ ტექსტური, სტრუქტურული ან სემანტიკური ფრაქტალური ბუნება. ტექსტურ ფრაქტალებში ტექსტის ელემენტები პოტენციურად უსასრულოდ მეორდება. ტექსტური ფრაქტალები მოიცავს დაუტოტავ უსასრულო ხეს, რომელიც თავისი თავის იდენტურია ნებისმიერი გამეორებიდან („მღვდელს ჰყავდა ძაღლი…“, „იგავი ფილოსოფოსზე, რომელიც ოცნებობს, რომ ის არის პეპელა, რომელიც ოცნებობს, რომ ის არის ფილოსოფოსი, რომელიც ოცნებობს…“, ”განცხადება მცდარია, რომ განცხადება მართალია, რომ განცხადება მცდარია ...”); განშტოებადი გაუთავებელი ტექსტები ვარიაციებით („პეგის ჰყავდა მხიარული ბატი...“) და ტექსტები გაფართოებით („სახლი, რომელიც ჯეკმა ააშენა“).

სტრუქტურულ ფრაქტალებში ტექსტის სქემა პოტენციურად ფრაქტალია. ასეთი სტრუქტურის ტექსტები დალაგებულია შემდეგი პრინციპებით: სონეტების გვირგვინი (15 ლექსი), გვირგვინი სონეტების გვირგვინი (211 ლექსი), გვირგვინი სონეტების გვირგვინით (2455 ლექსი); „ისტორიები მოთხრობაში“ („წიგნი ათასი და ერთი ღამისა“, ია. პოტოცკი „სარაგოსაში აღმოჩენილი ხელნაწერი“); წინასიტყვაობს დამალული ავტორიტეტი (ვ. ეკო „ვარდის სახელი“).

ფრაქტალისა და ფრაქტალის გეომეტრიის ცნებები, რომლებიც გაჩნდა 70-იანი წლების ბოლოს, მტკიცედ დამკვიდრდა მათემატიკოსთა და პროგრამისტების ყოველდღიურ ცხოვრებაში 80-იანი წლების შუა ხანებიდან. სიტყვა fractal მომდინარეობს ლათინური fractus-დან და თარგმანში ნიშნავს ფრაგმენტებისგან შემდგარს. იგი შემოგვთავაზა ბენუა მანდელბროტმა 1975 წელს, რათა მიემართა არარეგულარული, მაგრამ თვითმსგავსი სტრუქტურების შესახებ, რომლებიც მან შეისწავლა. ფრაქტალური გეომეტრიის დაბადება ჩვეულებრივ ასოცირდება მანდელბროტის წიგნის "ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია" გამოქვეყნებასთან 1977 წელს. მის ნაშრომებში გამოყენებული იყო სხვა მეცნიერების სამეცნიერო შედეგები, რომლებიც მუშაობდნენ 1875-1925 წლებში იმავე სფეროში (პუანკარე, ფატუ, ჯულია, კანტორი, ჰაუსდორფი მაგრამ მხოლოდ ჩვენს დროში იყო შესაძლებელი მათი ნამუშევრების გაერთიანება ერთ სისტემაში.
ფრაქტალების როლი კომპიუტერულ გრაფიკაში დღეს საკმაოდ დიდია. ისინი მოდიან სამაშველოში, მაგალითად, როდესაც საჭიროა, რამდენიმე კოეფიციენტის დახმარებით, განსაზღვრონ ძალიან რთული ფორმის ხაზები და ზედაპირები. კომპიუტერული გრაფიკის თვალსაზრისით, ფრაქტალის გეომეტრია შეუცვლელია ხელოვნური ღრუბლების, მთებისა და ზღვის ზედაპირის წარმოქმნისთვის. ფაქტობრივად, იპოვეს გზა, რომლითაც ადვილად წარმოადგენენ რთულ არაევკლიდეს ობიექტებს, რომელთა გამოსახულებები ძალიან ჰგავს ბუნებრივებს.
ფრაქტალების ერთ-ერთი მთავარი თვისებაა თვითმსგავსება. უმარტივეს შემთხვევაში, ფრაქტალის მცირე ნაწილი შეიცავს ინფორმაციას მთელი ფრაქტალის შესახებ. მანდელბროტის მიერ მოცემული ფრაქტალის განმარტება ასეთია: „ფრაქტალი არის სტრუქტურა, რომელიც შედგება ნაწილებისგან, რომლებიც გარკვეული გაგებით ჰგავს მთლიანს“.

მათემატიკური ობიექტების დიდი რაოდენობაა ფრაქტალები (სიერპინსკის სამკუთხედი, კოხის ფიფქია, პეანოს მრუდი, მანდელბროტის ნაკრები და ლორენცის მიმზიდველები). ფრაქტალები დიდი სიზუსტით აღწერს რეალური სამყაროს ბევრ ფიზიკურ მოვლენას და წარმონაქმნს: მთებს, ღრუბლებს, მღელვარე (მორევის) დინებებს, ფესვებს, ხეების ტოტებსა და ფოთლებს, სისხლძარღვებს, რაც შორს არის მარტივი გეომეტრიული ფორმების შესაბამისი. პირველად ბენუა მანდელბროტმა ისაუბრა ჩვენი სამყაროს ფრაქტალურ ბუნებაზე თავის მთავარ ნაშრომში "ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია".
ტერმინი ფრაქტალი შემოიღო ბენუა მანდელბროტმა 1977 წელს თავის ფუნდამენტურ ნაშრომში "ფრაქტალები, ფორმა, ქაოსი და განზომილება". მანდელბროტის თქმით, სიტყვა ფრაქტალი მომდინარეობს ლათინური სიტყვებისგან fractus - fractional და frangere - break, რაც ასახავს ფრაქტალის არსს, როგორც "გატეხილი", არარეგულარული ნაკრები.

ფრაქტალების კლასიფიკაცია.

იმისათვის, რომ წარმოვადგინოთ ფრაქტალების მთელი მრავალფეროვნება, მოსახერხებელია მივმართოთ მათ ზოგადად მიღებულ კლასიფიკაციას. არსებობს ფრაქტალების სამი კლასი.

1. გეომეტრიული ფრაქტალები.

ამ კლასის ფრაქტალები ყველაზე აშკარაა. ორგანზომილებიან შემთხვევაში, ისინი მიიღება პოლიხაზის (ან ზედაპირის სამგანზომილებიან შემთხვევაში) გამოყენებით, რომელსაც ეწოდება გენერატორი. ალგორითმის ერთ საფეხურში თითოეული სეგმენტი, რომელიც ქმნიან გაწყვეტილ ხაზს, ჩანაცვლებულია გატეხილი ხაზის გენერატორით შესაბამისი მასშტაბით. ამ პროცედურის გაუთავებელი გამეორების შედეგად მიიღება გეომეტრიული ფრაქტალი.

განვიხილოთ, მაგალითად, ერთ-ერთი ასეთი ფრაქტალური ობიექტი - კოხის ტრიადული მრუდი.

ტრიადული კოხის მრუდის აგება.

ავიღოთ 1 სიგრძის სწორი ხაზის სეგმენტი. მოდით ვუწოდოთ მას თესლი. მოდით გავყოთ თესლი 1/3 სიგრძის სამ თანაბარ ნაწილად, გადავაგდოთ შუა ნაწილი და შევცვალოთ იგი 1/3 სიგრძის ორი რგოლის გატეხილი ხაზით.

ვიღებთ გაწყვეტილ ხაზს, რომელიც შედგება 4 ბმულისაგან, რომელთა საერთო სიგრძეა 4/3, - ე.წ. პირველი თაობა.

კოხის მრუდის შემდეგ თაობაზე გადასასვლელად აუცილებელია თითოეული რგოლის შუა ნაწილის გაუქმება და შეცვლა. შესაბამისად, მეორე თაობის სიგრძე იქნება 16/9, მესამე - 64/27. თუ ამ პროცესს უსასრულობამდე გააგრძელებთ, შედეგი იქნება ტრიადული კოხის მრუდი.

ახლა განვიხილოთ წმინდა ტრიადული კოხის მრუდი და გავარკვიოთ, რატომ ეძახდნენ ფრაქტალებს "მონსტრები".

ჯერ ერთი, ამ მრუდს სიგრძე არ აქვს - როგორც ვნახეთ, თაობების რაოდენობასთან ერთად მისი სიგრძე უსასრულობისკენ მიისწრაფვის.

მეორეც, შეუძლებელია ამ მრუდის ტანგენტის აგება - მისი ყოველი წერტილი არის დახრის წერტილი, რომელშიც წარმოებული არ არსებობს - ეს მრუდი არ არის გლუვი.

სიგრძე და სიგლუვე არის მრუდების ფუნდამენტური თვისებები, რომლებიც შესწავლილია როგორც ევკლიდეს გეომეტრიით, ასევე ლობაჩევსკის და რიმანის გეომეტრიით. გეომეტრიული ანალიზის ტრადიციული მეთოდები გამოუყენებელი აღმოჩნდა ტრიადული კოხის მრუდისთვის, ამიტომ კოხის მრუდი აღმოჩნდა ურჩხული - "ურჩხული" ტრადიციული გეომეტრიების გლუვ მცხოვრებთა შორის.

"დრაკონის" ჰარტერ-ჰატევეის მშენებლობა.

კიდევ ერთი ფრაქტალის ობიექტის მისაღებად, თქვენ უნდა შეცვალოთ კონსტრუქციის წესები. წარმომქმნელი ელემენტი იყოს ორი თანაბარი სეგმენტი, რომლებიც დაკავშირებულია მარჯვენა კუთხით. ნულოვანი თაობის დროს ჩვენ ვცვლით ერთეულის სეგმენტს ამ წარმომქმნელი ელემენტით ისე, რომ კუთხე ზევით იყოს. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ასეთი ჩანაცვლებით ხდება ბმულის შუაში ცვლა. შემდეგი თაობების აგებისას იცავენ წესს: მარცხნივ პირველივე ბმული ჩანაცვლებულია გენერატორით ისე, რომ რგოლის შუა გადაადგილდეს მოძრაობის მიმართულების მარცხნივ, ხოლო შემდეგი ბმულების ჩანაცვლებისას, სეგმენტების შუა წერტილების გადაადგილების მიმართულებები უნდა იცვლებოდეს. ნახატზე ნაჩვენებია ზემოთ აღწერილი პრინციპის მიხედვით აგებული მრუდის პირველი რამდენიმე თაობა და მე-11 თაობა. მრუდს n-ით უსასრულობისკენ მიდრეკილი ჰარტერ-ჰატევეის დრაკონი ეწოდება.
კომპიუტერულ გრაფიკაში ხეების და ბუჩქების გამოსახულების მიღებისას აუცილებელია გეომეტრიული ფრაქტალების გამოყენება. ორგანზომილებიანი გეომეტრიული ფრაქტალები გამოიყენება სამგანზომილებიანი ტექსტურების შესაქმნელად (ნიმუშები საგნის ზედაპირზე).

2. ალგებრული ფრაქტალები

ეს არის ფრაქტალების ყველაზე დიდი ჯგუფი. ისინი მიიღება არაწრფივი პროცესების გამოყენებით n-განზომილებიან სივრცეებში. ორგანზომილებიანი პროცესები ყველაზე შესწავლილია. არაწრფივი განმეორებითი პროცესის დისკრეტულ დინამიკურ სისტემად ინტერპრეტაციისას, შეიძლება ამ სისტემების თეორიის ტერმინოლოგიის გამოყენება: ფაზური პორტრეტი, სტაბილური მდგომარეობის პროცესი, მიმზიდველი და ა.შ.
ცნობილია, რომ არაწრფივი დინამიკური სისტემების რამდენიმე სტაბილური მდგომარეობაა. მდგომარეობა, რომელშიც დინამიური სისტემა იმყოფება გარკვეული რაოდენობის გამეორებების შემდეგ, დამოკიდებულია მის საწყის მდგომარეობაზე. ამრიგად, თითოეულ სტაბილურ მდგომარეობას (ან, როგორც ამბობენ, მიმზიდველს) აქვს საწყისი მდგომარეობის გარკვეული არეალი, საიდანაც სისტემა აუცილებლად მოხვდება განხილულ საბოლოო მდგომარეობებში. ამრიგად, სისტემის ფაზური სივრცე დაყოფილია მიზიდულობის მიზიდულობის სფეროებად. თუ ფაზის სივრცე ორგანზომილებიანია, მაშინ მიზიდულობის ზონების სხვადასხვა ფერებით შეღებვით, შეიძლება მივიღოთ ამ სისტემის ფერადი ფაზის პორტრეტი (იტერატიული პროცესი). ფერის შერჩევის ალგორითმის შეცვლით, შეგიძლიათ მიიღოთ რთული ფრაქტალის ნიმუშები ლამაზი მრავალფეროვანი ნიმუშებით. მათემატიკოსებისთვის სიურპრიზი იყო პრიმიტიული ალგორითმების გამოყენებით ძალიან რთული არატრივიალური სტრუქტურების გენერირების შესაძლებლობა.

მანდელბროტის ნაკრები.

მაგალითად, განიხილეთ მანდელბროტის ნაკრები. მისი აგების ალგორითმი საკმაოდ მარტივია და ემყარება მარტივ განმეორებით გამოხატვას: Z = Z[i] * Z[i] + C, სად ზიდა Cრთული ცვლადებია. გამეორებები შესრულებულია თითოეული საწყისი წერტილისთვის მართკუთხა ან კვადრატული რეგიონიდან - რთული სიბრტყის ქვეჯგუფი. განმეორებითი პროცესი გრძელდება მანამ Z[i]არ გასცდება მე-2 რადიუსის წრეს, რომლის ცენტრი დევს წერტილში (0,0), (ეს ნიშნავს, რომ დინამიური სისტემის მიმზიდველი უსასრულობაშია), ან საკმარისად დიდი რაოდენობის გამეორებების შემდეგ (მაგ. , 200-500) Z[i]ხვდება წრის რაღაც წერტილში. იმის მიხედვით, თუ რა რაოდენობის გამეორებები Z[i]დარჩა წრის შიგნით, შეგიძლიათ დააყენოთ წერტილის ფერი C(თუ Z[i]რჩება წრის შიგნით საკმარისად დიდი რაოდენობის გამეორებისთვის, განმეორებითი პროცესი ჩერდება და ეს რასტრული წერტილი შავად შეიღებება).

3. სტოქასტური ფრაქტალები

ფრაქტალების კიდევ ერთი ცნობილი კლასი არის სტოქასტური ფრაქტალები, რომლებიც მიიღება, თუ მისი რომელიმე პარამეტრი შემთხვევით იცვლება განმეორებით პროცესში. ამის შედეგად წარმოიქმნება ბუნებრივი ობიექტების ძალიან მსგავსი ობიექტები - ასიმეტრიული ხეები, ჩაღრმავებული სანაპირო ზოლები და ა.შ. ორგანზომილებიანი სტოქასტური ფრაქტალები გამოიყენება რელიეფის და ზღვის ზედაპირის მოდელირებისას.
არსებობს ფრაქტალების სხვა კლასიფიკაცია, მაგალითად, ფრაქტალების დაყოფა დეტერმინისტებად (ალგებრულ და გეომეტრიულ) და არადეტერმინისტებად (სტოქასტურად).

ფრაქტალების გამოყენების შესახებ

უპირველეს ყოვლისა, ფრაქტალები არის გასაოცარი მათემატიკური ხელოვნების სფერო, როდესაც უმარტივესი ფორმულებისა და ალგორითმების დახმარებით მიიღება არაჩვეულებრივი სილამაზისა და სირთულის სურათები! აგებული სურათების კონტურებში ხშირად გამოცნობენ ფოთლებს, ხეებს და ყვავილებს.

ფრაქტალების ერთ-ერთი ყველაზე ძლიერი პროგრამა მდგომარეობს კომპიუტერულ გრაფიკაში. პირველ რიგში, ეს არის სურათების ფრაქტალური შეკუმშვა და მეორე, პეიზაჟების, ხეების, მცენარეების აგება და ფრაქტალური ტექსტურების წარმოქმნა. თანამედროვე ფიზიკა და მექანიკა ახლახან იწყებს ფრაქტალური ობიექტების ქცევის შესწავლას. და, რა თქმა უნდა, ფრაქტალები უშუალოდ მათემატიკაში გამოიყენება.
ფრაქტალური გამოსახულების შეკუმშვის ალგორითმების უპირატესობები არის შეფუთული ფაილის ძალიან მცირე ზომა და გამოსახულების აღდგენის მოკლე დრო. ფრაქტალურად შეფუთული სურათების მასშტაბირება შესაძლებელია პიქსელაციის გარეშე. მაგრამ შეკუმშვის პროცესს დიდი დრო სჭირდება და ზოგჯერ საათობით გრძელდება. დაკარგვის ფრაქტალის შეფუთვის ალგორითმი საშუალებას გაძლევთ დააყენოთ შეკუმშვის დონე, jpeg ფორმატის მსგავსი. ალგორითმი დაფუძნებულია გამოსახულების დიდი ნაწილების ძიებაზე, რომლებიც მსგავსია ზოგიერთი პატარა ნაწილის. და მხოლოდ რომელი ნაწილის მსგავსია ჩაწერილი გამომავალ ფაილში. შეკუმშვისას ჩვეულებრივ გამოიყენება კვადრატული ბადე (ნაწილები არის კვადრატები), რაც იწვევს სურათის აღდგენის მცირე კუთხით; ექვსკუთხა ბადე თავისუფალია ასეთი ნაკლისაგან.
Iterated-მა შეიმუშავა გამოსახულების ახალი ფორმატი, "Sting", რომელიც აერთიანებს ფრაქტალსა და "ტალღის" (როგორიცაა jpeg) უზარმაზარ შეკუმშვას. ახალი ფორმატი საშუალებას გაძლევთ შექმნათ სურათები შემდგომი მაღალი ხარისხის სკალირების შესაძლებლობით, ხოლო გრაფიკული ფაილების მოცულობა არის არაკომპრესირებული სურათების მოცულობის 15-20%.
ფრაქტალების ტენდენცია მთებს, ყვავილებსა და ხეებს ჰგავდეს, გამოიყენება ზოგიერთი გრაფიკული რედაქტორის მიერ, მაგალითად, ფრაქტალ ღრუბლები 3D სტუდია MAX-დან, ფრაქტალი მთები World Builder-ში. ფრაქტალური ხეები, მთები და მთელი პეიზაჟები განისაზღვრება მარტივი ფორმულებით, ადვილად დასაპროგრამებელია და მიახლოებისას არ იშლება ცალკეულ სამკუთხედებად და კუბებად.
თქვენ არ შეგიძლიათ უგულებელყოთ ფრაქტალების გამოყენება მათემატიკაში. სიმრავლეების თეორიაში, კანტორის სიმრავლე ადასტურებს სრულყოფილი არსად მკვრივი სიმრავლეების არსებობას; ზომების თეორიაში, თვითმმართველობის დაკავშირება "Cantor ladder" ფუნქცია არის სინგულარული ზომის განაწილების ფუნქციის კარგი მაგალითი.
მექანიკასა და ფიზიკაში ფრაქტალები გამოიყენება მათი უნიკალური თვისების გამო მრავალი ბუნებრივი ობიექტის კონტურის გასამეორებლად. ფრაქტალები საშუალებას გაძლევთ დააახლოოთ ხეები, მთის ზედაპირები და ნაპრალები უფრო მაღალი სიზუსტით, ვიდრე მიახლოებები ხაზის სეგმენტებით ან მრავალკუთხედებით (შენახული მონაცემების იგივე რაოდენობით). ფრაქტალურ მოდელებს, ისევე როგორც ბუნებრივ ობიექტებს, აქვთ „უხეშობა“ და ეს თვისება შენარჩუნებულია მოდელის თვითნებურად დიდი ზრდით. ფრაქტალებზე ერთიანი საზომის არსებობა შესაძლებელს ხდის ინტეგრაციის, პოტენციალის თეორიის გამოყენებას, მათი გამოყენება უკვე შესწავლილ განტოლებებში სტანდარტული ობიექტების ნაცვლად.
ფრაქტალური მიდგომით, ქაოსი წყვეტს ცისფერ აშლილობას და იძენს კარგ სტრუქტურას. ფრაქტალის მეცნიერება ჯერ კიდევ ძალიან ახალგაზრდაა და წინ დიდი მომავალი აქვს. ფრაქტალების სილამაზე შორს არის ამოწურვისაგან და მაინც მოგვცემს ბევრ შედევრს - ისეთს, რომელიც აღფრთოვანებს თვალს და ისეთებს, რომლებიც ჭეშმარიტ სიამოვნებას მოაქვს გონებაში.

ფრაქტალების აგების შესახებ

თანმიმდევრული მიახლოების მეთოდი

ამ სურათის დათვალიერებისას ძნელი არ არის იმის გაგება, თუ როგორ შეიძლება აშენდეს საკუთარი თავის მსგავსი ფრაქტალი (ამ შემთხვევაში, სიერპინსკის პირამიდა). უნდა ავიღოთ ჩვეულებრივი პირამიდა (ტეტრაედრონი), შემდეგ გამოვჭრათ მისი შუა (რვაედრონი), რის შედეგადაც მივიღებთ ოთხ პატარა პირამიდას. თითოეულ მათგანთან ერთსა და იმავე ოპერაციას ვასრულებთ და ა.შ. ეს გარკვეულწილად გულუბრყვილო, მაგრამ საილუსტრაციო ახსნაა.

მოდით განვიხილოთ მეთოდის არსი უფრო მკაცრად. დაე, იყოს რაღაც IFS სისტემა, ე.ი. შეკუმშვის რუკების სისტემა ს=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (მაგალითად, ჩვენი პირამიდისთვის, რუკების მსგავსია S i (x)=1/2*x+o i , სადაც o i არის ტეტრაედრის წვეროები, i=1,..,4). შემდეგ ვირჩევთ კომპაქტურ A 1 კომპლექტს R n-ში (ჩვენს შემთხვევაში ვირჩევთ ტეტრაედრონს). და ინდუქციით განვსაზღვრავთ A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k) თანმიმდევრობას. ცნობილია, რომ A k სიმრავლეები k გაზრდით უახლოვდება სისტემის საჭირო მიმზიდველს ს.

გაითვალისწინეთ, რომ თითოეული ეს გამეორება არის მიმზიდველი განმეორებადი ფუნქციების განმეორებითი სისტემა(ინგლისური ტერმინი DigraphIFS, RIFSდა ასევე გრაფიკით მიმართული IFS) და, შესაბამისად, მათი აშენება მარტივია ჩვენი პროგრამით.

კონსტრუქცია წერტილებით ან სავარაუდო მეთოდით

ეს არის ყველაზე მარტივი მეთოდი კომპიუტერზე დასანერგად. სიმარტივისთვის, განიხილეთ ბრტყელი თვითნაკეთი ნაკრების შემთხვევა. მოდით (ს

) არის აფინური შეკუმშვის რაღაც სისტემა. რუკების ს

წარმოდგენილია როგორც: ს

ფიქსირებული მატრიცა ზომით 2x2 და o

ორგანზომილებიანი ვექტორული სვეტი.

• ავიღოთ პირველი S 1 რუკების ფიქსირებული წერტილი, როგორც საწყისი წერტილი:
  x:=o1;
  აქ ჩვენ ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ ყველა ფიქსირებული შეკუმშვის წერტილი S 1,..,S m ეკუთვნის ფრაქტალს. საწყის წერტილად შეიძლება აირჩეს თვითნებური წერტილი და მის მიერ წარმოქმნილი წერტილების თანმიმდევრობა შემცირდება ფრაქტალამდე, მაგრამ შემდეგ ეკრანზე გამოჩნდება რამდენიმე დამატებითი წერტილი.
• შენიშნეთ მიმდინარე წერტილი x=(x 1 , x 2) ეკრანზე:
  putpixel(x 1, x 2,15);
• ჩვენ შემთხვევით ვირჩევთ j რიცხვს 1-დან m-მდე და ვიანგარიშებთ x წერტილის კოორდინატებს:
  j:=შემთხვევითი(მ)+1;
  x:=S j (x);
• მივდივართ მე-2 საფეხურზე, ან თუ საკმარისად დიდი რაოდენობის გამეორება გავაკეთეთ, მაშინ ვჩერდებით.

Შენიშვნა.თუ S i შეკუმშვის კოეფიციენტები განსხვავებულია, მაშინ ფრაქტალი არათანაბრად შეივსება წერტილებით. თუ S i მსგავსებაა, ამის თავიდან აცილება შესაძლებელია ალგორითმის ოდნავ გართულებით. ამისათვის ალგორითმის მე-3 საფეხურზე უნდა აირჩეს რიცხვი j 1-დან m-მდე ალბათობით p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , სადაც r i აღნიშნავს S i შეკუმშვის კოეფიციენტებს. , და რიცხვი s (ე.წ. მსგავსების განზომილება) გვხვდება განტოლებიდან r 1 s +...+r m s =1. ამ განტოლების ამოხსნა შეიძლება მოიძებნოს, მაგალითად, ნიუტონის მეთოდით.

ფრაქტალებისა და მათი ალგორითმების შესახებ

Fractal მოდის ლათინური ზედსართავი სახელიდან "fractus" და თარგმანში ნიშნავს ფრაგმენტებისგან შემდგარს, ხოლო შესაბამისი ლათინური ზმნა "frangere" ნიშნავს გატეხვას, ანუ არარეგულარული ფრაგმენტების შექმნას. ფრაქტალისა და ფრაქტალის გეომეტრიის ცნებები, რომლებიც გაჩნდა 70-იანი წლების ბოლოს, მტკიცედ დამკვიდრდა მათემატიკოსთა და პროგრამისტების ყოველდღიურ ცხოვრებაში 80-იანი წლების შუა ხანებიდან. ტერმინი შემოგვთავაზა ბენუა მანდელბროტმა 1975 წელს, რათა მიემართა არარეგულარული, მაგრამ თვითმსგავსი სტრუქტურების შესახებ, რომლებიც მან შეისწავლა. ფრაქტალური გეომეტრიის დაბადება ჩვეულებრივ ასოცირდება 1977 წელს მანდელბროტის წიგნის "The Fractal Geometry of Nature" - "The Fractal Geometry of Nature" გამოქვეყნებასთან. მის ნაშრომებში გამოყენებული იყო სხვა მეცნიერების სამეცნიერო შედეგები, რომლებიც მუშაობდნენ 1875-1925 წლებში იმავე სფეროში (პუანკარე, ფატუ, ჯულია, კანტორი, ჰაუსდორფი).

კორექტირება

ნება მომეცით შევიტანო გარკვეული კორექტირება წიგნში შემოთავაზებულ ალგორითმებში H.-O-ს მიერ. პეიტგენი და P.H. Richter "ფრაქტალების სილამაზე" M. 1993, მხოლოდ იმისთვის, რომ აღმოფხვრას ბეჭდური შეცდომები და გააადვილოს პროცესების გაგება, რადგან მათი შესწავლის შემდეგ ბევრი რამ საიდუმლოდ დარჩა ჩემთვის. სამწუხაროდ, ეს "გასაგები" და "მარტივი" ალგორითმები აგრძელებენ ცხოვრებისეულ სტილს.

ფრაქტალების აგება ემყარება რთული პროცესის გარკვეულ არაწრფივ ფუნქციას გამოხმაურებით z \u003d z 2 + c რადგან z და c რთული რიცხვებია, შემდეგ z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, აუცილებელია დაშალეთ ის x და y-ად, რათა გადავიდეთ უფრო რეალურზე ჩვეულებრივი ადამიანის სიბრტყისთვის:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

სიბრტყე, რომელიც შედგება ყველა წყვილისგან (x, y) შეიძლება ჩაითვალოს ფიქსირებული მნიშვნელობებით p და q, ასევე დინამიურისთვის. პირველ შემთხვევაში, სიბრტყის ყველა წერტილის (x, y) დალაგება კანონის მიხედვით და მათი შეღებვა განმეორებითი პროცესიდან გასასვლელად აუცილებელი ფუნქციის გამეორების რაოდენობის მიხედვით ან არ შეღებვა (შავი) დასაშვებ მაქსიმუმზე. გამეორებების რაოდენობა გაიზარდა, ვიღებთ ჯულიას ნაკრების რუკს. თუ, პირიქით, ჩვენ განვსაზღვრავთ მნიშვნელობების საწყის წყვილს (x, y) და მივყვებით მის კოლორისტულ ბედს p და q პარამეტრების დინამიურად ცვალებადი მნიშვნელობებით, მაშინ მივიღებთ სურათებს, სახელწოდებით მანდელბროტის კომპლექტები.

ფრაქტალის შეღებვის ალგორითმების საკითხზე.

ჩვეულებრივ ნაკრების კორპუსი წარმოდგენილია როგორც შავი ველი, თუმცა აშკარაა, რომ შავი ფერის შეცვლა შესაძლებელია ნებისმიერი სხვათ, მაგრამ ესეც უინტერესო შედეგია. ყველა ფერში შეღებილი ნაკრების გამოსახულების მიღება არის ამოცანა, რომლის გადაჭრა შეუძლებელია ციკლური ოპერაციების გამოყენებით, რადგან კომპლექტის სხეულის შემადგენელი გამეორებების რაოდენობა უდრის მაქსიმალურ შესაძლოს და ყოველთვის ერთნაირი. შესაძლებელია ნაკრების სხვადასხვა ფერებში შეღებვა მარყუჟიდან გამოსასვლელი მდგომარეობის შემოწმების შედეგის (z_magnitude) ფერის ნომრად ან მის მსგავსი, მაგრამ სხვა მათემატიკური ოპერაციების გამოყენებით.

"ფრაქტალური მიკროსკოპის" გამოყენება

სასაზღვრო ფენომენების დემონსტრირება.

ტრაქტორები არის ცენტრები, რომლებიც უძღვებიან ბრძოლას თვითმფრინავში დომინირებისთვის. ატრაქციონებს შორის არის საზღვარი, რომელიც წარმოადგენს მორევის ნიმუშს. ნაკრების საზღვრებში განხილვის მასშტაბის გაზრდით, შეიძლება მივიღოთ არა ტრივიალური შაბლონები, რომლებიც ასახავს დეტერმინისტული ქაოსის მდგომარეობას - ჩვეულებრივი მოვლენა ბუნებრივ სამყაროში.

გეოგრაფების მიერ შესწავლილი ობიექტები ქმნიან სისტემას ძალიან კომპლექსურად ორგანიზებული საზღვრებით, რასთან დაკავშირებითაც მათი განხორციელება რთულ პრაქტიკულ ამოცანად იქცევა. ბუნებრივ კომპლექსებს აქვთ ტიპიური ბირთვები, რომლებიც მოქმედებენ როგორც მიმზიდველები, რომლებიც კარგავენ გავლენის ძალას ტერიტორიის დაშორებისას.

მანდელბროტისა და ჯულიას კომპლექტებისთვის ფრაქტალური მიკროსკოპის გამოყენებით შეიძლება ჩამოყალიბდეს წარმოდგენა სასაზღვრო პროცესებსა და ფენომენებზე, რომლებიც თანაბრად რთულია განხილვის მასშტაბის მიუხედავად და ამით მოამზადოს სპეციალისტის აღქმა დინამიური და ერთი შეხედვით ქაოტური შეხვედრისთვის. სივრცეში და დროში ბუნებრივ ობიექტში, ფრაქტალის გეომეტრიის ბუნების გასაგებად. მრავალფეროვანი ფერები და ფრაქტალი მუსიკა ნამდვილად ღრმა კვალს დატოვებს სტუდენტების გონებაში.

ათასობით პუბლიკაცია და უზარმაზარი ინტერნეტ რესურსი ეთმობა ფრაქტალებს, თუმცა კომპიუტერული მეცნიერებისგან შორს მყოფი მრავალი სპეციალისტისთვის ეს ტერმინი სრულიად ახალი ჩანს. ფრაქტალებმა, როგორც ცოდნის სხვადასხვა დარგის სპეციალისტების ინტერესის ობიექტებმა, სათანადო ადგილი უნდა დაიკავონ კომპიუტერული მეცნიერების კურსში.

მაგალითები

SIERPINSKI GRID

ეს არის ერთ-ერთი ფრაქტალი, რომლითაც მანდელბროტმა ექსპერიმენტი ჩაატარა ფრაქტალის ზომებისა და გამეორებების კონცეფციების შემუშავებისას. სამკუთხედები, რომლებიც წარმოიქმნება დიდი სამკუთხედის შუა წერტილების შეერთებით, იჭრება მთავარი სამკუთხედიდან, რათა შეიქმნას სამკუთხედი, მეტი ხვრელებით. ამ შემთხვევაში, ინიციატორი არის დიდი სამკუთხედი და შაბლონი არის ოპერაცია უფრო დიდის მსგავსი სამკუთხედების ამოჭრისთვის. თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიიღოთ სამკუთხედის 3D ვერსია ჩვეულებრივი ტეტრაედრის გამოყენებით და პატარა ტეტრაედრების ამოჭრით. ასეთი ფრაქტალის განზომილებაა ln3/ln2 = 1.584962501. მისაღებად სიერპინსკის ხალიჩააიღეთ კვადრატი, გაყავით ცხრა კვადრატად და ამოჭერით შუა. იგივეს გავაკეთებთ დანარჩენზე, უფრო პატარა კვადრატებზე. ბოლოს იქმნება ბრტყელი ფრაქტალის ბადე, რომელსაც არ აქვს ფართობი, მაგრამ უსასრულო კავშირებით. სიერპინსკის ღრუბელი თავის სივრცულ ფორმაში გარდაიქმნება ფორმათა სისტემად, რომელშიც ყოველი გამტარი ელემენტი მუდმივად იცვლება საკუთარი სახეობით. ეს სტრუქტურა ძალიან ჰგავს ძვლოვანი ქსოვილის მონაკვეთს. ოდესღაც ასეთი განმეორებადი სტრუქტურები გახდება სამშენებლო სტრუქტურების ელემენტი. მათი სტატიკა და დინამიკა, მანდელბროტის აზრით, იმსახურებს მჭიდრო შესწავლას.

KOCH მრუდი

კოხის მრუდი ერთ-ერთი ყველაზე ტიპიური დეტერმინისტული ფრაქტალია. ის XIX საუკუნეში გამოიგონა გერმანელმა მათემატიკოსმა ჰელგე ფონ კოხმა, რომელიც გეორგ კონტორისა და კარლ ვეიერშტრასეს ნაშრომების შესწავლისას წააწყდა უჩვეულო ქცევის უცნაური მრუდების აღწერას. ინიციატორი - პირდაპირი ხაზი. გენერატორი არის ტოლგვერდა სამკუთხედი, რომლის გვერდები უდრის უფრო დიდი სეგმენტის სიგრძის მესამედს. ეს სამკუთხედები უსასრულოდ ემატება თითოეული სეგმენტის შუაში. თავის კვლევაში მანდელბროტმა ბევრი ექსპერიმენტი ჩაატარა კოხის მოსახვევებზე და მიიღო ფიგურები, როგორიცაა კოხის კუნძულები, კოხის ჯვრები, კოხის ფიფქები და კოხის მრუდის სამგანზომილებიანი წარმოდგენებიც კი, ტეტრაედრის გამოყენებით და მის თითოეულ სახეზე პატარა ტეტრაედრების დამატებით. კოხის მრუდს აქვს განზომილება ln4/ln3 = 1.261859507.

ფრაქტალი მანდელბროტი

ეს არ არის მანდელბროტის ნაკრები, რომელსაც საკმაოდ ხშირად ხედავთ. მანდელბროტის ნაკრები ეფუძნება არაწრფივ განტოლებებს და წარმოადგენს რთულ ფრაქტალს. ეს ასევე კოხის მრუდის ვარიანტია, მიუხედავად იმისა, რომ ეს ობიექტი მას არ ჰგავს. ინიციატორი და გენერატორი ასევე განსხვავდება კოხის მრუდის პრინციპზე დაფუძნებული ფრაქტალების შესაქმნელად, მაგრამ იდეა იგივე რჩება. მრუდის სეგმენტზე ტოლგვერდა სამკუთხედების მიმაგრების ნაცვლად, კვადრატები მიმაგრებულია კვადრატზე. იმის გამო, რომ ეს ფრაქტალი იკავებს გამოყოფილი სივრცის ზუსტად ნახევარს ყოველ გამეორებაზე, მას აქვს მარტივი ფრაქტალის განზომილება 3/2 = 1,5.

დარერის პენტაგონი

ფრაქტალი ჰგავს ხუთკუთხედების თაიგულს, რომლებიც ერთმანეთთან არის შეკუმშული. სინამდვილეში, იგი წარმოიქმნება პენტაგონის, როგორც ინიციატორის და ტოლფერდა სამკუთხედების გამოყენებით, ყველაზე დიდი გვერდის თანაფარდობა უმცირესთან, რომელშიც ზუსტად უდრის ეგრეთ წოდებულ ოქროს თანაფარდობას (1.618033989 ან 1/(2cos72)), როგორც გენერატორი. . ეს სამკუთხედები ამოჭრილია თითოეული ხუთკუთხედის შუიდან, რის შედეგადაც მიიღება ფორმა, რომელიც ჰგავს 5 პატარა ხუთკუთხედს, რომლებიც ერთ დიდზეა მიბმული. ამ ფრაქტალის ვარიანტის მიღება შესაძლებელია ექვსკუთხედის ინიციატორის გამოყენებით. ამ ფრაქტალს დავითის ვარსკვლავს უწოდებენ და საკმაოდ ჰგავს კოხის ფიფქის ექვსკუთხა ვერსიას. დარერის ხუთკუთხედის ფრაქტალური განზომილებაა ln6/ln(1+g), სადაც g არის სამკუთხედის დიდი გვერდის სიგრძის თანაფარდობა პატარა გვერდის სიგრძესთან. ამ შემთხვევაში, g არის ოქროს თანაფარდობა, ამიტომ ფრაქტალური განზომილება არის დაახლოებით 1.86171596. დავითის ვარსკვლავის ფრაქტალური განზომილებაა ln6/ln3 ან 1.630929754.

რთული ფრაქტალები

სინამდვილეში, თუ თქვენ გაადიდებთ რაიმე რთული ფრაქტალის მცირე არეალს და შემდეგ იგივეს გააკეთებთ ამ ტერიტორიის მცირე ფართობზე, ეს ორი გადიდება მნიშვნელოვნად განსხვავდება ერთმანეთისგან. ეს ორი სურათი ძალიან ჰგავს დეტალებს, მაგრამ ისინი არ იქნება სრულიად იდენტური.

ნახ 1. მანდელბროტის ნაკრების მიახლოება

შეადარეთ, მაგალითად, აქ ნაჩვენები მანდელბროტის ნაკრების სურათები, რომელთაგან ერთი მიიღეს მეორის ზოგიერთი ფართობის გაზრდით. როგორც ხედავთ, ისინი აბსოლუტურად არ არიან იდენტური, თუმცა ორივეზე ვხედავთ შავ წრეს, საიდანაც ცეცხლოვანი საცეცები სხვადასხვა მიმართულებით მიდიან. ეს ელემენტები განუსაზღვრელი ვადით მეორდება მანდელბროტის ნაკრებში კლებადობით.

დეტერმინისტული ფრაქტალები წრფივია, ხოლო რთული ფრაქტალები არა. როგორც არაწრფივი, ეს ფრაქტალები წარმოიქმნება იმით, რასაც მანდელბროტმა უწოდა არაწრფივი ალგებრული განტოლებები. კარგი მაგალითია პროცესი Zn+1=ZnІ + C, რომელიც არის განტოლება, რომელიც გამოიყენება მეორე ხარისხის მანდელბროტის და ჯულიას სიმრავლეების ასაგებად. ამ მათემატიკური განტოლებების ამოხსნა მოიცავს რთულ და წარმოსახვით რიცხვებს. როდესაც განტოლება გრაფიკულად არის ინტერპრეტირებული კომპლექსურ სიბრტყეში, შედეგი არის უცნაური ფიგურა, რომელშიც სწორი ხაზები იქცევა მოსახვევებად, თვითმსგავსების ეფექტები ჩნდება სხვადასხვა მასშტაბის დონეზე, თუმცა არა დეფორმაციების გარეშე. ამავდროულად, მთლიანი სურათი არაპროგნოზირებადი და ძალიან ქაოტურია.

როგორც სურათების ნახვით ხედავთ, რთული ფრაქტალები მართლაც ძალიან რთულია და შეუძლებელია კომპიუტერის დახმარების გარეშე შექმნა. ფერადი შედეგების მისაღებად ამ კომპიუტერს უნდა ჰქონდეს ძლიერი მათემატიკური კოპროცესორი და მაღალი გარჩევადობის მონიტორი. დეტერმინისტული ფრაქტალებისგან განსხვავებით, რთული ფრაქტალები არ გამოითვლება 5-10 გამეორებით. კომპიუტერის ეკრანზე თითქმის ყველა წერტილი ცალკე ფრაქტალს ჰგავს. მათემატიკური დამუშავების დროს, თითოეული წერტილი განიხილება, როგორც ცალკე ნიმუში. თითოეული წერტილი შეესაბამება გარკვეულ მნიშვნელობას. განტოლება ჩაშენებულია თითოეული წერტილისთვის და შესრულებულია, მაგალითად, 1000 გამეორება. სახლის კომპიუტერებისთვის მისაღებ დროის ინტერვალში შედარებით დამახინჯებული გამოსახულების მისაღებად, შესაძლებელია ერთი წერტილისთვის 250 გამეორება.

ფრაქტალების უმეტესობა, რომლებსაც დღეს ვხედავთ, ლამაზად არის შეღებილი. შესაძლოა, ფრაქტალმა გამოსახულებებმა ასეთი დიდი ესთეტიკური ღირებულება სწორედ მათი ფერის სქემების გამო შეიძინეს. განტოლების გამოთვლის შემდეგ კომპიუტერი აანალიზებს შედეგებს. თუ შედეგები სტაბილური რჩება, ან მერყეობს გარკვეული მნიშვნელობის გარშემო, წერტილი ჩვეულებრივ შავდება. თუ მნიშვნელობა ამა თუ იმ საფეხურზე მიდრეკილია უსასრულობისკენ, წერტილი შეღებილია სხვა ფერში, შესაძლოა ლურჯი ან წითელი. ამ პროცესის დროს კომპიუტერი ანიჭებს ფერებს მოძრაობის ყველა სიჩქარეს.

ჩვეულებრივ, სწრაფად მოძრავ წერტილებს წითლად ღებავენ, ნელა კი ყვითლად და ა.შ. მუქი წერტილები ალბათ ყველაზე სტაბილურია.

რთული ფრაქტალები განსხვავდებიან დეტერმინისტული ფრაქტალებისგან იმით, რომ ისინი უსასრულოდ რთულია, მაგრამ მათი წარმოქმნა შესაძლებელია ძალიან მარტივი ფორმულით. დეტერმინისტულ ფრაქტალებს არ სჭირდებათ ფორმულები ან განტოლებები. უბრალოდ აიღეთ სახატავი ქაღალდი და შეგიძლიათ ააწყოთ სიერპინსკის საცერი 3 ან 4 გამეორებამდე ყოველგვარი სირთულის გარეშე. სცადეთ ამის გაკეთება ბევრ ჯულიასთან ერთად! ინგლისის სანაპირო ზოლის სიგრძის გაზომვა უფრო ადვილია!

MANDERBROT კომპლექტი

ნახ 2. მანდელბროტის ნაკრები

მანდელბროტისა და ჯულიას ნაკრები ალბათ ორი ყველაზე გავრცელებულია რთულ ფრაქტალებს შორის. მათი ნახვა შეგიძლიათ ბევრ სამეცნიერო ჟურნალში, წიგნების ყდებში, ღია ბარათებსა და კომპიუტერის ეკრანის დამზოგში. მანდელბროტის ნაკრები, რომელიც ააშენა ბენუა მანდელბროტმა, ალბათ პირველი ასოციაციაა, რომელიც ადამიანებს უჩნდებათ სიტყვა ფრაქტალის მოსმენისას. ეს ფრაქტალი, რომელიც წააგავს ბარათს მბზინავი ხის და მასზე მიმაგრებული წრის უბნებით, წარმოიქმნება მარტივი ფორმულით Zn+1=Zna+C, სადაც Z და C რთული რიცხვებია, ხოლო a დადებითი რიცხვი.

ყველაზე ხშირად ნანახი მანდელბროტის ნაკრები არის მე-2 ხარისხის მანდელბროტის ნაკრები, ანუ a=2. ბევრი ადამიანი შეცდომაში შეჰყავს იმ ფაქტმა, რომ მანდელბროტის სიმრავლე არა მხოლოდ Zn+1=ZnІ+C, არამედ ფრაქტალია, რომლის ფორმულაში მაჩვენებლის მაჩვენებელი შეიძლება იყოს ნებისმიერი დადებითი რიცხვი. ამ გვერდზე თქვენ ხედავთ მანდელბროტის ნაკრების მაგალითს a მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.
სურათი 3. ბუშტების გამოჩენა a=3.5-ზე

პროცესი Z=Z*tg(Z+C) ასევე პოპულარულია. ტანგენტის ფუნქციის ჩართვის წყალობით მიიღება მანდელბროტის ნაკრები, რომელიც გარშემორტყმულია ვაშლის მსგავსი ფართობით. კოსინუსური ფუნქციის გამოყენებისას მიიღება ჰაერის ბუშტების ეფექტები. მოკლედ, არსებობს უსასრულო რაოდენობის გზა Mandelbrot-ის ნაკრების შესწორების მიზნით, რათა შეიქმნას სხვადასხვა ლამაზი სურათები.

მრავალჯერადი ჯულია

გასაკვირია, რომ ჯულიას ნაკრები იქმნება იმავე ფორმულის მიხედვით, როგორც მანდელბროტის ნაკრები. ჯულიას ნაკრები გამოიგონა ფრანგმა მათემატიკოსმა გასტონ ჯულიამ, რომლის სახელიც ეწოდა კომპლექტს. პირველი კითხვა, რომელიც ჩნდება მანდელბროტისა და ჯულიას ნაკრების ვიზუალური გაცნობის შემდეგ, არის "თუ ორივე ფრაქტალი ერთი და იგივე ფორმულით არის გენერირებული, რატომ არიან ისინი ასე განსხვავებული?" ჯერ გადახედეთ ჯულიას ნაკრების სურათებს. უცნაურად საკმარისია, რომ არსებობს ჯულიას ნაკრების სხვადასხვა სახეობა. ფრაქტალის დახატვისას სხვადასხვა საწყისი წერტილების გამოყენებით (იტერაციის პროცესის დასაწყებად) წარმოიქმნება სხვადასხვა გამოსახულება. ეს ეხება მხოლოდ ჯულიას კომპლექტს.

ნახ 4. იულია კომპლექტი

მიუხედავად იმისა, რომ სურათზე არ ჩანს, მანდელბროტის ფრაქტალი სინამდვილეში არის ჯულიას ფრაქტალების თაიგული, რომლებიც ერთმანეთთან არის დაკავშირებული. მანდელბროტის სიმრავლის თითოეული წერტილი (ან კოორდინატი) შეესაბამება ჯულიას ფრაქტალს. ჯულიას კომპლექტების გენერირება შესაძლებელია ამ წერტილების გამოყენებით, როგორც საწყისი მნიშვნელობები განტოლებაში Z=ZI+C. მაგრამ ეს არ ნიშნავს იმას, რომ თუ მანდელბროტის ფრაქტალზე აირჩევთ წერტილს და გაზრდით, შეგიძლიათ მიიღოთ იულია ფრაქტალი. ეს ორი წერტილი იდენტურია, მაგრამ მხოლოდ მათემატიკური გაგებით. თუ ამ წერტილს ავიღებთ და ამ ფორმულის მიხედვით გამოვთვლით, შეგვიძლია მივიღოთ მანდელბროტის ფრაქტალის გარკვეული წერტილის შესაბამისი ჯულიას ფრაქტალი.

ფრაქტალი

ფრაქტალი (ლათ. ფრაქტუსი- დამსხვრეული, გატეხილი, გატეხილი) - გეომეტრიული ფიგურა, რომელსაც აქვს თვითმსგავსების თვისება, ანუ შედგება რამდენიმე ნაწილისაგან, რომელთაგან თითოეული მსგავსია მთელი ფიგურის მთლიანობაში. მათემატიკაში ფრაქტალები გაგებულია, როგორც სიმრავლეები. წერტილები ევკლიდეს სივრცეში, რომლებსაც აქვთ წილადური მეტრიკული განზომილება (მინკოვსკის ან ჰაუსდორფის გაგებით), ან მეტრული განზომილება, გარდა ტოპოლოგიური. ფრაქტაზმი არის დამოუკიდებელი ზუსტი მეცნიერება ფრაქტალების შესწავლისა და შედგენის შესახებ.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფრაქტალები არის გეომეტრიული ობიექტები წილადური განზომილებით. მაგალითად, ხაზის განზომილება არის 1, ფართობი არის 2 და მოცულობა არის 3. ფრაქტალისთვის განზომილების მნიშვნელობა შეიძლება იყოს 1-დან 2-მდე ან 2-დან 3-მდე. მაგალითად, დაქუცმაცებულის ფრაქტალური განზომილება. ქაღალდის ბურთი არის დაახლოებით 2.5. მათემატიკაში არსებობს სპეციალური რთული ფორმულა ფრაქტალების განზომილების გამოსათვლელად. ტრაქეალური მილების განშტოებები, ფოთლები ხეებზე, მკლავის ვენები, მდინარე ფრაქტალებია. მარტივი სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფრაქტალი არის გეომეტრიული ფიგურა, რომლის გარკვეული ნაწილი მეორდება ისევ და ისევ, იცვლება ზომაში - ეს არის თვითმსგავსების პრინციპი. ფრაქტალები საკუთარ თავს ჰგვანან, ყველა დონეზე (ანუ ნებისმიერი მასშტაბით) მსგავსია საკუთარ თავს. არსებობს მრავალი განსხვავებული ტიპის ფრაქტალები. პრინციპში, შეიძლება ითქვას, რომ ყველაფერი, რაც რეალურ სამყაროში არსებობს, არის ფრაქტალი, იქნება ეს ღრუბელი თუ ჟანგბადის მოლეკულა.

სიტყვა „ქაოსი“ რაღაც არაპროგნოზირებადს მიანიშნებს, მაგრამ სინამდვილეში ქაოსი საკმაოდ მოწესრიგებულია და გარკვეულ კანონებს ემორჩილება. ქაოსისა და ფრაქტალების შესწავლის მიზანია ისეთი შაბლონების პროგნოზირება, რომლებიც, ერთი შეხედვით, შეიძლება არაპროგნოზირებადი და სრულიად ქაოტური ჩანდეს.

ცოდნის ამ სფეროში პიონერი იყო ფრანგულ-ამერიკელი მათემატიკოსი, პროფესორი ბენუა ბ. მანდელბროტი. 1960-იანი წლების შუა ხანებში მან შეიმუშავა ფრაქტალური გეომეტრია, რომლის დანიშნულება იყო გატეხილი, დანაოჭებული და ბუნდოვანი ფორმების ანალიზი. მანდელბროტის ნაკრები (სურათზე ნაჩვენები) არის პირველი ასოციაცია, რომელიც ადამიანს უჩნდება სიტყვა „ფრაქტალის“ მოსმენისას. სხვათა შორის, მანდელბროტმა დაადგინა, რომ ინგლისის სანაპირო ზოლის ფრაქტალური განზომილება არის 1,25.

ფრაქტალები სულ უფრო ხშირად გამოიყენება მეცნიერებაში. ისინი უფრო კარგად აღწერენ რეალურ სამყაროს, ვიდრე ტრადიციული ფიზიკა ან მათემატიკა. ბრაუნის მოძრაობა არის, მაგალითად, წყალში შეჩერებული მტვრის ნაწილაკების შემთხვევითი და ქაოტური მოძრაობა. ამ ტიპის მოძრაობა, ალბათ, ფრაქტალის გეომეტრიის ყველაზე პრაქტიკული ასპექტია. შემთხვევითი ბრაუნის მოძრაობას აქვს სიხშირის პასუხი, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას ფენომენების პროგნოზირებისთვის, რომლებიც მოიცავს დიდი რაოდენობით მონაცემებსა და სტატისტიკას. მაგალითად, მანდელბროტმა იწინასწარმეტყველა ცვლილებები მატყლის ფასში ბრაუნის მოძრაობის გამოყენებით.

სიტყვა "ფრაქტალი" შეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ როგორც მათემატიკური ტერმინი. ფრაქტალს პრესაში და პოპულარულ სამეცნიერო ლიტერატურაში შეიძლება ეწოდოს ფიგურები, რომლებსაც აქვთ რომელიმე შემდეგი თვისება:

მას აქვს არატრივიალური სტრუქტურა ყველა მასშტაბით. ეს არის განსხვავება ჩვეულებრივი ფიგურებისგან (როგორიცაა წრე, ელიფსი, გლუვი ფუნქციის გრაფიკი): თუ განვიხილავთ რეგულარული ფიგურის პატარა ფრაგმენტს ძალიან დიდ მასშტაბში, ის სწორი ხაზის ფრაგმენტს ჰგავს. . ფრაქტალისთვის, მასშტაბირება არ იწვევს სტრუქტურის გამარტივებას, ყველა მასშტაბით ჩვენ ვნახავთ თანაბრად რთულ სურათს.

ეს არის საკუთარი თავის მსგავსი ან დაახლოებით საკუთარი თავის მსგავსი.

მას აქვს წილადი მეტრული განზომილება ან მეტრული განზომილება, რომელიც აღემატება ტოპოლოგიურს.

ფრაქტალების ყველაზე სასარგებლო გამოყენება გამოთვლებში არის ფრაქტალური მონაცემების შეკუმშვა. ამავდროულად, ნახატები შეკუმშულია ბევრად უკეთ, ვიდრე ჩვეულებრივი მეთოდებით - 600:1-მდე. ფრაქტალური შეკუმშვის კიდევ ერთი უპირატესობა ის არის, რომ მასშტაბირებისას არ არის პიქსელაციის ეფექტი, რომელიც მკვეთრად აუარესებს სურათს. უფრო მეტიც, გადიდების შემდეგ ფრაქტალურად შეკუმშული სურათი ხშირად უფრო კარგად გამოიყურება, ვიდრე ადრე. კომპიუტერულმა მეცნიერებმა ასევე იციან, რომ უსასრულო სირთულის და სილამაზის ფრაქტალების წარმოქმნა შესაძლებელია მარტივი ფორმულებით. კინოინდუსტრია ფართოდ იყენებს ფრაქტალური გრაფიკის ტექნოლოგიას რეალისტური ლანდშაფტის ელემენტების შესაქმნელად (ღრუბლები, კლდეები და ჩრდილები).

ნაკადებში ტურბულენტობის შესწავლა ძალიან კარგად ეგუება ფრაქტალებს. ეს საშუალებას გაძლევთ უკეთ გაიგოთ რთული ნაკადების დინამიკა. ალი ასევე შეიძლება მოდელირებული იყოს ფრაქტალების გამოყენებით. ფოროვანი მასალები კარგად არის წარმოდგენილი ფრაქტალური ფორმით, იმის გამო, რომ მათ აქვთ ძალიან რთული გეომეტრია. დისტანციებზე მონაცემების გადასაცემად გამოიყენება ფრაქტალის ფორმის ანტენები, რაც მნიშვნელოვნად ამცირებს მათ ზომასა და წონას. ფრაქტალები გამოიყენება ზედაპირების გამრუდების აღსაწერად. არათანაბარი ზედაპირი ხასიათდება ორი განსხვავებული ფრაქტალის კომბინაციით.

ბუნებაში ბევრ ობიექტს აქვს ფრაქტალური თვისებები, როგორიცაა სანაპიროები, ღრუბლები, ხეების გვირგვინები, ფიფქები, სისხლის მიმოქცევის სისტემა და ადამიანის ან ცხოველების ალვეოლარული სისტემა.

ფრაქტალები, განსაკუთრებით თვითმფრინავში, პოპულარულია სილამაზისა და კომპიუტერთან აგების სიმარტივის კომბინაციით.

უჩვეულო თვისებების მქონე თვითმსგავსი კომპლექტების პირველი მაგალითები გამოჩნდა მე-19 საუკუნეში (მაგალითად, ბოლზანოს ფუნქცია, ვეიერშტრასის ფუნქცია, კანტორის ნაკრები). ტერმინი "ფრაქტალი" შემოიღო ბენუა მანდელბროტმა 1975 წელს და ფართო პოპულარობა მოიპოვა მისი წიგნის "ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია" გამოქვეყნებით 1977 წელს.

მარცხნივ სურათზე ნაჩვენებია Darer Pentagon-ის ფრაქტალი, რომელიც ჰგავს ერთმანეთზე შეკუმშულ ხუთკუთხედებს, როგორც მარტივი მაგალითი. ფაქტობრივად, იგი წარმოიქმნება ხუთკუთხედის, როგორც ინიციატორის და ტოლფერდა სამკუთხედების გამოყენებით, ყველაზე დიდი გვერდის თანაფარდობა უმცირესთან, რომელშიც ზუსტად უდრის ეგრეთ წოდებულ ოქროს თანაფარდობას (1.618033989 ან 1/(2cos72°) როგორც გენერატორი. ეს სამკუთხედები ამოჭრილია თითოეული ხუთკუთხედის შუიდან, რის შედეგადაც მიიღება ფორმა, რომელიც ჰგავს 5 პატარა ხუთკუთხედს, რომლებიც ერთ დიდზეა მიბმული.

ქაოსის თეორია ამბობს, რომ რთული არაწრფივი სისტემები მემკვიდრეობით არაპროგნოზირებადია, მაგრამ ამავე დროს ის ამტკიცებს, რომ ასეთი არაპროგნოზირებადი სისტემების გამოხატვის ხერხი მართალი აღმოჩნდება არა ზუსტ თანასწორობებში, არამედ სისტემის ქცევის წარმოდგენაში - უცნაური მიმზიდველების გრაფიკებში. ჰგავს ფრაქტალებს. ამრიგად, ქაოსის თეორია, რომელსაც ბევრი მიიჩნევს არაპროგნოზირებადობად, აღმოჩნდება მეცნიერება პროგნოზირებადობის შესახებ ყველაზე არასტაბილურ სისტემებშიც კი. დინამიური სისტემების დოქტრინა გვიჩვენებს, რომ მარტივ განტოლებებს შეუძლია ისეთი ქაოტური ქცევის გამომუშავება, რომელშიც სისტემა არასოდეს უბრუნდება სტაბილურ მდგომარეობას და არ ჩნდება კანონზომიერება ამავე დროს. ხშირად ასეთი სისტემები საკმაოდ ნორმალურად იქცევიან ძირითადი პარამეტრის გარკვეულ მნიშვნელობამდე, შემდეგ განიცდიან გადასვლას, რომელშიც არის ორი შესაძლებლობა შემდგომი განვითარებისთვის, შემდეგ ოთხი და, ბოლოს, შესაძლებლობების ქაოტური ნაკრები.

ტექნიკურ ობიექტებში მიმდინარე პროცესების სქემებს აქვთ მკაფიოდ განსაზღვრული ფრაქტალური სტრუქტურა. მინიმალური ტექნიკური სისტემის (TS) სტრუქტურა გულისხმობს TS-ის შიგნით მიმდინარე პროცესებს ორი ტიპის - ძირითადი და დამხმარე, და ეს დაყოფა პირობითი და ფარდობითია. ნებისმიერი პროცესი შეიძლება იყოს მთავარი მხარდამჭერებთან მიმართებაში და ნებისმიერი დამხმარე პროცესი შეიძლება ჩაითვალოს მთავარად „მათ“ ​​დამხმარე პროცესებთან მიმართებაში. დიაგრამაზე წრეები მიუთითებს იმ ფიზიკურ ეფექტებზე, რომლებიც უზრუნველყოფენ იმ პროცესების დინებას, რისთვისაც არ არის საჭირო სპეციალურად "საკუთარი" TS-ის შექმნა. ეს პროცესები არის ნივთიერებების, ველების, ნივთიერებებისა და ველების ურთიერთქმედების შედეგი. უფრო ზუსტად რომ ვთქვათ, ფიზიკური ეფექტი არის სატრანსპორტო საშუალება, რომლის პრინციპზეც ჩვენ ვერ ვახდენთ გავლენას და არ გვინდა ან არ გვაქვს შესაძლებლობა ჩაერიოთ მის სტრუქტურაში.

დიაგრამაში ნაჩვენები ძირითადი პროცესის ნაკადი უზრუნველყოფილია სამი დამხმარე პროცესის არსებობით, რომლებიც მთავარია TS-სთვის, რომელიც მათ წარმოქმნის. სამართლიანობისთვის აღვნიშნავთ, რომ თუნდაც მინიმალური TS-ის ფუნქციონირებისთვის სამი პროცესი აშკარად არ არის საკმარისი, ე.ი. სქემა ძალიან, ძალიან გადაჭარბებულია.

ყველაფერი არ არის ისეთი მარტივი, როგორც ნაჩვენებია დიაგრამაში. სასარგებლო (ადამიანისთვის საჭირო) პროცესი არ შეიძლება შესრულდეს 100%-იანი ეფექტურობით. გაფანტული ენერგია იხარჯება მავნე პროცესების შექმნაზე - გათბობა, ვიბრაცია და ა.შ. შედეგად, სასარგებლო პროცესის პარალელურად, წარმოიქმნება მავნე. ყოველთვის არ არის შესაძლებელი „ცუდი“ პროცესის „კარგით“ ჩანაცვლება, ამიტომ ახალი პროცესების ორგანიზება უნდა მოხდეს სისტემისთვის საზიანო შედეგების კომპენსაციისთვის. ტიპიური მაგალითია ხახუნის წინააღმდეგ ბრძოლის აუცილებლობა, რაც აიძულებს ადამიანს მოაწყოს შეზეთვის გენიალური სქემები, გამოიყენოს ძვირადღირებული ხახუნის საწინააღმდეგო მასალები, ან დახარჯოს დრო კომპონენტებისა და ნაწილების შეზეთვაზე ან მათ პერიოდულად შეცვლაზე.

ცვალებადი გარემოს გარდაუვალი გავლენის არსებობასთან დაკავშირებით, შესაძლოა საჭირო გახდეს სასარგებლო პროცესის კონტროლი. მართვა შეიძლება განხორციელდეს როგორც ავტომატური მოწყობილობების დახმარებით, ასევე უშუალოდ პირის მიერ. პროცესის დიაგრამა რეალურად არის სპეციალური ბრძანებების ნაკრები, ე.ი. ალგორითმი. თითოეული ბრძანების არსი (აღწერილობა) არის ერთი სასარგებლო პროცესის ერთობლიობა, თანმხლები მავნე პროცესები და აუცილებელი საკონტროლო პროცესების ნაკრები. ასეთ ალგორითმში დამხმარე პროცესების ნაკრები არის ჩვეულებრივი ქვეპროგრამა - და აქ ასევე ვპოულობთ ფრაქტალს. რ.კოლერის მეთოდი, რომელიც შეიქმნა მეოთხედი საუკუნის წინ, შესაძლებელს ხდის სისტემების შექმნას მხოლოდ 12 წყვილი ფუნქციის (პროცესების) საკმაოდ შეზღუდული კომპლექტით.

მათემატიკაში უჩვეულო თვისებების მქონე თვითმსგავსი სიმრავლეები

მე-19 საუკუნის ბოლოდან მათემატიკაში გამოჩნდა პათოლოგიური თვისებების მქონე თვითმსგავსი ობიექტების მაგალითები კლასიკური ანალიზის თვალსაზრისით. ეს მოიცავს შემდეგს:

კანტორის ნაკრები არის არსად მკვრივი, უთვალავი სრულყოფილი ნაკრები. პროცედურის შეცვლით, ასევე შეგიძლიათ მიიღოთ დადებითი სიგრძის არსად მკვრივი ნაკრები.

სიერპინსკის სამკუთხედი („სუფრის ტილო“) და სიერპინსკის ხალიჩა თვითმფრინავზე დადგმული კანტორის ანალოგებია.

მენგერის ღრუბელი - კანტორის ანალოგი სამგანზომილებიან სივრცეში;

ვეიერშტრასის და ვან დერ ვაერდენის მაგალითები არსად დიფერენცირებადი უწყვეტი ფუნქციის შესახებ.

კოხის მრუდი - უსასრულო სიგრძის თვითგადაკვეთის უწყვეტი მრუდი, რომელსაც არ აქვს ტანგენსი არცერთ წერტილში;

პეანოს მრუდი არის უწყვეტი მრუდი, რომელიც გადის კვადრატის ყველა წერტილში.

ბრაუნის ნაწილაკების ტრაექტორია ასევე არსად არის დიფერენცირებადი ალბათობით 1. მისი ჰაუსდორფის განზომილება არის ორი

ფრაქტალის მრუდების მიღების რეკურსიული პროცედურა

კოხის მრუდის აგება

არსებობს მარტივი რეკურსიული პროცედურა სიბრტყეში ფრაქტალის მოსახვევების მისაღებად. ჩვენ განვსაზღვრავთ თვითნებურ გაწყვეტილ ხაზს ბმულების სასრული რაოდენობით, რომელსაც გენერატორი ეწოდება. შემდეგი, ჩვენ ვცვლით მასში არსებულ თითოეულ სეგმენტს გენერატორით (უფრო ზუსტად, გენერატორის მსგავსი გატეხილი ხაზი). შედეგად გატეხილი ხაზი, ჩვენ კვლავ ვცვლით თითოეულ სეგმენტს გენერატორით. ვაგრძელებთ უსასრულობას, ლიმიტში ვიღებთ ფრაქტალ მრუდს. ფიგურა მარჯვნივ გვიჩვენებს ამ პროცედურის პირველ ოთხ საფეხურს კოხის მრუდისთვის.

ასეთი მრუდების მაგალითებია:

დრაკონის მრუდი,

კოხის მრუდი (კოხის ფიფქია),

ლევის მრუდი,

მინკოვსკის მრუდი,

ჰილბერტის მრუდი,

გატეხილი (მრუდი) დრაკონი (ფრაქტალ ჰარტერ-ჰეტევეი),

პეანოს მრუდი.

მსგავსი პროცედურის გამოყენებით მიიღება პითაგორას ხე.

ფრაქტალები, როგორც შეკუმშვის რუკების ფიქსირებული წერტილები

თვითმსგავსების თვისება შეიძლება მათემატიკურად მკაცრად გამოიხატოს შემდეგნაირად. მოდით იყოს თვითმფრინავის შეკუმშვის რუქები. განვიხილოთ შემდეგი რუკა სიბრტყის ყველა კომპაქტური (დახურული და შეზღუდული) ქვესიმრავლეების სიმრავლეზე:

შეიძლება აჩვენოს, რომ რუქა არის შეკუმშვის რუქა კომპაქტური სიმრავლეების სიმრავლეზე ჰაუსდორფის მეტრიკით. მაშასადამე, ბანახის თეორემით, ამ რუქას აქვს უნიკალური ფიქსირებული წერტილი. ეს ფიქსირებული წერტილი იქნება ჩვენი ფრაქტალი.

ზემოთ აღწერილი ფრაქტალის მრუდების მიღების რეკურსიული პროცედურა ამ კონსტრუქციის განსაკუთრებული შემთხვევაა. მასში ყველა რუქა არის მსგავსება და არის გენერატორის ბმულების რაოდენობა.

სიერპინსკის სამკუთხედისთვის , , არის ჰომოთეტიკები რეგულარული სამკუთხედის წვეროებზე ცენტრებით და კოეფიციენტით 1/2. ადვილი მისახვედრია, რომ სიერპინსკის სამკუთხედი თავისთავად გარდაიქმნება რუკაზე.

იმ შემთხვევაში, როდესაც რუკები არის მსგავსების გარდაქმნები კოეფიციენტებით, ფრაქტალის განზომილება (გარკვეული დამატებითი ტექნიკური პირობებით) შეიძლება გამოითვალოს, როგორც განტოლების ამონახსნი. ასე რომ, სიერპინსკის სამკუთხედისთვის ვიღებთ .

იგივე ბანახის თეორემის მიხედვით, ნებისმიერი კომპაქტური სიმრავლიდან დაწყებული და მასზე რუკების გამეორებების გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ კომპაქტური სიმრავლეების თანმიმდევრობას, რომლებიც კონვერგირდება (ჰაუსდორფის მეტრიკის გაგებით) ჩვენს ფრაქტალთან.

ფრაქტალები კომპლექსურ დინამიკაში

ჯულიას ნაკრები

ჯულიას კიდევ ერთი ნაკრები

ფრაქტალები ბუნებრივად წარმოიქმნება არაწრფივი დინამიკური სისტემების შესწავლისას. ყველაზე შესწავლილი შემთხვევაა, როდესაც დინამიური სისტემა განისაზღვრება სიბრტყეზე რთული ცვლადის პოლინომის ან ჰოლომორფული ფუნქციის გამეორებით. პირველი კვლევები ამ სფეროში თარიღდება მე-20 საუკუნის დასაწყისით და დაკავშირებულია ფატუსა და ჯულიას სახელებთან.

დაე იყოს ფ(ზ) - მრავალწევრი, ზ 0 რთული რიცხვია. განვიხილოთ შემდეგი თანმიმდევრობა: ზ 0 , ზ 1 =ფ(ზ 0), ზ 2 =ფ(ფ(ზ 0)) = ფ(ზ 1),ზ 3 =ფ(ფ(ფ(ზ 0)))=ფ(ზ 2), …

ჩვენ გვაინტერესებს ამ თანმიმდევრობის ქცევა, როგორც ჩვენ ვცდილობთ ნუსასრულობამდე. ამ თანმიმდევრობას შეუძლია:

სწრაფვა უსასრულობისკენ

სწრაფვა საბოლოო

აჩვენეთ ციკლური ქცევა ლიმიტში, მაგალითად: ზ 1 , ზ 2 , ზ 3 , ზ 1 , ზ 2 , ზ 3 , …

მოიქცეს ქაოტურად, ანუ არ გამოავლინოს აღნიშნული სამი სახის ქცევა.

ღირებულებების ნაკრები ზ 0, რომლისთვისაც თანმიმდევრობა ავლენს ქცევის ერთ კონკრეტულ ტიპს, ისევე როგორც სხვადასხვა ტიპებს შორის ბიფურკაციის წერტილების სიმრავლეს, ხშირად აქვთ ფრაქტალური თვისებები.

ამრიგად, ჯულიას სიმრავლე არის მრავალწევრის ბიფურკაციის წერტილების სიმრავლე ფ(ზ)=ზ 2 +გ(ან სხვა მსგავსი ფუნქცია), ანუ ეს მნიშვნელობები ზ 0 , რისთვისაც მიმდევრობის ქცევა ( ზ ნ) შეიძლება მკვეთრად შეიცვალოს თვითნებურად მცირე ცვლილებებით ზ 0 .

ფრაქტალის სიმრავლეების მიღების კიდევ ერთი ვარიანტია პარამეტრის შეყვანა მრავალწევრში ფ(ზ) და იმ პარამეტრის მნიშვნელობების სიმრავლის გათვალისწინებით, რომლებისთვისაც არის თანმიმდევრობა ( ზ ნ) აჩვენებს გარკვეულ ქცევას ფიქსირებულისთვის ზ 0 . ამრიგად, მანდელბროტის ნაკრები არის იმ ყველაფრის ნაკრები, რისთვისაც ( ზ ნ) ამისთვის ფ(ზ)=ზ 2 +გდა ზ 0 არ მიდის უსასრულობამდე.

ამ ტიპის კიდევ ერთი ცნობილი მაგალითია ნიუტონის აუზები.

პოპულარულია კომპლექსური დინამიკის საფუძველზე ლამაზი გრაფიკული სურათების შექმნა შესაბამისი დინამიური სისტემების ქცევის მიხედვით თვითმფრინავის წერტილების შეღებვით. მაგალითად, მანდელბროტის ნაკრების შესავსებად, შეგიძლიათ გააფერადოთ ქულები სწრაფვის სიჩქარის მიხედვით ( ზ ნ) უსასრულობამდე (განსაზღვრულია, ვთქვათ, როგორც უმცირესი რიცხვი ნ, სადაც | ზ ნ| აღემატება ფიქსირებულ დიდ მნიშვნელობას ა.

ბიომორფები არის ფრაქტალები, რომლებიც აგებულია რთული დინამიკის საფუძველზე და ცოცხალ ორგანიზმებს ჰგავს.

სტოქასტური ფრაქტალები

რანდომიზებული ფრაქტალი ჯულიას ნაკრების საფუძველზე

ბუნებრივ ობიექტებს ხშირად აქვთ ფრაქტალური ფორმა. მათი მოდელირებისთვის შეიძლება გამოყენებულ იქნას სტოქასტური (შემთხვევითი) ფრაქტალები. სტოქასტური ფრაქტალების მაგალითები:

ბრაუნის მოძრაობის ტრაექტორია სიბრტყეზე და სივრცეში;

ბრაუნის მოძრაობის ტრაექტორიის საზღვარი სიბრტყეზე. 2001 წელს ლოულერმა, შრამმა და ვერნერმა დაამტკიცეს მანდელბროტის ვარაუდი, რომ მისი განზომილება არის 4/3.

Schramm-Löwner-ის ევოლუციები არის კონფორმალურად უცვლელი ფრაქტალური მრუდები, რომლებიც წარმოიქმნება სტატისტიკური მექანიკის კრიტიკულ ორგანზომილებიან მოდელებში, მაგალითად, იზინგის მოდელში და პერკოლაციაში.

სხვადასხვა ტიპის რანდომიზებული ფრაქტალები, ანუ ფრაქტალები, რომლებიც მიიღება რეკურსიული პროცედურის გამოყენებით, რომელშიც ყოველ საფეხურზე შემოდის შემთხვევითი პარამეტრი. პლაზმა არის ასეთი ფრაქტალის გამოყენების მაგალითი კომპიუტერულ გრაფიკაში.

Ბუნებაში

ტრაქეისა და ბრონქების წინა ხედი

ბრონქული ხე

სისხლძარღვების ქსელი

განაცხადი

Ნატურალური მეცნიერება

ფიზიკაში ფრაქტალები ბუნებრივად წარმოიქმნება არაწრფივი პროცესების მოდელირებისას, როგორიცაა ტურბულენტური სითხის ნაკადი, რთული დიფუზია-ადსორბციული პროცესები, ალი, ღრუბლები და ა.შ. ფრაქტალები გამოიყენება ფოროვანი მასალების მოდელირებისას, მაგალითად, ნავთობქიმიაში. ბიოლოგიაში ისინი გამოიყენება პოპულაციების მოდელირებისთვის და შინაგანი ორგანოების სისტემების (სისხლძარღვების სისტემის) აღსაწერად.

რადიოინჟინერია

ფრაქტალური ანტენები

ფრაქტალური გეომეტრიის გამოყენება ანტენის მოწყობილობების დიზაინში პირველად გამოიყენა ამერიკელმა ინჟინერმა ნათან კოენმა, რომელიც შემდეგ ცხოვრობდა ბოსტონის ცენტრში, სადაც აკრძალული იყო შენობებზე გარე ანტენების დაყენება. ნათანმა ალუმინის ფოლგას კოხის მრუდის სახით ფიგურა ამოჭრა და ფურცელზე გააკრა, შემდეგ მიმღებზე მიამაგრა. კოენმა დააარსა საკუთარი კომპანია და დაიწყო მათი სერიული წარმოება.

ინფორმატიკა

გამოსახულების შეკუმშვა

მთავარი სტატია: ფრაქტალური შეკუმშვის ალგორითმი

ფრაქტალის ხე

არსებობს გამოსახულების შეკუმშვის ალგორითმები ფრაქტალების გამოყენებით. ისინი ეფუძნება იდეას, რომ სურათის ნაცვლად, შეგიძლიათ შეინახოთ შეკუმშვის რუკა, რომლისთვისაც ეს სურათი (ან მასთან ახლოს) არის ფიქსირებული წერტილი. ამ ალგორითმის ერთ-ერთი ვარიანტი იქნა გამოყენებული [ წყარო დაუზუსტებელია 895 დღე] Microsoft-ის მიერ მისი ენციკლოპედიის გამოქვეყნებისას, მაგრამ ეს ალგორითმები ფართოდ არ იყო გამოყენებული.

Კომპიუტერული გრაფიკა

კიდევ ერთი ფრაქტალი ხე

ფრაქტალები ფართოდ გამოიყენება კომპიუტერულ გრაფიკაში ბუნებრივი ობიექტების გამოსახულების შესაქმნელად, როგორიცაა ხეები, ბუჩქები, მთის პეიზაჟები, ზღვის ზედაპირი და ა.შ. არსებობს მრავალი პროგრამა, რომელიც გამოიყენება ფრაქტალის გამოსახულების გენერირებისთვის, იხილეთ ფრაქტალის გენერატორი (პროგრამა).

დეცენტრალიზებული ქსელები

Netsukuku-ს IP მისამართის მინიჭების სისტემა იყენებს ფრაქტალური ინფორმაციის შეკუმშვის პრინციპს ქსელის კვანძების შესახებ ინფორმაციის კომპაქტურად შესანახად. Netsukuku ქსელის თითოეული კვანძი ინახავს მხოლოდ 4 KB ინფორმაციას მეზობელი კვანძების სტატუსის შესახებ, ხოლო ნებისმიერი ახალი კვანძი უერთდება ზოგად ქსელს IP მისამართების განაწილების ცენტრალური რეგულირების საჭიროების გარეშე, რაც, მაგალითად, დამახასიათებელია. ინტერნეტი. ამრიგად, ფრაქტალური ინფორმაციის შეკუმშვის პრინციპი უზრუნველყოფს მთელი ქსელის სრულიად დეცენტრალიზებულ და, შესაბამისად, ყველაზე სტაბილურ მუშაობას.