ლობაჩევსკის თვითმფრინავი
ლობაჩევსკის გეომეტრია (ჰიპერბოლური გეომეტრიამოუსმინე)) არის ერთ-ერთი არაევკლიდური გეომეტრია, გეომეტრიული თეორია, რომელიც ეფუძნება იმავე ძირითად საფუძვლებს, როგორც ჩვეულებრივი ევკლიდური გეომეტრია, გარდა პარალელური აქსიომისა, რომელიც ჩანაცვლებულია ლობაჩევსკის პარალელური აქსიომით.
პარალელების ევკლიდეს აქსიომა ამბობს:
წერტილის გავლით, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, არის მხოლოდ ერთი ხაზი, რომელიც დევს მოცემულ წრფესთან იმავე სიბრტყეში და არ კვეთს მას.
ლობაჩევსკის გეომეტრიაში ამის ნაცვლად მიღებულია შემდეგი აქსიომა:
წერტილიდან, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, გადის სულ მცირე ორი წრფე, რომლებიც მოცემულ წრფესთან დევს იმავე სიბრტყეში და არ კვეთს მას.
ლობაჩევსკის გეომეტრიას აქვს ფართო გამოყენება როგორც მათემატიკაში, ასევე ფიზიკაში. მისი ისტორიული მნიშვნელობა მდგომარეობს იმაში, რომ ლობაჩევსკიმ თავისი აგებულებით აჩვენა ევკლიდესგან განსხვავებული გეომეტრიის შესაძლებლობა, რამაც ახალი ერა აღნიშნა გეომეტრიისა და ზოგადად მათემატიკის განვითარებაში.
ამბავი
მეხუთე პოსტულატის დამტკიცების მცდელობები
ლობაჩევსკის გეომეტრიის ამოსავალი წერტილი იყო ევკლიდეს მეხუთე პოსტულატი, პარალელური აქსიომის ტოლფასი აქსიომა. იგი შეტანილი იყო ევკლიდეს ელემენტების პოსტულატების სიაში). მისი ფორმულირების შედარებით სირთულემ და არაინტუიციურობამ გამოიწვია მისი მეორეხარისხოვანი ბუნების განცდა და დასაბამი მისცა ევკლიდეს დანარჩენი პოსტულატებიდან მისი გამოყვანის მცდელობებს.
მათ შორის, ვინც ცდილობდა დაამტკიცოს, იყვნენ შემდეგი მეცნიერები:
- ძველი ბერძენი მათემატიკოსები პტოლემე (II ს.), პროკლე (V საუკუნე) (დაფუძნებული ვარაუდზე, რომ მანძილი ორ პარალელურს შორის სასრულია),
- იბნ ალ-ჰაითამი ერაყიდან (გვიანი - ადრეული საუკუნეები) (დაფუძნებული ვარაუდზე, რომ მოძრავი პერპენდიკულარული წრფის დასასრული აღწერს სწორ ხაზს),
- ირანელი მათემატიკოსები ომარ ხაიამი (მე-2 ნახევარი - მე-12 საუკუნის დასაწყისი) და ნასირ ად-დინ ატ-ტუსი (XIII ს.) (დაფუძნებული იმ ვარაუდზე, რომ ორი კონვერტაციული ხაზი ვერ გაგრძელდება გადაკვეთის გარეშე),
- გერმანელი მათემატიკოსი კლავიუსი (),
- იტალიელი მათემატიკოსები
- კატალდი (პირველად 1603 წელს მან გამოაქვეყნა ნაშრომი, რომელიც მთლიანად მიეძღვნა პარალელების საკითხს),
- ინგლისელი მათემატიკოსი უოლისი (გამოქვეყნებულია ) (დაფუძნებული ვარაუდზე, რომ ყველა ფიგურას აქვს მსგავსი ფიგურა, მაგრამ არა მისი ტოლი),
- ფრანგი მათემატიკოსი ლეჟანდრი () (დაფუძნებული ვარაუდზე, რომ მახვილი კუთხის შიგნით თითოეული წერტილის მეშვეობით შეგიძლიათ დახაზოთ ხაზი, რომელიც კვეთს კუთხის ორივე მხარეს; მას ასევე ჰქონდა დადასტურების სხვა მცდელობები).
მეხუთე პოსტულატის დამტკიცების ამ მცდელობებში მათემატიკოსებმა შემოიტანეს ახალი მტკიცება, რომელიც მათთვის უფრო აშკარა ჩანდა.
წინააღმდეგობრივი მტკიცებულების გამოყენების მცდელობები იყო:
- იტალიელი მათემატიკოსი საკერი () (რაც ჩამოაყალიბა განცხადება, რომელიც ეწინააღმდეგება პოსტულატს, მან გამოიტანა მრავალი შედეგი და, შეცდომით აღიარა ზოგიერთი მათგანი, როგორც წინააღმდეგობრივი, მან მიიჩნია პოსტულატი დადასტურებულად),
- გერმანელი მათემატიკოსი ლამბერტი (დაახლოებით, გამოქვეყნებულია) (კვლევის ჩატარების შემდეგ მან აღიარა, რომ ვერ იპოვა წინააღმდეგობები მის მიერ აშენებულ სისტემაში).
საბოლოოდ, დაიწყო იმის გაგება, რომ შესაძლებელია თეორიის აგება საპირისპირო პოსტულატის საფუძველზე:
- გერმანელი მათემატიკოსები F. Schweikart () და Taurinus () (თუმცა მათ არ ესმოდათ, რომ ასეთი თეორია ისეთივე ლოგიკურად თანმიმდევრული იქნებოდა).
არაევკლიდური გეომეტრიის შექმნა
ლობაჩევსკი თავის ნაშრომში "გეომეტრიის პრინციპების შესახებ" (), მისმა პირველმა ნაშრომმა არაევკლიდური გეომეტრიის შესახებ, ნათლად თქვა, რომ V პოსტულატი არ შეიძლება დადასტურდეს ევკლიდეს გეომეტრიის სხვა წინაპირობებზე დაყრდნობით, და რომ პოსტულატის დაშვება. ევკლიდეს პოსტულატის საპირისპიროდ, საშუალებას გაძლევთ შექმნათ გეომეტრია ისეთივე შინაარსიანი, როგორიც ევკლიდეა, და თავისუფალი წინააღმდეგობებისაგან.
პარალელურად და დამოუკიდებლად მსგავს დასკვნებამდე მივიდა იანოშ ბოლიაი, კარლ ფრიდრიხ გაუსი კი უფრო ადრე. თუმცა ბოლიაის ნაწერებმა ყურადღება არ მიიქცია და მან მალევე მიატოვა ეს თემა, გაუსმა კი საერთოდ თავი შეიკავა გამოქვეყნებისგან და მისი შეხედულებების შეფასება მხოლოდ რამდენიმე წერილისა და დღიურის ჩანაწერებიდან შეიძლება. მაგალითად, 1846 წელს ასტრონომ გ.ჰ.შუმახერისადმი მიწერილ წერილში გაუსი ლობაჩევსკის შემოქმედებაზე ასე საუბრობს:
ეს ნაშრომი შეიცავს გეომეტრიის საფუძვლებს, რომელიც უნდა მომხდარიყო და, უფრო მეტიც, შეადგენდა მკაცრად თანმიმდევრულ მთლიანობას, თუ ევკლიდეს გეომეტრია არ იქნებოდა ჭეშმარიტი... ლობაჩევსკი მას „წარმოსახვით გეომეტრიას“ უწოდებს; თქვენ იცით, რომ 54 წლის განმავლობაში (1792 წლიდან) მე ვიზიარებდი ერთნაირ შეხედულებებს მათ გარკვეულ განვითარებასთან, რაც აქ არ მინდა აღვნიშნო; ამდენად, ლობაჩევსკის შემოქმედებაში ჩემთვის ფაქტობრივად ახალი ვერაფერი ვიპოვე. მაგრამ თემის განვითარებაში ავტორს არ გაუყვა გზა, რომელსაც მე თვითონ გავყევი; იგი ოსტატურად არის შესრულებული ლობაჩევსკის მიერ ჭეშმარიტად გეომეტრიული სულისკვეთებით. თავს ვალდებულად ვთვლი, რომ თქვენი ყურადღება მივაპყრო ამ ნამუშევარს, რომელიც აუცილებლად განსაკუთრებულ სიამოვნებას მოგანიჭებთ.
შედეგად, ლობაჩევსკი მოქმედებდა, როგორც ამ თეორიის პირველი ყველაზე ნათელი და თანმიმდევრული პროპაგანდისტი.
მიუხედავად იმისა, რომ ლობაჩევსკის გეომეტრია განვითარდა, როგორც სპეკულაციური თეორია და თავად ლობაჩევსკიმ მას "წარმოსახვითი გეომეტრია" უწოდა, მიუხედავად ამისა, სწორედ ლობაჩევსკი განიხილავდა მას არა როგორც გონების თამაშს, არამედ როგორც სივრცითი ურთიერთობების შესაძლო თეორიას. თუმცა, მისი თანმიმდევრულობის დამადასტურებელი საბუთი მოგვიანებით იქნა მიცემული, როდესაც მისი ინტერპრეტაციები იქნა მითითებული და ამით მისი რეალური მნიშვნელობის, ლოგიკური თანმიმდევრულობის საკითხი მთლიანად გადაიჭრა.
ლობაჩევსკის გეომეტრიის განცხადება
კუთხე კიდევ უფრო რთულია.
პუანკარეს მოდელი
ლობაჩევსკის გეომეტრიის შინაარსი
პარალელური ხაზების ფანქარი ლობაჩევსკის გეომეტრიაში
ლობაჩევსკიმ ააგო თავისი გეომეტრია, დაწყებული ძირითადი გეომეტრიული ცნებებიდან და მისი აქსიომიდან და დაამტკიცა თეორემები გეომეტრიული მეთოდით, ისევე როგორც ეს კეთდება ევკლიდეს გეომეტრიაში. საფუძვლად დაედო პარალელური წრფეების თეორია, ვინაიდან სწორედ აქ იწყება განსხვავება ლობაჩევსკის გეომეტრიასა და ევკლიდეს გეომეტრიას შორის. ყველა თეორემა, რომელიც არ არის დამოკიდებული პარალელების აქსიომაზე, საერთოა ორივე გეომეტრიისთვის და ქმნის ეგრეთ წოდებულ აბსოლუტურ გეომეტრიას, რომელიც მოიცავს, მაგალითად, თეორემებს სამკუთხედების ტოლობის შესახებ. პარალელების თეორიის შემდეგ აშენდა სხვა მონაკვეთები, მათ შორის ტრიგონომეტრია და ანალიტიკური და დიფერენციალური გეომეტრიის პრინციპები.
წარმოვადგინოთ (თანამედროვე ნოტაციით) ლობაჩევსკის გეომეტრიის რამდენიმე ფაქტი, რომლებიც განასხვავებს მას ევკლიდეს გეომეტრიისაგან და დაადგინა თავად ლობაჩევსკიმ.
წერტილის მეშვეობით პარ წევს მოცემულ ხაზზე. რ(იხ. სურათი), არის უსასრულოდ ბევრი სწორი ხაზი, რომელიც არ იკვეთება რდა მდებარეობს მასთან იმავე სიბრტყეში; მათ შორის არის ორი უკიდურესი x, წ, რომლებსაც პარალელურ ხაზებს უწოდებენ რლობაჩევსკის გაგებით. კლაინის (პუანკარეს) მოდელებში ისინი წარმოდგენილია აკორდებით (წრეების რკალებით), რომლებსაც აქვთ აკორდი (რკალი) რსაერთო დასასრული (რომელიც, მოდელის განმარტებით, გამორიცხულია, ასე რომ ამ ხაზებს არ აქვთ საერთო წერტილები).
კუთხე პერპენდიკულარებს შორის PBდან პზე რდა თითოეული პარალელური (ე.წ პარალელურობის კუთხე) როგორც წერტილი ამოღებულია პმცირდება სწორი ხაზიდან 90°-დან 0°-მდე (პუანკარეს მოდელში კუთხეები ჩვეულებრივი გაგებით ემთხვევა ლობაჩევსკის მნიშვნელობის კუთხეებს და ამიტომ ეს ფაქტი პირდაპირ მასზე ჩანს). პარალელურად xერთის მხრივ (და წსაპირისპირო) ასიმპტომურად უახლოვდება ა, ხოლო მეორეს მხრივ უსასრულოდ შორდება მისგან (მოდელებში მანძილების დადგენა რთულია და ამიტომ ეს ფაქტი პირდაპირ არ ჩანს).
მოცემული სწორი ხაზიდან მანძილზე მდებარე წერტილისთვის PB = ა(იხ. სურათი), ლობაჩევსკიმ მისცა პარალელურობის კუთხის ფორმულა P(a) :
Აქ ქარის რაღაც მუდმივი, რომელიც დაკავშირებულია ლობაჩევსკის სივრცის გამრუდებასთან. მას შეუძლია სიგრძის აბსოლუტური ერთეული იყოს ისევე, როგორც სფერულ გეომეტრიაში სფეროს რადიუსი განსაკუთრებულ პოზიციას იკავებს.
თუ ხაზებს აქვთ საერთო პერპენდიკულარი, მაშინ ისინი უსასრულოდ განსხვავდებიან მის ორივე მხარეს. ნებისმიერ მათგანს შესაძლებელია პერპენდიკულარების აღდგენა, რომლებიც არ აღწევს მეორე ხაზს.
ლობაჩევსკის გეომეტრიაში არ არის მსგავსი, მაგრამ არათანაბარი სამკუთხედები; სამკუთხედები თანმიმდევრულია, თუ მათი კუთხეები ტოლია.
ნებისმიერი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი π-ზე ნაკლებია და შეიძლება თვითნებურად იყოს ნულთან ახლოს. ეს პირდაპირ ჩანს პუანკარეს მოდელში. განსხვავება δ \u003d π - (α + β + γ), სადაც α , β , γ არის სამკუთხედის კუთხეები, მისი ფართობის პროპორციულია:
ფორმულიდან ჩანს, რომ არის სამკუთხედის მაქსიმალური ფართობი და ეს არის სასრული რიცხვი: π. ქ 2 .
სწორი ხაზიდან თანაბარი მანძილის ხაზი არ არის სწორი ხაზი, არამედ სპეციალური მრუდი, რომელსაც ეწოდება თანაბარი მანძილი, ან ჰიპერციკლი.
უსასრულოდ მზარდი რადიუსის წრეების ზღვარი არ არის სწორი ხაზი, არამედ სპეციალური მრუდი ე.წ ლიმიტის წრე, ან ჰოროციკლი.
უსასრულოდ მზარდი რადიუსის სფეროების ზღვარი არის არა სიბრტყე, არამედ სპეციალური ზედაპირი - ზღვრული სფერო, ანუ ჰოროსფერო; აღსანიშნავია, რომ მასზე დევს ევკლიდური გეომეტრია. ეს ემსახურებოდა ლობაჩევსკის, როგორც საფუძველი ტრიგონომეტრიის ფორმულების წარმოებისთვის.
გარშემოწერილობა არ არის რადიუსის პროპორციული, მაგრამ უფრო სწრაფად იზრდება. კერძოდ, ლობაჩევსკის გეომეტრიაში, რიცხვი π არ შეიძლება განისაზღვროს, როგორც წრის გარშემოწერილობის თანაფარდობა მის დიამეტრთან.
რაც უფრო მცირეა რეგიონი სივრცეში ან ლობაჩევსკის სიბრტყეზე, მით უფრო ნაკლებად განსხვავდება ამ რეგიონის გეომეტრიული მიმართებები ევკლიდეს გეომეტრიის მიმართებებისაგან. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ უსასრულოდ მცირე რეგიონში ხდება ევკლიდეს გეომეტრია. მაგალითად, რაც უფრო პატარაა სამკუთხედი, მით ნაკლებია მისი კუთხეების ჯამი π-სგან; რაც უფრო პატარაა წრე, მით ნაკლებია მისი სიგრძის შეფარდება რადიუსთან 2π-დან და ა.შ. ფართობის შემცირება ფორმალურად ექვივალენტურია ერთეულის სიგრძის გაზრდასთან, შესაბამისად, სიგრძის ერთეულის უსასრულო მატებასთან ერთად, ლობაჩევსკის გეომეტრიის ფორმულები გადაიქცევა ფორმულებად. ევკლიდეს გეომეტრიის. ევკლიდეს გეომეტრია ამ თვალსაზრისით არის ლობაჩევსკის გეომეტრიის „შემზღუდველი“ შემთხვევა.
აპლიკაციები
- თავად ლობაჩევსკიმ გამოიყენა თავისი გეომეტრია განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლაში.
- რთული ცვლადის ფუნქციების თეორიაში ლობაჩევსკის გეომეტრია დაეხმარა ავტომორფული ფუნქციების თეორიის აგებას. ლობაჩევსკის გეომეტრიასთან კავშირი სწორედ აქ იყო პუანკარეს კვლევის ამოსავალი წერტილი, რომელიც წერდა, რომ „არაევკლიდური გეომეტრია არის მთელი პრობლემის გადაჭრის გასაღები“.
- ლობაჩევსკის გეომეტრია გამოყენებას პოულობს რიცხვთა თეორიაშიც, მის გეომეტრიულ მეთოდებში, გაერთიანებულ სახელწოდებით "რიცხვთა გეომეტრია".
- მჭიდრო კავშირი დამყარდა ლობაჩევსკის გეომეტრიასა და ფარდობითობის სპეციალური (კერძო) თეორიის კინემატიკას შორის. ეს კავშირი ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ თანასწორობა გამოხატავს სინათლის გავრცელების კანონს
- სფეროს განტოლება სივრცეში კოორდინატებთან ვ x
, ვ წ
, ვ ზ- სიჩქარის კომპონენტები ღერძების გასწვრივ X, ზე, ზ(„სიჩქარის სივრცეში“). ლორენცის გარდაქმნები ინარჩუნებენ ამ სფეროს და, რადგან ისინი წრფივია, პირდაპირი სიჩქარის სივრცეები სწორ ხაზებად გარდაქმნის. ამიტომ, კლეინის მოდელის მიხედვით, რადიუსის სფეროს შიგნით სიჩქარის სივრცეში თანანუ სინათლის სიჩქარეზე ნაკლები სიჩქარისთვის ხდება ლობაჩევსკის გეომეტრია. - ლობაჩევსკის გეომეტრიამ შესანიშნავი გამოყენება ჰპოვა ფარდობითობის ზოგად თეორიაში. თუ სამყაროში მატერიის მასების განაწილებას ერთგვაროვნად მივიჩნევთ (ეს მიახლოება მისაღებია კოსმოსური მასშტაბით), გამოდის, რომ გარკვეულ პირობებში სივრცეს აქვს ლობაჩევსკის გეომეტრია. ამრიგად, გამართლდა ლობაჩევსკის დაშვება მისი გეომეტრიის, როგორც რეალური სივრცის შესაძლო თეორიის შესახებ.
- Klein მოდელის გამოყენებით, მოცემულია ძალიან მარტივი და მოკლე მტკიცებულება
მიჩვეული ვართ ვიფიქროთ, რომ დაკვირვებული სამყაროს გეომეტრია ევკლიდურია, ე.ი. ის ასრულებს სკოლაში შესწავლილი გეომეტრიის კანონებს. სინამდვილეში ეს სიმართლეს არ შეესაბამება. ამ სტატიაში განვიხილავთ ლობაჩევსკის გეომეტრიის რეალობაში არსებულ გამოვლინებებს, რომელიც, ერთი შეხედვით, წმინდა აბსტრაქტულია.
ლობაჩევსკის გეომეტრია ჩვეულებრივი ევკლიდურისგან განსხვავდება იმით, რომ მასში მოცემულ წრფეზე არ მდებარე წერტილიდან გადის სულ მცირე ორი წრფე, რომლებიც მოცემულ წრფესთან დევს იმავე სიბრტყეში და არ კვეთს მას. მას ასევე უწოდებენ ჰიპერბოლურ გეომეტრიას.
1. ევკლიდეს გეომეტრია - თეთრ წერტილში გადის მხოლოდ ერთი ხაზი, რომელიც არ კვეთს ყვითელ ხაზს.
2. რიმანის გეომეტრია - ნებისმიერი ორი ხაზი იკვეთება (პარალელური ხაზები არ არის)
3. ლობაჩევსკის გეომეტრია - არის უსასრულოდ ბევრი სწორი ხაზი, რომელიც არ კვეთს ყვითელ ხაზს და გადის თეთრ წერტილში.
იმისათვის, რომ მკითხველმა ამის ვიზუალიზაცია შეძლოს, მოკლედ აღვწეროთ კლაინის მოდელი. ამ მოდელში ლობაჩევსკის სიბრტყე რეალიზებულია, როგორც ერთი რადიუსის წრის ინტერიერი, სადაც სიბრტყის წერტილები არის ამ წრის წერტილები, ხოლო ხაზები - აკორდები. აკორდი არის სწორი ხაზი, რომელიც აკავშირებს წრეზე ორ წერტილს. ორ წერტილს შორის მანძილის დადგენა რთულია, მაგრამ ჩვენ არ გვჭირდება. ზემოთ მოყვანილი სურათიდან ირკვევა, რომ P წერტილის გავლით უსასრულოდ ბევრი წრფეა, რომლებიც არ კვეთენ a წრფეს. ევკლიდეს სტანდარტულ გეომეტრიაში მხოლოდ ერთი ხაზი გადის P წერტილში და არ კვეთს a წრფეს. ეს ხაზი პარალელურია.
ახლა გადავიდეთ მთავარზე - ლობაჩევსკის გეომეტრიის პრაქტიკულ გამოყენებაზე.
სატელიტური სანავიგაციო სისტემები (GPS და GLONASS) შედგება ორი ნაწილისგან: დედამიწის გარშემო თანაბრად განლაგებული 24-29 თანამგზავრის ორბიტალური თანავარსკვლავედი და დედამიწაზე კონტროლის სეგმენტი, რომელიც უზრუნველყოფს თანამგზავრებზე დროის სინქრონიზაციას და ერთი კოორდინატთა სისტემის გამოყენებას. თანამგზავრებს აქვთ ძალიან ზუსტი ატომური საათები, ხოლო მიმღებებს (GPS-ნავიგატორები) აქვთ ჩვეულებრივი, კვარცის საათები. მიმღებებს ასევე აქვთ ინფორმაცია ნებისმიერ დროს ყველა თანამგზავრის კოორდინატებზე. თანამგზავრები მოკლე ინტერვალებით გადასცემენ სიგნალს, რომელიც შეიცავს მონაცემებს გადაცემის დაწყების დროზე. მინიმუმ ოთხი თანამგზავრიდან სიგნალის მიღების შემდეგ, მიმღებს შეუძლია დაარეგულიროს თავისი საათი და გამოთვალოს მანძილი ამ თანამგზავრებთან ფორმულის გამოყენებით ((სატელიტის მიერ სიგნალის გაგზავნის დრო) - (სატელიტიდან სიგნალის მიღების დრო)) x (შუქის სიჩქარე) = (მანძილი თანამგზავრამდე). გამოთვლილი დისტანციები ასევე კორექტირებულია მიმღებში ჩაშენებული ფორმულების მიხედვით. გარდა ამისა, მიმღები პოულობს სფეროების გადაკვეთის წერტილის კოორდინატებს თანამგზავრებში ცენტრებთან და რადიუსებთან, რომლებიც ტოლია მათთან გამოთვლილ მანძილებს. ცხადია, ეს იქნება მიმღების კოორდინატები.
მკითხველმა ალბათ იცის, რომ ფარდობითობის ფარდობითობის ზემოქმედების გამო, თანამგზავრის მაღალი სიჩქარის გამო, ორბიტაზე გატარებული დრო განსხვავდება დედამიწის დროისგან. მაგრამ მსგავსი ეფექტი ჯერ კიდევ არსებობს ფარდობითობის ზოგად თეორიაში, რომელიც დაკავშირებულია ზუსტად სივრცე-დროის არაევკლიდეს გეომეტრიასთან. ჩვენ კვლავ არ შევალთ მათემატიკური დეტალებში, რადგან ისინი საკმაოდ აბსტრაქტულია. მაგრამ, თუ ამ ეფექტების გათვალისწინებას შევწყვეტთ, მაშინ მუშაობის ერთი დღის განმავლობაში ნავიგაციის სისტემის წაკითხვებში დაგროვდება 10 კმ-ის რიგის შეცდომა.
ლობაჩევსკის გეომეტრიის ფორმულები ასევე გამოიყენება მაღალი ენერგიის ფიზიკაში, კერძოდ, დამუხტული ნაწილაკების ამაჩქარებლების გამოთვლებში. ჰიპერბოლური სივრცეები (ანუ სივრცეები, რომლებშიც ჰიპერბოლური გეომეტრიის კანონები მოქმედებს) ასევე გვხვდება ბუნებაში. მოდი მოვიყვანოთ მეტი მაგალითები:
ლობაჩევსკის გეომეტრია ჩანს მარჯნის სტრუქტურებში, მცენარეში ფიჭური სტრუქტურების ორგანიზებაში, არქიტექტურაში, ზოგიერთ ყვავილში და ა.შ. სხვათა შორის, თუ გახსოვთ, ბოლო ნომერში ვისაუბრეთ ბუნებაში ექვსკუთხედებზე და, მაშასადამე, ჰიპერბოლურ ბუნებაში, ალტერნატივაა შვიდკუთხედები, რომლებიც ასევე ფართოდ არის გავრცელებული.
ხმა მისცა მადლობა!
შეიძლება დაგაინტერესოთ:
რუსი და ბრიტანული მეცნიერების ურთიერთობისადმი მიძღვნილი მათემატიკოსი ვალენტინა კირიჩენკო PostNauka-ს ეუბნება მე-19 საუკუნის გეომეტრიის შესახებ ლობაჩევსკის იდეების რევოლუციურ ბუნებაზე.
პარალელური ხაზები ლობაჩევსკის გეომეტრიაშიც კი არ იკვეთება. ფილმებში სადღაც ხშირად შეხვდებით ფრაზას: „მაგრამ ჩვენი ლობაჩევსკის პარალელური ხაზები იკვეთება“. კარგად ჟღერს, მაგრამ ეს ასე არ არის. ნიკოლაი ივანოვიჩ ლობაჩევსკიმ მართლაც გამოიგონა უჩვეულო გეომეტრია, რომელშიც პარალელური ხაზები საკმაოდ განსხვავებულად იქცევა, ვიდრე ჩვენ შეჩვეულები ვართ. თუმცა, ისინი არ იკვეთებიან.
ჩვენ მიჩვეულები ვართ ვიფიქროთ, რომ ორი პარალელური ხაზი არ უახლოვდება და არ იხევს. ანუ პირველი ხაზის რომელი წერტილიც არ უნდა ავიღოთ, მისგან მეორე ხაზამდე მანძილი იგივეა, ის არ არის დამოკიდებული წერტილზე. მაგრამ მართლა ასეა? და რატომ არის ასე? და როგორ შეიძლება ამის გადამოწმება?
თუ ჩვენ ვსაუბრობთ ფიზიკურ ხაზებზე, მაშინ თითოეული ხაზის მხოლოდ მცირე მონაკვეთია ჩვენთვის ხელმისაწვდომი დაკვირვებისთვის. და გაზომვის შეცდომების გათვალისწინებით, ჩვენ ვერ შევძლებთ რაიმე კონკრეტული დასკვნის გაკეთებას იმის შესახებ, თუ როგორ იქცევიან ხაზები ჩვენგან ძალიან, ძალიან შორს. მსგავსი კითხვები გაჩნდა უკვე ძველ ბერძნებს შორის. III საუკუნეში ძველი ბერძენი გეომეტრი ევკლიდე ძალიან ზუსტად აცხადებდა პარალელური წრფეების ძირითად თვისებას, რომლის არც დამტკიცება და არც უარყოფა შეეძლო. ამიტომ, მან მას პოსტულატი უწოდა - განცხადება, რომელიც უნდა იქნას მიღებული რწმენაზე. ეს არის ევკლიდეს ცნობილი მეხუთე პოსტულატი: თუ სიბრტყეზე ორი სწორი ხაზი იკვეთება სეკანტს ისე, რომ შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი იყოს ორ წრფეზე ნაკლები, ანუ 180 გრადუსზე ნაკლები, მაშინ საკმარისია. გაგრძელება, ეს ორი წრფე გადაიკვეთება და სწორედ სექანტის მეორე მხარეს არის ჯამი ორ მართ კუთხზე ნაკლები.
ამ პოსტულატში საკვანძო სიტყვებია „საკმარისი გაგრძელებით“. სწორედ ამ სიტყვების გამოა, რომ პოსტულატი ემპირიულად ვერ გადამოწმდება. შესაძლოა ხაზები გადაიკვეთოს მხედველობის ხაზში. შესაძლოა 10 კილომეტრის შემდეგ ან პლუტონის ორბიტის მიღმა, ან შესაძლოა სხვა გალაქტიკაშიც კი.
ევკლიდემ გამოკვეთა თავისი პოსტულატები და მათგან ლოგიკურად მომდინარე შედეგები ცნობილ წიგნში „დასაწყისები“. რუსული სიტყვა "ელემენტები" მომდინარეობს ამ წიგნის ძველი ბერძნული სათაურიდან, ხოლო სიტყვა "ელემენტები" ლათინური სათაურიდან. ევკლიდეს ელემენტები ყველა დროის ყველაზე პოპულარული სახელმძღვანელოა. გამოცემების რაოდენობით იგი მეორე ადგილზეა მხოლოდ ბიბლიის შემდეგ.
განსაკუთრებით მინდა აღვნიშნო 1847 წლის მშვენიერი ბრიტანული გამოცემა ძალიან ვიზუალური და ლამაზი ინფოგრაფიკით. ნახატებზე მოსაწყენი აღნიშვნების ნაცვლად, იქ გამოიყენება ფერადი ნახატები - არა როგორც თანამედროვე სკოლის გეომეტრიის სახელმძღვანელოებში.
გასულ საუკუნემდე ევკლიდეს „საწყისები“ სავალდებულო იყო შესასწავლად ყველა საგანმანათლებლო პროგრამაში, რომელიც გულისხმობდა ინტელექტუალურ შემოქმედებას, ანუ არა მხოლოდ ხელობის სწავლას, არამედ რაღაც უფრო ინტელექტუალურს. ევკლიდეს მეხუთე პოსტულატის არააშკარაობამ წარმოშვა ბუნებრივი კითხვა: შესაძლებელია თუ არა მისი დამტკიცება, ანუ ლოგიკურად გამოყვანა ევკლიდეს დანარჩენი ვარაუდებიდან? ბევრი მათემატიკოსი ცდილობდა ამის გაკეთებას, ევკლიდეს თანამედროვეებიდან ლობაჩევსკის თანამედროვეებამდე. როგორც წესი, მათ მეხუთე პოსტულატი უფრო დემონსტრაციულ დებულებამდე შეამცირეს, რომლის დაჯერებაც უფრო ადვილია.
მაგალითად, მე-17 საუკუნეში ინგლისელმა მათემატიკოსმა ჯონ უოლისმა მეხუთე პოსტულატი შეამცირა შემდეგ დებულებამდე: არსებობს ორი მსგავსი, მაგრამ არათანაბარი სამკუთხედი, ანუ ორი სამკუთხედი, რომელთა კუთხეები ტოლია, მაგრამ ზომები განსხვავებულია. როგორც ჩანს, რა შეიძლება იყოს უფრო ადვილი? მოდით შევცვალოთ მასშტაბი. მაგრამ ირკვევა, რომ მასშტაბის შეცვლის უნარი ყველა კუთხისა და პროპორციის შენარჩუნებისას არის ევკლიდეს გეომეტრიის ექსკლუზიური თვისება, ანუ გეომეტრია, რომელშიც სრულდება ევკლიდეს ყველა პოსტულატი, მათ შორის მეხუთე.
მე-18 საუკუნეში შოტლანდიელმა მეცნიერმა ჯონ ფლეიფერმა გადააფორმა მეხუთე პოსტულატი იმ ფორმით, რომელშიც ის ჩვეულებრივ ჩანს თანამედროვე სასკოლო სახელმძღვანელოებში: ერთმანეთის გადამკვეთი ორი ხაზი არ შეიძლება იყოს პარალელურად მესამე სტრიქონის პარალელურად. სწორედ ამ ფორმით ჩნდება მეხუთე პოსტულატი თანამედროვე სასკოლო სახელმძღვანელოებში.
მე-19 საუკუნის დასაწყისისთვის ბევრს ჰქონდა შთაბეჭდილება, რომ მეხუთე პოსტულატის დამტკიცება მუდმივი მოძრაობის მანქანის გამოგონებას ჰგავს - სრულიად უსარგებლო სავარჯიშოს. მაგრამ არავის ჰქონდა იმის მტკიცება, რომ ევკლიდეს გეომეტრია არ იყო ერთადერთი შესაძლო: ევკლიდეს ავტორიტეტი ძალიან დიდი იყო. ასეთ ვითარებაში ლობაჩევსკის აღმოჩენები, ერთი მხრივ, ბუნებრივი იყო, მეორეს მხრივ, აბსოლუტურად რევოლუციური.
ლობაჩევსკიმ მეხუთე პოსტულატი პირდაპირ საპირისპირო განცხადებით შეცვალა. ლობაჩევსკის აქსიომა ასე ჟღერდა: თუ წერტილიდან, რომელიც არ დევს სწორ ხაზზე, გამოუშვით ყველა სხივი, რომელიც კვეთს ამ სწორ ხაზს, მაშინ მარცხნივ და მარჯვნივ ეს სხივები შემოიფარგლება ორი შემზღუდველი სხივით, რომლებიც აღარ გადაკვეთენ. სწორი ხაზი, მაგრამ უფრო და უფრო მიუახლოვდება მას. უფრო მეტიც, ამ შემზღუდველ სხივებს შორის კუთხე იქნება მკაცრად 180 გრადუსზე ნაკლები.
ლობაჩევსკის აქსიომიდან მაშინვე გამომდინარეობს, რომ წერტილის მეშვეობით, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, შეიძლება მოცემული ხაზის პარალელურად კი არა, როგორც ევკლიდესში, არამედ იმდენი, რამდენიც გინდა. მაგრამ ეს სტრიქონები განსხვავებულად იქცევიან ევკლიდესის ხაზებისგან. მაგალითად, თუ გვაქვს ორი პარალელური წრფე, მაშინ მათ შეუძლიათ ჯერ მიახლოება და შემდეგ დაშორება. ანუ მანძილი პირველი ხაზის წერტილიდან მეორე ხაზამდე იქნება დამოკიდებული წერტილზე. განსხვავებული იქნება სხვადასხვა პუნქტისთვის.
ლობაჩევსკის გეომეტრია ეწინააღმდეგება ჩვენს ინტუიციას ნაწილობრივ იმის გამო, რომ მცირე დისტანციებზე, რომელსაც ჩვენ ჩვეულებრივ ვუკავშირდებით, ძალიან ცოტა განსხვავდება ევკლიდეს გეომეტრიისგან. ანალოგიურად, ჩვენ აღვიქვამთ დედამიწის ზედაპირის გამრუდებას. როცა სახლიდან მაღაზიამდე მივდივართ, გვეჩვენება, რომ სწორი ხაზით მივდივართ, დედამიწა კი ბრტყელია. მაგრამ თუ ჩვენ მივფრინავთ, ვთქვათ, მოსკოვიდან მონრეალში, მაშინ უკვე შევამჩნევთ, რომ თვითმფრინავი დაფრინავს წრის რკალის გასწვრივ, რადგან ეს არის უმოკლესი გზა დედამიწის ზედაპირზე ორ წერტილს შორის. ანუ ჩვენ ვამჩნევთ, რომ დედამიწა ფეხბურთის ბურთს უფრო ჰგავს, ვიდრე ბლინს.
ლობაჩევსკის გეომეტრია ფეხბურთის ბურთის დახმარებითაც შეიძლება ილუსტრირებული იყოს, მაგრამ არა ჩვეულებრივი, არამედ ჰიპერბოლური. ჰიპერბოლური ფეხბურთის ბურთი ერთმანეთზეა მიმაგრებული, როგორც ჩვეულებრივი. მხოლოდ ჩვეულებრივ ბურთში თეთრი ექვსკუთხედებია წებოვანი შავ ხუთკუთხედებზე, ხოლო ჰიპერბოლურ ბურთში ხუთკუთხედების ნაცვლად უნდა გააკეთოთ შვიდკუთხედები და ასევე ექვსკუთხედებით დააწებოთ. ამ შემთხვევაში, გამოდის, რა თქმა უნდა, არა ბურთი, არამედ უნაგირ. და ამ უნაგირზე რეალიზებულია ლობაჩევსკის გეომეტრია.
ლობაჩევსკი სცადა ეთქვა თავისი აღმოჩენების შესახებ 1826 წელს ყაზანის უნივერსიტეტში. მაგრამ მოხსენების ტექსტი არ შემორჩენილა. 1829 წელს მან გამოაქვეყნა სტატია თავისი გეომეტრიის შესახებ საუნივერსიტეტო ჟურნალში. ლობაჩევსკის შედეგები ბევრს უაზრო მოეჩვენა - არა მხოლოდ იმიტომ, რომ მათ გაანადგურეს სამყაროს ჩვეულებრივი სურათი, არამედ იმიტომ, რომ ისინი არ იყო წარმოდგენილი ყველაზე გასაგებად.
თუმცა, ლობაჩევსკის ჰქონდა პუბლიკაციები მაღალი რანგის ჟურნალებში, როგორც მათ დღეს ვუწოდებთ. მაგალითად, 1836 წელს მან გამოაქვეყნა სტატია ფრანგულ ენაზე სათაურით "წარმოსახვითი გეომეტრია" ცნობილ ჟურნალში Krell, იმავე ნომერში, როგორც იმ დროის ყველაზე ცნობილი მათემატიკოსების - დირიხლეს, შტაინერის და იაკობის სტატიები. და 1840 წელს ლობაჩევსკიმ გამოაქვეყნა პატარა და ძალიან ნათლად დაწერილი წიგნი სახელწოდებით გეომეტრიული კვლევა პარალელური ხაზების თეორიის შესახებ. წიგნი გერმანულად იყო და გამოიცა გერმანიაში. იყო დამანგრეველი მიმოხილვაც. რეფერენტი განსაკუთრებით დასცინოდა ლობაჩევსკის ფრაზას: „რაც უფრო გავაგრძელებთ ხაზებს მათი პარალელურობის მიმართულებით, მით უფრო უახლოვდებიან ერთმანეთს“. „მხოლოდ ეს განცხადება, - წერდა რეცენზენტი, - უკვე საკმარისად ახასიათებს ბ-ნი ლობაჩევსკის შემოქმედებას და ათავისუფლებს რეცენზენტს შემდგომი შეფასების საჭიროებისგან.
მაგრამ წიგნს ერთი მიუკერძოებელი მკითხველიც ჰყავდა. ეს იყო კარლ ფრიდრიხ გაუსი, ასევე ცნობილი, როგორც მათემატიკოსთა მეფე, ისტორიაში ერთ-ერთი უდიდესი მათემატიკოსი. ერთ-ერთ წერილში ლობაჩევსკის წიგნს ძალიან აფასებდა. მაგრამ მისი მიმოხილვა გამოქვეყნდა მხოლოდ მისი გარდაცვალების შემდეგ, დანარჩენ მიმოწერასთან ერთად. და სწორედ მაშინ დაიწყო ლობაჩევსკის გეომეტრიის ნამდვილი ბუმი.
1866 წელს მისი წიგნი ითარგმნა ფრანგულად, შემდეგ ინგლისურად. მეტიც, ინგლისური გამოცემა არაჩვეულებრივი პოპულარობის გამო კიდევ სამჯერ დაიბეჭდა. სამწუხაროდ, ლობაჩევსკიმ ამ დრომდე ვერ გაუძლო. გარდაიცვალა 1856 წელს. და 1868 წელს გამოჩნდა ლობაჩევსკის წიგნის რუსული გამოცემა. იგი გამოიცა არა როგორც წიგნი, არამედ სტატიის სახით უძველეს რუსულ ჟურნალში Mathematical Collection. მაგრამ მაშინ ეს ჟურნალი ძალიან ახალგაზრდა იყო, ჯერ კიდევ ორი წლის არ იყო. მაგრამ უფრო ცნობილია 1945 წლის რუსული თარგმანი, რომელიც შესრულებული იყო შესანიშნავი რუსი და საბჭოთა გეომეტრის ვენიამინ ფედოროვიჩ კაგანის მიერ.
მე-19 საუკუნის ბოლოს მათემატიკოსები ორ ბანაკად გაიყვეს. ზოგიერთმა მაშინვე მიიღო ლობაჩევსკის შედეგები და დაიწყო მისი იდეების შემდგომი განვითარება. და სხვებმა ვერ დათმეს რწმენა, რომ ლობაჩევსკის გეომეტრია აღწერს იმას, რაც არ არსებობს, ანუ ევკლიდეს გეომეტრია ერთადერთი ჭეშმარიტია და სხვა არაფერი შეიძლება იყოს. სამწუხაროდ, ამ უკანასკნელში შედიოდა მათემატიკოსი, უფრო ცნობილი, როგორც ავტორი ალისა საოცრებათა ქვეყანაში, ლუის კეროლი. მისი ნამდვილი სახელია ჩარლზ დოჯსონი. 1890 წელს მან გამოაქვეყნა სტატია სათაურით "პარალელების ახალი თეორია", სადაც იცავდა მეხუთე პოსტულატის უკიდურესად საილუსტრაციო ვერსიას. ლუის კეროლის აქსიომა ასე ჟღერს: თუ რეგულარული ოთხკუთხედი ჩაწერილია წრეში, მაშინ ამ ოთხკუთხედის ფართობი მკაცრად აღემატება წრის რომელიმე მონაკვეთის ფართობს, რომელიც დევს. ოთხკუთხედის გარეთ. ლობაჩევსკის გეომეტრიაში ეს აქსიომა სიმართლეს არ შეესაბამება. თუ საკმარისად დიდ წრეს ავიღებთ, მაშინ რა ოთხკუთხედიც არ უნდა ჩავწეროთ მასში, რამდენიც არ უნდა იყოს ამ ოთხკუთხედის გვერდები, ოთხკუთხედის ფართობი შემოიფარგლება უნივერსალური ფიზიკური მუდმივით. ზოგადად, ფიზიკური მუდმივების და სიგრძის უნივერსალური ზომების არსებობა არის ხელსაყრელი განსხვავება ლობაჩევსკის გეომეტრიასა და ევკლიდეს გეომეტრიას შორის.
მაგრამ არტურ კეილი, კიდევ ერთი ცნობილი ინგლისელი მათემატიკოსი, 1859 წელს, ანუ ლობაჩევსკის გარდაცვალებიდან მხოლოდ სამი წლის შემდეგ, გამოაქვეყნა სტატია, რომელიც მოგვიანებით დაეხმარა ლობაჩევსკის პოსტულატის დაკანონებას. საინტერესოა, რომ კეილი იმ დროს ლონდონში ადვოკატად მუშაობდა და მხოლოდ ამის შემდეგ მიიღო პროფესორის წოდება კემბრიჯში. ფაქტობრივად, კეილიმ ააგო ლობაჩევსკის გეომეტრიის პირველი მოდელი, თუმცა მან, ერთი შეხედვით, სრულიად განსხვავებული პრობლემა გადაჭრა.
და კიდევ ერთი შესანიშნავი ინგლისელი მათემატიკოსი, რომლის სახელი იყო უილიამ კინგდონ კლიფორდი, ღრმად იყო გამსჭვალული ლობაჩევსკის იდეებით. და კერძოდ, მან პირველმა გამოთქვა აზრი ფარდობითობის ზოგადი თეორიის შექმნამდე დიდი ხნით ადრე, რომ გრავიტაცია გამოწვეულია სივრცის გამრუდებით. კლიფორდმა შეაქო ლობაჩევსკის ღვაწლი მეცნიერებაში მეცნიერების ფილოსოფიის შესახებ ერთ-ერთ ლექციაში: „ლობაჩევსკი გახდა ევკლიდესთვის ის, რაც კოპერნიკი გახდა პტოლემეოსისთვის“. თუ ადრე კოპერნიკი თვლიდა, რომ ჩვენ ყველაფერი ვიცით სამყაროს შესახებ, ახლა ჩვენთვის ნათელია, რომ სამყაროს მხოლოდ მცირე ნაწილს ვაკვირდებით. ანალოგიურად, ლობაჩევსკიმდე კაცობრიობა თვლიდა, რომ მხოლოდ ერთი გეომეტრია არსებობდა - ევკლიდე, მის შესახებ ყველაფერი დიდი ხანია ცნობილია. ახლა ჩვენ ვიცით, რომ არსებობს მრავალი გეომეტრია, მაგრამ ჩვენ ვიცით ყველა მათგანისგან შორს.
ლობაჩევსკის გეომეტრიის თეორემები
1. ლობაჩევსკის გეომეტრიის ძირითადი ცნებები
ევკლიდეს გეომეტრიაში, მეხუთე პოსტულატის მიხედვით, სიბრტყეზე წერტილის გავლისას R,ხაზის გარეთ იწვა ᲐᲐ,არის მხოლოდ ერთი სწორი ხაზი B"B,არ იკვეთება ᲐᲐ.პირდაპირ B"B"პარალელურად წოდებული ა"ა-მდე.საკმარისია მოვითხოვოთ, რომ არსებობდეს მაქსიმუმ ერთი ასეთი ხაზი, რადგან არაგადაკვეთის ხაზების არსებობა შეიძლება დადასტურდეს თანმიმდევრული ხაზებით. PQA"Aდა PBPQ.ლობაჩევსკის გეომეტრიაში პარალელიზმის აქსიომა მოითხოვს, რომ გაიაროს წერტილი რგაიარა ერთზე მეტი სწორი ხაზი, რომელიც არ იკვეთებოდა ᲐᲐ.
გადამკვეთი ხაზები ავსებს ფანქრის ნაწილს წვერით R,იწვა წყვილი ვერტიკალური კუთხის შიგნით TPUდა U"PT", განლაგებულია სიმეტრიულად პერპენდიკულარულის შესახებ პ.ქ.ხაზები, რომლებიც ქმნიან ვერტიკალური კუთხის გვერდებს, გამოყოფენ გადამკვეთ ხაზებს არაგადამკვეთისაგან და თავადაც არ იკვეთებიან. ამ სასაზღვრო ხაზებს ე.წ პარალელები P წერტილში სწორ ხაზთან ᲐᲐშესაბამისად ორი მიმართულებით: T "Tპარალელურად ᲐᲐმიმართულებით ᲐᲐ,ა UU"პარალელურად ᲐᲐმიმართულებით ᲐᲐ".სხვა არაგადაკვეთის ხაზები ეწოდება განსხვავებული ხაზები თან ᲐᲐ.
ინექცია , 0< რაყალიბებს პერპენდიკულარულს pQ, QPT=QPU"=,დაურეკა პარალელურობის კუთხე სეგმენტი PQ=aდა აღინიშნება . ზე a=0კუთხე =/2; მატებასთან ერთად აკუთხე მცირდება ისე, რომ თითოეული მოცემულისთვის არის 0<ა.ამ დამოკიდებულებას ე.წ ლობაჩევსკის ფუნქცია :
P(a)=2arctg (),
სადაც რომ-- ზოგიერთი მუდმივი, რომელიც განსაზღვრავს მნიშვნელობით დაფიქსირებულ სეგმენტს. მას ლობაჩევსკის სივრცის გამრუდების რადიუსი ეწოდება. სფერული გეომეტრიის მსგავსად, არსებობს ლობაჩევსკის სივრცეების უსასრულო ნაკრები, რომლებიც განსხვავდება სიდიდით. რომ.
სიბრტყეში ორი განსხვავებული სწორი ხაზი ქმნის წყვილს სამი ტიპისგან.
გადაკვეთის ხაზები . მანძილი ერთი ხაზის წერტილებიდან მეორე წრფემდე იზრდება განუსაზღვრელი ვადით, როდესაც წერტილი შორდება ხაზების გადაკვეთას. თუ ხაზები არ არის პერპენდიკულარული, მაშინ თითოეული ორთოგონალურად არის დაპროექტებული მეორეზე სასრული ზომის ღია სეგმენტში.
Პარალელური ხაზები . სიბრტყეში მოცემული წერტილის გავლით არის მოცემული სწორი ხაზის პარალელურად ერთი სწორი ხაზი ამ უკანასკნელზე მოცემული მიმართულებით. პარალელურად ერთ წერტილში რინარჩუნებს თავის თითოეულ წერტილში თვისებას, იყოს იმავე წრფის პარალელურად იმავე მიმართულებით. პარალელიზმი ორმხრივია (თუ ა||ბგარკვეული მიმართულებით, მაშინ ბ||აშესაბამისი მიმართულებით) და ტრანზიტულობა (თუ ა||ბდა ||-ით ბმაშინ ერთი მიმართულებით ა||გშესაბამისი მიმართულებით). პარალელიზმის მიმართულებით, პარალელები უახლოვდებიან განუსაზღვრელად, საპირისპირო მიმართულებით ისინი განუსაზღვრელი დროით შორდებიან (ერთი სწორი ხაზის მოძრავი წერტილიდან მეორე სწორ ხაზამდე მანძილის მნიშვნელობით). ერთი ხაზის ორთოგონალური პროექცია მეორეზე არის ღია ნახევარხაზი.
განსხვავებული ხაზები . მათ აქვთ ერთი საერთო პერპენდიკულარი, რომლის სეგმენტი იძლევა მინიმალურ მანძილს. პერპენდიკულარულის ორივე მხარეს, ხაზები განუსაზღვრელი ვადით განსხვავდება. თითოეული ხაზი დაპროექტებულია მეორეზე სასრული ზომის ღია სეგმენტში.
სამი ტიპის ხაზი შეესაბამება სიბრტყეზე სამი ტიპის ხაზების ფანქარს, რომელთაგან თითოეული მოიცავს მთელ სიბრტყეს: 1 ტიპის სხივი არის ყველა წრფის ერთობლიობა, რომელიც გადის ერთ წერტილში ( ცენტრისხივი); მე-2 ტიპის სხივი არის ყველა წრფის სიმრავლე ერთი წრფის პერპენდიკულარული ( ბაზასხივი); მე-3 სახის სხივი არის მოცემული მიმართულებით ერთი ხაზის პარალელურად ყველა წრფის სიმრავლე, ამ წრფის ჩათვლით.
ამ სხივების სწორი ხაზების ორთოგონალური ტრაექტორიები ქმნიან ევკლიდეს სიბრტყის წრის ანალოგებს: წრესწორი გაგებით; თანაბარი მანძილი , ან ხაზი თანაბარი დისტანციებზე (თუ არ გაითვალისწინებთ ფუძეს), რომელიც ძირის მიმართ არის ჩაზნექილი; ლიმიტის ხაზი , ან ჰოროციკლი, ის შეიძლება ჩაითვალოს წრედ უსასრულოდ შორეული ცენტრით. ლიმიტის ხაზები თანმიმდევრულია. ისინი არ არიან დახურული და ჩაზნექილი არიან პარალელიზმისკენ. ერთი შეკვრის მიერ წარმოქმნილი ორი ზღვრული ხაზი კონცენტრულია (თანაბარი სეგმენტები ამოჭრილია შეკვრის სწორ ხაზებზე). სხივის ორ სწორ ხაზს შორის ჩასმული კონცენტრული რკალების სიგრძის თანაფარდობა მცირდება პარალელიზმისკენ, როგორც მანძილის ექსპონენციალური ფუნქცია. Xრკალებს შორის:
s" / s=e.
წრის თითოეულ ანალოგს შეუძლია თავის თავზე სრიალება, რაც წარმოშობს სიბრტყის სამი ტიპის ერთპარამეტრულ მოძრაობას: ბრუნვა საკუთარი ცენტრის გარშემო; როტაცია იდეალური ცენტრის გარშემო (ერთი ტრაექტორია არის ფუძე, დანარჩენი თანაბარი მანძილია); როტაცია უსასრულოდ შორეული ცენტრის გარშემო (ყველა ტრაექტორია არის ზღვრული ხაზი).
წრის ანალოგების როტაცია გენერატორი ფანქრის სწორი ხაზის გარშემო იწვევს სფეროს ანალოგებს: შესაბამისი სფერო, თანაბარი მანძილის ზედაპირი და ჰოროსფერო, ან მარგინალური ზედაპირები .
სფეროზე დიდი წრეების გეომეტრია არის ჩვეულებრივი სფერული გეომეტრია; თანაბარი მანძილების ზედაპირზე - თანაბარი გეომეტრია, რომელიც არის ლობაჩევსკის პლანიმეტრია, მაგრამ უფრო დიდი მნიშვნელობით მდე;ზღვრულ ზედაპირზე, ზღვრული ხაზების ევკლიდური გეომეტრია.
სასაზღვრო ხაზების რკალის სიგრძეებსა და აკორდებს შორის კავშირი და ევკლიდური ტრიგონომეტრიული ურთიერთობები ზღვრულ ზედაპირზე შესაძლებელს ხდის სიბრტყეზე ტრიგონომეტრიული მიმართებების გამოტანას, ანუ მართკუთხა სამკუთხედების ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოტანას.
2. ლობაჩევსკის გეომეტრიის ზოგიერთი თეორემა
თეორემა 1. ნებისმიერი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი 2დ-ზე ნაკლებია.
ჯერ განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი ABC (ნახ. 2). მისი მხარეები ა, ბ, გგამოსახულია შესაბამისად ევკლიდეს წრფის პერპენდიკულარული სეგმენტი და, ევკლიდეს წრის რკალი ცენტრით მდა ევკლიდეს წრის რკალები ცენტრით ნ. ინექცია თან-- პირდაპირ. ინექცია მაგრამწრეების ტანგენტებს შორის კუთხის ტოლი ბდა თანწერტილში მაგრამ, ან, რაც იგივეა, რადიუსებს შორის კუთხე NAდა MAეს წრეები. ბოლოს და ბოლოს, B = BNM.
მოდით ავაშენოთ სეგმენტზე BNროგორც ევკლიდეს წრის დიამეტრზე q;მას აქვს გარშემოწერილობა თანერთი საერთო წერტილი AT, ვინაიდან მისი დიამეტრი არის წრის რადიუსი თან. ამიტომ, წერტილი მაგრამწევს წრის მიღმა შემოსაზღვრული წრის q,აქედან გამომდინარე,
A = კაცი< MBN.
აქედან გამომდინარე, თანასწორობის გამო MBN+B = დჩვენ გვაქვს:
A + B< d; (1)
ასე რომ A+B+C< 2d, что и требовалось доказать.
გაითვალისწინეთ, რომ სათანადო ჰიპერბოლური მოძრაობით, ნებისმიერი მართკუთხა სამკუთხედი შეიძლება განლაგდეს ისე, რომ მისი ერთ-ერთი ფეხი იყოს ევკლიდესზე პერპენდიკულარულად წრფეზე. და;მაშასადამე, მეთოდი, რომელიც ჩვენ გამოვიყენეთ უტოლობის გამოსატანად (1) გამოიყენება ნებისმიერ მართკუთხა სამკუთხედზე.
თუ ირიბი სამკუთხედი მოცემულია, მაშინ მას ერთ-ერთ სიმაღლეზე ვყოფთ ორ მართკუთხა სამკუთხედად. ამ მართკუთხა სამკუთხედების მახვილი კუთხეების ჯამი უდრის მოცემული ირიბი სამკუთხედის კუთხეების ჯამს. აქედან გამომდინარე, უთანასწორობის გათვალისწინებით (1) , დავასკვნით, რომ თეორემა მოქმედებს ნებისმიერი სამკუთხედისთვის.
თეორემა 2 . ოთხკუთხედის კუთხეების ჯამი 4დ-ზე ნაკლებია.
ამის დასამტკიცებლად საკმარისია დიაგონალის მქონე ოთხკუთხედი ორ სამკუთხედად გავყოთ.
თეორემა 3 . ორ განსხვავებულ წრფეს აქვს ერთი და მხოლოდ ერთი საერთო პერპენდიკულარი.
მოდით, ერთ-ერთი ამ განსხვავებული სწორი ხაზი იყოს გამოსახული რუკაზე, როგორც ევკლიდეს პერპენდიკულარი რსწორ ხაზზე დაწერტილში მ, მეორე არის ევკლიდეს ნახევარწრის სახით ქორიენტირებული და, და რდა ქარ აქვთ საერთო წერტილები (ნახ. 3). რუკაზე ორი განსხვავებული ჰიპერბოლური ხაზის ასეთი განლაგება ყოველთვის შესაძლებელია სათანადო ჰიპერბოლური მოძრაობით.
დავხარჯოთ ეხლა მევკლიდეს ტანგენსი MNრომ ქდა აღწერეთ ცენტრიდან მრადიუსი MNევკლიდეს ნახევარწრე მ. გასაგებია რომ მ--ჰიპერბოლური ხაზის გადამკვეთი და რდა ქსწორი კუთხით. აქედან გამომდინარე, მასახავს რუკაზე მოცემული განსხვავებული სწორი ხაზების საჭირო საერთო პერპენდიკულარს.
ორ განსხვავებულ წრფეს არ შეიძლება ჰქონდეს ორი საერთო პერპენდიკულარი, რადგან ამ შემთხვევაში იქნება ოთხკუთხედი ოთხი მართი კუთხით, რაც ეწინააღმდეგება თეორემა 2-ს.
. თეორემა 4. მწვავე კუთხის გვერდის მართკუთხა პროექცია მის მეორე მხარეს არის სეგმენტი(და არა ნახევარხაზი, როგორც ევკლიდეს გეომეტრიაში).
თეორემის მართებულობა აშკარაა ნახ. 4, სადაც სეგმენტი ABარის გვერდის მართკუთხა პროექცია ABმწვავე კუთხე შენმის მხარეს ას.
იმავე ფიგურაში რკალი DEევკლიდეს წრე ცენტრით მარის ჰიპერბოლური ხაზის პერპენდიკულარული AC. ეს პერპენდიკულარი არ იკვეთება დახრილთან AB.მაშასადამე, ვარაუდი, რომ ერთსა და იმავე წრფეზე პერპენდიკულარული და ირიბი ყოველთვის იკვეთება, ეწინააღმდეგება ლობაჩევსკის პარალელურობის აქსიომას; ის ევკლიდეს პარალელურობის აქსიომას უტოლდება.
თეორემა 5. თუ ABC სამკუთხედის სამი კუთხე ტოლია, შესაბამისად, A, B, C სამკუთხედის სამი კუთხით, მაშინ ეს სამკუთხედები კონგრუენტულია.
ჩავთვალოთ საპირისპირო და გადადეთ, შესაბამისად, სხივებზე ABდა ACსეგმენტები AB \u003d A "B", AC \u003d A "C".აშკარად სამკუთხედები. ABCდა A"B"C"ტოლია ორ მხარეს და კუთხე მათ შორის. Წერტილი ბარ ემთხვევა AT, წერტილი Cარ ემთხვევა თან, ვინაიდან რომელიმე ამ შემთხვევაში ამ სამკუთხედების ტოლობა იქნებოდა, რაც ეწინააღმდეგება ვარაუდს.
განიხილეთ შემდეგი შესაძლებლობები.
ა) B წერტილი დევს შორის მაგრამდა AT, წერტილი თან-- შორის მაგრამდა თან(სურ. 5); ამ და შემდეგ ფიგურაში ჰიპერბოლური ხაზები პირობითად არის გამოსახული ევკლიდეს ხაზებად). მარტივია იმის შემოწმება, რომ ოთხკუთხედის კუთხეების ჯამი SSNEუდრის 4d, რაც შეუძლებელია მე-2 თეორემის გამო.
6) წერტილი ATშორის დევს მაგრამდა AT, წერტილი თან-- შორის მაგრამდა თან(ნახ. 6). აღნიშნეთ მიერ დსეგმენტების გადაკვეთის წერტილი მზედა ძვ.წროგორც C=C"და C" \u003d C,მაშინ C=თან , რაც შეუძლებელია, რადგან კუთხე C გარეა სამკუთხედის CCD.
სხვა შესაძლო შემთხვევებს ანალოგიურად მკურნალობენ.
თეორემა დამტკიცებულია, რადგან დაშვებულმა ვარაუდმა გამოიწვია წინააღმდეგობა.
თეორემა 5-დან გამომდინარეობს, რომ ლობაჩევსკის გეომეტრიაში არ არის მოცემული სამკუთხედის მსგავსი, მაგრამ არა ტოლი სამკუთხედი.
