ტიპის განტოლება ვ(x; ა) = 0 ეწოდება ცვლადი განტოლება Xდა პარამეტრი ა.
ამოხსენით განტოლება პარამეტრით აეს ნიშნავს, რომ ყველა ღირებულებისთვის აიპოვნეთ ღირებულებები Xაკმაყოფილებს ამ განტოლებას.
მაგალითი 1 ოჰ= 0
მაგალითი 2 ოჰ = ა
მაგალითი 3
x + 2 = ცული
x - ცული \u003d -2
x (1 - a) \u003d -2
თუ 1 - ა= 0, ე.ი. ა= 1, მაშინ X 0 = -2 ფესვების გარეშე
თუ 1 - ა 0, ე.ი. ა 1, მაშინ X =
მაგალითი 4
(ა 2 – 1) X = 2ა 2 + ა – 3
(ა – 1)(ა + 1)X = 2(ა – 1)(ა – 1,5)
(ა – 1)(ა + 1)X = (1ა – 3)(ა – 1)
Თუ ა= 1, შემდეგ 0 X = 0
X- ნებისმიერი რეალური ნომერი
Თუ ა= -1, შემდეგ 0 X = -2
ფესვების გარეშე
Თუ ა 1, ა-1 მაშინ X= (ერთადერთი გამოსავალი).
ეს ნიშნავს, რომ ყველა მოქმედი მნიშვნელობისთვის აშეესაბამება ერთ მნიშვნელობას X.
Მაგალითად:
თუ ა= 5, მაშინ X = = ;
თუ ა= 0, მაშინ X= 3 და ა.შ.
დიდაქტიკური მასალა
1. ოჰ = X + 3
2. 4 + ოჰ = 3X – 1
3. ა = +
ზე ა= 1 ფესვები არ არის.
ზე ა= 3 ფესვების გარეშე.
ზე ა = 1 Xნებისმიერი რეალური რიცხვი გარდა X = 1
ზე ა = -1, ა= 0 არ არის გადაწყვეტილებები.
ზე ა = 0, ა= 2 გადაწყვეტილებების გარეშე.
ზე ა = -3, ა = 0, 5, ა= -2 ხსნარის გარეშე
ზე ა = -თან, თან= 0 არ არის გადაწყვეტილებები.
კვადრატული განტოლებები პარამეტრით
მაგალითი 1განტოლების ამოხსნა
(ა – 1)X 2 = 2(2ა + 1)X + 4ა + 3 = 0
ზე ა = 1 6X + 7 = 0
Როდესაც ა 1 აირჩიეთ პარამეტრის ის მნიშვნელობები, რისთვისაც დმიდის ნულამდე.
D = (2(2 ა + 1)) 2 – 4(ა – 1)(4ა + 30 = 16ა 2 + 16ა + 4 – 4(4ა 2 + 3ა – 4ა – 3) = 16ა 2 + 16ა + 4 – 16ა 2 + 4ა + 12 = 20ა + 16
20ა + 16 = 0
20ა = -16
Თუ ა < -4/5, то დ < 0, уравнение имеет действительный корень.
Თუ ა> -4/5 და ა 1, მაშინ დ > 0,
X = 
Თუ ა= 4/5, მაშინ დ = 0,
მაგალითი 2პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეა განტოლება
x 2 + 2( ა + 1)X + 9ა– 5 = 0-ს აქვს 2 განსხვავებული უარყოფითი ფესვი?
D = 4( ა + 1) 2 – 4(9ა – 5) = 4ა 2 – 28ა + 24 = 4(ა – 1)(ა – 6)
4(ა – 1)(ა – 6) > 0
ტ.ვიეტას მიხედვით: X 1 + X 2 = -2(ა + 1)
X 1 X 2 = 9ა – 5
პირობით X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(ა + 1) < 0 и 9ა – 5 > 0
| საბოლოოდ | 4(ა – 1)(ა – 6) > 0 - 2(ა + 1) < 0 9ა – 5 > 0 |
ა < 1: а > 6 ა > - 1 ა > 5/9 |
 (ბრინჯი. ერთი) < ა < 1, либо ა > 6 |
მაგალითი 3იპოვეთ ღირებულებები არომლის ამონახსნი აქვს ამ განტოლებას.
x 2 - 2 ( ა – 1)X + 2ა + 1 = 0
D = 4( ა – 1) 2 – 4(2ა + 10 = 4ა 2 – 8ა + 4 – 8ა – 4 = 4ა 2 – 16ა
4ა 2 – 16 0
4ა(ა – 4) 0
ა ( ა – 4)) 0
ა ( ა – 4) = 0
a = 0 ან ა – 4 = 0
ა = 4
(ბრინჯი. 2)
პასუხი: ა 0 და ა 4
დიდაქტიკური მასალა
1. რა ღირებულებით აგანტოლება ოჰ 2 – (ა + 1) X + 2ა– 1 = 0 აქვს ერთი ფესვი?
2. რა ღირებულებით აგანტოლება ( ა + 2) X 2 + 2(ა + 2)X+ 2 = 0 აქვს ერთი ფესვი?
3. a-ს რა მნიშვნელობებისთვის არის განტოლება ( ა 2 – 6ა + 8) X 2 + (ა 2 – 4) X + (10 – 3ა – ა 2) = 0-ს აქვს ორზე მეტი ფესვი?
4. 2 განტოლების რა მნიშვნელობებისთვის X 2 + X – ა= 0-ს აქვს მინიმუმ ერთი საერთო ფესვი 2 განტოლებით X 2 – 7X + 6 = 0?
5. a-ს რომელ მნიშვნელობებზე კეთდება განტოლებები X 2 +ოჰ+ 1 = 0 და X 2 + X + ა= 0 აქვს მინიმუმ ერთი საერთო ფესვი?
1. როცა ა = - 1/7, ა = 0, ა = 1
2. როცა ა = 0
3. როცა ა = 2
4. როცა ა = 10
5. როცა ა = - 2
ექსპონენციალური განტოლებები პარამეტრით
მაგალითი 1.იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა ა, რისთვისაც განტოლება
9 x - ( ა+ 2) * 3 x-1 / x +2 ა*3 -2/x = 0 (1) აქვს ზუსტად ორი ფესვი.
გადაწყვეტილება. გამრავლებით (1) განტოლების ორივე მხარე 3 2/x-ზე, მივიღებთ ეკვივალენტურ განტოლებას
3 2(x+1/x) – ( ა+ 2) * 3 x + 1 / x + 2 ა = 0 (2)
მოდით 3 x+1/x = ზე, მაშინ განტოლება (2) იღებს ფორმას ზე 2 – (ა + 2)ზე + 2ა= 0, ან
(ზე – 2)(ზე – ა) = 0, საიდანაც ზე 1 =2, ზე 2 = ა.
Თუ ზე= 2, ე.ი. 3 x + 1/x = 2 მაშინ X + 1/X= ჟურნალი 3 2, ან X 2 – Xჟურნალი 3 2 + 1 = 0.
ამ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები, რადგან ის დ= ჟურნალი 2 3 2 – 4< 0.
Თუ ზე = ა, ე.ი. 3 x+1/x = ამაშინ X + 1/X= ჟურნალი 3 ა, ან X 2 –Xჟურნალი 3 a + 1 = 0. (3)
განტოლებას (3) აქვს ზუსტად ორი ფესვი, თუ და მხოლოდ თუ
D = log 2 3 2 – 4 > 0, ან |log 3 a| > 2.
თუ ჟურნალი 3 a > 2, მაშინ ა> 9 და თუ ჟურნალი 3 ა< -2, то 0 < ა < 1/9.
პასუხი: 0< ა < 1/9, ა > 9.
მაგალითი 2. განტოლების რა მნიშვნელობებზეა 2 2x - ( ა - 3) 2 x - 3 ა= 0 აქვს ამონახსნები?
მოცემულ განტოლებას რომ ჰქონდეს ამონახსნები, აუცილებელია და საკმარისია, რომ განტოლება ტ 2 – (ა - 3) ტ – 3ა= 0 აქვს მინიმუმ ერთი დადებითი ფესვი. მოდით ვიპოვოთ ფესვები ვიეტას თეორემის გამოყენებით: X 1 = -3, X 2 = ა = >
a დადებითი რიცხვია.
პასუხი: როდის ა > 0
დიდაქტიკური მასალა
1. იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომლის განტოლებაც
25 x - (2 ა+ 5) * 5 x-1 / x + 10 ა* 5 -2/x = 0 აქვს ზუსტად 2 ამონახსნი.
2. a-ს რომელ მნიშვნელობებს ეხება განტოლება
2 (a-1) x? + 2 (a + 3) x + a \u003d 1/4 აქვს ერთი ფესვი?
3. პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის განტოლება
4 x - (5 ა-3) 2 x +4 ა 2 – 3ა= 0 აქვს უნიკალური გადაწყვეტა?
ლოგარითმული განტოლებები პარამეტრით
მაგალითი 1იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა, რისთვისაც განტოლება
ჟურნალი 4x (1 + ოჰ) = 1/2 (1)
აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.
გადაწყვეტილება. განტოლება (1) განტოლების ტოლფასია
1 + ოჰ = 2Xზე X > 0, X 1/4 (3)
X = ზე
ან 2 - ზე + 1 = 0 (4)
(2) პირობა (3) არ არის დაკმაყოფილებული.
დაე იყოს ა 0, მაშინ ან 2 – 2ზე+ 1 = 0-ს აქვს რეალური ფესვები თუ და მხოლოდ თუ დ = 4 – 4ა 0, ე.ი. ზე ა 1. (3) უტოლობის ამოსახსნელად ვაშენებთ ფუნქციების გრაფიკებს გალიცკი მ.ლ., მოშკოვიჩ მ.მ., შვარცბურდი ს.ი.ალგებრის კურსის სიღრმისეული შესწავლა და მათემატიკური ანალიზი. - მ.: განმანათლებლობა, 1990 წ
რომ ამოცანები პარამეტრითმოიცავს, მაგალითად, წრფივი და კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ძიებას ზოგადი ფორმით, არსებული ფესვების რაოდენობის განტოლების შესწავლას, პარამეტრის მნიშვნელობიდან გამომდინარე.
დეტალური განმარტებების მიცემის გარეშე, განიხილეთ შემდეგი განტოლებები მაგალითებად:
y = kx, სადაც x, y არის ცვლადები, k არის პარამეტრი;
y = kx + b, სადაც x, y არის ცვლადები, k და b არის პარამეტრები;
ax 2 + bx + c = 0, სადაც x არის ცვლადები, a, b და c არის პარამეტრები.
განტოლების (უტოლობა, სისტემა) პარამეტრით ამოხსნა ნიშნავს, როგორც წესი, განტოლებათა უსასრულო სიმრავლის ამოხსნას (უტოლობა, სისტემები).
პარამეტრის მქონე ამოცანები პირობითად შეიძლება დაიყოს ორ ტიპად:
ა)პირობა ამბობს: გადაწყვიტე განტოლება (უტოლობა, სისტემა) - ეს ნიშნავს, რომ პარამეტრის ყველა მნიშვნელობისთვის იპოვეთ ყველა ამონახსნები. თუ ერთი შემთხვევა მაინც რჩება შეუსწავლელი, ასეთი გამოსავალი არ შეიძლება ჩაითვალოს დამაკმაყოფილებლად.
ბ)საჭიროა მიუთითოთ იმ პარამეტრის შესაძლო მნიშვნელობები, რომლისთვისაც განტოლებას (უტოლობა, სისტემა) აქვს გარკვეული თვისებები. მაგალითად, მას აქვს ერთი ამონახსნი, არ აქვს ამონახსნები, აქვს ამონახსნები, რომლებიც მიეკუთვნება ინტერვალს და ა.შ. ასეთ ამოცანებში აუცილებელია მკაფიოდ მიეთითოს პარამეტრის რა მნიშვნელობაზეა დაკმაყოფილებული საჭირო პირობა.
პარამეტრს, როგორც უცნობი ფიქსირებული რიცხვი, აქვს, თითქოს, განსაკუთრებული ორმაგი. უპირველეს ყოვლისა, გასათვალისწინებელია, რომ სავარაუდო პოპულარობა ვარაუდობს, რომ პარამეტრი უნდა იყოს აღქმული, როგორც რიცხვი. მეორეც, პარამეტრის დამუშავების თავისუფლება შეზღუდულია მისი უცნობით. ასე, მაგალითად, გამონათქვამზე გაყოფის ოპერაციები, რომელშიც არის პარამეტრი, ან მსგავსი გამოსახულებიდან ლუწი ხარისხის ფესვის ამოღება მოითხოვს წინასწარ კვლევას. ამიტომ, სიფრთხილეა საჭირო პარამეტრის დამუშავებისას.
მაგალითად, ორი რიცხვის -6a და 3a შესადარებლად, უნდა განიხილებოდეს სამი შემთხვევა:
1) -6a იქნება 3a-ზე მეტი, თუ a უარყოფითი რიცხვია;
2) -6a = 3a იმ შემთხვევაში, როდესაც a = 0;
3) -6a იქნება 3a-ზე ნაკლები, თუ a არის დადებითი რიცხვი 0.
გადაწყვეტილება იქნება პასუხი.
მოცემული იყოს განტოლება kx = b. ეს განტოლება არის ერთ ცვლადში განტოლებათა უსასრულო ნაკრების სტენოგრაფია.
ასეთი განტოლებების ამოხსნისას შეიძლება იყოს შემთხვევები:
1. დავუშვათ k ნებისმიერი არა ნულოვანი რეალური რიცხვი და b ნებისმიერი რიცხვი R-დან, შემდეგ x = b/k.
2. ვთქვათ k = 0 და b ≠ 0, თავდაპირველი განტოლება მიიღებს 0 · x = b ფორმას. ცხადია, ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.
3. დავუშვათ k და b ნულის ტოლი რიცხვები, მაშინ გვაქვს ტოლობა 0 · x = 0. მისი ამონახსნი არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.
ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი:
1. განსაზღვრეთ პარამეტრის "საკონტროლო" მნიშვნელობები.
2. ამოხსენით x-ის საწყისი განტოლება იმ პარამეტრის მნიშვნელობებით, რომლებიც განსაზღვრულია პირველ აბზაცში.
3. ამოხსენით x-ის საწყისი განტოლება პარამეტრის მნიშვნელობებით, რომლებიც განსხვავდება პირველ აბზაცში შერჩეულიდან.
4. პასუხი შეგიძლიათ ჩამოწეროთ შემდეგი ფორმით:
1) როდესაც ... (პარამეტრის მნიშვნელობა), განტოლებას აქვს ფესვები ...;
2) როდესაც ... (პარამეტრის მნიშვნელობა), განტოლებაში ფესვები არ არის.
მაგალითი 1
ამოხსენით განტოლება პარამეტრით |6 – x| = ა.
გადაწყვეტილება.
ადვილი მისახვედრია, რომ აქ არის ≥ 0.
მოდულის 6 – x = ±a წესით გამოვხატავთ x:
პასუხი: x = 6 ± a, სადაც a ≥ 0.
მაგალითი 2
ამოხსენით განტოლება a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 x ცვლადის მიმართ.
გადაწყვეტილება.
მოდით გავხსნათ ფრჩხილები: ცული - a + 2x - 2 \u003d 0
დავწეროთ განტოლება სტანდარტული ფორმით: x(a + 2) = a + 2.
თუ გამოხატულება a + 2 არ არის ნული, ანუ თუ a ≠ -2, გვაქვს ამონახსნი x = (a + 2) / (a + 2), ე.ი. x = 1.
თუ a + 2 უდრის ნულს, ე.ი. a \u003d -2, მაშინ გვაქვს სწორი ტოლობა 0 x \u003d 0, ამიტომ x არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.
პასუხი: x \u003d 1 a ≠ -2-სთვის და x € R a \u003d -2-ისთვის.
მაგალითი 3
ამოხსენით განტოლება x/a + 1 = a + x x ცვლადის მიმართ.
გადაწყვეტილება.
თუ a \u003d 0, მაშინ განტოლებას ვცვლით ფორმაში a + x \u003d a 2 + ax ან (a - 1) x \u003d -a (a - 1). a = 1-ის ბოლო განტოლებას აქვს ფორმა 0 · x = 0, შესაბამისად, x არის ნებისმიერი რიცხვი.
თუ a ≠ 1, მაშინ ბოლო განტოლება მიიღებს x = -a ფორმას.
ეს გამოსავალი შეიძლება ილუსტრირებული იყოს კოორდინატთა ხაზზე (ნახ. 1)
პასუხი: არ არის ამონახსნები a = 0-სთვის; x - ნებისმიერი რიცხვი a = 1-ზე; x \u003d -a ≠ 0-ით და a ≠ 1-ით.
გრაფიკული მეთოდი
განვიხილოთ პარამეტრით განტოლებების ამოხსნის სხვა გზა - გრაფიკული. ეს მეთოდი საკმაოდ ხშირად გამოიყენება.
მაგალითი 4
რამდენ ძირს, a პარამეტრიდან გამომდინარე, აქვს განტოლება ||x| – 2| = ა?
გადაწყვეტილება.
გრაფიკული მეთოდით ამოსახსნელად ვაშენებთ ფუნქციების გრაფიკებს y = ||x| – 2| და y = a (ნახ. 2).
ნახაზზე ნათლად ჩანს y = a წრფის მდებარეობის შესაძლო შემთხვევები და თითოეულ მათგანში ფესვების რაოდენობა.
პასუხი: განტოლებას არ ექნება ფესვები, თუ ა< 0; два корня будет в случае, если a >2 და a = 0; განტოლებას ექნება სამი ფესვი a = 2 შემთხვევაში; ოთხი ფესვი - 0-ზე< a < 2.
მაგალითი 5
რისთვისაც a არის განტოლება 2|x| + |x – 1| = a-ს აქვს ერთი ფესვი?
გადაწყვეტილება.
დავხატოთ y = 2|x| ფუნქციების გრაფიკები + |x – 1| და y = a. y = 2-ისთვის | x| + |x - 1|, მოდულების გაფართოებით უფსკრული მეთოდით, მივიღებთ:
(-3x + 1, x-ზე< 0,
y = (x + 1, 0 ≤ x ≤ 1-ისთვის,
(3x – 1, x > 1-ისთვის.
Ზე სურათი 3აშკარად ჩანს, რომ განტოლებას ექნება უნიკალური ფესვი მხოლოდ მაშინ, როდესაც a = 1.
პასუხი: a = 1.
მაგალითი 6
განსაზღვრეთ განტოლების ამონახსნების რაოდენობა |x + 1| + |x + 2| = a დამოკიდებულია a პარამეტრზე?
გადაწყვეტილება.
y = |x + 1 ფუნქციის გრაფიკი + |x + 2| იქნება გატეხილი ხაზი. მისი წვეროები განთავსდება (-2; 1) და (-1; 1) წერტილებზე. (სურათი 4).
პასუხი: თუ პარამეტრი a არის ერთზე ნაკლები, მაშინ განტოლებას ფესვები არ ექნება; თუ a = 1, მაშინ განტოლების ამონახსნი არის რიცხვების უსასრულო ნაკრები [-2; -ერთი]; თუ პარამეტრის a მნიშვნელობები ერთზე მეტია, მაშინ განტოლებას ექნება ორი ფესვი.
გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ ამოხსნათ განტოლებები პარამეტრით?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!
საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.
$a$ პარამეტრის რომელი მნიშვნელობებისთვის აქვს $()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0$ უტოლობას მინიმუმ ერთი ამონახსნი?
გადაწყვეტილება
ჩვენ ვამცირებთ ამ უტოლობას დადებით კოეფიციენტამდე $x^2$-ისთვის:
$()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0 \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \ოთხი x^2 - (a + 2)x + 8a + 1< 0 .$
გამოთვალეთ დისკრიმინანტი: $D = (a + 2)^2 - 4(8a + 1) = a^2 + 4a + 4 - 32a - 4 = a^2 - 28a$. ამ უტოლობას გამოსავალი რომ ჰქონდეს, აუცილებელია, რომ პარაბოლის ერთი წერტილი მაინც იყოს $x$ ღერძის ქვემოთ. ვინაიდან პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ, ეს მოითხოვს, რომ უტოლობის მარცხენა მხარეს კვადრატულ ტრინომს ორი ფესვი ჰქონდეს, ანუ მისი დისკრიმინანტი დადებითი იყოს. ჩვენ მივდივართ $a^2 - 28a > 0$ კვადრატული უტოლობის ამოხსნის აუცილებლობამდე. კვადრატულ ტრინომს $a^2 - 28a$ აქვს ორი ფესვი: $a_1 = 0$, $a_2 = 28$. მაშასადამე, $a^2 - 28a > 0$ უტოლობა კმაყოფილდება $a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$ ინტერვალებით.
უპასუხე.$a \in (-\infty; 0) \ჭიქა (28; + \infty)$.
$a$ პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის აქვს განტოლებას $(a-2)x^2-2ax+a+3=0$ მინიმუმ ერთი ფესვი და ყველა ფესვი დადებითია?
გადაწყვეტილება
მოდით $a=2$. შემდეგ განტოლება იღებს ფორმას $() - 4x +5 = 0$ , საიდანაც მივიღებთ, რომ $x=\dfrac(5)(4)$ დადებითი ფესვია.
ახლა მოდით $a\ne 2$. გამოდის კვადრატული განტოლება. ჯერ განვსაზღვროთ, თუ $a$ პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის აქვს მოცემულ განტოლებას ფესვები. აუცილებელია, რომ მისი დისკრიმინანტი იყოს არაუარყოფითი. ანუ:
$ D = 4a^2 - 4(a-2)(a+3) =() -4a+24\geqslant 0\მარცხენა მარჯვენა ისარი a\leqslant 6.$
ფესვები უნდა იყოს დადებითი პირობით, ამიტომ ვიეტას თეორემიდან ვიღებთ სისტემას:
$ \begin(cases)x_1 + x_2 = \dfrac(2a)(a - 2)>0, \\ x_1x_2 = \dfrac(a + 3)(a - 2)> 0,\\a\leqslant 6\end (შემთხვევები) \quad \მარცხნივ მარჯვენა ისარი \quad \begin(cases)a\in(- \infty;0)\ cup(2; +\infty), \\ a\in(- \infty;-3)\ cup( 2; +\infty), \\ a\in(-\infty;6] \end(cases)\quad\მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad a\in(-\infty;-3)\ cup(2;6]. $
ვაერთებთ პასუხებს, ვიღებთ სასურველ კომპლექტს: $a\in(-\infty;-3)\cup$.
უპასუხე.$a\in(-\infty;-3)\თასი$.
$a$ პარამეტრის რომელი მნიშვნელობებისთვის უტოლობას $ax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0$ არ აქვს ამონახსნები?
გადაწყვეტილება
- თუ $a = 0$, მაშინ ეს უტოლობა გადაგვარდება $5 \leqslant 0$ უტოლობაში, რომელსაც არ აქვს ამონახსნები. აქედან გამომდინარე, მნიშვნელობა $a = 0$ აკმაყოფილებს პრობლემის პირობას.
- თუ $a > 0$, მაშინ უტოლობის მარცხენა მხარეს კვადრატული ტრინომის გრაფიკი არის პარაბოლა ზემოთ ტოტებით. ჩვენ ვიანგარიშებთ $\dfrac(D)(4) = 4a^2 - 5a$. უტოლობას არ აქვს ამონახსნები, თუ პარაბოლა მდებარეობს x-ღერძის ზემოთ, ანუ როცა კვადრატულ ტრინომს არ აქვს ფესვები ($D< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
- თუ $a< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.
უპასუხე.$a \in \left$ დევს ფესვებს შორის, ამიტომ უნდა იყოს ორი ფესვი (აქედან $a\ne 0$). თუ პარაბოლის ტოტები $y = ax^2 + (a + 3)x - 3a$ მიმართულია ზემოთ, მაშინ $y(-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) >0$ და $y(1) > 0$.
შემთხვევა I.მოდით $a > 0$. მერე
$\left\( \begin(მასივი)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \end(მასივი) \მარჯვნივ. \quad \Leftrightarrow \quad \left\( \begin(array)(l) a>-1 \\ a>3 \\ a>0 \end (მასივი) \მარჯვნივ.\quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad a>3. $
ანუ, ამ შემთხვევაში გამოდის, რომ ყველა $a > 3$ შეესაბამება.
საქმე II.მოდით $a< 0$. Тогда
$\left\( \begin(მასივი)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a =-a+3>0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$
ანუ ამ შემთხვევაში გამოდის, რომ ყველა $a< -1$.
უპასუხე.$a\in (-\infty ;-1)\თასი (3;+\infty)$
იპოვეთ $a$ პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეული განტოლებათა სისტემაა
$ \დაწყება(შემთხვევები) x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end (შემთხვევები) $
აქვს ზუსტად ორი გამოსავალი.
გადაწყვეტილება
გამოვაკლოთ მეორე პირველს: $(x-y)^2 = 1$. მერე
$ \left[\begin(მასივი)(l) x-y = 1, \\ x-y = -1 \end(მაივი)\მარჯვნივ. \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \ოთხი \მარცხნივ[\ დასაწყისი(მასივი)(l) x = y+1, \\ x = y-1. \end(მასივი)\მარჯვნივ. $
მიღებული გამონათქვამების სისტემის მეორე განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ ორ კვადრატულ განტოლებას: $2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0$ და $2y^2 - 2y - 2a + 1 =0$. თითოეული მათგანის დისკრიმინანტი უდრის $D = 16a-4$.
გაითვალისწინეთ, რომ არ შეიძლება მოხდეს, რომ პირველი კვადრატული განტოლების ფესვების წყვილი ემთხვევა მეორე კვადრატული განტოლების ფესვების წყვილს, რადგან პირველის ფესვების ჯამი უდრის $-1$, ხოლო მეორე არის 1.
ეს ნიშნავს, რომ თითოეულ ამ განტოლებას უნდა ჰქონდეს ერთი ფესვი, შემდეგ თავდაპირველ სისტემას ექნება ორი ამონახსნი. ეს არის $D = 16a - 4 = 0$.
უპასუხე.$a=\dfrac(1)(4)$
იპოვეთ $a$ პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეული განტოლებას $4x-|3x-|x+a||=9|x-3|$ აქვს ორი ფესვი.
გადაწყვეტილება
მოდით გადავიწეროთ განტოლება ფორმით:
$ 9|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0.$
განვიხილოთ ფუნქცია $f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||$.
$x\geqslant 3$-ისთვის პირველი მოდული გაფართოვდება პლუსის ნიშნით და ფუნქცია ხდება: $f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||$. აშკარაა, რომ მოდულების ნებისმიერი გაფართოებით, შედეგად, მიიღება წრფივი ფუნქცია $k\geqslant კოეფიციენტით 5-3-1=1>0$, ანუ ეს ფუნქცია იზრდება ამ ინტერვალზე შეუზღუდავად.
განვიხილოთ ახლა $x ინტერვალი<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.
ამრიგად, მივიღეთ, რომ $x=3$ არის ამ ფუნქციის მინიმალური წერტილი. და ეს ნიშნავს, რომ იმისთვის, რომ თავდაპირველ განტოლებას ჰქონდეს ორი ამონახსნი, ფუნქციის მნიშვნელობა მინიმალურ წერტილში უნდა იყოს ნულზე ნაკლები. ანუ უტოლობა ხდება: $f(3)<0$.
$ 12-|9-|3+a||>0 \quad \Leftrightarrow \quad |9-|3+a||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$
$\მარცხენა მარჯვენა ისარი\ოთხი |3+a|< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24 უპასუხე.$a \in (-24; 18)$ $a$ პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის აქვს განტოლებას $5^(2x)-3\cdot 5^x+a-1=0$ ერთი ფესვი? მოდით შევცვალოთ: $t = 5^x > 0$. შემდეგ თავდაპირველი განტოლება იღებს კვადრატული განტოლების ფორმას: $t^2-3t+a-1 =0$. თავდაპირველ განტოლებას ექნება ერთი ფესვი, თუ ამ განტოლებას აქვს ერთი დადებითი ფესვი ან ორი ფესვი, რომელთაგან ერთი დადებითია, მეორე უარყოფითი. განტოლების დისკრიმინანტია: $D = 13-4a$. ამ განტოლებას ექნება ერთი ფესვი, თუ მიღებული დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, ანუ $a = \dfrac(13)(4)$-ისთვის. ამ შემთხვევაში, ფესვი $t=\dfrac(3)(2) > 0$, ამიტომ $a$-ის მოცემული მნიშვნელობა შესაფერისია. თუ არის ორი ფესვი, ერთი დადებითი და ერთი არადადებითი, მაშინ $D = 13-4a > 0$, $x_1+x_2 = 3 > 0$ და $x_1x_2 = a - 1 \leqslant 0$. ანუ $a\in(-\infty;1]$ უპასუხე.$a\in(-\infty;1]\თასი\მარცხნივ\(\dfrac(13)(4)\მარჯვნივ\)$ იპოვეთ $a$ პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც სისტემა $ \begin(cases)\log_a y = (x^2-2x)^2, \\ x^2+y=2x\end (შემთხვევები) $ აქვს ზუსტად ორი გამოსავალი. მოდით გადავიტანოთ სისტემა შემდეგ ფორმაში: $ \begin(cases) \log_a y = (2x-x^2)^2, \\ y = 2x-x^2. \ბოლო (შემთხვევები) $ ვინაიდან პარამეტრი $a$ არის ლოგარითმის ბაზაზე, მასზე დაწესებულია შემდეგი შეზღუდვები: $a>0$, $a \ne 1$. ვინაიდან ცვლადი $y$ არის ლოგარითმის არგუმენტი, მაშინ $y > 0$. სისტემის ორივე განტოლების გაერთიანებით გადავდივართ განტოლებაზე: $\log_a y = y^2$. იმის მიხედვით, თუ რა მნიშვნელობებს იღებს $a$ პარამეტრი, შესაძლებელია ორი შემთხვევა: უპასუხე.$a\in(0;1)$ განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც $a > 1$. ვინაიდან $t$-ის დიდი მნიშვნელობებისთვის $f(t) = a^t$ ფუნქციის გრაფიკი დევს სწორი ხაზის ზემოთ $g(t) = t$, ერთადერთი საერთო წერტილი შეიძლება იყოს მხოლოდ კონტაქტის წერტილი. . დაე, $t_0$ იყოს შეხების წერტილი. ამ ეტაპზე, წარმოებული $f(t) = a^t$ უდრის ერთს (ტანგენსის დახრილობის ტანგენსი), გარდა ამისა, ორივე ფუნქციის მნიშვნელობები იგივეა, ანუ ხდება შემდეგი სისტემა: $ \begin(cases) a^(t_0)\ln a = 1, \\ a^(t_0) = t_0 \end (cases) \quad \მარცხნივ მარჯვენა ისარი \quad \begin(cases) a^(t_0) = \dfrac (1)(\ln a), \\ a^(\tau) = \tau \end(შემთხვევები) $ საიდანაც $t_0 = \dfrac(1)(\n a)$. $ a^(\frac(1)(\ln a))\n a = 1 \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad a^(\log_a e) =\frac(1)(\ln a) \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad a = e^(\frac(1)(e)). $ ამავდროულად, პირდაპირ და ექსპონენციალურ ფუნქციებს აშკარად არ აქვთ სხვა საერთო წერტილები. უპასუხე.$a \in (0;1] \ჭიქა \მარცხნივ\(e^(e^(-1))\მარჯვნივ\)$ 1. დავალება. 1. გადაწყვეტილება. 1. პასუხი:განტოლებას აქვს ერთი ფესვი ა O(0; 1; 2). 2. დავალება. 2. პასუხი: 3. დავალება. 3. გამოსავალი. 4. დავალება. 4. გამოსავალი. 5. გადაწყვეტილება. 5. პასუხი: 3.
6. ამოცანა (10 უჯრედი) 6. პასუხი: აო )
გადაწყვეტილება
გადაწყვეტილება
პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აგანტოლება ( ა - 1)x 2 + 2x + ა- 1 = 0 აქვს ზუსტად ერთი ფესვი?
ზე ა= 1 განტოლებას აქვს ფორმა 2 x= 0 და აშკარად აქვს ერთი ფესვი x= 0. თუ ა No1, მაშინ ეს განტოლება არის კვადრატული და აქვს ერთი ფესვი იმ პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის, რომლებისთვისაც კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი ნულის ტოლია. დისკრიმინანტის ნულთან გათანაბრებით, ვიღებთ პარამეტრის განტოლებას ა
4ა 2 - 8ა= 0, საიდანაც ა= 0 ან ა = 2.
იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა ა, რომლის განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს x 2 +4ნაჯახი+8ა+3 = 0.
2. გადაწყვეტილება.
განტოლება x 2 +4ნაჯახი+8ა+3 = 0 აქვს ორი განსხვავებული ფესვი თუ და მხოლოდ თუ დ =
16ა 2 -4(8ა+3) > 0. ვიღებთ (4 საერთო კოეფიციენტით შემცირების შემდეგ) 4 ა 2 -8ა-3 > 0, საიდანაც ა O (-Ґ ; 1 -
C 7 2
) და (1 +
C 7 2
; Ґ
).
ცნობილია, რომ
ვ 2 (x) = 6x-x 2 -6.
ა) ფუნქციის გრაფიკის გამოსახვა ვ 1 (x) ზე ა = 1.
ბ) რა ღირებულებით აფუნქციის გრაფიკები ვ 1 (x) და ვ 2 (x) გაქვთ ერთი საერთო წერტილი?
3.ა.მოდით გარდავქმნათ ვ 1 (x) შემდეგნაირად
ამ ფუნქციის გრაფიკი ა= 1 ნაჩვენებია ფიგურაში მარჯვნივ.
3.ბ.ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ ფუნქციის გრაფიკები წ =
kx+ბდა წ = ნაჯახი 2 +bx+გ
(ა No 0) იკვეთება ერთ წერტილში თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ კვადრატული განტოლება kx+ბ =
ნაჯახი 2 +bx+გაქვს ერთი ფესვი. ხედის გამოყენება ვ 1 of 3.ა, ვაიგივებთ განტოლების დისკრიმინანტს ა = 6x-x 2-6 ნულამდე. 36-24-4 განტოლებიდან ა= 0 ვიღებთ ა= 3. იგივეს გაკეთება მე-2 განტოლებით x-ა = 6x-x 2 -6 პოვნა ა= 2. ადვილია იმის შემოწმება, რომ ეს პარამეტრის მნიშვნელობები აკმაყოფილებს პრობლემის პირობებს. პასუხი: ა= 2 ან ა = 3.
იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა, რომლის მიხედვითაც უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე x 2 -2ნაჯახი-3ა i 0 შეიცავს სეგმენტს.
პარაბოლის წვეროს პირველი კოორდინატი ვ(x) =
x 2 -2ნაჯახი-3აუდრის x 0 =
ა. კვადრატული ფუნქციის თვისებებიდან მდგომარეობა ვ(x) i 0 ინტერვალზე უდრის სამი სისტემის მთლიანობას
აქვს ზუსტად ორი გამოსავალი?
მოდით გადავიწეროთ ეს განტოლება ფორმაში x 2 + (2ა-2)x - 3ა+7 = 0. ეს არის კვადრატული განტოლება, მას აქვს ზუსტად ორი ამონახსნი, თუ მისი დისკრიმინანტი მკაცრად მეტია ნულზე. დისკრიმინანტის გამოთვლით მივიღებთ, რომ ზუსტად ორი ფესვის არსებობის პირობა არის უტოლობის შესრულება. ა 2 +ა-6 > 0. უტოლობის ამოხსნა ვპოულობთ ა < -3 или ა> 2. ცხადია, უტოლობებიდან პირველს არ აქვს ამონახსნები ნატურალურ რიცხვებში, ხოლო მეორის უმცირესი ნატურალური ამონახსნები არის რიცხვი 3.
იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა, რომლისთვისაც ფუნქციის გრაფიკი ან აშკარა გარდაქმნების შემდეგ, ა-2 = |
2-ა| . ბოლო განტოლება უდრის უტოლობას ამე 2.
