მოკლე ნაწყვეტი წიგნის დასაწყისიდან(მანქანის ამოცნობა)
M.L.KRASNOV
A.I.Kiselev
G.I.MAKARENKO
ფუნქციები
ინტეგრირებული
ცვლადი
საოპერაციო
გაანგარიშება
თეორია
მდგრადობა
შერჩეული თავები
უმაღლესი მათემატიკა
ინჟინრებისთვის
და სტუდენტები
ამოცანები და სავარჯიშოები
M. L. კრასნოვი
A.I.Kiselev
G.I.MAKARENKO
ფუნქციები
ინტეგრირებული
ცვლადი
საოპერაციო
გაანგარიშება
თეორია
მდგრადობა
მეორე გამოცემა, შესწორებული და დამატებული
დამტკიცებულია უმაღლესი და მეორადი სამინისტროს მიერ
სსრკ სპეციალური განათლება
როგორც სასწავლო დამხმარე საშუალება
უმაღლესი ტექნიკური საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის
მოსკოვის "ნაუკა"
მთავარი გამოცემა
ფიზიკა-მათემატიკური ლ
1981
22.161.5
K 78
UDC 517.531
Kras n o v M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I.
რთული ცვლადის ფუნქციები. ოპერატიული გაანგარიშება. თეო-
მდგრადობის თეორია: სახელმძღვანელო, მე-2 გამოცემა, შესწორებული. და დამატებითი -მ.:
Მეცნიერება. ფიზიკური და მათემატიკური ლიტერატურის მთავარი გამოცემა, 1981 წ.
სერიებში გამოქვეყნებული სხვა წიგნების მსგავსად „არჩეული თავები მაღალი-
უმაღლესი მათემატიკა ტექნიკური უნივერსიტეტების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის“, ეს წიგნი
განკუთვნილია ძირითადად ტექნიკური უნივერსიტეტების სტუდენტებისთვის, მაგრამ
ის ასევე შეიძლება სასარგებლო იყოს ინჟინრისთვის, რომელსაც სურს აღდგენა
წიგნის სათაურში მითითებულ მათემატიკის მეხსიერების განყოფილებებში.
ამ გამოცემაში, წინასთან შედარებით, გამოქვეყნდა ქ
1971 წელს გაფართოვდა ჰარმონიულ ფუნქციებთან დაკავშირებული აბზაცები
ფუნქციები, ნარჩენები და მათი გამოყენება ზოგიერთი ინტეგრალის გამოსათვლელად
ინტეგრალები, კონფორმული რუკები. სავარჯიშოებიც დაემატა.
თეორიული ხასიათი.
ყოველი განყოფილების დასაწყისში, აუცილებელი თეორიული
თეორიული ინფორმაცია (განმარტებები, თეორემები, ფორმულები), ასევე ქვე-
დეტალურად არის გაანალიზებული ტიპიური ამოცანები და მაგალითები.
წიგნი შეიცავს 1000-ზე მეტ მაგალითს და დავალებას თვითმმართველობისთვის.
დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება. თითქმის ყველა დავალება მოცემულია პასუხებით და რამდენიმე
შემთხვევებში, მოცემულია ინსტრუქციები გამოსავლისთვის.
ბრინჯი. 71. ბიბლია. 19 ტიტული
„20203-107 ^ o_llll Glat:Tu.^^
K Aeo/loc Ql 23-81. 1702050000 ფიზიკური და მათემატიკური
053 @2)-81 ლიტერატურა, 1981 წ
ᲡᲐᲠᲩᲔᲕᲘ
წინასიტყვაობა 5
თავი I. კომპლექსური ცვლადის ფუნქციები 7
§ K კომპლექსური რიცხვები და მოქმედებები მათზე 7
§ 2. რთული ცვლადის ფუნქციები. ... # ...", თვრამეტი
§ 3. რთული რიცხვების მიმდევრობის ზღვარი. Ზღვარი
და რთული ცვლადის ფუნქციის უწყვეტობა. . 25
§ 4. რთული ცვლადის ფუნქციების დიფერენციაცია
ცვლადი. კოში-რიმანის პირობები # . ტ . , 32
§ 5. რთული ცვლადის ფუნქციების ინტეგრაცია. .42
§ 6. კოშის ინტეგრალური ფორმულა 50
§ 7. სერია კომპლექსურ დომენში, 56
§ 8. ფუნქციის ნულები. იზოლირებული სინგულარული წერტილები 72
| 9. ფუნქციების ნარჩენები 79
§ 10. კოშის ნარჩენების თეორემა. გამოქვითვების გამოყენება თქვენზე-
განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლა. არა-ის ჯამი
ზოგიერთი სერია ნარჩენების დახმარებით 85
§ 11. ლოგარითმული ნარჩენი. არგუმენტის პრინციპი. თეორემა
პიკის #. , # . 106
§ 12. კონფორმალური რუკებები 115
§ 13. კომპლექსური პოტენციალი. მისი ჰიდროდინამიკა
ნიშნავს 142
თავი II. ოპერატიული გაანგარიშება 147
§ 14. სურათებისა და ორიგინალების მოძიება 147
§ 15. კოშის ამოცანის ამოხსნა ჩვეულებრივი წრფივი
დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით
შანსები 173
§ 16. დუჰამელის ინტეგრალი 185
§ 17. წრფივი დიფერენციალური განტოლებების სისტემების ამოხსნა
განტოლებები ოპერატიული მეთოდით 188
§ 18. ვოლტერას ინტეგრალური განტოლებების ამოხსნა ბირთვებით
სპეციალური ტიპი 192
§ 19. დაყოვნების დიფერენციალური განტოლებები
არგუმენტი. . . . a#198
§ 20. მათემატიკური ფიზიკის ზოგიერთი ამოცანის ამოხსნა. . , 201
§ 21. დისკრეტული ლაპლასის ტრანსფორმაცია 204
თავი III. სტაბილურობის თეორია. , . 218
§ 22. დიფერენციალური სისტემის ამოხსნის სტაბილურობის კონცეფცია
დიფერენციალური განტოლებები. დასასვენებელი წერტილების უმარტივესი ტიპები 218
4 შიგთავსი
§ 23. ლიაპუნოვის მეორე მეთოდი 225
§ 24. კვლევა სტაბილურობის შესახებ პირველი დაახლოებით
მიდგომა 229
§ 25. ასიმპტომური სტაბილურობა დიდში. მდგრადობა
ლაგრანჟის მიხედვით 234
§ 26. Routh-Hurwitz-ის კრიტერიუმი. 237
§ 27. გეომეტრიული მდგრადობის კრიტერიუმი (მი-
მიხაილოვი), . . , 240
§ 28. დ-ტიხრები 243
§ 29. განსხვავებულ განტოლებათა ამონახსნების სტაბილურობა 250
პასუხები 259
დანართი 300
ლიტერატურა 303
წინასიტყვაობა
ამ გამოცემაში მთელი ტექსტი შესწორებულია
და შეიტანეს რამდენიმე დამატება. გაფართოებული განყოფილება ეძღვნება
ეძღვნება ნარჩენების თეორიას და მის გამოყენებას (კერძოდ,
შემოიღო ნარჩენის ცნება უსასრულოდ შორეულთან მიმართებაში
დისტანციური წერტილი, ნარჩენების გამოყენება ზოგიერთის შეჯამებაზე
რამდენიმე რიგები). ოპერაციული გამოყენების ამოცანების რაოდენობა
ოპერაციული გაანგარიშება შესასწავლად ზოგიერთი სპეციალური
სპეციალური ფუნქციები (გამა ფუნქციები, ბესელის ფუნქციები და ა.შ.),
ასევე მოცემული ფუნქციების გამოსახულების დავალებების რაოდენობა
გრაფიკულად. აბზაცი მიძღვნილი
ეძღვნება კონფორმულ რუკებს. გაზრდილი რაოდენობა
ტექსტში განხილული მაგალითები. დაფიქსირდა შენიშნა
უზუსტობები და შეცდომები; ზოგიერთი დავალება, რომელსაც აქვს
უხერხული გადაწყვეტილებები შეიცვალა უფრო მარტივით.
წიგნის მეორე გამოცემის მომზადებისას აუცილებელია
მათი რჩევებითა და კომენტარებით დაგვეხმარა
მოსკოვის ინსტიტუტის მათემატიკის განყოფილების გამგე
ფოლადი და შენადნობები პროფესორი V.A. Trenogiy და ამის ასოცირებული პროფესორი
დეპარტამენტი M. I. Orlov. ჩვენ ეს ჩვენს სასიამოვნო მოვალეობად მიგვაჩნია
გამოვხატოთ ჩვენი ღრმა მადლიერება მათ მიმართ.
ჩვენ გავითვალისწინეთ განაცხადის დეპარტამენტის კომენტარები და სურვილები
კიევის სამოქალაქო ინჟინერიის ინსტიტუტის მათემატიკოსები
(კათედრის გამგე, ასოცირებული პროფესორი ა. ე. ჟურაველი), ასევე
ამხანაგების ბ.ტკაჩევის (კრასნოდარი) და
B. L. Tsavo (სოხუმი). ყველა მათგანს გამოვთქვამთ ჩვენი
მადლიერება.
0 წინასიტყვაობა
ჩვენ მადლობელი ვართ პროფესორ M.I. Vishik-ის,
ფ.ი.კარპელევიჩი, ა.ფ.ლეონტიევი და ს.ი.პოხოჟაევი
ჩვენი საქმიანობის მუდმივი ყურადღებისა და მხარდაჭერისთვის.
ყველა კომენტარი და წინადადება პრობლემის წიგნის გასაუმჯობესებლად
მადლიერებით მიიღებენ.
Ავტორები
თავი I
ინტეგრირებულის ფუნქციები
ცვლადი
§ 1. კომპლექსური რიცხვები და მოქმედებები მათზე
რთული რიცხვი r არის ფორმის გამოხატულება
(კომპლექსური რიცხვის ალგებრული ფორმა), სადაც x და y არის ნებისმიერი მოქმედება
რეალური რიცხვები, a i არის წარმოსახვითი ერთეული, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას
12 \u003d -1, x და y რიცხვებს ეძახიან შესაბამისად რეალური და
რთული რიცხვის წარმოსახვითი ნაწილები
რიცხვები r და აღინიშნება
კომპლექსური რიცხვი z=zx - iy
კონიუგატ კომპლექსს უწოდებენ
რთული რიცხვი r=n: + n/.
რთული რიცხვები ch =Xj + iy%
და r2*= #2 + 4/2 ითვლება ტოლად
თუ და მხოლოდ თუ xr = x21
კომპლექსური ნომერი 2 =
გამოსახულია XOY თვითმფრინავში
წერტილი M კოორდინატებით (dz, y)
ან ვექტორი, რომლის დასაწყისი ნახ* *
არის წერტილში O @, 0) და ბოლოს
M წერტილში (x, y) (ნახ. 1). OM ვექტორის p სიგრძეს მოდული ეწოდება
რთული რიცხვი და აღინიშნება |r|-ით, ისე რომ p = | r\=Vx"2+y2>
OX ღერძით OM ვექტორის მიერ წარმოქმნილი კუთხე φ არგუმენტი ეწოდება
კომპლექსური რიცხვის არგუმენტი r და აღინიშნება
არა ცალსახად, მაგრამ ტერმინამდე, რომელიც არის 2n-ის ჯერადი:
Arg2 = arg2 + 2bt (t = 0, ±1, ±2, ...),
სადაც arg2 არის პირობებით განსაზღვრული Arg2-ის ძირითადი მნიშვნელობა
და
ა)
arctg - თუ x *> 0,
jt -f *rctg - თუ x - i Jr arctg ■ თუ x i / 2, თუ x - 0, y > 0,
- i/2, თუ x r» 0, y 8 რთული ცვლადის ფუნქციები [CH. მე
შემდეგი ურთიერთობები ხდება:
იგ (არგ ზ) - ^~, ცოდვა (არგ ზ)
cos(არგ გ) ა
ორი რთული რიცხვი r და r2 ტოლია თუ და მხოლოდ მაშინ
როდესაც მათი მოდულები ტოლია და მათი არგუმენტები ტოლია ან განსხვავებული
განსხვავდება 2n-ის ნამრავლით:
(„0, ±lt ±2t .«.)
მოდით ორი რთული რიცხვი zlwcl + ylt 22+y2
I. r და r% კომპლექსური რიცხვების zt + z2 ჯამი არის კომპლექსი
რთული რიცხვი
2. zx და z2 რთული რიცხვების z^-z% განსხვავებას ეწოდება com-
რთული რიცხვი
3. z1 და z2 რთული რიცხვების ztz2 ნამრავლს ეწოდება com-
რთული რიცხვი
რთული რიცხვების ნამრავლის განსაზღვრებიდან, კერძოდ,
ამას მოჰყვება
2
4. კერძო ~ კომპლექსური რიცხვის 2i კომპლექსზე გაყოფისგან
კომპლექსი
რთული რიცხვი rm > 0 არის რთული რიცხვი r ისეთი, რომ
აკმაყოფილებს განტოლებას
ამ შემთხვევაში გამოყენებული იყო ფორმულა r^1
ფორმულა B) შეიძლება დაიწეროს როგორც
ვ
Re r-ის რეალური ნაწილი და კომპლექსის წარმოსახვითი ნაწილი
რიცხვები z გამოიხატება კონიუგატური რთული რიცხვების სახით შემდეგნაირად:
შემდეგი გზით:
მაგალითი 1. აჩვენეთ, რომ zx -\~z2 == -i + 2.2.
მტკიცებულება. განმარტებით, გვაქვს
ij კომპლექსური რიცხვები და მათზე მოქმედებები
1. დაამტკიცეთ შემდეგი მიმართებები:
"/ ^1 - ^2 = ^1 - 2:2" Oj Z\Z% == ^i^2" B; [ - - J == - , D)
მაგალითი 2. იპოვნეთ განტოლების რეალური ამონახსნები
გადაწყვეტილება. გამოვყოთ განტოლების მარცხენა მხარეს რეალური მნიშვნელობა
ხოლო წარმოსახვითი ნაწილი: (Ax+Sy) + iBdg-3#)= 13-+-*. აქედან გამომდინარე, მიხედვით
ორი რთული რიცხვის ტოლობის განმარტებას ვიღებთ
ამ სისტემის გადაჭრას ჩვენ ვპოულობთ
იპოვნეთ განტოლებების რეალური ამონახსნები:
2. (ზლგ-1)ბ + 0 + (*-*Ж1+20 = 5 + 6*.
3. (x - iy) (a - ib) \u003d Ca, სადაც i, b მოცემულია მოქმედებები
რეალური რიცხვები, \a\f\b\.
5. წარმოადგინეთ რთული რიცხვი (aribp + (a _ .^t
ალგებრული ფორმით.
6. დაამტკიცეთ, რომ -- - ~*~iX = i (x არის რეალური).
x-iY 1 -\-x~
7. გამოხატეთ x და y "u, თუ + q fa \u003d
= 1(n:, y, u, v არის რეალური რიცხვები).
8. იპოვეთ ყველა დამაკმაყოფილებელი რთული რიცხვი
მდგომარეობა 2 = z2.
მაგალითი 3: იპოვეთ რთული რიცხვის მოდული და არგუმენტი
g * \u003d - sin - -icos-g-.
გადაწყვეტილება. Ჩვენ გვაქვს
= -სინ-ლ ო ო
არგუმენტის ძირითადი მნიშვნელობა ა)-ს მიხედვით იქნება
argz-- i + arctg/ctg-^j =. - i+ arctg J^tg \~ - -£jj -
, /. 3 \ ,3 5
\u003d - i + arctg i tg d \u003d - i + - i \u003d - l.
\ OOO
კომპლექსური ცვლადის 10 ფუნქციები [CH. მე
აქედან გამომდინარე,
არგზ "-~ i + 2&1 (t = 0, ±1, ±2, ...),
9. შემდეგ ამოცანებში იპოვეთ მოდული და ძირითადი მნიშვნელობა
რთული რიცხვების არგუმენტის მნიშვნელობა:
ა) r-4 + 3/; ბ) z^~2 + 2V3i",
გ) r = - 7 - i\ დ) r = - cos | + ვცოდავთ ?-;
ე) d == 4 - 3/; ე) g \u003d cos a - t sin a
ნებისმიერი რთული რიცხვი z - x + iy (r^FO) შეიძლება დაიწეროს სამად
ტრიგონომეტრიული ფორმა
მაგალითი 4. დაწერეთ ტრიგონომეტრიული სახით კომპლექსი
ნომერი
გადაწყვეტილება. Ჩვენ გვაქვს
აქედან გამომდინარე,
მაგალითი 5. იპოვეთ განტოლების ნამდვილი ფესვები
cos; t ~ f / sin x r "- + x *
გადაწყვეტილება. ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები. Ნამდვილად,
ეს განტოლება უდრის შემდეგს: cos*= 1/2, sin* = 3/4. By-
ბოლო განტოლებები არათანმიმდევრულია, რადგან cos2 x + sin2 x» 13/16, რომელიც
შეუძლებელია x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.
ნებისმიერი რთული რიცხვი g Ф 0 შეიძლება დაიწეროს ექსპონენციალურად
ფორმა
*Ф სადაც р = |г|, cp=*არგზ.
მაგალითი 6. იპოვეთ ყველა კომპლექსური რიცხვი z^O დამაკმაყოფილებელი
აკმაყოფილებს პირობას 2n"" 1,
გადაწყვეტილება. მოდით r =* re*F. შემდეგ z "= re~(h>.
პირობის მიხედვით
ან
რთული რიცხვები და მოქმედებები მათზე II
£2ლ
საიდანაც pl-2=1, ანუ p=1 და tf = 2&i, ანუ, 2, ..., l-1). აქედან გამომდინარე,
.2 კნ
ნ
(jfe "0, I, 2, ..., f-!).
10. შემდეგი რთული რიცხვები წარმოადგენს r სამ-
ტრიგონომეტრიული ფორმა:
ა) -2; ბ) 21; შიგნით) -
დ) 1-სინა + იკოსა
D> l + cosa-i ვინაიდან \ და e) -2; ზ) ი; თ) -ვ; ი) -1 -/
კ) sin a - tcosa E კომპლექსური რიცხვები rx და r2 მოცემულია ტრიგონომეტრიულად
ფორმა r2 = px (cos f! + e sin fx), r2 = p2 (cos f2 + * sin f2).
მათი პროდუქტი ნაპოვნია ფორმულით
*i*2 ^ P1P2 Ic°s (Ф1 + Ф2) + i sin (Ф! + Ф2)],
ანუ როდესაც კომპლექსური რიცხვები მრავლდება, მათი მოდულები მრავლდება,
და არგუმენტები ემატება:
Arg (Z&) შევიდა Arg 2j + Arg r2.
ორი რთული რიცხვის კოეფიციენტი rx u2 ^ 0 არის ნაპოვნი, მაგრამ ფორმულა
ფორმულა
m-^mm lcos (v" *~ ^*) + f*sin (f1 "~ f2I"
r3 ra
ე.ი.
რთული რიცხვის ამაღლება
r \u003d p (cos f + i sin f)
ბუნებრივი სიმძლავრე n იწარმოება ფორმულით
Zn - p "(cos u Jf. i sjn / xf) ^
ე.ი.
სწორედ აქედან მოდის დე მოივრის ფორმულა.
(cos f + i sin f)l \u003d\u003d cos Lf + i sin / gf.
კომპლექსური ცვლადის 12 ფუნქციები [CH. ერთი
კომპლექსური რიცხვების მოდულის თვისებები
1. |*|H*|; 2- "-|ზ|";
3. |*ალ-|*ილ!*ირ." 4. \r*\^\r\"\
5.
ჰ
6.
7.
8. H*il4*ilKI*i*f|.
მაგალითი 7. გამოთვალეთ (-■ 1 +1 Kz) §v.
გადაწყვეტილება. მოდით წარმოვადგინოთ რიცხვი r \u003d -1 -f - * Yb ტრიგონომეტრიულად
ტრიგონომეტრიული ფორმა
-I _) - / Kz \u003d 2 (coe -§- n + | sin ~~ "V
რთული ცვლადის ფუნქციები. პრობლემები და მაგალითები დეტალური გადაწყვეტილებებით. კრასნოვი მ.ი., კისელევი ა.ი., მაკარენკო გ.ი.
მე-3 გამოცემა, რევ. - მ.: 2003. - 208გვ.
ამ სახელმძღვანელოში ავტორები გვთავაზობენ ამოცანებს რთული ცვლადის ფუნქციების თეორიის ძირითად სექციებზე. ყოველი ნაწილის დასაწყისში მოცემულია საჭირო თეორიული ინფორმაცია (განმარტებები, თეორემები, ფორმულები) და დეტალურად არის გაანალიზებული 150-მდე ტიპიური პრობლემა და მაგალითი.
წიგნი შეიცავს 500-ზე მეტ ამოცანას და მაგალითს თვითგამორკვევისთვის. თითქმის ყველა დავალება მოცემულია პასუხებით და ზოგ შემთხვევაში მოცემულია ამოხსნის ინსტრუქციები.
წიგნი ძირითადად განკუთვნილია ტექნიკური უნივერსიტეტების სტუდენტებისთვის, რომლებსაც აქვთ მათემატიკური მომზადება, მაგრამ ის ასევე შეიძლება სასარგებლო იყოს ინჟინრისთვის, რომელსაც სურს გაიხსენოს მათემატიკის სექციები, რომლებიც დაკავშირებულია რთული ცვლადის ფუნქციების თეორიასთან.
ფორმატი: pdf
Ზომა: 15.2 მბ
ჩამოტვირთვა: drive.google
ᲡᲐᲠᲩᲔᲕᲘ
თავი 1 რთული ცვლადი ფუნქციები 3
§ 1. რთული რიცხვები და მოქმედებები მათზე 3
§ 2. რთული ცვლადის ფუნქციები 14
§ 3. რთული რიცხვების მიმდევრობის ზღვარი. რთული ცვლადის ფუნქციის ზღვარი და უწყვეტობა 22
§ 4, რთული ცვლადის ფუნქციების დიფერენციაცია. კოში-რიმანის პირობები 29
თავი 2. ინტეგრაცია. რიგები. გაუთავებელი ნამუშევრები. 40
§ 5. რთული ცვლადის ფუნქციების ინტეგრირება .... 40
§ 6. კოშის ინტეგრალური ფორმულა 48
§ 7. სერია კომპლექსურ დომენში 53
§ 8. უსასრულო პროდუქტები და მათი გამოყენება ანალიტიკურ ფუნქციებზე 70
1°. დაუსრულებელი ნამუშევრები 70
2°. ზოგიერთი ფუნქციის დაშლა უსასრულო პროდუქტებად 75
თავი 3. ფუნქციების ნარჩენები. . 78
§ 9. ფუნქციის ნულები. იზოლირებული სინგულარული ქულები 78
1°. ფუნქცია ნულები 78
2°. იზოლირებული სინგულარული წერტილები 80
§ 10. ფუნქციების ნარჩენები 85
§ 11. კოშის ნარჩენების თეორემა. ნარჩენების გამოყენება განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლაში. ზოგიერთი რადის ჯამი ნარჩენების გამოყენებით .... 92
1°. კოშის ნარჩენის თეორემა 92
2°. ნარჩენების გამოყენება განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლაში 98
3°. ზოგიერთი სერიის შეჯამება ნარჩენების დახმარებით. . 109
§ 12. ლოგარითმული ნარჩენი. არგუმენტის პრინციპი. რუშის თეორემა 113
თავი 4, კონფორმალური რუკებები. 123
§ 13. კონფორმული რუკები 123
1°. კონფორმული რუკების კონცეფცია 123
1 2°. კონფორმული რუკების თეორიის ზოგადი თეორემები...125
3°. კონფორმული გამოსახულებები განხორციელებული წრფივი ფუნქციით w - az + b, ფუნქცია w - \ და წრფივი-ფრაქციული ფუნქცია w = ffjj . . 127
4°. ძირითადი ელემენტარული ფუნქციებით რეალიზებული კონფორმული რუკები 138
§თოთხმეტი. მრავალკუთხედის ტრანსფორმაცია. კრისტოფელ-შვარცის ინტეგრალი. 150
დანართი 1 . . . . 159
§ თხუთმეტი. ყოვლისმომცველი პოტენციალი. მისი ჰიდროდინამიკური მნიშვნელობა. . 159
დანართი 2 164
პასუხები.......... 186
| 1 | ოპერაციული გაანგარიშება | ||
| § ერთი. | სურათებისა და ორიგინალების მოძიება | ||
| § 2. | კოშის ამოცანის ამოხსნა ჩვეულებრივი წრფივი დიფერენციალური განტოლებისთვის მუდმივი კოეფიციენტებით | ||
| § 3. | დუჰამელის ინტეგრალი | ||
| § 4. | წრფივი დიფერენციალური განტოლებების სისტემების ამოხსნა ოპერაციული მეთოდით | ||
| § 5. | ვოლტერას ინტეგრალური განტოლებების ამოხსნა სპეციალური ფორმის ბირთვებით | ||
| §6. | დაყოვნების დიფერენციალური განტოლებები | ||
| § 7. | მათემატიკური ფიზიკის ზოგიერთი ამოცანის ამოხსნა | ||
| § რვა. | ლაპლასის დისკრეტული ტრანსფორმაცია | ||
| § ცხრა. | ფურიეს ტრანსფორმაცია | ||
| 1. კოშის ამოცანის ამოხსნა სითბოს განტოლებისთვის | |||
| 2. კოშის პრობლემა ერთგანზომილებიანი ტალღის განტოლებისთვის | |||
| § ათი. | კოსინუსი და სინუს ფურიეს გარდაქმნები | ||
| § თერთმეტი. | განზოგადებული ფუნქციები. განზოგადებული ფუნქციების ფურიეს ტრანსფორმაცია | ||
| 2 | მდგრადობის თეორია | ||
| § 12. | დიფერენციალური განტოლებათა სისტემის ამოხსნის სტაბილურობის ცნება. დასვენების წერტილების უმარტივესი ტიპები | ||
| § ცამეტი. | ლიაპუნოვის მეორე მეთოდი | ||
| § თოთხმეტი. | პირველი მიახლოებითი სტაბილურობის კვლევა | ||
| § თხუთმეტი. | ზოგადად ასიმპტომური სტაბილურობა. ლაგრანგის სტაბილურობა | ||
| § თექვსმეტი. | Routh--Hurwitz-ის კრიტერიუმი | ||
| § 17. | გეომეტრიული მდგრადობის კრიტერიუმი (მიხაილოვის კრიტერიუმი) | ||
| § თვრამეტი. | დ- ტიხრები | ||
| კონცეფცია დ- დანაყოფი | |||
| § მეცხრამეტე. | |||
| 1o. | ერთგვაროვანი წრფივი სხვაობის განტოლებების ამოხსნა მუდმივი კოეფიციენტებით | ||
| 2o. | არაერთგვაროვანი წრფივი სხვაობის განტოლებების ამოხსნა მუდმივი კოეფიციენტებით | ||
| 3o. | განსხვავებულ განტოლებათა ამონახსნების სტაბილურობა | ||
| პასუხები | |||
| დანართი | |||
ინტერესის სფერო: დიფერენციალური განტოლებები. კისელევი ალექსანდრე ივანოვიჩი
ინტერესის სფერო: ფუნქციების თეორია. მაკარენკო გრიგორი ივანოვიჩი
ინტერესის სფერო: დიფერენციალური განტოლებები. შიკინი ევგენი ვიქტოროვიჩი
კვლევის ინტერესები: დიფერენციალური განტოლებების შესწავლის გეომეტრიული მეთოდები, გამოთვლითი გეომეტრია, კომპიუტერული გრაფიკა.
წაიკითხა ლექციების კურსები "წრფივი ალგებრა და ანალიტიკური გეომეტრია", "კომპლექსური ცვლადის ფუნქციების თეორია", "იზომეტრიული ჩაძირვისა და მონგე-ამპერის განტოლებების პრობლემა", "გეომეტრიული ხაზები", "გეომეტრიული მეთოდები საძიებო ამოცანებში", " Კომპიუტერული გრაფიკა".
კრასნოვი მიხაილ ლეონტიევიჩი
კისელიოვი ალექსანდრე ივანოვიჩი
ინტერესის სფეროები: ფუნქციების თეორია.
მაკარენკო გრიგორი ივანოვიჩი
ინტერესის სფეროები: დიფერენციალური განტოლებები.
შიკინი ევგენი ვიქტოროვიჩი
ინტერესის სფეროები: დიფერენციალური გეომეტრია.
რთული ცვლადის ფუნქციები. რთული რიცხვები და მოქმედებები განყოფილება: TViMS-ის პრობლემები და გადაწყვეტილებები. სასწავლო გზამკვლევი. ფუნქციების კომპლექსურ-ცვლადი ფუნქციების თეორიის M განყოფილება. ვექტორის OM-ს ეწოდება რთული რიცხვის მოდული და აღინიშნება . ცვლადები w და y. ბიბლიოთეკა > წიგნები მათემატიკაზე > კომპლექსური ცვლადის ფუნქციები M.: IL, 1963 (djvu); კრასნოვი მ.ლ. კისელევი A.I. მაკარენკო გ.ი. ფუნქციები. სათაური: რთული ცვლადის ფუნქციები: ამოცანები და მაგალითები დეტალური ამონახსნებით.
კრასნოვი მ.ლ., კისელევი ა.ი., მაკარენკო გ.ი. რთული ცვლადის ფუნქციები. რთული ცვლადის ფუნქციის ლიმიტი და უწყვეტობა. პასუხები. ამ ფაილის ჩამოსატვირთად დარეგისტრირდით და/ან. კრასნოვი მ.ლ., კისელევი ა.ი., მაკარენკო გ.ი. რთული ცვლადის ფუნქციები. ოპერატიული გაანგარიშება. სტაბილურობის თეორია.
რთული ცვლადის ფუნქციები. რთული ცვლადის ფუნქციების დიფერენციაცია. კოში-რიმანის პირობები. ეს სტატია ხსნის გაკვეთილების სერიას, რომელშიც განვიხილავ ტიპურ პრობლემებს, რომლებიც დაკავშირებულია რთული ცვლადის ფუნქციების თეორიასთან. მაგალითების წარმატებით ათვისებისთვის, რთული რიცხვების საბაზისო ცოდნა უნდა გქონდეთ. მასალის კონსოლიდაციისა და გამეორების მიზნით, საკმარისია ეწვიოთ გვერდს დუმების რთული ნომრები.
კომპლექსური ცვლადის ფუნქციის ამოხსნა კრასნოვი კისელევ მაკარენკო
ასევე დაგჭირდებათ მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულების პოვნის უნარები. აი, ეს ნაწილობრივი წარმოებულები... ახლაც ცოტა გამიკვირდა, რამდენად ხშირად ჩნდებიან... თემა, რომლის ანალიზს ვიწყებთ, არ არის განსაკუთრებით რთული და რთული ცვლადის ფუნქციებში, პრინციპში, ყველაფერი გასაგები და ხელმისაწვდომია. მთავარია დავიცვათ ჩემი ემპირიულად მიღებული ძირითადი წესი. წაიკითხეთ.
კომპლექსური ცვლადის ფუნქციის ამოხსნა კრასნოვი კისელევ მაკარენკო 1981 წ.
რთული ცვლადის ფუნქციის კონცეფცია. პირველ რიგში, მოდით განვაახლოთ ჩვენი ცოდნა ერთი ცვლადის სკოლის ფუნქციის შესახებ: ერთი ცვლადის ფუნქცია არის წესი, რომლის მიხედვითაც დამოუკიდებელი ცვლადის თითოეული მნიშვნელობა (განსაზღვრების სფეროდან) შეესაბამება ფუნქციის ერთ და მხოლოდ ერთ მნიშვნელობას. ბუნებრივია, "x" და "y" რეალური რიცხვებია. რთულ შემთხვევაში, ფუნქციური დამოკიდებულება მოცემულია იმავე გზით: რთული ცვლადის ცალსახა ფუნქცია არის წესი, რომლის მიხედვითაც დამოუკიდებელი ცვლადის ყოველი კომპლექსური მნიშვნელობა (განსაზღვრების სფეროდან) შეესაბამება ფუნქციის ერთ და მხოლოდ ერთ კომპლექსურ მნიშვნელობას.
თეორიულად განიხილება მრავალმნიშვნელოვანი და სხვა ტიპის ფუნქციებიც, მაგრამ სიმარტივისთვის ყურადღებას გავამახვილებ ერთ განმარტებაზე. რა ფუნქცია აქვს კომპლექსურ ცვლადს.
მთავარი განსხვავება ისაა, რომ რიცხვები რთულია. არ ვარ ირონიული. ასეთი კითხვებიდან ხშირად ვარდებიან სისულელეში, სტატიის ბოლოს ერთ მაგარ ისტორიას მოგიყვებით. გაკვეთილზე კომპლექსური რიცხვები დუმებისთვის განვიხილეთ კომპლექსური რიცხვი ფორმაში. რადგან ახლა ასო „Z“ ცვლადად იქცა. მაშინ მას შემდეგნაირად აღვნიშნავთ: , ხოლო „x“ და „y“ შეიძლება მიიღონ სხვადასხვა რეალური მნიშვნელობა.
უხეშად რომ ვთქვათ, რთული ცვლადის ფუნქცია დამოკიდებულია ცვლადებზე და, რომლებიც იღებენ "ჩვეულ" მნიშვნელობებს. ამ ფაქტიდან ლოგიკურად გამომდინარეობს შემდეგი პუნქტი: რთული ცვლადის ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილი. რთული ცვლადის ფუნქცია შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
სად და არის ორი რეალური ცვლადის ორი ფუნქცია. ფუნქციას ეწოდება ფუნქციის რეალური ნაწილი. ფუნქციას ფუნქციის წარმოსახვითი ნაწილი ეწოდება. ანუ რთული ცვლადის ფუნქცია დამოკიდებულია ორ რეალურ ფუნქციაზე და.
ყველაფრის საბოლოოდ გასარკვევად, მოდით გადავხედოთ პრაქტიკულ მაგალითებს: იპოვნეთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილი. ამოხსნა: დამოუკიდებელი ცვლადი „z“, როგორც გახსოვთ, იწერება სახით, შესაბამისად:. (1) ჩანაცვლებულია თავდაპირველ ფუნქციაში. (2) პირველი ტერმინისთვის გამოყენებული იქნა გამრავლების შემოკლებული ფორმულა.
ტერმინში ფრჩხილები გაიხსნა. (3) ფრთხილად კვადრატში, არ დაგავიწყდეს ეს. (4) ტერმინების გადალაგება: ჯერ ვწერთ ტერმინებს, სადაც არ არის წარმოსახვითი ერთეული (პირველი ჯგუფი), შემდეგ ტერმინები სადაც არის (მეორე ჯგუფი). უნდა აღინიშნოს, რომ არ არის აუცილებელი ტერმინების არევა და ამ ნაბიჯის გამოტოვება შესაძლებელია (ფაქტობრივად, ზეპირად შესრულებით). (5) მეორე ჯგუფი ამოღებულია ფრჩხილებიდან.
შედეგად, ჩვენი ფუნქცია წარმოდგენილი იყო ფორმაში. არის ფუნქციის რეალური ნაწილი. არის ფუნქციის წარმოსახვითი ნაწილი.
რა არის ეს ფუნქციები? ორი ცვლადის ყველაზე ჩვეულებრივი ფუნქცია, საიდანაც შეიძლება მოიძებნოს ასეთი პოპულარული ნაწილობრივი წარმოებულები. უმოწყალოდ - ვიპოვით. მაგრამ ცოტა მოგვიანებით.
მოკლედ, ამოხსნილი ამოცანის ალგორითმი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: ვცვლით თავდაპირველ ფუნქციას, ვახორციელებთ გამარტივებებს და ყველა ტერმინს ვყოფთ ორ ჯგუფად - წარმოსახვითი ერთეულის გარეშე (რეალური ნაწილი) და წარმოსახვითი ერთეულით (წარმოსახვითი ნაწილი). იპოვნეთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილი. ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი.
სანამ შიშველი ქამებით კომპლექსურ თვითმფრინავზე ბრძოლაში ჩავარდებით, ნება მომეცით მოგცეთ ყველაზე მნიშვნელოვანი რჩევა თემაზე: ᲤᲠᲗᲮᲘᲚᲐᲓ ᲘᲧᲐᲕᲘ! ფრთხილად უნდა იყოთ, რა თქმა უნდა, ყველგან, მაგრამ კომპლექსურ რიცხვებში უფრო ფრთხილად უნდა იყოთ, ვიდრე ოდესმე! გახსოვდეთ, რომ ფრთხილად გააფართოვეთ ფრჩხილები, არ დაკარგოთ არაფერი. ჩემი დაკვირვებით, ყველაზე გავრცელებული შეცდომა ნიშნის დაკარგვაა. Არ იჩქარო.
სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. ცხოვრების გასაადვილებლად, მოდით ყურადღება მივაქციოთ რამდენიმე სასარგებლო ფორმულას. მაგალით 1-ში აღმოჩნდა, რომ. ახლა კუბი. შემოკლებული გამრავლების ფორმულის გამოყენებით გამოვიყვანთ:
კოში-რიმანის პირობები. ორი სიახლე მაქვს: კარგი და ცუდი. დავიწყებ კარგით. რთული ცვლადის ფუნქციისთვის მოქმედებს დიფერენციაციის წესები და ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი.
ამრიგად, წარმოებული აღებულია ზუსტად ისე, როგორც რეალური ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში. ცუდი ამბავი ის არის, რომ რთული ცვლადის მრავალი ფუნქციისთვის საერთოდ არ არსებობს წარმოებული და უნდა გაარკვიო არის თუ არა დიფერენცირებადი ესა თუ ის ფუნქცია.
და "გააზრება" როგორ გრძნობს თქვენი გული, დაკავშირებულია დამატებით პრობლემებთან. განვიხილოთ რთული ცვლადის ფუნქცია. იმისათვის, რომ ეს ფუნქცია დიფერენცირებადი იყოს, აუცილებელია და საკმარისია: 1) რომ არსებობს პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები.
დაუყოვნებლივ დაივიწყეთ ეს აღნიშვნები, რადგან რთული ცვლადის ფუნქციის თეორიაში ტრადიციულად გამოიყენება აღნიშვნის სხვა ვერსია:. 2) კოში-რიმანის ე.წ. მხოლოდ ამ შემთხვევაში იარსებებს წარმოებული. განსაზღვრეთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები. შეამოწმეთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება.
თუ კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია, იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული. ხსნარი იყოფა სამ თანმიმდევრულ ეტაპად: 1) იპოვნეთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები. ეს დავალება გაანალიზებულია წინა მაგალითებში, ამიტომ მას კომენტარის გარეშე დავწერ:
ამრიგად:. არის ფუნქციის რეალური ნაწილი; არის ფუნქციის წარმოსახვითი ნაწილი. კიდევ ერთ ტექნიკურ საკითხზე შევჩერდები: რა თანმიმდევრობით უნდა დაიწეროს ტერმინები რეალურ და წარმოსახვით ნაწილებში? დიახ, ძირითადად, არ აქვს მნიშვნელობა. მაგალითად, რეალური ნაწილი შეიძლება დაიწეროს ასე: , ხოლო წარმოსახვითი ნაწილი ასე:. 3) შევამოწმოთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება. ორი მათგანია.
დავიწყოთ მდგომარეობის შემოწმებით. ვპოულობთ ნაწილობრივ წარმოებულებს:. ამრიგად, პირობა შესრულებულია. უდავოდ, კარგი ამბავი ის არის, რომ ნაწილობრივი წარმოებულები თითქმის ყოველთვის ძალიან მარტივია. ჩვენ ვამოწმებთ მეორე პირობის შესრულებას: იგივე გამოვიდა, მაგრამ საპირისპირო ნიშნებით, ანუ პირობაც შესრულებულია.
კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია, შესაბამისად, ფუნქცია დიფერენცირებადია. 3) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული. წარმოებული ასევე ძალიან მარტივია და გვხვდება ჩვეულებრივი წესების მიხედვით: წარმოსახვითი ერთეული დიფერენციაციაში ითვლება მუდმივად. პასუხი: - რეალური ნაწილი, - წარმოსახვითი ნაწილი. კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია. წარმოებულის პოვნის კიდევ ორი გზა არსებობს, ისინი, რა თქმა უნდა, ნაკლებად ხშირად გამოიყენება, მაგრამ ინფორმაცია გამოგადგებათ მეორე გაკვეთილის გასაგებად - როგორ ვიპოვოთ რთული ცვლადის ფუნქცია.
წარმოებული შეიძლება მოიძებნოს ფორმულის გამოყენებით: Ამ შემთხვევაში:. აუცილებელია შებრუნებული ამოცანის ამოხსნა - მიღებულ გამონათქვამში აუცილებელია იზოლირება.
ამისათვის აუცილებელია ტერმინებში და ფრჩხილებიდან ამოღება:. საპირისპირო მოქმედება, როგორც ბევრმა შენიშნა, გარკვეულწილად უფრო რთული შესასრულებელია; გადამოწმებისთვის, ყოველთვის ჯობია აიღოთ გამოხატულება და პროექტზე, ან სიტყვიერად გახსნათ ფრჩხილები უკან, დარწმუნდით, რომ ის ზუსტად გამოვა. სარკის ფორმულა წარმოებულის საპოვნელად:. ამ შემთხვევაში: , ასე რომ:. განსაზღვრეთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები.
შეამოწმეთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება. თუ კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია, იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული. მოკლე გადაწყვეტა და დასრულების სავარაუდო ნიმუში გაკვეთილის ბოლოს. ყოველთვის დაკმაყოფილებულია კოში-რიმანის პირობები? თეორიულად, ისინი უფრო ხშირად არ სრულდება, ვიდრე არის. მაგრამ პრაქტიკულ მაგალითებში, მე არ მახსოვს შემთხვევა, როდესაც ისინი არ შესრულებულიყო =) ამრიგად, თუ თქვენი ნაწილობრივი წარმოებულები "არ ერთმანეთს ემთხვევა", მაშინ ძალიან დიდი ალბათობით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ სადმე შეცდომა დაუშვით. მოდით გავართულოთ ჩვენი ფუნქციები: განსაზღვრეთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები.
შეამოწმეთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება. გამოთვალეთ. ამოხსნა: ამოხსნის ალგორითმი მთლიანად შენარჩუნებულია, მაგრამ დასასრულს ემატება ახალი მოდა: წარმოებულის პოვნა წერტილში. კუბისთვის საჭირო ფორმულა უკვე მიღებულია: მოდით განვსაზღვროთ ამ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები: ყურადღება და ისევ ყურადღება. ამრიგად:.
არის ფუნქციის რეალური ნაწილი; არის ფუნქციის წარმოსახვითი ნაწილი. შევამოწმოთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება:. მეორე პირობის შემოწმება:. იგივე გამოვიდა, მაგრამ საპირისპირო ნიშნებით, ანუ პირობაც შესრულებულია. კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია, შესაბამისად, ფუნქცია დიფერენცირებადია:.
გამოთვალეთ წარმოებულის მნიშვნელობა საჭირო წერტილში:. პასუხი: კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია. კუბებით ფუნქციები ხშირია, ასე რომ, მაგალითია დაფიქსირებისთვის:. განსაზღვრეთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები.
შეამოწმეთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება. გამოთვალეთ.
გადაწყვეტილება და ნიმუშის დასრულება გაკვეთილის ბოლოს. კომპლექსური ანალიზის თეორიაში კომპლექსური არგუმენტის სხვა ფუნქციებიც არის განსაზღვრული: ექსპონენციალური, სინუსური, კოსინუსი და ა.შ. ამ ფუნქციებს აქვთ უჩვეულო და თუნდაც უცნაური თვისებები - და ეს მართლაც საინტერესოა! ძალიან მინდა გითხრათ, მაგრამ აი, ასე მოხდა, არა საცნობარო წიგნი ან სახელმძღვანელო, არამედ გამოსავალი, ამიტომ განვიხილავ იგივე ამოცანას რამდენიმე საერთო ფუნქციით. პირველ რიგში, ეილერის ფორმულების შესახებ:
ეილერის ფორმულები. ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის, შემდეგი ფორმულები მართალია: თქვენ ასევე შეგიძლიათ დააკოპიროთ ის თქვენს ნოუთბუქში, როგორც მითითება.
მკაცრად რომ ვთქვათ, არსებობს მხოლოდ ერთი ფორმულა, მაგრამ ჩვეულებრივ, მოხერხებულობისთვის, ისინი ასევე წერენ სპეციალურ შემთხვევას მინუს ინდიკატორში. პარამეტრი არ უნდა იყოს ერთი ასო, ეს შეიძლება იყოს რთული გამოხატულება, ფუნქცია, მხოლოდ მნიშვნელოვანია, რომ მათ მიიღონ მხოლოდ რეალური მნიშვნელობები. სინამდვილეში, ჩვენ ამას ახლავე დავინახავთ: განსაზღვრეთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები. შეამოწმეთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება. იპოვეთ წარმოებული.
გამოსავალი: პარტიის ზოგადი ხაზი ურყევი რჩება - აუცილებელია ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების გამოყოფა. მე მივცემ დეტალურ გადაწყვეტას და კომენტარს თითოეულ ნაბიჯზე ქვემოთ: Მას შემდეგ: (1) შემცვლელი "z". (2) ჩანაცვლების შემდეგ, მაჩვენებელში ჯერ უნდა გამოვყოთ რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები. ამისათვის გახსენით ფრჩხილები. (3) ჩვენ ვაჯგუფებთ ინდიკატორის წარმოსახვით ნაწილს, გამოვყოფთ წარმოსახვით ერთეულს ფრჩხილებიდან.
(4) გამოიყენეთ სასკოლო მოქმედება ძალაუფლებით. (5) მულტიპლიკატორისთვის ვიყენებთ ეილერის ფორმულას, ხოლო. (6) გააფართოვეთ ფრჩხილები, შედეგად:. არის ფუნქციის რეალური ნაწილი; არის ფუნქციის წარმოსახვითი ნაწილი. შემდგომი ქმედებები სტანდარტულია, მოდით შევამოწმოთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება: ნაწილობრივი წარმოებულები ისევ არ არის ძალიან რთული, მაგრამ ყველა მეხანძრესთვის მან ისინი მაქსიმალურად დეტალურად დახატა.
მოდით შევამოწმოთ მეორე პირობა: კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია, ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს:. პასუხი: კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია. ეილერის მეორე ფორმულისთვის, დამოუკიდებელი ამოხსნის ამოცანა: განსაზღვრეთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები. შეამოწმეთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება, იპოვეთ წარმოებული.
სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. ! ყურადღება! ეილერის ფორმულაში მინუს ნიშანი ეხება წარმოსახვით ნაწილს, ანუ. მინუსს ვერ დაკარგავ. პირდაპირ ეილერის ფორმულებიდან შეიძლება გამოვიტანოთ სინუსისა და კოსინუსის რეალურ და წარმოსახვით ნაწილებად გაფართოების ფორმულა. დასკვნა თავისთავად საკმაოდ მოსაწყენია, აი, სხვათა შორის, ჩემს სახელმძღვანელოში თვალწინ (ბოჰანი, კალკულუსი, ტომი 2). ამიტომ, მე დაუყოვნებლივ მივცემ დასრულებულ შედეგს, რომელიც კვლავ სასარგებლოა ჩემს საცნობარო წიგნში გადასაწერად:
პარამეტრები "ალფა" და "ბეტა" იღებენ მხოლოდ რეალურ მნიშვნელობებს, მათ შორის შეიძლება იყოს რთული გამონათქვამები, რეალური ცვლადის ფუნქციები. გარდა ამისა, ფორმულაში დახატული იყო ჰიპერბოლური ფუნქციები, დიფერენცირებისას ისინი ერთმანეთში გადაიქცევიან, შემთხვევითი არ არის, რომ მე მათ წარმოებულთა ცხრილში შევიტანე. განსაზღვრეთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები. შეამოწმეთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება. ასე რომ იყოს, ჩვენ ვერ ვიპოვით წარმოებულს.
ამოხსნა: ამოხსნის ალგორითმი ძალიან ჰგავს წინა ორ მაგალითს, მაგრამ არის ძალიან მნიშვნელოვანი პუნქტები, ამიტომ საწყის ეტაპზე კომენტარს გავაკეთებ ეტაპობრივად: Მას შემდეგ: 1) „z“-ის ნაცვლად ვცვლით. (2) პირველ რიგში, აირჩიეთ ნამდვილი და წარმოსახვითი ნაწილები სინუსში. ამ მიზნით გახსენით ფრჩხილები. (3) ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას, ამ შემთხვევაში.
(4) ვიყენებთ ჰიპერბოლური კოსინუსის პარიტეტს. და ჰიპერბოლური სინუსის უცნაურობა.
ჰიპერბოლიკა, მართალია, ამ სამყაროს არ ეკუთვნის, მაგრამ მრავალი თვალსაზრისით ჰგავს მსგავს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს. არის ფუნქციის რეალური ნაწილი; არის ფუნქციის წარმოსახვითი ნაწილი.
ყურადღება! მინუს ნიშანი ეხება წარმოსახვით ნაწილს და არავითარ შემთხვევაში არ უნდა დავკარგოთ იგი! ვიზუალური ილუსტრაციისთვის, ზემოთ მიღებული შედეგი შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: შევამოწმოთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება:. კოში-რიმანის პირობები შესრულებულია. პასუხი: კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია.
კოსინუსთან დაკავშირებით, ქალბატონებო და ბატონებო, ჩვენ თვითონ გაუმკლავდებით მას: განსაზღვრეთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები. შეამოწმეთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება. შეგნებულად შევარჩიე უფრო რთული მაგალითები, რადგან ყველას შეუძლია გაუმკლავდეს რაღაცას, როგორიცაა გახეხილი არაქისი. ამავე დროს, მოამზადეთ თქვენი ყურადღება! მაკნატუნა გაკვეთილის ბოლოს.
დასასრულს, მე განვიხილავ კიდევ ერთ საინტერესო მაგალითს, როდესაც რთული არგუმენტი არის მნიშვნელში. პრაქტიკაში რამდენჯერმე შევხვდით, მოდით გავაანალიზოთ რაღაც მარტივი. ოჰ, დავბერდი... განსაზღვრეთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები.
შეამოწმეთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება. ამოხსნა: ისევ აუცილებელია ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების გამოყოფა. ჩნდება კითხვა, რა უნდა გავაკეთოთ, როდესაც "Z" არის მნიშვნელში. ყველაფერი მარტივია - მრიცხველისა და მნიშვნელის გამრავლების სტანდარტული მეთოდი კონიუგატულ გამოხატულებაში დაგეხმარებათ. უკვე გამოყენებულია გაკვეთილის კომპლექსური ნომრები დუმებისთვის მაგალითებში. გავიხსენოთ სკოლის ფორმულა. ჩვენ უკვე გვაქვს მნიშვნელში, ასე რომ ეს იქნება კონიუგატური გამოხატულება.
ამრიგად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მრიცხველი და მნიშვნელი:. სულ ესაა და გეშინოდა: არის ფუნქციის რეალური ნაწილი; არის ფუნქციის წარმოსახვითი ნაწილი. მესამედ ვიმეორებ - არ დაკარგო წარმოსახვითი ნაწილის მინუსი. შევამოწმოთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება.
უნდა ითქვას, რომ ნაწილობრივი წარმოებულები აქ არ არის ოჰ-ჰო, მაგრამ არა უმარტივესი:. კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია. პასუხი: კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია. როგორც ეპილოგი, მოკლე მოთხრობა სისულელეზე, ან იმაზე, თუ რომელი მასწავლებლის კითხვებია ყველაზე რთული. ყველაზე რთული კითხვები, უცნაურად საკმარისია, ის კითხვებია, რომლებსაც აშკარა პასუხები აქვთ.
სიუჟეტი კი ასეთია: ადამიანი გამოცდას აბარებს ალგებრაში, ბილეთის თემაა "ალგებრის ფუნდამენტური თეორემის დასკვნა". გამომცდელი უსმენს, უსმენს და შემდეგ უცებ ეკითხება: "საიდან მოდის ეს?". აქ ეს იყო სისულელე, ასე რომ, სისულელე. მთელი აუდიტორია უკვე აღელვებული იყო, მაგრამ სტუდენტმა არ თქვა სწორი პასუხი: „ალგებრის ფუნდამენტური თეორემიდან“.
ისტორია პირადი გამოცდილებიდან მახსოვს, ფიზიკას ჩავაბარებ, რაღაც სითხის წნევაზე, რაც აღარ მახსოვს, მაგრამ ნახატი სამუდამოდ დარჩა ჩემს მეხსიერებაში - მოხრილი მილი, რომლითაც სითხე მიედინებოდა. მე ვუპასუხე ბილეთს "შესანიშნავი" და მე თვითონაც მივხვდი რა ვუპასუხე. და ბოლოს, მასწავლებელი ეკითხება: "სად არის აქ მიმდინარე მილი?".
მე ვატრიალე და ვატრიალე ეს ნახატი მოხრილი მილით დაახლოებით ხუთი წუთის განმავლობაში, გამოვხატე ყველაზე ველური ვერსიები, დავხერხე მილი, დავხატე რამდენიმე პროექცია. და პასუხი მარტივი იყო, მიმდინარე მილი არის მთელი მილი. კარგად განვტვირთეთ, შევხვდებით გაკვეთილზე როგორ ვიპოვოთ რთული ცვლადის ფუნქცია? არის საპირისპირო პრობლემა.
ხანდახან ცხადია ყველაზე რთული, ყველას ვუსურვებ, რომ არ შეანელონ. გადაწყვეტილებები და პასუხები:.
მაგალითი 2: ამოხსნა: რადგან, მაშინ:. პასუხი: - რეალური ნაწილი, - წარმოსახვითი ნაწილი. მაგალითი 4: ამოხსნა: მას შემდეგ, რაც:. ამრიგად:. არის ფუნქციის რეალური ნაწილი;
არის ფუნქციის წარმოსახვითი ნაწილი. შევამოწმოთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება:. პირობა შესრულებულია. პირობაც შესრულებულია. კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია, ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს:. პასუხი: - რეალური ნაწილი, - წარმოსახვითი ნაწილი. კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია.
მაგალითი 6: ამოხსნა: დაადგინეთ ამ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები. ამრიგად:. არის ფუნქციის რეალური ნაწილი; არის ფუნქციის წარმოსახვითი ნაწილი. შევამოწმოთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება:. კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია. პასუხი: კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია.
მაგალითი 8: ამოხსნა: მას შემდეგ, რაც:. ამრიგად:. არის ფუნქციის რეალური ნაწილი;
არის ფუნქციის წარმოსახვითი ნაწილი. შევამოწმოთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება:. კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია, ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს:. პასუხი: კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია. მაგალითი 10: ამოხსნა: მას შემდეგ, შემდეგ:. ამრიგად:. არის ფუნქციის რეალური ნაწილი;
არის ფუნქციის წარმოსახვითი ნაწილი. შევამოწმოთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება:. კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია. პასუხი: კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია.
ბიბლიოთეკის მეთიუ. ფორუმებიბიბლიოთეკა > წიგნები მათემატიკაზე > რთული ცვლადი ფუნქციები
რთული ცვლადი ფუნქციები
- აიზენბერგი L.A., Yuzhakov A.P. ინტეგრალური წარმოდგენები და ნარჩენები მრავალგანზომილებიან კომპლექსურ ანალიზში. Nsb.: Nauka, 1979 (djvu)
- Alfopc L. ლექციები კვაზიკონფორმალური რუკების შესახებ. M.: Mir, 1969 (djvu)
- Alfors L., Bers L. Riemannian ზედაპირული სივრცეები და კვაზიკონფორმალური რუკებები. M.: IL, 1961 (djvu)
- ანგილეიკო ი.მ., კოზლოვა რ.ვ. რთული ცვლადის ფუნქციების თეორიის ამოცანები. მნ.: ვიშ. სკოლა, 1976 წელი (djvu)
- არამანოვიჩ ი.გ., ლანტსი გ.ლ., ელსგოლც ლ.ე. რთული ცვლადის ფუნქციები. ოპერატიული გაანგარიშება. სტაბილურობის თეორია (მე-2 გამოცემა). მოსკოვი: ნაუკა, 1968 (djvu)
- ავდეევი ნ.ია. სამუშაო წიგნი-ვორქშოპი რთული ცვლადის ფუნქციების თეორიის კურსის შესახებ. M.: Uchpedgiz, 1959 (djvu)
- ბელინსკი პ.პ. კვაზიკონფორმალური რუკების ზოგადი თვისებები. Nsb.: Nauka, 1974 (djvu)
- Biberbach L. ანალიტიკური გაგრძელება. მოსკოვი: ნაუკა, 1967 (djvu)
- ბიწაძე ა.ვ. რთული ცვლადის ანალიტიკური ფუნქციების თეორიის საფუძვლები. მოსკოვი: Nauka, 1969 (djvu)
- ბოხნერი ს., მარტინ ვ.ტ. რამდენიმე რთული ცვლადის ფუნქციები. M.: IL, 1951 (djvu)
- Bremerman G. დისტრიბუციები, რთული ცვლადები და ფურიეს გარდაქმნები M.: Mir, 1968 (djvu)
- Valiron J. ანალიტიკური ფუნქციები. M.: GITTL, 1957 (djvu)
- Wiener N., Paley R. Fourier ტრანსფორმაცია კომპლექსურ დომენში. მოსკოვი: ნაუკა, 1964 (djvu)
- Wittich G. უახლესი კვლევა ერთმნიშვნელოვანი ანალიტიკური ფუნქციების შესახებ. მოსკოვი: Fizmatlit, 1960 (djvu)
- ვლადიმიროვი V.S. რამდენიმე რთული ცვლადის ფუნქციების თეორიის მეთოდები. მოსკოვი: ნაუკა, 1964 (djvu)
- ვოლკოვისკი L.I. კვაზიკონფორმალური რუკები. ლვოვი: ლვოვი. უნივერსიტეტი, 1954 (djvu)
- Wu H. თანაბარი დაყოფის თეორია ჰოლომორფული მოსახვევებისთვის. M.: Mir, 1973 (djvu)
- Jenkins J. უნივალენტური ფუნქციები და კონფორმალური რუკებები. M.: IL, 1962 (djvu)
- Gunning R., Rossi H. მრავალი რთული ცვლადის ანალიტიკური ფუნქციები. M.: Mir, 1969 (djvu)
- გახოვი ფ.დ. სასაზღვრო ამოცანები. M.: GIFML, 1958 (djvu)
- გახოვი ფ.დ. საზღვრების პრობლემები (მე-2 გამოცემა). M.: GIFML, 1963 (djvu)
- გახოვი ფ.დ. საზღვრების პრობლემები (მე-3 გამოცემა). მოსკოვი: ნაუკა, 1977 (djvu)
- გოლუბევი V.V. ერთმნიშვნელოვანი ანალიტიკური ფუნქციები არის ავტომორფული ფუნქციები. მოსკოვი: Fizmatlit, 1961 (djvu)
- გოლუზინი გ.მ. რთული ცვლადის ფუნქციების გეომეტრიული თეორია (მე-2 გამოცემა). მოსკოვი: ნაუკა, 1966 (djvu)
- გონჩაროვი ვ.ლ. რთული ცვლადის ფუნქციის თეორია. M.: Uchpedgiz, 1955 (djvu)
- გურვიცი ა., კურანტი რ. ფუნქციების თეორია. მოსკოვი: ნაუკა, 1968 (djvu)
- დემიდოვი ა.ს. ჰელმჰოლც-კირჩჰოფის მეთოდი (GK-მეთოდი). EqWorld, 19.09.2007 (pdf)
- ევგრაფიოვი მ.ა. (რედ.) ამოცანების კრებული ანალიტიკური ფუნქციების თეორიაში (მე-2 გამოცემა). M.: Nauka, 1972 (djvu)
- Siegel K. რამდენიმე რთული ცვლადის ავტომორფული ფუნქციები. M.: IL, 1954 (djvu)
- Carathéodory K. კონფორმალური რუქა. M.-L.: ONTI, 1934 (djvu)
- Kartan A. კომპლექსური ცვლადების ფუნქციების ელემენტარული თეორია. M.: IL, 1963 (djvu)
- Koppepfels V., Shtalman F. კონფორმალური რუკების პრაქტიკა. M.: IL, 1963 (djvu)
- კრასნოვი მ.ლ. კისელევი A.I. მაკარენკო გ.ი. რთული ცვლადის ფუნქციები. ოპერატიული გაანგარიშება. სტაბილურობის თეორია. მოსკოვი: ნაუკა, 1971 (djvu)
- Krushkal S.L., Apanasov B.N., Gusevsky N.A. უნიფორმიზაცია და კლეინური ჯგუფები. კოლექცია: NGU, 1979 (djvu)
- Courant R. რთული ცვლადის ფუნქციების გეომეტრიული თეორია. L.-M.: ONTI, 1934 (djvu)
- კურანტ რ. დირიხლეს პრინციპი, კონფორმული რუკების და მინიმალური ზედაპირები. M.: IL, 1953 (djvu)
- ლავრენტიევი მ.ა. კონფორმული რუკები მექანიკის ზოგიერთ კითხვაზე აპლიკაციებით. M.-L.: OGIZ, 1946 (djvu)
- ლავრენტიევი მ.ა., შაბათ ბ.ვ. რთული ცვლადის ფუნქციების თეორიის მეთოდები. მოსკოვი: ნაუკა, 1965 (djvu)
- ლევინ ბი.ია. მთელი ფუნქციების ფესვების განაწილება. M.: GITTL, 1956 (djvu)
- ლეონტიევი ა.ფ. გამოფენის რიგები. M.: Nauka, 1976 (djvu)
- Malgrange B. ლექციები რამდენიმე რთული ცვლადის ფუნქციების თეორიაზე. მოსკოვი: Nauka, 1969 (djvu)
- Mandelbroit S. ფუნქციების კვაზიანალიტიკური კლასები. L.-M.: ONTI, 1937 (djvu)
- მარკუშევიჩი A.I. ნარკვევები ანალიტიკური ფუნქციების თეორიის ისტორიის შესახებ. M.-L.: GITTL, 1951 (djvu)
- მილინ ი.მ. უნივალენტური ფუნქციები და ორთონორმული სისტემები. მოსკოვი: ნაუკა, 1971 (djvu)
- Milnor J. რთული ჰიპერზედაპირების სინგულარული წერტილები. M.: Mir, 1971 (djvu)
- მონახოვი V.N., Semenko E.V. სასაზღვრო მნიშვნელობის პრობლემები და ფსევდოდიფერენციალური ოპერატორები რიმანის ზედაპირებზე. მოსკოვი: Fizmatlit, 2003 (djvu)
- Montel P. ანალიტიკური ფუნქციების ნორმალური ოჯახები. M.-L.: ONTI, 1936 (djvu)
- Mors M. რთული ცვლადის ფუნქციების თეორიის ტოპოლოგიური მეთოდები. M.: IL, 1951 (djvu)
- Narasimhan R. ანალიზი რეალურ და კომპლექსურ მრავალფეროვნებაზე. M.: Mir, 1971 (djvu)
- Nevanlinna R. ერთმნიშვნელოვანი ანალიტიკური ფუნქციები. M.-L.: GITTL, 1941 (djvu)
- პეტრენკო ვ.პ. მერომორფული ფუნქციების ზრდა. ხარკოვი: KhSU, Vishcha სკოლა, 1978 (djvu)
- პრივალოვი ი.ი. ანალიტიკური ფუნქციების სასაზღვრო თვისებები (მე-2 გამოცემა). M.-L.: GITTL, 1950 (djvu)
- პრივალოვი ი.ი. სუბჰარმონიული ფუნქციები. M.-L.: GRTTL, 1937 (djvu)
- Rudin W. ფუნქციების თეორია მრავალწრეში. M.: Mir, 1974 (djvu)
- სვეშნიკოვი A.G., Tikhonov A.N. რთული ცვლადის ფუნქციების თეორია. მოსკოვი: ნაუკა, 1967 (djvu)
- Springer J. შესავალი რიმანის ზედაპირების თეორიაში. M.: IL, 1960 წ
