წრფივი უთანასწორობების ამოხსნა

რიცხვითი ტოლობების თვისებები დაგვეხმარა განტოლებების ამოხსნაში, ანუ ვიპოვოთ ცვლადის ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც განტოლება იქცევა ნამდვილ რიცხვობრივ თანასწორობაში. ანალოგიურად, რიცხვითი უტოლობების თვისებები დაგვეხმარება ცვლადით უტოლობების ამოხსნაში, ანუ ვიპოვოთ ცვლადის ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც ცვლადთან უტოლობა გადაიქცევა ნამდვილ რიცხვობრივ უტოლობად. ცვლადის თითოეულ ასეთ მნიშვნელობას ჩვეულებრივ უწოდებენ ცვლადთან უტოლობის ამოხსნას.

განვიხილოთ, მაგალითად, უთანასწორობა

2x + 5< 7.

ჩანაცვლება ნაცვლად Xმნიშვნელობა 0 , ვიღებთ 5 < 7 - ნამდვილი უთანასწორობა; ნიშნავს, x = 0 Xმნიშვნელობა 1 , ვიღებთ 7 < 7 - არასწორი უთანასწორობა; Ამიტომაც x = 1არ არის ამ უთანასწორობის გამოსავალი. ჩანაცვლება ნაცვლად Xმნიშვნელობა -3 , ვიღებთ -6 + 5 < 7 , ე.ი. - 1 < 7 - ნამდვილი უთანასწორობა; აქედან გამომდინარე, x = -3არის ამ უთანასწორობის გამოსავალი. ჩანაცვლება ნაცვლად Xმნიშვნელობა 2,5 , ვიღებთ 2 - 2,5 + 5 < 7 , ე.ი. 10 < 7 - არასწორი უთანასწორობა. ნიშნავს, x = 2.5არ არის უთანასწორობის გამოსავალი.

მაგრამ თქვენ გესმით, რომ ეს არის ჩიხი: არც ერთი მათემატიკოსი არ გადაჭრის უტოლობას ამ გზით, რადგან ყველა რიცხვის დალაგება შეუძლებელია! ეს არის სადაც თქვენ უნდა გამოიყენოთ რიცხვითი უტოლობების თვისებები, მსჯელობა შემდეგნაირად.

ჩვენ გვაინტერესებს ასეთი რიცხვები X, რომელიც 2x + 5< 7 - სწორი რიცხვითი უტოლობა. მაგრამ შემდეგ და 2x + 5 - 5< 7 - 5 - ჭეშმარიტი უტოლობა (საკუთრების 2-ის მიხედვით: უტოლობის ორივე ნაწილს დაემატა ერთი და იგივე რიცხვი - 5 ). მივიღეთ უფრო მარტივი უტოლობა 2x< 2 . მისი ორივე ნაწილის დაყოფა დადებით რიცხვზე 2 , ვიღებთ (მე-3 თვისებაზე დაყრდნობით) სწორ უტოლობას X< 1 .

Რას ნიშნავს? ეს ნიშნავს, რომ უტოლობის გამოსავალი არის ნებისმიერი რიცხვი X, რაც ნაკლებია 1 . ეს რიცხვები ავსებს ღია სხივს (-∞, 1) . ჩვეულებრივ ამბობენ, რომ ეს სხივი არის უთანასწორობის გამოსავალი 2x + 5< 7 (უფრო ზუსტი იქნებოდა, ვისაუბროთ ამონახსნთა ერთობლიობაზე, მაგრამ მათემატიკოსები, როგორც ყოველთვის, სიტყვებით ეკონომიურები არიან). ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ორი ვარიანტი ამ უთანასწორობის ამოხსნის დასაწერად: X< 1 ან (-∞, 1) .

რიცხვითი უტოლობების თვისებები საშუალებას გვაძლევს ვიხელმძღვანელოთ შემდეგი წესებით უტოლობების ამოხსნისას:

წესი 1. უტოლობის ნებისმიერი წევრი შეიძლება გადავიდეს უტოლობის ერთი ნაწილიდან მეორეზე საპირისპირო ნიშნით უტოლობის ნიშნის შეუცვლელად.

წესი 2. უტოლობის ორივე ნაწილი შეიძლება გავამრავლოთ ან გავყოთ ერთსა და იმავე დადებით რიცხვზე უტოლობის ნიშნის შეუცვლელად.

წესი 3. უტოლობის ორივე ნაწილი შეიძლება გავამრავლოთ ან გავყოთ ერთსა და იმავე უარყოფით რიცხვზე, ხოლო უტოლობის ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლა.

ჩვენ ვიყენებთ ამ წესებს წრფივი უტოლობების გადასაჭრელად, ანუ უტოლობები, რომლებიც ფორმამდე მცირდება ცული + b > 0(ან ცული + ბ< 0 ),

სადაც ადა ბ- ნებისმიერი ნომერი, ერთი გამონაკლისის გარდა: a ≠ 0.

მაგალითი 1

ამოხსენით უტოლობა Zx - 5 ≥ 7x - 15.

გადაწყვეტილება.

გადავიტანოთ წევრი 7xუტოლობის მარცხენა მხარეს და ტერმინი - 5 - უთანასწორობის მარჯვენა მხარეს, თანაც არ უნდა დაგვავიწყდეს წევრის ნიშნების შეცვლა 7xდა წევრი -5 (ჩვენ ვხელმძღვანელობთ 1-ლი წესით). შემდეგ მივიღებთ

Zx - 7x ≥ - 15 + 5, ე.ი. - 4x ≥ - 10.

ბოლო უტოლობის ორივე ნაწილი გავყოთ იმავე უარყოფით რიცხვზე - 4 , არ უნდა დაგვავიწყდეს საპირისპირო მნიშვნელობის უთანასწორობაზე გადასვლა (ხელმძღვანელობს მე-3 წესით). მიიღეთ X< 2,5 . ეს არის მოცემული უტოლობის გამოსავალი.

როგორც შევთანხმდით, ამოხსნის დასაწერად შეგიძლიათ გამოიყენოთ რიცხვითი ხაზის შესაბამისი ინტერვალის აღნიშვნა: (-∞, 2,5] .

პასუხი: X< 2,5 , ან (-∞, 2,5] .

უტოლობებისთვის, ისევე როგორც განტოლებისთვის, შემოღებულია ეკვივალენტობის ცნება. ორი უტოლობა f(x)< g(x) и r(x) < s(x) დაურეკა ექვივალენტითუ მათ აქვთ იგივე ამონახსნები (ან, კერძოდ, თუ ორივე უტოლობას არ აქვს ამონახსნები).

როგორც წესი, უტოლობის ამოხსნისას ცდილობენ ეს უტოლობა შეცვალონ უფრო მარტივი, მაგრამ მისი ექვივალენტურით. ასეთ ჩანაცვლებას ე.წ უტოლობის ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია. ეს გარდაქმნები მხოლოდ ზემოთ ჩამოყალიბებულ 1-3 წესებშია მითითებული.

მაგალითი 2

ამოხსენით უტოლობა

გადაწყვეტილება.

გაამრავლეთ უტოლობის ორივე მხარე დადებით რიცხვზე 15 უტოლობის ნიშნის უცვლელად დატოვება (წესი 2), ეს საშუალებას მოგვცემს გავთავისუფლდეთ მნიშვნელებისგან, ანუ გადავიდეთ მოცემულის ეკვივალენტურ მარტივ უტოლობაზე:

ბოლო უტოლობისთვის 1 წესის გამოყენებით, მივიღებთ მის ტოლფას მარტივ უტოლობას:

საბოლოოდ, მე-3 წესის გამოყენებით, მივიღებთ

პასუხი: ან

დასასრულს, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ რიცხვითი უტოლობების თვისებების გამოყენებით, ჩვენ, რა თქმა უნდა, ვერ მოვაგვარებთ რაიმე უტოლობას ცვლადით, მაგრამ მხოლოდ ერთი, რომელიც, მარტივი გარდაქმნების სერიის შემდეგ (როგორიცაა ის, რაც შესრულდა მაგალითებში. ეს პუნქტი), იღებს ფორმას ცული > ბ(> ნიშნის ნაცვლად, რა თქმა უნდა, შეიძლება იყოს ნებისმიერი სხვა უთანასწორობის ნიშანი, მკაცრი ან არამკაცრი).

§ 1 წრფივი უტოლობა

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გავაცნობთ წრფივი უტოლობის განმარტებას. განვიხილოთ თვისებები, რომლებიც გამოიყენება წრფივი უტოლობების ამოხსნისას. ვისწავლოთ როგორ ამოხსნათ წრფივი უტოლობა.

წრფივი უტოლობა არის ax + b > 0 ან ax + b ფორმის უტოლობა.< 0, где переменная или искомая величина, a и b- некоторые числа, причем a ≠ 0.

ვინაიდან უტოლობა შეიძლება იყოს მკაცრი და არამკაცრი, მაშინ წრფივ უტოლობას შეიძლება ჰქონდეს შემდეგი ფორმა ax+ b ≥0, ax+ b ≤ 0.

უტოლობა წრფივია, ვინაიდან x შედის უტოლობაში პირველი ხარისხით.

წრფივი უტოლობის ამონახსნი არის x ცვლადის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც უტოლობა გადაიქცევა ნამდვილ რიცხვობრივ უტოლობად.

აიღეთ უტოლობა 2x+5 > 0.

ჩაანაცვლეთ ნული x-ით. მივიღებთ 5 > 0. ეს არის სწორი უტოლობა. ანუ x=0 არის 2x+5>0 უტოლობის ამონახსნი.

x-ის ნაცვლად -2.5 მნიშვნელობის ჩანაცვლებით მივიღებთ 0 > 0. ეს არასწორი უტოლობაა. მაშასადამე, x= -2,5 არ არის წრფივი უტოლობის ამოხსნა 2x + 5>0. x-ის მნიშვნელობების არჩევით, შეგიძლიათ იპოვოთ კიდევ რამდენიმე კონკრეტული გადაწყვეტა.

ყველა ამონახსნის პოვნა ან იმის მტკიცება, რომ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები, ნიშნავს წრფივი უტოლობის ამოხსნას.

უტოლობებს, რომლებსაც აქვთ იგივე ამონახსნები, ექვივალენტი ეწოდება.

უტოლობების ამოხსნისას გამოიყენება წესები, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას ეკვივალენტური უტოლობების მისაღებად, რომლებიც ადვილად ამოსახსნელია.

§ 2 წრფივი უტოლობების ამოხსნის მაგალითები

ამოვხსნათ უტოლობა 2x+5>0. და პირველი წესი, რომელიც აქ შეიძლება გამოვიყენოთ, არის: თუ უტოლობის ტერმინს გადავიტანთ უტოლობის ერთი ნაწილიდან მეორეზე საპირისპირო ნიშნით, უტოლობის ნიშნის შეუცვლელად, მაშინ მივიღებთ ეკვივალენტურ უტოლობას.

უტოლობის ორივე მხარე გავყოთ 2-ზე. მივიღებთ x > -2.5.

პასუხი შეიძლება დაიწეროს ასე: x > -2,5 ან რიცხვითი ინტერვალის სახით

შედეგი არის დადებითად მიმართული ღია სხივი.

ღია, რადგან ჩვენი უტოლობა მკაცრია, რაც ნიშნავს, რომ რიცხვი -2.5 არ შედის რიცხვით დიაპაზონში.

მოვაგვაროთ კიდევ ერთი წრფივი უტოლობა 3x - 3 ≥ 7x - 15.

ისევე, როგორც წრფივი განტოლებების ამოხსნისას, X-ით ნაწილებს გადავიტანთ მარცხნივ, ხოლო რიცხვითი წევრებს მარჯვნივ. გადაცემისას არ დაგვავიწყდეს ტერმინების ნიშნების საპირისპიროდ შეცვლა. პირველი წესიდან გამომდინარე, უთანასწორობის ნიშანი არ იცვლება.

ვიღებთ 3x - 7x ≥ -15 + 3 ან -4x ≥ -12.

შემდეგი, ვიყენებთ მესამე წესს: თუ უტოლობის ორივე ნაწილი გამრავლდება ან იყოფა ერთსა და იმავე უარყოფით რიცხვზე, ხოლო უტოლობის ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლა, მაშინ მივიღებთ ეკვივალენტურ უტოლობას.

გაყავით უტოლობის ორივე მხარე -4-ზე.

ვიღებთ x ≤ 3.

ვაჩვენოთ ამონახსნი x-ღერძზე.

შედეგი არის უარყოფითად მიმართული დახურული სხივი. დახურულია, რადგან ჩვენი უტოლობა არ არის მკაცრი, რაც ნიშნავს, რომ რიცხვი 3 შედის რიცხვით ინტერვალში.

განვიხილოთ უფრო რთული წრფივი უტოლობის ამოხსნა

მეორე წესის გამოყენებით ვამრავლებთ უტოლობის ორივე ნაწილს 15-ზე. რიცხვი 15 იქნება წილადების საერთო მნიშვნელი.

გავამრავლოთ მრიცხველები დამატებით ფაქტორებზე.

ვიღებთ უტოლობას 5x + 6x - 3 > 30x.

პირველი წესის გამოყენებით ტერმინებს x-დან მარცხნივ გადავიტანთ, რიცხვით ტერმინებს მარჯვნივ, საპირისპიროზე გადატანისას ვცვლით ნიშნებს.

ვიღებთ -19x > 3.

გამოიყენეთ წესი სამი, გაყავით უტოლობის ორივე მხარე -19-ზე. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა შეცვალოთ უთანასწორობის ნიშანი საპირისპირო ნიშნით.

ვაჩვენოთ ამონახსნი x-ღერძზე.

შედეგი არის ღია სხივი, რადგან უტოლობა მკაცრია, რაც ნიშნავს, რომ რიცხვი არ შედის რიცხვით დიაპაზონში. ეს არის უარყოფითად მიმართული სხივი.

ჩვენ ვხსნით შემდეგ უტოლობას

გაამრავლეთ უტოლობის ორივე მხარე 4-ზე.

ჩვენ ვიღებთ 5 - 2x ≤ 8x. გადაიტანეთ ტერმინები x-დან მარცხნივ, რიცხვითი ტერმინები მარჯვნივ

2x - 8x ≤ -5 ან -10x ≤ -5.

გაყავით უტოლობის ორივე მხარე -10-ზე. ეს რიცხვი უარყოფითია, მე-3 წესის მიხედვით აუცილებელია უტოლობის ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლა.

ვიღებთ x≥0.5.

ვაჩვენოთ ამონახსნი x-ღერძზე.

შედეგი არის დახურული სხივი, რადგან უტოლობა არ არის მკაცრი, რაც ნიშნავს, რომ რიცხვი 0.5 შედის რიცხვით ინტერვალში. ეს არის დადებითად მიმართული სხივი.

გარდაქმნების შემდეგ უტოლობების ამოხსნისას შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ x-ზე კოეფიციენტი ნულის ტოლია, მაგალითად, 0∙x> b (ან 0∙x< b). Такое неравенство не имеет решений или решением является любое число.

ამოხსენით უტოლობა 2(x + 8) -5x< 4-3х.

გავხსნათ ფრჩხილები 2x + 16 - 5x< 4 - 3х.

თვისების პირველის გამოყენებით ტერმინებს x-დან მარცხნივ გადავიტანთ, ხოლო რიცხვებს მარჯვნივ მივიღებთ 0∙x.< -12. При любом значении х неравенство обращается в неравенство 0 < -12. Это неверное неравенство.

პასუხი: არ არის გამოსავალი ან ცარიელი ნაკრები.

გადავწყვიტოთ კიდევ ერთი უტოლობა x > x - 1.

გადავიტანოთ x მარჯვნიდან მარცხნივ, მივიღებთ 0∙x > -1. x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, უტოლობა გადაიქცევა უტოლობაში 0 > -1. ეს არის სწორი უთანასწორობა.

§ 3 გაკვეთილის შეჯამება

მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ:

წრფივი უტოლობა არის ax + b > 0 (ან ax + b) ფორმის უტოლობა< 0, aх+ b ≥ 0, aх+ b≤ 0), где х - переменная, a и b- некоторые числа, причем a≠0.

უტოლობის ამოხსნა ნიშნავს ყველა მისი ამოხსნის პოვნას ან იმის მტკიცებას, რომ გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

წრფივი უტოლობების ამოხსნისას გამოიყენება წესები, რომლებიც საშუალებას იძლევა ჩაანაცვლოს ეს უტოლობა ადვილად ამოსახსნელი ეკვივალენტური უტოლობებით:

1) თუ უტოლობის ვადა გადაინაცვლებს უტოლობის ერთი ნაწილიდან მეორეზე საპირისპირო ნიშნით, უტოლობის ნიშნის შეცვლის გარეშე, მაშინ მივიღებთ ეკვივალენტურ უტოლობას;

2) თუ უტოლობის ორივე ნაწილი გამრავლდება ან იყოფა იმავე დადებით რიცხვზე უტოლობის ნიშნის შეუცვლელად, მაშინ მივიღებთ ეკვივალენტურ უტოლობას;

3) თუ უტოლობის ორივე ნაწილი გამრავლებულია ან იყოფა ერთსა და იმავე უარყოფით რიცხვზე, ხოლო უტოლობის ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლა, მაშინ მივიღებთ ეკვივალენტურ უტოლობას.

ამ წესების გამოყენების მიზანია წრფივი უტოლობის შემცირება x > b/a ან x ფორმამდე< b/a.

წრფივი უტოლობის ამოხსნა არის რიცხვითი ინტერვალი. ეს შეიძლება იყოს ღია ან დახურული ნომრის სხივი, რომელიც შეიძლება იყოს ან

დადებითად და უარყოფითად მიმართული.

გამოყენებული ლიტერატურის სია:

1. მაკარიჩევი იუ.ნ., ნ.გ. მინდიუკი, ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ., რედაქტორი თელიაკოვსკი ს.ა. ალგებრა: სახელმძღვანელო. 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები. - მ.: განათლება, 2013 წ.
2. მორდკოვიჩი ა.გ. Ალგებრა. კლასი 8: ორ ნაწილად. ნაწილი 1: პროკ. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები. - მ.: მნემოსინე.
3. რურუკინი ა.ნ. გაკვეთილის განვითარება ალგებრაში: კლასი 8. - M .: VAKO, 2010 წ.
4. ალგებრა მე-8 კლასი: გაკვეთილის გეგმები სახელმძღვანელოს მიხედვით Yu.N. მაკარიჩევა, ნ.გ. მინდიუკი, კ.ი. ნეშკოვა, ს.ბ. სუვოროვა / Auth.-comp. თ.ლ. აფანასიევი, ლ.ა. ტაპილინა. - ვოლგოგრადი: მასწავლებელი, 2005 წ.

რა უნდა იცოდეთ უთანასწორობის ხატების შესახებ? ხატების უთანასწორობა მეტი (> ), ან უფრო პატარა (< ) უწოდებენ მკაცრი.ხატებით მეტი თუ თანაბარი (≥ ), ნაკლები ან თანაბარი (≤ ) უწოდებენ არა მკაცრი.Ხატი არ უდრის (≠ ) მარტო დგას, მაგრამ მაგალითების ამოხსნაც ყოველთვის ასეთი ხატით გიწევს. და ჩვენ გავაკეთებთ.)

თავად ხატულა დიდად არ მოქმედებს გადაწყვეტის პროცესზე. მაგრამ ამოხსნის ბოლოს, საბოლოო პასუხის არჩევისას, ხატის მნიშვნელობა მთელი ძალით ჩნდება! როგორც ქვემოთ დავინახავთ, მაგალითებში. რაღაც ხუმრობებია...

უთანასწორობა, ისევე როგორც თანასწორობა, არის ერთგული და ორგული.აქ ყველაფერი მარტივია, ხრიკების გარეშე. ვთქვათ 5 > 2 არის სწორი უტოლობა. 5 < 2 არასწორია.

ასეთი მომზადება მუშაობს უთანასწორობებზე ნებისმიერი სახისდა მარტივი საშინელებამდე.) თქვენ უბრალოდ უნდა სწორად შეასრულოთ ორი (მხოლოდ ორი!) ელემენტარული მოქმედება. ეს მოქმედებები ყველასთვის ნაცნობია. მაგრამ, რაც დამახასიათებელია, ამ ქმედებებში ჯამები არის მთავარი შეცდომა უთანასწორობის ამოხსნისას, დიახ... ამიტომ ეს მოქმედებები უნდა განმეორდეს. ამ მოქმედებებს ასე უწოდებენ:

უტოლობების იდენტობის გარდაქმნები.

უტოლობების იდენტობის გარდაქმნები ძალიან ჰგავს განტოლებათა იდენტურ გარდაქმნებს. სინამდვილეში, ეს არის მთავარი პრობლემა. განსხვავებები სცდება თავში და ... ჩამოვიდა.) ამიტომ, მე განსაკუთრებით გამოვყოფ ამ განსხვავებებს. ასე რომ, უტოლობების პირველი იდენტური ტრანსფორმაცია:

1. უტოლობის ორივე ნაწილს შეიძლება დაემატოს (გამოკლდეს) ერთი და იგივე რიცხვი ან გამონათქვამი. ნებისმიერი. უთანასწორობის ნიშანი არ შეიცვლება.

პრაქტიკაში, ეს წესი გამოიყენება როგორც ტერმინების გადატანა უტოლობის მარცხენა მხრიდან მარჯვენა მხარეს (და პირიქით) ნიშნის ცვლილებით. ტერმინის ნიშნის ცვლილებით და არა უთანასწორობით! ერთი-ერთზე წესი იგივეა, რაც განტოლებების წესი. მაგრამ შემდეგი იდენტური გარდაქმნები უტოლობაში მნიშვნელოვნად განსხვავდება განტოლებებისგან. ამიტომ მე მათ წითლად გამოვყოფ:

2. უტოლობის ორივე ნაწილი შეიძლება გამრავლდეს (გაიყოს) ერთზედადებითინომერი. ნებისმიერისთვისდადებითი არ შეიცვლება.

3. უტოლობის ორივე ნაწილი შეიძლება გამრავლდეს (გაიყოს) ერთზეუარყოფითინომერი. ნებისმიერისთვისუარყოფითინომერი. უთანასწორობის ნიშანი აქედანპირიქით შეიცვლება.

გახსოვთ (იმედია...) რომ განტოლება შეიძლება გამრავლდეს/გაყოთ ნებისმიერზე. და ნებისმიერი რიცხვისთვის და x-ით გამოსახულებისთვის. სანამ ის არ არის ნული. ის, განტოლება, აქედან არც ცხელია და არც ცივი.) არ იცვლება. მაგრამ უტოლობები უფრო მგრძნობიარეა გამრავლების/გაყოფის მიმართ.

კარგი მაგალითია ხანგრძლივი მეხსიერებისთვის. ჩვენ ვწერთ უთანასწორობას, რომელიც არ იწვევს ეჭვებს:

5 > 2

გავამრავლოთ ორივე მხარე +3, ჩვენ ვიღებთ:

15 > 6

არის რაიმე წინააღმდეგობა? წინააღმდეგობები არ არის.) ხოლო თუ თავდაპირველი უტოლობის ორივე ნაწილს გავამრავლებთ -3, ჩვენ ვიღებთ:

15 > -6

და ეს არის პირდაპირი ტყუილი.) სრული სიცრუე! ხალხის მოტყუება! მაგრამ როგორც კი უთანასწორობის ნიშანი შებრუნებულია, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება:

15 < -6

ტყუილისა და მოტყუების შესახებ - უბრალოდ არ ვფიცავ.) "დამავიწყდა უთანასწორობის ნიშნის შეცვლა..."- ეს სახლშიშეცდომა უტოლობების ამოხსნისას. ამ წვრილმანმა და გაურთულებელმა წესმა უამრავი ადამიანი დააზარალა! ვისაც დაავიწყდა...) ასე რომ ვფიცავ. იქნებ გახსოვდეს...)

ვინც განსაკუთრებით ყურადღებიანია, შეამჩნევს, რომ უტოლობა არ შეიძლება გამრავლდეს x-ით გამოხატულებით. პატივი ეცით ყურადღებას!) და რატომაც არა? პასუხი მარტივია. ჩვენ არ ვიცით ამ გამოხატვის ნიშანი x-ით. ეს შეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი... ამიტომ არ ვიცით, რა უტოლობის ნიშანი დავაყენოთ გამრავლების შემდეგ. შევცვალო თუ არა? უცნობი. რა თქმა უნდა, ეს შეზღუდვა (უტოლობის გამრავლების/გაყოფის აკრძალვა x-ით გამოსახულებით) შეიძლება გვერდის ავლით. თუ მართლა გჭირდება. მაგრამ ეს სხვა გაკვეთილების თემაა.

ეს არის უთანასწორობის ყველა იდენტური ტრანსფორმაცია. კიდევ ერთხელ შეგახსენებთ, რომ ისინი მუშაობენ ნებისმიერიუთანასწორობები. ახლა კი შეგიძლიათ გადახვიდეთ კონკრეტულ ტიპებზე.

წრფივი უტოლობა. გამოსავალი, მაგალითები.

წრფივ უტოლობას უწოდებენ უტოლობას, რომელშიც x პირველ ხარისხშია და არ არის გაყოფა x-ზე. ტიპი:

x+3 > 5x-5

როგორ წყდება ეს უთანასწორობები? მათი გადაჭრა ძალიან მარტივია! კერძოდ: დახმარებით ვამცირებთ ყველაზე დაბნეულ წრფივ უტოლობას პირდაპირ პასუხზე.ეს არის მთელი გამოსავალი. მე გამოვყოფ გადაწყვეტის მთავარ პუნქტებს. სულელური შეცდომების თავიდან ასაცილებლად.)

ჩვენ ვხსნით ამ უტოლობას:

x+3 > 5x-5

ჩვენ ვხსნით ისევე, როგორც წრფივი განტოლება. ერთადერთი განსხვავებით:

ყურადღება მიაქციეთ უთანასწორობის ნიშანს!

პირველი ნაბიჯი ყველაზე გავრცელებულია. x-ით - მარცხნივ, x-ის გარეშე - მარჯვნივ... ეს არის პირველი იდენტური ტრანსფორმაცია, მარტივი და უპრობლემოდ.) მხოლოდ გადაყვანილი წევრების ნიშნების შეცვლა არ დაგავიწყდეთ.

უთანასწორობის ნიშანი შენარჩუნებულია:

x-5x > -5-3

წარმოგიდგენთ მსგავსებს.

უთანასწორობის ნიშანი შენარჩუნებულია:

4x > -8

რჩება ბოლო იდენტური ტრანსფორმაციის გამოყენება: გაყავით ორივე ნაწილი -4-ზე.

გაყავით უარყოფითინომერი.

უთანასწორობის ნიშანი შებრუნებული იქნება:

X < 2

ეს არის პასუხი.

ასე იხსნება ყველა წრფივი უტოლობა.

ყურადღება! წერტილი 2 დახატულია თეთრი, ე.ი. შეუღებავი. შიგნით ცარიელი. ეს ნიშნავს, რომ ის არ შედის პასუხში! განზრახ დავხატე ასე ჯანმრთელად. ასეთი წერტილი (ცარიელი, არა ჯანსაღი!)) მათემატიკაში ე.წ დარტყმული წერტილი.

ღერძზე დარჩენილი რიცხვების მონიშვნა შესაძლებელია, მაგრამ არა აუცილებელი. ზედმეტი რიცხვები, რომლებიც არ არის დაკავშირებული ჩვენს უთანასწორობასთან, შეიძლება დამაბნეველი იყოს, დიახ... უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ, რომ რიცხვების ზრდა ისრის მიმართულებით მიდის, ე.ი. ნომრები 3, 4, 5 და ა.შ. არიან მარჯვნივორები და რიცხვები 1, 0, -1 და ა.შ. - მარცხნივ.

უტოლობა x < 2 - მკაცრი. X მკაცრად ნაკლებია ორზე. როდესაც ეჭვი გეპარებათ, შემოწმება მარტივია. ჩვენ ვცვლით საეჭვო რიცხვს უტოლობაში და ვფიქრობთ: "ორი ნაკლებია ორზე? რა თქმა უნდა არა!" ზუსტად. უტოლობა 2 < 2 არასწორი.დიუსი არ არის კარგი პასუხისთვის.

ერთი საკმარისია? Რა თქმა უნდა. ნაკლები ... და ნული კარგია და -17 და 0.34... დიახ, ყველა რიცხვი, რომელიც ორზე ნაკლებია, კარგია! და კიდევ 1,9999 .... ცოტა მაინც, მაგრამ ნაკლები!

ასე რომ, ჩვენ აღვნიშნავთ ყველა ამ რიცხვს რიცხვის ღერძზე. Როგორ? აქ არის ვარიანტები. პირველი ვარიანტი არის გამოჩეკვა. სურათზე მაუსის გადატანა (ან ტაბლეტზე სურათს ვეხებით) და ვხედავთ, რომ x-ების ის ნაწილი, რომელიც ემთხვევა x-ის მდგომარეობას, დაჩრდილულია. < 2 . Სულ ეს არის.

განვიხილოთ მეორე ვარიანტი მეორე მაგალითში:

X ≥ -0,5

დახაზეთ ღერძი, მონიშნეთ რიცხვი -0.5. Ამგვარად:

შენიშნე განსხვავება?) ჰო, ძნელია არ შეამჩნიო... ეს წერტილი შავია! მოხატული. ეს ნიშნავს, რომ -0.5 პასუხში შედის.აი, სხვათა შორის, ვიღაცას ამოწმებს და აბნევს. ჩვენ ვცვლით:

-0,5 ≥ -0,5

Როგორ თუ? -0,5 სხვა არაფერია, თუ არა -0,5! კიდევ არის ხატი...

Ყველაფერი კარგადაა. არამკაცრ უთანასწორობაში, ყველაფერი, რაც შეესაბამება ხატს, შესაფერისია. და უდრისმორგებული და მეტიკარგი. ამიტომ პასუხში შედის -0.5.

ასე რომ, ჩვენ აღვნიშნეთ -0.5 ღერძზე, რჩება აღვნიშნოთ ყველა რიცხვი, რომელიც მეტია -0.5-ზე. ამჯერად მე აღვნიშნავ შესაფერისი x მნიშვნელობების დიაპაზონს ბორკილი(სიტყვიდან რკალი) ვიდრე გამოჩეკვა. გადაიტანეთ სურათზე და ნახეთ ეს მშვილდი.

გამოჩეკვასა და თაღებს შორის განსაკუთრებული განსხვავება არ არის. გააკეთე ისე, როგორც მასწავლებელი ამბობს. თუ მასწავლებელი არ არის, დახაზეთ მკლავები. უფრო რთულ ამოცანებში გამოჩეკვა ნაკლებად აშკარაა. შეიძლება დაიბნე.

ასე იხაზება წრფივი უტოლობა ღერძზე. გადავდივართ უტოლობათა შემდეგ სინგულარულობაზე.

დაწერეთ პასუხი უტოლობაზე.

კარგი იყო განტოლებებში.) ვიპოვეთ x და ჩავწერეთ პასუხი, მაგალითად: x \u003d 3. უტოლობებში არსებობს პასუხების წერის ორი ფორმა. ერთი - საბოლოო უტოლობის სახით. კარგია მარტივი შემთხვევებისთვის. Მაგალითად:

X< 2.

ეს არის სრული პასუხი.

ზოგჯერ საჭიროა ერთი და იგივეს დაწერა, მაგრამ განსხვავებული ფორმით, რიცხვითი ხარვეზებით. შემდეგ ჩანაწერი ძალიან მეცნიერულად გამოიყურება):

x ∈ (-∞; 2)

ხატის ქვეშ ∈ სიტყვის დამალვა "ეკუთვნის".

ჩანაწერი ასე იკითხება: x ეკუთვნის ინტერვალს მინუს უსასრულობიდან ორამდე არ მოიცავს. საკმაოდ ლოგიკური. X შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი ყველა შესაძლო რიცხვიდან მინუს უსასრულობიდან ორამდე. ორმაგი X არ შეიძლება იყოს, რასაც სიტყვა გვეუბნება "არ მოიცავს".

სად არის ეს პასუხში "არ მოიცავს"? ეს ფაქტი პასუხშია აღნიშნული. მრგვალიფრჩხილები დუსის შემდეგ დაუყოვნებლივ. თუ დეუზა ჩართული იქნებოდა, ფრჩხილები იქნებოდა კვადრატი.Აქ არის: ]. შემდეგი მაგალითი იყენებს ასეთ ფრჩხილს.

ჩავწეროთ პასუხი: x ≥ -0,5 ინტერვალებით:

x ∈ [-0,5; +∞)

კითხულობს: x ეკუთვნის ინტერვალს მინუს 0,5-დან, მათ შორის,პლუს უსასრულობამდე.

უსასრულობა ვერასოდეს ჩაირთვება. ეს არ არის რიცხვი, ეს სიმბოლოა. ამიტომ, ასეთ ჩანაწერებში უსასრულობა ყოველთვის თანაარსებობს ფრჩხილებთან.

ჩაწერის ეს ფორმა მოსახერხებელია კომპლექსური პასუხებისთვის, რომლებიც შედგება რამდენიმე ხარვეზისგან. მაგრამ - მხოლოდ საბოლოო პასუხებისთვის. შუალედურ შედეგებში, სადაც შემდგომი ამოხსნაა მოსალოდნელი, უმჯობესია გამოიყენოთ ჩვეულებრივი ფორმა, მარტივი უტოლობის სახით. ამას შესაბამის თემებში შევეხებით.

პოპულარული ამოცანები უთანასწორობით.

თავად წრფივი უტოლობა მარტივია. ამიტომ, დავალებები ხშირად რთულდება. ასე რომ, საჭირო იყო. ეს თუ ჩვევის გამო არ არის ძალიან სასიამოვნო.) მაგრამ სასარგებლოა. მე გაჩვენებთ ასეთი დავალებების მაგალითებს. არა იმისთვის, რომ ისწავლო ისინი, ეს ზედმეტია. და იმისათვის, რომ არ შეგეშინდეთ მსგავს მაგალითებთან შეხვედრისას. ცოტა ფიქრი - და ყველაფერი მარტივია!)

1. იპოვეთ ნებისმიერი ორი ამონახსნები 3x - 3 უტოლობაზე< 0

თუ არ არის ძალიან ნათელი რა უნდა გააკეთოს, გახსოვდეთ მათემატიკის მთავარი წესი:

თუ არ იცი რა გააკეთო, გააკეთე რაც შეგიძლია!

X < 1

Მერე რა? Არაფერი განსაკუთრებული. რას გვეკითხებიან? ჩვენ გვთხოვენ ვიპოვოთ ორი კონკრეტული რიცხვი, რომლებიც გამოსავალია უტოლობისთვის. იმათ. შეესაბამება პასუხს. ორი ნებისმიერინომრები. სინამდვილეში, ეს უხერხულია.) რამდენიმე 0 და 0.5 შესაფერისია. წყვილი -3 და -8. დიახ, ამ წყვილების უსასრულო რაოდენობაა! რა არის სწორი პასუხი?!

მე ვპასუხობ: ყველაფერი! რიცხვების ნებისმიერი წყვილი, რომელთაგან თითოეული ერთზე ნაკლებია, სწორი პასუხი იქნება.დაწერე რაც გინდა. მოდით წავიდეთ უფრო შორს.

2. ამოხსენით უტოლობა:

4x - 3 ≠ 0

ასეთი სამუშაოები იშვიათია. მაგრამ, როგორც დამხმარე უტოლობა, მაგალითად, ODZ-ის პოვნისას, ან ფუნქციის დომენის პოვნისას, ისინი ყოველთვის გვხვდება. ასეთი წრფივი უტოლობა შეიძლება ამოიხსნას როგორც ჩვეულებრივი წრფივი განტოლება. მხოლოდ ყველგან, გარდა "=" ნიშნისა ( უდრის) დადეთ ნიშანი " ≠ " (არ უდრის). ასე რომ, თქვენ მიხვალთ პასუხამდე, უთანასწორობის ნიშნით:

X ≠ 0,75

უფრო რთულ მაგალითებში სჯობს საქმეები სხვაგვარად გააკეთოთ. გაუტოლეთ უტოლობას. Ამგვარად:

4x - 3 = 0

მშვიდად მოაგვარეთ ის, როგორც ასწავლეს და მიიღეთ პასუხი:

x = 0.75

მთავარია, ბოლოს და ბოლოს, საბოლოო პასუხის ჩაწერისას, არ დაგვავიწყდეს, რომ ჩვენ ვიპოვეთ x, რომელიც იძლევა თანასწორობა.და ჩვენ გვჭირდება - უთანასწორობა.ამიტომ, ჩვენ უბრალოდ არ გვჭირდება ეს X.) და ჩვენ უნდა ჩავწეროთ ის სწორი ხატით:

X ≠ 0,75

ეს მიდგომა იწვევს ნაკლებ შეცდომებს. ვინც ხსნის განტოლებებს მანქანაზე. და მათთვის, ვინც არ ხსნის განტოლებებს, უტოლობები, ფაქტობრივად, უსარგებლოა ...) პოპულარული დავალების კიდევ ერთი მაგალითი:

3. იპოვეთ უტოლობის უმცირესი მთელი რიცხვის ამონახსნი:

3 (x - 1) < 5x + 9

პირველ რიგში, ჩვენ უბრალოდ ვხსნით უტოლობას. ვხსნით ფრჩხილებს, გადავიტანთ, ვაძლევთ მსგავსებს... ვიღებთ:

X > - 6

არ მოხდა!? დაიცავით ნიშნები? და წევრების ნიშნების მიღმა და უთანასწორობის ნიშნის მიღმა ...

კიდევ ერთხელ წარმოვიდგინოთ. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ კონკრეტული რიცხვი, რომელიც შეესაბამება პასუხსაც და პირობასაც "უმცირესი მთელი რიცხვი".თუ მაშინვე არ გათენდა, შეგიძლიათ უბრალოდ აიღოთ ნებისმიერი რიცხვი და გაარკვიოთ. ორი მეტია მინუს ექვსი? Რა თქმა უნდა! არის შესაფერისი უფრო მცირე რიცხვი? Რა თქმა უნდა. მაგალითად, ნული მეტია -6-ზე. და კიდევ უფრო ნაკლები? ჩვენ გვჭირდება რაც შეიძლება პატარა! მინუს სამი მეტია მინუს ექვსზე! თქვენ უკვე შეგიძლიათ დაიჭიროთ ნიმუში და შეწყვიტოთ რიცხვების სულელურად დალაგება, არა?)

ჩვენ ვიღებთ რიცხვს -6-სთან უფრო ახლოს. მაგალითად, -5. პასუხი შესრულებულია, -5 > - 6. შეგიძლიათ იპოვოთ სხვა რიცხვი -5-ზე ნაკლები, მაგრამ -6-ზე მეტი? შეგიძლიათ, მაგალითად, -5,5... გაჩერდით! გვითხრეს მთლიანიგადაწყვეტილება! არ ტრიალებს -5.5! რაც შეეხება მინუს ექვსი? ეეე! უტოლობა მკაცრია, მინუს 6 არ არის მინუს 6-ზე ნაკლები!

ასე რომ, სწორი პასუხია -5.

ვიმედოვნებ, რომ ყველაფერი ნათელია ზოგადი გადაწყვეტილების ღირებულების არჩევით. Სხვა მაგალითი:

4. ამოხსენით უტოლობა:

7 < 3x+1 < 13

Როგორ! ასეთ გამოთქმას ე.წ სამმაგი უთანასწორობა.მკაცრად რომ ვთქვათ, ეს არის უტოლობების სისტემის შემოკლებული აღნიშვნა. მაგრამ თქვენ მაინც უნდა ამოხსნათ ასეთი სამმაგი უტოლობა ზოგიერთ ამოცანებში... ის წყდება ყოველგვარი სისტემის გარეშე. იგივე იდენტური გარდაქმნებით.

აუცილებელია ამ უთანასწორობის გამარტივება, სუფთა X-მდე მიყვანა. მაგრამ... სად გადავიტანოთ!? აი, დროა გვახსოვდეს, რომ მარცხნიდან მარჯვნივ გადაადგილება არის შემცირებული ფორმაპირველი იდენტური ტრანსფორმაცია.

და სრული ფორმა ასე გამოიყურება: თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ/გამოაკლოთ ნებისმიერი რიცხვი ან გამოთქმა განტოლების ორივე ნაწილს (უტოლობა).

აქ სამი ნაწილია. ასე რომ, ჩვენ გამოვიყენებთ იდენტურ გარდაქმნებს სამივე ნაწილზე!

მაშ ასე, მოვიშოროთ უტოლობის შუა ნაწილი. გამოვაკლოთ ერთი მთელ შუა ნაწილს. რომ უტოლობა არ შეიცვალოს, დანარჩენ ორ ნაწილს გამოვაკლებთ ერთს. Ამგვარად:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

უკვე უკეთესია, არა?) რჩება სამივე ნაწილის სამად დაყოფა:

2 < X < 4

Სულ ეს არის. ეს არის პასუხი. X შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი ორიდან (არ მოიცავს) ოთხამდე (არ მოიცავს). ეს პასუხიც იწერება ინტერვალებით, ასეთი ჩანაწერები იქნება კვადრატულ უტოლობაში. იქ ისინი ყველაზე გავრცელებულია.

გაკვეთილის ბოლოს გავიმეორებ ყველაზე მნიშვნელოვანს. წრფივი უტოლობების ამოხსნის წარმატება დამოკიდებულია წრფივი განტოლებების გარდაქმნისა და გამარტივების უნარზე. თუ ამავე დროს მიჰყევით უთანასწორობის ნიშანს,პრობლემები არ იქნება. რასაც გისურვებ. არაა პრობლემა.)

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ცვლადებთან უტოლობების შესახებ საწყისი ინფორმაციის მიღების შემდეგ მივმართავთ მათი ამოხსნის საკითხს. გავაანალიზოთ წრფივი უტოლობების ამოხსნა ერთი ცვლადით და მათი ამოხსნის ყველა მეთოდი ალგორითმებითა და მაგალითებით. განიხილება მხოლოდ წრფივი განტოლებები ერთი ცვლადით.

რა არის წრფივი უტოლობა?

ჯერ უნდა განსაზღვროთ წრფივი განტოლება და გაარკვიოთ მისი სტანდარტული ფორმა და რით განსხვავდება ის სხვებისგან. სკოლის კურსიდან ჩვენ გვაქვს, რომ უთანასწორობას ფუნდამენტური განსხვავება არ აქვს, ამიტომ რამდენიმე განმარტება უნდა იქნას გამოყენებული.

განმარტება 1

წრფივი უტოლობა ერთი ცვლადით x არის a x + b > 0 ფორმის უტოლობა, როდესაც გამოიყენება ნებისმიერი უტოლობის ნიშანი >-ის ნაცვლად.< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

განმარტება 2

უტოლობები a x< c или a · x >c , სადაც x არის ცვლადი და a და c ზოგიერთი რიცხვი, ეწოდება წრფივი უტოლობა ერთი ცვლადით.

ვინაიდან არაფერია ნათქვამი იმის შესახებ, შეიძლება თუ არა კოეფიციენტის ტოლი 0 , მაშინ მკაცრი უტოლობა 0 x > c და 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

მათი განსხვავებებია:

• აღნიშვნა a · x + b > 0 პირველში და a · x > c – მეორეში;
• ნულოვანი კოეფიციენტის დასაშვებობა a , a ≠ 0 - პირველში და a = 0 - მეორეში.

ითვლება, რომ a x + b > 0 და a x > c უტოლობები ეკვივალენტურია, რადგან ისინი მიიღება ტერმინის ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადატანით. 0 · x + 5 > 0 უტოლობის ამოხსნა მიგვიყვანს იმ ფაქტამდე, რომ მისი ამოხსნა იქნება საჭირო და a = 0 შემთხვევა არ იმუშავებს.

განმარტება 3

ითვლება, რომ წრფივი უტოლობა ერთ ცვლადში x არის ფორმის უტოლობები a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0და a x + b ≥ 0, სადაც a და b რეალური რიცხვებია. x-ის ნაცვლად შეიძლება იყოს ჩვეულებრივი რიცხვი.

წესზე დაყრდნობით გვაქვს, რომ 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 წრფივი ეწოდება.

როგორ ამოხსნათ წრფივი უტოლობა

ასეთი უტოლობების ამოხსნის მთავარი გზა არის ეკვივალენტური გარდაქმნების გამოყენება ელემენტარული უტოლობების საპოვნელად x< p (≤ , >, ≥) , p არის რაღაც რიცხვი, a ≠ 0-სთვის და a ფორმისთვის< p (≤ , >, ≥) a = 0-ისთვის.

უტოლობის გადასაჭრელად ერთი ცვლადით, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ინტერვალის მეთოდი ან წარმოადგინოთ იგი გრაფიკულად. ნებისმიერი მათგანი შეიძლება გამოყენებულ იქნას იზოლირებულად.

ექვივალენტური გარდაქმნების გამოყენება

x + b ფორმის წრფივი უტოლობის ამოხსნა< 0 (≤ , >, ≥), აუცილებელია უტოლობის ეკვივალენტური გარდაქმნების გამოყენება. კოეფიციენტი შეიძლება იყოს ან არ იყოს ნული. განვიხილოთ ორივე შემთხვევა. გასარკვევად, აუცილებელია დაიცვან სქემა, რომელიც შედგება 3 წერტილისგან: პროცესის არსი, ალგორითმი, თავად გადაწყვეტა.

განმარტება 4

წრფივი უტოლობის ამოხსნის ალგორითმი a x + b< 0 (≤ , >, ≥) ≠ 0-ისთვის

• რიცხვი b გადაინაცვლებს უტოლობის მარჯვენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით, რაც საშუალებას მოგვცემს მივიდეთ x-ის ეკვივალენტამდე.< − b (≤ , > , ≥) ;
• უტოლობის ორივე ნაწილი გაიყოფა რიცხვზე, რომელიც არ არის 0-ის ტოლი. უფრო მეტიც, როდესაც a დადებითია, ნიშანი რჩება, როდესაც a უარყოფითია, იცვლება პირიქით.

განვიხილოთ ამ ალგორითმის გამოყენება მაგალითების ამოხსნაში.

მაგალითი 1

ამოხსენით 3 · x + 12 ≤ 0 ფორმის უტოლობა.

გადაწყვეტილება

ამ წრფივ უტოლობას აქვს a = 3 და b = 12 . აქედან გამომდინარე, x-ის კოეფიციენტი a არ არის ნულის ტოლი. გამოვიყენოთ ზემოაღნიშნული ალგორითმები და მოვაგვაროთ.

აუცილებელია ტერმინი 12 გადავიტანოთ უტოლობის სხვა ნაწილზე მის წინ ნიშნის ცვლილებით. შემდეგ ვიღებთ 3 · x ≤ − 12 ფორმის უტოლობას. აუცილებელია ორივე ნაწილის 3-ზე გაყოფა. ნიშანი არ შეიცვლება, რადგან 3 დადებითი რიცხვია. მივიღებთ, რომ (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , რომელიც მისცემს შედეგს x ≤ − 4 .

x ≤ − 4 ფორმის უტოლობა ტოლია. ანუ 3 x + 12 ≤ 0-ის ამონახსნი არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი, რომელიც ნაკლებია ან ტოლია 4-ზე. პასუხი იწერება x ≤ − 4 უტოლობის სახით, ან ფორმის რიცხვითი ინტერვალით (− ∞ , − 4 ] .

ზემოთ აღწერილი მთელი ალგორითმი დაწერილია შემდეგნაირად:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

პასუხი: x ≤ − 4 ან (− ∞ , − 4 ] .

მაგალითი 2

მიუთითეთ უტოლობის ყველა არსებული ამონახსნები − 2 , 7 · z > 0 .

გადაწყვეტილება

პირობიდან ჩვენ ვხედავთ, რომ კოეფიციენტი a at z უდრის - 2, 7 და b აშკარად არ არის ან ტოლია ნულის. თქვენ არ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ალგორითმის პირველი ნაბიჯი, მაგრამ დაუყოვნებლივ გადადით მეორეზე.

განტოლების ორივე ნაწილს ვყოფთ რიცხვზე - 2, 7. ვინაიდან რიცხვი უარყოფითია, აუცილებელია უტოლობის ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლა. ანუ, მივიღებთ, რომ (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

ჩვენ ვწერთ მთელ ალგორითმს მოკლე ფორმით:

− 2, 7 z > 0; ზ< 0 .

პასუხი:ზ< 0 или (− ∞ , 0) .

მაგალითი 3

ამოხსენით უტოლობა - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

გადაწყვეტილება

პირობის მიხედვით ვხედავთ, რომ აუცილებელია x ცვლადისთვის a კოეფიციენტით ამოხსნას უტოლობა, რომელიც უდრის - 5-ს, b კოეფიციენტით, რომელიც შეესაბამება წილადს - 15 22 . აუცილებელია უტოლობის ამოხსნა ალგორითმის მიხედვით, ანუ: გადაიტანეთ - 15 22 სხვა ნაწილზე საპირისპირო ნიშნით, გაყავით ორივე ნაწილი - 5-ზე, შეცვალეთ უტოლობის ნიშანი:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

მარჯვენა მხარის ბოლო გადასვლისას გამოიყენება რიცხვის გაყოფის წესი სხვადასხვა ნიშნით 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, რის შემდეგაც ჩვეულებრივ წილადს ვყოფთ ნატურალურ რიცხვზე - 15 22: 5 \ u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22.

პასუხი: x ≥ - 3 22 და [ - 3 22 + ∞) .

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც a = 0. a x + b ფორმის წრფივი გამოხატულება< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

ყველაფერი ეფუძნება უთანასწორობის ამოხსნის განმარტებას. x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ვიღებთ b ფორმის რიცხვით უტოლობას< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

ყველა განსჯას განვიხილავთ წრფივი უტოლობების ამოხსნის ალგორითმის სახით 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

განმარტება 5

ბ ფორმის რიცხვითი უტოლობა< 0 (≤ , >, ≥) არის ჭეშმარიტი, მაშინ თავდაპირველ უტოლობას აქვს გამოსავალი ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის და მცდარია, როდესაც თავდაპირველ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები.

მაგალითი 4

ამოხსენით უტოლობა 0 · x + 7 > 0 .

გადაწყვეტილება

ეს წრფივი უტოლობა 0 · x + 7 > 0 შეიძლება მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა x . მაშინ მივიღებთ 7 > 0 ფორმის უტოლობას. ბოლო უტოლობა ითვლება ჭეშმარიტად, ამიტომ ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება იყოს მისი ამონახსნი.

უპასუხე: ინტერვალი (− ∞ , + ∞) .

მაგალითი 5

იპოვეთ ამონახსნი 0 · x − 12, 7 ≥ 0 უტოლობაზე.

გადაწყვეტილება

x ცვლადის ჩანაცვლებით ნებისმიერი რიცხვით, მივიღებთ, რომ უტოლობა მიიღებს − 12 , 7 ≥ 0 ფორმას. არასწორია. ანუ 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 არ აქვს ამონახსნები.

პასუხი:არ არის გადაწყვეტილებები.

განვიხილოთ წრფივი უტოლობების ამონახსნი, სადაც ორივე კოეფიციენტი ნულის ტოლია.

მაგალითი 6

განსაზღვრეთ ამოუხსნელი უტოლობა 0 · x + 0 > 0-დან და 0 · x + 0 ≥ 0-დან.

გადაწყვეტილება

x-ის ნაცვლად ნებისმიერი რიცხვის ჩანაცვლებისას მივიღებთ 0 > 0 ფორმის ორ უტოლობას და 0 ≥ 0 . პირველი არასწორია. ეს ნიშნავს, რომ 0 x + 0 > 0-ს არ აქვს ამონახსნები, ხოლო 0 x + 0 ≥ 0 აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, ანუ ნებისმიერი რიცხვი.

უპასუხე: უტოლობას 0 x + 0 > 0 არ აქვს ამონახსნები, ხოლო 0 x + 0 ≥ 0 აქვს ამონახსნები.

ეს მეთოდი განიხილება მათემატიკის სასკოლო კურსში. ინტერვალის მეთოდს შეუძლია გადაჭრას სხვადასხვა სახის უტოლობა, მათ შორის წრფივი.

ინტერვალის მეთოდი გამოიყენება წრფივი უტოლობებისთვის, როდესაც x კოეფიციენტის მნიშვნელობა არ არის 0-ის ტოლი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ მოგიწევთ გამოთვლა სხვა მეთოდის გამოყენებით.

განმარტება 6

დაშორების მეთოდი შემდეგია:

• y = a x + b ფუნქციის შესავალი;
• ნულების მოძიება განსაზღვრების დომენის ინტერვალებად გასაყოფად;
• ნიშნების განსაზღვრა მათი კონცეფციისთვის ინტერვალებით.

მოდით ავაწყოთ a x + b წრფივი განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი< 0 (≤ , >, ≥) ≠ 0-ისთვის ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით:

• y = a · x + b ფუნქციის ნულების პოვნა a · x + b = 0 ფორმის განტოლების ამოსახსნელად. თუ a ≠ 0, მაშინ ამონახსნი იქნება ერთადერთი ფესვი, რომელიც მიიღებს აღნიშვნას x 0;
• კოორდინატთა ხაზის აგება წერტილის გამოსახულებით კოორდინატით x 0, მკაცრი უტოლობით, წერტილი მიეთითება მუშტით, არამკაცრი უტოლობით, იგი დაჩრდილულია;
• y = a x + b ფუნქციის ნიშნების განსაზღვრა ინტერვალებზე, ამისათვის აუცილებელია ფუნქციის მნიშვნელობების პოვნა ინტერვალის წერტილებში;
• უტოლობის ამოხსნა კოორდინატთა ხაზზე > ან ≥ ნიშნებით, გამოჩეკვა ემატება დადებითი უფსკრულის ზემოთ,< или ≤ над отрицательным промежутком.

განვიხილოთ წრფივი უტოლობის ამოხსნის რამდენიმე მაგალითი ინტერვალის მეთოდით.

მაგალითი 6

ამოხსენით უტოლობა − 3 · x + 12 > 0 .

გადაწყვეტილება

ალგორითმიდან გამომდინარეობს, რომ ჯერ უნდა იპოვოთ განტოლების ფესვი − 3 · x + 12 = 0. მივიღებთ, რომ − 3 · x = − 12 , x = 4 . აუცილებელია კოორდინატთა ხაზის გამოსახვა, სადაც მე-4 წერტილს ვნიშნავთ. ეს იქნება პუნქცია, რადგან უთანასწორობა მკაცრია. განვიხილოთ ქვემოთ მოცემული ნახაზი.

აუცილებელია ნიშნების დადგენა ინტერვალებზე. მისი დასადგენად ინტერვალზე (− ∞ , 4) , საჭიროა გამოვთვალოთ ფუნქცია y = − 3 · x + 12 x = 3-ისთვის. აქედან მივიღებთ, რომ − 3 3 + 12 = 3 > 0 . ინტერვალის ნიშანი დადებითია.

ჩვენ განვსაზღვრავთ ნიშანს ინტერვალიდან (4, + ∞), შემდეგ ვცვლით მნიშვნელობას x \u003d 5. გვაქვს − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

უტოლობის ამოხსნას ვასრულებთ > ნიშნით, გამოჩეკვა კი დადებითი უფსკრულით. განვიხილოთ ქვემოთ მოცემული ნახაზი.

ნახაზიდან ჩანს, რომ სასურველ ამოხსნას აქვს ფორმა (− ∞ , 4) ან x.< 4 .

უპასუხე: (− ∞ , 4) ან x< 4 .

იმის გასაგებად, თუ როგორ უნდა წარმოვადგინოთ გრაფიკულად, საჭიროა განვიხილოთ 4 წრფივი უტოლობა, როგორც მაგალითი: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 და 0, 5 x − 1 ≥ 0. მათი ამონახსნები იქნება x< 2 , x ≤ 2 , x >2 და x ≥ 2 . ამისათვის დახაზეთ წრფივი ფუნქციის გრაფიკი y = 0 , 5 · x − 1 ქვემოთ.

გასაგებია რომ

განმარტება 7

• 0 , 5 x − 1 უტოლობის ამოხსნა< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• ამონახსნი 0 , 5 x − 1 ≤ 0 არის ინტერვალი, სადაც ფუნქცია y = 0 , 5 x − 1 არის 0 x-ზე ქვემოთ ან ემთხვევა;
• ამონახსნი 0 , 5 x − 1 > 0 ითვლება ინტერვალად, სადაც ფუნქცია მდებარეობს O x ზემოთ;
• ამონახსნი 0 , 5 x − 1 ≥ 0 არის ინტერვალი, სადაც გრაფიკი უფრო მაღალია ვიდრე O x ან ემთხვევა.

უტოლობათა გრაფიკული ამოხსნის მნიშვნელობა არის უფსკრულის პოვნა, რომელიც უნდა იყოს გამოსახული გრაფიკზე. ამ შემთხვევაში, მივიღებთ, რომ მარცხენა მხარეს აქვს y \u003d a x + b, ხოლო მარჯვენა მხარეს აქვს y \u003d 0 და ის ემთხვევა დაახლოებით x-ს.

განმარტება 8

y = a x + b ფუნქციის დახატვა შესრულებულია:

• a x + b უტოლობის ამოხსნისას< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• a x + b ≤ 0 უტოლობის ამოხსნისას დგინდება ინტერვალი, სადაც გრაფიკი ნაჩვენებია O x ღერძის ქვემოთ ან ემთხვევა;
• a x + b > 0 უტოლობის ამოხსნისას დგინდება ინტერვალი, სადაც გრაფიკი ნაჩვენებია O x ზემოთ;
• a x + b ≥ 0 უტოლობის ამოხსნისას დგინდება ინტერვალი, სადაც გრაფიკი O x-ზე მაღლა დგას ან ემთხვევა.

მაგალითი 7

ამოხსენით უტოლობა - 5 · x - 3 > 0 გრაფიკის გამოყენებით.

გადაწყვეტილება

აუცილებელია წრფივი ფუნქციის გრაფიკის აგება - 5 · x - 3 > 0 . ეს წრფე მცირდება, რადგან x-ის კოეფიციენტი უარყოფითია. O x - 5 · x - 3 > 0-თან მისი გადაკვეთის წერტილის კოორდინატების დასადგენად ვიღებთ მნიშვნელობას - 3 5 . დავხატოთ გრაფიკი.

უტოლობის ამოხსნა ნიშნით >, მაშინ ყურადღება უნდა მიაქციოთ O x-ის ზემოთ არსებულ ინტერვალს. ჩვენ ხაზს ვუსვამთ თვითმფრინავის აუცილებელ ნაწილს წითლად და ვიღებთ ამას

საჭირო უფსკრული არის წითელი ფერის O x ნაწილი. აქედან გამომდინარე, ღია რიცხვის სხივი - ∞ , - 3 5 იქნება უტოლობის ამოხსნა. თუ პირობით მათ ჰქონდათ არამკაცრი უტოლობა, მაშინ წერტილის მნიშვნელობაც - 3 5 იქნებოდა უტოლობის ამოხსნა. და დაემთხვა O x-ს.

უპასუხე: - ∞ , - 3 5 ან x< - 3 5 .

გრაფიკული ამოხსნა გამოიყენება მაშინ, როდესაც მარცხენა მხარე შეესაბამება ფუნქციას y = 0 x + b , ანუ y = b . მაშინ ხაზი იქნება O x-ის პარალელურად ან ემთხვევა b \u003d 0-ზე. ეს შემთხვევები აჩვენებს, რომ უტოლობას შეიძლება არ ჰქონდეს ამონახსნები, ან ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება იყოს გამოსავალი.

მაგალითი 8

განსაზღვრეთ უტოლობებიდან 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

გადაწყვეტილება

გამოსახულება y = 0 x + 7 არის y = 7, შემდეგ მიიღება კოორდინატთა სიბრტყე სწორი ხაზით O x-ის პარალელურად და O x ზემოთ. ანუ 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

y \u003d 0 x + 0 ფუნქციის გრაფიკი ითვლება y \u003d 0, ანუ ხაზი ემთხვევა O x-ს. მაშასადამე, უტოლობას 0 · x + 0 ≥ 0 აქვს მრავალი ამონახსნები.

უპასუხე: მეორე უტოლობას აქვს ამონახსნი x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

წრფივი უტოლობა

უტოლობათა ამოხსნა შეიძლება შემცირდეს წრფივი განტოლების ამოხსნამდე, რომელსაც წრფივი უტოლობა ეწოდება.

ეს უთანასწორობები გათვალისწინებული იყო სასკოლო კურსში, ვინაიდან ეს იყო უტოლობების ამოხსნის განსაკუთრებული შემთხვევა, რამაც გამოიწვია ფრჩხილების გახსნა და მსგავსი ტერმინების შემცირება. მაგალითად, განვიხილოთ, რომ 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

ზემოთ მოცემული უტოლობა ყოველთვის მცირდება წრფივი განტოლების სახით. ამის შემდეგ იხსნება ფრჩხილები და მოცემულია მსგავსი ტერმინები, გადატანილი სხვადასხვა ნაწილიდან, ცვლის ნიშანი საპირისპიროდ.

5 − 2 x > 0 უტოლობის წრფივზე შემცირებისას მას ისე წარმოვადგენთ, რომ ჰქონდეს ფორმა − 2 x + 5 > 0, ხოლო მეორეს რომ შევამციროთ, მივიღებთ 7 (x − 1). ) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . აუცილებელია ფრჩხილების გახსნა, მსგავსი ტერმინების მოტანა, ყველა ტერმინის მარცხენა მხარეს გადატანა და მსგავსი ტერმინების მოტანა. ეს ასე გამოიყურება:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

ეს მოაქვს ამონახსნის წრფივ უთანასწორობას.

ეს უტოლობა განიხილება როგორც წრფივი, ვინაიდან მათ აქვთ ამოხსნის ერთი და იგივე პრინციპი, რის შემდეგაც შესაძლებელია მათი დაყვანა ელემენტარულ უტოლობამდე.

ამ სახის უტოლობის გადასაჭრელად აუცილებელია მისი შემცირება წრფივზე. ეს უნდა გაკეთდეს ასე:

განმარტება 9

• ღია ფრჩხილები;
• შეაგროვეთ ცვლადები მარცხნივ, ხოლო რიცხვები მარჯვნივ;
• მსგავსი პირობების მოტანა;
• ორივე ნაწილი გავყოთ x-ის კოეფიციენტზე.

მაგალითი 9

ამოხსენით უტოლობა 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

გადაწყვეტილება

ვაფართოებთ ფრჩხილებს, შემდეგ მივიღებთ 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 ფორმის უტოლობას. მსგავსი წევრების შემცირების შემდეგ გვაქვს 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . ტერმინების მარცხნიდან მარჯვნივ გადატანის შემდეგ მივიღებთ, რომ 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . მაშასადამე, მას აქვს ფორმის უტოლობა 32 ≤ 0 გაანგარიშებით მიღებული შედეგიდან 0 · x + 32 ≤ 0 . ჩანს, რომ უტოლობა მცდარია, რაც ნიშნავს, რომ პირობით მოცემულ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები.

უპასუხე: გადაწყვეტილებები არ არის.

აღსანიშნავია, რომ არსებობს მრავალი სხვა სახის უტოლობა, რომელიც შეიძლება შემცირდეს წრფივ ან ზემოთ ნაჩვენები სახის უტოლობამდე. მაგალითად, 5 2 x − 1 ≥ 1 არის ექსპონენციალური განტოლება, რომელიც მცირდება წრფივ ამონახვამდე 2 · x − 1 ≥ 0 . ეს შემთხვევები განიხილება ამ ტიპის უტოლობების ამოხსნისას.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

გაკვეთილის შინაარსი

განმარტებები და თვისებები

უტოლობას დავარქმევთ ორ რიცხვით ან ლიტერატურულ გამონათქვამს, რომლებიც დაკავშირებულია ნიშნებით >,<, ≥, ≤ или ≠.

მაგალითი: 5 > 3

ეს უტოლობა ამბობს, რომ რიცხვი 5 მეტია რიცხვზე 3. უტოლობის ნიშნის მწვავე კუთხე უნდა იყოს მიმართული უფრო მცირე რიცხვისკენ. ეს უტოლობა მართალია, რადგან 5 მეტია 3-ზე.

თუ სასწორის მარცხენა ტაფაზე მოთავსებულია 5 კგ საზამთრო, ხოლო მარჯვენა ტაფაზე 3 კგ-იანი საზამთრო, მაშინ მარცხენა ტაფა გადაწონის მარჯვენას და სასწორის ეკრანი აჩვენებს, რომ მარცხენა ტაფა არის უფრო მძიმე ვიდრე სწორი:

თუ 5 > 3, მაშინ 3< 5 . То есть левую и правую часть неравенства можно поменять местами, изменив знак неравенства на противоположный. В ситуации с весами: большой арбуз можно положить на правую чашу, а маленький арбуз на левую. Тогда правая чаша перевесит левую, и экран покажет знак <

თუ უტოლობაში 5 > 3, მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებთან შეხების გარეშე, შეცვალეთ ნიშანი< , то получится неравенство 5 < 3 . Это неравенство не является верным, поскольку число 3 не может быть больше числа 5.

გამოიძახება რიცხვები, რომლებიც განლაგებულია უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეს წევრებიეს უთანასწორობა. მაგალითად, უტოლობაში 5 > 3, წევრები არიან რიცხვები 5 და 3.

განვიხილოთ რამდენიმე მნიშვნელოვანი თვისება უტოლობისთვის 5 > 3.
მომავალში ეს თვისებები იმუშავებს სხვა უტოლობაზეც.

საკუთრება 1.

თუ ერთი და იგივე რიცხვი დაემატება ან გამოკლდება უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს 5 > 3, მაშინ უტოლობის ნიშანი არ შეიცვლება.

მაგალითად, დავუმატოთ რიცხვი 4 უტოლობის ორივე ნაწილს, შემდეგ მივიღებთ:

ახლა შევეცადოთ გამოვაკლოთ რამდენიმე რიცხვი უტოლობის ორივე მხარეს 5 > 3, ვთქვათ რიცხვი 2

ჩვენ ვხედავთ, რომ მარცხენა მხარე ჯერ კიდევ უფრო დიდია ვიდრე მარჯვენა.

ამ თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ უტოლობის ნებისმიერი წევრი შეიძლება გადავიდეს ერთი ნაწილიდან მეორე ნაწილზე ამ ტერმინის ნიშნის შეცვლით. უთანასწორობის ნიშანი არ შეიცვლება.

მაგალითად, უტოლობაში 5 > 3, გადავიტანოთ წევრი 5 მარცხენა მხრიდან მარჯვნივ ამ წევრის ნიშნის შეცვლით. ტერმინი 5-ის მარჯვენა მხარეს გადატანის შემდეგ, მარცხენა მხარეს არაფერი დარჩება, ამიტომ იქ ვწერთ 0-ს

0 > 3 − 5

0 > −2

ჩვენ ვხედავთ, რომ მარცხენა მხარე ჯერ კიდევ უფრო დიდია ვიდრე მარჯვენა.

საკუთრება 2.

თუ უტოლობის ორივე ნაწილი გამრავლებულია ან იყოფა იმავე დადებით რიცხვზე, მაშინ უტოლობის ნიშანი არ იცვლება.

მაგალითად, გავამრავლოთ უტოლობის ორივე მხარე 5 > 3 რომელიმე დადებით რიცხვზე, ვთქვათ 2 რიცხვზე. მაშინ მივიღებთ:

ჩვენ ვხედავთ, რომ მარცხენა მხარე ჯერ კიდევ უფრო დიდია ვიდრე მარჯვენა.

ახლა ვცადოთ გაყოფაუტოლობის ორივე ნაწილი 5 > 3 ზოგიერთი რიცხვით. გაყავით ისინი 2-ზე

ჩვენ ვხედავთ, რომ მარცხენა მხარე ჯერ კიდევ უფრო დიდია ვიდრე მარჯვენა.

საკუთრება 3.

თუ უტოლობის ორივე მხარე გამრავლებულია ან იყოფა ერთზე უარყოფითი რიცხვი, მაშინ უტოლობის ნიშანი შებრუნებული იქნება.

მაგალითად, გავამრავლოთ 5 > 3 უტოლობის ორივე მხარე რომელიმე უარყოფით რიცხვზე, ვთქვათ -2. შემდეგ მივიღებთ:

ახლა ვცადოთ გაყოფაუტოლობის ორივე ნაწილი 5 > 3 რაიმე უარყოფითი რიცხვით. გავყოთ ისინი -1-ზე

ჩვენ ვხედავთ, რომ მარცხენა მხარე მარჯვენაზე პატარა გახდა. ანუ უთანასწორობის ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვალა.

თავისთავად, უთანასწორობა შეიძლება გავიგოთ, როგორც გარკვეული პირობა. თუ პირობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ უტოლობა მართალია. პირიქით, თუ პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ უტოლობა მცდარია.

მაგალითად, იმისთვის, რომ უპასუხოთ კითხვას, არის თუ არა ჭეშმარიტი უტოლობა 7 > 3, თქვენ უნდა შეამოწმოთ დაკმაყოფილებულია თუ არა პირობა. "7-ით მეტია 3-ზე" . ჩვენ ვიცით, რომ რიცხვი 7 მეტია რიცხვზე 3. ანუ, პირობა დაკმაყოფილებულია და, შესაბამისად, უტოლობა 7 > 3 არის ჭეშმარიტი.

უტოლობა 8< 6 не является верным, поскольку не выполняется условие "8 არის 6-ზე ნაკლები".

სხვა გზა იმის დასადგენად, არის თუ არა უტოლობა სწორი, არის სხვაობის აღება მოცემული უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხრიდან. თუ განსხვავება დადებითია, მაშინ მარცხენა მხარე უფრო დიდია ვიდრე მარჯვენა. პირიქით, თუ განსხვავება უარყოფითია, მაშინ მარცხენა მხარე მარჯვენა მხარეს ნაკლებია. უფრო ზუსტად, ეს წესი ასე გამოიყურება:

ნომერი ამეტი ნომერი ბთუ განსხვავება ა-ბდადებითი. ნომერი არიცხვზე ნაკლები ბთუ განსხვავება ა-ბუარყოფითი.

მაგალითად, ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ უტოლობა 7 > 3 მართალია, რადგან რიცხვი 7 მეტია რიცხვზე 3. მოდით დავამტკიცოთ ეს ზემოთ მოცემული წესით.

შეადგინეთ სხვაობა 7 და 3 ტერმინებისგან. შემდეგ მივიღებთ 7 − 3 = 4 . წესის მიხედვით, რიცხვი 7 მეტი იქნება რიცხვზე 3, თუ სხვაობა 7 − 3 დადებითია. გვაქვს 4-ის ტოლი, ანუ სხვაობა დადებითია. ასე რომ, რიცხვი 7 მეტია რიცხვზე 3.

მოდით შევამოწმოთ სხვაობის დახმარებით, არის თუ არა უტოლობა 3< 4 . Составим разность, получим 3 − 4 = −1 . Согласно правилу, число 3 будет меньше числа 4, если разность 3 − 4 окажется отрицательной. У нас она равна −1, то есть разность отрицательна. А значит число 3 меньше числа 4.

მოდით შევამოწმოთ არის თუ არა ჭეშმარიტი უტოლობა 5 > 8. შეადგინეთ სხვაობა, მივიღებთ 5 − 8 = −3. წესის მიხედვით, რიცხვი 5 მეტი იქნება 8-ზე, თუ სხვაობა 5 − 8 დადებითია. ჩვენი განსხვავება არის −3, ანუ ის არ არისდადებითი. ასე რომ, ნომერი 5 მეტი არარიცხვი 3. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, უტოლობა 5 > 8 არ არის ჭეშმარიტი.

მკაცრი და არამკაცრი უტოლობა

ნიშნების შემცველი უტოლობა >,< называют მკაცრი. ხოლო ≥, ≤ ნიშნის შემცველი უტოლობები ეწოდება არა მკაცრი.

ადრე განვიხილეთ მკაცრი უთანასწორობის მაგალითები. ეს არის უტოლობები 5 > 3, 7< 9 .

არა მკაცრი, მაგალითად, არის უტოლობა 2 ≤ 5 . ეს უტოლობა იკითხება შემდეგნაირად: "2 არის 5-ზე ნაკლები ან ტოლი" .

ჩანაწერი 2 ≤ 5 არასრულია. ამ უთანასწორობის სრული ჩანაწერი ასეთია:

2 < 5 ან 2 = 5

მაშინ აშკარა ხდება, რომ უტოლობა 2 ≤ 5 შედგება ორი პირობისგან: "ხუთზე ორი ნაკლები" და "ორი უდრის ხუთს" .

არამკაცრი უტოლობა მართალია, თუ მისი ერთ-ერთი პირობა მაინც დაკმაყოფილებულია. ჩვენს მაგალითში, პირობა მართალია "2 არის 5-ზე ნაკლები". ეს ნიშნავს, რომ უტოლობა 2 ≤ 5 ასევე მართალია.

მაგალითი 2. უტოლობა 2 ≤ 2 მართალია, რადგან მისი ერთ-ერთი პირობა დაკმაყოფილებულია, კერძოდ 2 = 2.

მაგალითი 3. უტოლობა 5 ≤ 2 არ არის ჭეშმარიტი, რადგან არცერთი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული: არც 5< 2 ни 5 = 2 .

ორმაგი უთანასწორობა

ნომერი 3 მეტია რიცხვზე 2 და ნაკლებია რიცხვზე 4 . უტოლობის სახით ეს განცხადება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: 2< 3 < 4 . Такое неравенство называют двойным.

ორმაგი უტოლობა შეიძლება შეიცავდეს არამკაცრ უთანასწორობის ნიშნებს. მაგალითად, თუ რიცხვი 5 მეტია ან ტოლია რიცხვზე 2 და ნაკლები ან ტოლია რიცხვზე 7 , მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ, რომ 2 ≤ 5 ≤ 7

ორმაგი უტოლობის სწორად დასაწერად ჯერ ტერმინი ჩაწერეთ შუაში, შემდეგ ტერმინი მარცხნივ, შემდეგ ტერმინი მარჯვნივ.

მაგალითად, დავწეროთ, რომ რიცხვი 6 მეტია რიცხვზე 4 და ნაკლებია რიცხვზე 9.

ჯერ დაწერეთ 6

მარცხნივ ვწერთ, რომ ეს რიცხვი 4-ზე მეტია

მარჯვნივ ვწერთ, რომ რიცხვი 6 ნაკლებია 9-ზე

ცვლადი უტოლობა

უთანასწორობა, ისევე როგორც თანასწორობა, შეიძლება შეიცავდეს ცვლადს.

მაგალითად, უთანასწორობა x> 2 შეიცავს ცვლადს x. ჩვეულებრივ, ასეთი უთანასწორობა უნდა გადაიჭრას, ანუ გაირკვეს, რა ღირებულებებისთვის xეს უთანასწორობა ხდება ჭეშმარიტი.

უტოლობის ამოხსნა ნიშნავს ცვლადის ასეთი მნიშვნელობების პოვნას x, რომლის დროსაც ეს უთანასწორობა ხდება ჭეშმარიტი.

ცვლადის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც უტოლობა ხდება ჭეშმარიტი, ეწოდება უთანასწორობის ამოხსნა.

უთანასწორობა x> 2 ხდება ჭეშმარიტი, როდესაც x=3, x=4, x=5, x=6 და ასე უსასრულოდ. ჩვენ ვხედავთ, რომ ამ უთანასწორობას აქვს არა ერთი, არამედ მრავალი გამოსავალი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, უტოლობის ამოხსნით x> 2 არის 2-ზე მეტი ყველა რიცხვის სიმრავლე. ამ რიცხვებისთვის უტოლობა იქნება ჭეშმარიტი. მაგალითები:

3 > 2

4 > 2

5 > 2

რიცხვი 2, რომელიც მდებარეობს უტოლობის მარჯვენა მხარეს x> 2 , ჩვენ დავურეკავთ საზღვარიეს უთანასწორობა. უტოლობის ნიშნიდან გამომდინარე, ზღვარი შეიძლება ეკუთვნოდეს ან არ იყოს უტოლობის ამონახსნების სიმრავლეს.

ჩვენს მაგალითში, უტოლობის საზღვარი არ მიეკუთვნება ამონახსნთა სიმრავლეს, რადგან რიცხვი 2-ის უტოლობაში ჩანაცვლებისას x> 2 გამოდის არასწორიაუტოლობა 2 > 2 . რიცხვი 2 არ შეიძლება იყოს საკუთარ თავზე მეტი, რადგან ის უდრის თავის თავს (2 = 2).

უთანასწორობა x> 2 მკაცრია. მისი წაკითხვა შეიძლება ასე: x მკაცრად მეტია 2″-ზე . ანუ ცვლადის მიერ მიღებული ყველა მნიშვნელობა xმკაცრად უნდა იყოს 2-ზე მეტი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, უტოლობა არ იქნება ჭეშმარიტი.

არამკაცრ უთანასწორობას რომ მივცეთ x≥ 2, მაშინ ამ უტოლობის ამონახსნები იქნება ყველა რიცხვი, რომელიც 2-ზე მეტია, თვით რიცხვის 2-ის ჩათვლით. ამ უტოლობაში, საზღვარი 2 ეკუთვნის უტოლობის ამონახსნების სიმრავლეს, ვინაიდან 2 რიცხვის ჩანაცვლებისას უთანასწორობა x≥ 2 ვიღებთ სწორ უტოლობას 2 ≥ 2 . ადრე ითქვა, რომ არამკაცრი უტოლობა მართალია, თუ მისი ერთ-ერთი პირობა მაინც დაკმაყოფილებულია. უტოლობა 2 ≥ 2 აკმაყოფილებს პირობას 2 = 2, ასე რომ უტოლობა 2 ≥ 2 ასევე მართალია.

როგორ მოვაგვაროთ უტოლობები

უტოლობების ამოხსნის პროცესი მრავალი თვალსაზრისით ჰგავს განტოლებების ამოხსნის პროცესს. უტოლობების ამოხსნისას გამოვიყენებთ იმ თვისებებს, რომლებიც ამ გაკვეთილის დასაწყისში შევისწავლეთ, როგორიცაა: ტერმინების გადატანა უტოლობის ერთი ნაწილიდან მეორე ნაწილზე, ნიშნის შეცვლა; უტოლობის ორივე მხარის გამრავლება (ან გაყოფა) ერთ რიცხვზე.

ეს თვისებები საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ უტოლობა, რომელიც ორიგინალურის ექვივალენტურია. ეკვივალენტურ უტოლობას უწოდებენ უტოლობას, რომლის ამონახსნები ერთი და იგივეა.

განტოლებების ამოხსნისას ჩვენ ვასრულებდით იდენტურ გარდაქმნებს მანამ, სანამ ცვლადი არ დარჩებოდა განტოლების მარცხენა მხარეს, ხოლო ამ ცვლადის მნიშვნელობა დარჩებოდა მარჯვენა მხარეს (მაგალითად: x=2, x=5). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თავდაპირველი განტოლება შეიცვალა ეკვივალენტური განტოლებით ფორმის განტოლებამდე x = a, სად აცვლადი მნიშვნელობა x. განტოლებიდან გამომდინარე, შეიძლება იყოს ერთი, ორი, ფესვების უსასრულო რაოდენობა, ან საერთოდ არ იყოს.

ხოლო უტოლობების ამოხსნისას ჩვენ შევცვლით თავდაპირველ უტოლობას მისი ექვივალენტური უტოლობით მანამ, სანამ ამ უტოლობის ცვლადი დარჩება მარცხენა მხარეს, ხოლო მისი საზღვარი მარჯვენა მხარეს.

მაგალითი 1. უტოლობის ამოხსნა 2 x> 6

ასე რომ, თქვენ უნდა იპოვოთ ასეთი ღირებულებები x ,მათი 2-ში ჩანაცვლებისას x> 6 მივიღებთ სწორ უტოლობას.

ამ გაკვეთილის დასაწყისში ითქვა, რომ თუ უტოლობის ორივე ნაწილი იყოფა რაიმე დადებით რიცხვზე, მაშინ უტოლობის ნიშანი არ შეიცვლება. თუ ამ თვისებას გამოვიყენებთ ცვლადის შემცველ უტოლობაზე, მაშინ მივიღებთ თავდაპირველის ტოლფას უტოლობას.

ჩვენს შემთხვევაში, თუ გამოვყოფთ 2 უტოლობის ორივე ნაწილს x> 6 რაღაც დადებითი რიცხვით, მაშინ მივიღებთ უტოლობას, რომელიც უდრის თავდაპირველი უტოლობის 2-ს x> 6.

მოდით გავყოთ უტოლობის ორივე მხარე 2-ზე.

მარცხენა მხარეს არის ცვლადი xდა მარჯვენა მხარე გახდა 3-ის ტოლი. მივიღეთ ეკვივალენტური უტოლობა x> 3. ეს ასრულებს ამოხსნას, ვინაიდან ცვლადი რჩება მარცხენა მხარეს, ხოლო უტოლობის საზღვარი მარჯვენა მხარეს.

ახლა შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ უტოლობის ამონახსნები x> 3 არის ყველა რიცხვი, რომელიც 3-ზე მეტია. ეს არის რიცხვები 4, 5, 6, 7 და ასე შემდეგ უსასრულოდ. ამ მნიშვნელობებისთვის, უთანასწორობა x> 3 სწორი იქნება.

4 > 3

5 > 3

6 > 3

7 > 3

გაითვალისწინეთ, რომ უთანასწორობა x> 3 მკაცრია. " ცვლადი x მკაცრად მეტია სამზე."

და რადგან უთანასწორობა x> 3 უდრის საწყისი უტოლობის 2-ს x> 6 , მაშინ მათი ამონახსნები დაემთხვევა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მნიშვნელობები, რომლებიც შეესაბამება უთანასწორობას x> 3 ასევე მოერგება 2 უტოლობას x> 6. ვაჩვენოთ.

აიღეთ, მაგალითად, რიცხვი 5 და ჩაანაცვლეთ იგი ჯერ იმ ეკვივალენტურ უტოლობაში, რომელიც მივიღეთ. x> 3 და შემდეგ ორიგინალში 2 x> 6 .

ჩვენ ვხედავთ, რომ ორივე შემთხვევაში სწორი უტოლობა მიიღება.

უტოლობის ამოხსნის შემდეგ პასუხი უნდა დაიწეროს ე.წ რიცხვის დიაპაზონიშემდეგი გზით:

ეს გამოთქმა ამბობს, რომ ცვლადის მიერ მიღებული მნიშვნელობები x, მიეკუთვნება რიცხვითი ინტერვალს სამიდან პლუს უსასრულობამდე.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ყველა რიცხვი სამიდან პლუს უსასრულობამდე არის უტოლობის ამონახსნები x> 3 . Ნიშანი ∞ მათემატიკაში ნიშნავს უსასრულობას.

იმის გათვალისწინებით, რომ რიცხვითი ინტერვალის ცნება ძალიან მნიშვნელოვანია, მოდით ვისაუბროთ მასზე უფრო დეტალურად.

რიცხვითი ფარდები

რიცხვითი უფსკრულიგამოვიძახოთ რიცხვების სიმრავლე კოორდინატთა ხაზზე, რომელიც შეიძლება აღწერილი იყოს უტოლობის გამოყენებით.

დავუშვათ, რომ გვინდა დავხატოთ რიცხვების ნაკრები 2-დან 8-მდე კოორდინატთა წრფეზე.ამისთვის ჯერ მონიშნეთ წერტილები 2 და 8 კოორდინატებით კოორდინატთა წრფეზე, შემდეგ კი შტრიხებით შეარჩიეთ ფართობი, რომელიც მდებარეობს მე-2 კოორდინატებსა და შორის. 8. ეს შტრიხები შეასრულებს რიცხვების როლს, რომელიც მდებარეობს 2 და 8 ნომრებს შორის

მოდით დავურეკოთ ნომრებს 2 და 8 საზღვრებირიცხვის უფსკრული. რიცხვითი ინტერვალის შედგენისას, მისი საზღვრების წერტილები გამოსახულია არა როგორც ასეთი წერტილები, არამედ როგორც წრეები, რომლებიც ჩანს.

საზღვრები შეიძლება ეკუთვნოდეს ან არ ეკუთვნოდეს რიცხვით დიაპაზონს.

თუ საზღვრები არ ეკუთვნისრიცხვითი ინტერვალი, შემდეგ ისინი გამოსახულია კოორდინატთა ხაზზე ფორმაში ცარიელი წრეები.

თუ საზღვრები ეკუთვნისრიცხვითი ინტერვალი, მაშინ წრეები უნდა გადაღება.

ჩვენს ნახატში წრეები ცარიელი დარჩა. ეს ნიშნავდა, რომ 2 და 8 საზღვრები არ მიეკუთვნება რიცხვით უფსკრულის. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენი რიცხვითი დიაპაზონი მოიცავს ყველა რიცხვს 2-დან 8-მდე, გარდა 2 და 8 რიცხვებისა.

თუ გვინდა 2 და 8 საზღვრები შევიტანოთ რიცხვით დიაპაზონში, მაშინ წრეები უნდა შეივსოს:

ამ შემთხვევაში რიცხვების დიაპაზონი მოიცავს ყველა რიცხვს 2-დან 8-მდე, 2 და 8 რიცხვების ჩათვლით.

წერილობით, რიცხვითი ინტერვალი მითითებულია მისი საზღვრების მითითებით მრგვალი ან კვადრატული ფრჩხილების გამოყენებით.

თუ საზღვრები არ ეკუთვნის ფრჩხილებში.

თუ საზღვრები ეკუთვნისრიცხვითი უფსკრული, შემდეგ საზღვრები ჩარჩოშია კვადრატული ფრჩხილები.

ფიგურაში ნაჩვენებია ორი რიცხვითი ინტერვალი 2-დან 8-მდე შესაბამისი აღნიშვნებით:

პირველ ფიგურაში რიცხვითი უფსკრული მითითებულია ფრჩხილებში, რადგან 2 და 8 საზღვრები არ ეკუთვნისამ რიცხვის ინტერვალი.

მეორე ფიგურაში რიცხვითი უფსკრული მითითებულია კვადრატული ფრჩხილები, რადგან 2 და 8 საზღვრები ეკუთვნისამ რიცხვის ინტერვალი.

რიცხვითი ინტერვალების გამოყენებით შეგიძლიათ დაწეროთ პასუხები უტოლობებზე. მაგალითად, პასუხი ორმაგ უტოლობაზე 2 ≤ x≤ 8 ასე იწერება:

x ∈ [ 2 ; 8 ]

ანუ ჯერ იწერება უტოლობაში შემავალი ცვლადი, შემდეგ წევრობის ნიშნის ∈ გამოყენებით მიუთითებენ რომელ რიცხვობრივ ინტერვალს ეკუთვნის ამ ცვლადის მნიშვნელობები. ამ შემთხვევაში გამოთქმა x∈ [2; 8] მიუთითებს, რომ ცვლადი x,შედის უტოლობაში 2 ≤ x≤ 8, იღებს ყველა მნიშვნელობას 2-დან 8-ის ჩათვლით. ამ მნიშვნელობებისთვის, უთანასწორობა იქნება ჭეშმარიტი.

ყურადღება მიაქციეთ, რომ პასუხი დაწერილია კვადრატული ფრჩხილების გამოყენებით, რადგან უტოლობის საზღვრები 2 ≤ x≤ 8, კერძოდ, რიცხვები 2 და 8 ეკუთვნის ამ უტოლობის ამონახსნების სიმრავლეს.

2 ≤ უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე x≤ 8 ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს კოორდინატთა ხაზის გამოყენებით:

აქ 2 და 8 რიცხვითი ინტერვალის საზღვრები შეესაბამება 2 ≤ უტოლობის საზღვრებს x x 2 ≤ x≤ 8 .

ზოგიერთ წყაროში საზღვრებს, რომლებიც არ განეკუთვნება რიცხვობრივ უფსკრულის უწოდებენ გახსნა .

მათ ღიას უწოდებენ, რადგან რიცხვითი ინტერვალი ღია რჩება იმის გამო, რომ მისი საზღვრები არ მიეკუთვნება ამ რიცხვით ინტერვალს. მათემატიკის კოორდინატთა წრფეზე ცარიელი წრე ეწოდება დარტყმული წერტილი . წერტილის ამოღება ნიშნავს მის გამორიცხვას რიცხვითი ინტერვალიდან ან ამონახსნების სიმრავლიდან უტოლობისთვის.

ხოლო იმ შემთხვევაში, როდესაც საზღვრები რიცხვით ინტერვალს ეკუთვნის, მათ უწოდებენ დახურული(ან დახურულია), რადგან ასეთი საზღვრები ხურავს (ახურავს) რიცხვითი უფსკრული. შევსებული წრე კოორდინატთა ხაზზე ასევე მიუთითებს, რომ საზღვრები დახურულია.

არსებობს რიცხვითი ინტერვალების მრავალფეროვნება. განვიხილოთ თითოეული მათგანი.

ნომრის სხივი

ნომრის სხივი x ≥ a, სად ა x-უთანასწორობის ამოხსნა.

დაე იყოს ა= 3. შემდეგ უთანასწორობა x ≥ aმიიღებს ფორმას x≥ 3. ამ უტოლობის ამონახსნები არის ყველა რიცხვი, რომელიც 3-ზე მეტია, მათ შორის თავად რიცხვი 3.

დახაზეთ რიცხვითი სხივი, რომელიც მოცემულია უტოლობით x≥ 3, კოორდინატთა ხაზზე. ამისათვის მონიშნეთ მასზე წერტილი 3 კოორდინატით და დანარჩენი ტერიტორია მის მარჯვნივმონიშნეთ ტირეებით. ეს არის მარჯვენა მხარე, რომელიც გამოირჩევა უთანასწორობის ამონახსნებიდან x≥ 3 არის 3-ზე მეტი რიცხვები. ხოლო კოორდინატთა ხაზის უფრო დიდი რიცხვები მდებარეობს მარჯვნივ.

x≥ 3 და შტრიხებით მონიშნული ტერიტორია შეესაბამება მნიშვნელობების სიმრავლეს x, რომლებიც უტოლობის ამონახსნებია x≥ 3 .

წერტილი 3, რომელიც არის რიცხვითი სხივის საზღვარი, ნაჩვენებია შევსებული წრის სახით, რადგან უტოლობის საზღვარი x≥ 3 ეკუთვნის მისი ამონახსნების სიმრავლეს.

წერილობით, რიცხვითი წრფე, რომელიც მოცემულია უტოლობით x ≥ a,

[ ა; +∞)

ჩანს, რომ ერთი მხრიდან საზღვარი კვადრატული ფრჩხილით არის შემოსაზღვრული, ხოლო მეორე მხარეს მრგვალი ფრჩხილით. ეს იმის გამო ხდება, რომ რიცხვითი სხივის ერთი საზღვარი მას ეკუთვნის, მეორე კი არა, რადგან თავად უსასრულობას არ აქვს საზღვრები და გასაგებია, რომ მეორე მხარეს არ არსებობს რიცხვი, რომელიც ხურავს ამ რიცხვით სხივს.

იმის გათვალისწინებით, რომ რიცხვითი წრფის ერთ-ერთი საზღვარი დახურულია, ამ უფსკრული ხშირად უწოდებენ დახურული ნომრის სხივი.

დავწეროთ უტოლობაზე პასუხი x≥ 3 რიცხვითი სხივის აღნიშვნის გამოყენებით. ჩვენ გვაქვს ცვლადი აარის 3

x ∈ [ 3 ; +∞)

ეს გამოთქმა ამბობს, რომ ცვლადი xშედის უთანასწორობაში x≥ 3, იღებს ყველა მნიშვნელობას 3-დან პლუს უსასრულობამდე.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ყველა რიცხვი 3-დან პლუს უსასრულობამდე არის უტოლობის ამონახსნები x≥ 3. საზღვარი 3 ეკუთვნის ამონახსნის სიმრავლეს, რადგან უტოლობაა x≥ 3 არის არა მკაცრი.

დახურულ რიცხვთა სხივს ასევე უწოდებენ რიცხვთა ინტერვალს, რომელიც მოცემულია უტოლობით x ≤ a .უთანასწორობის გადაწყვეტილებები x ≤ a ა ,თავად ნომრის ჩათვლით ა.

მაგალითად, თუ ა x≤ 2 . კოორდინატთა ხაზზე, საზღვარი 2 გამოსახული იქნება შევსებული წრის სახით და განლაგებულია მთელი ტერიტორია დატოვა, გამოკვეთილი იქნება ტირეებით. ამჯერად, მარცხენა მხარე ხაზგასმულია, რადგან უთანასწორობის ამონახსნებია x≤ 2 არის 2-ზე ნაკლები რიცხვები. ხოლო კოორდინატთა წრფეზე უფრო მცირე რიცხვები მდებარეობს მარცხნივ.

x≤ 2 , და წყვეტილი ფართობი შეესაბამება მნიშვნელობების სიმრავლეს x, რომლებიც უტოლობის ამონახსნებია x≤ 2 .

წერტილი 2, რომელიც არის რიცხვითი სხივის საზღვარი, ნაჩვენებია შევსებული წრის სახით, რადგან უტოლობის საზღვარი x≤ 2 ეკუთვნის მისი ამონახსნების სიმრავლეს.

დავწეროთ უტოლობაზე პასუხი x≤ 2 რიცხვითი სხივის აღნიშვნის გამოყენებით:

x ∈ (−∞ ; 2 ]

x≤ 2. საზღვარი 2 განეკუთვნება ამონახსნების სიმრავლეს, ვინაიდან უტოლობაა x≤ 2 არის არა მკაცრი.

გახსენით ნომრის სხივი

გახსენით ნომრის სხივიეწოდება რიცხვითი ინტერვალი, რომელიც მოცემულია უტოლობით x > a, სად აარის ამ უთანასწორობის საზღვარი, x- უთანასწორობის ამოხსნა.

ღია რიცხვითი წრფე მრავალი თვალსაზრისით მსგავსია დახურული რიცხვითი წრფისა. განსხვავება ისაა, რომ საზღვარი აარ ეკუთვნის ინტერვალს, ისევე როგორც უტოლობის საზღვარს x > aარ მიეკუთვნება მისი გადაწყვეტილებების კომპლექტს.

დაე იყოს ა= 3. მაშინ უტოლობა იღებს ფორმას x> 3 . ამ უტოლობის ამონახსნები არის ყველა რიცხვი, რომელიც 3-ზე მეტია, გარდა 3-ისა

კოორდინატთა წრფეზე, უტოლობით მოცემული ღია რიცხვითი სხივის საზღვარი x> 3 გამოჩნდება ცარიელი წრის სახით. მთელი ტერიტორია მარჯვნივ იქნება ხაზგასმული შტრიხებით:

აქ 3 წერტილი შეესაბამება უტოლობის ზღვარს x > 3 და შტრიხებით ხაზგასმული ტერიტორია შეესაბამება მნიშვნელობების სიმრავლეს x, რომლებიც უტოლობის ამონახსნებია x > 3 . წერტილი 3, რომელიც არის ღია ციფრული სხივის საზღვარი, ნაჩვენებია ცარიელი წრის სახით, რადგან უტოლობის საზღვარი x > 3 არ ეკუთვნის მის ამონახსნებს.

x > a, აღინიშნება შემდეგნაირად:

(ა; +∞)

ფრჩხილებში მითითებულია, რომ ღია რიცხვითი სხივის საზღვრები მას არ ეკუთვნის.

დავწეროთ უტოლობაზე პასუხი x> 3 ღია ციფრული სხივის აღნიშვნის გამოყენებით:

x ∈ (3 ; +∞)

ეს გამოთქმა ამბობს, რომ ყველა რიცხვი 3-დან პლუს უსასრულობამდე არის უტოლობის ამონახსნები x> 3 . საზღვარი 3 არ ეკუთვნის ამონახსნის სიმრავლეს, რადგან უტოლობაა x> 3 მკაცრია.

ღია რიცხვის სხივს ასევე უწოდებენ რიცხვთა ინტერვალს, რომელიც მოცემულია უტოლობით x< a , სად აარის ამ უთანასწორობის საზღვარი, x- უთანასწორობის ამოხსნა . უთანასწორობის გადაწყვეტილებები x< a ყველა რიცხვი ნაკლებია ა ,ნომრის გამოკლებით ა.

მაგალითად, თუ ა= 2, მაშინ უტოლობა იღებს ფორმას x< 2. კოორდინატთა ხაზზე, საზღვარი 2 ნაჩვენები იქნება ცარიელი წრის სახით და მარცხნივ მდებარე მთელი ტერიტორია ხაზგასმული იქნება შტრიხებით:

აქ 2 წერტილი შეესაბამება უტოლობის საზღვარს x< 2 , და შტრიხებით მონიშნული ტერიტორია შეესაბამება მნიშვნელობების სიმრავლეს x, რომლებიც უტოლობის ამონახსნებია x< 2. წერტილი 2, რომელიც არის ღია ციფრული სხივის საზღვარი, ნაჩვენებია ცარიელი წრის სახით, რადგან უტოლობის საზღვარი x< 2 არ განეკუთვნება მის ამონახსნებს.

წერილობით, ღია რიცხვის სხივი, რომელიც მოცემულია უტოლობით x< a , აღინიშნება შემდეგნაირად:

(−∞ ; ა)

დავწეროთ უტოლობაზე პასუხი x< 2 ღია ციფრული სხივის აღნიშვნის გამოყენებით:

x ∈ (−∞ ; 2)

ეს გამოთქმა ამბობს, რომ ყველა რიცხვი მინუს უსასრულობიდან 2-მდე არის უტოლობის ამონახსნები x< 2. საზღვარი 2 არ მიეკუთვნება ამონახსნების სიმრავლეს, რადგან უტოლობაა x< 2 მკაცრია.

ხაზის სეგმენტი

სეგმენტი a ≤ x ≤ ბ, სად ადა ბ x- უთანასწორობის ამოხსნა.

დაე იყოს ა = 2 , ბ= 8. შემდეგ უთანასწორობა a ≤ x ≤ ბიღებს ფორმას 2 ≤ x≤ 8 . 2 ≤ უტოლობის ამონახსნები x≤ 8 არის ყველა რიცხვი, რომელიც 2-ზე მეტია და 8-ზე ნაკლები. უფრო მეტიც, 2-ისა და 8-ის უტოლობის საზღვრები ეკუთვნის მისი ამონახსნების სიმრავლეს, რადგან უტოლობა 2 ≤ x≤ 8 არის არა მკაცრი.

დახაზეთ 2 ≤ ორმაგი უტოლობით მოცემული სეგმენტი x≤ 8 კოორდინატთა ხაზზე. ამისათვის მონიშნეთ მასზე არსებული წერტილები მე-2 და მე-8 კოორდინატებით და მონიშნეთ მათ შორის არე ზოლებით:

≤ x≤ 8 , და წყვეტილი ფართობი შეესაბამება მნიშვნელობების სიმრავლეს x x≤ 8 . 2 და 8 წერტილები, რომლებიც არის სეგმენტის საზღვრები, ნაჩვენებია შევსებული წრეების სახით, რადგან უტოლობის საზღვრები 2 ≤ x≤ 8 ეკუთვნის მისი ამონახსნების სიმრავლეს.

ასოზე, უტოლობით მოცემული სეგმენტი a ≤ x ≤ ბაღინიშნება შემდეგნაირად:

[ ა; ბ ]

ორივე მხარეს კვადრატული ფრჩხილები მიუთითებს სეგმენტის საზღვრებზე ეკუთვნისმას. დავწეროთ პასუხი უტოლობაზე 2 ≤ x

x ∈ [ 2 ; 8 ]

ეს გამოთქმა ამბობს, რომ ყველა რიცხვი 2-დან 8-ის ჩათვლით არის ამონახსნები 2 ≤ უტოლობისთვის. x≤ 8 .

ინტერვალი

ინტერვალიეწოდება რიცხვითი ინტერვალი, რომელიც მოცემულია ორმაგი უტოლობით ა< x < b , სად ადა ბარის ამ უთანასწორობის საზღვრები, x- უთანასწორობის ამოხსნა.

დაე იყოს a = 2, b = 8. შემდეგ უთანასწორობა ა< x < b მიიღებს ფორმას 2< x< 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

მოდით გამოვსახოთ ინტერვალი კოორდინატთა ხაზზე:

აქ 2 და 8 წერტილები შეესაბამება 2 უტოლობის საზღვრებს< x< 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x < x< 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < x< 8 не принадлежат множеству его решений.

წერილობით უტოლობით მოცემული ინტერვალი ა< x < b, აღინიშნება შემდეგნაირად:

(ა; ბ)

ორივე მხარეს ფრჩხილები მიუთითებს, რომ ინტერვალის საზღვრები არ ეკუთვნისმას. მოდით დავწეროთ პასუხი უტოლობა 2-ზე< x< 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ (2 ; 8)

ეს გამოთქმა ამბობს, რომ ყველა რიცხვი 2-დან 8-მდე, 2-ისა და 8-ის გამოკლებით, არის ამონახსნები 2-ის უტოლობაზე.< x< 8 .

ნახევარი ინტერვალი

ნახევარი ინტერვალიეწოდება რიცხვითი ინტერვალი, რომელიც მოცემულია უტოლობით a ≤ x< b , სად ადა ბარის ამ უთანასწორობის საზღვრები, x- უთანასწორობის ამოხსნა.

ნახევრად ინტერვალს ასევე უწოდებენ რიცხვით ინტერვალს, რომელიც მოცემულია უტოლობით ა< x ≤ b .

ნახევარინტერვალის ერთ-ერთი საზღვარი მას ეკუთვნის. აქედან მოდის ამ რიცხვითი ინტერვალის სახელი.

სიტუაციაში ნახევარი ინტერვალით a ≤ x< b ის (ნახევარი ინტერვალი) ეკუთვნის მარცხენა საზღვარს.

და ნახევარი ინტერვალის სიტუაციაში ა< x ≤ b ის ფლობს სწორ საზღვარს.

დაე იყოს ა= 2 , ბ= 8. შემდეგ უთანასწორობა a ≤ x< b იღებს ფორმას 2 ≤ x < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

დახაზეთ ინტერვალი 2 ≤ x < 8 на координатной прямой:

x < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, რომლებიც ამონახსნებია 2 ≤ უტოლობისთვის x < 8 .

წერტილი 2, რომელიც არის მარცხენა საზღვარინახევარი ინტერვალი, ნაჩვენებია შევსებული წრე, რადგან უტოლობის მარცხენა საზღვარი 2 ≤ x < 8 ეკუთვნისმისი მრავალი გამოსავალი.

და მე-8 წერტილი, რაც არის მარჯვენა საზღვარინახევარი ინტერვალი ნაჩვენებია როგორც ცარიელი წრე, რადგან უტოლობის მარჯვენა საზღვარი 2 ≤ x < 8 არა ეკუთვნის მისი მრავალი გამოსავალი.

a ≤ x< b, აღინიშნება შემდეგნაირად:

[ ა; ბ)

ჩანს, რომ ერთი მხრიდან საზღვარი კვადრატული ფრჩხილით არის შემოსაზღვრული, ხოლო მეორე მხარეს მრგვალი ფრჩხილით. ეს იმის გამო ხდება, რომ ნახევარინტერვალის ერთი საზღვარი მას ეკუთვნის, მეორე კი არა. დავწეროთ პასუხი უტოლობაზე 2 ≤ x < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ [ 2 ; 8)

ეს გამოთქმა ამბობს, რომ ყველა რიცხვი 2-დან 8-მდე, 2-ის ჩათვლით, მაგრამ 8-ის გამოკლებით, არის ამონახსნები 2-ის უტოლობისთვის ≤ x < 8 .

ანალოგიურად, კოორდინატთა ხაზზე შეიძლება გამოსახული იყოს უტოლობით მოცემული ნახევარი ინტერვალი. ა< x ≤ b . დაე იყოს ა= 2 , ბ= 8. შემდეგ უთანასწორობა ა< x ≤ b მიიღებს ფორმას 2< x≤ 8 . ამ ორმაგი უტოლობის ამონახსნები არის ყველა რიცხვი, რომელიც 2-ზე მეტი და 8-ზე ნაკლებია, 2-ის გამოკლებით, მაგრამ 8-ის ჩათვლით.

დახაზეთ ნახევარი ინტერვალი 2< x≤ 8 კოორდინატთა ხაზზე:

აქ 2 და 8 წერტილები შეესაბამება 2 უტოლობის საზღვრებს< x≤ 8 , და წყვეტილი ფართობი შეესაბამება მნიშვნელობების სიმრავლეს x, რომლებიც არის 2 უტოლობის ამონახსნები< x≤ 8 .

წერტილი 2, რომელიც არის მარცხენა საზღვარინახევარი ინტერვალი, ნაჩვენებია ცარიელი წრის სახით, რადგან უტოლობის მარცხენა საზღვარი 2< x≤ 8 არ ეკუთვნისმისი მრავალი გამოსავალი.

და მე-8 წერტილი, რაც არის მარჯვენა საზღვარინახევრად ინტერვალი, ნაჩვენებია შევსებული წრე, რადგან უტოლობის მარჯვენა საზღვარი 2< x≤ 8 ეკუთვნისმისი მრავალი გამოსავალი.

წერილობით უტოლობით მოცემული ნახევარი ა< x ≤ b, აღინიშნება ასე: ა; ბ] . მოდით დავწეროთ პასუხი უტოლობა 2-ზე< x≤ 8 ამ აღნიშვნის გამოყენებით:

x ∈ (2 ; 8 ]

ეს გამოთქმა ამბობს, რომ ყველა რიცხვი 2-დან 8-მდე, 2-ის გამოკლებით, მაგრამ 8-ის ჩათვლით, არის ამონახსნები 2-ის უტოლობაზე.< x≤ 8 .

კოორდინატთა წრფეზე რიცხვითი ინტერვალების გამოსახულება

რიცხვითი დიაპაზონი შეიძლება განისაზღვროს უტოლობის გამოყენებით, ან აღნიშვნის (ფრჩხილების ან კვადრატული ფრჩხილების) გამოყენებით. ორივე შემთხვევაში, თქვენ უნდა შეძლოთ ამ რიცხვითი ინტერვალის წარმოდგენა კოორდინატთა ხაზზე. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 1. დახაზეთ უტოლობით მოცემული რიცხვითი ინტერვალი x> 5

შეგახსენებთ, რომ ფორმის უთანასწორობა x> ამითითებულია ღია ციფრული სხივი. ამ შემთხვევაში, ცვლადი აუდრის 5. უტოლობა x> 5 მკაცრია, ამიტომ 5-ის საზღვრები ცარიელი წრედ გამოჩნდება. ჩვენ ყველა ღირებულებები გვაინტერესებს x,რომლებიც 5-ზე მეტია, ასე რომ, მარჯვნივ მთელი უბანი მონიშნული იქნება შტრიხებით:

მაგალითი 2. დახაზეთ რიცხვითი ინტერვალი (5; +∞) კოორდინატთა წრფეზე

ეს არის იგივე რიცხვის დიაპაზონი, რაც წინა მაგალითში ავიღეთ. მაგრამ ამჯერად ის დაყენებულია არა უტოლობის, არამედ რიცხვითი ინტერვალის აღნიშვნის დახმარებით.

საზღვარი 5 გარშემორტყმულია ფრჩხილებით, რაც ნიშნავს, რომ ის არ ეკუთვნის უფსკრული. შესაბამისად, წრე ცარიელი რჩება.

+∞ სიმბოლო მიუთითებს იმაზე, რომ ჩვენ გვაინტერესებს ყველა რიცხვი, რომელიც 5-ზე მეტია. შესაბამისად, 5 საზღვრის მარჯვნივ მდებარე მთელი ტერიტორია ხაზგასმულია შტრიხებით:

მაგალითი 3. დახაზეთ რიცხვითი ინტერვალი (−5; 1) კოორდინატთა წრფეზე.

მრგვალი ფრჩხილები ორივე მხარეს აღნიშნავს ინტერვალებს. ინტერვალის საზღვრები მას არ ეკუთვნის, ამიტომ −5-ისა და 1-ის საზღვრები ნაჩვენები იქნება კოორდინატთა ხაზზე ცარიელი წრეების სახით. მათ შორის მთელი ტერიტორია ხაზგასმული იქნება შტრიხებით:

მაგალითი 4. დახაზეთ −5 უტოლობით მოცემული რიცხვითი ინტერვალი< x< 1

ეს არის იგივე რიცხვის დიაპაზონი, რაც წინა მაგალითში ავიღეთ. მაგრამ ამჯერად ის მითითებულია არა ინტერვალის აღნიშვნის, არამედ ორმაგი უტოლობის დახმარებით.

ფორმის უთანასწორობა ა< x < b , ინტერვალი დაყენებულია. ამ შემთხვევაში, ცვლადი აუდრის −5 და ცვლადი ბუდრის ერთს. უტოლობა −5< x< 1 მკაცრია, ამიტომ −5-ისა და 1-ის საზღვრები დახაზული იქნება ცარიელი წრეების სახით. ჩვენ ყველა ღირებულებები გვაინტერესებს x,რომლებიც −5-ზე მეტია, მაგრამ ერთზე ნაკლები, ამიტომ −5 და 1 წერტილებს შორის მთელი ფართობი ხაზგასმული იქნება შტრიხებით:

მაგალითი 5. დახაზეთ რიცხვითი ინტერვალები [-1; 2] და

ამჯერად კოორდინატთა ხაზზე ერთდროულად ორ უფსკრული დავხატოთ.

კვადრატული ფრჩხილები ორივე მხარეს აღნიშნავს სეგმენტებს. სეგმენტის საზღვრები მას ეკუთვნის, ამიტომ სეგმენტების საზღვრები [-1; 2] და გამოსახული იქნება კოორდინატთა ხაზზე შევსებული წრეების სახით. მათ შორის მთელი ტერიტორია ხაზგასმული იქნება შტრიხებით.

ნათლად დავინახოთ ხარვეზები [−1; 2] და , პირველი შეიძლება იყოს გამოსახული ზედა ზონაზე, ხოლო მეორე ბოლოში. მოდით გავაკეთოთ ეს:

მაგალითი 6. დახაზეთ რიცხვითი ინტერვალები [-1; 2) და (2; 5]

კვადრატული ფრჩხილები ერთ მხარეს და მრგვალი ფრჩხილები მეორეზე აღნიშნავს ნახევრად ინტერვალებს. ნახევარინტერვალის ერთი საზღვარი მას ეკუთვნის, მეორე კი არა.

ნახევარი ინტერვალის შემთხვევაში [-1; 2) მარცხენა საზღვარი მას ეკუთვნის, მარჯვენა კი არა. ეს ნიშნავს, რომ მარცხენა საზღვარი გამოჩნდება როგორც შევსებული წრე. მარჯვენა საზღვარი გამოჩნდება ცარიელი წრის სახით.

ხოლო ნახევრად ინტერვალის შემთხვევაში (2; 5) მას მხოლოდ მარჯვენა საზღვარი მიეკუთვნება, მარცხენა კი არა. ეს ნიშნავს, რომ მარცხენა საზღვარი გამოჩნდება შევსებული წრის სახით. გამოჩნდება მარჯვენა საზღვარი. როგორც ცარიელი წრე.

დახაზეთ ინტერვალი [-1; 2) კოორდინატთა ხაზის ზედა რეგიონში, ხოლო ინტერვალი (2; 5] - ქვედაზე:

უტოლობების ამოხსნის მაგალითები

უთანასწორობა, რომელიც იდენტური გარდაქმნებით შეიძლება შემცირდეს ფორმამდე ცული > ბ(ან ხედისკენ ნაჯახი< b ), ჩვენ დავურეკავთ წრფივი უტოლობა ერთი ცვლადით.

წრფივი უტოლობაში ცული > ბ , xარის ცვლადი, რომლის მნიშვნელობებიც უნდა მოიძებნოს, აარის ამ ცვლადის კოეფიციენტი, ბარის უტოლობის საზღვარი, რომელიც, უტოლობის ნიშნიდან გამომდინარე, შეიძლება ეკუთვნოდეს მისი ამონახსნების სიმრავლეს ან არ ეკუთვნოდეს მას.

მაგალითად, უტოლობა 2 x> 4 არის ფორმის უტოლობა ცული > ბ. მასში ცვლადის როლი ათამაშობს რიცხვ 2-ს, ცვლადის როლს ბ(საზღვრის უტოლობა) თამაშობს რიცხვ 4-ს.

უტოლობა 2 x> 4 შეიძლება კიდევ უფრო მარტივი იყოს. თუ მის ორივე ნაწილს გავყოფთ 2-ზე, მივიღებთ უტოლობას x> 2

შედეგად მიღებული უთანასწორობა x> 2 ასევე ფორმის უტოლობაა ცული > ბ, ანუ წრფივი უტოლობა ერთი ცვლადით. ამ უთანასწორობაში ცვლადის როლი აერთეული თამაშობს. ადრე ვთქვით, რომ კოეფიციენტი 1 არ ფიქსირდება. ცვლადის როლი ბთამაშობს ნომერ 2-ს.

ამ ინფორმაციის საფუძველზე, შევეცადოთ ამოხსნათ რამდენიმე მარტივი უტოლობა. ამოხსნის დროს ჩვენ განვახორციელებთ ელემენტარული იდენტობის გარდაქმნებს, რათა მივიღოთ ფორმის უთანასწორობა ცული > ბ

მაგალითი 1. ამოხსენით უტოლობა x− 7 < 0

უტოლობის ორივე მხარეს დაამატეთ რიცხვი 7

x− 7 + 7 < 0 + 7

მარცხენა მხარეს დარჩება xდა მარჯვენა მხარე ხდება 7-ის ტოლი

x< 7

ელემენტარული გარდაქმნებით ჩვენ შევამცირეთ უთანასწორობა x− 7 < 0 к равносильному неравенству x< 7 . Решениями неравенства x< 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

როცა უთანასწორობა ფორმამდე მიყვანილია x< a (ან x > a), შეიძლება უკვე გადაჭრილად ჩაითვალოს. ჩვენი უთანასწორობა x− 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду x< 7 . Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

დავწეროთ პასუხი რიცხვითი ინტერვალის გამოყენებით. ამ შემთხვევაში პასუხი იქნება ღია რიცხვითი სხივი (შეგახსენებთ, რომ რიცხვითი სხივი მოცემულია უტოლობით x< a და აღინიშნება როგორც (−∞ ; ა)

x ∈ (−∞ ; 7)

კოორდინატთა ხაზზე, საზღვარი 7 გამოჩნდება ცარიელი წრის სახით და საზღვრის მარცხნივ მდებარე მთელი ტერიტორია ხაზგასმული იქნება შტრიხებით:

შესამოწმებლად ვიღებთ ნებისმიერ რიცხვს ინტერვალიდან (−∞ ; 7) და ვცვლით უტოლობაში. x< 7 вместо переменной x. აიღეთ, მაგალითად, ნომერი 2

2 < 7

აღმოჩნდა სწორი რიცხვითი უტოლობა, რაც ნიშნავს, რომ ამონახსნი სწორია. ავიღოთ სხვა რიცხვი, მაგალითად, ნომერი 4

4 < 7

აღმოჩნდა სწორი რიცხვითი უტოლობა. ასე რომ გადაწყვეტილება სწორია.

და რადგან უთანასწორობა x< 7 равносильно исходному неравенству x - 7 < 0 , то решения неравенства x< 7 будут совпадать с решениями неравенства x - 7 < 0 . Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x - 7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство

მაგალითი 2. უტოლობის ამოხსნა −4 x < −16

უტოლობის ორივე მხარე გავყოთ −4-ზე. არ დაგავიწყდეთ, რომ უტოლობის ორივე ნაწილის გაყოფისას უარყოფით რიცხვამდე, უთანასწორობის ნიშანი იცვლება პირიქით:

ჩვენ შევამცირეთ უტოლობა −4 x < −16 к равносильному неравенству x> 4 . უთანასწორობის გადაწყვეტილებები x> 4 იქნება ყველა რიცხვი, რომელიც 4-ზე მეტია. საზღვარი 4 არ მიეკუთვნება ამონახსნების სიმრავლეს, რადგან უტოლობა მკაცრია.

x> 4 კოორდინატთა წრფეზე და ჩაწერეთ პასუხი რიცხვითი ინტერვალის სახით:

მაგალითი 3. ამოხსენით უტოლობა 3y + 1 > 1 + 6წ

განრიგი 6 წმარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს ნიშნის შეცვლით. და ჩვენ გადავიტანთ 1-ს მარცხენა მხრიდან მარჯვენა მხარეს, კვლავ ვცვლით ნიშანს:

3წ− 6წ> 1 − 1

აქ არის მსგავსი ტერმინები:

−3წ > 0

გავყოთ ორივე მხარე -3-ზე. არ დაგავიწყდეთ, რომ უტოლობის ორივე ნაწილის უარყოფით რიცხვზე გაყოფისას, უტოლობის ნიშანი შებრუნებულია:

უთანასწორობის გადაწყვეტილებები წ< 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства წ< 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

მაგალითი 4. ამოხსენით უტოლობა 5(x− 1) + 7 ≤ 1 − 3(x+ 2)

მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები უტოლობის ორივე ნაწილში:

გადაადგილება -3 xმარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს ნიშნის შეცვლით. −5 და 7 ტერმინებს გადავიტანთ მარცხენა მხრიდან მარჯვნივ, ისევ შევცვლით ნიშნებს:

აქ არის მსგავსი ტერმინები:

მიღებული უტოლობის ორივე მხარე გაყავით 8-ზე

უტოლობის ამონახსნები არის ყველა რიცხვი, რომელიც ნაკლებია. საზღვარი მიეკუთვნება ამონახსნების ნაკრებს, რადგან უტოლობა არ არის მკაცრი.

მაგალითი 5. ამოხსენით უტოლობა

გაამრავლეთ უტოლობის ორივე მხარე 2-ზე. ეს გაათავისუფლებს წილადს მარცხენა მხარეს:

ახლა ჩვენ გადავიტანთ 5-ს მარცხენა მხრიდან მარჯვენა მხარეს, ნიშნის შეცვლით:

მსგავსი ტერმინების შემცირების შემდეგ ვიღებთ უტოლობა 6-ს x> 1 . ამ უტოლობის ორივე ნაწილი გავყოთ 6-ზე. მაშინ მივიღებთ:

უტოლობის ამონახსნები ყველა რიცხვზე მეტია. საზღვარი არ მიეკუთვნება ამონახსნების სიმრავლეს, რადგან უტოლობა მკაცრია.

დახაზეთ უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე კოორდინატთა წრფეზე და დაწერეთ პასუხი რიცხვითი ინტერვალის სახით:

მაგალითი 6. ამოხსენით უტოლობა

გავამრავლოთ ორივე მხარე 6-ზე

მსგავსი ტერმინების შემცირების შემდეგ ვიღებთ უტოლობას 5 x< 30 . Разделим обе части этого неравенства на 5

უთანასწორობის გადაწყვეტილებები x< 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x< 6 строгим.

დახაზეთ ამონახსნების სიმრავლე უტოლობაზე x< 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

მაგალითი 7. ამოხსენით უტოლობა

გაამრავლეთ უტოლობის ორივე მხარე 10-ზე

შედეგად მიღებული უთანასწორობისას გახსენით ფრჩხილები მარცხენა მხარეს:

წევრების გადაყვანა გარეშე xმარჯვენა მხარეს

წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს ორივე ნაწილში:

მიღებული უტოლობის ორივე ნაწილი გავყოთ 10-ზე

უთანასწორობის გადაწყვეტილებები x≤ 3,5 არის ყველა რიცხვი, რომელიც 3,5-ზე ნაკლებია. 3.5 ზღვარი მიეკუთვნება ამონახსნის სიმრავლეს, რადგან უტოლობა არის x≤ 3.5 არა მკაცრი.

დახაზეთ ამონახსნების სიმრავლე უტოლობაზე x≤ 3.5 კოორდინატთა წრფეზე და ჩაწერეთ პასუხი რიცხვითი ინტერვალის სახით:

მაგალითი 8. უტოლობის ამოხსნა 4< 4x< 20

ასეთი უტოლობის გადასაჭრელად, ჩვენ გვჭირდება ცვლადი xთავისუფალი კოეფიციენტისგან 4. მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომელ ინტერვალშია ამ უტოლობის ამოხსნა.

ცვლადის გასათავისუფლებლად xკოეფიციენტიდან შეგიძლიათ გაყოთ ტერმინი 4 x 4-ით. მაგრამ უტოლობების წესი არის ის, რომ თუ უტოლობის წევრს გავყოფთ რაიმე რიცხვზე, მაშინ იგივე უნდა მოვიქცეთ ამ უტოლობაში შემავალ დანარჩენ წევრებთან მიმართებაში. ჩვენს შემთხვევაში, ჩვენ უნდა გავყოთ 4-ზე 4-ის უტოლობის სამივე წევრი< 4x< 20

უტოლობის გადაწყვეტა 1< x< 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < x< 5 является строгим.

დახაზეთ უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე 1< x< 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

მაგალითი 9. ამოხსენით უტოლობა −1 ≤ −2 x≤ 0

უტოლობის ყველა წევრი გავყოთ −2-ზე

მივიღეთ უტოლობა 0,5 ≥ x≥ 0. სასურველია დაიწეროს ორმაგი უტოლობა ისე, რომ პატარა წევრი განთავსდეს მარცხნივ, ხოლო დიდი - მარჯვნივ. ამიტომ, ჩვენ ხელახლა ვწერთ ჩვენს უთანასწორობას შემდეგნაირად:

0 ≤ x≤ 0,5

0 ≤ უტოლობის ამონახსნები x≤ 0,5 არის ყველა რიცხვი, რომელიც 0-ზე მეტია და 0,5-ზე ნაკლები. 0 და 0.5 საზღვრები მიეკუთვნება ამონახსნების სიმრავლეს, რადგან უტოლობა 0 ≤ x≤ 0.5 არა მკაცრია.

დახაზეთ ამონახსნთა სიმრავლე უტოლობაზე 0 ≤ x≤ 0,5 კოორდინატთა წრფეზე და ჩაწერეთ პასუხი რიცხვითი ინტერვალის სახით:

მაგალითი 10. ამოხსენით უტოლობა

გავამრავლოთ ორივე უტოლობა 12-ზე

გავხსნათ ფრჩხილები მიღებულ უტოლობაში და წარმოვადგინოთ მსგავსი ტერმინები:

მიღებული უტოლობის ორივე მხარე გაყავით 2-ზე

უთანასწორობის გადაწყვეტილებები x≤ −0,5 არის ყველა რიცხვი, რომელიც −0,5-ზე ნაკლებია. საზღვარი −0.5 ეკუთვნის ამონახსნთა სიმრავლეს, რადგან უტოლობაა x≤ −0,5 არის არა მკაცრი.

დახაზეთ ამონახსნების სიმრავლე უტოლობაზე x≤ −0,5 კოორდინატთა წრფეზე და ჩაწერეთ პასუხი რიცხვითი ინტერვალის სახით:

მაგალითი 11. ამოხსენით უტოლობა

გაამრავლეთ უტოლობის ყველა ნაწილი 3-ზე

ახლა გამოვაკლოთ 6 მიღებული უტოლობის თითოეულ ნაწილს

მიღებული უტოლობის თითოეულ ნაწილს ვყოფთ −1-ზე. არ დაგავიწყდეთ, რომ უტოლობის ყველა ნაწილის უარყოფით რიცხვზე გაყოფისას, უტოლობის ნიშანი შებრუნებულია:

3 ≤ უტოლობის ამონახსნები a≤ 9 არის ყველა რიცხვი, რომელიც 3-ზე მეტია და 9-ზე ნაკლები. 3 და 9 საზღვრები მიეკუთვნება ამონახსნების სიმრავლეს, რადგან უტოლობა 3 ≤ a≤ 9 არა მკაცრია.

დახაზეთ ამონახსნთა სიმრავლე უტოლობაზე 3 ≤ a≤ 9 კოორდინატზე და ჩაწერეთ პასუხი რიცხვითი ინტერვალის სახით:

როცა გამოსავალი არ არის

არის უთანასწორობები, რომლებსაც არ აქვთ გამოსავალი. ასეთია, მაგალითად, უტოლობა 6 x> 2(3x+ 1). ამ უტოლობის ამოხსნის პროცესში მივალთ, რომ უტოლობის ნიშანი > არ ამართლებს მის მდებარეობას. ვნახოთ, როგორ გამოიყურება.

ამ უტოლობის მარჯვენა მხარეს ფრჩხილების გაფართოებით, მივიღებთ 6-ს x> 6x+ 2. განრიგი 6 xმარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს, ნიშნის შეცვლით, ვიღებთ 6-ს x− 6x> 2 . ჩვენ მოვიყვანთ მსგავსი ტერმინები და ვიღებთ უტოლობას 0 > 2, რაც არ არის ჭეშმარიტი.

უკეთესი გაგებისთვის, ჩვენ ხელახლა ვწერთ მსგავსი ტერმინების შემცირებას მარცხენა მხარეს შემდეგნაირად:

მივიღეთ უტოლობა 0 x> 2 . მარცხენა მხარეს არის ნამრავლი, რომელიც ნებისმიერისთვის ნულის ტოლი იქნება x. და ნული არ შეიძლება იყოს 2-ზე მეტი. აქედან გამომდინარეობს უტოლობა 0 x> 2-ს არ აქვს გამოსავალი.

x> 2, მაშინ მას არ აქვს ამონახსნები და თავდაპირველი უტოლობა 6 x> 2(3x+ 1) .

მაგალითი 2. ამოხსენით უტოლობა

გაამრავლეთ უტოლობის ორივე მხარე 3-ზე

მიღებულ უტოლობაში გადავიტანთ ტერმინს 12 xმარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს ნიშნის შეცვლით. შემდეგ ჩვენ ვაძლევთ მსგავს პირობებს:

მიღებული უტოლობის მარჯვენა მხარე ნებისმიერისთვის xნულის ტოლი იქნება. და ნული არ არის -8-ზე ნაკლები. აქედან გამომდინარეობს უტოლობა 0 x< −8 не имеет решений.

და თუ შემცირებული ეკვივალენტური უტოლობა 0 x< −8 , то не имеет решений и исходное неравенство .

უპასუხე: გადაწყვეტილებები არ არის.

როცა არის უსასრულო ამონახსნები

არის უტოლობები, რომლებსაც აქვთ ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. ასეთი უთანასწორობა ხდება ნებისმიერისთვის x .

მაგალითი 1. ამოხსენით უტოლობა 5(3x− 9) < 15x

მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები უტოლობის მარჯვენა მხარეს:

განრიგი 15 xმარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს, ნიშნის შეცვლა:

აქ არის მსგავსი ტერმინები მარცხენა მხარეს:

მივიღეთ უტოლობა 0 x< 45 . მარცხენა მხარეს არის ნამრავლი, რომელიც ნებისმიერისთვის ნულის ტოლი იქნება x. და ნული 45-ზე ნაკლებია. ასე რომ, 0-ის უტოლობის ამოხსნა x< 45 არის ნებისმიერი რიცხვი.

x< 45-ს აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, შემდეგ თავდაპირველი უტოლობა 5(3x− 9) < 15x აქვს იგივე გადაწყვეტილებები.

პასუხი შეიძლება დაიწეროს რიცხვითი ინტერვალით:

x ∈ (−∞; +∞)

ეს გამოთქმა ამბობს, რომ უტოლობის ამონახსნები 5(3x− 9) < 15x არის ყველა რიცხვი მინუს უსასრულობიდან პლუს უსასრულობამდე.

მაგალითი 2. ამოხსენით უტოლობა: 31(2x+ 1) − 12x> 50x

მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები უტოლობის მარცხენა მხარეს:

მოდით გადავანაწილოთ 50 xმარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს ნიშნის შეცვლით. და ჩვენ გადავიტანთ ტერმინს 31 მარცხენა მხრიდან მარჯვენა მხარეს, კვლავ ვცვლით ნიშანს:

აქ არის მსგავსი ტერმინები:

მივიღეთ უტოლობა 0 x >-31. მარცხენა მხარეს არის ნამრავლი, რომელიც ნებისმიერისთვის ნულის ტოლი იქნება x. და ნული მეტია −31-ზე. ასე რომ, 0-ის უტოლობის ამოხსნა x< −31 არის ნებისმიერი რიცხვი.

და თუ შემცირებული ეკვივალენტური უტოლობა 0 x >−31-ს აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, შემდეგ თავდაპირველი უტოლობა 31(2x+ 1) − 12x> 50x აქვს იგივე გადაწყვეტილებები.

პასუხი დავწეროთ რიცხვითი ინტერვალით:

x ∈ (−∞; +∞)

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

მოგეწონათ გაკვეთილი?
შემოუერთდით ჩვენს ახალ Vkontakte ჯგუფს და დაიწყეთ ახალი გაკვეთილების შეტყობინებების მიღება