პოლიჰედრა
სტერეომეტრიის შესწავლის მთავარი ობიექტია სამგანზომილებიანი სხეულები. სხეულიარის სივრცის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია რაღაც ზედაპირით.
მრავალწახნაგოვანისხეულს, რომლის ზედაპირი შედგება სიბრტყე მრავალკუთხედების სასრული რაოდენობისგან, ეწოდება. მრავალკუთხედს ეწოდება ამოზნექილი, თუ ის მდებარეობს მის ზედაპირზე არსებული ყველა ბრტყელი მრავალკუთხედის სიბრტყის ერთ მხარეს. ასეთი სიბრტყის საერთო ნაწილს და პოლიედრონის ზედაპირს ე.წ ზღვარი. ამოზნექილი მრავალკუთხედის სახეები ბრტყელი ამოზნექილი მრავალკუთხედებია. სახეების გვერდები ე.წ პოლიედრონის კიდეებიდა წვეროები პოლიედრონის წვეროები.
მაგალითად, კუბი შედგება ექვსი კვადრატისაგან, რომლებიც მისი სახეებია. იგი შეიცავს 12 კიდეს (კვადრატების გვერდებს) და 8 წვეროს (კვადრატების წვეროებს).
უმარტივესი პოლიედრებია პრიზმები და პირამიდები, რომლებსაც შემდგომში შევისწავლით.
პრიზმა
პრიზმის განმარტება და თვისებები
პრიზმაეწოდება პოლიედონი, რომელიც შედგება ორი ბრტყელი მრავალკუთხედისაგან, რომლებიც დევს პარალელურ სიბრტყეში, რომლებიც გაერთიანებულია პარალელური გადაცემით და ყველა სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ამ მრავალკუთხედების შესაბამის წერტილებს. მრავალკუთხედები ე.წ პრიზმის ბაზები, და მრავალკუთხედების შესაბამისი წვეროების დამაკავშირებელი სეგმენტები არის პრიზმის გვერდითი კიდეები.
პრიზმის სიმაღლეეწოდება მანძილი მისი ფუძეების სიბრტყეებს შორის (). სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს პრიზმის ორ წვეროს, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს, ეწოდება პრიზმის დიაგონალი(). პრიზმა ე.წ n-ნახშირითუ მისი ფუძე არის n-გონი.
ნებისმიერ პრიზმას აქვს შემდეგი თვისებები, რაც გამომდინარეობს იქიდან, რომ პრიზმის ფუძეები გაერთიანებულია პარალელური თარგმანით:
1. პრიზმის ფუძეები ტოლია.
2. პრიზმის გვერდითი კიდეები პარალელური და ტოლია.
პრიზმის ზედაპირი შედგება ფუძეებისგან და გვერდითი ზედაპირი. პრიზმის გვერდითი ზედაპირი შედგება პარალელოგრამებისგან (ეს პრიზმის თვისებებიდან გამომდინარეობს). პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი არის გვერდითი სახეების ფართობების ჯამი.
სწორი პრიზმა
პრიზმა ე.წ სწორითუ მისი გვერდითი კიდეები ფუძეების პერპენდიკულარულია. წინააღმდეგ შემთხვევაში პრიზმას ეძახიან ირიბი.
სწორი პრიზმის სახეები მართკუთხედია. სწორი პრიზმის სიმაღლე უდრის მისი გვერდითი სახეების.
სრული პრიზმის ზედაპირიარის გვერდითი ზედაპირის ფართობისა და ფუძეების ფართობის ჯამი.
სწორი პრიზმაეწოდება სწორი პრიზმა ფუძეზე რეგულარული მრავალკუთხედით.
თეორემა 13.1. სწორი პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი ტოლია პერიმეტრისა და პრიზმის სიმაღლის ნამრავლის (ან, ექვივალენტურად, გვერდითი კიდეს).
მტკიცებულება. სწორი პრიზმის გვერდითი სახეები არის მართკუთხედები, რომელთა ფუძეები არის პრიზმის ფუძეებზე მდებარე მრავალკუთხედების გვერდები, ხოლო სიმაღლეები პრიზმის გვერდითი კიდეებია. მაშინ, განმარტებით, გვერდითი ზედაპირის ფართობი არის:
,
სად არის სწორი პრიზმის ფუძის პერიმეტრი.
პარალელეპიპედი
თუ პარალელოგრამები დევს პრიზმის ფუძეებზე, მაშინ მას უწოდებენ პარალელეპიპედი. პარალელეპიპედის ყველა სახე პარალელოგრამია. ამ შემთხვევაში, პარალელეპიპედის საპირისპირო სახეები პარალელური და ტოლია.
თეორემა 13.2. პარალელეპიპედის დიაგონალები იკვეთება ერთ წერტილში და გადაკვეთის წერტილი იყოფა შუაზე.
მტკიცებულება. განვიხილოთ ორი თვითნებური დიაგონალი, მაგალითად, და. იმიტომ რომ პარალელეპიპედის სახეები არის პარალელოგრამები, შემდეგ და, რაც ნიშნავს, რომ T-ის მიხედვით დაახლოებით ორი სწორი ხაზია მესამესთან პარალელურად. გარდა ამისა, ეს ნიშნავს, რომ ხაზები და დევს იმავე სიბრტყეში (თვითმფრინავი). ეს სიბრტყე კვეთს პარალელურ სიბრტყეებს და პარალელური ხაზების გასწვრივ და . ამრიგად, ოთხკუთხედი არის პარალელოგრამი, ხოლო პარალელოგრამის თვისებით მისი დიაგონალები და იკვეთება და გადაკვეთის წერტილი იყოფა შუაზე, რაც საჭირო იყო დასამტკიცებლად.
მართკუთხა პარალელეპიპედი, რომლის ფუძე არის მართკუთხედი, ეწოდება კუბოიდური. კუბოიდის ყველა სახე მართკუთხედია. მართკუთხა პარალელეპიპედის არაპარალელური კიდეების სიგრძეებს მის წრფივ განზომილებებს (გაზომვებს) უწოდებენ. არის სამი ზომა (სიგანე, სიმაღლე, სიგრძე).
თეორემა 13.3. კუბოიდში ნებისმიერი დიაგონალის კვადრატი უდრის მისი სამი განზომილების კვადრატების ჯამს. 
(დადასტურებულია პითაგორას T-ის ორჯერ გამოყენებით).
მართკუთხა პარალელეპიპედი, რომელშიც ყველა კიდე ტოლია, ეწოდება კუბი.
Დავალებები
13.1 რამდენ დიაგონალს აქვს ნ- ნახშირბადის პრიზმა
13.2 დახრილ სამკუთხა პრიზმაში გვერდითა კიდეებს შორის მანძილი არის 37, 13 და 40. იპოვეთ მანძილი უფრო დიდ გვერდითა სახესა და მოპირდაპირე გვერდითა კიდეს შორის.
13.3 რეგულარული სამკუთხა პრიზმის ქვედა ფუძის გვერდის გავლით გამოყვანილია სიბრტყე, რომელიც კვეთს გვერდითა გვერდებს სეგმენტების გასწვრივ, რომელთა შორის კუთხე არის . იპოვეთ ამ სიბრტყის დახრილობის კუთხე პრიზმის ფუძესთან.
სხვადასხვა პრიზმები განსხვავდება ერთმანეთისგან. ამავე დროს, მათ ბევრი საერთო აქვთ. პრიზმის ფუძის ფართობის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, როგორია ის.
ზოგადი თეორია
პრიზმა არის ნებისმიერი პოლიედონი, რომლის გვერდებს აქვთ პარალელოგრამის ფორმა. უფრო მეტიც, ნებისმიერი პოლიედონი შეიძლება იყოს მის ბაზაზე - სამკუთხედიდან n-გონამდე. უფრო მეტიც, პრიზმის ფუძეები ყოველთვის ერთმანეთის ტოლია. რაც არ ეხება გვერდით სახეებს - ისინი შეიძლება მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდეს ზომით.
პრობლემების გადაჭრისას, ეს არ არის მხოლოდ პრიზმის ფუძის ფართობი, რომელიც გვხვდება. შეიძლება საჭირო გახდეს გვერდითი ზედაპირის ცოდნა, ანუ ყველა სახე, რომელიც არ არის ფუძე. სრული ზედაპირი უკვე იქნება პრიზმის შემადგენელი ყველა სახის გაერთიანება.
ზოგჯერ სიმაღლეები ჩნდება ამოცანებში. იგი პერპენდიკულარულია ფუძეებზე. პოლიედრონის დიაგონალი არის სეგმენტი, რომელიც წყვილად აკავშირებს ნებისმიერ ორ წვეროს, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს.
უნდა აღინიშნოს, რომ სწორი ან დახრილი პრიზმის ფუძის ფართობი არ არის დამოკიდებული მათსა და გვერდითა სახეებს შორის კუთხეზე. თუ მათ აქვთ იგივე ფიგურები ზედა და ქვედა სახეებზე, მაშინ მათი არეები თანაბარი იქნება.
სამკუთხა პრიზმა
მას ძირში აქვს ფიგურა სამი წვერით, ანუ სამკუთხედი. ცნობილია, რომ განსხვავებულია. თუ მაშინ საკმარისია გავიხსენოთ, რომ მისი ფართობი განისაზღვრება ფეხების პროდუქტის ნახევარით.
მათემატიკური აღნიშვნა ასე გამოიყურება: S = ½ av.
ძირის ფართობის ზოგადი ფორმით გასარკვევად, სასარგებლოა ფორმულები: ჰერონი და ის, რომელშიც გვერდის ნახევარი მიიღება მისკენ მიზიდულ სიმაღლეზე.
პირველი ფორმულა ასე უნდა დაიწეროს: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). ეს ჩანაწერი შეიცავს ნახევრად პერიმეტრს (p), ანუ სამი გვერდის ჯამს გაყოფილი ორზე.
მეორე: S = ½ n a * a.
თუ გსურთ იცოდეთ სამკუთხა პრიზმის ფუძის ფართობი, რომელიც რეგულარულია, მაშინ სამკუთხედი აღმოჩნდება ტოლგვერდა. მას აქვს საკუთარი ფორმულა: S = ¼ a 2 * √3.
ოთხკუთხა პრიზმა
მისი ფუძე არის რომელიმე ცნობილი ოთხკუთხედი. ეს შეიძლება იყოს მართკუთხედი ან კვადრატი, პარალელეპიპედი ან რომბი. თითოეულ შემთხვევაში, პრიზმის ფუძის ფართობის გამოსათვლელად, დაგჭირდებათ საკუთარი ფორმულა.
თუ ფუძე არის მართკუთხედი, მაშინ მისი ფართობი განისაზღვრება შემდეგნაირად: S = av, სადაც a, b არის მართკუთხედის გვერდები.
როდესაც საქმე ეხება ოთხკუთხა პრიზმას, ჩვეულებრივი პრიზმის ბაზის ფართობი გამოითვლება კვადრატის ფორმულის გამოყენებით. რადგან სწორედ ის წევს ბაზაზე. S \u003d a 2.
იმ შემთხვევაში, როდესაც ბაზა არის პარალელეპიპედი, საჭირო იქნება შემდეგი თანასწორობა: S \u003d a * n a. ხდება ისე, რომ მოცემულია პარალელეპიპედის გვერდი და ერთ-ერთი კუთხე. შემდეგ, სიმაღლის გამოსათვლელად, დაგჭირდებათ დამატებითი ფორმულის გამოყენება: na \u003d b * sin A. უფრო მეტიც, კუთხე A არის "b" მხარის მიმდებარედ, ხოლო სიმაღლე არის na ამ კუთხის საპირისპირო.
თუ რომბი დევს პრიზმის ძირში, მაშინ მისი ფართობის დასადგენად იგივე ფორმულა იქნება საჭირო, რაც პარალელოგრამისთვის (რადგან ეს მისი განსაკუთრებული შემთხვევაა). მაგრამ თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს: S = ½ d 1 d 2. აქ d 1 და d 2 არის რომბის ორი დიაგონალი.
რეგულარული ხუთკუთხა პრიზმა
ეს შემთხვევა მოიცავს მრავალკუთხედის დაყოფას სამკუთხედებად, რომელთა არეების გარკვევა უფრო ადვილია. მიუხედავად იმისა, რომ ეს ხდება, რომ ფიგურები შეიძლება იყოს სხვადასხვა რაოდენობის წვეროებით.
ვინაიდან პრიზმის ფუძე არის რეგულარული ხუთკუთხედი, ის შეიძლება დაიყოს ხუთ ტოლგვერდა სამკუთხედად. მაშინ პრიზმის ფუძის ფართობი უდრის ერთი ასეთი სამკუთხედის ფართობს (ფორმულა ზემოთ ჩანს), გამრავლებული ხუთზე.
რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმა
ხუთკუთხა პრიზმისთვის აღწერილი პრინციპის მიხედვით შესაძლებელია ფუძის ექვსკუთხედის დაყოფა 6 ტოლგვერდა სამკუთხედად. ასეთი პრიზმის ფუძის ფართობის ფორმულა წინა მსგავსია. მხოლოდ მასში უნდა გამრავლდეს ექვსზე.
ფორმულა ასე გამოიყურება: S = 3/2 და 2 * √3.
Დავალებები
No 1. მოცემულია რეგულარული სწორი ხაზი, მისი დიაგონალი არის 22 სმ, პოლიედრონის სიმაღლე 14 სმ. გამოთვალეთ პრიზმის ფუძის ფართობი და მთელი ზედაპირი.
გადაწყვეტილება.პრიზმის საფუძველი არის კვადრატი, მაგრამ მისი გვერდი უცნობია. მისი მნიშვნელობა შეგიძლიათ იპოვოთ კვადრატის დიაგონალიდან (x), რომელიც დაკავშირებულია პრიზმის (d) დიაგონალთან და მის სიმაღლესთან (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. მეორეს მხრივ, ეს სეგმენტი "x" არის ჰიპოტენუზა სამკუთხედში, რომლის ფეხები ტოლია კვადრატის გვერდის. ანუ x 2 \u003d a 2 + a 2. ამრიგად, გამოდის, რომ 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
შეცვალეთ რიცხვი 22-ის ნაცვლად d-ის ნაცვლად და შეცვალეთ „n“ მისი მნიშვნელობით - 14, გამოდის, რომ კვადრატის გვერდი 12 სმ. ახლა ადვილია ბაზის ფართობის გარკვევა: 12 * 12 \u003d 144 სმ 2. .
მთელი ზედაპირის ფართობის გასარკვევად, თქვენ უნდა დაამატოთ ბაზის ფართობის ორჯერ მნიშვნელობა და გააოთხმაგოთ მხარე. ამ უკანასკნელის პოვნა მარტივია მართკუთხედის ფორმულით: გავამრავლოთ მრავალწახნაგა სიმაღლე და ფუძის მხარე. ანუ 14 და 12, ეს რიცხვი უდრის 168 სმ 2-ს. პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი არის 960 სმ 2.
უპასუხე.პრიზმის ბაზის ფართობია 144 სმ2. მთლიანი ზედაპირი - 960 სმ 2.
No 2. დანა ძირში დევს სამკუთხედი 6 სმ გვერდით, ამ შემთხვევაში გვერდითი სახის დიაგონალი 10 სმ. გამოთვალეთ ფართობები: ფუძე და გვერდითი ზედაპირი.
გადაწყვეტილება.ვინაიდან პრიზმა რეგულარულია, მისი ფუძე ტოლგვერდა სამკუთხედია. მაშასადამე, მისი ფართობი ტოლია 6-ის კვადრატში გამრავლებული ¼ და კვადრატული ფესვი 3-ის. მარტივი გამოთვლა მივყავართ შედეგამდე: 9√3 სმ 2. ეს არის პრიზმის ერთი ფუძის ფართობი.
ყველა გვერდითი სახე ერთნაირია და არის მართკუთხედები გვერდებით 6 და 10 სმ. მათი ფართობის გამოსათვლელად საკმარისია ამ რიცხვების გამრავლება. შემდეგ გაამრავლეთ ისინი სამზე, რადგან პრიზმას ზუსტად ამდენი გვერდითი სახე აქვს. შემდეგ გვერდითი ზედაპირის ფართობი იჭრება 180 სმ 2.
უპასუხე.ფართობი: ძირი - 9√3 სმ 2, პრიზმის გვერდითი ზედაპირი - 180 სმ 2.
განმარტება 1. პრიზმული ზედაპირი
თეორემა 1. პრიზმული ზედაპირის პარალელურ მონაკვეთებზე
განმარტება 2. პრიზმული ზედაპირის პერპენდიკულური მონაკვეთი
განმარტება 3. პრიზმა
განმარტება 4. პრიზმის სიმაღლე
განმარტება 5. პირდაპირი პრიზმა
თეორემა 2. პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი
პარალელეპიპედი:
განმარტება 6. პარალელეპიპედი
თეორემა 3. პარალელეპიპედის დიაგონალების გადაკვეთაზე
განმარტება 7. მარჯვენა პარალელეპიპედი
განმარტება 8. მართკუთხა პარალელეპიპედი
განმარტება 9. პარალელეპიპედის ზომები
განმარტება 10. კუბი
განმარტება 11. რომბოედონი
თეორემა 4. მართკუთხა პარალელეპიპედის დიაგონალებზე
თეორემა 5. პრიზმის მოცულობა
თეორემა 6. სწორი პრიზმის მოცულობა
თეორემა 7. მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობა
პრიზმამრავალედრონი ეწოდება, რომელშიც ორი სახე (ფუძე) დევს პარალელურ სიბრტყეში, ხოლო კიდეები, რომლებიც არ დევს ამ სახეებზე, ერთმანეთის პარალელურია.
ფუძის გარდა სხვა სახეებს ეძახიან გვერდითი.
გვერდითი სახეებისა და ბაზების გვერდები ე.წ პრიზმის კიდეები, კიდეების ბოლოები ე.წ პრიზმის მწვერვალები. გვერდითი ნეკნებიეწოდება კიდეები, რომლებიც არ ეკუთვნის ფუძეებს. გვერდითი სახეების გაერთიანებას ე.წ პრიზმის გვერდითი ზედაპირი, და ყველა სახის შეერთება ჰქვია პრიზმის სრული ზედაპირი. პრიზმის სიმაღლეზედა ფუძის წერტილიდან ქვედა ფუძის სიბრტყემდე ჩამოვარდნილ პერპენდიკულარს უწოდებენ ან ამ პერპენდიკულურის სიგრძეს. 
სწორი პრიზმაეწოდება პრიზმა, რომელშიც გვერდითი კიდეები პერპენდიკულარულია ფუძეების სიბრტყეზე. 
სწორიუწოდეს სწორი პრიზმა (ნახ. 3), რომლის ძირში დევს რეგულარული მრავალკუთხედი.
აღნიშვნები:
ლ - გვერდითი ნეკნი;
P - ბაზის პერიმეტრი;
S o - ბაზის ფართობი;
H - სიმაღლე;
P ^ - პერპენდიკულარული მონაკვეთის პერიმეტრი;
S b - გვერდითი ზედაპირის ფართობი;
V - მოცულობა;
S p - პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.
|
V=SH |
*ვარაუდობენ, რომ ყოველი ორი ზედიზედ სიბრტყე იკვეთება და რომ ბოლო სიბრტყე კვეთს პირველს.
თეორემა 1 . პრიზმული ზედაპირის მონაკვეთები ერთმანეთის პარალელურად (მაგრამ არა მისი კიდეების პარალელურად) სიბრტყეებით არის თანაბარი მრავალკუთხედები.
დავუშვათ ABCDE და A"B"C"D"E" პრიზმული ზედაპირის მონაკვეთები ორი პარალელური სიბრტყით. იმის დასადასტურებლად, რომ ეს ორი მრავალკუთხედი ტოლია, საკმარისია ვაჩვენოთ, რომ სამკუთხედები ABC და A"B"C ტოლია. და აქვთ ბრუნვის იგივე მიმართულება და იგივე ეხება სამკუთხედებს ABD და A"B"D", ABE და A"B"E. მაგრამ ამ სამკუთხედების შესაბამისი გვერდები პარალელურია (მაგალითად, AC არის A "C"-ის პარალელურად), როგორც გარკვეული სიბრტყის გადაკვეთის ხაზები ორ პარალელურ სიბრტყესთან; აქედან გამომდინარეობს, რომ ეს გვერდები ტოლია (მაგალითად, AC უდრის A"C"), როგორც პარალელოგრამის მოპირდაპირე მხარეები, და რომ ამ გვერდების მიერ წარმოქმნილი კუთხეები ტოლია და აქვთ ერთი და იგივე მიმართულება.
განმარტება 2 . პრიზმული ზედაპირის პერპენდიკულარული მონაკვეთი არის ამ ზედაპირის მონაკვეთი მისი კიდეების პერპენდიკულარული სიბრტყით. წინა თეორემიდან გამომდინარე, ერთი და იგივე პრიზმული ზედაპირის ყველა პერპენდიკულარული მონაკვეთი იქნება თანაბარი მრავალკუთხედები.
განმარტება 3
. პრიზმა არის პოლიედონი, რომელიც შემოსაზღვრულია პრიზმული ზედაპირით და ერთმანეთის პარალელურად ორი სიბრტყით (მაგრამ არა პრიზმული ზედაპირის კიდეების პარალელურად)
ამ უკანასკნელ თვითმფრინავებში დაწოლილ სახეებს ეძახიან პრიზმის ბაზები; სახეები, რომლებიც მიეკუთვნება პრიზმულ ზედაპირს - გვერდითი სახეები; პრიზმული ზედაპირის კიდეები - პრიზმის გვერდითი კიდეები. წინა თეორემის ძალით პრიზმის საფუძვლებია თანაბარი მრავალკუთხედები. პრიზმის ყველა გვერდითი სახე პარალელოგრამები; ყველა გვერდითი კიდე ერთმანეთის ტოლია.
აშკარაა, რომ თუ ABCDE პრიზმის ფუძე და ერთ-ერთი კიდე AA" მოცემულია სიდიდით და მიმართულებით, მაშინ შესაძლებელია პრიზმის აგება BB", CC", .., ტოლი და პარალელურად კიდეების დახაზვით. ზღვარი AA".
განმარტება 4 . პრიზმის სიმაღლე არის მანძილი მისი ფუძეების სიბრტყეებს შორის (HH").
განმარტება 5
. პრიზმას ეწოდება სწორი ხაზი, თუ მისი ფუძეები არის პრიზმული ზედაპირის პერპენდიკულარული მონაკვეთები. ამ შემთხვევაში, პრიზმის სიმაღლე, რა თქმა უნდა, მისია გვერდითი ნეკნი; გვერდითი კიდეები იქნება მართკუთხედები.
პრიზმები შეიძლება კლასიფიცირდეს გვერდითი სახეების რაოდენობით, ტოლია მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობისა, რომელიც ემსახურება მის საფუძველს. ამრიგად, პრიზები შეიძლება იყოს სამკუთხა, ოთხკუთხა, ხუთკუთხა და ა.შ.
თეორემა 2
. პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი ტოლია გვერდითი კიდის ნამრავლისა და პერპენდიკულარული მონაკვეთის პერიმეტრის.
მოდით ABCDEA"B"C"D"E" იყოს მოცემული პრიზმა და abcde იყოს მისი პერპენდიკულარული მონაკვეთი, ისე რომ მონაკვეთები ab, bc, .. პერპენდიკულარული იყოს მის გვერდით კიდეებზე. სახე ABA"B" არის პარალელოგრამი; მისი ფართობი. უდრის AA ფუძის ნამრავლს იმ სიმაღლეზე, რომელიც ემთხვევა ab; სახის ფართობი BCV "C" უდრის BB ფუძის ნამრავლს bc სიმაღლით და ა.შ. მაშასადამე, გვერდითი ზედაპირი (ე.ი. გვერდითი სახეების ფართობების ჯამი) არის ტოლია გვერდითი კიდის ნამრავლის, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, AA", BB", .. სეგმენტების მთლიანი სიგრძის, ab+bc+cd+de+ea ჯამით.
ზოგადი ინფორმაცია სწორი პრიზმის შესახებ
პრიზმის გვერდითი ზედაპირი (უფრო ზუსტად, გვერდითი ზედაპირის ფართობი) ე.წ ჯამიგვერდითი სახის უბნები. პრიზმის მთლიანი ზედაპირი უდრის გვერდითი ზედაპირისა და ფუძეების ფართობების ჯამს.
თეორემა 19.1. სწორი პრიზმის გვერდითი ზედაპირი უდრის ფუძის პერიმეტრისა და პრიზმის სიმაღლის ნამრავლს, ანუ გვერდითი კიდის სიგრძეს.
მტკიცებულება. სწორი პრიზმის გვერდითი სახეები მართკუთხედია. ამ მართკუთხედების ფუძეები არის პრიზმის ძირში მდებარე მრავალკუთხედის გვერდები, ხოლო სიმაღლეები ტოლია გვერდითი კიდეების სიგრძისა. აქედან გამომდინარეობს, რომ პრიზმის გვერდითი ზედაპირი ტოლია
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
სადაც a 1 და n არის ფუძის ნეკნების სიგრძე, p არის პრიზმის ფუძის პერიმეტრი, ხოლო I არის გვერდითი ნეკნების სიგრძე. თეორემა დადასტურდა.
პრაქტიკული დავალება
ამოცანა (22) . დახრილ პრიზმაში განყოფილებაგვერდითი კიდეების პერპენდიკულარული და ყველა გვერდითი კიდეების გადაკვეთა. იპოვეთ პრიზმის გვერდითი ზედაპირი, თუ მონაკვეთის პერიმეტრი არის p, ხოლო გვერდითი კიდეები არის l.
გადაწყვეტილება. დახატული მონაკვეთის სიბრტყე ყოფს პრიზმას ორ ნაწილად (სურ. 411). მოდით, ერთ-ერთ მათგანს დავუმორჩილოთ პარალელურ თარგმანს, რომელიც აერთიანებს პრიზმის საფუძვლებს. ამ შემთხვევაში ვიღებთ სწორ პრიზმას, რომელშიც საწყისი პრიზმის მონაკვეთი ემსახურება საფუძველს, ხოლო გვერდითი კიდეები ლ-ის ტოლია. ამ პრიზმას აქვს იგივე გვერდითი ზედაპირი, როგორც ორიგინალი. ამრიგად, თავდაპირველი პრიზმის გვერდითი ზედაპირი ტოლია pl.
თემის განზოგადება
ახლა კი ვცადოთ თქვენთან ერთად შევაჯამოთ პრიზმის თემა და გავიხსენოთ რა თვისებები აქვს პრიზმას.
პრიზმის თვისებები
პირველი, პრიზმისთვის, მისი ყველა ფუძე თანაბარი მრავალკუთხედია;
მეორეც, პრიზმისთვის, მისი ყველა გვერდითი სახე პარალელოგრამებია;
მესამე, ისეთ მრავალმხრივ ფიგურაში, როგორიცაა პრიზმა, ყველა გვერდითი კიდე თანაბარია;
ასევე, უნდა გვახსოვდეს, რომ პოლიედრები, როგორიცაა პრიზები, შეიძლება იყოს სწორი და დახრილი.
რა არის სწორი პრიზმა?
თუ პრიზმის გვერდითი კიდე პერპენდიკულარულია მისი ფუძის სიბრტყის მიმართ, მაშინ ასეთ პრიზმას სწორი ხაზი ეწოდება.
ზედმეტი არ იქნება გავიხსენოთ, რომ სწორი პრიზმის გვერდითი სახეები მართკუთხედებია.
რა არის ირიბი პრიზმა?
მაგრამ თუ პრიზმის გვერდითი კიდე არ არის განლაგებული მისი ფუძის სიბრტყის პერპენდიკულარულად, მაშინ თამამად შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ეს არის დახრილი პრიზმა.
რა არის სწორი პრიზმა?
თუ რეგულარული მრავალკუთხედი დევს სწორი პრიზმის ძირში, მაშინ ასეთი პრიზმა რეგულარულია.
ახლა გავიხსენოთ ის თვისებები, რაც აქვს ჩვეულებრივ პრიზმას.
რეგულარული პრიზმის თვისებები
პირველი, რეგულარული მრავალკუთხედები ყოველთვის ემსახურება როგორც რეგულარული პრიზმის საფუძველს;
მეორეც, თუ განვიხილავთ რეგულარული პრიზმის გვერდით სახეებს, მაშინ ისინი ყოველთვის თანაბარი მართკუთხედებია;
მესამე, თუ შევადარებთ გვერდითი ნეკნების ზომებს, მაშინ სწორ პრიზმაში ისინი ყოველთვის თანაბარია.
მეოთხე, რეგულარული პრიზმა ყოველთვის სწორია;
მეხუთე, თუ რეგულარულ პრიზმაში გვერდითი სახეები კვადრატების სახითაა, მაშინ ასეთ ფიგურას, როგორც წესი, ნახევრადრეგულარული მრავალკუთხედი ეწოდება.
პრიზმის განყოფილება
ახლა მოდით შევხედოთ პრიზმის განივი მონაკვეთს:
Საშინაო დავალება
ახლა კი შევეცადოთ გავაერთიანოთ შესწავლილი თემა პრობლემების გადაჭრით.
დავხატოთ დახრილი სამკუთხა პრიზმა, რომელშიც მის კიდეებს შორის მანძილი იქნება: 3 სმ, 4 სმ და 5 სმ, ხოლო ამ პრიზმის გვერდითი ზედაპირი 60 სმ2-ის ტოლი იქნება. ამ პარამეტრებით იპოვეთ მოცემული პრიზმის გვერდითი კიდე.
იცით თუ არა, რომ გეომეტრიული ფიგურები მუდმივად გვახვევენ გარშემო არა მხოლოდ გეომეტრიის გაკვეთილებზე, არამედ ყოველდღიურ ცხოვრებაშიც არის საგნები, რომლებიც ამა თუ იმ გეომეტრიულ ფიგურას წააგავს.
ყველა სახლს, სკოლას თუ სამუშაოს აქვს კომპიუტერი, რომლის სისტემური ერთეული სწორი პრიზმის სახითაა.
თუ უბრალო ფანქარს აიღებთ, ნახავთ, რომ ფანქრის ძირითადი ნაწილი პრიზმაა.
ქალაქის მთავარ ქუჩაზე სეირნობისას ვხედავთ, რომ ჩვენს ფეხქვეშ დევს ფილა, რომელსაც აქვს ექვსკუთხა პრიზმის ფორმა.
A.V. Pogorelov, გეომეტრია 7-11 კლასებისთვის, სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის
ვიდეოკურსი „Get an A“ მოიცავს ყველა იმ თემას, რომელიც აუცილებელია მათემატიკაში გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის 60-65 ქულით. სრულად ყველა დავალება 1-13 პროფილის გამოყენება მათემატიკაში. ასევე შესაფერისია მათემატიკაში საბაზისო გამოყენებისთვის. თუ გსურთ გამოცდა 90-100 ქულით ჩააბაროთ, 1 ნაწილი უნდა ამოხსნათ 30 წუთში და უშეცდომოდ!
გამოცდისთვის მოსამზადებელი კურსი 10-11 კლასებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის. ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ მათემატიკაში გამოცდის 1 ნაწილის გადასაჭრელად (პირველი 12 ამოცანა) და ამოცანა 13 (ტრიგონომეტრია). და ეს არის 70 ქულაზე მეტი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდაზე და არც ასქულიანი სტუდენტი და არც ჰუმანისტი მათ გარეშე არ შეუძლია.
ყველა საჭირო თეორია. სწრაფი გადაწყვეტილებები, ხაფანგები და გამოცდის საიდუმლოებები. გაანალიზებულია FIPI ბანკის ამოცანების პირველი ნაწილის ყველა შესაბამისი დავალება. კურსი სრულად შეესაბამება USE-2018-ის მოთხოვნებს.
კურსი შეიცავს 5 დიდ თემას, თითო 2,5 საათი. თითოეული თემა მოცემულია ნულიდან, მარტივად და ნათლად.
ასობით საგამოცდო დავალება. ტექსტის პრობლემები და ალბათობის თეორია. მარტივი და ადვილად დასამახსოვრებელი პრობლემის გადაჭრის ალგორითმები. გეომეტრია. თეორია, საცნობარო მასალა, ყველა სახის USE ამოცანების ანალიზი. სტერეომეტრია. მზაკვრული ხრიკები ამოხსნისთვის, სასარგებლო თაღლითური ფურცლები, სივრცითი წარმოსახვის განვითარება. ტრიგონომეტრია ნულიდან - დავალებამდე 13. გააზრება ჩაკეტვის ნაცვლად. რთული ცნებების ვიზუალური ახსნა. Ალგებრა. ფესვები, სიმძლავრეები და ლოგარითმები, ფუნქცია და წარმოებული. გამოცდის მე-2 ნაწილის რთული ამოცანების გადაჭრის ბაზა.
