მოცემულია თანაფარდობები მთავარ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის - სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. ტრიგონომეტრიული ფორმულები. და რადგან ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის საკმაოდ ბევრი კავშირია, ეს ასევე ხსნის ტრიგონომეტრიული ფორმულების სიმრავლეს. ზოგიერთი ფორმულა აკავშირებს ერთი და იგივე კუთხის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს, სხვები - მრავალჯერადი კუთხის ფუნქციებს, სხვები - საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ ხარისხი, მეოთხე - გამოვხატოთ ყველა ფუნქცია ნახევარი კუთხის ტანგენტის საშუალებით და ა.შ.

ამ სტატიაში ჩვენ თანმიმდევრობით ჩამოვთვლით ყველა ძირითად ტრიგონომეტრიულ ფორმულებს, რომლებიც საკმარისია ტრიგონომეტრიის ამოცანების დიდი უმრავლესობის გადასაჭრელად. დამახსოვრებისა და გამოყენების სიმარტივის მიზნით, ჩვენ დავაჯგუფებთ მათ დანიშნულების მიხედვით და შევიყვანთ ცხრილებში.

გვერდის ნავიგაცია.

ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები

ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობებიდააყენეთ კავშირი ერთი კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის. ისინი გამომდინარეობს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებიდან, ასევე ერთეული წრის კონცეფციიდან. ისინი საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია მეორის მეშვეობით.

ამ ტრიგონომეტრიის ფორმულების დეტალური აღწერა, მათი წარმოშობისა და გამოყენების მაგალითები იხილეთ სტატიაში.

ჩამოსხმის ფორმულები

ჩამოსხმის ფორმულებიმოჰყვება სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის თვისებებს, ანუ ისინი ასახავს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პერიოდულობის თვისებას, სიმეტრიის თვისებას და ასევე მოცემული კუთხით გადანაცვლების თვისებას. ეს ტრიგონომეტრიული ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ თვითნებური კუთხით სამუშაოდან ნულიდან 90 გრადუსამდე დიაპაზონის კუთხეებზე მუშაობაზე.

ამ ფორმულების დასაბუთება, მათი დამახსოვრების მნემონური წესი და მათი გამოყენების მაგალითები შეგიძლიათ შეისწავლოთ სტატიაში.

დამატების ფორმულები

ტრიგონომეტრიული დამატების ფორმულებიაჩვენე, როგორ გამოიხატება ორი კუთხის ჯამის ან სხვაობის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ამ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით. ეს ფორმულები ემსახურება შემდეგი ტრიგონომეტრიული ფორმულების წარმოშობის საფუძველს.

ფორმულები ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხე

ფორმულები ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხე (მათ ასევე უწოდებენ მრავალი კუთხის ფორმულებს) გვიჩვენებს, თუ როგორ ფუნქციონირებს ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხეები () გამოიხატება ერთი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით. მათი წარმოშობა ემყარება დამატების ფორმულებს.

უფრო დეტალური ინფორმაცია გროვდება სტატიის ფორმულებში ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხე .

ნახევარი კუთხის ფორმულები

ნახევარი კუთხის ფორმულებიაჩვენე, როგორ გამოიხატება ნახევარკუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მთელი რიცხვის კუთხის კოსინუსებით. ეს ტრიგონომეტრიული ფორმულები გამომდინარეობს ორმაგი კუთხის ფორმულებიდან.

მათი დასკვნა და განაცხადის მაგალითები შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში.

შემცირების ფორმულები

ტრიგონომეტრიული ფორმულები ხარისხების შემცირებისთვისშექმნილია იმისთვის, რომ ხელი შეუწყოს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ბუნებრივი ძალებიდან პირველი ხარისხის სინუსებსა და კოსინუსებზე გადასვლას, მაგრამ მრავალ კუთხით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ისინი საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძალა პირველზე.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამისა და სხვაობის ფორმულები

მთავარი მიზანი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამისა და განსხვავების ფორმულებიმოიცავს ფუნქციების პროდუქტზე გადასვლას, რაც ძალიან სასარგებლოა ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივებისას. ეს ფორმულები ასევე ფართოდ გამოიყენება ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას, რადგან ისინი იძლევა სინუსებისა და კოსინუსების ჯამისა და სხვაობის ფაქტორინგის საშუალებას.

სინუსების, კოსინუსების და კოსინუსების ნამრავლის ფორმულები

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნამრავლიდან ჯამზე ან განსხვავებაზე გადასვლა ხორციელდება სინუსების, კოსინუსების და სინუსების ნამრავლის ფორმულების მეშვეობით.

უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება

ტრიგონომეტრიის ძირითადი ფორმულების მიმოხილვას ვასრულებთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოხატვის ფორმულებით ნახევარკუთხის ტანგენტის მიხედვით. ამ ჩანაცვლებას ე.წ უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება. მისი მოხერხებულობა მდგომარეობს იმაში, რომ ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია გამოიხატება ნახევარკუთხის ტანგენტის მიხედვით რაციონალურად ფესვების გარეშე.

ბიბლიოგრაფია.

• Ალგებრა:პროკ. 9 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა / იუ. ნ.მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა; რედ. S. A. Telyakovsky.- M.: განმანათლებლობა, 1990.- 272 გვ.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• ბაშმაკოვი მ.ი.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა - მე-3 გამოცემა. - მ.: განმანათლებლობა, 1993. - 351გვ.: ილ. - ISBN 5-09-004617-4.
• Ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn და სხვები; რედ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: განმანათლებლობა, 2004.- 384 გვ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.

საავტორო უფლება ჭკვიანი სტუდენტების მიერ

Ყველა უფლება დაცულია.
დაცულია საავტორო უფლებების კანონით. საიტის არც ერთი ნაწილი, შიდა მასალებისა და გარე დიზაინის ჩათვლით, არ შეიძლება იყოს რაიმე ფორმით რეპროდუცირება ან გამოყენება საავტორო უფლებების მფლობელის წინასწარი წერილობითი ნებართვის გარეშე.

AT იდენტური გარდაქმნები ტრიგონომეტრიული გამონათქვამებიშესაძლებელია შემდეგი ალგებრული ხრიკების გამოყენება: იდენტური ტერმინების შეკრება და გამოკლება; საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება; გამრავლება და გაყოფა იმავე სიდიდეზე; შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება; სრული კვადრატის შერჩევა; კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია; ახალი ცვლადების დანერგვა ტრანსფორმაციების გასამარტივებლად.

წილადების შემცველი ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების კონვერტაციისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ პროპორციის თვისებები, წილადების შემცირება ან წილადების საერთო მნიშვნელად შემცირება. გარდა ამისა, შეგიძლიათ გამოიყენოთ წილადის მთელი ნაწილის შერჩევა, წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის გამრავლება იმავე მნიშვნელობით და ასევე, თუ ეს შესაძლებელია, გაითვალისწინოთ მრიცხველის ან მნიშვნელის ერთგვაროვნება. საჭიროების შემთხვევაში, შეგიძლიათ წარმოადგინოთ წილადი რამდენიმე მარტივი წილადის ჯამის ან სხვაობის სახით.

გარდა ამისა, ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების კონვერტაციისთვის ყველა საჭირო მეთოდის გამოყენებისას აუცილებელია მუდმივად გავითვალისწინოთ გარდაქმნილი გამონათქვამების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 1

გამოთვალეთ A = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x - π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+ sin (3π/2 - x) ცოდვა (2x -5π/2)) 2

გადაწყვეტილება.

შემცირების ფორმულებიდან გამომდინარეობს:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

საიდანაც, არგუმენტების დამატების ფორმულების და ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის წყალობით, ჩვენ ვიღებთ

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
= ცოდვა 2 3x + cos 2 3x = 1

პასუხი: 1.

მაგალითი 2

გადააქციეთ გამოთქმა M = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β – sin (α + β) sin γ + cos γ ნამრავლად.

გადაწყვეტილება.

არგუმენტების დამატების ფორმულებიდან და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამის ნამრავლად გადაქცევის ფორმულებიდან შესაბამისი დაჯგუფების შემდეგ გვაქვს

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

პასუხი: М = 4cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2) cos ((β + γ)/2).

მაგალითი 3.

აჩვენეთ, რომ გამოხატულება A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) იღებს ყველა x-ს R ერთიდან და იგივე ღირებულება. იპოვეთ ეს მნიშვნელობა.

გადაწყვეტილება.

წარმოგიდგენთ ამ პრობლემის მოგვარების ორ მეთოდს. პირველი მეთოდის გამოყენებით, სრული კვადრატის იზოლირებით და შესაბამისი ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყენებით, მივიღებთ

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

ამოცანის მეორე გზით ამოხსნა, A განვიხილავთ x-ის ფუნქციას R-დან და გამოთვალეთ მისი წარმოებული. გარდაქმნების შემდეგ ვიღებთ

А´ \u003d -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x - π/6) + cos (x + π/6) sin ( x + π/6)) - 2cos (x - π/6) sin (x - π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x - π/6)) - sin 2(x - π/6) =

ცოდვა 2x - (ცოდვა (2x + π/3) + ცოდვა (2x - π/3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos π/3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0.

მაშასადამე, ინტერვალზე დიფერენცირებადი ფუნქციის მუდმივობის კრიტერიუმის მიხედვით, ჩვენ ვასკვნით, რომ

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x ∈ R.

პასუხი: A = 3/4 x € R-ისთვის.

ტრიგონომეტრიული იდენტობის დადასტურების ძირითადი მეთოდებია:

ა)იდენტურობის მარცხენა მხარის შემცირება მარჯვენა მხარეს შესაბამისი გარდაქმნებით;
ბ)იდენტურობის მარჯვენა მხარის შემცირება მარცხნივ;
in)იდენტურობის მარჯვენა და მარცხენა ნაწილების იმავე ფორმამდე შემცირება;
გ)დადასტურებული იდენტობის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს შორის სხვაობის ნულამდე შემცირება.

მაგალითი 4

შეამოწმეთ, რომ cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3).

გადაწყვეტილება.

ამ იდენტობის მარჯვენა მხარის გარდაქმნა შესაბამისი ტრიგონომეტრიული ფორმულების მიხედვით, გვაქვს

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) - (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

იდენტურობის მარჯვენა მხარე შემცირებულია მარცხენა მხარეს.

მაგალითი 5

დაამტკიცეთ, რომ sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ = 2 თუ α, β, γ არის რომელიმე სამკუთხედის შიდა კუთხეები.

გადაწყვეტილება.

იმის გათვალისწინებით, რომ α, β, γ არის რომელიმე სამკუთხედის შიდა კუთხეები, მივიღებთ ამას

α + β + γ = π და აქედან გამომდინარე γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 (1 - cos 2α) + ½ (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 (cos 2α + cos 2β) = 2.

ორიგინალური თანასწორობა დადასტურებულია.

მაგალითი 6

დაამტკიცეთ, რომ იმისათვის, რომ სამკუთხედის α, β, γ კუთხის ერთ-ერთი ტოლი იყოს 60°-ის, აუცილებელია და საკმარისია sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

გადაწყვეტილება.

ამ პრობლემის პირობა გულისხმობს როგორც აუცილებლობის, ისე საკმარისობის დადასტურებას.

ჯერ ვამტკიცებთ საჭიროება.

ამის ჩვენება შეიძლება

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

აქედან გამომდინარე, იმის გათვალისწინებით, რომ cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, მივიღებთ, რომ თუ ერთ-ერთი კუთხე α, β ან γ უდრის 60°-ს, მაშინ

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 და აქედან გამომდინარე sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

ახლა დავამტკიცოთ ადეკვატურობამითითებულ პირობას.

თუ sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, მაშინ cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 და, შესაბამისად,

ან cos (3α/2) = 0, ან cos (3β/2) = 0, ან cos (3γ/2) = 0.

აქედან გამომდინარე,

ან 3α/2 = π/2 + πk, ე.ი. α = π/3 + 2πk/3,

ან 3β/2 = π/2 + πk, ე.ი. β = π/3 + 2πk/3,

ან 3γ/2 = π/2 + πk,

იმათ. γ = π/3 + 2πk/3, სადაც k ϵ Z.

იქიდან გამომდინარე, რომ α, β, γ არის სამკუთხედის კუთხეები, გვაქვს

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

ამიტომ, α = π/3 + 2πk/3 ან β = π/3 + 2πk/3 ან

γ = π/3 + 2πk/3 ყველა kϵZ-დან მხოლოდ k = 0 ჯდება.

აქედან გამომდინარეობს, რომ ან α = π/3 = 60°, ან β = π/3 = 60°, ან γ = π/3 = 60°.

მტკიცება დადასტურდა.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ გაამარტივოთ ტრიგონომეტრიული გამონათქვამები?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

ზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად სასარგებლო იქნება ტრიგონომეტრიული იდენტობების ცხრილი, რომელიც ბევრად გააადვილებს ფუნქციის გარდაქმნების შესრულებას:

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული იდენტობები

ალფას კუთხის სინუსის გაყოფის კოეფიციენტი იმავე კუთხის კოსინუსზე უდრის ამ კუთხის ტანგენტს (ფორმულა 1). აგრეთვე უმარტივესი ტრიგონომეტრიული იდენტობების გარდაქმნის სისწორის მტკიცებულება.
ალფას კუთხის კოსინუსის გაყოფის კოეფიციენტი იმავე კუთხის სინუსზე უდრის იმავე კუთხის კოტანგენტს (ფორმულა 2)
კუთხის სეკანტი ტოლია ერთის გაყოფილი იმავე კუთხის კოსინუსზე (ფორმულა 3)
ერთი და იგივე კუთხის სინუსის და კოსინუსის კვადრატების ჯამი უდრის ერთს (ფორმულა 4). აგრეთვე კოსინუსისა და სინუსების კვადრატების ჯამის დადასტურება.
ერთეულის ჯამი და კუთხის ტანგენსი უდრის ერთეულის შეფარდებას ამ კუთხის კოსინუსის კვადრატთან (ფორმულა 5)
ერთეული პლუს კუთხის კოტანგენსი უდრის ერთეულის ამ კუთხის სინუს კვადრატზე გაყოფის კოეფიციენტს (ფორმულა 6)
ერთი და იგივე კუთხის ტანგენსის და კოტანგენსის ნამრავლი უდრის ერთს (ფორმულა 7).

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების უარყოფითი კუთხის გადაქცევა (ლუწი და კენტი)

იმისათვის, რომ თავი დააღწიოთ კუთხის ხარისხის საზომის უარყოფით მნიშვნელობას სინუსის, კოსინუსის ან ტანგენტის გაანგარიშებისას, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ტრიგონომეტრიული გარდაქმნები (იდენტობები) ლუწი ან კენტი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პრინციპებზე დაყრდნობით.

Როგორც ვნახეთ, კოსინუსიდა სეკანტი არის ფუნქციაც კი, სინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი უცნაური ფუნქციებია.

უარყოფითი კუთხის სინუსი უდრის იმავე დადებითი კუთხის სინუსის უარყოფით მნიშვნელობას (ალფას სინუსს გამოკლებული).
კოსინუსი "მინუს ალფა" მისცემს იგივე მნიშვნელობას, რაც ალფას კუთხის კოსინუსს.
ტანგენტი მინუს ალფა უდრის მინუს ტანგენტს ალფას.

ორმაგი კუთხის შემცირების ფორმულები (სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და ორმაგი კუთხის კოტანგენსი)

თუ თქვენ გჭირდებათ კუთხის გაყოფა შუაზე, ან პირიქით, გადადით ორმაგი კუთხიდან ერთზე, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ტრიგონომეტრიული იდენტობები:

ორმაგი კუთხის კონვერტაცია (ორმაგი კუთხის სინუსი, ორკუთხა კოსინუსი და ორმაგი კუთხის ტანგენსი) ერთში ხდება შემდეგი წესების მიხედვით:

ორმაგი კუთხის სინუსიუდრის ერთი კუთხის სინუსისა და კოსინუსის ნამრავლის ორჯერ

ორმაგი კუთხის კოსინუსიუდრის განსხვავებას ერთი კუთხის კოსინუსის კვადრატსა და ამ კუთხის სინუსის კვადრატს შორის

ორმაგი კუთხის კოსინუსიუდრის ერთი კუთხის კოსინუსის კვადრატის ორჯერ მინუს ერთი

ორმაგი კუთხის კოსინუსიუდრის ერთს გამოკლებული ერთი კუთხის ორმაგი სინუს კვადრატი

ორმაგი კუთხის ტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი ორჯერ აღემატება ერთი კუთხის ტანგენტს, ხოლო მნიშვნელი უდრის ერთს გამოკლებული ერთი კუთხის კვადრატის ტანგენსი.

ორკუთხა კოტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის ერთი კუთხის კოტანგენსის კვადრატი გამოკლებული ერთი, ხოლო მნიშვნელი ტოლია ერთი კუთხის კოტანგენსის ორჯერ.

უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების ფორმულები

ქვემოთ მოყვანილი კონვერტაციის ფორმულები შეიძლება გამოგადგეთ, როდესაც გჭირდებათ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტის (sin α, cos α, tg α) გაყოფა ორზე და გამოთქმის მიტანა კუთხის ნახევარზე. α-ს მნიშვნელობიდან ვიღებთ α/2 .

ამ ფორმულებს ე.წ უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების ფორმულები. მათი მნიშვნელობა მდგომარეობს იმაში, რომ ტრიგონომეტრიული გამოხატულება მათი დახმარებით მცირდება ნახევარი კუთხის ტანგენტის გამოხატვამდე, იმისდა მიუხედავად, თუ რა ტრიგონომეტრიული ფუნქციები (sin cos tg ctg) იყო თავდაპირველად გამოხატულებაში. ამის შემდეგ, განტოლება ნახევარი კუთხის ტანგენტით გაცილებით ადვილი ამოსახსნელია.

ტრიგონომეტრიული ნახევარკუთხის ტრანსფორმაციის იდენტობები

ქვემოთ მოცემულია ფორმულები კუთხის ნახევრის მნიშვნელობის მთელ რიცხვში ტრიგონომეტრიული გარდაქმნისთვის.
α/2 ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტის მნიშვნელობა მცირდება α ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტის მნიშვნელობამდე.

კუთხეების დამატების ტრიგონომეტრიული ფორმულები

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

კუთხეების ჯამის ტანგენსი და კოტანგენსიალფა და ბეტა შეიძლება გარდაიქმნას ტრიგონომეტრიული ფუნქციების კონვერტაციის შემდეგი წესების მიხედვით:

კუთხეების ჯამის ტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის პირველი კუთხის ტანგენსის და მეორე კუთხის ტანგენსის ჯამი, ხოლო მნიშვნელი არის ერთი გამოკლებული პირველი კუთხის ტანგენტისა და მეორე კუთხის ტანგენსის ნამრავლი.

კუთხის სხვაობის ტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი უდრის შემცირებული კუთხის ტანგენტსა და გამოკლებულ კუთხის ტანგენტს შორის სხვაობას, ხოლო მნიშვნელი არის ერთი პლუს ამ კუთხეების ტანგენტების ნამრავლი.

კუთხეების ჯამის კოტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი უდრის ამ კუთხეების კოტანგენსების ნამრავლს პლუს ერთი, ხოლო მნიშვნელი უდრის სხვაობას მეორე კუთხის კოტანგენსსა და პირველი კუთხის კოტანგენსს შორის.

კუთხის სხვაობის კოტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის ამ კუთხეების კოტანგენტების ნამრავლი მინუს ერთი, ხოლო მნიშვნელი უდრის ამ კუთხეების კოტანგენსების ჯამს.

ეს ტრიგონომეტრიული იდენტობები მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, როდესაც საჭიროა გამოთვალოთ, მაგალითად, 105 გრადუსიანი ტანგენსი (tg 105). თუ იგი წარმოდგენილია როგორც tg (45 + 60), მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ კუთხეების ჯამის ტანგენსის მოცემული იდენტური გარდაქმნები, რის შემდეგაც თქვენ უბრალოდ ჩაანაცვლებთ 45-ის ტანგენსის და ტანგენსის ცხრილის მნიშვნელობებს. 60 გრადუსი.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამის ან სხვაობის გარდაქმნის ფორმულები

გამონათქვამები, რომლებიც წარმოადგენენ sin α + sin β ფორმის ჯამს, შეიძლება გარდაიქმნას შემდეგი ფორმულების გამოყენებით:

სამმაგი კუთხის ფორმულები - გადაიყვანეთ sin3α cos3α tg3α sinα cosα tgα

ზოგჯერ საჭიროა კუთხის სამმაგი მნიშვნელობის გადაქცევა ისე, რომ კუთხე α გახდეს ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტი 3α-ის ნაცვლად.
ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულები (იდენტობები) სამმაგი კუთხის ტრანსფორმაციისთვის:

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნამრავლის გარდაქმნის ფორმულები

თუ საჭირო გახდება სხვადასხვა კუთხის კოსინუსების სხვადასხვა კუთხის სინუსების ნამრავლის გარდაქმნა, ან თუნდაც სინუსისა და კოსინუსების ნამრავლი, მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ტრიგონომეტრიული იდენტობები:


ამ შემთხვევაში, სხვადასხვა კუთხის სინუსის, კოსინუსის ან ტანგენტის ფუნქციების ნამრავლი გარდაიქმნება ჯამად ან სხვაობად.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცირების ფორმულები

თქვენ უნდა გამოიყენოთ ჩამოსხმის ცხრილი შემდეგნაირად. ხაზში აირჩიეთ ფუნქცია, რომელიც გვაინტერესებს. სვეტი არის კუთხე. მაგალითად, კუთხის (α+90) სინუსი პირველი მწკრივისა და პირველი სვეტის გადაკვეთაზე, აღმოვაჩენთ, რომ sin (α+90) = cos α .

შესრულებულია არგუმენტის ყველა მნიშვნელობისთვის (ზოგადი მასშტაბიდან).

უნივერსალური ჩანაცვლების ფორმულები.

ამ ფორმულებით ადვილია ნებისმიერი გამოხატულება, რომელიც შეიცავს ერთი არგუმენტის სხვადასხვა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას ერთი ფუნქციის რაციონალურ გამოხატულებად. ტგ (α /2):

თანხების პროდუქტებად და პროდუქტების ჯამებად გადაქცევის ფორმულები.

ადრე ზემოაღნიშნული ფორმულები გამოიყენებოდა გამოთვლების გასამარტივებლად. მათ გამოთვალეს ლოგარითმული ცხრილების გამოყენებით, შემდეგ კი - სლაიდების წესი, რადგან ლოგარითმები საუკეთესოდ შეეფერება რიცხვების გასამრავლებლად. ამიტომ თითოეული ორიგინალური გამოხატულება შემცირდა ლოგარითმებისთვის მოსახერხებელ ფორმამდე, ანუ პროდუქტებად, Მაგალითად:

2 ცოდვა α ცოდვა ბ = cos (α - ბ) - cos (α + ბ);

2 cos α cos ბ = cos (α - ბ) + cos (α + ბ);

2 ცოდვა α cos ბ = ცოდვა (α - ბ) + ცოდვა (α + ბ).

სად არის კუთხე, რომლისთვისაც, კერძოდ,

ზემოაღნიშნულიდან ადვილად მიიღება ტანგენსისა და კოტანგენტის ფუნქციების ფორმულები.

ხარისხის შემცირების ფორმულები.

sin 2 α \u003d (1 - cos 2α) / 2;	cos2α = (1 + cos2α)/2;
ცოდვა 3α = (3 ცოდვაα -ცოდვა 3α )/4;	cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4.

ამ ფორმულების დახმარებით ტრიგონომეტრიული განტოლებები ადვილად მცირდება უფრო დაბალი გრადუსით განტოლებამდე. ანალოგიურად, შემცირების ფორმულები მიღებულია უფრო მაღალი ხარისხებისთვის ცოდვადა cos.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოხატვა ერთი და იგივე არგუმენტის ერთ-ერთი მათგანის მეშვეობით.

ფესვის წინ ნიშანი დამოკიდებულია კუთხის მეოთხედზე α .