გაუსის მეთოდს აქვს მთელი რიგი უარყოფითი მხარეები: შეუძლებელია იმის ცოდნა, სისტემა თანმიმდევრულია თუ არა, სანამ არ განხორციელდება გაუსის მეთოდში აუცილებელი ყველა ტრანსფორმაცია; გაუსის მეთოდი არ არის შესაფერისი სისტემებისთვის ასოების კოეფიციენტებით.

განვიხილოთ წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის სხვა მეთოდები. ეს მეთოდები იყენებს მატრიცის რანგის კონცეფციას და ნებისმიერი ერთობლივი სისტემის ამოხსნას ამცირებს იმ სისტემის ამოხსნამდე, რომელზეც ვრცელდება კრამერის წესი.

მაგალითი 1იპოვეთ შემდეგი წრფივი განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამონახსნები შემცირებული ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის და არაჰომოგენური სისტემის კონკრეტული ამონახსნის გამოყენებით.

1. ვაკეთებთ მატრიცას ადა სისტემის გაძლიერებული მატრიცა (1)

2. გამოიკვლიეთ სისტემა (1) თავსებადობისთვის. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ მატრიცების რიგებს ადა https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">).თუ აღმოჩნდება, რომ მაშინ სისტემა (1) შეუთავსებელი. თუ ამას მივიღებთ , მაშინ ეს სისტემა თანმიმდევრულია და ჩვენ მოვაგვარებთ მას. (თანმიმდევრულობის კვლევა ეფუძნება კრონეკერ-კაპელის თეორემას).

ა. Ჩვენ ვიპოვეთ rA.

Პოვნა rA, განვიხილავთ მატრიცის პირველი, მეორე და ა.შ. რიგის თანმიმდევრულად არანულოვან მინორებს. ადა მათ გარშემო მყოფი არასრულწლოვნები.

M1=1≠0 (1 აღებულია მატრიცის ზედა მარცხენა კუთხიდან მაგრამ).

მოსაზღვრე M1ამ მატრიცის მეორე სტრიქონი და მეორე სვეტი. . ჩვენ ვაგრძელებთ საზღვარს M1მეორე სტრიქონი და მესამე სვეტი..gif" width="37" height="20 src=">. ახლა ჩვენ შემოვხაზავთ არა-ნულოვან მინორს М2′მეორე შეკვეთა.

Ჩვენ გვაქვს: (რადგან პირველი ორი სვეტი იგივეა)

(რადგან მეორე და მესამე სტრიქონები პროპორციულია).

ჩვენ ამას ვხედავთ rA=2, და არის მატრიცის საბაზისო მინორი ა.

ბ. Ჩვენ ვიპოვეთ .

საკმარისად ძირითადი მცირე М2′მატრიცები ასაზღვარი თავისუფალი წევრების სვეტით და ყველა ხაზით (გვაქვს მხოლოდ ბოლო ხაზი).

. აქედან გამომდინარეობს, რომ М3′′რჩება მატრიცის საბაზისო მინორი https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

როგორც М2′- მატრიცის საბაზისო მინორი ასისტემები (2) , მაშინ ეს სისტემა სისტემის ტოლფასია (3) , რომელიც შედგება სისტემის პირველი ორი განტოლებისგან (2) (ამისთვის М2′არის A მატრიცის პირველ ორ რიგში).

(3)

ვინაიდან ძირითადი მინორი არის https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

ამ სისტემაში ორი თავისუფალი უცნობი ( x2 და x4 ). Ისე FSR სისტემები (4) შედგება ორი ხსნარისგან. მათ მოსაძებნად, ჩვენ ვაძლევთ უფასო უცნობებს (4) ღირებულებები პირველ რიგში x2=1 , x4=0 , და მერე - x2=0 , x4=1 .

ზე x2=1 , x4=0 ჩვენ ვიღებთ:

.

ეს სისტემა უკვე აქვს ერთადერთი რამ გამოსავალი (ის შეიძლება მოიძებნოს კრამერის წესით ან სხვა მეთოდით). თუ გამოვაკლებთ პირველ განტოლებას მეორე განტოლებას, მივიღებთ:

მისი გადაწყვეტილება იქნება x1= -1 , x3=0 . ღირებულებების გათვალისწინებით x2 და x4 , რომელიც ჩვენ მივეცით, ვიღებთ სისტემის პირველ ფუნდამენტურ გადაწყვეტას (2) : .

ახლა ჩავსვით (4) x2=0 , x4=1 . ჩვენ ვიღებთ:

.

ჩვენ ამ სისტემას ვხსნით კრამერის თეორემის გამოყენებით:

.

ჩვენ ვიღებთ სისტემის მეორე ფუნდამენტურ გადაწყვეტას (2) : .

გადაწყვეტილებები β1 , β2 და შეადგინეთ FSR სისტემები (2) . მაშინ მისი ზოგადი გადაწყვეტა იქნება

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Აქ C1 , C2 არის თვითნებური მუდმივები.

4. იპოვე ერთი კერძო გადაწყვეტილება ჰეტეროგენული სისტემა(1) . როგორც აბზაცში 3 სისტემის ნაცვლად (1) განიხილეთ ექვივალენტური სისტემა (5) , რომელიც შედგება სისტემის პირველი ორი განტოლებისგან (1) .

(5)

თავისუფალ უცნობებს მარჯვენა მხარეს გადავიტანთ x2და x4.

(6)

მოდით მივცეთ უფასო უცნობი x2 და x4 თვითნებური მნიშვნელობები, მაგალითად, x2=2 , x4=1 და შეაერთეთ ისინი (6) . ავიღოთ სისტემა

ამ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა (რადგან მისი განმსაზღვრელი М2′0). მისი ამოხსნით (კრამერის თეორემის ან გაუსის მეთოდის გამოყენებით) მივიღებთ x1=3 , x3=3 . უფასო უცნობის მნიშვნელობების გათვალისწინებით x2 და x4 , ვიღებთ არაჰომოგენური სისტემის კონკრეტული გადაწყვეტა(1)α1=(3,2,3,1).

5. ახლა რჩება წერა არაჰომოგენური სისტემის α ზოგადი ამოხსნა(1) : უდრის ჯამს პირადი გადაწყვეტილებაეს სისტემა და მისი შემცირებული ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Ეს ნიშნავს: (7)

6. ექსპერტიზა.შეამოწმეთ, სწორად მოაგვარეთ სისტემა (1) , ჩვენ გვჭირდება ზოგადი გადაწყვეტა (7) შემცვლელი (1) . თუ თითოეული განტოლება ხდება იდენტურობა ( C1 და C2 უნდა განადგურდეს), მაშინ გამოსავალი სწორად არის ნაპოვნი.

ჩავანაცვლებთ (7) მაგალითად, მხოლოდ სისტემის ბოლო განტოლებაში (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

ვიღებთ: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

სადაც -1=-1. ჩვენ მივიღეთ ვინაობა. ჩვენ ამას ვაკეთებთ სისტემის ყველა სხვა განტოლებით (1) .

კომენტარი.გადამოწმება, როგორც წესი, საკმაოდ რთულია. ჩვენ შეგვიძლია გირჩიოთ შემდეგი „ნაწილობრივი შემოწმება“: სისტემის საერთო გადაწყვეტაში (1) მიანიჭეთ რამდენიმე მნიშვნელობა თვითნებურ მუდმივებს და ჩაანაცვლეთ მიღებული კონკრეტული ამონახსნები მხოლოდ გაუქმებულ განტოლებებში (ანუ იმ განტოლებებში). (1) რომლებიც არ შედის (5) ). თუ თქვენ მიიღებთ პირადობას, მაშინ უფრო მეტად, სისტემის გადაწყვეტა (1) სწორად ნაპოვნი (მაგრამ ასეთი შემოწმება არ იძლევა სისწორის სრულ გარანტიას!). მაგალითად, თუ შიგნით (7) დადება C2=- 1 , C1=1, მაშინ მივიღებთ: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. (1) სისტემის ბოლო განტოლებაში ჩანაცვლებით, გვაქვს: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , ანუ –1=–1. ჩვენ მივიღეთ ვინაობა.

მაგალითი 2იპოვნეთ წრფივი განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამონახსნი (1) , ძირითად უცნობებს თავისუფლად გამოხატავს.

გადაწყვეტილება.Როგორც მაგალითი 1, მატრიცების შედგენა ადა ამ მატრიცებიდან https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50">. ახლა მხოლოდ სისტემის იმ განტოლებებს ვტოვებთ (1) , რომლის კოეფიციენტები შედის ამ ძირითად მინორში (ანუ გვაქვს პირველი ორი განტოლება) და განვიხილავთ მათგან შემდგარ სისტემას, რომელიც უდრის სისტემას (1).

მოდით გადავიტანოთ თავისუფალი უცნობიები ამ განტოლებების მარჯვენა მხარეს.

სისტემა (9) ჩვენ ვხსნით გაუსის მეთოდით, განვიხილავთ სწორ ნაწილებს, როგორც თავისუფალ წევრებს.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

ვარიანტი 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

ვარიანტი 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

ვარიანტი 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

ვარიანტი 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

წრფივი განტოლებათა ჰომოგენური სისტემა ველზე

განმარტება. განტოლებათა სისტემის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა (1) არის მისი ამონახსნების არა ცარიელი წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა, რომლის წრფივი დიაპაზონი ემთხვევა (1) სისტემის ყველა ამონახსნის სიმრავლეს.

გაითვალისწინეთ, რომ წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვან სისტემას, რომელსაც აქვს მხოლოდ ნულოვანი ამონახსნი, არ გააჩნია ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა.

წინადადება 3.11. წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნების ნებისმიერი ორი ფუნდამენტური სისტემა შედგება ამონახსნების იგივე რაოდენობისგან.

მტკიცებულება. მართლაც, (1) განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნების ნებისმიერი ორი ფუნდამენტური სისტემა ეკვივალენტური და წრფივად დამოუკიდებელია. მაშასადამე, წინადადება 1.12-ით, მათი რიგები ტოლია. მაშასადამე, ერთ ფუნდამენტურ სისტემაში შემავალი ამონახსნების რაოდენობა უდრის ამონახსნების სხვა ფუნდამენტურ სისტემაში შემავალი ამონახსნების რაოდენობას.

თუ (1) განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის მთავარი მატრიცა A არის ნული, მაშინ ნებისმიერი ვექტორი არის ამონახსნი სისტემაში (1); ამ შემთხვევაში, ხაზოვანი დამოუკიდებელი ვექტორების ნებისმიერი კოლექცია არის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა. თუ A მატრიცის სვეტის რანგი არის , მაშინ (1) სისტემას აქვს მხოლოდ ერთი ამონახსნი - ნული; შესაბამისად, ამ შემთხვევაში განტოლებათა სისტემას (1) არ გააჩნია ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა.

თეორემა 3.12. თუ წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი (1) ნაკლებია ცვლადების რაოდენობაზე, მაშინ (1) სისტემას აქვს ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა, რომელიც შედგება ამონახსნებისაგან.

მტკიცებულება. თუ ერთგვაროვანი სისტემის (1) ძირითადი მატრიცის A რანგი უდრის ნულს ან , მაშინ ზემოთ ნაჩვენები იყო, რომ თეორემა ჭეშმარიტია. მაშასადამე, ქვემოთ ვარაუდობენ, რომ თუ ვივარაუდებთ, რომ A მატრიცის პირველი სვეტები წრფივად დამოუკიდებელია. ამ შემთხვევაში, მატრიცა A მწკრივის ტოლფასია შემცირებული საფეხურის მატრიცის, ხოლო სისტემა (1) უდრის განტოლებათა შემდეგი შემცირებული საფეხურის სისტემის ექვივალენტს:

ადვილია იმის შემოწმება, რომ სისტემის (2) თავისუფალი ცვლადების მნიშვნელობების ნებისმიერი სისტემა შეესაბამება სისტემის (2) და, შესაბამისად, სისტემის (1) ერთ და მხოლოდ ერთ გადაწყვეტას. კერძოდ, სისტემის (2) და სისტემის (1) მხოლოდ ნულოვანი ამონახსნი შეესაბამება ნულოვანი სიდიდეების სისტემას.

სისტემაში (2) ერთ-ერთ თავისუფალ ცვლადს მივანიჭებთ 1-ის ტოლ მნიშვნელობას, ხოლო დანარჩენ ცვლადებს ნულოვანი მნიშვნელობებით. შედეგად, ვიღებთ ამონახსნებს განტოლებათა სისტემისთვის (2), რომელსაც ვწერთ შემდეგი მატრიცის C რიგების სახით:

ამ მატრიცის მწკრივების სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია. მართლაც, ნებისმიერი სკალერისთვის თანასწორობიდან

თანასწორობა მოჰყვება

და შესაბამისად თანასწორობა

დავამტკიცოთ, რომ C მატრიცის მწკრივების სისტემის წრფივი დიაპაზონი ემთხვევა (1) სისტემის ყველა ამონახსნის სიმრავლეს.

სისტემის თვითნებური გადაწყვეტა (1). შემდეგ ვექტორი

ასევე არის გამოსავალი სისტემის (1) და

წრფივი განტოლებათა სისტემა, რომელშიც ყველა თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია, ეწოდება ერთგვაროვანი :

ნებისმიერი ერთგვაროვანი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია, რადგან ყოველთვის ასე იყო ნული (ტრივიალური ) ხსნარი. ჩნდება კითხვა, რა პირობებში ექნება ერთგვაროვან სისტემას არატრივიალური გადაწყვეტა.

თეორემა 5.2.ჰომოგენურ სისტემას აქვს არატრივიალური გადაწყვეტა, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ძირითადი მატრიცის რანგი ნაკლებია, ვიდრე მისი უცნობი რაოდენობა.

შედეგი. კვადრატულ ჰომოგენურ სისტემას აქვს არატრივიალური ამონახსნი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი.

მაგალითი 5.6.განსაზღვრეთ l პარამეტრის მნიშვნელობები, რომლისთვისაც სისტემას აქვს არატრივიალური ამონახსნები და იპოვეთ ეს ამონახსნები:

გადაწყვეტილება. ამ სისტემას ექნება არატრივიალური გადაწყვეტა, როდესაც მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია:

ამრიგად, სისტემა არატრივიალურია, როდესაც l=3 ან l=2. l=3-ისთვის, სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი არის 1. შემდეგ, დავტოვოთ მხოლოდ ერთი განტოლება და ვივარაუდოთ, რომ წ=ადა ზ=ბ, ვიღებთ x=b-a, ე.ი.

l=2-ისთვის, სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი არის 2. შემდეგ, საბაზისო მინორად ავირჩიოთ:

ჩვენ ვიღებთ გამარტივებულ სისტემას

აქედან ვხვდებით ამას x=z/4, y=z/2. ვარაუდით ზ=4ა, ვიღებთ

ერთგვაროვანი სისტემის ყველა გადაწყვეტილებების კომპლექტს აქვს ძალიან მნიშვნელოვანი ხაზოვანი თვისება : თუ X სვეტები 1 და X 2 - ერთგვაროვანი სისტემის ხსნარები AX = 0, მაშინ მათი ნებისმიერი წრფივი კომბინაციაა X 1+ბ X 2 ასევე იქნება ამ სისტემის გამოსავალი. მართლაც იმიტომ ᲜᲐᲯᲐᲮᲘ 1 = 0 და ᲜᲐᲯᲐᲮᲘ 2 = 0 , მაშინ ა(ა X 1+ბ X 2) = ა ᲜᲐᲯᲐᲮᲘ 1+ბ ᲜᲐᲯᲐᲮᲘ 2 = a · 0 + b · 0 = 0. ამ თვისების გამო, თუ წრფივ სისტემას აქვს ერთზე მეტი ამონახსნები, მაშინ იქნება უსასრულოდ ბევრი ასეთი ამონახსნები.

ხაზოვანი დამოუკიდებელი სვეტები ე 1 , ე 2 , ე კ, რომლებიც ერთგვაროვანი სისტემის ხსნარებია, ე.წ ფუნდამენტური გადაწყვეტილების სისტემა წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა, თუ ამ სისტემის ზოგადი ამონახსნები შეიძლება დაიწეროს ამ სვეტების წრფივი კომბინაციით:

თუ ერთგვაროვან სისტემას აქვს ნცვლადები და სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი უდრის რ, მაშინ კ = ნ-რ.

მაგალითი 5.7.იპოვეთ წრფივი განტოლებათა შემდეგი სისტემის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა:

გადაწყვეტილება. იპოვეთ სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი:

ამრიგად, ამ განტოლებათა სისტემის ამონახსნების სიმრავლე ქმნის განზომილების წრფივ ქვესივრცეს n - r= 5 - 2 = 3. ჩვენ ვირჩევთ ძირითად მინორად

.

შემდეგ, დავტოვოთ მხოლოდ ძირითადი განტოლებები (დანარჩენი იქნება ამ განტოლებების წრფივი კომბინაცია) და ძირითადი ცვლადები (დანარჩენს, ე.წ. თავისუფალ ცვლადებს გადავიტანთ მარჯვნივ), მივიღებთ განტოლებების გამარტივებულ სისტემას:

ვარაუდით x 3 = ა, x 4 = ბ, x 5 = გ, ჩვენ ვიპოვეთ

, .

ვარაუდით ა= 1, b=c= 0, ვიღებთ პირველ საბაზისო ამოხსნას; ვარაუდით ბ= 1, a = c= 0, ვიღებთ მეორე საბაზისო ამოხსნას; ვარაუდით გ= 1, a = b= 0, ვიღებთ მესამე საბაზისო ამოხსნას. შედეგად, ფორმას იღებს გადაწყვეტილებების ნორმალური ფუნდამენტური სისტემა

ფუნდამენტური სისტემის გამოყენებით, ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამოხსნა შეიძლება დაიწეროს როგორც

X = aE 1 + იყოს 2 + ც.ე 3 . ა

აღვნიშნოთ წრფივი განტოლებათა არაერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნების ზოგიერთი თვისება AX=Bდა მათი ურთიერთობა განტოლებათა შესაბამის ერთგვაროვან სისტემასთან AX = 0.

არაჰომოგენური სისტემის ზოგადი გადაწყვეტაუდრის შესაბამისი ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნის ჯამს AX = 0 და არაჰომოგენური სისტემის თვითნებური კონკრეტული ამონახსნის. მართლაც, დაე ი 0 არის არაჰომოგენური სისტემის თვითნებური კონკრეტული ამოხსნა, ე.ი. AY 0 = ბ, და იარის არაჰომოგენური სისტემის ზოგადი ამოხსნა, ე.ი. AY=B. ერთი ტოლობის გამოკლებით მეორეს მივიღებთ
ა(Y-Y 0) = 0, ე.ი. Y-Y 0 არის შესაბამისი ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამოხსნა ᲜᲐᲯᲐᲮᲘ=0. აქედან გამომდინარე, Y-Y 0 = X, ან Y=Y 0 + X. ქ.ე.დ.

მოდით არაჰომოგენურ სისტემას ჰქონდეს ფორმა AX = B 1 + ბ 2 . მაშინ ასეთი სისტემის ზოგადი ამოხსნა შეიძლება დაიწეროს როგორც X = X 1 + X 2 , სადაც AX 1 = ბ 1 და AX 2 = ბ 2. ეს თვისება გამოხატავს ზოგადად ნებისმიერი წრფივი სისტემის უნივერსალურ თვისებას (ალგებრული, დიფერენციალური, ფუნქციონალური და ა.შ.). ფიზიკაში ამ თვისებას ე.წ სუპერპოზიციის პრინციპიელექტრო და რადიოინჟინერიაში - გადაფარვის პრინციპი. მაგალითად, წრფივი ელექტრული სქემების თეორიაში, დენი ნებისმიერ წრეში შეიძლება მივიღოთ ენერგიის თითოეული წყაროს მიერ ცალკე გამოწვეულ დენების ალგებრული ჯამის სახით.

ერთგვაროვანი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია და აქვს ტრივიალური გადაწყვეტა
. არატრივიალური ამოხსნის არსებობისთვის აუცილებელია მატრიცის რანგი იყო უცნობის რაოდენობაზე ნაკლები:

.

ფუნდამენტური გადაწყვეტილების სისტემა ერთგვაროვანი სისტემა
ვუწოდოთ ამონახსნების სისტემა სვეტის ვექტორების სახით
, რომლებიც შეესაბამება კანონიკურ საფუძველს, ე.ი. საფუძველი, რომელშიც თვითნებური მუდმივები
მონაცვლეობით დაყენებულია ერთის ტოლი, დანარჩენები კი ნულის ტოლია.

შემდეგ ერთგვაროვანი სისტემის ზოგად გადაწყვეტას აქვს ფორმა:

სადაც
არის თვითნებური მუდმივები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ზოგადი ამონახსნები არის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის წრფივი კომბინაცია.

ამრიგად, ძირითადი ამონახსნები შეიძლება მივიღოთ ზოგადი ამონახსნებიდან, თუ თავისუფალ უცნობებს მონაცვლეობით მიენიჭებათ ერთიანობის მნიშვნელობა, თუ ვივარაუდებთ, რომ ყველა დანარჩენი ნულის ტოლია.

მაგალითი. მოდი ვიპოვოთ სისტემის გამოსავალი

ჩვენ ვიღებთ , შემდეგ ვიღებთ გამოსავალს ფორმაში:

ახლა ავაშენოთ გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა:

.

ზოგადი გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

ერთგვაროვანი წრფივი განტოლებების სისტემის ამონახსნებს აქვთ შემდეგი თვისებები:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ერთგვაროვანი სისტემის ხსნარების ნებისმიერი წრფივი კომბინაცია კვლავ გამოსავალია.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით

წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა მათემატიკოსებს აინტერესებთ რამდენიმე საუკუნის განმავლობაში. პირველი შედეგები მიიღეს XVIII საუკუნეში. 1750 წელს გ.კრამერმა (1704–1752) გამოაქვეყნა თავისი ნაშრომები კვადრატული მატრიცების განმსაზღვრელზე და შესთავაზა ალგორითმი შებრუნებული მატრიცის საპოვნელად. 1809 წელს გაუსმა გამოაქვეყნა გადაწყვეტის ახალი მეთოდი, რომელიც ცნობილია როგორც აღმოფხვრის მეთოდი.

გაუსის მეთოდი, ან უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი, შედგება იმაში, რომ ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით განტოლებათა სისტემა მცირდება საფეხურიანი (ან სამკუთხა) ფორმის ეკვივალენტურ სისტემამდე. ასეთი სისტემები საშუალებას გაძლევთ თანმიმდევრულად იპოვოთ ყველა უცნობი გარკვეული თანმიმდევრობით.

დავუშვათ, რომ სისტემაში (1)
(რაც ყოველთვის შესაძლებელია).

(1)

პირველი განტოლების რიგრიგობით გამრავლება ე.წ შესაფერისი ნომრები

და სისტემის შესაბამის განტოლებთან გამრავლების შედეგის მიმატებით მივიღებთ ეკვივალენტურ სისტემას, რომელშიც ყველა განტოლებას, გარდა პირველისა, უცნობი არ ექნება. X 1

(2)

ჩვენ ვამრავლებთ სისტემის მეორე განტოლებას (2) შესაბამის რიცხვებზე, თუ ვივარაუდებთ, რომ

,

და დავამატოთ ის ქვედა პირობა, ჩვენ აღმოვფხვრათ ცვლადი ყველა განტოლებიდან, მესამედან დაწყებული.

ამ პროცესის გაგრძელების შემდეგ
ნაბიჯებს ვიღებთ:

(3)

თუ ერთი რიცხვი მაინც
არ არის ნულის ტოლი, მაშინ შესაბამისი ტოლობა არათანმიმდევრულია და სისტემა (1) არათანმიმდევრულია. პირიქით, ნებისმიერი ერთობლივი რიცხვითი სისტემისთვის
ნულის ტოლია. ნომერი სხვა არაფერია, თუ არა სისტემის მატრიცის რანგი (1).

(1) სისტემიდან (3)-ზე გადასვლა ეწოდება სწორ ხაზზე გაუსის მეთოდი და უცნობის პოვნა (3) - უკუღმა .

კომენტარი : უფრო მოსახერხებელია გარდაქმნების შესრულება არა თავად განტოლებებით, არამედ სისტემის გაფართოებული მატრიცით (1).

მაგალითი. მოდი ვიპოვოთ სისტემის გამოსავალი

.

მოდით დავწეროთ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა:

.

2,3,4 სტრიქონებს დავუმატოთ პირველი, გამრავლებული (-2), (-3), (-2) შესაბამისად:

.

მოდით შევცვალოთ მე-2 და მე-3 რიგები, შემდეგ მიღებულ მატრიცაში დავამატოთ მე-2 მწკრივი მე-4 მწკრივს, გავამრავლოთ :

.

დაამატეთ 4 სტრიქონს 3 სტრიქონი გამრავლებული
:

.

აშკარაა რომ
, შესაბამისად, სისტემა თავსებადია. მიღებული განტოლებათა სისტემიდან

ჩვენ ვპოულობთ გამოსავალს საპირისპირო ჩანაცვლებით:

,
,
,
.

მაგალითი 2იპოვნეთ სისტემის გადაწყვეტა:

.

აშკარაა, რომ სისტემა არათანმიმდევრულია, რადგან
, ა
.

გაუსის მეთოდის უპირატესობები :

ნაკლებად შრომატევადი ვიდრე კრამერის მეთოდი.

ცალსახად ადგენს სისტემის თავსებადობას და საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ გამოსავალი.

იძლევა ნებისმიერი მატრიცის რანგის განსაზღვრის შესაძლებლობას.

დაე იყოს მ 0 არის წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის (4) ამონახსნების სიმრავლე.

განმარტება 6.12.ვექტორები თან 1 ,თან 2 , …, ერთად გვ, რომლებიც წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნებია, ე.წ გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური ნაკრები(შემოკლებით FNR) თუ

1) ვექტორები თან 1 ,თან 2 , …, ერთად გვწრფივად დამოუკიდებელი (ანუ არცერთი მათგანი არ შეიძლება გამოიხატოს სხვების თვალსაზრისით);

2) წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის ნებისმიერი სხვა ამონახსნი შეიძლება გამოიხატოს ამონახსნებით თან 1 ,თან 2 , …, ერთად გვ.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ თან 1 ,თან 2 , …, ერთად გვარის რაღაც ფ.ნ.რ., შემდეგ გამოთქმით კ 1× თან 1 + კ 2× თან 2 + … + კპ× ერთად გვშეუძლია აღწეროს მთელი ნაკრები მ 0 ამონახსნები სისტემის (4), ასე ეწოდება მას სისტემის გადაწყვეტის ზოგადი ხედი (4).

თეორემა 6.6.წრფივი განტოლებათა ნებისმიერ განუსაზღვრელ ჰომოგენურ სისტემას აქვს ამონახსნების ფუნდამენტური ნაკრები.

გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური ნაკრების პოვნის გზა შემდეგია:

იპოვეთ წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნი;

აშენება ( ნ – რ) ამ სისტემის ნაწილობრივი გადაწყვეტილებები, ხოლო თავისუფალი უცნობის მნიშვნელობებმა უნდა შექმნან იდენტურობის მატრიცა;

ჩამოწერეთ ხსნარის ზოგადი ფორმა, რომელიც შედის მ 0 .

მაგალითი 6.5.იპოვეთ შემდეგი სისტემის გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური ნაკრები:

გადაწყვეტილება. მოდით ვიპოვოთ ამ სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ ამ სისტემას აქვს ხუთი უცნობი ( ნ= 5), რომელთაგან არის ორი ძირითადი უცნობი ( რ= 2), სამი თავისუფალი უცნობი ( ნ – რ), ანუ ამონახსნების ფუნდამენტური ნაკრები შეიცავს სამ ამონახს ვექტორს. მოდით ავაშენოთ ისინი. Ჩვენ გვაქვს x 1 და x 3 - მთავარი უცნობი, x 2 , x 4 , x 5 - უფასო უცნობები

უფასო უცნობის ღირებულებები x 2 , x 4 , x 5 ქმნის პირადობის მატრიცას ემესამე შეკვეთა. მივიღე ეს ვექტორები თან 1 ,თან 2 , თან 3 ფორმა f.n.r. ამ სისტემას. მაშინ ამ ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნები იქნება მ 0 = {კ 1× თან 1 + კ 2× თან 2 + კ 3× თან 3 , კ 1 , კ 2 , კ 3 О R).

ახლა გავარკვიოთ წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის არანულოვანი ამონახსნების არსებობის პირობები, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამონახსნების ფუნდამენტური სიმრავლის არსებობის პირობები.

წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვან სისტემას აქვს არანულოვანი ამონახსნები, ანუ განუსაზღვრელია, თუ

1) სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი ნაკლებია უცნობის რაოდენობაზე;

2) წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვან სისტემაში განტოლებათა რაოდენობა უცნობის რაოდენობაზე ნაკლებია;

3) თუ წრფივი განტოლებების ერთგვაროვან სისტემაში განტოლებების რაოდენობა უდრის უცნობის რაოდენობას, ხოლო მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია (ე.ი. | ა| = 0).

მაგალითი 6.6. პარამეტრის რა მნიშვნელობაზე აწრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა აქვს არანულოვანი გადაწყვეტილებები?

გადაწყვეტილება. შევადგინოთ ამ სისტემის მთავარი მატრიცა და ვიპოვოთ მისი განმსაზღვრელი: = = 1×(–1) 1+1 × = – ა– 4. ამ მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია როცა ა = –4.

უპასუხე: –4.

7. არითმეტიკა ნ- განზომილებიანი ვექტორული სივრცე

Ძირითადი ცნებები

წინა განყოფილებებში ჩვენ უკვე შევხვდით გარკვეული თანმიმდევრობით დალაგებული რეალური რიცხვების სიმრავლის კონცეფციას. ეს არის მწკრივის მატრიცა (ან სვეტის მატრიცა) და გამოსავალი წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის. ნუცნობი. ეს ინფორმაცია შეიძლება შეჯამდეს.

განმარტება 7.1. ნ-განზომილებიანი არითმეტიკული ვექტორიეწოდება მოწესრიგებული ნაკრები ნრეალური რიცხვები.

ნიშნავს ა= (a 1 , a 2 , ..., a ნ), სადაც ა მეО R, მე = 1, 2, …, ნარის ვექტორის ზოგადი ხედვა. ნომერი ნდაურეკა განზომილებავექტორი და რიცხვები ა მედაუძახა მას კოორდინატები.

Მაგალითად: ა= (1, –8, 7, 4, ) არის ხუთგანზომილებიანი ვექტორი.

ყველა კომპლექტი ნ-განზომილებიანი ვექტორები ჩვეულებრივ აღინიშნება როგორც R n.

განმარტება 7.2.ორი ვექტორი ა= (a 1 , a 2 , ..., a ნ) და ბ= (b 1 , b 2 , ..., b ნ) იგივე განზომილების თანაბარითუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი შესაბამისი კოორდინატები ტოლია, ანუ a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , ..., a ნ= ბ ნ.

განმარტება 7.3.ჯამიორი ნ- განზომილებიანი ვექტორები ა= (a 1 , a 2 , ..., a ნ) და ბ= (b 1 , b 2 , ..., b ნ) ეწოდება ვექტორს ა + ბ= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , ..., a ნ+ბ ნ).

განმარტება 7.4. მუშაობანამდვილი რიცხვი კვექტორზე ა= (a 1 , a 2 , ..., a ნ) ეწოდება ვექტორს კ× ა = (კ×a 1, კ×a 2,…, კ×a ნ)

განმარტება 7.5.ვექტორი შესახებ= (0, 0, ..., 0) ეწოდება ნული(ან ნულ-ვექტორი).

ადვილია იმის შემოწმება, რომ ვექტორების დამატებისა და მათი რეალურ რიცხვზე გამრავლების მოქმედებებს (ოპერაციებს) აქვთ შემდეგი თვისებები: ა, ბ, გ Î R n, " კ, ლან:

1) ა + ბ = ბ + ა;

2) ა + (ბ+ გ) = (ა + ბ) + გ;

3) ა + შესახებ = ა;

4) ა+ (–ა) = შესახებ;

5) 1× ა = ა, 1 О R;

6) კ×( ლ× ა) = ლ×( კ× ა) = (ლ× კ)× ა;

7) (კ + ლ)× ა = კ× ა + ლ× ა;

8) კ×( ა + ბ) = კ× ა + კ× ბ.

განმარტება 7.6.Რამოდენიმე R nვექტორების შეკრებისა და მასზე მოცემულ ნამდვილ რიცხვზე გამრავლების ოპერაციებთან ეწოდება არითმეტიკული n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცე.