გეომეტრია ძალიან მრავალმხრივი მეცნიერებაა. ავითარებს ლოგიკას, წარმოსახვას და ინტელექტს. რა თქმა უნდა, მისი სირთულისა და თეორემებისა და აქსიომების დიდი რაოდენობის გამო, სკოლის მოსწავლეებს ყოველთვის არ მოსწონთ. გარდა ამისა, საჭიროა მუდმივად დაამტკიცონ თავიანთი დასკვნები ზოგადად მიღებული სტანდარტებისა და წესების გამოყენებით.

მიმდებარე და ვერტიკალური კუთხეები გეომეტრიის განუყოფელი ნაწილია. რა თქმა უნდა, ბევრი სკოლის მოსწავლე უბრალოდ აღმერთებს მათ იმ მიზეზით, რომ მათი თვისებები ნათელი და ადვილად დასამტკიცებელია.

კუთხეების ფორმირება

ნებისმიერი კუთხე წარმოიქმნება ორი წრფის გადაკვეთით ან ერთი წერტილიდან ორი სხივის დახატვით. მათ შეიძლება ეწოდოს ერთი ან სამი ასო, რომლებიც თანმიმდევრულად აღნიშნავენ კუთხის აგების წერტილებს.

კუთხეები იზომება გრადუსით და შეიძლება (დამოკიდებულია მათი მნიშვნელობიდან) სხვაგვარად ეწოდოს. ასე რომ, არის სწორი კუთხე, მწვავე, ბუნდოვანი და განლაგებული. თითოეული სახელი შეესაბამება გარკვეულ ხარისხს ან მის ინტერვალს.

მწვავე კუთხე არის კუთხე, რომლის ზომა არ აღემატება 90 გრადუსს.

ბლაგვი კუთხე არის 90 გრადუსზე მეტი კუთხე.

კუთხეს მართალი ეწოდება, როცა მისი ზომა არის 90.

იმ შემთხვევაში, როდესაც იგი წარმოიქმნება ერთი უწყვეტი სწორი ხაზით და მისი ხარისხის ზომაა 180, მას უწოდებენ განლაგებულს.

კუთხეებს, რომლებსაც აქვთ საერთო გვერდი, რომლის მეორე მხარე ერთმანეთს აგრძელებს, მიმდებარე ეწოდება. ისინი შეიძლება იყოს მკვეთრი ან ბლაგვი. ხაზის გადაკვეთა ქმნის მიმდებარე კუთხეებს. მათი თვისებები შემდეგია:

1. ასეთი კუთხეების ჯამი იქნება 180 გრადუსის ტოლი (ამის დამადასტურებელი თეორემაა). აქედან გამომდინარე, ერთი მათგანი შეიძლება ადვილად გამოითვალოს, თუ მეორე ცნობილია.
2. პირველი პუნქტიდან გამომდინარეობს, რომ მიმდებარე კუთხეები არ შეიძლება ჩამოყალიბდეს ორი ბლაგვი ან ორი მახვილი კუთხით.

ამ თვისებების წყალობით, ყოველთვის შეიძლება გამოვთვალოთ კუთხის ხარისხის ზომა სხვა კუთხის მნიშვნელობის გათვალისწინებით, ან თუნდაც მათ შორის თანაფარდობით.

ვერტიკალური კუთხეები

კუთხეებს, რომელთა გვერდები ერთმანეთის გაგრძელებაა, ვერტიკალური ეწოდება. მათგან ნებისმიერ ჯიშს შეუძლია იმოქმედოს როგორც ასეთი წყვილი. ვერტიკალური კუთხეები ყოველთვის ერთმანეთის ტოლია.

ისინი წარმოიქმნება ხაზების გადაკვეთისას. მათთან ერთად ყოველთვის არის მიმდებარე კუთხეები. კუთხე შეიძლება იყოს როგორც მიმდებარე ერთისთვის, ასევე ვერტიკალური მეორისთვის.

თვითნებური ხაზის გადაკვეთისას ასევე განიხილება კიდევ რამდენიმე ტიპის კუთხე. ასეთ ხაზს სეკანტი ეწოდება და ის ქმნის შესაბამის, ცალმხრივ და ჯვარედინ დაწოლილ კუთხეებს. ისინი ერთმანეთის ტოლები არიან. მათი ნახვა შესაძლებელია ვერტიკალური და მიმდებარე კუთხეების თვისებების გათვალისწინებით.

ამრიგად, კუთხეების თემა საკმაოდ მარტივი და გასაგები ჩანს. მათი ყველა თვისება ადვილად დასამახსოვრებელი და დასამტკიცებელია. ამოცანების ამოხსნა არ არის რთული, სანამ კუთხეები შეესაბამება რიცხვით მნიშვნელობას. უკვე შემდგომში, როცა ცოდვისა და კოსის შესწავლა დაიწყება, მოგიწევთ ბევრი რთული ფორმულის დამახსოვრება, მათი დასკვნები და შედეგები. მანამდე კი შეგიძლიათ უბრალოდ ისიამოვნოთ მარტივი თავსატეხებით, რომლებშიც უნდა იპოვოთ მიმდებარე კუთხეები.

თავი I.

ᲫᲘᲠᲘᲗᲐᲓᲘ ᲪᲜᲔᲑᲔᲑᲘ.

§თერთმეტი. მიმდებარე და ვერტიკალური კუთხეები.

1. მიმდებარე კუთხეები.

თუ რომელიმე კუთხის მხარეს გავაგრძელებთ მის წვეროს მიღმა, მივიღებთ ორ კუთხეს (ნახ. 72): / მზე და / SVD, რომელშიც ერთი მხარე BC საერთოა, ხოლო დანარჩენი ორი AB და BD ქმნიან სწორ ხაზს.

ორ კუთხეს, რომელსაც ერთი გვერდი აქვს საერთო და დანარჩენი ორი სწორ ხაზს ქმნის, მიმდებარე კუთხეები ეწოდება.

მომიჯნავე კუთხეების მიღება შეიძლება ასეც: თუ სხივს რაიმე წერტილიდან დავხატავთ სწორ ხაზზე (მოცემულ სწორ ხაზზე არ დევს), მაშინ მივიღებთ მიმდებარე კუთხეებს.
Მაგალითად, / ADF და / FDВ - მიმდებარე კუთხეები (სურ. 73).

მიმდებარე კუთხეებს შეიძლება ჰქონდეთ მრავალფეროვანი პოზიციები (ნახ. 74).

მიმდებარე კუთხეები ემატება სწორ კუთხეს, ასე რომ ორი მიმდებარე კუთხის უმმა არის 2დ.

აქედან გამომდინარე, მართი კუთხე შეიძლება განისაზღვროს, როგორც მისი მიმდებარე კუთხის ტოლი კუთხე.

ერთი მიმდებარე კუთხის მნიშვნელობის გაცნობით, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ მეორე მიმდებარე კუთხის მნიშვნელობა.

მაგალითად, თუ ერთ-ერთი მიმდებარე კუთხე არის 3/5 დ, მაშინ მეორე კუთხე ტოლი იქნება:

2დ- 3 / 5 დ= ლ 2/5 დ.

2. ვერტიკალური კუთხეები.

თუ კუთხის გვერდებს გავაგრძელებთ მის წვეროს მიღმა, მივიღებთ ვერტიკალურ კუთხეებს. 75-ე ნახატზე EOF და AOC კუთხეები ვერტიკალურია; კუთხეები AOE და COF ასევე ვერტიკალურია.

ორ კუთხეს ვერტიკალური ეწოდება, თუ ერთი კუთხის გვერდები მეორე კუთხის გვერდების გაგრძელებაა.

დაე იყოს / 1 = 7 / 8 დ(სურ. 76). მის მიმდებარედ / 2 უდრის 2-ს დ- 7 / 8 დ, ანუ 1 1/8 დ.

ანალოგიურად, შეგიძლიათ გამოთვალოთ რა ტოლია / 3 და / 4.
/ 3 = 2დ - 1 1 / 8 დ = 7 / 8 დ; / 4 = 2დ - 7 / 8 დ = 1 1 / 8 დ(სურ. 77).

ჩვენ ამას ვხედავთ / 1 = / 3 და / 2 = / 4.

თქვენ შეგიძლიათ გადაჭრათ კიდევ რამდენიმე იგივე პრობლემა და ყოველ ჯერზე მიიღებთ ერთსა და იმავე შედეგს: ვერტიკალური კუთხეები ერთმანეთის ტოლია.

თუმცა, იმისთვის, რომ დარწმუნდეთ, რომ ვერტიკალური კუთხეები ყოველთვის ერთმანეთის ტოლია, საკმარისი არ არის ცალკეული რიცხვითი მაგალითების გათვალისწინება, რადგან კონკრეტული მაგალითებიდან გამოტანილი დასკვნები ზოგჯერ შეიძლება იყოს მცდარი.

საჭიროა ვერტიკალური კუთხეების თვისების მართებულობის შემოწმება მსჯელობით, მტკიცებით.

მტკიცებულება შეიძლება განხორციელდეს შემდეგნაირად (ნახ. 78):

/ a +/ გ = 2დ;
/ ბ+/ გ = 2დ;

(რადგან მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 2 დ).

/ a +/ გ = / ბ+/ გ

(რადგან ამ ტოლობის მარცხენა მხარე უდრის 2-ს დდა მისი მარჯვენა მხარეც უდრის 2-ს დ).

ეს თანასწორობა მოიცავს იმავე კუთხეს თან.

თუ თანაბარ სიდიდეებს გამოვაკლებთ თანაბრად, მაშინ ის თანაბრად დარჩება. შედეგი იქნება: / ა = / ბ, ანუ ვერტიკალური კუთხეები ერთმანეთის ტოლია.

ვერტიკალური კუთხეების საკითხის განხილვისას ჯერ ავხსენით რომელ კუთხეებს უწოდებენ ვერტიკალურს, ანუ მივეცით განმარტებავერტიკალური კუთხეები.

შემდეგ ჩვენ გავაკეთეთ განსჯა (განცხადება) ვერტიკალური კუთხეების ტოლობის შესახებ და მტკიცებით დავრწმუნდით ამ განსჯის მართებულობაში. ისეთ განაჩენებს, რომელთა მართებულობა უნდა დადასტურდეს, ე.წ თეორემები. ამრიგად, ამ ნაწილში ჩვენ მივეცით ვერტიკალური კუთხეების განმარტება, ასევე დავამტკიცეთ და დავამტკიცეთ თეორემა მათი თვისების შესახებ.

მომავალში, გეომეტრიის შესწავლისას, მუდმივად მოგვიწევს თეორემების განსაზღვრებები და მტკიცებულებები.

3. კუთხეების ჯამი, რომლებსაც აქვთ საერთო წვერო.

ნახაზზე 79 / 1, / 2, / 3 და / 4 განლაგებულია სწორი ხაზის იმავე მხარეს და აქვთ საერთო წვერო ამ სწორ ხაზზე. ჯამში ეს კუთხეები ქმნიან სწორ კუთხეს, ე.ი.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2დ.

ნახატზე 80 / 1, / 2, / 3, / 4 და / 5-ს აქვს საერთო ზედა. ჯამში ეს კუთხეები ქმნიან სრულ კუთხეს, ე.ი. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4დ.

Სავარჯიშოები.

1. ერთ-ერთი მიმდებარე კუთხე არის 0,72 დ.გამოთვალეთ კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება ამ მიმდებარე კუთხეების ბისექტორებით.

2. დაამტკიცეთ, რომ ორი მიმდებარე კუთხის ბისექტრები მართ კუთხეს ქმნიან.

3. დაამტკიცეთ, რომ თუ ორი კუთხე ტოლია, მაშინ მათი მიმდებარე კუთხეებიც ტოლია.

4. რამდენი წყვილი მიმდებარე კუთხეა ნახაზზე 81?

5. შეიძლება თუ არა მომიჯნავე კუთხეების წყვილი ორი მახვილი კუთხისგან შედგებოდეს? ორი ბლაგვი კუთხიდან? სწორი და ბლაგვი კუთხიდან? სწორი და მწვავე კუთხიდან?

6. თუ ერთ-ერთი მიმდებარე კუთხე სწორია, მაშინ რა შეიძლება ითქვას მის მიმდებარე კუთხის მნიშვნელობაზე?

7. თუ ორი სწორი ხაზის გადაკვეთაზე არის ერთი მართი კუთხე, მაშინ რა შეიძლება ითქვას დარჩენილი სამი კუთხის ზომაზე?

გაკვეთილი 8 ორ კუთხეს ვერტიკალური ეწოდება, თუ ერთი კუთხის გვერდები მეორის გვერდების გაგრძელებაა. თეორემა. ვერტიკალური კუთხეები ტოლია. დამტკიცება: = = 180 მსგავსი = = = 3 2 = 4 ამოცანის ამოხსნა: 64, 66 საშინაო დავალება: პუნქტები 11, 66, 67

მათემატიკური კარნახი. 1 ვარიანტი. 1. დაასრულეთ წინადადება: „თუ კუთხეები 1 და 2 მიმდებარეა, მაშინ მათი ჯამი ...“ 2. იქნება 30 გრადუსიანი კუთხის მიმდებარე კუთხე მახვილი, ბლაგვი თუ მართი? 3. ორი კუთხის ჯამი 180 გრადუსია. ეს კუთხეები უნდა იყოს მიმდებარე? 4. AM და CE წრფეები იკვეთება O წერტილში, რომელიც მათ შორისაა. ამან გამოიწვია ვერტიკალური კუთხეები? თუ კი, გთხოვთ დაასახელოთ ისინი. 5. რა არის კუთხე, თუ მასთან ვერტიკალური კუთხე 34 გრადუსია? 6. ორი სწორი ხაზის გადაკვეთის შედეგად მიღებული ოთხი კუთხიდან ერთი არის 140 გრადუსი. რა არის დანარჩენი კუთხეები? 7. ორ კუთხეს აქვს საერთო წვერო, პირველი კუთხე 40 გრადუსია, მეორე 140 გრადუსი. ეს კუთხეები ვერტიკალურია? ვარიანტი 2. 1. დაასრულეთ წინადადება: „ორ კუთხეს ეწოდება მიმდებარე, თუ ერთი გვერდი საერთოა, მეორე კი...“ 2. იქნება 130 გრადუსიანი კუთხის მიმდებარე კუთხე მახვილი, ბლაგვი თუ მართი? 3. ორი კუთხის ჯამი, რომელთა საერთო გვერდია 180 გრადუსი. ეს კუთხეები უნდა იყოს მიმდებარე? 4. მოსწავლემ ააგო 2 ვერტიკალური კუთხე. რამდენი წყვილი სწორი ხაზი მოჰყვა ამას? 5. ორ კუთხეს აქვს საერთო წვერო, თითოეული ეს კუთხე უდრის 60 გრადუსს. ეს კუთხეები უნდა იყოს ვერტიკალური? 6. ორი სწორი ხაზის გადაკვეთის შედეგად მიღებული ოთხი კუთხიდან ერთი არის 80 გრადუსი. რა არის დანარჩენი კუთხეები? 7. რა არის კუთხე, თუ მასთან ვერტიკალური კუთხე 120 გრადუსია?

პასუხები. 1. უდრის 180 გრადუსს 2. ბლაგვი კუთხე 3. No 4. კუთხეები AOC და EOM, AOE და COM გრადუსი და 40 გრადუსი 7. დიახ 1. დამატებითი სხივები 2. მახვილი კუთხე 3. არა 4. ერთი წყვილი 5. არა და 100 გრადუსი გრადუსი