ფრაქტალები ცნობილია თითქმის ერთი საუკუნის განმავლობაში, კარგად არის შესწავლილი და აქვთ მრავალი გამოყენება ცხოვრებაში. ეს ფენომენი დაფუძნებულია ძალიან მარტივ იდეაზე: უსასრულო რაოდენობის ფიგურები სილამაზისა და მრავალფეროვნების მიხედვით შეიძლება მივიღოთ შედარებით მარტივი სტრუქტურებიდან მხოლოდ ორი ოპერაციების გამოყენებით - კოპირება და მასშტაბირება.

ამ კონცეფციას არ აქვს მკაცრი განმარტება. ამიტომ სიტყვა „ფრაქტალი“ არ არის მათემატიკური ტერმინი. როგორც წესი, ეს არის გეომეტრიული ფიგურის სახელი, რომელიც აკმაყოფილებს ქვემოთ ჩამოთვლილ ერთ ან მეტ თვისებას:

• აქვს რთული სტრუქტურა ნებისმიერი გადიდების დროს;
• არის (დაახლოებით) საკუთარი თავის მსგავსი;
• აქვს ფრაქციული ჰაუსდორფის (ფრაქტალური) განზომილება, რომელიც ტოპოლოგიურზე დიდია;
• შეიძლება აშენდეს რეკურსიული პროცედურებით.

მე-19 და მე-20 საუკუნეების მიჯნაზე, ფრაქტალების შესწავლა უფრო ეპიზოდური იყო, ვიდრე სისტემატური, რადგან ადრინდელი მათემატიკოსები ძირითადად სწავლობდნენ „კარგ“ ობიექტებს, რომელთა შესწავლა შეიძლებოდა ზოგადი მეთოდებისა და თეორიების გამოყენებით. 1872 წელს გერმანელმა მათემატიკოსმა კარლ ვაიერშტრასმა შექმნა უწყვეტი ფუნქციის მაგალითი, რომელიც არსად დიფერენცირებადია. თუმცა, მისი კონსტრუქცია სრულიად აბსტრაქტული და ძნელად გასაგები იყო. ამიტომ, 1904 წელს შვედმა ჰელგე ფონ კოხმა გამოავლინა უწყვეტი მრუდი, რომელსაც არსად არ აქვს ტანგენსი და მისი დახატვა საკმაოდ მარტივია. აღმოჩნდა, რომ მას აქვს ფრაქტალის თვისებები. ამ მრუდის ერთ-ერთ ვარიაციას კოხის ფიფქი ეწოდება.

ფიგურების თვითმსგავსების იდეები აიტაცა ფრანგმა პოლ პიერ ლევიმ, ბენუა მანდელბროს მომავალმა მენტორმა. 1938 წელს გამოქვეყნდა მისი სტატია „სიბრტყე და სივრცითი მრუდები და მთლიანის მსგავსი ნაწილებისგან შემდგარი ზედაპირი“, რომელშიც აღწერილია კიდევ ერთი ფრაქტალი – ლევის C-მრუდი. ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფრაქტალი პირობითად შეიძლება მივაკუთვნოთ კონსტრუქციული (გეომეტრიული) ფრაქტალების ერთ კლასს.

კიდევ ერთი კლასი არის დინამიური (ალგებრული) ფრაქტალები, რომლებიც მოიცავს მანდელბროტის კომპლექტს. პირველი კვლევები ამ მიმართულებით მე-20 საუკუნის დასაწყისით თარიღდება და დაკავშირებულია ფრანგი მათემატიკოსების გასტონ ჯულიას და პიერ ფატუს სახელებთან. 1918 წელს გამოქვეყნდა ჯულიას ნაწარმოების თითქმის ორასი გვერდი, რომელიც მიეძღვნა რთული რაციონალური ფუნქციების გამეორებას, რომლებშიც აღწერილია ჯულიას სიმრავლეები - ფრაქტალების მთელი ოჯახი, რომელიც მჭიდროდ არის დაკავშირებული მანდელბროტის ნაკრებთან. ეს ნამუშევარი დაჯილდოვდა საფრანგეთის აკადემიის პრიზით, მაგრამ ის არ შეიცავდა არც ერთ ილუსტრაციას, ამიტომ შეუძლებელი იყო აღმოჩენილი ობიექტების სილამაზის დაფასება. იმისდა მიუხედავად, რომ ამ ნამუშევარმა ჯულია ცნობილი გახადა იმდროინდელ მათემატიკოსთა შორის, ის სწრაფად დავიწყებას მიეცა.

მხოლოდ ნახევარი საუკუნის შემდეგ, კომპიუტერების მოსვლასთან ერთად, ყურადღება მიიპყრო ჯულიას და ფატუს ნამუშევრებზე: სწორედ მათ გახადეს ფრაქტალების სამყაროს სიმდიდრე და სილამაზე. ყოველივე ამის შემდეგ, ფატუ ვერასოდეს შეხედავს სურათებს, რომლებიც ჩვენ ახლა ვიცით, როგორც მანდელბროტის ნაკრების გამოსახულებები, რადგან საჭირო რაოდენობის გამოთვლები არ შეიძლება გაკეთდეს ხელით. პირველი ადამიანი, ვინც ამისთვის გამოიყენა კომპიუტერი, იყო ბენუა მანდელბროტი.

1982 წელს გამოიცა მანდელბროტის წიგნი „ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია“, რომელშიც ავტორმა შეაგროვა და სისტემატიზირებული თითქმის ყველა ინფორმაცია იმ დროისთვის ხელმისაწვდომი ფრაქტალების შესახებ და მარტივად და ხელმისაწვდომად წარმოადგინა. მანდელბროტმა თავის პრეზენტაციაში მთავარი აქცენტი გააკეთა არა მძიმე ფორმულებზე და მათემატიკურ კონსტრუქციებზე, არამედ მკითხველთა გეომეტრიულ ინტუიციაზე. კომპიუტერული გენერირებული ილუსტრაციებისა და ისტორიული ისტორიების წყალობით, რომლითაც ავტორი ოსტატურად აზავებდა მონოგრაფიის სამეცნიერო კომპონენტს, წიგნი გახდა ბესტსელერი, ხოლო ფრაქტალები ცნობილი გახდა ფართო საზოგადოებისთვის. მათი წარმატება არამათემატიკოსებს შორის დიდწილად განპირობებულია იმით, რომ ძალიან მარტივი კონსტრუქციებისა და ფორმულების დახმარებით, რომელთა გაგებაც საშუალო სკოლის მოსწავლესაც კი შეუძლია, საოცარი სირთულის და სილამაზის გამოსახულებები მიიღება. როდესაც პერსონალური კომპიუტერები საკმარისად მძლავრი გახდა, ხელოვნების მთელი ტენდენციაც კი გამოჩნდა - ფრაქტალის ფერწერა და ამის გაკეთება თითქმის ნებისმიერ კომპიუტერის მფლობელს შეეძლო. ახლა ინტერნეტში შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ამ თემისადმი მიძღვნილი მრავალი საიტი.

ფრაქტალის თეორია

უცნაურ მიმზიდველებს ყოველთვის აქვთ ფრაქტალური განზომილება. მაშასადამე, ქაოტური მიზიდულების აღსაწერად გამოიყენება ფრაქტალის გეომეტრიის აპარატი, რომელიც აღწერს „ქაოსის სტრუქტურებს“.

ტერმინი "ფრაქტალი" ეკუთვნის ბენუა მანდელბროტს. თავის სამ წიგნში („ფრაქტალური ობიექტები: ფორმა, შანსი და განზომილება“, 1975; „ფრაქტალები: ფორმა, შანსი და განზომილება“, 1977; „ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია“, 1977), მანდელბროტმა შესთავაზა არაევკლიდური გეომეტრია. - გლუვი, უხეში, დაკბილული, ორმოიანი და ხვრელების, უხეში და ა.შ. ობიექტები. სწორედ „არასწორი“ ობიექტები შეადგენენ ბუნებაში არსებული ობიექტების აბსოლუტურ უმრავლესობას. თავად ბ. მანდელბროტმა აღწერა მის მიერ შექმნილი თეორია, როგორც უფორმოების მორფოლოგია.

ბ. მანდელბროტის „ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია“ იხსნება შემდეგი სიტყვებით: „რატომ უწოდებენ გეომეტრიას ხშირად „ცივს“ და „მშრალს“? ერთი მიზეზი არის მისი უუნარობა აღწეროს ღრუბლის, მთის, სანაპირო ზოლის ან ხის ფორმა. ღრუბლები არ არის სფეროები, მთები არ არის კონუსები, სანაპირო ზოლები არ არის წრეები, ხის ქერქი არ არის გლუვი, ელვა არ მოძრაობს სწორი ხაზით. ზოგადად, მე ვამტკიცებ, რომ ბუნებაში მრავალი ობიექტი იმდენად არარეგულარული და ფრაგმენტულია, რომ ევკლიდესთან შედარებით - ტერმინი, რომელიც ამ ნაწარმოებში ნიშნავს ყველა სტანდარტულ გეომეტრიას - ბუნებას აქვს არა მხოლოდ მეტი სირთულე, არამედ სირთულის სრულიად განსხვავებული დონე. ბუნებრივი ობიექტების სხვადასხვა სიგრძის მასშტაბების რაოდენობა ყველა პრაქტიკული მიზნისთვის უსასრულოა“ დანილოვი იუ.ა. ფრაქტალების სილამაზე. ვებ: http://sky.kuban.ru/socio_etno/iphrRAS/~mifs/work.htm.

ევკლიდემ ბუნება წმინდა და სიმეტრიულ ობიექტებად შეამცირა: წერტილი, ერთგანზომილებიანი ხაზი, ორგანზომილებიანი სიბრტყე, სამგანზომილებიანი სხეული. არცერთ ამ ობიექტს არ აქვს ხვრელები და გარე დარღვევები. თითოეულს აქვს სწორი გლუვი ფორმა. უხეში ფორმების ბუნებრივი ობიექტები არ არის სუფთა ევკლიდური სტრუქტურების სახეობები. ბუნებრივი ფორმებისა და დროის სერიების უმეტესობა საუკეთესოდ არის აღწერილი ფრაქტალებით.

მანდელბროტმა შექმნა ტერმინი ფრაქტალი (ლათინური სიტყვიდან "fractus" - ფრაქციული, ფრაგმენტული), ეფუძნება ფრაქტალური (ფრაქციული) განზომილების ბესიკოვიჩ-ჰაუსდორფის თეორიას, შემოთავაზებული 1919 წელს.

ბესიკოვიჩ-ჰაუსდორფის განზომილება ემთხვევა ევკლიდეს განზომილებას რეგულარული გეომეტრიული ობიექტებისთვის (მრუდების, ზედაპირებისა და სხეულებისთვის შესწავლილი ევკლიდეს გეომეტრიის თანამედროვე სახელმძღვანელოში). უცნაური ლორენცის მიმზიდველის ბესიკოვიჩ-ჰაუსდორფის განზომილება 2-ზე მეტია, მაგრამ 3-ზე ნაკლები: ლორენცის მიმზიდველი აღარ არის გლუვი ზედაპირი, მაგრამ ჯერ არ არის სამგანზომილებიანი სხეული.

ჩვენ მიდრეკილნი ვართ ვიფიქროთ, რომ ყველა ბრტყელი ობიექტი ორგანზომილებიანია. თუმცა, მათემატიკურად რომ ვთქვათ, ეს ასე არ არის. ევკლიდეს სიბრტყე არის ბრტყელი ზედაპირი ბზარებისა და რღვევების გარეშე. ანალოგიურად, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ობიექტი, რომელსაც აქვს სიღრმე, არის სამგანზომილებიანი. მაგრამ ევკლიდეს გეომეტრიაში სამგანზომილებიანი ობიექტი არის მყარი სხეული ხვრელებისა და ბზარების გარეშე. რეალური ობიექტების უმეტესობა არ არის მყარი - მათ აქვთ ხარვეზები და ღრუები და უბრალოდ განლაგებულია სამგანზომილებიან სივრცეში. მაგალითად, მთებსა და ღრუბლებს აქვთ ზომები ორიდან სამამდე. ფრაქტალის ობიექტების ერთ-ერთი მახასიათებელია ის, რომ ისინი ტოვებენ საკუთარ განზომილებას, როდესაც განლაგებულია მათ ფრაქტალზე დიდ განზომილებაში. შემთხვევითი განაწილება (თეთრი ხმაური) არ გააჩნია ეს მახასიათებელი. თეთრი ხმაური ავსებს მის სივრცეს ისევე, როგორც გაზი ავსებს მოცულობას. თუ გაზის გარკვეული რაოდენობა მოთავსებულია უფრო დიდი მოცულობის კონტეინერში, გაზი უბრალოდ გავრცელდება უფრო დიდ სივრცეში, რადგან არაფერი აკავშირებს გაზის მოლეკულებს ერთმანეთთან. მეორეს მხრივ, მყარ სხეულს აქვს მოლეკულები ერთმანეთთან დაკავშირებული. ანალოგიურად, ფრაქტალ დროის სერიაში, წერტილების პოზიციები განისაზღვრება კორელაციებით, რომლებიც არ არსებობს შემთხვევით სერიაში. დროის სერია შემთხვევითი იქნება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის არის თანაბრად სავარაუდო მოვლენების დიდი რაოდენობის შედეგი. სტატისტიკის თვალსაზრისით - მას აქვს თავისუფლების დიდი რაოდენობა. არა შემთხვევითი დროის სერია ასახავს გავლენის არა შემთხვევით ბუნებას. მონაცემების ნახტომები ემთხვევა გავლენის ფაქტორების ნახტომებს, რაც ასახავს მათ თანდაყოლილ კორელაციას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დროის სერია იქნება ფრაქტალი. ფრაქტალის განზომილება განისაზღვრება იმით, თუ როგორ ავსებს ობიექტი ან დროის სერია სივრცეს. ფრაქტალის ობიექტი არათანაბრად ავსებს სივრცეს, რადგან მისი ნაწილები დამოკიდებულნი ან კორელაციურია. ფრაქტალური განზომილების განსასაზღვრად, ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ, თუ როგორ არის დაჯგუფებული ობიექტი თავის პეტერსის სივრცეში. ე. ქაოსი და წესრიგი კაპიტალის ბაზრებზე. ახალი ანალიტიკური პერსპექტივა ციკლებზე, ფასებსა და ბაზრის ცვალებადობაზე. M.: Mir, 2000. გვ.80..

ევკლიდეს გეომეტრიაში რაც უფრო ახლოს ვუყურებთ ობიექტს მით უფრო მარტივი ხდება ის. 3D ბლოკი ხდება 2D სიბრტყე, შემდეგ 1D ხაზი, სანამ არ გახდება წერტილი. ფრაქტალურ (ბუნებრივ) ობიექტებში, როგორც იზრდება, უფრო და უფრო მეტი დეტალი ვლინდება. ფრაქტალური ობიექტების გამორჩეული თვისება ის არის, რომ თითოეული დეტალი შეიცავს საერთო სტრუქტურას. ფრაქტალის ერთ-ერთი განმარტება ამბობს: ფრაქტალი არის საკუთარი თავის მსგავსი სტრუქტურა. თვითმსგავსება (მასშტაბის უცვლელობა) არის ფენომენი, რომელიც შედგება იმაში, რომ ობიექტის მცირე ნაწილები ხარისხობრივად იგივეა, რაც მთელი ობიექტი ან მისი მსგავსი, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს თვისება დაახლოებით ერთნაირად გამოიყურება ნებისმიერ, თვითნებურად მცირე მასშტაბზე. ფრაქტალ დროის სერიებში მცირე დროის ინტერვალები სტატისტიკურად მსგავსი იქნება დიდი ინტერვალების. ფრაქტალური ფორმები ავლენენ სივრცულ თვითმსგავსებას. ფრაქტალის დროის სერიებს აქვთ სტატისტიკური თვითმსგავსება დროში.

ასე რომ, ჩვენ უკვე შევხვდით ფრაქტალის ორ განმარტებას (ფრაქციული განზომილების და მასშტაბის ინვარიანტობის თვისების მეშვეობით). ფრაქტალის საბოლოო განმარტება ჯერ არ არის ნაპოვნი. შესაძლებელია, რომ ეს არასოდეს მოხდეს, რადგან ფრაქტალური გეომეტრია არის ბუნების გეომეტრია.

მოგეხსენებათ, გამეორების მეთოდი განსაზღვრავს წერტილის პოზიციას დროის გარკვეულ მომენტში მისი პოზიციის მეშვეობით დროის წინა მომენტში, ანუ უკუკავშირი მუშაობს. ალგორითმის სახით, ეს შეიძლება გამოჩნდეს შემდეგნაირად: "საწყისი მდგომარეობები" + "ეტაპობრივი პროცესის გენერირება" = "გაშლილი ფრაქტალის სტრუქტურა". ფრაქტალების სიმრავლეები მითითებულია დინამიური უკუკავშირის სისტემების აღწერის არაწრფივი განტოლებების დახმარებით. ფრაქტალი არის გენერირების წესის ზღვრული ნაკრები. ფრაქტალი არის თვითორგანიზებული სტრუქტურა და გენერაციული წესი შეიძლება აღვიქვათ როგორც რეპლიკატორად, თვითორგანიზაციის „სუბიექტად“.

პრინციპში, ფრაქტალის გეომეტრია სრულიად დამოუკიდებელი მეცნიერებაა, მაგრამ მისი იდეები უკვე დიდწილად "ასიმილირებულია" სინერგეტიკის მიერ და სინერგეტიკა ოდესღაც შთააგონებდა ბენუა მანდელბროტს ფრაქტალური ობიექტების შესწავლაში. მაშასადამე, ჩვენ არ გავავლებთ ხისტ საზღვრებს სინერგიულ მიდგომასა და ფრაქტალების თეორიას შორის.

არსებობს ფრაქტალების ორი ტიპი: დეტერმინისტული და შემთხვევითი. დეტერმინისტული ფრაქტალები უმეტეს შემთხვევაში სიმეტრიულია. მაგრამ ბუნება უარყოფს სიმეტრიას, ამიტომ ბუნებრივი ობიექტები აღწერილია შემთხვევითი ფრაქტალების გამოყენებით. შემთხვევითი ფრაქტალები ყოველთვის არ შეიცავს ნაწილებს, რომლებიც მთლიანს ჰგავს. ნაწილები და მთელი შეიძლება იყოს დაკავშირებული თვისობრივად. შემთხვევითი ფრაქტალები არის გენერაციული წესების ერთობლიობა, რომლებიც არჩეულია შემთხვევით სხვადასხვა მასშტაბით.

როგორც ბოლო ათწლეულებში გაირკვა (თვითორგანიზაციის თეორიის განვითარებასთან დაკავშირებით), თვითმსგავსება ხდება სხვადასხვა ობიექტსა და ფენომენში. მაგალითად, თვითმსგავსება შეიძლება შეინიშნოს ხეების და ბუჩქების ტოტებში, განაყოფიერებული ზიგოტის, ფიფქების, ყინულის კრისტალების დაყოფაში, ეკონომიკური სისტემების განვითარებაში, მთის სისტემების სტრუქტურაში, ღრუბლებში.

ყველა ჩამოთვლილი ობიექტი და სხვა მსგავსი მათი სტრუქტურა ფრაქტალია. ანუ მათ აქვთ თვითმსგავსების, ანუ მასშტაბის უცვლელობის თვისებები. და ეს ნიშნავს, რომ მათი სტრუქტურის ზოგიერთი ფრაგმენტი მკაცრად მეორდება გარკვეული სივრცითი ინტერვალებით. ცხადია, ეს ობიექტები შეიძლება იყოს ნებისმიერი ხასიათისა და მათი გარეგნობა და ფორმა უცვლელი რჩება მასშტაბის მიუხედავად. როგორც ბუნებაში, ასევე საზოგადოებაში, თვითგამეორება ხდება საკმაოდ დიდი მასშტაბით. ამგვარად, ღრუბელი იმეორებს თავის გახეხილ სტრუქტურას 10 4 მ-დან (10 კმ) 10-4 მ-მდე (0,1 მმ). განშტოება მეორდება ხეებზე 10-2-დან 10 2 მ-მდე. კოლაფსირებული მასალები, რომლებიც წარმოქმნიან ბზარებს, ასევე იმეორებენ თავის მსგავსებას რამდენიმე მასშტაბით. ხელზე ჩამოვარდნილი ფიფქი დნება. დნობის პერიოდში, ერთი ფაზიდან მეორეზე გადასვლა, ფიფქის წვეთი ასევე ფრაქტალია.

ფრაქტალი არის უსასრულო სირთულის ობიექტი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ ნახოთ არანაკლებ დეტალები ახლოდან, ვიდრე შორიდან. ამის კლასიკური მაგალითია დედამიწა. კოსმოსიდან ის ბურთს ჰგავს. მასთან მიახლოებისას ჩვენ ვიპოვით ოკეანეებს, კონტინენტებს, სანაპიროებს და მთიანეთებს. მოგვიანებით, უფრო მცირე დეტალები გამოჩნდება: მიწის ნაკვეთი მთის ზედაპირზე, ისეთივე რთული და არათანაბარი, როგორც თავად მთა. შემდეგ გამოჩნდება ნიადაგის პაწაწინა ნაწილაკები, რომელთაგან თითოეული თავისთავად ფრაქტალის ობიექტია.

ფრაქტალი არის არაწრფივი სტრუქტურა, რომელიც ინარჩუნებს თავის მსგავსებას უსასრულოდ ზევით ან კლებისას. არაწრფივობა მხოლოდ მცირე სიგრძეზე გარდაიქმნება წრფივად. ეს განსაკუთრებით შესამჩნევია დიფერენციაციის მათემატიკური პროცედურაში.

ამრიგად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ფრაქტალები, როგორც მოდელები, გამოიყენება მაშინ, როდესაც რეალური ობიექტი არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს კლასიკური მოდელების სახით. და ეს ნიშნავს, რომ საქმე გვაქვს არაწრფივ კავშირებთან და მონაცემთა არადეტერმინისტულ ხასიათთან. არაწრფივიობა იდეოლოგიური გაგებით ნიშნავს განვითარების გზების მრავალვარიანტულობას, ალტერნატიული გზებიდან არჩევანის ხელმისაწვდომობას და ევოლუციის გარკვეულ ტემპს, ასევე ევოლუციური პროცესების შეუქცევადობას. მათემატიკური გაგებით, არაწრფივი არის გარკვეული ტიპის მათემატიკური განტოლებები (არაწრფივი დიფერენციალური განტოლებები), რომლებიც შეიცავს სასურველ სიდიდეებს ერთზე მეტი სიმძლავრით ან კოეფიციენტებით, რომლებიც დამოკიდებულია საშუალების თვისებებზე. ანუ, როდესაც ვიყენებთ კლასიკურ მოდელებს (მაგალითად, ტენდენცია, რეგრესია და ა.შ.), ჩვენ ვამბობთ, რომ ობიექტის მომავალი ცალსახად არის განსაზღვრული. ჩვენ შეგვიძლია ვიწინასწარმეტყველოთ იგი, ვიცოდეთ ობიექტის წარსული (საწყისი მონაცემები მოდელირებისთვის). და ფრაქტალები გამოიყენება იმ შემთხვევაში, როდესაც ობიექტს აქვს განვითარების რამდენიმე ვარიანტი და სისტემის მდგომარეობა განისაზღვრება იმ პოზიციით, რომელშიც ის ამჟამად მდებარეობს. ანუ ვცდილობთ ქაოტური განვითარების სიმულაციას.

როდესაც ისინი საუბრობენ გარკვეული სისტემის დეტერმინიზმზე, გულისხმობენ, რომ მის ქცევას ახასიათებს ცალსახა მიზეზობრივი კავშირი. ანუ სისტემის საწყისი პირობებისა და მოძრაობის კანონის ცოდნით შესაძლებელია მისი მომავლის ზუსტად პროგნოზირება. სამყაროში მოძრაობის ეს იდეა არის კლასიკური, ნიუტონის დინამიკის დამახასიათებელი. ქაოსი, პირიქით, გულისხმობს ქაოტურ, შემთხვევით პროცესს, როდესაც მოვლენათა მიმდინარეობის არც წინასწარმეტყველება და არც რეპროდუცირება შეუძლებელია.

ქაოსი წარმოიქმნება არაწრფივი სისტემის შინაგანი დინამიკით - მისი თვისება ექსპონენციურად სწრაფად გამოყოს თვითნებურად დახურული ტრაექტორიები. შედეგად, ტრაექტორიების ფორმა ძალიან ძლიერ არის დამოკიდებული საწყის პირობებზე. სისტემების შესწავლისას, რომლებიც, ერთი შეხედვით, ქაოტურად ვითარდება, ხშირად იყენებენ ფრაქტალების თეორიას, რადგან სწორედ ეს მიდგომა საშუალებას იძლევა დავინახოთ გარკვეული ნიმუში სისტემის განვითარებაში „შემთხვევითი“ გადახრების წარმოქმნაში.

ბუნებრივი ფრაქტალური სტრუქტურების შესწავლა საშუალებას გვაძლევს უკეთ გავიგოთ თვითორგანიზაციისა და არაწრფივი სისტემების განვითარების პროცესები. ჩვენ უკვე გავარკვიეთ, რომ ყველაზე მრავალფეროვანი, გრაგნილი ხაზების ბუნებრივი ფრაქტალები გვხვდება ჩვენს ირგვლივ. ეს არის ზღვის სანაპირო, ხეები, ღრუბლები, ელვისებური გამონადენი, ლითონის სტრუქტურა, ადამიანის ნერვული ან სისხლძარღვთა სისტემა. ეს რთული ხაზები და უხეში ზედაპირი მოექცა სამეცნიერო კვლევების ყურადღების ცენტრში, რადგან ბუნებამ გვაჩვენა სირთულის სრულიად განსხვავებული დონე, ვიდრე იდეალურ გეომეტრიულ სისტემებში. შესწავლილი სტრუქტურები სივრცით-დროით მიმართებაში თვითმსგავსი აღმოჩნდა. ისინი უსასრულოდ იმეორებდნენ საკუთარ თავს და იმეორებდნენ სხვადასხვა სიგრძისა და დროის მასშტაბებს. ნებისმიერი არაწრფივი პროცესი საბოლოოდ მივყავართ ჩანგალამდე. სისტემა ამ შემთხვევაში, განშტოების წერტილში, ირჩევს ამა თუ იმ გზას. სისტემის განვითარების ტრაექტორია ჰგავს ფრაქტალს, ანუ გაწყვეტილ ხაზს, რომლის ფორმა შეიძლება შეფასდეს, როგორც განშტოებული, რთული გზა, რომელსაც აქვს თავისი ლოგიკა და ნიმუში.

სისტემის განშტოება შეიძლება შევადაროთ ხის განშტოებას, სადაც თითოეული ტოტი შეესაბამება მთელი სისტემის მესამედს. განშტოება საშუალებას აძლევს ხაზოვან სტრუქტურას შეავსოს სამგანზომილებიანი სივრცე, ან, უფრო ზუსტად: ფრაქტალური სტრუქტურა კოორდინაციას უწევს სხვადასხვა სივრცეებს. ფრაქტალი შეიძლება გაიზარდოს, ავსებს მიმდებარე სივრცეს, ისევე როგორც კრისტალი იზრდება ზეგაჯერებულ ხსნარში. ამ შემთხვევაში, განშტოების ბუნება ასოცირდება არა შემთხვევით, არამედ გარკვეულ ნიმუშთან.

ფრაქტალური სტრუქტურა ანალოგიურად მეორდება სხვა დონეზე, ადამიანის ცხოვრების ორგანიზების უფრო მაღალ დონეზე, მაგალითად, კოლექტივის ან გუნდის თვითორგანიზების დონეზე. ქსელებისა და ფორმების თვითორგანიზება მიკრო დონიდან მაკრო დონეზე გადადის. ერთობლივად, ისინი წარმოადგენენ ჰოლისტურ ერთობას, სადაც შეიძლება მთელის განსჯა ნაწილის მიხედვით. ამ საკურსო ნაშრომში, მაგალითად, განხილულია სოციალური პროცესების ფრაქტალური თვისებები, რაც მიუთითებს ფრაქტალების თეორიის უნივერსალურობაზე და მის ერთგულებაზე მეცნიერების სხვადასხვა დარგის მიმართ.

დაასკვნეს, რომ ფრაქტალი არის სხვადასხვა განზომილების და ბუნების სივრცეების ორგანიზებული ურთიერთქმედების საშუალება. ზემოაღნიშნულს უნდა დაემატოს არა მხოლოდ სივრცითი, არამედ დროითი. მაშინ ადამიანის ტვინი და ნერვული ქსელებიც კი იქნება ფრაქტალური სტრუქტურა.

ბუნებას ძალიან უყვარს ფრაქტალური ფორმები. ფრაქტალ ობიექტს აქვს გაშლილი, იშვიათი სტრუქტურა. ასეთ ობიექტებზე მზარდი გადიდებით დაკვირვებისას შეიძლება დაინახოთ, რომ ისინი აჩვენებენ შაბლონს, რომელიც მეორდება სხვადასხვა დონეზე. ჩვენ უკვე ვთქვით, რომ ფრაქტალის ობიექტს შეუძლია ზუსტად იგივე გამოიყურებოდეს, მიუხედავად იმისა, ვაკვირდებით მას მეტრის, მილიმეტრის ან მიკრონის (1:1 000 000 მეტრის) მასშტაბით. ფრაქტალური ობიექტების სიმეტრიის თვისება ვლინდება მასშტაბის მიმართ ინვარიანტობაში. ფრაქტალები სიმეტრიულია გაჭიმვის ცენტრის მიმართ, ისევე როგორც მრგვალი სხეულები სიმეტრიულია ბრუნვის ღერძის მიმართ.

დღეს ფრაქტალების თეორიის ფარგლებში განვითარებული მოვლენები მიმდინარეობს რომელიმე კონკრეტულ მეცნიერებაში - ფიზიკაში, სოციოლოგიაში, ფსიქოლოგიაში, ლინგვისტიკაში და ა.შ. მაშინ საზოგადოება, სოციალური ინსტიტუტები, ენა და აზროვნებაც კი ფრაქტალებია.

თანამედროვე მეცნიერებამ საკმაოდ წარმატებით მოახდინა ფრაქტალების თეორიის ადაპტაცია ცოდნის სხვადასხვა სფეროსთვის. ასე რომ, ეკონომიკაში ფრაქტალების თეორია გამოიყენება ფინანსური ბაზრების ტექნიკურ ანალიზში, რომლებიც ას წელზე მეტია არსებობს მსოფლიოს განვითარებულ ქვეყნებში. პირველად აქციების ფასის შემდგომი ქცევის პროგნოზირების შესაძლებლობა, თუ ცნობილია მისი მიმართულება ბოლო პერიოდის განმავლობაში, C. Dow-მა აღნიშნა. 1990-იან წლებში, რამდენიმე სტატიის გამოქვეყნების შემდეგ, დოუმ შენიშნა, რომ აქციების ფასები ექვემდებარებოდა ციკლურ რყევებს: ხანგრძლივი ზრდის შემდეგ მოჰყვება ხანგრძლივი ვარდნა, შემდეგ კვლავ მატება და ვარდნა.

მე-20 საუკუნის შუა ხანებში, როდესაც მთელი სამეცნიერო სამყარო მოხიბლული იყო ფრაქტალების ახლად წარმოქმნილი თეორიით, კიდევ ერთმა ცნობილმა ამერიკელმა ფინანსისტმა, რ. ელიოტმა, შემოგვთავაზა აქციების ფასის ქცევის თავისი თეორია, რომელიც დაფუძნებული იყო ფრაქტალის გამოყენებაზე. თეორია. ელიოტი გამომდინარეობდა იქიდან, რომ ფრაქტალების გეომეტრია ხდება არა მხოლოდ ცოცხალ ბუნებაში, არამედ სოციალურ პროცესებშიც. მან აქციების ბირჟაზე ვაჭრობაც სოციალურ პროცესებს მიაწერა.

თეორიის საფუძველია ტალღის დიაგრამა ე.წ. ეს თეორია შესაძლებელს ხდის ფასის ტენდენციის შემდგომი ქცევის პროგნოზირებას, მისი ქცევის პრეისტორიის ცოდნაზე და მასობრივი ფსიქოლოგიური ქცევის განვითარების წესების დაცვით.

ფრაქტალების თეორიამ ასევე იპოვა გამოყენება ბიოლოგიაში. მცენარეების, ცხოველებისა და ადამიანების ბევრ, თუ არა ყველა, ბიოლოგიურ სტრუქტურას და სისტემას აქვს ფრაქტალური ბუნება, გარკვეული მსგავსება: ნერვული სისტემა, ფილტვის სისტემა, სისხლის მიმოქცევის და ლიმფური სისტემები და ა.შ. გაჩნდა მტკიცებულება, რომ ავთვისებიანი სიმსივნის განვითარებაც ფრაქტალის პრინციპით მიმდინარეობს. ფრაქტალურ ობიექტებს ასევე ახასიათებთ ისეთი თვისება, როგორიცაა კომპლემენტარობის გამოვლინება. ბიოქიმიაში კომპლემენტარულობა არის ორი მაკრომოლეკულის ქიმიურ სტრუქტურაში ურთიერთშესაბამისობა, რაც უზრუნველყოფს მათ ურთიერთქმედებას - დნმ-ის ორი ჯაჭვის დაწყვილებას, ფერმენტის კავშირს სუბსტრატთან, ანტიგენის ანტისხეულთან. დამატებითი სტრუქტურები ერთმანეთთან ჯდება, როგორც საკეტის გასაღები. ამ თვისებას ფლობს დნმ პოლინუკლეოტიდური ჯაჭვები.

ფრაქტალების ერთ-ერთი ყველაზე ძლიერი პროგრამა მდგომარეობს კომპიუტერულ გრაფიკაში. პირველ რიგში, ეს არის სურათების ფრაქტალური შეკუმშვა და მეორე, პეიზაჟების, ხეების, მცენარეების აგება და ფრაქტალური ტექსტურების წარმოქმნა. ამავდროულად, ინფორმაციის შეკუმშვის, ჩაწერისთვის აუცილებელია ფრაქტალის თვითმსგავსი შემცირება, ხოლო მისი წაკითხვისთვის, შესაბამისად, თვითმსგავსი მატება.

ფრაქტალური გამოსახულების შეკუმშვის ალგორითმების უპირატესობა არის შეფუთული ფაილის ძალიან მცირე ზომა და გამოსახულების აღდგენის მოკლე დრო. ფრაქტალურად შეფუთული სურათების მასშტაბირება შესაძლებელია პიქსელაციის გარეშე. მაგრამ შეკუმშვის პროცესს დიდი დრო სჭირდება და ზოგჯერ საათობით გრძელდება. დაკარგვის ფრაქტალის შეფუთვის ალგორითმი საშუალებას გაძლევთ დააყენოთ შეკუმშვის დონე, jpeg ფორმატის მსგავსი. ალგორითმი დაფუძნებულია გამოსახულების დიდი ნაწილების პოვნაზე, რომლებიც მსგავსია ზოგიერთი პატარა ნაწილის მსგავსი. და მხოლოდ ინფორმაცია ერთი ნაწილის მეორესთან მსგავსების შესახებ იწერება გამომავალ ფაილში. შეკუმშვისას ჩვეულებრივ გამოიყენება კვადრატული ბადე, რაც იწვევს სურათის აღდგენის მცირე კუთხით; ექვსკუთხა ბადეს არ აქვს ასეთი მინუსი.

ხშირად მეცნიერებაში გაკეთებულმა ბრწყინვალე აღმოჩენებმა შეიძლება რადიკალურად შეცვალოს ჩვენი ცხოვრება. ასე, მაგალითად, ვაქცინის გამოგონებას ბევრი ადამიანის გადარჩენა შეუძლია, ახალი იარაღის შექმნას კი მკვლელობამდე მივყავართ. ფაქტიურად გუშინ (ისტორიის მასშტაბით) ადამიანმა ელექტროენერგია „მოათვინიერა“ და დღეს მის გარეშე ცხოვრება ვეღარ წარმოუდგენია. თუმცა არის ისეთი აღმოჩენებიც, რომლებიც, როგორც ამბობენ, ჩრდილში რჩებიან და მიუხედავად იმისა, რომ ისინიც გარკვეულ გავლენას ახდენენ ჩვენს ცხოვრებაზე. ერთ-ერთი ასეთი აღმოჩენა იყო ფრაქტალი. ადამიანთა უმრავლესობას არც კი სმენია ასეთი კონცეფციის შესახებ და ვერ ახსნის მის მნიშვნელობას. ამ სტატიაში შევეცდებით გაუმკლავდეთ კითხვას, რა არის ფრაქტალი, განვიხილოთ ამ ტერმინის მნიშვნელობა მეცნიერებისა და ბუნების თვალსაზრისით.

წესრიგი ქაოსში

იმისათვის, რომ გავიგოთ რა არის ფრაქტალი, დებრიფინგი უნდა დაიწყოს მათემატიკის პოზიციიდან, თუმცა, სანამ ჩავუღრმავდებით, ცოტას ფილოსოფოსობთ. ყველა ადამიანს აქვს ბუნებრივი ცნობისმოყვარეობა, რომლის წყალობითაც ის სწავლობს მის გარშემო არსებულ სამყაროს. ხშირად, ცოდნის სურვილით, ის ცდილობს ლოგიკით იმოქმედოს განსჯებში. ასე რომ, ირგვლივ მიმდინარე პროცესების გაანალიზებით, ის ცდილობს გამოთვალოს ურთიერთობები და გამოიტანოს გარკვეული შაბლონები. პლანეტის ყველაზე დიდი გონება ამ პრობლემების გადაჭრით არის დაკავებული. უხეშად რომ ვთქვათ, ჩვენი მეცნიერები ეძებენ შაბლონებს, სადაც ისინი არ არიან და არ უნდა იყვნენ. მიუხედავად ამისა, ქაოსშიც კი არის კავშირი გარკვეულ მოვლენებს შორის. ეს კავშირი არის ფრაქტალი. მაგალითად, განვიხილოთ გზაზე გატეხილი ტოტი. თუ კარგად დავაკვირდებით, დავინახავთ, რომ ის, მთელი თავისი ტოტებითა და კვანძებით, თვითონაც ხეს ჰგავს. ცალკეული ნაწილის ეს მსგავსება ერთ მთლიანობასთან მოწმობს რეკურსიული თვითმსგავსების ე.წ. ბუნებაში ფრაქტალები ყოველთვის გვხვდება, რადგან მრავალი არაორგანული და ორგანული ფორმა წარმოიქმნება მსგავსი გზით. ეს არის ღრუბლები, ზღვის ჭურვები, ლოკოკინების ჭურვები, ხეების გვირგვინები და სისხლის მიმოქცევის სისტემაც კი. ეს სია შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით. ყველა ეს შემთხვევითი ფორმა მარტივად არის აღწერილი ფრაქტალის ალგორითმით. აქ ჩვენ განვიხილავთ რა არის ფრაქტალი ზუსტი მეცნიერებების თვალსაზრისით.

რამდენიმე მშრალი ფაქტი

თვით სიტყვა „ფრაქტალი“ ლათინურიდან ითარგმნება როგორც „ნაწილობრივი“, „გაყოფილი“, „ფრაგმენტირებული“ და რაც შეეხება ამ ტერმინის შინაარსს, ფორმულირება, როგორც ასეთი, არ არსებობს. ჩვეულებრივ, მას განიხილავენ როგორც თვითმსგავს კომპლექტს, მთლიანის ნაწილს, რომელიც მეორდება მისი სტრუქტურით მიკრო დონეზე. ეს ტერმინი დამკვიდრდა მეოცე საუკუნის სამოცდაათიან წლებში მამად აღიარებულ ბენუა მანდელბროტმა, დღესდღეობით ფრაქტალის ცნება ნიშნავს გარკვეული სტრუქტურის გრაფიკულ გამოსახულებას, რომელიც გადიდებისას თავის მსგავსი იქნება. თუმცა, ამ თეორიის შექმნის მათემატიკური საფუძველი ჩაეყარა ჯერ კიდევ მანდელბროტის დაბადებამდე, მაგრამ ის ვერ განვითარდა, სანამ ელექტრონული კომპიუტერები არ გამოჩნდნენ.

ისტორიული ცნობა, ან როგორ დაიწყო ეს ყველაფერი

მე-19 და მე-20 საუკუნეების მიჯნაზე ფრაქტალების ბუნების შესწავლა ეპიზოდური იყო. ეს გამოწვეულია იმით, რომ მათემატიკოსები ამჯობინებდნენ ისეთი ობიექტების შესწავლას, რომელთა გამოკვლევა შესაძლებელია ზოგადი თეორიებისა და მეთოდების საფუძველზე. 1872 წელს გერმანელმა მათემატიკოსმა კ.ვაიერშტრასმა შექმნა უწყვეტი ფუნქციის მაგალითი, რომელიც არსად დიფერენცირებადია. თუმცა ეს კონსტრუქცია სრულიად აბსტრაქტული და რთულად გასაგები აღმოჩნდა. შემდეგ მოვიდა შვედი ჰელგე ფონ კოხი, რომელმაც 1904 წელს ააგო უწყვეტი მრუდი, რომელსაც არსად არ აქვს ტანგენსი. მისი დახატვა საკმაოდ მარტივია და, როგორც აღმოჩნდა, ახასიათებს ფრაქტალური თვისებები. ამ მრუდის ერთ-ერთ ვარიანტს მისი ავტორის სახელი ეწოდა - „კოხის ფიფქი“. გარდა ამისა, ფიგურების თვითმსგავსების იდეა შეიმუშავა ბ. მანდელბროტის მომავალმა მენტორმა, ფრანგმა პოლ ლევიმ. 1938 წელს გამოაქვეყნა ნაშრომი „სიბრტყე და სივრცითი მრუდები და მთლიანი ნაწილებისგან შემდგარი ზედაპირი“. მასში მან აღწერა ახალი სახეობა - Levy C- მრუდი. ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფიგურა პირობითად ეხება ისეთ ფორმას, როგორიცაა გეომეტრიული ფრაქტალები.

დინამიური ან ალგებრული ფრაქტალები

მანდელბროტის ნაკრები მიეკუთვნება ამ კლასს. ამ მიმართულებით პირველი მკვლევარები გახდნენ ფრანგი მათემატიკოსები პიერ ფატუ და გასტონ ჯულია. 1918 წელს ჯულიამ გამოაქვეყნა ნაშრომი, რომელიც დაფუძნებული იყო რაციონალური რთული ფუნქციების გამეორებების შესწავლაზე. აქ მან აღწერა ფრაქტალების ოჯახი, რომლებიც მჭიდრო კავშირშია მანდელბროტის ნაკრებთან. იმისდა მიუხედავად, რომ ეს ნამუშევარი ადიდებდა ავტორს მათემატიკოსებს შორის, ის სწრაფად დავიწყებას მიეცა. და მხოლოდ ნახევარი საუკუნის შემდეგ, კომპიუტერების წყალობით, ჯულიას ნამუშევრებმა მეორე სიცოცხლე მიიღო. კომპიუტერებმა შესაძლებელი გახადა ყოველი ადამიანისთვის თვალსაჩინო ყოფილიყო ფრაქტალების სამყაროს სილამაზე და სიმდიდრე, რომელთა „დანახვა“ მათემატიკოსებს შეეძლოთ მათი ფუნქციების ჩვენებით. მანდელბროტმა პირველმა გამოიყენა კომპიუტერი გამოთვლების შესასრულებლად (ხელით ასეთი მოცულობის შესრულება შეუძლებელია), რამაც შესაძლებელი გახადა ამ ფიგურების გამოსახულების აგება.

სივრცითი წარმოსახვის მქონე ადამიანი

მანდელბროტმა სამეცნიერო კარიერა დაიწყო IBM Research Center-ში. გრძელ დისტანციებზე მონაცემთა გადაცემის შესაძლებლობის შესწავლისას, მეცნიერები წააწყდნენ დიდი დანაკარგების ფაქტს, რომელიც წარმოიშვა ხმაურის ჩარევის გამო. ბენუა ამ პრობლემის გადაჭრის გზებს ეძებდა. გაზომვის შედეგების დათვალიერებისას მან ყურადღება მიიპყრო უცნაურ ნიმუშზე, კერძოდ: ხმაურის გრაფიკები ერთნაირად გამოიყურებოდა დროის სხვადასხვა მასშტაბებზე.

მსგავსი სურათი დაფიქსირდა როგორც ერთი დღის განმავლობაში, ასევე შვიდი დღის განმავლობაში ან ერთი საათის განმავლობაში. თავად ბენუა მანდელბროტი ხშირად იმეორებდა, რომ ის არ მუშაობს ფორმულებით, არამედ თამაშობს ნახატებს. ეს მეცნიერი გამოირჩეოდა წარმოსახვითი აზროვნებით, მან თარგმნა ნებისმიერი ალგებრული პრობლემა გეომეტრიულ არეალში, სადაც სწორი პასუხი აშკარაა. ასე რომ, გასაკვირი არაა, რომ მდიდრებით გამორჩეული და ფრაქტალის გეომეტრიის მამა გახდა. ყოველივე ამის შემდეგ, ამ ფიგურის გაცნობიერება შეიძლება მხოლოდ მაშინ, როდესაც თქვენ შეისწავლით ნახატებს და ფიქრობთ ამ უცნაური მორევების მნიშვნელობაზე, რომლებიც ქმნიან ნიმუშს. ფრაქტალ ნახატებს არ აქვთ იდენტური ელემენტები, მაგრამ ისინი მსგავსია ნებისმიერი მასშტაბით.

ჯულია - მანდელბროტი

ამ ფიგურის ერთ-ერთი პირველი ნახატი იყო ნაკრების გრაფიკული ინტერპრეტაცია, რომელიც გასტონ ჯულიას ნამუშევრის წყალობით დაიბადა და მანდელბროტმა დაასრულა. გასტონი ცდილობდა წარმოედგინა, როგორ გამოიყურება ნაკრები, როდესაც ის აგებულია მარტივი ფორმულისგან, რომელიც იმეორებს უკუკავშირის მარყუჟს. ვეცადოთ, ადამიანურ ენაზე, ასე ვთქვათ, თითებზე ავხსნათ. კონკრეტული რიცხვითი მნიშვნელობისთვის, ფორმულის გამოყენებით, ვპოულობთ ახალ მნიშვნელობას. ჩვენ ვცვლით მას ფორმულაში და ვპოულობთ შემდეგს. შედეგი არის დიდი. ასეთი ნაკრების წარმოსადგენად, თქვენ უნდა გააკეთოთ ეს ოპერაცია რამდენჯერმე: ასობით, ათასობით, მილიონობით. ეს არის ის, რაც ბენუამ გააკეთა. მან დაამუშავა თანმიმდევრობა და შედეგები გრაფიკულ ფორმაში გადაიტანა. შემდგომში მან გააფერადა მიღებული ფიგურა (თითოეული ფერი შეესაბამება გამეორებების გარკვეულ რაოდენობას). ამ გრაფიკულ გამოსახულებას მანდელბროტის ფრაქტალი ჰქვია.

L. Carpenter: ბუნების მიერ შექმნილი ხელოვნება

ფრაქტალების თეორიამ სწრაფად იპოვა პრაქტიკული გამოყენება. ვინაიდან ეს ძალიან მჭიდროდ არის დაკავშირებული საკუთარი თავის მსგავსი სურათების ვიზუალიზაციასთან, პირველებმა მიიღეს პრინციპები და ალგორითმები ამ უჩვეულო ფორმების ასაგებად, იყვნენ მხატვრები. პირველი მათგანი იყო Pixar სტუდიის მომავალი დამფუძნებელი ლორენ კარპენტერი. თვითმფრინავების პროტოტიპების პრეზენტაციაზე მუშაობისას მას გაუჩნდა იდეა, რომ ფონად მთების გამოსახულება გამოეყენებინა. დღეს კომპიუტერის თითქმის ყველა მომხმარებელს შეუძლია გაუმკლავდეს ასეთ ამოცანას და გასული საუკუნის სამოცდაათიან წლებში კომპიუტერებს არ შეეძლოთ ასეთი პროცესების შესრულება, რადგან იმ დროს არ არსებობდა გრაფიკული რედაქტორები და სამგანზომილებიანი გრაფიკის აპლიკაციები. ლორენი წააწყდა მანდელბროტის ფრაქტალებს: ფორმა, შემთხვევითობა და განზომილება. მასში ბენოისმა მრავალი მაგალითი მოიყვანა და აჩვენა, რომ ბუნებაში არსებობენ ფრაქტალები (ფივა), მან აღწერა მათი სხვადასხვა ფორმები და დაამტკიცა, რომ ისინი ადვილად აღიწერება მათემატიკური გამონათქვამებით. მათემატიკოსმა მოიყვანა ეს ანალოგია, როგორც არგუმენტი იმ თეორიის სარგებლიანობის შესახებ, რომელიც მან შეიმუშავა თავისი კოლეგების კრიტიკის აურზაურის საპასუხოდ. ისინი ამტკიცებდნენ, რომ ფრაქტალი არის მხოლოდ მშვენიერი სურათი, რომელსაც არ აქვს მნიშვნელობა, ელექტრონული მანქანების გვერდითი პროდუქტი. კარპენტერმა გადაწყვიტა ეს მეთოდი პრაქტიკაში გამოეცადა. წიგნის გულდასმით შესწავლის შემდეგ, მომავალმა ანიმატორმა დაიწყო კომპიუტერულ გრაფიკაში ფრაქტალური გეომეტრიის განხორციელების გზის ძიება. მას მხოლოდ სამი დღე დასჭირდა კომპიუტერზე მთის ლანდშაფტის სრულიად რეალისტური გამოსახულების გადასაღებად. და დღეს ეს პრინციპი ფართოდ გამოიყენება. როგორც გაირკვა, ფრაქტალების შექმნას დიდი დრო და ძალისხმევა არ სჭირდება.

კარპენტერის გადაწყვეტილება

ლორენის მიერ გამოყენებული პრინციპი მარტივი აღმოჩნდა. იგი შედგება უფრო დიდის უფრო მცირე ელემენტებად დაყოფაში, ხოლო მსგავს პატარაებად და ა.შ. კარპენტერმა დიდი სამკუთხედების გამოყენებით გაანადგურა ისინი 4 წვრილად და ასე გააგრძელა მანამ, სანამ არ მიიღო რეალისტური მთის ლანდშაფტი. ამრიგად, ის გახდა პირველი მხატვარი, რომელმაც გამოიყენა ფრაქტალის ალგორითმი კომპიუტერულ გრაფიკაში საჭირო გამოსახულების ასაგებად. დღეს ეს პრინციპი გამოიყენება სხვადასხვა რეალისტური ბუნებრივი ფორმების სიმულაციისთვის.

პირველი 3D ვიზუალიზაცია ფრაქტალის ალგორითმის საფუძველზე

რამდენიმე წლის შემდეგ, ლორენმა გამოიყენა თავისი ნამუშევარი ფართომასშტაბიან პროექტში - ანიმაციური ვიდეო Vol Libre, რომელიც ნაჩვენებია Siggraph-ზე 1980 წელს. ამ ვიდეომ ბევრი შოკში ჩააგდო და მისი შემქმნელი Lucasfilm-ში სამუშაოდ მიიწვიეს. აქ ანიმატორმა შეძლო საკუთარი თავის სრულად რეალიზება, მან შექმნა სამგანზომილებიანი პეიზაჟები (მთელი პლანეტა) მხატვრული ფილმისთვის „ვარსკვლავური გზა“. ნებისმიერი თანამედროვე პროგრამა („ფრაქტალები“) ან აპლიკაცია სამგანზომილებიანი გრაფიკის შესაქმნელად (Terragen, Vue, Bryce) იყენებს იგივე ალგორითმს ტექსტურებისა და ზედაპირების მოდელირებისთვის.

ტომ ბედდარდი

ყოფილმა ლაზერულმა ფიზიკოსმა და ახლა უკვე ციფრულმა მხატვარმა და მხატვარმა, ბედდარმა შექმნა უაღრესად დამაინტრიგებელი გეომეტრიული ფორმების სერია, რომელსაც მან უწოდა ფაბერჟეს ფრაქტალები. გარეგნულად ისინი წააგავს რუსი იუველირის დეკორატიულ კვერცხებს, მათ აქვთ იგივე ბრწყინვალე რთული ნიმუში. ბედარდმა გამოიყენა შაბლონის მეთოდი მოდელების ციფრული რენდერების შესაქმნელად. შედეგად მიღებული პროდუქტები გასაოცარია მათი სილამაზით. მიუხედავად იმისა, რომ ბევრი უარს ამბობს ხელნაკეთი პროდუქტის კომპიუტერულ პროგრამასთან შედარებაზე, უნდა ვაღიაროთ, რომ მიღებული ფორმები უჩვეულოდ ლამაზია. მთავარი ის არის, რომ ყველას შეუძლია შექმნას ასეთი ფრაქტალი WebGL პროგრამული ბიბლიოთეკის გამოყენებით. ის საშუალებას გაძლევთ რეალურ დროში შეისწავლოთ სხვადასხვა ფრაქტალის სტრუქტურა.

ფრაქტალები ბუნებაში

ცოტა ადამიანი აქცევს ყურადღებას, მაგრამ ეს საოცარი ფიგურები ყველგანაა. ბუნება შედგება საკუთარი თავის მსგავსი ფიგურებისგან, ჩვენ ამას უბრალოდ ვერ ვამჩნევთ. საკმარისია გამადიდებელი შუშით შევხედოთ ჩვენს კანს ან ხის ფოთოლს და დავინახავთ ფრაქტალებს. ან აიღეთ, მაგალითად, ანანასი ან თუნდაც ფარშევანგის კუდი - ისინი მსგავსი ფიგურებისგან შედგება. და რომანესკუს ბროკოლის ჯიში ზოგადად გასაოცარია თავისი გარეგნობით, რადგან მას ნამდვილად შეიძლება ეწოდოს ბუნების სასწაული.

მუსიკალური პაუზა

გამოდის, რომ ფრაქტალები არ არის მხოლოდ გეომეტრიული ფორმები, ისინი შეიძლება იყოს ბგერებიც. ასე რომ, მუსიკოსი ჯონათან კოლტონი წერს მუსიკას ფრაქტალის ალგორითმების გამოყენებით. ის ამტკიცებს, რომ შეესაბამება ბუნებრივ ჰარმონიას. კომპოზიტორი თავის ყველა ნაწარმოებს აქვეყნებს CreativeCommons Attribution-Noncommercial ლიცენზიით, რომელიც ითვალისწინებს სხვა პირების მიერ ნაწარმოებების უფასო გავრცელებას, კოპირებას, გადაცემას.

ფრაქტალის მაჩვენებელი

ამ ტექნიკამ იპოვა ძალიან მოულოდნელი გამოყენება. მის საფუძველზე შეიქმნა საფონდო ბირჟის ანალიზის ინსტრუმენტი და, შედეგად, დაიწყო მისი გამოყენება ფორექსის ბაზარზე. ახლა ფრაქტალის ინდიკატორი გვხვდება ყველა სავაჭრო პლატფორმაზე და გამოიყენება სავაჭრო ტექნიკაში, რომელსაც ფასის გარღვევა ეწოდება. ბილ უილიამსმა შეიმუშავა ეს ტექნიკა. როგორც ავტორი თავის გამოგონებაზე კომენტარს აკეთებს, ეს ალგორითმი წარმოადგენს რამდენიმე „სანთლის“ ერთობლიობას, რომელშიც ცენტრალური ასახავს მაქსიმალურ ან, პირიქით, მინიმალურ უკიდურეს წერტილს.

ბოლოს და ბოლოს

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ რა არის ფრაქტალი. გამოდის, რომ ჩვენს გარშემო არსებულ ქაოსში, ფაქტობრივად, იდეალური ფორმებია. ბუნება არის საუკეთესო არქიტექტორი, იდეალური მშენებელი და ინჟინერი. ის ძალიან ლოგიკურად არის მოწყობილი და თუ ჩვენ ვერ ვპოულობთ შაბლონს, ეს არ ნიშნავს რომ ის არ არსებობს. იქნებ სხვა მასშტაბით უნდა შეხედოთ. დარწმუნებით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ფრაქტალები ჯერ კიდევ ინახავს უამრავ საიდუმლოს, რომელიც ჯერ კიდევ არ არის აღმოჩენილი.

მუნიციპალური საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულება

"სივერსკაიას მე-3 საშუალო სკოლა"

Კვლევა

მათემატიკა.

სამუშაო შეასრულა

მე-8 კლასის მოსწავლე

ემელინ პაველი

ზედამხედველი

მათემატიკის მასწავლებელი

ტუპიცინა ნატალია ალექსეევნა

გვ Siversky

2014 წელი

მათემატიკა გაჟღენთილია სილამაზითა და ჰარმონიით,

თქვენ უბრალოდ უნდა ნახოთ ეს სილამაზე.

ბ. მანდელბროტი

შესავალი

თავი 1. ფრაქტალების გაჩენის ისტორია _______ 5-6 გვ.

თავი 2. ფრაქტალების კლასიფიკაცია.________________6-10გვ.

გეომეტრიული ფრაქტალები

ალგებრული ფრაქტალები

სტოქასტური ფრაქტალები

თავი 3. „ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია“ ______ 11-13გვ.

თავი 4. ფრაქტალების გამოყენება _______________13-15გვ.

თავი 5 პრაქტიკული სამუშაო __________________ 16-24გვ.

დასკვნა________________________________25.გვერდი

ლიტერატურისა და ინტერნეტ რესურსების სია _______ 26გვ.

შესავალი

მათემატიკა,

თუ სწორად შეხედავ,

ასახავს არა მხოლოდ სიმართლეს,

არამედ შეუდარებელი სილამაზეც.

ბერტრანდ რასელი

სიტყვა „ფრაქტალი“ არის ის, რაზეც ამ დღეებში ბევრი საუბრობს, მეცნიერებიდან დაწყებული და საშუალო სკოლის მოსწავლეებით დამთავრებული. ის ჩანს მრავალი მათემატიკის სახელმძღვანელოს, სამეცნიერო ჟურნალისა და კომპიუტერული პროგრამული უზრუნველყოფის ყუთების გარეკანზე. ფრაქტალების ფერადი გამოსახულებები დღეს ყველგან შეგიძლიათ იხილოთ: ღია ბარათებიდან, მაისურებიდან დაწყებული პერსონალური კომპიუტერის დესკტოპის სურათებამდე. მაშ, რა არის ეს ფერადი ფორმები, რომლებსაც გარშემო ვხედავთ?

მათემატიკა უძველესი მეცნიერებაა. ადამიანების უმეტესობას ეჩვენებოდა, რომ ბუნებაში გეომეტრია შემოიფარგლება ისეთი მარტივი ფორმებით, როგორიცაა ხაზი, წრე, მრავალკუთხედი, სფერო და ა.შ. როგორც გაირკვა, ბევრი ბუნებრივი სისტემა იმდენად რთულია, რომ მათი მოდელირებისთვის ჩვეულებრივი გეომეტრიის მხოლოდ ნაცნობი ობიექტების გამოყენება უიმედო ჩანს. როგორ, მაგალითად, ავაშენოთ ქედის ან ხის გვირგვინის მოდელი გეომეტრიის თვალსაზრისით? როგორ აღვწეროთ ბიოლოგიური მრავალფეროვნების მრავალფეროვნება, რომელსაც ვაკვირდებით მცენარეთა და ცხოველთა სამყაროში? როგორ წარმოვიდგინოთ სისხლის მიმოქცევის სისტემის მთელი სირთულე, რომელიც შედგება მრავალი კაპილარებისგან და გემებისგან და სისხლს აწვდის ადამიანის სხეულის ყველა უჯრედს? წარმოიდგინეთ ფილტვებისა და თირკმელების სტრუქტურა, რომელიც სტრუქტურით წააგავს ხეებს ტოტოვანი გვირგვინით?

ფრაქტალები შესაფერისი საშუალებაა დასმული კითხვების გამოსაკვლევად. ხშირად ის, რასაც ბუნებაში ვხედავთ, გვაინტერესებს ერთი და იგივე ნიმუშის გაუთავებელი გამეორებით, რამდენჯერმე გადიდებული ან შემცირებული. მაგალითად, ხეს აქვს ტოტები. ამ ტოტებს უფრო პატარა ტოტები აქვთ და ა.შ. თეორიულად, "ჩანგალი" ელემენტი უსასრულოდ ბევრჯერ მეორდება, სულ უფრო და უფრო მცირდება. იგივე ჩანს მთიანი რელიეფის ფოტოსურათის დათვალიერებისას. სცადეთ ოდნავ გაადიდოთ მთის ქედი --- ისევ დაინახავთ მთებს. ასე ვლინდება ფრაქტალებისთვის დამახასიათებელი თვითმსგავსების თვისება.

ფრაქტალების შესწავლა ხსნის შესანიშნავ შესაძლებლობებს, როგორც უსასრულო რაოდენობის აპლიკაციების შესწავლაში, ასევე მათემატიკის სფეროში. ფრაქტალების გამოყენება ძალიან ფართოა! ყოველივე ამის შემდეგ, ეს ობიექტები იმდენად ლამაზია, რომ მათ იყენებენ დიზაინერები, მხატვრები, მათი დახმარებით გრაფიკაში დახატულია ხეების, ღრუბლების, მთების და ა.შ. მაგრამ ფრაქტალები ბევრ მობილურ ტელეფონში ანტენადაც კი გამოიყენება.

ბევრი ქაოლოგისთვის (მეცნიერები, რომლებიც სწავლობენ ფრაქტალებსა და ქაოსს), ეს არ არის მხოლოდ ცოდნის ახალი სფერო, რომელიც აერთიანებს მათემატიკას, თეორიულ ფიზიკას, ხელოვნებას და კომპიუტერულ ტექნოლოგიას - ეს არის რევოლუცია. ეს არის ახალი ტიპის გეომეტრიის აღმოჩენა, გეომეტრია, რომელიც აღწერს ჩვენს გარშემო არსებულ სამყაროს და რომელიც შეიძლება ნახოთ არა მხოლოდ სახელმძღვანელოებში, არამედ ბუნებაში და ყველგან უსაზღვრო სამყაროში..

ჩემს ნამუშევრებში მეც გადავწყვიტე სილამაზის სამყაროს „შევეხო“ და გადავწყვიტე...

ობიექტური: ბუნების მსგავსი ობიექტების შექმნა.

Კვლევის მეთოდებისაკვანძო სიტყვები: შედარებითი ანალიზი, სინთეზი, მოდელირება.

Დავალებები:

ბ. მანდელბროტის კონცეფციის, წარმოშობის ისტორიისა და კვლევის გაცნობა,

გ.კოხი, ვ.სიერპინსკი და სხვები;

სხვადასხვა ტიპის ფრაქტალების კომპლექტების გაცნობა;

ამ საკითხზე სამეცნიერო-პოპულარული ლიტერატურის შესწავლა, გაცნობა

სამეცნიერო ჰიპოთეზები;

მიმდებარე სამყაროს ფრაქტალობის თეორიის დადასტურების მოძიება;

ფრაქტალების გამოყენების შესწავლა სხვა მეცნიერებებში და პრაქტიკაში;

ექსპერიმენტის ჩატარება საკუთარი ფრაქტალის სურათების შესაქმნელად.

სამუშაოს ძირითადი კითხვა:

აჩვენეთ, რომ მათემატიკა არ არის მშრალი, უსულო საგანი, მას შეუძლია გამოხატოს ადამიანის სულიერი სამყარო ინდივიდუალურად და მთლიანად საზოგადოებაში.

შესწავლის საგანი: ფრაქტალური გეომეტრია.

კვლევის ობიექტი: ფრაქტალები მათემატიკაში და რეალურ სამყაროში.

ჰიპოთეზა: ყველაფერი, რაც რეალურ სამყაროში არსებობს, არის ფრაქტალი.

Კვლევის მეთოდები: ანალიტიკური, საძიებო.

შესაბამისობადეკლარირებული თემის განმსაზღვრელია, უპირველეს ყოვლისა, კვლევის საგანი, რომელიც არის ფრაქტალური გეომეტრია.

Მოსალოდნელი შედეგები:მუშაობის პროცესში შევძლებ გავაფართოვო ცოდნა მათემატიკის სფეროში, დავინახო ფრაქტალის გეომეტრიის მშვენიერება და დავიწყებ მუშაობას საკუთარი ფრაქტალების შექმნაზე.

სამუშაოს შედეგი იქნება კომპიუტერული პრეზენტაციის, ბიულეტენის და ბუკლეტის შექმნა.

Თავი 1

ბ ენუა მანდელბროტი

ტერმინი "ფრაქტალი" გამოიგონა ბენუა მანდელბროტმა. სიტყვა მომდინარეობს ლათინურიდან "fractus", რაც ნიშნავს "გატეხილი, დამსხვრეული".

ფრაქტალი (ლათ. fractus - დამსხვრეული, გატეხილი, გატეხილი) - ტერმინი, რომელიც ნიშნავს კომპლექსურ გეომეტრიულ ფიგურას თვითმსგავსების თვისებით, ანუ შედგება რამდენიმე ნაწილისაგან, რომელთაგან თითოეული მსგავსია მთლიანი ფიგურისა.

მათემატიკური ობიექტები, რომლებსაც ის ეხება, ხასიათდება უაღრესად საინტერესო თვისებებით. ჩვეულებრივ გეომეტრიაში ხაზს აქვს ერთი განზომილება, ზედაპირს აქვს ორი განზომილება და სივრცითი ფიგურა სამგანზომილებიანია. მეორეს მხრივ, ფრაქტალები არ არის ხაზები ან ზედაპირები, მაგრამ, თუ წარმოიდგინეთ, რაღაც შუალედია. ზომის მატებასთან ერთად, ფრაქტალის მოცულობაც იზრდება, მაგრამ მისი განზომილება (ექსპონენტი) არ არის მთელი რიცხვი, არამედ წილადი მნიშვნელობა და, შესაბამისად, ფრაქტალის ფიგურის საზღვარი არ არის ხაზი: მაღალი გადიდებისას, ის ცხადი ხდება. რომ ის ბუნდოვანია და შედგება სპირალებისა და ხვეულებისგან, რომლებიც იმეორებს თავად ფიგურის მასშტაბებს. ასეთ გეომეტრიულ კანონზომიერებას მასშტაბის უცვლელობა ან თვითმსგავსება ეწოდება. სწორედ ის განსაზღვრავს ფრაქტალური ფიგურების წილადის განზომილებას.

ფრაქტალის გეომეტრიის მოსვლამდე მეცნიერება ეხებოდა სამ სივრცულ განზომილებაში შემავალ სისტემებს. აინშტაინის წყალობით გაირკვა, რომ სამგანზომილებიანი სივრცე მხოლოდ რეალობის მოდელია და არა თავად რეალობა. სინამდვილეში, ჩვენი სამყარო განლაგებულია ოთხგანზომილებიან სივრცე-დროის კონტინუუმში.
მანდელბროტის წყალობით გაირკვა, თუ როგორ გამოიყურება ოთხგანზომილებიანი სივრცე, ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ქაოსის ფრაქტალური სახე. ბენუა მანდელბროტმა აღმოაჩინა, რომ მეოთხე განზომილება მოიცავს არა მხოლოდ პირველ სამ განზომილებას, არამედ (ეს ძალიან მნიშვნელოვანია!) მათ შორის ინტერვალებსაც.

რეკურსიული (ან ფრაქტალური) გეომეტრია ანაცვლებს ევკლიდეს. ახალ მეცნიერებას შეუძლია აღწეროს სხეულებისა და ფენომენების ჭეშმარიტი ბუნება. ევკლიდეს გეომეტრია მხოლოდ სამ განზომილებას მიეკუთვნებოდა ხელოვნურ, წარმოსახვით ობიექტებს. მხოლოდ მეოთხე განზომილებას შეუძლია მათი რეალობად ქცევა.

თხევადი, აირი, მყარი არის მატერიის სამი ჩვეულებრივი ფიზიკური მდგომარეობა, რომელიც არსებობს სამგანზომილებიან სამყაროში. მაგრამ რა არის კვამლის, ღრუბლების, უფრო სწორად, მათი საზღვრების განზომილება, რომელიც მუდმივად ბუნდოვანია ჰაერის მღელვარე მოძრაობით?

ძირითადად, ფრაქტალები იყოფა სამ ჯგუფად:

ალგებრული ფრაქტალები

სტოქასტური ფრაქტალები

გეომეტრიული ფრაქტალები

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ თითოეულ მათგანს.

თავი 2. ფრაქტალების კლასიფიკაცია

გეომეტრიული ფრაქტალები

ბენუა მანდელბროტმა შემოგვთავაზა ფრაქტალის მოდელი, რომელიც უკვე კლასიკური გახდა და ხშირად გამოიყენება როგორც თავად ფრაქტალის ტიპიური მაგალითის, ასევე ფრაქტალების სილამაზის დემონსტრირებისთვის, რომელიც ასევე იზიდავს მკვლევარებს, მხატვრებს და უბრალოდ დაინტერესებულ ადამიანებს.

სწორედ მათთან დაიწყო ფრაქტალების ისტორია. ამ ტიპის ფრაქტალები მიიღება მარტივი გეომეტრიული კონსტრუქციებით. როგორც წესი, ამ ფრაქტალების აგებისას ასე ხდება: იღებენ „თესლს“ - აქსიომას - სეგმენტების ერთობლიობას, რომლის საფუძველზეც აშენდება ფრაქტალი. გარდა ამისა, ამ "თესლზე" გამოიყენება წესების ნაკრები, რომელიც მას რაღაც გეომეტრიულ ფიგურად გარდაქმნის. გარდა ამისა, წესების იგივე ნაკრები კვლავ გამოიყენება ამ ფიგურის თითოეულ ნაწილზე. ყოველი ნაბიჯის შემდეგ ფიგურა უფრო და უფრო რთული გახდება და თუ განვახორციელებთ (გონებით მაინც) უსასრულო რაოდენობის ტრანსფორმაციას, მივიღებთ გეომეტრიულ ფრაქტალს.

ამ კლასის ფრაქტალები ყველაზე ვიზუალურია, რადგან ისინი დაკვირვების ნებისმიერ მასშტაბში დაუყოვნებლივ ხილულია თვითმსგავსება. ორგანზომილებიან შემთხვევაში, ასეთი ფრაქტალების მიღება შესაძლებელია გატეხილი ხაზის მითითებით, რომელსაც გენერატორი ეწოდება. ალგორითმის ერთ საფეხურზე თითოეული სეგმენტი, რომელიც ქმნიან გაწყვეტილ ხაზს, იცვლება გატეხილი ხაზის გენერატორით, შესაბამისი მასშტაბით. ამ პროცედურის გაუთავებელი გამეორების შედეგად (უფრო ზუსტად, ლიმიტზე გადასვლისას) მიიღება ფრაქტალის მრუდი. მიღებული მრუდის აშკარა სირთულით, მისი ზოგადი ფორმა მოცემულია მხოლოდ გენერატორის ფორმით. ასეთი მოსახვევების მაგალითებია: კოხის მრუდი (ნახ.7), პეანოს მრუდი (ნახ.8), მინკოვსკის მრუდი.

მე-20 საუკუნის დასაწყისში მათემატიკოსები ეძებდნენ მოსახვევებს, რომლებსაც არ ჰქონდათ ტანგენსი არც ერთ წერტილში. ეს იმას ნიშნავდა, რომ მრუდმა მკვეთრად შეცვალა მიმართულება და, უფრო მეტიც, უაღრესად მაღალი სიჩქარით (წარმოებული უსასრულობის ტოლია). ამ მოსახვევების ძიება გამოწვეული იყო არა მხოლოდ მათემატიკოსების უსაქმური ინტერესით. ფაქტია, რომ მე-20 საუკუნის დასაწყისში კვანტური მექანიკა ძალიან სწრაფად განვითარდა. მკვლევარმა მ.ბრაუნმა დახატა წყალში შეჩერებული ნაწილაკების ტრაექტორია და ეს ფენომენი ასე ახსნა: შემთხვევით მოძრავი თხევადი ატომები ურტყამს შეჩერებულ ნაწილაკებს და ამით მათ მოძრაობაში აყენებს. ბრაუნის მოძრაობის ასეთი ახსნის შემდეგ, მეცნიერებს დავალება შეექმნათ მრუდის პოვნა, რომელიც საუკეთესოდ აჩვენებდა ბრაუნის ნაწილაკების მოძრაობას. ამისათვის მრუდი უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგ თვისებებს: არ ჰქონდეს ტანგენსი ნებისმიერ წერტილში. მათემატიკოსმა კოხმმა შემოგვთავაზა ერთი ასეთი მრუდი.

რომ კოხის მრუდი ტიპიური გეომეტრიული ფრაქტალია. მისი აგების პროცესი ასეთია: ვიღებთ ერთ სეგმენტს, ვყოფთ სამ თანაბარ ნაწილად და შუა ინტერვალს ვცვლით ტოლგვერდა სამკუთხედით ამ სეგმენტის გარეშე. შედეგად, იქმნება გატეხილი ხაზი, რომელიც შედგება 1/3 სიგრძის ოთხი ბმულისგან. შემდეგ ეტაპზე, ჩვენ ვიმეორებთ ოპერაციას ოთხივე მიღებული ბმულისთვის და ასე შემდეგ ...

ლიმიტის მრუდი არის კოხის მრუდი.

ფიფქია კოხი.ტოლგვერდა სამკუთხედის გვერდებზე მსგავსი ტრანსფორმაციის შესრულებით, შეგიძლიათ მიიღოთ კოხის ფიფქის ფრაქტალური გამოსახულება.

თ
გეომეტრიული ფრაქტალის კიდევ ერთი მარტივი წარმომადგენელია სიერპინსკის მოედანი.იგი აგებულია საკმაოდ მარტივად: კვადრატი მისი გვერდების პარალელურად სწორი ხაზებით იყოფა 9 თანაბარ კვადრატად. მოედნიდან ამოღებულია ცენტრალური მოედანი. გამოდის ნაკრები, რომელიც შედგება "პირველი რანგის" დარჩენილი 8 კვადრატისგან. იგივეს ვაკეთებთ პირველი რანგის თითოეულ კვადრატთან, ვიღებთ ნაკრები, რომელიც შედგება მეორე რანგის 64 კვადრატისგან. ამ პროცესის განუსაზღვრელად გაგრძელებით, ჩვენ ვიღებთ უსასრულო მიმდევრობას ან სიერპინსკის კვადრატს.

ალგებრული ფრაქტალები

ეს არის ფრაქტალების ყველაზე დიდი ჯგუფი. ალგებრულმა ფრაქტალებმა სახელი მიიღეს, რადგან ისინი აგებულია მარტივი ალგებრული ფორმულების გამოყენებით.

ისინი მიიღება არაწრფივი პროცესების გამოყენებით ნ- განზომილებიანი სივრცეები. ცნობილია, რომ არაწრფივი დინამიკური სისტემების რამდენიმე სტაბილური მდგომარეობაა. მდგომარეობა, რომელშიც დინამიური სისტემა იმყოფება გარკვეული რაოდენობის გამეორებების შემდეგ, დამოკიდებულია მის საწყის მდგომარეობაზე. ამრიგად, თითოეულ სტაბილურ მდგომარეობას (ან, როგორც ამბობენ, მიმზიდველს) აქვს საწყისი მდგომარეობის გარკვეული არეალი, საიდანაც სისტემა აუცილებლად მოხვდება განხილულ საბოლოო მდგომარეობებში. ამრიგად, სისტემის ფაზური სივრცე იყოფა მიზიდულობის სფეროებიმიმზიდველები. თუ ფაზის სივრცე ორგანზომილებიანია, მაშინ მიზიდულობის ზონების სხვადასხვა ფერებით შეღებვით, შეიძლება მივიღოთ ფერადი ფაზის პორტრეტიეს სისტემა (იტერატიული პროცესი). ფერის შერჩევის ალგორითმის შეცვლით, შეგიძლიათ მიიღოთ რთული ფრაქტალის ნიმუშები ლამაზი მრავალფეროვანი ნიმუშებით. მათემატიკოსებისთვის სიურპრიზი იყო ძალიან რთული სტრუქტურების გენერირების უნარი პრიმიტიული ალგორითმების გამოყენებით.

მაგალითად, განიხილეთ მანდელბროტის ნაკრები. იგი აგებულია რთული რიცხვების გამოყენებით.

მანდელბროტის ნაკრების საზღვრის ნაწილი, გადიდებული 200-ჯერ.

მანდელბროტის ნაკრები შეიცავს წერტილებს, რომლებიც დროსგაუთავებელი გამეორებების რაოდენობა არ მიდის უსასრულობამდე (წერტილები, რომლებიც შავია). ნაკრების საზღვრის კუთვნილი წერტილები(აქ წარმოიქმნება რთული სტრუქტურები) მიდის უსასრულობამდე სასრული რაოდენობის გამეორებით, ხოლო წერტილები, რომლებიც სიმრავლის გარეთ მდებარეობს, უსასრულობისკენ მიდის რამდენიმე გამეორების შემდეგ (თეთრი ფონი).

პ



სხვა ალგებრული ფრაქტალის მაგალითია ჯულიას ნაკრები. ამ ფრაქტალის 2 სახეობა არსებობს.გასაკვირია, რომ ჯულიას ნაკრები იქმნება იმავე ფორმულის მიხედვით, როგორც მანდელბროტის ნაკრები. ჯულიას ნაკრები გამოიგონა ფრანგმა მათემატიკოსმა გასტონ ჯულიამ, რომლის სახელიც ეწოდა კომპლექტს.

და
საინტერესო ფაქტიზოგიერთი ალგებრული ფრაქტალი საოცრად ჰგავს ცხოველების, მცენარეების და სხვა ბიოლოგიური ობიექტების გამოსახულებებს, რის შედეგადაც მათ ბიომორფებს უწოდებენ.

სტოქასტური ფრაქტალები

ფრაქტალების კიდევ ერთი ცნობილი კლასი არის სტოქასტური ფრაქტალები, რომლებიც მიიღება, თუ მისი რომელიმე პარამეტრი შემთხვევით იცვლება განმეორებით პროცესში. ამის შედეგად წარმოიქმნება ბუნებრივი ობიექტების ძალიან მსგავსი ობიექტები - ასიმეტრიული ხეები, ჩაღრმავებული სანაპირო ზოლები და ა.შ.

ფრაქტალების ამ ჯგუფის ტიპიური წარმომადგენელია „პლაზმა“.

დ
მის ასაგებად იღებენ მართკუთხედს და ადგენენ ფერს მისი თითოეული კუთხისთვის. შემდეგ, მართკუთხედის ცენტრალური წერტილი არის ნაპოვნი და მოხატული ფერით, რომელიც ტოლია მართკუთხედის კუთხეების ფერების საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობის, პლუს რამდენიმე შემთხვევითი რიცხვი. რაც უფრო დიდია შემთხვევითი რიცხვი, მით უფრო "დახეული" იქნება სურათი. თუ ჩავთვლით, რომ წერტილის ფერი არის სიმაღლე ზღვის დონიდან, პლაზმის ნაცვლად მივიღებთ მთიან ქედის. სწორედ ამ პრინციპით ხდება მთების მოდელირება უმეტეს პროგრამებში. პლაზმური ალგორითმის გამოყენებით აგებულია სიმაღლის რუკა, მასზე გამოიყენება სხვადასხვა ფილტრები, გამოიყენება ტექსტურა და მზად არის ფოტორეალისტური მთები.

ე
თუ ამ ფრაქტალს გადავხედავთ განყოფილებაში, მაშინ დავინახავთ, რომ ეს ფრაქტალი არის მოცულობითი და აქვს "უხეშობა", მხოლოდ ამ "უხეშობის" გამო არის ამ ფრაქტალის ძალიან მნიშვნელოვანი გამოყენება.

ვთქვათ, გსურთ აღწეროთ მთის ფორმა. ევკლიდეს გეომეტრიის ჩვეულებრივი ფიგურები აქ არ დაგვეხმარება, რადგან ისინი არ ითვალისწინებენ ზედაპირის ტოპოგრაფიას. მაგრამ ჩვეულებრივი გეომეტრიის ფრაქტალ გეომეტრიასთან შერწყმისას, შეგიძლიათ მიიღოთ მთის ძალიან "უხეში". ჩვეულებრივ კონუსზე უნდა წაისვათ პლაზმა და მივიღებთ მთის რელიეფს. ასეთი ოპერაციები შეიძლება შესრულდეს ბუნებაში ბევრ სხვა ობიექტთან, სტოქასტური ფრაქტალების წყალობით, თავად ბუნება შეიძლება აღწერილი იყოს.

ახლა მოდით ვისაუბროთ გეომეტრიულ ფრაქტალებზე.

.

თავი 3 "ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია"

რატომ მოიხსენიებენ გეომეტრიას, როგორც "ცივს" და "მშრალს"? ერთი მიზეზი არის მისი უუნარობა აღწეროს ღრუბლის, მთის, სანაპირო ხაზის ან ხის ფორმა. ღრუბლები არ არის სფეროები, მთები არ არის კონუსები, სანაპირო ხაზები არ არის წრეები, ხეები. ქერქი არ არის გლუვი, მაგრამ სირთულე სრულიად განსხვავებული დონისაა. ბუნებრივი ობიექტების სხვადასხვა სიგრძის მასშტაბების რაოდენობა ყველა პრაქტიკული მიზნისთვის უსასრულოა. ”

(ბენუამანდელბროტი "ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია" ).

რომ ფრაქტალების სილამაზე ორმხრივია: ის აღფრთოვანებს თვალს, რასაც მოწმობს ფრაქტალის გამოსახულების მსოფლიო გამოფენა, რომელიც მოაწყო ბრემენის მათემატიკოსთა ჯგუფის მიერ პეიტგენისა და რიხტერის ხელმძღვანელობით. მოგვიანებით, ამ გრანდიოზული გამოფენის ექსპონატები აღბეჭდილი იქნა იმავე ავტორების წიგნისთვის "ფრაქტალების სილამაზე" ილუსტრაციებში. მაგრამ არსებობს ფრაქტალების სილამაზის კიდევ ერთი, უფრო აბსტრაქტული ან ამაღლებული ასპექტი, რომელიც ღიაა, რ.ფეინმანის მიხედვით, მხოლოდ თეორეტიკოსის გონებრივი მზერისთვის, ამ თვალსაზრისით, ფრაქტალები ლამაზია რთული მათემატიკური ამოცანის სილამაზით. ბენუა მანდელბროტმა აღნიშნა თავის თანამედროვეებს (და, სავარაუდოდ, მის შთამომავლებს) ევკლიდეს ელემენტებში არსებული სამწუხარო უფსკრული, რომლის მიხედვითაც, გამოტოვების გარეშე, კაცობრიობა თითქმის ორი ათასწლეულის მანძილზე ესმოდა გარემომცველი სამყაროს გეომეტრიას და ისწავლა მათემატიკური სიმკაცრე. პრეზენტაცია. რა თქმა უნდა, ფრაქტალების სილამაზის ორივე ასპექტი ერთმანეთთან მჭიდრო კავშირშია და არ გამორიცხავს, ​​მაგრამ ორმხრივად ავსებს ერთმანეთს, თუმცა თითოეული მათგანი თვითკმარია.

ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია, მანდელბროტის მიხედვით, არის რეალური გეომეტრია, რომელიც აკმაყოფილებს ფ. კლეინის „ერლანგენის პროგრამაში“ შემოთავაზებულ გეომეტრიის განმარტებას. ფაქტია, რომ არაევკლიდური გეომეტრიის მოსვლამდე ნ.ი. ლობაჩევსკი - ლ. ბოლიაი, იყო მხოლოდ ერთი გეომეტრია - ის, რაც იყო დასახული "საწყისებში" და კითხვა, თუ რა არის გეომეტრია და რომელი გეომეტრია არის რეალური სამყაროს გეომეტრია, არ წარმოიშვა და არ შეიძლებოდა. წარმოიქმნება. მაგრამ სხვა გეომეტრიის მოსვლასთან ერთად გაჩნდა კითხვა, რა არის ზოგადად გეომეტრია და მრავალი გეომეტრიიდან რომელი შეესაბამება რეალურ სამყაროს. ფ. კლაინის მიხედვით, გეომეტრია სწავლობს ობიექტების ისეთ თვისებებს, რომლებიც გარდაქმნებისას უცვლელია: ევკლიდური - მოძრაობათა ჯგუფის ინვარიანტები (გარდაქმნები, რომლებიც არ ცვლის მანძილს რომელიმე ორ წერტილს შორის, ანუ წარმოადგენს პარალელური თარგმნებისა და ბრუნვის სუპერპოზიციას ან ორიენტაციის ცვლილების გარეშე), ლობაჩევსკი-ბოლიაის გეომეტრია - ლორენცის ჯგუფის ინვარიანტები. ფრაქტალური გეომეტრია ეხება თვითაფინურ გარდაქმნების ჯგუფის ინვარიანტების შესწავლას, ე.ი. ძალაუფლების კანონებით გამოხატული თვისებები.

რაც შეეხება რეალურ სამყაროსთან შესაბამისობას, ფრაქტალის გეომეტრია აღწერს ბუნებრივი პროცესებისა და ფენომენების ძალიან ფართო კლასს და ამიტომ, ბ. ახალ-ფრაქტალ ობიექტებს უჩვეულო თვისებები აქვთ. ზოგიერთი ფრაქტალის სიგრძე, ფართობი და მოცულობა ნულის ტოლია, ზოგი კი უსასრულობისკენ.

ბუნება ხშირად ქმნის საოცარ და ლამაზ ფრაქტალებს, სრულყოფილი გეომეტრიით და ისეთი ჰარმონიით, რომ უბრალოდ იყინები აღტაცებისგან. და აი მათი მაგალითები:

ზღვის ჭურვები

ელვამათი სილამაზით აღფრთოვანებული. ელვის შედეგად შექმნილი ფრაქტალები არ არის შემთხვევითი ან რეგულარული.

ფრაქტალის ფორმა ყვავილოვანი კომბოსტოს ქვესახეობა(Brassica cauliflora). ეს განსაკუთრებული სახეობა განსაკუთრებით სიმეტრიული ფრაქტალია.

პ გვიმრაასევე ფლორას შორის ფრაქტალის კარგი მაგალითია.

ფარშევანგიყველა ცნობილია თავისი ფერადი ბუმბულით, რომელშიც მყარი ფრაქტალები იმალება.

ყინული, ყინვის ნიმუშებიფანჯრებზე ესეც ფრაქტალებია

ო
t გადიდებული სურათი ფურცელი, ადრე ხის ტოტები- ყველაფერში შეგიძლიათ იპოვოთ ფრაქტალები

ფრაქტალები ყველგან და ყველგან არის ჩვენს გარშემო არსებულ ბუნებაში. მთელი სამყარო აგებულია საოცრად ჰარმონიული კანონების მიხედვით მათემატიკური სიზუსტით. შესაძლებელია თუ არა ამის შემდეგ ვიფიქროთ, რომ ჩვენი პლანეტა არის ნაწილაკების შემთხვევითი შეკვრა? ძლივს.

თავი 4

ფრაქტალები სულ უფრო მეტ გამოყენებას პოულობენ მეცნიერებაში. ამის მთავარი მიზეზი ის არის, რომ ისინი აღწერენ რეალურ სამყაროს ზოგჯერ უფრო კარგად ვიდრე ტრადიციული ფიზიკა ან მათემატიკა. Აი ზოგიერთი მაგალითი:

ო
ფრაქტალების ყველაზე ძლიერი გამოყენების დღეებია კომპიუტერული გრაფიკა. ეს არის სურათების ფრაქტალური შეკუმშვა. თანამედროვე ფიზიკა და მექანიკა ახლახან იწყებს ფრაქტალური ობიექტების ქცევის შესწავლას.

ფრაქტალური გამოსახულების შეკუმშვის ალგორითმების უპირატესობა არის შეფუთული ფაილის ძალიან მცირე ზომა და გამოსახულების აღდგენის მოკლე დრო. ფრაქტალურად შეფუთული სურათების მასშტაბირება შესაძლებელია პიქსელიზაციის გარეშე (გამოსახულების ცუდი ხარისხი - დიდი კვადრატები). მაგრამ შეკუმშვის პროცესს დიდი დრო სჭირდება და ზოგჯერ საათობით გრძელდება. დაკარგვის ფრაქტალის შეფუთვის ალგორითმი საშუალებას გაძლევთ დააყენოთ შეკუმშვის დონე, jpeg ფორმატის მსგავსი. ალგორითმი დაფუძნებულია გამოსახულების დიდი ნაწილების ძიებაზე, რომლებიც მსგავსია ზოგიერთი პატარა ნაწილის. და მხოლოდ რომელი ნაწილის მსგავსია ჩაწერილი გამომავალ ფაილში. შეკუმშვისას ჩვეულებრივ გამოიყენება კვადრატული ბადე (ნაჭრები არის კვადრატები), რაც იწვევს სურათის აღდგენისას მცირე კუთხით, ექვსკუთხა ბადე თავისუფალია ასეთი მინუსისგან.

Iterated-მა შეიმუშავა გამოსახულების ახალი ფორმატი, "Sting", რომელიც აერთიანებს ფრაქტალსა და "ტალღის" (როგორიცაა jpeg) უზარმაზარ შეკუმშვას. ახალი ფორმატი საშუალებას გაძლევთ შექმნათ სურათები შემდგომი მაღალი ხარისხის სკალირების შესაძლებლობით, ხოლო გრაფიკული ფაილების მოცულობა არის არაკომპრესირებული სურათების მოცულობის 15-20%.

მექანიკაში და ფიზიკაშიფრაქტალები გამოიყენება მრავალი ბუნებრივი ობიექტის კონტურის გამეორების უნიკალური თვისების გამო. ფრაქტალები საშუალებას გაძლევთ დააახლოოთ ხეები, მთის ზედაპირები და ნაპრალები უფრო მაღალი სიზუსტით, ვიდრე მიახლოებები ხაზის სეგმენტებით ან მრავალკუთხედებით (შენახული მონაცემების იგივე რაოდენობით). ფრაქტალურ მოდელებს, ისევე როგორც ბუნებრივ ობიექტებს, აქვთ „უხეშობა“ და ეს თვისება შენარჩუნებულია მოდელის თვითნებურად დიდი ზრდით. ფრაქტალებზე ერთიანი საზომის არსებობა შესაძლებელს ხდის ინტეგრაციის, პოტენციალის თეორიის გამოყენებას, მათი გამოყენება უკვე შესწავლილ განტოლებებში სტანდარტული ობიექტების ნაცვლად.

თ
ფრაქტალური გეომეტრია ასევე გამოიყენება ანტენის მოწყობილობების დიზაინი. ეს პირველად გამოიყენა ამერიკელმა ინჟინერმა ნათან კოენმა, რომელიც მაშინ ცხოვრობდა ბოსტონის ცენტრში, სადაც აკრძალული იყო შენობებზე გარე ანტენების დაყენება. კოენმა ამოჭრა კოხის მრუდის ფორმა ალუმინის ფოლგადან და შემდეგ ჩასვა ქაღალდზე, სანამ მიმღებზე მიამაგრებდა. აღმოჩნდა, რომ ასეთი ანტენა არ მუშაობს უარესად ვიდრე ჩვეულებრივი. და მიუხედავად იმისა, რომ ასეთი ანტენის ფიზიკური პრინციპები ჯერ არ არის შესწავლილი, ამან ხელი არ შეუშალა კოენს საკუთარი კომპანიის დაარსებისა და მათი სერიული წარმოების დამყარებაში. ამ დროისთვის ამერიკულმა კომპანია „ფრაქტალ ანტენის სისტემამ“ შეიმუშავა ახალი ტიპის ანტენა. ახლა თქვენ შეგიძლიათ შეწყვიტოთ ამობურცული გარე ანტენების გამოყენება მობილურ ტელეფონებში. ეგრეთ წოდებული ფრაქტალური ანტენა მდებარეობს უშუალოდ მოწყობილობის შიგნით მთავარ დაფაზე.

ასევე არსებობს მრავალი ჰიპოთეზა ფრაქტალების გამოყენების შესახებ - მაგალითად, ლიმფურ და სისხლის მიმოქცევის სისტემებს, ფილტვებს და ბევრ სხვას ასევე აქვთ ფრაქტალური თვისებები.

თავი 5. პრაქტიკული სამუშაო.

ჯერ ყურადღება გავამახვილოთ ფრაქტალებზე „ყელსაბამი“, „გამარჯვება“ და „კვადრატი“.

Პირველი - "ყელსაბამი"(ნახ. 7). წრე არის ამ ფრაქტალის ინიციატორი. ეს წრე შედგება ერთიდაიგივე წრეების გარკვეული რაოდენობისგან, მაგრამ უფრო მცირე ზომის, და ის თავისთავად არის ერთნაირი, მაგრამ უფრო დიდი ზომის რამდენიმე წრედან. ასე რომ, განათლების პროცესი დაუსრულებელია და ის შეიძლება განხორციელდეს როგორც ერთი მიმართულებით, ასევე საპირისპირო მიმართულებით. იმათ. ფიგურა შეიძლება გაიზარდოს მხოლოდ ერთი პატარა რკალის აღებით, ან შეიძლება შემცირდეს მისი კონსტრუქციის უფრო მცირე რკალებისგან გათვალისწინებით.

ბრინჯი. 7.

ფრაქტალი "ყელსაბამი"

მეორე ფრაქტალი არის "გამარჯვება"(ნახ. 8). მან ეს სახელი მიიღო, რადგან გარეგნულად წააგავს ლათინურ ასოს "V", ანუ "გამარჯვება" - გამარჯვება. ეს ფრაქტალი შედგება გარკვეული რაოდენობის მცირე "v"-სგან, რომლებიც ქმნიან ერთ დიდ "V"-ს, ხოლო მარცხენა ნახევარში, რომელშიც პატარები მოთავსებულია ისე, რომ მათი მარცხენა ნახევრები ერთ სწორ ხაზს ქმნიან, მარჯვენა ნაწილი აგებულია. იგივენაირად. თითოეული ეს „v“ აგებულია ერთნაირად და აგრძელებს ამას უსასრულობამდე.

სურ.8. ფრაქტალი "გამარჯვება"

მესამე ფრაქტალი არის "კვადრატი" (სურ. 9). მისი თითოეული გვერდი შედგება უჯრედების ერთი რიგისგან, კვადრატის ფორმის, რომლის გვერდებიც ასევე წარმოადგენს უჯრედების რიგებს და ა.შ.

სურ. 9. ფრაქტალი "კვადრატი"

ფრაქტალს ეწოდა "ვარდი" (სურ. 10), ამ ყვავილთან გარეგნული მსგავსების გამო. ფრაქტალის აგება დაკავშირებულია კონცენტრული წრეების სერიის აგებასთან, რომელთა რადიუსი იცვლება მოცემული თანაფარდობის პროპორციულად (ამ შემთხვევაში, Rm / R b = ¾ = 0,75.). ამის შემდეგ თითოეულ წრეში იწერება რეგულარული ექვსკუთხედი, რომლის გვერდი უდრის მის გარშემო აღწერილი წრის რადიუსს.

ბრინჯი. 11. ფრაქტალი "ვარდი *"

შემდეგი, ჩვენ მივმართავთ რეგულარულ ხუთკუთხედს, რომელშიც ვხატავთ მის დიაგონალებს. შემდეგ შესაბამისი სეგმენტების გადაკვეთაზე მიღებულ ხუთკუთხედში ისევ ვხატავთ დიაგონალებს. გავაგრძელოთ ეს პროცესი უსასრულობამდე და მივიღოთ „პენტაგრამის“ ფრაქტალი (სურ. 12).

შემოვიტანოთ კრეატიულობის ელემენტი და ჩვენი ფრაქტალი უფრო ვიზუალური ობიექტის სახეს მიიღებს (სურ. 13).

რ
არის. 12. ფრაქტალი „პენტაგრამა“.

ბრინჯი. 13. ფრაქტალი "პენტაგრამა *"

ბრინჯი. 14 ფრაქტალი "შავი ხვრელი"

ექსპერიმენტი No1 "ხე"

ახლა, როცა გავიგე რა არის ფრაქტალი და როგორ ავაშენო ის, შევეცადე შემექმნა ჩემი ფრაქტალის სურათები. Adobe Photoshop-ში შევქმენი პატარა სუბრუტინი ან მოქმედება, ამ მოქმედების თავისებურება ის არის, რომ ის იმეორებს ჩემს მოქმედებებს და ასე ვიღებ ფრაქტალს.

დასაწყისისთვის მე შევქმენი ფონი ჩვენი მომავალი ფრაქტალისთვის 600 600 გარჩევადობით. შემდეგ ამ ფონზე დავხატე 3 ხაზი - ჩვენი მომავალი ფრაქტალის საფუძველი.

თანშემდეგი ნაბიჯი არის სცენარის დაწერა.

დუბლიკატი ფენა ( ფენა > დუბლიკატი) და შეცვალეთ ნაზავის ტიპი " ეკრანი" .

მოდით დავუძახოთ მას" fr1". ამ ფენის დუბლიკატი (" fr1") კიდევ 2-ჯერ.

ახლა ჩვენ უნდა გადავიდეთ ბოლო ფენაზე (fr3) და ორჯერ შეაერთეთ წინასთან ( ctrl+e). ფენის სიკაშკაშის შემცირება ( სურათი > კორექტირება > სიკაშკაშე/კონტრასტი , სიკაშკაშის კომპლექტი 50% ). კვლავ შეაერთეთ წინა ფენა და შეწყვიტეთ მთელი ნახატის კიდეები უხილავი ნაწილების მოსაშორებლად.

როგორც საბოლოო ნაბიჯი, მე დავაკოპირე ეს სურათი და ჩასვით იგი შემცირებული და დავატრიალე. აქ არის საბოლოო შედეგი.

დასკვნა

ეს ნამუშევარი არის შესავალი ფრაქტალების სამყაროში. ჩვენ განვიხილეთ მხოლოდ უმცირესი ნაწილი იმისა, თუ რა არის ფრაქტალები, რა პრინციპების საფუძველზეა აგებული.

ფრაქტალური გრაფიკა არ არის მხოლოდ თვითგანმეორებადი სურათების ნაკრები, ეს არის ნებისმიერი არსების სტრუქტურისა და პრინციპის მოდელი. მთელი ჩვენი ცხოვრება წარმოდგენილია ფრაქტალებით. მათგან შედგება მთელი ბუნება ჩვენს ირგვლივ. უნდა აღინიშნოს, რომ ფრაქტალები ფართოდ გამოიყენება კომპიუტერულ თამაშებში, სადაც რელიეფი ხშირად წარმოადგენს ფრაქტალ გამოსახულებებს, რომლებიც დაფუძნებულია რთული კომპლექტების სამგანზომილებიან მოდელებზე. ფრაქტალები დიდად უწყობს ხელს კომპიუტერული გრაფიკის დახატვას, ფრაქტალების დახმარებით იქმნება მრავალი სპეცეფექტი, სხვადასხვა ზღაპრული და წარმოუდგენელი ნახატები და ა.შ. ასევე, ფრაქტალის გეომეტრიის დახმარებით იხატება ხეები, ღრუბლები, სანაპიროები და ყველა სხვა ბუნება. ფრაქტალური გრაფიკა ყველგან საჭიროა და „ფრაქტალური ტექნოლოგიების“ განვითარება დღეს ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ამოცანაა.

სამომავლოდ ვგეგმავ ვისწავლო ალგებრული ფრაქტალების აგება, როდესაც უფრო დეტალურად შევისწავლი კომპლექსურ რიცხვებს. ასევე მინდა ვცადო ავაშენო ჩემი საკუთარი ფრაქტალური სურათი პასკალის პროგრამირების ენაზე ციკლების გამოყენებით.

გასათვალისწინებელია ფრაქტალების გამოყენება კომპიუტერულ ტექნოლოგიაში, გარდა იმისა, რომ კომპიუტერის ეკრანზე უბრალოდ ლამაზი სურათების აგება ხდება. კომპიუტერულ ტექნოლოგიაში ფრაქტალები გამოიყენება შემდეგ სფეროებში:

1. შეკუმშოს სურათები და ინფორმაცია

2. ინფორმაციის დამალვა სურათში, ხმაში, ...

3. მონაცემთა დაშიფვრა ფრაქტალის ალგორითმების გამოყენებით

4. ფრაქტალი მუსიკის შექმნა

5. სისტემის მოდელირება

ჩვენს ნაშრომში არ არის მოცემული ადამიანის ცოდნის ყველა სფერო, სადაც ფრაქტალების თეორიამ იპოვა თავისი გამოყენება. მხოლოდ იმის თქმა გვინდა, რომ თეორიის გაჩენის შემდეგ საუკუნის მესამედზე მეტი არ გასულა, მაგრამ ამ დროის განმავლობაში ბევრი მკვლევარისთვის ფრაქტალები ღამის უეცრად კაშკაშა შუქად იქცა, რომელიც აქამდე უცნობ ფაქტებსა და ნიმუშებს კონკრეტულად ანათებდა. მონაცემთა ზონები. ფრაქტალების თეორიის დახმარებით მათ დაიწყეს გალაქტიკების ევოლუციის ახსნა და უჯრედის განვითარება, მთების გაჩენა და ღრუბლების წარმოქმნა, ბირჟაზე ფასების მოძრაობა და საზოგადოებისა და ოჯახის განვითარება. . შესაძლოა, თავიდან ფრაქტალებისადმი ეს გატაცება ძალიან მშფოთვარე იყო და ფრაქტალების თეორიის გამოყენებით ყველაფრის ახსნის მცდელობები გაუმართლებელი იყო. მაგრამ, ეჭვგარეშეა, ამ თეორიას აქვს არსებობის უფლება და ჩვენ ვწუხვართ, რომ ბოლო დროს ის რატომღაც დავიწყებას მიეცა და დარჩა ელიტის წიაღში. ამ ნაშრომის მომზადებისას ჩვენთვის ძალიან საინტერესო იყო თეორიის აპლიკაციების პოვნა პრაქტიკაში. რადგან ძალიან ხშირად ჩნდება განცდა, რომ თეორიული ცოდნა განცალკევებულია ცხოვრებისეული რეალობისგან.

ამრიგად, ფრაქტალების კონცეფცია ხდება არა მხოლოდ "სუფთა" მეცნიერების ნაწილი, არამედ ადამიანის კულტურის ელემენტი. ფრაქტალის მეცნიერება ჯერ კიდევ ძალიან ახალგაზრდაა და წინ დიდი მომავალი აქვს. ფრაქტალების სილამაზე შორს არის ამოწურვისაგან და მაინც მოგვცემს ბევრ შედევრს - ისეთს, რომელიც აღფრთოვანებს თვალს და ისეთებს, რომლებიც ჭეშმარიტ სიამოვნებას მოაქვს გონებაში.

10. ლიტერატურა

ბოჟოკინი ს.ვ., პარშინი დ.ა. ფრაქტალები და მულტიფრაქტალები. RHD 2001 წ .

Vitolin D. ფრაქტალების გამოყენება კომპიუტერულ გრაფიკაში. // Computerworld-Russia.-1995 წ

Mandelbrot B. Self-affine ფრაქტალების კომპლექტები, "ფრაქტალები ფიზიკაში". მ.: მირი 1988 წ

მანდელბროტი ბ. ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია. - მ.: „კომპიუტერული კვლევების ინსტიტუტი“, 2002 წ.

მოროზოვი ა.დ. ფრაქტალების თეორიის შესავალი. ნიჟნი ნოვგოროდი: ნიჟეგოროდის გამომცემლობა. უნივერსიტეტი 1999 წ

Paytgen H.-O., Richter P. H. ფრაქტალების სილამაზე. - მ.: "მირ", 1993 წ.

ინტერნეტ რესურსები

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html