დავიწყოთ იმით ერთიანობის ლოგარითმის თვისებები. მისი ფორმულირება ასეთია: ერთიანობის ლოგარითმი ნულის ტოლია, ანუ შესვლა a 1=0ნებისმიერი a>0, a≠1. მტკიცებულება მარტივია: ვინაიდან a 0 =1 ნებისმიერი a-სთვის, რომელიც აკმაყოფილებს ზემოაღნიშნულ პირობებს a>0 და a≠1, მაშინ დადასტურებული ტოლობის ჟურნალი a 1=0 დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს ლოგარითმის განმარტებიდან.
მოვიყვანოთ განხილული თვისების გამოყენების მაგალითები: log 3 1=0 , lg1=0 და .
გადავიდეთ შემდეგ ქონებაზე: ფუძის ტოლი რიცხვის ლოგარითმი ერთის ტოლია, ე.ი. შესვლა a=1 a>0, a≠1-ისთვის. მართლაც, ვინაიდან a 1 =a ნებისმიერი a-სთვის, მაშინ ლოგარითმის განმარტებით log a=1.
ლოგარითმების ამ თვისების გამოყენების მაგალითებია log 5 5=1 , log 5.6 5.6 და lne=1 .
მაგალითად, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 და 
.
ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლის ლოგარითმი x და y ტოლია ამ რიცხვების ლოგარითმების ნამრავლის: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . მოდით დავამტკიცოთ პროდუქტის ლოგარითმის თვისება. ხარისხის თვისებებიდან გამომდინარე a log a x+log a y =a log a x a log a yდა რადგან მთავარი ლოგარითმული იდენტობით log a x =x და log a y =y, მაშინ log a x a log a y =x y. ამრიგად, log a x+log a y =x y, საიდანაც საჭირო ტოლობა მოჰყვება ლოგარითმის განმარტებას.
ვაჩვენოთ ნამრავლის ლოგარითმის თვისების გამოყენების მაგალითები: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 და 
.
ნამრავლის ლოგარითმის თვისება შეიძლება განზოგადდეს x 1 , x 2 , ..., x n დადებითი რიცხვების სასრული რიცხვის n ნამრავლზე, როგორც log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . ეს თანასწორობა ადვილად დასტურდება.
მაგალითად, პროდუქტის ბუნებრივი ლოგარითმი შეიძლება შეიცვალოს 4, e და ნომრების სამი ბუნებრივი ლოგარითმის ჯამით.
ორი დადებითი რიცხვის კოეფიციენტის ლოგარითმი x და y უდრის სხვაობას ამ რიცხვების ლოგარითმებს შორის. კოეფიციენტის ლოგარითმის თვისება შეესაბამება ფორმის ფორმულას, სადაც a>0, a≠1, x და y არის რამდენიმე დადებითი რიცხვი. ამ ფორმულის მართებულობა დადასტურებულია, როგორც პროდუქტის ლოგარითმის ფორმულა: ვინაიდან 
, შემდეგ ლოგარითმის განმარტებით .
აქ მოცემულია ლოგარითმის ამ თვისების გამოყენების მაგალითი: 
.
მოდით გადავიდეთ ხარისხის ლოგარითმის თვისება. გრადუსის ლოგარითმი ტოლია ამ ხარისხის მაჩვენებლისა და ამ ხარისხის ფუძის მოდულის ნამრავლის. ჩვენ ვწერთ ხარისხის ლოგარითმის ამ თვისებას ფორმულის სახით: log a b p =p log a |b|, სადაც a>0, a≠1, b და p ისეთი რიცხვებია, რომ b p-ის ხარისხი აქვს აზრი და b p >0.
ჩვენ ჯერ ვამტკიცებთ ამ თვისებას დადებითი b-ისთვის. ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა გვაძლევს საშუალებას გამოვსახოთ რიცხვი b, როგორც log a b , შემდეგ b p =(a log a b) p , და მიღებული გამოხატულება, ძალაუფლების თვისების გამო, უდრის p log a b . ასე რომ, მივდივართ ტოლობამდე b p =a p log a b , საიდანაც ლოგარითმის განმარტებით ვასკვნით, რომ log a b p =p log a b .
რჩება ამ თვისების დამტკიცება უარყოფითი b-ისთვის. აქვე აღვნიშნავთ, რომ გამოთქმა log a b p უარყოფითი b-ისთვის აზრი აქვს მხოლოდ p ლუწი მაჩვენებლებს (რადგან b ხარისხის b p მნიშვნელობა უნდა იყოს ნულზე მეტი, წინააღმდეგ შემთხვევაში ლოგარითმი აზრი არ ექნება) და ამ შემთხვევაში b p =|b| გვ . მერე b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, საიდანაც log a b p =p log a |b| .
Მაგალითად, 
და ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3.
ეს გამომდინარეობს წინა საკუთრებიდან ლოგარითმის თვისება ფესვიდან: n-ე ხარისხის ფესვის ლოგარითმი ტოლია წილადის 1/n ნამრავლისა და ძირეული გამოხატვის ლოგარითმის, ანუ, 
, სადაც a>0 , a≠1 , n არის ერთზე მეტი ნატურალური რიცხვი, b>0 .
მტკიცებულება ემყარება ტოლობას (იხ.), რომელიც მოქმედებს ნებისმიერი დადებითი b , და ხარისხის ლოგარითმის თვისებაზე: 
.
აქ მოცემულია ამ ქონების გამოყენების მაგალითი: 
.
ახლა დავამტკიცოთ კონვერტაციის ფორმულა ლოგარითმის ახალ ბაზაზეკეთილი 
. ამისათვის საკმარისია დავამტკიცოთ ტოლობის log c b=log a b log c a . ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა გვაძლევს საშუალებას გამოვსახოთ რიცხვი b როგორც log a b , შემდეგ log c b=log c a log a b . რჩება ხარისხის ლოგარითმის თვისების გამოყენება: log c a log a b = log a b log c a. ამრიგად, დადასტურებულია ტოლობის log c b=log a b log c a, რაც ნიშნავს, რომ ასევე დადასტურებულია ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა.
მოდით ვაჩვენოთ ლოგარითმების ამ თვისების გამოყენების რამდენიმე მაგალითი: და 
.
ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ ლოგარითმებთან მუშაობაზე, რომლებსაც აქვთ "მოხერხებული" ბაზა. მაგალითად, ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ბუნებრივ ან ათობითი ლოგარითმებზე გადასართავად, რათა გამოთვალოთ ლოგარითმის მნიშვნელობა ლოგარითმების ცხრილიდან. ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა ასევე საშუალებას იძლევა ზოგიერთ შემთხვევაში იპოვოთ მოცემული ლოგარითმის მნიშვნელობა, როდესაც ცნობილია ზოგიერთი ლოგარითმის მნიშვნელობები სხვა ბაზებთან.
ხშირად გამოიყენება ფორმულის სპეციალური შემთხვევა ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლისთვის ფორმის c=b 
. ეს აჩვენებს, რომ log a b და log b a – . Მაგალითად, 
.
ასევე ხშირად გამოიყენება ფორმულა 
, რომელიც სასარგებლოა ლოგარითმის მნიშვნელობების მოსაძებნად. ჩვენი სიტყვების დასადასტურებლად, ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ გამოითვლება ფორმის ლოგარითმის მნიშვნელობა მისი გამოყენებით. Ჩვენ გვაქვს 
. ფორმულის დასამტკიცებლად 
საკმარისია გამოვიყენოთ გადასვლის ფორმულა ლოგარითმის ახალ ბაზაზე a: 
.
რჩება ლოგარითმების შედარების თვისებების დამტკიცება.
დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის b 1 და b 2 , b 1 log a b 2, ხოლო a>1-სთვის, უტოლობა log a b 1 და ბოლოს, რჩება ლოგარითმების ჩამოთვლილი თვისებებიდან ბოლო დასამტკიცებლად. ჩვენ შემოვიფარგლებით მისი პირველი ნაწილის დამტკიცებით, ანუ ვამტკიცებთ, რომ თუ a 1 >1 , a 2 >1 და a 1 1 მართალია log a 1 b>log a 2 b . ლოგარითმების ამ თვისების დარჩენილი დებულებები დასტურდება მსგავსი პრინციპით. გამოვიყენოთ საპირისპირო მეთოდი. დავუშვათ, რომ 1 >1, 2 >1 და 1-ისთვის 1 log a 1 b≤log a 2 b მართალია. ლოგარითმების თვისებების მიხედვით, ეს უტოლობები შეიძლება გადაიწეროს როგორც 
და 
შესაბამისად, და მათგან გამომდინარეობს, რომ log b a 1 ≤log b a 2 და log b a 1 ≥log b a 2, შესაბამისად. შემდეგ, იგივე ფუძეების მქონე ხარისხების თვისებების მიხედვით, ტოლობები b log b a 1 ≥b log b a 2 და b log b a 1 ≥b log b a 2 უნდა დაკმაყოფილდეს, ანუ a 1 ≥a 2 . ამრიგად, ჩვენ მივედით წინააღმდეგობაში a 1 პირობასთან
ბიბლიოგრაფია.
- კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის.
- გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის).
საზოგადოების განვითარებასთან, წარმოების სირთულესთან ერთად განვითარდა მათემატიკაც. მოძრაობა მარტივიდან რთულამდე. შეკრებისა და გამოკლების ჩვეულებრივი აღრიცხვის მეთოდიდან, მათი განმეორებითი გამეორებით, ისინი მივიდნენ გამრავლებისა და გაყოფის ცნებამდე. გამრავლების განმეორებითი მოქმედების შემცირება გახდა ექსპონენტაციის კონცეფცია. რიცხვების დამოკიდებულების პირველი ცხრილები ფუძეზე და გაძლიერების რიცხვზე შეადგინა ჯერ კიდევ VIII საუკუნეში ინდოელმა მათემატიკოსმა ვარასენამ. მათგან შეგიძლიათ დაითვალოთ ლოგარითმების გაჩენის დრო.
ისტორიული მონახაზი
მე-16 საუკუნეში ევროპის აღორძინებამ ასევე ხელი შეუწყო მექანიკის განვითარებას. თ მოითხოვდა დიდი რაოდენობის გამოთვლასმრავალნიშნა რიცხვების გამრავლებასა და გაყოფასთან დაკავშირებული. ძველმა სუფრებმა დიდი სამსახური გასწიეს. მათ შესაძლებელი გახადეს რთული ოპერაციების ჩანაცვლება უფრო მარტივი - შეკრება და გამოკლება. დიდი წინგადადგმული ნაბიჯი იყო მათემატიკოს მაიკლ შტიფელის ნაშრომი, რომელიც გამოქვეყნდა 1544 წელს, რომელშიც მან გააცნობიერა მრავალი მათემატიკოსის იდეა. ამან შესაძლებელი გახადა ცხრილების გამოყენება არა მხოლოდ გრადუსებისთვის მარტივი რიცხვების სახით, არამედ თვითნებური რაციონალურიც.
1614 წელს შოტლანდიელმა ჯონ ნაპიერმა, ამ იდეების შემუშავებით, პირველად შემოიტანა ახალი ტერმინი „რიცხვის ლოგარითმი“. შედგენილია ახალი რთული ცხრილები სინუსების და კოსინუსების ლოგარითმების, ასევე ტანგენტების გამოსათვლელად. ამან მნიშვნელოვნად შეამცირა ასტრონომების მუშაობა.
დაიწყო ახალი ცხრილების გამოჩენა, რომლებსაც წარმატებით იყენებდნენ მეცნიერები სამი საუკუნის განმავლობაში. ბევრი დრო გავიდა, სანამ ალგებრაში ახალმა ოპერაციამ დასრულებული ფორმა შეიძინა. განისაზღვრა ლოგარითმი და შეისწავლა მისი თვისებები.
მხოლოდ მე-20 საუკუნეში, კალკულატორისა და კომპიუტერის მოსვლასთან ერთად, კაცობრიობამ მიატოვა უძველესი ცხრილები, რომლებიც წარმატებით მოქმედებდნენ მე-13 საუკუნეში.
დღეს b-ის ლოგარითმს ვუწოდებთ a-ს რიცხვს x, რომელიც არის a-ს სიმძლავრე, რომ მივიღოთ b რიცხვი. ეს იწერება ფორმულის სახით: x = log a(b).
მაგალითად, log 3(9) იქნება 2-ის ტოლი. ეს აშკარაა, თუ დაიცავთ განმარტებას. თუ 3-ს ავწევთ 2-ის ხარისხზე, მივიღებთ 9-ს.
ამრიგად, ჩამოყალიბებული განმარტება აყენებს მხოლოდ ერთ შეზღუდვას, რიცხვები a და b უნდა იყოს რეალური.
ლოგარითმების ჯიშები
კლასიკურ განმარტებას ეწოდება რეალური ლოგარითმი და რეალურად არის ამონახსნი a x = b განტოლებისა. ვარიანტი a = 1 არის მოსაზღვრე და არ არის საინტერესო. შენიშვნა: 1 ნებისმიერი სიმძლავრის მიმართ არის 1.
ლოგარითმის რეალური მნიშვნელობაგანისაზღვრება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ფუძე და არგუმენტი მეტია 0-ზე და ფუძე არ უნდა იყოს 1-ის ტოლი.
განსაკუთრებული ადგილი მათემატიკის დარგშიითამაშეთ ლოგარითმები, რომლებიც დასახელდება მათი ბაზის მნიშვნელობიდან გამომდინარე:
წესები და შეზღუდვები
ლოგარითმების ფუნდამენტური თვისებაა წესი: ნამრავლის ლოგარითმი ტოლია ლოგარითმული ჯამის. log abp = log a(b) + log a(p).
როგორც ამ განცხადების ვარიანტი, ეს იქნება: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), კოეფიციენტის ფუნქცია უდრის ფუნქციების სხვაობას.
წინა ორი წესიდან ადვილი შესამჩნევია, რომ: log a(b p) = p * log a(b).
სხვა თვისებები მოიცავს:
კომენტარი. არ დაუშვათ საერთო შეცდომა - ჯამის ლოგარითმი არ არის ლოგარითმების ჯამის ტოლი.
მრავალი საუკუნის განმავლობაში, ლოგარითმის პოვნის ოპერაცია საკმაოდ შრომატევადი ამოცანა იყო. მათემატიკოსებმა გამოიყენეს პოლინომად გაფართოების ლოგარითმული თეორიის ცნობილი ფორმულა:
ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), სადაც n არის 1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვი, რომელიც განსაზღვრავს გამოთვლის სიზუსტეს.
სხვა საფუძვლებით ლოგარითმები გამოითვალეს ერთი ფუძიდან მეორეზე გადასვლის თეორემისა და პროდუქტის ლოგარითმის თვისების გამოყენებით.
ვინაიდან ეს მეთოდი ძალიან შრომატევადი და პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისასრთული განსახორციელებელი, ისინი იყენებდნენ ლოგარითმების წინასწარ შედგენილ ცხრილებს, რამაც მნიშვნელოვნად დააჩქარა მთელი სამუშაო.
ზოგიერთ შემთხვევაში გამოიყენებოდა ლოგარითმების სპეციალურად შედგენილი გრაფიკები, რომლებიც ნაკლებ სიზუსტეს აძლევდნენ, მაგრამ საგრძნობლად აჩქარებდნენ სასურველი მნიშვნელობის ძიებას. ფუნქციის y = log a(x) მრუდი, რომელიც აგებულია რამდენიმე წერტილზე, საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ ჩვეულებრივი მმართველი, იპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობები ნებისმიერ სხვა წერტილში. დიდი ხნის განმავლობაში ინჟინრები ამ მიზნებისთვის იყენებდნენ ე.წ.
მე-17 საუკუნეში გაჩნდა პირველი დამხმარე ანალოგური გამოთვლითი პირობები, რომლებმაც მე-19 საუკუნისთვის მზა ფორმა შეიძინეს. ყველაზე წარმატებულ მოწყობილობას ეწოდა სლაიდის წესი. მოწყობილობის სიმარტივის მიუხედავად, მისმა გარეგნობამ საგრძნობლად დააჩქარა ყველა საინჟინრო გამოთვლების პროცესი და ამის გადაჭარბება ძნელია. ამჟამად, ცოტა ადამიანი იცნობს ამ მოწყობილობას.
კალკულატორებისა და კომპიუტერების გამოჩენამ უაზრო გახადა სხვა მოწყობილობების გამოყენება.
განტოლებები და უტოლობა
შემდეგი ფორმულები გამოიყენება ლოგარითმების გამოყენებით სხვადასხვა განტოლებისა და უტოლობების ამოსახსნელად:
- ერთი ბაზიდან მეორეზე გადასვლა: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- წინა ვერსიის შედეგად: log a(b) = 1 / log b(a).
უტოლობების გადასაჭრელად სასარგებლოა ვიცოდეთ:
- ლოგარითმის მნიშვნელობა მხოლოდ დადებითი იქნება, თუ ბაზაც და არგუმენტიც ერთზე მეტი ან ნაკლებია; თუ ერთი პირობა მაინც დაირღვა, ლოგარითმის მნიშვნელობა უარყოფითი იქნება.
- თუ ლოგარითმის ფუნქცია გამოყენებულია უტოლობის მარჯვენა და მარცხენა მხარეს, ხოლო ლოგარითმის ფუძე ერთზე მეტია, მაშინ უტოლობის ნიშანი შენარჩუნებულია; წინააღმდეგ შემთხვევაში, ის იცვლება.
დავალების მაგალითები
განვიხილოთ ლოგარითმების და მათი თვისებების გამოყენების რამდენიმე ვარიანტი. მაგალითები განტოლებების ამოხსნით:
განვიხილოთ ლოგარითმის ხარისხში განთავსების ვარიანტი:
- დავალება 3. გამოთვალეთ 25^log 5(3). ამოხსნა: პრობლემის პირობებში აღნიშვნა მსგავსია (5^2)^log5(3) ან 5^(2 * log 5(3)). მოდით სხვანაირად ჩავწეროთ: 5^log 5(3*2), ან რიცხვის კვადრატი, როგორც ფუნქციის არგუმენტი, შეიძლება დაიწეროს როგორც თავად ფუნქციის კვადრატი (5^log 5(3))^2. ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით, ეს გამოხატულება არის 3^2. პასუხი: გაანგარიშების შედეგად ვიღებთ 9-ს.
პრაქტიკული გამოყენება
როგორც წმინდა მათემატიკური ინსტრუმენტი, როგორც ჩანს, შორს არის რეალური ცხოვრებისგან, რომ ლოგარითმა მოულოდნელად მოიპოვა დიდი მნიშვნელობა რეალურ სამყაროში ობიექტების აღწერისას. ძნელია იპოვოთ მეცნიერება, სადაც ის არ გამოიყენება. ეს სრულად ეხება არა მხოლოდ ბუნებრივ, არამედ ჰუმანიტარულ ცოდნის სფეროებსაც.
ლოგარითმული დამოკიდებულებები
აქ მოცემულია რიცხვითი დამოკიდებულების რამდენიმე მაგალითი:
მექანიკა და ფიზიკა
ისტორიულად, მექანიკა და ფიზიკა ყოველთვის ვითარდებოდა მათემატიკური კვლევის მეთოდების გამოყენებით და ამავე დროს ემსახურებოდა მათემატიკის, ლოგარითმების ჩათვლით, განვითარების სტიმულს. ფიზიკის კანონების უმეტესობის თეორია დაწერილია მათემატიკის ენაზე. ჩვენ ვაძლევთ მხოლოდ ორ მაგალითს ფიზიკური კანონების აღწერის ლოგარითმის გამოყენებით.
შესაძლებელია ისეთი რთული სიდიდის გამოთვლის პრობლემის გადაჭრა, როგორიც არის რაკეტის სიჩქარე ციოლკოვსკის ფორმულის გამოყენებით, რომელმაც საფუძველი ჩაუყარა კოსმოსის კვლევის თეორიას:
V = I * ln(M1/M2), სადაც
- V არის თვითმფრინავის საბოლოო სიჩქარე.
- მე ვარ ძრავის სპეციფიკური იმპულსი.
- M 1 არის რაკეტის საწყისი მასა.
- M 2 - საბოლოო მასა.
კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი მაგალითი- ეს არის სხვა დიდი მეცნიერის, მაქს პლანკის ფორმულის გამოყენება, რომელიც ემსახურება თერმოდინამიკაში წონასწორობის მდგომარეობის შეფასებას.
S = k * ln (Ω), სადაც
- S არის თერმოდინამიკური თვისება.
- k არის ბოლცმანის მუდმივი.
- Ω არის სხვადასხვა მდგომარეობის სტატისტიკური წონა.
Ქიმია
ნაკლებად აშკარა იქნება ფორმულების გამოყენება ქიმიაში, რომლებიც შეიცავს ლოგარითმების თანაფარდობას. აქ არის მხოლოდ ორი მაგალითი:
- ნერნსტის განტოლება, გარემოს რედოქსული პოტენციალის მდგომარეობა ნივთიერებების აქტივობასთან და წონასწორობის მუდმივთან მიმართებაში.
- ისეთი მუდმივების გამოთვლა, როგორიცაა ავტოპროლიზის ინდექსი და ხსნარის მჟავიანობა, ასევე არ არის სრულყოფილი ჩვენი ფუნქციის გარეშე.
ფსიქოლოგია და ბიოლოგია
და სრულიად გაუგებარია, რა შუაშია ფსიქოლოგია. გამოდის, რომ შეგრძნების სიძლიერე კარგად არის აღწერილი ამ ფუნქციით, როგორც სტიმულის ინტენსივობის მნიშვნელობის შებრუნებული თანაფარდობა ქვედა ინტენსივობის მნიშვნელობასთან.
ზემოაღნიშნული მაგალითების შემდეგ, გასაკვირი აღარ არის, რომ ლოგარითმების თემა ბიოლოგიაშიც ფართოდ გამოიყენება. მთელი ტომები შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმული სპირალების შესაბამისი ბიოლოგიური ფორმების შესახებ.
სხვა სფეროები
როგორც ჩანს, სამყაროს არსებობა შეუძლებელია ამ ფუნქციასთან კავშირის გარეშე და ის მართავს ყველა კანონს. განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც ბუნების კანონები დაკავშირებულია გეომეტრიულ პროგრესირებასთან. ღირს MatProfi ვებსაიტის მითითება და ასეთი მაგალითები ბევრია საქმიანობის შემდეგ სფეროებში:
სია შეიძლება იყოს უსასრულო. ამ ფუნქციის ძირითადი კანონების დაუფლების შემდეგ, შეგიძლიათ ჩაძიროთ უსასრულო სიბრძნის სამყაროში.
რა არის ლოგარითმი?
ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")
რა არის ლოგარითმი? როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები? ეს კითხვები ბევრ კურსდამთავრებულს აბნევს. ტრადიციულად, ლოგარითმების თემა განიხილება რთული, გაუგებარი და საშინელი. განსაკუთრებით - განტოლებები ლოგარითმებით.
ეს აბსოლუტურად არ შეესაბამება სიმართლეს. აბსოლუტურად! არ გჯერა? კარგი. ახლა, დაახლოებით 10-20 წუთის განმავლობაში თქვენ:
1. გაიგე რა არის ლოგარითმი.
2. ისწავლეთ ექსპონენციალური განტოლებების მთელი კლასის ამოხსნა. მაშინაც კი, თუ მათ შესახებ არ გსმენიათ.
3. ისწავლეთ მარტივი ლოგარითმების გამოთვლა.
უფრო მეტიც, ამისათვის თქვენ მხოლოდ უნდა იცოდეთ გამრავლების ცხრილი და როგორ ხდება რიცხვი ხარისხამდე ...
ვგრძნობ, რომ ეჭვი გეპარებათ... აბა, დაიცავით დრო! წადი!
ჯერ გონებაში ამოხსენით შემდეგი განტოლება:
თუ მოგწონთ ეს საიტი...
სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)
შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)
შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.
მიმართებაში
შეიძლება დაისვას დავალება, რომ იპოვოთ სამი რიცხვიდან რომელიმე დანარჩენი ორიდან. მოცემული a და შემდეგ N მოიძებნება სიძლიერით. თუ მოცემულია N და შემდეგ a იპოვება x სიმძლავრის ფესვის ამოღებით (ან სიმძლავრე). ახლა განიხილეთ შემთხვევა, როდესაც a-ს და N-ის მიცემით, საჭიროა x-ის პოვნა.
რიცხვი N იყოს დადებითი: რიცხვი a დადებითია და არა ერთის ტოლი: .
განმარტება. N რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე არის ის მაჩვენებელი, რომელზეც უნდა აწიოთ a, რომ მიიღოთ N რიცხვი; ლოგარითმი აღინიშნება
ამრიგად, ტოლობაში (26.1) მაჩვენებლები გვხვდება, როგორც N-ის ლოგარითმი a ფუძეზე. ჩანაწერები
აქვთ იგივე მნიშვნელობა. ტოლობას (26.1) ზოგჯერ უწოდებენ ლოგარითმების თეორიის ძირითად იდენტურობას; ფაქტობრივად, იგი გამოხატავს ლოგარითმის ცნების განმარტებას. ამ განმარტებით, a ლოგარითმის საფუძველი ყოველთვის დადებითია და განსხვავდება ერთიანობისგან; ლოგარითმული რიცხვი N დადებითია. უარყოფით რიცხვებსა და ნულს არ აქვთ ლოგარითმები. შეიძლება დადასტურდეს, რომ მოცემული ფუძის მქონე ნებისმიერ რიცხვს აქვს კარგად განსაზღვრული ლოგარითმი. ამიტომ თანასწორობა გულისხმობს. გაითვალისწინეთ, რომ პირობა აქ არსებითია, წინააღმდეგ შემთხვევაში დასკვნა არ იქნება გამართლებული, რადგან ტოლობა მართალია x და y-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.
მაგალითი 1. იპოვე
გადაწყვეტილება. ნომრის მისაღებად, თქვენ უნდა ააწიოთ ბაზის 2 სიმძლავრეზე ამიტომ.
ასეთი მაგალითების ამოხსნისას შეგიძლიათ ჩაწეროთ შემდეგი ფორმით:
მაგალითი 2. იპოვეთ.
გადაწყვეტილება. Ჩვენ გვაქვს
მაგალითებში 1 და 2, ჩვენ ადვილად ვიპოვნეთ სასურველი ლოგარითმი ლოგარითმად შესაძლებელი რიცხვის წარმოდგენით, როგორც ფუძის ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით. ზოგად შემთხვევაში, მაგალითად, და ა.შ., ამის გაკეთება შეუძლებელია, რადგან ლოგარითმს აქვს ირაციონალური მნიშვნელობა. მოდით ყურადღება მივაქციოთ ამ განცხადებასთან დაკავშირებულ ერთ შეკითხვას. § 12-ში ჩვენ მივეცით ცნება მოცემული დადებითი რიცხვის ნებისმიერი რეალური სიმძლავრის განსაზღვრის შესაძლებლობის შესახებ. ეს აუცილებელი იყო ლოგარითმების დანერგვისთვის, რომლებიც, ზოგადად, შეიძლება იყოს ირაციონალური რიცხვები.
განვიხილოთ ლოგარითმების ზოგიერთი თვისება.
თვისება 1. თუ რიცხვი და ფუძე ტოლია, მაშინ ლოგარითმი ერთის ტოლია და, პირიქით, თუ ლოგარითმი ერთის ტოლია, მაშინ რიცხვი და ფუძე ტოლია.
მტკიცებულება. მოდით, ლოგარითმის განმარტებით, გვაქვს და საიდან
პირიქით, მოდით შემდეგ განმარტებით
თვისება 2. რომელიმე ფუძის ერთობის ლოგარითმი ნულის ტოლია.
მტკიცებულება. ლოგარითმის განმარტებით (ნებისმიერი დადებითი ფუძის ნულოვანი სიმძლავრე უდრის ერთს, იხ. (10.1)). აქედან
ქ.ე.დ.
საპირისპირო დებულება ასევე მართალია: თუ , მაშინ N = 1. მართლაც, გვაქვს .
ლოგარითმების შემდეგი თვისების გამოთქმამდე, მოდით შევთანხმდეთ ვთქვათ, რომ ორი რიცხვი a და b დევს მესამე c რიცხვის ერთ მხარეს, თუ ორივე არის c-ზე მეტი ან c-ზე ნაკლები. თუ ამ რიცხვებიდან ერთი დიდია c-ზე, ხოლო მეორე ნაკლებია c-ზე, მაშინ ჩვენ ვამბობთ, რომ ისინი დევს c-ის მოპირდაპირე მხარეს.
თვისება 3. თუ რიცხვი და ფუძე დევს ერთიანობის ერთ მხარეს, მაშინ ლოგარითმი დადებითია; თუ რიცხვი და ფუძე დევს ერთიანობის საპირისპირო მხარეს, მაშინ ლოგარითმი უარყოფითია.
თვისების 3-ის დადასტურება ემყარება იმ ფაქტს, რომ a-ს ხარისხი მეტია ერთზე, თუ ფუძე მეტია ერთზე და მაჩვენებელი დადებითია, ან ფუძე ნაკლებია ერთზე და მაჩვენებლი უარყოფითია. ხარისხი ერთზე ნაკლებია, თუ ფუძე ერთზე მეტია და მაჩვენებელი უარყოფითია, ან ფუძე ნაკლებია ერთზე და მაჩვენებელი დადებითია.
გასათვალისწინებელია ოთხი შემთხვევა:
ჩვენ შემოვიფარგლებით პირველი მათგანის ანალიზით, დანარჩენს მკითხველი თავად განიხილავს.
მაშინ თანასწორობის მაჩვენებელი არც უარყოფითი იყოს და არც ნულის ტოლი, მაშასადამე, ის დადებითია, ანუ რისი დამტკიცება იყო საჭირო.
მაგალითი 3. გაარკვიეთ, რომელი ლოგარითმებია დადებითი და რომელი უარყოფითი:
გამოსავალი, ა) ვინაიდან რიცხვი 15 და ფუძე 12 განლაგებულია ერთეულის ერთ მხარეს;
ბ) , ვინაიდან 1000 და 2 განლაგებულია დანადგარის ერთ მხარეს; ამავდროულად, არ არის მნიშვნელოვანი, რომ ფუძე მეტი იყოს ლოგარითმულ რიცხვზე;
გ), რადგან 3.1 და 0.8 დევს ერთიანობის საპირისპირო მხარეს;
გ) ; რატომ?
ე) ; რატომ?
შემდეგ თვისებებს 4-6 ხშირად უწოდებენ ლოგარითმის წესებს: ისინი საშუალებას გაძლევთ, იცოდეთ ზოგიერთი რიცხვის ლოგარითმები, იპოვოთ მათი ნამრავლის ლოგარითმები, კოეფიციენტი, თითოეული მათგანის ხარისხი.
თვისება 4 (პროდუქტის ლოგარითმის წესი). მოცემულ ფუძეში რამდენიმე დადებითი რიცხვის ნამრავლის ლოგარითმი ტოლია იმავე ფუძის ამ რიცხვების ლოგარითმების ჯამისა.
მტკიცებულება. მიეცით დადებითი რიცხვები.
მათი ნამრავლის ლოგარითმისთვის ჩვენ ვწერთ ტოლობას (26.1), რომელიც განსაზღვრავს ლოგარითმს:
აქედან ვპოულობთ
პირველი და ბოლო გამონათქვამების მაჩვენებლების შედარებისას მივიღებთ საჭირო ტოლობას:
გაითვალისწინეთ, რომ პირობა აუცილებელია; ორი უარყოფითი რიცხვის ნამრავლის ლოგარითმი აზრი აქვს, მაგრამ ამ შემთხვევაში მივიღებთ
ზოგადად, თუ რამდენიმე ფაქტორის ნამრავლი დადებითია, მაშინ მისი ლოგარითმი უდრის ამ ფაქტორების მოდულების ლოგარითმების ჯამს.
თვისება 5 (რაოდენობრივი ლოგარითმის წესი). დადებითი რიცხვების კოეფიციენტის ლოგარითმი უდრის დივიდენდისა და გამყოფის ლოგარითმებს შორის სხვაობას, აღებული იმავე ფუძეში. მტკიცებულება. თანმიმდევრულად იპოვეთ
ქ.ე.დ.
თვისება 6 (ხარისხის ლოგარითმის წესი). ნებისმიერი დადებითი რიცხვის სიმძლავრის ლოგარითმი უდრის ამ რიცხვის ლოგარითმს მაჩვენებელზე.
მტკიცებულება. ჩვენ კვლავ ვწერთ ძირითად იდენტურობას (26.1) ნომრისთვის:
ქ.ე.დ.
შედეგი. დადებითი რიცხვის ფესვის ლოგარითმი უდრის ფესვის რიცხვის ლოგარითმს გაყოფილი ფესვის მაჩვენებელზე:
ჩვენ შეგვიძლია დავამტკიცოთ ამ დასკვნის მართებულობა მე-6 თვისების წარდგენით და გამოყენებით.
მაგალითი 4. ლოგარითმი საფუძვლად a:
ა) (ვარაუდობენ, რომ ყველა მნიშვნელობა b, c, d, e დადებითია);
ბ) (ვარაუდობენ, რომ ).
ამოხსნა, ა) მოსახერხებელია ამ გამოთქმაში გადავიდეს წილადის ხარისხებზე:
ტოლობების საფუძველზე (26.5)-(26.7) ახლა შეგვიძლია დავწეროთ:
შევნიშნავთ, რომ რიცხვების ლოგარითმებზე უფრო მარტივი მოქმედებები სრულდება, ვიდრე თავად რიცხვებზე: რიცხვების გამრავლებისას ემატება მათი ლოგარითმები, გაყოფისას აკლება და ა.შ.
სწორედ ამიტომ გამოიყენებოდა ლოგარითმები გამოთვლით პრაქტიკაში (იხ. სექ. 29).
ლოგარითმის შებრუნებულ მოქმედებას ეწოდება პოტენციაცია, კერძოდ: პოტენციაცია არის მოქმედება, რომლითაც ეს რიცხვი თავად არის ნაპოვნი რიცხვის მოცემული ლოგარითმით. არსებითად, გაძლიერება არ არის რაიმე განსაკუთრებული მოქმედება: ის მოდის ბაზის ძლიერებამდე ამაღლებაზე (რიცხვის ლოგარითმის ტოლი). ტერმინი „პოტენციაცია“ შეიძლება ჩაითვალოს ტერმინ „ექსპონენტაციის“ სინონიმად.
გაძლიერებისას აუცილებელია გამოვიყენოთ წესები, რომლებიც შებრუნებულია ლოგარითმის წესების მიმართ: ლოგარითმების ჯამის შეცვლა ნამრავლის ლოგარითმით, ლოგარითმების სხვაობა კოეფიციენტის ლოგარითმით და ა.შ. კერძოდ, თუ არსებობს ნებისმიერი ფაქტორი ლოგარითმის ნიშნის წინ, მაშინ გაძლიერებისას იგი უნდა გადავიდეს ინდიკატორის ხარისხებზე ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ.
მაგალითი 5. იპოვეთ N, თუ ცნობილია, რომ
გადაწყვეტილება. ახლახან აღნიშნულ გაძლიერების წესთან დაკავშირებით, ფაქტორები 2/3 და 1/3, რომლებიც ამ ტოლობის მარჯვენა მხარეს ლოგარითმების ნიშნების წინ არიან, გადაეცემა მაჩვენებლებს ამ ლოგარითმების ნიშნების ქვეშ; ვიღებთ
ახლა ჩვენ ვცვლით ლოგარითმების სხვაობას კოეფიციენტის ლოგარითმით:
ამ ტოლობის ჯაჭვში ბოლო წილადის მისაღებად, ჩვენ გავათავისუფლეთ წინა წილადი მნიშვნელობის ირაციონალურობისაგან (ნაწილი 25).
თვისება 7. თუ ფუძე ერთზე მეტია, მაშინ უფრო დიდ რიცხვს აქვს უფრო დიდი ლოგარითმი (და პატარას - პატარა), თუ ფუძე ერთზე ნაკლებია, მაშინ დიდ რიცხვს აქვს უფრო მცირე ლოგარითმი (და რაც უფრო მცირეა). ერთს აქვს უფრო დიდი).
ეს თვისება ასევე ჩამოყალიბებულია როგორც წესი უტოლობების ლოგარითმისთვის, რომლის ორივე ნაწილი დადებითია:
უტოლობათა ლოგარითმის ერთზე დიდ ფუძეზე გადაყვანისას უტოლობის ნიშანი შენარჩუნებულია, ხოლო ლოგარითმის ერთზე ნაკლებ ფუძეზე აღებისას უტოლობის ნიშანი შებრუნებულია (იხ. აგრეთვე პუნქტი 80).
მტკიცებულება ემყარება 5 და 3 თვისებებს. განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც თუ , მაშინ და ლოგარითმის აღებით მივიღებთ
(a და N/M დევს ერთიანობის ერთ მხარეს). აქედან
შემდეგ შემთხვევაში, მკითხველი თავად გაარკვევს.
