და მდგომარეობა და 2 ( T, x) = 0.

მოდით t იყოს საზღვრამდე პირველი მიღწევის მომენტი dDტერიტორიები პროცესის ტრაექტორია შემდეგ, გარკვეულ პირობებში, ფუნქცია

აკმაყოფილებს განტოლებას

და იღებს cp მნიშვნელობებს კომპლექტში

1-ლი სასაზღვრო ამოცანის ამოხსნა ზოგადი წრფივი პარაბოლიკისთვის. მე-2 რიგის განტოლებები

საკმაოდ ზოგადი ვარაუდებით, შეიძლება დაიწეროს როგორც

იმ შემთხვევაში, როდესაც L და ფუნქციები გ, ვარ არის დამოკიდებული ს,(9) მსგავსი წარმოდგენა ასევე შესაძლებელია წრფივი ელიფტიკის ამოსახსნელად. განტოლებები. უფრო ზუსტად, ფუნქცია

გარკვეული ვარაუდებით არის პრობლემები

იმ შემთხვევაში, როდესაც ოპერატორი L გადაგვარდება (del b( s, x) = 0 ).ან dDარასაკმარისად "კარგი", სასაზღვრო მნიშვნელობები შეიძლება არ იყოს მიღებული ფუნქციებით (9), (10) ცალკეულ წერტილებზე ან მთელ კომპლექტებზე. ოპერატორის რეგულარული სასაზღვრო წერტილის კონცეფცია ლაქვს ალბათური ინტერპრეტაცია. საზღვრის რეგულარულ წერტილებში სასაზღვრო მნიშვნელობები მიიღწევა ფუნქციებით (9), (10). ამოცანების (8), (11) გადაწყვეტა შესაძლებელს ხდის მათგან შესაბამისი დიფუზიური პროცესების თვისებების და ფუნქციების შესწავლას.

არსებობს M. p.-ს აგების მეთოდები, რომლებიც არ ეყრდნობა (6), (7) განტოლებების ამონახსნების აგებას. მეთოდი სტოქასტური დიფერენციალური განტოლებები,საზომის აბსოლუტურად უწყვეტი ცვლილება და ა.შ. ეს გარემოება (9), (10) ფორმულებთან ერთად საშუალებას გვაძლევს ავაშენოთ და შევისწავლოთ (8) განტოლების სასაზღვრო ამოცანების თვისებები, აგრეთვე თვისებები. შესაბამისი ელიფტიკის ამოხსნა. განტოლებები.

ვინაიდან სტოქასტური დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი არ არის მგრძნობიარე b მატრიცის გადაგვარების მიმართ s, x), მაშინალბათური მეთოდები გამოიყენებოდა ელიფსური და პარაბოლური დიფერენციალური განტოლებების გადაგვარების ამონახსნების ასაგებად. ნ.მ. კრილოვისა და ნ.ნ. ბოგოლიუბოვის საშუალოების პრინციპის გაფართოებამ სტოქასტურ დიფერენციალურ განტოლებაზე შესაძლებელი გახადა (9) გამოყენებით შესაბამისი შედეგების მიღება ელიფსური და პარაბოლური დიფერენციალური განტოლებისთვის. ამ ტიპის განტოლებების ამონახსნების თვისებების შესწავლის რამდენიმე რთული პრობლემა უმაღლეს წარმოებულზე მცირე პარამეტრით შესაძლებელი აღმოჩნდა ალბათობრივი მოსაზრებების დახმარებით. (6) განტოლების მე-2 სასაზღვრო ამოცანის ამოხსნას ასევე აქვს ალბათური მნიშვნელობა. შეუზღუდავი დომენისთვის სასაზღვრო ამოცანების ფორმულირება მჭიდროდ არის დაკავშირებული დიფუზიის შესაბამისი პროცესის განმეორებასთან.

დრო-ერთგვაროვანი პროცესის შემთხვევაში (L არ არის დამოკიდებული s-ზე), განტოლების დადებითი ამონახსნები, გამრავლების მუდმივებამდე, ემთხვევა, გარკვეული დაშვებით, M.p-ის სტაციონარული განაწილების სიმკვრივეს. განტოლებები. R. 3. Khasminsky.

განათებული: Markov A. A., "Izv. Phys.-Mat. Ob. Kazan. University", 1906, ტ. 15, No4, გვ. 135-56; B a with h e l i e r L., "Ann. Scient. Ecole norm, super.", 1900, ვ. 17, გვ. 21-86; Kolmogorov A. N., "Math. Ann.", 1931, Bd 104, S. 415-458; რუსული მთარგმნ.-„მიღწევები მათემატიკურ მეცნიერებებში“, 1938 წ. 5, გვ. 5-41; ჩჟუ ნ კაი-ლაი, ჰომოგენური მარკოვის ჯაჭვები, თარგმანი. ინგლისურიდან, მ., 1964; R e 1 1 e r W., "Ann. Math.", 1954, ვ. 60, გვ. 417-36; Dynkin E. B., Yushkevitch A. A., "ალბათობის თეორია და მისი გამოყენება", 1956, ტ. 1, გ. 1, გვ. 149-55; X and n t J.-A., Markov processes and potensities, trans. ინგლისურიდან, მ., 1962; Delasher and K., Capacities and random processes, trans. ფრანგულიდან, მოსკოვი, 1975; D y n k და n E. V., მარკოვის პროცესების თეორიის საფუძვლები, მ., 1959; საკუთარი, მარკოვის პროცესები, მ., 1963; I. I. G and Khman, A. V. S ko r oh o d, შემთხვევითი პროცესების თეორია, ტ.2, M., 1973; ფრეიდლინ M.I., წიგნში: მეცნიერების შედეგები. ალბათობის თეორია,. - თეორიულად. 1966, მ., 1967, გვ. 7-58; Xa's'minskii R. 3., "Probability Theory and its applications", 1963, ტ. 8, ქ.

მარკოვის პროცესი- დისკრეტული ან უწყვეტი შემთხვევითი პროცესი X(t) , რომელიც შეიძლება მთლიანად დაზუსტდეს ორი სიდიდის გამოყენებით: ალბათობა P(x,t), რომ შემთხვევითი ცვლადი x(t) დროს t უდრის x და ალბათობა P(x2, t2½x1t1) რომ…… ეკონომიკური და მათემატიკური ლექსიკონი

მარკოვის პროცესი- დისკრეტული ან უწყვეტი შემთხვევითი პროცესი X(t) , რომელიც შეიძლება მთლიანად განისაზღვროს ორი სიდიდის გამოყენებით: ალბათობა P(x,t), რომ შემთხვევითი ცვლადი x(t) დროს t უდრის x და ალბათობა P(x2, t2? x1t1) რომ თუ x at t = t1… ... ტექნიკური მთარგმნელის სახელმძღვანელო

შემთხვევითი პროცესების მნიშვნელოვანი განსაკუთრებული სახეობა. მარკოვის პროცესის მაგალითია რადიოაქტიური ნივთიერების დაშლა, სადაც მოცემული ატომის დაშლის ალბათობა მოკლე დროში არ არის დამოკიდებული პროცესის მიმდინარეობაზე წინა პერიოდში. ... ... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი - Markovo processas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. მარკოპროცესი ვოკ. Markovprozess, m rus. მარკოვის პროცესი, მ; მარკოვის პროცესი, მ პრანკი. მარკოვის პროცესი, მ … ავტომატური ტერმინალი

მარკოვის პროცესი- Markovo vyksmas statusas T sritis fizika atitikmenys: ინგლ. მარკოვის პროცესი; მარკოვის პროცესის ვოკ. Markow Prozess, მ; Markowscher Prozess, მ რუს. მარკოვის პროცესი, მ; მარკოვის პროცესი, მ პრანკი. პროცესუს დე მარკოფი, მ; პროცესის მარკოვიენი, m;… … ფიზიკის ტერმინალი

შემთხვევითი პროცესების მნიშვნელოვანი განსაკუთრებული სახეობა. მარკოვის პროცესის მაგალითია რადიოაქტიური ნივთიერების დაშლა, სადაც მოცემული ატომის მოკლე დროში დაშლის ალბათობა არ არის დამოკიდებული წინა პერიოდში პროცესის მიმდინარეობაზე. ... ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი

სტოქასტური პროცესების მნიშვნელოვანი განსაკუთრებული ტიპი, რომელსაც დიდი მნიშვნელობა აქვს ალბათობის თეორიის გამოყენებაში საბუნებისმეტყველო მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების სხვადასხვა დარგებში. M. p.-ს მაგალითია რადიოაქტიური ნივთიერების დაშლა. ... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

გამოჩენილი აღმოჩენა მათემატიკის სფეროში, რომელიც 1906 წელს გააკეთა რუსმა მეცნიერმა ა.ა. მარკოვი.

რიგის სისტემების სტრუქტურა და კლასიფიკაცია

რიგის სისტემები

ხშირად საჭიროა რიგის სისტემებთან (QS) სავარაუდო პრობლემების გადაჭრა, რომელთა მაგალითები შეიძლება იყოს:

ბილეთების ოფისები;

სარემონტო მაღაზიები;

ვაჭრობა, ტრანსპორტი, ენერგეტიკული სისტემები;

საკომუნიკაციო სისტემები;

ასეთი სისტემების საერთოობა ვლინდება მათემატიკური მეთოდებისა და მოდელების ერთიანობაში, რომლებიც გამოიყენება მათი საქმიანობის შესწავლისას.

ბრინჯი. 4.1. TMT–ის გამოყენების ძირითადი სფეროები

QS-ში შეყვანა იღებს სერვისის მოთხოვნების ნაკადს. მაგალითად, მომხმარებლები ან პაციენტები, აღჭურვილობის გაფუჭება, სატელეფონო ზარები. მოთხოვნები მოდის არარეგულარულად, შემთხვევითი დროით. სერვისის ხანგრძლივობა ასევე შემთხვევითია. ეს ქმნის დარღვევებს QS-ის მუშაობაში, იწვევს მის გადატვირთვასა და გადატვირთვას.

რიგის სისტემებს განსხვავებული სტრუქტურა აქვთ, მაგრამ, როგორც წესი, მათი გარჩევა შესაძლებელია ოთხი ძირითადი ელემენტი:

1. შემომავალი მოთხოვნის ნაკადი.

2. აკუმულატორი (რიგი).

3. მოწყობილობები (მომსახურების არხები).

4. გამომავალი ნაკადი.

ბრინჯი. 4.2. რიგის სისტემების ზოგადი სქემა

ბრინჯი. 4.3. სისტემის მუშაობის მოდელი

(ისრებით ნაჩვენებია მოთხოვნების შემოსვლის მომენტები

სისტემა, მართკუთხედები - მომსახურების დრო)

ნახაზი 4.3a გვიჩვენებს სისტემის მოდელს მოთხოვნების რეგულარული ნაკადით. ვინაიდან ცნობილია პრეტენზიების ჩამოსვლას შორის ინტერვალი, მომსახურების დრო არჩეულია ისე, რომ სისტემა სრულად ჩაიტვირთოს. მოთხოვნების სტოქასტური ნაკადის მქონე სისტემისთვის სიტუაცია სრულიად განსხვავებულია - მოთხოვნები მოდის დროის სხვადასხვა მომენტში და მომსახურების დრო ასევე არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც შეიძლება აღწერილი იყოს გარკვეული განაწილების კანონით (ნახ. 4.3 ბ).

რიგის ფორმირების წესებიდან გამომდინარე, გამოირჩევა შემდეგი QS:

1) სისტემები წარუმატებლობებით , რომელშიც, როდესაც სერვისის ყველა არხი დაკავებულია, მოთხოვნა ტოვებს სისტემას სერვისის გარეშე;

2) სისტემები შეუზღუდავი რიგით , რომელშიც მოთხოვნა შედის რიგში, თუ მისი ჩამოსვლის დროს ყველა სერვისის არხი დაკავებული იყო;

3) სისტემები ლოდინისა და შეზღუდული რიგით , რომელშიც ლოდინის დრო შეზღუდულია გარკვეული პირობებით ან არსებობს შეზღუდვები რიგში მდგომი განაცხადების რაოდენობაზე.

განვიხილოთ მოთხოვნების შემომავალი ნაკადის მახასიათებლები.

მოთხოვნების ნაკადი ე.წ სტაციონარული , თუ ალბათობა იმისა, რომ მოვლენების ესა თუ ის რაოდენობა მოხვდება გარკვეული სიგრძის დროის სეგმენტში, დამოკიდებულია მხოლოდ ამ სეგმენტის სიგრძეზე.

მოვლენათა ნაკადი ე.წ მიედინება შედეგების გარეშე თუ გარკვეული დროის ინტერვალზე მოვლენის რაოდენობა არ არის დამოკიდებული სხვაზე მოვლენის რაოდენობაზე.

მოვლენათა ნაკადი ე.წ ჩვეულებრივი თუ ორი ან მეტი მოვლენა არ შეიძლება მოხდეს ერთდროულად.

მოთხოვნების ნაკადი ე.წ პუასონი (ან უმარტივესი) თუ მას აქვს სამი თვისება: სტაციონარული, ჩვეულებრივი და არ აქვს არანაირი შედეგი. სახელწოდება განპირობებულია იმით, რომ მითითებულ პირობებში, მოვლენების რაოდენობა, რომლებიც ემთხვევა დროის ნებისმიერ ფიქსირებულ ინტერვალს, გადანაწილდება პუასონის კანონის მიხედვით.

ინტენსივობაგანაცხადების ნაკადი λ არის განაცხადების საშუალო რაოდენობა, რომელიც მოდის დროის ერთეულზე ნაკადიდან.

სტაციონარული ნაკადისთვის, ინტენსივობა მუდმივია. თუ τ არის დროის ინტერვალის საშუალო მნიშვნელობა ორ მიმდებარე მოთხოვნას შორის, მაშინ პუასონის ნაკადის შემთხვევაში, სერვისში შესვლის ალბათობა მითხოვს გარკვეული პერიოდის განმავლობაში ტგანისაზღვრება პუასონის კანონით:

მიმდებარე მოთხოვნებს შორის დრო ნაწილდება ექსპონენციურად ალბათობის სიმკვრივით

მომსახურების დრო არის შემთხვევითი ცვლადი და ემორჩილება ექსპონენციალურ განაწილების კანონს ალბათობის სიმკვრივით სადაც μ არის მომსახურების ნაკადის ინტენსივობა, ე.ი. მოთხოვნის საშუალო რაოდენობა დროის ერთეულზე,

შემომავალი ნაკადის ინტენსივობის თანაფარდობა მომსახურების ნაკადის ინტენსივობასთან ე.წ. სისტემის ჩატვირთვა

რიგის სისტემა არის დისკრეტული ტიპის სისტემა მდგომარეობების სასრული ან თვლადი სიმრავლით და სისტემის გადასვლა ერთი მდგომარეობიდან მეორეზე მოულოდნელად ხდება, როდესაც ხდება რაიმე მოვლენა.

პროცესს ე.წ დისკრეტული სახელმწიფო პროცესი , თუ შესაძლებელია მისი შესაძლო მდგომარეობების წინასწარ გადანომრვა და სისტემის გადასვლა მდგომარეობიდან მდგომარეობაზე ხდება თითქმის მყისიერად.

ასეთი პროცესები ორი ტიპისაა: დისკრეტული ან უწყვეტი დროით.

დისკრეტული დროის შემთხვევაში, მდგომარეობიდან მდგომარეობაზე გადასვლა შეიძლება მოხდეს დროის მკაცრად განსაზღვრულ მომენტებში. უწყვეტი დროის მქონე პროცესები განსხვავდება იმით, რომ სისტემის გადასვლა ახალ მდგომარეობაზე შესაძლებელია ნებისმიერ დროს.

შემთხვევითი პროცესი არის კორესპონდენცია, რომელშიც არგუმენტის თითოეულ მნიშვნელობას (ამ შემთხვევაში, ექსპერიმენტის დროის ინტერვალიდან მომენტი) ენიჭება შემთხვევითი ცვლადი (ამ შემთხვევაში, QS მდგომარეობა). Შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება სიდიდეს, რომელსაც გამოცდილების შედეგად შეუძლია მიიღოს ერთი, მაგრამ წინასწარ უცნობი, რომელი რიცხვითი მნიშვნელობა მოცემული რიცხვითი სიმრავლიდან.

ამიტომ რიგის თეორიის ამოცანების გადასაჭრელად საჭიროა ამ შემთხვევითი პროცესის შესწავლა, ე.ი. მისი მათემატიკური მოდელის აგება და ანალიზი.

შემთხვევითი პროცესიდაურეკა მარკოვიანი , თუ დროის რომელიმე მომენტში პროცესის ალბათური მახასიათებლები მომავალში მხოლოდ მის მდგომარეობაზეა დამოკიდებული და არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ როდის და როგორ მივიდა სისტემა ამ მდგომარეობამდე.

სისტემის გადასვლები მდგომარეობიდან მდგომარეობამდე ხდება ზოგიერთი ნაკადის გავლენის ქვეშ (აპლიკაციების ნაკადი, წარუმატებლობის ნაკადი). თუ მოვლენათა ყველა ნაკადი, რომელიც სისტემას ახალ მდგომარეობამდე მიიყვანს, არის უმარტივესი პუასონი, მაშინ სისტემაში მიმდინარე პროცესი იქნება მარკოვიანი, რადგან უმარტივეს დინებას შედეგი არ მოჰყვება: მასში მომავალი არ არის დამოკიდებული წარსულზე.

რომლის ევოლუცია დროის პარამეტრის ნებისმიერი მოცემული მნიშვნელობის შემდეგ t (\displaystyle t) არ არის დამოკიდებულიევოლუციიდან, რომელიც წინ უძღოდა t (\displaystyle t)იმ პირობით, რომ ამ მომენტში პროცესის ღირებულება ფიქსირდება (პროცესის „მომავალი“ არ არის დამოკიდებული „წარსულზე“ ცნობილი „აწმყო“; სხვა ინტერპრეტაცია (ვენცელი): პროცესის „მომავალი“ დამოკიდებულია. „წარსულზე“ მხოლოდ „აწმყოს“ მეშვეობით).

ენციკლოპედიური YouTube

1 / 3

✪ ლექცია 15: მარკოვის სტოქასტური პროცესები

✪ მარკოვის ჯაჭვების წარმოშობა

✪ განზოგადებული მარკოვის პროცესის მოდელი

სუბტიტრები

ამბავი

თვისებას, რომელიც განსაზღვრავს მარკოვის პროცესს, ჩვეულებრივ უწოდებენ მარკოვის თვისებას; პირველად იგი ჩამოაყალიბა A.A. Markov-მა, რომელმაც 1907 წლის ნაშრომებში საფუძველი ჩაუყარა დამოკიდებული ცდების თანმიმდევრობისა და მათთან დაკავშირებული შემთხვევითი ცვლადების ჯამების შესწავლას. კვლევის ეს ხაზი ცნობილია როგორც მარკოვის ჯაჭვების თეორია.

მარკოვის პროცესების უწყვეტი დროის ზოგადი თეორიის საფუძვლები ჩაუყარა კოლმოგოროვს.

მარკოვის ქონება

ზოგადი შემთხვევა

დაე იყოს (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega,(\mathcal (F)),\mathbb (P)))- ალბათობის სივრცე გაფილტვრით (F t, t ∈ T) (\displaystyle ((\mathcal (F))_(t),\ t\in T))ზოგიერთ (ნაწილობრივ შეკვეთილ) კომპლექტზე T (\displaystyle T); გაუშვი (S , S) (\displaystyle (S,(\mathcal (S))))- გაზომვადი სივრცე. შემთხვევითი პროცესი X = (X t, t ∈ T) (\displaystyle X=(X_(t),\ t\in T)), განსაზღვრული გაფილტრული ალბათობის სივრცეში, ითვლება დასაკმაყოფილებლად მარკოვის ქონებათუ თითოეულისთვის A ∈ S (\displaystyle A\in (\mathcal (S)))და s , t ∈ T: s< t {\displaystyle s,t\in T:s,

მარკოვის პროცესიშემთხვევითი პროცესია, რომელიც აკმაყოფილებს მარკოვის ქონებაბუნებრივი ფილტრაციით.

მარკოვის ჯაჭვებისთვის დისკრეტული დროით

თუ S (\displaystyle S)არის დისკრეტული ნაკრები და T = N (\displaystyle T=\mathbb (N)), განმარტება შეიძლება ხელახლა ჩამოყალიბდეს:

მარკოვის პროცესის მაგალითი

განვიხილოთ მარკოვის სტოქასტური პროცესის მარტივი მაგალითი. წერტილი შემთხვევითად მოძრაობს x-ღერძის გასწვრივ. ნულის დროს წერტილი არის საწყისში და რჩება იქ ერთი წამის განმავლობაში. ერთი წამის შემდეგ იყრება მონეტა - თუ გერბი ამოვარდა, მაშინ X წერტილი გადაადგილდება სიგრძის ერთი ერთეული მარჯვნივ, თუ რიცხვი - მარცხნივ. წამის შემდეგ ისევ ყრიან მონეტას და კეთდება იგივე შემთხვევითი მოძრაობა და ა.შ. წერტილის პოზიციის შეცვლის პროცესი („მოხეტიალე“) არის შემთხვევითი პროცესი დისკრეტული დროით (t=0, 1, 2, ...) და მდგომარეობების თვლადი სიმრავლით. ასეთ შემთხვევით პროცესს მარკოვიანი ეწოდება, რადგან წერტილის შემდეგი მდგომარეობა დამოკიდებულია მხოლოდ აწმყო (მიმდინარე) მდგომარეობაზე და არ არის დამოკიდებული წარსულ მდგომარეობებზე (მნიშვნელობა არ აქვს, რომელ გზაზე და რა დროზე მივიდა წერტილი მიმდინარე კოორდინატამდე) .

ქვეშ შემთხვევითი პროცესიგააცნობიეროს გარკვეული ფიზიკური სისტემის მდგომარეობების დროში ცვლილება მანამდე უცნობი შემთხვევითი გზით. სადაც ფიზიკურ სისტემაში ვგულისხმობთნებისმიერი ტექნიკური მოწყობილობა, მოწყობილობების ჯგუფი, საწარმო, მრეწველობა, ბიოლოგიური სისტემა და ა.შ.

შემთხვევითი პროცესისისტემაში მიედინება ე.წ მარკოვსკი – თუ დროის რომელიმე მომენტში, პროცესის ალბათური მახასიათებლები მომავალში (t > ) დამოკიდებულია მხოლოდ მის მდგომარეობაზე მოცემულ დროს ( აწმყო ) და არ არის დამოკიდებული იმაზე, როდის და როგორ მივიდა სისტემა ამ მდგომარეობაში წარსულში .(მაგალითად, გეიგერის მრიცხველი, რომელიც აღრიცხავს კოსმოსური ნაწილაკების რაოდენობას).

მარკოვის პროცესები ჩვეულებრივ იყოფა 3 ტიპად:

1. მარკოვის ჯაჭვი – პროცესი, რომლის მდგომარეობები დისკრეტულია (ანუ მათი დანომრვა შესაძლებელია), და დრო, რომლითაც იგი განიხილება, ასევე დისკრეტულია (ანუ პროცესს შეუძლია შეცვალოს მისი მდგომარეობა მხოლოდ დროის გარკვეულ მომენტებში). ასეთი პროცესი მიდის (იცვლება) ეტაპობრივად (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ციკლებში).

2. დისკრეტული მარკოვის პროცესი - მდგომარეობების სიმრავლე დისკრეტულია (შეიძლება ჩამოთვლა), ხოლო დრო უწყვეტია (ერთი მდგომარეობიდან მეორეზე გადასვლა - ნებისმიერ დროს).

3. უწყვეტი მარკოვის პროცესი – მდგომარეობებისა და დროის სიმრავლე უწყვეტია.

პრაქტიკაში, მარკოვის პროცესები მათი სუფთა სახით ხშირად არ გვხვდება. თუმცა, ხშირად უხდება საქმე პროცესებს, რისთვისაც შეიძლება პრეისტორიის გავლენის უგულებელყოფა. გარდა ამისა, თუ ყველა პარამეტრი "წარსულიდან", რომელზედაც დამოკიდებულია "მომავალი", შედის სისტემის მდგომარეობაში "აწმყოში", მაშინ ის ასევე შეიძლება ჩაითვალოს მარკოვიანად. თუმცა, ეს ხშირად იწვევს მხედველობაში მიღებული ცვლადების რაოდენობის მნიშვნელოვან ზრდას და პრობლემის გადაჭრის შეუძლებლობას.

ოპერაციების კვლევაში ე.წ მარკოვის სტოქასტური პროცესები დისკრეტული მდგომარეობებით და უწყვეტი დროით.

პროცესს ე.წ დისკრეტული სახელმწიფო პროცესი, თუ მისი ყველა შესაძლო მდგომარეობა , ,... შეიძლება წინასწარ იყოს ჩამოთვლილი (გადანომრილი). სისტემის გადასვლა მდგომარეობიდან მდგომარეობაზე გადის თითქმის მყისიერად - ნახტომი.

პროცესს ე.წ უწყვეტი დროის პროცესი, თუ მდგომარეობიდან მდგომარეობაზე გადასვლის მომენტებს შეუძლიათ მიიღონ ნებისმიერი შემთხვევითი მნიშვნელობა დროის ღერძზე.

მაგალითად : ტექნიკური მოწყობილობა S შედგება ორი კვანძისგან , რომელთაგან თითოეული შეიძლება წარუმატებელი იყოს დროის შემთხვევით მომენტში ( უარი). ამის შემდეგ დაუყოვნებლივ იწყება კვანძის შეკეთება ( აღდგენა) რომელიც გრძელდება შემთხვევითი დროის განმავლობაში.

შესაძლებელია შემდეგი სისტემის მდგომარეობა:

ორივე კვანძი წესრიგშია;

პირველი კვანძი შეკეთებულია, მეორე მუშაობს.

- მეორე კვანძი გარემონტდება, პირველი მუშაობს

მიმდინარეობს ორივე კვანძის შეკეთება.

სისტემის გადასვლა მდგომარეობიდან მდგომარეობაზე ხდება შემთხვევით ჯერ თითქმის მყისიერად. მოსახერხებელია სისტემის მდგომარეობისა და მათ შორის ურთიერთობის ჩვენება გამოყენებით მდგომარეობის გრაფიკი .

შტატები

გადასვლები

გადასვლები და არ არსებობს იმიტომ ელემენტების წარუმატებლობა და აღდგენა ხდება დამოუკიდებლად და შემთხვევით, ხოლო ორი ელემენტის ერთდროული წარუმატებლობის (აღდგენის) ალბათობა უსასრულოდ მცირეა და შეიძლება უგულებელყო.

თუ მოვლენების ყველა ნაკადი თარგმნის სისტემას სშტატიდან შტატში პროტოზოა, მაშინ პროცესი,მიედინება ასეთ სისტემაში მარკოვსკი იქნება. ეს გამოწვეულია იმით, რომ უმარტივეს დინებას არ აქვს შემდგომი ეფექტი, ე.ი. მასში „მომავალი“ არ არის დამოკიდებული „წარსულზე“ და გარდა ამისა, მას აქვს ჩვეულებრივობის თვისება - ორი ან მეტი მოვლენის ერთდროული წარმოშობის ალბათობა უსასრულოდ მცირეა, ანუ შეუძლებელია მდგომარეობიდან გადაადგილება. განაცხადოს რამდენიმე შუალედური მდგომარეობის გავლის გარეშე.

სიცხადისთვის, მდგომარეობის გრაფიკზე, მოსახერხებელია ჩამოვთვალოთ მოვლენების ნაკადის ინტენსივობა, რომელიც სისტემას გადასცემს მდგომარეობიდან მდგომარეობას მოცემული ისრის გასწვრივ თითოეულ გარდამავალ ისარზე ( - მოვლენათა ნაკადის ინტენსივობა, რომელიც გადასცემს სისტემას სახელმწიფოსგან in. ასეთ გრაფიკს ე.წ მონიშნული.

სისტემის მდგომარეობების ეტიკეტირებული გრაფიკის გამოყენებით, შესაძლებელია ამ პროცესის მათემატიკური მოდელის აგება.

განვიხილოთ სისტემის გადასვლები რომელიმე მდგომარეობიდან წინა ან შემდეგში. მდგომარეობის გრაფიკის ფრაგმენტი ამ შემთხვევაში ასე გამოიყურება:

ნება სისტემა იმ დროს ტმდგომარეობაშია.

აღნიშნეთ (t)- სისტემის i-ე მდგომარეობის ალბათობაარის ალბათობა, რომ სისტემა დროს ტმდგომარეობაშია. დროის ნებისმიერ მომენტში t =1 მართალია.

მოდით განვსაზღვროთ ამის ალბათობა დროის მომენტში t+∆t სისტემა იქნება სახელმწიფოში. ეს შეიძლება იყოს შემდეგ შემთხვევებში:

1) და არ დატოვა იგი ∆ t დროის განმავლობაში. ეს ნიშნავს, რომ დროში ∆t არ წარმოიშვამოვლენა, რომელიც სისტემას აყენებს მდგომარეობაში (ნაკადი ინტენსივობით) ან მოვლენა, რომელიც აყენებს მას მდგომარეობას (დინება ინტენსივობით). განვსაზღვროთ ამის ალბათობა მცირე ∆t-სთვის.

ორ მეზობელ მოთხოვნას შორის დროის განაწილების ექსპონენციალური კანონის მიხედვით, რომელიც შეესაბამება მოვლენათა უმარტივეს ნაკადს, ალბათობა იმისა, რომ დროის ინტერვალში ∆t არ წარმოიქმნება მოთხოვნები ინტენსივობით ნაკადში. λ1ტოლი იქნება

F(t) ფუნქციის გაფართოებით ტეილორის სერიებში (t>0) მივიღებთ (t=∆t)

f(∆t)=f(0)+ (0)* ∆t + *∆ + *∆ +…=

= +(-l) *∆t+ (∆ + *(∆ +…” 1-l*∆t ∆t®0-სთვის

ანალოგიურად, λ 2 ინტენსივობის ნაკადისთვის ვიღებთ .

ალბათობა, რომ დროის ინტერვალზე ∆t (Δt®0-სთვის) არანაირი მოთხოვნა არ იქნება ტოლი

(∆t)/ = (∆t/ * (∆t/ = (1- *∆t)(1- *∆t) =

1 - - *∆t + 1 - ( + )*∆t + ბ.მ.

ამრიგად, ალბათობა იმისა, რომ სისტემა არ დატოვა მდგომარეობიდან ∆t დროის განმავლობაში, მცირე ∆t-ისთვის ტოლი იქნება

P( / )=1 – ( + )* ∆t

2) სისტემა მდგომარეობაში იყო S i -1 და დროისთვის სახელმწიფოში გადავიდა ს ი . ანუ, ინტენსივობით ნაკადში მაინც მოხდა ერთი მოვლენა. ამის ალბათობა უდრის უმარტივეს ნაკადს ინტენსივობით λ ნება

ჩვენს შემთხვევაში, ასეთი გადასვლის ალბათობა ტოლი იქნება

3)სისტემა მდგომარეობაში იყო ხოლო ∆t სახელმწიფოში გადასული დროის განმავლობაში . ამის ალბათობა იქნება

მაშინ ალბათობა იმისა, რომ სისტემა დროში (t+∆t) იქნება S i მდგომარეობაში, უდრის

გამოვაკლოთ P i (t) ორივე ნაწილს, გავყოთ ∆t-ზე და ზღვრამდე გადავალთ ∆t→0 მივიღებთ

მდგომარეობიდან მდგომარეობებში გადასვლის ინტენსივობის შესაბამისი მნიშვნელობების ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ დიფერენციალური განტოლებების სისტემას, რომელიც აღწერს სისტემის მდგომარეობის ალბათობების ცვლილებას, როგორც დროის ფუნქციებს.

ამ განტოლებებს უწოდებენ განტოლებებს კოლმოგოროვი-ჩეპმენი დისკრეტული მარკოვის პროცესისთვის.

საწყისი პირობების დაყენების შემდეგ (მაგალითად, P 0 (t=0)=1, P i (t=0)=0 i≠0) და მათი ამოხსნით, ჩვენ ვიღებთ გამონათქვამებს სისტემის მდგომარეობის ალბათობისთვის, როგორც დროის ფუნქციები. . ანალიტიკური ამონახსნების მიღება საკმაოდ მარტივია, თუ განტოლებების რაოდენობა ≤ 2.3. თუ მათგან მეტია, მაშინ განტოლებები, როგორც წესი, წყდება რიცხვით კომპიუტერზე (მაგალითად, რუნგ-კუტას მეთოდით).

შემთხვევითი პროცესების თეორიაში დადასტურებული , რა თუ ნომერი n სისტემის სახელმწიფოები რა თქმა უნდა და თითოეული მათგანიდან შესაძლებელია (სასრული რაოდენობის ნაბიჯებით) ნებისმიერ სხვაზე გადასვლა, მაშინ არის ზღვარი , რომლისკენ მიდრეკილია ალბათობა როცა t→ . ასეთ ალბათობას უწოდებენ საბოლოო ალბათობები ქვეყნები და სტაბილური მდგომარეობა - სტაციონარული რეჟიმი სისტემის ფუნქციონირება.

რადგან სტაციონარული რეჟიმში ყველაფერი მაშასადამე, ყველა =0. განტოლებათა სისტემის მარცხენა ნაწილების 0-თან გაუტოლებით და მათი შევსებით =1 განტოლებით, ვიღებთ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემას, რომლის ამოხსნით ვპოულობთ საბოლოო ალბათობების მნიშვნელობებს.

მაგალითი. მოდით ჩვენს სისტემაში ელემენტების უკმარისობისა და აღდგენის მაჩვენებლები შემდეგია

წარუმატებლობები 1 ელ:

2 ელ:

შეკეთება 1 ელ:

2 ელ:

P 0 + P 1 + P 2 + P 3 \u003d 1

0=-(1+2)P 0 +2P 1 +3 P 2

0=-(2+2)P 1 +1P 0 +3P 3

0=-(1+3)P 2 +2P 0 +2P 3

0=-(2+3)P 3 +2P 1 +1P 2

ამ სისტემის გადაჭრით, ჩვენ ვიღებთ

P 0 =6/15=0.4; P 1 =3/15=0.2; P2=4/15=0.27; P3=2/15≈0.13.

იმათ. სტაციონარულ მდგომარეობაში, სისტემა საშუალოდ

40% არის S 0 მდგომარეობაში (ორივე კვანძი ჯანმრთელია),

20% - მდგომარეობაში S 1 (1 ელემენტი შეკეთებულია, მე-2 არის კარგ მდგომარეობაში),

27% - მდგომარეობაში S 2 (მე-2 ელექტრო გარემონტებულია, 1 არის კარგ მდგომარეობაში),

13% - S 3 მდგომარეობაში - ორივე ელემენტი შეკეთების პროცესშია.

საბოლოო ალბათობების ცოდნა საშუალებას იძლევა შეაფასეთ სისტემის საშუალო შესრულება და სარემონტო სერვისის დატვირთვა.

მოდით, სისტემამ სახელმწიფო S 0-ში მოიტანოს შემოსავალი 8 ერთეული. დროის ერთეულზე; შტატში S 1 - შემოსავალი 3 sr.u.; შტატში S 2 - შემოსავალი 5; სახელმწიფო S 3 - შემოსავალი \u003d 0

ფასი შეკეთება დროის ერთეულზე ელ-ტა 1- 1 (S 1, S 3) არბ. ერთეული, ელ-ტა 2- (S 2, S 3) 2 არბ. შემდეგ სტაციონარული რეჟიმში:

სისტემის შემოსავალიდროის ერთეულზე იქნება:

W max =8P 0 +3P 1 +5P 2 +0P 3 =8 0.4+3 0.2+5 0.27+0 0.13=5.15 c.u.

შეკეთების ღირებულებაერთეულებში დრო:

W rem =0P 0 +1P 1 +2P 2 +(1+2)P 3 =0 0.4+1 0.2+2 0.27+3 0.13=1.39 c.u.

მოგებადროის ერთეულზე

W \u003d W doh -W rem \u003d 5.15-1.39 \u003d 3.76 ერთეული

გარკვეული ხარჯების დახარჯვის შემდეგ შესაძლებელია შეიცვალოს λ და μ ინტენსივობა და, შესაბამისად, სისტემის ეფექტურობა. ასეთი ხარჯების მიზანშეწონილობა შეიძლება შეფასდეს P i-ს ხელახალი გაანგარიშებით. და სისტემის მუშაობის ინდიკატორები.