როგორ მოვძებნოთ რთული ფუნქციის წარმოებული. წარმოებულის ამოხსნა დუმებისთვის: განმარტება, როგორ მოვძებნოთ, ამონახსნების მაგალითები

რომელზედაც გავაანალიზეთ უმარტივესი წარმოებულები, ასევე გავეცანით დიფერენცირების წესებს და წარმოებულების პოვნის რამდენიმე ხერხს. ამრიგად, თუ თქვენ არ ხართ ძალიან კარგად ფუნქციების წარმოებულები ან ამ სტატიის ზოგიერთი პუნქტი არ არის ბოლომდე გასაგები, მაშინ ჯერ წაიკითხეთ ზემოთ მოცემული გაკვეთილი. გთხოვთ, სერიოზულ განწყობას შეუდგეთ - მასალა ადვილი არ არის, მაგრამ მაინც შევეცდები მარტივად და ნათლად წარმოვაჩინო.

პრაქტიკაში, რთული ფუნქციის წარმოებულთან ძალიან ხშირად გიწევს საქმე, მე ვიტყოდი, თითქმის ყოველთვის, როცა დავალებებს აძლევენ წარმოებულების პოვნას.

ცხრილში განვიხილავთ კომპლექსური ფუნქციის დიფერენცირების წესს (No5):

ჩვენ გვესმის. პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ აღნიშვნას. აქ გვაქვს ორი ფუნქცია - და , და ფუნქცია, ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ჩადებულია ფუნქციაში. ამ ტიპის ფუნქციას (როდესაც ერთი ფუნქცია მეორეშია ჩადგმული) რთული ფუნქცია ეწოდება.

ფუნქციას გამოვიძახებ გარე ფუნქციადა ფუნქცია – შიდა (ან წყობილი) ფუნქცია.

! ეს განმარტებები არ არის თეორიული და არ უნდა გამოჩნდეს დავალებების საბოლოო დიზაინში. არაფორმალურ გამოთქმებს „გარე ფუნქცია“, „შინაგანი“ ფუნქცია ვიყენებ მხოლოდ იმისთვის, რომ გაგიადვილოთ მასალის გაგება.

სიტუაციის გასარკვევად, განიხილეთ:

მაგალითი 1

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

სინუსში, ჩვენ გვაქვს არა მხოლოდ ასო "x", არამედ მთელი გამოხატულება, ასე რომ, წარმოებულის პოვნა ცხრილიდან დაუყოვნებლივ არ იმუშავებს. ჩვენ ასევე ვამჩნევთ, რომ აქ პირველი ოთხი წესის გამოყენება შეუძლებელია, როგორც ჩანს, განსხვავებაა, მაგრამ ფაქტია, რომ შეუძლებელია სინუსის „დაშლა“:

ამ მაგალითში, უკვე ჩემი ახსნა-განმარტებიდან, ინტუიციურად ირკვევა, რომ ფუნქცია რთული ფუნქციაა, ხოლო მრავალწევრი არის შიდა ფუნქცია (ჩანერგვა) და გარე ფუნქცია.

Პირველი ნაბიჯი, რომელიც უნდა შესრულდეს რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნისას არის გაიგე, რომელი ფუნქციაა შიდა და რომელი გარე.

მარტივი მაგალითების შემთხვევაში, აშკარად ჩანს, რომ პოლინომი მოთავსებულია სინუსის ქვეშ. მაგრამ რა მოხდება, თუ ეს არ არის აშკარა? როგორ განვსაზღვროთ ზუსტად რომელი ფუნქციაა გარე და რომელი შიდა? ამისათვის მე გთავაზობთ შემდეგი ტექნიკის გამოყენებას, რომელიც შეიძლება განხორციელდეს გონებრივად ან მონახაზზე.

წარმოვიდგინოთ, რომ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ გამოთქმის მნიშვნელობა კალკულატორით (ერთის ნაცვლად შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი).

რა გამოვთვალოთ პირველ რიგში? პირველ რიგშითქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი მოქმედება: , ასე რომ, მრავალწევრი იქნება შიდა ფუნქცია:

მეორეცთქვენ უნდა იპოვოთ, ასე რომ, სინუსი - იქნება გარე ფუნქცია:

ჩვენ შემდეგ გაიგეშიდა და გარე ფუნქციებით, დროა გამოვიყენოთ რთული ფუნქციების დიფერენციაციის წესი .

ჩვენ ვიწყებთ გადაწყვეტილების მიღებას. გაკვეთილიდან როგორ მოვძებნოთ წარმოებული?ჩვენ გვახსოვს, რომ ნებისმიერი წარმოებულის ამოხსნის დიზაინი ყოველთვის იწყება ასე - ჩვენ ვამაგრებთ გამონათქვამს ფრჩხილებში და ვათავსებთ შტრიხს ზედა მარჯვნივ:

Პირველადვპოულობთ გარეგანი ფუნქციის წარმოებულს (სინუსს), დავაკვირდებით ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულთა ცხრილს და ვამჩნევთ, რომ . ყველა ცხრილის ფორმულა გამოიყენება მაშინაც კი, თუ "x" ჩანაცვლებულია რთული გამოსახულებით, ამ შემთხვევაში:

გაითვალისწინეთ, რომ შიდა ფუნქცია არ შეცვლილა, არ ვეხებით.

ისე, ეს სრულიად აშკარაა

ფორმულის გამოყენების შედეგი სუფთა ასე გამოიყურება:

მუდმივი ფაქტორი ჩვეულებრივ მოთავსებულია გამოხატვის დასაწყისში:

თუ რაიმე გაუგებრობაა, დაწერეთ გადაწყვეტილება ქაღალდზე და ხელახლა წაიკითხეთ განმარტებები.

მაგალითი 2

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 3

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

როგორც ყოველთვის, ჩვენ ვწერთ:

ჩვენ ვხვდებით, სად გვაქვს გარეგანი ფუნქცია და სად არის შიდა. ამისათვის ჩვენ ვცდილობთ (გონებრივად ან მონახაზზე) გამოვთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა . რა უნდა გაკეთდეს პირველ რიგში? უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გამოთვალოთ, თუ რას უდრის ფუძე:, რაც ნიშნავს, რომ მრავალწევრი არის შიდა ფუნქცია:

და, მხოლოდ ამის შემდეგ ხორციელდება ექსპონენტაცია, შესაბამისად, დენის ფუნქცია არის გარე ფუნქცია:

ფორმულის მიხედვით , ჯერ უნდა იპოვოთ გარე ფუნქციის წარმოებული, ამ შემთხვევაში ხარისხი. ჩვენ ვეძებთ სასურველ ფორმულას ცხრილში:. კიდევ ერთხელ ვიმეორებთ: ნებისმიერი ცხრილის ფორმულა მოქმედებს არა მხოლოდ "x", არამედ რთული გამოსახულებისთვისაც. ამრიგად, რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენების შედეგი შემდეგი:

კიდევ ერთხელ ხაზს ვუსვამ, რომ როდესაც ვიღებთ გარე ფუნქციის წარმოებულს, შიდა ფუნქცია არ იცვლება:

ახლა რჩება შიდა ფუნქციის ძალიან მარტივი წარმოებულის პოვნა და შედეგის ოდნავ "დავარცხნა":

მაგალითი 4

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

რთული ფუნქციის წარმოებულის გაგების გასამყარებლად, კომენტარის გარეშე მივცემ მაგალითს, შეეცადეთ თავად გაარკვიოთ, მიზეზი, სად არის გარეგანი და სად შინაგანი ფუნქცია, რატომ წყდება ამოცანები ასე?

მაგალითი 5

ა) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ბ) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 6

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ გვაქვს ფესვი და ფესვის დიფერენცირების მიზნით, ის უნდა იყოს წარმოდგენილი როგორც ხარისხი. ამრიგად, ჩვენ პირველ რიგში მივყავართ ფუნქციას დიფერენციაციისთვის შესაბამის ფორმაში:

ფუნქციის გაანალიზებისას მივდივართ დასკვნამდე, რომ სამი წევრის ჯამი შიდა ფუნქციაა, სიმძლავრე კი გარეგანი ფუნქციაა. ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესს :

ხარისხი კვლავ წარმოდგენილია როგორც რადიკალი (ფესვი), ხოლო შიდა ფუნქციის წარმოებულისთვის, ჯამის დიფერენცირების მარტივ წესს ვიყენებთ:

მზადაა. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოთქმა საერთო მნიშვნელამდე მიიყვანოთ ფრჩხილებში და დაწეროთ ყველაფერი ერთ წილადად. რა თქმა უნდა, მშვენიერია, მაგრამ როდესაც უხერხული გრძელი წარმოებულები მიიღება, უმჯობესია არ გააკეთოთ ეს (ადვილია დაბნეულობა, არასაჭირო შეცდომის დაშვება და მასწავლებლისთვის უხერხული იქნება შემოწმება).

მაგალითი 7

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ზოგჯერ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის ნაცვლად შეიძლება გამოვიყენოთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი. , მაგრამ ასეთი გამოსავალი უჩვეულო გარყვნილებას ჰგავს. აქ არის ტიპიური მაგალითი:

მაგალითი 8

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ შეგიძლიათ გამოიყენოთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი , მაგრამ ბევრად უფრო მომგებიანია წარმოებულის პოვნა რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესით:

ჩვენ ვამზადებთ ფუნქციას დიფერენციაციისთვის - ამოვიღებთ წარმოებულის მინუს ნიშანს და ვზრდით კოსინუსს მრიცხველამდე:

კოსინუსი არის შინაგანი ფუნქცია, ექსპონენტაცია გარეგანი ფუნქციაა.
გამოვიყენოთ ჩვენი წესი :

ჩვენ ვპოულობთ შიდა ფუნქციის წარმოებულს, კოსინუსს უკან ვაყენებთ:

მზადაა. განხილულ მაგალითში მნიშვნელოვანია, რომ ნიშნებში არ დაიბნეთ. სხვათა შორის, შეეცადეთ მოაგვაროთ ეს წესით , პასუხები უნდა ემთხვეოდეს.

მაგალითი 9

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

აქამდე განვიხილეთ შემთხვევები, როცა კომპლექსურ ფუნქციაში მხოლოდ ერთი ბუდე გვქონდა. პრაქტიკულ ამოცანებში ხშირად შეგიძლიათ იპოვოთ წარმოებულები, სადაც მობუდული თოჯინების მსგავსად, ერთი მეორეში, ერთდროულად 3 ან თუნდაც 4-5 ფუნქციაა ჩასმული.

მაგალითი 10

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ გვესმის ამ ფუნქციის დანართები. ჩვენ ვცდილობთ შევაფასოთ გამოხატულება ექსპერიმენტული მნიშვნელობის გამოყენებით. როგორ ვითვლით კალკულატორს?

ჯერ უნდა იპოვოთ, რაც ნიშნავს, რომ რკალი არის ყველაზე ღრმა ბუდე:

მაშინ ერთიანობის ეს რკალი უნდა დაიწიოს კვადრატში:

და ბოლოს, ჩვენ ვაყენებთ შვიდს ძალამდე:

ანუ, ამ მაგალითში გვაქვს სამი განსხვავებული ფუნქცია და ორი ბუდე, ხოლო ყველაზე შიდა ფუნქცია არის რკალი, ხოლო ყველაზე გარე ფუნქცია არის ექსპონენციალური ფუნქცია.

ჩვენ ვიწყებთ გადაწყვეტილების მიღებას

წესის მიხედვით ჯერ უნდა აიღოთ გარე ფუნქციის წარმოებული. ჩვენ ვათვალიერებთ წარმოებულთა ცხრილს და ვპოულობთ ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულს: ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ „x“-ის ნაცვლად გვაქვს რთული გამოხატულება, რომელიც არ უარყოფს ამ ფორმულის ნამდვილობას. ასე რომ, რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესის გამოყენების შედეგი შემდეგი.

წინასწარი საარტილერიო მომზადების შემდეგ, ფუნქციების 3-4-5 დანართი მაგალითები ნაკლებად საშინელი იქნება. შესაძლოა, შემდეგი ორი მაგალითი ზოგს რთულად მოეჩვენოს, მაგრამ თუ მათი გაგება (ვიღაც ზარალდება), მაშინ დიფერენციალურ გამოთვლებში თითქმის ყველაფერი ბავშვის ხუმრობად მოეჩვენება.

მაგალითი 2

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნისას, პირველ რიგში, აუცილებელია უფლებაინვესტიციების გაგება. იმ შემთხვევებში, როდესაც არსებობს ეჭვები, შეგახსენებთ სასარგებლო ხრიკს: ჩვენ ვიღებთ ექსპერიმენტულ მნიშვნელობას "x", მაგალითად, და ვცდილობთ (გონებრივად ან მონახაზზე) ჩავანაცვლოთ ეს მნიშვნელობა "საშინელი გამოხატულებით".

1) ჯერ უნდა გამოვთვალოთ გამოხატულება, ასე რომ ჯამი არის ყველაზე ღრმა ბუდე.

2) შემდეგ თქვენ უნდა გამოთვალოთ ლოგარითმი:

4) შემდეგ კუბური კოსინუსი:

5) მეხუთე საფეხურზე განსხვავება:

6) და ბოლოს, ყველაზე გარე ფუნქცია არის კვადრატული ფესვი:

კომპლექსური ფუნქციის დიფერენციაციის ფორმულა გამოიყენება საპირისპირო თანმიმდევრობით, ყველაზე გარე ფუნქციიდან შინაგანამდე. Ჩვენ ვწყვეტთ:

როგორც ჩანს, უშეცდომოა:

1) ვიღებთ კვადრატული ფესვის წარმოებულს.

2) ჩვენ ვიღებთ სხვაობის წარმოებულს წესის გამოყენებით

3) სამეულის წარმოებული ტოლია ნულის. მეორე წევრში ვიღებთ ხარისხის წარმოებულს (კუბი).

4) ვიღებთ კოსინუსის წარმოებულს.

6) და ბოლოს, ვიღებთ ყველაზე ღრმა ბუდეების წარმოებულს.

შეიძლება ძალიან რთული ჩანდეს, მაგრამ ეს არ არის ყველაზე სასტიკი მაგალითი. აიღეთ, მაგალითად, კუზნეცოვის კოლექცია და თქვენ დააფასებთ გაანალიზებული წარმოებულის მთელ ხიბლს და სიმარტივეს. შევამჩნიე, რომ მოსწონთ გამოცდაზე მსგავსი რამის მიცემა, რათა შეამოწმონ, ესმის თუ არა სტუდენტს რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნა, თუ არ ესმის.

შემდეგი მაგალითი არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

მაგალითი 3

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

მინიშნება: პირველ რიგში ვიყენებთ წრფივობის წესებს და პროდუქტის დიფერენციაციის წესს

სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

დროა გადავიდეთ უფრო კომპაქტურ და ლამაზზე.
იშვიათი არაა სიტუაცია, როდესაც მაგალითში მოცემულია არა ორი, არამედ სამი ფუნქციის ნამრავლი. როგორ მოვძებნოთ სამი ფაქტორის ნამრავლის წარმოებული?

მაგალითი 4

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ჯერ ვუყურებთ, მაგრამ შესაძლებელია თუ არა სამი ფუნქციის ნამრავლის ორი ფუნქციის ნამრავლად გადაქცევა? მაგალითად, თუ ჩვენ გვქონდა ორი მრავალწევრი ნამრავლში, მაშინ შეგვიძლია გავხსნათ ფრჩხილები. მაგრამ ამ მაგალითში ყველა ფუნქცია განსხვავებულია: ხარისხი, მაჩვენებელი და ლოგარითმი.

ასეთ შემთხვევებში აუცილებელია თანმიმდევრულადგამოიყენეთ პროდუქტის დიფერენციაციის წესი ორჯერ

ხრიკი ის არის, რომ "y"-სთვის ჩვენ აღვნიშნავთ ორი ფუნქციის ნამრავლს: , ხოლო "ve" -სთვის - ლოგარითმს:. რატომ შეიძლება ამის გაკეთება? Ეს არის - ეს არ არის ორი ფაქტორის პროდუქტი და წესი არ მუშაობს?! არაფერია რთული:

ახლა რჩება წესის მეორედ გამოყენება ფრჩხილებში:

თქვენ მაინც შეგიძლიათ გარყვნილება და რაიმეს ამოღება ფრჩხილებიდან, მაგრამ ამ შემთხვევაში ჯობია პასუხი ამ ფორმით დატოვოთ - უფრო ადვილი იქნება შემოწმება.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითი შეიძლება მოგვარდეს მეორე გზით:

ორივე გამოსავალი აბსოლუტურად ექვივალენტურია.

მაგალითი 5

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის, ნიმუშში ის წყდება პირველი გზით.

განვიხილოთ მსგავსი მაგალითები წილადებით.

მაგალითი 6

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ შეგიძლიათ რამდენიმე გზით წასვლა:

ან ასე:

მაგრამ ამონახსნი შეიძლება დაიწეროს უფრო კომპაქტურად, თუ, პირველ რიგში, გამოვიყენებთ კოეფიციენტის დიფერენციაციის წესს. მთელი მრიცხველის აღებით:

მრიცხველის გამოსახულებას მივყავართ საერთო მნიშვნელთან და ვაშორებთ სამსართულიან წილადს:

დამატებითი გამარტივების მინუსი არის ის, რომ არსებობს შეცდომის დაშვების რისკი არა წარმოებულის პოვნისას, არამედ ბანალური სკოლის გარდაქმნებისას. მეორეს მხრივ, მასწავლებლები ხშირად უარყოფენ დავალებას და სთხოვენ წარმოებულის „გახსენებას“.

უფრო მარტივი მაგალითი საკუთარი თავის გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 7

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ვაგრძელებთ წარმოებულის პოვნის ტექნიკის დაუფლებას და ახლა განვიხილავთ ტიპიურ შემთხვევას, როდესაც დიფერენციაციისთვის შემოთავაზებულია "საშინელი" ლოგარითმი.

რთული წარმოებულები. ლოგარითმული წარმოებული.
ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ვაგრძელებთ დიფერენციაციის ტექნიკის გაუმჯობესებას. ამ გაკვეთილზე ჩვენ გავაერთიანებთ გაშუქებულ მასალას, განვიხილავთ უფრო რთულ წარმოებულებს და ასევე გავეცნობით წარმოებულის საპოვნელ ახალ ხრიკებს და ხრიკებს, კერძოდ, ლოგარითმული წარმოებულის.

იმ მკითხველებმა, რომლებსაც აქვთ მომზადების დაბალი დონე, უნდა მიმართონ სტატიას როგორ მოვძებნოთ წარმოებული? გადაწყვეტის მაგალითებირაც საშუალებას მოგცემთ ამაღლოთ თქვენი უნარები თითქმის ნულიდან. შემდეგი, თქვენ უნდა ყურადღებით შეისწავლოთ გვერდი რთული ფუნქციის წარმოებული, გაგება და გადაწყვეტა ყველაჩემს მიერ მოყვანილი მაგალითები. ეს გაკვეთილი ლოგიკურად ზედიზედ მესამეა და მისი დაუფლების შემდეგ დამაჯერებლად განასხვავებთ საკმაოდ რთულ ფუნქციებს. არასასურველია დარჩეს პოზიცია „სხვაგან სად? დიახ, და ეს საკმარისია! ”, რადგან ყველა მაგალითი და გამოსავალი აღებულია რეალური ტესტებიდან და ხშირად გვხვდება პრაქტიკაში.

დავიწყოთ გამეორებით. გაკვეთილზე რთული ფუნქციის წარმოებულიჩვენ განვიხილეთ არაერთი მაგალითი დეტალური კომენტარებით. დიფერენციალური გამოთვლების და მათემატიკური ანალიზის სხვა განყოფილებების შესწავლის პროცესში, თქვენ მოგიწევთ ძალიან ხშირად დიფერენცირება და ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი (და არა ყოველთვის აუცილებელი) მაგალითების დეტალურად დახატვა. ამიტომ, ჩვენ ვივარჯიშებთ წარმოებულების ზეპირ პოვნაში. ამისათვის ყველაზე შესაფერისი "კანდიდატები" არის უმარტივესი ფუნქციების წარმოებულები, მაგალითად:

რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესის მიხედვით :

სამომავლოდ მატანის სხვა თემების შესწავლისას ასეთი დეტალური ჩანაწერი ყველაზე ხშირად არ არის საჭირო, ვარაუდობენ, რომ სტუდენტს შეუძლია ავტოპილოტზე მსგავსი წარმოებულების პოვნა. წარმოვიდგინოთ, რომ დილის 3 საათზე ტელეფონმა დარეკა და სასიამოვნო ხმამ იკითხა: "რა არის ორი x-ის ტანგენტის წარმოებული?". ამას უნდა მოჰყვეს თითქმის მყისიერი და თავაზიანი პასუხი: .

პირველი მაგალითი დაუყოვნებლივ იქნება განკუთვნილი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

მაგალითი 1

იპოვეთ შემდეგი წარმოებულები ზეპირად, ერთი ნაბიჯით, მაგალითად: . დავალების შესასრულებლად, თქვენ მხოლოდ უნდა გამოიყენოთ ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი(თუ მას უკვე არ ახსოვდა). თუ რაიმე სირთულე გაქვთ, გირჩევთ გაკვეთილის ხელახლა წაკითხვას რთული ფუნქციის წარმოებული.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

პასუხები გაკვეთილის ბოლოს

რთული წარმოებულები

მაგალითი 2

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

1) ჯერ უნდა გამოვთვალოთ გამოხატულება, ასე რომ ჯამი არის ყველაზე ღრმა ბუდე.

2) შემდეგ თქვენ უნდა გამოთვალოთ ლოგარითმი:

4) შემდეგ კუბური კოსინუსი:

5) მეხუთე საფეხურზე განსხვავება:

6) და ბოლოს, ყველაზე გარე ფუნქცია არის კვადრატული ფესვი:

როგორც ჩანს, შეცდომა არ არის...

(1) ვიღებთ კვადრატული ფესვის წარმოებულს.

(2) ჩვენ ვიღებთ სხვაობის წარმოებულს წესის გამოყენებით

(3) სამეულის წარმოებული ტოლია ნულის. მეორე წევრში ვიღებთ ხარისხის წარმოებულს (კუბი).

(4) ვიღებთ კოსინუსის წარმოებულს.

(5) ვიღებთ ლოგარითმის წარმოებულს.

(6) და ბოლოს, ჩვენ ავიღებთ ყველაზე ღრმა ბუდეების წარმოებულს.

შემდეგი მაგალითი არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

მაგალითი 3

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

მაგალითი 4

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ახლა რჩება წესის მეორედ გამოყენება ფრჩხილებში:

მაინც შეიძლება გარყვნილება და ფრჩხილებიდან რაღაცის ამოღება, მაგრამ ამ შემთხვევაში ჯობია პასუხი ამ ფორმით დატოვო - უფრო ადვილი იქნება შემოწმება.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითი შეიძლება მოგვარდეს მეორე გზით:

ორივე გამოსავალი აბსოლუტურად ექვივალენტურია.

მაგალითი 5

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

განვიხილოთ მსგავსი მაგალითები წილადებით.

მაგალითი 6

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ შეგიძლიათ რამდენიმე გზით წასვლა:

ან ასე:

პრინციპში, მაგალითი მოგვარებულია და ამ ფორმით თუ დარჩა, შეცდომა არ იქნება. მაგრამ თუ დრო გაქვთ, ყოველთვის მიზანშეწონილია შეამოწმოთ პროექტი, მაგრამ შესაძლებელია თუ არა პასუხის გამარტივება? მრიცხველის გამოსახულებას მივყავართ საერთო მნიშვნელთან და მოიშორეთ სამსართულიანი წილადი:

უფრო მარტივი მაგალითი საკუთარი თავის გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 7

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 8

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ შეგიძლიათ გრძელი გზა გაიაროთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესის გამოყენებით:

მაგრამ პირველივე ნაბიჯი მაშინვე გიბიძგებს სასოწარკვეთილებაში - თქვენ უნდა აიღოთ წილადი ხარისხის უსიამოვნო წარმოებული, შემდეგ კი წილადიდან.

Ისე ადრეროგორ ავიღოთ "ლამაზი" ლოგარითმის წარმოებული, ის ადრე გამარტივებულია ცნობილი სკოლის თვისებების გამოყენებით:

! თუ ხელთ გაქვთ სავარჯიშო რვეული, დააკოპირეთ ეს ფორმულები იქვე. თუ რვეული არ გაქვთ, დახატეთ ისინი ფურცელზე, რადგან გაკვეთილის დანარჩენი მაგალითები ამ ფორმულების გარშემო ტრიალებს.

თავად გამოსავალი შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად:

მოდით გარდავქმნათ ფუნქცია:

ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს:

თავად ფუნქციის წინასწარმა ტრანსფორმაციამ მნიშვნელოვნად გაამარტივა გამოსავალი. ამრიგად, როდესაც მსგავსი ლოგარითმი შემოთავაზებულია დიფერენციაციისთვის, ყოველთვის მიზანშეწონილია მისი "დაშლა".

ახლა კი რამდენიმე მარტივი მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 9

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 10

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ყველა ტრანსფორმაცია და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ლოგარითმული წარმოებული

თუ ლოგარითმების წარმოებული ასეთი ტკბილი მუსიკაა, მაშინ ჩნდება კითხვა, შესაძლებელია თუ არა ზოგიერთ შემთხვევაში ლოგარითმის ხელოვნურად ორგანიზება? შეიძლება! და აუცილებელიც კი.

მაგალითი 11

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

მსგავსი მაგალითები ჩვენ ახლახან განვიხილეთ. Რა უნდა ვქნა? შეიძლება თანმიმდევრულად გამოიყენოს კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი, შემდეგ კი პროდუქტის დიფერენცირების წესი. ამ მეთოდის მინუსი ის არის, რომ თქვენ მიიღებთ უზარმაზარ სამსართულიან წილადს, რომელსაც საერთოდ არ გსურთ გამკლავება.

მაგრამ თეორიასა და პრაქტიკაში არის ისეთი მშვენიერი რამ, როგორიცაა ლოგარითმული წარმოებული. ლოგარითმები შეიძლება ხელოვნურად დალაგდეს ორივე მხრიდან მათი „დაკიდებით“:

შენიშვნა : იმიტომ ფუნქციას შეუძლია მიიღოს უარყოფითი მნიშვნელობები, მაშინ, ზოგადად რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა გამოიყენოთ მოდულები: , რომლებიც ქრება დიფერენცირების შედეგად. თუმცა, ამჟამინდელი დიზაინიც მისაღებია, სადაც სტანდარტულად კომპლექსიღირებულებები. მაგრამ თუ მთელი სიმკაცრით, მაშინ ორივე შემთხვევაში აუცილებელია ამის დაჯავშნა.

ახლა თქვენ უნდა "დაარღვიოთ" მარჯვენა მხარის ლოგარითმი მაქსიმალურად (ფორმულები თქვენს თვალწინ?). მე დეტალურად აღვწერ ამ პროცესს:

დავიწყოთ დიფერენცირებით.
ორივე ნაწილს ვასრულებთ ინსულტით:

მარჯვენა მხარის წარმოებული საკმაოდ მარტივია, მასზე კომენტარს არ გავაკეთებ, რადგან თუ კითხულობთ ამ ტექსტს, უნდა შეგეძლოთ დარწმუნებით გაუმკლავდეთ მას.

რაც შეეხება მარცხენა მხარეს?

მარცხენა მხარეს გვაქვს რთული ფუნქცია. მე ვგეგმავ კითხვას: "რატომ, არის ერთი ასო "y" ლოგარითმის ქვეშ?".

ფაქტია, რომ ეს "ერთი ასო y" - არის ფუნქცია თავისთავად(თუ ეს არ არის ძალიან ნათელი, იხილეთ სტატია ირიბად მითითებული ფუნქციის წარმოებული). მაშასადამე, ლოგარითმი არის გარეგანი ფუნქცია, ხოლო "y" არის შიდა ფუნქცია. და ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესს :

მარცხენა მხარეს, თითქოს ჯადოსნურად, გვაქვს წარმოებული. გარდა ამისა, პროპორციის წესის მიხედვით, ჩვენ ვყრით "y"-ს მარცხენა მხარის მნიშვნელიდან მარჯვენა მხარის ზევით:

ახლა კი გვახსოვს, რა სახის "თამაშის" ფუნქციაზე ვისაუბრეთ დიფერენცირებისას? მოდით შევხედოთ მდგომარეობას:

საბოლოო პასუხი:

მაგალითი 12

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. ამ ტიპის მაგალითის ნიმუშის დიზაინი გაკვეთილის ბოლოს.

ლოგარითმული წარმოებულის დახმარებით შესაძლებელი გახდა 4-7 მაგალითის ამოხსნა, სხვა საქმეა, რომ ფუნქციები იქ უფრო მარტივია და, შესაძლოა, ლოგარითმული წარმოებულის გამოყენება არც თუ ისე გამართლებული იყოს.

ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ჯერ არ განვიხილავთ ამ ფუნქციას. ექსპონენციალური ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელსაც აქვს და ხარისხი და ბაზა დამოკიდებულია "x"-ზე. კლასიკური მაგალითი, რომელიც მოგცემთ ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ან ლექციაზე:

როგორ მოვძებნოთ ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული?

აუცილებელია გამოვიყენოთ ახლახან განხილული ტექნიკა - ლოგარითმული წარმოებული. ლოგარითმები ორივე მხარეს ვკიდებთ:

როგორც წესი, ხარისხი ამოღებულია ლოგარითმის ქვეშ მარჯვენა მხარეს:

შედეგად, მარჯვენა მხარეს გვაქვს ორი ფუნქციის პროდუქტი, რომელიც დიფერენცირებული იქნება სტანდარტული ფორმულის მიხედვით. .

ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს, ამისათვის ჩვენ ორივე ნაწილს ვამაგრებთ შტრიხების ქვეშ:

შემდეგი ნაბიჯები მარტივია:

საბოლოოდ:

თუ ზოგიერთი ტრანსფორმაცია ბოლომდე გასაგები არ არის, გთხოვთ, ყურადღებით წაიკითხოთ მაგალითი 11-ის განმარტებები.

პრაქტიკულ ამოცანებში ექსპონენციალური ფუნქცია ყოველთვის უფრო რთული იქნება, ვიდრე განხილული ლექციის მაგალითი.

მაგალითი 13

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ვიყენებთ ლოგარითმულ წარმოებულს.

მარჯვენა მხარეს გვაქვს ორი ფაქტორის - "x" და "x-ის ლოგარითმის ლოგარითმი" მუდმივი და ნამრავლი (ლოგარითმის ქვეშ მოთავსებულია სხვა ლოგარითმი). მუდმივის დიფერენცირებისას, როგორც გვახსოვს, სჯობს მაშინვე გამოვიყვანოთ წარმოებულის ნიშნიდან, რათა ხელი არ შეუშალოს; და, რა თქმა უნდა, გამოიყენეთ ნაცნობი წესი :

რაც აქ მოხვედით, ალბათ უკვე მოახერხეთ ამ ფორმულის სახელმძღვანელოში ნახვა

და გააკეთე სახე ასეთი:

მეგობარო, არ ინერვიულო! სინამდვილეში, ყველაფერი მარტივია სამარცხვინოდ. აუცილებლად გაიგებ ყველაფერს. მხოლოდ ერთი მოთხოვნა - წაიკითხეთ სტატია ნელაშეეცადეთ გაიგოთ ყოველი ნაბიჯი. რაც შეიძლება მარტივად და გარკვევით დავწერე, მაგრამ თქვენ მაინც უნდა ჩაუღრმავდეთ იდეას. და დარწმუნდით, რომ გადაჭრით ამოცანები სტატიიდან.

რა არის რთული ფუნქცია?

წარმოიდგინეთ, რომ სხვა ბინაში გადადიხართ და ამიტომ ნივთებს დიდ ყუთებში აწყობთ. დაე, საჭირო გახდეს რამდენიმე პატარა ნივთის შეგროვება, მაგალითად, სკოლის საკანცელარიო ნივთები. თუ უბრალოდ ჩააგდებთ მათ უზარმაზარ ყუთში, ისინი სხვა საკითხებთან ერთად დაიკარგებიან. ამის თავიდან ასაცილებლად ჯერ დებთ, მაგალითად, ჩანთაში, რომელსაც შემდეგ დებთ დიდ ყუთში, რის შემდეგაც დალუქავთ. ეს "ურთულესი" პროცესი ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ დიაგრამაზე:

როგორც ჩანს, სად არის მათემატიკა? გარდა ამისა, კომპლექსური ფუნქცია იქმნება ზუსტად იგივე გზით! მხოლოდ ჩვენ „ვფუთავთ“ არა რვეულებსა და კალმებს, არამედ \ (x\), ხოლო სხვადასხვა „პაკეტები“ და „ყუთები“ ემსახურება.

მაგალითად, ავიღოთ x და „შეფუთოთ“ ის ფუნქციაში:

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ, რა თქმა უნდა, \(\cos⁡x\). ეს არის ჩვენი "ნივთების ტომარა". ახლა კი „ყუთში“ ვდებთ – ვფუთავთ, მაგალითად, კუბურ ფუნქციაში.

რა მოხდება ბოლოს? დიახ, ეს ასეა, იქნება "შეფუთვა ნივთებით ყუთში", ანუ "X კუბური კოსინუსი".

შედეგად მიღებული კონსტრუქცია რთული ფუნქციაა. მარტივისგან იმით განსხვავდება რამდენიმე „ზემოქმედება“ (პაკეტი) გამოიყენება ერთ X-ზე ზედიზედდა გამოდის, თითქოს, "ფუნქცია ფუნქციიდან" - "პაკეტი პაკეტში".

სასკოლო კურსში ამ იგივე „პაკეტების“ ძალიან ცოტა სახეობაა, მხოლოდ ოთხი:

მოდით ახლა „ჩაფუთოთ“ x ჯერ ექსპონენციალურ ფუნქციაში 7 ფუძით, შემდეგ კი ტრიგონომეტრიულ ფუნქციაში. ჩვენ ვიღებთ:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

და ახლა მოდით, x ორჯერ გავაერთიანოთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებში, ჯერ და შემდეგ:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

მარტივი, არა?

ახლა ჩაწერეთ ფუნქციები, სადაც x:
- ჯერ "შეფუთულია" კოსინუსში, შემდეგ კი ექსპონენციალურ ფუნქციაში ბაზისით \(3\);
- ჯერ მეხუთე ხარისხზე, შემდეგ კი ტანგენსზე;
- ჯერ საბაზისო ლოგარითმამდე \(4\) , შემდეგ სიმძლავრის \(-2\).

ამ კითხვაზე პასუხები იხილეთ სტატიის ბოლოს.

მაგრამ შეგვიძლია x არა ორჯერ, არამედ სამჯერ „ჩავაკრათ“? Არაა პრობლემა! და ოთხჯერ და ხუთჯერ და ოცდახუთჯერ. მაგალითად, აქ არის ფუნქცია, რომელშიც x "შეფუთულია" \(4\) ჯერ:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

მაგრამ ასეთი ფორმულები სასკოლო პრაქტიკაში არ მოიძებნება (მოსწავლეებს უფრო გაუმართლათ - შეიძლება უფრო რთული იყოს☺).

კომპლექსური ფუნქციის "გაშლა".

კიდევ ერთხელ გადახედეთ წინა ფუნქციას. შეგიძლიათ გაარკვიოთ "შეფუთვის" თანმიმდევრობა? რა X-ში ჩაყარეს ჯერ, რა მერე და ასე ბოლომდე. ანუ რომელი ფუნქცია რომელშია ჩასმული? აიღეთ ფურცელი და დაწერეთ რას ფიქრობთ. ამის გაკეთება შეგიძლიათ ისრების ჯაჭვით, როგორც ზემოთ დავწერეთ, ან სხვა გზით.

ახლა სწორი პასუხია: ჯერ x "შეფუთული" იყო \(4\)-ე ხარისხში, შემდეგ შედეგი ჩაიკრა სინუსში, ის, თავის მხრივ, მოთავსდა ლოგარითმის ბაზაში \(2\) და ბოლოს მთელი კონსტრუქცია გადაიზარდა სიმძლავრის ხუთეულებში.

ანუ აუცილებელია მიმდევრობის უკუ მიმდევრობით განტვირთვა. და აქ არის მინიშნება, თუ როგორ უნდა გააკეთოთ ეს უფრო მარტივად: უბრალოდ შეხედეთ X-ს - თქვენ უნდა იცეკვოთ მისგან. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითად, აქ არის ფუნქცია: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). ჩვენ ვუყურებთ X-ს - რა ხდება მას პირველად? მისგან წაღებული. Და მერე? მიღებულია შედეგის ტანგენსი. და თანმიმდევრობა იგივე იქნება:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

კიდევ ერთი მაგალითი: \(y=\cos⁡((x^3))\). ვაანალიზებთ - ჯერ x იქნა კუბურები, შემდეგ კი შედეგიდან აიღეს კოსინუსი. ასე რომ, მიმდევრობა იქნება: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). ყურადღება მიაქციეთ, ფუნქცია თითქოს პირველის მსგავსია (სადაც სურათებით). მაგრამ ეს სრულიად განსხვავებული ფუნქციაა: აქ კუბში x (ანუ \(\cos⁡((x x x)))\), და იქ კუბში კოსინუსი \(x\) (ანუ \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). ეს განსხვავება წარმოიქმნება სხვადასხვა "შეფუთვის" თანმიმდევრობით.

ბოლო მაგალითი (მასში მნიშვნელოვანი ინფორმაციაა): \(y=\sin⁡((2x+5))\). გასაგებია, რომ აქ ჯერ არითმეტიკული მოქმედებები ჩავატარეთ x-ით, შემდეგ მათ აიღეს სინუსი შედეგიდან: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). და ეს მნიშვნელოვანი პუნქტია: მიუხედავად იმისა, რომ არითმეტიკული ოპერაციები თავისთავად არ არის ფუნქციები, აქ ისინი ასევე მოქმედებენ როგორც "შეფუთვის" საშუალება. მოდით ჩავუღრმავდეთ ამ დახვეწილობას.

როგორც ზემოთ ვთქვი, მარტივ ფუნქციებში x ერთხელ „შეფუთულია“, ხოლო რთულ ფუნქციებში – ორი ან მეტი. უფრო მეტიც, მარტივი ფუნქციების ნებისმიერი კომბინაცია (ანუ მათი ჯამი, სხვაობა, გამრავლება ან გაყოფა) ასევე მარტივი ფუნქციაა. მაგალითად, \(x^7\) არის მარტივი ფუნქცია და ასევე არის \(ctg x\). აქედან გამომდინარე, მათი ყველა კომბინაცია მარტივი ფუნქციებია:

\(x^7+ ctg x\) - მარტივი,
\(x^7 ctg x\) მარტივია,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) მარტივია და ა.შ.

თუმცა, თუ ამ კომბინაციაზე კიდევ ერთი ფუნქცია იქნება გამოყენებული, ეს უკვე რთული ფუნქცია იქნება, რადგან იქნება ორი „პაკეტი“. იხილეთ დიაგრამა:

კარგი, ახლავე გავაგრძელოთ. დაწერეთ "შეფუთვის" ფუნქციების თანმიმდევრობა:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
პასუხები ისევ სტატიის ბოლოსაა.

შიდა და გარე ფუნქციები

რატომ უნდა გავიგოთ ფუნქციის ბუდე? რას გვაძლევს ეს? საქმე იმაშია, რომ ასეთი ანალიზის გარეშე ჩვენ საიმედოდ ვერ ვიპოვით ზემოთ განხილული ფუნქციების წარმოებულებს.

და იმისათვის, რომ გადავიდეთ, დაგვჭირდება კიდევ ორი კონცეფცია: შიდა და გარე ფუნქციები. ეს ძალიან მარტივი რამ არის, უფრო მეტიც, ფაქტობრივად, ჩვენ უკვე გავაანალიზეთ ისინი ზემოთ: თუ თავიდანვე გავიხსენებთ ჩვენს ანალოგიას, მაშინ შიდა ფუნქცია არის „პაკეტი“, ხოლო გარე არის „ყუთი“. იმათ. ის, რაც X პირველ რიგში "შეფუთულია" არის შიდა ფუნქცია, ხოლო ის, რაც "შეფუთულია" შიგნით, უკვე გარეგანია. გასაგებია რატომაც - გარეთაა, გარეგანს ნიშნავს.

აი ამ მაგალითში: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), ფუნქცია \(\log_2⁡x\) არის შიდა და
- გარე.

და ამ ერთში: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) არის შიდა, და
- გარე.

შეასრულეთ რთული ფუნქციების ანალიზის ბოლო პრაქტიკა და ბოლოს, გადავიდეთ იმ წერტილზე, რისთვისაც ყველაფერი დაიწყო - ჩვენ ვიპოვით რთული ფუნქციების წარმოებულებს:

შეავსეთ ცხრილის ხარვეზები:

რთული ფუნქციის წარმოებული

ბრავო ჩვენთან, მაინც მივედით ამ თემის "ბოსამდე" - ფაქტობრივად, რთული ფუნქციის წარმოებულამდე და კონკრეტულად იმ საშინელ ფორმულამდე სტატიის დასაწყისიდან.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

ეს ფორმულა ასე იკითხება:

რთული ფუნქციის წარმოებული უდრის გარე ფუნქციის წარმოებულის ნამრავლს მუდმივი შინაგანი ფუნქციისა და შინაგანი ფუნქციის წარმოებულის მიმართ.

და დაუყოვნებლივ გადახედეთ ანალიზების სქემას "სიტყვით", რომ გაიგოთ, რასთან უნდა იყოს დაკავშირებული:

იმედი მაქვს, ტერმინები „წარმოებული“ და „პროდუქტი“ არ გამოიწვევს სირთულეებს. „კომპლექსური ფუნქცია“ - უკვე მოვახდინეთ დემონტაჟი. დაჭერა არის "გარე ფუნქციის წარმოებულში მუდმივ შინაგანთან მიმართებაში". რა არის ეს?

პასუხი: ეს არის გარე ფუნქციის ჩვეულებრივი წარმოებული, რომელშიც იცვლება მხოლოდ გარეგანი ფუნქცია, ხოლო შიდა უცვლელი რჩება. ჯერ კიდევ გაურკვეველია? კარგი, ავიღოთ მაგალითი.

ვთქვათ, გვაქვს ფუნქცია \(y=\sin⁡(x^3)\). ნათელია, რომ შიდა ფუნქცია აქ არის \(x^3\), ხოლო გარე
. ახლა ვიპოვოთ გარედან წარმოებული მუდმივი შინაგანის მიმართ.

წარმოებულის პოვნის ოპერაციას დიფერენციაცია ეწოდება.

უმარტივესი (და არც თუ ისე მარტივი) ფუნქციების წარმოებულების პოვნის ამოცანების გადაჭრის შედეგად წარმოებულის, როგორც არგუმენტის ნამატის შეფარდების შეფარდების ზღვრად განსაზღვრით, გამოჩნდა წარმოებულების ცხრილი და ზუსტად განსაზღვრული დიფერენციაციის წესები. . ისააკ ნიუტონი (1643-1727) და გოტფრიდ ვილჰელმ ლაიბნიცი (1646-1716) იყვნენ პირველები, ვინც მუშაობდნენ წარმოებულების პოვნის სფეროში.

ამიტომ, ჩვენს დროში, რომელიმე ფუნქციის წარმოებულის საპოვნელად არ არის საჭირო ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზემოაღნიშნული ლიმიტის გამოთვლა არგუმენტის ზრდასთან, არამედ საჭიროა მხოლოდ ცხრილის გამოყენება. წარმოებულებისა და დიფერენციაციის წესები. შემდეგი ალგორითმი შესაფერისია წარმოებულის მოსაძებნად.

წარმოებულის საპოვნელად, თქვენ გჭირდებათ გამოხატვა ინსულტის ნიშნის ქვეშ მარტივი ფუნქციების დაშლადა განსაზღვრეთ რა ქმედებები (პროდუქტი, ჯამი, კოეფიციენტი)ეს ფუნქციები დაკავშირებულია. გარდა ამისა, ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულებს ვხვდებით წარმოებულთა ცხრილში, ხოლო ნამრავლის წარმოებულების ფორმულებს, ჯამისა და კოეფიციენტის - დიფერენციაციის წესებში. წარმოებულების ცხრილი და დიფერენციაციის წესები მოცემულია პირველი ორი მაგალითის შემდეგ.

მაგალითი 1იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

გადაწყვეტილება. დიფერენციაციის წესებიდან ვხვდებით, რომ ფუნქციების ჯამის წარმოებული არის ფუნქციათა წარმოებულთა ჯამი, ე.ი.

წარმოებულთა ცხრილიდან ვიგებთ, რომ „X“-ის წარმოებული უდრის ერთს, ხოლო სინუსის წარმოებული არის კოსინუსი. ჩვენ ვცვლით ამ მნიშვნელობებს წარმოებულების ჯამში და ვპოულობთ წარმოებულს, რომელიც საჭიროა პრობლემის მდგომარეობით:

მაგალითი 2იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

გადაწყვეტილება. ჩვენ განვასხვავებთ, როგორც ჯამის წარმოებულს, რომელშიც მუდმივი ფაქტორის მქონე მეორე წევრი შეიძლება ამოღებულ იქნეს წარმოებულის ნიშნიდან:

თუ ჯერ კიდევ არსებობს კითხვები იმის შესახებ, თუ საიდან მოდის რაღაც, ისინი, როგორც წესი, ნათელი ხდება წარმოებულების ცხრილისა და დიფერენცირების უმარტივესი წესების წაკითხვის შემდეგ. ჩვენ მათთან მივდივართ ახლავე.

მარტივი ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი

1. მუდმივის (რიცხვის) წარმოებული. ნებისმიერი რიცხვი (1, 2, 5, 200...), რომელიც არის ფუნქციის გამოხატულებაში. ყოველთვის ნულოვანი. ეს ძალიან მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ, რადგან ეს ძალიან ხშირად არის საჭირო
2. დამოუკიდებელი ცვლადის წარმოებული. ყველაზე ხშირად "x". ყოველთვის ერთის ტოლია. ეს ასევე მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ
3. ხარისხის წარმოებული. პრობლემების გადაჭრისას საჭიროა არაკვადრატული ფესვების დენის გადაქცევა.
4. ცვლადის წარმოებული -1 ხარისხზე
5. კვადრატული ფესვის წარმოებული
6. სინუსური წარმოებული
7. კოსინუსის წარმოებული
8. ტანგენტის წარმოებული
9. კოტანგენტის წარმოებული
10. არქსინის წარმოებული
11. რკალის კოსინუსის წარმოებული
12. რკალის ტანგენტის წარმოებული
13. შებრუნებული ტანგენსის წარმოებული
14. ნატურალური ლოგარითმის წარმოებული
15. ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული
16. მაჩვენებლის წარმოებული
17. ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

დიფერენციაციის წესები

1. ჯამის ან სხვაობის წარმოებული
2. პროდუქტის წარმოებული
2ა. გამოხატვის წარმოებული გამრავლებული მუდმივ კოეფიციენტზე
3. კოეფიციენტის წარმოებული
4. რთული ფუნქციის წარმოებული

წესი 1თუ ფუნქციები

რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია, შემდეგ ერთსა და იმავე მომენტში ფუნქციები

და

იმათ. ფუნქციების ალგებრული ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულთა ალგებრულ ჯამს.

შედეგი. თუ ორი დიფერენცირებადი ფუნქცია განსხვავდება მუდმივით, მაშინ მათი წარმოებულებია, ე.ი.

წესი 2თუ ფუნქციები

რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია, მაშინ მათი პროდუქტი ასევე დიფერენცირებადია იმავე მომენტში

და

იმათ. ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის თითოეული ამ ფუნქციის ნამრავლისა და მეორის წარმოებულის ჯამს.

შედეგი 1. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან:

შედეგი 2. რამდენიმე დიფერენცირებადი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის თითოეული ფაქტორისა და ყველა სხვა წარმოებულის ნამრავლების ჯამს.

მაგალითად, სამი მულტიპლიკატორისთვის:

წესი 3თუ ფუნქციები

რაღაც მომენტში დიფერენცირებადი და , მაშინ ამ დროს მათი კოეფიციენტიც დიფერენცირებადია.u/v და

იმათ. ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის სხვაობა მნიშვნელისა და მრიცხველის წარმოებულსა და მრიცხველისა და მნიშვნელის წარმოებულს შორის, ხოლო მნიშვნელი არის წინა მრიცხველის კვადრატი. .

სად ვნახო სხვა გვერდებზე

რეალურ ამოცანებში პროდუქტის წარმოებულისა და კოეფიციენტის პოვნისას, ყოველთვის აუცილებელია რამდენიმე დიფერენციაციის წესის ერთდროულად გამოყენება, ამიტომ ამ წარმოებულების მეტი მაგალითი მოცემულია სტატიაში."პროდუქტის წარმოებული და კოეფიციენტი".

კომენტარი.არ უნდა აურიოთ მუდმივი (ანუ რიცხვი), როგორც ჯამის ტერმინი და როგორც მუდმივი ფაქტორი! ტერმინის შემთხვევაში მისი წარმოებული ნულის ტოლია, ხოლო მუდმივი ფაქტორის შემთხვევაში იგი ამოღებულია წარმოებულების ნიშნიდან. ეს არის ტიპიური შეცდომა, რომელიც ხდება წარმოებულების შესწავლის საწყის ეტაპზე, მაგრამ რადგან საშუალო სტუდენტი ხსნის რამდენიმე ერთ-ორკომპონენტიან მაგალითს, ეს შეცდომა აღარ უშვებს.

და თუ პროდუქტის ან კოეფიციენტის დიფერენცირებისას გაქვთ ტერმინი u"ვ, სადაც u- რიცხვი, მაგალითად, 2 ან 5, ანუ მუდმივი, მაშინ ამ რიცხვის წარმოებული იქნება ნულის ტოლი და, შესაბამისად, მთელი წევრი იქნება ნულის ტოლი (ასეთი შემთხვევა გაანალიზებულია მაგალითში 10) .

კიდევ ერთი გავრცელებული შეცდომა არის რთული ფუნქციის წარმოებულის მექანიკური ამოხსნა, როგორც მარტივი ფუნქციის წარმოებული. Ისე რთული ფუნქციის წარმოებულიცალკე სტატიას ეძღვნება. მაგრამ ჯერ ჩვენ ვისწავლით მარტივი ფუნქციების წარმოებულების პოვნას.

გზაში, თქვენ არ შეგიძლიათ გააკეთოთ გამონათქვამების გარდაქმნების გარეშე. ამისათვის შეიძლება დაგჭირდეთ Windows-ის ახალი სახელმძღვანელოების გახსნა მოქმედებები ძალებითა და ფესვებითდა მოქმედებები წილადებთან .

თუ თქვენ ეძებთ გადაწყვეტილებებს წარმოებულებზე ძალებითა და ფესვებით, ანუ როცა ფუნქცია ასე გამოიყურება , შემდეგ მიჰყევით გაკვეთილს " წილადებისა და ფესვების ჯამის წარმოებული".

თუ თქვენ გაქვთ ისეთი დავალება, როგორიცაა , მაშინ ხართ გაკვეთილზე „მარტივი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები“.

ნაბიჯ-ნაბიჯ მაგალითები - როგორ მოვძებნოთ წარმოებული

მაგალითი 3იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

გადაწყვეტილება. ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის გამოხატვის ნაწილებს: მთელი გამოხატულება წარმოადგენს პროდუქტს, ხოლო მისი ფაქტორები არის ჯამები, რომელთაგან ერთ-ერთი ტერმინი შეიცავს მუდმივ ფაქტორს. ჩვენ ვიყენებთ პროდუქტის დიფერენციაციის წესს: ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის თითოეული ამ ფუნქციის ნამრავლების ჯამს და მეორის წარმოებულს:

შემდეგ ვიყენებთ ჯამის დიფერენციაციის წესს: ფუნქციების ალგებრული ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულების ალგებრულ ჯამს. ჩვენს შემთხვევაში, თითოეულ ჯამში, მეორე წევრი მინუს ნიშნით. თითოეულ ჯამში ჩვენ ვხედავთ როგორც დამოუკიდებელ ცვლადს, რომლის წარმოებული უდრის ერთს, ასევე მუდმივას (რიცხვს), რომლის წარმოებულიც ნულის ტოლია. ასე რომ, "x" იქცევა ერთში, ხოლო მინუს 5 - ნულში. მეორე გამონათქვამში "x" მრავლდება 2-ზე, ამიტომ ორს ვამრავლებთ იმავე ერთეულზე, როგორც "x"-ის წარმოებული. ჩვენ ვიღებთ წარმოებულების შემდეგ მნიშვნელობებს:

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი წარმოებულებს პროდუქციის ჯამში და ვიღებთ მთელი ფუნქციის წარმოებულს, რომელიც საჭიროა პრობლემის მდგომარეობით:

და თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ პრობლემის გადაწყვეტა წარმოებულზე.

მაგალითი 4იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

გადაწყვეტილება. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ კოეფიციენტის წარმოებული. ჩვენ ვიყენებთ კოეფიციენტის დიფერენცირების ფორმულას: ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის სხვაობა მნიშვნელისა და მრიცხველის წარმოებულს შორის და მრიცხველისა და მნიშვნელის წარმოებული, და მნიშვნელი არის წინა მრიცხველის კვადრატი. ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ უკვე ვიპოვეთ მრიცხველის ფაქტორების წარმოებული მაგალითში 2. ასევე არ დაგვავიწყდეს, რომ ნამრავლი, რომელიც არის მრიცხველის მეორე ფაქტორი, აღებულია მინუს ნიშნით მიმდინარე მაგალითში:

თუ თქვენ ეძებთ გადაწყვეტილებებს ისეთი პრობლემებისთვის, რომლებშიც თქვენ უნდა იპოვოთ ფუნქციის წარმოებული, სადაც არის ფესვებისა და გრადუსების უწყვეტი გროვა, როგორიცაა, მაგალითად, მაშინ კეთილი იყოს თქვენი მობრძანება კლასში "წილადი წილადებისა და ფესვების ჯამის წარმოებული" .

თუ საჭიროა მეტი გაიგოთ სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტებისა და სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულების შესახებ, ანუ როცა ფუნქცია გამოიყურება , მაშინ გაკვეთილი გაქვთ "მარტივი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები" .

მაგალითი 5იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

გადაწყვეტილება. ამ ფუნქციაში ჩვენ ვხედავთ პროდუქტს, რომლის ერთ-ერთი ფაქტორია დამოუკიდებელი ცვლადის კვადრატული ფესვი, რომლის წარმოებულიც გავეცნობით წარმოებულთა ცხრილში. პროდუქტის დიფერენციაციის წესისა და კვადრატული ფესვის წარმოებულის ტაბულური მნიშვნელობის მიხედვით ვიღებთ:

თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ წარმოებული პრობლემის გადაწყვეტა წარმოებული კალკულატორი ონლაინ .

მაგალითი 6იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

გადაწყვეტილება. ამ ფუნქციაში ჩვენ ვხედავთ კოეფიციენტს, რომლის დივიდენდი არის დამოუკიდებელი ცვლადის კვადრატული ფესვი. კოეფიციენტის დიფერენციაციის წესის მიხედვით, რომელიც გავიმეორეთ და გამოვიყენეთ მე-4 მაგალითში და კვადრატული ფესვის წარმოებულის ტაბულური მნიშვნელობის მიხედვით, მივიღებთ:

მრიცხველში წილადის მოსაშორებლად, მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლოთ.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის მომზადება

რთული წარმოებულები. ლოგარითმული წარმოებული. ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

რთული წარმოებულები

ლოგარითმული წარმოებული

ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

რა არის რთული ფუნქცია?

კომპლექსური ფუნქციის "გაშლა".

შიდა და გარე ფუნქციები

რთული ფუნქციის წარმოებული

მარტივი ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი

დიფერენციაციის წესები

ნაბიჯ-ნაბიჯ მაგალითები - როგორ მოვძებნოთ წარმოებული

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ

რთული წარმოებულები. ლოგარითმული წარმოებული.
ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული