სექცია მეორე.

იდენტობის ტრანსფორმაციები

(პირველი ოთხი ალგებრული მოქმედებები).

Პირველი თავი.

მრავალწევრი და მონომიური.

42. მრავალწევრი და მონომიური.ალგებრულ გამოსახულებას, რომელიც შედგება რამდენიმე სხვა გამოსახულებისგან, რომლებიც დაკავშირებულია + ან - ნიშნით, ეწოდება მრავალწევრი. მაგალითად, ეს არის გამოთქმა:

ცალკეულ გამონათქვამებს, რომელთა კომბინაციიდან + ან - ნიშნები აღმოჩნდა მრავალწევრი, ეწოდება მისი წევრები. ჩვეულებრივ, მრავალწევრის ტერმინები განიხილება მათ წინ მდგომ ნიშნებთან ერთად; მაგალითად, ისინი ამბობენ: წევრი - ა , წევრი + ბ 2 და ა.შ. პირველ წევრამდე, თუ მის წინ ნიშანი არ არის განთავსებული, შეიძლება ნიშნავდეს ენაკ +; ასე რომ, ჩვენს მაგალითში პირველი ტერმინი არის აბ ან + აბ .

გამონათქვამს, რომელიც შედგება მხოლოდ ერთი წევრისაგან, ეწოდება ერთ წევრს, ორ წევრს - ორწლიანს, სამს - სამწევრს და ა.შ. ა , + 10), ან პროდუქტი (მაგ. აბ ), ან კერძო (მაგ. ა-ბ / 2 ) ან ხარისხი (მაგ. ბ 2); მაგრამ მონომი არ უნდა იყოს არც ჯამი და არც სხვაობა , რადგან სხვაგვარად ეს იქნებოდა ბინომი, ტრინომი, ზოგადად მრავალწევრი.

თუ მონომი არის კოეფიციენტი, მაშინ მას წილადი მონომი ეწოდება; ყველა სხვა მონომს მიზნები ეწოდება. ასე რომ, ჩვენს მაგალითში, მონომია ა-ბ / 2 არის წილადი და მრავალწევრის ყველა სხვა წევრი მთელი რიცხვებია. ვინაიდან ალგებრის დასაწყისში ვისაუბრებთ მხოლოდ მთელ რიცხვებზე, მოკლედ მათ უბრალოდ "მონომებს" დავარქმევთ.

თუ მრავალწევრის ყველა წევრი მთელი რიცხვია, მაშინ მას ასევე უწოდებენ მთელ რიცხვებს.

43. კოეფიციენტი.დავუშვათ, რომ მოგვცეს პროდუქტი:

ა 3აბ (- 2) ,

რომელშიც ზოგიერთი ფაქტორი გამოიხატება რიცხვებით, ზოგი კი ასოებით. ასეთი პროდუქტები შეიძლება გარდაიქმნას (გამრავლების ასოციაციური და კომუტაციური თვისებების გამოყენებით) ერთ ჯგუფში რიცხვებით გამოხატული ყველა ფაქტორის გაერთიანებით, მეორე ჯგუფში - ასოებით გამოხატული ყველა ფაქტორის გაერთიანებით. ადა ა.შ.:

3 (- 2) (აა) ბ ,

მოკლედ რა შეიძლება დაიწეროს: 6ა 2 ბ ;. Ამგვარად:

-l0 ცული (- 2) = + 20ოჰ 2 და ა.შ.

რიცხვებით გამოხატულ ფაქტორს, რომელიც მოთავსებულია ანბანური ფაქტორების წინ, ეწოდება მონომიური კოეფიციენტი. ასე რომ, მონომში - 6ა 2 ბ ნომერი - 6 არის კოეფიციენტი.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ კოეფიციენტი დადებითი მთელი რიცხვია, ეს ნიშნავს რამდენჯერ მეორდება ტერმინითპირდაპირი გამოთქმა, რომელსაც იგი ეხება; Ისე, 3 აბ = 3(ა.ბ) =(აბ) 3 =აბ + აბ + აბ . თუ კოეფიციენტი არის წილადი, მაშინ ის გამოხატავს რომელი წილადია აღებული ლიტერატურული გამოხატვის რიცხვითი მნიშვნელობიდან. Ისე:
2 / 3 ოჰ = ოჰ 2 / 3 და გავამრავლოთ ოჰ ზე 2 / 3 აღებას ნიშნავს 2 / 3 ნომრიდან ოჰ .

44. მრავალწევრის თვისებები.ნებისმიერი მრავალწევრი შეიძლება ჩაითვალოს მისი წევრთა ალგებრულ ჯამად. მაგალითად, მრავალწევრი

2ა - ბ + თან

არის თანხა: 2ა + (- ბ) + (+ თან ) რადგან გამოხატულება + (- ბ) გამოხატვის ტოლფასია - ბ და გამოხატულება + (+ თან ) ნიშნავს იგივეს, რაც + თან . შედეგად, ფარდობითი რიცხვების ჯამის ყველა თვისება (სექ. 1 § 25) ასევე ეკუთვნის მრავალწევრებს. მოდით გავიხსენოთ ამ თვისებებიდან ყველაზე მნიშვნელოვანი:

ა) ქონების გადაცემა: მრავალწევრის რიცხვითი მნიშვნელობა არ იცვლება მისი წევრების გადაადგილებისას (მათი ნიშნებით).

დავუშვათ, მაგალითად, ვიპოვეთ მრავალწევრის რიცხვითი მნიშვნელობა

2ა 2 - აბ + ბ 2 - 1 / 2 ა

ზე a = - 4 და ბ = - 3. ამისათვის ჩვენ პირველ რიგში ვიანგარიშებთ თითოეულ ტერმინს ცალ-ცალკე:

2ა 2 = 2(- 4) 2 = 2(- 4)(- 4) = 32 ; - აბ = - (- 4) (- 3)= -12 ;

ბ 2 =(- 3) 2 = (- 3)(- 3)= +9 ; - 1 / 2 ა = - 1 / 2 (- 4)= +2 .

ახლა დავუმატოთ ყველა მიღებული რიცხვი ან იმ თანმიმდევრობით, რომლითაც იწერება მრავალწევრის წევრები:

32 - 12 + 9 + 2 = 31,

ან სხვა თანმიმდევრობით, ჩვენ ყოველთვის ვიღებთ იგივე რიცხვს 31.

ბ) ასოციაციური საკუთრება: მრავალწევრის რიცხვითი მნიშვნელობა არ შეიცვლება, თუ მის რომელიმე წევრს შევცვლით მათი ალგებრული ჯამით.

ასე რომ, თუ ახლა აღებულ მრავალწევრში ჩვენ შევცვლით ტერმინებს - აბ , + ბ 2 და - 1 / 2 ა მათი ალგებრული ჯამი, ანუ იღებენ ამ მრავალწევრს შემდეგი სახით:

2ა 2 + (- აბ + ბ 2 - 1 / 2 ა )

შემდეგ ზე ა = - 4 და ბ = - 3 ვიღებთ:

32 + (- 12 + 9 + 2) = 32 + (- 1) = 31,

ანუ ვიღებთ იგივე რიცხვს 31, რაც ადრე მივიღეთ. ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ მრავალწევრის შემდეგ მნიშვნელოვან თვისებას:

in) თუ მრავალწევრის ყოველი წევრის წინ ვცვლით ნიშანს საპირისპიროდ, მაშინ მრავალწევრის რიცხვითი მნიშვნელობაც შეცვლის ნიშანს საპირისპიროდ და მისი აბსოლუტური მნიშვნელობა არ შეიცვლება.

მაგალითად, მრავალწევრის რიცხვითი მნიშვნელობა 2ა 2 - აბ + ბ 2 - 1 / 2 ა
ზე ა = - 4 და ბ = - 3 არის, როგორც ვნახეთ, 31 და მრავალწევრის რიცხვითი მნიშვნელობა - 2ა 2 + აბ- ბ 2 + 1 / 2 ა ასოების იგივე მნიშვნელობებით უდრის -31.

45. მსგავსი ტერმინების შემცირება.ხანდახან მრავალწევრებში არის ისეთი ტერმინები, რომლებიც ერთმანეთისგან მხოლოდ კოეფიციენტებით, ან ნიშნებით განსხვავდებიან ან სულაც არ განსხვავდებიან; ასეთ წევრებს მსგავსებს უწოდებენ. მაგალითად, მრავალწევრში

პირველი ტერმინი მსგავსია მესამეს (ისინი ხაზგასმულია ერთი ხაზით), მეორე ტერმინი მსგავსია მეოთხე და მეექვსე (ხაზგასმულია ორი სტრიქონით), ხოლო მეხუთე ტერმინს ანალოგი არ აქვს.

თუ მრავალწევრი შეიცავს მსგავს წევრებს, მაშინ ისინი შეიძლება გაერთიანდეს ერთ წევრად. ამრიგად, ახლა მოცემულ მაგალითში შეგვიძლია (მრავალწევის ასოციაციურ თვისებაზე დაყრდნობით) წევრები გავაერთიანოთ ასეთ ჯგუფებად:

(4ა + 0,5ა) + (- 3x + 8x - 2X) + 3 ნაჯახი .

მაგრამ აშკარაა, რომ ზოგიერთი რიცხვიდან 4 და იგივე რიცხვის 0,5 არის იგივე რიცხვის 4,5. ნიშნავს, 4ა + 0,5ა = 4,5ა . თანაბრად - 3x + 8x = 5X და 5X - 2X =3X . ასე რომ, პოლინომი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

4,5ა + 3X+ 3 ნაჯახი .

გაითვალისწინეთ, რომ მრავალწევრის ყველა მსგავსი წევრის ერთ წევრად გაერთიანებას ჩვეულებრივ უწოდებენ მრავალწევრის მსგავსი წევრების შემცირებას.

კომენტარი. ორი მსგავსი ტერმინი ერთი და იგივე კოეფიციენტებით, მაგრამ განსხვავებული (ისინი ანადგურებენ ერთმანეთს ნიშნებით, როგორიცაა, მაგალითად, ტერმინები + 2 ადა 2 ა, ან - 1/2 X 2 და + 1/2 X 2 .

მაგალითები.

თავი მეორე.

ალგებრული შეკრება და გამოკლება.

46. ​​რა არის "ალგებრული ოპერაციები".

არითმეტიკაში მოქმედებები სრულდება რიცხვებზე და შედეგი არის ერთი ახალი რიცხვი. ალგებრაში მოქმედებები სრულდება არა ციფრებზე, არამედ ალგებრულ გამოსახულებებზე და შედეგი არის ახალი ალგებრული გამოხატულება. მაგალითად, გაამრავლეთ მონომი 3 ა მონომისად 2 ა - ნიშნავს, პირველ რიგში, გამრავლების მითითებას მიღებული ნიშნებით:

(3ა) (2ა)

და მეორეც, გარდაქმნას, თუ ეს შესაძლებელია, მიღებული ალგებრული გამოხატულება სხვა, უფრო მარტივში. ჩვენს მაგალითში ტრანსფორმაცია შეიძლება განხორციელდეს ასეთი მსჯელობით: ზოგიერთი რიცხვის ნამრავლზე გამრავლება 2 ა , შეგიძლიათ ეს რიცხვი ჯერ გაამრავლოთ 2 და შემდეგ გავამრავლოთ შედეგი ა .

(3ა) (2ა) = (3ა) 2ა .

ბოლო გამონათქვამში შეგვიძლია გადავაგდოთ ფრჩხილები, რადგან ეს არ ცვლის გამოთქმის მნიშვნელობას; შემდეგ მივიღებთ 3ა 2ა .. ახლა გამრავლების ასოციაციური თვისების გამოყენებით ვაჯგუფებთ ფაქტორებს შემდეგნაირად: (3 2) (აა) , რაც აშკარად არის 6ა 2 .

რა რიცხვიც არ უნდა იყოს ასო ა არც გამოხატვის რიცხვით მნიშვნელობას ნიშნავდა (3ა) (2ა) ყოველთვის უდრის გამოხატვის რიცხვითი მნიშვნელობას 6ა 2 , ანუ ეს გამონათქვამები იდენტურია.

ამრიგად, გამრავლების ჩვენს მაგალითში ალგებრული მოქმედება მოიცავს, პირველ რიგში, ამ მოქმედების მითითებას ალგებრაში მიღებული ნიშნებით და, მეორეც, შედეგად მიღებული ალგებრული გამოხატვის სხვა, იდენტურად გარდაქმნაში.

47. მონომების დამატება.დაე, საჭირო გახდეს რამდენიმე მონომის დამატება:

3ა, - 5ბ, + 0.2a, -7ბ და თან . მათი ჯამი გამოიხატება შემდეგნაირად:

3a +(- 5ბ) + (+ 0.2a) + (-7ბ ) + თან

მაგრამ გამონათქვამები: + (- 5ბ), + (+ 0.2a)და + (- 7ბ ) ექვივალენტურია: - 5ბ, + 0.2aდა - 7ბ ამრიგად, ამ მონომების ჯამი შეიძლება გადაიწეროს უფრო მარტივი გზით:

რომელიც მსგავსი ტერმინების ჩამოსხმის შემდეგ იძლევა: 3,2ა - 12ბ+ თან. ნიშნავს, რამდენიმე მონომის დასამატებლად საკმარისია ერთმანეთის მიყოლებით ჩაწეროთ ისინი თავიანთი ნიშნებით და გააკეთოთ მსგავსი ტერმინების შემცირება.

48. მრავალწევრების შეკრება.დაე, მას მოეთხოვოს რაიმე რიცხვი ან ალგებრული გამოხატულება მდაამატეთ მრავალწევრი a - b + c . სასურველი თანხა შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად:

მ + (a - b + c ).

ამ გამოთქმის გარდაქმნისთვის მხედველობაში მივიღებთ, რომ მრავალწევრი
a - b + c არის ჯამი a + (- b) + c , და ჯამის დასამატებლად შეგიძლიათ თითოეული ტერმინი სათითაოდ დაამატოთ; Ამიტომაც:

მ + (a - b + c ) = მ +a + (- b) + c

მაგრამ დაამატეთ -ბ რაც არ უნდა გამოაკლო ბ ; Ამიტომაც:

მ + (a - b + c ) = მ + a - b + c

წესი. ზოგიერთ ალებრაულ გამოსახულებას პოლინომის დასამატებლად აუცილებელია ამ გამოსახულებას მივანიჭოთ მრავალწევრის ყველა წევრი ერთმანეთის მიყოლებით თავისი ნიშნებით. (უფრო მეტიც, მრავალწევრის პირველ წევრამდე, თუ მის წინ არ არის ნიშანი, + ნიშანი უნდა იყოს ნაგულისხმევი) და ჩასვით მსგავსი წევრები, თუ აღმოჩნდებიან.

მაგალითი.

3ა 2 - 5აბ + ბ 2 + (4აბ - ბ 2 + 7ა 2).

პირველი ტერმინი, რომელიც ახლა ერთი ასოთი აღვნიშნეთ მ, მოცემულ მაგალითში მრავალწევრის სახით 3ა 2 - 5აბ + ბ 2 . ამ წესის გამოყენებით ვხვდებით:

3ა 2 - 5აბ + ბ 2 + (4აბ - ბ 2 + 7ა 2) = 3ა 2 - 5აბ + ბ 2 + 4აბ - ბ 2 + 7ა 2 = 10ა 2 - აბ

თუ შეკრების პოლინომიური მონაცემები შეიცავს მსგავს წევრებს (როგორც ჩვენს მაგალითში), მაშინ სასარგებლოა ტერმინების დაწერა ერთმანეთის ქვეშ ისე, რომ მსგავსი ტერმინები იყოს მსგავსების ქვეშ:

49. მონომების გამოკლება.დაე, მოთხოვნილი იყოს მონომიდან 10 ნაჯახი გამოვაკლოთ მონომი - 3 ნაჯახი . სასურველი განსხვავება გამოიხატება შემდეგნაირად:

10 ნაჯახი - (- 3 ნაჯახი ).

გამოკლების წესის მიხედვით გამოკლება არის 3 ნაჯახი შეიძლება შეიცვალოს რიცხვის საპირისპირო რიცხვის დამატებით - 3 ნაჯახი . არის ასეთი რიცხვი + 3 ნაჯახი , Ამიტომაც:

10 ნაჯახი - (- 3 ნაჯახი ) = 10 ნაჯახი + (+ 3 ნაჯახი ) = 10 ნაჯახი + 3 ნაჯახი = 13 ნაჯახი .

ნიშნავს, მონომის გამოკლებისთვის საკმარისია საპირისპირო ნიშნით მინიუენდის მინიჭება (და მსგავსი ტერმინების შემცირება, თუ ისინი გამოჩნდება).

50. მრავალწევრების გამოკლება.დაე, ეს მოთხოვნილი იყოს ზოგიერთი რიცხვიდან ან ალგებრული გამოსახულებიდან მგამოკლება მრავალწევრი a - b + c , რომელიც შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად:

მ- (a - b + c ).

ამისათვის, გამოკლების წესის მიხედვით (ნაწილი 1 § 22), საკმარისია დაამატოთ მსაპირისპირო რიცხვი a - b + c . არის ასეთი რიცხვი - a + b - c (); ნიშნავს:

მ- (a - b + c ) = მ+ (- a + b - c )

ახლა მრავალწევრების შეკრების წესის გამოყენებით, მივიღებთ:

მ- (a - b + c ) = მ - a + b - c .

ნიშნავს, იმისათვის, რომ გამოვაკლოთ პოლინომი რომელიმე ალგებრულ გამოსახულებას, საკმარისია ამ გამოსახულებას მივაწეროთ ქვეტრაჰენდის მრავალწევრის ყველა პირობა საპირისპირო ნიშნებით (და გავაკეთოთ შემცირება).

თუ საჭიროა სხვა მრავალწევრის გამოკლება ერთ მრავალწევრს და ამ მრავალწევრებს აქვთ მსგავსი წევრები, მაშინ სასარგებლოა გამოკლებული მრავალწევრის ჩაწერა შემცირებულის ქვეშ, გამოკლებული მრავალწევრის ნიშნების შეცვლა საპირისპიროზე და ისე, რომ მსგავსი ტერმინები დადგეს. მსგავსის ქვეშ. მაგალითად, გამოკლება
(7ა 2 - 2აბ + ბ 2) - (5ა 2 + 4აბ - 2ბ 2) საუკეთესოდ არის განთავსებული ასე:

(გამოკლებულ მრავალწევრში ზედა ნიშნები დაყენებულია ისე, როგორც იყო მოცემული, ხოლო ბოლოში ისინი შებრუნებულია).

51. გაფართოებული ფრჩხილები, რომლებსაც წინ უძღვის + ან - ნიშანი.

შეუშვით გამოხატვა

2 ა + (ა - 3 ბ + გ ) - (2 a - b + 2 თან )

ფრჩხილები უნდა გაიხსნას. ეს ისე უნდა გავიგოთ, რომ საჭიროა ფრჩხილების შიგნით მრავალწევრებზე იმ მოქმედებების შესრულება, რომლებიც მითითებულია ფრჩხილების წინ ნიშნებით. ჩვენს მაგალითში პირველ ფრჩხილს წინ უძღვის + ნიშანი, მეორე ფრჩხილს კი - ნიშანი. ჩვენ მიერ მოცემული წესების მიხედვით შეკრებისა და გამოკლების შემდეგ ვიღებთ გამონათქვამს ფრჩხილების გარეშე:

2 ა + ა - 3 ბ + გ - 2 a + b - 2 c = a - 2 ბ - გ

ამრიგად, უნდა გვახსოვდეს, რომ ფრჩხილების გაფართოებით, რომელსაც წინ უძღვის + ნიშანი, არ უნდა შევცვალოთ ნიშნები ფრჩხილებში, ხოლო ფრჩხილების გაფართოებით, რომლებსაც წინ უძღვის - ნიშანი, უნდა შევცვალოთ ნიშნები საპირისპიროზე, ფრჩხილებში მყოფი ყველა წევრის წინ.

დაე, ასევე იყოს საჭირო გამოსახულებაში ფრჩხილების გახსნა:

10r - .

ამისათვის ყველაზე მოსახერხებელია ჯერ შიდა ფრჩხილების გახსნა, შემდეგ კი გარე:

10r - = 10p - 3p - 5p + 10 + 4] = 2p+14.

52. მრავალწევრის ნაწილის ფრჩხილებში შეყვანა.მრავალწევრის გარდაქმნისთვის ზოგჯერ სასარგებლოა მისი ზოგიერთი წევრის სიმრავლის ფრჩხილებში ჩასმა, ზოგჯერ კი სასურველია ფრჩხილების წინ + დაყენება, ანუ მრავალწევრის ჯამის სახით გამოსახვა, ზოგჯერ კი - ნიშანი, ე.ი. წარმოადგენენ მრავალწევრს სხვაობის სახით. მოდით, მაგალითად, მრავალწევრში a + b - c გვსურს ბოლო ორი ტერმინის ფრჩხილებში ჩავწეროთ ფრჩხილების პრეფიქსით + ნიშანი. შემდეგ ასე ვწერთ:

a + b - c = a + (b - c) ,

ანუ, ფრჩხილებში ვტოვებთ იმავე ნიშნებს, რაც იყო ამ მრავალწევრში. რომ ასეთი ტრანსფორმაცია მართალია, დავრწმუნდებით, თუ ფრჩხილებს გავხსნით მიმატების წესის მიხედვით; შემდეგ კვლავ ვიღებთ მოცემულ მრავალწევრს.

დავუშვათ, რომ იმავე მრავალწევრში საჭიროა ბოლო ორი რიცხვის ფრჩხილებში ჩასმა ფრჩხილების წინ მინუს ნიშნის დაყენებით.

შემდეგ ასე ვწერთ:

a + b - c = ა - (- ბ + გ) = ა - ( თან - ბ) ,

ანუ ფრჩხილების შიგნით ყველა წევრის წინ ვცვლით ნიშნებს საპირისპიროდ. რომ ასეთი გარდაქმნა მართალია, დავრწმუნდებით, თუ ფრჩხილებს გამოკლების წესის მიხედვით გავხსნით; შემდეგ კვლავ ვიღებთ მოცემულ მრავალწევრს.

კომენტარი. თქვენ ასევე შეგიძლიათ ჩასვათ მთელი მრავალწევრი ფრჩხილებში, მათ წინ + ან - ნიშნის დაყენებით. მაგალითად, შეგიძლიათ დაწეროთ:

a - b + c = + (a - b + c ) და a - b + c = - (- a + b - c ).

თავი მესამე.

ალგებრული გამრავლება.

53. იგივე რიცხვის ხარისხების გამრავლება.გავამრავლოთ ა 3-ზე ა 2, რომელიც შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად: ა 3 ა 2 ან მეტი :( აჰ ) (აა ). აი ნამუშევარი აჰ გამრავლებული მეორეზე აა . მაგრამ ზოგიერთი რიცხვის ნამრავლზე გასამრავლებლად შეიძლება ეს რიცხვი გავამრავლოთ პირველ ფაქტორზე, შედეგი გავამრავლოთ მეორე ფაქტორზე და ა.შ. Ამიტომაც:

ა 3 ა 2 = (აჰ )(აა ) = (აჰ ) აა ,

რომელიც შეიძლება დაიწეროს ფრჩხილების გარეშე, რადგან მოქმედებების თანმიმდევრობა იგივე რჩება ფრჩხილების გარეშე, როგორც ეს მითითებულია ფრჩხილებში:

ა 3 ა 2 = აააააა = ა 5 .

ნიშნავს, ერთი და იგივე რიცხვის ხარისხების გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები იკრიბება.

ამრიგად: X 3 X = X 4 , მ 2 მ 3 = მ 5 , წ 2 წ წ 3 = წ 6 და ა.შ.

54. მონომების გამრავლება.ჩვენ უკვე ვთქვით ადრე () როგორ შეგიძლიათ გარდაქმნათ მონომების პროდუქტი (3ა) (2ა) მონომისად 6 ა 2. ახლა გავიმეოროთ ის, რაც მაშინ იყო ნათქვამი სხვა მაგალითით. გავამრავლოთ:

ვინაიდან მონომია 5აბქს არის ნამრავლი, მაშინ საკმარისია გამრავლება პირველ ფაქტორზე - 5 , გავამრავლოთ შედეგი მეორე ფაქტორზე ა და ა.შ. ასე რომ:

3ოჰ 2 (- 5აბქს) = 3ოჰ 2 (- 5)აბქს .

ამ ნამრავლში, გამრავლების ასოციაციური თვისების გამოყენებით, ვაჯგუფებთ ფაქტორებს შემდეგ ჯგუფებად:

(+3)(- 5) (აა) ბ (X 2 X).

თითოეულ ჯგუფში გამრავლების შემდეგ მივიღებთ:

- 15 ა 2 ბ X 3 .

ნიშნავს, მონომის მონომზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მათი კოეფიციენტები, დაამატოთ იდენტური ასოების ინდიკატორები და ის ასოები, რომლებიც შედის მხოლოდ მულტიპლიკანდში ან მხოლოდ ფაქტორში, გადაიტანეთ პროდუქტზე მათი მაჩვენებლებით.

მაგალითები.

1) 0,7ა 3 X (3ა 4 X 2 ზე 2) = 2,1ა 7 X 3 ზე 2

2) (1 / 2 მ x 3) 2 = 1 / 2 მ x 3 (1 / 2 მ x 3) = 1 / 4 მ 2 x 6

3) -3,5 X 2 ზე (3 / 4 X 3) = - 21 / 8 X 5 ზე

55. მრავალწევრის გამრავლება მონომზე.

მიეცეს მრავალწევრის გასამრავლებლად a + b - c მონომისად მ , რომელიც შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად:

(a + b - c ) მ .

მრავალწევრი a + b - c არის ფარდობითი რიცხვების ჯამი a + b + (- თან) . მაგრამ, ჯამის გასამრავლებლად, შეგიძლიათ თითოეული წევრი ცალ-ცალკე გაამრავლოთ და დაამატოთ შედეგები (გამანაწილებელი თვისება); ნიშნავს:

(a + b - c ) მ = [ a + b + (- თან) ] მ = ა მ +ბ მ + (- თან)მ .

მაგრამ (- თან)მ = - სმ და + (- სმ ) = - სმ ; Ამიტომაც

(a + b - c ) მ = ა მ +ბ მ - თანმ .

წესი. მრავალწევრის მონომზე გასამრავლებლად საჭიროა მრავალწევრის თითოეული წევრი გავამრავლოთ ამ მონომზე და მივიღოთ მიღებული პროდუქცია.

ვინაიდან ნამრავლი არ იცვლება ფაქტორების ადგილების გადანაცვლებიდან, ეს წესი ასევე ვრცელდება მონომის მრავალწევრზე გამრავლებაზე; ამგვარად:

მ (a + b - c ) = მ ა + მ ბ მ - მკ .

მაგალითები.

1) (3x 2 - 2ოჰ + 5ა 2) (-4ოჰ) .

აქ მრავალწევრის წევრთა გამრავლება მოცემულ მონომზე უნდა განხორციელდეს მონომების გამრავლების წესის მიხედვით, ასევე ნიშნების წესის გათვალისწინებით: გამრავლებისას ერთი და იგივე ნიშნები იძლევა +, ხოლო სხვადასხვა ნიშნები იძლევა - . ჩვენ ცალ-ცალკე ვამრავლებთ მრავალწევრის თითოეულ წევრს მონომზე:

(3x 2)(-4ოჰ) = - 12ნაჯახი 3 ; (- 2ოჰ) (-4ოჰ) == + 8ა 2 x 2 ; (+ 5ა 2) (-4ოჰ) = - 20ა 3 x .

ახლა შევაჯამოთ შედეგები:

- 12ნაჯახი 3 + 8ა 2 x 2 - 20ა 3 x .

2) (ა 2 - აბ + ბ 2) (3ა) = ა 2 (3ა) - (აბ ) (3ა) + ბ 2 (3ა) = 3ა 3 - 3ა 2 ბ+ 3აბ 2

3) (7x 3 + 3 / 4 ოჰ - 0,3) (2, ლ ა 2 x) = (7x 3 ) (2, ლ ა 2 x) + (3 / 4 ოჰ) (2, ლ ა 2 x) - 0,3 (2, ლ ა 2 x) =
= 14,7ა 2 x 4 + 1,575ა 3 x 2 - 0,63 ა 2 x .

4) 2ა (3ა - 4 ოჰ + 1 / 2 x 2) = 6ა 2 - 8ა 2 x + აx 2

56. მრავალწევრის მრავალწევრზე გამრავლება.გავაკეთოთ გამრავლება:

(a + b - c ) (მ-ნ ).

მულტიპლიკატორის გათვალისწინებით მ-ნ როგორც ერთი რიცხვი (როგორც მონომი), ვიყენებთ მრავალწევრის მონომზე გამრავლების წესს:

a (m - n) + b (m - n) - c (m - n).

ახლა გამოთქმის გათვალისწინებით მ-ნ როგორც მრავალწევრი (ბინომი), ვიყენებთ მონომის მრავალწევრზე გამრავლების წესს:

(am - an) + (bm - bn) - (სმ - cn).

საბოლოოდ, ფრჩხილების გახსნით შეკრებისა და გამოკლების წესების მიხედვით, საბოლოოდ ვხვდებით:

(a + b - c) (m - n) = am - an + bm - bn - სმ + cn

წესი. მრავალწევრის მრავალწევრზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი მრავალწევრის თითოეული წევრი მეორე მრავალწევრის თითოეულ წევრზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქცია.

რა თქმა უნდა, პირველი მრავალწევრის ტერმინების მეორე მრავალწევრის ტერმინებზე გამრავლებისას, უნდა იხელმძღვანელოთ ნიშნების წესებით: იგივე ნიშნები იძლევა + განსხვავებულ ნიშანს -.

მაგალითი, (ა 2 - 5აბ + ბ 2 - 3) (ა 3 - 3აბ 2 + ბ 3)

ჯერ ვამრავლებთ მამრავლის ყველა წევრს მულტიპლიკატორის პირველ წევრზე:

(ა 2 - 5აბ + ბ 2 - 3) ა 3 = ა 5 - 5ა 4 ბ + ა 3 ბ 2 - 3ა 3

შემდეგ ჩვენ გავამრავლებთ მამრავლის ყველა წევრს მულტიპლიკატორის მე-2 წევრზე:

(ა 2 - 5აბ + ბ 2 - 3) (- 3აბ 2) = - 3a 3 ბ 2 + 15a 2 ბ 3 - 3აბ 4 + 9აბ 2

(ა 2 - 5აბ + ბ 2 - 3) (ბ 3) = ა 2 ბ 3 - 5აბ 4 + ბ 5 - 3ბ 3

საბოლოოდ, ჩვენ ვაგროვებთ ყველა მიღებულ პროდუქტს და ვაკეთებთ მსგავსი ტერმინების შემცირებას; საბოლოო შედეგი იქნება:

ა 5 - 5ა 4 ბ- 2a 3 ბ 2 - 3ა 3 + 16a 2 ბ 3 - 8აბ 4 + 9აბ 2 + ბ 5 - 3ბ 3

შენიშვნები. 1) იმისათვის, რომ არ გამოტოვოთ ტერმინების არცერთი ნამრავლი მრავალწევრზე გამრავლებისას, სასარგებლოა ყოველთვის დაიცვან გამრავლების ერთი რიგი; მაგალითად, როგორც ახლა გავაკეთეთ, ჯერ გავამრავლოთ მამრავლის ყველა წევრი გამრავლების პირველ წევრზე, შემდეგ გავამრავლოთ ყველა წევრი გამრავლების მე-2 წევრზე და ა.შ.

2) როდესაც გამოიყენება არითმეტიკულ რიცხვებზე, მრავალწევრების გამრავლების წესი შეიძლება მკაფიოდ იქნას გაგებული გეომეტრიულად. აიღეთ, მაგალითად, 4 ხაზის სეგმენტი ა, ბ, მ და ნ და ააგეთ ორი მართკუთხედი: ერთი ფუძით a + b და სიმაღლე m+n , მეორე ბაზით a + b და სიმაღლე მ-ნ .

პირველის ფართობია ( a + b ) (m+n ) და მეორის ფართობი იქნება ( a + b ) (მ-ნ ). ნახაზებიდან პირდაპირ ჩანს, რომ პირველი ფართობი უდრის am + bm + an + bn და მეორე არის am + bm - an - bn .

მაგალითები.

1) (a - b) (m - n - p) \u003d am - bm - an + bn - ap + bp.

2) (x 2 - y 2) (x + y) \u003d x 3 - xy 2 + x 2 y - y 3

3) (3an + 2n 2 - 4a 2) (n 2 - 5an) = 3an 3 + 2n 4 - 4a 2 n 2 - 15a 2 n 2 - 10an 3 + 20a 3 n =
\u003d -7an 3 + 2n 4 - 19a 2 n 2 + 20a 3 n

4) (2a 2 - 3) 2 = (2a 2 - 3) (2a 2 - 3) = (2a 2) 2 - 3 (2a 2) - (2a 2) 3 + 9 =
= 4a 4 - 6a 2 - 6a 2 + 9 = 4a 4 - 12a 2 + 9

57. მდებარე მრავალწევრი.პოლინომის დალაგება რომელიმე ასოს სიმძლავრეში ნიშნავს, თუ ეს შესაძლებელია, მისი ტერმინების დაწერა ისეთი თანმიმდევრობით, რომ ამ ასოს მაჩვენებლები გაიზარდოს ან შემცირდეს პირველი წევრიდან ბოლომდე. დიახ, მრავალწევრი 1 + 2x + x 2 - x 3 განლაგებულია ასოს მზარდი უფლებამოსილებით X . იგივე მრავალწევრი განლაგდება ასოს კლებადობით X თუ მის წევრებს საპირისპირო მიმდევრობით დავწერთ: - x 3 +x2 + 2x + 1 .

ასოს, რომელზედაც მდებარეობს მრავალწევრი, ეწოდება მისი მთავარი ასო. ყველაზე დიდი მაჩვენებლის მქონე დიდი ასოს შემცველ ტერმინს მრავალწევრის უმაღლესი წევრი ეწოდება; ტერმინს, რომელიც შეიცავს მთავარ ასოს უმცირესი მაჩვენებლით ან საერთოდ არ შეიცავს, მრავალწევრის ყველაზე დაბალი წევრი ეწოდება.

58. განლაგებული მრავალწევრების გამრავლებამისი წარმოება ყველაზე მოსახერხებელია, როგორც ეს იქნება ნაჩვენები შემდეგ მაგალითში.

გაამრავლე

3x - 5 + 7x 2 - x 3 ზე 2 - 8x 2 + x.

ორივე მრავალწევრის დალაგება ასოს კლებად ხარისხებში X , ჩაწერეთ მულტიპლიკატორი მულტიპლიკაციის ქვეშ და დახაზეთ ხაზი მათ ქვეშ:

გაამრავლეთ ნამრავლის ყველა წევრი მულტიპლიკატორის 1-ლ წევრზე (ზე - 8x2 ) და მიღებული პროდუქტი იწერება ხაზის ქვეშ. შემდეგ მამრავლის ყველა წევრი მრავლდება მულტიპლიკატორის მე-2 წევრზე (ზე + x ) და მიღებული მეორე პროდუქტი იწერება პირველის ქვეშ ისე, რომ მსგავსი ტერმინები იყოს მსგავსის ქვეშ. ისინიც ასე აგრძელებენ. ბოლო ნამუშევრის ქვეშ (ზე + 2 ) დახაზონ ხაზი, რომლის ქვეშაც წერენ სრულ ნაწარმოებს და აგროვებენ ყველა სხვა ნაწარმოებს.

ასევე შესაძლებელია ორივე მრავალწევრის დალაგება მთავარი ასოს აღმავალ ხარისხში და შემდეგ გამრავლება იმავე თანმიმდევრობით, როგორც ეს იყო მითითებული.

59. ნაწარმოების უმაღლესი და ქვედა წევრები.ამ მაგალითებიდან გამომდინარეობს:

ნამრავლის უმაღლესი წევრი უდრის უმაღლესი წევრის ნამრავლს გამრავლებული მულტიპლიკატორის უმაღლეს წევრზე.

ნამრავლის ყველაზე დაბალი წევრი უდრის მულტიპლიკატორის ყველაზე დაბალი წევრის ნამრავლს მულტიპლიკატორის ყველაზე დაბალ წევრზე.

ნაწარმოების დარჩენილი წევრების მიღება შესაძლებელია რამდენიმე მსგავსი წევრის ერთში გაერთიანებით. შეიძლება ისეც მოხდეს, რომ პროდუქტში, მსგავსი ტერმინების შემცირების შემდეგ, ყველა ტერმინი განადგურდეს, გარდა პირველისა და უკანასკნელისა (უფრო მაღალი და ქვედა), როგორც ეს ჩანს შემდეგ მაგალითში:

60. ნაწარმოების წევრთა რაოდენობა.მამრავლს ჰქონდეს ხუთი წევრი, მულტიპლიკატორს კი სამი წევრი. ნამრავლის ყოველი წევრის გამრავლების 1-ლ წევრზე მივიღებთ ნამრავლის 5 წევრს; შემდეგ მამრავლის ყოველი წევრის გამრავლების მე-2 წევრით მივიღებთ ნამრავლის კიდევ 6 წევრს და ა.შ.; მაშასადამე, პროდუქტში ყველა ტერმინი იქნება 5 3, ანუ 15. ზოგადად, ნამრავლის წევრების რაოდენობა, მასში მსგავსი წევრების გაერთიანებამდე, უდრის წევრთა რაოდენობის ნამრავლს, გამრავლებული მულტიპლიკატორის წევრთა რაოდენობაზე.

ვინაიდან ნაწარმოების უმაღლეს და დაბალ წევრებს არ შეუძლიათ ჰყავდეთ მსგავსი წევრები და ყველა სხვა წევრი შეიძლება განადგურდეს, მაშინ პროდუქტში ტერმინების უმცირესი რაოდენობა მასში მსგავსი ტერმინების შემცირების შემდეგ არის 2.

61. ბინომების გამრავლების ზოგიერთი ფორმულა.სასარგებლოა დაიმახსოვროთ შემდეგი ფორმულები ორომალიების გასამრავლებლად:

ა) (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

მაგალითად: 17 2 = (10 + 7) 2 = 10 2 + 2 10 7 + 7 2 = 100 + 140 + 49 = 289.

ამრიგად, ორი რიცხვის ჯამის კვადრატი უდრის პირველი რიცხვის კვადრატს, პლუს ორჯერ პირველი რიცხვის ნამრავლი და მეორე, პლუს მეორე რიცხვის კვადრატი.

ბ) (ა - ბ) 2 = (a - b) (a - b) \u003d a 2 - ab - ab + b 2 = a 2 - 2ab + b 2 .

მაგ.: 19 2 = (20 -1) 2 = 20 2 - 2 20 1 + 1 2 = 400 - 40 + 1 = 361

ამრიგად, ორ რიცხვს შორის სხვაობის კვადრატი უდრის პირველი რიცხვის კვადრატს, გამოკლებული ორჯერ პირველი რიცხვისა და მეორის ნამრავლი, პლუს მეორე რიცხვის კვადრატი.

კომენტარი. სასარგებლოა აღინიშნოს, რომ შეკრების და გამოკლების ხარისხზე აწევას არ გააჩნია გამანაწილებელი თვისება; Ისე, (2+3) 2 არ უდრის
2 2 + 3 2, ან (8 - 6) 2 არ უდრის 8 2 - 6 2 .

in) (a + b) (a - b) = a 2 + ab - ab - b 2 = a 2 - ბ 2

მაგალითად: 25 15 = (20 + 5) (20 - 5) = 20 2 - 5 2 = 400 - 25 = 375.

ამრიგად, ორი რიცხვისა და მათი სხვაობის ჯამის ნამრავლი უდრის ამ რიცხვების კვადრატების სხვაობას.

გ) (a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 )(ა + ბ) =
= a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2b + 2ab 2 + ბ 3 = a 3 + 3а 2 ბ + 3აბ 2 + ბ 3

მაგ: 12 3 = (10 + 2) 3 = 10 3 + 3 10 2 2 + 3 10 2 2 + 2 3 = 1000 + 600 + 120 + 8=1728.

ამრიგად, ორი რიცხვის ჯამის კუბი უდრის პირველი რიცხვის კუბს, პლუს სამჯერ პირველი რიცხვის კვადრატის ნამრავლს და მეორეს, პლუს სამჯერ პირველი რიცხვის ნამრავლს და მეორეს კვადრატს, პლუს მეორე რიცხვის კუბი.

ე) (ა - ბ) 3 = (ა - ბ) 2 (ა - ბ) = (a 2 - 2ab + b 2 )(ა - ბ) =
\u003d a 3 - 2a 2 b + ab 2 - a 2b + 2ab 2 - ბ 3 = a 3 - 3a 2 b + 3აბ 2 -ბ 3

მაგ: 19 3 = (20 - 1) 3 = 20 3 - 3 20 2 1 + 3 20 1 2 - 1 3 = 8000 -1200 + 60 - 1 = 6869.

ამრიგად, ორი რიცხვის სხვაობის კუბი უდრის პირველი რიცხვის კუბს, გამოკლებული სამჯერ პირველი რიცხვის კვადრატის ნამრავლი და მეორე, პლუს სამჯერ პირველი რიცხვის ნამრავლი და მეორეს კვადრატი, მეორე რიცხვის კუბის გამოკლებით.

62. ზოგიერთი ამ ფორმულის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია.

ა)გამოვყოთ ხაზის სეგმენტი AB = ადა მას მივმართავთ სეგმენტს BC = ბ, შემდეგ ვაშენებთ კვადრატებს: ACDE და ABJK, რომელთა ფართობები ტოლი იქნება (a + b) 2 და ა 2 . ვაგრძელებთ BJ და KJ ხაზებს ED და CD კვეთამდე, უფრო დიდ კვადრატს ვყოფთ 4 ნაწილად, რომელთა ფართობი იქნება: ა 2 , ბ 2 , აბ და აბ .

(a + b) 2 = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

ბ)დააყენეთ AB = ა და AB-ს გამოვაკლებთ BC = ბ ; შემდეგ ჩვენ ვაშენებთ კვადრატებს ACDE, ABFK და KLME, რომელთა ფართობია (ა - ბ) 2 , ა 2 და ბ 2 . გავაგრძელოთ CD N წერტილამდე, მივიღებთ: pl. ACDE = pl. ABFK + კვ. EKLM- კვ. CBFN - pl. DNLM.

(ა - ბ) 2 = a 2 + b 2 - აბ - აბ = a 2 - 2ab + b 2 .

in)გადადება (ნახ. 13) AB = ა , BG = ბ , AD = ა და DE= ბ ააგეთ მართკუთხედი ACJE და კვადრატები ABKD და DEML.

შემდეგ კვ. ACJE = კვ. ABKD + კვ. BCJN - კვ. DEML - pl. LMNK. მაგრამ BCJN და LMNK მართკუთხედები ტოლია და, შესაბამისად, მათი ფართობები ჩვენს მიერ დაწერილ ტოლობაში ანადგურებს ერთმანეთს: კვ. ACJE = კვ. ABKD - კვ. DEML, ე.ი.

(a + b) (a-b) \u003d a 2 - b 2.

63. განაცხადები.ამ ფორმულების დახმარებით, ზოგჯერ შესაძლებელია მრავალწევრების გამრავლება უფრო მარტივად, ვიდრე ჩვეულებრივი გზით. Აი ზოგიერთი მაგალითი:

1) (4a 3 - 1) 2 \u003d (4a 3) 2 - 2 (4a 3) 1 +1 2 \u003d 16a 6 - 8a 3 + 1

2) (x + y) (y - x) = (y + x) (y - x) = y 2 - x 2 .

3) (x + y + 1) (x - y + 1) = [(x + 1) + y] [(x + 1) - y] = (x + 1) 2 - y 2 = x 2 + 2x + 1 -2 საათზე.

4) (a - b + c) (a + b - c) \u003d [a - (b - c)] [a + (b - c)] \u003d

\u003d a 2 - (b - c) 2 \u003d a 2 - (b 2 - 2bc + c 2) \u003d a 2 - b 2 + 2bc - c 2

თავი მეოთხე.

ალგებრული დაყოფა.

64. უფლებამოსილების გაყოფა იმავე რაოდენობის.მოდით გავყოთ:

a 5: ა 2 .

ვინაიდან დივიდენდი ტოლი უნდა იყოს გამყოფზე გამრავლებული კოეფიციენტზე, ხოლო გამრავლებისას ემატება იდენტური ასოების ინდიკატორები, მაშინ a ასოს სასურველ კოეფიციენტში უნდა იყოს რიცხვი, რომელიც 2-ს დაემატება არის 5; ასეთი რიცხვი უდრის სხვაობას 5 - 2. ასე რომ:

a 5: ა 2 = 5-2 = a 3

მსგავსს ვპოულობთ: x 3: x 2 \u003d x; y 4: y = y 3 და ა.შ.

ნიშნავს, ერთი და იგივე რიცხვის ძალაუფლების გაყოფისას გამყოფის მაჩვენებელს აკლდება დივიდენდის მაჩვენებელს .თუ რიცხვი რომლის ხარისხები იყოფა არ არის ნულის ტოლი. ასე რომ, თქვენ არ შეგიძლიათ დაწეროთ: 0 m: 0 n = 0 m-n, რადგან ეს ტოლობა ნიშნავს: 0:0 = 0, ხოლო კოეფიციენტი 0:0 შეიძლება უდრის ნებისმიერ რიცხვს.

65. ნულოვანი მაჩვენებელი.თუ ერთი და იგივე რიცხვის უფლებამოსილებების გაყოფისას გამყოფის მაჩვენებელი დივიდენდის მაჩვენებლის ტოლი აღმოჩნდება, მაშინ კოეფიციენტი უნდა იყოს 1-ის ტოლი; მაგალითად: ა 3 : ა 3 = 1 იმიტომ ა 3 = ა 3 1. შევთანხმდეთ ამ შემთხვევაშიც გამოვაკლოთ მაჩვენებლები; მაშინ კოეფიციენტში ვიღებთ ასოს ნულოვანი მაჩვენებლით:
ა 3 : ა 3 = ა 3-3 = ა 0 . რა თქმა უნდა, ამ ინდიკატორს არ აქვს ის მნიშვნელობა, რაც ინდიკატორებს ადრე მივამაგრეთ, ვინაიდან შეუძლებელია რიცხვის გამეორება 0-ჯერ. ნიღბის ქვეშ შევთანხმდებით ა 0 გააცნობიეროს ასოს ერთი და იგივე ძალების გაყოფის კოეფიციენტი ა , და რადგან ეს კოეფიციენტი 1-ის ტოლია, ავიღებთ ა 0 1-ისთვის.

66. მონომების დაყოფა.მიეცეს გაყოფა:

(12a 3 b 2 x): (4a 2 b 2) .

თუმცა, სიმოკლეობისთვის, ჩვეულებრივ, ასეთ აღნიშვნებში ფრჩხილების გამოტოვება. გაყოფის განმარტების მიხედვით, კოეფიციენტი, როდესაც გამრავლებულია გამყოფზე, უნდა იყოს დივიდენდი. ამიტომ სასურველი კოეფიციენტი უნდა ჰქონდეს 12: 4 , ე.ი. 3 ; წერილის ინდექსი ა მიღებული ამ ასოს ინდიკატორის გამოკლებით გამყოფში იმავე ასოს ინდიკატორის დივიდენდში, ასო ბ საერთოდ არ შევა კოეფიციენტში, ან, რაც ერთი და იგივეა, შევა ინდიკატორით 0 და წერილი X წავა კოეფიციენტზე თავისი მაჩვენებლით.

ამრიგად: 12a 3 b 2 x: 4a 2 b 2 = 3 აჰ . გადამოწმება: 3 აჰ 4ა 2 ბ 2 = 12а 3 b 2 x

წესი. მონომის მონომად გასაყოფად აუცილებელია დივიდენდის კოეფიციენტის გაყოფა გამყოფის კოეფიციენტზე, გამოკლდეს გამყოფის იგივე ასოების ინდიკატორები დივიდენდის ასოების ინდიკატორებს და გადავიტანოთ კოეფიციენტზე, ინდიკატორების შეცვლის გარეშე, დივიდენდის ის ასოები, რომლებიც არ არის გამყოფში.

მაგალითები.

1) 3m 3 n 4 x: 4m 2 nx = 3 / 4 m n 3

2) - ცული 4 y 3: - 5 / 6 ღერძი 2 \u003d + 6 / 5 x 3 წ.

3) 0.8ax n: - 0.02ax = - 40x n-1 .

67. მონომების გაყოფის შეუძლებლობის ნიშნები.თუ მთელი რიცხვის მონომების გაყოფის კოეფიციენტი ზუსტად ვერ გამოისახება მთელი რიცხვითი მონომით, მაშინ ამბობენ, რომ ასეთი გაყოფა შეუძლებელია. მონომების დაყოფა შეუძლებელია ორ სხივში:

ა) როცა გამყოფში არის ასოები, რომლებიც არ არის დივიდენდში.

მაგალითად, თქვენ არ შეგიძლიათ განცალკევება 4აბ 2 ზე 2ax , ვინაიდან ნებისმიერი მონომი გამრავლებული 2ax იძლევა ასოს შემცველ პროდუქტს X , და ჩვენს დაყოფაში ასეთი ასო საერთოდ არ არის.

ბ) როცა გამყოფში რომელიმე ასოს მაჩვენებელი დივიდენდის იმავე ასოს მაჩვენებელს დიდია.

მაგალითად, გაყოფა 10a 3 b 2: 5ab 3 შეუძლებელია, რადგან ნებისმიერი მონომი გამრავლებულია 5ab 3 , პროდუქტში იძლევა ისეთ მონომიას, რომელიც შეიცავს ასოს ბ 3-ის მაჩვენებლით ან 3-ზე მეტი მაჩვენებლით, ხოლო ჩვენს გაყოფაში ეს ასო არის 2-ის მაჩვენებლით.

როდესაც ერთი მონომი არ იყოფა მეორე მონომზე, მაშინ კოეფიციენტი შეიძლება მიეთითოს მხოლოდ გაყოფის ნიშნებით; გაყოფის ასე კოეფიციენტი 4a 2 b: 2ac შეიძლება იყოს მითითებული

ან ასე: 4a 2 b: 2ac , ან ასე:

68. მრავალწევრის გაყოფა მონომზე.

დაე, საჭირო იყოს მრავალწევრის გაყოფა a + b - c მონომისად მ , რომელიც შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად:

(a + b - c) : მ , ან,

მრავალწევრი a + b - c არის ალგებრული ჯამი და იმისათვის, რომ ალგებრული ჯამი გავყოთ რომელიმე რიცხვზე, ყოველი წევრი შეიძლება ამ რიცხვზე ცალკე დაიყოს; Ამიტომაც:

ამის დამოწმება შესაძლებელია დამოწმებით: მრავალწევრის გამრავლებით ა /მ+ ბ /მ - გ /მ გამყოფისკენ მ , ჩვენ ვიღებთ დივიდენდს a + b - c

წესი. მრავალწევრის მონომად გასაყოფად აუცილებელია მრავალწევრის თითოეული წევრი გავყოთ ამ მონომში და მივიღოთ მიღებული კოეფიციენტები.

რა თქმა უნდა, მრავალწევრის ტერმინების მონომებზე დაყოფა ხორციელდება მონომების გაყოფის წესის მიხედვით.

მაგალითები.

69. მონომის გაყოფა მრავალწევრზე.მონომი იყოს საჭირო ა გაყოფა მრავალწევრებით ბ+ გ-დ . ასეთი გაყოფის კოეფიციენტი არ შეიძლება გამოისახოს არც მთელი რიცხვითი მონომით და არც მთელი მრავალწევრებით, რადგან თუ ჩავთვლით, რომ კოეფიციენტი ტოლია რომელიმე მთელი მონომის ან მთელი მრავალწევრის, მაშინ ამ კოეფიციენტის ნამრავლი მრავალწევრით. ბ+ გ-დ ასევე მისცემს მრავალწევრს და არა მონომს, როგორც ამას მოითხოვს გაყოფა. გაყოფის კოეფიციენტი ა ზე ბ+ გ-დ შეიძლება მითითებული იყოს მხოლოდ გაყოფის ნიშნებით:

ა : (ბ+ გ-დ ), ან

70. მრავალწევრის გაყოფა მრავალწევრზე.მრავალწევრის მრავალწევრზე გაყოფის კოეფიციენტი მხოლოდ იშვიათ შემთხვევებში შეიძლება გამოისახოს მთელი მრავალწევრებით. Მაგალითად:

(a 2 + 2ab + b 2 ) : (a + b) = a + b

როგორც (a + b) (a + b) = (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

ზოგადად, ასეთი კოეფიციენტები შეიძლება აღინიშნოს მხოლოდ გაყოფის ნიშნით. მაგალითად, გაყოფის კოეფიციენტი a - b + c ზე დ-ე ასე იქნება გამოხატული:

ან ( a - b + c ): (დ-ე).

ხანდახან შესაძლებელია კოეფიციენტის გამოთქმა მთელი რიცხვითი მრავალწევრის სახით, როდესაც ორივე მრავალწევრი განლაგებულია ერთი და იმავე ასოს ხარისხებში. მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს შემდეგი მაგალითით:

(5x 2 - 19x 3 + 17x + 6x 4 - 4) : (1 - 5x + 3x 2) .

ორივე მრავალწევრს ვწერთ ასოს კლებად ხარისხებში X და დაალაგეთ გაყოფა ისე, როგორც არის მთელი რიცხვების გაყოფისას:

დავუშვათ, რომ საჭირო კოეფიციენტი უდრის ზოგიერთ მრავალწევრს და რომ ამ მრავალწევრის ტერმინები ასევე განლაგებულია ასოს კლებად ხარისხში. X .

დივიდენდი უნდა ტოლი იყოს გამყოფისა და კოეფიციენტის ნამრავლს. განლაგებული მრავალწევრების გამრავლებიდან ცნობილია, რომ ნამრავლის უმაღლესი წევრი უდრის უმაღლესი, გამრავლებული წევრის ნამრავლს და მამრავლის უმაღლეს წევრს. გამყოფში უმაღლესი წევრი პირველია, გამყოფში და კოეფიციენტში უმაღლესი წევრებიც პირველია. აქედან გამომდინარე, დივიდენდის 1-ლი ვადა ( 6x 4 ) უნდა იყოს გამყოფის 1-ლი წევრის ნამრავლი ( 3x 2 ) კოეფიციენტის 1-ლი წევრით. აქედან გამომდინარეობს: კოეფიციენტის 1-ლი წევრის საპოვნელად საკმარისია დივიდენდის 1-ლი წევრი გავყოთ გამყოფის 1-ლ წევრზე. გაყოფით ვპოულობთ კოეფიციენტის 1 წევრს 2x 2 . ჩვენ ვწერთ მას სტრიქონის ქვემოთ პირადში.

ჩვენ ვამრავლებთ გამყოფის ყველა წევრს კოეფიციენტის 1-ლ წევრზე და გამოვაკლებთ მიღებულ ნამრავლს დივიდენდს. ამისათვის ჩვენ ვწერთ მას დივიდენდის ქვეშ ისე, რომ მსგავსი პირობები იყოს მსგავსების ქვეშ, ხოლო სუბტრაჰენდის ყველა პირობა შებრუნებულია. ვიღებთ 1-ლი ნაშთის გამოკლების შემდეგ. თუ ეს ნაშთი აღმოჩნდება ნულის ტოლი, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ სხვა ტერმინები არ არის კოეფიციენტში, გარდა ნაპოვნი 1-ისა, ანუ, რომ კოეფიციენტი არის მონომიური. თუ, როგორც ჩვენს მაგალითში, 1-ლი ნაშთი არ არის ნული, მაშინ ჩვენ ვიკამათებთ შემდეგნაირად.

დივიდენდი არის გამყოფის ყველა წევრისა და კოეფიციენტის ყველა წევრის პროდუქტი. დივიდენდს გამოვაკლეთ გამყოფის ყველა წევრის ნამრავლი კოეფიციენტის 1 წევრზე; მაშასადამე, 1-ლი ნაშთი შეიცავს გამყოფის ყველა წევრის ნამრავლს მე-2-ზე, მე-8-ზე და კოეფიციენტის შემდეგ წევრებზე. დანარჩენში უმაღლესი ვადა არის 1; გამყოფის უმაღლესი წევრი ასევე არის 1-ლი; კოეფიციენტში უმაღლესი წევრი (1-ის არ დათვლის) არის მე-2 წევრი. ასე რომ, დარჩენილი ნაწილის 1-ლი წევრი (- 9x 3 ) ტოლი უნდა იყოს გამყოფის 1-ლი წევრის ნამრავლის კოეფიციენტის მე-2 წევრის. აქედან ვასკვნით: კოეფიციენტის მე-2 წევრის საპოვნელად საკმარისია 1 ნარჩენის 1 წევრი გავყოთ გამყოფის 1 წევრზე. გაყოფით ვპოულობთ კოეფიციენტის მე-2 წევრს - Zx . პირადად ვწერთ.

ვამრავლებთ გამყოფის ყველა წევრს კოეფიციენტის მე-2 წევრზე და გამოვაკლებთ მიღებულ ნამრავლს 1 ნაშთს. ვიღებთ მე-2 ნაშთს. თუ ეს ნაშთი არის ნული, მაშინ გაყოფა დასრულდა; თუ, როგორც ჩვენს მაგალითში, მე-2 ნაშთი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ ვიკამათებთ შემდეგნაირად.

მე-2 ნაშთი არის გამყოფის ყველა წევრისა და კოეფიციენტის მე-3, მე-4 და მომდევნო წევრების ნამრავლი. რაკი კოეფიციენტის ამ წევრთაგან უმაღლესი არის მე-3, მაშინ, ისევე როგორც წინა, ჩვენ ვიპოვით კოეფიციენტის მე-3 წევრს, თუ მე-2 ნაშთის 1-ლ წევრს გავყოფთ გამყოფის პირველ წევრზე. გაყოფა, ჩვენ ვპოულობთ - 4 . გამრავლება -4 გამყოფის ყველა პირობა და ნაშთს გამოვაკლოთ ნამრავლი, მივიღებთ მე-3 ნაშთს. ჩვენს მაგალითში ეს ნაშთი ნული აღმოჩნდა; ეს გვიჩვენებს, რომ პირადი არ შეიძლება შეიცავდეს სხვა წევრებს, გარდა ნაპოვნი. თუ მე-3 ნაშთი არ იყო 0, მაშინ, ისევე როგორც წინა, საჭირო იქნებოდა ამ ნაშთის 1-ლი წევრის გაყოფა გამყოფის 1-ლ წევრზე; ეს მისცემს კოეფიციენტის მე-4 წევრს და ა.შ.

შესაძლებელი იქნებოდა დივიდენდისა და გამყოფის მოწყობა იმავე ასოს აღმავალი უფლებამოსილების მიხედვით და შემდეგ გაგრძელდება ისე, როგორც ახლა უკვე ითქვა; ამ შემთხვევაში, უნდა დაეყრდნოთ იმ ფაქტს, რომ ნამრავლის ყველაზე დაბალი წევრი უდრის ნამრავლის ყველაზე დაბალი წევრის ნამრავლს მულტიპლიკატორის უმცირეს წევრზე.

71. მაგალითები.

ჩვენ აქ არ დავწერეთ გამყოფის 1-ლი წევრის ნამრავლები 1-ზე, მე-2-ზე და ა.შ. გამოკლებული. ისინი ამას ჩვეულებრივ აკეთებენ. გარდა ამისა, სუბტრაჰენდების ხელმოწერისას მათ პირდაპირ ვწერდით საპირისპირო ნიშნებით.

ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია გადავამოწმოთ განსხვავებები x 5 - a 5 , x 6 - ა 6 ... და ზოგადად
x m - a m დანარჩენების გარეშე გაყოფილი სხვაობაზე x - a , ე.ი. რომ ორი რიცხვის ერთი და იგივე ხარისხების სხვაობა იყოფა ამ რიცხვების სხვაობაზე ნაშთების გარეშე .

72. მრავალწევრების გაყოფის შეუძლებლობის ნიშნები.აღწერილი პროცესიდან ჩანს, რომ მრავალწევრის მრავალწევრზე დაყოფა არ შეიძლება შესრულდეს შემდეგ შემთხვევებში:

ა) თუ დივიდენდის უმაღლეს წევრში დიდი ასოს მაჩვენებელი ნაკლებია გამყოფის უმაღლეს წევრში იმავე ასოს მაჩვენებელზე, რადგან მაშინ კოეფიციენტის უმაღლესი წევრი ვერ მიიღება.

ბ) თუ დივიდენდის ყველაზე დაბალ წევრში დიდი ასოს მაჩვენებელი ნაკლებია მაჩვენებელზე. ერთი და იგივე ასო გამყოფის ყველაზე დაბალ წევრში, რადგან მაშინ ვერ ისწავლით კოეფიციენტის უმცირეს წევრს.

გ) თუ მთავარი ასოს მაჩვენებლები დივიდენდის უმაღლეს და უმდაბლეს პირობებში არ არის შესაბამისად ამ ასოს მაჩვენებლებზე გამყოფის უმაღლესი და ყველაზე დაბალი მაჩვენებლებით, მაშინ არ შეიძლება ითქვას, რომ გაყოფა შესაძლებელია. ამ შემთხვევაში, იმისათვის, რომ ვიმსჯელოთ გაყოფის შესაძლებლობის ან შეუძლებლობის შესახებ, უნდა დავიწყოთ თავად მოქმედების შესრულება და გავაგრძელოთ მანამ, სანამ საბოლოოდ არ დავრწმუნდებით მრავალწევრის სახით კოეფიციენტის მიღების შესაძლებლობაში ან შეუძლებლობაში.

ამ შემთხვევაში ორი შემთხვევა უნდა გამოიყოს:

I. როდესაც მრავალწევრები განლაგებულია მთავარი ასოს კლებად ხარისხებში, ისინი აგრძელებენ მოქმედებას მანამ, სანამ ნაშთი არ არის 0 (მაშინ გაყოფა შესაძლებელია და დასრულებულია), ან სანამ არ მიაღწევენ ისეთ ნაშთს, რომლის 1-ლი წევრი შეიცავს მთავარს. ასო გამყოფის 1-ლი წევრის ინდექსზე ნაკლები ინდიკატორით (მაშინ გაყოფა შეუძლებელია). Მაგალითად:

გაყოფა შეუძლებელია, რადგან ჩვენ მივაღწიეთ ისეთ ნაშთს, რომელშიც 1-ლი წევრი არ იყოფა გამყოფის 1-ლ წევრზე.

II. როდესაც მრავალწევრები განლაგებულია მზარდი ხარისხებით, მაშინ, რაც არ უნდა გავაგრძელოთ გაყოფა, ჩვენ ვერასდროს მივიღებთ ისეთ ნაშთს, რომელშიც 1-ლი წევრის მაჩვენებელი ნაკლები იქნება გამყოფის 1-ლი წევრის მაჩვენებელზე. რადგან ასეთი განლაგებით, პირველი წევრების ნარჩენებში დიდი ასოების ინდექსები იზრდება. Მაგალითად:

მოქმედების შემდგომი გაგრძელებით, ჩვენ მივიღებთ პირად ვადაში - 4ა 3 , მაგრამ თუ შესაძლებელი იქნებოდა მთელი რიცხვის კოეფიციენტის მიღება (ნაშთის გარეშე), მაშინ მისი ბოლო წევრი უნდა იყოს 5ა 2 (დივიდენდის უმაღლესი წევრის გამყოფის უმაღლეს წევრზე გაყოფისგან); ასე რომ დაყოფა შეუძლებელია.

კომენტარი. მრავალწევრების დაყოფა უფრო დეტალურად არის აღწერილი მე-2 ნაწილში, § 390 და შემდგომ.

თავი მეხუთე.

ფაქტორიზაცია.

73. წინასწარი შენიშვნა.ალგებრულ გაყოფაზე საუბრისას აღვნიშნეთ, რომ ზოგიერთ შემთხვევაში კოეფიციენტი შეიძლება აღინიშნოს მხოლოდ გაყოფის ნიშნით. შედეგად მიღებული გამონათქვამები ასეთია:

და ა.შ.,

დაურეკა ალგებრული წილადებიამ გამონათქვამების არითმეტიკული წილადების მსგავსებით.

მალე დავინახავთ, რომ ალგებრული წილადები, არითმეტიკული წილადების მსგავსად, ზოგჯერ შეიძლება გამარტივდეს დივიდენდის შემცირებით (ანუ გაყოფით) და მათ საერთო ფაქტორებზე გაყოფით, ასეთის არსებობის შემთხვევაში. იმისათვის, რომ ასეთი შემცირება სირთულის გარეშე იყოს შესაძლებელი, ადამიანმა უნდა ისწავლოს ალგებრული გამონათქვამების ფაქტორიზაცია (ისევე, როგორც არითმეტიკაში, წილადების შესამცირებლად, თქვენ უნდა შეძლოთ მთელი რიცხვების ფაქტორიზაცია მათ შემადგენელ ფაქტორებად).

74. მთელი რიცხვითი მონომების დაშლა.აიღეთ მთელი რიცხვის მონომი, მაგალითად. 6a2b 3 . ვინაიდან ეს არის პროდუქტი, მაშინ მისი ერთ-ერთი ტიპის მიხედვით ის შეიძლება დაუყოვნებლივ დაიშალა შემადგენელ ფაქტორებად. Ისე:

6a2b 3 =2 3 (aa) (bbb) = 2 3aabbb.

ამ ფაქტორების ზოგიერთ ჯგუფში გაერთიანებით (გამრავლების ასოციაციური თვისების გამოყენებით), ჩვენ შეგვიძლია მივუთითოთ ამ მონომის სხვადასხვა გაფართოება, მაგალითად:

6a2b 3 =(6a) (ab 3) \u003d (2a 2 b) (3b 2) \u003d (Zab 2) (2ab) და ა.შ.

75. მრავალწევრების დაშლა.მივუთითოთ უმარტივესი შემთხვევები, როდესაც შესაძლებელია მრავალწევრის ფაქტორიზაცია.

ა)როგორც (a + b - c) m = am + bm - სმ და პირიქით:

am + bm - სმ = (a + b - c) m .

ამრიგად, თუ მრავალწევრის ყველა წევრი შეიცავს საერთო ფაქტორს, მაშინ ის შეიძლება ამოღებულ იქნას ფრჩხილებიდან.

მაგალითად: 1) x 6 -2x 2 + 3x \u003d x (x 5 -2x + 3).

2) 16a 2 - 4a 3 \u003d 4a 2 (4 - a).

3) 5m(x - 1) + 3n (x - 1) = (x - 1) (5m - 3n).

ბ)როგორც

(a + b) (a-b) \u003d a 2 - b 2

და პირიქით:

a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a-b)

ამრიგად, ბინომი, რომელიც არის ერთი რიცხვის კვადრატი მეორე რიცხვის კვადრატის გარეშე, შეიძლება შეიცვალოს ამ რიცხვების ჯამის ნამრავლით მათი სხვაობით.

in)როგორც (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 და (ა - ბ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 და პირიქით:

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (a + b) (a + b) და

a 2 - 2ab + b 2 = (ა - ბ) 2 ==(ა - ბ) (ა - ბ) ,

ასე რომ, ტრინომიალი, რომელიც არის ნებისმიერი ორი რიცხვის კვადრატების ჯამი, გაზრდილი ან შემცირებული ორჯერ ამ რიცხვების ნამრავლით, შეიძლება ჩაითვალოს ამ რიცხვების ჯამის ან სხვაობის კვადრატად.

მაგალითები.

1) a 2 + 2a +1 . როგორც 1=1 2 და 2a = 2a 1 , მაშინ

a 2 + 2a +1 = (a + 1) 2 .

2) x 4 + 4 - 4x 2 . Აქ x 4 \u003d (x 2) 2, 4 \u003d 2 2 და 4x 2 \u003d 2x 2 2 ;

Ამიტომაც: x 4 + 4 - 4x 2 = (x 2 - 2) 2 . ამის დაწერაც შეიძლება

x 4 + 4 - 4x 2 = (2x2) 2 , რადგან ისინი ორომალიები არიან. x 2 - 2 და 2x2 კვადრატზე ასვლისას მიეცით ტრინომები, რომლებიც განსხვავდებიან მხოლოდ ტერმინების თანმიმდევრობით:

(x 2 - 2) 2 = x 4 + 4 - 4x 2 ; (2x2) 2 = 4 - 4x 2 + x4 .

3) -x + 25x 2 + 0.01 . აქ არის ორი კვადრატი: 25x2 = (5x) 2 და 0,01 = 0,1 2 . 5x და 0.1 რიცხვების ორმაგი ნამრავლი არის: 2 5x0.1 = x . ვინაიდან ამ ტრინომში ორივე კვადრატი არის + ნიშნით და ორმაგი ნამრავლი (ე.ი. X ) ნიშნით -, მაშინ

-x + 25x 2 + 0.01 = 25x2 - X + 0,01 = (5x - 0.1) 2 = (0.1 - 5x) 2 .

4) - x 2 - y 2 + 2xy. დავდოთ ნიშანი - ფრჩხილებიდან: - ( x 2 + y 2 - 2xy ). ფრჩხილებში ტრინომიალი აშკარად არის (x-y) 2 .

- x 2 - y 2 + 2xy = - (x 2 + y 2 - 2xy ) = - (x - y) 2 = - (y-x) 2 .

დ) ზოგჯერ მრავალწევრის ფაქტორიზაცია შესაძლებელია მისი წევრების ზოგიერთ ჯგუფად გაერთიანებით.

თავი მეექვსე.

ალგებრული წილადები.

76. სხვაობა ალგებრული წილადისა და არითმეტიკულის შორის. როგორც ადრე ვთქვით, ორი ალგებრული გამონათქვამის გაყოფის კოეფიციენტი იმ შემთხვევაში, როდესაც გაყოფა მხოლოდ მითითებულია, ე.წ. ალგებრული წილადი. ეს არის, მაგალითად, გამონათქვამები:

ასეთ გამონათქვამებში დივიდენდს მრიცხველი ეწოდება, გამყოფი არის მნიშვნელი და ორივე არის წილადის წევრი.

შეგახსენებთ, რომ არითმეტიკული წილადი ასევე არის მრიცხველის მნიშვნელზე გაყოფის კოეფიციენტი. ამრიგად, ფრაქცია 3/5 არ ნიშნავს მხოლოდ სამ ასეთ აქციას, რომლებიც შეიცავს მეხუთე ერთეულს; ეს წილადი ასევე ნიშნავს სამი ერთეულის მეხუთე ნაწილს, ანუ ის არის 3-ის 5-ზე გაყოფის კოეფიციენტი. მაგრამ განსხვავება ალგებრულ წილადსა და არითმეტიკურს შორის არის ის, რომ არითმეტიკული წილადი არის ერთი დადებითი მთელი რიცხვის სხვა დადებით რიცხვზე გაყოფის კოეფიციენტი. , მაშინ ისევე, როგორც ალგებრული წილადი არის ნებისმიერი რიცხვის გაყოფის კოეფიციენტი, როგორც მთელი, ასევე წილადი, დადებითი და უარყოფითი. მაგალითად, გამონათქვამები:

არ შეიძლება ეწოდოს არითმეტიკული წილადები; ეს იქნება ალგებრული წილადების განსაკუთრებული შემთხვევები. ამრიგად, ალგებრული წილადი უფრო ფართო ცნებაა, ვიდრე არითმეტიკული წილადი; მასში შედის არითმეტიკული წილადი, როგორც განსაკუთრებული შემთხვევა.

თუმცა, მიუხედავად ამ განსხვავებისა, არითმეტიკული წილადის ყველა თვისება ეკუთვნის, როგორც ამ თავში დავინახავთ, ალგებრულ წილადს.

77. წილადის ძირითადი თვისება.ვინაიდან წილადი არის მრიცხველის მნიშვნელზე გაყოფის კოეფიციენტი, და კოეფიციენტი არ იცვლება დივიდენდისა და გამყოფის ერთსა და იმავე რიცხვზე გამრავლებით (ან გაყოფით) (ნულის გარდა) (ნაწილი 1 § 34, ე), მაშინ იგივე თვისება ეკუთვნის წილადს, ე.ი. წილადის მნიშვნელობა არ იცვლება, თუ მისი მრიცხველი და მნიშვნელი მრავლდება (ან იყოფა) ერთსა და იმავე რიცხვზე (ნულის გარდა) . მაგალითად, თუ გავამრავლებთ წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს

ჩავიცვათ - 4 / 9 , მაშინ გვექნება: ყოფილი წილადი

ახალი ფრაქცია:

ჩვენ ვხედავთ, რომ წილადის მნიშვნელობა იგივე რჩება.

წილადის ამ თვისების გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია იგივე გარდაქმნები შევასრულოთ ალგებრულ წილადებზე, რაც მითითებულია არითმეტიკაში არითმეტიკული წილადებისთვის, ანუ შეგვიძლია შევამციროთ, თუ ეს შესაძლებელია, წილადები და, საჭიროების შემთხვევაში, მივიყვანოთ ისინი ერთ მნიშვნელზე. განვიხილოთ ეს გარდაქმნები და აღვნიშნოთ კიდევ რამდენიმე, რომელიც არ გამოიყენება არითმეტიკაში.

78. წილადის წევრების შემცირება მთელ რიცხვამდე.თუ ისე მოხდა, რომ წილადის წევრები თავად შეიცავენ წილადებს, მაშინ მათი სწორად შერჩეულ რიცხვზე ან ალგებრულ გამოსახულებაში გამრავლებით შეგვიძლია ამ წილადებისგან თავის დაღწევა.

მაგალითები.

79. წილადის წევრების ნიშნების შეცვლა.წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის წინ ნიშნის შებრუნება ჰგავს მათ -1-ზე გამრავლებას, რაც არ ცვლის წილადის მნიშვნელობას. Ისე:

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ჩვენ შევცვლით ნიშანს წილადის რომელიმე წევრის წინ და ამავდროულად შევცვლით ნიშანს თავად წილადის წინ, მაშინ წილადის მნიშვნელობა ასევე არ შეიცვლება; მაგალითად:

წილადის ეს თვისებები ზოგჯერ შეიძლება გამოყენებულ იქნას მისი გარკვეული ტრანსფორმაციისთვის; მაგალითად:

80. წილადების შემცირება.ალგებრული წილადის შესამცირებლად აუცილებელია, თუ ეს შესაძლებელია, ჯერ მოიძებნოს ისეთი ალგებრული გამონათქვამი, რომლითაც წილადის ორივე წევრი იყოფა და შემდეგ გავყოთ ისინი ამ გამოსახულებით. განვიხილოთ, თუ როგორ არის ყველაზე მოსახერხებელი ამის გაკეთება შემდეგ ორ შემთხვევაში.

ა)აიღეთ წილადი, რომელშიც ორივე წევრი მთელი რიცხვითი მონომია; მაგალითად:

შანსები 12 და 20 იყოფა 4-ზე, ხოლო ლიტერატურული გამონათქვამები იყოფა ა და შემდეგ x 2 ასე რომ, ეს წილადი შეიძლება შემცირდეს 4ax 2 :

(წილადის ზემოთ ჩვენ დავწერეთ ის საერთო ფაქტორები, რომლითაც ვამცირებთ წილადს; გაყოფის ნაცვლად 3ax ზე 5 დავყავით 5 მხოლოდ კოეფიციენტი 3 ).

ბ)თუ წილადს აქვს მრიცხველი ან მნიშვნელი (ან ორივე) მრავალწევრია, მაშინ ეს მრავალწევრები ჯერ უნდა იყოს ფაქტორირებული (როგორც მითითებულია); თუ მათ შორის იგივეა, მაშინ ფრაქცია შეიძლება შემცირდეს მათზე.

მაგალითები.

(2-ზე გაყოფის ნაცვლად დგება 1/2-ზე გამრავლება, რაც უდრის 2-ზე გაყოფას).

81. წილადების შემცირება საერთო მნიშვნელამდე,

ა)დაე, საჭირო გახდეს წილადების საერთო მნიშვნელამდე შემცირება რიცხვებით გამოხატული მნიშვნელებით, მაგალითად, ასეთი:

ამისათვის ჩვენ ვანაწილებთ მნიშვნელებს პირველ ფაქტორებად:

3; 15 = 3 5; 18 = 2 3 3

და იპოვონ მათი უმცირესი ჯერადი; ეს იქნება 2 3 3 5 = 90. ახლა იპოვეთ თითოეული მნიშვნელისთვის დამატებითი კოეფიციენტი, რომლითაც გავამრავლოთ ეს მნიშვნელი და მიიღოთ 90. ეს დამატებითი ფაქტორები იქნება:

90:3 = 30; 90:15 = 6, 90:18 = 5.

იმისათვის, რომ წილადებმა არ შეცვალონ მნიშვნელობა, აუცილებელია მრიცხველების გამრავლება იმავე რიცხვებზე, რომლითაც ვამრავლებთ მნიშვნელებს:

(წილადების ზემოთ იწერება დამატებითი მამრავლები).

ბ)ახლა ავიღოთ წილადები, რომელთა მნიშვნელები სიტყვიერი მონომებია; მაგალითად:

საერთო მნიშვნელისთვის აშკარად შეიძლება ავიღოთ 30აბ 2 . დამატებითი მამრავლები იქნება: 15აბ, 10ბ და 6 :

მოდით გავამრავლოთ თითოეული მნიშვნელი. პირველი ორი არ იშლება და მესამე = (a + b) (a - b) . ასე რომ, საერთო მნიშვნელი იქნება a 2 - ბ 2 და მივიღებთ:

დ) შეიძლება მოხდეს, რომ არცერთ მნიშვნელთა წყვილს არ ჰქონდეს საერთო ფაქტორები. შემდეგ ჩვენ უნდა მოვიქცეთ ისე, როგორც ეს კეთდება არითმეტიკაში მსგავს შემთხვევაში, კერძოდ: გავამრავლოთ თითოეული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი ყველა სხვა წილადის მნიშვნელობის ნამრავლზე. Მაგალითად:

82. წილადების შეკრება და გამოკლება.მრავალწევრის მონომზე გაყოფის წესით შეგვიძლია დავწეროთ:

ამ ტოლობების წაკითხვისას მარჯვნიდან მარცხნივ ვხვდებით:

1) ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად შეგიძლიათ დაამატოთ მათი მრიცხველები და მოაწეროთ იგივე მნიშვნელი ჯამის ქვეშ. ;

2) ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლებისთვის შეგიძლიათ გამოაკლოთ მათი მრიცხველები და მოაწეროთ იგივე მნიშვნელი სხვაობის ქვეშ;

თუ წილადის შეკრების ან გამოკლების მონაცემებს განსხვავებული მნიშვნელი აქვს, მაშინ ისინი ჯერ ერთსა და იმავე მნიშვნელზე უნდა მოიტანონ. Მაგალითად:

გამოკლების შედეგად ვიღებთ:

83. წილადების გამრავლება. წილადის წილადზე გასამრავლებლად შეგიძლიათ მრიცხველი გაამრავლოთ მრიცხველზე და მნიშვნელი მნიშვნელზე და აიღოთ პირველი ნამრავლი მრიცხველად და მეორე მნიშვნელად. ე.ი.

გაიხსენეთ ამ წესის ახსნა არითმეტიკული წილადების მიმართ. დაე, გამრავლდეს 2 / 3 4 / 5 ეს ნიშნავს პოვნას 4 / 5 დან 2 / 3 (მაგ. პოვნა 4 / 5 სიგრძე ტოლია 2 / 3 მეტრი). ამისათვის ჯერ უნდა იპოვოთ 1 / 5 დან 2 / 3 და მერე 4 / 5 დან 2 / 3 . Პოვნა 1 / 5 დან 2 / 3 საჭირო 2 / 3 შეამცირეთ 5-ჯერ; ვიღებთ 2 / 15 . ახლა რომ იპოვო 4 / 5 დან 2 / 3 , საჭირო 2 / 15 4-ჯერ გაზრდა; ვიღებთ 8 / 15 . ამრიგად:

ახლა ჩვენ შევამოწმებთ ამ წესს ალგებრული წილადებისთვის, როდესაც რიცხვები ა, ბ, გ და დ იქნება რაც არ უნდა. ჯერ დავუშვათ, რომ ყველა ეს რიცხვი დადებითია, მაგრამ არა მთლიანი, არამედ წილადი. მოდით, მაგალითად:

მოდით, ეს რიცხვები ჩავანაცვლოთ ტოლობით (1), გამოვთვალოთ ცალ-ცალკე მისი მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები და შევადაროთ მიღებული შედეგები (გამოთვლისას ვიხელმძღვანელებთ არითმეტიკული წილადების გაყოფისა და გამრავლების წესებით):

(საბოლოო გამოთვლას არ ვასრულებთ).

ახლა ვიპოვოთ ტოლობის მარჯვენა მხარე (1):

შევადაროთ მიღებულ შედეგებს, ვხედავთ, რომ ისინი ერთნაირია, ვინაიდან (მთლიანი გამრავლების კომუტაციური თვისების მიხედვით) 2 8 5 4 = 2 5 8 4 და 3 7 6 9 = 3 6 7 9. ამიტომ ტოლობა (1) რჩება სიმართლე და ამ შემთხვევაში.

ახლა დავუშვათ, რომ ზოგიერთი რიცხვი a, b, c და d ხდება უარყოფითი. მოდით, მაგალითად, a = - 2/3 ( ბ, გ და დ აქვთ იგივე მნიშვნელობები). შემდეგ წილადი ა / ბ ხდება უარყოფითი და ტოლობის მთელი მარცხენა მხარე (1) ასევე იქნება უარყოფითი რიცხვი. ნაწარმოების მარჯვენა მხარეს ტუზი ხდება უარყოფითი და, შესაბამისად, მთელი მარჯვენა მხარე ასევე იქნება უარყოფითი რიცხვი. მარცხენა და მარჯვენა მხარის აბსოლუტური მნიშვნელობა იგივე დარჩება. შესაბამისად, თანასწორობა (1) არ ირღვევა. ჩვენ ასევე დავრწმუნდებით, რომ ტოლობა (1) რჩება ჭეშმარიტი მაშინაც კი, როდესაც სხვა რიცხვები უარყოფითი ხდება.

ყველაფერი, რაც ახლა ვთქვით კონკრეტულ მაგალითზე, შეიძლება განმეორდეს ნებისმიერ სხვა მაგალითზე; შესაბამისად, თანასწორობა (1) მართალია ასოების ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ა, ბ, გ და დ .

84. წილადების დაყოფა.წილადის წილადზე გასაყოფად შეგიძლიათ პირველი წილადის მრიცხველი გაამრავლოთ მეორის მნიშვნელზე, პირველის მნიშვნელი მეორის მრიცხველზე და პირველი ნამრავლი აიღოთ მრიცხველად, მეორე კი მნიშვნელად. , ე.ი.

რომ ეს თანასწორობა მართალია ყველა რიცხვისთვის ა ბ გ დ , შეგიძლიათ დარწმუნდეთ გაყოფის მარტივი გადამოწმებით: გამყოფზე გავამრავლოთ კოეფიციენტი (ზემოთ დადასტურებული წილადების გამრავლების წესის მიხედვით), მივიღებთ დივიდენდს:

85. შენიშვნები. 1) მას შემდეგ, რაც რეკლამა /bc=a/bd/ გ , მაშინ გაყოფის წესი შეიძლება გამოიხატოს სხვაგვარად: წილადის წილადზე გასაყოფად შეგიძლიათ პირველი წილადი გაამრავლოთ მეორის საპასუხოდ.

2) ნებისმიერი მთელი ალგებრული გამოსახულება შეიძლება ჩაითვალოს წილადად, რომელშიც მრიცხველი არის ეს მთელი რიცხვი, ხოლო მნიშვნელი არის 1; მაგალითად.

ა = ა/1 ; 3x 2 = 3x 2 /1 და ა.შ.

მაშასადამე, ჩვენს მიერ მოცემული წესები წილადებზე მოქმედებისთვის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ისეთ შემთხვევებზეც, როდესაც რომელიმე ამ გამონათქვამიდან არის მთელი რიცხვი, საჭიროა მხოლოდ ამ მთელი რიცხვის (ყოველ შემთხვევაში გონებრივად) წილადის სახით გამოსახვა. Მაგალითად:

86. განტოლების გათავისუფლება მნიშვნელებისგან.მიეცით განტოლება:

შექცევადი 6 3 / 5 არასათანადო წილადად და ყველა ტერმინი ერთსა და იმავე მნიშვნელთან მიიტანეთ:

ახლა გავამრავლოთ ყველა წევრი 10-ზე; მაშინ მნიშვნელი 10 განადგურდება და ჩვენ მივიღებთ განტოლებას წილადების გარეშე:

შეცდომის თავიდან ასაცილებლად, ჩვენ დავამატეთ ბინომი 7x-2 ფრჩხილებში იმის საჩვენებლად, რომ ამ განტოლებაში - ნიშანი მეორე წილადის წინ არ ეხება 7x და მთელ ბინომამდე 7x-2 (მეორე წილადის მრიცხველამდე). ამ ფრჩხილების გაფართოებით გამოკლების წესის მიხედვით მივიღებთ:

ამრიგად, განტოლების მნიშვნელებისგან გასათავისუფლებლად, აუცილებელია მისი ყველა წევრი მივიყვანოთ ერთსა და იმავე მნიშვნელზე და შემდეგ გავამრავლოთ ისინი ამ მნიშვნელზე. (სხვა სიტყვებით, დააგდე ).

თავი მეშვიდე.

თანაფარდობა და პროპორცია.

87. დამოკიდებულება.ხშირად საჭიროა ერთი მნიშვნელობის შედარება სხვა, მისთვის ერთგვაროვან მნიშვნელობასთან, რათა გავიგოთ რამდენჯერ შეიცავს პირველი მნიშვნელობა მეორეს.

მაგალითად, ამ მიზნით შეგვიძლია შევადაროთ საგნის წონა სხვა ნივთის წონას, ერთი პროდუქტის ფასი მეორე პროდუქტის ფასს და ა.შ. ყველა ასეთ შემთხვევაში შედარების შედეგი გამოიხატება რიცხვით. , რომელიც შეიძლება იყოს როგორც მთელი, ასევე მთელი რიცხვი წილადით და წილადი. მოდით, მაგალითად, შევადაროთ სიგრძე ა სხვადასხვა სიგრძით ბ , და შედარების შედეგი აღმოჩნდა მთელი რიცხვი 3 .

ეს ნიშნავს, რომ სიგრძე ა შეიცავს სიგრძეს ბ ზუსტად 3-ჯერ (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ა მეტი ბ 3 - ჯერ).

თუ შედარების შედეგი არის მთელი რიცხვი წილადთან, ე.ი. 2 1/2, მაშინ ეს იმას ნიშნავს ა შეიცავს ბ 2 1/2 ჯერ ( ა მეტი ბ 2 1/2 ჯერ).

თუ, საბოლოოდ, შედარების შედეგი არის წილადი, ჩადეთ 3/4, მაშინ ა არ შეიცავს ბ არა ერთხელ, არამედ მხოლოდ 3/4 ბ .

ყველა ამ შემთხვევაში, შედარების შედეგი არის აბსტრაქტული რიცხვი, რომლითაც მეორე მნიშვნელობა უნდა გავამრავლოთ პირველის მისაღებად. ასე რომ, ჩვენს მაგალითებში:

a = b 3; a = b 2 1/2; a = b 3/4;

ერთი სიდიდის მეორე ჰომოგენურ რაოდენობასთან შედარების შედეგს ჩვეულებრივ უწოდებენ პირველი სიდიდის მეორეს შეფარდებას. ნიშნავს, ერთი სიდიდის შეფარდება მეორე ჰომოგენურ რაოდენობასთან არის აბსტრაქტული რიცხვი, რომლითაც მეორე სიდიდე უნდა გავამრავლოთ პირველის მისაღებად. ვინაიდან ეს რიცხვი არის პირველი მნიშვნელობის მეორეზე გაყოფის კოეფიციენტი, თანაფარდობა მითითებულია გაყოფის ნიშნით. ასე რომ, შეგიძლიათ დაწეროთ:

ა / ბ (ან ა:ბ) =3; ა / ბ = 2 1 / 2 ა / ბ = 3 / 4 . და ა.შ.

მნიშვნელობებს, რომელთა შორის არის მიღებული თანაფარდობა, ეწოდება ურთიერთობის წევრებს, პირველ მნიშვნელობას ეწოდება წინა წევრი, ხოლო მეორე - შემდეგი.

თუ რაოდენობები იზომება ერთი და იგივე ერთეულით და გამოიხატება რიცხვებით, მაშინ მათი თანაფარდობა შეიძლება შეიცვალოს ამ რიცხვების შეფარდებით. მაგალითად, ორი წონის თანაფარდობა, ერთი 80 გ-ზე და მეორე 15 გ, უდრის 80 და 15 რიცხვების შეფარდებას, ანუ უდრის კოეფიციენტს 80:15, რაც არის. 5 1 / 3 ; ანალოგიურად, 30 ° კუთხის შეფარდება მართ კუთხთან უდრის კოეფიციენტს 30:90, ანუ წილადებს 1 / 3

აუცილებელია ერთმანეთთან შედარება უმეტესწილად დადებითი რაოდენობით; მაშასადამე, დამოკიდებულების ორივე პირობა და თავად მიმართება გამოითვლება დადებითი რიცხვებით.

88. დამოკიდებულება ურთიერთობასა და მის წევრებს შორისიგივე რაც არსებობს დივიდენდს, გამყოფსა და კოეფიციენტს შორის.

ა)წინა წევრი უდრის შემდეგს გამრავლებული თანაფარდობით (დივიდენდი უდრის გამყოფს გამრავლებულ კოეფიციენტზე). თუ, მაგალითად, რაღაც უცნობი რიცხვის შეფარდება X ნომერზე 100 უდრის 2 1 / 2 , მაშინ X = 100 2 1 / 2 = 250 .

ბ)შემდეგი წევრი უდრის წინას გაყოფილი თანაფარდობით (გამყოფი ტოლია დივიდენდის გაყოფილი კოეფიციენტზე). ასე რომ, თუ ცნობილია, რომ 15: X = 5, მაშინ X = 15: 5 = 3.

in)თანაფარდობა არ შეიცვლება, თუ მისი ორივე წევრი გამრავლდება ან იყოფა ერთ რიცხვზე (რაოდენობა არ შეიცვლება, თუ...).

89. მიმართების წევრების მიყვანა მთელ ფორმასთან.ურთიერთობის ორივე წევრის ერთსა და იმავე რიცხვზე გამრავლებით, შეგვიძლია წილადის წევრებთან მიმართება შევცვალოთ მთელი რიცხვების მიმართებით. დიახ, დამოკიდებულება 7 / 3 : 5 მისი წევრების 3-ზე გამრავლებით ის გადაიქცევა მთელი რიცხვების თანაფარდობად 7:15; თანაფარდობა 9 / 14: 10 / 21, მისი წევრების საერთო მნიშვნელზე 42-ზე გამრავლების შემდეგ, ასევე გადაიქცევა მთელი რიცხვების თანაფარდობად 27: 20.

90. ურთიერთობის შემცირება.თუ მიმართების ორივე წევრი არის მთელი რიცხვები, რომლებიც იყოფა ზოგიერთ საერთო გამყოფზე, მაშინ ასეთი მიმართება შეიძლება შემცირდეს. ასე რომ, 42:12 თანაფარდობა მისი წევრების 6-ზე გაყოფით იქნება 7:2.

91. საპირისპირო ურთიერთობა.თუ ჩვენ გადავაწყობთ მიმართების ტერმინებს, ანუ ვაკეთებთ წინა ტერმინს შემდეგნაირად და პირიქით, მაშინ მივიღებთ ახალ მიმართებას, რომელსაც წინას ინვერსია ეწოდება. ამრიგად, მეტრისა და სანტიმეტრის შეფარდება შებრუნებულია სანტიმეტრისა და მეტრის შეფარდებაზე; პირველი უდრის რიცხვს 100, მეორე უდრის საპასუხო 0,01-ს.

92. პროპორცია.თუ აღვნიშნავთ, რომ კილოგრამისა და გრამის თანაფარდობა არის 1000 და რომ კილომეტრის და მეტრის შეფარდება ასევე არის 1000, შეგვიძლია დავწეროთ განტოლება:

ან კილოგრამი: გრამი = კილომეტრი: მეტრი, რომელიც იკითხება შემდეგნაირად: კილოგრამის თანაფარდობა გრამთან ტოლია კილომეტრის და მეტრის შეფარდებას; ან ასე: კილოგრამი დაკავშირებულია გრამთან, როგორც კილომეტრი დაკავშირებულია მეტრთან (ან სხვანაირად: კილოგრამი იმდენჯერ მეტია გრამზე, რამდენი კილომეტრი მეტია მეტრზე).

ორი თანაფარდობის ტოლობას პროპორცია ეწოდება. რა თქმა უნდა, თითოეულ თანაფარდობაში ჩართული რაოდენობები უნდა იყოს ერთგვაროვანი; ასე რომ, ჩვენს მაგალითში, პირველი თანაფარდობის მნიშვნელობები არის წონა, ხოლო მეორე თანაფარდობის მნიშვნელობები არის სიგრძე.

ოთხი მნიშვნელობიდან, რომლებიც ქმნიან პროპორციას, პირველს და მეოთხეს ეწოდება უკიდურესი ტერმინები, მეორე და მესამე არის შუა რიცხვები, პირველი და მესამე არის წინა, მეორე და მეოთხე არის შემდგომი. პირობა. ბოლო რაოდენობას ასევე უწოდებენ მეოთხე პროპორციულს პირველი სამი სიდიდის.

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ პროპორციის ოთხივე წევრი გამოსახულია რიცხვებში; ასეთ პროპორციას დავარქმევთ რიცხვით.

93. რიცხვითი პროპორციის მთავარი თვისება.დავუშვათ, გვაქვს შემდეგი რიცხვითი პროპორციები:

21 / 7 = 15 / 5 (თითოეული თანაფარდობა = 3)

ავიღოთ ყოველი პროპორციით უკიდურესი წევრების ნამრავლი და საშუალო წევრთა ნამრავლი და შევადაროთ ისინი ერთმანეთს. პირველ პროპორციაში უკიდურესობების პროდუქტია

21 5=105 და საშუალების ნამრავლია 7 15=105; მეორე პროპორციით, უკიდურესობების ნამრავლი \u003d 2 1/2 3 = 7 1/2 და საშუალოების ნამრავლი = 3/4 10 = 7 1/2

ამრიგად, თითოეულ აღებულ პროპორციებში, უკიდურესი ტერმინების პროდუქტი უდრის შუა რიცხვების ნამრავლს.

იმის საჩვენებლად, რომ ეს თვისება ეკუთვნის რომელიმე რიცხვით პროპორციას, ავიღოთ პროპორცია პირდაპირი ფორმით:

ა / ბ = თან / დ

ვინაიდან პროპორციის შემადგენელი ორი თანაფარდობიდან თითოეული არის წინა წევრის შემდეგზე გაყოფის კოეფიციენტი, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ პროპორცია არის ორი წილადის ტოლობა. მივიყვანოთ ეს წილადები საერთო მნიშვნელამდე ბდ .

ახლა ჩვენ გავამრავლებთ განტოლების ორივე მხარეს ბდ (რომლისგანაც თანასწორობა არ დაირღვევა); მაშინ საერთო მნიშვნელი შემცირდება და მივიღებთ ტოლობას:

რეკლამა = cb ,

გამოხატავს იმას, რომ ნებისმიერი რიცხვითი პროპორციით უკიდურესი წევრების ნამრავლი უდრის შუა რიცხვების ნამრავლს.

აქედან გამომდინარეობს, რომ პროპორციის ყოველი უკიდურესი წევრი უდრის საშუალოების ნამრავლს გაყოფილი მეორე უკიდურესობაზე და პროპორციის ყოველი საშუალო წევრი უდრის უკიდურესობების ნამრავლს გაყოფილი მეორე საშუალოზე. ეს გვაძლევს პროპორციების სახით მოცემული განტოლებების სწრაფად ამოხსნის უნარს; მაგ. განტოლებიდან

10 / x = 45 / 20

გამომავალი პირდაპირ: X = 10 20 / 45 = 4 4 / 9 .

94. საპირისპირო წინადადება.დავუშვათ, გვაქვს 4 რიცხვი ისეთი, რომ ორი მათგანის ნამრავლი უდრის დანარჩენი ორის ნამრავლს, მაგალითად:

ჩვენ შეგვიძლია გადავაქციოთ ასეთი თანასწორობა პროპორციების სერიად. ამისათვის ჩვენ ორივე ნაწილს ვყოფთ თითოეულ ამ ნაწარმოებად:

5 30; 5 2; 12 30; 12 2,

რომელშიც ერთი ფაქტორი აღებულია ერთი მოცემული პროდუქტიდან, მეორე კი მეორისგან. შემდეგ მივიღებთ 4 სხვა ტოლობას (თუ თანაბარ რიცხვებს გავყოფთ ტოლებად, მაშინ მივიღებთ ტოლებს), კერძოდ:

ყველა ამ წილადის შემცირებით, ჩვენ ვპოულობთ:

ამრიგად, ჩვენ მივიღებთ 4 პროპორციას, რომლებშიც უკიდურესი ტერმინები არის მოცემული პროდუქტის ფაქტორები, ხოლო შუა რიცხვები არის სხვა მოცემული პროდუქტის ფაქტორები.

ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია გადავაქციოთ განტოლება 0.3 4 = 6 0.2 შემდეგ პროპორციებად:

ან თანასწორობა: 5x=3წ ჩვენ შეგვიძლია გადავიყვანოთ პროპორციებად:

5:3=y:x ; x:y=3:5 და ა.შ.

ამრიგად, თუ ორი რიცხვის ნამრავლი უდრის ორი სხვა რიცხვის ნამრავლს, მაშინ პროპორციები შეიძლება გაკეთდეს ამ 4 რიცხვიდან, ერთი ნამრავლის ფაქტორების აღებით უკიდურეს წევრებად, ხოლო მეორე ნამრავლის ფაქტორებად, როგორც შუა წევრებად. პროპორციების.

95. შედეგი.ნებისმიერი რიცხობრივი პროპორციით შეიძლება გადავაწყოთ შუა ტერმინები ერთმანეთს, უკიდურესები ერთმანეთს შორის, ან დააყენოთ საშუალოები უკიდურესების ნაცვლად და პირიქით, რადგან ასეთი გადანაცვლებები არ დაარღვევს ტოლობას უკიდურესობებისა და ნამრავლის ნამრავლს შორის. საშუალოების ნამრავლი და, შესაბამისად, რიცხვების პროპორციულობა არ დაირღვევა.

96. გეომეტრიული საშუალო.ავიღოთ პროპორცია, რომელშიც შუა ტერმინები ერთნაირია; Მაგალითად:

ასეთი პროპორციის განმეორებითი ვადა ეწოდება გეომეტრიული საშუალოპროპორციის დანარჩენი ორი წევრის რაოდენობა: 12 არის 36-ისა და 4-ის გეომეტრიული საშუალო. ამრიგად, თუ გსურთ იპოვოთ ორი რიცხვის გეომეტრიული საშუალო ა და ბ , მაშინ, ასოებით აღნიშვნა X პროპორცია შეგვიძლია დავწეროთ:

a:x=x:b

x 2 = აბ

მაშასადამე, ორი მოცემული რიცხვის გეომეტრიული საშუალო არის ისეთი მესამე რიცხვი, რომლის კვადრატი უდრის მოცემული რიცხვების ნამრავლს. მაგალითად, 25-ისა და 4-ის გეომეტრიული საშუალო არის 10, რადგან 10 2 = 25 4.

97. საშუალო არითმეტიკული.რამდენიმე მოცემული რიცხვის საშუალო არითმეტიკული არის ამ რიცხვების ჯამის მათ რიცხვზე გაყოფის კოეფიციენტი. მაგალითად, 4 რიცხვის საშუალო არითმეტიკული: 10, -2, -8 და 12 არის:

საშუალო არითმეტიკას აქვს ის თვისება, რომ თუ ამ რიცხვების შეკრებისას თითოეულ მათგანს შევცვლით საშუალო არითმეტიკით, მაშინ ჯამი არ შეიცვლება ამ ჩანაცვლებიდან. ამრიგად, 10, -2, -8 და 12 რიცხვების ჯამი უდრის 12-ს, ხოლო 3+3+3+3-ის ჯამი ასევე 12-ის. დავუშვათ, რომ ქარხნის პროდუქტიულობა დროს მიმდინარე წლის პირველი ოთხი თვე, წინა წლის დეკემბერში მის პროდუქტიულობასთან შედარებით, გაიზარდა: იანვარში 10 °/o-ით, თებერვალში -2%-ით, მარტში - 8%-ით (რაც ნიშნავს, რომ პროდუქტიულობა შემცირდა. ბოლო 2 თვეში) და აპრილში + 12%-ით. მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ პროდუქტიულობის საშუალო ზრდა ამ 4 თვეში არის 3% თვეში. ეს ისე უნდა გავიგოთ, რომ ქარხნის პროდუქტიულობა 4 თვის განმავლობაში ისეთივე აღმოჩნდა, როგორიც ყოველთვიურად რომ გაიზრდებოდა, კერძოდ 3%-ით (დეკემბრის პროდუქტიულობასთან შედარებით). ანალოგიურად, ხშირად საუბრობენ საშუალო შემოსავალზე, გადაადგილების საშუალო სიჩქარეზე, მოსახლეობის საშუალო სიმჭიდროვეზე და ა.შ. ყველა ასეთ გამონათქვამში იგულისხმება, რომ საუბარია საშუალო არითმეტიკაზე.

98. მიღებული პროპორციები.ნებისმიერი პროპორციიდან, გარდა მისი პირობების შეცვლისა, შეგიძლიათ მიიღოთ სხვა პროპორციები, რომლებსაც წარმოებულები ეწოდება. აღვნიშნოთ ორი მათგანი.

თუ პროპორციის შემადგენელი თანაბარი თანაფარდობებიდან თითოეული გაიზრდება ან შემცირდება 1-ით, მაშინ თანაფარდობათა შორის თანასწორობა, ცხადია, არ დაირღვევა. ამიტომ, თუ

1-ის საერთო მნიშვნელთან მიყვანით იმ წილადთან, რომელსაც ის მიმართავენ ან აკლდება, მივიღებთ:

ჩვენ შეგვიძლია გამოვხატოთ ორი მიღებული პროპორციები, რომლებიც მივიღეთ შემდეგნაირად: ნებისმიერი პროპორციით, პირველი მიმართების პირობების ჯამი ან სხვაობა დაკავშირებულია ამ მიმართების მომდევნო ტერმინთან ისევე, როგორც მეორე მიმართების პირობების ჯამი ან განსხვავება დაკავშირებულია ამ მიმართების შემდგომ ტერმინთან.

ჩვენ ვყოფთ ტოლობას (1) და (2) ამ ტოლობით ა /b=c/ დ შემდეგ მნიშვნელები ბ და დ მცირდება და მივიღებთ კიდევ ორ გამოყვანილ პროპორციას:

რომელიც შეიძლება ასე გამოიხატოს: პირველი მიმართების წევრთა ჯამი ან განსხვავება დაკავშირებულია ამ მიმართების წინა წევრთან ისევე, როგორც მეორე მიმართების წევრთა ჯამი ან სხვაობა დაკავშირებულია ამ მიმართების წინა წევრთან.

ტერმინის ტოლობის (1) ტოლობის (2) ტოლობის გაყოფით, ჩვენ ასევე ვპოულობთ შემდეგ წარმოებულ პროპორციას:

რომელიც შეიძლება ასე გამოიხატოს: პირველი მიმართების ტერმინთა ჯამი დაკავშირებულია მათ განსხვავებასთან ისევე, როგორც მეორე მიმართების ტერმინთა ჯამი მათ განსხვავებასთან.

შუა ტერმინების ორ პროპორციულად გადალაგებით, ჩვენ ვიღებთ სხვა წარმოებულ პროპორციებს, რომელთა აღნიშვნა სასარგებლოა:

99. თანასწორი ურთიერთობის საკუთრება.ავიღოთ რამდენიმე თანაბარი ურთიერთობა, მაგალითად, ასეთი:

30 / 10 = 6 / 2 = 15 / 5 (თითოეული თანაფარდობა = 3).

მოდით დავუმატოთ ერთმანეთს ყველა წინა წევრი და ყველა მომდევნო წევრი და ვნახოთ რა არის ამ ორი ჯამის შეფარდება. წინა პირთა ჯამია: 30 + 6 + 15 = 51; შემდეგი ჯამი: 10 + 2 + 5 = 17. ჩვენ ვხედავთ, რომ პირველი ჯამის შეფარდება მეორესთან უდრის იგივე რიცხვს 3-ს, რომელიც უდრის ამ თანაფარდობებს, ამიტომ შეგვიძლია დავწეროთ:

იმის საჩვენებლად, რომ ეს თვისება საერთოა, ავიღოთ რამდენიმე თანაბარი მიმართება პირდაპირი ფორმით:

ვინაიდან წინა წევრი თანაფარდობით გამრავლებული მომდევნო წევრის ტოლია, მაშინ

a = bq, c = dq, e = fq , . . .

და აქედან გამომდინარე a + c + e + . . . = bq + dq + fq + . . .

ე.ი. a + c + e. . . =q(b + d + f + . . .)

ამ ტოლობის ორივე მხარე გაყავით ჯამზე ბ + დ + ვ + . . .

აქედან გამომდინარე:

ამრიგად, თუ რამდენიმე თანაფარდობა ერთმანეთის ტოლია, მაშინ ყველა მათი წინა წევრის ჯამი დაკავშირებულია ყველა შემდგომი ჯამს, როგორც ნებისმიერი წინა პირობა დაკავშირებულია მის შემდგომთან.

ვინაიდან ყოველი პროპორცია შედგება ორი თანაბარი თანაფარდობისაგან, ეს თვისებაც ეკუთვნის პროპორციას.

100. არითმეტიკული გამოყენება.(პროპორციული გაყოფა.) რიცხვი 60 დაიყოს სამ ნაწილად b, 7 და 8 რიცხვების პროპორციულად. ეს ისე უნდა გავიგოთ, რომ საჭიროა 60-ის ასეთ სამ ნაწილად დაყოფა x, y და ზ , მდე X ასე განიხილება 5 როგორც ზე ეხება 7-ს და როგორ ზ ეხება 8-ს, ე.ი

x / 5 = წ / 7 = ზ / 8

თანაბარი თანაფარდობების თვისებების გამოყენებით, ჩვენ ვხვდებით:

მაგრამ x + y + z = 60

აქედან ვპოულობთ:

101. გეომეტრიული გამოყენება.ორი მრავალკუთხედი იყოს მსგავსი და ერთის გვერდები ა ბ გ დ, ..., და მსგავსი, მეორის მხარეები ა ბ გ დ", ... მერე

ა / ა" = ბ / ბ" = გ / გ" = დ / დ" = ...

ე.ი. მსგავსი მრავალკუთხედების პერიმეტრები დაკავშირებულია როგორც მსგავსი გვერდები .

კომენტარი. მიღებული პროპორციები და თანაბარი თანაფარდობების თვისება ზოგჯერ შეიძლება გამოყენებულ იქნას პროპორციის სახით მოცემული განტოლების სწრაფად ამოსახსნელად. მოვიყვანოთ მაგალითები.

გავაკეთოთ წარმოებული პროპორცია: პირველი დამოკიდებულების წევრების ჯამი იმავე მიმართების მომდევნო წევრს ეხება ისევე, როგორც. . .

შემდეგ მივიღებთ:

3 /x=47/ 7

სადაც

x = 21 / 47

მოდით გავაკეთოთ წარმოებული პროპორცია: პირველი მიმართების წევრების ჯამი მათ სხვაობას ეხება ისევე, როგორც. . . შემდეგ მივიღებთ:

მოდით გავაკეთოთ ახალი პროპორცია: წინა პირების ჯამი ეხება მომდევნოთა ჯამს ისევე, როგორც. . . :

ახლა გავაკეთოთ წარმოებული პროპორცია: პირველი დამოკიდებულების ტერმინთა ჯამი ეხება ამ მიმართების მომდევნო წევრს ისევე, როგორც. . . :

თავი მერვე.

პროპორციული დამოკიდებულება (პირდაპირი და ინვერსიული).

102. პროპორციული დამოკიდებულება.გამოცდილებიდან ყველამ იცის, რომ თუ წყლის მოცულობა იზრდება (ან შემცირდება) ნებისმიერი თანაფარდობით, მაშინ მისი წონა გაიზრდება (ან შემცირდება) იმავე თანაფარდობით. მაგალითად, 1 ლიტრი წყალი იწონის 1 კგ, 2 ლიტრი წყალი იწონის 2 კგ, 2 1/2 ლიტრი წყალი იწონის 2 1/2 კგ და ა.შ. რჩება უცვლელი; მაგალითად, წყალი მიიღება თანაბრად სუფთა, იმავე ტემპერატურაზე და ა.შ.). ეს კავშირი წყლის მოცულობასა და წონას შორის ე.წ პროპორციული დამოკიდებულება. ზოგადად, თუ ვიტყვით, რომ ორი სიდიდე ერთმანეთის პროპორციულია (ან ერთმანეთის პროპორციულია), მაშინ ეს ნიშნავს, რომ ერთი მათგანის გაზრდით (ან შემცირებით) გარკვეული თვალსაზრისით, მეორეც იზრდება (ან მცირდება) იგივენაირად . ამრიგად, წონით გაყიდული საქონლის ღირებულება მისი წონის პროპორციულია; მუშაკთა ხელფასები მათი რაოდენობის პროპორციულია (იგივე სხვა პირობებში); წილადის მნიშვნელობა მისი მრიცხველის პროპორციულია (მუდმივი მნიშვნელით); მართკუთხედის ფართობი პროპორციულია მისი ფუძის მუდმივი სიმაღლით და პროპორციულია მისი სიმაღლის მუდმივი ფუძით და ა.შ.

103. პროპორციული დამოკიდებულების გამოხატვა ფორმულით.დავუშვათ, ჩვენ ვხსნით შემდეგ პრობლემას:

რკინიგზის მატარებელი, რომელიც მოძრაობს ერთიანი ტემპით, ყოველ საათში 30 კმ-ს გადის. რა სივრცეში გაივლის ეს მატარებელი ა საათი ( ა შეიძლება იყოს მთელი ან წილადი)?

შეუშვით ა საათები გაივლის მატარებელს X კმ.

დაალაგეთ მონაცემები და პრობლემის კითხვა შემდეგნაირად:

30 კმ გავლილია 1 საათში;

in ა საათი " X კმ.

ერთგვაროვანი მოძრაობით, გარკვეული დროის განმავლობაში გავლილი სივრცე ამ დროის პროპორციულია. Ისე x უნდა იყოს 30-ზე მეტი ან ნაკლები და იმდენჯერ ა 1-ზე მეტი ან ნაკლები. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ პროპორცია:

X : 30 = ა : 1 ,

x = 30ა .

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ფორმულა, რომლითაც შესაძლებელია ნებისმიერი რიცხვით გავლილი სივრცის გამოთვლა ა საათები. მაგალითად, 2 საათზე დაიფარება 30 კმ 2, 3 1/2 საათზე 30 კმ 3 1/2. 3/4 საათში 30 კმ 3/4. ასე რომ, მიღებული ფორმულით, რიცხვები X და ა იქნება ცვლადები (ერთმანეთის შესაბამისი), ხოლო რიცხვი 30 მუდმივია (იგულისხმება მატარებლის მიერ 1 საათში გავლილი სივრცე, ანუ მოძრაობის სიჩქარე).

ახლა მოცემული ამოცანებიდან ვხედავთ, რომ თუ ორი სიდიდე პროპორციულია, მაშინ ერთი მათგანის რიცხვითი მნიშვნელობა უდრის რომელიმე მუდმივ რიცხვს, გამრავლებული მეორე სიდიდის შესაბამის რიცხვით მნიშვნელობაზე.

პირიქით, თუ ურთიერთობა რომელიმე ორ ცვლადს შორის, რომელსაც ჩვენ აღვნიშნავთ ზე და X , გამოიხატება ფორმის ფორმულით y = kx , სად კ ამ რაოდენობებისთვის არის რაღაც მუდმივი რიცხვი, მაშინ ასეთი რაოდენობები პროპორციულია, რადგან ამ ფორმულიდან ჩანს, რომ მნიშვნელობის გაზრდით (ან შემცირებით) X რაღაც სხვა ღირებულება ზე ასევე იზრდება (ან მცირდება) და უფრო მეტიც, იმავე თანაფარდობით. მაგალითად, როგორც ცნობილია გეომეტრიიდან, სიგრძე თანწრის რადიუსი რგამოხატული ფორმულით:

C = 6.28R (C = 2πR),

სადაც რდა C-ცვლადები და 6,28 - მუდმივი რიცხვი; მაშინ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ წრის გარშემოწერილობა მისი რადიუსის პროპორციულია.

ასეთ ფორმულებში ფაქტორად ჩართული მუდმივი რიცხვი ეწოდება პროპორციულობის კოეფიციენტიის ცვლადები, რომლებსაც ფორმულა ეხება.

104. შებრუნებული პროპორცია.ზოგჯერ ხდება, რომ ორი ცვლადი ერთმანეთზეა დამოკიდებული ისე, რომ ერთის მატებასთან ერთად მეორე მცირდება და უფრო მეტიც, მცირდება იმავე თანაფარდობით, რომელშიც პირველი იზრდება. ასეთ რაოდენობას ე.წ უკუპროპორციულია(და რაოდენობებს, რომლებიც უბრალოდ პროპორციულია, ზოგჯერ პირდაპირ პროპორციულს უწოდებენ). მაგალითად, საათების რაოდენობა, რომლის დროსაც სარკინიგზო მატარებელი მიდის მთელ გზაზე მოსკოვიდან ლენინგრადამდე, უკუპროპორციულია ამ მატარებლის საშუალო სიჩქარის, რადგან სიჩქარის ზრდით 1 1/2-ჯერ, 2-ჯერ ... ზოგადად, გარკვეული თანაფარდობით, საათების რაოდენობა, რომლის დროსაც მატარებელი დაფარავს მანძილს მოსკოვიდან ლენინგრადამდე, შემცირდება 1 1/2-ჯერ, 2-ჯერ ..., ზოგადად, იმავე თანაფარდობით, რომელშიც სიჩქარე გაიზარდა. ანალოგიურად, საქონლის წონა, რომლის ყიდვა შესაძლებელია მოცემული თანხით, მაგალითად, 100 რუბლით, უკუპროპორციულია ამ საქონლის კილოგრამის ფასზე; დრო, რომლის განმავლობაშიც მუშები ასრულებენ მათთვის დაკისრებულ სამუშაოს, უკუპროპორციულია ამ მუშაკთა რაოდენობისა (რა თქმა უნდა, იმ პირობით, რომ ყველა მუშა თანაბრად წარმატებით მუშაობს); წილადის მნიშვნელობა უკუპროპორციულია მის მნიშვნელთან (მუდმივი მრიცხველით) და ა.შ.

კომენტარი. იმისათვის, რომ ერთმანეთზე დამოკიდებული ორი სიდიდე იყოს პროპორციული (პირდაპირ ან საპირისპიროდ), საკმარისი არ არის მხოლოდ იმის ნიშანი, რომ ერთი სიდიდის გაზრდით მეორეც იზრდება (პირდაპირი პროპორციულობისთვის), ან მატებასთან ერთად. ერთი რაოდენობით მეორე მცირდება (უკუპროპორციულობისთვის). ). მაგალითად, თუ რომელიმე ტერმინი იზრდება, მაშინ ჯამიც იზრდება; მაგრამ მცდარი იქნება იმის თქმა, რომ ჯამი ტერმინის პროპორციულია, რადგან თუ ვადას გავზრდით, 3-ჯერ დავაყენოთ, მაშინ ჯამი, თუმცა გაიზრდება, მაგრამ არა 3-ჯერ. ანალოგიურად, შეუძლებელია, მაგალითად, ვთქვათ, რომ სხვაობა უკუპროპორციულია სუბტრაჰენდისა, ვინაიდან თუ ქვეტრაჰენდი იზრდება, ვთქვათ 2-ჯერ, მაშინ განსხვავება, თუმცა მცირდება, მაგრამ არა 2-ჯერ. აუცილებელია, რომ ორივე მნიშვნელობის ზრდა ან შემცირება მოხდეს ერთსა და იმავე რაოდენობაში (იგივე თანაფარდობით).

105. უკუპროპორციულობის გამოხატვა ფორმულით.დავუშვათ, ჩვენ ვაგვარებთ პრობლემას: ერთ მუშაკს შეუძლია გარკვეული სამუშაოს შესრულება 12 დღეში; რამდენ დღეში გააკეთებენ იგივე საქმეს ა მუშები?

მიუთითეთ სასურველი რიცხვი ასოებით X და სიცხადისთვის მოაწყეთ მონაცემები და პრობლემის საკითხი შემდეგნაირად:

1 თანამშრომელი ასრულებს სამუშაოს 12 დღეში

ა მუშები ასრულებენ „“ X დღეები.

ცხადია, ერთი და იგივე სამუშაოს შესასრულებლად საჭირო დღეების რაოდენობა უკუპროპორციულია მუშაკთა რაოდენობისა. Ისე ( x უნდა იყოს 12-ზე ნაკლები და იმდენჯერ ა 1-ზე მეტი (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რა დრო არის 1-ზე ნაკლები ა ). ასე რომ, ურთიერთობა x :12 არ უნდა იყოს თანაფარდობა ა:1, როგორც ეს იქნება პირდაპირ პროპორციულ ურთიერთობაში და შებრუნებული თანაფარდობა არის 1: ა . ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ პროპორცია:

x :12 = 1: ა

X = 12 / ა .

ამ ფორმულით შეგვიძლია ვიპოვოთ დღეების რაოდენობა X საჭიროა ამ სამუშაოს შესრულებისთვის, ნებისმიერი რაოდენობისთვის ა მუშები; მაგალითად, 2 თანამშრომელი დაასრულებს სამუშაოს 12/2 დღეში, 3 მუშაკი 12/3 დღეში და ა.შ. შესაბამისად, რიცხვები X და ა ამ ფორმულაში არის ცვლადები და რიცხვი 12 არის მუდმივი, რაც ნიშნავს რამდენ დღეში ასრულებს სამუშაოს ერთი მუშაკი.

ისეთი პრობლემებიდან, როგორიც ახლახან მოგვარებულია, ამას ვხედავთ თუ რომელიმე ორი სიდიდე (რომელსაც აღვნიშნავთ x და y ასოებით) უკუპროპორციულია, მაშინ ერთი მათგანის რიცხვითი მნიშვნელობა უდრის რომელიმე მუდმივ რიცხვს (აღვნიშნოთ k) გაყოფილი მეორე სიდიდის შესაბამის მნიშვნელობაზე. , ე.ი. y= კ / x , თუ ზე და X წარმოადგენს ამ რაოდენობების შესაბამის მნიშვნელობებს.

ფორმულიდან გამომდინარე y= კ / x შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ასე: xy = k , მაშინ კავშირი უკუპროპორციულ სიდიდეებს შორის შეიძლება გამოიხატოს სხვა გზით: თუ ორი სიდიდე უკუპროპორციულია, მაშინ ამ რაოდენობების ორი შესაბამისი რიცხვითი მნიშვნელობის ნამრავლი უდრის მუდმივ რიცხვს.

პირიქით, თუ ორ ცვლადს შორის ურთიერთობა გამოიხატება ფორმულით:

y= კ / x ან xy = k .

სადაც კ არის მუდმივი რიცხვი, მაშინ ეს სიდიდეები უკუპროპორციულია, რადგან ფორმულიდან ჩანს, რომ თუ რაოდენობა X შემდეგ რამდენჯერმე იზრდება ზე იგივე რაოდენობით მცირდება.

მაგალითად, ფიზიკიდან ცნობილია, რომ მუდმივ ტემპერატურაზე გაზის მოცემული მასის V მოცულობის და მისი h ელასტიურობის ნამრავლი არის მუდმივი მნიშვნელობა; სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს ნიშნავს, რომ გაზის მოცემული მასის ელასტიურობა უკუპროპორციულია მისი მოცულობის (იმავე ტემპერატურაზე).

კომენტარი. Თანასწორობა y= კ / x შეიძლება სხვანაირად დაიწეროს, ასე:

y = k 1 / x

ამ ფორმით იგი გამოხატავს იმას, რომ რაოდენობა ზე წილადის პირდაპირპროპორციულია 1 / x . ასე რომ, თუ ნომერი ზე რიცხვის უკუპროპორციულია X , მაშინ ასევე შეიძლება ითქვას, რომ ნომერი ზე რიცხვის ურთიერთპროპორციული x , ე.ი. 1 / x .

ალგებრაში განხილულ სხვადასხვა გამოთქმებს შორის მნიშვნელოვანი ადგილი უჭირავს მონომების ჯამს. აქ მოცემულია ასეთი გამონათქვამების მაგალითები:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

მონომების ჯამს მრავალწევრი ეწოდება. მრავალწევრის ტერმინებს მრავალწევრის წევრები ეწოდება. მონომებს ასევე მოიხსენიებენ როგორც მრავალწევრებს, განიხილება მონომი, როგორც პოლინომი, რომელიც შედგება ერთი წევრისაგან.

მაგალითად, მრავალწევრი
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
შეიძლება გამარტივდეს.

ჩვენ წარმოვადგენთ ყველა ტერმინს სტანდარტული ფორმის მონომიებად:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

მიღებულ პოლინომში მსგავს ტერმინებს ვაძლევთ:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
შედეგი არის პოლინომი, რომლის ყველა წევრი სტანდარტული ფორმის მონომია და მათ შორის მსგავსი არ არის. ასეთ მრავალწევრებს უწოდებენ სტანდარტული ფორმის მრავალწევრები.

უკან მრავალწევრი ხარისხისტანდარტული ფორმა იღებს მისი წევრების ყველაზე დიდ უფლებამოსილებებს. ასე რომ, ბინომს \(12a^2b - 7b \) აქვს მესამე ხარისხი, ხოლო ტრინომს \(2b^2 -7b + 6 \) აქვს მეორე.

ჩვეულებრივ, სტანდარტული ფორმის მრავალწევრების წევრები, რომლებიც შეიცავს ერთ ცვლადს, განლაგებულია მისი მაჩვენებლების კლებადობით. Მაგალითად:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

რამდენიმე მრავალწევრის ჯამი შეიძლება გარდაიქმნას (გამარტივდეს) სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად.

ზოგჯერ მრავალწევრის წევრები უნდა დაიყოს ჯგუფებად, თითოეული ჯგუფის ჩასმა ფრჩხილებში. ვინაიდან ფრჩხილები ფრჩხილების საპირისპიროა, მისი ჩამოყალიბება მარტივია ფრჩხილების გახსნის წესები:

თუ + ნიშანი მოთავსებულია ფრჩხილების წინ, მაშინ ფრჩხილებში ჩასმული ტერმინები იწერება იგივე ნიშნებით.

თუ ფრჩხილების წინ არის "-" ნიშანი, მაშინ ფრჩხილებში ჩასმული ტერმინები იწერება საპირისპირო ნიშნებით.

მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლის ტრანსფორმაცია (გამარტივება).

გამრავლების გამანაწილებელი თვისების გამოყენებით შეიძლება მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლის გადაქცევა (გამარტივება) მრავალწევრად. Მაგალითად:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლი იდენტურად უდრის ამ მონომის ნამრავლებისა და მრავალწევრის თითოეული წევრის ჯამს.

ეს შედეგი ჩვეულებრივ ჩამოყალიბებულია როგორც წესი.

მონომის მრავალწევრზე გასამრავლებლად, ეს მონომი უნდა გავამრავლოთ მრავალწევრის თითოეულ წევრზე.

ჩვენ არაერთხელ გამოვიყენეთ ეს წესი ჯამზე გასამრავლებლად.

მრავალწევრების ნამრავლი. ორი მრავალწევრის ნამრავლის ტრანსფორმაცია (გამარტივება).

ზოგადად, ორი მრავალწევრის ნამრავლი იდენტურად უდრის ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრისა და მეორის თითოეული წევრის ნამრავლის ჯამს.

ჩვეულებრივ გამოიყენეთ შემდეგი წესი.

მრავალწევრის მრავალწევრზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრი მეორის თითოეულ წევრზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქცია.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები. ჯამი, სხვაობა და სხვაობის კვადრატები

ალგებრული გარდაქმნების ზოგიერთ გამონათქვამს უფრო ხშირად უნდა შევეხოთ, ვიდრე სხვებს. ალბათ ყველაზე გავრცელებული გამონათქვამებია \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) და \(a^2 - b^2 \), ანუ ჯამის კვადრატი, სხვაობის კვადრატი და სხვაობის კვადრატი. თქვენ შენიშნეთ, რომ ამ გამონათქვამების სახელები თითქოს არასრულია, ასე რომ, მაგალითად, \((a + b)^2 \) არის, რა თქმა უნდა, არა მხოლოდ ჯამის კვადრატი, არამედ ჯამის კვადრატი. ა და ბ. თუმცა, a და b ჯამის კვადრატი არც თუ ისე გავრცელებულია, როგორც წესი, a და b ასოების ნაცვლად შეიცავს სხვადასხვა, ზოგჯერ საკმაოდ რთულ გამონათქვამებს.

გამონათქვამები \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ადვილად გარდაიქმნება (გამარტივება) სტანდარტული ფორმის პოლინომებად, ფაქტობრივად, თქვენ უკვე შეგხვედრიათ ასეთი დავალება მრავალწევრების გამრავლებისას. :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

შედეგად მიღებული იდენტობები სასარგებლოა დასამახსოვრებლად და გამოყენებაში შუალედური გამოთვლების გარეშე. ამას ეხმარება მოკლე სიტყვიერი ფორმულირებები.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - ჯამის კვადრატი უდრის კვადრატების ჯამს და ორმაგ ნამრავლს.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - სხვაობის კვადრატი არის კვადრატების ჯამი ნამრავლის გაორმაგების გარეშე.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - კვადრატების სხვაობა უდრის სხვაობისა და ჯამის ნამრავლს.

ეს სამი იდენტობა საშუალებას იძლევა ტრანსფორმაციების დროს შეცვალონ მათი მარცხენა ნაწილები მარჯვენა ნაწილებით და პირიქით - მარჯვენა ნაწილები მარცხნივ. ყველაზე რთული ამ შემთხვევაში არის შესაბამისი გამონათქვამების დანახვა და იმის გაგება, თუ რა არის მათში ჩანაცვლებული a და b ცვლადები. მოდით შევხედოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენების რამდენიმე მაგალითს.

პირველი დონე

გამოხატვის კონვერტაცია. დეტალური თეორია (2019)

გამოხატვის კონვერტაცია

ხშირად გვესმის ეს უსიამოვნო ფრაზა: „გამოთქმის გამარტივება“. ჩვეულებრივ, ამ შემთხვევაში, ჩვენ გვყავს ასეთი სახის მონსტრი:

”დიახ, ბევრად უფრო ადვილია”, - ვამბობთ ჩვენ, მაგრამ ასეთი პასუხი ჩვეულებრივ არ მუშაობს.

ახლა გასწავლით, არ შეგეშინდეთ ასეთი ამოცანების. უფრო მეტიც, გაკვეთილის ბოლოს თქვენ თვითონ გაამარტივებთ ამ მაგალითს (უბრალოდ!) ჩვეულებრივ რიცხვს (დიახ, ჯანდაბა ამ ასოებით).

მაგრამ სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებდეთ, თქვენ უნდა შეძლოთ წილადების და ფაქტორების მრავალწევრების მართვა. ამიტომ, პირველ რიგში, თუ ეს აქამდე არ გაგიკეთებიათ, აუცილებლად დაეუფლეთ თემებს "" და "".

წაიკითხეთ? თუ კი, მაშინ მზად ხართ.

ძირითადი გამარტივების ოპერაციები

ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ ძირითად ტექნიკას, რომლებიც გამოიყენება გამონათქვამების გასამარტივებლად.

მათგან ყველაზე მარტივია

1. მსგავსის მოტანა

რა მსგავსია? თქვენ ეს გაიარეთ მე-7 კლასში, როდესაც რიცხვების ნაცვლად მათემატიკაში ასოები პირველად გამოჩნდა. მსგავსია ტერმინები (მონომები) ერთი და იგივე ასო ნაწილით. მაგალითად, ჯამში მსგავსი ტერმინები არის და.

Გაიხსენა?

მსგავსი ტერმინების მოტანა ნიშნავს ერთმანეთს რამდენიმე მსგავსი ტერმინის დამატებას და ერთი ტერმინის მიღებას.

მაგრამ როგორ შეგვიძლია ასოების შეკრება? - გეკითხებით.

ამის გაგება ძალიან ადვილია, თუ წარმოიდგენთ, რომ ასოები რაღაც საგნებია. მაგალითად, წერილი არის სკამი. მაშინ რა არის გამოხატულება? ორ სკამს პლუს სამი სკამი, რამდენი იქნება? მართალია, სკამები: .

ახლა სცადეთ ეს გამოთქმა:

იმისათვის, რომ არ დაიბნეთ, მოდით, სხვადასხვა ასო აღნიშნავს სხვადასხვა ობიექტს. მაგალითად, - ეს არის (ჩვეულებისამებრ) სკამი და - ეს არის მაგიდა. შემდეგ:

სკამები მაგიდები სკამი მაგიდები სკამები სკამები მაგიდები

რიცხვები, რომლებითაც მრავლდება ასოები ასეთ ტერმინებში, ეწოდება კოეფიციენტები. მაგალითად, მონომში კოეფიციენტი ტოლია. და ის თანაბარია.

ასე რომ, მსგავსების შემოტანის წესი:

მაგალითები:

მოიყვანეთ მსგავსი:

პასუხები:

2. (და მსგავსია, ვინაიდან, მაშასადამე, ამ ტერმინებს აქვთ იგივე ასო ნაწილი).

2. ფაქტორიზაცია

ეს ჩვეულებრივ ყველაზე მნიშვნელოვანი ნაწილია გამონათქვამების გამარტივებაში. მას შემდეგ, რაც თქვენ მიიღებთ მსგავსებს, ყველაზე ხშირად მიღებული გამონათქვამი უნდა იყოს ფაქტორირებული, ანუ წარმოდგენილი იყოს როგორც პროდუქტი. ეს განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია წილადებში: ბოლოს და ბოლოს, წილადის შესამცირებლად, მრიცხველი და მნიშვნელი უნდა იყოს წარმოდგენილი ნამრავლის სახით.

თქვენ გაიარეთ გამონათქვამების ფაქტორინგის დეტალური მეთოდები თემაში "", ასე რომ, აქ თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ ის, რაც ისწავლეთ. ამისათვის გადაწყვიტეთ რამდენიმე მაგალითები(გამოირიცხება):

გადაწყვეტილებები:

3. წილადის შემცირება.

აბა, რა შეიძლება იყოს იმაზე ლამაზი, ვიდრე მრიცხველისა და მნიშვნელის ნაწილის გადაკვეთა და მათი ცხოვრებიდან გადაგდება?

ეს არის აბრევიატურის სილამაზე.

Ეს მარტივია:

თუ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ერთსა და იმავე ფაქტორებს, ისინი შეიძლება შემცირდეს, ანუ ამოღებულ იქნეს წილადიდან.

ეს წესი გამომდინარეობს წილადის ძირითადი თვისებიდან:

ანუ შემცირების ოპერაციის არსი ისაა წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს ვყოფთ იმავე რიცხვზე (ან იგივე გამოსახულებით).

წილადის შესამცირებლად საჭიროა:

1) მრიცხველი და მნიშვნელი ფაქტორიზირება

2) თუ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს საერთო ფაქტორები, მათი წაშლა შესაძლებელია.

პრინციპი, ვფიქრობ, გასაგებია?

თქვენი ყურადღება მინდა გავამახვილო ერთ ტიპურ შეცდომაზე შემოკლებით. მართალია ეს თემა მარტივია, მაგრამ ბევრი ადამიანი ყველაფერს არასწორად აკეთებს, ამას ვერ ხვდება გაჭრა- ეს ნიშნავს გაყოფამრიცხველი და მნიშვნელი ერთი და იგივე რიცხვით.

არ არის შემოკლებები, თუ მრიცხველი ან მნიშვნელი არის ჯამი.

მაგალითად: თქვენ გჭირდებათ გამარტივება.

ზოგი ამას აკეთებს: რაც აბსოლუტურად არასწორია.

კიდევ ერთი მაგალითი: შემცირება.

"ყველაზე ჭკვიანი" ამას გააკეთებს:.

მითხარი რა არის აქ? როგორც ჩანს: - ეს არის მულტიპლიკატორი, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ.

მაგრამ არა: - ეს არის მხოლოდ ერთი ტერმინის კოეფიციენტი მრიცხველში, მაგრამ თავად მრიცხველი მთლიანობაში არ იშლება ფაქტორებად.

აი კიდევ ერთი მაგალითი: .

ეს გამონათქვამი იყოფა ფაქტორებად, რაც ნიშნავს, რომ შეგიძლიათ შეამციროთ, ანუ გაყოთ მრიცხველი და მნიშვნელი და შემდეგ:

შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გაყოთ:

ასეთი შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, გახსოვდეთ მარტივი გზა იმის დასადგენად, არის თუ არა გამოხატვის ფაქტორი:

არითმეტიკული ოპერაცია, რომელიც ბოლო შესრულებულია გამოხატვის მნიშვნელობის გამოთვლისას არის "მთავარი". ანუ, თუ თქვენ ჩაანაცვლებთ რამდენიმე (ნებისმიერ) რიცხვს ასოების ნაცვლად და ცდილობთ გამოთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა, მაშინ თუ ბოლო მოქმედება არის გამრავლება, მაშინ გვაქვს ნამრავლი (გამოხატვა იშლება ფაქტორებად). თუ ბოლო მოქმედება არის შეკრება ან გამოკლება, ეს ნიშნავს, რომ გამოხატულება არ არის ფაქტორირებული (და შესაბამისად არ შეიძლება შემცირდეს).

გამოსასწორებლად, თავად მოაგვარეთ რამდენიმე მაგალითები:

პასუხები:

1. იმედია მაშინვე არ იჩქარეთ მოჭრა და? ჯერ კიდევ არ იყო საკმარისი ასეთი ერთეულების "შემცირება":

პირველი ნაბიჯი უნდა იყოს ფაქტორიზაცია:

4. წილადების შეკრება და გამოკლება. წილადების მიყვანა საერთო მნიშვნელთან.

ჩვეულებრივი წილადების შეკრება და გამოკლება ცნობილი ოპერაციაა: ჩვენ ვეძებთ საერთო მნიშვნელს, ვამრავლებთ თითოეულ წილადს გამოტოვებულ კოეფიციენტზე და ვამატებთ/გამოკლებთ მრიცხველებს. გავიხსენოთ:

პასუხები:

1. მნიშვნელები და არიან თანაპირველი, ანუ არ აქვთ საერთო ფაქტორები. ამრიგად, ამ რიცხვების LCM უდრის მათ ნამრავლს. ეს იქნება საერთო მნიშვნელი:

2. აქ საერთო მნიშვნელია:

3. აქ, უპირველეს ყოვლისა, ვაქცევთ შერეულ წილადებს არასწორად, შემდეგ კი - ჩვეულებრივი სქემის მიხედვით:

სულ სხვა საკითხია, თუ წილადები შეიცავს ასოებს, მაგალითად:

დავიწყოთ მარტივი:

ა) მნიშვნელები არ შეიცავს ასოებს

აქ ყველაფერი იგივეა, რაც ჩვეულებრივ ციფრულ წილადებში: ჩვენ ვპოულობთ საერთო მნიშვნელს, ვამრავლებთ თითოეულ წილადს გამოტოვებულ ფაქტორზე და ვამატებთ/გამოკლებთ მრიცხველებს:

ახლა მრიცხველში შეგიძლიათ მოიტანოთ მსგავსები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში და შეაფასოთ ისინი:

თავად სცადე:

ბ) მნიშვნელები შეიცავს ასოებს

გავიხსენოთ ასოების გარეშე საერთო მნიშვნელის პოვნის პრინციპი:

პირველ რიგში განვსაზღვრავთ საერთო ფაქტორებს;

შემდეგ ჩვენ ერთხელ ვწერთ ყველა საერთო ფაქტორს;

და გავამრავლოთ ისინი ყველა სხვა ფაქტორზე და არა ჩვეულებრივზე.

მნიშვნელების საერთო ფაქტორების დასადგენად, ჩვენ პირველ რიგში ვყოფთ მათ მარტივ ფაქტორებად:

ჩვენ ხაზს ვუსვამთ საერთო ფაქტორებს:

ახლა ჩვენ ერთხელ ვწერთ საერთო ფაქტორებს და ვუმატებთ ყველა არაჩვეულებრივ (ხაზგასმული) ფაქტორებს:

ეს არის საერთო მნიშვნელი.

დავუბრუნდეთ წერილებს. მნიშვნელები მოცემულია ზუსტად იმავე გზით:

მნიშვნელებს ვანაწილებთ ფაქტორებად;

საერთო (იდენტური) მამრავლების განსაზღვრა;

ერთხელ ჩამოწერეთ ყველა საერთო ფაქტორი;

ჩვენ მათ ვამრავლებთ ყველა სხვა ფაქტორზე და არა ჩვეულებრივზე.

ასე რომ, თანმიმდევრობით:

1) მნიშვნელების დაშლა ფაქტორებად:

2) განსაზღვრეთ საერთო (იდენტური) ფაქტორები:

3) ერთხელ ჩამოწერეთ ყველა საერთო ფაქტორი და გაამრავლეთ ყველა სხვა (ხაზგასმული) ფაქტორებზე:

ასე რომ, საერთო მნიშვნელი აქ არის. პირველი წილადი უნდა გავამრავლოთ, მეორე - -ზე:

სხვათა შორის, არის ერთი ხრიკი:

Მაგალითად: .

ჩვენ ვხედავთ იგივე ფაქტორებს მნიშვნელებში, მხოლოდ ყველა განსხვავებული მაჩვენებლით. საერთო მნიშვნელი იქნება:

რამდენადაც

რამდენადაც

რამდენადაც

ხარისხით.

მოდით გავართულოთ დავალება:

როგორ გავაკეთო წილადებს ერთი და იგივე მნიშვნელი?

გავიხსენოთ წილადის ძირითადი თვისება:

არსად ნათქვამია, რომ ერთი და იგივე რიცხვი შეიძლება გამოკლდეს (ან დაემატოს) წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს. იმიტომ რომ არ არის სიმართლე!

თავად ნახეთ: აიღეთ ნებისმიერი წილადი, მაგალითად, და დაამატეთ მრიცხველს და მნიშვნელს, მაგალითად, . რა ისწავლეს?

ასე რომ, კიდევ ერთი ურყევი წესი:

როცა წილადებს მიიყვანთ საერთო მნიშვნელთან, გამოიყენეთ მხოლოდ გამრავლების ოპერაცია!

მაგრამ რა გჭირდებათ გასამრავლებლად მისაღებად?

აქ და გაამრავლე. და გავამრავლოთ:

გამონათქვამებს, რომელთა ფაქტორიზაცია შეუძლებელია, ეწოდება "ელემენტარული ფაქტორები". მაგალითად, ელემენტარული ფაქტორია. - ძალიან. მაგრამ - არა: ის იშლება ფაქტორებად.

რაც შეეხება გამოხატვას? ელემენტარულია?

არა, რადგან ის შეიძლება იყოს ფაქტორიზირებული:

(ფაქტორიზაციის შესახებ უკვე წაიკითხეთ თემაში "").

ასე რომ, ელემენტარული ფაქტორები, რომლებშიც თქვენ ანაწილებთ გამოხატვას ასოებით, არის იმ მარტივი ფაქტორების ანალოგი, რომლებშიც თქვენ ანაწილებთ რიცხვებს. და ჩვენ იგივეს გავაკეთებთ მათთან ერთად.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ორივე მნიშვნელს აქვს ფაქტორი. ძალაუფლებაში საერთო მნიშვნელზე წავა (გახსოვს რატომ?).

მამრავლი ელემენტარულია და მათ საერთო არ აქვთ, რაც ნიშნავს, რომ პირველი წილადი უბრალოდ უნდა გამრავლდეს მასზე:

Სხვა მაგალითი:

გადაწყვეტილება:

სანამ ამ მნიშვნელებს პანიკურად გაამრავლებთ, უნდა იფიქროთ იმაზე, თუ როგორ მოახდინო ისინი ფაქტორი? ორივე მათგანი წარმოადგენს:

კარგად! შემდეგ:

Სხვა მაგალითი:

გადაწყვეტილება:

ჩვეულებისამებრ, ჩვენ ვანაწილებთ მნიშვნელებს. პირველ მნიშვნელში უბრალოდ ფრჩხილებიდან გამოვყავით; მეორეში - კვადრატების სხვაობა:

როგორც ჩანს, საერთო ფაქტორები არ არსებობს. მაგრამ თუ კარგად დააკვირდებით, ისინი უკვე ძალიან ჰგვანან... და სიმართლე ისაა:

ასე რომ დავწეროთ:

ანუ ასე გამოვიდა: ფრჩხილის შიგნით გავცვალეთ ტერმინები და ამავდროულად, წილადის წინ ნიშანი პირიქით შეიცვალა. გაითვალისწინეთ, ამის გაკეთება ხშირად მოგიწევთ.

ახლა ჩვენ მივყავართ საერთო მნიშვნელთან:

Გავიგე? ახლა შევამოწმოთ.

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

პასუხები:

აქ კიდევ ერთი რამ უნდა გვახსოვდეს - კუბების განსხვავება:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მეორე წილადის მნიშვნელი არ შეიცავს ფორმულას "ჯამის კვადრატი"! ჯამის კვადრატი ასე გამოიყურება:

A არის ჯამის ეგრეთ წოდებული არასრული კვადრატი: მასში მეორე წევრი არის პირველი და ბოლო ნამრავლი და არა მათი გაორმაგებული ნამრავლი. ჯამის არასრული კვადრატი კუბების სხვაობის გაფართოების ერთ-ერთი ფაქტორია:

რა მოხდება, თუ უკვე სამი წილადია?

დიახ, იგივე! უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ მნიშვნელებში ფაქტორების მაქსიმალური რაოდენობა იგივეა:

ყურადღება მიაქციეთ: თუ თქვენ შეცვლით ნიშნებს ერთი ფრჩხილის შიგნით, ნიშანი წილადის წინ იცვლება საპირისპიროდ. როდესაც ვცვლით ნიშნებს მეორე ფრჩხილში, წილადის წინ ნიშანი ისევ უკუბრუნდება. შედეგად, ის (ნიშანი წილადის წინ) არ შეცვლილა.

პირველ მნიშვნელს სრულად ვწერთ საერთო მნიშვნელში და შემდეგ ვამატებთ ყველა იმ ფაქტორს, რომელიც ჯერ არ დაწერილა, მეორედან, შემდეგ კი მესამედან (და ასე შემდეგ, თუ მეტი წილადია). ანუ ასე მიდის:

ჰმ... წილადებით, გასაგებია, რა უნდა გააკეთოს. მაგრამ რაც შეეხება ორს?

ეს მარტივია: თქვენ იცით, როგორ დაამატოთ წილადები, არა? ასე რომ, თქვენ უნდა დარწმუნდეთ, რომ დეუზა ხდება წილადი! გახსოვდეთ: წილადი არის გაყოფის ოპერაცია (მრიცხველი იყოფა მნიშვნელზე, თუ მოულოდნელად დაგავიწყდათ). და არაფერია უფრო ადვილი ვიდრე რიცხვის გაყოფა. ამ შემთხვევაში, თავად რიცხვი არ შეიცვლება, მაგრამ გადაიქცევა წილადად:

ზუსტად ის, რაც საჭიროა!

5. წილადების გამრავლება და გაყოფა.

ისე, უმძიმესი ნაწილი ახლა დასრულდა. და ჩვენ წინ არის უმარტივესი, მაგრამ ამავე დროს ყველაზე მნიშვნელოვანი:

Პროცედურა

როგორია რიცხვითი გამოხატვის გამოთვლის პროცედურა? გახსოვდეთ, გაითვალისწინეთ ასეთი გამონათქვამის მნიშვნელობა:

დაითვალეთ?

უნდა იმუშაოს.

ასე რომ, შეგახსენებთ.

პირველი ნაბიჯი არის ხარისხის გამოთვლა.

მეორე არის გამრავლება და გაყოფა. თუ ერთდროულად არის რამდენიმე გამრავლება და გაყოფა, შეგიძლიათ გააკეთოთ ისინი ნებისმიერი თანმიმდევრობით.

და ბოლოს, ვასრულებთ შეკრებას და გამოკლებას. ისევ, ნებისმიერი თანმიმდევრობით.

მაგრამ: ფრჩხილებში გამოსახული გამონათქვამი შეფასებულია უწესრიგოდ!

თუ რამდენიმე ფრჩხილები გამრავლებულია ან იყოფა ერთმანეთზე, ჯერ ვაფასებთ თითოეულ ფრჩხილში გამოსახულებას და შემდეგ ვამრავლებთ ან ვყოფთ.

რა მოხდება, თუ ფრჩხილებში არის სხვა ფრჩხილები? კარგი, დავფიქრდეთ: ფრჩხილებში რაღაც გამოთქმა წერია. რა არის პირველი, რაც უნდა გააკეთოთ გამოხატვის შეფასებისას? მართალია, გამოთვალეთ ფრჩხილები. კარგად, ჩვენ გავარკვიეთ: ჯერ ვიანგარიშებთ შიდა ფრჩხილებს, შემდეგ ყველაფერს.

ასე რომ, ზემოაღნიშნული გამოხატვის მოქმედებების თანმიმდევრობა ასეთია (მიმდინარე მოქმედება მონიშნულია წითლად, ანუ ის მოქმედება, რომელსაც ახლა ვასრულებ):

კარგი, ეს ყველაფერი მარტივია.

მაგრამ ეს არ არის იგივე, რაც ასოებით გამოხატვა, არა?

არა, იგივეა! მხოლოდ არითმეტიკული მოქმედებების ნაცვლად საჭიროა ალგებრული მოქმედებების შესრულება, ანუ წინა ნაწილში აღწერილი ოპერაციები: მსგავსის მოტანა, წილადების შეკრება, წილადების შემცირება და ა.შ. ერთადერთი განსხვავება იქნება მრავალწევრების ფაქტორინგის მოქმედება (ხშირად ვიყენებთ წილადებთან მუშაობისას). ყველაზე ხშირად, ფაქტორიზაციისთვის, თქვენ უნდა გამოიყენოთ i ან უბრალოდ ამოიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან.

როგორც წესი, ჩვენი მიზანია გამოვხატოთ გამოხატულება, როგორც პროდუქტი ან კოეფიციენტი.

Მაგალითად:

მოდით გავამარტივოთ გამოთქმა.

1) ჯერ ვამარტივებთ ფრჩხილებში გამოსახულებას. აქ გვაქვს წილადების სხვაობა და ჩვენი მიზანია წარმოვაჩინოთ იგი ნამრავლის ან კოეფიციენტის სახით. ასე რომ, ჩვენ მივყავართ წილადებს საერთო მნიშვნელთან და ვამატებთ:

ამ გამოთქმის შემდგომი გამარტივება შეუძლებელია, აქ ყველა ფაქტორი ელემენტარულია (ჯერ კიდევ გახსოვთ რას ნიშნავს ეს?).

2) ჩვენ ვიღებთ:

წილადების გამრავლება: რა შეიძლება იყოს უფრო ადვილი.

3) ახლა შეგიძლიათ შეამციროთ:

Ის არის. არაფერი რთული, არა?

Სხვა მაგალითი:

გამოხატვის გამარტივება.

ჯერ შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ ეს და მხოლოდ ამის შემდეგ შეხედეთ გამოსავალს.

პირველ რიგში განვსაზღვროთ პროცედურა. ჯერ ფრჩხილებში დავამატოთ წილადები, ორი წილადის ნაცვლად ერთი გამოვა. შემდეგ ჩვენ გავაკეთებთ წილადების დაყოფას. კარგად, ჩვენ ვამატებთ შედეგს ბოლო წილადით. მე სქემატურად ჩამოვთვლი ნაბიჯებს:

ახლა მე გაჩვენებთ მთელ პროცესს, მიმდინარე მოქმედებას წითლად ვღებავ:

ბოლოს ორ სასარგებლო რჩევას მოგცემთ:

1. მსგავსების არსებობის შემთხვევაში დაუყოვნებლივ უნდა მოიყვანონ. რომელ მომენტშიც არ უნდა გვქონდეს მსგავსი, მიზანშეწონილია დაუყოვნებლივ მოვიტანოთ ისინი.

2. იგივე ეხება წილადების შემცირებას: როგორც კი გაჩნდება შემცირების შესაძლებლობა, ის უნდა იქნას გამოყენებული. გამონაკლისი არის წილადები, რომლებსაც დაამატებთ ან აკლებთ: თუ მათ ახლა აქვთ იგივე მნიშვნელები, მაშინ შემცირება უნდა დატოვოთ მოგვიანებით.

აქ მოცემულია რამდენიმე დავალება, რომლითაც თქვენ დამოუკიდებლად გადაჭრით:

და დაპირდა თავიდანვე:

გადაწყვეტილებები (მოკლე):

თუ თქვენ გაუმკლავდით მინიმუმ პირველ სამ მაგალითს, მაშინ ჩათვალეთ, რომ აითვისეთ თემა.

ახლა გადადით სწავლაზე!

გამოხატვის კონვერტაცია. შემაჯამებელი და ძირითადი ფორმულა

ძირითადი გამარტივების ოპერაციები:

• მსგავსის მოტანა: მსგავსი ტერმინების დასამატებლად (შემცირებისთვის) საჭიროა მათი კოეფიციენტების დამატება და ასოს ნაწილის მინიჭება.
• ფაქტორიზაცია:საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება, გამოყენება და ა.შ.
• ფრაქციების შემცირება: წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება გავამრავლოთ ან გავყოთ ერთი და იგივე არანულოვანი რიცხვით, საიდანაც წილადის მნიშვნელობა არ იცვლება.
  1) მრიცხველი და მნიშვნელი ფაქტორიზირება
  2) თუ არის საერთო ფაქტორები მრიცხველსა და მნიშვნელში, მათი გადაკვეთა შესაძლებელია.

  მნიშვნელოვანია: მხოლოდ მულტიპლიკატორები შეიძლება შემცირდეს!

• წილადების შეკრება და გამოკლება:
  ;
• წილადების გამრავლება და გაყოფა:
  ;