გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: "n-ე ხარისხის ფესვის თვისებები.თეორემები"

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

სასწავლო საშუალებები და ტრენაჟორები ონლაინ მაღაზია "ინტეგრალში" მე-11 კლასისთვის
ინტერაქტიული სახელმძღვანელო 9-11 კლასებისთვის "ტრიგონომეტრია"
ინტერაქტიული სახელმძღვანელო 10-11 კლასებისთვის "ლოგარითმები"

n-ე ხარისხის ფესვის თვისებები. თეორემები

ბიჭებო, ჩვენ ვაგრძელებთ რეალური რიცხვის n-ე ხარისხის ფესვების შესწავლას. თითქმის ყველა მათემატიკური ობიექტის მსგავსად, n-ე ხარისხის ფესვებსაც აქვთ გარკვეული თვისებები, დღეს ჩვენ მათ შევისწავლით.
ყველა თვისება, რომელსაც ჩვენ განვიხილავთ, ჩამოყალიბებულია და დადასტურებულია მხოლოდ ძირეული ნიშნის ქვეშ მყოფი ცვლადების არაუარყოფითი მნიშვნელობებისთვის.
კენტი ფესვის მაჩვენებლის შემთხვევაში, ისინი ასევე ინარჩუნებენ უარყოფით ცვლადებს.

თეორემა 1. ორი არაუარყოფითი რიცხვის ნამრავლის n-ე ფესვი ტოლია ამ რიცხვების n-ე ფესვების ნამრავლის: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n](b) $ .

დავამტკიცოთ თეორემა.
მტკიცებულება. ბიჭებო, თეორემის დასამტკიცებლად, შემოვიტანოთ ახალი ცვლადები, აღვნიშნოთ:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ $x=y*z$.
გაითვალისწინეთ, რომ შემდეგი პირადობა ასევე შეიცავს:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
შემდეგ იდენტურობა ასევე მოქმედებს: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
ორი არაუარყოფითი რიცხვისა და მათი მაჩვენებლების ხარისხი ტოლია, მაშინ თავად გრადუსების ფუძეები ტოლია. აქედან გამომდინარეობს $x=y*z$, რისი დამტკიცებაც იყო საჭირო.

თეორემა 2. თუ $a≥0$, $b>0$ და n არის 1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვი, მაშინ მოქმედებს შემდეგი ტოლობა: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [n](a))(\sqrt[n](b))$.

ანუ კოეფიციენტის n-ე ფესვი ტოლია n-ე ფესვების კოეფიციენტის.

მტკიცებულება.
ამის დასამტკიცებლად ვიყენებთ გამარტივებულ სქემას ცხრილის სახით:

n-ე ფესვის გამოთვლის მაგალითები

მაგალითი.
გამოთვალეთ: $\sqrt(16*81*256)$.
გადაწყვეტილება. გამოვიყენოთ თეორემა 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

მაგალითი.
გამოთვალეთ: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
გადაწყვეტილება. რადიკალური გამოხატულება წარმოვიდგინოთ არასწორ წილადად: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
გამოვიყენოთ თეორემა 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

მაგალითი.
გამოთვალეთ:
ა) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
ბ) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
გადაწყვეტილება:
ა) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
ბ) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

თეორემა 3. თუ $a≥0$, k და n არის 1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვები, მაშინ ტოლობა მართალია: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

ბუნებრივ ძალაზე ფესვის ასამაღლებლად საკმარისია ამ ძალაზე რადიკალური გამოხატვის ამაღლება.

მტკიცებულება.
განვიხილოთ სპეციალური შემთხვევა $k=3$-ისთვის. გამოვიყენოთ თეორემა 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
იგივე შეიძლება დაამტკიცოს ნებისმიერ სხვა შემთხვევაში. ბიჭებო, დაადასტურეთ ეს თავად იმ შემთხვევისთვის, როდესაც $k=4$ და $k=6$.

თეორემა 4. თუ $a≥0$ b n,k არის 1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვები, მაშინ ტოლობა მართალია: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

ფესვიდან ფესვის ამოსაღებად საკმარისია ფესვების მაჩვენებლების გამრავლება.

მტკიცებულება.
მოკლედ კიდევ ერთხელ დავამტკიცოთ ცხრილის გამოყენებით. ამის დასამტკიცებლად ვიყენებთ გამარტივებულ სქემას ცხრილის სახით:

მაგალითი.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

თეორემა 5. თუ ფესვის და ძირეული გამოხატვის ინდექსები გამრავლებულია ერთნაირ ნატურალურ რიცხვზე, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.

მტკიცებულება.
ჩვენი თეორემის დადასტურების პრინციპი იგივეა, რაც სხვა მაგალითებში. მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადები:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (განმარტებით).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (განმარტებით).
ბოლო ტოლობას ვზრდით ხარისხზე p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
მივიღე:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
ანუ $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, რაც დასამტკიცებელი იყო.

მაგალითები:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (გაყოფილი 5-ზე).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (გაყოფილი 2-ზე).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (გამრავლებული 3-ზე).

მაგალითი.
მოქმედებების გაშვება: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
გადაწყვეტილება.
ფესვების მაჩვენებლები განსხვავებული რიცხვებია, ამიტომ თეორემა 1-ს ვერ გამოვიყენებთ, მაგრამ მე-5 თეორემას გამოყენებით შეგვიძლია მივიღოთ თანაბარი მაჩვენებლები.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (გამრავლებული 3-ზე).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (გამრავლებული 4-ზე).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

1. გამოთვალეთ: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. გამოთვალეთ: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. გამოთვალეთ:
ა) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
ბ) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. გამარტივება:
ა) $\sqrt(\sqrt(a))$.
ბ) $\sqrt(\sqrt(a))$.
გ) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. შეასრულეთ მოქმედებები: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.

მნიშვნელოვანი შენიშვნები!
1. თუ ფორმულების ნაცვლად ხედავთ აბრაკადაბრას, გაასუფთავეთ თქვენი ქეში. როგორ გავაკეთოთ ეს თქვენს ბრაუზერში წერია აქ:
2. სანამ სტატიის კითხვას დაიწყებთ, ყურადღება მიაქციეთ ჩვენს ნავიგატორს ყველაზე სასარგებლო რესურსისთვის

შევეცადოთ გაერკვნენ, თუ რა სახის კონცეფციაა „ფესვი“ და „რითი იჭმევა იგი“. ამისათვის განიხილეთ მაგალითები, რომლებიც უკვე შეგხვდათ გაკვეთილებზე (კარგად, ან უბრალოდ უნდა შეხვდეთ ამას).

მაგალითად, გვაქვს განტოლება. რა არის ამ განტოლების გამოსავალი? რა რიცხვები შეიძლება იყოს კვადრატში და მივიღოთ ერთდროულად? გამრავლების ცხრილის გახსენებისას შეგიძლიათ მარტივად გასცეთ პასუხი: და (რადგან ორ უარყოფით რიცხვს ამრავლებთ, მიიღებთ დადებით რიცხვს)! გამარტივების მიზნით, მათემატიკოსებმა შემოიღეს კვადრატული ფესვის სპეციალური კონცეფცია და მიანიჭეს მას სპეციალური სიმბოლო.

განვსაზღვროთ არითმეტიკული კვადრატული ფესვი.

რატომ უნდა იყოს რიცხვი არაუარყოფითი? მაგალითად, რისი ტოლია. კარგი, ვცადოთ ამის გარკვევა. იქნებ სამი? მოდით შევამოწმოთ: და არა. Შესაძლოა, ? ისევ შეამოწმეთ: ისე, არ არის შერჩეული? ეს მოსალოდნელია - იმიტომ რომ არ არსებობს რიცხვები, რომლებიც კვადრატში აძლევენ უარყოფით რიცხვს!
ეს უნდა გვახსოვდეს: რიცხვი ან გამოთქმა ძირის ნიშნის ქვეშ უნდა იყოს არაუარყოფითი!

თუმცა, ყველაზე ყურადღებიანებმა ალბათ უკვე შეამჩნიეს, რომ განმარტება ამბობს, რომ რიცხვის კვადრატული ფესვის ამოხსნას ასე ჰქვია. არაუარყოფითირიცხვი, რომლის კვადრატი არის ". ზოგიერთი თქვენგანი იტყვის, რომ თავიდანვე გავაანალიზეთ მაგალითი, შევარჩიეთ რიცხვები, რომელთა კვადრატი და მიღება შესაძლებელია ერთდროულად, პასუხი იყო და, აქ კი საუბარია რაღაც „არაუარყოფით რიცხვზე“! ასეთი შენიშვნა საკმაოდ მიზანშეწონილია. აქ უბრალოდ უნდა განვასხვავოთ კვადრატული განტოლებების ცნებები და რიცხვის არითმეტიკული კვადრატული ფესვი. მაგალითად, ეს არ არის გამოხატვის ექვივალენტი.

აქედან გამომდინარეობს, რომ ანუ ან. (წაიკითხეთ თემა "")

და ამას მოჰყვება.

რა თქმა უნდა, ეს ძალზე დამაბნეველია, მაგრამ უნდა გვახსოვდეს, რომ ნიშნები განტოლების ამოხსნის შედეგია, რადგან განტოლების ამოხსნისას ჩვენ უნდა ჩავწეროთ ყველა x, რომელიც საწყის განტოლებაში ჩანაცვლებისას მისცემს სწორს. შედეგი. ჩვენს კვადრატულ განტოლებაში ჯდება ორივე და.

თუმცა, თუ უბრალოდ აიღეთ კვადრატული ფესვირაღაცისგან, მაშინ ყოველთვის ვიღებთ ერთ არაუარყოფით შედეგს.

ახლა შეეცადეთ ამოხსნათ ეს განტოლება. ყველაფერი ასე მარტივი და გლუვი არ არის, არა? სცადე რიცხვების დალაგება, იქნებ რამე დაიწვას? დავიწყოთ თავიდანვე - ნულიდან: - არ ჯდება, გავაგრძელოთ - სამზე ნაკლები, ასევე განზე დავარცხნოთ, მაგრამ თუ. მოდით შევამოწმოთ: - ასევე არ ჯდება, რადგან სამზე მეტია. უარყოფითი რიცხვებით იგივე ამბავი გამოვა. და რა უნდა გააკეთოს ახლა? ძებნამ არაფერი მოგვცა? სულაც არა, ახლა დანამდვილებით ვიცით, რომ პასუხი იქნება გარკვეული რიცხვი და, ისევე როგორც და-ს შორის. ასევე, აშკარაა, რომ ამონახსნები არ იქნება მთელი რიცხვები. უფრო მეტიც, ისინი არ არიან რაციონალური. მაშ, რა არის შემდეგი? ავაშენოთ ფუნქციის გრაფიკი და მოვნიშნოთ მასზე ამონახსნები.

მოდით ვცადოთ სისტემის მოტყუება და პასუხის მიღება კალკულატორით! მოდით ამოვიღოთ ძირი ბიზნესიდან! ოჰ-ო-ო, თურმე ასეა. ეს რიცხვი არასოდეს მთავრდება. როგორ შეგიძლიათ დაიმახსოვროთ ეს, რადგან გამოცდაზე არ იქნება კალკულატორი !? ყველაფერი ძალიან მარტივია, თქვენ არ გჭირდებათ მისი დამახსოვრება, თქვენ უნდა გახსოვდეთ (ან შეძლოთ სწრაფად შეაფასოთ) სავარაუდო მნიშვნელობა. და თავად პასუხები. ასეთ რიცხვებს ირაციონალურს უწოდებენ და სწორედ ასეთი რიცხვების აღნიშვნის გასამარტივებლად შემოიღეს კვადრატული ფესვის ცნება.

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი გასამყარებლად. გავაანალიზოთ შემდეგი პრობლემა: დიაგონალურად უნდა გადაკვეთოთ კვადრატული ველი კმ გვერდით, რამდენი კმ უნდა გაიაროთ?

აქ ყველაზე აშკარაა სამკუთხედის ცალკე განხილვა და პითაგორას თეორემის გამოყენება:. ამრიგად, . რა არის აქ საჭირო მანძილი? ცხადია, მანძილი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, ჩვენ ამას ვიღებთ. ორის ფესვი დაახლოებით ტოლია, მაგრამ, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, უკვე სრული პასუხია.

იმისათვის, რომ მაგალითების ამოხსნამ ფესვებით არ გამოიწვიოს პრობლემები, თქვენ უნდა ნახოთ და ამოიცნოთ ისინი. ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ მინიმუმ რიცხვების კვადრატები დან მდე, ასევე შეძლოთ მათი ამოცნობა. მაგალითად, თქვენ უნდა იცოდეთ რა არის კვადრატში და ასევე, პირიქით, რა არის კვადრატში.

გაარკვიე რა არის კვადრატული ფესვი? შემდეგ ამოხსენით რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითები.

აბა, როგორ მუშაობდა? ახლა ვნახოთ ეს მაგალითები:

პასუხები:

კუბის ფესვი

კარგად, ჩვენ ერთგვარად გავარკვიეთ კვადრატული ფესვის კონცეფცია, ახლა შევეცდებით გავარკვიოთ რა არის კუბური ფესვი და რა განსხვავებაა მათ შორის.

ზოგიერთი რიცხვის კუბური ფესვი არის რიცხვი, რომლის კუბიც ტოლია. შეგიმჩნევიათ რამდენად ადვილია ეს? არ არსებობს შეზღუდვები როგორც კუბის ფესვის ნიშნის ქვეშ არსებული მნიშვნელობის, ასევე გამოსატანი რიცხვის შესაძლო მნიშვნელობებზე. ანუ კუბის ფესვის აღება შესაძლებელია ნებისმიერი რიცხვიდან:.

დაიჭირეთ რა არის კუბის ფესვი და როგორ ამოიღოთ იგი? შემდეგ გააგრძელეთ მაგალითები.

მაგალითები.

პასუხები:

ფესვი - ოჰ ხარისხი

კარგად, ჩვენ გავარკვიეთ კვადრატული და კუბური ფესვების ცნებები. ახლა ჩვენ განვაზოგადებთ მიღებულ ცოდნას კონცეფციით ძირი.

ძირირიცხვიდან არის რიცხვი, რომლის რიგიც ტოლია, ე.ი.

უდრის.

თუ - თუნდაც, შემდეგ:

• ნეგატივით, გამოთქმას აზრი არ აქვს (უარყოფითი რიცხვების ლუწი-ე ხარისხის ფესვები ამოღება შეუძლებელია!);
• არაუარყოფით() გამოხატვას აქვს ერთი არაუარყოფითი ფესვი.

თუ - კენტია, მაშინ გამონათქვამს აქვს ერთი ფესვი ნებისმიერისთვის.

არ ინერვიულოთ, აქ იგივე პრინციპები მოქმედებს, როგორც კვადრატული და კუბური ფესვების შემთხვევაში. ანუ, პრინციპები, რომლებიც ჩვენ გამოვიყენეთ კვადრატული ფესვების განხილვისას, ვრცელდება ლუწი-ე ხარისხის ყველა ფესვზე.

და ის თვისებები, რომლებიც გამოიყენებოდა კუბის ფესვისთვის, ეხება კენტი მეათე ხარისხის ფესვებს.

ისე, უფრო ნათელი გახდა? მოდით გავიგოთ მაგალითებით:

აქ ყველაფერი მეტ-ნაკლებად ნათელია: ჯერ ვუყურებთ - დიახ, ხარისხი ლუწია, რიცხვი ფესვის ქვეშ დადებითია, ამიტომ ჩვენი ამოცანაა ვიპოვოთ რიცხვი, რომლის მეოთხე ხარისხიც მოგვცემს. აბა, რაიმე ვარაუდი? Შესაძლოა, ? ზუსტად!

ასე რომ, ხარისხი ტოლია - კენტი, ფესვის ქვეშ რიცხვი უარყოფითია. ჩვენი ამოცანაა ვიპოვოთ ისეთი რიცხვი, რომელიც ძალამდე აყვანისას გამოდის. საკმაოდ რთულია ფესვის დაუყოვნებლივ შემჩნევა. თუმცა, თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ შეამციროთ თქვენი ძებნა, არა? ჯერ ერთი, სასურველი რიცხვი აუცილებლად უარყოფითია და მეორეც, ჩანს, რომ ის კენტია და ამიტომ სასურველი რიცხვი კენტია. შეეცადეთ აიღოთ ფესვი. რა თქმა უნდა, და თქვენ შეგიძლიათ უსაფრთხოდ ფუნჯი განზე. Შესაძლოა, ?

დიახ, ეს არის ის, რასაც ჩვენ ვეძებდით! გაითვალისწინეთ, რომ გაანგარიშების გასამარტივებლად გამოვიყენეთ გრადუსების თვისებები: .

ფესვების ძირითადი თვისებები

გასაგებია? თუ არა, მაშინ მაგალითების განხილვის შემდეგ ყველაფერი თავის ადგილზე უნდა დადგეს.

ფესვის გამრავლება

როგორ გავამრავლოთ ფესვები? უმარტივესი და ძირითადი თვისება დაგეხმარებათ ამ კითხვაზე პასუხის გაცემაში:

დავიწყოთ მარტივით:

მიღებული რიცხვების ფესვები ზუსტად არ არის ამოღებული? არ ინერვიულოთ, აქ არის რამდენიმე მაგალითი:

მაგრამ რა მოხდება, თუ არ არის ორი მამრავლი, არამედ მეტი? Იგივე! ფესვის გამრავლების ფორმულა მუშაობს ნებისმიერი რაოდენობის ფაქტორებთან:

რა ვუყოთ მას? რა თქმა უნდა, დამალეთ სამმაგი ფესვის ქვეშ და გახსოვდეთ, რომ სამეული არის კვადრატული ფესვი!

რატომ გვჭირდება ის? დიახ, მხოლოდ იმისათვის, რომ გავაფართოვოთ ჩვენი შესაძლებლობები მაგალითების ამოხსნისას:

როგორ მოგწონთ ფესვების ეს თვისება? ცხოვრებას ბევრად აადვილებს? ჩემთვის ეს ასეა! თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ ეს ჩვენ შეგვიძლია მხოლოდ დადებითი რიცხვების დამატება ლუწი ხარისხის ფესვის ნიშნის ქვეშ.

ვნახოთ, კიდევ სად შეიძლება გამოდგება. მაგალითად, დავალებაში თქვენ უნდა შეადაროთ ორი რიცხვი:

ეს კიდევ:

პირდაპირ არ იტყვი. აბა, გამოვიყენოთ ძირეული ნიშნის ქვეშ რიცხვის დამატების გაანალიზებული თვისება? შემდეგ გადადით:

კარგად, იცოდეთ, რომ რაც უფრო დიდია რიცხვი ფესვის ნიშნის ქვეშ, მით უფრო დიდია თავად ფესვი! იმათ. თუ ნიშნავს. აქედან ჩვენ მტკიცედ ვასკვნით, რომ და ვერავინ დაგვარწმუნებს სხვაგვარად!

მანამდე ფესვის ნიშნის ქვეშ შევიყვანეთ ფაქტორი, მაგრამ როგორ ამოვიღოთ? თქვენ უბრალოდ უნდა შეაფასოთ ის და ამოიღოთ ის, რაც ამოღებულია!

შესაძლებელი იყო სხვა გზით წასვლა და სხვა ფაქტორებად დაშლა:

ცუდი არ არის, არა? ნებისმიერი ეს მიდგომა სწორია, გადაწყვიტეთ როგორ გრძნობთ თავს კომფორტულად.

მაგალითად, აქ არის გამონათქვამი:

ამ მაგალითში ხარისხი ლუწია, მაგრამ რა მოხდება, თუ ის კენტია? კიდევ ერთხელ, გამოიყენეთ დენის თვისებები და შეაფასეთ ყველაფერი:

როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია, მაგრამ როგორ ამოიღოთ ფესვი რიცხვიდან ხარისხით? აი, მაგალითად, ეს:

საკმაოდ მარტივია, არა? რა მოხდება, თუ ხარისხი ორზე მეტია? ჩვენ მივყვებით იმავე ლოგიკას ხარისხების თვისებების გამოყენებით:

ისე, ყველაფერი გასაგებია? მაშინ აი მაგალითი:

ეს არის ხაფანგები, მათ შესახებ ყოველთვის ღირს გახსენება. ეს რეალურად არის ასახვა ქონების მაგალითებზე:

კენტისთვის: თანაბარი და:

გასაგებია? გაასწორეთ მაგალითებით:

დიახ, ჩვენ ვხედავთ ფესვს ლუწი ხარისხით, უარყოფითი რიცხვი ფესვის ქვეშ არის ასევე ლუწი ხარისხით. ისე, იგივე მუშაობს? და აი რა:

Სულ ეს არის! ახლა აქ არის რამდენიმე მაგალითი:

Გავიგე? შემდეგ გააგრძელეთ მაგალითები.

მაგალითები.

პასუხები.

თუ პასუხები მიიღეთ, შეგიძლიათ მშვიდად გადახვიდეთ. თუ არა, მაშინ მოდით გადავხედოთ ამ მაგალითებს:

მოდით შევხედოთ ფესვების ორ სხვა თვისებას:

ეს თვისებები უნდა გაანალიზდეს მაგალითებში. აბა, გავაკეთოთ ეს?

Გავიგე? გამოვასწოროთ.

მაგალითები.

პასუხები.

ფესვები და მათი თვისებები. შუა დონე

არითმეტიკული კვადრატული ფესვი

განტოლებას ორი ამონახსნი აქვს: და. ეს ის რიცხვებია, რომელთა კვადრატი ტოლია.

განვიხილოთ განტოლება. მოდი გრაფიკულად გადავჭრათ. მოდით დავხატოთ ფუნქციის გრაფიკი და ხაზი დონეზე. ამ ხაზების გადაკვეთის წერტილები იქნება ამონახსნები. ჩვენ ვხედავთ, რომ ამ განტოლებას ასევე აქვს ორი ამონახსნი - ერთი დადებითი, მეორე უარყოფითი:

მაგრამ ამ შემთხვევაში, ამონახსნები არ არის მთელი რიცხვები. უფრო მეტიც, ისინი არ არიან რაციონალური. იმისათვის, რომ ჩამოვწეროთ ეს ირაციონალური გადაწყვეტილებები, შემოგთავაზებთ კვადრატული ფესვის სპეციალურ სიმბოლოს.

არითმეტიკული კვადრატული ფესვიარის არაუარყოფითი რიცხვი, რომლის კვადრატი არის . როცა გამოთქმა არ არის განსაზღვრული, იმიტომ არ არსებობს ისეთი რიცხვი, რომლის კვადრატი უარყოფითი რიცხვის ტოლია.

Კვადრატული ფესვი: .

Მაგალითად, . და ამას მოჰყვება რომ ან.

კიდევ ერთხელ, ეს ძალიან მნიშვნელოვანია: კვადრატული ფესვი ყოველთვის არაუარყოფითი რიცხვია: !

კუბის ფესვირიცხვიდან არის რიცხვი, რომლის კუბიც ტოლია. კუბის ფესვი ყველასთვის არის განსაზღვრული. მისი ამოღება შესაძლებელია ნებისმიერი რიცხვიდან: . როგორც ხედავთ, მას ასევე შეუძლია მიიღოს უარყოფითი მნიშვნელობები.

რიცხვის მე-ა ხარისხის ფესვი არის რიცხვი, რომლის მეე ხარისხი უდრის, ე.ი.

თუ - თუნდაც, მაშინ:

• თუ, მაშინ a-ის მე-თე ფესვი არ არის განსაზღვრული.
• თუ, მაშინ განტოლების არაუარყოფითი ფესვი ეწოდება და აღინიშნება th ხარისხის არითმეტიკული ფესვი.

თუ - კენტია, მაშინ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი ნებისმიერისთვის.

შეგიმჩნევიათ, რომ მის ხარისხს ძირის ნიშნის ზედა მარცხენა მხარეს ვწერთ? მაგრამ არა კვადრატული ფესვისთვის! თუ ხედავთ ფესვს ხარისხის გარეშე, მაშინ ის არის კვადრატი (გრადუსები).

მაგალითები.

ფესვების ძირითადი თვისებები

ფესვები და მათი თვისებები. მოკლედ მთავარის შესახებ

კვადრატული ფესვი (არითმეტიკული კვადრატული ფესვი)არაუარყოფითი რიცხვიდან ასეთი ეწოდება არაუარყოფითი რიცხვი, რომლის კვადრატი არის

ფესვის თვისებები:

ხო, თემა დასრულდა. თუ ამ სტრიქონებს კითხულობ, მაშინ ძალიან მაგარი ხარ.

იმიტომ რომ ადამიანების მხოლოდ 5%-ს შეუძლია რაღაცის დაუფლება დამოუკიდებლად. და თუ ბოლომდე წაიკითხე, მაშინ 5%-ში ხარ!

ახლა ყველაზე მთავარი.

თქვენ გაარკვიეთ თეორია ამ თემაზე. და, ვიმეორებ, ეს ... უბრალოდ სუპერა! თქვენ უკვე უკეთესი ხართ, ვიდრე თქვენი თანატოლების უმრავლესობა.

პრობლემა ის არის, რომ ეს შეიძლება არ იყოს საკმარისი ...

Რისთვის?

გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის, ბიუჯეტში ინსტიტუტში ჩასაბარებლად და, რაც მთავარია, უვადოდ.

არაფერში არ დაგარწმუნებთ, მხოლოდ ერთს გეტყვით...

ადამიანები, რომლებმაც მიიღეს კარგი განათლება, ბევრად მეტს გამოიმუშავებენ, ვიდრე მათ, ვინც არ მიუღია. ეს არის სტატისტიკა.

მაგრამ ეს არ არის მთავარი.

მთავარია, რომ ისინი უფრო ბედნიერები არიან (არის ასეთი კვლევები). ალბათ იმიტომ, რომ მათ წინაშე ბევრად მეტი შესაძლებლობა იხსნება და ცხოვრება უფრო ნათელი ხდება? არ ვიცი...

მაგრამ შენ თვითონ იფიქრე...

რა არის საჭირო იმისთვის, რომ გამოცდაზე სხვებზე უკეთესი იყო და საბოლოოდ ... ბედნიერი?

შეავსეთ ხელი, გადაჭრით პრობლემებს ამ თემაზე.

გამოცდაზე თეორიას არ მოგთხოვენ.

დაგჭირდებათ პრობლემების დროულად გადაჭრა.

და, თუ თქვენ არ მოაგვარეთ ისინი (ბევრი!), აუცილებლად დაუშვებთ სადღაც სულელურ შეცდომას ან უბრალოდ დროულად არ დაუშვებთ.

ეს სპორტშია - თქვენ უნდა გაიმეოროთ ბევრჯერ, რომ აუცილებლად გაიმარჯვოთ.

იპოვეთ კოლექცია სადაც გინდათ აუცილებლად გადაწყვეტილებებით, დეტალური ანალიზითდა გადაწყვიტე, გადაწყვიტე, გადაწყვიტე!

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი ამოცანები (აუცილებელი არ არის) და ჩვენ აუცილებლად გირჩევთ მათ.

იმისათვის, რომ ხელი მოკიდოთ ჩვენს ამოცანებს, თქვენ უნდა დაეხმაროთ YouClever სახელმძღვანელოს სიცოცხლის გახანგრძლივებას, რომელსაც ამჟამად კითხულობთ.

Როგორ? არის ორი ვარიანტი:

1. განბლოკეთ წვდომა ამ სტატიაში ყველა ფარულ ამოცანაზე -
2. განბლოკეთ წვდომა ყველა ფარულ დავალებაზე სახელმძღვანელოს 99-ვე სტატიაში - შეიძინეთ სახელმძღვანელო - 499 რუბლი

დიახ, ჩვენ გვაქვს 99 ასეთი სტატია სახელმძღვანელოში და წვდომა ყველა დავალებაზე და მათში ყველა ფარულ ტექსტზე შეიძლება დაუყოვნებლივ გაიხსნას.

ყველა ფარულ ამოცანაზე წვდომა უზრუნველყოფილია საიტის მთელი სიცოცხლის განმავლობაში.

Საბოლოოდ...

თუ არ მოგწონთ ჩვენი ამოცანები, იპოვეთ სხვები. უბრალოდ არ გაჩერდე თეორიით.

"გასაგებია" და "მე ვიცი როგორ გადაჭრა" სრულიად განსხვავებული უნარებია. ორივე გჭირდება.

იპოვე პრობლემები და მოაგვარე!

თანდა ნატურალური რიცხვი ნ 2 .

კომპლექსური ნომერი ზდაურეკა ფესვინ– გ, თუ ზ ნ = გ.

იპოვეთ ყველა root მნიშვნელობა ნ– კომპლექსური რიცხვიდან ე ხარისხი თან. დაე იყოს გ=| გ|·(cos არგ გ+ მე· ცოდვა არგთან),ა ზ = | ზ|·(ერთადos არგ ზ + მე· ცოდვა არგ ზ) , სად ზფესვი ნ- კომპლექსური რიცხვიდან ე ხარისხი თან. მაშინ უნდა იყოს = გ = | გ|·(cos არგ გ+ მე· ცოდვა არგთან). აქედან გამომდინარეობს, რომ
და ნ· არგ ზ = არგთან
არგ ზ =
(კ=0,1,…) . აქედან გამომდინარე, ზ =
(cos
+ მე· ცოდვა
), (კ=0,1,…) . ადვილი მისახვედრია, რომ რომელიმე ღირებულება
, (კ=0,1,…) განსხვავდება ერთ-ერთი შესაბამისი მნიშვნელობისგან
,(კ = 0,1,…, ნ-1) მრავალჯერადი 2π. Ისე , (კ = 0,1,…, ნ-1) .

მაგალითი.

გამოთვალეთ ფესვი (-1).

, ცხადია |-1| = 1, არგ (-1) = π

-1 = 1 (cos π + მე· ცოდვა π )

, (k = 0, 1).

= მე

ხარისხი თვითნებური რაციონალური მაჩვენებლით

აიღეთ თვითნებური რთული რიცხვი თან. Თუ ნბუნებრივი რიცხვი, მაშინ თან ნ = | გ| ნ · (ერთადos nArg+-ითმე· ცოდვა nArgთან)(6). ეს ფორმულა ასევე მართალია საქმეში ნ = 0 (c≠0)
. დაე იყოს ნ < 0 და ნ ზდა c ≠ 0, მაშინ

თან ნ =
(არგთან+ვცოდე nArgთან) = (არგთან+ ვცოდავ nArgთან) . ამრიგად, ფორმულა (6) მოქმედებს ნებისმიერისთვის ნ.

ავიღოთ რაციონალური რიცხვი , სად ქნატურალური რიცხვი და რარის მთელი რიცხვი.

შემდეგ ქვეშ ხარისხი გ რგავიგოთ ნომერი
.

ჩვენ ამას მივიღებთ ,

(კ = 0, 1, …, ქ-1). ეს ღირებულებები ქცალი, თუ ფრაქცია არ არის შემცირებული.

ლექცია №3 რთული რიცხვების მიმდევრობის ზღვარი

ბუნებრივი არგუმენტის რთული მნიშვნელობის ფუნქცია ეწოდება რთული რიცხვების თანმიმდევრობადა აღნიშნა (თან ერთად ნ ) ან თან 1 , თან 2 , ..., თან ნ . თან ნ = ა ნ + ბ ნ · მე (ნ = 1,2, ...) რთული რიცხვები.

თან 1 , თან 2 , … - მიმდევრობის წევრები; თან ნ - საერთო წევრი

კომპლექსური ნომერი თან = ა+ ბ· მედაურეკა რთული რიცხვების მიმდევრობის ზღვარი (გ ნ ) , სად თან ნ = ა ნ + ბ ნ · მე (ნ = 1, 2, …) , სადაც ნებისმიერი

, ეს ყველასთვის ნ > ნუთანასწორობა
. მიმდევრობას, რომელსაც აქვს სასრული ზღვარი, ეწოდება თანხვედრათანმიმდევრობა.

თეორემა.

კომპლექსური რიცხვების მიმდევრობის მიზნით (ერთად ნ ) (თან ერთად ნ = ა ნ + ბ ნ · მე) თანხვედრა რიცხვთან = ა+ ბ· მე, აუცილებელი და საკმარისია თანასწორობისთვისლიმი ა ნ = ა, ლიმი ბ ნ = ბ.

მტკიცებულება.

ჩვენ დავამტკიცებთ თეორემას შემდეგ აშკარა ორმაგ უტოლობაზე დაყრდნობით

, სად ზ = x + წ· მე (2)

საჭიროება.დაე იყოს ლიმი(თან ერთად ნ ) = თან. მოდით ვაჩვენოთ, რომ თანასწორობა ლიმი ა ნ = ადა ლიმი ბ ნ = ბ (3).

ცხადია (4)

როგორც
, როდესაც ნ → ∞ , მაშინ უტოლობის (4) მარცხენა მხრიდან ირკვევა, რომ
და
, როდესაც ნ → ∞ . ამიტომ თანასწორობები (3) ძალაშია. საჭიროება დადასტურდა.

ადეკვატურობა.ახლა მოდით ტოლობები (3) შენარჩუნდეს. თანასწორობიდან (3) გამომდინარეობს, რომ
და
, როდესაც ნ → ∞ მაშასადამე, უტოლობის მარჯვენა მხარის გამო (4) იქნება
, როდესაც ნ→∞ , ნიშნავს ლიმი(თან ერთად ნ )=ს. საკმარისობა დადასტურებულია.

ასე რომ, რთული რიცხვების მიმდევრობის დაახლოების საკითხი უდრის ორი რეალური რიცხვების მიმდევრობის დაახლოებას, შესაბამისად, რეალური რიცხვების მიმდევრობის ზღვრების ყველა ძირითადი თვისება ვრცელდება რთული რიცხვების მიმდევრობებზე.

მაგალითად, რთული რიცხვების თანმიმდევრობისთვის, მოქმედია კოშის კრიტერიუმი: კომპლექსური რიცხვების მიმდევრობის მიზნით (ერთად ნ ) კონვერგირებული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ნებისმიერი

, რომ ნებისმიერინ, მ > ნუთანასწორობა
.

თეორემა.

მოდით კომპლექსური რიცხვების მიმდევრობა (ერთად ნ ) და (ზ ნ ) დაახლოება შესაბამისად დაზ, შემდეგ თანასწორობალიმი(თან ერთად ნ ზ ნ ) = გ ზ, ლიმი(თან ერთად ნ · ზ ნ ) = გ· ზ. თუ დანამდვილებით ცნობილია, რომზარ არის 0-ის ტოლი, მაშინ ტოლობა
.

გილოცავთ: დღეს ჩვენ გავაანალიზებთ ფესვებს - მე-8 კლასის ერთ-ერთ ყველაზე დამაფიქრებელ თემას. :)

ბევრი ადამიანი იბნევა ფესვებს არა იმიტომ, რომ ისინი რთულია (რაც რთულია - რამდენიმე განმარტება და კიდევ რამდენიმე თვისება), არამედ იმიტომ, რომ უმეტეს სასკოლო სახელმძღვანელოებში ფესვები ისეთი ველური გზით არის განსაზღვრული, რომ მხოლოდ თავად სახელმძღვანელოების ავტორებს შეუძლიათ. გაიგე ეს ჩანაწერი. და მაშინაც მხოლოდ ერთი ბოთლი კარგი ვისკით. :)

ამიტომ, ახლა მე მოგცემთ ფესვის ყველაზე სწორ და კომპეტენტურ განმარტებას - ერთადერთი, რაც ნამდვილად უნდა გახსოვდეთ. და მხოლოდ ამის შემდეგ აგიხსნით: რატომ არის ეს ყველაფერი საჭირო და როგორ გამოვიყენოთ იგი პრაქტიკაში.

მაგრამ პირველ რიგში, გახსოვდეთ ერთი მნიშვნელოვანი წერტილი, რომელიც რატომღაც სახელმძღვანელოების ბევრ შემდგენელს "ავიწყდება":

ფესვები შეიძლება იყოს ლუწი ხარისხის (ჩვენი საყვარელი $\sqrt(a)$, ისევე როგორც ნებისმიერი $\sqrt(a)$ და ლუწი $\sqrt(a)$) და კენტი ხარისხის (ნებისმიერი $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ და ა.შ.). და კენტი ხარისხის ფესვის განმარტება გარკვეულწილად განსხვავდება ლუწისაგან.

აქ, ამ "გარკვევით განსხვავებულში" იმალება, ალბათ, ფესვებთან დაკავშირებული ყველა შეცდომისა და გაუგებრობის 95%. მოდით, ერთხელ და სამუდამოდ გავარკვიოთ ტერმინოლოგია:

განმარტება. ფესვიც კი ნ$a$ რიცხვიდან არის ნებისმიერი არაუარყოფითირიცხვი $b$ ისეთი, რომ $((b)^(n))=a$. ხოლო კენტი ხარისხის ფესვი იგივე $a$ რიცხვიდან არის ზოგადად ნებისმიერი რიცხვი $b$, რომლისთვისაც იგივე თანასწორობაა: $((b)^(n))=a$.

ნებისმიერ შემთხვევაში, ფესვი აღინიშნება ასე:

\(ა)\]

რიცხვს $n$ ასეთ აღნიშვნით ეწოდება ძირეული მაჩვენებლები, ხოლო რიცხვს $a$ ეწოდება რადიკალური გამოხატულება. კერძოდ, $n=2$-ისთვის ვიღებთ ჩვენს „საყვარელ“ კვადრატულ ფესვს (სხვათა შორის, ეს არის ლუწი ხარისხის ფესვი), ხოლო $n=3$-ისთვის ვიღებთ კუბურ ფესვს (კენტი ხარისხი), რომელიც ასევე ხშირად გვხვდება ამოცანებში და განტოლებებში.

მაგალითები. კვადრატული ფესვების კლასიკური მაგალითები:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

სხვათა შორის, $\sqrt(0)=0$ და $\sqrt(1)=1$. ეს საკმაოდ ლოგიკურია, რადგან $((0)^(2))=0$ და $((1)^(2))=1$.

ასევე გავრცელებულია კუბური ფესვები - არ შეგეშინდეთ მათი:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

კარგი, რამდენიმე "ეგზოტიკური მაგალითი":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

თუ არ გესმით რა განსხვავებაა ლუწ და კენტ ხარისხს შორის, ხელახლა წაიკითხეთ განმარტება. Ეს ძალიან მნიშვნელოვანია!

ამასობაში განვიხილავთ ფესვების ერთ უსიამოვნო მახასიათებელს, რის გამოც დაგვჭირდა ლუწი და კენტი მაჩვენებლების ცალკე განმარტების შემოღება.

რატომ გვჭირდება ფესვები საერთოდ?

განმარტების წაკითხვის შემდეგ, ბევრი სტუდენტი იკითხავს: "რას ეწეოდნენ მათემატიკოსები, როცა ამას მოიფიქრეს?" და მართლაც: რატომ გვჭირდება მთელი ეს ფესვები?

ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, ცოტა ხნით დავუბრუნდეთ დაწყებით სკოლას. დაიმახსოვრეთ: იმ შორეულ დროში, როცა ხეები უფრო გამწვანებული იყო და პელმენი უფრო გემრიელი იყო, ჩვენი მთავარი საზრუნავი რიცხვების სწორად გამრავლება იყო. ისე, რაღაც სულისკვეთებით "ხუთი ხუთ - ოცდახუთი", ეს ყველაფერი. ყოველივე ამის შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ რიცხვები არა წყვილებში, არამედ სამეულებში, ოთხეულებში და ზოგადად მთლიან კომპლექტებში:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \ბოლო(გასწორება)\]

თუმცა, ეს არ არის მთავარი. ხრიკი განსხვავებულია: მათემატიკოსები ზარმაცები არიან, ამიტომ მათ ათი ხუთეულის გამრავლება ასე უნდა დაეწერათ:

ასე რომ, მათ მიიღეს ხარისხი. რატომ არ დაწეროთ ფაქტორების რაოდენობა ზემოწერის სახით გრძელი სტრიქონის ნაცვლად? როგორც ეს:

ძალიან მოსახერხებელია! ყველა გამოთვლა რამდენჯერმე მცირდება და თქვენ არ შეგიძლიათ დახარჯოთ რვეულების პერგამენტის ფურცლები რამდენიმე 5 183-ის ჩასაწერად. ასეთ ჩანაწერს ეწოდა რიცხვის ხარისხი, მასში ნაპოვნი იქნა მრავალი თვისება, მაგრამ ბედნიერება ხანმოკლე აღმოჩნდა.

გრანდიოზული სასმელის შემდეგ, რომელიც მოეწყო მხოლოდ ხარისხების „აღმოჩენის“ შესახებ, ზოგიერთმა განსაკუთრებით ჩაქოლმა მათემატიკოსმა მოულოდნელად იკითხა: „რა მოხდება, თუ ვიცით რიცხვის ხარისხი, მაგრამ თავად რიცხვი არ ვიცით? მართლაც, თუ ვიცით, რომ გარკვეული რიცხვი $b$, მაგალითად, აძლევს 243-ს მე-5 ხარისხს, მაშინ როგორ გამოვიცნოთ რის ტოლია თავად რიცხვი $b$?

ეს პრობლემა ბევრად უფრო გლობალური აღმოჩნდა, ვიდრე ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს. რადგან აღმოჩნდა, რომ "მზა" ხარისხების უმრავლესობისთვის ასეთი "საწყისი" რიცხვები არ არსებობს. თავად განსაჯეთ:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((ბ)^(3))=64\მარჯვენა ისარი b=4\cdot 4\cdot 4\მარჯვენა arrow b=4. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

რა მოხდება, თუ $((ბ)^(3))=50$? გამოდის, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ გარკვეული რიცხვი, რომელიც თავისთავად სამჯერ გამრავლებისას მოგვცემს 50-ს. მაგრამ რა არის ეს რიცხვი? ის აშკარად მეტია 3-ზე, რადგან 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. ე.ი. ეს რიცხვი სადღაც სამსა და ოთხს შორის დგას, მაგრამ რის ტოლია - FIG თქვენ მიხვდებით.

ზუსტად ამიტომ მათემატიკოსებმა $n$-th ფესვები მოიგონეს. სწორედ ამიტომ დაინერგა რადიკალური ხატი $\sqrt(*)$. იგივე რიცხვის აღსანიშნავად $b$, რომელიც, მითითებულ სიმძლავრეზე, მოგვცემს ადრე ცნობილ მნიშვნელობას

\[\sqrt[n](a)=b\მარჯვენა ისარი ((b)^(n))=a\]

მე არ ვკამათობ: ხშირად ეს ფესვები ადვილად განიხილება - რამდენიმე ასეთი მაგალითი ვნახეთ ზემოთ. მაგრამ მაინც, უმეტეს შემთხვევაში, თუ თქვენ ფიქრობთ თვითნებურ რიცხვზე და შემდეგ ცდილობთ მისგან თვითნებური ხარისხის ძირის ამოღებას, სასტიკი უბედურება გელით.

Რა არის იქ! უმარტივესი და ყველაზე ნაცნობი $\sqrt(2)$ კი არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ჩვენი ჩვეული ფორმით - როგორც მთელი რიცხვი ან წილადი. და თუ ამ რიცხვს კალკულატორში ჩაატარებთ, ნახავთ ამას:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

როგორც ხედავთ, ათობითი წერტილის შემდეგ არის რიცხვების გაუთავებელი თანმიმდევრობა, რომელიც არ ემორჩილება არანაირ ლოგიკას. თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ ამ რიცხვის დამრგვალება, რათა სწრაფად შეადაროთ სხვა რიცხვებს. Მაგალითად:

\[\sqrt(2)=1.4142...\დაახლოებით 1.4 \lt 1.5\]

ან აი კიდევ ერთი მაგალითი:

\[\sqrt(3)=1.73205...\დაახლოებით 1.7 \gt 1.5\]

მაგრამ ყველა ეს დამრგვალება, პირველ რიგში, საკმაოდ უხეშია; და მეორეც, თქვენ ასევე უნდა შეძლოთ მიახლოებითი მნიშვნელობებით მუშაობა, წინააღმდეგ შემთხვევაში შეგიძლიათ დაიჭიროთ არააშკარა შეცდომები (სხვათა შორის, შედარების და დამრგვალების უნარი აუცილებლად შემოწმდება პროფილის გამოცდაზე).

მაშასადამე, სერიოზულ მათემატიკაში ფესვების გარეშე შეუძლებელია - ისინი არიან $\mathbb(R)$ ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლის იგივე თანაბარი წარმომადგენლები, ისევე როგორც ჩვენთვის დიდი ხნის ნაცნობი წილადები და მთელი რიცხვები.

ფესვის $\frac(p)(q)$-ის წილადად წარმოდგენის შეუძლებლობა ნიშნავს, რომ ეს ფესვი არ არის რაციონალური რიცხვი. ასეთ რიცხვებს ირაციონალურს უწოდებენ და მათი ზუსტად წარმოდგენა შეუძლებელია, გარდა რადიკალის ან ამისთვის სპეციალურად შექმნილი სხვა კონსტრუქციების (ლოგარითმები, გრადუსები, ლიმიტები და ა.შ.) დახმარებით. მაგრამ ამაზე უფრო სხვა დროს.

განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი, სადაც, ყველა გამოთვლების შემდეგ, ირაციონალური რიცხვები კვლავ დარჩება პასუხში.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\დაახლოებით 2236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\დაახლოებით -1,2599... \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ბუნებრივია, ფესვის გარეგნობით, თითქმის შეუძლებელია გამოიცნო რომელი რიცხვები მოვა ათობითი წერტილის შემდეგ. თუმცა, კალკულატორზე გამოთვლა შესაძლებელია, მაგრამ ყველაზე მოწინავე თარიღის კალკულატორიც კი გვაძლევს ირაციონალური რიცხვის მხოლოდ პირველ რამდენიმე ციფრს. ამიტომ, ბევრად უფრო სწორია პასუხების დაწერა $\sqrt(5)$ და $\sqrt(-2)$.

სწორედ ამისთვის გამოიგონეს. რათა გაადვილდეს პასუხების ჩაწერა.

რატომ არის საჭირო ორი განმარტება?

ყურადღებიანმა მკითხველმა ალბათ უკვე შენიშნა, რომ მაგალითებში მოცემული ყველა კვადრატული ფესვი დადებითი რიცხვებიდან არის აღებული. ისე, ყოველ შემთხვევაში ნულიდან. მაგრამ კუბის ფესვები მშვიდად არის ამოღებული აბსოლუტურად ნებისმიერი რიცხვიდან - თუნდაც დადებითი, თუნდაც უარყოფითი.

Რატომ ხდება ეს? შეხედეთ $y=((x)^(2))$ ფუნქციის გრაფიკს:

კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი იძლევა ორ ფესვს: დადებითი და უარყოფითი

შევეცადოთ გამოვთვალოთ $\sqrt(4)$ ამ გრაფიკის გამოყენებით. ამისათვის გრაფიკზე იხაზება ჰორიზონტალური ხაზი $y=4$ (წითლად მონიშნული), რომელიც კვეთს პარაბოლას ორ წერტილში: $((x)_(1))=2$ და $((x). )_(2)) =-2$. ეს საკმაოდ ლოგიკურია, რადგან

პირველი რიცხვით ყველაფერი ნათელია - ის დადებითია, ამიტომ არის ფესვი:

მაგრამ მერე რა ვუყოთ მეორე პუნქტს? 4-ს ერთდროულად ორი ფესვი აქვს? ბოლოს და ბოლოს, თუ −2 რიცხვს კვადრატში გამოვყოფთ, ასევე მივიღებთ 4-ს. რატომ არ დავწეროთ $\sqrt(4)=-2$ მაშინ? და რატომ უყურებენ მასწავლებლები ისეთ ჩანაწერებს, თითქოს შენი ჭამა უნდათ? :)

უბედურება ის არის, რომ თუ დამატებითი პირობები არ დაწესდება, მაშინ ოთხს ექნება ორი კვადრატული ფესვი - დადებითი და უარყოფითი. და ნებისმიერ დადებით რიცხვს ასევე ექნება ორი მათგანი. მაგრამ უარყოფით რიცხვებს საერთოდ არ ექნებათ ფესვები - ეს ჩანს იმავე გრაფიკიდან, რადგან პარაბოლა არასოდეს ცვივა ღერძის ქვემოთ. წ, ე.ი. არ იღებს უარყოფით მნიშვნელობებს.

მსგავსი პრობლემა ჩნდება ყველა ფესვისთვის ლუწი მაჩვენებლით:

1. მკაცრად რომ ვთქვათ, თითოეულ დადებით რიცხვს ექნება ორი ფესვი $n$ ლუწი მაჩვენებლით;
2. უარყოფითი რიცხვებიდან, ფესვი $n$-თან ერთად საერთოდ არ არის ამოღებული.

ამიტომაც $n$ ლუწი ფესვის განმარტება კონკრეტულად ადგენს, რომ პასუხი უნდა იყოს არაუარყოფითი რიცხვი. ასე ვიხსნით გაურკვევლობას.

მაგრამ კენტი $n$-ისთვის ასეთი პრობლემა არ არის. ამის სანახავად, მოდით გადავხედოთ $y=((x)^(3))$ ფუნქციის გრაფიკს:

კუბური პარაბოლა იღებს ნებისმიერ მნიშვნელობას, ამიტომ კუბის ფესვის აღება შესაძლებელია ნებისმიერი რიცხვიდან

ამ გრაფიკიდან ორი დასკვნის გამოტანა შეიძლება:

1. კუბური პარაბოლას ტოტები, ჩვეულებრივისგან განსხვავებით, უსასრულობისკენ მიდიან ორივე მიმართულებით - ზემოთაც და ქვემოთაც. ამიტომ, რა სიმაღლეზეც არ უნდა დავხატოთ ჰორიზონტალური ხაზი, ეს ხაზი აუცილებლად გადაიკვეთება ჩვენს გრაფიკს. ამიტომ, კუბის ფესვის აღება ყოველთვის შეიძლება, აბსოლუტურად ნებისმიერი რიცხვიდან;
2. გარდა ამისა, ასეთი კვეთა ყოველთვის უნიკალური იქნება, ასე რომ თქვენ არ გჭირდებათ ფიქრი იმაზე, თუ რომელი რიცხვი ჩათვალოთ "სწორი" ფესვი და რომელი გაიტანოთ. ამიტომ ფესვების განმარტება კენტი ხარისხისთვის უფრო მარტივია, ვიდრე ლუწისთვის (არ არსებობს არანეგატიურობის მოთხოვნა).

სამწუხაროა, რომ ეს მარტივი რამ არ არის ახსნილი უმეტეს სახელმძღვანელოებში. ამის ნაცვლად, ჩვენი ტვინი იწყებს ამაღლებას ყველა სახის არითმეტიკული ფესვებით და მათი თვისებებით.

დიახ, მე არ ვკამათობ: რა არის არითმეტიკული ფესვი - თქვენ ასევე უნდა იცოდეთ. და ამაზე დეტალურად ვისაუბრებ ცალკე გაკვეთილზე. დღეს ჩვენ ასევე ვისაუბრებთ მასზე, რადგან მის გარეშე ყველა ასახვა $n$-th სიმრავლის ფესვებზე არასრული იქნებოდა.

მაგრამ ჯერ ნათლად უნდა გესმოდეთ განმარტება, რომელიც მე ზემოთ მოვიყვანე. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ტერმინების სიმრავლის გამო, ისეთი არეულობა დაიწყება თქვენს თავში, რომ საბოლოოდ ვერაფერს გაიგებთ.

და ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გესმოდეთ არის განსხვავება ლუწ და კენტ რიცხვებს შორის. ამიტომ, კიდევ ერთხელ შევაგროვებთ ყველაფერს, რაც ნამდვილად უნდა იცოდეთ ფესვების შესახებ:

1. ლუწი ფესვი არსებობს მხოლოდ არაუარყოფითი რიცხვიდან და თავისთავად ყოველთვის არაუარყოფითი რიცხვია. უარყოფითი რიცხვებისთვის ასეთი ფესვი განუსაზღვრელია.
2. მაგრამ კენტი ხარისხის ფესვი არსებობს ნებისმიერი რიცხვიდან და თავისთავად შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი: დადებითი რიცხვებისთვის ის დადებითია, ხოლო უარყოფითი რიცხვებისთვის, როგორც თავსახური მიანიშნებს, უარყოფითია.

რთულია? არა, არ არის რთული. გასაგებია? დიახ, გასაგებია! ამიტომ, ახლა ჩვენ ცოტას ვივარჯიშებთ გამოთვლებით.

ძირითადი თვისებები და შეზღუდვები

ფესვებს ბევრი უცნაური თვისება და შეზღუდვა აქვთ - ეს ცალკე გაკვეთილი იქნება. ამიტომ, ახლა განვიხილავთ მხოლოდ ყველაზე მნიშვნელოვან "ჩიპს", რომელიც ეხება მხოლოდ ფესვებს თანაბარი მაჩვენებლით. ჩვენ ვწერთ ამ თვისებას ფორმულის სახით:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\მარცხენა| x\მარჯვნივ|\]

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ რიცხვს გავზრდით ლუწი ხარისხამდე და შემდეგ გამოვყოფთ იმავე ხარისხის ფესვს, მივიღებთ არა თავდაპირველ რიცხვს, არამედ მის მოდულს. ეს არის მარტივი თეორემა, რომლის დამტკიცებაც ადვილია (საკმარისია განიხილოს ცალკე არაუარყოფითი $x$ და შემდეგ ცალკე განიხილოს უარყოფითი). ამაზე მუდმივად საუბრობენ მასწავლებლები, ეს ყველა სასკოლო სახელმძღვანელოშია მოცემული. მაგრამ როგორც კი საქმე ეხება ირაციონალური განტოლებების ამოხსნას (ანუ განტოლებები, რომლებიც შეიცავს რადიკალის ნიშანს), მოსწავლეებს ერთად ავიწყდებათ ეს ფორმულა.

საკითხის დეტალურად გასაგებად, მოდით, ერთი წუთით დავივიწყოთ ყველა ფორმულა და ვცადოთ ორი რიცხვის დათვლა წინ:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \მარჯვნივ))^(4)))=?\]

ეს არის ძალიან მარტივი მაგალითები. პირველ მაგალითს ხალხის უმეტესობა მოაგვარებს, მეორეზე კი ბევრი ჯოხი. ნებისმიერი ასეთი სისულელის უპრობლემოდ მოსაგვარებლად, ყოველთვის გაითვალისწინეთ პროცედურა:

1. პირველი, რიცხვი ამაღლებულია მეოთხე ხარისხზე. ისე, ეს რაღაც მარტივია. მიიღება ახალი რიცხვი, რომელიც შეგიძლიათ ნახოთ გამრავლების ცხრილშიც კი;
2. ახლა კი ამ ახალი რიცხვიდან აუცილებელია მეოთხე ხარისხის ფესვის ამოღება. იმათ. არ არის ფესვებისა და ხარისხების "შემცირება" - ეს არის თანმიმდევრული მოქმედებები.

მოდით გაუმკლავდეთ პირველ გამონათქვამს: $\sqrt((3)^(4)))$. ცხადია, ჯერ უნდა გამოთვალოთ გამოხატულება ფესვის ქვეშ:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

შემდეგ გამოვყოფთ 81 რიცხვის მეოთხე ფესვს:

ახლა იგივე გავაკეთოთ მეორე გამონათქვამთან დაკავშირებით. პირველ რიგში, ჩვენ ვზრდით რიცხვს −3 მეოთხე ხარისხზე, რისთვისაც უნდა გავამრავლოთ იგი თავის თავზე 4-ჯერ:

\[((\left(-3 \მარჯვნივ))^(4))=\left(-3 \მარჯვნივ)\cdot \left(-3 \მარჯვნივ)\cdot \left(-3 \მარჯვნივ)\cdot \ მარცხენა (-3 \მარჯვნივ)=81\]

ჩვენ მივიღეთ დადებითი რიცხვი, რადგან პროდუქტში მინუსების საერთო რაოდენობა არის 4 ცალი და ისინი ყველა გააუქმებენ ერთმანეთს (ბოლოს და ბოლოს, მინუს მინუს იძლევა პლუსს). შემდეგ კვლავ ამოიღეთ ფესვი:

პრინციპში, ეს სტრიქონი ვერ დაიწერა, რადგან უაზროა, რომ პასუხი იგივე იქნება. იმათ. იგივე ლუწი სიმძლავრის თანაბარი ფესვი "წვავს" მინუსებს და ამ თვალსაზრისით შედეგი არ განსხვავდება ჩვეულებრივი მოდულისგან:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\მარჯვნივ|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \მარჯვნივ))^(4)))=\მარცხნივ| -3 \მარჯვნივ|=3. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ეს გამოთვლები კარგად ემთხვევა ლუწი ხარისხის ფესვის განსაზღვრას: შედეგი ყოველთვის არაუარყოფითია და რადიკალური ნიშანი ასევე ყოველთვის არაუარყოფითი რიცხვია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ფესვი არ არის განსაზღვრული.

შენიშვნა ოპერაციების თანმიმდევრობის შესახებ

1. აღნიშვნა $\sqrt(((a)^(2)))$ ნიშნავს, რომ ჩვენ ჯერ კვადრატში ვაკეთებთ რიცხვს $a$ და შემდეგ ვიღებთ მიღებული მნიშვნელობის კვადრატულ ფესვს. ამიტომ, შეგვიძლია დარწმუნებული ვიყოთ, რომ არაუარყოფითი რიცხვი ყოველთვის ზის ძირის ნიშნის ქვეშ, რადგან $((a)^(2))\ge 0$ მაინც;
2. მაგრამ აღნიშვნა $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, პირიქით, ნიშნავს, რომ ჩვენ ჯერ ამოვიღებთ ფესვს გარკვეული რიცხვიდან $a$ და მხოლოდ ამის შემდეგ კვადრატში ვიღებთ შედეგს. ამიტომ, რიცხვი $a$ არავითარ შემთხვევაში არ შეიძლება იყოს უარყოფითი - ეს არის სავალდებულო მოთხოვნა, რომელიც ჩართულია განმარტებაში.

ამრიგად, არავითარ შემთხვევაში დაუფიქრებლად არ უნდა შემცირდეს ფესვები და ხარისხები, რითაც ვითომ „გამარტივდება“ ორიგინალური გამოთქმა. რადგან თუ ფესვის ქვეშ არის უარყოფითი რიცხვი და მისი მაჩვენებელი ლუწია, ბევრ პრობლემას მივიღებთ.

თუმცა, ყველა ეს პრობლემა აქტუალურია მხოლოდ თუნდაც ინდიკატორებისთვის.

მინუს ნიშნის ამოღება ფესვის ნიშნის ქვეშ

ბუნებრივია, კენტი მაჩვენებლების მქონე ფესვებსაც აქვთ საკუთარი თავისებურება, რაც პრინციპში ლუწითათვის არ არსებობს. კერძოდ:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

მოკლედ, თქვენ შეგიძლიათ ამოიღოთ მინუსი კენტი ხარისხის ფესვების ნიშნის ქვეშ. ეს არის ძალიან სასარგებლო თვისება, რომელიც საშუალებას გაძლევთ "გადააგდოთ" ყველა მინუსი:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \ბოლო(გასწორება)\]

ეს მარტივი თვისება მნიშვნელოვნად ამარტივებს ბევრ გამოთვლას. ახლა თქვენ არ გჭირდებათ ინერვიულოთ: რა მოხდება, თუ უარყოფითი გამოთქმა ფესვის ქვეშ მოხვდა და ფესვის ხარისხი თანაბარი აღმოჩნდა? საკმარისია ყველა მინუსი ფესვების გარეთ „გადააგდოს“, რის შემდეგაც ისინი შეიძლება ერთმანეთზე გამრავლდეს, გაიყოს და საერთოდ ბევრი საეჭვო რამ გააკეთოს, რაც „კლასიკური“ ფესვების შემთხვევაში გარანტირებული მიგვიყვანს. შეცდომა.

და აქ სცენაზე ჩნდება სხვა განმარტება - სწორედ ის, რომლითაც სკოლების უმეტესობა იწყებს ირაციონალური გამონათქვამების შესწავლას. და ამის გარეშე ჩვენი მსჯელობა არასრული იქნებოდა. Შეხვედრა!

არითმეტიკული ფესვი

ერთი წუთით დავუშვათ, რომ მხოლოდ დადებითი რიცხვები ან, უკიდურეს შემთხვევაში, ნული შეიძლება იყოს ძირის ნიშნის ქვეშ. მოდი, ლუწი/კენტი ინდიკატორების ქულები დავაფიქსიროთ, გავიტანოთ ყველა ზემოთ მოცემული განმარტება - ვიმუშავებთ მხოლოდ არაუარყოფითი რიცხვებით. Რა იქნება შემდეგ?

და შემდეგ მივიღებთ არითმეტიკულ ფესვს - ის ნაწილობრივ იკვეთება ჩვენს "სტანდარტულ" განმარტებებთან, მაგრამ მაინც განსხვავდება მათგან.

განმარტება. $a$ არაუარყოფითი რიცხვის $n$th ხარისხის არითმეტიკული ფესვი არის არაუარყოფითი რიცხვი $b$ ისეთი, რომ $((b)^(n))=a$.

როგორც ხედავთ, ჩვენ აღარ გვაინტერესებს პარიტეტი. ამის ნაცვლად, გამოჩნდა ახალი შეზღუდვა: რადიკალური გამოხატულება ახლა ყოველთვის არაუარყოფითია, ხოლო თავად ფესვი ასევე არაუარყოფითი.

უკეთ რომ გავიგოთ, როგორ განსხვავდება არითმეტიკული ფესვი ჩვეულებრივისგან, გადახედეთ ჩვენთვის უკვე ნაცნობ კვადრატულ და კუბურ პარაბოლას გრაფიკებს:

ძირეული ძიების არე - არაუარყოფითი რიცხვები

როგორც ხედავთ, ამიერიდან ჩვენ გვაინტერესებს მხოლოდ ის გრაფიკები, რომლებიც განლაგებულია პირველ კოორდინატთა კვარტალში - სადაც $x$ და $y$ კოორდინატები დადებითია (ან მინიმუმ ნული). აღარ გჭირდებათ ინდიკატორის ყურება იმის გასაგებად, გვაქვს თუ არა უარყოფითი რიცხვის დაფუძნების უფლება. რადგან უარყოფითი რიცხვები პრინციპში აღარ განიხილება.

თქვენ შეიძლება იკითხოთ: "კარგი, რატომ გვჭირდება ასეთი კასტრირებული განმარტება?" ან: "რატომ ვერ მივაღწევთ ზემოთ მოცემულ სტანდარტულ განმარტებას?"

ისე, მე მივცემ მხოლოდ ერთ ქონებას, რის გამოც ახალი განმარტება ხდება შესაბამისი. მაგალითად, ექსპონენტაციის წესი:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ჩვენ შეგვიძლია გავზარდოთ ძირეული გამოხატულება ნებისმიერ ხარისხზე და ამავდროულად გავამრავლოთ ფესვის მაჩვენებლის იგივე სიმძლავრე - და შედეგი იქნება იგივე რიცხვი! Აი ზოგიერთი მაგალითი:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \ბოლო(გასწორება)\]

აბა, რა არის ამაში ცუდი? რატომ ვერ ვაკეთებდით აქამდე? აი რატომ. განვიხილოთ მარტივი გამოთქმა: $\sqrt(-2)$ არის რიცხვი, რომელიც საკმაოდ ნორმალურია ჩვენი კლასიკური გაგებით, მაგრამ აბსოლუტურად მიუღებელია არითმეტიკული ფესვის თვალსაზრისით. შევეცადოთ მისი გადაკეთება:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \მარჯვნივ))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end (გასწორება)$

როგორც ხედავთ, პირველ შემთხვევაში მინუსი ამოვიღეთ რადიკალის ქვემოდან (სრული უფლება გვაქვს, რადგან ინდიკატორი უცნაურია), ხოლო მეორეში გამოვიყენეთ ზემოაღნიშნული ფორმულა. იმათ. მათემატიკის თვალსაზრისით ყველაფერი კეთდება წესების მიხედვით.

WTF?! როგორ შეიძლება ერთი და იგივე რიცხვი იყოს დადებითიც და უარყოფითიც? Არანაირად. უბრალოდ, სიძლიერის ფორმულა, რომელიც მშვენივრად მუშაობს დადებით რიცხვებზე და ნულზე, იწყებს სრული ერესის გაცემას უარყოფითი რიცხვების შემთხვევაში.

აი, ასეთი ბუნდოვანებისგან თავის დასაღწევად, არითმეტიკული ფესვები მოიფიქრეს. მათ ეძღვნება ცალკე დიდი გაკვეთილი, სადაც დეტალურად განვიხილავთ მათ ყველა თვისებას. ასე რომ, ახლა ჩვენ მათზე არ შევჩერდებით - გაკვეთილი მაინც ძალიან გრძელი აღმოჩნდა.

ალგებრული ფესვი: მათთვის, ვისაც სურს მეტი იცოდეს

დიდხანს ვფიქრობდი: ეს თემა ცალკე აბზაცში გამეკეთებინა თუ არა. ბოლოს გადავწყვიტე აქედან წავსულიყავი. ეს მასალა განკუთვნილია მათთვის, ვისაც სურს ფესვების კიდევ უფრო კარგად გაგება - არა საშუალო "სასკოლო" დონეზე, არამედ ოლიმპიადასთან ახლოს.

ასე რომ: რიცხვიდან $n$-th ხარისხის ფესვის "კლასიკური" განმარტებისა და ასოცირებული დაყოფის ლუწ და კენტ ინდიკატორებად გარდა, არსებობს უფრო "ზრდასრული" განმარტება, რომელიც არ არის დამოკიდებული პარიტეტზე და სხვა დახვეწილობა საერთოდ. ამას ალგებრული ფესვი ჰქვია.

განმარტება. ნებისმიერი $a$-ის ალგებრული $n$-th ფესვი არის $b$ ყველა რიცხვის სიმრავლე, რომ $((b)^(n))=a$. არ არსებობს კარგად ჩამოყალიბებული აღნიშვნა ასეთი ფესვებისთვის, ასე რომ, უბრალოდ დაადეთ ტირე თავზე:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \მარჯვნივ. \მარჯვნივ\) \]

ფუნდამენტური განსხვავება გაკვეთილის დასაწყისში მოცემული სტანდარტული განმარტებისგან არის ის, რომ ალგებრული ფესვი არის არა კონკრეტული რიცხვი, არამედ სიმრავლე. და რადგან ჩვენ ვმუშაობთ რეალურ რიცხვებთან, ეს ნაკრები მხოლოდ სამი ტიპისაა:

1. ცარიელი ნაკრები. ხდება მაშინ, როცა საჭიროა უარყოფითი რიცხვიდან ლუწი ხარისხის ალგებრული ფესვის პოვნა;
2. ნაკრები, რომელიც შედგება ერთი ელემენტისგან. ამ კატეგორიას მიეკუთვნება კენტი ძალების ყველა ფესვი, ისევე როგორც ლუწი ხარისხების ფესვები ნულიდან;
3. და ბოლოს, ნაკრები შეიძლება შეიცავდეს ორ რიცხვს - იგივე $((x)_(1))$ და $((x)_(2))=-((x)_(1))$, რაც ვნახეთ დიაგრამა კვადრატული ფუნქცია. შესაბამისად, ასეთი გასწორება შესაძლებელია მხოლოდ დადებითი რიცხვიდან ლუწი ხარისხის ფესვის ამოღებისას.

ბოლო შემთხვევა უფრო დეტალურ განხილვას იმსახურებს. მოდი დავთვალოთ რამდენიმე მაგალითი, რომ გავიგოთ განსხვავება.

მაგალითი. გამოთვალეთ გამონათქვამები:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

გადაწყვეტილება. პირველი გამოთქმა მარტივია:

\[\overline(\sqrt(4))=\მარცხნივ\( 2;-2 \მარჯვნივ\)\]

ეს არის ორი რიცხვი, რომლებიც კომპლექტის ნაწილია. რადგან თითოეული მათგანი კვადრატში იძლევა ოთხს.

\[\overline(\sqrt(-27))=\მარცხნივ\( -3 \მარჯვნივ\)\]

აქ ჩვენ ვხედავთ კომპლექტს, რომელიც შედგება მხოლოდ ერთი ნომრისგან. ეს საკმაოდ ლოგიკურია, რადგან ფესვის მაჩვენებელი უცნაურია.

და ბოლოს, ბოლო გამოთქმა:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

ჩვენ მივიღეთ ცარიელი ნაკრები. რადგან არ არსებობს არც ერთი რეალური რიცხვი, რომელიც მეოთხე (ანუ ლუწი!) ხარისხზე აყვანისას მოგვცემს უარყოფით რიცხვს −16.

დასკვნითი შენიშვნა. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: შემთხვევითი არ იყო, რომ ყველგან აღვნიშნე, რომ რეალურ ციფრებთან ვმუშაობთ. რადგან არის რთული რიცხვებიც - სავსებით შესაძლებელია იქ $\sqrt(-16)$ და კიდევ ბევრი უცნაური რამის გამოთვლა.

თუმცა, მათემატიკის თანამედროვე სასკოლო სასწავლო გეგმაში რთული რიცხვები თითქმის არასოდეს გვხვდება. ისინი გამოტოვებულია სახელმძღვანელოების უმეტესობაში, რადგან ჩვენი ჩინოვნიკები ამ თემას „ზედმეტად რთულად გასაგებად“ მიიჩნევენ.

ამ სტატიაში გაგაცნობთ რიცხვის ფესვის კონცეფცია. ვიმოქმედებთ თანმიმდევრულად: დავიწყებთ კვადრატული ფესვით, მისგან გადავალთ კუბური ფესვის აღწერაზე, ამის შემდეგ განვაზოგადებთ ფესვის ცნებას n-ე ხარისხის ფესვის განსაზღვრით. პარალელურად შემოვიყვანთ განმარტებებს, აღნიშვნას, მოვიყვანთ ფესვების მაგალითებს და ვაძლევთ საჭირო განმარტებებსა და კომენტარებს.

კვადრატული ფესვი, არითმეტიკული კვადრატული ფესვი

რიცხვის ფესვის და კერძოდ კვადრატული ფესვის განმარტების გასაგებად, უნდა გქონდეთ . ამ დროს ხშირად შევხვდებით რიცხვის მეორე ხარისხს – რიცხვის კვადრატს.

დავიწყოთ იმით კვადრატული ფესვის განმარტებები.

განმარტება

კვადრატული ფესვი აარის რიცხვი, რომლის კვადრატი არის a.

მოტანის მიზნით კვადრატული ფესვების მაგალითები, აიღეთ რამდენიმე რიცხვი, მაგალითად, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 და კვადრატში მივიღებთ რიცხვებს 25 , 0.09 , 0.09 და 0 შესაბამისად (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 და 0 2 =0 0=0). შემდეგ ზემოთ მოცემული განმარტებით, 5 არის 25-ის კვადრატული ფესვი, −0,3 და 0,3 არის 0,09-ის კვადრატული ფესვები, ხოლო 0 არის ნულის კვადრატული ფესვი.

უნდა აღინიშნოს, რომ არცერთი რიცხვისთვის არ არსებობს a, რომლის კვადრატი უდრის a-ს. კერძოდ, ნებისმიერი უარყოფითი რიცხვისთვის a, არ არსებობს რეალური რიცხვი b, რომლის კვადრატი უდრის a-ს. მართლაც, ტოლობა a=b 2 შეუძლებელია ნებისმიერი უარყოფითი a , რადგან b 2 არის არაუარყოფითი რიცხვი ნებისმიერი b . ამრიგად, ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეზე არ არის უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რეალური რიცხვების სიმრავლეზე უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი არ არის განსაზღვრული და არ აქვს მნიშვნელობა.

ეს იწვევს ლოგიკურ კითხვას: "არსებობს თუ არა a-ს კვადრატული ფესვი ნებისმიერი არაუარყოფით a"-სთვის? პასუხი არის დიახ. ამ ფაქტის დასაბუთება შეიძლება ჩაითვალოს კონსტრუქციულ მეთოდად, რომელიც გამოიყენება კვადრატული ფესვის მნიშვნელობის დასადგენად.

მაშინ ჩნდება შემდეგი ლოგიკური კითხვა: „რა არის მოცემული არაუარყოფითი რიცხვის a-ს ყველა კვადრატული ფესვის რიცხვი - ერთი, ორი, სამი ან კიდევ მეტი“? აქ არის პასუხი მასზე: თუ a არის ნული, მაშინ ნულის ერთადერთი კვადრატული ფესვი არის ნული; თუ a არის რაიმე დადებითი რიცხვი, მაშინ a რიცხვიდან კვადრატული ფესვების რაოდენობა უდრის ორს, ხოლო ფესვები არის . დავამტკიცოთ ეს.

დავიწყოთ a=0 საქმით. ჯერ ვაჩვენოთ, რომ ნული ნამდვილად არის ნულის კვადრატული ფესვი. ეს გამომდინარეობს აშკარა ტოლობიდან 0 2 =0·0=0 და კვადრატული ფესვის განსაზღვრებიდან.

ახლა დავამტკიცოთ, რომ 0 არის ნულის ერთადერთი კვადრატული ფესვი. გამოვიყენოთ საპირისპირო მეთოდი. დავუშვათ, რომ არის რაღაც არანულოვანი რიცხვი b, რომელიც არის ნულის კვადრატული ფესვი. მაშინ პირობა b 2 =0 უნდა დაკმაყოფილდეს, რაც შეუძლებელია, რადგან ნებისმიერი არანულოვანი b-სთვის b 2 გამოსახულების მნიშვნელობა დადებითია. ჩვენ წინააღმდეგობამდე მივედით. ეს ადასტურებს, რომ 0 არის ნულის ერთადერთი კვადრატული ფესვი.

მოდით გადავიდეთ შემთხვევებზე, როდესაც a დადებითი რიცხვია. ზემოთ ვთქვით, რომ ყოველთვის არის ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი, მოდით b იყოს a-ს კვადრატული ფესვი. ვთქვათ, არის რიცხვი c, რომელიც ასევე არის a-ს კვადრატული ფესვი. მაშინ კვადრატული ფესვის განმარტებით მართებულია ტოლობები b 2 =a და c 2 =a, საიდანაც გამოდის, რომ b 2 −c 2 =a−a=0, მაგრამ რადგან b 2 −c 2 =( b−c) (b+c) , შემდეგ (b−c) (b+c)=0 . შედეგად მიღებული თანასწორობა ძალაშია რეალური რიცხვებით მოქმედებების თვისებებიშესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც b−c=0 ან b+c=0 . ამრიგად, b და c რიცხვები ტოლია ან საპირისპირო.

თუ ვივარაუდებთ, რომ არის რიცხვი d, რომელიც არის a რიცხვის კიდევ ერთი კვადრატული ფესვი, მაშინ უკვე მოცემულების მსგავსი მსჯელობით დამტკიცდება, რომ d უდრის b რიცხვს ან c რიცხვს. ამრიგად, დადებითი რიცხვის კვადრატული ფესვების რაოდენობა არის ორი, ხოლო კვადრატული ფესვები საპირისპირო რიცხვებია.

კვადრატულ ფესვებთან მუშაობის მოხერხებულობისთვის უარყოფითი ფესვი „გამოიყოფა“ პოზიტიურისაგან. ამ მიზნით შემოაქვს არითმეტიკული კვადრატული ფესვის განმარტება.

განმარტება

არაუარყოფითი რიცხვის არითმეტიკული კვადრატული ფესვი aარის არაუარყოფითი რიცხვი, რომლის კვადრატი უდრის a-ს.

a რიცხვის არითმეტიკული კვადრატული ფესვისთვის, აღნიშვნა მიღებულია. ნიშანს კვადრატული ფესვის არითმეტიკული ნიშანი ეწოდება. მას ასევე რადიკალის ნიშანს უწოდებენ. აქედან გამომდინარე, შეგიძლიათ ნაწილობრივ მოისმინოთ როგორც "ძირი" და "რადიკალური", რაც ნიშნავს ერთსა და იმავე ობიექტს.

რიცხვი არითმეტიკული კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ ეწოდება ფესვის ნომერიდა გამოთქმა ძირის ნიშნის ქვეშ - რადიკალური გამოხატულება, მაშინ როცა ტერმინი „რადიკალური რიცხვი“ ხშირად იცვლება „რადიკალური გამოხატულებით“. მაგალითად, აღნიშვნაში რიცხვი 151 არის რადიკალური რიცხვი, ხოლო აღნიშვნით გამოთქმა a არის რადიკალური გამოხატულება.

კითხვისას სიტყვა „არითმეტიკა“ ხშირად გამოტოვებულია, მაგალითად, ჩანაწერი იკითხება როგორც „შვიდი წერტილის ოცდაცხრა ასეულის კვადრატული ფესვი“. სიტყვა „არითმეტიკა“ მხოლოდ მაშინ წარმოითქმის, როცა ხაზგასმით უნდათ, რომ საუბარია რიცხვის დადებით კვადრატულ ფესვზე.

შემოღებული აღნიშვნის ფონზე, არითმეტიკული კვადრატული ფესვის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვისთვის a .

დადებითი რიცხვის a კვადრატული ფესვები იწერება არითმეტიკული კვადრატული ფესვის ნიშნით, როგორც და. მაგალითად, 13-ის კვადრატული ფესვები არის და . ნულის არითმეტიკული კვადრატული ფესვი არის ნული, ანუ . უარყოფით a რიცხვებს ჩვენ არ მივანიჭებთ მნიშვნელობას, სანამ არ შევისწავლით რთული რიცხვები. მაგალითად, გამონათქვამები და უაზროა.

კვადრატული ფესვის განმარტების საფუძველზე დადასტურებულია კვადრატული ფესვების თვისებები, რომლებიც ხშირად გამოიყენება პრაქტიკაში.

ამ ქვეგანყოფილების დასასრულებლად აღვნიშნავთ, რომ რიცხვის კვადრატული ფესვები არის x 2 =a ფორმის ამონახსნები x ცვლადის მიმართ.

კუბის ფესვი

კუბის ფესვის განმარტებარიცხვი a მოცემულია კვადრატული ფესვის განმარტების ანალოგიურად. მხოლოდ ის ეფუძნება რიცხვის კუბის კონცეფციას და არა კვადრატს.

განმარტება

კუბური ფესვი არიცხვი, რომლის კუბიც უდრის a-ს, ეწოდება.

მოვიყვანოთ კუბური ფესვების მაგალითები. ამისთვის აიღეთ რამდენიმე რიცხვი, მაგალითად, 7 , 0 , −2/3 და კუბიკებად მოაქციათ ისინი: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . შემდეგ, კუბის ფესვის განსაზღვრებიდან გამომდინარე, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ რიცხვი 7 არის 343-ის კუბური ფესვი, 0 არის ნულის კუბური ფესვი და −2/3 არის −8/27-ის კუბური ფესვი.

შეიძლება აჩვენოს, რომ რიცხვის კუბური ფესვი, კვადრატული ფესვისგან განსხვავებით, ყოველთვის არსებობს და არა მხოლოდ არაუარყოფითი a, არამედ ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის. ამისათვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგივე მეთოდი, რომელიც კვადრატული ფესვის შესწავლისას აღვნიშნეთ.

უფრო მეტიც, მოცემული a რიცხვის მხოლოდ ერთი კუბური ფესვია. დავამტკიცოთ ბოლო მტკიცება. ამისათვის განიხილეთ სამი შემთხვევა ცალ-ცალკე: a არის დადებითი რიცხვი, a=0 და a არის უარყოფითი რიცხვი.

ადვილია იმის ჩვენება, რომ დადებითი a-სთვის, a-ს კუბური ფესვი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი ან ნული. მართლაც, მოდით b იყოს a-ს კუბური ფესვი, მაშინ განსაზღვრებით შეგვიძლია დავწეროთ ტოლობა b 3 =a. ცხადია, რომ ეს ტოლობა არ შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი უარყოფითი b და b=0, რადგან ამ შემთხვევებში b 3 =b·b·b იქნება უარყოფითი რიცხვი ან ნული, შესაბამისად. ასე რომ, დადებითი რიცხვის კუბური ფესვი a არის დადებითი რიცხვი.

ახლა დავუშვათ, რომ b რიცხვის გარდა არის კიდევ ერთი კუბური ფესვი a რიცხვიდან, ავღნიშნოთ ის c. შემდეგ c 3 =a. ამიტომ, b 3 −c 3 =a−a=0, მაგრამ b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(ეს არის შემოკლებული გამრავლების ფორმულა კუბების განსხვავება), საიდანაც (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . შედეგად მიღებული ტოლობა შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც b−c=0 ან b 2 +b c+c 2 =0 . პირველი ტოლობიდან გვაქვს b=c , ხოლო მეორე ტოლობას არ აქვს ამონახსნები, რადგან მისი მარცხენა მხარე არის დადებითი რიცხვი ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის b და c, როგორც სამი დადებითი წევრის ჯამი b 2 , b c და c 2 . ეს ადასტურებს დადებითი რიცხვის a კუბური ფესვის უნიკალურობას.

a=0-სთვის, a-ს ერთადერთი კუბური ფესვი არის ნული. მართლაც, თუ დავუშვებთ, რომ არის რიცხვი b , რომელიც არის ნულის არანულის კუბური ფესვი, მაშინ უნდა იყოს ტოლობა b 3 =0, რაც შესაძლებელია მხოლოდ b=0 .

უარყოფითი a-სთვის შეიძლება მსჯელობა ისევე, როგორც დადებითი a-ს შემთხვევაში. პირველი, ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ უარყოფითი რიცხვის კუბური ფესვი არ შეიძლება იყოს დადებითი რიცხვის ან ნულის ტოლი. მეორეც, ვივარაუდოთ, რომ არსებობს უარყოფითი რიცხვის მეორე კუბური ფესვი და ვაჩვენებთ, რომ ის აუცილებლად დაემთხვევა პირველს.

ასე რომ, ყოველთვის არის კუბური ფესვი ნებისმიერი მოცემული რეალური რიცხვის a და მხოლოდ ერთი.

მივცეთ არითმეტიკული კუბის ფესვის განმარტება.

განმარტება

არაუარყოფითი რიცხვის არითმეტიკული კუბური ფესვი aარაუარყოფითი რიცხვი, რომლის კუბიც უდრის a-ს, ეწოდება.

არაუარყოფითი რიცხვის a არითმეტიკული კუბური ფესვი აღინიშნება როგორც , ნიშანს ეწოდება არითმეტიკული კუბური ფესვის ნიშანი, ამ აღნიშვნით რიცხვი 3 ე.წ. ფესვის მაჩვენებელი. რიცხვი ძირის ნიშნის ქვეშ არის ფესვის ნომერი, გამოხატულება ძირის ნიშნის ქვეშ არის რადიკალური გამოხატულება.

მიუხედავად იმისა, რომ არითმეტიკული კუბის ფესვი განისაზღვრება მხოლოდ არაუარყოფითი a რიცხვებისთვის, ასევე მოსახერხებელია ისეთი ჩანაწერების გამოყენება, რომლებშიც უარყოფითი რიცხვები არის არითმეტიკული კუბის ფესვის ნიშნის ქვეშ. მათ შემდეგნაირად გავიგებთ: , სადაც a დადებითი რიცხვია. Მაგალითად, .

კუბური ფესვების თვისებებზე ვისაუბრებთ ზოგად სტატიაში ფესვების თვისებები.

კუბის ფესვის მნიშვნელობის გამოთვლას ეწოდება კუბური ფესვის ამოღება, ეს მოქმედება განხილულია სტატიაში ფესვების ამოღების მიზნით: მეთოდები, მაგალითები, გადაწყვეტილებები.

ამ ქვეგანყოფილების დასასრულებლად, ჩვენ ვამბობთ, რომ a-ს კუბური ფესვი არის x 3 =a ფორმის ამონახსნი.

N-ე ფესვი, n-ის არითმეტიკული ფესვი

ჩვენ განვაზოგადებთ ძირის ცნებას რიცხვიდან - შემოგვაქვს n-ე ფესვის განსაზღვრაამისთვის ნ.

განმარტება

ა-ის n-ე ფესვიარის რიცხვი, რომლის n-ე ხარისხი უდრის a-ს.

ამ განსაზღვრებიდან ირკვევა, რომ a რიცხვიდან პირველი ხარისხის ფესვი არის თავად რიცხვი a, ვინაიდან ხარისხის ბუნებრივი მაჩვენებლით შესწავლისას ავიღეთ 1 = a.

ზემოთ განვიხილეთ n-ე ხარისხის ფესვის განსაკუთრებული შემთხვევები n=2 და n=3 - კვადრატული ფესვი და კუბური ფესვი. ანუ კვადრატული ფესვი არის მეორე ხარისხის ფესვი, ხოლო კუბური ფესვი არის მესამე ხარისხის ფესვი. n-ე ხარისხის ფესვების შესასწავლად n=4, 5, 6, ..., მოსახერხებელია მათი ორ ჯგუფად დაყოფა: პირველი ჯგუფი - ლუწი გრადუსების ფესვები (ანუ n=4, 6-ისთვის. , 8, ...), მეორე ჯგუფი - ფესვების კენტი ხარისხები (ანუ n=5, 7, 9, ... ). ეს გამოწვეულია იმით, რომ ლუწი გრადუსების ფესვები კვადრატული ფესვის მსგავსია, კენტი გრადუსის ფესვები კი კუბური ფესვის მსგავსია. მოდით გავუმკლავდეთ მათ თავის მხრივ.

დავიწყოთ ფესვებით, რომელთა ხარისხებია ლუწი რიცხვები 4, 6, 8,... როგორც უკვე ვთქვით, მსგავსია a რიცხვის კვადრატული ფესვი. ანუ a რიცხვიდან ნებისმიერი ლუწი ხარისხის ფესვი არსებობს მხოლოდ არაუარყოფით a-სთვის. უფრო მეტიც, თუ a=0, მაშინ a-ს ფესვი უნიკალურია და ნულის ტოლია, ხოლო თუ a>0, მაშინ a რიცხვიდან არის ორი ლუწი ხარისხის ფესვი და ისინი საპირისპირო რიცხვებია.

დავამტკიცოთ ბოლო მტკიცება. მოდით b იყოს ლუწი ხარისხის ფესვი (ჩვენ აღვნიშნავთ მას როგორც 2·m, სადაც m არის ნატურალური რიცხვი) a-დან. დავუშვათ, არის რიცხვი c - a-ს კიდევ 2 მ ფესვი. მაშინ b 2 m −c 2 m =a−a=0 . მაგრამ ჩვენ ვიცით ფორმა b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), შემდეგ (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. ამ ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ b−c=0 , ან b+c=0 , ან b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. პირველი ორი ტოლობა ნიშნავს, რომ b და c რიცხვები ტოლია ან b და c საპირისპირო. და ბოლო ტოლობა მოქმედებს მხოლოდ b=c=0-ისთვის, რადგან მისი მარცხენა მხარე შეიცავს გამოხატვას, რომელიც არაუარყოფითია ნებისმიერი b და c-სთვის, როგორც არაუარყოფითი რიცხვების ჯამი.

რაც შეეხება n-ე ხარისხის ფესვებს კენტი n-სთვის, ისინი მსგავსია კუბის ფესვის. ანუ, a რიცხვიდან ნებისმიერი უცნაური ხარისხის ფესვი არსებობს ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის, ხოლო მოცემული რიცხვისთვის ის უნიკალურია.

კენტი ხარისხის 2·m+1 ფესვის უნიკალურობა a რიცხვიდან დასტურდება a-დან კუბური ფესვის უნიკალურობის დადასტურების ანალოგიით. მხოლოდ აქ თანასწორობის ნაცვლად a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2)ფორმის ტოლობა b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). ბოლო ფრჩხილებში გამოსახული შეიძლება გადაიწეროს როგორც b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). მაგალითად, m=2-ისთვის გვაქვს b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). როდესაც a და b ორივე დადებითია ან ორივე უარყოფითი, მათი ნამრავლი არის დადებითი რიცხვი, მაშინ გამონათქვამი b 2 +c 2 +b·c, რომელიც არის ბუდობის უმაღლესი ხარისხის ფრჩხილებში, დადებითია როგორც დადებითი ჯამი. ნომრები. ახლა, თანმიმდევრულად გადავდივართ ფრჩხილებში წინა ბუდობის ხარისხების გამონათქვამებზე, დავრწმუნდებით, რომ ისინი ასევე დადებითია როგორც დადებითი რიცხვების ჯამები. შედეგად მივიღებთ, რომ ტოლობა b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც b−c=0 , ანუ როცა რიცხვი b უდრის c რიცხვს.

დროა გავუმკლავდეთ n-ე ხარისხის ფესვების აღნიშვნას. ამისთვის არის მოცემული n ხარისხის არითმეტიკული ფესვის განსაზღვრა.

განმარტება

არაუარყოფითი რიცხვის n ხარისხის არითმეტიკული ფესვი aიწოდება არაუარყოფითი რიცხვი, რომლის n-ე ხარისხი უდრის a-ს.