განმარტება.

ეს არის ექვსკუთხედი, რომლის ფუძეები ორი თანაბარი კვადრატია, ხოლო გვერდითი სახეები თანაბარი მართკუთხედებია.

გვერდითი ნეკნიარის ორი მიმდებარე გვერდითი სახის საერთო მხარე

პრიზმის სიმაღლეარის პრიზმის ფუძეების პერპენდიკულარული ხაზის სეგმენტი

პრიზმის დიაგონალი- სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ფუძის ორ წვეროს, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს

დიაგონალური სიბრტყე- სიბრტყე, რომელიც გადის პრიზმის დიაგონალზე და მის გვერდით კიდეებზე

დიაგონალური განყოფილება- პრიზმისა და დიაგონალური სიბრტყის გადაკვეთის საზღვრები. რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის დიაგონალური მონაკვეთი არის მართკუთხედი

პერპენდიკულარული მონაკვეთი (ორთოგონალური მონაკვეთი)- ეს არის პრიზმისა და მისი გვერდითი კიდეების პერპენდიკულარულად დახატული სიბრტყის კვეთა

რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ელემენტები

ნახატზე ნაჩვენებია ორი რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა, რომლებიც აღნიშნულია შესაბამისი ასოებით:

• ფუძეები ABCD და A 1 B 1 C 1 D 1 ტოლია და ერთმანეთის პარალელურია
• გვერდითი სახეები AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C და CC 1 D 1 D, რომელთაგან თითოეული არის მართკუთხედი
• გვერდითი ზედაპირი - პრიზმის ყველა გვერდითი სახის ფართობების ჯამი
• მთლიანი ზედაპირი - ყველა ბაზისა და გვერდითი ზედაპირის ფართობის ჯამი (გვერდითი ზედაპირისა და ფუძის ფართობის ჯამი)
• გვერდითი ნეკნები AA 1 , BB 1 , CC 1 და DD 1 .
• დიაგონალი B 1 D
• ბაზის დიაგონალი BD
• დიაგონალური მონაკვეთი BB 1 D 1 D
• პერპენდიკულარული მონაკვეთი A 2 B 2 C 2 D 2 .

რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის თვისებები

• ფუძეები ორი თანაბარი კვადრატია
• ფუძეები ერთმანეთის პარალელურია
• გვერდები მართკუთხედია.
• გვერდითი სახეები ერთმანეთის ტოლია
• გვერდითი სახეები ბაზების პერპენდიკულარულია
• გვერდითი ნეკნები ერთმანეთის პარალელურია და თანაბარია
• პერპენდიკულური მონაკვეთი პერპენდიკულარული ყველა გვერდითი ნეკნებისა და ბაზების პარალელურად
• პერპენდიკულარული მონაკვეთის კუთხეები - მარჯვენა
• რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის დიაგონალური მონაკვეთი არის მართკუთხედი
• პერპენდიკულური (ორთოგონალური მონაკვეთი) ფუძეების პარალელურად

რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფორმულები

ინსტრუქციები პრობლემების გადასაჭრელად

თემის პრობლემების გადაჭრისას " რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა"იგულისხმება, რომ:

სწორი პრიზმა- პრიზმა, რომლის ფუძეზე დევს რეგულარული მრავალკუთხედი, ხოლო გვერდითი კიდეები პერპენდიკულარულია ფუძის სიბრტყეებზე. ანუ, რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა შეიცავს მის ძირში კვადრატი. (იხილეთ ზემოთ რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის თვისებები) შენიშვნა. ეს არის გაკვეთილის ნაწილი გეომეტრიის დავალებებით (განყოფილება მყარი გეომეტრია - პრიზმა). აქ არის ამოცანები, რომლებიც სირთულეებს იწვევს ამოხსნაში. თუ თქვენ გჭირდებათ პრობლემის გადაჭრა გეომეტრიაში, რომელიც აქ არ არის - დაწერეთ ამის შესახებ ფორუმზე. ამოცანების ამოხსნისას კვადრატული ფესვის ამოღების მოქმედების აღსანიშნავად გამოიყენება სიმბოლო√ .

დავალება.

რეგულარულ ოთხკუთხა პრიზმაში ფუძის ფართობია 144 სმ 2 და სიმაღლე 14 სმ. იპოვეთ პრიზმის დიაგონალი და მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

გადაწყვეტილება.
რეგულარული ოთხკუთხედი არის კვადრატი.
შესაბამისად, ბაზის მხარე ტოლი იქნება

√144 = 12 სმ.
საიდანაც რეგულარული მართკუთხა პრიზმის ფუძის დიაგონალი ტოლი იქნება
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

რეგულარული პრიზმის დიაგონალი ქმნის მართკუთხა სამკუთხედს ფუძის დიაგონალთან და პრიზმის სიმაღლესთან. შესაბამისად, პითაგორას თეორემის მიხედვით, მოცემული რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის დიაგონალი ტოლი იქნება:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 სმ

უპასუხე: 22 სმ

დავალება

იპოვეთ რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი, თუ მისი დიაგონალი არის 5 სმ, ხოლო გვერდითი სახის დიაგონალი 4 სმ.

გადაწყვეტილება.
ვინაიდან რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფუძე არის კვადრატი, მაშინ ფუძის მხარე (აღნიშნული როგორც a) გვხვდება პითაგორას თეორემით:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

გვერდითი სახის სიმაღლე (აღნიშნული როგორც h) მაშინ იქნება ტოლი:

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
სთ 2 + 12,5 = 16
სთ 2 \u003d 3.5
სთ = √3.5

მთლიანი ზედაპირის ფართობი ტოლი იქნება გვერდითი ზედაპირის ფართობის ჯამის და ბაზის ფართობის ორჯერ

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 სმ 2.

პასუხი: 25 + 10√7 ≈ 51.46 სმ 2.

პრიზმის ძირში შეიძლება იყოს ნებისმიერი მრავალკუთხედი - სამკუთხედი, ოთხკუთხედი და ა.შ. ორივე ფუძე ზუსტად ერთნაირია და შესაბამისად, რომლითაც პარალელური სახეების კუთხეები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული, ისინი ყოველთვის პარალელურია. რეგულარული პრიზმის ძირში დევს რეგულარული მრავალკუთხედი, ანუ ის, რომელშიც ყველა გვერდი თანაბარია. სწორ პრიზმაში გვერდითა სახეებს შორის კიდეები ფუძის პერპენდიკულარულია. ამ შემთხვევაში, მრავალკუთხედი ნებისმიერი რაოდენობის კუთხით შეიძლება იყოს სწორი პრიზმის ფუძეზე. პრიზმას, რომლის ფუძე არის პარალელოგრამი, ეწოდება პარალელეპიპედი. მართკუთხედი არის პარალელოგრამის განსაკუთრებული შემთხვევა. თუ ეს ფიგურა დევს ფუძესთან, ხოლო გვერდითი სახეები განლაგებულია ფუძის მარჯვენა კუთხით, პარალელეპიპედს მართკუთხა ეწოდება. ამ გეომეტრიული სხეულის მეორე სახელი მართკუთხაა.

როგორ გამოიყურება იგი

თანამედროვე ადამიანის გარემოში საკმაოდ ბევრია მართკუთხა პრიზმა. ეს, მაგალითად, ჩვეულებრივი მუყაოა ფეხსაცმლის ქვეშ, კომპიუტერის კომპონენტებიდან და ა.შ. Მიმოიხედე. ოთახშიც კი აუცილებლად ნახავთ ბევრ მართკუთხა პრიზმას. ეს არის კომპიუტერის ყუთი, წიგნის კარადა, მაცივარი, კარადა და მრავალი სხვა ნივთი. ფორმა უაღრესად პოპულარულია ძირითადად იმიტომ, რომ საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ სივრცე რაც შეიძლება ეფექტურად, მიუხედავად იმისა, ინტერიერს ამშვენებთ თუ ნივთებს გადაადგილებამდე მუყაოში აწყობთ.

მართკუთხა პრიზმის თვისებები

მართკუთხა პრიზმას აქვს მთელი რიგი სპეციფიკური თვისებები. ნებისმიერი წყვილი სახე შეიძლება იყოს მისი, რადგან ყველა მიმდებარე სახე განლაგებულია ერთმანეთზე იმავე კუთხით და ეს კუთხე არის 90 °. მართკუთხა პრიზმის მოცულობა და ზედაპირის ფართობის გამოთვლა უფრო ადვილია, ვიდრე ნებისმიერი სხვა. აიღეთ ნებისმიერი ობიექტი, რომელსაც აქვს მართკუთხა პრიზმის ფორმა. გაზომეთ მისი სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე. მოცულობის საპოვნელად საკმარისია ამ გაზომვების გამრავლება. ანუ, ფორმულა ასე გამოიყურება: V \u003d a * b * h, სადაც V არის მოცულობა, a და b არის ფუძის მხარეები, h არის სიმაღლე, რომელიც ემთხვევა ამ გეომეტრიული სხეულის გვერდით კიდეს. ბაზის ფართობი გამოითვლება ფორმულით S1=a*b. გვერდითი ზედაპირის მისაღებად ჯერ უნდა გამოთვალოთ ფუძის პერიმეტრი P=2(a+b) ფორმულით და შემდეგ გაამრავლოთ სიმაღლეზე. გამოდის ფორმულა S2=P*h=2(a+b)*h. მართკუთხა პრიზმის მთლიანი ზედაპირის გამოსათვლელად, დაამატეთ ორჯერ ფუძის ფართობი და გვერდითი ზედაპირის ფართობი. ფორმულა არის S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

„პითაგორას თეორემის გაკვეთილი“ - პითაგორას თეორემა. ოთხკუთხა KMNP-ის ტიპის განსაზღვრა. Გახურება. თეორემის შესავალი. სამკუთხედის ტიპის განსაზღვრა: გაკვეთილის გეგმა: ისტორიული დიგრესია. მარტივი პრობლემების გადაჭრა. და იპოვნეთ 125 ფუტის სიგრძის კიბე. გამოთვალეთ ABCD ტრაპეციის CF სიმაღლე. მტკიცებულება. სურათების ჩვენება. თეორემის დადასტურება.

„პრიზმის მოცულობა“ - პრიზმის ცნება. პირდაპირი პრიზმა. საწყისი პრიზმის მოცულობა უდრის ნამრავლს S · h. როგორ მოვძებნოთ სწორი პრიზმის მოცულობა? პრიზმა შეიძლება დაიყოს h სიმაღლის სწორ სამკუთხა პრიზმებად. დახაზეთ ABC სამკუთხედის სიმაღლე. პრობლემის გადაწყვეტა. გაკვეთილის მიზნები. ძირითადი ნაბიჯები პირდაპირი პრიზმის თეორემის დასამტკიცებლად? პრიზმის მოცულობის თეორემის შესწავლა.

"პრიზმული პოლიედრები" - განსაზღვრეთ პოლიედონი. DABC არის ტეტრაედონი, ამოზნექილი პოლიედონი. პრიზმების გამოყენება. სად გამოიყენება პრიზმები? ABCDMP არის რვააედონი, რომელიც შედგება რვა სამკუთხედისგან. ABCDA1B1C1D1 არის პარალელეპიპედი, ამოზნექილი პოლიედონი. ამოზნექილი პოლიედონი. პოლიედრონის კონცეფცია. პოლიედონი A1A2..AnB1B2..Bn არის პრიზმა.

"პრიზმის კლასი 10" - პრიზმა არის პოლიედონი, რომლის სახეები პარალელურ სიბრტყეშია. პრიზმის გამოყენება ყოველდღიურ ცხოვრებაში. Sside = Pbased. + h სწორი პრიზმისთვის: Sp.p = Pmain. h + 2 Smain. დახრილი. სწორი. პირდაპირ. პრიზმა. ფართობის პოვნის ფორმულები. პრიზმის გამოყენება არქიტექტურაში. Sp.p \u003d S მხარე + 2 S დაფუძნებული.

"პითაგორას თეორემის მტკიცებულება" - გეომეტრიული მტკიცებულება. პითაგორას თეორემის მნიშვნელობა. Პითაგორას თეორემა. ევკლიდეს მტკიცებულება. „მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს“. თეორემის მტკიცებულებები. თეორემის მნიშვნელობა ის არის, რომ გეომეტრიის თეორემების უმეტესი ნაწილი შეიძლება გამოიტანოს მისგან ან მისი დახმარებით.

მყარი გეომეტრიის კურსის სასკოლო სასწავლო გეგმაში სამგანზომილებიანი ფიგურების შესწავლა ჩვეულებრივ იწყება მარტივი გეომეტრიული სხეულით - პრიზმული პოლიედრონით. მისი ფუძეების როლს ასრულებს 2 თანაბარი მრავალკუთხედი, რომლებიც მდებარეობს პარალელურ სიბრტყეში. განსაკუთრებული შემთხვევაა რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა. მისი ფუძეები არის 2 იდენტური რეგულარული ოთხკუთხედი, რომლებზედაც გვერდები პერპენდიკულარულია, პარალელოგრამების ფორმის მქონე (ან მართკუთხედები, თუ პრიზმა არ არის დახრილი).

რას ჰგავს პრიზმა

რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა არის ექვსკუთხედი, რომლის ფუძეებზე არის 2 კვადრატი, ხოლო გვერდითი სახეები წარმოდგენილია ოთხკუთხედებით. ამ გეომეტრიული ფიგურის კიდევ ერთი სახელია სწორი პარალელეპიპედი.

ფიგურა, რომელიც ასახავს ოთხკუთხა პრიზმას, ნაჩვენებია ქვემოთ.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ ნახოთ სურათზე ყველაზე მნიშვნელოვანი ელემენტები, რომლებიც ქმნიან გეომეტრიულ სხეულს. მათ ჩვეულებრივ მოიხსენიებენ, როგორც:

ზოგჯერ გეომეტრიის პრობლემებში შეგიძლიათ იპოვოთ მონაკვეთის კონცეფცია. განმარტება ასე ჟღერს: მონაკვეთი არის მოცულობითი სხეულის ყველა წერტილი, რომელიც ეკუთვნის ჭრის სიბრტყეს. მონაკვეთი პერპენდიკულარულია (ფიგურის კიდეებს კვეთს 90 გრადუსიანი კუთხით). მართკუთხა პრიზმისთვის ასევე განიხილება დიაგონალური მონაკვეთი (სექციების მაქსიმალური რაოდენობა, რომელიც შეიძლება აშენდეს არის 2), რომელიც გადის 2 კიდეზე და ფუძის დიაგონალებზე.

თუ მონაკვეთი ისეა დახატული, რომ ჭრის სიბრტყე არ იყოს პარალელურად არც ფუძეებთან და არც გვერდითი გვერდებთან, შედეგი არის შეკვეცილი პრიზმა.

შემცირებული პრიზმული ელემენტების საპოვნელად გამოიყენება სხვადასხვა კოეფიციენტები და ფორმულები. ზოგიერთი მათგანი ცნობილია პლანიმეტრიის კურსიდან (მაგალითად, პრიზმის ფუძის ფართობის საპოვნელად, საკმარისია გავიხსენოთ კვადრატის ფართობის ფორმულა).

ზედაპირის ფართობი და მოცულობა

ფორმულის გამოყენებით პრიზმის მოცულობის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი ფუძისა და სიმაღლის ფართობი:

V = Sprim h

ვინაიდან რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფუძე არის კვადრატი გვერდით ა,თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ფორმულა უფრო დეტალური ფორმით:

V = a² სთ

თუ ვსაუბრობთ კუბზე - ჩვეულებრივ პრიზმაზე თანაბარი სიგრძით, სიგანე და სიმაღლე, მოცულობა გამოითვლება შემდეგნაირად:

იმის გასაგებად, თუ როგორ უნდა იპოვოთ პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, თქვენ უნდა წარმოიდგინოთ მისი გადახვევა.

ნახატიდან ჩანს, რომ გვერდითი ზედაპირი შედგება 4 თანაბარი ოთხკუთხედისგან. მისი ფართობი გამოითვლება ფუძის პერიმეტრისა და ფიგურის სიმაღლის ნამრავლით:

Sside = Pos h

ვინაიდან კვადრატის პერიმეტრი არის P = 4a,ფორმულა იღებს ფორმას:

გვერდი = 4ა სთ

კუბისთვის:

გვერდი = 4a²

პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად, დაამატეთ 2 ბაზის ფართობი გვერდით ფართობზე:

Sfull = Side + 2Sbase

როგორც ოთხკუთხა რეგულარულ პრიზმაზე გამოიყენება, ფორმულას აქვს ფორმა:

სავსე = 4a h + 2a²

კუბის ზედაპირის ფართობისთვის:

სავსე = 6a²

მოცულობის ან ზედაპირის ფართობის ცოდნით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ გეომეტრიული სხეულის ცალკეული ელემენტები.

პრიზმის ელემენტების მოძიება

ხშირად არის პრობლემები, რომლებშიც მოცემულია მოცულობა ან ცნობილია გვერდითი ზედაპირის ფართობის მნიშვნელობა, სადაც აუცილებელია ფუძის მხარის სიგრძის ან სიმაღლის დადგენა. ასეთ შემთხვევებში, ფორმულები შეიძლება გამოვიდეს:

• ბაზის მხარის სიგრძე: a = გვერდითი / 4სთ = √(V / სთ);
• სიმაღლე ან გვერდითი ნეკნის სიგრძე: h = გვერდი / 4a = V / a²;
• ბაზის ფართობი: სპრიმი = V / სთ;
• გვერდითი სახის ფართობი: მხარე გრ = გვერდი / 4.

იმის დასადგენად, თუ რამდენი ფართობი აქვს დიაგონალურ მონაკვეთს, უნდა იცოდეთ დიაგონალის სიგრძე და ფიგურის სიმაღლე. კვადრატისთვის d = a√2.ამიტომ:

Sdiag = ah√2

პრიზმის დიაგონალის გამოსათვლელად გამოიყენება ფორმულა:

dპრიზი = √(2a² + h²)

იმის გასაგებად, თუ როგორ გამოიყენოთ ზემოაღნიშნული კოეფიციენტები, შეგიძლიათ ივარჯიშოთ და გადაჭრათ რამდენიმე მარტივი ამოცანა.

პრობლემების მაგალითები გადაწყვეტილებებით

აქ არის რამდენიმე დავალება, რომელიც ჩნდება მათემატიკაში სახელმწიფო ფინალურ გამოცდებზე.

სავარჯიშო 1.

ქვიშა შეედინება ჩვეულებრივი ოთხკუთხა პრიზმის ფორმის ყუთში. მისი დონის სიმაღლეა 10 სმ. როგორი იქნება ქვიშა, თუ მას იმავე ფორმის, მაგრამ ძირის სიგრძით 2-ჯერ მეტი ჭურჭელში გადაიტანეთ?

ამის მტკიცება შემდეგნაირად უნდა მოხდეს. პირველ და მეორე კონტეინერებში ქვიშის რაოდენობა არ შეცვლილა, ანუ მისი მოცულობა მათში იგივეა. თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ ბაზის სიგრძე როგორც ა. ამ შემთხვევაში, პირველი ყუთისთვის, ნივთიერების მოცულობა იქნება:

V1 = ha² = 10a²

მეორე ყუთისთვის, ბაზის სიგრძეა 2ა, მაგრამ ქვიშის დონის სიმაღლე უცნობია:

V₂ = h(2a)² = 4ჰა²

Იმდენად, რამდენადაც V1 = V2, გამონათქვამები შეიძლება გაიგივდეს:

10a² = 4ჰა²

განტოლების ორივე მხარის a²-ით შემცირების შემდეგ მივიღებთ:

შედეგად, ახალი ქვიშის დონე იქნება სთ = 10 / 4 = 2,5სმ.

დავალება 2.

ABCDA1B1C1D1 არის რეგულარული პრიზმა. ცნობილია, რომ BD = AB₁ = 6√2. იპოვნეთ სხეულის მთლიანი ზედაპირი.

იმისათვის, რომ გაიგოთ, რომელი ელემენტებია ცნობილი, შეგიძლიათ დახაზოთ ფიგურა.

ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ რეგულარულ პრიზმაზე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ფუძე არის კვადრატი, რომლის დიაგონალია 6√2. გვერდითი სახის დიაგონალს აქვს იგივე მნიშვნელობა, შესაბამისად, გვერდით სახეს ასევე აქვს კვადრატის ფორმა, რომელიც ტოლია ფუძისა. გამოდის, რომ სამივე განზომილება - სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე - თანაბარია. შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ABCDA1B1C1D1 არის კუბი.

ნებისმიერი კიდის სიგრძე განისაზღვრება ცნობილი დიაგონალის საშუალებით:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

მთლიანი ზედაპირის ფართობი გვხვდება კუბის ფორმულით:

სავსე = 6a² = 6 6² = 216

დავალება 3.

ოთახის რემონტი მიმდინარეობს. ცნობილია, რომ მის იატაკს აქვს კვადრატის ფორმა 9 მ² ფართობით. ოთახის სიმაღლე 2,5 მ. რა ღირს ოთახის შპალერის დახატვა, თუ 1 მ² ღირს 50 მანეთი?

ვინაიდან იატაკი და ჭერი არის კვადრატები, ანუ რეგულარული ოთხკუთხედები და მისი კედლები ჰორიზონტალური ზედაპირების პერპენდიკულარულია, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ეს არის რეგულარული პრიზმა. აუცილებელია მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობის დადგენა.

ოთახის სიგრძე არის a = √9 = 3მ.

მოედანი შპალერით დაიფარება გვერდი = 4 3 2.5 = 30 მ².

ამ ოთახისთვის ფონის ყველაზე დაბალი ღირებულება იქნება 50 30 = 1500რუბლი.

ამრიგად, მართკუთხა პრიზმისთვის ამოცანების გადასაჭრელად საკმარისია კვადრატისა და მართკუთხედის ფართობისა და პერიმეტრის გამოთვლა, აგრეთვე მოცულობისა და ზედაპირის ფართობის პოვნის ფორმულების ცოდნა.

როგორ მოვძებნოთ კუბის ფართობი

პოლიჰედრა

სტერეომეტრიის შესწავლის მთავარი ობიექტია სამგანზომილებიანი სხეულები. სხეულიარის სივრცის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია რაღაც ზედაპირით.

მრავალწახნაგოვანისხეულს, რომლის ზედაპირი შედგება სიბრტყე მრავალკუთხედების სასრული რაოდენობისგან, ეწოდება. მრავალკუთხედს ეწოდება ამოზნექილი, თუ ის მდებარეობს მის ზედაპირზე არსებული ყველა ბრტყელი მრავალკუთხედის სიბრტყის ერთ მხარეს. ასეთი სიბრტყის საერთო ნაწილს და პოლიედრონის ზედაპირს ე.წ ზღვარი. ამოზნექილი მრავალკუთხედის სახეები ბრტყელი ამოზნექილი მრავალკუთხედებია. სახეების გვერდები ე.წ პოლიედრონის კიდეებიდა წვეროები პოლიედრონის წვეროები.

მაგალითად, კუბი შედგება ექვსი კვადრატისაგან, რომლებიც მისი სახეებია. იგი შეიცავს 12 კიდეს (კვადრატების გვერდებს) და 8 წვეროს (კვადრატების წვეროებს).

უმარტივესი პოლიედრებია პრიზმები და პირამიდები, რომლებსაც შემდგომში შევისწავლით.

პრიზმა

პრიზმის განმარტება და თვისებები

პრიზმაეწოდება პოლიედონი, რომელიც შედგება ორი ბრტყელი მრავალკუთხედისაგან, რომლებიც დევს პარალელურ სიბრტყეში, რომლებიც გაერთიანებულია პარალელური გადაცემით და ყველა სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ამ მრავალკუთხედების შესაბამის წერტილებს. მრავალკუთხედები ე.წ პრიზმის ბაზები, და მრავალკუთხედების შესაბამისი წვეროების დამაკავშირებელი სეგმენტები არის პრიზმის გვერდითი კიდეები.

პრიზმის სიმაღლეეწოდება მანძილი მისი ფუძეების სიბრტყეებს შორის (). სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს პრიზმის ორ წვეროს, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს, ეწოდება პრიზმის დიაგონალი(). პრიზმა ე.წ n-ნახშირითუ მისი ფუძე არის n-გონი.

ნებისმიერ პრიზმას აქვს შემდეგი თვისებები, რაც გამომდინარეობს იქიდან, რომ პრიზმის ფუძეები გაერთიანებულია პარალელური თარგმანით:

1. პრიზმის ფუძეები ტოლია.

2. პრიზმის გვერდითი კიდეები პარალელური და ტოლია.

პრიზმის ზედაპირი შედგება ფუძეებისგან და გვერდითი ზედაპირი. პრიზმის გვერდითი ზედაპირი შედგება პარალელოგრამებისგან (ეს პრიზმის თვისებებიდან გამომდინარეობს). პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი არის გვერდითი სახეების ფართობების ჯამი.

სწორი პრიზმა

პრიზმა ე.წ სწორითუ მისი გვერდითი კიდეები ფუძეების პერპენდიკულარულია. წინააღმდეგ შემთხვევაში პრიზმას ეძახიან ირიბი.

სწორი პრიზმის სახეები მართკუთხედია. სწორი პრიზმის სიმაღლე უდრის მისი გვერდითი სახეების.

სრული პრიზმის ზედაპირიარის გვერდითი ზედაპირის ფართობისა და ფუძეების ფართობის ჯამი.

სწორი პრიზმაეწოდება სწორი პრიზმა ფუძეზე რეგულარული მრავალკუთხედით.

თეორემა 13.1. სწორი პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი ტოლია პერიმეტრისა და პრიზმის სიმაღლის ნამრავლის (ან, ექვივალენტურად, გვერდითი კიდეს).

მტკიცებულება. სწორი პრიზმის გვერდითი სახეები არის მართკუთხედები, რომელთა ფუძეები არის პრიზმის ფუძეებზე მდებარე მრავალკუთხედების გვერდები, ხოლო სიმაღლეები პრიზმის გვერდითი კიდეებია. მაშინ, განმარტებით, გვერდითი ზედაპირის ფართობი არის:

,

სად არის სწორი პრიზმის ფუძის პერიმეტრი.

პარალელეპიპედი

თუ პარალელოგრამები დევს პრიზმის ფუძეებზე, მაშინ მას უწოდებენ პარალელეპიპედი. პარალელეპიპედის ყველა სახე პარალელოგრამია. ამ შემთხვევაში, პარალელეპიპედის საპირისპირო სახეები პარალელური და ტოლია.

თეორემა 13.2. პარალელეპიპედის დიაგონალები იკვეთება ერთ წერტილში და გადაკვეთის წერტილი იყოფა შუაზე.

მტკიცებულება. განვიხილოთ ორი თვითნებური დიაგონალი, მაგალითად, და. იმიტომ რომ პარალელეპიპედის სახეები არის პარალელოგრამები, შემდეგ და, რაც ნიშნავს, რომ T-ის მიხედვით დაახლოებით ორი სწორი ხაზია მესამესთან პარალელურად. გარდა ამისა, ეს ნიშნავს, რომ ხაზები და დევს იმავე სიბრტყეში (თვითმფრინავი). ეს სიბრტყე კვეთს პარალელურ სიბრტყეებს და პარალელური ხაზების გასწვრივ და . ამრიგად, ოთხკუთხედი არის პარალელოგრამი, ხოლო პარალელოგრამის თვისებით მისი დიაგონალები და იკვეთება და გადაკვეთის წერტილი იყოფა შუაზე, რაც საჭირო იყო დასამტკიცებლად.

მართკუთხა პარალელეპიპედი, რომლის ფუძე არის მართკუთხედი, ეწოდება კუბოიდური. კუბოიდის ყველა სახე მართკუთხედია. მართკუთხა პარალელეპიპედის არაპარალელური კიდეების სიგრძეებს მის წრფივ განზომილებებს (გაზომვებს) უწოდებენ. არის სამი ზომა (სიგანე, სიმაღლე, სიგრძე).

თეორემა 13.3. კუბოიდში ნებისმიერი დიაგონალის კვადრატი უდრის მისი სამი განზომილების კვადრატების ჯამს. (დადასტურებულია პითაგორას T-ის ორჯერ გამოყენებით).

მართკუთხა პარალელეპიპედი, რომელშიც ყველა კიდე ტოლია, ეწოდება კუბი.

Დავალებები

13.1 რამდენ დიაგონალს აქვს ნ- ნახშირბადის პრიზმა

13.2 დახრილ სამკუთხა პრიზმაში გვერდითა კიდეებს შორის მანძილი არის 37, 13 და 40. იპოვეთ მანძილი უფრო დიდ გვერდითა სახესა და მოპირდაპირე გვერდითა კიდეს შორის.

13.3 რეგულარული სამკუთხა პრიზმის ქვედა ფუძის გვერდის გავლით გამოყვანილია სიბრტყე, რომელიც კვეთს გვერდითა გვერდებს სეგმენტების გასწვრივ, რომელთა შორის კუთხე არის . იპოვეთ ამ სიბრტყის დახრილობის კუთხე პრიზმის ფუძესთან.