იტალიელი მათემატიკოსი ლეონარდო ფიბონაჩი მე-13 საუკუნეში ცხოვრობდა და ერთ-ერთი პირველი იყო ევროპაში, ვინც გამოიყენა არაბული (ინდური) ციფრები. მან გამოთქვა გარკვეულწილად ხელოვნური პრობლემა ფერმაში გაზრდილ კურდღლებთან დაკავშირებით, ყველა მათგანი მდედრად ითვლება, მამრი კი იგნორირებულია. კურდღლები გამრავლებას ორი თვის შემდეგ იწყებენ და შემდეგ ყოველთვიურად აჩენენ კურდღელს. კურდღლები არასოდეს კვდებიან.

აუცილებელია განისაზღვროს რამდენი კურდღელი იქნება ფერმაში ნთვეები, თუ საწყის მომენტში მხოლოდ ერთი ახალშობილი კურდღელი იყო.

ცხადია, ფერმერს პირველ თვეში ერთი კურდღელი ჰყავს, მეორე თვეში კი ერთი კურდღელი. მესამე თვეში ორი კურდღელი იქნება, მეოთხე თვეში სამი და ა.შ. მოდით აღვნიშნოთ კურდღლების რაოდენობა ნთვე მოსწონს. ამრიგად,
,
,
,
,
, …

ჩვენ შეგვიძლია ავაშენოთ ალგორითმი საპოვნელად ნებისმიერისთვის ნ.

პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით კურდღლების საერთო რაოდენობა
in ნ+1 თვე იყოფა სამ კომპონენტად:

ერთთვიანი კურდღლები, რომლებსაც არ შეუძლიათ გამრავლება, ოდენობით

;

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ

. (8.1)

ფორმულა (8.1) საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ რიცხვების სერია: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..

ამ თანმიმდევრობის რიცხვებს უწოდებენ ფიბონაჩის რიცხვები .

თუ მიიღება
და
, მაშინ ფორმულის დახმარებით (8.1) შეიძლება ყველა სხვა ფიბონაჩის რიცხვის დადგენა. ფორმულა (8.1) ე.წ განმეორებადი ფორმულა ( განმეორება - "დაბრუნება" ლათინურად).

მაგალითი 8.1.დავუშვათ, რომ შიგნით არის კიბე ნნაბიჯები. მასზე ასვლა შეგვიძლია ერთი საფეხურით, ან ორი საფეხურით. აწევის სხვადასხვა მეთოდის რამდენი კომბინაცია არსებობს?

Თუ ნ= 1, პრობლემის მხოლოდ ერთი გამოსავალია. ამისთვის ნ= 2 არის 2 ვარიანტი: ორი ერთჯერადი ნაბიჯი ან ერთი ორმაგი ნაბიჯი. ამისთვის ნ= 3 არის 3 ვარიანტი: სამი ერთჯერადი ნაბიჯი, ან ერთი და ერთი ორმაგი, ან ერთი ორმაგი და ერთი.

შემდეგ შემთხვევაში ნ= 4, გვაქვს 5 შესაძლებლობა (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

იმისთვის, რომ მოცემულ კითხვაზე პასუხის გაცემა თვითნებურად ნ, აღნიშნეთ ვარიანტების რაოდენობა როგორც და შეეცადეთ დაადგინოთ
ცნობილის მიხედვით და
. თუ ერთი საფეხურიდან დავიწყებთ, მაშინ გვაქვს კომბინაციები დანარჩენისთვის ნნაბიჯები. თუ ორმაგი ნაბიჯით დავიწყებთ, მაშინ გვაქვს
კომბინაციები დანარჩენისთვის ნ- 1 ნაბიჯი. ვარიანტების საერთო რაოდენობა ნ+1 ნაბიჯი უდრის

. (8.2)

შედეგად მიღებული ფორმულა, ტყუპის მსგავსად, წააგავს ფორმულას (8.1). თუმცა, ეს არ იძლევა საშუალებას დაადგინოს კომბინაციების რაოდენობა ფიბონაჩის რიცხვებით . ჩვენ ვხედავთ, მაგალითად, რომ
, მაგრამ
. თუმცა, არსებობს შემდეგი ურთიერთობა:

.

ეს მართალია ნ= 1, 2 და ასევე მოქმედებს თითოეულისთვის ნ. ფიბონაჩის რიცხვები და კომბინაციების რაოდენობა გამოითვლება იგივე ფორმულით, მაგრამ საწყისი მნიშვნელობებით
,
და
,
ისინი განსხვავდებიან.

მაგალითი 8.2.ეს მაგალითი პრაქტიკული მნიშვნელობისაა შეცდომის გამოსწორების კოდირების პრობლემებისთვის. იპოვეთ სიგრძის ყველა ორობითი სიტყვის რაოდენობა ნ, არ შეიცავს ზედიზედ რამდენიმე ნულს. ავღნიშნოთ ეს რიცხვი . ცხადია,
, ხოლო 2 სიგრძის სიტყვები, რომლებიც აკმაყოფილებს ჩვენს შეზღუდვას არის: 10, 01, 11, ე.ი.
. დაე იყოს
- სიტყვა ნპერსონაჟები. თუ სიმბოლო
, მაშინ
შეიძლება იყოს თვითნებური (
) - პირდაპირი სიტყვა, რომელიც არ შეიცავს ზედიზედ რამდენიმე ნულს. ასე რომ, სიტყვების რაოდენობა ბოლოში ერთეულით არის
.

თუ სიმბოლო
, მაშინ აუცილებლად
და პირველი
სიმბოლო
შეიძლება იყოს თვითნებური, განხილული შეზღუდვების გათვალისწინებით. აქედან გამომდინარე, არსებობს
სიტყვის სიგრძე ნბოლოს ნულით. ამრიგად, ჩვენთვის საინტერესო სიტყვების საერთო რაოდენობაა

.

იმის გათვალისწინებით, რომ
და
, რიცხვების შედეგად მიღებული თანმიმდევრობა არის ფიბონაჩის რიცხვები.

მაგალითი 8.3.მაგალით 7.6-ში აღმოვაჩინეთ, რომ მუდმივი წონის ორობითი სიტყვების რაოდენობა ტ(და სიგრძე კ) უდრის . ახლა ვიპოვოთ მუდმივი წონის ორობითი სიტყვების რაოდენობა ტ, არ შეიცავს ზედიზედ რამდენიმე ნულს.

შეგიძლია ასე მსჯელობა. დაე იყოს
განსახილველ სიტყვებში ნულების რაოდენობა. ყველა სიტყვას აქვს
ხარვეზები უახლოეს ნულებს შორის, რომელთაგან თითოეული შეიცავს ერთ ან მეტ ერთს. ვარაუდობენ, რომ
. წინააღმდეგ შემთხვევაში, არც ერთი სიტყვა არ არის მიმდებარე ნულების გარეშე.

თუ თითოეული ინტერვალიდან ზუსტად ერთ ერთეულს ამოვიღებთ, მაშინ მივიღებთ სიგრძის სიტყვას
შემცველი ნულები. ნებისმიერი ასეთი სიტყვის მიღება შესაძლებელია მითითებული გზით ზოგიერთიდან (და მხოლოდ ერთიდან) კ- პირდაპირი სიტყვის შემცველი ნულები, რომელთაგან ორი არ არის მიმდებარე. აქედან გამომდინარე, საჭირო რიცხვი ემთხვევა ყველა სიგრძის სიტყვის რაოდენობას
ზუსტად შეიცავს ნულები, ე.ი. უდრის
.

მაგალითი 8.4.დავამტკიცოთ, რომ ჯამი
უდრის ფიბონაჩის რიცხვებს ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის . სიმბოლო
დგას უმცირესი მთელი რიცხვი მეტი ან ტოლი . მაგალითად, თუ
, მაშინ
; და თუ
, მაშინ
ჭერი("ჭერი"). ასევე არის სიმბოლო
, რომელიც დგას უდიდესი მთელი რიცხვი ნაკლები ან ტოლი . ინგლისურად ამ ოპერაციას ე.წ იატაკი ("სართული").

Თუ
, მაშინ
. Თუ
, მაშინ
. Თუ
, მაშინ
.

ამრიგად, განხილული შემთხვევებისთვის, ჯამი მართლაც უდრის ფიბონაჩის რიცხვებს. ჩვენ ახლა ვაძლევთ მტკიცებულებას ზოგადი საქმისთვის. ვინაიდან ფიბონაჩის რიცხვების მიღება შესაძლებელია რეკურსიული განტოლების (8.1) გამოყენებით, ტოლობა უნდა იყოს:

.

და ეს რეალურად აკეთებს:

აქ ჩვენ გამოვიყენეთ ადრე მიღებული ფორმულა (4.4):
.

ფიბონაჩის რიცხვების ჯამი

მოდით განვსაზღვროთ პირველის ჯამი ნფიბონაჩის რიცხვები.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

ადვილი მისახვედრია, რომ თითოეული განტოლების მარჯვენა მხარეს ერთის მიმატებით, ჩვენ კვლავ მივიღებთ ფიბონაჩის რიცხვს. პირველის ჯამის განსაზღვრის ზოგადი ფორმულა ნფიბონაჩის რიცხვებს აქვს ფორმა:

ამას დავამტკიცებთ მათემატიკური ინდუქციის მეთოდით. ამისათვის ჩვენ ვწერთ:

ეს თანხა უნდა იყოს ტოლი
.

განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეების შემცირება –1-ით, მივიღებთ განტოლებას (6.1).

ფიბონაჩის რიცხვების ფორმულა

თეორემა 8.1. ფიბონაჩის რიცხვები შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით

.

მტკიცებულება. მოდით შევამოწმოთ ამ ფორმულის მართებულობა ნ= 0, 1 და შემდეგ ჩვენ ვამტკიცებთ ამ ფორმულის მართებულობას თვითნებობისთვის ნინდუქციით. მოდით გამოვთვალოთ ფიბონაჩის ორი უახლოესი რიცხვის თანაფარდობა:

ჩვენ ვხედავთ, რომ ამ რიცხვების თანაფარდობა მერყეობს 1,618 მნიშვნელობის გარშემო (თუ პირველ რამდენიმე მნიშვნელობას უგულებელვყოფთ). ფიბონაჩის რიცხვების ეს თვისება ჰგავს გეომეტრიული პროგრესიის წევრებს. მიღება
, (
). მერე გამოთქმა

გადაკეთდა

რომელიც გამარტივების შემდეგ ასე გამოიყურება

.

ჩვენ მივიღეთ კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვები ტოლია:

ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ:

(სად გარის მუდმივი). ორივე წევრი და არ მივცეთ ფიბონაჩის რიცხვები, მაგალითად
, ხოლო
. თუმცა, განსხვავება
აკმაყოფილებს რეკურსიულ განტოლებას:

ამისთვის ნ=0 ეს განსხვავება იძლევა , ანუ:
. თუმცა, როცა ნ=1 გვაქვს
. მისაღებად
უნდა იქნას მიღებული:
.

ახლა ჩვენ გვაქვს ორი თანმიმდევრობა: და
, რომელიც იწყება ერთი და იგივე ორი რიცხვით და აკმაყოფილებს იმავე რეკურსიულ ფორმულას. ისინი უნდა იყოს თანაბარი:
. თეორემა დადასტურდა.

მატებასთან ერთად ნწევრი ხდება ძალიან დიდი ხოლო
და წევრის როლი მცირდება განსხვავებაში. ამიტომ, ზოგადად ნშეგვიძლია დავწეროთ დაახლოებით

.

ჩვენ უგულებელყოფთ 1/2-ს (რადგან ფიბონაჩის რიცხვები იზრდება უსასრულობამდე როგორც ნუსასრულობამდე).

დამოკიდებულება
დაურეკა ოქროს რადიო, გამოიყენება მათემატიკის მიღმა (მაგალითად, ქანდაკებასა და არქიტექტურაში). ოქროს თანაფარდობა არის თანაფარდობა დიაგონალსა და მხარეს შორის რეგულარული ხუთკუთხედი(ნახ. 8.1).

ბრინჯი. 8.1. რეგულარული ხუთკუთხედი და მისი დიაგონალები

ოქროს მონაკვეთის აღსანიშნავად, ჩვეულებრივად გამოიყენება ასო
ცნობილი ათენელი მოქანდაკის ფიდიას პატივსაცემად.

მარტივი რიცხვები

ყველა ნატურალური რიცხვი, დიდი, იყოფა ორ კლასად. პირველი მოიცავს რიცხვებს, რომლებსაც აქვთ ზუსტად ორი ბუნებრივი გამყოფი, ერთი და თავად, მეორე მოიცავს ყველა დანარჩენს. იწოდება პირველი კლასის ნომრები მარტივიდა მეორე შემადგენელი. მარტივი რიცხვები პირველი სამი ათეულის ფარგლებში: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

მარტივი რიცხვების თვისებები და მათი კავშირი ყველა ნატურალურ რიცხვთან შეისწავლა ევკლიდემ (ძვ. წ. III ს.). თუ ზედიზედ დაწერთ მარტივ რიცხვებს, ხედავთ, რომ მათი ფარდობითი სიმკვრივე მცირდება. მათგან პირველ ათეულს შეადგენს 4, ანუ 40%, ასი - 25, ე.ი. 25%, ათასზე - 168, ე.ი. 17%-ზე ნაკლები, მილიონზე - 78498, ე.ი. 8%-ზე ნაკლები და ა.შ. თუმცა მათი საერთო რაოდენობა უსასრულოა.

მარტივ რიცხვებს შორის არის ასეთი წყვილი, რომელთა სხვაობა უდრის ორს (ე.წ. უბრალო ტყუპები), მაგრამ ასეთი წყვილების სასრულობა ან უსასრულობა არ არის დადასტურებული.

ევკლიდმა ცხადად ჩათვალა, რომ მხოლოდ მარტივი რიცხვების გამრავლებით, შეიძლება მივიღოთ ყველა ნატურალური რიცხვი და თითოეული ნატურალური რიცხვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი მარტივი რიცხვების ნამრავლად უნიკალური გზით (ფაქტორების რიგითობამდე). ამრიგად, მარტივი რიცხვები ქმნიან ნატურალური რიგის გამრავლების საფუძველს.

მარტივი რიცხვების განაწილების შესწავლამ განაპირობა ალგორითმის შექმნა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ მარტივი რიცხვების ცხრილები. ასეთი ალგორითმია ერატოსთენეს საცერი(ძვ. წ. III საუკუნე). ეს მეთოდი მოიცავს მოცემული მიმდევრობის მთელი რიცხვების გაცრას (მაგალითად, გადაკვეთით).
, რომლებიც იყოფა სულ მცირე ერთ მარტივ რიცხვზე ნაკლები
.

თეორემა 8 . 2 . (ევკლიდეს თეორემა). მარტივი რიცხვების რაოდენობა უსასრულოა.

მტკიცებულება. ევკლიდეს თეორემა მარტივი რიცხვების უსასრულობის შესახებ დადასტურდება ლეონჰარდ ეილერის (1707–1783) მიერ შემოთავაზებული მეთოდით. ეილერმა განიხილა ნამრავლი ყველა მარტივ რიცხვზე გვ:

ზე
. ეს ნამრავლი იყრის თავს და თუ გაფართოვდა, მაშინ, ნატურალური რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლის უნიკალურობის გამო, გამოდის, რომ ის უდრის რიგის ჯამს. , საიდანაც ეილერის იდენტურობა შემდეგია:

.

წლიდან
სერიები მარჯვნივ განსხვავდება (ჰარმონიული სერია), შემდეგ ეილერის იდენტობა გულისხმობს ევკლიდეს თეორემას.

რუსი მათემატიკოსი პ.ლ. ჩებიშევმა (1821-1894) გამოიღო ფორმულა, რომელიც განსაზღვრავს საზღვრებს, რომლებშიც შედის მარტივი რიცხვების რაოდენობა.
, არ აღემატება X:

,

სადაც
,
.

თუ ჩვენს ირგვლივ არსებულ მცენარეებსა და ხეებს დააკვირდებით, ხედავთ, რამდენი ფოთოლი აქვს თითოეულ მათგანს. შორიდან ჩანს, რომ მცენარეებზე ტოტები და ფოთლები შემთხვევით, თვითნებური თანმიმდევრობითაა მოწყობილი. თუმცა, ყველა მცენარეში სასწაულებრივად, მათემატიკურად ზუსტად არის დაგეგმილი, რომელი ტოტი საიდან გაიზრდება, როგორ განლაგდება ტოტები და ფოთლები ღეროსთან ან ღეროსთან. მცენარე გამოჩენის პირველივე დღიდან ზუსტად იცავს ამ კანონებს თავის განვითარებაში, ანუ შემთხვევით არც ერთი ფოთოლი, არც ერთი ყვავილი არ ჩნდება. სანამ მცენარის გამოჩენა უკვე ზუსტად არის დაპროგრამებული. რამდენი ტოტი იქნება მომავალ ხეზე, სად გაიზრდება ტოტები, რამდენი ფოთოლი იქნება თითოეულ ტოტზე და როგორ, რა თანმიმდევრობით განლაგდება ფოთლები. ბოტანიკოსებისა და მათემატიკოსების ერთობლივმა მუშაობამ ნათელი მოჰფინა ამ საოცარ ბუნებრივ მოვლენებს. აღმოჩნდა, რომ ფოთლების ტოტზე განლაგებისას (ფილოტაქსისი), ღეროზე შემობრუნების რაოდენობაში, ციკლში ფოთლების რაოდენობაში ვლინდება ფიბონაჩის სერია და, შესაბამისად, ოქროს მონაკვეთის კანონიც. იჩენს თავს.

თუ ველურ ბუნებაში რიცხვითი ნიმუშების მოძიებას აპირებთ, შეამჩნევთ, რომ ეს რიცხვები ხშირად გვხვდება სხვადასხვა სპირალურ ფორმებში, რომლითაც მცენარეთა სამყარო იმდენად მდიდარია. მაგალითად, ფოთლის კალმები ღეროს სპირალურად უერთდება, რომელიც გადის ორ მეზობელ ფოთოლს შორის: სრული შემობრუნება - თხილში, - მუხაში, - ალვისა და მსხალში, - ტირიფში.

მზესუმზირის, Echinacea purpurea-ს და სხვა მრავალი მცენარის თესლები სპირალურადაა განლაგებული და თითოეული მიმართულებით სპირალების რაოდენობა ფიბონაჩის რიცხვია.

მზესუმზირა, 21 და 34 სპირალი. Echinacea, 34 და 55 სპირალები.

ყვავილების ნათელი, სიმეტრიული ფორმა ასევე ექვემდებარება მკაცრ კანონს.

ბევრ ყვავილს აქვს ფურცლების რაოდენობა - ზუსტად ფიბონაჩის სერიიდან. Მაგალითად:

ირისი, 3 ლეპ. კარაქი, 5 ლეპ. ოქროს ყვავილი, 8 ლეპ. დელფინიუმი,

ვარდკაჭაჭა, 21 ლეპ. ასტერი, 34 ლეპ. გვირილა, 55 ლეპ.

ფიბონაჩის სერია ახასიათებს მრავალი ცოცხალი სისტემის სტრუქტურულ ორგანიზაციას.

ჩვენ უკვე ვთქვით, რომ ფიბონაჩის სერიაში მეზობელი რიცხვების შეფარდება არის რიცხვი φ = 1,618. გამოდის, რომ თავად ადამიანი მხოლოდ ფი ნომრის საწყობია.

ჩვენი სხეულის სხვადასხვა ნაწილების პროპორციები ოქროს თანაფარდობასთან ძალიან ახლოსაა. თუ ეს პროპორციები ემთხვევა ოქროს თანაფარდობის ფორმულას, მაშინ ადამიანის გარეგნობა ან სხეული იდეალურად აგებულად ითვლება. ადამიანის სხეულზე ოქროს ზომების გამოთვლის პრინციპი შეიძლება გამოსახული იყოს დიაგრამის სახით.

მ/მ=1.618

ოქროს მონაკვეთის პირველი მაგალითი ადამიანის სხეულის სტრუქტურაში:

თუ ჭიპის წერტილს ავიღებთ ადამიანის სხეულის ცენტრად, ხოლო ადამიანის ტერფსა და ჭიპის წერტილს შორის, როგორც საზომ ერთეულს, მაშინ ადამიანის სიმაღლე უდრის რიცხვს 1.618.

ადამიანის ხელი

საკმარისია მხოლოდ ახლა ხელისგულები მოგაახლოოთ და ყურადღებით დააკვირდეთ საჩვენებელ თითს და მაშინვე იპოვით მასში ოქროს მონაკვეთის ფორმულას. ჩვენი ხელის თითოეული თითი შედგება სამი ფალანგისგან.
თითის პირველი ორი ფალანგების ჯამი თითის მთელ სიგრძესთან მიმართებაში იძლევა ოქროს თანაფარდობას (ცერის გარდა).

გარდა ამისა, თანაფარდობა შუა თითსა და პატარა თითს შორის ასევე ოქროს თანაფარდობის ტოლია.

ადამიანს აქვს 2 ხელი, თითოეულ ხელზე თითები შედგება 3 ფალანგისგან (ცერის გარდა). თითოეულ ხელს აქვს 5 თითი, ანუ სულ 10, მაგრამ ორი ორფალანგეალური ცერა თითის გარდა, მხოლოდ 8 თითი იქმნება ოქროს თანაფარდობის პრინციპით. მაშინ როცა ყველა ეს რიცხვი 2, 3, 5 და 8 არის ფიბონაჩის მიმდევრობის რიცხვები.

ოქროს თანაფარდობა ადამიანის ფილტვების სტრუქტურაში

ამერიკელი ფიზიკოსი B.D. West და Dr. A.L. გოლდბერგერმა ფიზიკური და ანატომიური კვლევების დროს აღმოაჩინა, რომ ადამიანის ფილტვების სტრუქტურაში ასევე არის ოქროს თანაფარდობა.

ბრონქების თავისებურება, რომლებიც ქმნიან ადამიანის ფილტვებს, მდგომარეობს მათ ასიმეტრიაში. ბრონქები შედგება ორი ძირითადი სასუნთქი გზებისგან, ერთი (მარცხნივ) გრძელი და მეორე (მარჯვნივ) უფრო მოკლე.

აღმოჩნდა, რომ ეს ასიმეტრია გრძელდება ბრონქების ტოტებში, ყველა პატარა სასუნთქ გზებში. უფრო მეტიც, მოკლე და გრძელი ბრონქების სიგრძის თანაფარდობა ასევე ოქროს თანაფარდობაა და უდრის 1:1,618.

მხატვრები, მეცნიერები, მოდის დიზაინერები, დიზაინერები თავიანთ გამოთვლებს, ნახატებს ან ჩანახატებს აკეთებენ ოქროს თანაფარდობის მიხედვით. ისინი იყენებენ გაზომვებს ადამიანის სხეულისგან, ასევე შექმნილია ოქროს განყოფილების პრინციპით. ლეონარდო და ვინჩიმ და ლე კორბუზიემ თავიანთი შედევრების შექმნამდე აიღეს ადამიანის სხეულის პარამეტრები, შექმნილი ოქროს თანაფარდობის კანონის მიხედვით.
არსებობს ადამიანის სხეულის პროპორციების კიდევ ერთი, უფრო პროზაული გამოყენება. მაგალითად, ამ კოეფიციენტების გამოყენებით, კრიმინალური ანალიტიკოსები და არქეოლოგები აღადგენენ მთლიან იერს ადამიანის სხეულის ნაწილების ფრაგმენტებიდან.

ფიბონაჩის თანმიმდევრობა, რომელიც ცნობილი გახდა ფილმით და წიგნით და ვინჩის კოდი, არის რიცხვების სერია, რომელიც გამოიტანა იტალიელმა მათემატიკოსმა ლეონარდო პიზაელმა, რომელიც უფრო ცნობილია თავისი ფსევდონიმით ფიბონაჩი, მეცამეტე საუკუნეში. მეცნიერის მიმდევრებმა შენიშნეს, რომ ფორმულა, რომელსაც ექვემდებარება რიცხვების ეს სერია, ასახავს ჩვენს გარშემო არსებულ სამყაროში და ეხმიანება სხვა მათემატიკურ აღმოჩენებს, რითაც გვიხსნის სამყაროს საიდუმლოების კარს. ამ სტატიაში ჩვენ ავხსნით რა არის ფიბონაჩის თანმიმდევრობა, განვიხილავთ მაგალითებს, თუ როგორ არის ეს ნიმუში ნაჩვენები ბუნებაში და ასევე შევადარებთ მას სხვა მათემატიკურ თეორიებს.

ცნების ფორმულირება და განმარტება

ფიბონაჩის სერია არის მათემატიკური მიმდევრობა, რომლის თითოეული ელემენტი უდრის წინა ორის ჯამს. მიმდევრობის გარკვეული წევრი ავღნიშნოთ როგორც x n. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ფორმულას, რომელიც მოქმედებს მთელი სერიისთვის: x n + 2 \u003d x n + x n + 1. ამ შემთხვევაში, თანმიმდევრობა ასე გამოიყურება: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. შემდეგი რიცხვი იქნება 55, რადგან 21-ისა და 34-ის ჯამი არის 55. და ა.შ. იგივე პრინციპით.

მაგალითები გარემოში

თუ მცენარეს, კერძოდ, ფოთლების გვირგვინს დავაკვირდებით, შევამჩნევთ, რომ ისინი სპირალურად ყვავის. მიმდებარე ფოთლებს შორის იქმნება კუთხეები, რომლებიც, თავის მხრივ, ქმნიან ფიბონაჩის სწორ მათემატიკურ მიმდევრობას. ამ მახასიათებლის წყალობით, ხეზე ამოსული თითოეული ფოთოლი იღებს მაქსიმალურ მზის შუქს და სითბოს.

ფიბონაჩის მათემატიკური თავსატეხი

ცნობილმა მათემატიკოსმა თავისი თეორია გამოცანის სახით წარმოადგინა. ასე ჟღერს. შეგიძლიათ წყვილი კურდღელი ჩადოთ დახურულ სივრცეში, რათა გაიგოთ რამდენი წყვილი კურდღელი დაიბადება ერთ წელიწადში. ამ ცხოველების ბუნების გათვალისწინებით, ის ფაქტი, რომ ყოველთვიურად წყვილს შეუძლია შექმნას ახალი წყვილი და ისინი მზად არიან გამრავლებისთვის, როდესაც ისინი ორ თვეს მიაღწევენ, შედეგად, მან მიიღო თავისი ცნობილი რიცხვების სერია: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 - რომელიც აჩვენებს კურდღლების ახალი წყვილების რაოდენობას ყოველ თვეში.

ფიბონაჩის მიმდევრობა და პროპორციული თანაფარდობა

ამ სერიას აქვს რამდენიმე მათემატიკური ნიუანსი, რომელიც გასათვალისწინებელია. ის, უფრო ნელა და უფრო ნელა (ასიმპტომურად) უახლოვდება, მიდრეკილია გარკვეული პროპორციული ურთიერთობისკენ. მაგრამ ეს ირაციონალურია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის რიცხვი, რომელსაც აქვს ათობითი რიცხვების არაპროგნოზირებადი და უსასრულო მიმდევრობა წილადში. მაგალითად, სერიის ნებისმიერი ელემენტის თანაფარდობა მერყეობს 1.618 ფიგურის გარშემო, ზოგჯერ აღემატება მას, ზოგჯერ აღწევს მას. შემდეგი ანალოგიით უახლოვდება 0.618-ს. რომელიც უკუპროპორციულია 1.618 რიცხვისა. თუ ელემენტებს ერთზე გავყოფთ, მივიღებთ 2.618 და 0.382. როგორც უკვე მიხვდით, ისინი ასევე უკუპროპორციულია. მიღებულ რიცხვებს ფიბონაჩის კოეფიციენტები ეწოდება. ახლა მოდით ავხსნათ, რატომ გავაკეთეთ ეს გამოთვლები.

ოქროს რადიო

ჩვენ გარშემო არსებულ ყველა ობიექტს გარკვეული კრიტერიუმების მიხედვით განვასხვავებთ. ერთ-ერთი მათგანი ფორმაა. ზოგი უფრო მეტად გვხიბლავს, ზოგი ნაკლებად, ზოგი კი საერთოდ არ მოგვწონს. შენიშნა, რომ სიმეტრიული და პროპორციული ობიექტის აღქმა ბევრად უფრო ადვილია ადამიანისთვის და იწვევს ჰარმონიისა და სილამაზის განცდას. მთლიანი სურათი ყოველთვის მოიცავს სხვადასხვა ზომის ნაწილებს, რომლებიც გარკვეულ თანაფარდობაშია ერთმანეთთან. აქედან გამომდინარეობს პასუხი კითხვაზე, თუ რას ჰქვია ოქროს თანაფარდობა. ეს ცნება ნიშნავს მთელისა და ნაწილების თანაფარდობის სრულყოფას ბუნებაში, მეცნიერებაში, ხელოვნებაში და ა.შ. მათემატიკური თვალსაზრისით განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი. აიღეთ ნებისმიერი სიგრძის სეგმენტი და გაყავით ის ორ ნაწილად ისე, რომ პატარა ნაწილი უფრო დიდთან იყოს დაკავშირებული, როგორც ჯამი (მთელი სეგმენტის სიგრძე) უფრო დიდთან. ასე რომ, ავიღოთ ჭრილი თანერთი ზომისთვის. მისი ნაწილი ატოლი იქნება 0,618, მეორე ნაწილი ბთურმე 0,382-ის ტოლია. ამრიგად, ჩვენ ვაკვირდებით ოქროს თანაფარდობის მდგომარეობას. სეგმენტის თანაფარდობა გრომ აუდრის 1.618. და ნაწილების მიმართება გდა ბ- 2.618. ვიღებთ ჩვენთვის უკვე ცნობილ ფიბონაჩის კოეფიციენტებს. ოქროს სამკუთხედი, ოქროს მართკუთხედი და ოქროს კუბოიდი აგებულია იმავე პრინციპით. ასევე აღსანიშნავია, რომ ადამიანის სხეულის ნაწილების პროპორციული თანაფარდობა ახლოსაა ოქროს თანაფარდობასთან.

არის თუ არა ყველაფრის საფუძველი ფიბონაჩის მიმდევრობა?

შევეცადოთ გავაერთიანოთ ოქროს განყოფილების თეორია და იტალიელი მათემატიკოსის ცნობილი სერია. დავიწყოთ პირველი ზომის ორი კვადრატით. შემდეგ ზემოდან დაამატეთ მეორე ზომის კიდევ ერთი კვადრატი. დავხატოთ ერთი და იგივე ფიგურის გვერდით, რომლის სიგრძე უდრის წინა ორი მხარის ჯამს. ანალოგიურად, ჩვენ ვხატავთ მეხუთე ზომის კვადრატს. ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ განაგრძოთ განუსაზღვრელი ვადით, სანამ არ მოგბეზრდებათ. მთავარია, რომ ყოველი მომდევნო კვადრატის გვერდის ზომა უდრის წინა ორის გვერდების ჯამს. ჩვენ ვიღებთ მრავალკუთხედების სერიას, რომელთა გვერდის სიგრძეა ფიბონაჩის რიცხვები. ამ ფიგურებს ფიბონაჩის მართკუთხედები ეწოდება. მოდით გავავლოთ გლუვი ხაზი ჩვენი მრავალკუთხედების კუთხეებში და მივიღოთ ... არქიმედეს სპირალი! ამ მაჩვენებლის საფეხურის ზრდა, როგორც მოგეხსენებათ, ყოველთვის ერთგვაროვანია. თუ თქვენ ჩართავთ ფანტაზიას, მაშინ მიღებული ნიმუში შეიძლება ასოცირებული იყოს თაიგულის ჭურვთან. აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ფიბონაჩის მიმდევრობა არის გარემომცველი სამყაროს ელემენტების პროპორციული, ჰარმონიული თანაფარდობების საფუძველი.

მათემატიკური მიმდევრობა და სამყარო

თუ კარგად დააკვირდებით, მაშინ არქიმედეს სპირალი (სადღაც აშკარად, მაგრამ სადღაც დაფარული) და, შესაბამისად, ფიბონაჩის პრინციპი შეიძლება ნახოთ ადამიანის გარშემო არსებულ ბევრ ნაცნობ ბუნებრივ ელემენტში. მაგალითად, იგივე ნაჭუჭი, ჩვეულებრივი ბროკოლის ყვავილები, მზესუმზირის ყვავილი, წიწვოვანი მცენარის კონუსი და ა.შ. თუ უფრო შორს გავიხედავთ, დავინახავთ ფიბონაჩის მიმდევრობას უსასრულო გალაქტიკებში. ბუნებით შთაგონებული და მისი ფორმების მიმღები ადამიანიც კი ქმნის ობიექტებს, რომლებშიც ზემოაღნიშნული სერიების მიკვლევა შესაძლებელია. დროა გავიხსენოთ ოქროს განყოფილება. ფიბონაჩის შაბლონთან ერთად, ამ თეორიის პრინციპებია მიკვლეული. არსებობს ვერსია, რომ ფიბონაჩის მიმდევრობა ბუნების ერთგვარი გამოცდაა ოქროს თანაფარდობის უფრო სრულყოფილ და ფუნდამენტურ ლოგარითმულ მიმდევრობასთან ადაპტაციისთვის, რომელიც თითქმის იდენტურია, მაგრამ დასაწყისი არ აქვს და უსასრულოა. ბუნების ნიმუში ისეთია, რომ მას უნდა ჰქონდეს თავისი ამოსავალი წერტილი, საიდანაც უნდა დაეყრდნოს რაიმე ახლის შექმნას. ფიბონაჩის სერიის პირველი ელემენტების თანაფარდობა შორს არის ოქროს თანაფარდობის პრინციპებისგან. თუმცა, რაც უფრო გავაგრძელებთ, მით უფრო იშლება ეს შეუსაბამობა. თანმიმდევრობის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი სამი ელემენტი, რომლებიც ერთმანეთს მიჰყვება. ოქროს თანმიმდევრობისთვის ორი საკმარისია. ვინაიდან ეს არის როგორც არითმეტიკული, ასევე გეომეტრიული პროგრესია.

დასკვნა

და მაინც, ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, შეიძლება დავსვათ საკმაოდ ლოგიკური კითხვები: "საიდან გაჩნდა ეს რიცხვები? ვინ არის მთელი მსოფლიოს მოწყობილობის ავტორი, რომელიც ცდილობდა მისი იდეალური გახადა? ყოველთვის ყველაფერი ისე იყო, როგორც მას სურდა? თუ ასეა. რატომ მოხდა მარცხი? რა იქნება შემდეგ? ერთ კითხვაზე პასუხის პოვნა, თქვენ მიიღებთ შემდეგს. მოაგვარეთ - გამოჩნდება კიდევ ორი. თუ მათ გადაჭრით, მიიღებთ კიდევ სამს. მათთან გამკლავების შემდეგ, თქვენ მიიღებთ ხუთ გადაუჭრელ. მერე რვა, მერე ცამეტი, ოცდაერთი, ოცდათოთხმეტი, ორმოცდათხუთმეტი...

ფიბონაჩის რიცხვები რიცხვითი მიმდევრობის ელემენტებია.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, რომელშიც ყოველი მომდევნო რიცხვი უდრის წინა ორი რიცხვის ჯამს. სახელი ეწოდა შუა საუკუნეების მათემატიკოსის ლეონარდო პიზას (ან ფიბონაჩის) პატივსაცემად, რომელიც ცხოვრობდა და მუშაობდა როგორც ვაჭარი და მათემატიკოსი იტალიის ქალაქ პიზაში. ის თავისი დროის ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი ევროპელი მეცნიერია. მის უდიდეს მიღწევებს შორისაა არაბული ციფრების შემოღება რომაული ციფრების შემცვლელად. Fn=Fn-1+Fn-2

მათემატიკური სერია ასიმპტომურად (ანუ უფრო და უფრო ნელა უახლოვდება) მიდრეკილია მუდმივი თანაფარდობისკენ. თუმცა, ეს დამოკიდებულება ირაციონალურია; მას აქვს ათწილადი მნიშვნელობების გაუთავებელი, არაპროგნოზირებადი თანმიმდევრობა მის შემდეგ. ვერასდროს შეიძლება ზუსტად გამოხატოს. თუ თითოეული რიცხვი, რომელიც არის სერიის ნაწილი, იყოფა წინა მნიშვნელობაზე (მაგალითად, 13-^8 ან 21-FROM), მოქმედების შედეგი გამოიხატება თანაფარდობით, რომელიც მერყეობს ირაციონალური რიცხვის გარშემო 1.61803398875, ოდნავ მეტი ან ოდნავ ნაკლები სერიის მეზობელ კოეფიციენტებზე. თანაფარდობა არასოდეს იქნება, განუსაზღვრელი ვადით, ზუსტი ბოლო ციფრამდე (თუნდაც ჩვენს დროში აშენებული ყველაზე ძლიერი კომპიუტერებით). მოკლედ რომ ვთქვათ ფიბონაჩის თანაფარდობად გამოვიყენებთ რიცხვს 1.618 და ვთხოვთ მკითხველს არ დაივიწყონ ეს შეცდომა.

ფიბონაჩის რიცხვები ასევე მნიშვნელოვანია ანალიზის განხორციელებისას.ევკლიდის ალგორითმი ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის დასადგენად. ფიბონაჩის რიცხვები მოდის პასკალის სამკუთხედის დიაგონალური ფორმულიდან (ბინომიური კოეფიციენტები).

ფიბონაჩის რიცხვები დაკავშირებულია ოქროს თანაფარდობასთან.

ოქროს თანაფარდობა ცნობილი იყო ძველ ეგვიპტეში და ბაბილონში, ინდოეთსა და ჩინეთში. რა არის "ოქროს განყოფილება"? პასუხი ჯერჯერობით უცნობია. ფიბონაჩის რიცხვები ნამდვილად აქტუალურია ჩვენი დროის პრაქტიკის თეორიისთვის. მნიშვნელობის ზრდა მოხდა მე-20 საუკუნეში და გრძელდება დღემდე. ფიბონაჩის რიცხვების გამოყენებამ ეკონომიკასა და კომპიუტერულ მეცნიერებაში მიიპყრო ხალხის მასა მათი შესწავლისკენ.

ჩემი კვლევის მეთოდოლოგია შეადგენდა სპეციალიზებული ლიტერატურის შესწავლას და მიღებული ინფორმაციის შეჯამებას, ასევე საკუთარი კვლევის ჩატარებას და რიცხვების თვისებების და მათი გამოყენების სფეროს განსაზღვრას.

სამეცნიერო კვლევის დროს მან დაადგინა ფიბონაჩის რიცხვების კონცეფცია, მათი თვისებები. ასევე გავარკვიე საინტერესო ნიმუშები ველურ ბუნებაში, უშუალოდ მზესუმზირის თესლის სტრუქტურაში.

მზესუმზირაზე თესლი სპირალურად დგას, ხოლო სხვა მიმართულებით მიმავალი სპირალების რაოდენობა განსხვავებულია - ისინი თანმიმდევრული ფიბონაჩის რიცხვებია.

ამ მზესუმზირას აქვს 34 და 55.

იგივე შეინიშნება ანანასის ნაყოფზე, სადაც 8 და 14 სპირალია.სიმინდის ფოთლები ფიბონაჩის რიცხვების უნიკალურ თვისებას უკავშირდება.

a/b ფორმის ფრაქციები, რომლებიც შეესაბამება მცენარის ღეროს ფეხების ფოთლების ხვეული განლაგებას, ხშირად წარმოადგენს ფიბონაჩის თანმიმდევრული რიცხვების თანაფარდობას. თხილისთვის ეს თანაფარდობაა 2/3, მუხისთვის 3/5, ვერხვისთვის 5/8, ტირიფისთვის 8/13 და ა.შ.

მცენარის ღეროზე ფოთლების განლაგების გათვალისწინებით, ჩანს, რომ თითოეულ წყვილ ფოთლებს შორის (A და C) მესამე მდებარეობს ოქროს თანაფარდობის ადგილზე (B).

ფიბონაჩის რიცხვის კიდევ ერთი საინტერესო თვისება არის ის, რომ ნებისმიერი ორი განსხვავებული ფიბონაჩის რიცხვის პროდუქტი და კოეფიციენტი, გარდა ერთისა, არასოდეს არის ფიბონაჩის რიცხვი.

კვლევის შედეგად მივედი შემდეგ დასკვნამდე: ფიბონაჩის რიცხვები უნიკალური არითმეტიკული პროგრესიაა, რომელიც გაჩნდა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მე-13 საუკუნეში. ეს პროგრესი არ კარგავს აქტუალობას, რაც დადასტურდა ჩემი კვლევის დროს. ფიბონაჩის რიცხვი ასევე გვხვდება პროგრამირებაში და ეკონომიკურ პროგნოზებში, ფერწერაში, არქიტექტურასა და მუსიკაში. ისეთი ცნობილი მხატვრების ნახატები, როგორებიც არიან ლეონარდო და ვინჩი, მიქელანჯელო, რაფაელი და ბოტიჩელი, მალავს ოქროს მონაკვეთის მაგიას. შიშკინმაც კი გამოიყენა ოქროს თანაფარდობა თავის ნახატში "Pine Grove".

ძნელი დასაჯერებელია, მაგრამ ოქროს თანაფარდობა ასევე გვხვდება ისეთი დიდი კომპოზიტორების მუსიკალურ ნაწარმოებებში, როგორებიცაა მოცარტი, ბეთჰოვენი, შოპენი და ა.შ.

ფიბონაჩის რიცხვები ასევე გვხვდება არქიტექტურაში. მაგალითად, ოქროს თანაფარდობა გამოიყენეს პართენონისა და ღვთისმშობლის ტაძრის მშენებლობაში.

აღმოვაჩინე, რომ ფიბონაჩის რიცხვები გამოიყენება ჩვენს მხარეშიც. მაგალითად, სახლების ფირფიტები, ღობეები.

ნაწარმოების ტექსტი განთავსებულია გამოსახულების და ფორმულების გარეშე.
ნამუშევრის სრული ვერსია ხელმისაწვდომია ჩანართში "სამუშაო ფაილები" PDF ფორმატში

შესავალი

მათემატიკის ყველაზე მაღალი მიზანი არის ფარული წესრიგის პოვნა ქაოსში, რომელიც ჩვენს გარშემოა.

ვინერ ნ.

ადამიანი მთელი ცხოვრება ცოდნისკენ მიისწრაფვის, ცდილობს შეისწავლოს მის გარშემო არსებული სამყარო. დაკვირვების პროცესში კი მას აქვს კითხვები, რომლებზეც პასუხის გაცემაა საჭირო. პასუხები ნაპოვნია, მაგრამ ჩნდება ახალი კითხვები. არქეოლოგიურ აღმოჩენებში, ცივილიზაციის კვალში, ერთმანეთისგან დროთა და სივრცეში დაშორებული, გვხვდება ერთი და იგივე ელემენტი - ნიმუში სპირალის სახით. ზოგი მას მზის სიმბოლოდ მიიჩნევს და ლეგენდარულ ატლანტიდას უკავშირებს, მაგრამ მისი ნამდვილი მნიშვნელობა უცნობია. რა საერთო აქვთ გალაქტიკისა და ატმოსფერული ციკლონის ფორმებს, ღეროზე ფოთლების განლაგებას და მზესუმზირის თესლებს? ეს ნიმუშები მოდის ეგრეთ წოდებულ „ოქროს“ სპირალამდე, გასაოცარ ფიბონაჩის მიმდევრობამდე, რომელიც აღმოაჩინა მე-13 საუკუნის დიდმა იტალიელმა მათემატიკოსმა.

ფიბონაჩის ნომრების ისტორია

პირველად რა არის ფიბონაჩის რიცხვები, გავიგე მათემატიკის მასწავლებლისგან. მაგრამ, გარდა ამისა, როგორ ყალიბდება ამ რიცხვების თანმიმდევრობა, არ ვიცოდი. ამით არის რეალურად ცნობილი ეს თანმიმდევრობა, როგორ მოქმედებს ადამიანზე და მინდა გითხრათ. ლეონარდო ფიბონაჩის შესახებ ცოტა რამ არის ცნობილი. მისი დაბადების ზუსტი თარიღიც კი არ არსებობს. ცნობილია, რომ იგი დაიბადა 1170 წელს, იტალიის ქალაქ პიზაში, ვაჭრის ოჯახში. ფიბონაჩის მამა ხშირად იყო ალჟირში ბიზნესის გამო, ლეონარდო კი მათემატიკას იქ არაბ მასწავლებლებთან ერთად სწავლობდა. შემდგომში მან დაწერა რამდენიმე მათემატიკური ნაშრომი, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია „აბაკუსის წიგნი“, რომელიც შეიცავს იმ დროის თითქმის ყველა არითმეტიკულ და ალგებრულ ინფორმაციას. 2

ფიბონაჩის რიცხვები არის რიცხვების თანმიმდევრობა მთელი რიგი თვისებებით. ფიბონაჩის ეს რიცხვითი თანმიმდევრობა შემთხვევით აღმოაჩინა, როცა 1202 წელს კურდღლების შესახებ პრაქტიკული პრობლემის გადაჭრა სცადა. „ვიღაცამ მოათავსა წყვილი კურდღელი გარკვეულ ადგილას, ყველა მხრიდან კედლით შემოსაზღვრული, რათა გაერკვია, რამდენი წყვილი კურდღელი დაიბადება წლის განმავლობაში, თუ კურდღლის ბუნება ისეთია, რომ ერთ თვეში წყვილი. კურდღელი შობს მეორე წყვილს, ხოლო კურდღლები მშობიარობენ მისი დაბადებიდან მეორე თვიდან. პრობლემის გადაჭრისას მან გაითვალისწინა, რომ კურდღლის თითოეული წყვილი სიცოცხლის განმავლობაში კიდევ ორ წყვილს შობს, შემდეგ კი კვდება. ასე გაჩნდა რიცხვების თანმიმდევრობა: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... ამ მიმდევრობაში ყოველი შემდეგი რიცხვი უდრის წინა ორის ჯამს. მას ფიბონაჩის თანმიმდევრობა ჰქვია. მიმდევრობის მათემატიკური თვისებები

მსურდა ამ თანმიმდევრობის შესწავლა და დავადგინე მისი ზოგიერთი თვისება. ამ წესს დიდი მნიშვნელობა აქვს. თანმიმდევრობა ნელ-ნელა უახლოვდება რაღაც მუდმივ თანაფარდობას დაახლოებით 1,618, ხოლო ნებისმიერი რიცხვის თანაფარდობა შემდეგთან არის დაახლოებით 0,618.

შეიძლება შეამჩნიოთ ფიბონაჩის რიცხვების რამდენიმე კურიოზული თვისება: ორი მეზობელი რიცხვი არის თანაპრიმი; ყოველი მესამე რიცხვი ლუწია; ყოველი მეთხუთმეტე მთავრდება ნულით; ყოველი მეოთხე არის სამის ნამრავლი. თუ ფიბონაჩის მიმდევრობიდან აირჩევთ რომელიმე 10 მეზობელ რიცხვს და შეკრებთ მათ, ყოველთვის მიიღებთ რიცხვს, რომელიც არის 11-ის ჯერადი. მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის. თითოეული ჯამი უდრის რიცხვს 11 გამრავლებული მოცემული მიმდევრობის მეშვიდე წევრზე. და აქ არის კიდევ ერთი საინტერესო თვისება. ნებისმიერი n-სთვის, მიმდევრობის პირველი n წევრის ჯამი ყოველთვის ტოლი იქნება მიმდევრობის (n + 2) -მეა და პირველი წევრის სხვაობის. ეს ფაქტი შეიძლება გამოიხატოს ფორმულით: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. ახლა გვაქვს შემდეგი ხრიკი: ვიპოვოთ ყველა წევრის ჯამი.

მიმდევრობით ორ მოცემულ წევრს შორის, საკმარისია შესაბამისი (n+2)-x წევრების სხვაობის პოვნა. მაგალითად, 26 + ... + a 40 \u003d a 42 - a 27. ახლა ვეძებთ კავშირი ფიბონაჩის, პითაგორასა და „ოქროს მონაკვეთს“ შორის. კაცობრიობის მათემატიკური გენიოსის ყველაზე ცნობილი მტკიცებულებაა პითაგორას თეორემა: ნებისმიერ მართკუთხა სამკუთხედში, ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის მისი ფეხების კვადრატების ჯამს: c 2 \u003d b 2 + a 2. გეომეტრიული თვალსაზრისით მართკუთხა სამკუთხედის ყველა გვერდი შეგვიძლია მივიჩნიოთ მათზე აგებული სამი კვადრატის გვერდებად. პითაგორას თეორემა ამბობს, რომ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხებზე აგებული კვადრატების მთლიანი ფართობი უდრის ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის ფართობს. თუ მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები მთელი რიცხვებია, მაშინ ისინი ქმნიან სამი რიცხვის ჯგუფს, რომელსაც პითაგორას სამეულები ეწოდება. ფიბონაჩის მიმდევრობის გამოყენებით შეგიძლიათ იპოვოთ ასეთი სამეულები. აიღეთ ნებისმიერი ოთხი თანმიმდევრული რიცხვი მიმდევრობიდან, მაგალითად, 2, 3, 5 და 8 და ააგეთ კიდევ სამი რიცხვი შემდეგნაირად: 1) ორი უკიდურესი რიცხვის ნამრავლი: 2*8=16; 2) ორმაგი ნამრავლი ორი რიცხვი შუაში: 2* (3 * 5) \u003d 30; 3) ორი საშუალო რიცხვის კვადრატების ჯამი: 3 2 +5 2 \u003d 34; 34 2 =30 2 +16 2 . ეს მეთოდი მუშაობს ნებისმიერი ოთხი ზედიზედ ფიბონაჩის რიცხვზე. პროგნოზირებადია, ფიბონაჩის სერიის ნებისმიერი სამი ზედიზედ რიცხვი იქცევა პროგნოზირებადი გზით. თუ მათ ორ უკიდურესობას გაამრავლებთ და შედეგს შევადარებთ საშუალო რიცხვის კვადრატს, მაშინ შედეგი ყოველთვის განსხვავდება ერთით. მაგალითად, 5, 8 და 13 რიცხვებისთვის ვიღებთ: 5*13=8 2 +1. თუ ამ თვისებას გეომეტრიის თვალსაზრისით განვიხილავთ, რაღაც უცნაურს შევამჩნევთ. გაყავით მოედანი

ზომა 8x8 (სულ 64 პატარა კვადრატი) ოთხ ნაწილად, რომელთა გვერდების სიგრძე უდრის ფიბონაჩის რიცხვებს. ახლა ამ ნაწილებიდან ჩვენ ავაშენებთ მართკუთხედს ზომით 5x13. მისი ფართობი 65 პატარა კვადრატია. საიდან მოდის დამატებითი კვადრატი? საქმე ისაა, რომ სრულყოფილი მართკუთხედი არ იქმნება, მაგრამ რჩება პაწაწინა ხარვეზები, რაც მთლიანობაში იძლევა ფართობის ამ დამატებით ერთეულს. პასკალის სამკუთხედს ასევე აქვს კავშირი ფიბონაჩის მიმდევრობასთან. თქვენ უბრალოდ უნდა დაწეროთ პასკალის სამკუთხედის ხაზები ერთმანეთის ქვეშ და შემდეგ დაამატოთ ელემენტები დიაგონალურად. მიიღეთ ფიბონაჩის თანმიმდევრობა.

ახლა განვიხილოთ "ოქროს" მართკუთხედი, რომლის ერთი მხარე მეორეზე 1,618-ჯერ გრძელია. ერთი შეხედვით, ის შეიძლება ჩვეულებრივ ოთხკუთხედად მოგვეჩვენოს. თუმცა, მოდით გავაკეთოთ მარტივი ექსპერიმენტი ორი ჩვეულებრივი საბანკო ბარათით. ერთი ჰორიზონტალურად დავდოთ, მეორე ვერტიკალურად ისე, რომ მათი ქვედა მხარეები ერთ ხაზზე იყოს. თუ ჰორიზონტალურ რუკაზე დიაგონალურ ხაზს გავავლებთ და გავაგრძელებთ, დავინახავთ, რომ ის ზუსტად ვერტიკალური რუკის ზედა მარჯვენა კუთხეში გაივლის - სასიამოვნო სიურპრიზი. შესაძლოა, ეს უბედური შემთხვევაა, ან შესაძლოა ასეთი ოთხკუთხედები და სხვა გეომეტრიული ფიგურები „ოქროს თანაფარდობის“ გამოყენებით განსაკუთრებით სასიამოვნო იყოს თვალისთვის. ფიქრობდა თუ არა ლეონარდო და ვინჩი ოქროს თანაფარდობაზე თავის შედევრზე მუშაობისას? ეს ნაკლებად სავარაუდოა. თუმცა, შეიძლება ითქვას, რომ იგი დიდ მნიშვნელობას ანიჭებდა ესთეტიკისა და მათემატიკის კავშირს.

ფიბონაჩის რიცხვები ბუნებაში

ოქროს მონაკვეთის სილამაზესთან კავშირი მხოლოდ ადამიანის აღქმის საქმე არ არის. როგორც ჩანს, ბუნებამ განსაკუთრებული როლი დაუთმო ფ. თუ კვადრატები თანმიმდევრულად არის ჩაწერილი „ოქროს“ მართკუთხედში, მაშინ თითოეულ კვადრატში იხაზება რკალი, მაშინ მიიღება ელეგანტური მრუდი, რომელსაც ლოგარითმული სპირალი ეწოდება. ეს საერთოდ არ არის მათემატიკური კურიოზი. 5

პირიქით, ეს მშვენიერი ხაზი ხშირად გვხვდება ფიზიკურ სამყაროში: ნაუტილუსის ჭურვიდან გალაქტიკების მკლავებამდე და სრულფასოვანი ვარდის ფურცლების ელეგანტურ სპირალში. კავშირები ოქროს თანაფარდობასა და ფიბონაჩის რიცხვებს შორის მრავალრიცხოვანი და მოულოდნელია. განვიხილოთ ყვავილი, რომელიც ძალიან განსხვავდება ვარდისგან - მზესუმზირა თესლით. პირველი, რასაც ვხედავთ, არის ის, რომ თესლები განლაგებულია ორ სახის სპირალურად: საათის ისრის მიმართულებით და ისრის საწინააღმდეგოდ. თუ ჩვენ დავთვლით საათის ისრის მიმართულებით სპირალებს, მივიღებთ ორ ერთი შეხედვით ჩვეულებრივ რიცხვს: 21 და 34. ეს არ არის ერთადერთი მაგალითი, როდესაც მცენარეთა სტრუქტურაში ფიბონაჩის რიცხვების პოვნა შეგიძლიათ.

ბუნება გვაძლევს ფიბონაჩის რიცხვებით აღწერილი ერთგვაროვანი ობიექტების განლაგების უამრავ მაგალითს. მცენარის მცირე ნაწილების სხვადასხვა სპირალურ მოწყობაში ჩვეულებრივ ჩანს სპირალების ორი ოჯახი. ერთ-ერთ ასეთ ოჯახში სპირალები ხვეული საათის ისრის მიმართულებით, ხოლო მეორეში - საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. ერთი და მეორე ტიპის სპირალური რიცხვები ხშირად აღმოჩნდება მეზობელი ფიბონაჩის რიცხვები. ასე რომ, ახალგაზრდა ფიჭვის ყლორტის აღებით, ადვილი შესამჩნევია, რომ ნემსები ქმნიან ორ სპირალს, რომლებიც მიდიან ქვემოდან მარცხნიდან მარჯვნივ ზემოთ. ბევრ გირჩზე თესლი განლაგებულია სამ სპირალურად, ნაზად ტრიალებს კონუსის ღეროს გარშემო. ისინი განლაგებულია ხუთ სპირალურად, ციცაბო ხვეული საპირისპირო მიმართულებით. დიდ კონუსებში შესაძლებელია 5 და 8 და 8 და 13 სპირალის დაკვირვებაც კი. ფიბონაჩის სპირალები ასევე აშკარად ჩანს ანანასზე: ჩვეულებრივ არის 8 და 13.

ვარდკაჭაჭას გასროლა ძლიერ ამოფრქვევს სივრცეში, ჩერდება, ათავისუფლებს ფოთოლს, მაგრამ უკვე უფრო მოკლეა, ვიდრე პირველი, ისევ აფრქვევს სივრცეში, მაგრამ ნაკლები ძალით, ათავისუფლებს კიდევ უფრო პატარა ფოთოლს და ისევ ამოფრქვევს. მისი ზრდის იმპულსები თანდათან მცირდება "ოქროს" მონაკვეთის პროპორციულად. ფიბონაჩის რიცხვების უზარმაზარი როლის შესაფასებლად, უბრალოდ შეხედეთ ჩვენს გარშემო არსებულ ბუნების სილამაზეს. ფიბონაჩის რიცხვები შეიძლება მოიძებნოს რაოდენობით

ტოტები თითოეული მზარდი მცენარის ღეროზე და ფურცლების რაოდენობით.

დავთვალოთ რამდენიმე ყვავილის ფურცლები - ზამბახი თავისი 3 ფურცლით, პრაიმროსი 5 ფურცლით, ამბროზია 13 ფურცლით, გვირილა 34 ფურცლით, ასტერი 55 ფურცლით და ა.შ. ეს დამთხვევაა თუ ბუნების კანონი? შეხედეთ იაროს ღეროებსა და ყვავილებს. ამრიგად, მთლიან ფიბონაჩის თანმიმდევრობას ადვილად შეუძლია ბუნებაში ნაპოვნი "ოქროს" რიცხვების გამოვლინების ნიმუშის ინტერპრეტაცია. ეს კანონები მოქმედებს ჩვენი ცნობიერებისა და მათი მიღებისა თუ არა მიღების სურვილის მიუხედავად. "ოქროს" სიმეტრიის ნიმუშები გამოიხატება ელემენტარული ნაწილაკების ენერგეტიკულ გადასვლებში, ზოგიერთი ქიმიური ნაერთის სტრუქტურაში, პლანეტარული და კოსმოსური სისტემებში, ცოცხალი ორგანიზმების გენურ სტრუქტურებში, ცალკეული ადამიანის ორგანოებისა და სხეულის სტრუქტურაში, როგორც. მთლიანობაში და ასევე ვლინდება ბიორიტმებში და ტვინის ფუნქციონირებაში და ვიზუალურ აღქმაში.

ფიბონაჩის რიცხვები არქიტექტურაში

ოქროს თანაფარდობა ასევე ვლინდება კაცობრიობის ისტორიის მანძილზე მრავალ ღირსშესანიშნავ არქიტექტურულ შემოქმედებაში. გამოდის, რომ ძველმა ბერძენმა და ეგვიპტელმა მათემატიკოსებმაც კი იცოდნენ ეს კოეფიციენტები ფიბონაჩის წინ დიდი ხნით ადრე და მათ "ოქროს მონაკვეთს" უწოდებდნენ. "ოქროს მონაკვეთის" პრინციპი გამოიყენეს ბერძნებმა პართენონის მშენებლობაში, ეგვიპტელები - გიზას დიდი პირამიდა. სამშენებლო ტექნოლოგიების მიღწევებმა და ახალი მასალების განვითარებამ ახალი შესაძლებლობები გაუხსნა მე-20 საუკუნის არქიტექტორებს. ამერიკელი ფრენკ ლოიდ რაიტი იყო ორგანული არქიტექტურის ერთ-ერთი მთავარი მომხრე. სიკვდილამდე ცოტა ხნით ადრე მან დააპროექტა სოლომონ გუგენჰაიმის მუზეუმი ნიუ-იორკში, რომელიც შებრუნებული სპირალია და მუზეუმის ინტერიერი ნაუტილუსის გარსს წააგავს. პოლონურ-ისრაელელმა არქიტექტორმა ზვი ჰეკერმა ასევე გამოიყენა სპირალური კონსტრუქციები ბერლინის ჰაინც გალინსკის სკოლის დიზაინში, რომელიც დასრულდა 1995 წელს. ჰეკერმა დაიწყო მზესუმზირის იდეით ცენტრალური წრე, საიდანაც

ყველა არქიტექტურული ელემენტი განსხვავდება. შენობა არის კომბინაცია

ორთოგონალური და კონცენტრული სპირალები, რომლებიც განასახიერებს შეზღუდული ადამიანის ცოდნის ურთიერთქმედებას და ბუნების კონტროლირებად ქაოსს. მისი არქიტექტურა ბაძავს მცენარეს, რომელიც მიჰყვება მზის მოძრაობას, ამიტომ საკლასო ოთახები განათებულია მთელი დღის განმავლობაში.

Quincy Park-ში, რომელიც მდებარეობს კემბრიჯში, მასაჩუსეტსი (აშშ), ხშირად შეგიძლიათ იპოვოთ "ოქროს" სპირალი. პარკი 1997 წელს დააპროექტა მხატვარმა დევიდ ფილიპსმა და მდებარეობს კლეის მათემატიკურ ინსტიტუტთან ახლოს. ეს დაწესებულება არის მათემატიკური კვლევის ცნობილი ცენტრი. კვინსის პარკში შეგიძლიათ იაროთ „ოქროს“ სპირალებსა და მეტალის მოსახვევებს შორის, ორი ჭურვის რელიეფებსა და კვადრატული ფესვის სიმბოლოს მქონე კლდეს შორის. თეფშზე წერია ინფორმაცია „ოქროს“ პროპორციის შესახებ. ველოსიპედის პარკირებაც კი იყენებს F სიმბოლოს.

ფიბონაჩის რიცხვები ფსიქოლოგიაში

ფსიქოლოგიაში არის შემობრუნების მომენტები, კრიზისები, აჯანყებები, რომლებიც აღნიშნავენ სულის სტრუქტურისა და ფუნქციების გარდაქმნას ადამიანის ცხოვრების გზაზე. თუ ადამიანმა წარმატებით გადალახა ეს კრიზისები, მაშინ ის შეძლებს ახალი კლასის პრობლემების გადაჭრას, რაზეც მანამდე არც კი უფიქრია.

ფუნდამენტური ცვლილებების არსებობა საფუძველს იძლევა სიცოცხლის დრო განიხილოს, როგორც გადამწყვეტი ფაქტორი სულიერი თვისებების განვითარებაში. ყოველივე ამის შემდეგ, ბუნება ჩვენთვის დროს ზომავს არა გულუხვად, „რაც არ უნდა იყოს, იმდენი იქნება“, არამედ იმდენი, რომ განვითარების პროცესი განხორციელდეს:

სხეულის სტრუქტურებში;

გრძნობებში, აზროვნებაში და ფსიქომოტორულში – სანამ არ შეიძენენ ჰარმონიამექანიზმის გაჩენისა და ამოქმედებისთვის აუცილებელია

კრეატიულობა;

ადამიანის ენერგეტიკული პოტენციალის სტრუქტურაში.

სხეულის განვითარება არ შეიძლება შეჩერდეს: ბავშვი ხდება ზრდასრული. კრეატიულობის მექანიზმით ყველაფერი არც ისე მარტივია. მისი განვითარება შეიძლება შეჩერდეს და მიმართულება შეიცვალოს.

არის თუ არა შანსი, რომ დაეწიოს დროს? უეჭველად. მაგრამ ამისათვის თქვენ უნდა გააკეთოთ ბევრი მუშაობა საკუთარ თავზე. ის, რაც თავისუფლად ვითარდება, ბუნებრივია, არ საჭიროებს განსაკუთრებულ ძალისხმევას: ბავშვი თავისუფლად ვითარდება და ვერ ამჩნევს ამ უზარმაზარ შრომას, რადგან თავისუფალი განვითარების პროცესი იქმნება საკუთარი თავის მიმართ ძალადობის გარეშე.

როგორ ესმით ცხოვრების გზის მნიშვნელობა ყოველდღიურ ცნობიერებაში? მკვიდრი ამას ასე ხედავს: ძირში - დაბადება, ზევით - სიცოცხლის პრაიმერი, შემდეგ კი - ყველაფერი დაღმართზე მიდის.

ბრძენი იტყვის: ყველაფერი ბევრად უფრო რთულია. აღმართს ის ეტაპებად ყოფს: ბავშვობა, მოზარდობა, ახალგაზრდობა... რატომ არის ასე? ცოტას შეუძლია პასუხის გაცემა, თუმცა ყველა დარწმუნებულია, რომ ეს ცხოვრების დახურული, განუყოფელი ეტაპებია.

იმის გასარკვევად, თუ როგორ ვითარდება შემოქმედების მექანიზმი, ვ.ვ. კლიმენკომ გამოიყენა მათემატიკა, კერძოდ ფიბონაჩის რიცხვების კანონები და "ოქროს მონაკვეთის" პროპორცია - ბუნებისა და ადამიანის ცხოვრების კანონები.

ფიბონაჩის რიცხვები ჩვენს ცხოვრებას ყოფს ეტაპებად გატარებული წლების მიხედვით: 0 - ათვლის დასაწყისი - ბავშვი დაიბადა. მას ჯერ კიდევ აკლია არა მხოლოდ ფსიქომოტორული უნარები, აზროვნება, გრძნობები, წარმოსახვა, არამედ ოპერატიული ენერგეტიკული პოტენციალი. ის არის ახალი ცხოვრების დასაწყისი, ახალი ჰარმონია;

1 - ბავშვმა აითვისა სიარული და ითვისებს უშუალო გარემოს;

2 - ესმის მეტყველება და მოქმედებს სიტყვიერი მითითებების გამოყენებით;

3 - მოქმედებს სიტყვის საშუალებით, სვამს კითხვებს;

5 - "მადლის ასაკი" - ფსიქომოტორული, მეხსიერების, წარმოსახვისა და გრძნობების ჰარმონია, რომელიც უკვე აძლევს ბავშვს საშუალებას, მთელი მთლიანობით მოიცვას სამყარო;

8 - გრძნობები გამოდის წინა პლანზე. მათ ემსახურება წარმოსახვა და აზროვნება, მისი კრიტიკულობის ძალებით, მიმართულია ცხოვრების შინაგანი და გარეგანი ჰარმონიის მხარდაჭერაზე;

13 - იწყებს მუშაობას ნიჭის მექანიზმი, რომელიც მიმართულია მემკვიდრეობის პროცესში შეძენილი მასალის გარდაქმნაზე, საკუთარი ნიჭის განვითარებაზე;

21 - შემოქმედების მექანიზმი მიუახლოვდა ჰარმონიულ მდგომარეობას და მცდელობა ხდება ნიჭიერი სამუშაოს შესრულება;

34 - აზროვნების, გრძნობების, წარმოსახვისა და ფსიქომოტორული უნარების ჰარმონია: იბადება ბრწყინვალე მუშაობის უნარი;

55 - ამ ასაკში, სულისა და სხეულის შენარჩუნებული ჰარმონიის დაცვით, ადამიანი მზადაა გახდეს შემოქმედი. და ა.შ…

რა არის ფიბონაჩის სერიფები? ისინი შეიძლება შევადაროთ კაშხლებს სიცოცხლის გზაზე. ეს კაშხლები თითოეულ ჩვენგანს ელის. უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია თითოეული მათგანის გადალახვა, შემდეგ კი მოთმინებით აწიოთ თქვენი განვითარების დონე, სანამ ერთ დღეს ის არ დაიშლება და გზას გაუხსნის შემდეგი თავისუფალი დინებისკენ.

ახლა, როდესაც ჩვენ გვესმის ასაკობრივი განვითარების ამ კვანძოვანი წერტილების მნიშვნელობა, შევეცადოთ გავიგოთ, როგორ ხდება ეს ყველაფერი.

1 წელზებავშვი სწავლობს სიარულს. მანამდე ის სამყაროს თავის წინათ იცნობდა. ახლა ის სამყაროს თავისი ხელებით იცნობს - ადამიანის ექსკლუზიური პრივილეგია. ცხოველი სივრცეში მოძრაობს, ის კი, შემეცნებით, ეუფლება სივრცეს და ეუფლება ტერიტორიას, რომელზეც ცხოვრობს.

2 წელიესმის სიტყვა და მოქმედებს მის შესაბამისად. Ეს ნიშნავს, რომ:

ბავშვი სწავლობს სიტყვების მინიმალურ რაოდენობას - მნიშვნელობებს და მოქმედების ნიმუშებს;

თუმცა არ ყოფს თავს გარემოსგან და ერწყმის გარემოს მთლიანობას,

ამიტომ ის სხვისი მითითებით მოქმედებს. ამ ასაკში ის მშობლებისთვის ყველაზე მორჩილი და სასიამოვნოა. გრძნობის კაციდან ბავშვი მცოდნე ადამიანად იქცევა.

3 წელი- მოქმედება საკუთარი სიტყვის დახმარებით. ამ ადამიანის გამოყოფა გარემოსგან უკვე მოხდა – და ის სწავლობს დამოუკიდებლად მოქმედ პიროვნებას. ამიტომ ის:

შეგნებულად ეწინააღმდეგება გარემოს და მშობლებს, ბაღის აღმზრდელს და ა.შ.

იცის თავისი სუვერენიტეტი და იბრძვის დამოუკიდებლობისთვის;

ცდილობს ახლობელი და ცნობილი ადამიანები დაიმორჩილოს თავის ნებას.

ახლა ბავშვისთვის სიტყვა მოქმედებაა. აქედან იწყება მოქმედი პიროვნება.

5 წელი- მადლის ხანა. ის არის ჰარმონიის პერსონიფიკაცია. თამაშები, ცეკვები, მოხერხებული მოძრაობები - ყველაფერი გაჯერებულია ჰარმონიით, რომელსაც ადამიანი საკუთარი ძალით ცდილობს დაეუფლოს. ჰარმონიული ფსიქომოტორული ხელს უწყობს ახალ მდგომარეობაში მოყვანას. ამიტომ ბავშვი მიმართულია ფსიქომოტორული აქტივობისკენ და ისწრაფვის ყველაზე აქტიური მოქმედებებისკენ.

მგრძნობელობის მუშაობის პროდუქტების მატერიალიზაცია ხორციელდება:

გარემო და საკუთარი თავის ამ სამყაროს ნაწილად ჩვენების უნარი (ჩვენ გვესმის, ვხედავთ, შეხებით, ყნოსვით და ა.შ. - ამ პროცესისთვის მუშაობს ყველა გრძნობის ორგანო);

გარე სამყაროს დიზაინის უნარი, მათ შორის საკუთარი თავი

(მეორე ბუნების შექმნა, ჰიპოთეზები - ხვალ ორივეს გაკეთება, ახალი მანქანის აშენება, პრობლემის გადაჭრა), კრიტიკული აზროვნების, გრძნობებისა და წარმოსახვის ძალებით;

მეორე, ადამიანის მიერ შექმნილი ბუნების, საქმიანობის პროდუქტების შექმნის უნარი (გეგმის განხორციელება, კონკრეტული გონებრივი ან ფსიქომოტორული მოქმედებები კონკრეტულ ობიექტებთან და პროცესებთან).

5 წლის შემდეგ წარმოსახვის მექანიზმი გამოდის წინ და იწყებს დანარჩენზე დომინირებას. ბავშვი აკეთებს გიგანტურ საქმეს, ქმნის ფანტასტიკურ სურათებს და ცხოვრობს ზღაპრებისა და მითების სამყაროში. ბავშვის ფანტაზიის ჰიპერტროფია მოზარდებში გაკვირვებას იწვევს, რადგან ფანტაზია არანაირად არ შეესაბამება რეალობას.

8 წელი- გრძნობები გამოდის წინა პლანზე და გრძნობების საკუთარი საზომები (შემეცნებითი, მორალური, ესთეტიკური) ჩნდება, როდესაც ბავშვი უტყუარად:

აფასებს ცნობილსა და უცნობს;

განასხვავებს მორალურს ამორალურისგან, მორალურს ამორალურისგან;

სილამაზე, რაც საფრთხეს უქმნის სიცოცხლეს, ჰარმონია ქაოსისგან.

13 წლის- კრეატიულობის მექანიზმი იწყებს მუშაობას. მაგრამ ეს არ ნიშნავს რომ ის მუშაობს სრული დატვირთვით. მექანიზმის ერთ-ერთი ელემენტი გამოდის წინა პლანზე და ყველა დანარჩენი ხელს უწყობს მის მუშაობას. თუ განვითარების ამ ასაკობრივ პერიოდშიც შენარჩუნებულია ჰარმონია, რომელიც თითქმის ყოველთვის აღადგენს თავის სტრუქტურას, მაშინ ბავშვი უმტკივნეულოდ მიაღწევს შემდეგ კაშხალს, შეუმჩნევლად გადალახავს მას და იცხოვრებს რევოლუციონერის ასაკში. რევოლუციონერის ასაკში ახალგაზრდობამ უნდა გადადგას ახალი ნაბიჯი წინ: განშორდეს უახლოეს საზოგადოებას და მასში იცხოვროს ჰარმონიული ცხოვრებითა და მოღვაწეობით. ყველას არ შეუძლია გადაჭრას ეს პრობლემა, რომელიც თითოეული ჩვენგანის წინაშე დგას.

21 წლისთუ რევოლუციონერმა წარმატებით გადალახა ცხოვრების პირველი ჰარმონიული მწვერვალი, მაშინ მის ნიჭიერ მექანიზმს შეუძლია შეასრულოს ნიჭიერი.

მუშაობა. გრძნობები (შემეცნებითი, მორალური ან ესთეტიკური) ზოგჯერ ჩრდილავს აზროვნებას, მაგრამ ზოგადად, ყველა ელემენტი მუშაობს ჰარმონიაში: გრძნობები ღიაა სამყაროსთვის და ლოგიკურ აზროვნებას შეუძლია ამ მწვერვალიდან საგნების დასახელება და ზომების პოვნა.

შემოქმედების მექანიზმი, რომელიც ნორმალურად ვითარდება, აღწევს მდგომარეობას, რომელიც საშუალებას აძლევს მას მიიღოს გარკვეული ხილი. ის იწყებს მუშაობას. ამ ასაკში ჩნდება გრძნობების მექანიზმი. როდესაც წარმოსახვა და მისი პროდუქტები ფასდება გრძნობებითა და აზროვნებით, მათ შორის ჩნდება ანტაგონიზმი. გრძნობები იმარჯვებს. ეს უნარი თანდათან იძენს ძალას და ბიჭი იწყებს მის გამოყენებას.

34 წელი- ბალანსი და ჰარმონია, ნიჭის პროდუქტიული ეფექტურობა. აზროვნების, გრძნობებისა და წარმოსახვის ჰარმონია, ფსიქომოტორული უნარები, რომელიც ივსება ოპტიმალური ენერგეტიკული პოტენციალით და მთლიანობაში მექანიზმი - იბადება ბრწყინვალე სამუშაოს შესრულების შესაძლებლობა.

55 წელი- ადამიანს შეუძლია გახდეს შემოქმედი. ცხოვრების მესამე ჰარმონიული მწვერვალი: აზროვნება იმორჩილებს გრძნობების ძალას.

ფიბონაჩის რიცხვები ასახელებს ადამიანის განვითარების ეტაპებს. გაივლის თუ არა ადამიანი ამ გზას გაჩერების გარეშე, ეს დამოკიდებულია მშობლებზე და მასწავლებლებზე, საგანმანათლებლო სისტემაზე და შემდეგ საკუთარ თავზე და იმაზე, თუ როგორ ისწავლის და გადალახავს ადამიანი საკუთარ თავს.

ცხოვრების გზაზე ადამიანი აღმოაჩენს ურთიერთობის 7 ობიექტს:

დაბადების დღედან 2 წლამდე - უშუალო გარემოს ფიზიკური და ობიექტური სამყაროს აღმოჩენა.

2-დან 3 წლამდე - საკუთარი თავის აღმოჩენა: "მე ვარ მე".

3-დან 5 წლამდე - მეტყველება, სიტყვების ეფექტური სამყარო, ჰარმონია და "მე - შენ" სისტემა.

5-დან 8 წლამდე - სხვა ადამიანების აზრების, გრძნობების და გამოსახულებების სამყაროს აღმოჩენა - "მე - ჩვენ" სისტემა.

8-დან 13 წლამდე - კაცობრიობის გენიოსებისა და ნიჭის მიერ გადაწყვეტილი ამოცანებისა და პრობლემების სამყაროს აღმოჩენა - სისტემა "მე - სულიერება".

13-დან 21 წლამდე - ცნობილი ამოცანების დამოუკიდებლად გადაჭრის უნარის აღმოჩენა, როდესაც აზრები, გრძნობები და ფანტაზია იწყებს აქტიურ მუშაობას, ჩნდება "მე - ნოოსფერო" სისტემა.

21-დან 34 წლამდე - ახალი სამყაროს შექმნის უნარის ან მისი ფრაგმენტების აღმოჩენა - თვითკონცეფციის რეალიზება "მე ვარ შემოქმედი".

ცხოვრების გზას აქვს სივრცე-დროის სტრუქტურა. იგი შედგება ასაკისა და ინდივიდუალური ფაზებისგან, რომლებიც განისაზღვრება ცხოვრების მრავალი პარამეტრით. ადამიანი გარკვეულწილად ეუფლება თავისი ცხოვრების გარემოებებს, ხდება მისი ისტორიის შემოქმედი და საზოგადოების ისტორიის შემქმნელი. თუმცა ცხოვრებისადმი ჭეშმარიტად შემოქმედებითი დამოკიდებულება არ ჩნდება მაშინვე და არც ყველა ადამიანში. არსებობს გენეტიკური კავშირები ცხოვრების გზის ფაზებს შორის და ეს განსაზღვრავს მის ბუნებრივ ხასიათს. აქედან გამომდინარეობს, რომ, პრინციპში, შესაძლებელია მომავალი განვითარების პროგნოზირება მისი ადრეული ფაზების ცოდნის საფუძველზე.

ფიბონაჩის რიცხვები ასტრონომიაში

ასტრონომიის ისტორიიდან ცნობილია, რომ მე-18 საუკუნის გერმანელი ასტრონომი ი.ტიციუსი ფიბონაჩის სერიის გამოყენებით აღმოაჩინა კანონზომიერება და წესრიგი მზის სისტემის პლანეტებს შორის მანძილებში. მაგრამ ერთი შემთხვევა კანონს ეწინააღმდეგებოდა: მარსსა და იუპიტერს შორის პლანეტა არ იყო. მაგრამ ტიციუსის გარდაცვალების შემდეგ XIX საუკუნის დასაწყისში. ცის ამ ნაწილზე კონცენტრირებულმა დაკვირვებამ გამოიწვია ასტეროიდების სარტყლის აღმოჩენა.

დასკვნა

კვლევის პროცესში აღმოვაჩინე, რომ ფიბონაჩის რიცხვები ფართოდ გამოიყენება აქციების ფასების ტექნიკურ ანალიზში. ფიბონაჩის რიცხვების პრაქტიკაში გამოყენების ერთ-ერთი მარტივი გზა არის დროის სიგრძის განსაზღვრა, რომლის შემდეგაც მოხდება მოვლენა, მაგალითად, ფასის ცვლილება. ანალიტიკოსი ითვლის ფიბონაჩის დღეებს ან კვირას (13,21,34,55 და ა.შ.) წინა მსგავსი მოვლენიდან და აკეთებს პროგნოზს. მაგრამ ამის გარკვევა ჩემთვის ძალიან რთულია. მიუხედავად იმისა, რომ ფიბონაჩი შუა საუკუნეების უდიდესი მათემატიკოსი იყო, ფიბონაჩის ერთადერთი ძეგლი არის ქანდაკება პიზის დახრილი კოშკის წინ და ორი ქუჩა, რომლებიც მის სახელს ატარებენ, ერთი პიზაში და მეორე ფლორენციაში. და მაინც, ყველაფერთან დაკავშირებით, რაც მინახავს და წავიკითხე, საკმაოდ ბუნებრივი კითხვები ჩნდება. საიდან გაჩნდა ეს რიცხვები? ვინ არის სამყაროს ეს არქიტექტორი, რომელიც ცდილობდა მის სრულყოფილებას? რა იქნება შემდეგი? ერთ კითხვაზე პასუხის პოვნა, თქვენ მიიღებთ შემდეგს. თუ მოაგვარებ, მიიღებ ორ ახალს. გაუმკლავდეთ მათ, კიდევ სამი გამოჩნდება. მათი გადაჭრის შემდეგ, თქვენ მიიღებთ ხუთ გადაუჭრელს. მერე რვა, ცამეტი და ა.შ. არ დაგავიწყდეთ, რომ ორ ხელზე არის ხუთი თითი, რომელთაგან ორი შედგება ორი ფალანგისგან, რვა კი სამისგან.

ლიტერატურა:

ვოლოშინოვი A.V. „მათემატიკა და ხელოვნება“, მ., განმანათლებლობა, 1992 წ

ვორობიოვი ნ.ნ. „ფიბონაჩის რიცხვები“, მ., ნაუკა, 1984 წ

სტახოვი ა.პ. "და ვინჩის კოდი და ფიბონაჩის სერია", პიტერ ფორმატი, 2006 წ

ფ.კორვალანი „ოქროს თანაფარდობა. სილამაზის მათემატიკური ენა“, მ., დე აგოსტინი, 2014 წ

მაქსიმენკო ს.დ. "ცხოვრების მგრძნობიარე პერიოდები და მათი კოდები".

"ფიბონაჩის რიცხვები". ვიკიპედია