მათემატიკური ფიზიკის ამოცანების შესწავლის ერთ-ერთი მძლავრი საშუალებაა ინტეგრალური გარდაქმნების მეთოდი. დაე, ფუნქცია f(x) განისაზღვროს ინტერვალზე (a, 6), სასრული ან უსასრულო. f(x) ფუნქციის ინტეგრალური ტრანსფორმაცია არის ფუნქცია, სადაც K(x, w) არის მოცემული ტრანსფორმაციისთვის დაფიქსირებული ფუნქცია, რომელსაც ეწოდება ტრანსფორმაციის ბირთვი (ვარაუდობენ, რომ ინტეგრალი (*) არსებობს მისი სწორი ან არასწორი გაგებით. ). §ერთი. ფურიეს ინტეგრალი ნებისმიერი ფუნქცია f(x), რომელიც [-f, I] სეგმენტზე აკმაყოფილებს ფურიეს სერიად გაფართოების პირობებს, ამ სეგმენტზე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ტრიგონომეტრიული სერიით. კოეფიციენტები a* და 6n სერიით (1). ) განისაზღვრება ეილერ-ფურიეს ფორმულით: ფურიეს ტრანსფორმაცია ფურიეს ინტეგრალი კომპლექსური ინტეგრალური ფორმა ფურიეს ტრანსფორმაცია კოსინუსის და სინუსური გარდაქმნები ამპლიტუდა და ფაზის სპექტრები გამოყენების თვისებები სერიები (1) განტოლების მარჯვენა მხარეს შეიძლება დაიწეროს სხვა ფორმით. ამ მიზნით, ჩვენ მასში შევიყვანთ ფორმულებიდან (2) a» და op კოეფიციენტების მნიშვნელობებს, ვაკლებთ ინტეგრალების cos ^ x და sin x ნიშნებს (რაც შესაძლებელია, რადგან ინტეგრაციის ცვლადი არის m) ო) და გამოიყენეთ სხვაობის კოსინუსის ფორმულა. გვექნება თუ ფუნქცია /(x) თავდაპირველად იყო განსაზღვრული რიცხვითი ღერძის ინტერვალზე, რომელიც აღემატება [-1,1] ინტერვალს (მაგალითად, მთელ ღერძზე), მაშინ გაფართოება (3) ამრავლებს მნიშვნელობებს . ამ ფუნქციის მხოლოდ [-1, 1] ინტერვალზე და გაგრძელდება მთელ რეალურ ღერძზე, როგორც პერიოდული ფუნქცია 21-იანი პერიოდით (ნახ. 1). მაშასადამე, თუ ფუნქცია f(x) (ზოგადად, არაპერიოდული) განსაზღვრულია მთელ რეალურ ღერძზე, ფორმულაში (3) შეიძლება სცადოთ ზღვრამდე გადასვლა, როგორც I + oo. ამ შემთხვევაში ბუნებრივია შემდეგი პირობების დაკმაყოფილების მოთხოვნა: 1. f(x) აკმაყოფილებს ფურიეს სერიაში გაფართოების პირობებს Ox\ ღერძის 2-ის ნებისმიერ სასრულ სეგმენტზე. f(x) ფუნქცია აბსოლუტურად არის. ინტეგრირებადი მთელ რეალურ ღერძზე.თუ მე-2 პირობა დაკმაყოფილებულია, ტოლობის (3) მარჯვენა მხარეს პირველი წევრი ნულისკენ მიისწრაფვის როგორც I -* + oo. მართლაც, მოდით შევეცადოთ დავადგინოთ, თუ რამდენამდე წავა ჯამი (3)-ის მარჯვენა მხარეს ლიმიტში, როგორც I + oo. დავუშვათ, რომ მაშინ ჯამი (3)-ის მარჯვენა მხარეს მიიღებს ფორმას. ცვლადი £ შედგენილია ცვლილების (0, + oo) ინტერვალისთვის. ამიტომ, ბუნებრივია იმის მოლოდინი, რომ , ჯამი (5) გადადის С ინტეგრალზე, მეორეს მხრივ, ფიქსირებულისთვის ეს გამომდინარეობს ფორმულიდან (3). ) რომ მივიღოთ ტოლობაც (7) ფორმულის მართებულობის საკმარისი პირობა გამოიხატება შემდეგი თეორემით. თეორემა 1. თუ ფუნქცია f(x) აბსოლუტურად ინტეგრირებადია მთელ რეალურ ღერძზე და მის წარმოებულთან ერთად აქვს პირველი ტიპის უწყვეტობის წერტილების სასრული რაოდენობა ნებისმიერ სეგმენტზე [a, 6], მაშინ მე-ე სახის. /(x) ფუნქციის, ინტეგრალის (7) მარჯვენა მხარეს ტოლია ფორმულა (7) ეწოდება ფურიეს ინტეგრალური ფორმულა, ხოლო მის მარჯვენა მხარეს ინტეგრალი ეწოდება ფურიეს ინტეგრალი. თუ გამოვიყენებთ სხვაობის კოსინუსის დღის ფორმულას, მაშინ ფორმულა (7) შეიძლება დაიწეროს როგორც ფუნქციები a(t), b(t) არის 2n-პერიოდულის შესაბამისი ფურიეს კოეფიციენტების an და bn ანალოგები. ფუნქცია, მაგრამ ეს უკანასკნელი განისაზღვრება n-ის დისკრეტული მნიშვნელობებისთვის, ხოლო a(0 > HO განისაზღვრება G(-oo, +oo) უწყვეტი მნიშვნელობებისთვის. ფურიეს ინტეგრალის რთული ფორმა, ცხადია, უცნაური ფუნქციაა. of But then მეორეს მხრივ, ინტეგრალი არის ცვლადის ლუწი ფუნქცია, ასე რომ, ფურიეს ინტეგრალური ფორმულა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: მოდით გავამრავლოთ ტოლობა წარმოსახვით i ერთეულზე და დავუმატოთ ტოლობას (10). ეს არის ფურიეს ინტეგრალის რთული ფორმა. აქ t-ზე გარე ინტეგრაცია გაგებულია კოშის ძირითადი მნიშვნელობის მნიშვნელობით: § 2. ფურიეს გარდაქმნა კოსინუსი და სინუს ფურიეს გარდაქმნები მოდით ფუნქცია f(x) არის ნაწილებად გლუვი x ღერძის ნებისმიერ სასრულ სეგმენტზე და აბსოლუტურად ინტეგრირებადია მთელ ღერძზე. განმარტება. ფუნქციას, საიდანაც ეილერის ფორმულის მიხედვით გვექნება, ეწოდება f(r) ფუნქციის ფურიეს ტრანსფორმაცია (სპექტრული ფუნქცია). ეს არის ფუნქციის ინტეგრალური ტრანსფორმაცია / (r) ინტერვალზე (-oo, + oo) ბირთვით. ფურიეს ინტეგრალური ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ ეს არის ეგრეთ წოდებული შებრუნებული ფურიეს ტრანსფორმაცია, რომელიც იძლევა გადასვლას F-დან. (t) to / (x). ზოგჯერ პირდაპირი ფურიეს ტრანსფორმაცია მოცემულია შემდეგნაირად: მაშინ შებრუნებული ფურიეს ტრანსფორმაცია განისაზღვრება ფორმულით f(x) ფუნქციის ფურიეს ტრანსფორმაცია ასევე განისაზღვრება შემდეგნაირად: ფურიეს ტრანსფორმაცია ფურიეს ინტეგრალური ინტეგრალური ფურიეს გარდაქმნის კომპლექსური ფორმა კოსინუსი და სინუსი. გარდაქმნის ამპლიტუდის და ფაზის სპექტრის გამოყენების თვისებები შემდეგ, თავის მხრივ, ამ შემთხვევაში, ^ ფაქტორის პოზიცია საკმაოდ თვითნებურია: მას შეუძლია შეიყვანოს ფორმულა (1") ან ფორმულა (2"). მაგალითი 1. იპოვეთ -4 ფუნქციის ფურიეს ტრანსფორმაცია ჩვენ გვაქვს ეს ტოლობა იძლევა დიფერენცირებას £-სთან მიმართებაში ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ (დიფერენციაციის შემდეგ მიღებული ინტეგრალი ერთნაირად იყრის თავს, როცა ( მიეკუთვნება რომელიმე სასრულ სეგმენტს): ნაწილებით ინტეგრირება გვექნება ვიღებთ საიდანაც (C არის ინტეგრაციის მუდმივი). დააყენეთ £ = 0 (4-ში), ჩვენ ვპოულობთ С = F(0). (3)-ის ძალით ჩვენ გვაქვს ცნობილია, რომ კერძოდ, for) ვიღებთ იმას განვიხილოთ ფუნქცია 4. F(t) ფუნქციის oyu სპექტრისთვის ვიღებთ აქედან (ნახ. 2). f(x) ფუნქციის აბსოლუტური ინტეგრადობის პირობა მთელ რეალურ ღერძზე ძალიან მკაცრია. ის გამორიცხავს, ​​მაგალითად, ისეთ ელემენტარულ ფუნქციებს, როგორიცაა f(x) = e1, რომლისთვისაც ფურიეს ტრანსფორმაცია (აქ განხილული კლასიკური ფორმით) არ არსებობს. მხოლოდ იმ ფუნქციებს აქვთ ფურიეს ტრანსფორმაცია, რომლებიც საკმარისად სწრაფად ნულისკენ მიდიან |x|-ისთვის -+ +oo (როგორც მაგალითებში 1 და 2). 2.1. კოსინუსისა და სინუსის ფურიეს გარდაქმნები კოსინუსების ფორმულის გამოყენებით, განსხვავება, გადავწერთ ფურიეს ინტეგრალურ ფორმულას შემდეგი სახით: ვთქვათ f(x) არის ლუწი ფუნქცია. შემდეგ, ისე, რომ ტოლობიდან (5) გვაქვს კენტი f(x) შემთხვევაში, ანალოგიურად ვიღებთ თუ f(x) მოცემულია მხოლოდ (0, -foo-ზე), მაშინ ფორმულა (6) ვრცელდება f(x) მთელ Ox ღერძს ლუწი სახით და ფორმულა (7) - კენტი. (7) განმარტება. ფუნქციას ეწოდება f(x) ფუნქციის კოსინუსური ფურიეს ტრანსფორმაცია. (6)-დან გამომდინარეობს, რომ ლუწი ფუნქციისთვის f(x) ეს ნიშნავს, რომ f(x), თავის მხრივ, არის კოსინუსური ტრანსფორმაცია Fc(t-ისთვის). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფუნქციები / და Fc არის ურთიერთ კოსინუსური გარდაქმნები. განმარტება. ფუნქციას ეწოდება f(x) ფუნქციის სინუს ფურიეს გარდაქმნა. (7)-დან ვიღებთ, რომ კენტი ფუნქციისთვის f(x), ე.ი. f და Fs არის ორმხრივი სინუსური გარდაქმნები. მაგალითი 3 (მართკუთხა პულსი). მოდით f(t) იყოს ლუწი ფუნქცია, რომელიც განისაზღვრება შემდეგნაირად: (ნახ. 3). მიღებული შედეგი გამოვიყენოთ ინტეგრალის გამოსათვლელად (9) ფორმულის ძალით გვაქვს ნახ.3 0 0 t = 0 წერტილში f(t) ფუნქცია უწყვეტია და უდრის ერთს. მაშასადამე, (12")-დან ვიღებთ 2.2. ფურიეს ინტეგრალის ამპლიტუდისა და ფაზის სპექტრები. მოდით f(x) იყოს პერიოდული ფუნქცია 2მ პერიოდით და გაფართოვდეს ფურიეს სერიად. ეს ტოლობა შეიძლება დაიწეროს როგორც მივალთ პერიოდული ფუნქციის ამპლიტუდისა და ფაზური სპექტრის ცნებები არაპერიოდული ფუნქციისთვის f(x) მოცემული (-oo, +oo), გარკვეულ პირობებში, შესაძლებელია მისი წარმოდგენა ფურიეს ინტეგრალით, რომელიც აფართოებს ამ ფუნქციას ყველა სიხშირეზე (გაფართოება უწყვეტი სიხშირის სპექტრში. განმარტება სპექტრული ფუნქცია ან ფურიეს ინტეგრალის სპექტრული სიმკვრივე არის გამოხატულება (f ფუნქციის პირდაპირ ფურიეს ტრანსფორმაციას ეწოდება ამპლიტუდის სპექტრი, ხოლო ფუნქცია Ф " ) = -argSfc) - ფუნქციის ფაზური სპექტრი / ("). ამპლიტუდის სპექტრი A(t) ემსახურება t სიხშირის წვლილის საზომს /(x) ფუნქციაში. მაგალითი 4. იპოვეთ ფუნქციის ამპლიტუდისა და ფაზის სპექტრები 4 იპოვეთ სპექტრული ფუნქცია აქედან ამ ფუნქციების გრაფიკები ნაჩვენებია ნახ. 4. §3. ფურიეს გარდაქმნის თვისებები 1. წრფივობა. თუ და G(0) არის f(x) და q(x) ფუნქციების ფურიეს გარდაქმნები, მაშინ ნებისმიერი მუდმივი a და p ფუნქციის ფურიეს გარდაქმნა f(x) + p g(x) იქნება ფუნქცია. a ინტეგრალის წრფივობის თვისების გამოყენებით მივიღებთ ამდენად, ფურიეს ტრანსფორმაცია არის წრფივი ოპერატორი, რომლის აღნიშვნაც ჩვენ დავწერთ. ღერძი, მაშინ F(t) შემოსაზღვრულია ყველასთვის. დაე, ფუნქცია f(x) იყოს აბსოლუტურად ინტეგრირებადი მთელ ღერძზე - f (x) ფუნქციის ფურიეს ტრანსფორმაცია. შემდეგ 3 "flts J. იყოს f (x) ფუნქცია, რომლის ტოლერანტობა არის ფურიეს ტრანსფორმაცია, L არის თვისებების რაოდენობა. ფუნქციას fh (x) \u003d f (z-h) ეწოდება ფუნდიუმის ცვლა f(x). ფურიეს ტრანსფორმაციის განმარტების გამოყენებით. აჩვენეთ, რომ ამოცანა. მოდით, f(z) ფუნქციას ჰქონდეს ფურიეს ტრანსფორმაცია F(0> h არის რეალური რიცხვი. აჩვენეთ, რომ 3. ფურიეს ტრანსფორმაცია და დიფერენციაცია ოოერეზი. მოდით, აბსოლუტურად ინტეგრირებად ფუნქციას f (x) ჰქონდეს წარმოებული f ". (x), რომელიც ასევე აბსოლუტურად ინტეგრირებადია მთელ ღერძზე ოჰ, ასე რომ /(n) მიდრეკილია ნულისკენ, როგორც |x| -» +ოო. ვივარაუდოთ, რომ f"(x) არის გლუვი ფუნქცია, ჩვენ ვწერთ ინტეგრირება ნაწილებით, გვაქვს ტერმინი ინტეგრალის გარეთ ქრება (რადგან და მივიღებთ ამრიგად, ფუნქციის / (x) დიფერენციაცია შეესაბამება მისი ფურიეს გამრავლებას. სურათი ^ P /] ფაქტორზე თუ f (x) ფუნქციას აქვს გლუვი აბსოლუტურად შეუსაბამო წარმოებულები m-ის ჩათვლით, და ყველა მათგანი, ისევე როგორც თავად f(x) ფუნქცია, მიდრეკილია ნულისკენ და შემდეგ, ინტეგრირება ნაწილების მიხედვით. საჭირო რაოდენობის ჯერ, ჩვენ მივიღებთ ფურიეს ტრანსფორმაციას ძალიან სასარგებლო ზუსტად იმიტომ, რომ ის ცვლის დიფერენციაციის ოპერაციას მნიშვნელობით გამრავლების ოპერაციით და ამით ამარტივებს გარკვეული ტიპის დიფერენციალური განტოლებების ინტეგრაციის პრობლემას. მას შემდეგ, რაც ფურიეს ტრანსფორმაცია აბსოლუტურად ინტეგრირებადი ფუნქცია f^k\x) არის შემოსაზღვრული ფუნქცია (საკუთრება 2), მიმართებიდან (2) ვიღებთ შემდეგ შეფასებას: ფურიეს ტრანსფორმაციის ფურიეს ინტეგრალური რთული ინტეგრალური ფორმის ფურიეს ტრანსფორმაცია კოსინუსისა და სინუსის გარდაქმნები ამპლიტუდა და ფაზური სპექტრები გამოყენების თვისებები ამ შეფასებასთან ერთად შემდეგნაირად: რაც უფრო მეტია f(x) ფუნქციას აქვს აბსოლუტურად ინტეგრირებადი წარმოებულები, მით უფრო სწრაფია მისი ფურიეს ტრანსფორმაცია ნულისკენ. კომენტარი. მდგომარეობა საკმაოდ ბუნებრივია, რადგან ფურიეს ინტეგრალების ჩვეულებრივი თეორია ეხება პროცესებს, რომლებსაც, ამა თუ იმ გაგებით, აქვთ დასაწყისი და დასასრული, მაგრამ განუსაზღვრელი ვადით არ გრძელდება დაახლოებით იგივე ინტენსივობით. 4. კავშირი f(x) ფუნქციის დაშლის სიჩქარეს შორის |z|-ისთვის -» -f oo და მისი Fourm გარდაქმნის სიგლუვეს. დავუშვათ, რომ არა მხოლოდ /(x), არამედ მისი ნამრავლი xf(x) არის აბსოლუტურად ინტეგრირებადი ფუნქცია მთელ x ღერძზე. მაშინ ფურიეს ტრანსფორმაცია) იქნება დიფერენცირებადი ფუნქცია. მართლაც, ფორმალური დიფერენციაცია ინტეგრანის £ პარამეტრთან მიმართებაში იწვევს ინტეგრალს, რომელიც აბსოლუტურად და ერთნაირად კონვერგენტულია პარამეტრთან მიმართებაში. თუ f(x) ფუნქციასთან ერთად ფუნქციები აბსოლუტურად ინტეგრირებადია მთელ Ox ღერძზე, მაშინ დიფერენციაციის პროცესი შეიძლება გაგრძელდეს. ვიღებთ, რომ ფუნქციას აქვს წარმოებულები m-ის ჩათვლით და შესაბამისად, რაც უფრო სწრაფად მცირდება ფუნქცია f(x), მით უფრო გლუვი გამოდის ფუნქცია. თეორემა 2 (ბურღის შესახებ). მოდით იყოს /,(x) და f2(x) ფუნქციების ფურიეს გარდაქმნები. შემდეგ მარჯვენა მხარეს ორმაგი ინტეგრალი აბსოლუტურად ემთხვევა. დავდოთ x. მაშინ გვექნება ან, ინტეგრაციის რიგის შეცვლით, ფუნქციას ეწოდება ფუნქციების კონვოლუცია და აღინიშნა სიმბოლოთი ფორმულა (1) ახლა შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: აქედან ჩანს, რომ კონვოლუციის ფურიეს გარდაქმნა. f\(x) და f2(x) ფუნქციებიდან ტოლია გამრავლებული y/2x-ზე დასაკეცი ფუნქციების ფურიეს გარდაქმნების ნამრავლი, შენიშვნა. მარტივია კონვოლუციის შემდეგი თვისებების დადგენა: 1) წრფივობა: 2) კომუტატიულობა: §4. ფურიეს გარდაქმნის გამოყენება 1. ვთქვათ Р(^) არის m რიგის წრფივი დიფერენციალური ოპერატორი მუდმივი კოეფიციენტებით. y(x) აქვს ფურიეს ტრანსფორმაცია y (O. და ფუნქცია f(x) აქვს ტრანსფორმაცია /(t) ფურიეს ტრანსფორმაციის გამოყენებით (1) განტოლებაზე ვიღებთ დიფერენციალურ ალგებრულ განტოლებას ღერძზე საიდან მიმართებაში ისე, რომ ფორმალურად სადაც სიმბოლო აღნიშნავს შებრუნებულ ფურიეს ტრანსფორმაციას, ამ მეთოდის გამოყენების ძირითადი შეზღუდვა დაკავშირებულია შემდეგთან. ფაქტი: ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი მუდმივი კოეფიციენტებით შეიცავს ფორმის ფუნქციებს< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

მე მჯერა, რომ ყველამ ზოგადად იცის ისეთი შესანიშნავი მათემატიკური ხელსაწყოს არსებობის შესახებ, როგორიცაა ფურიეს ტრანსფორმაცია. თუმცა, უნივერსიტეტებში, რატომღაც, მას ისე ცუდად ასწავლიან, რომ შედარებით ცოტას ესმის, როგორ მუშაობს ეს ტრანსფორმაცია და როგორ უნდა იქნას გამოყენებული სწორად. იმავდროულად, ამ ტრანსფორმაციის მათემატიკა საოცრად ლამაზი, მარტივი და ელეგანტურია. ყველას ვპატიჟებ გაიგოთ ცოტა მეტი ფურიეს ტრანსფორმაციისა და მასთან დაკავშირებული თემის შესახებ, თუ როგორ შეიძლება ანალოგური სიგნალების ეფექტურად გადაქცევა ციფრულ სიგნალებად გამოთვლითი დამუშავებისთვის.

რთული ფორმულებისა და მატლაბის გამოყენების გარეშე, შევეცდები ვუპასუხო შემდეგ კითხვებს:

• FT, DTF, DTFT - რა განსხვავებებია და როგორ იძლევა ერთი შეხედვით სრულიად განსხვავებული ფორმულები ასეთ კონცეპტუალურად მსგავს შედეგებს?
• როგორ სწორად განვსაზღვროთ სწრაფი ფურიეს ტრანსფორმაციის (FFT) შედეგები
• რა უნდა გააკეთოს, თუ მოცემულია 179 ნიმუშის სიგნალი და FFT მოითხოვს სიგრძის თანმიმდევრობას, რომელიც ტოლია ორის სიმძლავრის შესაყვანად
• რატომ, როდესაც ვცდილობთ მივიღოთ სინუსოიდის სპექტრი ფურიეს გამოყენებით, მოსალოდნელი ერთჯერადი „ჯოხის“ ნაცვლად, გრაფაზე გამოდის უცნაური ჩხვლეტა და რა შეიძლება გაკეთდეს ამის შესახებ
• რატომ არის განთავსებული ანალოგური ფილტრები ADC-მდე და DAC-ის შემდეგ
• შესაძლებელია თუ არა ADC სიგნალის დიგიტალიზაცია შერჩევის სიხშირის ნახევარზე მეტი სიხშირით (სკოლის პასუხი არასწორია, სწორი პასუხი შესაძლებელია)
• როგორ აღადგენს ციფრული თანმიმდევრობა თავდაპირველ სიგნალს

მე გამოვიყვან იმ ვარაუდიდან, რომ მკითხველს ესმის რა არის ინტეგრალი, რთული რიცხვი (ასევე მისი მოდული და არგუმენტი), ფუნქციების კონვოლუცია, გარდა ამისა, სულ მცირე „თითებზე“ წარმოიდგენს რა არის დირაკის დელტა ფუნქცია. არ ვიცი - არ აქვს მნიშვნელობა, წაიკითხეთ ზემოთ მოცემული ბმულები. ამ ტექსტში "ფუნქციების ნამრავლში" ყოველთვის ვგულისხმობ "წერტილზე გამრავლებას".

ჩვენ ალბათ უნდა დავიწყოთ იმით, რომ ჩვეულებრივი ფურიეს ტრანსფორმაცია არის ერთგვარი რამ, რომელიც, როგორც სახელიდან მიხვდით, გარდაქმნის ერთ ფუნქციას მეორეში, ანუ ანიჭებს x (t) რეალურ ცვლადის თითოეულ ფუნქციას მის სპექტრს. ან ფურიეს სურათი y (w):

თუ ანალოგიებს ვაძლევთ, მაშინ მნიშვნელობით მსგავსი ტრანსფორმაციის მაგალითი შეიძლება იყოს, მაგალითად, დიფერენციაცია, რომელიც ფუნქციას თავის წარმოებულად აქცევს. ანუ, ფურიეს ტრანსფორმაცია, ფაქტობრივად, იგივე ოპერაციაა, როგორც წარმოებულის აღება, და ის ხშირად აღინიშნება ანალოგიურად, ფუნქციაზე სამკუთხა „ქუდის“ დახატვით. მხოლოდ დიფერენციაციისგან განსხვავებით, რომელიც ასევე შეიძლება განისაზღვროს რეალური რიცხვებისთვის, ფურიეს ტრანსფორმაცია ყოველთვის "მუშაობს" უფრო ზოგად კომპლექსურ რიცხვებთან. ამის გამო, პრობლემები მუდმივად წარმოიქმნება ამ ტრანსფორმაციის შედეგების ჩვენებასთან დაკავშირებით, რადგან რთული რიცხვები განისაზღვრება არა ერთი, არამედ ორი კოორდინატით გრაფიკზე, რომელიც მოქმედებს რეალურ რიცხვებზე. ყველაზე მოსახერხებელი გზა, როგორც წესი, არის კომპლექსური რიცხვების წარმოდგენა მოდულისა და არგუმენტის სახით და ცალ-ცალკე დახაზვა, როგორც ორი ცალკეული გრაფიკი:

რთული მნიშვნელობის არგუმენტის გრაფიკს ამ შემთხვევაში ხშირად მოიხსენიებენ, როგორც "ფაზის სპექტრს", ხოლო მოდულის გრაფიკს ხშირად უწოდებენ "ამპლიტუდის სპექტრს". ამპლიტუდის სპექტრი, როგორც წესი, ბევრად უფრო დიდ ინტერესს იწვევს და, შესაბამისად, სპექტრის "ფაზის" ნაწილი ხშირად გამოტოვებულია. ამ სტატიაში ჩვენ ასევე გავამახვილებთ ყურადღებას "ამპლიტუდის" საგნებზე, მაგრამ არ უნდა დავივიწყოთ გრაფიკის დაკარგული ფაზის ნაწილის არსებობა. გარდა ამისა, რთული მნიშვნელობის ჩვეულებრივი მოდულის ნაცვლად, ხშირად იწერება მისი ლოგარითმი გამრავლებული 10-ზე. შედეგი არის ლოგარითმული ნახაზი, რომელზედაც მნიშვნელობები ნაჩვენებია დეციბელებში (dB).

გთხოვთ, გაითვალისწინოთ, რომ ლოგარითმული გრაფიკის არც თუ ისე მკვეთრად უარყოფითი რიცხვები (-20 dB ან ნაკლები) ამ შემთხვევაში შეესაბამება "ნორმალური" გრაფიკის თითქმის ნულს. ამიტომ, ასეთ გრაფიკებზე სხვადასხვა სპექტრის გრძელი და ფართო "კუდები", როდესაც "ჩვეულებრივ" კოორდინატებშია ნაჩვენები, როგორც წესი, პრაქტიკულად ქრება. ასეთი ერთი შეხედვით უცნაური წარმოდგენის მოხერხებულობა გამომდინარეობს იქიდან, რომ სხვადასხვა ფუნქციის ფურიეს გარდაქმნები ხშირად საჭიროებენ ერთმანეთთან გამრავლებას. რთული მნიშვნელობის ფურიეს გამოსახულებების ასეთი წერტილოვანი გამრავლებით, ემატება მათი ფაზური სპექტრები და მრავლდება მათი ამპლიტუდის სპექტრები. პირველის გაკეთება მარტივია, მეორე კი შედარებით რთული. ამასთან, ამპლიტუდის ლოგარითმები ემატება ამპლიტუდების გამრავლებისას, ამიტომ ლოგარითმული ამპლიტუდის გრაფიკები შეიძლება, ისევე როგორც ფაზის გრაფიკები, უბრალოდ დაემატოს წერტილ-პუნქტს. გარდა ამისა, პრაქტიკულ პრობლემებში ხშირად უფრო მოსახერხებელია მუშაობა არა სიგნალის „ამპლიტუდით“, არამედ მისი „ძალათი“ (ამპლიტუდის კვადრატი). ლოგარითმული მასშტაბით, ორივე გრაფიკი (როგორც ამპლიტუდა, ასევე სიმძლავრე) იდენტურია და განსხვავდება მხოლოდ კოეფიციენტში - სიმძლავრის გრაფიკზე ყველა მნიშვნელობა ზუსტად ორჯერ დიდია, ვიდრე ამპლიტუდის მასშტაბზე. შესაბამისად, სიმძლავრის განაწილების დასახატად სიხშირით (დეციბელებში) ვერაფერს კვადრატში ვერ შეძლებთ, მაგრამ გამოთვალოთ ათობითი ლოგარითმი და გავამრავლოთ 20-ზე.

Მოწყენილი ხარ? დაელოდეთ, კიდევ ცოტათი, სტატიის მოსაწყენი ნაწილით, სადაც განმარტავენ, თუ როგორ უნდა ინტერპრეტაცია ჩართოთ, ჩვენ მალე დავასრულებთ :). მაგრამ მანამდე, ერთი ძალიან მნიშვნელოვანი რამ უნდა გვესმოდეს, რომ მიუხედავად იმისა, რომ ზემოთ მოცემული სპექტრის ნახაზები შედგენილი იყო მნიშვნელობების შეზღუდული დიაპაზონისთვის (კერძოდ, დადებითი რიცხვებისთვის), ყველა ეს ნაკვეთი რეალურად გრძელდება პლუს და მინუს უსასრულობაში. გრაფიკები უბრალოდ აჩვენებს გრაფიკის ზოგიერთ „ყველაზე მნიშვნელოვან“ ნაწილს, რომელიც, როგორც წესი, აისახება პარამეტრის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის და ხშირად მეორდება პერიოდულად გარკვეული ნაბიჯებით, როდესაც უფრო დიდი მასშტაბით არის განხილული.

როდესაც გადავწყვიტეთ რა არის დახატული გრაფიკებზე, დავუბრუნდეთ ფურიეს ტრანსფორმაციას და მის თვისებებს. ამ ტრანსფორმაციის განსაზღვრის რამდენიმე განსხვავებული გზა არსებობს, რომლებიც განსხვავდება მცირე დეტალებით (სხვადასხვა ნორმალიზება). მაგალითად, ჩვენს უნივერსიტეტებში, რატომღაც, ხშირად იყენებენ ფურიეს ტრანსფორმაციის ნორმალიზებას, რომელიც განსაზღვრავს სპექტრს კუთხური სიხშირის მიხედვით (რადიანი წამში). მე გამოვიყენებ უფრო მოსახერხებელ დასავლურ ფორმულირებას, რომელიც განსაზღვრავს სპექტრს ჩვეულებრივი სიხშირის (ჰერცი) მიხედვით. პირდაპირი და შებრუნებული ფურიეს გარდაქმნები ამ შემთხვევაში განისაზღვრება ფორმულებით მარცხნივ, და ამ ტრანსფორმაციის ზოგიერთი თვისება, რომელიც ჩვენ გვჭირდება, არის შვიდი ელემენტის სია მარჯვნივ:

ამ თვისებიდან პირველი არის წრფივობა. თუ ავიღებთ ფუნქციების წრფივ კომბინაციას, მაშინ ამ კომბინაციის ფურიეს გარდაქმნა იქნება ამ ფუნქციების ფურიეს გამოსახულების იგივე წრფივი კომბინაცია. ეს თვისება საშუალებას იძლევა შემცირდეს რთული ფუნქციები და მათი ფურიე გარდაიქმნას უფრო მარტივზე. მაგალითად, სინუსოიდური ფუნქციის ფურიეს ტრანსფორმაცია f სიხშირით და ამპლიტუდით a არის ორი დელტა ფუნქციის კომბინაცია, რომლებიც მდებარეობს f და -f წერტილებში და კოეფიციენტით a/2:

თუ ავიღებთ ფუნქციას, რომელიც შედგება სხვადასხვა სიხშირის მქონე სინუსოიდების სიმრავლის ჯამისაგან, მაშინ, წრფივი თვისების მიხედვით, ამ ფუნქციის ფურიეს გარდაქმნა შედგება დელტა ფუნქციების შესაბამისი სიმრავლისგან. ეს საშუალებას გვაძლევს მივცეთ სპექტრის გულუბრყვილო, მაგრამ ვიზუალური ინტერპრეტაცია პრინციპის მიხედვით „თუ ფუნქციის სპექტრში სიხშირე f შეესაბამება a ამპლიტუდას, მაშინ თავდაპირველი ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც სინუსოიდების ჯამი, რომელთაგან ერთი იქნება იყოს სინუსოიდი f სიხშირით და ამპლიტუდით 2a”. მკაცრად რომ ვთქვათ, ეს ინტერპრეტაცია არასწორია, რადგან დელტა ფუნქცია და წერტილი გრაფიკზე სრულიად განსხვავებული რამ არის, მაგრამ როგორც შემდგომში დავინახავთ, დისკრეტული ფურიეს გარდაქმნები არც ისე შორს იქნება ჭეშმარიტებისგან.

ფურიეს ტრანსფორმაციის მეორე თვისება არის ამპლიტუდის სპექტრის დამოუკიდებლობა სიგნალის დროითი ცვლისგან. თუ ფუნქციას გადავიტანთ მარცხნივ ან მარჯვნივ x-ღერძის გასწვრივ, მაშინ შეიცვლება მხოლოდ მისი ფაზური სპექტრი.

მესამე თვისება - თავდაპირველი ფუნქციის გაჭიმვა (შეკუმშვა) დროის ღერძის გასწვრივ (x) პროპორციულად შეკუმშავს (გაჭიმავს) მის ფურიეს ტრანსფორმაციას სიხშირის შკალის გასწვრივ (w). კერძოდ, სასრული ხანგრძლივობის სიგნალის სპექტრი ყოველთვის უსასრულოდ ფართოა და პირიქით, სასრული სიგანის სპექტრი ყოველთვის შეესაბამება შეუზღუდავი ხანგრძლივობის სიგნალს.

მეოთხე და მეხუთე თვისებები, ალბათ, ყველაზე სასარგებლოა. ისინი შესაძლებელს ხდიან ფუნქციების კონვოლუციის შემცირებას მათი ფურიეს გარდაქმნების წერტილოვან გამრავლებამდე და პირიქით - ფუნქციების წერტილოვანი გამრავლება მათი ფურიეს გარდაქმნების კონვოლუციაზე. ცოტა შემდგომ გაჩვენებთ რამდენად მოსახერხებელია.

მეექვსე თვისება საუბრობს ფურიეს გამოსახულების სიმეტრიაზე. კერძოდ, ამ თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ რეალური მნიშვნელობის ფუნქციის ფურიეს გარდაქმნაში (ანუ ნებისმიერი „რეალური“ სიგნალი) ამპლიტუდის სპექტრი ყოველთვის არის ლუწი ფუნქცია, ხოლო ფაზის სპექტრი (თუ შემცირებულია დიაპაზონში -pi.. .pi) არის უცნაური. სწორედ ამ მიზეზით, სპექტრის დიაგრამებზე სპექტრის ნეგატიური ნაწილი თითქმის არ არის დახატული - რეალური მნიშვნელობის სიგნალებისთვის ის არ იძლევა ახალ ინფორმაციას (მაგრამ, ვიმეორებ, არც ნულოვანია).

და ბოლოს, ბოლო, მეშვიდე თვისება ამბობს, რომ ფურიეს ტრანსფორმაცია ინარჩუნებს სიგნალის „ენერგიას“. მნიშვნელობა აქვს მხოლოდ სასრული ხანგრძლივობის სიგნალებს, რომელთა ენერგია სასრულია და ამბობს, რომ ასეთი სიგნალების სპექტრი უსასრულობაში სწრაფად უახლოვდება ნულს. სწორედ ამ თვისების გამო, როგორც წესი, სპექტრის გრაფიკებზე გამოსახულია სიგნალის მხოლოდ „მთავარი“ ნაწილი, რომელიც ატარებს ენერგიის ლომის წილს - დანარჩენი გრაფიკი უბრალოდ ნულისკენ მიისწრაფვის (მაგრამ ისევ , ეს არ არის ნული).

ამ 7 თვისებით შეიარაღებული, მოდით, გადავხედოთ სიგნალის „გაციფრულების“ მათემატიკას, რათა უწყვეტი სიგნალი ციფრთა თანმიმდევრობით თარგმნოს. ამისათვის ჩვენ უნდა ავიღოთ ფუნქცია, რომელიც ცნობილია როგორც "Dirac Comb":

დირაკის სავარცხელი უბრალოდ არის ერთიანობის დელტას ფუნქციების პერიოდული თანმიმდევრობა, რომელიც იწყება ნულიდან და გრძელდება T ნაბიჯით. სიგნალების ციფრულიზაციისთვის, T არჩეულია რაც შეიძლება პატარა, T.<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:

უწყვეტი ფუნქციის ნაცვლად, ასეთი გამრავლების შემდეგ, მიიღება გარკვეული სიმაღლის დელტა იმპულსების თანმიმდევრობა. ამ შემთხვევაში, ფურიეს ტრანსფორმაციის მე-5 თვისების მიხედვით, მიღებული დისკრეტული სიგნალის სპექტრი არის ორიგინალური სპექტრის კონვოლუცია დირაკის შესაბამის სავარცხელთან. ადვილი გასაგებია, რომ კონვოლუციის თვისებებზე დაყრდნობით, თავდაპირველი სიგნალის სპექტრი, თითქოსდა, არის "კოპირებული" უსასრულო რაოდენობის ჯერ სიხშირის ღერძის გასწვრივ 1/T ნაბიჯით და შემდეგ შეჯამებულია. .

გაითვალისწინეთ, რომ თუ თავდაპირველ სპექტრს ჰქონდა სასრული სიგანე და ჩვენ გამოვიყენეთ საკმარისად მაღალი შერჩევის სიჩქარე, მაშინ ორიგინალური სპექტრის ასლები არ გადაფარავს და, შესაბამისად, არ დაემატება ერთმანეთს. ადვილი გასაგებია, რომ ადვილი იქნება ორიგინალური სპექტრის აღდგენა ასეთი "დაკეცილი" სპექტრიდან - საკმარისი იქნება მხოლოდ სპექტრის კომპონენტის აღება ნულის რეგიონში, "გათიშვა" ზედმეტი ასლები, რომლებიც მიდიან. უსასრულობამდე. ამის გაკეთების უმარტივესი გზაა სპექტრის გამრავლება მართკუთხა ფუნქციით T-ის ტოლი -1/2T...1/2T დიაპაზონში და ნული ამ დიაპაზონის გარეთ. მსგავსი ფურიეს ტრანსფორმაცია შეესაბამება ფუნქციას sinc (Tx) და თვისების 4-ის მიხედვით, ასეთი გამრავლება უდრის დელტა ფუნქციების საწყისი თანმიმდევრობის კონვოლუციას sinc(Tx) ფუნქციასთან.

ანუ, ფურიეს ტრანსფორმაციის დახმარებით, ჩვენ მივიღეთ გზა, რომ მარტივად აღვადგინოთ ორიგინალური სიგნალი დროში შერჩეული სიგნალიდან, რომელიც მუშაობს იმ პირობით, რომ გამოვიყენებთ შერჩევის სიხშირეს, რომელიც არის მინიმუმ ორჯერ (უარყოფითი სიხშირეების არსებობის გამო. სპექტრში) აღემატება თავდაპირველ სიგნალში არსებულ მაქსიმალურ სიხშირეს. ეს შედეგი ფართოდ არის ცნობილი და მას კოტელნიკოვის / შენონ-ნიკვისტის თეორემა ეწოდება. თუმცა, როგორც ახლა ადვილი შესამჩნევია (მტკიცებულების გაგება), ეს შედეგი, გავრცელებული მცდარი წარმოდგენის საწინააღმდეგოდ, განსაზღვრავს საკმარისი, მაგრამ არა საჭიროპირვანდელი სიგნალის აღდგენის პირობა. ყველაფერი რაც ჩვენ გვჭირდება არის იმის უზრუნველსაყოფად, რომ ჩვენთვის საინტერესო სპექტრის ნაწილი სიგნალის სინჯის აღების შემდეგ არ გადაფარავს ერთმანეთს და თუ სიგნალი საკმარისად ვიწრო ზოლიანია (აქვს სიგნალის არანულოვანი ნაწილის მცირე „სიგანე“ სპექტრი), მაშინ ეს შედეგი ხშირად შეიძლება მიღწეული იყოს შერჩევის სიჩქარითაც კი, ვიდრე ორჯერ ნაკლები სიგნალის მაქსიმალური სიხშირე. ამ ტექნიკას ჰქვია „ქვენიმუშარება“ (subsampling, bandpass sampling) და საკმაოდ ფართოდ გამოიყენება ყველა სახის რადიოსიგნალების დამუშავებაში. მაგალითად, თუ ავიღებთ FM რადიოს, რომელიც მუშაობს 88-დან 108 მჰც-მდე სიხშირის დიაპაზონში, მაშინ მის ციფრულ გასაციფრებლად, კოტელნიკოვის თეორემით გათვალისწინებული 216 მჰც-ის ნაცვლად შეგვიძლია გამოვიყენოთ ADC სიხშირით მხოლოდ 43,5 MHz. ამ შემთხვევაში, თქვენ გჭირდებათ მაღალი ხარისხის ADC და კარგი ფილტრი.

მე აღვნიშნავ, რომ მაღალი სიხშირეების „დუბლირება“ ქვედა რიგის სიხშირეებით (ალიასინგი) არის სიგნალის შერჩევის პირდაპირი თვისება, რომელიც შეუქცევად „აფუჭებს“ შედეგს. ამიტომ, თუ მაღალი რიგის სიხშირეები პრინციპში შეიძლება იყოს სიგნალში (ანუ თითქმის ყოველთვის), ADC-ის წინ მოთავსებულია ანალოგური ფილტრი, რომელიც "აწყვეტს" ყველაფერს ზედმეტს პირდაპირ თავდაპირველ სიგნალში (რადგან ეს იქნება ძალიან გვიან იყოს ამის გაკეთება სინჯის აღების შემდეგ). ამ ფილტრების, როგორც ანალოგური მოწყობილობების მახასიათებლები, არ არის იდეალური, ამიტომ სიგნალის გარკვეული „დაზიანება“ მაინც ხდება და პრაქტიკაში აქედან გამომდინარეობს, რომ სპექტრის უმაღლესი სიხშირეები, როგორც წესი, არასანდოა. ამ პრობლემის შესამსუბუქებლად, იშვიათი არ არის სიგნალის სინჯის აღება ზედმეტად შერჩეული სიჩქარით, ხოლო ანალოგური შეყვანის ფილტრის დაყენება უფრო დაბალ გამტარობაზე და გამოიყენება ADC-ის თეორიულად ხელმისაწვდომი სიხშირის დიაპაზონის მხოლოდ ქვედა ნაწილი.

სხვათა შორის, კიდევ ერთი გავრცელებული მცდარი წარმოდგენაა, როდესაც სიგნალი DAC-ის გამომავალზე შედგენილია "ნაბიჯებით". „საფეხურები“ შეესაბამება სიგნალების შერჩეული თანმიმდევრობის კონვოლუციას T სიგანისა და 1 სიმაღლის მართკუთხა ფუნქციით:

ასეთი ტრანსფორმაციისას სიგნალის სპექტრი მრავლდება ამ მართკუთხა ფუნქციის ფურიეს ტრანსფორმაციაზე და მსგავსი მართკუთხა ფუნქციისთვის ისევ sinc(w), „გაჭიმულია“ რაც უფრო ძლიერია, მით უფრო მცირეა შესაბამისი მართკუთხედის სიგანე. სინჯირებული სიგნალის სპექტრი მსგავსი "DAC"-ით მრავლდება წერტილით ამ სპექტრზე. ამ შემთხვევაში, არასაჭირო მაღალი სიხშირეები სპექტრის "დამატებითი ასლებით" მთლიანად არ იჭრება და სპექტრის "სასარგებლო" ნაწილის ზედა ნაწილი, პირიქით, სუსტდება.

პრაქტიკაში, რა თქმა უნდა, ამას არავინ აკეთებს. არსებობს მრავალი განსხვავებული მიდგომა DAC-ის ასაშენებლად, მაგრამ ყველაზე მსგავსი წონის ტიპის DAC-ებშიც კი, პირიქით, DAC-ში მართკუთხა იმპულსები არჩეულია რაც შეიძლება მოკლედ (დელტა ფუნქციების რეალური თანმიმდევრობის მიახლოებით), რათა თავიდან იქნას აცილებული ზედმეტი ჩახშობა. სპექტრის სასარგებლო ნაწილი. შედეგად მიღებული ფართოზოლოვანი სიგნალის "დამატებითი" სიხშირე თითქმის ყოველთვის მცირდება სიგნალის ანალოგური დაბალი გამტარი ფილტრის გავლით, ისე, რომ არ არსებობს "ციფრული ნაბიჯები" არც კონვერტორის "შიგნით" ან, უფრო მეტიც, მის გამოსავალზე.

თუმცა, დავუბრუნდეთ ფურიეს ტრანსფორმაციას. ზემოთ აღწერილი ფურიეს ტრანსფორმაციას, რომელიც გამოიყენება სიგნალების წინასწარ შერჩეულ თანმიმდევრობაზე, ეწოდება დისკრეტული დროის ფურიეს ტრანსფორმაცია (DTFT). ასეთი ტრანსფორმაციის შედეგად მიღებული სპექტრი ყოველთვის არის 1/T-პერიოდული, ამიტომ DTFT სპექტრი მთლიანად განისაზღვრება მისი მნიშვნელობებით სეგმენტზე).