ალგებრაში განხილულ სხვადასხვა გამოთქმებს შორის მნიშვნელოვანი ადგილი უჭირავს მონომების ჯამს. აქ მოცემულია ასეთი გამონათქვამების მაგალითები:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
მონომების ჯამს მრავალწევრი ეწოდება. მრავალწევრის ტერმინებს მრავალწევრის წევრები ეწოდება. მონონომები ასევე მოიხსენიება როგორც მრავალწევრები, განიხილება მონომი, როგორც პოლინომი, რომელიც შედგება ერთი წევრისაგან.
მაგალითად, მრავალწევრი
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
შეიძლება გამარტივდეს.
ჩვენ წარმოვადგენთ ყველა ტერმინს სტანდარტული ფორმის მონომიებად:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
მიღებულ პოლინომში მსგავს ტერმინებს ვაძლევთ:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
შედეგი არის პოლინომი, რომლის ყველა წევრი სტანდარტული ფორმის მონომია და მათ შორის მსგავსი არ არის. ასეთ მრავალწევრებს უწოდებენ სტანდარტული ფორმის მრავალწევრები.
უკან მრავალწევრი ხარისხისტანდარტული ფორმა იღებს მისი წევრების ყველაზე დიდ უფლებამოსილებებს. ასე რომ, ბინომს \(12a^2b - 7b \) აქვს მესამე ხარისხი, ხოლო ტრინომს \(2b^2 -7b + 6 \) აქვს მეორე.
ჩვეულებრივ, სტანდარტული ფორმის მრავალწევრების ტერმინები, რომლებიც შეიცავს ერთ ცვლადს, განლაგებულია მისი მაჩვენებლების კლებადობით. Მაგალითად:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
რამდენიმე მრავალწევრის ჯამი შეიძლება გარდაიქმნას (გამარტივდეს) სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად.
ზოგჯერ მრავალწევრის წევრები უნდა დაიყოს ჯგუფებად, თითოეული ჯგუფის ჩასმა ფრჩხილებში. ვინაიდან ფრჩხილები ფრჩხილების საპირისპიროა, მისი ჩამოყალიბება მარტივია ფრჩხილების გახსნის წესები:
თუ + ნიშანი მოთავსებულია ფრჩხილების წინ, მაშინ ფრჩხილებში ჩასმული ტერმინები იწერება იგივე ნიშნებით.
თუ ფრჩხილების წინ არის "-" ნიშანი, მაშინ ფრჩხილებში ჩასმული ტერმინები იწერება საპირისპირო ნიშნებით.
მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლის ტრანსფორმაცია (გამარტივება).
გამრავლების გამანაწილებელი თვისების გამოყენებით შეიძლება მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლის გადაქცევა (გამარტივება) მრავალწევრად. Მაგალითად:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლი იდენტურად უდრის ამ მონომის ნამრავლებისა და მრავალწევრის თითოეული წევრის ჯამს.
ეს შედეგი ჩვეულებრივ ჩამოყალიბებულია როგორც წესი.
მონომის მრავალწევრზე გასამრავლებლად, ეს მონომი უნდა გავამრავლოთ მრავალწევრის თითოეულ წევრზე.
ჩვენ არაერთხელ გამოვიყენეთ ეს წესი ჯამზე გასამრავლებლად.
მრავალწევრების ნამრავლი. ორი მრავალწევრის ნამრავლის ტრანსფორმაცია (გამარტივება).
ზოგადად, ორი მრავალწევრის ნამრავლი იდენტურად უდრის ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრისა და მეორის თითოეული წევრის ნამრავლის ჯამს.
ჩვეულებრივ გამოიყენეთ შემდეგი წესი.
მრავალწევრის მრავალწევრზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრი მეორის თითოეულ წევრზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქცია.
შემოკლებული გამრავლების ფორმულები. ჯამი, სხვაობა და სხვაობის კვადრატები
ალგებრული გარდაქმნების ზოგიერთ გამონათქვამს უფრო ხშირად უნდა შევეხოთ, ვიდრე სხვებს. ალბათ ყველაზე გავრცელებული გამონათქვამებია \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) და \(a^2 - b^2 \), ანუ ჯამის კვადრატი, სხვაობის კვადრატი და სხვაობის კვადრატი. თქვენ შენიშნეთ, რომ მითითებული გამონათქვამების სახელები თითქოს არასრულია, ასე რომ, მაგალითად, \((a + b)^2 \) არის, რა თქმა უნდა, არა მხოლოდ ჯამის კვადრატი, არამედ ჯამის კვადრატი. ა და ბ. თუმცა, a და b ჯამის კვადრატი არც თუ ისე გავრცელებულია, როგორც წესი, a და b ასოების ნაცვლად შეიცავს სხვადასხვა, ზოგჯერ საკმაოდ რთულ გამონათქვამებს.
გამონათქვამები \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ადვილად გარდაიქმნება (გამარტივება) სტანდარტული ფორმის პოლინომებად, ფაქტობრივად, თქვენ უკვე შეგხვედრიათ ასეთი დავალება მრავალწევრების გამრავლებისას. :
\((ა + ბ)^2 = (ა + ბ)(ა + ბ) = a^2 + აბ + ბა + ბ^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
შედეგად მიღებული იდენტობები სასარგებლოა დასამახსოვრებლად და გამოყენებაში შუალედური გამოთვლების გარეშე. ამას ეხმარება მოკლე სიტყვიერი ფორმულირებები.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - ჯამის კვადრატი უდრის კვადრატების ჯამს და ორმაგ ნამრავლს.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - სხვაობის კვადრატი არის კვადრატების ჯამი ნამრავლის გაორმაგების გარეშე.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - კვადრატების სხვაობა უდრის სხვაობისა და ჯამის ნამრავლს.
ეს სამი იდენტობა საშუალებას აძლევს ტრანსფორმაციას შეცვალოს მათი მარცხენა ნაწილები მარჯვენა ნაწილებით და პირიქით - მარჯვენა ნაწილები მარცხნივ. ყველაზე რთული ამ შემთხვევაში არის შესაბამისი გამონათქვამების დანახვა და იმის გაგება, თუ რა არის მათში ჩანაცვლებული a და b ცვლადები. მოდით შევხედოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენების რამდენიმე მაგალითს.
ამ გაკვეთილზე ჩვენ გავიხსენებთ ამ თემის მთავარ განმარტებებს და განვიხილავთ რამდენიმე ტიპურ ამოცანას, კერძოდ, მრავალწევრის სტანდარტულ ფორმაში მიყვანას და მოცემული ცვლადის მნიშვნელობებისთვის რიცხვითი მნიშვნელობის გამოთვლას. ჩვენ მოვაგვარებთ რამდენიმე მაგალითს, რომლებშიც სტანდარტულ ფორმამდე შემცირება გამოყენებული იქნება სხვადასხვა სახის პრობლემების გადასაჭრელად.
თემა:პოლინომები. არითმეტიკული მოქმედებები მონომებზე
გაკვეთილი:მრავალწევრის შემცირება სტანდარტულ ფორმამდე. ტიპიური ამოცანები
გავიხსენოთ ძირითადი განმარტება: მრავალწევრი არის მონომების ჯამი. თითოეულ მონომს, რომელიც არის მრავალწევრის ნაწილი, როგორც ტერმინი, ეწოდება მისი წევრი. Მაგალითად:
ბინომიალური;
მრავალწევრი;
ბინომიალური;
ვინაიდან პოლინომი შედგება მონომებისგან, პირველი მოქმედება მრავალწევრთან აქედან მოდის - თქვენ უნდა მიიყვანოთ ყველა მონომი სტანდარტულ ფორმამდე. შეგახსენებთ, რომ ამისათვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ ყველა რიცხვითი ფაქტორი - მიიღოთ რიცხვითი კოეფიციენტი და გაამრავლოთ შესაბამისი ხარისხები - მიიღოთ ასო ნაწილი. გარდა ამისა, ყურადღება მივაქციოთ თეორემას ხარისხების ნამრავლის შესახებ: ძალაუფლების გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები იკრიბება.
განვიხილოთ მნიშვნელოვანი ოპერაცია - მრავალწევრის სტანდარტულ ფორმამდე მიყვანა. მაგალითი:
კომენტარი: იმისათვის, რომ პოლინომი სტანდარტულ ფორმამდე მიიყვანოთ, სტანდარტულ ფორმაში უნდა მიიყვანოთ ყველა მონომი, რომელიც მის ნაწილს წარმოადგენს, ამის შემდეგ, თუ არის მსგავსი მონომები - და ეს არის მონომები იგივე ასო ნაწილით - შეასრულეთ მოქმედებები. მათთან ერთად.
ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ პირველი ტიპიური პრობლემა - მრავალწევრის სტანდარტულ ფორმამდე მიყვანა.
შემდეგი ტიპიური დავალება არის პოლინომის კონკრეტული მნიშვნელობის გამოთვლა მასში შემავალი ცვლადების მოცემული რიცხვითი მნიშვნელობებისთვის. მოდით გავაგრძელოთ წინა მაგალითის განხილვა და დავაყენოთ ცვლადების მნიშვნელობები:
კომენტარი: შეგახსენებთ, რომ რომელიმე ბუნებრივ ხარისხში ერთი უდრის ერთს, ხოლო ნული ნებისმიერ ბუნებრივ ხარისხში ნულის ტოლია, ამასთანავე, გავიხსენებთ, რომ ნებისმიერი რიცხვის ნულზე გამრავლებისას მივიღებთ ნულს.
განვიხილოთ მრავალწევრის სტანდარტულ ფორმამდე მიყვანისა და მისი მნიშვნელობის გამოთვლის ტიპიური ოპერაციების რამდენიმე მაგალითი:
მაგალითი 1 - სტანდარტულ ფორმამდე მიყვანა:
კომენტარი: პირველი მოქმედება - მონომებს მივყავართ სტანდარტულ ფორმამდე, თქვენ უნდა მოიტანოთ პირველი, მეორე და მეექვსე; მეორე მოქმედება - ვაძლევთ მსგავს წევრებს, ანუ ვასრულებთ მათზე მოცემულ არითმეტიკულ მოქმედებებს: პირველს ვამატებთ მეხუთეს, მეორეს მესამეს, დანარჩენს გადავიწერთ ცვლილებების გარეშე, რადგან მათ მსგავსი არ აქვთ.
მაგალითი 2 - გამოთვალეთ მრავალწევრის მნიშვნელობა მაგალითი 1-დან, ცვლადების მნიშვნელობების გათვალისწინებით:
კომენტარი: გაანგარიშებისას უნდა გვახსოვდეს, რომ ნებისმიერი ბუნებრივი ხარისხის ერთეული არის ერთეული, თუ ორის სიმძლავრის გამოთვლა რთულია, შეგიძლიათ გამოიყენოთ დენის ცხრილი.
მაგალითი 3 - ვარსკვლავის ნაცვლად ჩადეთ ისეთი მონომი, რომ შედეგი არ შეიცავდეს ცვლადს:
კომენტარი: დავალების მიუხედავად, პირველი მოქმედება ყოველთვის ერთი და იგივეა - მრავალწევრის სტანდარტულ ფორმამდე მიყვანა. ჩვენს მაგალითში ეს ქმედება დაყვანილია წევრების მსგავსად კასტინგზე. ამის შემდეგ კიდევ ერთხელ უნდა წაიკითხოთ პირობა და დაფიქრდეთ როგორ მოვიშოროთ მონომი. აშკარაა, რომ ამისათვის თქვენ უნდა დაამატოთ იგივე მონომი, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით -. შემდეგ ჩვენ ვცვლით ვარსკვლავს ამ მონომით და დავრწმუნდებით, რომ ჩვენი გადაწყვეტილება სწორია.
მრავალწევრი არის მონომების ჯამი. თუ მრავალწევრის ყველა წევრი დაიწერება სტანდარტული ფორმით (იხ. პუნქტი 51) და შესრულებულია მსგავსი ტერმინების შემცირება, მაშინ მიიღება სტანდარტული ფორმის მრავალწევრი.
ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება გარდაიქმნას სტანდარტული ფორმის პოლინომად - ეს არის მთელი რიცხვითი გამონათქვამების გარდაქმნების (გამარტივების) მიზანი.
განვიხილოთ მაგალითები, რომლებშიც მთელი გამოხატულება უნდა დაიყვანოს მრავალწევრის სტანდარტულ ფორმამდე.
გადაწყვეტილება. პირველ რიგში, ჩვენ მივყავართ მრავალწევრის პირობებს სტანდარტულ ფორმამდე. ვიღებთ მსგავსი ტერმინების შემცირების შემდეგ ვიღებთ სტანდარტული ფორმის მრავალწევრს
გადაწყვეტილება. თუ ფრჩხილების წინ არის პლუსის ნიშანი, მაშინ ფრჩხილები შეიძლება გამოტოვდეს, შეინარჩუნოს ფრჩხილებში ჩასმული ყველა ტერმინის ნიშნები. ამ წესის გამოყენებით ფრჩხილების გასახსნელად ვიღებთ:
გადაწყვეტილება. თუ ფრჩხილების წინ არის ზიაკ "მინუს", მაშინ ფრჩხილების გამოტოვება შესაძლებელია ფრჩხილებში ჩასმული ყველა ტერმინის ნიშნების შეცვლით. ამ ფრჩხილის გაქცევის წესის გამოყენებით, მივიღებთ:
გადაწყვეტილება. მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლი, განაწილების კანონის მიხედვით, უდრის ამ მონომისა და მრავალწევრის თითოეული წევრის ნამრავლების ჯამს. ვიღებთ
გადაწყვეტილება. Ჩვენ გვაქვს
გადაწყვეტილება. Ჩვენ გვაქვს
რჩება მსგავსი ტერმინების მიცემა (ისინი ხაზგასმულია). ჩვენ ვიღებთ:
53. შემოკლებული გამრავლების ფორმულები.
ზოგიერთ შემთხვევაში, მთელი გამოხატვის შემცირება მრავალწევრის სტანდარტულ ფორმამდე ხორციელდება იდენტობების გამოყენებით:
ამ იდენტობებს უწოდებენ შემოკლებული გამრავლების ფორმულებს,
განვიხილოთ მაგალითები, რომლებშიც აუცილებელია მოცემული გამონათქვამის გადაყვანა სტანდარტული ფორმის მიოგლებად.
მაგალითი 1. .
გადაწყვეტილება. ფორმულის (1) გამოყენებით ვიღებთ:
მაგალითი 2. .
გადაწყვეტილება.
მაგალითი 3. .
გადაწყვეტილება. ფორმულის (3) გამოყენებით ვიღებთ:
მაგალითი 4
გადაწყვეტილება. ფორმულის (4) გამოყენებით ვიღებთ:
54. მრავალწევრების ფაქტორიზაცია.
ზოგჯერ შეგიძლიათ პოლინომი გადაიყვანოთ რამდენიმე ფაქტორის ნამრავლად - მრავალწევრებში ან ქვეტერმინებში. იდენტურობის ასეთ ტრანსფორმაციას მრავალწევრის ფაქტორიზაცია ეწოდება. ამ შემთხვევაში, ამბობენ, რომ მრავალწევრი იყოფა თითოეულ ამ ფაქტორზე.
განვიხილოთ მრავალწევრების ფაქტორინგის რამდენიმე გზა,
1) საერთო ფაქტორის ფრჩხილიდან ამოღება. ეს ტრანსფორმაცია გამანაწილებელი კანონის პირდაპირი შედეგია (სიცხადისთვის საჭიროა მხოლოდ ამ კანონის გადაწერა „მარჯვნიდან მარცხნივ“):
მაგალითი 1. მრავალწევრის ფაქტორირება
გადაწყვეტილება. .
ჩვეულებრივ, ფრჩხილებიდან საერთო კოეფიციენტის ამოღებისას, მრავალწევრის ყველა წევრში შემავალი თითოეული ცვლადი ამოღებულია უმცირესი მაჩვენებლით, რაც მას აქვს ამ მრავალწევრში. თუ მრავალწევრის ყველა კოეფიციენტი მთელი რიცხვია, მაშინ მრავალწევრის ყველა კოეფიციენტის უდიდესი მოდულის საერთო გამყოფი მიიღება საერთო კოეფიციენტად.
2) შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება. ფორმულები (1) - (7) 53-ე პუნქტიდან, წაკითხული „მარჯვნიდან მარცხნივ, ხშირ შემთხვევაში გამოსადეგი აღმოჩნდება მრავალწევრების ფაქტორინგისთვის.
მაგალითი 2. ფაქტორიზაცია.
გადაწყვეტილება. Ჩვენ გვაქვს . ფორმულის გამოყენებით (1) (კვადრატების სხვაობა), ვიღებთ . მიმართვა
ახლა ფორმულები (4) და (5) (კუბების ჯამი, კუბების სხვაობა), ვიღებთ:
მაგალითი 3. .
გადაწყვეტილება. ჯერ ფრჩხილიდან ამოვიღოთ საერთო ფაქტორი. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ 4, 16, 16 კოეფიციენტების უდიდეს საერთო გამყოფს და უმცირეს მაჩვენებლებს, რომლებითაც ცვლადები a და b შედის მონომებში, რომლებიც ქმნიან ამ მრავალწევრს. ჩვენ ვიღებთ:
3) დაჯგუფების მეთოდი. იგი ემყარება იმ ფაქტს, რომ მიმატების კომუტაციური და ასოციაციური კანონები საშუალებას გაძლევთ დააჯგუფოთ მრავალწევრის ტერმინები სხვადასხვა გზით. ზოგჯერ შესაძლებელია ისეთი დაჯგუფება, რომ თითოეულ ჯგუფში საერთო ფაქტორების ფრჩხილებში შეყვანის შემდეგ, ერთი და იგივე მრავალწევრი რჩება ფრჩხილებში, რაც თავის მხრივ, როგორც საერთო ფაქტორი, შეიძლება იყოს ფრჩხილებში. განვიხილოთ მრავალწევრის ფაქტორინგის მაგალითები.
მაგალითი 4. .
გადაწყვეტილება. მოდით დავაჯგუფოთ ასე:
პირველ ჯგუფში ვიღებთ საერთო კოეფიციენტს მეორე ჯგუფში - საერთო კოეფიციენტს 5. ვიღებთ ახლა მრავალწევრს, როგორც საერთო კოეფიციენტს, ვიღებთ ფრჩხილიდან: ამრიგად, ვიღებთ:
მაგალითი 5
გადაწყვეტილება. .
მაგალითი 6
გადაწყვეტილება. აქ არცერთი დაჯგუფება არ გამოიწვევს ერთი და იგივე მრავალწევრის გამოჩენას ყველა ჯგუფში. ასეთ შემთხვევებში, ზოგჯერ სასარგებლო აღმოჩნდება მრავალწევრის რომელიმე წევრის ჯამის სახით წარმოდგენა და შემდეგ კვლავ სცადეთ დაჯგუფების მეთოდის გამოყენება. ჩვენს მაგალითში მიზანშეწონილია წარმოვადგინოთ თანხა, რომელსაც ვიღებთ
მაგალითი 7
გადაწყვეტილება. ვამატებთ და ვაკლებთ მონომს, მივიღებთ
55. მრავალწევრები ერთ ცვლადში.
მრავალწევრი, სადაც a, b არის ცვლადი რიცხვები, ეწოდება პირველი ხარისხის მრავალწევრი; მრავალწევრს, სადაც a, b, c ცვლადი რიცხვებია, ეწოდება მეორე ხარისხის მრავალწევრი ან კვადრატული ტრინომი; მრავალწევრი, სადაც a, b, c, d რიცხვებია, ცვლადს მესამე ხარისხის მრავალწევრი ეწოდება.
ზოგადად, თუ o არის ცვლადი, მაშინ მრავალწევრი
ეწოდება ლშომოგენური ხარისხი (x-ის მიმართ); , მ მრავალწევრის, კოეფიციენტები, მრავალწევრის წამყვანი წევრი და არის წამყვანი წევრის კოეფიციენტი, მრავალწევრის თავისუფალი წევრი. ჩვეულებრივ, მრავალწევრი იწერება ცვლადის კლებადობით, ანუ ცვლადის ხარისხები თანდათან მცირდება, კერძოდ, პირველ ადგილზეა უფროსი წევრი, ხოლო ბოლოში - თავისუფალი წევრი. მრავალწევრის ხარისხი არის წამყვანი წევრის ხარისხი.
მაგალითად, მეხუთე ხარისხის მრავალწევრი, რომელშიც წამყვანი წევრი, 1, არის მრავალწევრის თავისუფალი წევრი.
მრავალწევრის ფესვი არის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც პოლინომი ქრება. მაგალითად, რიცხვი 2 არის მრავალწევრის ფესვი, რადგან
ჩვენ ვთქვით, რომ ხდება როგორც სტანდარტული, ასევე არასტანდარტული მრავალწევრები. იმავე ადგილას აღვნიშნეთ, რომ ნებისმიერი მრავალწევრიდან სტანდარტულ ფორმამდე. ამ სტატიაში ჩვენ პირველ რიგში გავარკვევთ, თუ რა მნიშვნელობა აქვს ამ ფრაზას. შემდეგი, ჩვენ ჩამოვთვლით ნაბიჯებს, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ გადაიყვანოთ ნებისმიერი მრავალწევრი სტანდარტულ ფორმად. და ბოლოს, განიხილეთ ტიპიური მაგალითების გადაწყვეტილებები. ჩვენ დეტალურად აღვწერთ ამონახსნებს, რათა გავუმკლავდეთ ყველა ნიუანსს, რომელიც წარმოიქმნება მრავალწევრების სტანდარტულ ფორმაში მოყვანისას.
გვერდის ნავიგაცია.
რას ნიშნავს მრავალწევრის სტანდარტულ ფორმამდე მიყვანა?
ჯერ ნათლად უნდა გესმოდეთ, რას გულისხმობს მრავალწევრის სტანდარტულ ფორმაში მოყვანა. მოდით გავუმკლავდეთ ამას.
პოლინომები, ისევე როგორც ნებისმიერი სხვა გამონათქვამი, შეიძლება დაექვემდებაროს იდენტურ გარდაქმნებს. ასეთი გარდაქმნების შედეგად მიიღება გამონათქვამები, რომლებიც იდენტურად უტოლდება თავდაპირველ გამონათქვამს. ასე რომ, გარკვეული გარდაქმნების შესრულება არასტანდარტული ფორმის მრავალწევრებით საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ მრავალწევრებზე, რომლებიც მათ იდენტურად ტოლია, მაგრამ უკვე დაწერილია სტანდარტული ფორმით. ასეთ გადასვლას ეწოდება მრავალწევრის შემცირება სტანდარტულ ფორმამდე.
Ისე, მიიყვანეთ მრავალწევრი სტანდარტულ ფორმამდე- ეს ნიშნავს ორიგინალური მრავალწევრის ჩანაცვლებას სტანდარტული ფორმის მრავალწევრით, რომელიც მიიღება ორიგინალიდან იდენტური გარდაქმნების განხორციელებით.
როგორ მივიყვანოთ მრავალწევრი სტანდარტულ ფორმამდე?
დავფიქრდეთ რა გარდაქმნები დაგვეხმარება მრავალწევრის სტანდარტულ ფორმამდე მიყვანაში. დავიწყებთ სტანდარტული ფორმის მრავალწევრის განსაზღვრებიდან.
განმარტებით, სტანდარტული ფორმის მრავალწევრის ყველა წევრი არის სტანდარტული ფორმის მონომი, ხოლო სტანდარტული ფორმის მრავალწევრი არ შეიცავს ასეთ ტერმინებს. თავის მხრივ, არასტანდარტული ფორმით დაწერილი მრავალწევრები შეიძლება შედგებოდეს არასტანდარტული ფორმის მონომებისგან და შეიძლება შეიცავდეს მსგავს ტერმინებს. ეს ლოგიკურად იწვევს შემდეგ წესს. როგორ გადავიყვანოთ მრავალწევრი სტანდარტულ ფორმად:
- ჯერ სტანდარტულ ფორმამდე უნდა მიიყვანოთ მონომები, რომლებიც ქმნიან თავდაპირველ მრავალწევრს,
- და შემდეგ შეასრულოს მსგავსი წევრების შემცირება.
შედეგად, მიიღება სტანდარტული ფორმის მრავალწევრი, რადგან მისი ყველა წევრი დაიწერება სტანდარტული ფორმით და ის არ შეიცავს ასეთ წევრებს.
მაგალითები, გადაწყვეტილებები
განვიხილოთ მრავალწევრების სტანდარტულ ფორმაში მიყვანის მაგალითები. ამოხსნისას მივყვებით წინა აბზაციდან წესით ნაკარნახევ ნაბიჯებს.
აქვე აღვნიშნავთ, რომ ზოგჯერ მრავალწევრის ყველა პირობა იწერება სტანდარტული სახით, ამ შემთხვევაში საკმარისია მსგავსი ტერმინების მოტანა. ზოგჯერ, მრავალწევრის ტერმინების სტანდარტულ ფორმამდე შეყვანის შემდეგ, არ არსებობს მსგავსი წევრები, შესაბამისად, ამ შემთხვევაში ასეთი წევრების შემცირების ეტაპი გამოტოვებულია. ზოგადად, თქვენ უნდა გააკეთოთ ორივე.
მაგალითი.
გამოხატეთ მრავალწევრები სტანდარტული ფორმით: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1, 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5და .
გადაწყვეტილება.
5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 მრავალწევრის ყველა წევრი იწერება სტანდარტული ფორმით, მას არ აქვს ასეთი წევრები, შესაბამისად, ეს მრავალწევრი უკვე წარმოდგენილია სტანდარტული ფორმით.
გადავიდეთ შემდეგ მრავალწევრზე 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5. მისი ფორმა არ არის სტანდარტული, რასაც მოწმობს არასტანდარტული ფორმის 2·a 3 ·0.6 და −b·a·b 4 ·b 5. წარმოვადგინოთ იგი სტანდარტული ფორმით.
თავდაპირველი მრავალწევრის სტანდარტულ ფორმაში მოყვანის პირველ ეტაპზე საჭიროა მისი ყველა წევრის სტანდარტული ფორმით წარმოდგენა. მაშასადამე, 2 a 3 0.6 მონომს ვამცირებთ სტანდარტულ ფორმამდე, გვაქვს 2 a 3 0.6=1.2 a 3, რის შემდეგაც მონომი −b a b 4 b 5 გვაქვს. −b a b 4 b 5 = −a b 1+4+5 = −a b 10. ამრიგად, . მიღებულ პოლინომში ყველა ტერმინი იწერება სტანდარტული ფორმით, უფრო მეტიც, აშკარაა, რომ მას ასეთი ტერმინები არ აქვს. მაშასადამე, ეს ასრულებს თავდაპირველი მრავალწევრის სტანდარტულ ფორმამდე შემცირებას.
რჩება სტანდარტული ფორმით წარმოდგენა მოცემული მრავალწევრებიდან ბოლო. მისი ყველა წევრის სტანდარტულ ფორმაზე მიყვანის შემდეგ, იგი დაიწერება როგორც 
. მას ჰყავს მსგავსი წევრები, ასე რომ თქვენ უნდა გადაიტანოთ მსგავსი წევრები: 
ასე რომ, თავდაპირველმა მრავალწევრმა მიიღო სტანდარტული ფორმა −x y+1.
პასუხი:
5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 - უკვე სტანდარტული ფორმით, 0.8+2 a 3 0.6−b a b 4 b 5 =0.8+1.2 a 3 −a b 10, .
ხშირად, მრავალწევრის სტანდარტულ ფორმამდე მიყვანა მხოლოდ შუალედური ნაბიჯია პრობლემის კითხვაზე პასუხის გასაცემად. მაგალითად, მრავალწევრის ხარისხის პოვნა მოიცავს მის წინასწარ წარმოდგენას სტანდარტული ფორმით.
მაგალითი.
მოიყვანეთ მრავალწევრი 
სტანდარტულ ფორმაში მიუთითეთ მისი ხარისხი და დაალაგეთ ტერმინები ცვლადის კლებადობით.
გადაწყვეტილება.
პირველ რიგში, ჩვენ მივყავართ მრავალწევრის ყველა პირობას სტანდარტულ ფორმაში: 
.
ახლა ჩვენ ვაძლევთ მსგავს წევრებს: 
ასე რომ, ჩვენ მივიღეთ თავდაპირველი მრავალწევრი სტანდარტულ ფორმამდე, ეს საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ მრავალწევრის ხარისხი, რომელიც უდრის მასში შემავალი მონომების უდიდეს ხარისხს. აშკარად არის 5.
რჩება მრავალწევრის ტერმინების მოწყობა ცვლადების კლებად ძალაში. ამისათვის საჭიროა მხოლოდ ტერმინების გადალაგება სტანდარტული ფორმის მიღებულ პოლინომში, მოთხოვნის გათვალისწინებით. ტერმინს z 5 აქვს უმაღლესი ხარისხი, −0.5·z 2 და 11 ტერმინების ხარისხები უდრის შესაბამისად 3, 2 და 0-ს. მაშასადამე, მრავალწევრს ცვლადის კლებად ხარისხებში დალაგებული ტერმინებით ექნება ფორმა 
.
პასუხი:
მრავალწევრის ხარისხი არის 5, ხოლო ცვლადის კლებადობით მისი წევრთა განლაგების შემდეგ იღებს ფორმას. .
ბიბლიოგრაფია.
- Ალგებრა:სახელმძღვანელო 7 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-17 გამოცემა. - M. : განათლება, 2008. - 240გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-7 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich. - მე-17 გამოცემა, დამატება. - მ.: მნემოზინა, 2013. - 175გვ.: ავად. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Ალგებრადა მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. მე-10 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები: ძირითადი და პროფილი. დონეები / [იუ. მ.კოლიაგინი, მ.ვ.ტკაჩევა, ნ.ე.ფედოროვა, მ.ი.შაბუნინი]; რედ. A.B. ჟიჟჩენკო. - მე-3 გამოცემა. - მ.: განმანათლებლობა, 2010.- 368გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.
ZLP-ის მათემატიკურ მოდელს სტანდარტი ეწოდება, თუ მასში შეზღუდვები წარმოდგენილია წრფივი უტოლობების სახით და ობიექტური ფუნქცია მინიმუმამდეა დაყვანილი ან მაქსიმიზებულია.
სამსახურის დავალება. ონლაინ კალკულატორი შექმნილია QZLP-ის SZLP-ად გადაქცევისთვის a მატრიცის პირადობაში გადაყვანის გზით. არსებობს ორი სტანდარტული ფორმა:
- პირველი სტანდარტული ფორმა ax ≥ b , F(X) → min.
- მეორე სტანდარტული ფორმა ax ≤ b , F(X) → max.
ინსტრუქცია. აირჩიეთ ცვლადების რაოდენობა და რიგების რაოდენობა (შეზღუდვების რაოდენობა). შედეგად მიღებული გამოსავალი ინახება Word ფაილში.
როგორ მივიყვანოთ კანონიკური წრფივი პროგრამირების პრობლემა სტანდარტულ ფორმამდეგადაიყვანეთ კანონიკურ ფორმაში
მაგალითი. მოცემულია ხაზოვანი პროგრამირების მთავარი პრობლემა. შეზღუდვის სისტემის კოეფიციენტთა მატრიცის ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მიიტანეთ პრობლემა სტანდარტულ ფორმამდე და გადაჭრით გეომეტრიული მეთოდის გამოყენებით ან დაამტკიცეთ, რომ მას არ აქვს ოპტიმალური გეგმა.
ამ ამოცანის შეზღუდვა-ტოლობების სისტემის გაფართოებული მატრიცა:
|
მოდით, სისტემა იდენტობის მატრიცამდე დავიყვანოთ იორდანული გარდაქმნების მეთოდით.
1. ჩვენ ვირჩევთ x 1 როგორც საბაზისო ცვლადი.
დასაშვები ელემენტი RE=1.
x 1 ცვლადის შესაბამისი წრფე მიიღება x 1 წრფის ყველა ელემენტის RE=1 გამხსნელ ელემენტზე გაყოფით.
x 1 სვეტის დარჩენილ უჯრედებში ვწერთ ნულებს.
ამისათვის აირჩიეთ ძველი გეგმიდან ოთხი რიცხვი, რომლებიც განლაგებულია მართკუთხედის წვეროებზე და ყოველთვის შეიცავს RE-ს გამაძლიერებელ ელემენტს.
NE \u003d SE - (A * B) / RE
STE - ძველი გეგმის ელემენტი, RE - გამხსნელი ელემენტი (1), A და B - ძველი გეგმის ელემენტები, მართკუთხედის ფორმირება STE და RE ელემენტებით.
| 1: 1 | 6: 1 | -1: 1 | -1: 1 | -1: 1 | 2: 1 |
| 5-(1 5):1 | -12-(6 5):1 | -1-(-1 5):1 | 2-(-1 5):1 | 0-(-1 5):1 | -4-(2 5):1 |
| 3-(1 3):1 | -1-(6 3):1 | -2-(-1 3):1 | 0-(-1 3):1 | -1-(-1 3):1 | -7-(2 3):1 |
2. ჩვენ ვირჩევთ x 2 როგორც საბაზისო ცვლადი.
დასაშვები ელემენტი RE=-42.
x 2 ცვლადის შესაბამისი წრფე მიიღება x 2 წრფის ყველა ელემენტის RE=-42 გამხსნელ ელემენტზე გაყოფით.
გამაძლიერებელი ელემენტის ნაცვლად ვიღებთ 1-ს.
x 2 სვეტის დარჩენილ უჯრედებში ვწერთ ნულებს.
ყველა სხვა ელემენტი განისაზღვრება მართკუთხედის წესით.
წარმოგიდგენთ თითოეული ელემენტის გამოთვლას ცხრილის სახით:
| 1-(0 6):-42 | 6-(-42 6):-42 | -1-(4 6):-42 | -1-(7 6):-42 | -1-(5 6):-42 | 2-(-14 6):-42 |
| 0: -42 | -42: -42 | 4: -42 | 7: -42 | 5: -42 | -14: -42 |
| 0-(0 -19):-42 | -19-(-42 -19):-42 | 1-(4 -19):-42 | 3-(7 -19):-42 | 2-(5 -19):-42 | -13-(-14 -19):-42 |
ჩვენ ვიღებთ ახალ მატრიცას:
| 1 | 0 | -3 / 7 | 0 | -2 / 7 | 0 |
| 0 | 1 | -2 / 21 | -1 / 6 | -5 / 42 | 1 / 3 |
| 0 | 0 | -17 / 21 | -1 / 6 | -11 / 42 | -20 / 3 |
3. ჩვენ ვირჩევთ x 3 როგორც საბაზისო ცვლადი.
დასაშვები ელემენტი RE= -17/21.
x 3 ცვლადის შესაბამისი ხაზი მიიღება x 3 წრფის ყველა ელემენტის RE= -17 / 21 გადამწყვეტ ელემენტზე გაყოფით.
გამაძლიერებელი ელემენტის ნაცვლად ვიღებთ 1-ს.
x 3 სვეტის დარჩენილ უჯრედებში ვწერთ ნულებს.
ყველა სხვა ელემენტი განისაზღვრება მართკუთხედის წესით.
წარმოგიდგენთ თითოეული ელემენტის გამოთვლას ცხრილის სახით:
| 1-(0 -3 / 7): -17 / 21 | 0-(0 -3 / 7): -17 / 21 | -3 / 7 -(-17 / 21 -3 / 7): -17 / 21 | 0-(-1 / 6 -3 / 7): -17 / 21 | -2 / 7 -(-11 / 42 -3 / 7): -17 / 21 | 0-(-6 2 / 3 -3 / 7): -17 / 21 |
| 0-(0 -2 / 21): -17 / 21 | 1-(0 -2 / 21): -17 / 21 | -2 / 21 -(-17 / 21 -2 / 21): -17 / 21 | -1 / 6 -(-1 / 6 -2 / 21): -17 / 21 | -5 / 42 -(-11 / 42 -2 / 21): -17 / 21 | 1 / 3 -(-6 2 / 3 -2 / 21): -17 / 21 |
| 0: -17 / 21 | 0: -17 / 21 | -17 / 21: -17 / 21 | -1 / 6: -17 / 21 | -11 / 42: -17 / 21 | -6 2 / 3: -17 / 21 |
ჩვენ ვიღებთ ახალ მატრიცას:
| 1 | 0 | 0 | 3 / 34 | -5 / 34 | 60 / 17 |
| 0 | 1 | 0 | -5 / 34 | -3 / 34 | 19 / 17 |
| 0 | 0 | 1 | 7 / 34 | 11 / 34 | 140 / 17 |
ვინაიდან სისტემას აქვს იდენტურობის მატრიცა, ჩვენ ვიღებთ X = (1,2,3) ძირითად ცვლადებად.
შესაბამისი განტოლებებია:
x 1 + 3 / 34 x 4 - 5 / 34 x 5 = 3 9 / 17
x 2 - 5 / 34 x 4 - 3 / 34 x 5 = 1 2 / 17
x 3 + 7 / 34 x 4 + 11 / 34 x 5 = 8 4 / 17
ჩვენ გამოვხატავთ ძირითად ცვლადებს დანარჩენის მიხედვით:
x 1 = - 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17
x 2 = 5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 +1 2 / 17
x 3 \u003d - 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17
ჩაანაცვლეთ ისინი ობიექტურ ფუნქციაში:
F(X) = - 3(- 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17) + 13(5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 +1 2 / 17) + (- 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17) - 2x 4
ან
უტოლობების სისტემა:
- 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17 ≥ 0
5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 +1 2 / 17 ≥ 0
- 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17 ≥ 0
უტოლობების სისტემას მივყავართ შემდეგ ფორმამდე:
3 / 34 x 4 - 5 / 34 x 5 ≤ 3 9 / 17
- 5 / 34 x 4 - 3 / 34 x 5 ≤ 1 2 / 17
7 / 34 x 4 + 11 / 34 x 5 ≤ 8 4 / 17
F(X) = - 1 / 34 x 4 + 13 / 34 x 5 +12 3 / 17 → მაქს
მოდით გავამარტივოთ სისტემა.
3x 1 - 5x 2 ≤ 120
- 5x 1 - 3x 2 ≤ 38
7x1 + 11x2 ≤ 280
F(X) = - x 1 + 13x 2 +414 → მაქს
