მესამე რიგს ვყოფთ საკვანძო ელემენტზე 5-ის ტოლი, ვიღებთ ახალი ცხრილის მესამე რიგს.

საბაზისო სვეტები შეესაბამება ერთ სვეტს.

ცხრილის დარჩენილი მნიშვნელობების გაანგარიშება:

"BP - ძირითადი გეგმა":

; ;

"x1": ; ;

"x5": ; .

ინდექსის მწკრივის მნიშვნელობები არაუარყოფითია, ამიტომ ვიღებთ ოპტიმალურ გადაწყვეტას: , ; .

პასუხი:წარმოებული პროდუქციის რეალიზაციიდან მაქსიმალური მოგება, რომელიც უდრის 160/3 ერთეულს, უზრუნველყოფილია მხოლოდ მეორე ტიპის პროდუქციის გამოშვებით 80/9 ერთეულის ოდენობით.

დავალება ნომერი 2

მოცემულია არაწრფივი პროგრამირების პრობლემა. იპოვეთ ობიექტური ფუნქციის მაქსიმუმი და მინიმუმი გრაფიკულ-ანალიზური მეთოდის გამოყენებით. შეადგინეთ ლაგრანგის ფუნქცია და აჩვენეთ, რომ საკმარისი მინიმალური (მაქსიმალური) პირობები დაკმაყოფილებულია უკიდურეს წერტილებში.

იმიტომ რომ შიფრის ბოლო ციფრი არის 8, შემდეგ A=2; B=5.

იმიტომ რომ შიფრის ბოლო ციფრი არის 1, მაშინ უნდა აირჩიოთ დავალების ნომერი 1.

გადაწყვეტილება:

1) დავხატოთ ფართობი, რომელსაც განსაზღვრავს უტოლობათა სისტემა.

ეს ფართობი არის ABC სამკუთხედი წვეროების კოორდინატებით: A(0; 2); B(4; 6) და C(16/3; 14/3).

ობიექტური ფუნქციის დონეები არის წრეები, რომლებიც ორიენტირებულია წერტილზე (2; 5). რადიუსების კვადრატები იქნება ობიექტური ფუნქციის მნიშვნელობები. შემდეგ ნახაზი აჩვენებს, რომ ობიექტური ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა მიღწეულია H წერტილში, მაქსიმალური მნიშვნელობა არის A წერტილში ან C წერტილში.

ობიექტური ფუნქციის მნიშვნელობა A წერტილში: ;

ობიექტური ფუნქციის მნიშვნელობა C წერტილში: ;

ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა მიიღწევა A(0; 2) წერტილში და უდრის 13-ს.

ვიპოვოთ H წერტილის კოორდინატები.

ამისათვის განიხილეთ სისტემა:

ó

ó

წრფე არის წრეზე ტანგენსი, თუ განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნები. კვადრატულ განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი, თუ დისკრიმინანტი არის 0.

მერე ; ; - ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა.

2) შეადგინეთ ლაგრანგის ფუნქცია მინიმალური ამოხსნის საპოვნელად:

ზე x 1 =2.5; x 2 =4.5 ჩვენ ვიღებთ:

ó

სისტემას აქვს გამოსავალი, ე.ი. საკმარისი ექსტრემალური პირობები დაკმაყოფილებულია.

ჩვენ ვადგენთ Lagrange ფუნქციას მაქსიმალური ამოხსნის საპოვნელად:

საკმარისი პირობები ექსტრემისთვის:

ზე x 1 =0; x 2 =2 ჩვენ ვიღებთ:

ó ó

სისტემას აქვს გამოსავალიც, ე.ი. საკმარისი ექსტრემალური პირობები დაკმაყოფილებულია.

პასუხი:მიზნობრივი ფუნქციის მინიმუმი მიღწეულია ; ; მაქსიმალური ობიექტური ფუნქცია მიიღწევა როცა ; .

დავალება ნომერი 3

თანხები გამოყოფილია ორ საწარმოს დერთეულები. როდესაც გამოყოფილია პირველ საწარმოზე ერთი წლით xსახსრების ერთეულები ის უზრუნველყოფს შემოსავალს კ 1 xერთეულები და მეორე საწარმოსთვის გამოყოფისას წსახსრების ერთეულები, ის უზრუნველყოფს შემოსავალს კ 1 წერთეულები. პირველი საწარმოსთვის წლის ბოლოს სახსრების ნაშთი უდრის nxდა მეორესთვის ჩემი. როგორ გავანაწილოთ ყველა თანხა 4 წლის განმავლობაში ისე, რომ მთლიანი შემოსავალი იყოს ყველაზე დიდი? პრობლემის გადაჭრა დინამიური პროგრამირებით.

i=8, k=1.

A=2200; k 1 =6; k2=1; n=0.2; m=0.5.

გადაწყვეტილება:

მთელი 4 წლის პერიოდი დაყოფილია 4 ეტაპად, რომელთაგან თითოეული უდრის ერთ წელს. ეტაპები დავთვალოთ პირველი წლიდან დაწყებული. მოდით X k და Y k იყოს A და B საწარმოებისთვის შესაბამისად გამოყოფილი თანხები k-ე ეტაპზე. მაშინ ჯამი X k + Y k =a k არის k - ამ ეტაპზე გამოყენებული სახსრების ჯამური რაოდენობა და დარჩენილი წინა ეტაპიდან k - 1. პირველ ეტაპზე გამოყენებულია ყველა გამოყოფილი თანხა და 1 =2200 ერთეული. შემოსავალი, რომელიც მიიღება k-ის ეტაპზე, როდესაც X k და Y k ერთეულები გამოიყოფა, იქნება 6X k + 1Y k. კ-დან დაწყებული ბოლო ეტაპებზე მიღებული მაქსიმალური შემოსავალი - ეს ეტაპი არის f k (a k) ერთეული. მოდით დავწეროთ ბელმანის ფუნქციონალური განტოლება, რომელიც გამოხატავს ოპტიმალურობის პრინციპს: როგორიც არ უნდა იყოს საწყისი მდგომარეობა და საწყისი ამონახსნები, შემდეგი ამონახსნი უნდა იყოს ოპტიმალური საწყისი მდგომარეობის შედეგად მიღებული მდგომარეობის მიმართ:

თითოეული ეტაპისთვის თქვენ უნდა აირჩიოთ მნიშვნელობა X k და მნიშვნელობა Y k=აკ- Xკ. ამის გათვალისწინებით, ჩვენ ვიპოვით შემოსავალს k-ე ეტაპზე:

ბელმანის ფუნქციური განტოლება ასე გამოიყურება:

განვიხილოთ ყველა ეტაპი, ბოლოდან დაწყებული.

(რადგან წრფივი ფუნქციის მაქსიმუმი მიიღწევა სეგმენტის ბოლოს x 4 = a 4-ზე);

განათლების ფედერალური სააგენტო

სახელმწიფო ბიუჯეტის საგანმანათლებლო დაწესებულება

უმაღლესი პროფესიული განათლება

"ომსკის სახელმწიფო ტექნიკური უნივერსიტეტი"

გაანგარიშება და გრაფიკული სამუშაო

დისციპლინის მიხედვით"ოპტიმალური კონტროლის თეორია »

თემაზე "ოპტიმიზაციის მეთოდები და ოპერაციების კვლევა »

ვარიანტი 7

დასრულებული:

მიმოწერის სტუდენტი

მე-4 წლის ჯგუფი ZA-419

სახელი: კუჟელევი S.A.

შემოწმებულია:

დევიატერიკოვა მ.ვ.

ომსკი - 2012 წ
^

ამოცანა 1. ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი.

7) 7x 1 + 6x 2 → მაქს 20x 1 + 6x 2 ≤ 15 16x 1 − 2x 2 ≤ 18 8x 1 + 4x 2 ≤ 20 13x 1 + 3x 2 ≤ 4 x 1 , x 2 ≥ 0.

ნაბიჯი 1. მოქმედი ტერიტორიის აშენება

ცვლადების და კვადრატების არანეგატიურობის პირობები ზღუდავს მათი დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონს პირველ კვადრატამდე. მოდელის დარჩენილი ოთხი შეზღუდვა-უტოლობებიდან თითოეული შეესაბამება რაღაც ნახევარ სიბრტყეს. ამ ნახევრად სიბრტყეების გადაკვეთა პირველ კვადრატთან ქმნის პრობლემის შესაძლო გადაწყვეტილებების ერთობლიობას.

მოდელის პირველი შეზღუდვა არის . მასში ≤ ნიშნის = ნიშნით ჩანაცვლებით, ვიღებთ განტოლებას . ნახ. 1.1 ის განსაზღვრავს ხაზს (1), რომელიც ყოფს სიბრტყეს ორ ნახევრად სიბრტყეზე, ამ შემთხვევაში ხაზის ზემოთ და ქვემოთ. აირჩიოს რომელი აკმაყოფილებს უთანასწორობას , ჩვენ მასში ვცვლით ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებს, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე (მაგალითად, საწყისი X 1 = 0, X 2 = 0). ვინაიდან ჩვენ მივიღებთ სწორ გამოსახულებას (20 0 + 6 0 = 0 ≤15), ნახევარსიბრტყე, რომელიც შეიცავს საწყისს (მონიშნულია ისრით) აკმაყოფილებს უტოლობას. წინააღმდეგ შემთხვევაში, კიდევ ერთი ნახევრად თვითმფრინავი.

ანალოგიურად ვაგრძელებთ პრობლემის დარჩენილ შეზღუდვებს. ყველა აგებული ნახევარსიბრტყის გადაკვეთა პირველ კვადრატთან Ა Ბ Გ Დ(იხ. სურ. 1). ეს არის ამოცანის მოქმედი ფარგლები.

ნაბიჯი 2. დონის ხაზის აგება დონის ხაზი ობიექტური ფუნქცია არის სიბრტყის წერტილების ერთობლიობა, რომლებშიც ობიექტური ფუნქცია იღებს მუდმივ მნიშვნელობას. ასეთი სიმრავლე მოცემულია განტოლებით ვ ( x) = კონსტ. დავუშვათ, მაგალითად, კონსტ = 0 და დახაზეთ ხაზი დონეზე ვ ( x) = 0, ე.ი. ჩვენს შემთხვევაში, პირდაპირი 7 x 1 + 6x 2 = 0.

ეს ხაზი გადის საწყისზე და არის ვექტორის პერპენდიკულარული. ეს ვექტორი არის ობიექტური ფუნქციის გრადიენტი (0,0). ფუნქციის გრადიენტი არის მოცემულ წერტილში მოცემული ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულების მნიშვნელობების ვექტორი. LP ამოცანის შემთხვევაში ობიექტური ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები კოეფიციენტების ტოლია. Cმე, ჯ = 1 , ..., ნ.

გრადიენტი აჩვენებს ფუნქციის ყველაზე სწრაფი ზრდის მიმართულებას. ობიექტური ფუნქციის დონის ხაზის გადატანა ვ ( x) = კონსტ. გრადიენტის მიმართულების პერპენდიკულურად იპოვეთ ბოლო წერტილი, სადაც ის კვეთს ფართობს. ჩვენს შემთხვევაში ეს არის D წერტილი, რომელიც იქნება ობიექტური ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი (იხ. ნახ. 2).

ის დგას (2) და (3) ხაზების გადაკვეთაზე (იხ. ნახ. 1) და ადგენს ოპტიმალურ ამონახსნებს.

^ გაითვალისწინეთ, რომ თუ გსურთ იპოვოთ ობიექტური ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა, დონის ხაზი გადაადგილდება გრადიენტის მიმართულების საპირისპირო მიმართულებით.

^ ნაბიჯი 3. მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილის კოორდინატების და ობიექტური ფუნქციის ოპტიმალური მნიშვნელობის განსაზღვრა.

C წერტილის კოორდინატების საპოვნელად აუცილებელია სისტემის ამოხსნა, რომელიც შედგება შესაბამისი პირდაპირი განტოლებისგან (ამ შემთხვევაში, 2 და 3 განტოლებიდან):

16x 1 − 2x 2 ≤ 18

8x 1 + 4x 2 ≤ 20

ვიღებთ ოპტიმალურ გადაწყვეტას = 1.33.

^ ობიექტური ფუნქციის ოპტიმალური მნიშვნელობა ვ * = ვ (X*) = 7 * 0 + 6 * 1,33 = 7,8

გადაწყვეტილება: იპოვეთ \(f (x, y)\) ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობა შემდეგი შეზღუდვების ქვეშ $$ f(x,y)=(x-4)^2 + (y-3)^2 \მარჯვნივ arrow max,min \ \\ დასაწყისი (შემთხვევები) 2x+3y\geq 6 \\ 3x-2y\leq 18\\ -x+2y\leq 8\\ x,y\geq0\ბოლო (შემთხვევები) $$
მიზანშეწონილია გამოვიყენოთ პრობლემის გადაჭრის გრაფიკული მეთოდი ორი ცვლადის ამოცანებისთვის, რომლებიც დაწერილია სიმეტრიული ფორმით, ასევე მრავალი ცვლადის ამოცანისთვის, იმ პირობით, რომ მათი კანონიკური აღნიშვნა შეიცავს არაუმეტეს ორ თავისუფალ ცვლადს.

ამ შემთხვევაში, დავალება ორი ცვლადით.

პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი "ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია":

1. ავაშენოთ დასაშვები ამონახსნების დომენი xOy სიბრტყეზე.
2. აირჩიეთ არაუარყოფითი გადაწყვეტილებების არეალი.

4. ავაშენოთ ობიექტური ფუნქციების ოჯახი.
5. იპოვეთ ობიექტური ფუნქციის მაქსიმალური (მინიმალური) მნიშვნელობა.

1. ჩვენ ვაშენებთ პრობლემის დასაშვები გადაწყვეტილებების დომენს \(D\).

შესაძლებელი გადაწყვეტილებების არეალის შესაქმნელად:
1) ჩვენ ვაშენებთ სასაზღვრო ხაზებს:
უტოლობებს ვცვლით ტოლებად, შემდეგ კი სწორი ხაზის განტოლებამდე მონაკვეთებად \(\frac(x)(a)+\frac(y)(b) = 1\) ფორმის ღერძებზე, შემდეგ \ (x=a\) არის Ox ღერძზე მოწყვეტილი სეგმენტი, \(y=b\) - Oy ღერძზე $$ \begin(cases) 2x+3y = 6 \\ 3x-2y = 18\\ - x+2y = 8 \end (შემთხვევები) => \ დასაწყისი (შემთხვევები) \frac(x)(3)+\frac(y)(2) = 1 \\ \frac(x)(8)-\frac( y)(9) = 1 \\ -\frac (x)(6)+ \frac(y)(4) = 1 \end(cases) $$ ყოველი სტრიქონისთვის გამოყავით სეგმენტები ღერძებზე და დააკავშირეთ ისინი. ჩვენ მივიღეთ სწორი ხაზები.

2) ვპოულობთ ნახევრად სიბრტყეებს, რომლებიც აკმაყოფილებენ მოცემულ უტოლობას:
უტოლობისთვის \(2x+3y\geq 6\) არის ნახევრად სიბრტყე, რომელიც მდებარეობს წრფის ზემოთ \(2x+3y = 6\). პირდაპირი AC
უტოლობისთვის \(3x-2y\leq 18 => -3x+2y \geq -18\) არის ნახევრად სიბრტყე, რომელიც მდებარეობს წრფის ზემოთ \(3x-2y = 18\). პირდაპირი CB
\(-x+2y\leq 8\) უტოლობისთვის არის ნახევრად სიბრტყე, რომელიც მდებარეობს წრფის ქვემოთ \(-x+2y = 8\). პირდაპირი AB

განხორციელებადი ამონახსნების სფერო განისაზღვრება, როგორც სამი ნახევარსიბრტყის საერთო ნაწილი, რომელიც შეესაბამება მოცემულ უტოლობას. ეს ტერიტორია არის სამკუთხედი \(ABC\)

რეგიონი \(D\) არის სამკუთხედი \(ABC\) იხილეთ ნახ.

2. აირჩიეთ არაუარყოფითი გადაწყვეტილებების არეალი.

არაუარყოფითი ამონახსნების რეგიონი მდებარეობს პირველ კვარტალში და წარმოადგენს ხუთივე ნახევარსიბრტყის საერთო ნაწილს, რომელთაგან სამი არის უტოლობებიდან მიღებული რეგიონი \(D\) და დამატებით ორი უტოლობა \(x \geq 0\). ) - ზედა ნახევარსიბრტყე (I და II კვარტლები) და \(y \geq 0\) - მარჯვენა ნახევარსიბრტყე (I და IV კვარტლები), რომლებიც გამოხატავენ \(x) ცვლადების არაუარყოფითობის პირობას; y\). მიღებულია არაუარყოფითი გადაწყვეტილებების სასურველი არე \(DEBFG\)

3.იპოვეთ რეგიონის წვეროების კოორდინატები.
ოთხი წვერის კოორდინატები უკვე ცნობილია (ეს არის ხაზების ღერძებთან გადაკვეთის წერტილები).
მოდით ჩამოვწეროთ ეს კოორდინატები:
\(D(0;2)\), \(E(0;4)\), \(F(6;0)\), \(G(3;0)\)
იპოვეთ \(B\) წერტილის კოორდინატები, როგორც \(-x+2y = 8\) და \(3x-2y = 18\) წრფეების გადაკვეთის წერტილები. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა და იპოვეთ ამ წერტილის კოორდინატები $$\begin(cases) -x+2y = 8\\ 3x-2y = 18\end(cases)=> \begin(cases) 2x = 26\\ 3x -2y = 18 \end(შემთხვევები)=> \დაწყება(შემთხვევები) x = 13\\ y =10.5\ბოლო(შემთხვევები)$$
მივიღეთ \(B(13;10.5)\) წერტილის კოორდინატები.

4. ვაშენებთ ობიექტური ფუნქციების ოჯახს.
განტოლება \(f(x,y)=(x-4)^2 + (y-3)^2 \მარჯვნივ arrow max,min\) xOy სიბრტყეზე განსაზღვრავს კონცენტრირებული წრეების ოჯახს, რომელიც ცენტრშია წერტილით კოორდინატებით \ (Q(4 ;3)\), რომელთაგან თითოეული შეესაბამება \(f\) პარამეტრის გარკვეულ მნიშვნელობას. მოგეხსენებათ, წრის განტოლებისთვის პარამეტრი \(f=R^2\).

იმავე კოორდინატულ სისტემაში წარმოვადგინოთ კონცენტრული წრეების ოჯახი \(f\) და ხაზების ოჯახი. \(f\) წერტილის მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილის განსაზღვრის პრობლემა დაიყვანება დასაშვებ ზონაში იმ წერტილის პოვნამდე, რომლითაც გადის \(f=const\) ოჯახის წრე, რომელიც პასუხისმგებელია \(f\) პარამეტრის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობა.

5. იპოვეთ ობიექტური ფუნქციის მაქსიმალური (მინიმალური) მნიშვნელობა.

მინიმალური ობიექტური ფუნქციის მნიშვნელობა: წრის რადიუსის თანდათან გაზრდით მივიღეთ, რომ პირველი წვერო, რომელსაც წრე გადის, არის წერტილი \(G(3;0)\). ობიექტური ფუნქცია ამ ეტაპზე იქნება მინიმალური და ტოლი \(f(3,0)=(3-4)^2 + (0-3)^2 = 10\)

ობიექტური ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა: წრის რადიუსის შემდგომი გაზრდით მივიღეთ, რომ ბოლო წვერო, რომელსაც წრე გაივლის, არის წერტილი \(B(13;10.5)\). ობიექტური ფუნქცია ამ ეტაპზე იქნება მაქსიმალური და ტოლი \(f(13,10.5)=(13-4)^2 + (10.5-3)^2 = 137.25\)

თქვენ შეგიძლიათ გადაამოწმოთ ამოხსნის სისწორე დარჩენილი წვეროების კოორდინატების ჩანაცვლებით ობიექტური ფუნქციის განტოლებაში:
წვეროზე \(D(0;2)\) ობიექტური ფუნქციის მნიშვნელობა უდრის \(f(0,2)=(0-4)^2 + (2-3)^2 = 17\)
წვეროზე \(E(0;4)\) ობიექტური ფუნქციის მნიშვნელობა უდრის \(f(0,4)=(0-4)^2 + (4-3)^2 = 17\)
წვეროზე \(F(6;0)\) ობიექტური ფუნქციის მნიშვნელობა არის \(f(6,4)=(6-4)^2 + (0-3)^2 = 13\)
Გავიგე

უპასუხე:
ობიექტური ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა \(f_(წთ) = 10\)
ობიექტური ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა \(f_(max) = 137.25\)

ობიექტური ფუნქცია- რამდენიმე ცვლადის რეალური ან მთელი რიცხვი ფუნქცია, რომელიც ექვემდებარება ოპტიმიზაციას (მინიმიზაციას ან მაქსიმიზაციას) ოპტიმიზაციის პრობლემის გადაჭრის მიზნით. ტერმინი გამოიყენება მათემატიკურ პროგრამირებაში, ოპერაციების კვლევაში, ხაზოვან პროგრამირებაში, სტატისტიკური გადაწყვეტილების თეორიაში და მათემატიკის სხვა სფეროებში, ძირითადად გამოყენებითი ხასიათის, თუმცა ოპტიმიზაციის მიზანი შეიძლება იყოს თავად მათემატიკური პრობლემის გადაწყვეტაც. ობიექტური ფუნქციის გარდა, ოპტიმიზაციის პრობლემაში ცვლადებს შეიძლება დაექვემდებაროს შეზღუდვები ტოლობების ან უტოლობების სისტემის სახით. ზოგად შემთხვევაში, ობიექტური ფუნქციის არგუმენტები შეიძლება მითითებული იყოს თვითნებურ სიმრავლეებზე.

მაგალითები

გლუვი ფუნქციები და განტოლებათა სისტემები

განტოლებათა ნებისმიერი სისტემის ამოხსნის პრობლემა

( F 1 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 F 2 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 … F N (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 ( \displaystyle \left\((\ დასაწყისი(მატრიცა)F_(1)(x_(1),x_(2),\ldots ,x_(M))=0\\F_(2)(x_(1),x_ (2),\ldots ,x_(M))=0\\\ldots \\F_(N)(x_(1),x_(2),\ldots ,x_(M))=0\ბოლო(მატრიცა) )\ მართალია.)

შეიძლება ჩამოყალიბდეს როგორც ობიექტური ფუნქციის მინიმიზაციის პრობლემა

S = ∑ j = 1 N F j 2 (x 1 , x 2 , … , x M) (1) (\displaystyle S=\sum _(j=1)^(N)F_(j)^(2)( x_(1),x_(2),\ldots,x_(M))\qquad(1))

თუ ფუნქციები გლუვია, მაშინ მინიმიზაციის პრობლემა შეიძლება მოგვარდეს გრადიენტური მეთოდებით.

ნებისმიერი გლუვი ობიექტური ფუნქციისთვის შეიძლება გაუტოლდეს 0-ს (\displaystyle 0) ნაწილობრივი წარმოებულები ყველა ცვლადის მიმართ. ოპტიმალური ობიექტური ფუნქცია იქნება განტოლებათა ასეთი სისტემის ერთ-ერთი ამოხსნა. ფუნქციის (1) შემთხვევაში (\displaystyle (1)) ეს იქნება უმცირესი კვადრატების (LSM) განტოლებების სისტემა. თავდაპირველი სისტემის ნებისმიერი ამონახსნი არის უმცირესი კვადრატების სისტემის ამოხსნა. თუ ორიგინალური სისტემა არათანმიმდევრულია, მაშინ LSM სისტემა, რომელსაც ყოველთვის აქვს გამოსავალი, შესაძლებელს ხდის ორიგინალური სისტემის სავარაუდო ამოხსნის მიღებას. LSM სისტემის განტოლებათა რაოდენობა ემთხვევა უცნობთა რაოდენობას, რაც ზოგჯერ ხელს უწყობს ერთობლივი საწყისი სისტემების ამოხსნას.

ხაზოვანი პროგრამირება

ობიექტური ფუნქციის კიდევ ერთი ცნობილი მაგალითია წრფივი ფუნქცია, რომელიც გვხვდება ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანებში. კვადრატული მიზნობრივი ფუნქციისგან განსხვავებით, წრფივი ფუნქციის ოპტიმიზაცია შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ არსებობს შეზღუდვები წრფივი ტოლობების ან უტოლობების სისტემის სახით.

კომბინაციური ოპტიმიზაცია

კომბინატორიული მიზნობრივი ფუნქციის ტიპიური მაგალითია მოგზაური გამყიდველის პრობლემის ობიექტური ფუნქცია. ეს ფუნქცია უდრის გრაფიკზე ჰამილტონის ციკლის ხანგრძლივობას. იგი მოცემულია გრაფიკის წვეროების n − 1 (\displaystyle n-1) პერმუტაციის სიმრავლეზე და განისაზღვრება გრაფიკის კიდეების სიგრძის მატრიცით. ასეთი პრობლემების ზუსტი გადაწყვეტა ხშირად მოდის ვარიანტების ჩამოთვლაზე.

თავი 1. ხაზოვანი პროგრამირების ძირითადი ამოცანის გამოთქმა

1. ხაზოვანი პროგრამირება

ხაზოვანი პროგრამირება არის მათემატიკური პროგრამირების ფილიალი, რომელიც სწავლობს ექსტრემალური ამოცანების გადაჭრის მეთოდებს, რომლებიც ხასიათდება ცვლადებსა და ხაზოვან კრიტერიუმს შორის წრფივი ურთიერთობით. ასეთი ამოცანები ფართო გამოყენებას პოულობს ადამიანის საქმიანობის სხვადასხვა სფეროში. ამ ტიპის პრობლემების სისტემატური შესწავლა დაიწყო 1939–1940 წლებში. ლ.ვ.-ის შემოქმედებაში. კანტოროვიჩი.

ხაზოვანი პროგრამირების მათემატიკური ამოცანები მოიცავს სპეციფიკური წარმოების და ეკონომიკური სიტუაციების შესწავლას, რომლებიც ამა თუ იმ ფორმით არის განმარტებული, როგორც შეზღუდული რესურსების ოპტიმალური გამოყენების პრობლემა.

ხაზოვანი პროგრამირების მეთოდებით გადაჭრილი ამოცანების დიაპაზონი საკმაოდ ფართოა, მაგალითად:

წარმოების დაგეგმვისას რესურსების ოპტიმალური გამოყენების პრობლემა;

ნარევების პრობლემა (პროდუქტების შემადგენლობის დაგეგმვა);

საწყობებში შესანახად სხვადასხვა ტიპის პროდუქციის ოპტიმალური კომბინაციის პოვნის პრობლემა (ინვენტარის მართვა ან);

სატრანსპორტო ამოცანები (საწარმოს ადგილმდებარეობის ანალიზი, საქონლის გადაადგილება).

ხაზოვანი პროგრამირება არის მათემატიკური პროგრამირების ყველაზე განვითარებული და ფართოდ გამოყენებული განყოფილება (გარდა ამისა, მასში შედის: მთელი რიცხვი, დინამიური, არაწრფივი, პარამეტრული პროგრამირება). ეს აიხსნება შემდეგნაირად:

დიდი რაოდენობის ეკონომიკური ამოცანების მათემატიკური მოდელები წრფივია საჭირო ცვლადების მიმართ;

ამ ტიპის პრობლემები ამჟამად ყველაზე შესწავლილია. მისთვის შემუშავებულია სპეციალური მეთოდები, რომლებითაც წყდება ეს პრობლემები და შესაბამისი კომპიუტერული პროგრამები;

ხაზოვანი პროგრამირების ბევრმა პრობლემამ, მოგვარებულმა, ფართო გამოყენება ჰპოვა;

ზოგიერთი პრობლემა, რომელიც არ არის წრფივი თავდაპირველ ფორმულირებაში, რიგი დამატებითი შეზღუდვებისა და დაშვებების შემდეგ, შეიძლება გახდეს წრფივი ან შეიძლება შემცირდეს ისეთ ფორმამდე, რომ მათი გადაჭრა შესაძლებელია ხაზოვანი პროგრამირების მეთოდებით.

ნებისმიერი წრფივი პროგრამირების ამოცანის ეკონომიკური და მათემატიკური მოდელი მოიცავს: ობიექტურ ფუნქციას, რომლის ოპტიმალური მნიშვნელობა (მაქსიმალური ან მინიმალური) უნდა მოიძებნოს; შეზღუდვები წრფივი განტოლებების ან უტოლობების სისტემის სახით; ცვლადების არანეგატიურობის მოთხოვნა.

ზოგადად, მოდელი იწერება შემდეგნაირად:

ობიექტური ფუნქცია

(1.1) შეზღუდვების მიხედვით

(1.2) არაუარყოფითი მოთხოვნები

(1.3) სადაც x ჯ– ცვლადები (უცნობი);

- ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანის კოეფიციენტები.

პრობლემა არის ფუნქციის (1.1) ოპტიმალური მნიშვნელობის პოვნა, რომელიც ექვემდებარება შეზღუდვებს (1.2) და (1.3).

შეზღუდვების სისტემას (1.2) ეწოდება პრობლემის ფუნქციური შეზღუდვები, ხოლო შეზღუდვებს (1.3) - პირდაპირი შეზღუდვები.

ვექტორს, რომელიც აკმაყოფილებს (1.2) და (1.3) შეზღუდვებს ეწოდება წრფივი პროგრამირების ამოცანის განხორციელებადი ამოხსნა (გეგმა). გეგმას, რომლისთვისაც ფუნქცია (1.1) აღწევს მაქსიმალურ (მინიმალურ) მნიშვნელობას, ოპტიმალური ეწოდება.

1.2. წრფივი პროგრამირების ამოცანების გადაჭრის მარტივი მეთოდი

სიმპლექსის მეთოდი შეიმუშავა და პირველად გამოიყენა ამოცანების გადასაჭრელად 1947 წელს ამერიკელმა მათემატიკოსმა ჯ. დანციგმა.

ორგანზომილებიანი ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანები წყდება გრაფიკულად. შემთხვევისთვის N=3 შეგვიძლია განვიხილოთ სამგანზომილებიანი სივრცე და ობიექტური ფუნქცია მიაღწევს თავის ოპტიმალურ მნიშვნელობას პოლიედრონის ერთ-ერთ წვეროზე.

სტანდარტული სახით მოცემული LP ამოცანის დასაშვები ამოხსნა (დაშვებული გეგმა) არის რიცხვების მოწესრიგებული ნაკრები (x1, x2, ..., xn), რომელიც აკმაყოფილებს შეზღუდვებს; არის წერტილი n-განზომილებიან სივრცეში.

დასაშვები გადაწყვეტილებების ნაკრები ქმნის LP პრობლემის დასაშვები გადაწყვეტილებების (SDR) არეალს. ODR არის ამოზნექილი მრავალკუთხედი (პოლიგონი).

ზოგადად, როდესაც N-უცნობები მონაწილეობენ პრობლემაში, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ შეზღუდვის პირობების სისტემით განსაზღვრული შესაძლებელი გადაწყვეტილებების ფართობი წარმოდგენილია ამოზნექილი პოლიედრონით n-განზომილებიან სივრცეში და მიზნის ოპტიმალური მნიშვნელობით. ფუნქცია მიიღწევა ერთ ან მეტ წვეროზე.

ამონახსნის ეწოდება ძირითადი, თუ ყველა თავისუფალი ცვლადი ნულის ტოლია.

საცნობარო გამოსავალი არის ძირითადი არაუარყოფითი გადაწყვეტა. დამხმარე ხსნარი შეიძლება იყოს არადეგენერაციული და გადაგვარებული. დამხმარე ამონახსნის ეწოდება არადეგენერატი, თუ მისი არა-ნულოვანი კოორდინატების რაოდენობა სისტემის რანგის ტოლია, წინააღმდეგ შემთხვევაში ის დეგენერატია.

განხორციელებულ გადაწყვეტას, რომელშიც ობიექტური ფუნქცია აღწევს უკიდურეს მნიშვნელობას, ეწოდება ოპტიმალური და აღინიშნება .

ძალიან რთულია ამ პრობლემების გრაფიკულად გადაჭრა, როდესაც ცვლადების რაოდენობა 3-ზე მეტია. არსებობს ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანების გადაჭრის უნივერსალური გზა, რომელსაც სიმპლექსის მეთოდს უწოდებენ.

მარტივი მეთოდი არის უნივერსალური მეთოდი LP პრობლემების გადასაჭრელად, რომელიც არის განმეორებითი პროცესი, რომელიც იწყება ერთი გადაწყვეტით და საუკეთესო ვარიანტის ძიებაში მოძრაობს შესაძლებელი გადაწყვეტილებების არეალის კუთხის წერტილების გასწვრივ, სანამ არ მიაღწევს ოპტიმალურ მნიშვნელობას. .

მისი გამოყენება შესაძლებელია ნებისმიერი წრფივი პროგრამირების პრობლემის გადასაჭრელად.

სიმპლექსის მეთოდი ემყარება მიღებული ხსნარის თანმიმდევრული გაუმჯობესების იდეას.

სიმპლექსის მეთოდის გეომეტრიული მნიშვნელობა მდგომარეობს იმაში, რომ თანმიმდევრულად გადავიდეს შეზღუდვის პოლიედრონის ერთი წვეროდან მეზობელზე, რომელშიც ობიექტური ფუნქცია იღებს საუკეთესო (ან თუნდაც არა ყველაზე უარეს) მნიშვნელობას, სანამ არ მოიძებნება ოპტიმალური ამონახსნები - წვერო, სადაც ოპტიმალური მნიშვნელობა მიღწეულია მიზნის ფუნქცია (თუ პრობლემას აქვს სასრული ოპტიმუმი).

ამრიგად, კანონიკურ ფორმამდე დაყვანილი შეზღუდვების სისტემა (ყველა ფუნქციური შეზღუდვა თანასწორობის სახითაა), ადამიანი პოულობს ამ სისტემის ნებისმიერ ძირითად გადაწყვეტას, ზრუნავს მხოლოდ მის პოვნაზე რაც შეიძლება მარტივად. თუ პირველი ნაპოვნი ძირითადი გადაწყვეტა შესაძლებელი აღმოჩნდა, მაშინ ის შემოწმდება ოპტიმალურად. თუ ეს არ არის ოპტიმალური, მაშინ ხდება გადასვლა სხვა, აუცილებლად დასაშვებ, ძირითად გადაწყვეტაზე. სიმპლექსის მეთოდი იძლევა გარანტიას, რომ ამ ახალი ამოხსნით, ობიექტური ფუნქცია, თუ ის არ აღწევს ოპტიმამს, მაშინ უახლოვდება მას (ან სულაც არ შორდება მას). ახალი დასაშვები ძირითადი ხსნარით, იგივე კეთდება მანამ, სანამ არ მოიძებნება ოპტიმალური გამოსავალი.

სიმპლექსის მეთოდის გამოყენების პროცესი მოიცავს მისი სამი ძირითადი ელემენტის განხორციელებას:

პრობლემის ზოგიერთი საწყისი შესაძლო ძირითადი გადაწყვეტის განსაზღვრის მეთოდი;

საუკეთესო (უფრო ზუსტად, არა უარეს) გადაწყვეტაზე გადასვლის წესი;

ნაპოვნი ამოხსნის ოპტიმალურობის შემოწმების კრიტერიუმი.

სიმპლექსის მეთოდი მოიცავს რამდენიმე საფეხურს და შეიძლება ჩამოყალიბდეს როგორც მკაფიო ალგორითმი (მკაფიო ინსტრუქცია თანმიმდევრული ოპერაციების შესასრულებლად). ეს საშუალებას გაძლევთ წარმატებით დააპროგრამოთ და განახორციელოთ იგი კომპიუტერზე. მცირე რაოდენობის ცვლადებისა და შეზღუდვების პრობლემების მოგვარება შესაძლებელია მარტივი მეთოდით ხელით.

6.1 შესავალი

ოპტიმიზაცია. Ნაწილი 1

ოპტიმიზაციის მეთოდები საშუალებას გაძლევთ აირჩიოთ საუკეთესო დიზაინის ვარიანტი ყველა შესაძლო ვარიანტიდან. ბოლო წლებში დიდი ყურადღება დაეთმო ამ მეთოდებს და შედეგად, შეიქმნა არაერთი მაღალეფექტური ალგორითმი, რომელიც შესაძლებელს ხდის ციფრული კომპიუტერის გამოყენებით დიზაინის ოპტიმალური ვარიანტის პოვნას. ეს თავი ასახავს ოპტიმიზაციის თეორიის საფუძვლებს, განიხილავს ოპტიმალური გადაწყვეტილებების ალგორითმების აგების პრინციპებს, აღწერს ყველაზე ცნობილ ალგორითმებს და აანალიზებს მათ უპირატესობებსა და ნაკლოვანებებს.

6.2 ოპტიმიზაციის თეორიის საფუძვლები

ლიტერატურაში ტერმინი „ოპტიმიზაცია“ ეხება პროცესს ან ოპერაციების თანმიმდევრობას, რომელიც საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ დახვეწილი გადაწყვეტა. მიუხედავად იმისა, რომ ოპტიმიზაციის საბოლოო მიზანი არის საუკეთესო, ან „ოპტიმალური“ გადაწყვეტის პოვნა, ჩვეულებრივ, უნდა დაკმაყოფილდეს ცნობილი გადაწყვეტილებების გაუმჯობესებით და არა მათი სრულყოფით. ამიტომ, ოპტიმიზაცია უფრო მეტად აღიქმება, როგორც სრულყოფილებისკენ სწრაფვა, რომელიც, შესაძლოა, ვერ მიიღწევა.

ზოგიერთი თვითნებური სისტემის გათვალისწინებით, რომელიც აღწერილია m განტოლებებით n უცნობით, შეგვიძლია გამოვყოთ პრობლემის სამი ძირითადი ტიპი. თუ m=n, პრობლემას ალგებრული ეწოდება. ასეთ პრობლემას ჩვეულებრივ აქვს ერთი გამოსავალი. თუ m>n, მაშინ პრობლემა ხელახლა არის განსაზღვრული და, როგორც წესი, გამოსავალი არ აქვს. საბოლოოდ, მ

სანამ ოპტიმიზაციის საკითხების განხილვას გავაგრძელებთ, შემოგთავაზებთ რამდენიმე განმარტებას.

დიზაინის პარამეტრები

ეს ტერმინი აღნიშნავს დამოუკიდებელ ცვლადის პარამეტრებს, რომლებიც სრულად და ცალსახად განსაზღვრავენ მოგვარებულ დიზაინის პრობლემას. დიზაინის პარამეტრები არის უცნობი სიდიდეები, რომელთა მნიშვნელობები გამოითვლება ოპტიმიზაციის პროცესში. ნებისმიერი ძირითადი ან წარმოებული რაოდენობა, რომელიც ემსახურება სისტემის რაოდენობრივ აღწერას, შეიძლება იყოს დიზაინის პარამეტრები. ასე რომ, ეს შეიძლება იყოს სიგრძის, მასის, დროის, ტემპერატურის უცნობი მნიშვნელობები. დიზაინის პარამეტრების რაოდენობა ახასიათებს ამ დიზაინის პრობლემის სირთულის ხარისხს. როგორც წესი, დიზაინის პარამეტრების რაოდენობა აღინიშნება n-ით, ხოლო თავად დიზაინის პარამეტრები x-ით შესაბამისი ინდექსებით. ამრიგად, ამ პრობლემის n დიზაინის პარამეტრები აღინიშნა

X1, x2, x3,...,xn.

ობიექტური ფუნქცია

ეს არის გამოხატულება, რომლის ღირებულების ინჟინერი ცდილობს მაქსიმალურად ან მინიმუმამდე დაიყვანოს. ობიექტური ფუნქცია საშუალებას გაძლევთ რაოდენობრივად შეადაროთ ორი ალტერნატიული გადაწყვეტა. მათემატიკური თვალსაზრისით, ობიექტური ფუნქცია აღწერს ზოგიერთ (n + 1) - განზომილებიან ზედაპირს. მისი ღირებულება განისაზღვრება დიზაინის პარამეტრებით

M=M(x 1, x 2,...,x n).

ობიექტური ფუნქციის მაგალითები, რომლებიც ხშირად გვხვდება საინჟინრო პრაქტიკაში, არის ღირებულება, წონა, ძალა, ზომები, ეფექტურობა. თუ არსებობს მხოლოდ ერთი დიზაინის პარამეტრი, მაშინ ობიექტური ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მრუდით სიბრტყეზე (ნახ. 6.1). თუ არსებობს ორი დიზაინის პარამეტრი, მაშინ სამიზნე ფუნქცია წარმოდგენილი იქნება ზედაპირით სამი განზომილების სივრცეში (ნახ. 6.2). სამი ან მეტი დიზაინის პარამეტრით, ობიექტური ფუნქციით მითითებულ ზედაპირებს ჰიპერზედაპირები ეწოდება და მათი გამოსახვა შეუძლებელია.

ჟენია ჩვეულებრივი საშუალებები. ობიექტური ფუნქციის ზედაპირის ტოპოლოგიური თვისებები მნიშვნელოვან როლს თამაშობს ოპტიმიზაციის პროცესში, რადგან მათზეა დამოკიდებული ყველაზე ეფექტური ალგორითმის არჩევანი.

ობიექტურმა ფუნქციამ ზოგიერთ შემთხვევაში შეიძლება მიიღოს ყველაზე მოულოდნელი ფორმები. მაგალითად, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი მისი გამოხატვა

ნახ. 1. ერთგანზომილებიანი ობიექტური ფუნქცია.

ნახ.6.2.ორგანზომილებიანი ობიექტური ფუნქცია.

დახურული მათემატიკური ფორმა, სხვა შემთხვევაში შეიძლება

იყოს ცალმხრივი გლუვი ფუნქცია. ობიექტურმა ფუნქციამ შეიძლება ზოგჯერ მოითხოვოს ტექნიკური მონაცემების ცხრილი (მაგალითად, ორთქლის მდგომარეობის ცხრილი) ან შეიძლება საჭირო გახდეს ექსპერიმენტის ჩატარება. ზოგიერთ შემთხვევაში, დიზაინის პარამეტრები იღებენ მხოლოდ მთელ მნიშვნელობებს. მაგალითი შეიძლება იყოს კბილების რაოდენობა მექანიზმში ან ჭანჭიკების რაოდენობა ფლანგში. ზოგჯერ დიზაინის პარამეტრებს აქვთ მხოლოდ ორი მნიშვნელობა - დიახ ან არა. ოპტიმიზაციის პროცესში ძნელი გასათვალისწინებელია ისეთი ხარისხობრივი პარამეტრები, როგორიცაა მომხმარებელთა კმაყოფილება, საიმედოობა, ესთეტიკა, რადგან მათი რაოდენობრივი დადგენა თითქმის შეუძლებელია. თუმცა, რა ფორმითაც არ უნდა იყოს წარმოდგენილი ობიექტური ფუნქცია, ის უნდა იყოს დიზაინის პარამეტრების ერთმნიშვნელოვანი ფუნქცია.

ოპტიმიზაციის რიგი პრობლემების დროს საჭიროა ერთზე მეტი ობიექტური ფუნქციის დანერგვა. ზოგჯერ ერთი მათგანი შეიძლება შეუთავსებელი იყოს მეორესთან. ამის მაგალითია თვითმფრინავის დიზაინი, როდესაც საჭიროა ერთდროულად უზრუნველყოს მაქსიმალური სიძლიერე, მინიმალური წონა და მინიმალური ღირებულება. ასეთ შემთხვევებში, დიზაინერმა უნდა შემოიტანოს პრიორიტეტების სისტემა და მივანიჭოს რაიმე განზომილებიანი მულტიპლიკატორი თითოეულ ობიექტურ ფუნქციას. შედეგად, ჩნდება "კომპრომისის ფუნქცია", რომელიც საშუალებას იძლევა გამოიყენოს ერთი შედგენილი ობიექტური ფუნქცია ოპტიმიზაციის პროცესში.

მინიმალური და მაქსიმალურის პოვნა

ზოგიერთი ოპტიმიზაციის ალგორითმი ადაპტირებულია მაქსიმუმის საპოვნელად, სხვები კი მინიმალური. თუმცა, მიუხედავად მოგვარებული ექსტრემალური პრობლემის ტიპისა, შეიძლება გამოყენებულ იქნას იგივე ალგორითმი, რადგან მინიმიზაციის პრობლემა ადვილად გადაიქცევა მაქსიმალურ პრობლემად ობიექტური ფუნქციის ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლით. ეს ტექნიკა ილუსტრირებულია სურათზე 6.3.

დიზაინის სივრცე

ეს არის ყველა n დიზაინის პარამეტრით განსაზღვრული არეალის სახელი. დიზაინის სივრცე არ არის ისეთი დიდი, როგორც შეიძლება ჩანდეს, რადგან ის ჩვეულებრივ შემოიფარგლება რამდენიმე

პირობები, რომლებიც დაკავშირებულია პრობლემის ფიზიკურ არსთან. შეზღუდვები შეიძლება იყოს იმდენად ძლიერი, რომ დავალება არ იყოს

ნახ.6.3 ობიექტური ფუნქციის ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლა

მაქსიმალური დავალება იქცევა მინიმალურ ამოცანად.

დამაკმაყოფილებელი გადაწყვეტა. შეზღუდვები იყოფა ორ ჯგუფად: შეზღუდვები - თანასწორობები და შეზღუდვები - უტოლობები.

შეზღუდვები - თანასწორობა

შეზღუდვები - თანასწორობები - არის დამოკიდებულება დიზაინის პარამეტრებს შორის, რომელიც უნდა იქნას გათვალისწინებული გადაწყვეტის პოვნისას. ისინი ასახავს ბუნების კანონებს, ეკონომიკას, უფლებებს, გაბატონებულ გემოვნებას და საჭირო მასალების ხელმისაწვდომობას. შეზღუდვების რაოდენობა - თანასწორობა შეიძლება იყოს ნებისმიერი. ჰგვანან

C 1 (x 1 , x 2 ,..., x n) = 0,

C 2 (x 1 , x 2 ,..., x n) = 0,

..................

C j (x 1, x 2,...,x n)=0.

თუ რომელიმე ამ ურთიერთობებიდან შეიძლება გადაწყდეს დიზაინის ერთ-ერთი პარამეტრის მიმართ, მაშინ ეს საშუალებას გაძლევთ გამორიცხოთ ეს პარამეტრი ოპტიმიზაციის პროცესიდან. ეს ამცირებს დიზაინის სივრცის ზომების რაოდენობას და ამარტივებს პრობლემის გადაჭრას.

შეზღუდვები - უტოლობები

ეს არის განსაკუთრებული სახის შეზღუდვა, რომელიც გამოხატულია უტოლობებით. ზოგადად, მათი რიცხვი შეიძლება იყოს ნებისმიერი და ყველა მათგანს აქვს ფორმა

z 1 r 1 (x 1 , x 2 ,..., x n) Z 1

z 2 r 2 (x 1 , x 2 ,..., x n) Z 2

.......................

z k r k (x 1 , x 2 ,...,x n) Z k

უნდა აღინიშნოს, რომ ძალიან ხშირად, შეზღუდვების გამო, ობიექტური ფუნქციის ოპტიმალური მნიშვნელობა არ მიიღწევა იქ, სადაც მის ზედაპირს აქვს ნულოვანი გრადიენტი. ხშირად საუკეთესო გამოსავალი არის დიზაინის დომენის ერთ-ერთ საზღვარზე.

ადგილობრივი ოპტიმალური

ეს არის წერტილის სახელწოდება საპროექტო სივრცეში, სადაც ობიექტურ ფუნქციას აქვს ყველაზე დიდი მნიშვნელობა მის მნიშვნელობებთან შედარებით, მის უშუალო სამეზობლოში არსებულ ყველა სხვა წერტილში.

ნახ.6.4 თვითნებურ ობიექტურ ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე

ადგილობრივი ოპტიმა.

ნახ. სურათი 6.4 გვიჩვენებს ერთგანზომილებიან ობიექტურ ფუნქციას, რომელსაც აქვს ორი ლოკალური ოპტიმა. ხშირად დიზაინის სივრცე შეიცავს ბევრ ლოკალურ ოპტიმას და ზრუნვა უნდა იქნას მიღებული, რომ პირველი არ შეცდეს პრობლემის ოპტიმალურ გადაწყვეტაში.

გლობალური ოპტიმუმი

გლობალური ოპტიმუმი არის ოპტიმალური გადაწყვეტა მთელი დიზაინის სივრცისთვის. ის უკეთესია, ვიდრე ადგილობრივი ოპტიმის შესაბამისი ყველა სხვა გადაწყვეტა და სწორედ ამას ეძებს დიზაინერი. შესაძლებელია საპროექტო სივრცის სხვადასხვა ნაწილში განლაგებული რამდენიმე თანაბარი გლობალური ოპტიმის შემთხვევა. როგორ არის დასმული ოპტიმიზაციის პრობლემა, საუკეთესოდ ჩანს მაგალითით.

მაგალითი 6.1

მოდით, საჭირო გახდეს მართკუთხა კონტეინერის დაპროექტება 1 მ მოცულობით, რომელიც განკუთვნილია შეუფუთავი ბოჭკოს ტრანსპორტირებისთვის. სასურველია, რომ რაც შეიძლება ნაკლები მასალა დაიხარჯოს ასეთი კონტეინერების წარმოებაზე (კედლის მუდმივი სისქის გათვალისწინებით, ეს ნიშნავს, რომ ზედაპირის ფართობი უნდა იყოს მინიმალური), რადგან ეს უფრო იაფი იქნება. იმისათვის, რომ კონტეინერის ასაღებად მოსახერხებელი იყოს, მისი სიგანე უნდა იყოს მინიმუმ 1,5 მ.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ ეს პრობლემა ოპტიმიზაციის ალგორითმის გამოსაყენებლად მოსახერხებელი ფორმით.

დიზაინის პარამეტრები: x 1 , x 2 , x 3 .

ობიექტური ფუნქცია (რომელიც მინიმუმამდე უნდა შემცირდეს) არის კონტეინერის გვერდითი ზედაპირის ფართობი:

A=2(x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3), m2.

შეზღუდვა - თანასწორობა:

მოცულობა \u003d x 1 x 2 x 3 \u003d 1 მ3.

შეზღუდვა - უთანასწორობა:

ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემები

ხაზოვანი პროგრამირება (LP)არის მათემატიკური პროგრამირების ერთ-ერთი განყოფილება - დისციპლინა, რომელიც სწავლობს ექსტრემალური (ოპტიმიზაციის) ამოცანებს და შეიმუშავებს მათ გადაჭრის მეთოდებს.

ოპტიმიზაციის პრობლემაარის მათემატიკური პრობლემა, რომელიც შედგება ობიექტური ფუნქციის ოპტიმალური (ანუ მაქსიმალური ან მინიმალური) მნიშვნელობის პოვნაში, ხოლო ცვლადების მნიშვნელობები უნდა მიეკუთვნებოდეს დასაშვები მნიშვნელობების გარკვეულ არეალს (ODV).

ზოგადად, მათემატიკური პროგრამირების ექსტრემალური პრობლემის ფორმულირება მოიცავს ფუნქციის უდიდესი ან უმცირესი მნიშვნელობის განსაზღვრას, ე.წ. ობიექტური ფუნქცია, პირობებში (შეზღუდვები) , სადაც და მოცემულია ფუნქციები და მოცემულია მუდმივები. ამავდროულად, შეზღუდვები თანასწორობისა და უტოლობების სახით განსაზღვრავს შესაძლებელი გადაწყვეტილებების სიმრავლეს (რეგიონს) და ე.წ. დიზაინის პარამეტრები.

მათემატიკური პროგრამირების ფუნქციებისა და ამოცანების ტიპის მიხედვით იყოფა რამდენიმე კლასად (წრფივი, არაწრფივი, ამოზნექილი, მთელი რიცხვი, სტოქასტური, დინამიური პროგრამირება და ა.შ.).

AT ზოგადი ხედი LP პრობლემას აქვს შემდეგი ფორმა:

, (5.1)

, , (5.2)

, , (5.3)

სადაც , , მოცემულია მუდმივები.

ფუნქციას (5.1) ეწოდება ობიექტური ფუნქცია; სისტემები (5.2), (5.3) - შეზღუდვების სისტემით; პირობა (5.4) არის საპროექტო პარამეტრების არანეგატიურობის პირობა.

დიზაინის პარამეტრების ნაკრები, რომელიც აკმაყოფილებს შეზღუდვებს (5.2), (5.3) და (5.4) ე.წ. მისაღები გადაწყვეტაან გეგმა.

ოპტიმალური გადაწყვეტაან ოპტიმალური გეგმა LP პრობლემას ეწოდება შესაძლებელი გადაწყვეტა, რომელშიც ობიექტური ფუნქცია (5.1) იღებს ოპტიმალურ (მაქსიმალურ ან მინიმალურ) მნიშვნელობას.

სტანდარტული დავალება LP ეწოდება ობიექტური ფუნქციის (5.1) მაქსიმალური (მინიმალური) მნიშვნელობის პოვნის პრობლემას (5.2) და (5.4) პირობებში, სადაც , , ე.ი. იმათ. შეზღუდვები მხოლოდ უტოლობების სახით (5.2) და დიზაინის ყველა პარამეტრი აკმაყოფილებს არაუარყოფითობის პირობას და არ არსებობს პირობები ტოლობის სახით:

,

, , (5.5)

.

კანონიკური (მთავარი) დავალება LP ეწოდება ობიექტური ფუნქციის (5.1) მაქსიმალური (მინიმალური) მნიშვნელობის პოვნის პრობლემას (5.3) და (5.4) პირობებში, სადაც , , ე.ი. იმათ. შეზღუდვები მხოლოდ ტოლობის სახით (5.3) და დიზაინის ყველა პარამეტრი აკმაყოფილებს არაუარყოფითობის პირობას და არ არსებობს პირობები უტოლობის სახით:

,

.

კანონიკური LP პრობლემა ასევე შეიძლება დაიწეროს მატრიცული და ვექტორული ფორმით.

კანონიკური LP ამოცანის მატრიცულ ფორმას აქვს შემდეგი ფორმა:

კანონიკური LP ამოცანის ვექტორული ფორმა.