ბევრის ამოხსნისას მათემატიკური პრობლემები, განსაკუთრებით ის, რაც ხდება მე-10 კლასამდე, მკაფიოდ არის განსაზღვრული შესრულებული მოქმედებების თანმიმდევრობა, რომელიც მიგვიყვანს მიზნამდე. ასეთი პრობლემები მოიცავს, მაგალითად, წრფივ და კვადრატულ განტოლებებს, წრფივ და კვადრატულ უტოლობას, წილადობრივ განტოლებებს და განტოლებებს, რომლებიც მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე. თითოეული აღნიშნული ამოცანის წარმატებით გადაჭრის პრინციპი ასეთია: უნდა დადგინდეს, თუ რა ტიპის ამოცანის გადაჭრა ხდება, დაიმახსოვროთ მოქმედებების აუცილებელი თანმიმდევრობა, რომელიც გამოიწვევს სასურველ შედეგს, ე.ი. უპასუხეთ და მიჰყევით ამ ნაბიჯებს.

ცხადია, წარმატება ან წარუმატებლობა კონკრეტული პრობლემის გადაჭრაში ძირითადად დამოკიდებულია იმაზე, თუ რამდენად სწორად არის განსაზღვრული გადაჭრის განტოლების ტიპი, რამდენად სწორად არის რეპროდუცირებული მისი ამოხსნის ყველა ეტაპის თანმიმდევრობა. რა თქმა უნდა, ამ შემთხვევაში აუცილებელია იდენტური გარდაქმნებისა და გამოთვლების შესრულების უნარ-ჩვევები.

განსხვავებული სიტუაცია ხდება ტრიგონომეტრიული განტოლებები.ძნელი არ არის იმის დადგენა, რომ განტოლება ტრიგონომეტრიულია. სირთულეები წარმოიქმნება ქმედებების თანმიმდევრობის განსაზღვრისას, რაც გამოიწვევს სწორ პასუხს.

ზოგჯერ ძნელია მისი ტიპის განსაზღვრა განტოლების გარეგნობით. და განტოლების ტიპის ცოდნის გარეშე, რამდენიმე ათეული ტრიგონომეტრიული ფორმულიდან სწორის არჩევა თითქმის შეუძლებელია.

ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოსახსნელად უნდა ვცადოთ:

1. მიიყვანეთ განტოლებაში შემავალი ყველა ფუნქცია „იგივე კუთხეებამდე“;
2. მიიტანეთ განტოლება „იგივე ფუნქციებზე“;
3. განტოლების მარცხენა მხარის ფაქტორიზირება და ა.შ.

განიხილეთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები.

I. შემცირება უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებამდე

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.გამოხატეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქცია ცნობილი კომპონენტების მიხედვით.

ნაბიჯი 2იპოვეთ ფუნქციის არგუმენტი ფორმულების გამოყენებით:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

ნაბიჯი 3იპოვნეთ უცნობი ცვლადი.

მაგალითი.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

გადაწყვეტილება.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

პასუხი: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. ცვლადი ჩანაცვლება

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.მიიტანეთ განტოლება ალგებრულ ფორმაში ერთ-ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მიმართ.

ნაბიჯი 2აღნიშნეთ მიღებული ფუნქცია t ცვლადით (საჭიროების შემთხვევაში შემოიტანეთ შეზღუდვები t-ზე).

ნაბიჯი 3ჩაწერეთ და ამოხსენით მიღებული ალგებრული განტოლება.

ნაბიჯი 4გააკეთეთ საპირისპირო ჩანაცვლება.

ნაბიჯი 5ამოხსენით უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლება.

მაგალითი.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

გადაწყვეტილება.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) მოდით sin (x/2) = t, სადაც |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ან e = -3/2 არ აკმაყოფილებს პირობას |t| ≤ 1.

4) ცოდვა (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

პასუხი: x = π + 4πn, n Є Z.

III. განტოლების რიგის შემცირების მეთოდი

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.შეცვალეთ ეს განტოლება ხაზოვანი განტოლებით სიმძლავრის შემცირების ფორმულების გამოყენებით:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

ნაბიჯი 2ამოხსენით მიღებული განტოლება I და II მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი.

cos2x + cos2x = 5/4.

გადაწყვეტილება.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

პასუხი: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. ჰომოგენური განტოლებები

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.მიიტანეთ ეს განტოლება ფორმაში

ა) a sin x + b cos x = 0 (პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება)

ან ხედისკენ

ბ) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება).

ნაბიჯი 2გაყავით განტოლების ორივე მხარე

ა) cos x ≠ 0;

ბ) cos 2 x ≠ 0;

და მიიღეთ განტოლება tg x-სთვის:

ა) a tg x + b = 0;

ბ) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

ნაბიჯი 3ამოხსენით განტოლება ცნობილი მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

გადაწყვეტილება.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) მოდით tg x = t, მაშინ

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ან t = -4, ასე რომ

tg x = 1 ან tg x = -4.

პირველი განტოლებიდან x = π/4 + πn, n Є Z; მეორე განტოლებიდან x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

პასუხი: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. განტოლების გარდაქმნის მეთოდი ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყენებით

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.ყველა სახის ტრიგონომეტრიული ფორმულის გამოყენებით მიიტანეთ ეს განტოლება განტოლებამდე, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია I, II, III, IV მეთოდებით.

ნაბიჯი 2ამოხსენით მიღებული განტოლება ცნობილი მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

გადაწყვეტილება.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ან 2cos x + 1 = 0;

პირველი განტოლებიდან 2x = π/2 + πn, n Є Z; მეორე განტოლებიდან cos x = -1/2.

გვაქვს x = π/4 + πn/2, n Є Z; მეორე განტოლებიდან x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

შედეგად, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

პასუხი: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის უნარი და უნარები ძალიან არის მნიშვნელოვანია, რომ მათი განვითარება მოითხოვს მნიშვნელოვან ძალისხმევას, როგორც მოსწავლის, ასევე მასწავლებლის მხრიდან.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნასთან ასოცირდება სტერეომეტრიის, ფიზიკის და ა.შ მრავალი პრობლემა.ასეთი ამოცანების ამოხსნის პროცესი, თითქოსდა, შეიცავს ბევრ ცოდნას და უნარს, რომელიც იძენს ტრიგონომეტრიის ელემენტების შესწავლისას.

მათემატიკის სწავლების და ზოგადად პიროვნების განვითარების პროცესში ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს მნიშვნელოვანი ადგილი უჭირავს.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ ამოხსნათ ტრიგონომეტრიული განტოლებები?
დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად -.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

ვიდეოკურსი „Get an A“ მოიცავს ყველა იმ თემას, რომელიც აუცილებელია მათემატიკაში გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის 60-65 ქულით. სრულად ყველა დავალება 1-13 პროფილის გამოყენება მათემატიკაში. ასევე შესაფერისია მათემატიკაში საბაზისო გამოყენებისთვის. თუ გსურთ გამოცდა 90-100 ქულით ჩააბაროთ, 1 ნაწილი უნდა ამოხსნათ 30 წუთში და უშეცდომოდ!

გამოცდისთვის მოსამზადებელი კურსი 10-11 კლასებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის. ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ მათემატიკაში გამოცდის 1 ნაწილის გადასაჭრელად (პირველი 12 ამოცანა) და ამოცანა 13 (ტრიგონომეტრია). და ეს არის 70 ქულაზე მეტი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდაზე და არც ასქულიანი სტუდენტი და არც ჰუმანისტი მათ გარეშე არ შეუძლია.

ყველა საჭირო თეორია. სწრაფი გადაწყვეტილებები, ხაფანგები და გამოცდის საიდუმლოებები. გაანალიზებულია FIPI ბანკის ამოცანების პირველი ნაწილის ყველა შესაბამისი დავალება. კურსი სრულად შეესაბამება USE-2018-ის მოთხოვნებს.

კურსი შეიცავს 5 დიდ თემას, თითო 2,5 საათი. თითოეული თემა მოცემულია ნულიდან, მარტივად და ნათლად.

ასობით საგამოცდო დავალება. ტექსტის პრობლემები და ალბათობის თეორია. მარტივი და ადვილად დასამახსოვრებელი პრობლემის გადაჭრის ალგორითმები. გეომეტრია. თეორია, საცნობარო მასალა, ყველა სახის USE ამოცანების ანალიზი. სტერეომეტრია. მზაკვრული ხრიკები ამოხსნისთვის, სასარგებლო თაღლითური ფურცლები, სივრცითი წარმოსახვის განვითარება. ტრიგონომეტრია ნულიდან - დავალებამდე 13. გააზრება ჩაკეტვის ნაცვლად. რთული ცნებების ვიზუალური ახსნა. Ალგებრა. ფესვები, სიმძლავრეები და ლოგარითმები, ფუნქცია და წარმოებული. გამოცდის მე-2 ნაწილის რთული ამოცანების გადაჭრის ბაზა.

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა.

ნებისმიერი დონის სირთულის ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა საბოლოოდ მთავრდება უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნამდე. და ამაში ტრიგონომეტრიული წრე ისევ საუკეთესო დამხმარე აღმოჩნდება.

გაიხსენეთ კოსინუსის და სინუსის განმარტებები.

კუთხის კოსინუსი არის აბსცისა (ანუ კოორდინატი ღერძის გასწვრივ) წერტილის ერთეულ წრეზე, რომელიც შეესაბამება მოცემული კუთხით ბრუნვას.

კუთხის სინუსი არის წერტილის ორდინატი (ანუ კოორდინატი ღერძის გასწვრივ) ერთეულ წრეზე, რომელიც შეესაბამება მოცემული კუთხით ბრუნვას.

ტრიგონომეტრიული წრის გასწვრივ მოძრაობის დადებითი მიმართულება ითვლება მოძრაობის საწინააღმდეგოდ. 0 გრადუსიანი ბრუნვა (ან 0 რადიანი) შეესაბამება წერტილს კოორდინატებით (1; 0)

ჩვენ ვიყენებთ ამ განმარტებებს უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოსახსნელად.

1. ამოხსენით განტოლება

ეს განტოლება კმაყოფილდება ბრუნვის კუთხის ყველა ისეთი მნიშვნელობით, რომელიც შეესაბამება წრის წერტილებს, რომელთა ორდინატი უდრის.

y-ღერძზე ორდინატით ავღნიშნოთ წერტილი:

დახაზეთ ჰორიზონტალური ხაზი x ღერძის პარალელურად, სანამ ის არ გადაიკვეთება წრეზე. ჩვენ მივიღებთ ორ ქულას წრეზე დაწოლა და ორდინატი. ეს წერტილები შეესაბამება ბრუნვის კუთხეებს და რადიანებს:

თუ რადიანზე ბრუნის კუთხის შესაბამისი წერტილი დავტოვეთ, შემოვბრუნდებით სრულ წრეზე, მაშინ მივალთ წერტილამდე, რომელიც შეესაბამება რადიანზე ბრუნის კუთხით და აქვს იგივე ორდინატი. ანუ ბრუნვის ეს კუთხეც აკმაყოფილებს ჩვენს განტოლებას. ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ იმდენი "უსაქმური" შემობრუნება, რამდენიც გვინდა, დავუბრუნდეთ იმავე წერტილს და ყველა ეს კუთხის მნიშვნელობა დააკმაყოფილებს ჩვენს განტოლებას. „უსაქმური“ რევოლუციების რაოდენობა აღინიშნება ასოთი (ან). ვინაიდან ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ ეს რევოლუციები როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მიმართულებით, (ან ) შეიძლება მიიღოს ნებისმიერი მთელი რიცხვი.

ანუ, საწყისი განტოლების ამონახსნების პირველ სერიას აქვს ფორმა:

, , - მთელი რიცხვების სიმრავლე (1)

ანალოგიურად, გადაწყვეტილებების მეორე სერიას აქვს ფორმა:

, სად , . (2)

როგორც მიხვდით, ამონახსნების ეს სერია ეფუძნება წრის წერტილს, რომელიც შეესაბამება ბრუნვის კუთხეს .

გადაწყვეტილებების ეს ორი სერია შეიძლება გაერთიანდეს ერთ ჩანაწერში:

თუ ავიღებთ ამ ჩანაწერს (ანუ ლუწი), მაშინ მივიღებთ გადაწყვეტილებების პირველ სერიას.

თუ ავიღებთ ამ ჩანაწერს (ანუ კენტს), მაშინ მივიღებთ ამონახსნების მეორე სერიას.

2. ახლა მოდით ამოვხსნათ განტოლება

ვინაიდან ერთეული წრის წერტილის აბსციზა მიღებულია კუთხით შემობრუნებით, ღერძზე აბსცისით აღვნიშნავთ წერტილს:

დახაზეთ ვერტიკალური ხაზი ღერძის პარალელურად, სანამ არ გადაიკვეთება წრეზე. ჩვენ მივიღებთ ორ ქულას წრეზე დაწოლილი და აბსცისის მქონე. ეს წერტილები შეესაბამება ბრუნვის კუთხეებს და რადიანებს. შეგახსენებთ, რომ საათის ისრის მიმართულებით მოძრაობისას ვიღებთ ბრუნვის უარყოფით კუთხეს:

ჩვენ ვწერთ გადაწყვეტილებების ორ სერიას:

,

,

(სწორ წერტილამდე მივდივართ მთავარი სრული წრიდან გადასვლით, ანუ.

მოდით გავაერთიანოთ ეს ორი სერია ერთ პოსტში:

3. ამოხსენით განტოლება

ტანგენტების ხაზი გადის OY ღერძის პარალელურად ერთეული წრის კოორდინატებით (1,0) წერტილში.

მონიშნეთ მასზე წერტილი 1-ის ტოლი ორდინატით (ჩვენ ვეძებთ ტანგენტს, რომლის კუთხე არის 1):

შეაერთეთ ეს წერტილი საწყისთან სწორი ხაზით და მონიშნეთ წრფის გადაკვეთის წერტილები ერთეული წრით. წრფისა და წრის გადაკვეთის წერტილები შეესაბამება ბრუნვის კუთხეებს და:

ვინაიდან ბრუნვის კუთხეების შესაბამისი წერტილები, რომლებიც აკმაყოფილებენ ჩვენს განტოლებას, ერთმანეთისგან რადიანებით არის დაშორებული, ჩვენ შეგვიძლია ამოხსნა დავწეროთ შემდეგნაირად:

4. ამოხსენით განტოლება

კოტანგენტების ხაზი გადის ღერძის პარალელურად ერთეული წრის კოორდინატებით წერტილში.

ჩვენ აღვნიშნავთ წერტილს აბსცისით -1 კოტანგენტების ხაზზე:

შეაერთეთ ეს წერტილი სწორი ხაზის საწყისთან და გააგრძელეთ სანამ არ გადაიკვეთება წრეზე. ეს ხაზი გადაკვეთს წრეს წერტილებში, რომლებიც შეესაბამება ბრუნვის კუთხეებს და რადიანებს:

ვინაიდან ეს წერტილები ერთმანეთისგან გამოყოფილია ტოლი მანძილით, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ამ განტოლების ზოგადი ამონახსნები შემდეგნაირად:

მოცემულ მაგალითებში, უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის საილუსტრაციოდ, გამოყენებული იქნა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ტაბულური მნიშვნელობები.

თუმცა, თუ განტოლების მარჯვენა მხარეს არის არა-ცხრილის მნიშვნელობა, მაშინ ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობას განტოლების ზოგად ამოხსნაში:

სპეციალური გადაწყვეტილებები:

მონიშნეთ წერტილები წრეზე, რომლის ორდინატი არის 0:

მონიშნე წრეზე ერთი წერტილი, რომლის ორდინატი უდრის 1-ს:

მონიშნე წრეზე ერთი წერტილი, რომლის ორდინატი უდრის -1-ს:

იმის გამო, რომ ჩვეულებრივია ნულთან ყველაზე ახლოს მნიშვნელობების მითითება, ჩვენ ვწერთ ამოხსნას შემდეგნაირად:

მონიშნეთ წრეზე წერტილები, რომელთა აბსციზა არის 0:

5.
წრეზე ავღნიშნოთ ერთი წერტილი, რომლის აბსციზა 1-ის ტოლია:

წრეზე მონიშნეთ ერთი წერტილი, რომლის აბსციზა უდრის -1-ს:

და კიდევ რამდენიმე რთული მაგალითი:

1.

სინუსი ერთია, თუ არგუმენტი არის

ჩვენი სინუს არგუმენტი არის , ასე რომ მივიღებთ:

გაყავით განტოლების ორივე მხარე 3-ზე:

პასუხი:

2.

კოსინუსი არის ნული, თუ კოსინუსის არგუმენტი არის

ჩვენი კოსინუსის არგუმენტი არის , ამიტომ მივიღებთ:

ჩვენ გამოვხატავთ , ამისათვის ჯერ მარჯვნივ გადავდივართ საპირისპირო ნიშნით:

გაამარტივეთ მარჯვენა მხარე:

გაყავით ორივე ნაწილი -2-ზე:

გაითვალისწინეთ, რომ ტერმინის წინა ნიშანი არ იცვლება, რადგან k-ს შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მთელი რიცხვი.

პასუხი:

და ბოლოს, უყურეთ ვიდეო გაკვეთილს "ფესვების შერჩევა ტრიგონომეტრიულ განტოლებაში ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით"

ამით მთავრდება საუბარი უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის შესახებ. შემდეგ ჯერზე ვისაუბრებთ იმაზე, თუ როგორ მოვაგვაროთ.

გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: „უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა“

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

ინსტრუქციები და ტრენაჟორები ონლაინ მაღაზიაში "Integral" მე -10 კლასისთვის 1C-დან
ჩვენ ვხსნით პრობლემებს გეომეტრიაში. ინტერაქტიული ამოცანები სივრცეში მშენებლობისთვის
პროგრამული გარემო "1C: მათემატიკური კონსტრუქტორი 6.1"

რას შევისწავლით:
1. რა არის ტრიგონომეტრიული განტოლებები?

3. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ორი ძირითადი მეთოდი.
4. ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლებები.
5. მაგალითები.

რა არის ტრიგონომეტრიული განტოლებები?

ბიჭებო, ჩვენ უკვე შევისწავლეთ რკალი, არკოზინი, არქტანგენსი და არკოტანგენსი. ახლა მოდით შევხედოთ ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს ზოგადად.

ტრიგონომეტრიული განტოლებები - განტოლებები, რომლებშიც ცვლადი შეიცავს ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ.

ვიმეორებთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ფორმას:

1) თუ |а|≤ 1, მაშინ განტოლებას cos(x) = a აქვს ამონახსნი:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) თუ |а|≤ 1, მაშინ განტოლებას sin(x) = a აქვს ამონახსნი:

3) თუ |ა| > 1, მაშინ განტოლებას sin(x) = a და cos(x) = a არ აქვთ ამონახსნები 4) განტოლებას tg(x)=a აქვს ამონახსნი: x=arctg(a)+ πk

5) განტოლებას ctg(x)=a აქვს ამონახსნი: x=arcctg(a)+ πk

ყველა ფორმულისთვის k არის მთელი რიცხვი

უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს აქვს ფორმა: Т(kx+m)=a, T- ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლებები: ა) sin(3x)= √3/2

გადაწყვეტილება:

ა) ავღნიშნოთ 3x=t, შემდეგ გადავწერთ ჩვენს განტოლებას სახით:

ამ განტოლების ამონახსნი იქნება: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

მნიშვნელობების ცხრილიდან ვიღებთ: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

მოდით დავუბრუნდეთ ჩვენს ცვლადს: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

შემდეგ x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

პასუხი: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, სადაც n არის მთელი რიცხვი. (-1)^n - მინუს ერთი n-ის ხარისხზე.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების მეტი მაგალითები.

ამოხსენით განტოლებები: ა) cos(x/5)=1 ბ)tg(3x- π/3)= √3

გადაწყვეტილება:

ა) ამჯერად პირდაპირ გადავალთ განტოლების ფესვების გამოთვლაზე:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. მაშინ x/5= πk => x=5πk

პასუხი: x=5πk, სადაც k არის მთელი რიცხვი.

ბ) ვწერთ სახით: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. ჩვენ ვიცით, რომ: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

პასუხი: x=2π/9 + πk/3, სადაც k არის მთელი რიცხვი.

ამოხსენით განტოლებები: cos(4x)= √2/2. და იპოვნეთ ყველა ფესვი სეგმენტზე.

გადაწყვეტილება:

მოდით გადავწყვიტოთ ჩვენი განტოლება ზოგადი ფორმით: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

ახლა ვნახოთ, რა ფესვები ეცემა ჩვენს სეგმენტს. k-სთვის k=0, x= π/16, ჩვენ მოცემულ სეგმენტში ვართ.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16-ით ისევ ურტყამდნენ.
k=2-ისთვის x= π/16+ π=17π/16, მაგრამ აქ ჩვენ არ დავარტყით, რაც ნიშნავს, რომ არც დიდ k-ზე დავარტყით.

პასუხი: x= π/16, x= 9π/16

გადაწყვეტის ორი ძირითადი მეთოდი.

ჩვენ განვიხილეთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებები, მაგრამ არის უფრო რთული. მათ გადასაჭრელად გამოიყენება ახალი ცვლადის დანერგვის მეთოდი და ფაქტორილიზაციის მეთოდი. მოდით შევხედოთ მაგალითებს.

მოდი ამოვხსნათ განტოლება:

გადაწყვეტილება:
ჩვენი განტოლების ამოსახსნელად ვიყენებთ ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდს, რომელიც აღინიშნება: t=tg(x).

ჩანაცვლების შედეგად ვიღებთ: t 2 + 2t -1 = 0

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები: t=-1 და t=1/3

შემდეგ tg(x)=-1 და tg(x)=1/3 მივიღეთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლება, ვიპოვოთ მისი ფესვები.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

პასუხი: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

განტოლების ამოხსნის მაგალითი

ამოხსენით განტოლებები: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

გადაწყვეტილება:

გამოვიყენოთ იდენტობა: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

ჩვენი განტოლება ხდება: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

შემოვიღოთ ჩანაცვლება t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

ჩვენი კვადრატული განტოლების ამონახსნია ფესვები: t=2 და t=-1/2

შემდეგ cos(x)=2 და cos(x)=-1/2.

იმიტომ რომ კოსინუსს არ შეუძლია მიიღოს ერთზე მეტი მნიშვნელობები, მაშინ cos(x)=2-ს ფესვები არ აქვს.

cos(x)=-1/2-ისთვის: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

პასუხი: x= ±2π/3 + 2πk

ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

განმარტება: a sin(x)+b cos(x) ფორმის განტოლებას ეწოდება პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

ფორმის განტოლებები

მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოსახსნელად მას ვყოფთ cos(x-ზე): შეუძლებელია კოსინუსზე გაყოფა, თუ ის ნულის ტოლია, მოდით დავრწმუნდეთ, რომ ეს ასე არ არის:
მოდით cos(x)=0, შემდეგ asin(x)+0=0 => sin(x)=0, მაგრამ სინუსი და კოსინუსი ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის, მივიღეთ წინააღმდეგობა, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ გავყოთ ნულით.

ამოხსენით განტოლება:
მაგალითი: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

გადაწყვეტილება:

ამოიღეთ საერთო ფაქტორი: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

მაშინ ორი განტოლება უნდა ამოხსნათ:

cos(x)=0 და cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 x= π/2 + πk;

განვიხილოთ განტოლება cos(x)+sin(x)=0 ჩვენი განტოლება გავყოთ cos(x-ზე):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

პასუხი: x= π/2 + πk და x= -π/4+πk

როგორ ამოვიცნოთ მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებები?
ბიჭებო, ყოველთვის დაიცავით ეს წესები!

1. ნახეთ, რის ტოლია a კოეფიციენტი, თუ a \u003d 0, მაშინ ჩვენი განტოლება მიიღებს cos (x) ფორმას (bsin (x) + ccos (x)), რომლის ამოხსნის მაგალითი არის წინა სლაიდი

2. თუ a≠0, მაშინ განტოლების ორივე ნაწილი უნდა გავყოთ კვადრატულ კოსინუსზე, მივიღებთ:

ვაკეთებთ t=tg(x) ცვლადის ცვლილებას, ვიღებთ განტოლებას:

ამოხსენით მაგალითი #:3

ამოხსენით განტოლება:
გადაწყვეტილება:

გაყავით განტოლების ორივე მხარე კოსინუსების კვადრატზე:

ვაკეთებთ t=tg(x) ცვლადის ცვლილებას: t 2 + 2 t - 3 = 0

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები: t=-3 და t=1

მაშინ: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

პასუხი: x=-arctg(3) + πk და x= π/4+ πk

ამოხსენით მაგალითი #:4

ამოხსენით განტოლება:

გადაწყვეტილება:
მოდით შევცვალოთ ჩვენი გამოხატულება:

ჩვენ შეგვიძლია ამოხსნათ ასეთი განტოლებები: x= - π/4 + 2πk და x=5π/4 + 2πk

პასუხი: x= - π/4 + 2πk და x=5π/4 + 2πk

ამოხსენით მაგალითი #:5

ამოხსენით განტოლება:

გადაწყვეტილება:
მოდით შევცვალოთ ჩვენი გამოხატულება:

ჩვენ წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

ჩვენი კვადრატული განტოლების ამონახსნი იქნება ფესვები: t=-2 და t=1/2

შემდეგ მივიღებთ: tg(2x)=-2 და tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

პასუხი: x=-arctg(2)/2 + πk/2 და x=arctg(1/2)/2+ πk/2

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

1) ამოხსენით განტოლება

ა) sin(7x)= 1/2 ბ) cos(3x)= √3/2 გ) cos(-x) = -1 დ) tg(4x) = √3 ე) ctg(0.5x) = -1.7

2) ამოხსენით განტოლებები: sin(3x)= √3/2. და იპოვეთ ყველა ფესვი სეგმენტზე [π/2; π].

3) ამოხსენით განტოლება: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) ამოხსენით განტოლება: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) ამოხსენით განტოლება: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) ამოხსენით განტოლება: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის კონცეფცია.

• ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოსახსნელად გადააკეთეთ იგი ერთ ან რამდენიმე ძირითად ტრიგონომეტრიულ განტოლებად. ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა საბოლოოდ მოდის ოთხი ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნაზე.

ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა.

• არსებობს ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლების 4 ტიპი:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა მოიცავს სხვადასხვა x პოზიციების დათვალიერებას ერთეულების წრეზე, ასევე გარდაქმნის ცხრილის (ან კალკულატორის) გამოყენებას.
• მაგალითი 1. sin x = 0.866. კონვერტაციის ცხრილის (ან კალკულატორის) გამოყენებით მიიღებთ პასუხს: x = π/3. ერთეული წრე იძლევა სხვა პასუხს: 2π/3. გახსოვდეთ: ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია პერიოდულია, ანუ მათი მნიშვნელობები მეორდება. მაგალითად, sin x და cos x პერიოდულობა არის 2πn, ხოლო tg x და ctg x არის πn. ასე რომ, პასუხი ასე იწერება:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• მაგალითი 2 cos x = -1/2. კონვერტაციის ცხრილის (ან კალკულატორის) გამოყენებით მიიღებთ პასუხს: x = 2π/3. ერთეული წრე იძლევა სხვა პასუხს: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• მაგალითი 3. tg (x - π/4) = 0.
• პასუხი: x \u003d π / 4 + πn.
• მაგალითი 4. ctg 2x = 1.732.
• პასუხი: x \u003d π / 12 + πn.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას გამოყენებული ტრანსფორმაციები.

• ტრიგონომეტრიული განტოლებების გარდაქმნისთვის გამოიყენება ალგებრული გარდაქმნები (ფაქტორიზაცია, ერთგვაროვანი ტერმინების შემცირება და სხვ.) და ტრიგონომეტრიული იდენტობები.
• მაგალითი 5. ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით განტოლება sin x + sin 2x + sin 3x = 0 გარდაიქმნება განტოლებაში 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. ამრიგად, შემდეგი ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლებები საჭიროა გადაჭრა: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• კუთხეების პოვნა ფუნქციების ცნობილი მნიშვნელობებიდან.

  • სანამ ისწავლით ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნას, უნდა ისწავლოთ როგორ იპოვოთ კუთხეები ფუნქციების ცნობილი მნიშვნელობებიდან. ეს შეიძლება გაკეთდეს კონვერტაციის ცხრილის ან კალკულატორის გამოყენებით.
  • მაგალითი: cos x = 0.732. კალკულატორი მოგცემთ პასუხს x = 42,95 გრადუსი. ერთეული წრე მისცემს დამატებით კუთხეებს, რომელთა კოსინუსი ასევე უდრის 0,732-ს.

• მოათავსეთ ხსნარი ერთეულ წრეზე.

  • თქვენ შეგიძლიათ მოათავსოთ ტრიგონომეტრიული განტოლების ამონახსნები ერთეულ წრეზე. ტრიგონომეტრიული განტოლების ამონახსნები ერთეულ წრეზე არის რეგულარული მრავალკუთხედის წვეროები.
  • მაგალითი: ამონახსნები x = π/3 + πn/2 ერთეულ წრეზე არის კვადრატის წვეროები.
  • მაგალითი: ამონახსნები x = π/4 + πn/3 ერთეულ წრეზე არის რეგულარული ექვსკუთხედის წვეროები.

• ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები.

  • თუ მოცემული ტრიგონომეტრიული განტოლება შეიცავს მხოლოდ ერთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას, ამოხსენით ეს განტოლება ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლების სახით. თუ ეს განტოლება მოიცავს ორ ან მეტ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას, მაშინ არსებობს ასეთი განტოლების ამოხსნის 2 მეთოდი (დამოკიდებულია მისი გარდაქმნის შესაძლებლობიდან).
    • მეთოდი 1
  • გადააქციეთ ეს განტოლება ფორმის განტოლებად: f(x)*g(x)*h(x) = 0, სადაც f(x), g(x), h(x) არის ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლებები.
  • მაგალითი 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • გადაწყვეტილება. ორმაგი კუთხის ფორმულის გამოყენებით sin 2x = 2*sin x*cos x, შეცვალეთ sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. ახლა ამოხსენით ორი ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლება: cos x = 0 და (sin x + 1) = 0.
  • მაგალითი 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • ამოხსნა: ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით გადააქციეთ ეს განტოლება ფორმის განტოლებად: cos 2x(2cos x + 1) = 0. ახლა ამოხსენით ორი ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლება: cos 2x = 0 და (2cos x + 1) = 0.
  • მაგალითი 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • ამოხსნა: ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით გადააქციეთ ეს განტოლება ფორმის განტოლებად: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. ახლა ამოხსენით ორი ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლება: cos 2x = 0 და (2sin x + 1) = 0.
    • მეთოდი 2
  • გადააქციეთ მოცემული ტრიგონომეტრიული განტოლება განტოლებად, რომელიც შეიცავს მხოლოდ ერთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას. შემდეგ შეცვალეთ ეს ტრიგონომეტრიული ფუნქცია ზოგიერთი უცნობით, მაგალითად, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t და ა.შ.).
  • მაგალითი 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • გადაწყვეტილება. ამ განტოლებაში ჩაანაცვლეთ (cos^2 x) (1 - sin^2 x)-ით (იდენტურობის მიხედვით). გარდაქმნილი განტოლება ასე გამოიყურება:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. ჩაანაცვლეთ sin x t. ახლა განტოლება ასე გამოიყურება: 5t^2 - 4t - 9 = 0. ეს არის კვადრატული განტოლება ორი ფესვით: t1 = -1 და t2 = 9/5. მეორე ფესვი t2 არ აკმაყოფილებს ფუნქციის დიაპაზონს (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • მაგალითი 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • გადაწყვეტილება. ჩაანაცვლეთ tg x t-ით. გადაწერეთ საწყისი განტოლება შემდეგნაირად: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. ახლა იპოვეთ t და შემდეგ იპოვეთ x t = tg x-ისთვის.