უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებები ჩვეულებრივ იხსნება ფორმულებით. შეგახსენებთ, რომ შემდეგი ტრიგონომეტრიული განტოლებები ეწოდება უმარტივესს:

sinx = ა

cosx = ა

tgx = a

ctgx = a

x არის მოსაძებნი კუთხე,
a არის ნებისმიერი რიცხვი.

და აქ არის ფორმულები, რომლითაც შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ ჩაწეროთ ამ უმარტივესი განტოლებების ამონახსნები.

სინუსისთვის:

კოსინუსისთვის:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

ტანგენტისთვის:

x = arctg a + π n, n ∈ Z

კოტანგენტებისთვის:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

სინამდვილეში, ეს არის უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის თეორიული ნაწილი. და, მთლიანობაში!) საერთოდ არაფერი. თუმცა, ამ თემაზე შეცდომების რაოდენობა უბრალოდ მატულობს. განსაკუთრებით, შაბლონიდან მაგალითის უმნიშვნელო გადახრით. რატომ?

დიახ, რადგან ბევრი ადამიანი წერს ამ წერილებს, მათი მნიშვნელობის გააზრების გარეშე!შიშით ის წერს, რაც არ უნდა მოხდეს რაღაც...) ამას უნდა მოგვარდეს. ტრიგონომეტრია ხალხისთვის, თუ ხალხი ტრიგონომეტრიისთვის!?)

მოდით გავარკვიოთ?

ერთი კუთხე ტოლი იქნება arccos a, მეორე: -არკოს ა.

და ასე იმუშავებს ყოველთვის.ნებისმიერისთვის ა.

თუ არ გჯერათ, გადაიტანეთ მაუსი სურათზე, ან შეეხეთ სურათს ტაბლეტზე.) ნომერი შევცვალე. ა ზოგიერთი უარყოფითი. ყოველ შემთხვევაში, ერთი კუთხე მივიღეთ arccos a, მეორე: -არკოს ა.

მაშასადამე, პასუხი ყოველთვის შეიძლება დაიწეროს როგორც ფესვების ორი სერია:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

ჩვენ გავაერთიანებთ ამ ორ სერიას ერთში:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

და ყველაფერი. ჩვენ მივიღეთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლების კოსინუსით ამოხსნის ზოგადი ფორმულა.

თუ გესმით, რომ ეს არ არის რაიმე სახის სუპერმეცნიერული სიბრძნე, მაგრამ მხოლოდ ორი სერიის პასუხის შემოკლებული ჩანაწერი,თქვენ და ამოცანები "C" იქნება მხარზე. უტოლობებით, მოცემული ინტერვალიდან ფესვების არჩევით... იქ, პლუს/მინუს პასუხი არ ტრიალებს. და თუ პასუხს საქმიანად მოექცევი და ორ ცალკეულ პასუხად დაყოფ, ყველაფერი გადაწყვეტილია.) სინამდვილეში, ჩვენ გვესმის. რა, როგორ და სად.

უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებაში

sinx = ა

ასევე მიიღეთ ფესვების ორი სერია. ყოველთვის. და ამ ორი სერიის ჩაწერაც შეიძლება ერთი ხაზი. მხოლოდ ეს ხაზი იქნება უფრო ჭკვიანი:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

მაგრამ არსი იგივე რჩება. მათემატიკოსებმა უბრალოდ შექმნეს ფორმულა ფესვების სერიის ორი ჩანაწერის ნაცვლად ერთი ჩანაწერის შესაქმნელად. და ეს არის ის!

შევამოწმოთ მათემატიკოსები? და ეს არ არის საკმარისი...)

წინა გაკვეთილზე დეტალურად იქნა გაანალიზებული ტრიგონომეტრიული განტოლების ამონახსნი (ყოველგვარი ფორმულის გარეშე) სინუსით:

პასუხი აღმოჩნდა ორი სერიების ფესვები:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

თუ იმავე განტოლებას ფორმულით გადავწყვეტთ, მივიღებთ პასუხს:

x = (-1) n რკალი 0,5 + π n, n ∈ Z

სინამდვილეში ეს ნახევრად დასრულებული პასუხია.) ეს უნდა იცოდეს მოსწავლემ რკალი 0.5 = π /6.სრული პასუხი იქნება:

x = (-1) n π /6+ πn, n ∈ Z

აქ ჩნდება საინტერესო კითხვა. პასუხის საშუალებით x 1; x 2 (ეს არის სწორი პასუხი!) და მარტოსულის მეშვეობით X (და ეს არის სწორი პასუხი!) - იგივე, თუ არა? მოდით გავარკვიოთ ახლა.)

ჩანაცვლება საპასუხოდ x 1 ღირებულებები ნ =0; ერთი; 2; და ა.შ., მიგვაჩნია, რომ მივიღებთ ფესვების სერიას:

x 1 \u003d π / 6; 13π/6; 25π/6 და ა.შ.

საპასუხოდ იგივე ჩანაცვლებით x 2 , ვიღებთ:

x 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 და ა.შ.

და ახლა ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობებს ნ (0; 1; 2; 3; 4...) მარტოხელათა ზოგად ფორმულაში X . ანუ მინუს ერთი ავწევთ ნულოვან ხარისხზე, შემდეგ პირველზე, მეორეზე და ა.შ. და, რა თქმა უნდა, ჩვენ ვცვლით 0-ს მეორე ტერმინში; ერთი; 2 3; 4 და ა.შ. და ჩვენ ვფიქრობთ. ჩვენ ვიღებთ სერიას:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 და ა.შ.

სულ ესაა, რასაც ხედავთ.) ზოგადი ფორმულა გვაძლევს ზუსტად იგივე შედეგებირომელიც არის ორი პასუხი ცალ-ცალკე. ერთდროულად, წესრიგში. მათემატიკოსები არ მოატყუეს.)

ასევე შეიძლება შემოწმდეს ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები ტანგენტით და კოტანგენტებით. ოღონდ არა.) ისეთი უპრეტენზიოები არიან.

მთელი ეს ჩანაცვლება და გადამოწმება განზრახ დავხატე. აქ მნიშვნელოვანია ერთი მარტივი რამის გაგება: არსებობს ელემენტარული ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები, მხოლოდ პასუხების შეჯამება.ამ მოკლედ, მე მომიწია პლუს/მინუს ჩასმა კოსინუს ხსნარში და (-1) n სინუსურ ხსნარში.

ეს ჩანართები არანაირად არ ერევა დავალებებს, სადაც უბრალოდ უნდა ჩაწეროთ პასუხი ელემენტარულ განტოლებაზე. მაგრამ თუ თქვენ გჭირდებათ უთანასწორობის ამოხსნა, ან შემდეგ გჭირდებათ რაიმეს გაკეთება პასუხით: შეარჩიეთ ფესვები ინტერვალზე, შეამოწმეთ ODZ და ა.

და რა უნდა გააკეთოს? დიახ, ან დახატეთ პასუხი ორ სერიაში, ან ამოხსენით განტოლება/უტოლობა ტრიგონომეტრიულ წრეში. შემდეგ ეს ჩანართები ქრება და ცხოვრება უფრო ადვილი ხდება.)

შეგიძლიათ შეაჯამოთ.

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოსახსნელად, არსებობს მზა პასუხის ფორმულები. ოთხი ცალი. ისინი კარგია განტოლების ამოხსნის მყისიერად დასაწერად. მაგალითად, თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლებები:

sinx = 0.3

მარტივად: x = (-1) n რკალი 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0.2

Არაა პრობლემა: x = ± arccos 0.2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1.2

მარტივად: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z

ctgx = 3.7

დარჩა ერთი: x= arcctg3,7 + πn, n ∈ Z

cos x = 1.8

თუ ცოდნით ანათებ, მაშინვე დაწერე პასუხი:

x= ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z

მაშინ უკვე ანათებ, ეს ... ის ... გუბედან.) სწორი პასუხია: არ არის გადაწყვეტილებები. არ მესმის რატომ? წაიკითხეთ რა არის არკოზინი. გარდა ამისა, თუ ორიგინალური განტოლების მარჯვენა მხარეს არის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის, კოტანგენტის ცხრილის მნიშვნელობები, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 და ა.შ. - თაღებიდან პასუხი დაუმთავრებელი იქნება. თაღები უნდა გადაკეთდეს რადიანებად.

და თუ უკვე წააწყდით უთანასწორობას, მოიწონეთ

მაშინ პასუხი არის:

x πn, n ∈ Z

იშვიათი სისულელეა, დიახ...) აქ აუცილებელია ტრიგონომეტრიული წრის გადაწყვეტა. რას გავაკეთებთ შესაბამის თემაში.

მათთვის, ვინც გმირულად კითხულობს ამ სტრიქონებს. უბრალოდ არ შემიძლია არ ვაფასებ შენს ტიტანურ ძალისხმევას. შენ ბონუსი.)

ბონუსი:

შეშფოთებულ საბრძოლო სიტუაციაში ფორმულების წერისას, გამაგრებული ნერვებიც კი ხშირად იბნევიან სად pn, Და სად 2πn. აქ არის მარტივი ხრიკი თქვენთვის. In ყველაფორმულები pn. გარდა ერთადერთი ფორმულისა რკალის კოსინუსით. იქ დგას 2πn. ორიპიენი. საკვანძო სიტყვა - ორი.იმავე ერთ ფორმულაში არიან ორიხელი მოაწერე დასაწყისში. პლუსი და მინუსი. Აქ და იქ - ორი.

ასე რომ თუ დაწერე ორინიშანი რკალის კოსინუსის წინ, უფრო ადვილია დაიმახსოვროთ რა მოხდება ბოლოს ორიპიენი. და პირიქით ხდება. გამოტოვეთ მამაკაცის ნიშანი ± , მიაღწიეთ ბოლომდე, დაწერეთ სწორად ორიპიენი, დიახ, და დაიჭირე. რაღაცის წინ ორინიშანი! ადამიანი საწყისს დაუბრუნდება, მაგრამ შეცდომას გამოასწორებს! Ამგვარად.)

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: „უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა“

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

ინსტრუქციები და ტრენაჟორები ონლაინ მაღაზიაში "Integral" მე -10 კლასისთვის 1C-დან
ჩვენ ვხსნით პრობლემებს გეომეტრიაში. ინტერაქტიული ამოცანები სივრცეში მშენებლობისთვის
პროგრამული გარემო "1C: მათემატიკური კონსტრუქტორი 6.1"

რას შევისწავლით:
1. რა არის ტრიგონომეტრიული განტოლებები?

3. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ორი ძირითადი მეთოდი.
4. ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლებები.
5. მაგალითები.

რა არის ტრიგონომეტრიული განტოლებები?

ბიჭებო, ჩვენ უკვე შევისწავლეთ რკალი, არკოზინი, არქტანგენსი და არკოტანგენსი. ახლა მოდით შევხედოთ ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს ზოგადად.

ტრიგონომეტრიული განტოლებები - განტოლებები, რომლებშიც ცვლადი შეიცავს ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ.

ვიმეორებთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ფორმას:

1) თუ |а|≤ 1, მაშინ განტოლებას cos(x) = a აქვს ამონახსნი:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) თუ |а|≤ 1, მაშინ განტოლებას sin(x) = a აქვს ამონახსნი:

3) თუ |ა| > 1, მაშინ განტოლებას sin(x) = a და cos(x) = a არ აქვთ ამონახსნები 4) განტოლებას tg(x)=a აქვს ამონახსნი: x=arctg(a)+ πk

5) განტოლებას ctg(x)=a აქვს ამონახსნი: x=arcctg(a)+ πk

ყველა ფორმულისთვის k არის მთელი რიცხვი

უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს აქვს ფორმა: Т(kx+m)=a, T- ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლებები: ა) sin(3x)= √3/2

გადაწყვეტილება:

ა) ავღნიშნოთ 3x=t, შემდეგ გადავწერთ ჩვენს განტოლებას სახით:

ამ განტოლების ამონახსნი იქნება: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

მნიშვნელობების ცხრილიდან ვიღებთ: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

მოდით დავუბრუნდეთ ჩვენს ცვლადს: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

შემდეგ x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

პასუხი: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, სადაც n არის მთელი რიცხვი. (-1)^n - მინუს ერთი n-ის ხარისხზე.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების მეტი მაგალითები.

ამოხსენით განტოლებები: ა) cos(x/5)=1 ბ)tg(3x- π/3)= √3

გადაწყვეტილება:

ა) ამჯერად პირდაპირ გადავალთ განტოლების ფესვების გამოთვლაზე:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. მაშინ x/5= πk => x=5πk

პასუხი: x=5πk, სადაც k არის მთელი რიცხვი.

ბ) ვწერთ სახით: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. ჩვენ ვიცით, რომ: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

პასუხი: x=2π/9 + πk/3, სადაც k არის მთელი რიცხვი.

ამოხსენით განტოლებები: cos(4x)= √2/2. და იპოვნეთ ყველა ფესვი სეგმენტზე.

გადაწყვეტილება:

მოდით გადავწყვიტოთ ჩვენი განტოლება ზოგადი ფორმით: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

ახლა ვნახოთ, რა ფესვები ეცემა ჩვენს სეგმენტს. k-სთვის k=0, x= π/16, ჩვენ მოცემულ სეგმენტში ვართ.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16-ით ისევ ურტყამდნენ.
k=2-ისთვის x= π/16+ π=17π/16, მაგრამ აქ ჩვენ არ დავარტყით, რაც ნიშნავს, რომ არც დიდ k-ზე დავარტყით.

პასუხი: x= π/16, x= 9π/16

გადაწყვეტის ორი ძირითადი მეთოდი.

ჩვენ განვიხილეთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებები, მაგრამ არის უფრო რთული. მათ გადასაჭრელად გამოიყენება ახალი ცვლადის დანერგვის მეთოდი და ფაქტორილიზაციის მეთოდი. მოდით შევხედოთ მაგალითებს.

მოდით ამოხსნათ განტოლება:

გადაწყვეტილება:
ჩვენი განტოლების ამოსახსნელად ვიყენებთ ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდს, რომელიც აღინიშნება: t=tg(x).

ჩანაცვლების შედეგად ვიღებთ: t 2 + 2t -1 = 0

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები: t=-1 და t=1/3

შემდეგ tg(x)=-1 და tg(x)=1/3 მივიღეთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლება, ვიპოვოთ მისი ფესვები.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

პასუხი: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

განტოლების ამოხსნის მაგალითი

ამოხსენით განტოლებები: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

გადაწყვეტილება:

გამოვიყენოთ იდენტობა: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

ჩვენი განტოლება ხდება: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

შემოვიღოთ ჩანაცვლება t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

ჩვენი კვადრატული განტოლების ამონახსნია ფესვები: t=2 და t=-1/2

შემდეგ cos(x)=2 და cos(x)=-1/2.

იმიტომ რომ კოსინუსს არ შეუძლია მიიღოს ერთზე მეტი მნიშვნელობები, მაშინ cos(x)=2-ს ფესვები არ აქვს.

cos(x)=-1/2-ისთვის: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

პასუხი: x= ±2π/3 + 2πk

ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

განმარტება: a sin(x)+b cos(x) ფორმის განტოლებას ეწოდება პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

ფორმის განტოლებები

მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოსახსნელად მას ვყოფთ cos(x-ზე): შეუძლებელია კოსინუსზე გაყოფა, თუ ის ნულის ტოლია, მოდით დავრწმუნდეთ, რომ ეს ასე არ არის:
მოდით cos(x)=0, შემდეგ asin(x)+0=0 => sin(x)=0, მაგრამ სინუსი და კოსინუსი ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის, მივიღეთ წინააღმდეგობა, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ გავყოთ ნულით.

ამოხსენით განტოლება:
მაგალითი: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

გადაწყვეტილება:

ამოიღეთ საერთო ფაქტორი: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

მაშინ ორი განტოლება უნდა ამოხსნათ:

cos(x)=0 და cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 x= π/2 + πk;

განვიხილოთ განტოლება cos(x)+sin(x)=0 ჩვენი განტოლება გავყოთ cos(x-ზე):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

პასუხი: x= π/2 + πk და x= -π/4+πk

როგორ ამოვიცნოთ მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებები?
ბიჭებო, ყოველთვის დაიცავით ეს წესები!

1. ნახეთ, რის ტოლია a კოეფიციენტი, თუ a \u003d 0, მაშინ ჩვენი განტოლება მიიღებს cos (x) ფორმას (bsin (x) + ccos (x)), რომლის ამოხსნის მაგალითი არის წინა სლაიდი

2. თუ a≠0, მაშინ განტოლების ორივე ნაწილი უნდა გავყოთ კვადრატულ კოსინუსზე, მივიღებთ:

ვაკეთებთ t=tg(x) ცვლადის ცვლილებას, ვიღებთ განტოლებას:

ამოხსენით მაგალითი #:3

ამოხსენით განტოლება:
გადაწყვეტილება:

გაყავით განტოლების ორივე მხარე კოსინუსების კვადრატზე:

ვაკეთებთ t=tg(x) ცვლადის ცვლილებას: t 2 + 2 t - 3 = 0

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები: t=-3 და t=1

მაშინ: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

პასუხი: x=-arctg(3) + πk და x= π/4+ πk

ამოხსენით მაგალითი #:4

ამოხსენით განტოლება:

გადაწყვეტილება:
მოდით შევცვალოთ ჩვენი გამოხატულება:

ჩვენ შეგვიძლია ამოხსნათ ასეთი განტოლებები: x= - π/4 + 2πk და x=5π/4 + 2πk

პასუხი: x= - π/4 + 2πk და x=5π/4 + 2πk

ამოხსენით მაგალითი #:5

ამოხსენით განტოლება:

გადაწყვეტილება:
მოდით შევცვალოთ ჩვენი გამოხატულება:

ჩვენ წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

ჩვენი კვადრატული განტოლების ამონახსნი იქნება ფესვები: t=-2 და t=1/2

შემდეგ მივიღებთ: tg(2x)=-2 და tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

პასუხი: x=-arctg(2)/2 + πk/2 და x=arctg(1/2)/2+ πk/2

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

1) ამოხსენით განტოლება

ა) sin(7x)= 1/2 ბ) cos(3x)= √3/2 გ) cos(-x) = -1 დ) tg(4x) = √3 ე) ctg(0.5x) = -1.7

2) ამოხსენით განტოლებები: sin(3x)= √3/2. და იპოვეთ ყველა ფესვი სეგმენტზე [π/2; π].

3) ამოხსენით განტოლება: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) ამოხსენით განტოლება: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) ამოხსენით განტოლება: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) ამოხსენით განტოლება: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, სამართალდამცავი ორგანოების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

ბევრის ამოხსნისას მათემატიკური პრობლემები, განსაკუთრებით ის, რაც ხდება მე-10 კლასამდე, მკაფიოდ არის განსაზღვრული შესრულებული მოქმედებების თანმიმდევრობა, რომელიც მიგვიყვანს მიზნამდე. ასეთი პრობლემები მოიცავს, მაგალითად, წრფივ და კვადრატულ განტოლებებს, წრფივ და კვადრატულ უტოლობას, წილადობრივ განტოლებებს და განტოლებებს, რომლებიც მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე. თითოეული აღნიშნული ამოცანის წარმატებით გადაჭრის პრინციპი ასეთია: უნდა დადგინდეს, თუ რა ტიპის ამოცანის გადაჭრა ხდება, დაიმახსოვროთ მოქმედებების აუცილებელი თანმიმდევრობა, რომელიც გამოიწვევს სასურველ შედეგს, ე.ი. უპასუხეთ და მიჰყევით ამ ნაბიჯებს.

ცხადია, წარმატება ან წარუმატებლობა კონკრეტული პრობლემის გადაჭრაში ძირითადად დამოკიდებულია იმაზე, თუ რამდენად სწორად არის განსაზღვრული გადაჭრის განტოლების ტიპი, რამდენად სწორად არის რეპროდუცირებული მისი ამოხსნის ყველა ეტაპის თანმიმდევრობა. რა თქმა უნდა, ამ შემთხვევაში აუცილებელია იდენტური გარდაქმნებისა და გამოთვლების შესრულების უნარ-ჩვევები.

განსხვავებული სიტუაცია ხდება ტრიგონომეტრიული განტოლებები.ძნელი არ არის იმის დადგენა, რომ განტოლება ტრიგონომეტრიულია. სირთულეები წარმოიქმნება ქმედებების თანმიმდევრობის განსაზღვრისას, რაც გამოიწვევს სწორ პასუხს.

ზოგჯერ ძნელია მისი ტიპის განსაზღვრა განტოლების გარეგნობით. და განტოლების ტიპის ცოდნის გარეშე, რამდენიმე ათეული ტრიგონომეტრიული ფორმულიდან სწორის არჩევა თითქმის შეუძლებელია.

ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოსახსნელად უნდა ვცადოთ:

1. მიიყვანეთ განტოლებაში შემავალი ყველა ფუნქცია „იგივე კუთხეებამდე“;
2. მიიტანეთ განტოლება „იგივე ფუნქციებზე“;
3. განტოლების მარცხენა მხარის ფაქტორიზირება და ა.შ.

განიხილეთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები.

I. შემცირება უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებამდე

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.გამოხატეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქცია ცნობილი კომპონენტების მიხედვით.

ნაბიჯი 2იპოვეთ ფუნქციის არგუმენტი ფორმულების გამოყენებით:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

ნაბიჯი 3იპოვნეთ უცნობი ცვლადი.

მაგალითი.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

გადაწყვეტილება.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

პასუხი: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. ცვლადი ჩანაცვლება

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.მიიტანეთ განტოლება ალგებრულ ფორმაში ერთ-ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მიმართ.

ნაბიჯი 2აღნიშნეთ მიღებული ფუნქცია t ცვლადით (საჭიროების შემთხვევაში შემოიტანეთ შეზღუდვები t-ზე).

ნაბიჯი 3ჩაწერეთ და ამოხსენით მიღებული ალგებრული განტოლება.

ნაბიჯი 4გააკეთეთ საპირისპირო ჩანაცვლება.

ნაბიჯი 5ამოხსენით უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლება.

მაგალითი.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

გადაწყვეტილება.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) მოდით sin (x/2) = t, სადაც |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ან e = -3/2 არ აკმაყოფილებს პირობას |t| ≤ 1.

4) ცოდვა (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

პასუხი: x = π + 4πn, n Є Z.

III. განტოლების რიგის შემცირების მეთოდი

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.შეცვალეთ ეს განტოლება ხაზოვანი განტოლებით სიმძლავრის შემცირების ფორმულების გამოყენებით:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

ნაბიჯი 2ამოხსენით მიღებული განტოლება I და II მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი.

cos2x + cos2x = 5/4.

გადაწყვეტილება.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

პასუხი: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. ჰომოგენური განტოლებები

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.მიიტანეთ ეს განტოლება ფორმაში

ა) a sin x + b cos x = 0 (პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება)

ან ხედისკენ

ბ) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება).

ნაბიჯი 2გაყავით განტოლების ორივე მხარე

ა) cos x ≠ 0;

ბ) cos 2 x ≠ 0;

და მიიღეთ განტოლება tg x-სთვის:

ა) a tg x + b = 0;

ბ) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

ნაბიჯი 3ამოხსენით განტოლება ცნობილი მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

გადაწყვეტილება.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) მოდით tg x = t, მაშინ

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ან t = -4, ასე რომ

tg x = 1 ან tg x = -4.

პირველი განტოლებიდან x = π/4 + πn, n Є Z; მეორე განტოლებიდან x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

პასუხი: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. განტოლების გარდაქმნის მეთოდი ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყენებით

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.ყველა სახის ტრიგონომეტრიული ფორმულის გამოყენებით მიიტანეთ ეს განტოლება განტოლებამდე, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია I, II, III, IV მეთოდებით.

ნაბიჯი 2ამოხსენით მიღებული განტოლება ცნობილი მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

გადაწყვეტილება.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ან 2cos x + 1 = 0;

პირველი განტოლებიდან 2x = π/2 + πn, n Є Z; მეორე განტოლებიდან cos x = -1/2.

გვაქვს x = π/4 + πn/2, n Є Z; მეორე განტოლებიდან x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

შედეგად, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

პასუხი: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის უნარი და უნარები ძალიან არის მნიშვნელოვანია, რომ მათი განვითარება მოითხოვს მნიშვნელოვან ძალისხმევას, როგორც მოსწავლის, ასევე მასწავლებლის მხრიდან.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნასთან ასოცირდება სტერეომეტრიის, ფიზიკის და ა.შ მრავალი პრობლემა.ასეთი ამოცანების ამოხსნის პროცესი, თითქოსდა, შეიცავს ბევრ ცოდნას და უნარს, რომელიც იძენს ტრიგონომეტრიის ელემენტების შესწავლისას.

მათემატიკის სწავლების და ზოგადად პიროვნების განვითარების პროცესში ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს მნიშვნელოვანი ადგილი უჭირავს.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ ამოხსნათ ტრიგონომეტრიული განტოლებები?
დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად -.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

უფრო რთული ტრიგონომეტრიული განტოლებები

განტოლებები

ცოდვა x = a,
cos x = a,
ტგ x = a,
ctg x = a

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებებია. ამ განყოფილებაში, კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით, განვიხილავთ უფრო რთულ ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს. მათი ამოხსნა, როგორც წესი, მცირდება უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნამდე.

მაგალითი 1 . განტოლების ამოხსნა

ცოდვა 2 X= cos Xცოდვა 2 x.

ამ განტოლების ყველა პირობის მარცხენა მხარეს გადატანით და მიღებული გამონათქვამის ფაქტორებად დაშლით, მივიღებთ:

ცოდვა 2 X(1 - cos X) = 0.

ორი გამონათქვამის ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია, ხოლო მეორე იღებს ნებისმიერ რიცხვით მნიშვნელობას, სანამ ის განსაზღვრულია.

Თუ ცოდვა 2 X = 0 , შემდეგ 2 X=n π ; X = π / 2n.

თუ 1 - cos X = 0 , შემდეგ cos X = 1; X = 2 კπ .

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ფესვების ორი ჯგუფი: X = π / 2n; X = 2 კπ . ფესვების მეორე ჯგუფი აშკარად შეიცავს პირველს, რადგან n = 4k-ისთვის გამოხატულია X = π / 2nხდება
X = 2 კπ .

ამიტომ, პასუხი შეიძლება დაიწეროს ერთი ფორმულით: X = π / 2n, სად ნ- ნებისმიერი მთელი რიცხვი.

გაითვალისწინეთ, რომ ეს განტოლება ვერ ამოიხსნება ცოდვით 2-ით შემცირებით x. მართლაც, შემცირების შემდეგ მივიღებთ 1 - cos x = 0, საიდანაც X= 2 კ π . ამრიგად, ჩვენ დავკარგავდით ზოგიერთ ფესვს, მაგალითად π / 2 , π , 3π / 2 .

მაგალითი 2.განტოლების ამოხსნა

წილადი არის ნულოვანი მხოლოდ მაშინ, თუ მისი მრიცხველი არის ნული.
Ისე ცოდვა 2 X = 0 , საიდანაც 2 X=n π ; X = π / 2n.

ამ ღირებულებებიდან X უნდა განადგურდეს, როგორც უცხო, ის მნიშვნელობები, რისთვისაც ცოდვაX ქრება (ნულოვანი მნიშვნელის მქონე წილადები უაზროა: ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული). ეს მნიშვნელობები არის რიცხვები, რომლებიც მრავლობითია π . ფორმულაში
X = π / 2nისინი მიიღება თუნდაც ნ. ამრიგად, ამ განტოლების ფესვები იქნება რიცხვები

X = π / 2 (2k + 1),

სადაც k არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი.

მაგალითი 3 . განტოლების ამოხსნა

2 ცოდვა 2 X+ 7 ცალი x - 5 = 0.

ექსპრესი ცოდვა 2 X მეშვეობით cosx : ცოდვა 2 X = 1 - co 2x . მაშინ ეს განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც

2 (1 - cos 2 x) + 7 კოდ x - 5 = 0 , ან

2 cos 2 x- 7 ლარი x + 3 = 0.

აღმნიშვნელი cosx მეშვეობით ზე, მივდივართ კვადრატულ განტოლებამდე

2y 2 - 7y + 3 = 0,

რომლის ფესვებია რიცხვები 1/2 და 3. აქედან გამომდინარე, ან cos x= 1/2 ან cos X= 3. თუმცა ეს უკანასკნელი შეუძლებელია, ვინაიდან ნებისმიერი კუთხის კოსინუსის აბსოლუტური მნიშვნელობა არ აღემატება 1-ს.

ამის აღიარება რჩება cos x = 1 / 2 , სად

x = ± 60° + 360° n.

მაგალითი 4 . განტოლების ამოხსნა

2 ცოდვა X+ 3 cos x = 6.

რადგან ცოდვა xდა cos xარ აღემატებოდეს 1-ს აბსოლუტურ მნიშვნელობაში, შემდეგ გამოსახულებას
2 ცოდვა X+ 3 cos x არ შეუძლია მიიღოს იმაზე მეტი ღირებულებები, ვიდრე 5 . ამრიგად, ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

მაგალითი 5 . განტოლების ამოხსნა

ცოდვა X+ cos x = 1

ამ განტოლების ორივე მხარის კვადრატში მიღებით მივიღებთ:

ცოდვა 2 X+ 2 ცოდვა x cos x+ cos2 x = 1,

მაგრამ ცოდვა 2 X + cos 2 x = 1 . Ისე 2 ცოდვა x cos x = 0 . Თუ ცოდვა x = 0 , მაშინ X = ნπ ; თუ
cos x , მაშინ X = π / 2 + კπ . გადაწყვეტილებების ეს ორი ჯგუფი შეიძლება დაიწეროს ერთ ფორმულაში:

X = π / 2n

ვინაიდან ამ განტოლების ორივე ნაწილი გავასწორეთ, შესაძლებელია, რომ ჩვენს მიერ მიღებულ ფესვებს შორის არსებობდეს გარე ფესვები. სწორედ ამიტომ, ამ მაგალითში, ყველა წინასგან განსხვავებით, აუცილებელია შემოწმება. ყველა ღირებულება

X = π / 2nშეიძლება დაიყოს 4 ჯგუფად

	1) X = 2 კπ .	(n=4k)
	2) X = π / 2 + 2 კπ .	(n=4k+1)
	3) X = π + 2 კπ .	(n=4k+2)
	4) X = 3π / 2 + 2 კπ .	(n=4k+3)

ზე X = 2 კπცოდვა x+ cos x= 0 + 1 = 1. ამიტომ, X = 2 კπარის ამ განტოლების ფესვები.

ზე X = π / 2 + 2 კπ. ცოდვა x+ cos x= 1 + 0 = 1 X = π / 2 + 2 კπასევე არის ამ განტოლების ფესვები.

ზე X = π + 2 კπცოდვა x+ cos x= 0 - 1 = - 1. აქედან გამომდინარე, მნიშვნელობები X = π + 2 კπარ არის ამ განტოლების ფესვები. ანალოგიურად, ნაჩვენებია, რომ X = 3π / 2 + 2 კπ. არ არის ფესვები.

ამრიგად, ამ განტოლებას აქვს შემდეგი ფესვები: X = 2 კπდა X = π / 2 + 2მპ., სადაც კდა მ- ნებისმიერი მთელი რიცხვი.