მეცნიერების ყველაზე გენიალურ აღმოჩენებს შეუძლია რადიკალურად შეცვალოს ადამიანის ცხოვრება. გამოგონილ ვაქცინას შეუძლია მილიონობით ადამიანის გადარჩენა, იარაღის შექმნა კი, პირიქით, ამ სიცოცხლეს ართმევს. სულ ახლახან (ადამიანის ევოლუციის მასშტაბით) ჩვენ ვისწავლეთ ელექტროენერგიის „მოთვინიერება“ - და ახლა ჩვენ ვერ წარმოვიდგენთ ცხოვრებას ყველა ამ მოსახერხებელი მოწყობილობის გარეშე, რომელიც იყენებს ელექტროენერგიას. მაგრამ არის აღმოჩენებიც, რომლებსაც ცოტა ადამიანი ანიჭებს მნიშვნელობას, თუმცა ისინი ასევე დიდ გავლენას ახდენენ ჩვენს ცხოვრებაზე.

ერთ-ერთი ასეთი "შეუმჩნეველი" აღმოჩენა არის ფრაქტალები. ალბათ გსმენიათ ეს ჩამჭრელი სიტყვა, მაგრამ იცით, რას ნიშნავს და რამდენი საინტერესო რამ იმალება ამ ტერმინში?

ყველა ადამიანს აქვს ბუნებრივი ცნობისმოყვარეობა, მის გარშემო არსებული სამყაროს გაცნობის სურვილი. და ამ მისწრაფებაში ადამიანი ცდილობს განსჯებში ლოგიკის დაცვას. მის ირგვლივ მიმდინარე პროცესების გაანალიზებისას ის ცდილობს მოძებნოს მომხდარის ლოგიკა და გამოიტანოს გარკვეული კანონზომიერება. პლანეტის ყველაზე დიდი გონება ამ საქმით არის დაკავებული. უხეშად რომ ვთქვათ, მეცნიერები ეძებენ ნიმუშს, სადაც ის არ უნდა იყოს. მიუხედავად ამისა, ქაოსშიც კი შეიძლება მოვლენებს შორის კავშირის პოვნა. და ეს კავშირი არის ფრაქტალი.

ჩვენი პატარა ქალიშვილი, ოთხნახევარი წლის, ახლა იმ მშვენიერ ასაკშია, როდესაც უამრავი კითხვაა "რატომ?" ბევრჯერ აღემატება იმ პასუხების რაოდენობას, რომელთა გაცემაც მოზარდებს აქვთ დრო. არც ისე დიდი ხნის წინ, მიწიდან აწეულ ტოტს რომ შევხედე, ჩემმა ქალიშვილმა უცებ შენიშნა, რომ ეს ტოტი, კვანძებითა და ტოტებით, თავად ხეს ჰგავდა. და, რა თქმა უნდა, მოჰყვა ჩვეული კითხვა „რატომ?“, რისთვისაც მშობლებს უნდა ეძიათ ბავშვის გასაგებად მარტივი ახსნა.

ბავშვის მიერ აღმოჩენილ მთლიან ხესთან ერთი ტოტის მსგავსება ძალიან ზუსტი დაკვირვებაა, რაც კიდევ ერთხელ მოწმობს ბუნებაში რეკურსიული თვითმსგავსების პრინციპზე. ბუნებაში ძალიან ბევრი ორგანული და არაორგანული ფორმა წარმოიქმნება ანალოგიურად. ღრუბლები, ზღვის ჭურვები, ლოკოკინას „სახლი“, ხეების ქერქი და გვირგვინი, სისხლის მიმოქცევის სისტემა და ა.შ – ყველა ამ ობიექტის შემთხვევითი ფორმების აღწერა შესაძლებელია ფრაქტალის ალგორითმით.

⇡ ბენუა მანდელბროტი: ფრაქტალის გეომეტრიის მამა

თავად სიტყვა „ფრაქტალი“ გაჩნდა ბრწყინვალე მეცნიერის ბენუა ბ. მანდელბროტის წყალობით.

მან ეს ტერმინი თავად გამოიგონა 1970-იან წლებში, ისესხა სიტყვა fractus ლათინურიდან, სადაც ის სიტყვასიტყვით ნიშნავს "გატეხილს" ან "დამსხვრევას". Რა არის ეს? დღეს სიტყვა "ფრაქტალი" ყველაზე ხშირად გამოიყენება სტრუქტურის გრაფიკულ გამოსახულებაზე, რომელიც მსგავსია უფრო ფართო მასშტაბით.

ფრაქტალების თეორიის გაჩენის მათემატიკური საფუძველი ჩაეყარა ბენუა მანდელბროტის დაბადებამდე მრავალი წლით ადრე, მაგრამ მისი განვითარება მხოლოდ გამოთვლითი მოწყობილობების გამოჩენით შეიძლებოდა. სამეცნიერო კარიერის დასაწყისში ბენუა მუშაობდა IBM კვლევით ცენტრში. ამ დროს ცენტრის თანამშრომლები მონაცემთა დისტანციურ გადაცემაზე მუშაობდნენ. კვლევის დროს მეცნიერებს შეექმნათ ხმაურის ჩარევის შედეგად წარმოქმნილი დიდი დანაკარგების პრობლემა. ბენუას წინაშე დგას რთული და ძალიან მნიშვნელოვანი ამოცანა - იმის გაგება, თუ როგორ უნდა იწინასწარმეტყველოთ ხმაურის ჩარევის წარმოშობა ელექტრონულ სქემებში, როდესაც სტატისტიკური მეთოდი არაეფექტურია.

ხმაურის გაზომვის შედეგების დათვალიერებისას მანდელბროტმა ყურადღება მიიპყრო ერთ უცნაურ ნიმუშზე - სხვადასხვა მასშტაბის ხმაურის გრაფიკები ერთნაირად გამოიყურებოდა. იდენტური ნიმუში დაფიქსირდა იმისდა მიუხედავად, იყო ეს ხმაურის ნაკვეთი ერთი დღის, კვირის ან საათის განმავლობაში. ღირდა გრაფიკის მასშტაბის შეცვლა და სურათი ყოველ ჯერზე მეორდებოდა.

სიცოცხლის განმავლობაში ბენუა მანდელბროტმა არაერთხელ თქვა, რომ მას საქმე არ ჰქონდა ფორმულებთან, არამედ უბრალოდ თამაშობდა ნახატებთან. ეს ადამიანი ძალიან გადატანითი მნიშვნელობით ფიქრობდა და ნებისმიერი ალგებრული პრობლემა გადათარგმნა გეომეტრიის ველში, სადაც, მისი თქმით, სწორი პასუხი ყოველთვის აშკარაა.

გასაკვირი არ არის, რომ სწორედ ასეთი მდიდარი სივრცითი წარმოსახვის მქონე ადამიანი გახდა ფრაქტალის გეომეტრიის მამა. ყოველივე ამის შემდეგ, ფრაქტალების არსის გაცნობიერება ხდება ზუსტად მაშინ, როდესაც დაიწყებთ ნახატების შესწავლას და ფიქრობთ უცნაური მორევის ნიმუშების მნიშვნელობაზე.

ფრაქტალ ნიმუშს არ აქვს იდენტური ელემენტები, მაგრამ აქვს მსგავსება ნებისმიერი მასშტაბით. ასეთი გამოსახულების მაღალი ხარისხის დეტალების ხელით აგება უბრალოდ შეუძლებელი იყო ადრე, მას დიდი გამოთვლები სჭირდებოდა. მაგალითად, ფრანგმა მათემატიკოსმა პიერ ჟოზეფ ლუი ფატუმ აღწერა ეს ნაკრები ბენუა მანდელბროს აღმოჩენამდე სამოცდაათი წლით ადრე. თუ ვსაუბრობთ თვითმსგავსების პრინციპებზე, მაშინ ისინი ნახსენები იყო ლაიბნიცისა და გეორგ კანტორის ნაშრომებში.

ფრაქტალის ერთ-ერთი პირველი ნახატი იყო მანდელბროტის ნაკრების გრაფიკული ინტერპრეტაცია, რომელიც წარმოიშვა გასტონ მორის ჯულიას კვლევის შედეგად.

გასტონ ჯულია (ყოველთვის ნიღბიანი - პირველი მსოფლიო ომის ტრავმა)

ამ ფრანგ მათემატიკოსს აინტერესებდა, როგორი იქნებოდა ნაკრები, თუ იგი აგებული იქნებოდა უკუკავშირის მარყუჟის მიერ გამეორებული მარტივი ფორმულით. თუ ახსნილია „თითებზე“, ეს ნიშნავს, რომ კონკრეტული რიცხვისთვის ჩვენ ვპოულობთ ახალ მნიშვნელობას ფორმულის გამოყენებით, რის შემდეგაც მას კვლავ ჩავცვლით ფორმულაში და ვიღებთ სხვა მნიშვნელობას. შედეგი არის რიცხვების დიდი თანმიმდევრობა.

ასეთი ნაკრების სრული სურათის მისაღებად, თქვენ უნდა გააკეთოთ უზარმაზარი გამოთვლები - ასობით, ათასობით, მილიონობით. უბრალოდ შეუძლებელი იყო ამის ხელით გაკეთება. მაგრამ როდესაც მათემატიკოსების განკარგულებაში გამოჩნდა ძლიერი გამოთვლითი მოწყობილობები, მათ შეძლეს ახალი დათვალიერება ფორმულებსა და გამონათქვამებზე, რომლებიც დიდი ხანია საინტერესო იყო. მანდელბროტმა პირველმა გამოიყენა კომპიუტერი კლასიკური ფრაქტალის გამოსათვლელად. დიდი რაოდენობით მნიშვნელობებისაგან შემდგარი თანმიმდევრობის დამუშავების შემდეგ, ბენუამ შედეგები გადაიტანა გრაფიკზე. აი რა მიიღო მან.

შემდგომში, ეს გამოსახულება შეღებილი იქნა (მაგალითად, შეღებვის ერთ-ერთი გზა გამეორებების რაოდენობის მიხედვით) და გახდა ადამიანის მიერ ოდესმე შექმნილ ერთ-ერთ ყველაზე პოპულარულ სურათად.

როგორც ჰერაკლიტე ეფესელს მიეწერება უძველესი გამონათქვამი ამბობს: „ერთ მდინარეში ორჯერ ვერ შეხვალ“. ის საუკეთესოდ შეეფერება ფრაქტალების გეომეტრიის ინტერპრეტაციას. რაც არ უნდა დეტალურად განვიხილოთ ფრაქტალის სურათი, ჩვენ ყოველთვის დავინახავთ მსგავს ნიმუშს.

მათ, ვისაც სურს ნახოს, როგორ გამოიყურება მანდელბროტის სივრცის გამოსახულება მრავალჯერ გადიდებისას, შეუძლიათ ამის გაკეთება ანიმაციური GIF-ის ატვირთვით.

⇡ ლორენ კარპენტერი: ბუნების მიერ შექმნილი ხელოვნება

ფრაქტალების თეორიამ მალევე იპოვა პრაქტიკული გამოყენება. ვინაიდან ეს მჭიდროდ არის დაკავშირებული საკუთარი თავის მსგავსი სურათების ვიზუალიზაციასთან, გასაკვირი არ არის, რომ პირველებმა გამოიყენეს ალგორითმები და პრინციპები უჩვეულო ფორმების ასაგებად, იყვნენ მხატვრები.

ლეგენდარული Pixar-ის სტუდიის მომავალმა თანადამფუძნებელმა ლორენ კარპენტერმა 1967 წელს დაიწყო მუშაობა Boeing Computer Services-ში, რომელიც იყო ცნობილი კორპორაციის ერთ-ერთი განყოფილება, რომელიც ახალი თვითმფრინავების შემუშავებით იყო დაკავებული.

1977 წელს მან შექმნა პრეზენტაციები მფრინავი მოდელების პროტოტიპებით. ლორენი პასუხისმგებელი იყო შემუშავებული თვითმფრინავის სურათების შემუშავებაზე. მას მოუწია ახალი მოდელების სურათების შექმნა, მომავალი თვითმფრინავების ჩვენება სხვადასხვა კუთხით. რაღაც მომენტში Pixar Animation Studios-ის მომავალ დამფუძნებელს გაუჩნდა კრეატიული იდეა მთების გამოსახულების ფონად გამოსაყენებლად. დღეს ნებისმიერ სკოლის მოსწავლეს შეუძლია ასეთი პრობლემის გადაჭრა, მაგრამ გასული საუკუნის სამოცდაათიანი წლების ბოლოს კომპიუტერები ვერ უმკლავდებოდნენ ასეთ რთულ გამოთვლებს - არ იყო გრაფიკული რედაქტორები, რომ აღარაფერი ვთქვათ სამგანზომილებიანი გრაფიკის აპლიკაციებზე. 1978 წელს ლორენმა შემთხვევით ნახა ბენუა მანდელბროტის წიგნი ფრაქტალები: ფორმა, შემთხვევითობა და განზომილება მაღაზიაში. ამ წიგნში მისი ყურადღება მიიპყრო იმ ფაქტმა, რომ ბენუამ მოიყვანა ფრაქტალის ფორმების უამრავი მაგალითი რეალურ ცხოვრებაში და დაამტკიცა, რომ მათი აღწერა შეიძლება მათემატიკური გამოსახულებით.

ეს ანალოგია მათემატიკოსმა შემთხვევით არ აირჩია. ფაქტია, რომ როგორც კი მან გამოაქვეყნა თავისი კვლევა, მას კრიტიკის მთელი აურზაური მოუხდა. მთავარი, რისთვისაც კოლეგებმა მას საყვედურობდნენ, შემუშავებული თეორიის უსარგებლობა იყო. - დიახ, - უთხრეს, - ეს ლამაზი სურათებია, მაგრამ მეტი არაფერი. ფრაქტალების თეორიას პრაქტიკული მნიშვნელობა არ აქვს“. იყვნენ ისეთებიც, რომლებსაც ზოგადად სჯეროდათ, რომ ფრაქტალის შაბლონები უბრალოდ „ეშმაკის მანქანების“ მუშაობის გვერდითი პროდუქტი იყო, რომელიც სამოცდაათიანი წლების ბოლოს ბევრს ეჩვენებოდა, რომ ძალიან რთული და შეუსწავლელი იყო, რომ სრულად ენდობოდა. მანდელბროტი ცდილობდა ეპოვა ფრაქტალების თეორიის აშკარა გამოყენება, მაგრამ, ზოგადად, მას ამის გაკეთება არ სჭირდებოდა. ბენუა მანდელბროტის მიმდევრები მომდევნო 25 წლის განმავლობაში დიდად გამოიყენეს ასეთი "მათემატიკური ცნობისმოყვარეობისთვის" და ლორენ კარპენტერი იყო ერთ-ერთი პირველი, ვინც გამოიყენა ფრაქტალის მეთოდი პრაქტიკაში.

წიგნის შესწავლის შემდეგ, მომავალმა ანიმატორი სერიოზულად შეისწავლა ფრაქტალის გეომეტრიის პრინციპები და დაიწყო კომპიუტერულ გრაფიკაში მისი განხორციელების გზის ძიება. მხოლოდ სამი დღის განმავლობაში ლორენმა შეძლო მთის სისტემის რეალისტური გამოსახულების ვიზუალიზაცია თავის კომპიუტერზე. ანუ ფორმულების დახმარებით მან სრულიად ცნობადი მთის პეიზაჟი დახატა.

პრინციპი, რომელიც ლორენმა გამოიყენა თავისი მიზნის მისაღწევად, ძალიან მარტივი იყო. იგი შედგებოდა უფრო დიდი გეომეტრიული ფიგურის წვრილ ელემენტებად დაყოფაში და ისინი, თავის მხრივ, იყოფა უფრო მცირე ზომის მსგავს ფიგურებად.

უფრო დიდი სამკუთხედების გამოყენებით, კარპენტერმა დაყო ისინი ოთხ მცირედ და შემდეგ გაიმეორა ეს პროცედურა უსასრულოდ, სანამ რეალისტური მთის პეიზაჟი არ გამოირჩეოდა. ამრიგად, მან მოახერხა გამხდარიყო პირველი მხატვარი, რომელმაც გამოიყენა ფრაქტალის ალგორითმი კომპიუტერულ გრაფიკაში სურათების შესაქმნელად. როგორც კი ცნობილი გახდა შესრულებული სამუშაოს შესახებ, ენთუზიასტებმა მთელ მსოფლიოში აითვისეს ეს იდეა და დაიწყეს ფრაქტალის ალგორითმის გამოყენება რეალისტური ბუნებრივი ფორმების სიმულაციისთვის.

ერთ-ერთი პირველი 3D რენდერი ფრაქტალის ალგორითმის გამოყენებით

სულ რამდენიმე წლის შემდეგ ლორენ კარპენტერმა შეძლო თავისი მიღწევების გამოყენება ბევრად უფრო დიდ პროექტში. ანიმატორმა ისინი დააფუძნა ორწუთიან დემო ვერსიაზე, Vol Libre, რომელიც აჩვენეს Siggraph-ზე 1980 წელს. ამ ვიდეომ შოკში ჩააგდო ყველა, ვინც ნახა და ლორენმა მიიღო მოწვევა Lucasfilm-ისგან.

ანიმაცია გადაღებულია VAX-11/780 კომპიუტერზე Digital Equipment Corporation-ის საათის სიჩქარით ხუთი მეგაჰერცი, და თითოეული კადრის დახატვას დაახლოებით ნახევარი საათი დასჭირდა.

Lucasfilm Limited-ში მუშაობისას ანიმატორმა შექმნა იგივე 3D პეიზაჟები Star Trek საგის მეორე ფუნქციისთვის. ხანის რისხვაში კარპენტერმა შეძლო მთელი პლანეტის შექმნა ფრაქტალური ზედაპირის მოდელირების იგივე პრინციპის გამოყენებით.

ამჟამად, ყველა პოპულარული აპლიკაცია 3D ლანდშაფტების შესაქმნელად იყენებს ბუნებრივი ობიექტების გენერირების იმავე პრინციპს. Terragen, Bryce, Vue და სხვა 3D რედაქტორები ეყრდნობიან ფრაქტალური ზედაპირისა და ტექსტურის მოდელირების ალგორითმს.

⇡ ფრაქტალური ანტენები: ნაკლები უკეთესია, მაგრამ უკეთესი

ბოლო ნახევარი საუკუნის განმავლობაში ცხოვრება სწრაფად შეიცვალა. უმეტესობა ჩვენგანს მიაჩნია მიღწეულ მიღწევებს თანამედროვე ტექნოლოგიებში. ყველაფერს, რაც ცხოვრებას უფრო კომფორტულს ხდის, ძალიან სწრაფად ეჩვევი. იშვიათად ვინმე სვამს კითხვებს "საიდან გაჩნდა ეს?" და "როგორ მუშაობს?". მიკროტალღური ღუმელი ათბობს საუზმეს - კარგი, მშვენიერია, სმარტფონი საშუალებას გაძლევთ ისაუბროთ სხვა ადამიანთან - შესანიშნავია. ეს ჩვენთვის აშკარა შესაძლებლობად გვეჩვენება.

მაგრამ ცხოვრება შეიძლება იყოს სრულიად განსხვავებული, თუ ადამიანი არ ეძებს ახსნას მომხდარ მოვლენებს. აიღეთ, მაგალითად, მობილური ტელეფონები. გახსოვთ დასაკეცი ანტენები პირველ მოდელებზე? ისინი ერეოდნენ, გაზარდეს მოწყობილობის ზომა, საბოლოოდ, ხშირად იშლებოდა. ჩვენ გვჯერა, რომ ისინი სამუდამოდ დაივიწყეს და ნაწილობრივ ამის გამო ... ფრაქტალები.

ფრაქტალური ნახატები ხიბლავს მათი ნიმუშებით. ისინი ნამდვილად წააგავს კოსმოსური ობიექტების გამოსახულებებს - ნისლეულებს, გალაქტიკათა გროვას და ა.შ. ამიტომ, სავსებით ბუნებრივია, რომ როდესაც მანდელბროტმა გააჟღერა თავისი ფრაქტალების თეორია, მისმა კვლევამ გაზარდა ინტერესი მათ შორის, ვინც ასტრონომიას სწავლობდა. ერთ-ერთი ასეთი მოყვარული, სახელად ნათან კოენი, ბუდაპეშტში ბენუა მანდელბროტის ლექციაზე დასწრების შემდეგ, შთაგონებული იყო მიღებული ცოდნის პრაქტიკული გამოყენების იდეით. მართალია, მან ეს ინტუიციურად გააკეთა და შემთხვევითობამ მნიშვნელოვანი როლი ითამაშა მის აღმოჩენაში. როგორც რადიომოყვარული, ნათანი ცდილობდა შეექმნა ანტენა მაქსიმალური მგრძნობელობით.

ანტენის პარამეტრების გაუმჯობესების ერთადერთი გზა, რაც იმ დროისთვის იყო ცნობილი, იყო მისი გეომეტრიული ზომების გაზრდა. თუმცა, ნათანის ბოსტონის ცენტრში ბინის მფლობელი კატეგორიულად ეწინააღმდეგებოდა სახურავის დიდი მოწყობილობების დაყენებას. შემდეგ ნათანმა დაიწყო ექსპერიმენტები სხვადასხვა ფორმის ანტენებით, ცდილობდა მაქსიმალური შედეგი მიეღო მინიმალური ზომით. ცეცხლი წაეკიდა ფრაქტალური ფორმების იდეით, კოენმა, როგორც ამბობენ, შემთხვევით გააკეთა მავთულისგან ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი ფრაქტალი - "კოხის ფიფქია". შვედმა მათემატიკოსმა ჰელგე ფონ კოხმა ეს მრუდი ჯერ კიდევ 1904 წელს გამოიგონა. იგი მიიღება სეგმენტის სამ ნაწილად დაყოფით და შუა სეგმენტის ჩანაცვლებით ტოლგვერდა სამკუთხედით ამ სეგმენტთან დამთხვევის გვერდის გარეშე. განმარტება ცოტა რთული გასაგებია, მაგრამ ფიგურა ნათელი და მარტივია.

ასევე არსებობს "კოხის მრუდის" სხვა სახეობები, მაგრამ მრუდის სავარაუდო ფორმა მსგავსი რჩება.

როდესაც ნათანმა ანტენა რადიოს მიმღებს დაუკავშირა, ძალიან გაუკვირდა - მგრძნობელობა მკვეთრად გაიზარდა. ექსპერიმენტების სერიის შემდეგ, ბოსტონის უნივერსიტეტის მომავალმა პროფესორმა გააცნობიერა, რომ ფრაქტალის ნიმუშის მიხედვით დამზადებულ ანტენას აქვს მაღალი ეფექტურობა და კლასიკურ გადაწყვეტილებებთან შედარებით გაცილებით ფართო სიხშირის დიაპაზონს მოიცავს. გარდა ამისა, ანტენის ფორმამ ფრაქტალური მრუდის სახით შეიძლება მნიშვნელოვნად შეამციროს გეომეტრიული ზომები. ნათან კოენმა თეორემაც კი შეიმუშავა, რომელიც ამტკიცებს, რომ ფართოზოლოვანი ანტენის შესაქმნელად, საკმარისია მას მივცეთ მსგავსი ფრაქტალის მრუდის ფორმა.

ავტორმა დააპატენტა თავისი აღმოჩენა და დააარსა ფირმა ფრაქტალური ანტენების განვითარებისა და დიზაინისთვის Fractal Antenna Systems, მართებულად თვლიდა, რომ მომავალში, მისი აღმოჩენის წყალობით, მობილურ ტელეფონებს შეეძლებათ თავი დაეღწია ნაყარი ანტენებისგან და გახდნენ უფრო კომპაქტური.

ძირითადად, ასეც მოხდა. მართალია, დღემდე ნათანი სასამართლოშია მსხვილ კორპორაციებთან, რომლებიც უკანონოდ იყენებენ მის აღმოჩენას კომპაქტური საკომუნიკაციო მოწყობილობების დასამზადებლად. მობილური მოწყობილობების ზოგიერთმა ცნობილმა მწარმოებელმა, როგორიცაა Motorola, უკვე მიაღწია სამშვიდობო შეთანხმებას ფრაქტალური ანტენის გამომგონებელთან.

⇡ ფრაქტალური ზომები: გონება არ ესმის

ბენუამ ეს კითხვა ცნობილი ამერიკელი მეცნიერის ედვარდ კასნერისგან ისესხა.

ამ უკანასკნელს, ისევე როგორც ბევრ სხვა ცნობილ მათემატიკოსს, ძალიან უყვარდა ბავშვებთან ურთიერთობა, მათთვის კითხვების დასმა და მოულოდნელი პასუხების მიღება. ზოგჯერ ეს იწვევს გასაოცარ შედეგებს. ასე, მაგალითად, ედვარდ კასნერის ცხრა წლის ძმისშვილმა მოიფიქრა ახლა კარგად ცნობილი სიტყვა "გუგოლი", რომელიც აღნიშნავს ერთეულს ასი ნულით. მაგრამ დავუბრუნდეთ ფრაქტალებს. ამერიკელ მათემატიკოსს მოსწონდა კითხვა, რამდენი ხანია აშშ-ს სანაპირო ზოლი. თანამოსაუბრის აზრის მოსმენის შემდეგ ედვარდმა თავად თქვა სწორი პასუხი. თუ გაზომავთ სიგრძეს რუკაზე გატეხილი სეგმენტებით, მაშინ შედეგი იქნება არაზუსტი, რადგან სანაპირო ზოლს აქვს დიდი რაოდენობით დარღვევები. და რა მოხდება, თუ მაქსიმალურად ზუსტად გაზომავთ? თქვენ მოგიწევთ თითოეული უთანასწორობის სიგრძის გათვალისწინება - თქვენ უნდა გაზომოთ თითოეული კონცხი, თითოეული ყურე, კლდე, კლდოვანი რაფის სიგრძე, მასზე ქვა, ქვიშის მარცვალი, ატომი და ა.შ. ვინაიდან დარღვევების რაოდენობა უსასრულობისკენ მიისწრაფვის, სანაპირო ზოლის გაზომილი სიგრძე უსასრულობამდე გაიზრდება ყოველი ახალი დარღვევით.

რაც უფრო მცირეა ზომა გაზომვისას, მით მეტია გაზომილი სიგრძე

საინტერესოა, რომ ედვარდის მოთხოვნის შემდეგ ბავშვები უფროსებზე ბევრად სწრაფად ამბობდნენ სწორ პასუხს, ხოლო ამ უკანასკნელებს უჭირდათ ასეთი წარმოუდგენელი პასუხის მიღება.

ამ პრობლემის მაგალითის გამოყენებით მანდელბროტმა შესთავაზა გაზომვების ახალი მიდგომის გამოყენება. ვინაიდან სანაპირო ზოლი ახლოს არის ფრაქტალ მრუდთან, ეს ნიშნავს, რომ მასზე შეიძლება გამოყენებულ იქნას დამახასიათებელი პარამეტრი, ეგრეთ წოდებული ფრაქტალური განზომილება.

რა არის ჩვეულებრივი განზომილება, ყველასთვის გასაგებია. თუ განზომილება ერთის ტოლია, მივიღებთ სწორ ხაზს, თუ ორი - ბრტყელ ფიგურას, სამს - მოცულობას. თუმცა, განზომილების ასეთი გაგება მათემატიკაში არ მუშაობს ფრაქტალის მრუდებით, სადაც ამ პარამეტრს აქვს წილადური მნიშვნელობა. მათემატიკაში ფრაქტალის განზომილება პირობითად შეიძლება ჩაითვალოს „უხეშობად“. რაც უფრო მაღალია მრუდის უხეშობა, მით მეტია მისი ფრაქტალური განზომილება. მრუდს, რომელსაც მანდელბროტის აზრით, აქვს ფრაქტალური განზომილება უფრო მაღალი ვიდრე მისი ტოპოლოგიური განზომილება, აქვს სავარაუდო სიგრძე, რომელიც არ არის დამოკიდებული განზომილებების რაოდენობაზე.

ამჟამად მეცნიერები სულ უფრო მეტ სფეროს პოულობენ ფრაქტალის თეორიის გამოყენებისთვის. ფრაქტალების დახმარებით შეგიძლიათ გააანალიზოთ აქციების ფასების რყევები, შეისწავლოთ ყველა სახის ბუნებრივი პროცესი, როგორიცაა სახეობების რაოდენობის რყევები, ან ნაკადების დინამიკის სიმულაცია. ფრაქტალური ალგორითმები შეიძლება გამოყენებულ იქნას მონაცემთა შეკუმშვისთვის, მაგალითად გამოსახულების შეკუმშვისთვის. სხვათა შორის, კომპიუტერის ეკრანზე ლამაზი ფრაქტალის მისაღებად, არ არის აუცილებელი გქონდეთ დოქტორის ხარისხი.

⇡ ფრაქტალი ბრაუზერში

შესაძლოა, ფრაქტალის ნიმუშის მისაღებად ერთ-ერთი ყველაზე მარტივი გზაა ახალგაზრდა ნიჭიერი პროგრამისტის ტობი შაჩმანის ონლაინ ვექტორული რედაქტორის გამოყენება. ამ მარტივი გრაფიკული რედაქტორის ინსტრუმენტთა ნაკრები ეფუძნება თვითმსგავსების იმავე პრინციპს.

თქვენს განკარგულებაშია მხოლოდ ორი მარტივი ფორმა - კვადრატი და წრე. თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ ისინი ტილოზე, გააფართოვოთ (ერთ-ერთი ღერძის გასწვრივ მასშტაბირება, დააჭიროთ Shift ღილაკს) და დაატრიალოთ. ლოგიკური მიმატების ოპერაციების პრინციპის გადაფარვით, ეს უმარტივესი ელემენტები ქმნიან ახალ, ნაკლებად ტრივიალურ ფორმებს. გარდა ამისა, ეს ახალი ფორმები შეიძლება დაემატოს პროექტს და პროგრამა განუსაზღვრელი ვადით გაიმეორებს ამ სურათების გენერაციას. ფრაქტალზე მუშაობის ნებისმიერ ეტაპზე შეგიძლიათ დაუბრუნდეთ რთული ფორმის ნებისმიერ კომპონენტს და შეცვალოთ მისი პოზიცია და გეომეტრია. ეს ძალიან სახალისოა, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც თვლით, რომ ერთადერთი ინსტრუმენტი, რომელიც გჭირდებათ კრეატიულობისთვის, არის ბრაუზერი. თუ არ გესმით ამ რეკურსიულ ვექტორულ რედაქტორთან მუშაობის პრინციპი, გირჩევთ უყუროთ ვიდეოს პროექტის ოფიციალურ ვებგვერდზე, სადაც დეტალურად არის ნაჩვენები ფრაქტალის შექმნის მთელი პროცესი.

⇡ XaoS: ფრაქტალები ყველა გემოვნებისთვის

ბევრ გრაფიკულ რედაქტორს აქვს ჩაშენებული ხელსაწყოები ფრაქტალის შაბლონების შესაქმნელად. თუმცა, ეს ხელსაწყოები, როგორც წესი, მეორეხარისხოვანია და არ გაძლევენ გენერირებული ფრაქტალის ნიმუშის დაზუსტების საშუალებას. იმ შემთხვევებში, როდესაც აუცილებელია მათემატიკურად ზუსტი ფრაქტალის შექმნა, XaoS კროს პლატფორმის რედაქტორი მოვა სამაშველოში. ეს პროგრამა შესაძლებელს ხდის არა მხოლოდ საკუთარი თავის მსგავსი სურათის შექმნას, არამედ მასთან ერთად სხვადასხვა მანიპულაციების შესრულებას. მაგალითად, რეალურ დროში შეგიძლიათ „გაიაროთ“ ფრაქტალში მისი მასშტაბის შეცვლით. ანიმაციური მოძრაობა ფრაქტალის გასწვრივ შეიძლება შეინახოს როგორც XAF ფაილი და შემდეგ დაკვრა თავად პროგრამაში.

XaoS-ს შეუძლია პარამეტრების შემთხვევითი ნაკრების ჩატვირთვა, ასევე გამოსახულების შემდგომი დამუშავების სხვადასხვა ფილტრების გამოყენება - ბუნდოვანი მოძრაობის ეფექტის დამატება, ფრაქტალ წერტილებს შორის მკვეთრი გადასვლების გამარტივება, 3D გამოსახულების სიმულაცია და ა.შ.

⇡ ფრაქტალის ზუმერი: კომპაქტური ფრაქტალის გენერატორი

სხვა ფრაქტალური გამოსახულების გენერატორებთან შედარებით, მას აქვს რამდენიმე უპირატესობა. ჯერ ერთი, ის საკმაოდ მცირე ზომისაა და არ საჭიროებს ინსტალაციას. მეორეც, ის ახორციელებს სურათის ფერთა პალიტრის განსაზღვრის უნარს. თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ ჩრდილები RGB, CMYK, HVS და HSL ფერის მოდელებში.

ასევე ძალიან მოსახერხებელია ფერთა ჩრდილების შემთხვევითი შერჩევის და სურათზე ყველა ფერის ინვერსიის ფუნქციის გამოყენება. ფერის დასარეგულირებლად არის ჩრდილების ციკლური შერჩევის ფუნქცია - როდესაც ჩართულია შესაბამისი რეჟიმი, პროგრამა აცოცხლებს სურათს, ციკლურად ცვლის მასზე ფერებს.

Fractal Zoomer-ს შეუძლია 85 სხვადასხვა ფრაქტალის ფუნქციის ვიზუალიზაცია და ფორმულები ნათლად არის ნაჩვენები პროგრამის მენიუში. პროგრამაში არის ფილტრები სურათების შემდგომი დამუშავებისთვის, თუმცა მცირე რაოდენობით. თითოეული მინიჭებული ფილტრი შეიძლება ნებისმიერ დროს გაუქმდეს.

⇡ Mandelbulb3D: 3D ფრაქტალის რედაქტორი

როდესაც ტერმინი "ფრაქტალი" გამოიყენება, ის ყველაზე ხშირად ნიშნავს ბრტყელ ორგანზომილებიან გამოსახულებას. თუმცა, ფრაქტალის გეომეტრია სცილდება 2D განზომილებას. ბუნებაში შეგიძლიათ იპოვოთ ბრტყელი ფრაქტალის ფორმების ორივე მაგალითი, მაგალითად, ელვის გეომეტრია და სამგანზომილებიანი სამგანზომილებიანი ფიგურები. ფრაქტალის ზედაპირები შეიძლება იყოს 3D და 3D ფრაქტალების ერთი ძალიან გრაფიკული ილუსტრაცია ყოველდღიურ ცხოვრებაში არის კომბოსტოს თავი. ალბათ ფრაქტალების სანახავად საუკეთესო საშუალებაა რომანესკოში, ყვავილოვანი კომბოსტოს და ბროკოლის ჰიბრიდი.

და ამ ფრაქტალის ჭამა შეიძლება

Mandelbulb3D პროგრამას შეუძლია შექმნას მსგავსი ფორმის სამგანზომილებიანი ობიექტები. 3D ზედაპირის მისაღებად ფრაქტალის ალგორითმის გამოყენებით, ამ აპლიკაციის ავტორებმა, დენიელ უაიტმა და პოლ ნილანდერმა, მანდელბროტის ნაკრები გადააკეთეს სფერულ კოორდინატებად. მათ მიერ შექმნილი Mandelbulb3D პროგრამა არის ნამდვილი სამგანზომილებიანი რედაქტორი, რომელიც აყალიბებს სხვადასხვა ფორმის ფრაქტალურ ზედაპირებს. ვინაიდან ბუნებაში ხშირად ვაკვირდებით ფრაქტალის ნიმუშებს, ხელოვნურად შექმნილი ფრაქტალის სამგანზომილებიანი ობიექტი წარმოუდგენლად რეალისტური და თუნდაც „ცოცხალი“ ჩანს.

შეიძლება მცენარეს ჰგავდეს, უცნაურ ცხოველს, პლანეტას ან სხვა რამეს დაემსგავსოს. ამ ეფექტს აძლიერებს რენდერის გაფართოებული ალგორითმი, რომელიც შესაძლებელს ხდის რეალისტური ასახვის მიღებას, გამჭვირვალობისა და ჩრდილების გამოთვლას, ველის სიღრმის ეფექტის სიმულაციას და ა.შ. Mandelbulb3D-ს აქვს უამრავი პარამეტრი და რენდერის პარამეტრები. თქვენ შეგიძლიათ აკონტროლოთ სინათლის წყაროების ჩრდილები, აირჩიოთ მოდელირებული ობიექტის ფონი და დეტალების დონე.

Incendia ფრაქტალის რედაქტორი მხარს უჭერს გამოსახულების ორმაგ გამარტივებას, შეიცავს ორმოცდაათი სხვადასხვა სამგანზომილებიანი ფრაქტალის ბიბლიოთეკას და აქვს ცალკე მოდული ძირითადი ფორმების რედაქტირებისთვის.

აპლიკაცია იყენებს ფრაქტალ სკრიპტირებას, რომლითაც შეგიძლიათ დამოუკიდებლად აღწეროთ ფრაქტალის სტრუქტურების ახალი ტიპები. Incendia-ს აქვს ტექსტურის და მასალის რედაქტორები და რენდერის ძრავა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ მოცულობითი ნისლის ეფექტები და სხვადასხვა შადერები. პროგრამას აქვს შესაძლებლობა შეინახოს ბუფერი გრძელვადიანი რენდერის დროს, მხარდაჭერილია ანიმაციის შექმნა.

Incendia საშუალებას გაძლევთ ექსპორტი გააკეთოთ ფრაქტალის მოდელი პოპულარულ 3D გრაფიკულ ფორმატებში - OBJ და STL. Incendia მოიცავს პატარა Geometrica-ს - სპეციალურ ხელსაწყოს ფრაქტალური ზედაპირის სამგანზომილებიან მოდელზე ექსპორტის დასაყენებლად. ამ პროგრამის გამოყენებით, შეგიძლიათ განსაზღვროთ 3D ზედაპირის გარჩევადობა, მიუთითოთ ფრაქტალის გამეორებების რაოდენობა. ექსპორტირებული მოდელების გამოყენება შესაძლებელია 3D პროექტებში 3D რედაქტორებთან მუშაობისას, როგორიცაა Blender, 3ds max და სხვა.

ცოტა ხნის წინ, Incendia პროექტზე მუშაობა გარკვეულწილად შენელდა. ამ დროისთვის ავტორი ეძებს სპონსორებს, რომლებიც დაეხმარებიან მას პროგრამის განვითარებაში.

თუ თქვენ არ გაქვთ საკმარისი ფანტაზია ამ პროგრამაში ლამაზი სამგანზომილებიანი ფრაქტალის დახატვისთვის, არ აქვს მნიშვნელობა. გამოიყენეთ პარამეტრების ბიბლიოთეკა, რომელიც მდებარეობს INCENDIA_EX\parameters საქაღალდეში. PAR ფაილების დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ სწრაფად იპოვოთ ყველაზე უჩვეულო ფრაქტალის ფორმები, მათ შორის ანიმაციური.

⇡ ხმოვანი: როგორ მღერიან ფრაქტალები

ჩვენ ჩვეულებრივ არ ვსაუბრობთ პროექტებზე, რომლებზეც ახლახან მიმდინარეობს მუშაობა, მაგრამ ამ შემთხვევაში გამონაკლისი უნდა გავაკეთოთ, ეს ძალიან უჩვეულო აპლიკაციაა. პროექტი სახელწოდებით Aural გამოვიდა იმავე ადამიანთან ერთად, როგორც Incendia. მართალია, ამჯერად პროგრამა არ ახდენს ფრაქტალის ნაკრების ვიზუალიზაციას, არამედ ახმოვანებს მას, აქცევს მას ელექტრონულ მუსიკად. იდეა ძალიან საინტერესოა, განსაკუთრებით ფრაქტალების უჩვეულო თვისებების გათვალისწინებით. Aural არის აუდიო რედაქტორი, რომელიც ქმნის მელოდიებს ფრაქტალის ალგორითმების გამოყენებით, ანუ, ფაქტობრივად, ის არის აუდიო სინთეზატორი-სექვენერატორი.

ამ პროგრამის მიერ გაცემული ბგერების თანმიმდევრობა უჩვეულო და ... ლამაზია. ის შეიძლება კარგად გამოდგეს თანამედროვე რიტმების დასაწერად და, ჩვენი აზრით, განსაკუთრებით შესაფერისია საუნდტრეკის შესაქმნელად სატელევიზიო და რადიო გადაცემების ინტროსთვის, ასევე კომპიუტერული თამაშებისთვის ფონური მუსიკის „მარყუჟებისთვის“. რამიროს ჯერ არ გაუკეთებია თავისი პროგრამის დემო ვერსია, მაგრამ გვპირდება, რომ როცა ამას აკეთებს, აურალთან მუშაობისთვის, მას არ დასჭირდება ფრაქტალების თეორიის სწავლა - უბრალოდ ითამაშე ალგორითმის პარამეტრებთან ნოტების თანმიმდევრობის შესაქმნელად. . მოუსმინეთ როგორ ჟღერს ფრაქტალები და.

ფრაქტალები: მუსიკალური პაუზა

სინამდვილეში, ფრაქტალებს შეუძლიათ დაგეხმარონ მუსიკის დაწერაში პროგრამული უზრუნველყოფის გარეშეც კი. მაგრამ ეს შეიძლება გააკეთოს მხოლოდ მას, ვინც ნამდვილად არის გაჟღენთილი ბუნებრივი ჰარმონიის იდეით და ამავე დროს არ გადაიქცა უბედურ „ნერდად“. აზრი აქვს მუსიკოსისგან, სახელად ჯონათან კულტონისგან, რომელიც, სხვა საკითხებთან ერთად, წერს კომპოზიციებს ჟურნალის Popular Science-ისთვის. და სხვა მხატვრებისგან განსხვავებით, კოლტონი აქვეყნებს თავის ყველა ნამუშევარს Creative Commons Attribution-არაკომერციული ლიცენზიით, რომელიც (არაკომერციული მიზნებისთვის გამოყენებისას) ითვალისწინებს ნამუშევრის უფასო კოპირებას, გავრცელებას, სხვებისთვის გადაცემას, ასევე მის მოდიფიკაციას (შექმნას). წარმოებული სამუშაოების) თქვენს საჭიროებებზე მორგების მიზნით.

ჯონათან კოლტონს, რა თქმა უნდა, აქვს სიმღერა ფრაქტალებზე.

⇡ დასკვნა

ყველაფერში, რაც ჩვენს გარშემოა, ჩვენ ხშირად ვხედავთ ქაოსს, მაგრამ სინამდვილეში ეს არ არის შემთხვევითი, არამედ იდეალური ფორმა, რომლის ამოცნობაშიც ფრაქტალები გვეხმარება. ბუნება არის საუკეთესო არქიტექტორი, იდეალური მშენებელი და ინჟინერი. ის ძალიან ლოგიკურად არის მოწყობილი და თუ სადმე ვერ ვხედავთ შაბლონებს, ეს ნიშნავს, რომ ის სხვა მასშტაბით უნდა ვეძებოთ. ადამიანები ამას უკეთესად და უკეთესად ესმით, ცდილობენ მრავალი გზით მიბაძონ ბუნებრივ ფორმებს. ინჟინრები ქმნიან დინამიკების სისტემებს გარსის სახით, ქმნიან ანტენებს ფიფქის გეომეტრიით და ა.შ. დარწმუნებული ვართ, რომ ფრაქტალები ჯერ კიდევ ბევრ საიდუმლოს ინახავს და ბევრი მათგანი ჯერ კიდევ არ არის აღმოჩენილი ადამიანმა.

რა საერთო აქვს ჩვენს ხელში ხეს, ზღვის სანაპიროს, ღრუბელსა თუ სისხლძარღვებს? ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს, რომ ყველა ამ ობიექტს საერთო არაფერი აქვს. თუმცა, ფაქტობრივად, არსებობს სტრუქტურის ერთი თვისება, რომელიც თანდაყოლილია ყველა ჩამოთვლილ ობიექტში: ისინი საკუთარი თავის მსგავსია. ტოტიდან, ისევე როგორც ხის ღეროდან, უფრო მცირე პროცესები გამოდის, მათგან - უფრო პატარა და ა.შ., ანუ ტოტი მთელი ხის მსგავსია. სისხლის მიმოქცევის სისტემაც ანალოგიურადაა მოწყობილი: არტერიოლები გამოდიან არტერიებიდან, ხოლო მათგან - უმცირესი კაპილარები, რომლებითაც ჟანგბადი შედის ორგანოებსა და ქსოვილებში. გადავხედოთ ზღვის სანაპიროს სატელიტურ სურათებს: დავინახავთ ყურეებს და ნახევარკუნძულებს; მოდით შევხედოთ მას, ოღონდ ჩიტის თვალთახედვით: დავინახავთ ყურეებს და კონცხებს; ახლა წარმოიდგინეთ, რომ ჩვენ ვდგავართ სანაპიროზე და ვუყურებთ ჩვენს ფეხებს: ყოველთვის იქნება კენჭები, რომლებიც დანარჩენზე უფრო შორს ამოდიან წყალში. ანუ, გადიდებისას სანაპირო ზოლი თავის მსგავსი რჩება. ამერიკელმა მათემატიკოსმა ბენუა მანდელბროტმა (თუმცა საფრანგეთში გაზრდილი) ობიექტების ამ თვისებას ფრაქტალობა უწოდა, ხოლო თავად ასეთ ობიექტებს - ფრაქტალები (ლათინური fractus - გატეხილი).

ამ კონცეფციას არ აქვს მკაცრი განმარტება. ამიტომ სიტყვა „ფრაქტალი“ არ არის მათემატიკური ტერმინი. ჩვეულებრივ, ფრაქტალი არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც აკმაყოფილებს ერთ ან მეტ თვისებებს: მას აქვს რთული სტრუქტურა ნებისმიერი გადიდებისას (განსხვავებით, მაგალითად, სწორი ხაზისგან, რომლის ნებისმიერი ნაწილი არის უმარტივესი გეომეტრიული ფიგურა - სეგმენტი). ეს არის (დაახლოებით) საკუთარი თავის მსგავსი. მას აქვს ფრაქციული ჰაუსდორფის (ფრაქტალური) განზომილება, რომელიც ტოპოლოგიურზე დიდია. შეიძლება აშენდეს რეკურსიული პროცედურებით.

გეომეტრია და ალგებრა

მე-19 და მე-20 საუკუნეების მიჯნაზე ფრაქტალების შესწავლა უფრო ეპიზოდური იყო, ვიდრე სისტემატური, რადგან ადრინდელი მათემატიკოსები ძირითადად სწავლობდნენ „კარგ“ ობიექტებს, რომელთა შესწავლაც შეიძლებოდა ზოგადი მეთოდებისა და თეორიების გამოყენებით. 1872 წელს გერმანელმა მათემატიკოსმა კარლ ვაიერშტრასმა შექმნა უწყვეტი ფუნქციის მაგალითი, რომელიც არსად დიფერენცირებადია. თუმცა, მისი კონსტრუქცია სრულიად აბსტრაქტული და ძნელად გასაგები იყო. ამიტომ, 1904 წელს შვედმა ჰელგე ფონ კოხმა გამოავლინა უწყვეტი მრუდი, რომელსაც არსად არ აქვს ტანგენსი და მისი დახატვა საკმაოდ მარტივია. აღმოჩნდა, რომ მას აქვს ფრაქტალის თვისებები. ამ მრუდის ერთ-ერთ ვარიაციას კოხის ფიფქი ეწოდება.

ფიგურების თვითმსგავსების იდეები აიტაცა ფრანგმა პოლ პიერ ლევიმ, ბენუა მანდელბროს მომავალმა მენტორმა. 1938 წელს გამოქვეყნდა მისი სტატია „სიბრტყე და სივრცითი მრუდები და მთლიანის მსგავსი ნაწილებისგან შემდგარი ზედაპირი“, რომელშიც აღწერილია კიდევ ერთი ფრაქტალი - ლევის C-მრუდი. ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფრაქტალი პირობითად შეიძლება მივაკუთვნოთ კონსტრუქციული (გეომეტრიული) ფრაქტალების ერთ კლასს.

კიდევ ერთი კლასი არის დინამიური (ალგებრული) ფრაქტალები, რომლებიც მოიცავს მანდელბროტის კომპლექტს. პირველი კვლევა ამ მიმართულებით მე-20 საუკუნის დასაწყისში დაიწყო და დაკავშირებულია ფრანგი მათემატიკოსების გასტონ ჯულიას და პიერ ფატუს სახელებთან. 1918 წელს გამოქვეყნდა ჯულიას მემუარების თითქმის ორასი გვერდი, რომელიც მიეძღვნა რთული რაციონალური ფუნქციების გამეორებას, რომელშიც აღწერილია ჯულიას სიმრავლეები - ფრაქტალების მთელი ოჯახი, რომელიც მჭიდროდ არის დაკავშირებული მანდელბროტის ნაკრებთან. ეს ნამუშევარი დაჯილდოვდა საფრანგეთის აკადემიის პრიზით, მაგრამ ის არ შეიცავდა არც ერთ ილუსტრაციას, ამიტომ შეუძლებელი იყო აღმოჩენილი ობიექტების სილამაზის დაფასება. იმისდა მიუხედავად, რომ ამ ნამუშევარმა ჯულია ცნობილი გახადა იმდროინდელ მათემატიკოსთა შორის, ის სწრაფად დავიწყებას მიეცა. ისევ მასზე ყურადღება მიიპყრო მხოლოდ ნახევარი საუკუნის შემდეგ კომპიუტერების მოსვლასთან ერთად: სწორედ მათ გახადეს თვალსაჩინო ფრაქტალების სამყაროს სიმდიდრე და სილამაზე.

ფრაქტალური ზომები

მოგეხსენებათ, გეომეტრიული ფიგურის განზომილება (გაზომვების რაოდენობა) არის კოორდინატების რაოდენობა, რომელიც აუცილებელია ამ ფიგურაზე მდებარე წერტილის პოზიციის დასადგენად.
მაგალითად, წერტილის პოზიცია მრუდზე განისაზღვრება ერთი კოორდინატით, ზედაპირზე (აუცილებლად სიბრტყეზე) ორი კოორდინატით, სამგანზომილებიან სივრცეში სამი კოორდინატით.
უფრო ზოგადი მათემატიკური თვალსაზრისით, განზომილება შეიძლება განისაზღვროს შემდეგნაირად: წრფივი ზომების ზრდა, ვთქვათ, ორჯერ, ერთგანზომილებიანი (ტოპოლოგიური თვალსაზრისით) ობიექტებისთვის (სეგმენტი) იწვევს ზომის (სიგრძის) ზრდას. ) ორჯერ, ორგანზომილებიანი (კვადრატისთვის) წრფივი ზომების იგივე მატება იწვევს ზომის (ფართის) გაზრდას 4-ჯერ, სამგანზომილებიანი (კუბისთვის) - 8-ჯერ. ანუ „რეალური“ (ე.წ. ჰაუსდორფი) განზომილება შეიძლება გამოითვალოს, როგორც ობიექტის „ზომის“ გაზრდის ლოგარითმის თანაფარდობა მისი ხაზოვანი ზომის გაზრდის ლოგარითმთან. ანუ სეგმენტისთვის D=log (2)/log (2)=1, სიბრტყისთვის D=log (4)/log (2)=2, მოცულობისთვის D=log (8)/log (2 )=3.
ახლა გამოვთვალოთ კოხის მრუდის განზომილება, რომლის ასაგებადაც ერთეული სეგმენტი იყოფა სამ თანაბარ ნაწილად და შუა ინტერვალი ჩანაცვლებულია ტოლგვერდა სამკუთხედით ამ სეგმენტის გარეშე. მინიმალური სეგმენტის ხაზოვანი ზომების სამჯერ გაზრდით, კოხის მრუდის სიგრძე იზრდება ჟურნალში (4) / ჟურნალში (3) ~ 1.26. ანუ კოხის მრუდის განზომილება წილადია!

მეცნიერება და ხელოვნება

1982 წელს გამოიცა მანდელბროტის წიგნი "ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია", რომელშიც ავტორმა შეაგროვა და სისტემატიზირებული თითქმის ყველა ინფორმაცია ფრაქტალების შესახებ იმ დროისთვის ხელმისაწვდომი და მარტივად და ხელმისაწვდომად წარმოადგინა. მანდელბროტმა თავის პრეზენტაციაში მთავარი აქცენტი გააკეთა არა მძიმე ფორმულებზე და მათემატიკურ კონსტრუქციებზე, არამედ მკითხველთა გეომეტრიულ ინტუიციაზე. კომპიუტერული გენერირებული ილუსტრაციებისა და ისტორიული ისტორიების წყალობით, რომლითაც ავტორი ოსტატურად აზავებდა მონოგრაფიის სამეცნიერო კომპონენტს, წიგნი გახდა ბესტსელერი, ხოლო ფრაქტალები ცნობილი გახდა ფართო საზოგადოებისთვის. მათი წარმატება არამათემატიკოსებს შორის დიდწილად განპირობებულია იმით, რომ ძალიან მარტივი კონსტრუქციებისა და ფორმულების დახმარებით, რომელთა გაგებაც საშუალო სკოლის მოსწავლესაც კი შეუძლია, საოცარი სირთულის და სილამაზის გამოსახულებები მიიღება. როდესაც პერსონალური კომპიუტერები საკმარისად მძლავრი გახდა, ხელოვნების მთელი ტენდენციაც კი გამოჩნდა - ფრაქტალის ფერწერა და ამის გაკეთება თითქმის ნებისმიერ კომპიუტერის მფლობელს შეეძლო. ახლა ინტერნეტში შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ამ თემისადმი მიძღვნილი მრავალი საიტი.

კოხის მრუდის მიღების სქემა

Ომი და მშვიდობა

როგორც ზემოთ აღინიშნა, ერთ-ერთი ბუნებრივი ობიექტი, რომელსაც აქვს ფრაქტალური თვისებები, არის სანაპირო ზოლი. მას უკავშირდება ერთი საინტერესო ამბავი, უფრო სწორად, მისი სიგრძის გაზომვის მცდელობა, რაც მანდელბროტის სამეცნიერო სტატიას დაედო საფუძვლად და ასევე აღწერილია მის წიგნში „ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია“. ჩვენ ვსაუბრობთ ექსპერიმენტზე, რომელიც მოაწყო ლუის რიჩარდსონმა, ძალიან ნიჭიერმა და ექსცენტრიულმა მათემატიკოსმა, ფიზიკოსმა და მეტეოროლოგმა. მისი კვლევის ერთ-ერთი მიმართულება იყო ორ ქვეყანას შორის შეიარაღებული კონფლიქტის მიზეზებისა და ალბათობის მათემატიკური აღწერის მცდელობა. პარამეტრებს შორის, რომელიც მან გაითვალისწინა, იყო ორ მეომარ ქვეყანას შორის საერთო საზღვრის სიგრძე. როდესაც მან შეაგროვა მონაცემები რიცხვითი ექსპერიმენტებისთვის, მან აღმოაჩინა, რომ სხვადასხვა წყაროებში მონაცემები ესპანეთისა და პორტუგალიის საერთო საზღვრებზე მნიშვნელოვნად განსხვავდება. ამან მიიყვანა იგი შემდეგ აღმოჩენამდე: ქვეყნის საზღვრების სიგრძე დამოკიდებულია მმართველზე, რომლითაც გავზომავთ მათ. რაც უფრო მცირეა მასშტაბი, მით უფრო გრძელი იქნება საზღვარი. ეს იმის გამო ხდება, რომ უფრო მაღალი გადიდებისას შესაძლებელი ხდება სანაპიროს უფრო და უფრო მეტი მოსახვევების გათვალისწინება, რომლებიც ადრე იგნორირებული იყო გაზომვების უხეშობის გამო. და თუ ყოველი გადიდებისას იხსნება ხაზების მანამდე გაუთვალისწინებელი მოხვევები, გამოდის, რომ საზღვრების სიგრძე უსასრულოა! მართალია, სინამდვილეში ეს არ ხდება - ჩვენი გაზომვების სიზუსტეს აქვს სასრული ზღვარი. ამ პარადოქსს რიჩარდსონის ეფექტს უწოდებენ.

კონსტრუქციული (გეომეტრიული) ფრაქტალები

ზოგად შემთხვევაში კონსტრუქციული ფრაქტალის აგების ალგორითმი შემდეგია. უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ გვჭირდება ორი შესაფერისი გეომეტრიული ფორმა, დავარქვათ მათ საფუძველი და ფრაგმენტი. პირველ ეტაპზე გამოსახულია მომავალი ფრაქტალის საფუძველი. შემდეგ მის ზოგიერთ ნაწილს ცვლის შესაფერისი მასშტაბით აღებული ფრაგმენტი - ეს კონსტრუქციის პირველი გამეორებაა. შემდეგ მიღებულ ფიგურაში ზოგიერთი ნაწილი ისევ იცვლება ფრაგმენტის მსგავს ფიგურებად და ა.შ.. თუ ამ პროცესს განუსაზღვრელი ვადით გავაგრძელებთ, ლიმიტში მივიღებთ ფრაქტალს.

განვიხილოთ ეს პროცესი კოხის მრუდის მაგალითის გამოყენებით (იხილეთ გვერდითი ზოლი წინა გვერდზე). ნებისმიერი მრუდი შეიძლება მივიღოთ კოხის მრუდის საფუძვლად (კოხის ფიფქისთვის ეს არის სამკუთხედი). მაგრამ ჩვენ შემოვიფარგლებით უმარტივესი შემთხვევით - სეგმენტით. ფრაგმენტი არის გატეხილი ხაზი, რომელიც ნაჩვენებია ფიგურის თავზე. ალგორითმის პირველი გამეორების შემდეგ, ამ შემთხვევაში, თავდაპირველი სეგმენტი დაემთხვევა ფრაგმენტს, შემდეგ მისი თითოეული შემადგენელი სეგმენტი თავად შეიცვლება ფრაგმენტის მსგავსი გატეხილი ხაზით და ა.შ. ნახატზე ნაჩვენებია პირველი ოთხი. ამ პროცესის ნაბიჯები.

მათემატიკის ენა: დინამიური (ალგებრული) ფრაქტალები

ამ ტიპის ფრაქტალები წარმოიქმნება არაწრფივი დინამიკური სისტემების შესწავლისას (აქედან სახელწოდებაც). ასეთი სისტემის ქცევა შეიძლება აღწერილი იყოს რთული არაწრფივი ფუნქციით (პოლინომი) f(z). ავიღოთ საწყისი z0 წერტილი კომპლექსურ სიბრტყეზე (იხ. გვერდითი ზოლი). ახლა განვიხილოთ რიცხვების ასეთი უსასრულო თანმიმდევრობა კომპლექსურ სიბრტყეზე, რომელთაგან თითოეული მიღებულია წინადან: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). z0 საწყისი წერტილიდან გამომდინარე, ასეთი მიმდევრობა შეიძლება განსხვავებულად იქცეს: მიდრეკილება უსასრულობისკენ, როგორც n -> ∞; მიახლოება რაღაც ბოლო წერტილში; ციკლურად მიიღოს მთელი რიგი ფიქსირებული მნიშვნელობები; შესაძლებელია უფრო რთული ვარიანტები.

რთული რიცხვები

რთული რიცხვი არის რიცხვი, რომელიც შედგება ორი ნაწილისაგან - რეალური და წარმოსახვითი, ანუ ფორმალური ჯამი x + iy (x და y აქ არის ნამდვილი რიცხვები). მე ვარ ე.წ. წარმოსახვითი ერთეული, ანუ რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას მე ^ 2 = -1. კომპლექსურ რიცხვებზე განისაზღვრება ძირითადი მათემატიკური მოქმედებები - შეკრება, გამრავლება, გაყოფა, გამოკლება (მხოლოდ შედარების ოპერაცია არ არის განსაზღვრული). რთული რიცხვების საჩვენებლად ხშირად გამოიყენება გეომეტრიული გამოსახულება - სიბრტყეზე (მას კომპლექსს უწოდებენ), რეალური ნაწილი გამოსახულია აბსცისის ღერძის გასწვრივ, ხოლო წარმოსახვითი ნაწილი ორდინატთა ღერძის გასწვრივ, ხოლო რთული რიცხვი შეესაბამება წერტილს. დეკარტის კოორდინატებით x და y.

ამრიგად, რთული სიბრტყის ნებისმიერ z წერტილს აქვს ქცევის საკუთარი ხასიათი f (z) ფუნქციის გამეორებისას და მთელი სიბრტყე იყოფა ნაწილებად. უფრო მეტიც, ამ ნაწილების საზღვრებზე მდებარე წერტილებს აქვთ შემდეგი თვისება: თვითნებურად მცირე გადაადგილებისთვის, მათი ქცევის ბუნება მკვეთრად იცვლება (ასეთ წერტილებს უწოდებენ ბიფურკაციის წერტილებს). ასე რომ, გამოდის, რომ წერტილების სიმრავლეებს, რომლებსაც აქვთ ქცევის ერთი კონკრეტული ტიპი, ისევე როგორც ბიფურკაციის წერტილების სიმრავლე, ხშირად აქვთ ფრაქტალური თვისებები. ეს არის ჯულიას კომპლექტები f(z) ფუნქციისთვის.

დრაკონების ოჯახი

ბაზისა და ფრაგმენტის შეცვლით, შეგიძლიათ მიიღოთ კონსტრუქციული ფრაქტალების განსაცვიფრებელი მრავალფეროვნება.
უფრო მეტიც, მსგავსი ოპერაციები შეიძლება შესრულდეს სამგანზომილებიან სივრცეში. მოცულობითი ფრაქტალების მაგალითებია „მენგერის ღრუბელი“, „სიერპინსკის პირამიდა“ და სხვა.
დრაკონების ოჯახს ასევე მოიხსენიებენ კონსტრუქციულ ფრაქტალებს. მათ ზოგჯერ აღმომჩენთა სახელით მოიხსენიებენ, როგორც "ჰეივეი-ჰარტერის დრაკონებს" (ისინი თავიანთი ფორმით ჩინურ დრაკონებს ჰგვანან). ამ მრუდის აგების რამდენიმე გზა არსებობს. მათგან უმარტივესი და აშკარაა: თქვენ უნდა აიღოთ საკმარისად გრძელი ქაღალდის ზოლი (რაც უფრო თხელია ქაღალდი, მით უკეთესი) და გახეხეთ შუაზე. შემდეგ კვლავ მოხარეთ იგი შუაზე იმავე მიმართულებით, როგორც პირველად. რამდენიმე გამეორების შემდეგ (ჩვეულებრივ, ხუთი ან ექვსი დაკეცვის შემდეგ ზოლი ძალიან სქელი ხდება შემდგომი ფრთხილად მოსახვევისთვის), თქვენ უნდა გაასწოროთ ზოლი უკან და შეეცადოთ ჩამოაყალიბოთ 90˚ კუთხეები ნაკეცებთან. შემდეგ დრაკონის მრუდი აღმოჩნდება პროფილში. რა თქმა უნდა, ეს იქნება მხოლოდ მიახლოება, ისევე როგორც ფრაქტალური ობიექტების გამოსახვის ყველა ჩვენი მცდელობა. კომპიუტერი საშუალებას გაძლევთ წარმოაჩინოთ კიდევ ბევრი ნაბიჯი ამ პროცესში და შედეგი არის ძალიან ლამაზი ფიგურა.

მანდელბროტის ნაკრები გარკვეულწილად განსხვავებულად არის აგებული. განვიხილოთ ფუნქცია fc (z) = z 2 +c, სადაც c არის რთული რიცხვი. ავაშენოთ ამ ფუნქციის თანმიმდევრობა z0=0-ით, c პარამეტრიდან გამომდინარე, ის შეიძლება განსხვავდებოდეს უსასრულობამდე ან დარჩეს შეზღუდული. უფრო მეტიც, c-ის ყველა მნიშვნელობა, რომლითაც ეს თანმიმდევრობა შემოიფარგლება, ქმნის მანდელბროტის სიმრავლეს. იგი დეტალურად შეისწავლეს თავად მანდელბროტმა და სხვა მათემატიკოსებმა, რომლებმაც აღმოაჩინეს ამ ნაკრების მრავალი საინტერესო თვისება.

ჩანს, რომ ჯულია და მანდელბროტის კომპლექტების განმარტებები ერთმანეთის მსგავსია. სინამდვილეში, ეს ორი ნაკრები მჭიდრო კავშირშია. კერძოდ, მანდელბროტის სიმრავლე არის c კომპლექსური პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც დაკავშირებულია ჯულიას სიმრავლე fc (z) (კომპლექტს უწოდებენ დაკავშირებულს, თუ ის არ შეიძლება დაიყოს ორ გადამკვეთ ნაწილად, გარკვეული დამატებითი პირობებით).

ფრაქტალები და სიცოცხლე

დღესდღეობით ფრაქტალების თეორია ფართოდ გამოიყენება ადამიანის საქმიანობის სხვადასხვა სფეროში. კვლევისთვის წმინდა სამეცნიერო ობიექტისა და უკვე ნახსენები ფრაქტალის ფერწერის გარდა, ფრაქტალები გამოიყენება ინფორმაციის თეორიაში გრაფიკული მონაცემების შეკუმშვისთვის (აქ ძირითადად გამოიყენება ფრაქტალების თვითმსგავსების თვისება - ბოლოს და ბოლოს, მცირე ფრაგმენტის დასამახსოვრებლად. ნახატისა და გარდაქმნების შესახებ, რომლითაც შეგიძლიათ მიიღოთ დანარჩენი ნაწილები, გაცილებით ნაკლები მეხსიერება სჭირდება, ვიდრე მთლიანი ფაილის შესანახად). შემთხვევითი არეულობა ფორმულებში, რომლებიც განსაზღვრავენ ფრაქტალს, შეიძლება მივიღოთ სტოქასტური ფრაქტალები, რომლებიც ძალიან დამაჯერებლად გადმოსცემს ზოგიერთ რეალურ ობიექტს - რელიეფის ელემენტებს, წყლის ობიექტების ზედაპირს, ზოგიერთ მცენარეს, რაც წარმატებით გამოიყენება ფიზიკაში, გეოგრაფიაში და კომპიუტერულ გრაფიკაში. სიმულირებული ობიექტების უფრო დიდი მსგავსება რეალურთან. რადიო ელექტრონიკაში, ბოლო ათწლეულში, მათ დაიწყეს ანტენების წარმოება, რომლებსაც აქვთ ფრაქტალური ფორმა. მცირე ადგილს იკავებენ, ისინი უზრუნველყოფენ საკმაოდ მაღალი ხარისხის სიგნალის მიღებას. ეკონომისტები იყენებენ ფრაქტალებს ვალუტის რყევების მრუდების აღსაწერად (ეს თვისება მანდელბროტმა აღმოაჩინა 30 წელზე მეტი ხნის წინ). ამით დასრულდა ეს მოკლე ექსკურსია ფრაქტალების სამყაროში, საოცარი სილამაზითა და მრავალფეროვნებით.

უმაღლესი და პროფესიული განათლების სამინისტრო

ირკუტსკის სახელმწიფო ეკონომიკის აკადემია

საინფორმაციო სისტემების დეპარტამენტი

ეკონომიკური და მათემატიკური მოდელებისა და მეთოდების მიხედვით

ფრაქტალის თეორია და მისი აპლიკაციები

მოამზადა: ლიდერმა:

პოგოდაევა E.A. Tolstikova T.V.

ჩეტვერიკოვი ს.ვ.

IRKUTSK 1997 წ

ყველა სურათი მსგავსია და

თუმცა არა ერთი მეორეზე

გოი არ ჰგავს; მათი გუნდები

მე მივუთითებ საიდუმლო კანონს

დიახ, წმინდა გამოცანამდე ...

J. W. გოეთე.

მცენარის მეტამორფოზი.

რატომ ვსაუბრობთ ფრაქტალებზე?

ჩვენი საუკუნის მეორე ნახევარში ბუნებისმეტყველებაში არსებობდა
ფუნდამენტური ცვლილებები, რამაც დასაბამი მისცა თეორიის ე.წ
თვითორგანიზაცია, ან სინერგეტიკა. ის მოულოდნელად დაიბადა, თითქოს
მეცნიერული კვლევის რამდენიმე ხაზის გადაკვეთა. ერთ-ერთი გადამწყვეტი
თავდაპირველი იმპულსები მას რუსმა მეცნიერებმა უღალატეს 10 წლის ბოლოს
ორმოცდაათიანი - სამოციანი. ორმოცდაათიან წლებში მეცნიერი
ანალიტიკურმა ქიმიკოსმა B.P. Belousov აღმოაჩინა რედოქსი
ქიმიური რეაქცია. თვითრხევებისა და ავტოტალღების აღმოჩენა და შესწავლა დროს
ბელუსოვის რეაქცია

S. E. Shnolem, A. M. Zhabotinsky, V.I. კრინსკი, ა.ნ.ზაიკინი, გ.რ.
ივანიცკი - ალბათ ფუნდამენტალის ყველაზე ბრწყინვალე გვერდი
რუსული მეცნიერება ომისშემდგომ პერიოდში. სწრაფი და წარმატებული სწავლა
რეაქცია ბელუსოვი - ჟაბოტინსკი მუშაობდა მეცნიერებაში, როგორც გამომწვევი
კაკალი: მათ მაშინვე გაიხსენეს, რომ მსგავსი პროცესები ადრე იყო ცნობილი
სახის და რომ ბევრი ბუნებრივი მოვლენა დაწყებული გალაქტიკების წარმოქმნიდან
ტორნადოების, ციკლონებისა და სინათლის თამაში ამრეკლავ ზედაპირებზე (მაგ
კასტიკა), - ფაქტობრივად, თვითორგანიზაციის პროცესები. Ისინი არიან
შეიძლება იყოს ძალიან განსხვავებული ხასიათის: ქიმიური, მექანიკური,
ოპტიკური, ელექტრო და ა.შ. უფრო მეტიც, აღმოჩნდა, რომ
უკვე დიდი ხანია მზადაა და იდეალურად განვითარებული მათემატიკური თეორია
თვითორგანიზაცია. მისი საფუძველი ჩაეყარა ა.პუანკარესა და ა.ა.
ლიაპუნოვი გასული საუკუნის ბოლოს. დისერტაცია „მდგრადობის შესახებ
მოძრაობა“ დაწერა ლიაპუნოვის მიერ 1892 წელს.

თვითორგანიზაციის მათემატიკური თეორია გვაიძულებს ახალ გზას
შეხედეთ ჩვენს გარშემო არსებულ სამყაროს. მოდით განვმარტოთ, თუ როგორ განსხვავდება იგი
კლასიკური მსოფლმხედველობა, რადგან ამის ცოდნა დაგვჭირდება როდის
ფრაქტალური ობიექტების შესწავლა.

„კლასიკური ცალსახად დეტერმინისტული მსოფლმხედველობა
შეიძლება სიმბოლო იყოს ბრტყელი, გლუვი ზედაპირით, რომელზეც
ბურთები ერთმანეთს ეჯახებიან, გარკვეული რაოდენობის მოძრაობის შედეგად.
თითოეული ასეთი სხეულის მომავალი ბედი ცალსახად განისაზღვრება მისით
„წარსული“ დროის წინა მომენტში (იმპულსი, მუხტი) და
ურთიერთქმედება სხვა სხეულებთან. არ არის ასეთი სისტემის მთლიანობა
არ ფლობს." (ლ. ბელუსოვი. ცოცხალი ჭექა-ქუხილის მესინჯერები. \\ ცოდნა ძალაა. ნ.
2. 1996. - გვ.32). ამრიგად, კლასიკურ მეცნიერებას სჯეროდა, რომ მომავალი
ასეთი სისტემა მკაცრად და ცალსახად არის განსაზღვრული მისი წარსულით და ექვემდებარება
წარსულის ცოდნა, შეუზღუდავად პროგნოზირებადი.

თანამედროვე მათემატიკამ აჩვენა, რომ ზოგიერთ შემთხვევაში ეს ასე არ არის
ასე: მაგალითად, თუ ბურთები ამოზნექილ კედელს მოხვდება, მაშინ უმნიშვნელო
განსხვავებები მათ ტრაექტორიებში გაიზრდება განუსაზღვრელი ვადით, ასე რომ
სისტემის ქცევა რაღაც მომენტში ხდება არაპროგნოზირებადი.
ამრიგად, ცალსახა დეტერმინიზმის პოზიციები კი ძირს უთხრიდა
შედარებით მარტივ სიტუაციებში.

თვითორგანიზაციის თეორიაზე დამყარებული მსოფლმხედველობა,
სიმბოლოა მთიანი ქვეყნის გამოსახულებით ხეობებით, რომლებშიც მდინარეები მიედინება,
და წყალგამყოფი ქედები. ამ ქვეყანას აქვს ძლიერი გამოხმაურება
- უარყოფითიც და დადებითიც. თუ სხეული ძირს დაიძვრება
ფერდობის გასწვრივ, მაშინ არის დადებითი
გამოხმაურება, თუ ის ცდილობს ასვლას, უარყოფითია.
არაწრფივი (საკმარისად ძლიერი) გამოხმაურებები შეუცვლელი პირობაა
თვითორგანიზაცია. არაწრფივობა იდეოლოგიური გაგებით ნიშნავს
ევოლუციის მრავალვარიანტული ბილიკები, ალტერნატიული გზების არჩევანის არსებობა
და ევოლუციის გარკვეული ტემპი, ისევე როგორც ევოლუციური შეუქცევადობა
პროცესები. მაგალითად, განვიხილოთ ორი სხეულის ურთიერთქმედება: A და B. B -
ელასტიური ხის ტოტი, A არის მთის ნაკადი ჩვენს ქვეყანაში. ნაკადი იხრება
საყრდენი წყლის მოძრაობის მიმართულებით, მაგრამ გარკვეული მიღწევის შემდეგ
დრეკადი ძალის გავლენის ქვეშ ღეროს მოხრა შეიძლება გასწორდეს, მოგერიება
წყლის ნაწილაკები უკან. ანუ ჩვენ ვხედავთ ალტერნატიულ ურთიერთქმედებას
ორი სხეული A და B. უფრო მეტიც, ეს ურთიერთქმედება ხდება ისე, რომ
რომ A-B ურთიერთობა დადებითია, ხოლო B-A ურთიერთობა უარყოფითი. პირობა შესრულებულია
არაწრფივი.

უფრო მეტიც, თვითორგანიზაციის თეორიაში ჩვენ შეგვიძლია ვაიძულოთ ჩვენი
მთიანი ქვეყანა „იცხოვროს“, ანუ დროში შეიცვალოს. ამავე დროს, მნიშვნელოვანია
აირჩიეთ სხვადასხვა რიგის ცვლადები. ცვლადების ასეთი იერარქია
დრო აუცილებელი პირობაა თვითორგანიზების შეკვეთისთვის.
დაარღვიე, "აურიე" დრო - მოვა ქაოსი (მაგალითად, მიწისძვრა,
როდესაც გეოლოგიური წყობის ცვლილებები ხდება რამდენიმე წუთში და
უნდა – რამდენიმე ათასწლეულის მანძილზე).თუმცა, როგორც ირკვევა, მცხოვრები
სისტემებს არც ისე ეშინიათ ქაოსის: ისინი მუდმივად ცხოვრობენ მის ზღვარზე,
ხანდახან ჩავარდებიან კიდეც, მაგრამ მაინც იციან როგორ, საჭიროების შემთხვევაში, მისგან
გადი გარეთ. ამ შემთხვევაში, ყველაზე მნიშვნელოვანია ყველაზე ნელი
დროის ცვლადები (მათ უწოდებენ პარამეტრებს). ეს არის პარამეტრის მნიშვნელობები
დაადგინეთ რა მდგრადი გადაწყვეტილებები ექნება სისტემას და,
ამდენად, რა სტრუქტურების დანერგვა შეიძლება მასში საერთოდ. AT
ამავე დროს უფრო სწრაფად

(დინამიური) ცვლადები პასუხისმგებელნი არიან რეალიზაციის კონკრეტულ არჩევანზე
სტაბილური მდგომარეობები შესაძლოს შორის.

არაწრფივი პრინციპები და ალტერნატივები ნებისმიერი განვითარების არჩევისთვის
პროცესი, სისტემის განვითარება ასევე ხორციელდება ფრაქტალების მშენებლობაში.

როგორც ბოლო ათწლეულებში გაირკვა (თეორიის განვითარების გამო
თვითორგანიზაცია), თვითმსგავსება ხდება სხვადასხვა ობიექტში და
ფენომენებს. მაგალითად, თვითმსგავსება შეიძლება შეინიშნოს ხის ტოტებში და
ბუჩქები, განაყოფიერებული ზიგოტის გაყოფისას, ფიფქები, კრისტალები
ყინული, ეკონომიკური სისტემების განვითარებით (კონდრატიევის ტალღები), სტრუქტურა
მთის სისტემები, ღრუბლების სტრუქტურაში. ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი და სხვა
მათ მსგავსს თავიანთი სტრუქტურით უწოდებენ ფრაქტალებს. ანუ ისინი
ფლობენ თვითმსგავსების, ანუ მასშტაბის უცვლელობის თვისებებს. Და ეს
ნიშნავს, რომ მათი სტრუქტურის ზოგიერთი ფრაგმენტი მკაცრად მეორდება
გარკვეული სივრცითი ინტერვალები. ნათელია, რომ ეს ობიექტები
შეიძლება იყოს ნებისმიერი ხასიათის და მათი გარეგნობა და ფორმა უცვლელი რჩება
მასშტაბის მიუხედავად.

ამრიგად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ფრაქტალები, როგორც მოდელები, გამოიყენება
შემთხვევა, როდესაც რეალური ობიექტი არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს კლასიკური სახით
მოდელები. და ეს ნიშნავს, რომ საქმე გვაქვს არაწრფივ ურთიერთობებთან და
მონაცემთა არადეტერმინისტული ბუნება. არაწრფივობა მსოფლმხედველობაში
გრძნობა ნიშნავს განვითარების გზების მრავალვარიანტულობას, არჩევანის ხელმისაწვდომობას
ალტერნატიული გზები და ევოლუციის გარკვეული ტემპი, ასევე შეუქცევადობა
ევოლუციური პროცესები. არაწრფივობა მათემატიკური გაგებით ნიშნავს
გარკვეული სახის მათემატიკური განტოლებები (არაწრფივი დიფერენციალური
განტოლებები), რომელიც შეიცავს სასურველ სიდიდეებს ერთზე მეტი ან
კოეფიციენტები დამოკიდებულია საშუალების თვისებებზე. ანუ როცა მივმართავთ
კლასიკური მოდელები (მაგალითად, ტენდენცია, რეგრესია და ა.შ.), ჩვენ
ჩვენ ვამბობთ, რომ ობიექტის მომავალი ცალსახად არის განსაზღვრული. და ჩვენ შეგვიძლია
იწინასწარმეტყველეთ იგი, იცოდეთ ობიექტის წარსული (შეიტანეთ მონაცემები ამისთვის
მოდელირება). და ფრაქტალები გამოიყენება, როდესაც ობიექტს აქვს
განვითარების რამდენიმე ვარიანტი და განისაზღვრება სისტემის მდგომარეობა
პოზიცია, რომელშიც იმყოფება ამ მომენტში. ანუ ჩვენ
ცდილობს ქაოტური განვითარების სიმულაციას.

რა გვაძლევს ფრაქტალების გამოყენებას?

ისინი საშუალებას გაძლევთ მნიშვნელოვნად გაამარტივოთ რთული პროცესები და ობიექტები, რაც ძალიან
მნიშვნელოვანია მოდელირებისთვის. საშუალებას გაძლევთ აღწეროთ არასტაბილური სისტემები და
პროცესები და, რაც მთავარია, ასეთი ობიექტების მომავლის პროგნოზირება.

ფრაქტალის თეორია

გარეგნობის ფონი

ფრაქტალების თეორიას ძალიან ახალგაზრდა ასაკი აქვს. ის გამოჩნდა
სამოციანი წლების ბოლოს მათემატიკის, კომპიუტერული მეცნიერების, ლინგვისტიკის კვეთაზე
და ბიოლოგია. იმ დროს კომპიუტერები სულ უფრო და უფრო შეაღწიეს ცხოვრებაში.
ადამიანებმა, მეცნიერებმა დაიწყეს მათი გამოყენება კვლევაში, რიცხვი
კომპიუტერის მომხმარებლები. მასობრივი გამოყენებისთვის
კომპიუტერები, საჭირო გახდა ხელი შეუწყოს კომუნიკაციის პროცესს ადამიანსა და
მანქანა. თუ კომპიუტერის ეპოქის დასაწყისშივე რამდენიმე
პროგრამისტები-მომხმარებლები თავდაუზოგავად შეჰქონდათ ბრძანებები მანქანაში
კოდები და მიღებული შედეგები გაუთავებელი ქაღალდის ლენტების სახით, შემდეგ
გაჩნდა კომპიუტერების გამოყენების მასიური და დატვირთული რეჟიმი
პროგრამირების ენის გამოგონების აუცილებლობა რომ იყო
მანქანისთვის გასაგები იქნებოდა და ამავე დროს ადვილი შესასწავლი და
განაცხადი. ანუ, მომხმარებელს დასჭირდება მხოლოდ ერთის შეყვანა
ბრძანება და კომპიუტერი დაშლის მას უფრო მარტივებად და შეასრულებს
უკვე ექნებოდა ისინი. თარჯიმნების წერის გასაადვილებლად, კომპიუტერული მეცნიერების კვეთაზე
და ლინგვისტიკა წარმოიშვა ფრაქტალების თეორია, რომელიც საშუალებას გაძლევთ მკაცრად დააყენოთ
ურთიერთობები ალგორითმულ ენებს შორის. დანიელი მათემატიკოსი და
ბიოლოგმა ა. ლინდენმეერმა მოიფიქრა ერთი ასეთი გრამატიკა 1968 წელს.
რომელსაც მან უწოდა L-სისტემა, რომელიც, როგორც მისი აზრით, ზრდის მოდელირებასაც ახდენს
ცოცხალი ორგანიზმები, განსაკუთრებით მცენარეებში ბუჩქების და ტოტების წარმოქმნა.

აი, როგორ გამოიყურება მისი მოდელი. კომპლექტი ანბანი - თვითნებური ნაკრები
პერსონაჟები. გამოყავით ერთი, საწყისი სიტყვა, რომელსაც აქსიომა ეწოდება, - შეგიძლიათ
ჩათვალეთ, რომ იგი შეესაბამება ორგანიზმის - ემბრიონის საწყის მდგომარეობას.
შემდეგ კი ისინი აღწერენ წესებს ანბანის თითოეული სიმბოლოს გარკვეულით შეცვლისთვის
სიმბოლოების ნაკრები, ანუ ისინი ადგენენ ემბრიონის განვითარების კანონს. იმოქმედეთ
წესები ასეთია: ჩვენ ვკითხულობთ აქსიომის თითოეულ სიმბოლოს თანმიმდევრობით და ვცვლით
ის ჩანაცვლების წესში მითითებულ სიტყვას.

ამრიგად, აქსიომის ერთხელ წაკითხვის შემდეგ ვიღებთ ახალ სტრიქონს
სიმბოლოები, რომლებზეც ჩვენ კვლავ ვიყენებთ იგივე პროცედურას. Ნაბიჯ - ნაბიჯ
ჩნდება უფრო გრძელი სტრიქონი - თითოეული ეს ნაბიჯი შეიძლება იყოს
ითვლება „ორგანიზმის“ განვითარების ერთ-ერთ თანმიმდევრულ ეტაპად.
ნაბიჯების რაოდენობის შეზღუდვით განსაზღვრეთ, როდის ჩაითვლება განვითარება დასრულებულად.

ფრაქტალების თეორიის წარმოშობა

ბენუა მანდელბროტი სამართლიანად შეიძლება მივიჩნიოთ ფრაქტალების მამად.
მანდელბროტი არის ტერმინი „ფრაქტალის“ გამომგონებელი. მანდელბროტი
წერდა: „მოვიგონე სიტყვა „ფრაქტალი“, ლათინურზე დაყრდნობით
ზედსართავი სახელი "fractus", რაც ნიშნავს არარეგულარულ, რეკურსიულს,
ფრაგმენტული. ფრაქტალების პირველი განმარტება ასევე მისცა ბ. მანდელბროტმა:

ფრაქტალი არის საკუთარი თავის მსგავსი სტრუქტურა, რომლის გამოსახულებაც არ არის დამოკიდებული
მასშტაბი. ეს არის რეკურსიული მოდელი, რომლის თითოეული ნაწილი მეორდება თავისთავად
მთლიანი მოდელის განვითარების განვითარება.

დღემდე, არსებობს მრავალი განსხვავებული მათემატიკური მოდელი
ფრაქტალები. თითოეული მათგანის გამორჩეული თვისება ის არის
ისინი ეფუძნება ზოგიერთ რეკურსიულ ფუნქციას, მაგალითად: xi=f(xi-1).
კომპიუტერების გამოყენებით მკვლევარებს საშუალება აქვთ მიიღონ
ფრაქტალების გრაფიკული გამოსახულებები. უმარტივესი მოდელები არ საჭიროებს დიდს
გამოთვლები და მათი განხორციელება შესაძლებელია უშუალოდ კომპიუტერული მეცნიერების გაკვეთილზე, ხოლო
სხვა მოდელები იმდენად ითხოვენ კომპიუტერის ენერგიას, რომ ისინი
განხორციელება ხორციელდება სუპერკომპიუტერის გამოყენებით. სხვათა შორის, აშშ-ში
ფრაქტალის მოდელებს სწავლობს აპლიკაციის ეროვნული ცენტრი
სუპერკომპიუტერებისთვის (NCSA). ამ ნაწარმოებში ჩვენ მხოლოდ გვინდა ვაჩვენოთ
რამდენიმე ფრაქტალი მოდელი, რომელიც ჩვენ მოვახერხეთ.

მანდელბროტის მოდელი.

ბენუა მანდელბროტმა შემოგვთავაზა ფრაქტალის მოდელი, რომელიც უკვე გახდა
კლასიკური და ხშირად გამოიყენება იმის საჩვენებლად, თუ რამდენად ტიპიურია
თავად ფრაქტალის მაგალითი და ფრაქტალების სილამაზის დემონსტრირება,
რომელიც ასევე იზიდავს მკვლევარებს, ხელოვანებს, უბრალოდ
დაინტერესებული ადამიანები.

მოდელის მათემატიკური აღწერა ასეთია: კომპლექსურ სიბრტყეზე in
გამოითვლება გარკვეული ინტერვალი თითოეული წერტილისთვის რეკურსიული ფუნქციით
Z=Z2+c. როგორც ჩანს, რა არის განსაკუთრებული ამ ფუნქციაში? მაგრამ მას შემდეგ, რაც ნ
პუნქტების კოორდინატების გამოსათვლელად ამ პროცედურის გამეორება
რთული თვითმფრინავი, საოცრად ლამაზი ფიგურა ჩნდება, რაღაც
მსხლის მსგავსი.

მანდელბროტის მოდელში ცვალებადი ფაქტორი არის საწყისი წერტილი
c და პარამეტრი z არის დამოკიდებული. ამიტომ ფრაქტალის აგება
მანდელბროტი არსებობს წესი: z-ის საწყისი მნიშვნელობა არის ნული (z=0)!
ეს შეზღუდვა შემოღებულია ისე, რომ ფუნქციის პირველი წარმოებული
z საწყის წერტილში ნულის ტოლი იყო. და ეს ნიშნავს, რომ საწყისში
წერტილი, ფუნქციას აქვს მინიმუმი და ამიერიდან მას დასჭირდება მხოლოდ
დიდი ღირებულებები.

გვინდა აღვნიშნოთ, რომ თუ ფრაქტალ რეკურსიულ ფორმულას განსხვავებული აქვს
ხედვა, მაშინ უნდა აირჩიოთ საწყისი წერტილის სხვა მნიშვნელობა
პარამეტრი Z. მაგალითად, თუ ფორმულა ჰგავს z=z2+z+c, მაშინ საწყისი
წერტილი იქნება:

2*z+1=0 ???z= -1/2.

ამ ნამუშევარში ჩვენ გვაქვს შესაძლებლობა მოვიტანოთ ფრაქტალების სურათები,
რომლებიც აშენდა NCSA-ში. ჩვენ მივიღეთ სურათების ფაილები
ინტერნეტ ქსელი.

ნახ.1 მანდელბროტის ფრაქტალი

თქვენ უკვე იცით მანდელბროტის ფრაქტალის მათემატიკური მოდელი. ახლა ჩვენ
მოდით ვაჩვენოთ, როგორ ხორციელდება იგი გრაფიკულად. მოდელის საწყისი წერტილი
უდრის ნულს. გრაფიკულად იგი შეესაბამება მსხლის სხეულის ცენტრს. მეშვეობით ნ
ნაბიჯები შეავსებს მსხლის მთელ სხეულს და იმ ადგილას, სადაც ის დასრულდა
ბოლო გამეორებით, ფრაქტალის „თავი“ იწყებს ფორმირებას.
ფრაქტალის „თავი“ სხეულზე ზუსტად ოთხჯერ პატარა იქნება, ვინაიდან
ფრაქტალის მათემატიკური ფორმულა არის კვადრატი
მრავალწევრი. შემდეგ ისევ, N გამეორებების შემდეგ, „სხეული“ იწყებს ფორმირებას
"თირკმელი" ("სხეულის" მარჯვნივ და მარცხნივ). და ა.შ. მით მეტია მოცემული
გამეორებების რაოდენობა N, მით უფრო დეტალური იქნება ფრაქტალის სურათი,
მით უფრო განსხვავებული პროცესები ექნება მას. სქემატური წარმოდგენა
მანდელბროტის ფრაქტალის ზრდის ეტაპები ნაჩვენებია ნახ. 2-ში:

ნახ.2 მანდელბროტის ფრაქტალის ფორმირების სქემა

ნახატები 1 და 2 გვიჩვენებს, რომ ყოველი მომდევნო წარმონაქმნი "სხეულზე"
ზუსტად იმეორებს თავის სტრუქტურაში თავად სხეულს. ეს არის გამორჩეული
თვისება იმისა, რომ ეს მოდელი არის ფრაქტალი.

შემდეგი ფიგურები აჩვენებს, თუ როგორ შეიცვლება წერტილის პოზიცია,
z პარამეტრის შესაბამისი წერტილის სხვადასხვა საწყისი პოზიციებისთვის
გ.

ა) საწყისი წერტილი „სხეულში“ ბ) საწყისი წერტილი
წერტილი თავში

გ) საწყისი წერტილი „თირკმელში“ დ) საწყისი წერტილი ქ
მეორე დონის "თირკმელი".

ე) ამოსავალი წერტილი მესამე დონის „თირკმელში“.

A - E ფიგურებიდან ნათლად ჩანს, თუ როგორ ყოველი ნაბიჯით უფრო და უფრო
ფრაქტალის სტრუქტურა უფრო რთული ხდება და პარამეტრი z უფრო რთული ხდება
ტრაექტორია.

შეზღუდვები მანდელბროტის მოდელზე: არსებობს მტკიცებულება, რომ
მანდელბროტის მოდელი |z|

ჯულიას მოდელი (ჯულიას ნაკრები)

ჯულიას ფრაქტალის მოდელს აქვს იგივე განტოლება, რაც მოდელს
მანდელბროტი: Z=Z2+c, მხოლოდ აქ არის ცვლადი პარამეტრი
არა c, არამედ z.

შესაბამისად, ამიერიდან იცვლება ფრაქტალის მთელი სტრუქტურა
სასტარტო პოზიცია არ ექვემდებარება რაიმე შეზღუდვას. Შორის
მანდელბროტისა და ჯულიას მოდელები, ასეთი განსხვავებაა: თუ მოდელი
მანდელბროტი სტატიკურია (რადგან საწყისი z ყოველთვის არის
ნული), მაშინ ჯულიას მოდელი არის დინამიური ფრაქტალური მოდელი. Ზე
ბრინჯი. 4 გვიჩვენებს იულია ფრაქტალის გრაფიკულ გამოსახულებას.

ბრინჯი. 4 მოდელი ჯულია

როგორც ფრაქტალის ნახატიდან ჩანს, ის სიმეტრიულია ცენტრალურის მიმართ
წერტილების ფორმა, ხოლო მანდელბროტის ფრაქტალს აქვს ფორმა, რომელიც სიმეტრიულია
ღერძის შესახებ.

სიერპინსკის ხალიჩა

სიერპინსკის ხალიჩა განიხილება კიდევ ერთი ფრაქტალის ნიმუში. მშენებარეა
შემდეგნაირად: აღებულია კვადრატი, რომელიც იყოფა ცხრა კვადრატად,
ამოჭრა ცენტრალური მოედანი. შემდეგ ყოველი რვა დარჩენილი
კვადრატები, ანალოგიური პროცედურა ტარდება. და ასე უსასრულოდ. AT
შედეგად, მთლიანი კვადრატის ნაცვლად, ვიღებთ ხალიჩას თავისებურით
სიმეტრიული ნიმუში. ეს მოდელი პირველად მათემატიკოსმა შემოგვთავაზა
სიერპინსკი, რომლის სახელიც მიიღო. ხალიჩის მაგალითი
სიერპინსკი ჩანს ნახ. 4d.

სურ.4 სიერპინსკის ხალიჩის კონსტრუქცია

4. კოხის მრუდი

მე-20 საუკუნის დასაწყისში მათემატიკოსები ეძებდნენ მოსახვევებს, რომლებიც სხვაგან ვერსად მოიძებნებოდა.
წერტილებს არ აქვთ ტანგენსი. ეს ნიშნავს, რომ მრუდი მკვეთრად შეიცვალა
მიმართულება და, უფრო მეტიც, უაღრესად მაღალი სიჩქარით (წარმოებული
უდრის უსასრულობას). ამ მოსახვევების ძიება გამოწვეული იყო არა უბრალოდ
მათემატიკოსთა უსაქმური ინტერესი. ფაქტია, რომ მეოცე საუკუნის დასაწყისში ძალიან
კვანტური მექანიკა სწრაფად განვითარდა. მკვლევარი მ.ბრაუნი
დახაზა წყალში შეჩერებული ნაწილაკების მოძრაობის ტრაექტორია და ახსნა ეს
ფენომენი ასეთია: სითხის შემთხვევით მოძრავი ატომები ეჯახებიან
შეჩერებული ნაწილაკები და ამით მათ მოძრაობაში აყენებს. ასეთის შემდეგ
ბრაუნის მოძრაობის ახსნა-განმარტებით, მეცნიერებს ასეთი ამოცანის მოძიება დახვდათ
მრუდი, რომელიც საუკეთესოდ უახლოვდება მოძრაობას
ბრაუნის ნაწილაკები. ამისთვის მრუდი უნდა შეესაბამებოდეს შემდეგს
თვისებები: არ აქვს ტანგენსი ნებისმიერ წერტილში. მათემატიკოსი კოხ
შემოგვთავაზა ერთი ასეთი მრუდი. ჩვენ არ შევალთ განმარტებებში
წესები მისი მშენებლობისთვის, მაგრამ უბრალოდ მისცეს მის იმიჯს, საიდანაც ყველა
ნათელი ხდება (სურ. 5).

ნახ.5 კოხის მრუდის აგების ეტაპები

კოხის მრუდი ფრაქტალის კიდევ ერთი მაგალითია, რადგან თითოეული მისი
ნაწილი არის მთელი მრუდის შემცირებული გამოსახულება.

6. სხვადასხვა ფრაქტალების გრაფიკული გამოსახულებები

ამ პარაგრაფში გადავწყვიტეთ განვათავსოთ სხვადასხვა სახის გრაფიკული გამოსახულებები
ფრაქტალები, რომლებიც მივიღეთ ინტერნეტიდან. სამწუხაროდ ჩვენ არ ვართ
შეძლეს ამ ფრაქტალების მათემატიკური აღწერილობის პოვნა, მაგრამ იმისათვის
მათი სილამაზის გასაგებად, საკმარისია მხოლოდ ნახატები.

ბრინჯი. 6 ფრაქტალების გრაფიკული გამოსახვის მაგალითები

II სექცია

ფრაქტალების თეორიის გამოყენება ეკონომიკაში

ფინანსური ბაზრების ტექნიკური ანალიზი

მსოფლიოს განვითარებულ ქვეყნებში ფინანსური ბაზარი ასზე მეტია არსებობს
წლები. საუკუნეების მანძილზე ხალხი ყიდულობდა და ყიდდა ფასიან ქაღალდებს.
ფასიანი ქაღალდებით ამ ტიპის ოპერაციებმა შემოსავალი მოუტანა ბაზრის მონაწილეებს
რადგან აქციებისა და ობლიგაციების ფასები მუდმივად იცვლებოდა,
მუდმივად იცვლებოდნენ. საუკუნეების მანძილზე ხალხი ყიდულობდა ფასიან ქაღალდებს
იგივე ფასი და გაიყიდა როცა გაძვირდა. Მაგრამ ხანდახან
მყიდველის მოლოდინი არ გამართლდა და შეძენილ ქაღალდებზე ფასები დაიწყო
შემოდგომაზე, რითაც მან არამარტო შემოსავალი არ მიიღო, არამედ განიცადა
დანაკარგები. დიდი ხნის განმავლობაში არავინ ფიქრობდა იმაზე, თუ რატომ ხდება ეს:
ფასი იზრდება და შემდეგ ეცემა. ხალხმა უბრალოდ დაინახა ქმედების შედეგი და ვერ დაინახა
დაფიქრდა მის გამომწვევ მიზეზ-შედეგობრივ მექანიზმზე.

ეს მოხდა მანამ, სანამ ამერიკელი ფინანსისტი, ერთ-ერთი
ცნობილი გაზეთ "Financial Times"-ის გამომცემლები ჩარლზ დოუს არ აკეთებენ
გამოაქვეყნა არაერთი სტატია, სადაც გამოთქვა თავისი შეხედულებები
ფინანსური ბაზრის ფუნქციონირება. Dow-მა შენიშნა, რომ აქციების ფასები
ექვემდებარება ციკლურ რყევებს: ზრდის ხანგრძლივი პერიოდის შემდეგ,
გრძელი დაცემა, შემდეგ კიდევ ერთი აწევა და დაცემა. ამრიგად,
ჩარლზ დოუმ პირველად შენიშნა, რომ შესაძლებელია მომავლის წინასწარმეტყველება
აქციების ფასის ქცევა, თუ მისი მიმართულება ზოგიერთისთვის ცნობილია
ბოლო პერიოდი.

ნახ.1 ფასის ქცევა Ch.Dow-ის მიხედვით

შემდგომში ჩ.დოუს მიერ გაკეთებული აღმოჩენების საფუძველზე მთელი
ფინანსური ბაზრის ტექნიკური ანალიზის თეორია, რომელმაც მიიღო
სახელწოდებით Dow Theory. ეს თეორია ოთხმოცდაათიანი წლებიდან იღებს სათავეს
XIX საუკუნეში, როდესაც C. Dow აქვეყნებდა თავის სტატიებს.

ბაზრების ტექნიკური ანალიზი მომავლის პროგნოზირების მეთოდია
ფასების ტენდენციის ქცევა, მისი ქცევის ისტორიის ცოდნის საფუძველზე.
ტექნიკური ანალიზი პროგნოზირებისთვის იყენებს მათემატიკას
ტენდენციების თვისებები და არა ფასიანი ქაღალდების ეკონომიკური მაჩვენებლები.

მეოცე საუკუნის შუა ხანებში, როცა მთელი სამეცნიერო სამყარო მხოლოდ დაინტერესებული იყო
რომ ფრაქტალების გაჩენილი თეორია, კიდევ ერთი ცნობილი ამერიკელი
ფინანსისტმა რალფ ელიოტმა შემოგვთავაზა თავისი თეორია აქციების ფასების ქცევის შესახებ,
რომელიც ეფუძნებოდა ფრაქტალის თეორიის გამოყენებას.

ელიოტი გამომდინარეობს იქიდან, რომ ფრაქტალების გეომეტრია არ არსებობს.
მხოლოდ ცოცხალ ბუნებაში, არამედ სოციალურ პროცესებშიც. საზოგადოებისთვის
ის პროცესებს ბირჟაზე აქციებით ვაჭრობას უკავშირებს.

ელიოტის ტალღის თეორია

ელიოტის ტალღის თეორია ერთ-ერთი უძველესი ტექნიკური თეორიაა.
ანალიზი. დაარსების დღიდან არცერთ მომხმარებელს არ შეუტანია მასში წვლილი
ნებისმიერი შესამჩნევი ცვლილება. პირიქით, მთელი ძალისხმევა მიმართული იყო
რომ ელიოტის მიერ ჩამოყალიბებული პრინციპები უფრო მოჩანდა და
უფრო გასაგებად. შედეგი აშკარაა. ელიოტის თეორიის დახმარებით,
ამერიკული დოუ ჯონსის ინდექსის მოძრაობის საუკეთესო პროგნოზები.

თეორიის საფუძველია ტალღის დიაგრამა ე.წ. ტალღა არის
შესამჩნევი ფასის მოძრაობა. მასის განვითარების წესების დაცვა
ფსიქოლოგიური ქცევა, ფასების ყველა მოძრაობა დაყოფილია ხუთ ტალღაში
უფრო ძლიერი ტენდენციის მიმართულება და სამი ტალღა საპირისპირო მიმართულებით
მიმართულება. მაგალითად, დომინანტური ტენდენციის შემთხვევაში ვნახავთ ხუთს
ტალღები ფასის ზევით აწევისას და სამი - ქვევით გადაადგილებისას (შესწორებისას).

ხუთტალღოვანი ტენდენციის აღსანიშნავად გამოიყენება რიცხვები და for
საპირისპირო სამტალღოვანი - ასოები. ხუთი ტალღის მოძრაობა
იმპულსს უწოდებენ, ხოლო სამი მოგებულიდან თითოეულს - მაკორექტირებელს. Ისე
თითოეული ტალღა 1,3,5, A და C არის იმპულსი, ხოლო 2,4 და B -
მაკორექტირებელი.

ბრინჯი. 7 Elliott Wave Chart

ელიოტი იყო ერთ-ერთი პირველი, ვინც მკაფიოდ განსაზღვრა გეომეტრიის მოქმედება
ფრაქტალები ბუნებაში, ამ შემთხვევაში - ფასების სქემაში. ის
ვარაუდობდა, რომ თითოეულ ახლახან გამოვლენილ იმპულსში და
მაკორექტირებელი ტალღები ასევე არის ელიოტის ტალღის სქემა.
თავის მხრივ, ეს ტალღები ასევე შეიძლება დაიშალა კომპონენტებად და ა.შ
Უფრო. ამრიგად, ელიოტმა გამოიყენა ფრაქტალების თეორია დაშლისას
ტენდენცია უფრო მცირე და უფრო გასაგებ ნაწილებად. ამ ნაწილების ცოდნა ვრცლად
უფრო მცირე მასშტაბი, ვიდრე უდიდესი ტალღის ფორმა მნიშვნელოვანია, რადგან
რომ მოვაჭრეებმა (ფინანსური ბაზრის მონაწილეები), იცოდნენ რომელ ნაწილში
ჩარტებში, რომლებშიც ისინი არიან, შეუძლიათ დამაჯერებლად გაყიდონ ფასიანი ქაღალდები, როდესაც
მაკორექტირებელი ტალღა იწყება და უნდა იყიდოს ისინი, როცა დაიწყება
იმპულსური ტალღა.

ნახ.8 ელიოტის დიაგრამის ფრაქტალური სტრუქტურა

FIBONACCCI რიცხვები და ტალღების მახასიათებლები

რალფ ელიოტს პირველად გაუჩნდა რიცხვების მიმდევრობის გამოყენების იდეა
ფიბონაჩი ტექნიკური ანალიზის ფარგლებში პროგნოზების გასაკეთებლად. თან
ფიბონაჩის რიცხვებისა და კოეფიციენტების გამოყენებით, შეგიძლიათ წინასწარ განსაზღვროთ სიგრძე
თითოეული ტალღა და მისი დასრულების დრო. დროის საკითხს შეხების გარეშე,
მოდით მივმართოთ სიგრძის დადგენის ყველაზე ხშირად გამოყენებულ წესებს
ელიოტის ტალღები. სიგრძეში, ამ შემთხვევაში, ვგულისხმობთ
ფასების ზრდა ან დაცემა.

იმპულსური ტალღები.

ტალღა 3 ჩვეულებრივ აქვს 1,618 ტალღის სიგრძე, ნაკლებად ხშირად - ტოლი
მისი.

იმპულსური ტალღებიდან ორი ხშირად ტოლია სიგრძით, ჩვეულებრივ ტალღები 5
და 1. ეს ჩვეულებრივ ხდება, თუ ტალღის სიგრძე 3 არის 1,618-ზე ნაკლები
ტალღის სიგრძე 1.

ხშირად არის თანაფარდობა, რომელშიც ტალღის სიგრძე 5 უდრის 0,382-ს
ან 0,618 მანძილი, რომელიც გაიარა ფასმა 1 ტალღის დასაწყისიდან ბოლომდე
ტალღები 3.

შესწორებები

მაკორექტირებელი ტალღების სიგრძე ადგენს გარკვეულ კოეფიციენტს
ფიბონაჩი წინა იმპულსური ტალღის სიგრძიდან. Შესაბამისად
მონაცვლეობის წესით, 2 და 4 ტალღები უნდა მონაცვლეობდნენ პროცენტულად
თანაფარდობა. ყველაზე გავრცელებული მაგალითია შემდეგი:
ტალღა 2 იყო 1 ტალღის 61.8%, ხოლო 4 ტალღა შეიძლება იყოს
მე-3 ტალღის მხოლოდ 38.2% ან 50%.

დასკვნა

ჩვენს საქმიანობაში არ არის მოცემული ადამიანის ცოდნის ყველა სფერო,
სადაც ფრაქტალების თეორიამ იპოვა თავისი გამოყენება. ჩვენ მხოლოდ ამის თქმა გვინდა
თეორიის გაჩენიდან საუკუნის მესამედზე მეტი არ არის გასული, მაგრამ ამისთვის
დროის ფრაქტალები მრავალი მკვლევარისთვის უეცრად კაშკაშა შუქად იქცა
იმ ღამეებში, რომლებიც ანათებდნენ აქამდე უცნობ ფაქტებსა და ნიმუშებს
კონკრეტული მონაცემთა სფეროები. ფრაქტალების თეორიის გამოყენებით დაიწყო ახსნა
გალაქტიკების ევოლუცია და უჯრედის განვითარება, მთების გაჩენა და ფორმირება
ღრუბლები, ბირჟაზე ფასების მოძრაობა და საზოგადოებისა და ოჯახის განვითარება. Შესაძლოა
შესაძლოა, თავიდან ეს გატაცება ფრაქტალებითაც იყო
იყო მშფოთვარე და ფრაქტალების თეორიის გამოყენებით ყველაფრის ახსნის მცდელობები
გაუმართლებელი. მაგრამ, ეჭვგარეშეა, ამ თეორიას აქვს ამის უფლება
არსებობას და ვწუხვართ, რომ ბოლო დროს ის რაღაცნაირად დავიწყებას მიეცა
და დარჩა რჩეულთა ლოთი. ამ სამუშაოს მომზადებისას ჩვენ
ძალიან საინტერესოა თეორიის აპლიკაციების პოვნა პრაქტიკაში. რადგან
ძალიან ხშირად ჩნდება განცდა, რომ თეორიული ცოდნაა
რეალური ცხოვრებიდან მოშორებით.

ჩვენი მუშაობის დასასრულს, ჩვენ გვინდა მოვიტანოთ ენთუზიაზმით სავსე სიტყვები
ფრაქტალის თეორიის ნათლია ბენუა მანდელბროტი: „ბუნების გეომეტრია
ფრაქტალი! დღესდღეობით ის ისეთივე თამამად და აბსურდულად ჟღერს, როგორც
გ.გალილეოს ცნობილი ძახილი: "მაგრამ მაინც ტრიალებს!" XVI-ში
საუკუნეში.

გამოყენებული წყაროების სია

შეიპაკი I.A. ფრაქტალები, გრაფტალები, ბუჩქები… //ქიმია და ცხოვრება. 1996 №6

ქაოსის გააზრება //ქიმია და ცხოვრება. 1992 №8

ერლიხ ა. სასაქონლო და საფონდო ბაზრების ტექნიკური ანალიზი, M: Infra-M, 1996 წ.

მასალები ინტერნეტიდან.

ფიბონაჩის თანმიმდევრობა - მიმდევრობა შემოთავაზებული 1202 წელს
შუა საუკუნეების მათემატიკოსის ლეონარდო ფიბონაჩის მიერ. ეხება სახეობებს
დაბრუნების თანმიმდევრობები. a1=1, a2=1, ai=ai-1+ai-2.
ფიბონაჩის კოეფიციენტები - ორი მეზობელი წევრის გაყოფის კოეფიციენტი
ფიბონაჩის მიმდევრობები: K1=ai/ai-1=1.618,

K2=ai-1/ai=0.618. ეს კოეფიციენტები არის ე.წ
"ოქროს მონაკვეთი".

აქციის ფასი

აქციების ფასის სქემა

ხშირად მეცნიერებაში გაკეთებულმა ბრწყინვალე აღმოჩენებმა შეიძლება რადიკალურად შეცვალოს ჩვენი ცხოვრება. ასე, მაგალითად, ვაქცინის გამოგონებას ბევრი ადამიანის გადარჩენა შეუძლია, ახალი იარაღის შექმნას კი მკვლელობამდე მივყავართ. ფაქტიურად გუშინ (ისტორიის მასშტაბით) ადამიანმა ელექტროენერგია „მოათვინიერა“ და დღეს მის გარეშე ცხოვრება ვეღარ წარმოუდგენია. თუმცა არის ისეთი აღმოჩენებიც, რომლებიც, როგორც ამბობენ, ჩრდილში რჩებიან და მიუხედავად იმისა, რომ ისინიც გარკვეულ გავლენას ახდენენ ჩვენს ცხოვრებაზე. ერთ-ერთი ასეთი აღმოჩენა იყო ფრაქტალი. ადამიანთა უმრავლესობას არც კი სმენია ასეთი კონცეფციის შესახებ და ვერ ახსნის მის მნიშვნელობას. ამ სტატიაში შევეცდებით გაუმკლავდეთ კითხვას, რა არის ფრაქტალი, განვიხილოთ ამ ტერმინის მნიშვნელობა მეცნიერებისა და ბუნების თვალსაზრისით.

წესრიგი ქაოსში

იმისათვის, რომ გავიგოთ რა არის ფრაქტალი, დებრიფინგი უნდა დაიწყოს მათემატიკის პოზიციიდან, თუმცა, სანამ ჩავუღრმავდებით, ცოტას ფილოსოფოსობთ. ყველა ადამიანს აქვს ბუნებრივი ცნობისმოყვარეობა, რომლის წყალობითაც ის სწავლობს მის გარშემო არსებულ სამყაროს. ხშირად, ცოდნის სურვილით, ის ცდილობს ლოგიკით იმოქმედოს განსჯებში. ასე რომ, ირგვლივ მიმდინარე პროცესების გაანალიზებით, ის ცდილობს გამოთვალოს ურთიერთობები და გამოიტანოს გარკვეული შაბლონები. პლანეტის ყველაზე დიდი გონება ამ პრობლემების გადაჭრით არის დაკავებული. უხეშად რომ ვთქვათ, ჩვენი მეცნიერები ეძებენ შაბლონებს, სადაც ისინი არ არიან და არ უნდა იყვნენ. მიუხედავად ამისა, ქაოსშიც კი არის კავშირი გარკვეულ მოვლენებს შორის. ეს კავშირი არის ფრაქტალი. მაგალითად, განვიხილოთ გზაზე გატეხილი ტოტი. თუ კარგად დავაკვირდებით, დავინახავთ, რომ ის, მთელი თავისი ტოტებითა და კვანძებით, თვითონაც ხეს ჰგავს. ცალკეული ნაწილის ეს მსგავსება ერთ მთლიანობასთან მოწმობს რეკურსიული თვითმსგავსების ე.წ. ბუნებაში ფრაქტალები ყოველთვის გვხვდება, რადგან მრავალი არაორგანული და ორგანული ფორმა წარმოიქმნება მსგავსი გზით. ეს არის ღრუბლები, ზღვის ჭურვები, ლოკოკინების ჭურვები, ხეების გვირგვინები და სისხლის მიმოქცევის სისტემაც კი. ეს სია შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით. ყველა ეს შემთხვევითი ფორმა მარტივად არის აღწერილი ფრაქტალის ალგორითმით. აქ ჩვენ განვიხილავთ რა არის ფრაქტალი ზუსტი მეცნიერებების თვალსაზრისით.

რამდენიმე მშრალი ფაქტი

თვით სიტყვა „ფრაქტალი“ ლათინურიდან ითარგმნება როგორც „ნაწილობრივი“, „გაყოფილი“, „ფრაგმენტირებული“ და რაც შეეხება ამ ტერმინის შინაარსს, ფორმულირება, როგორც ასეთი, არ არსებობს. ჩვეულებრივ, მას განიხილავენ როგორც თვითმსგავს კომპლექტს, მთლიანის ნაწილს, რომელიც მეორდება მისი სტრუქტურით მიკრო დონეზე. ეს ტერმინი დამკვიდრდა მეოცე საუკუნის სამოცდაათიან წლებში მამად აღიარებულ ბენუა მანდელბროტმა, დღესდღეობით ფრაქტალის ცნება ნიშნავს გარკვეული სტრუქტურის გრაფიკულ გამოსახულებას, რომელიც გადიდებისას თავის მსგავსი იქნება. თუმცა, ამ თეორიის შექმნის მათემატიკური საფუძველი ჩაეყარა ჯერ კიდევ მანდელბროტის დაბადებამდე, მაგრამ ის ვერ განვითარდა, სანამ ელექტრონული კომპიუტერები არ გამოჩნდნენ.

ისტორიული ცნობა, ან როგორ დაიწყო ეს ყველაფერი

მე-19 და მე-20 საუკუნეების მიჯნაზე ფრაქტალების ბუნების შესწავლა ეპიზოდური იყო. ეს გამოწვეულია იმით, რომ მათემატიკოსები ამჯობინებდნენ ისეთი ობიექტების შესწავლას, რომელთა გამოკვლევა შესაძლებელია ზოგადი თეორიებისა და მეთოდების საფუძველზე. 1872 წელს გერმანელმა მათემატიკოსმა კ.ვაიერშტრასმა შექმნა უწყვეტი ფუნქციის მაგალითი, რომელიც არსად დიფერენცირებადია. თუმცა ეს კონსტრუქცია სრულიად აბსტრაქტული და რთულად გასაგები აღმოჩნდა. შემდეგ მოვიდა შვედი ჰელგე ფონ კოხი, რომელმაც 1904 წელს ააგო უწყვეტი მრუდი, რომელსაც არსად არ აქვს ტანგენსი. მისი დახატვა საკმაოდ მარტივია და, როგორც აღმოჩნდა, ახასიათებს ფრაქტალური თვისებები. ამ მრუდის ერთ-ერთ ვარიანტს მისი ავტორის სახელი ეწოდა - „კოხის ფიფქი“. გარდა ამისა, ფიგურების თვითმსგავსების იდეა შეიმუშავა ბ. მანდელბროტის მომავალმა მენტორმა, ფრანგმა პოლ ლევიმ. 1938 წელს გამოაქვეყნა ნაშრომი „სიბრტყე და სივრცითი მრუდები და მთლიანი ნაწილებისგან შემდგარი ზედაპირი“. მასში მან აღწერა ახალი სახეობა - Levy C- მრუდი. ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფიგურა პირობითად ეხება ისეთ ფორმას, როგორიცაა გეომეტრიული ფრაქტალები.

დინამიური ან ალგებრული ფრაქტალები

მანდელბროტის ნაკრები მიეკუთვნება ამ კლასს. ამ მიმართულებით პირველი მკვლევარები გახდნენ ფრანგი მათემატიკოსები პიერ ფატუ და გასტონ ჯულია. 1918 წელს ჯულიამ გამოაქვეყნა ნაშრომი, რომელიც დაფუძნებული იყო რაციონალური რთული ფუნქციების გამეორებების შესწავლაზე. აქ მან აღწერა ფრაქტალების ოჯახი, რომლებიც მჭიდრო კავშირშია მანდელბროტის ნაკრებთან. იმისდა მიუხედავად, რომ ეს ნამუშევარი ადიდებდა ავტორს მათემატიკოსებს შორის, ის სწრაფად დავიწყებას მიეცა. და მხოლოდ ნახევარი საუკუნის შემდეგ, კომპიუტერების წყალობით, ჯულიას ნამუშევრებმა მეორე სიცოცხლე მიიღო. კომპიუტერებმა შესაძლებელი გახადა ყოველი ადამიანისთვის თვალსაჩინო ყოფილიყო ფრაქტალების სამყაროს სილამაზე და სიმდიდრე, რომელთა „დანახვა“ მათემატიკოსებს შეეძლოთ მათი ფუნქციების ჩვენებით. მანდელბროტმა პირველმა გამოიყენა კომპიუტერი გამოთვლების შესასრულებლად (ხელით ასეთი მოცულობის შესრულება შეუძლებელია), რამაც შესაძლებელი გახადა ამ ფიგურების გამოსახულების აგება.

სივრცითი წარმოსახვის მქონე ადამიანი

მანდელბროტმა სამეცნიერო კარიერა დაიწყო IBM Research Center-ში. გრძელ დისტანციებზე მონაცემთა გადაცემის შესაძლებლობის შესწავლისას, მეცნიერები წააწყდნენ დიდი დანაკარგების ფაქტს, რომელიც წარმოიშვა ხმაურის ჩარევის გამო. ბენუა ამ პრობლემის გადაჭრის გზებს ეძებდა. გაზომვის შედეგების დათვალიერებისას მან ყურადღება მიიპყრო უცნაურ ნიმუშზე, კერძოდ: ხმაურის გრაფიკები ერთნაირად გამოიყურებოდა დროის სხვადასხვა მასშტაბებზე.

მსგავსი სურათი დაფიქსირდა როგორც ერთი დღის განმავლობაში, ასევე შვიდი დღის განმავლობაში ან ერთი საათის განმავლობაში. თავად ბენუა მანდელბროტი ხშირად იმეორებდა, რომ ის არ მუშაობს ფორმულებით, არამედ თამაშობს ნახატებს. ეს მეცნიერი გამოირჩეოდა წარმოსახვითი აზროვნებით, მან თარგმნა ნებისმიერი ალგებრული პრობლემა გეომეტრიულ არეალში, სადაც სწორი პასუხი აშკარაა. ასე რომ, გასაკვირი არაა, რომ მდიდრებით გამორჩეული და ფრაქტალის გეომეტრიის მამა გახდა. ყოველივე ამის შემდეგ, ამ ფიგურის გაცნობიერება შეიძლება მხოლოდ მაშინ, როდესაც თქვენ შეისწავლით ნახატებს და ფიქრობთ ამ უცნაური მორევების მნიშვნელობაზე, რომლებიც ქმნიან ნიმუშს. ფრაქტალ ნახატებს არ აქვთ იდენტური ელემენტები, მაგრამ ისინი მსგავსია ნებისმიერი მასშტაბით.

ჯულია - მანდელბროტი

ამ ფიგურის ერთ-ერთი პირველი ნახატი იყო ნაკრების გრაფიკული ინტერპრეტაცია, რომელიც გასტონ ჯულიას ნამუშევრის წყალობით დაიბადა და მანდელბროტმა დაასრულა. გასტონი ცდილობდა წარმოედგინა, როგორ გამოიყურება ნაკრები, როდესაც ის აგებულია მარტივი ფორმულისგან, რომელიც იმეორებს უკუკავშირის მარყუჟს. ვეცადოთ, ადამიანურ ენაზე, ასე ვთქვათ, თითებზე ავხსნათ. კონკრეტული რიცხვითი მნიშვნელობისთვის, ფორმულის გამოყენებით, ვპოულობთ ახალ მნიშვნელობას. ჩვენ ვცვლით მას ფორმულაში და ვპოულობთ შემდეგს. შედეგი არის დიდი. ასეთი ნაკრების წარმოსადგენად, თქვენ უნდა გააკეთოთ ეს ოპერაცია რამდენჯერმე: ასობით, ათასობით, მილიონობით. ეს არის ის, რაც ბენუამ გააკეთა. მან დაამუშავა თანმიმდევრობა და შედეგები გრაფიკულ ფორმაში გადაიტანა. შემდგომში მან გააფერადა მიღებული ფიგურა (თითოეული ფერი შეესაბამება გამეორებების გარკვეულ რაოდენობას). ამ გრაფიკულ გამოსახულებას მანდელბროტის ფრაქტალი ჰქვია.

L. Carpenter: ბუნების მიერ შექმნილი ხელოვნება

ფრაქტალების თეორიამ სწრაფად იპოვა პრაქტიკული გამოყენება. ვინაიდან ეს ძალიან მჭიდროდ არის დაკავშირებული საკუთარი თავის მსგავსი სურათების ვიზუალიზაციასთან, პირველებმა მიიღეს პრინციპები და ალგორითმები ამ უჩვეულო ფორმების ასაგებად, იყვნენ მხატვრები. პირველი მათგანი იყო Pixar სტუდიის მომავალი დამფუძნებელი ლორენ კარპენტერი. თვითმფრინავების პროტოტიპების პრეზენტაციაზე მუშაობისას მას გაუჩნდა იდეა, რომ ფონად მთების გამოსახულება გამოეყენებინა. დღეს კომპიუტერის თითქმის ყველა მომხმარებელს შეუძლია გაუმკლავდეს ასეთ ამოცანას და გასული საუკუნის სამოცდაათიან წლებში კომპიუტერებს არ შეეძლოთ ასეთი პროცესების შესრულება, რადგან იმ დროს არ არსებობდა გრაფიკული რედაქტორები და სამგანზომილებიანი გრაფიკის აპლიკაციები. ლორენი წააწყდა მანდელბროტის ფრაქტალებს: ფორმა, შემთხვევითობა და განზომილება. მასში ბენოისმა მრავალი მაგალითი მოიყვანა და აჩვენა, რომ ბუნებაში არსებობენ ფრაქტალები (ფივა), მან აღწერა მათი სხვადასხვა ფორმები და დაამტკიცა, რომ ისინი ადვილად აღიწერება მათემატიკური გამონათქვამებით. მათემატიკოსმა მოიყვანა ეს ანალოგია, როგორც არგუმენტი იმ თეორიის სარგებლიანობის შესახებ, რომელიც მან შეიმუშავა თავისი კოლეგების კრიტიკის აურზაურის საპასუხოდ. ისინი ამტკიცებდნენ, რომ ფრაქტალი არის მხოლოდ მშვენიერი სურათი, რომელსაც არ აქვს მნიშვნელობა, ელექტრონული მანქანების გვერდითი პროდუქტი. კარპენტერმა გადაწყვიტა ეს მეთოდი პრაქტიკაში გამოეცადა. წიგნის გულდასმით შესწავლის შემდეგ, მომავალმა ანიმატორმა დაიწყო კომპიუტერულ გრაფიკაში ფრაქტალური გეომეტრიის განხორციელების გზის ძიება. მას მხოლოდ სამი დღე დასჭირდა კომპიუტერზე მთის ლანდშაფტის სრულიად რეალისტური გამოსახულების გადასაღებად. და დღეს ეს პრინციპი ფართოდ გამოიყენება. როგორც გაირკვა, ფრაქტალების შექმნას დიდი დრო და ძალისხმევა არ სჭირდება.

კარპენტერის გადაწყვეტილება

ლორენის მიერ გამოყენებული პრინციპი მარტივი აღმოჩნდა. იგი შედგება უფრო დიდის უფრო მცირე ელემენტებად დაყოფაში, ხოლო მსგავს პატარაებად და ა.შ. კარპენტერმა დიდი სამკუთხედების გამოყენებით გაანადგურა ისინი 4 წვრილად და ასე გააგრძელა მანამ, სანამ არ მიიღო რეალისტური მთის ლანდშაფტი. ამრიგად, ის გახდა პირველი მხატვარი, რომელმაც გამოიყენა ფრაქტალის ალგორითმი კომპიუტერულ გრაფიკაში საჭირო გამოსახულების ასაგებად. დღეს ეს პრინციპი გამოიყენება სხვადასხვა რეალისტური ბუნებრივი ფორმების სიმულაციისთვის.

პირველი 3D ვიზუალიზაცია ფრაქტალის ალგორითმის საფუძველზე

რამდენიმე წლის შემდეგ, ლორენმა გამოიყენა თავისი ნამუშევარი ფართომასშტაბიან პროექტში - ანიმაციური ვიდეო Vol Libre, რომელიც ნაჩვენებია Siggraph-ზე 1980 წელს. ამ ვიდეომ ბევრი შოკში ჩააგდო და მისი შემქმნელი Lucasfilm-ში სამუშაოდ მიიწვიეს. აქ ანიმატორმა შეძლო საკუთარი თავის სრულად რეალიზება, მან შექმნა სამგანზომილებიანი პეიზაჟები (მთელი პლანეტა) მხატვრული ფილმისთვის „ვარსკვლავური გზა“. ნებისმიერი თანამედროვე პროგრამა („ფრაქტალები“) ან აპლიკაცია სამგანზომილებიანი გრაფიკის შესაქმნელად (Terragen, Vue, Bryce) იყენებს იგივე ალგორითმს ტექსტურებისა და ზედაპირების მოდელირებისთვის.

ტომ ბედდარდი

ყოფილმა ლაზერულმა ფიზიკოსმა და ახლა უკვე ციფრულმა მხატვარმა და მხატვარმა, ბედდარმა შექმნა უაღრესად დამაინტრიგებელი გეომეტრიული ფორმების სერია, რომელსაც მან უწოდა ფაბერჟეს ფრაქტალები. გარეგნულად ისინი წააგავს რუსი იუველირის დეკორატიულ კვერცხებს, მათ აქვთ იგივე ბრწყინვალე რთული ნიმუში. ბედარდმა გამოიყენა შაბლონის მეთოდი მოდელების ციფრული რენდერების შესაქმნელად. შედეგად მიღებული პროდუქტები გასაოცარია მათი სილამაზით. მიუხედავად იმისა, რომ ბევრი უარს ამბობს ხელნაკეთი პროდუქტის კომპიუტერულ პროგრამასთან შედარებაზე, უნდა ვაღიაროთ, რომ მიღებული ფორმები უჩვეულოდ ლამაზია. მთავარი ის არის, რომ ყველას შეუძლია შექმნას ასეთი ფრაქტალი WebGL პროგრამული ბიბლიოთეკის გამოყენებით. ის საშუალებას გაძლევთ რეალურ დროში შეისწავლოთ სხვადასხვა ფრაქტალის სტრუქტურა.

ფრაქტალები ბუნებაში

ცოტა ადამიანი აქცევს ყურადღებას, მაგრამ ეს საოცარი ფიგურები ყველგანაა. ბუნება შედგება საკუთარი თავის მსგავსი ფიგურებისგან, ჩვენ ამას უბრალოდ ვერ ვამჩნევთ. საკმარისია გამადიდებელი შუშით შევხედოთ ჩვენს კანს ან ხის ფოთოლს და დავინახავთ ფრაქტალებს. ან აიღეთ, მაგალითად, ანანასი ან თუნდაც ფარშევანგის კუდი - ისინი მსგავსი ფიგურებისგან შედგება. და რომანესკუს ბროკოლის ჯიში ზოგადად გასაოცარია თავისი გარეგნობით, რადგან მას ნამდვილად შეიძლება ეწოდოს ბუნების სასწაული.

მუსიკალური პაუზა

გამოდის, რომ ფრაქტალები არ არის მხოლოდ გეომეტრიული ფორმები, ისინი შეიძლება იყოს ბგერებიც. ასე რომ, მუსიკოსი ჯონათან კოლტონი წერს მუსიკას ფრაქტალის ალგორითმების გამოყენებით. ის ამტკიცებს, რომ შეესაბამება ბუნებრივ ჰარმონიას. კომპოზიტორი თავის ყველა ნაწარმოებს აქვეყნებს CreativeCommons Attribution-Noncommercial ლიცენზიით, რომელიც ითვალისწინებს სხვა პირების მიერ ნაწარმოებების უფასო გავრცელებას, კოპირებას, გადაცემას.

ფრაქტალის მაჩვენებელი

ამ ტექნიკამ იპოვა ძალიან მოულოდნელი გამოყენება. მის საფუძველზე შეიქმნა საფონდო ბირჟის ანალიზის ინსტრუმენტი და, შედეგად, დაიწყო მისი გამოყენება ფორექსის ბაზარზე. ახლა ფრაქტალის ინდიკატორი გვხვდება ყველა სავაჭრო პლატფორმაზე და გამოიყენება სავაჭრო ტექნიკაში, რომელსაც ფასის გარღვევა ეწოდება. ბილ უილიამსმა შეიმუშავა ეს ტექნიკა. როგორც ავტორი თავის გამოგონებაზე კომენტარს აკეთებს, ეს ალგორითმი წარმოადგენს რამდენიმე „სანთლის“ ერთობლიობას, რომელშიც ცენტრალური ასახავს მაქსიმალურ ან, პირიქით, მინიმალურ უკიდურეს წერტილს.

ბოლოს და ბოლოს

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ რა არის ფრაქტალი. გამოდის, რომ ჩვენს გარშემო არსებულ ქაოსში, ფაქტობრივად, იდეალური ფორმებია. ბუნება არის საუკეთესო არქიტექტორი, იდეალური მშენებელი და ინჟინერი. ის ძალიან ლოგიკურად არის მოწყობილი და თუ ჩვენ ვერ ვპოულობთ შაბლონს, ეს არ ნიშნავს რომ ის არ არსებობს. იქნებ სხვა მასშტაბით უნდა შეხედოთ. დარწმუნებით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ფრაქტალები ჯერ კიდევ ინახავს უამრავ საიდუმლოს, რომელიც ჯერ კიდევ არ არის აღმოჩენილი.

Ყველას მოგესალმებით! Მე მქვია, რიბენეკ ვალერია,ულიანოვსკი და დღეს მე გამოვაქვეყნებ ჩემს რამდენიმე სამეცნიერო სტატიას LCI-ის ვებგვერდზე.

ამ ბლოგში ჩემი პირველი სამეცნიერო სტატია დაეთმობა ფრაქტალები. მაშინვე ვიტყვი, რომ ჩემი სტატიები განკუთვნილია თითქმის ნებისმიერი აუდიტორიისთვის. იმათ. იმედი მაქვს, ისინი დააინტერესებს როგორც სკოლის მოსწავლეებს, ასევე სტუდენტებს.

ახლახან გავიგე მათემატიკური სამყაროს ისეთი საინტერესო ობიექტების შესახებ, როგორიცაა ფრაქტალები. მაგრამ ისინი არსებობენ არა მხოლოდ მათემატიკაში. ისინი ყველგან გარს გვიხვევენ. ფრაქტალები ბუნებრივია. იმის შესახებ, თუ რა არის ფრაქტალები, ფრაქტალების ტიპები, ამ ობიექტების მაგალითები და მათი გამოყენება, მე გეტყვით ამ სტატიაში. დასაწყისისთვის მოკლედ გეტყვით რა არის ფრაქტალი.

ფრაქტალი(ლათ. fractus - დამსხვრეული, გატეხილი, გატეხილი) რთული გეომეტრიული ფიგურაა, რომელსაც აქვს თვითმსგავსების თვისება, ანუ შედგება რამდენიმე ნაწილისაგან, რომელთაგან თითოეული მსგავსია მთლიანი ფიგურის მთლიანობაში. უფრო ფართო გაგებით, ფრაქტალები გაგებულია, როგორც ევკლიდური სივრცის წერტილების ერთობლიობა, რომლებსაც აქვთ წილადური მეტრიკული განზომილება (მინკოვსკის ან ჰაუსდორფის გაგებით), ან მეტრული განზომილება, გარდა ტოპოლოგიური. მაგალითად, ჩავსვამ ოთხი განსხვავებული ფრაქტალის სურათს.

ცოტას მოგიყვებით ფრაქტალების ისტორიაზე. ფრაქტალისა და ფრაქტალის გეომეტრიის ცნებები, რომლებიც გაჩნდა 70-იანი წლების ბოლოს, მტკიცედ დამკვიდრდა მათემატიკოსთა და პროგრამისტების ყოველდღიურ ცხოვრებაში 80-იანი წლების შუა ხანებიდან. სიტყვა "ფრაქტალი" შემოიღო ბენუა მანდელბროტმა 1975 წელს, რათა მიუთითებდეს არარეგულარულ, მაგრამ თვითმსგავს სტრუქტურებზე, რომლებიც მან შეისწავლა. ფრაქტალური გეომეტრიის დაბადება ჩვეულებრივ ასოცირდება 1977 წელს მანდელბროტის წიგნის The Fractal Geometry of Nature გამოქვეყნებასთან. მის ნაშრომებში გამოყენებული იყო სხვა მეცნიერების მეცნიერული შედეგები, რომლებიც მუშაობდნენ 1875-1925 წლებში იმავე სფეროში (პუანკარე, ფატუ, ჯულია, კანტორი, ჰაუსდორფი). მაგრამ მხოლოდ ჩვენს დროში იყო შესაძლებელი მათი მუშაობის გაერთიანება ერთ სისტემაში.

ფრაქტალების მაგალითები ბევრია, რადგან, როგორც ვთქვი, ისინი ყველგან გარს გვიხვევენ. ჩემი აზრით, მთელი ჩვენი სამყაროც კი არის ერთი უზარმაზარი ფრაქტალი. ყოველივე ამის შემდეგ, მასში ყველაფერი, ატომის სტრუქტურიდან დაწყებული, თავად სამყაროს სტრუქტურამდე, ზუსტად იმეორებს ერთმანეთს. მაგრამ, რა თქმა უნდა, არსებობს ფრაქტალების უფრო კონკრეტული მაგალითები სხვადასხვა სფეროდან. მაგალითად, ფრაქტალები წარმოდგენილია კომპლექსურ დინამიკაში. იქ ისინი ბუნებრივად ჩნდებიან არაწრფივი შესწავლისას დინამიური სისტემები. ყველაზე შესწავლილი შემთხვევაა, როდესაც დინამიური სისტემა განსაზღვრულია გამეორებებით მრავალწევრიან ჰოლომორფული ცვლადების კომპლექსის ფუნქციაზედაპირზე. ამ ტიპის ზოგიერთი ყველაზე ცნობილი ფრაქტალია ჯულიას ნაკრები, მანდელბროტის ნაკრები და ნიუტონის აუზები. ქვემოთ, თანმიმდევრობით, სურათებში ნაჩვენებია თითოეული ზემოთ ჩამოთვლილი ფრაქტალი.

ფრაქტალების კიდევ ერთი მაგალითია ფრაქტალის მრუდები. უმჯობესია აგიხსნათ როგორ ავაშენოთ ფრაქტალი ფრაქტალის მრუდების მაგალითის გამოყენებით. ერთ-ერთი ასეთი მრუდი არის ეგრეთ წოდებული კოხის ფიფქია. სიბრტყეზე ფრაქტალის მოსახვევების მიღების მარტივი პროცედურა არსებობს. ჩვენ განვსაზღვრავთ თვითნებურ გაწყვეტილ ხაზს ბმულების სასრული რაოდენობით, რომელსაც გენერატორი ეწოდება. შემდეგი, ჩვენ ვცვლით მასში არსებულ თითოეულ სეგმენტს გენერატორით (უფრო ზუსტად, გენერატორის მსგავსი გატეხილი ხაზი). შედეგად გატეხილი ხაზი, ჩვენ კვლავ ვცვლით თითოეულ სეგმენტს გენერატორით. ვაგრძელებთ უსასრულობას, ლიმიტში ვიღებთ ფრაქტალ მრუდს. ქვემოთ ნაჩვენებია კოხის ფიფქი (ან მრუდი).

ასევე ბევრია ფრაქტალის მრუდი. მათგან ყველაზე ცნობილია უკვე ნახსენები კოხის ფიფქია, ასევე ლევის მრუდი, მინკოვსკის მრუდი, გატეხილი დრაკონი, პიანინოს მრუდი და პითაგორას ხე. ამ ფრაქტალების გამოსახულება და მათი ისტორია, ვფიქრობ, სურვილის შემთხვევაში ადვილად იპოვით ვიკიპედიაში.

მესამე მაგალითი ან სახის ფრაქტალები არის სტოქასტური ფრაქტალები. ასეთი ფრაქტალები მოიცავს ბრაუნის მოძრაობის ტრაექტორიას სიბრტყეზე და სივრცეში, შრამ-ლოუნერის ევოლუციებს, სხვადასხვა ტიპის რანდომიზებულ ფრაქტალებს, ანუ რეკურსიული პროცედურის გამოყენებით მიღებულ ფრაქტალებს, რომელშიც ყოველ საფეხურზე შემოდის შემთხვევითი პარამეტრი.

ასევე არსებობს წმინდა მათემატიკური ფრაქტალები. ესენია, მაგალითად, კანტორის ნაკრები, მენგერის ღრუბელი, სიერპინსკის სამკუთხედი და სხვა.

მაგრამ, ალბათ, ყველაზე საინტერესო ფრაქტალები ბუნებრივია. ბუნებრივი ფრაქტალები არის ობიექტები ბუნებაში, რომლებსაც აქვთ ფრაქტალური თვისებები. და უკვე დიდი სიაა. ყველაფერს არ ჩამოვთვლი, რადგან, ალბათ, ყველა ვერ ჩამოვთვლი, მაგრამ ზოგიერთზე გეტყვით. მაგალითად, ცოცხალ ბუნებაში, ასეთი ფრაქტალები მოიცავს ჩვენს სისხლის მიმოქცევის სისტემას და ფილტვებს. და ასევე ხეების გვირგვინები და ფოთლები. ასევე აქ შეგიძლიათ შეიტანოთ ვარსკვლავი, ზღვის ზღარბი, მარჯანი, ზღვის ჭურვი, ზოგიერთი მცენარე, როგორიცაა კომბოსტო ან ბროკოლი. ქვემოთ ნათლად არის ნაჩვენები რამდენიმე ასეთი ბუნებრივი ფრაქტალი ველური ბუნებიდან.

თუ გავითვალისწინებთ უსულო ბუნებას, მაშინ ბევრად უფრო საინტერესო მაგალითებია, ვიდრე ცოცხალ ბუნებაში. ელვა, ფიფქები, ყველასთვის ცნობილი ღრუბლები, შაბლონები ფანჯრებზე ყინვაგამძლე დღეებში, კრისტალები, მთის ქედები - ეს ყველაფერი ბუნებრივი ფრაქტალების მაგალითებია უსულო ბუნებიდან.

ჩვენ განვიხილეთ ფრაქტალების მაგალითები და ტიპები. რაც შეეხება ფრაქტალების გამოყენებას, ისინი გამოიყენება ცოდნის სხვადასხვა სფეროში. ფიზიკაში ფრაქტალები ბუნებრივად წარმოიქმნება არაწრფივი პროცესების მოდელირებისას, როგორიცაა ტურბულენტური სითხის ნაკადი, რთული დიფუზია-ადსორბციული პროცესები, ალი, ღრუბლები და ა.შ. ფრაქტალები გამოიყენება ფოროვანი მასალების მოდელირებისას, მაგალითად, ნავთობქიმიაში. ბიოლოგიაში ისინი გამოიყენება პოპულაციების მოდელირებისთვის და შინაგანი ორგანოების სისტემების (სისხლძარღვების სისტემის) აღსაწერად. კოხის მრუდის შექმნის შემდეგ შემოთავაზებული იქნა მისი გამოყენება სანაპირო ზოლის სიგრძის გამოსათვლელად. ასევე, ფრაქტალები აქტიურად გამოიყენება რადიოინჟინერიაში, კომპიუტერულ მეცნიერებაში და კომპიუტერულ ტექნოლოგიებში, ტელეკომუნიკაციებში და ეკონომიკაშიც კი. და, რა თქმა უნდა, ფრაქტალური ხედვა აქტიურად გამოიყენება თანამედროვე ხელოვნებასა და არქიტექტურაში. აქ არის ფრაქტალის ნახატების ერთი მაგალითი:

ასე რომ, ვფიქრობ, რომ დავასრულო ჩემი ამბავი ისეთი უჩვეულო მათემატიკური ფენომენის შესახებ, როგორიცაა ფრაქტალი. დღეს გავიგეთ რა არის ფრაქტალი, როგორ გაჩნდა, ფრაქტალების ტიპებსა და მაგალითებზე. მე ასევე ვისაუბრე მათ გამოყენებაზე და ნათლად ვაჩვენე ზოგიერთი ფრაქტალი. იმედი მაქვს მოგეწონათ ეს მოკლე ექსკურსია საოცარი და მომხიბვლელი ფრაქტალის ობიექტების სამყაროში.