ადრე უკვე ვისაუბრეთ იმაზე, თუ რა არის რიცხვის ძალა. მას აქვს გარკვეული თვისებები, რომლებიც გამოსადეგია პრობლემების გადაჭრაში: სწორედ მათ და ყველა შესაძლო მაჩვენებელს გავაანალიზებთ ამ სტატიაში. ჩვენ ასევე მაგალითებით ვაჩვენებთ, თუ როგორ შეიძლება მათი დამტკიცება და სწორად გამოყენება პრაქტიკაში.

გავიხსენოთ ხარისხის ცნება ბუნებრივი მაჩვენებლით, რომელიც უკვე ჩამოვაყალიბეთ ადრე: ეს არის ფაქტორების n-ე რაოდენობის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს. ჩვენ ასევე უნდა გვახსოვდეს, თუ როგორ უნდა გავამრავლოთ რეალური რიცხვები. ეს ყველაფერი დაგვეხმარება ჩამოვაყალიბოთ შემდეგი თვისებები ხარისხისთვის ბუნებრივი მაჩვენებლით:

განმარტება 1

1. ხარისხის ძირითადი თვისება: a m a n = a m + n

შეიძლება განზოგადდეს: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. კოეფიციენტის თვისება ძლიერებათათვის, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე ფუძე: a m: a n = a m − n

3. პროდუქტის ხარისხის თვისება: (a b) n = a n b n

ტოლობა შეიძლება გაფართოვდეს: (a 1 a 2 ... a k) n = a 1 n a 2 n ... a k n

4. ნატურალური ხარისხის თვისება: (a: b) n = a n: b n

5. ჩვენ ვამატებთ სიმძლავრეს სიმძლავრემდე: (a m) n = a m n ,

შეიძლება განზოგადდეს: (((a n 1) n 2) ...) n k = a n 1 n 2 ... n k

6. შეადარეთ ხარისხი ნულთან:

• თუ a > 0, მაშინ ნებისმიერი ბუნებრივი n-სთვის, a n იქნება ნულზე მეტი;
• 0-ის ტოლით, a n ასევე ნულის ტოლი იქნება;
• თვის< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• თვის< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. თანასწორობა a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. უტოლობა a m > a n იქნება ჭეშმარიტი იმ პირობით, რომ m და n ნატურალური რიცხვებია, m მეტია n-ზე და a არის ნულზე მეტი და არანაკლებ ერთი.

შედეგად მივიღეთ რამდენიმე თანასწორობა; თუ თქვენ აკმაყოფილებთ ზემოთ მითითებულ ყველა პირობას, მაშინ ისინი იდენტური იქნება. თითოეული ტოლობისთვის, მაგალითად, ძირითადი თვისებისთვის, შეგიძლიათ შეცვალოთ მარჯვენა და მარცხენა ნაწილები: a m · a n = a m + n - იგივეა, რაც m + n = a m · a n. ამ ფორმით, ის ხშირად გამოიყენება გამონათქვამების გამარტივებისას.

1. დავიწყოთ ხარისხის ძირითადი თვისებით: ტოლობა a m · a n = a m + n იქნება ჭეშმარიტი ნებისმიერი ბუნებრივი m და n და რეალური a . როგორ დავამტკიცოთ ეს განცხადება?

ძალების ძირითადი განმარტება ბუნებრივი მაჩვენებლებით საშუალებას მოგვცემს გადავიტანოთ თანასწორობა ფაქტორების პროდუქტად. ჩვენ მივიღებთ ასეთ ჩანაწერს:

ეს შეიძლება შემცირდეს (გავიხსენოთ გამრავლების ძირითადი თვისებები). შედეგად მივიღეთ a რიცხვის ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით m + n. ამრიგად, a m + n, რაც ნიშნავს, რომ ხარისხის ძირითადი თვისება დადასტურებულია.

ამის დასამტკიცებლად ავიღოთ კონკრეტული მაგალითი.

მაგალითი 1

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ორი სიმძლავრე 2 ფუძით. მათი ბუნებრივი მაჩვენებლები არის 2 და 3, შესაბამისად. მივიღეთ ტოლობა: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 მოდით გამოვთვალოთ მნიშვნელობები ამ ტოლობის სისწორის შესამოწმებლად.

შევასრულოთ საჭირო მათემატიკური მოქმედებები: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 და 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

შედეგად მივიღეთ: 2 2 2 3 = 2 5 . ქონება დადასტურებულია.

გამრავლების თვისებებიდან გამომდინარე, თვისების განზოგადება შეგვიძლია სამი ან მეტი ხარისხების სახით ჩამოყალიბებით, რომლის მაჩვენებლები ნატურალური რიცხვებია, ფუძეები კი იგივე. თუ ნატურალური რიცხვების რაოდენობას n 1, n 2 და ა.შ აღვნიშნავთ k ასოთი, მივიღებთ სწორ ტოლობას:

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k.

მაგალითი 2

2. შემდეგი, ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ შემდეგი თვისება, რომელსაც ეწოდება კოეფიციენტური თვისება და თანდაყოლილია იმავე საფუძვლების ხარისხებში: ეს არის ტოლობა a m: a n = a m − n, რომელიც მოქმედებს ნებისმიერი ბუნებრივი m და n (და m) მეტია n)) და ნებისმიერი არანულოვანი რეალური a .

დასაწყისისთვის, მოდით განვმარტოთ, თუ რას ნიშნავს ფორმულირებაში ნახსენები პირობები. თუ ავიღებთ ნულის ტოლს, მაშინ საბოლოოდ მივიღებთ გაყოფას ნულზე, რაც არ შეიძლება გაკეთდეს (ბოლოს და ბოლოს, 0 n = 0). პირობა, რომ რიცხვი m უნდა იყოს n-ზე მეტი, აუცილებელია იმისათვის, რომ შევინარჩუნოთ ბუნებრივი მაჩვენებლების ფარგლებში: m-ს გამოკლებით n მივიღებთ ნატურალურ რიცხვს. თუ პირობა არ დაკმაყოფილდა, მივიღებთ უარყოფით რიცხვს ან ნულს და ისევ გასცდებით ხარისხების შესწავლას ბუნებრივი მაჩვენებლებით.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გადავიდეთ მტკიცებულებაზე. ადრე შესწავლილიდან გავიხსენებთ წილადების ძირითად თვისებებს და ვაყალიბებთ ტოლობას შემდეგნაირად:

a m − n a n = a (m − n) + n = a m

მისგან შეგვიძლია დავასკვნათ: a m − n a n = a m

გაიხსენეთ კავშირი გაყოფასა და გამრავლებას შორის. მისგან გამომდინარეობს, რომ a m − n არის a m და a n ხარისხების კოეფიციენტი. ეს არის მეორე ხარისხის ქონების დამადასტურებელი საბუთი.

მაგალითი 3

ჩაანაცვლეთ კონკრეტული რიცხვები ინდიკატორებში სიცხადისთვის და აღნიშნეთ π ხარისხის საფუძველი: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. შემდეგი, ჩვენ გავაანალიზებთ პროდუქტის ხარისხის თვისებებს: (a · b) n = a n · b n ნებისმიერი რეალური a და b და ბუნებრივი n.

ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ძირითადი განმარტების მიხედვით, ჩვენ შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ ტოლობა შემდეგნაირად:

გამრავლების თვისებების გახსენებისას ვწერთ: . ეს ნიშნავს იგივეს, რაც a n · b n.

მაგალითი 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

თუ გვაქვს სამი ან მეტი ფაქტორი, მაშინ ეს თვისება ამ შემთხვევაშიც ვრცელდება. შემოგვაქვს აღნიშვნა k ფაქტორების რაოდენობისთვის და ვწერთ:

(a 1 a 2 ... a k) n = a 1 n a 2 n ... a k n

მაგალითი 5

კონკრეტული რიცხვებით ვიღებთ შემდეგ სწორ ტოლობას: (2 (- 2 , 3) ​​ა) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​7 ა.

4. ამის შემდეგ შევეცდებით დავამტკიცოთ კოეფიციენტის თვისება: (a: b) n = a n: b n ნებისმიერი რეალური a და b თუ b არ არის 0-ის ტოლი და n არის ნატურალური რიცხვი.

დასამტკიცებლად შეგვიძლია გამოვიყენოთ წინა ხარისხის თვისება. თუ (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n, და (a: b) n b n = a n, მაშინ გამოდის, რომ (a: b) n არის a n-ზე b n-ზე გაყოფის კოეფიციენტი.

მაგალითი 6

დავთვალოთ მაგალითი: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

მაგალითი 7

დავიწყოთ მაშინვე მაგალითით: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

ახლა კი ჩვენ ვაყალიბებთ თანასწორობის ჯაჭვს, რომელიც დაგვამტკიცებს თანასწორობის სისწორეს:

თუ მაგალითში გვაქვს გრადუსების ხარისხი, მაშინ ეს თვისება მათთვისაც მართალია. თუ გვაქვს რაიმე ნატურალური რიცხვი p, q, r, s, მაშინ ეს იქნება ჭეშმარიტი:

a p q y s = a p q y s

მაგალითი 8

მოდით დავამატოთ სპეციფიკა: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. გრადუსების კიდევ ერთი თვისება ბუნებრივი მაჩვენებლით, რომელიც უნდა დავამტკიცოთ, არის შედარების თვისება.

ჯერ შევადაროთ მაჩვენებელი ნულს. რატომ a n > 0 იმ პირობით, რომ a მეტია 0-ზე?

თუ ერთ დადებით რიცხვს მეორეზე გავამრავლებთ, ასევე მივიღებთ დადებით რიცხვს. ამ ფაქტის ცოდნით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ეს არ არის დამოკიდებული ფაქტორების რაოდენობაზე - დადებითი რიცხვების ნებისმიერი რაოდენობის გამრავლების შედეგი არის დადებითი რიცხვი. და რა არის ხარისხი, თუ არა რიცხვების გამრავლების შედეგი? შემდეგ ნებისმიერი სიმძლავრის n-სთვის დადებითი ფუძის და ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე, ეს იქნება მართალი.

მაგალითი 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 და 34 9 13 51 > 0

ასევე აშკარაა, რომ სიმძლავრე, რომლის ბაზის ტოლია ნულის ტოლი, თავისთავად ნულია. რა ძალაზეც არ უნდა ავწიოთ ნულს, ის ასე დარჩება.

მაგალითი 10

0 3 = 0 და 0 762 = 0

თუ ხარისხის საფუძველი უარყოფითი რიცხვია, მაშინ მტკიცებულება ცოტა უფრო რთულია, რადგან ლუწი/კენტი მაჩვენებლის ცნება მნიშვნელოვანი ხდება. დავიწყოთ იმ შემთხვევით, როდესაც მაჩვენებელი ლუწია და აღვნიშნოთ 2 · m-ით, სადაც m არის ნატურალური რიცხვი.

გავიხსენოთ, როგორ გავამრავლოთ უარყოფითი რიცხვები: ნამრავლი a · a უდრის მოდულების ნამრავლს და, შესაბამისად, ეს იქნება დადებითი რიცხვი. მერე და ხარისხი a 2 · m ასევე დადებითია.

მაგალითი 11

მაგალითად, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 და - 2 9 6 > 0

რა მოხდება, თუ უარყოფითი ფუძის მქონე მაჩვენებელი კენტი რიცხვია? ავღნიშნოთ 2 · m − 1 .

მერე

ყველა ნამრავლი a · a , გამრავლების თვისებების მიხედვით, დადებითია და ასევე მათი ნამრავლი. მაგრამ თუ მას გავამრავლებთ ერთადერთ დარჩენილ რიცხვზე a, მაშინ საბოლოო შედეგი უარყოფითი იქნება.

შემდეგ მივიღებთ: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

როგორ დავამტკიცოთ?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

მაგალითი 12

მაგალითად, უტოლობები მართალია: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. დაგვრჩენია დავამტკიცოთ უკანასკნელი თვისება: თუ გვაქვს ორი გრადუსი, რომელთა ფუძეები ერთნაირი და დადებითია, მაჩვენებლები კი ნატურალური რიცხვები, მაშინ ერთი მათგანი დიდია, რომლის მაჩვენებელი ნაკლებია; და ორი გრადუსით ბუნებრივი მაჩვენებლებით და ერთი და იგივე ფუძეებით ერთზე მეტი, ხარისხი, რომლის მაჩვენებელიც დიდია, უფრო დიდია.

დავამტკიცოთ ეს მტკიცებები.

ჯერ უნდა დავრწმუნდეთ, რომ მ< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

ფრჩხილებიდან ვიღებთ n-ს, რის შემდეგაც ჩვენი სხვაობა მიიღებს a n · (am − n − 1) ფორმას. მისი შედეგი იქნება უარყოფითი (რადგან დადებითი რიცხვის უარყოფითზე გამრავლების შედეგი უარყოფითია). მართლაც, საწყისი პირობების მიხედვით, m − n > 0, შემდეგ a m − n − 1 უარყოფითია და პირველი ფაქტორი დადებითია, როგორც ნებისმიერი ბუნებრივი სიმძლავრე დადებითი ფუძით.

აღმოჩნდა, რომ a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

რჩება ზემოთ ჩამოყალიბებული დებულების მეორე ნაწილის დასამტკიცებლად: a m > a არის m > n და a > 1 . მივუთითებთ განსხვავებას და ფრჩხილებიდან ვიღებთ n-ს: (a m - n - 1) ერთზე მეტი n-ის სიძლიერე დადებით შედეგს გამოიღებს; და თავად განსხვავებაც დადებითი აღმოჩნდება საწყისი პირობების გამო და a > 1-ისთვის a m − n-ის ხარისხი ერთზე მეტია. გამოდის, რომ a m − a n > 0 და a m > a n, რის დასამტკიცებლადაც გვჭირდებოდა.

მაგალითი 13

მაგალითი კონკრეტული რიცხვებით: 3 7 > 3 2

გრადუსების ძირითადი თვისებები მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით

დადებითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლების მქონე ხარისხებისთვის, თვისებები მსგავსი იქნება, რადგან დადებითი მთელი რიცხვები ბუნებრივია, რაც ნიშნავს, რომ ყველა ზემოთ დადასტურებული თანასწორობა მათთვისაც მოქმედებს. ისინი ასევე შესაფერისია იმ შემთხვევებისთვის, როდესაც მაჩვენებლები უარყოფითია ან ნულის ტოლია (იმ პირობით, რომ ხარისხის საფუძველი არ არის ნულოვანი).

ამრიგად, ხარისხების თვისებები იგივეა ნებისმიერი a და b ფუძეებისთვის (იმ პირობით, რომ ეს რიცხვები რეალურია და არა 0-ის ტოლი) და ნებისმიერი მ და n მაჩვენებლების (იმ პირობით, რომ ისინი მთელი რიცხვებია). ჩვენ მათ მოკლედ ვწერთ ფორმულების სახით:

განმარტება 2

1. a m a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (ა ბ) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (am) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n დადებითი მთელი რიცხვით n , დადებითი a და b , a< b

7. მ< a n , при условии целых m и n , m >n და 0< a < 1 , при a >1 a m > a n.

თუ ხარისხის საფუძველი ნულის ტოლია, მაშინ a m და a n ჩანაწერებს აზრი აქვს მხოლოდ ბუნებრივი და დადებითი m და n-ის შემთხვევაში. შედეგად, ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ ზემოთ ჩამოთვლილი ფორმულირებები ასევე შესაფერისია ნულოვანი ფუძის მქონე ხარისხის შემთხვევებისთვის, თუ ყველა სხვა პირობა დაკმაყოფილებულია.

ამ თვისებების მტკიცებულება ამ შემთხვევაში მარტივია. დაგვჭირდება გავიხსენოთ რა არის ხარისხი ნატურალური და მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, ასევე რეალური რიცხვებით მოქმედებების თვისებები.

მოდით გავაანალიზოთ ხარისხის თვისება ხარისხში და დავამტკიცოთ, რომ ის მართალია როგორც დადებითი, ასევე არაპოზიტიური რიცხვებისთვის. ჩვენ ვიწყებთ ტოლობების (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) და (a − p) − q = a (−) p) (−q)

პირობები: p = 0 ან ნატურალური რიცხვი; q - ანალოგიურად.

თუ p და q მნიშვნელობები მეტია 0-ზე, მაშინ მივიღებთ (a p) q = a p · q . მსგავსი თანასწორობა ადრეც დავამტკიცეთ. თუ p = 0 მაშინ:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

ამიტომ, (a 0) q = a 0 q

q = 0-სთვის ყველაფერი ზუსტად იგივეა:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

შედეგი: (a p) 0 = a p 0 .

თუ ორივე მაჩვენებელი ნულია, მაშინ (a 0) 0 = 1 0 = 1 და 0 0 = a 0 = 1, მაშინ (a 0) 0 = a 0 0 .

გაიხსენეთ კოეფიციენტის თვისება ზემოთ დადასტურებულ ხარისხში და დაწერეთ:

1 a p q = 1 q a p q

თუ 1 p = 1 1 … 1 = 1 და a p q = a p q , მაშინ 1 q a p q = 1 a p q

ჩვენ შეგვიძლია გადავიტანოთ ეს აღნიშვნა გამრავლების ძირითადი წესების საფუძველზე a (− p) · q .

ასევე: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

და (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

ხარისხის დარჩენილი თვისებები შეიძლება დადასტურდეს ანალოგიურად არსებული უტოლობების გარდაქმნით. ამაზე დეტალურად არ ვისაუბრებთ, მხოლოდ რთულ პუნქტებს მივუთითებთ.

ბოლო თვისების დადასტურება: გავიხსენოთ, რომ a − n > b − n ჭეშმარიტია n-ის ნებისმიერი უარყოფითი მთელი რიცხვისთვის და ნებისმიერი დადებითი a და b, იმ პირობით, რომ a არის b-ზე ნაკლები.

მაშინ უტოლობა შეიძლება გარდაიქმნას შემდეგნაირად:

1 a n > 1 b n

ჩვენ ვწერთ მარჯვენა და მარცხენა ნაწილებს განსხვავებად და ვასრულებთ საჭირო გარდაქმნებს:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n

შეგახსენებთ, რომ პირობით a არის b-ზე ნაკლები, მაშინ, ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განსაზღვრის მიხედვით: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n მთავრდება დადებით რიცხვად, რადგან მისი ფაქტორები დადებითია. შედეგად გვაქვს წილადი b n - a n a n · b n , რომელიც საბოლოოდ ასევე იძლევა დადებით შედეგს. აქედან გამომდინარეობს 1 a n > 1 b n საიდანაც a − n > b − n , რომელიც უნდა დაგვემტკიცებინა.

გრადუსების უკანასკნელი თვისება მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით დადასტურებულია ისევე, როგორც ბუნებრივი მაჩვენებლების მქონე გრადუსების თვისება.

რაციონალური მაჩვენებლებით გრადუსების ძირითადი თვისებები

წინა სტატიებში განვიხილეთ რა არის ხარისხი რაციონალური (წილადი) მაჩვენებლით. მათი თვისებები იგივეა, რაც გრადუსების თვისებები მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით. Მოდი დავწეროთ:

განმარტება 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 a > 0-ისთვის, და თუ m 1 n 1 > 0 და m 2 n 2 > 0, მაშინ ≥ 0-ისთვის (პროდუქტის თვისებების სიმძლავრეები იგივე ბაზით).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 თუ a > 0 (რაოდენობრივი თვისება).

3. a b m n = a m n b m n a > 0 და b > 0-ისთვის, და თუ m 1 n 1 > 0 და m 2 n 2 > 0, მაშინ a ≥ 0 და (ან) b ≥ 0 (პროდუქტის თვისება წილადის ხარისხით).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n a > 0 და b > 0, და თუ m n > 0, მაშინ a ≥ 0 და b > 0 (ნაწილის თვისება წილადის ხარისხზე).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 a > 0-ისთვის, და თუ m 1 n 1 > 0 და m 2 n 2 > 0, მაშინ ≥ 0 (ხარისხის თვისება გრადუსი).

6.აპ< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; თუ გვ< 0 - a p >b p (ხარისხების შედარების თვისება თანაბარ რაციონალურ მაჩვენებლებთან).

7.აპ< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q 0-ზე< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

ამ დებულებების დასამტკიცებლად უნდა გვახსოვდეს, რა არის ხარისხი წილადის მაჩვენებლით, რა თვისებები აქვს n-ე ხარისხის არითმეტიკული ფესვს და რა თვისებები აქვს ხარისხს მთელი რიცხვის მაჩვენებლით. მოდით შევხედოთ თითოეულ ქონებას.

იმის მიხედვით, თუ რა არის ხარისხი წილადის მაჩვენებლით, მივიღებთ:

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 და a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, შესაბამისად, a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2

ფესვის თვისებები საშუალებას მოგვცემს გამოვიტანოთ თანასწორობა:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

აქედან ვიღებთ: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

მოდით გარდავქმნათ:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

მაჩვენებელი შეიძლება დაიწეროს როგორც:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

ეს არის მტკიცებულება. მეორე თვისებაც ზუსტად ასეა დადასტურებული. მოდით ჩამოვწეროთ თანასწორობის ჯაჭვი:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

დარჩენილი თანასწორობის მტკიცებულებები:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (ა: ბ) მ ნ = (ა: ბ) მ ნ = ა მ: ბ მ ნ = = ა მ ნ: ბ მ ნ = მ ნ: ბ მ ნ ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

შემდეგი თვისება: დავამტკიცოთ, რომ a და b 0-ზე მეტი მნიშვნელობისთვის, თუ a ნაკლებია b-ზე, შესრულდება a p.< b p , а для p больше 0 - a p >ბპ

რაციონალური რიცხვი p წარმოვიდგინოთ, როგორც m n. ამ შემთხვევაში, m არის მთელი რიცხვი, n არის ნატურალური რიცხვი. შემდეგ პირობები გვ< 0 и p >0 გაგრძელდება მ< 0 и m >0 . m > 0-ისთვის და a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

ვიყენებთ ფესვების თვისებას და გამოვიყვანთ: a m n< b m n

a და b მნიშვნელობების პოზიტიურობის გათვალისწინებით, ჩვენ გადავწერთ უტოლობას m n-ის სახით.< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

ანალოგიურად, მ< 0 имеем a a m >b m , მივიღებთ m n > b m n ასე m n > b m n და a p > b p .

ჩვენთვის რჩება ბოლო ქონების დამტკიცება. დავამტკიცოთ, რომ რაციონალური რიცხვებისთვის p და q , p > q 0-ზე< a < 1 a p < a q , а при a >0 იქნება ჭეშმარიტი a p > a q.

რაციონალური რიცხვები p და q შეიძლება შევიყვანოთ საერთო მნიშვნელამდე და მივიღოთ წილადები m 1 n და m 2 n

აქ m 1 და m 2 არის მთელი რიცხვები, ხოლო n არის ნატურალური რიცხვი. თუ p > q, მაშინ m 1 > m 2 (წილადების შედარების წესის გათვალისწინებით). შემდეგ 0-ზე< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – უტოლობა a 1 m > a 2 m .

მათი გადაწერა შესაძლებელია შემდეგი ფორმით:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

შემდეგ შეგიძლიათ გააკეთოთ ტრანსფორმაციები და მიიღოთ შედეგი:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

შეჯამება: p > q და 0-სთვის< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

გრადუსების ძირითადი თვისებები ირაციონალური მაჩვენებლებით

ყველა ზემოთ აღწერილი თვისება, რომელსაც აქვს ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლებით, შეიძლება გაფართოვდეს ასეთ ხარისხით. ეს გამომდინარეობს მისი განმარტებიდან, რომელიც ჩვენ მივეცით ერთ-ერთ წინა სტატიაში. მოკლედ ჩამოვაყალიბოთ ეს თვისებები (პირობები: a > 0 , b > 0 , ინდიკატორები p და q ირაციონალური რიცხვებია):

განმარტება 4

1. a p a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a b) p = a p b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.აპ< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >ბპ

7.აპ< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , შემდეგ a p > a q .

ამრიგად, ყველა ძალა, რომლის მაჩვენებლები p და q არის რეალური რიცხვები, იმ პირობით, რომ a > 0, აქვს იგივე თვისებები.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

გაკვეთილის შინაარსი

რა არის დიპლომი?

ხარისხირამდენიმე იდენტური ფაქტორის ნამრავლს უწოდებენ. Მაგალითად:

2×2×2

ამ გამოთქმის მნიშვნელობა არის 8

2 x 2 x 2 = 8

ამ განტოლების მარცხენა მხარე შეიძლება უფრო მოკლე იყოს - ჯერ ჩაწერეთ განმეორებადი ფაქტორი და მიუთითეთ მასზე რამდენჯერ მეორდება. განმეორებითი მამრავლი ამ შემთხვევაში არის 2. ის მეორდება სამჯერ. მაშასადამე, დიუსზე ვწერთ სამეულს:

2 3 = 8

ეს გამოთქმა ასე იკითხება: ორიდან მესამე ხარისხამდე უდრის რვას ან " 2-ის მესამე ხარისხი არის 8.

უფრო ხშირად გამოიყენება ერთი და იგივე ფაქტორების გამრავლების წერის მოკლე ფორმა. ამიტომ, უნდა გვახსოვდეს, რომ თუ სხვა რიცხვი ჩაიწერება რომელიმე რიცხვზე, მაშინ ეს არის რამდენიმე იდენტური ფაქტორის გამრავლება.

მაგალითად, თუ მოცემულია გამოთქმა 5 3, მაშინ უნდა გავითვალისწინოთ, რომ ეს გამოთქმა უდრის 5 × 5 × 5 ჩაწერას.

რიცხვს, რომელიც მეორდება, ეწოდება ხარისხის საფუძველი. გამოსახულებაში 5 3 ხარისხის საფუძველია რიცხვი 5.

და რიცხვი, რომელიც 5 რიცხვის ზემოთ არის ჩაწერილი, ეწოდება ექსპონენტი. გამოხატულებაში 5 3 მაჩვენებლის მაჩვენებელია რიცხვი 3. მაჩვენებელი გვიჩვენებს რამდენჯერ მეორდება ხარისხის ფუძე. ჩვენს შემთხვევაში, ბაზის 5 მეორდება სამჯერ.

იდენტური ფაქტორების გამრავლების ოპერაცია ეწოდება ექსპონენტაცია.

მაგალითად, თუ თქვენ უნდა იპოვოთ ოთხი იდენტური ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის 2-ს, მაშინ ამბობენ, რომ ნომერი 2 აყვანილია მეოთხე ძალამდე:

ჩვენ ვხედავთ, რომ რიცხვი 2 მეოთხე ხარისხში არის რიცხვი 16.

გაითვალისწინეთ, რომ ამ გაკვეთილში ჩვენ ვუყურებთ გრადუსი ბუნებრივი მაჩვენებლით. ეს არის ერთგვარი ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია ნატურალური რიცხვი. შეგახსენებთ, რომ ნატურალური რიცხვები არის მთელი რიცხვები, რომლებიც მეტია ნულზე. მაგალითად, 1, 2, 3 და ასე შემდეგ.

ზოგადად, ხარისხის განსაზღვრა ბუნებრივი მაჩვენებლით ასეთია:

ხარისხი აბუნებრივი მაჩვენებლით ნფორმის გამოხატულებაა a n, რომელიც უდრის პროდუქტს ნმამრავლები, რომელთაგან თითოეული უდრის ა

მაგალითები:

სიფრთხილე გმართებთ რიცხვის ხარისხამდე აწევისას. ხშირად, უყურადღებობის გამო, ადამიანი ამრავლებს ხარისხის საფუძველს ექსპონენტზე.

მაგალითად, რიცხვი 5 მეორე ხარისხზე არის ორი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის 5-ს. ეს ნამრავლი უდრის 25-ს.

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ ჩვენ უნებურად გავამრავლეთ ფუძე 5 მაჩვენებელ 2-ზე

იყო შეცდომა, რადგან რიცხვი 5 მეორე ხარისხში არ არის 10-ის ტოლი.

გარდა ამისა, უნდა აღინიშნოს, რომ რიცხვის სიძლიერე 1-ის მაჩვენებლით არის თავად რიცხვი:

მაგალითად, რიცხვი 5 პირველ ხარისხში არის თავად ნომერი 5.

შესაბამისად, თუ რიცხვს არ აქვს მაჩვენებელი, მაშინ უნდა ვივარაუდოთ, რომ მაჩვენებელი ერთის ტოლია.

მაგალითად, რიცხვები 1, 2, 3 მოცემულია მაჩვენებლის გარეშე, ამიტომ მათი მაჩვენებლები ერთის ტოლი იქნება. თითოეული ეს რიცხვი შეიძლება დაიწეროს 1-ის მაჩვენებლით

და თუ 0-ს ამაღლებ გარკვეულ სიმძლავრემდე, მიიღებ 0-ს. მართლაც, რამდენჯერაც არ უნდა გამრავლდეს არაფერი თავისთავად, არაფერი გამოვა. მაგალითები:

და გამოხატვას 0 0 აზრი არ აქვს. მაგრამ მათემატიკის ზოგიერთ ფილიალში, განსაკუთრებით ანალიზსა და სიმრავლეების თეორიაში, გამოხატულება 0 0 შეიძლება იყოს აზრი.

ტრენინგისთვის ჩვენ მოვაგვარებთ რიცხვების ხარისხზე აყვანის რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 1აწიეთ რიცხვი 3 მეორე ხარისხზე.

რიცხვი 3 მეორე ხარისხში არის ორი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის 3-ს

3 2 = 3 × 3 = 9

მაგალითი 2აწიეთ ნომერი 2 მეოთხე ხარისხზე.

რიცხვი 2 მეოთხე ხარისხამდე არის ოთხი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის 2-ს

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

მაგალითი 3აწიეთ ნომერი 2 მესამე ხარისხზე.

რიცხვი 2 მესამე ხარისხამდე არის სამი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის 2-ს

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

რიცხვი 10-ის გაძლიერება

10 რიცხვის ხარისხზე ასამაღლებლად საკმარისია ერთეულის შემდეგ ნულების რიცხვის დამატება, მაჩვენებლის ტოლი.

მაგალითად, ავწიოთ რიცხვი 10 მეორე ხარისხზე. პირველ რიგში, ჩვენ თვითონ ვწერთ რიცხვს 10 და ინდიკატორად მივუთითებთ რიცხვს 2

10 2

ახლა ვსვამთ ტოლობის ნიშანს, ვწერთ ერთს და ამის შემდეგ ვწერთ ორ ნულს, რადგან ნულების რაოდენობა უნდა იყოს მაჩვენებლის ტოლი.

10 2 = 100

ასე რომ, რიცხვი 10 მეორე ხარისხზე არის რიცხვი 100. ეს გამოწვეულია იმით, რომ რიცხვი 10 მეორე ხარისხზე არის ორი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის 10-ს.

10 2 = 10 × 10 = 100

მაგალითი 2. ავწიოთ რიცხვი 10 მესამე ხარისხზე.

ამ შემთხვევაში, ერთის შემდეგ იქნება სამი ნული:

10 3 = 1000

მაგალითი 3. ავიყვანოთ რიცხვი 10 მეოთხე ხარისხზე.

ამ შემთხვევაში, ერთის შემდეგ იქნება ოთხი ნული:

10 4 = 10000

მაგალითი 4. ავიყვანოთ რიცხვი 10 პირველ ხარისხზე.

ამ შემთხვევაში, იქნება ერთი ნული ერთის შემდეგ:

10 1 = 10

10, 100, 1000 რიცხვების წარმოდგენა 10 ფუძის მქონე ხარისხად

10, 100, 1000 და 10000 რიცხვების წარმოსადგენად ხარისხად 10 ფუძით, თქვენ უნდა დაწეროთ ფუძე 10 და მიუთითოთ რიცხვი, რომელიც ტოლია თავდაპირველ რიცხვში ნულების რიცხვის მაჩვენებლად.

გამოვსახოთ რიცხვი 10, როგორც სიმძლავრე 10 ფუძით. ვხედავთ, რომ მას აქვს ერთი ნული. ასე რომ, რიცხვი 10, როგორც სიმძლავრე 10 ფუძით, წარმოდგენილი იქნება როგორც 10 1

10 = 10 1

მაგალითი 2. გამოვსახოთ რიცხვი 100, როგორც სიმძლავრე 10 ფუძით. ჩვენ ვხედავთ, რომ რიცხვი 100 შეიცავს ორ ნულს. ასე რომ, რიცხვი 100, როგორც სიმძლავრე 10 ფუძით, წარმოდგენილი იქნება როგორც 10 2

100 = 10 2

მაგალითი 3. წარმოვიდგინოთ რიცხვი 1000, როგორც სიმძლავრე 10 ფუძით.

1 000 = 10 3

მაგალითი 4. წარმოვიდგინოთ რიცხვი 10000, როგორც სიმძლავრე 10 ფუძით.

10 000 = 10 4

უარყოფითი რიცხვის გაძლიერება

უარყოფითი რიცხვის ხარისხზე აყვანისას ის უნდა იყოს ჩასმული ფრჩხილებში.

მაგალითად, ავწიოთ უარყოფითი რიცხვი −2 მეორე ხარისხზე. რიცხვი −2 მეორე ხარისხამდე არის ორი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული ტოლია (−2)

(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4

რიცხვი -2 რომ არ ჩავსვათ ფრჩხილებში, გამოვთვლით გამოთქმას -2 2, რომელიც არ უდრის 4 . გამოთქმა -2² იქნება -4-ის ტოლი. იმის გასაგებად, თუ რატომ, შევეხოთ რამდენიმე პუნქტს.

როდესაც დადებითი რიცხვის წინ მინუსს ვდებთ, ამით ვასრულებთ საპირისპირო მნიშვნელობის აღების ოპერაცია.

ვთქვათ, მოცემულია რიცხვი 2 და თქვენ უნდა იპოვოთ მისი საპირისპირო რიცხვი. ვიცით, რომ 2-ის საპირისპირო არის −2. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, 2-ის საპირისპირო რიცხვის საპოვნელად საკმარისია ამ რიცხვის წინ მინუსი დავაყენოთ. რიცხვის წინ მინუსის ჩასმა მათემატიკაში უკვე სრულფასოვან ოპერაციად ითვლება. ამ ოპერაციას, როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, საპირისპირო მნიშვნელობის აღების ოპერაციას უწოდებენ.

−2 2 გამოხატვის შემთხვევაში ხდება ორი ოპერაცია: საპირისპირო მნიშვნელობის აღების ოპერაცია და გაძლიერება. სიმძლავრემდე აწევა უფრო პრიორიტეტული ოპერაციაა, ვიდრე საპირისპირო მნიშვნელობის მიღება.

აქედან გამომდინარე, გამოხატულება −2 2 გამოითვლება ორ ეტაპად. პირველ რიგში, შესრულებულია ექსპონენტაციის ოპერაცია. ამ შემთხვევაში დადებითი ნომერი 2 ავიდა მეორე ხარისხში.

შემდეგ მიიღეს საპირისპირო მნიშვნელობა. ეს საპირისპირო მნიშვნელობა იქნა ნაპოვნი 4-ისთვის. ხოლო 4-ის საპირისპირო მნიშვნელობა არის -4

−2 2 = −4

ფრჩხილებს აქვს შესრულების უმაღლესი უპირატესობა. მაშასადამე, (−2) 2 გამოხატვის გამოთვლის შემთხვევაში ჯერ იღებენ საპირისპირო მნიშვნელობას, შემდეგ კი უარყოფითი რიცხვი −2 ამაღლებულია მეორე ხარისხში. შედეგი არის დადებითი პასუხი 4, რადგან უარყოფითი რიცხვების ნამრავლი არის დადებითი რიცხვი.

მაგალითი 2. აწიეთ რიცხვი −2 მესამე ხარისხამდე.

რიცხვი −2 მესამე ხარისხამდე არის სამი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული ტოლია (−2)

(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8

მაგალითი 3. ასწიეთ რიცხვი −2 მეოთხე ხარისხამდე.

რიცხვი −2 მეოთხე ხარისხამდე არის ოთხი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული ტოლია (−2)

(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

ადვილი მისახვედრია, რომ უარყოფითი რიცხვის ხარისხზე აყვანისას შეიძლება მივიღოთ ან დადებითი ან უარყოფითი პასუხი. პასუხის ნიშანი დამოკიდებულია საწყისი ხარისხის მაჩვენებელზე.

თუ მაჩვენებელი ლუწია, მაშინ პასუხი არის დიახ. თუ მაჩვენებელი კენტია, პასუხი უარყოფითია. ეს ვაჩვენოთ −3 რიცხვის მაგალითზე

პირველ და მესამე შემთხვევაში მაჩვენებელი იყო კენტინომერი, ასე რომ პასუხი გახდა უარყოფითი.

მეორე და მეოთხე შემთხვევაში მაჩვენებელი იყო თუნდაცნომერი, ასე რომ პასუხი გახდა დადებითი.

მაგალითი 7აწიეთ რიცხვი -5 მესამე ხარისხზე.

რიცხვი -5 მესამე ხარისხამდე არის სამი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის -5-ს. მაჩვენებელი 3 არის კენტი რიცხვი, ამიტომ წინასწარ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ პასუხი უარყოფითი იქნება:

(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125

მაგალითი 8აწიეთ რიცხვი -4 მეოთხე ხარისხამდე.

რიცხვი -4 მეოთხე ხარისხამდე არის ოთხი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის -4-ს. ამ შემთხვევაში, მაჩვენებელი 4 არის თანაბარი, ასე რომ, წინასწარ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ პასუხი დადებითი იქნება:

(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256

გამოხატვის მნიშვნელობების მოძიება

გამონათქვამების მნიშვნელობების პოვნისას, რომლებიც არ შეიცავს ფრჩხილებს, ჯერ შესრულდება გაძლიერება, შემდეგ გამრავლება და გაყოფა მათი თანმიმდევრობით, შემდეგ კი შეკრება და გამოკლება მათი თანმიმდევრობით.

მაგალითი 1. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 2 + 5 2

პირველ რიგში, ექსპონენტაცია ხორციელდება. ამ შემთხვევაში რიცხვი 5 ამაღლებულია მეორე ხარისხზე - გამოდის 25. შემდეგ ეს შედეგი ემატება 2 რიცხვს.

2 + 5 2 = 2 + 25 = 27

მაგალითი 10. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა −6 2 × (−12)

პირველ რიგში, ექსპონენტაცია ხორციელდება. გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვი −6 არ არის ფრჩხილებში, ამიტომ რიცხვი 6 ამაღლდება მეორე ხარისხზე, შემდეგ მინუსი დაიდება შედეგის წინ:

−6 2 × (−12) = −36 × (−12)

ჩვენ ვასრულებთ მაგალითს −36-ზე (−12)-ზე გამრავლებით.

−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432

მაგალითი 11. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა −3 × 2 2

პირველ რიგში, ექსპონენტაცია ხორციელდება. შემდეგ შედეგი მრავლდება რიცხვით -3

−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12

თუ გამოთქმა შეიცავს ფრჩხილებს, მაშინ ჯერ უნდა შეასრულოთ მოქმედებები ამ ფრჩხილებში, შემდეგ გაძლიერება, შემდეგ გამრავლება და გაყოფა, შემდეგ კი შეკრება და გამოკლება.

მაგალითი 12. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5

ჯერ ფრჩხილები გავაკეთოთ. ფრჩხილებში ვიყენებთ ადრე ნასწავლ წესებს, კერძოდ, ჯერ ავწიოთ რიცხვი 3 მეორე ხარისხზე, შემდეგ ვაწარმოოთ გამრავლება 1 × 3, შემდეგ დავამატოთ 3 რიცხვის სიმძლავრეზე აწევის და 1 × 3-ის გამრავლების შედეგები. შემდეგ გამოკლება და შეკრება ხდება მათი გამოჩენის თანმიმდევრობით. მოდით მოვაწყოთ მოქმედების შესრულების შემდეგი თანმიმდევრობა თავდაპირველ გამონათქვამზე:

(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2

მაგალითი 13. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 2 × 5 3 + 5 × 2 3

ჯერ ციფრებს ვზრდით ხარისხზე, შემდეგ ვასრულებთ გამრავლებას და ვამატებთ შედეგებს:

2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290

ძალაუფლების იდენტობის გარდაქმნები

სხვადასხვა იდენტური გარდაქმნები შეიძლება შესრულდეს ძალაუფლებაზე, რითაც გამარტივდება ისინი.

დავუშვათ, რომ საჭირო იყო გამოთვლა (2 3) 2 . ამ მაგალითში, ორიდან მესამე ხარისხამდე ამაღლებულია მეორე ხარისხზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ხარისხი ამაღლებულია სხვა ხარისხით.

(2 3) 2 არის ორი სიმძლავრის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის 2 3-ს

უფრო მეტიც, თითოეული ეს ძალა არის სამი ფაქტორის პროდუქტი, რომელთაგან თითოეული უდრის 2-ს

მივიღეთ ნამრავლი 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, რაც უდრის 64-ს. ასე რომ, გამოსახულების მნიშვნელობა (2 3) 2 ან ტოლია 64-ის

ეს მაგალითი შეიძლება მნიშვნელოვნად გამარტივდეს. ამისთვის გამოთქმის (2 3) 2 ინდიკატორები შეიძლება გამრავლდეს და ეს ნამრავლი ჩაიწეროს 2 ფუძეზე.

მივიღე 26. ორიდან მეექვსე ხარისხამდე არის ექვსი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის 2-ს. ეს ნამრავლი უდრის 64-ს.

ეს თვისება მუშაობს, რადგან 2 3 არის 2 × 2 × 2-ის ნამრავლი, რომელიც თავის მხრივ ორჯერ მეორდება. შემდეგ გამოდის, რომ ბაზა 2 მეორდება ექვსჯერ. აქედან შეგვიძლია დავწეროთ, რომ 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 არის 2 6

ზოგადად, ნებისმიერი მიზეზის გამო აინდიკატორებით მდა ნ, მოქმედებს შემდეგი თანასწორობა:

(a n)m = a n × m

ამ იდენტურ ტრანსფორმაციას ე.წ ექსპონენტაცია. მისი წაკითხვა შეიძლება ასე: ”როდესაც სიმძლავრე ძლიერდება, ბაზა უცვლელი რჩება და მაჩვენებლები მრავლდება” .

ინდიკატორების გამრავლების შემდეგ, თქვენ მიიღებთ სხვა ხარისხს, რომლის ღირებულებაც შეგიძლიათ იპოვოთ.

მაგალითი 2. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა (3 2) 2

ამ მაგალითში საფუძველი არის 3, ხოლო რიცხვები 2 და 2 არის მაჩვენებლები. გამოვიყენოთ გაძლიერების წესი. ჩვენ ვტოვებთ საფუძველს უცვლელად და ვამრავლებთ ინდიკატორებს:

მივიღე 3 4. და რიცხვი 3 მეოთხე ხარისხში არის 81

მოდით შევხედოთ დანარჩენ გარდაქმნებს.

სიმძლავრის გამრავლება

გრადუსების გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ თითოეული ხარისხი და გაამრავლოთ შედეგები.

მაგალითად, გავამრავლოთ 2 2 3 3-ზე.

2 2 არის ნომერი 4 და 3 3 არის ნომერი 27 . ვამრავლებთ რიცხვებს 4 და 27, მივიღებთ 108-ს

2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108

ამ მაგალითში ძალაუფლების საფუძვლები განსხვავებული იყო. თუ ფუძეები ერთი და იგივეა, მაშინ შეიძლება დაიწეროს ერთი ფუძე და ინდიკატორად ჩაწეროთ საწყისი გრადუსების ინდიკატორების ჯამი.

მაგალითად, გაამრავლეთ 2 2 2 3-ზე

ამ მაგალითში, ექსპონენტებს აქვთ იგივე საფუძველი. ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ დაწეროთ ერთი ფუძე 2 და ჩაწეროთ 2 2 და 2 3 მაჩვენებლების ჯამი, როგორც მაჩვენებელი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დატოვეთ საფუძველი უცვლელი და დაამატეთ ორიგინალური გრადუსების მაჩვენებლები. ეს ასე გამოიყურება:

მივიღე 25. ნომერი 2 მეხუთე ხარისხამდე არის 32

ეს თვისება მუშაობს, რადგან 2 2 არის 2 × 2-ის ნამრავლი და 2 3 არის 2 × 2 × 2-ის ნამრავლი. შემდეგ მიიღება ხუთი იდენტური ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის 2-ს. ეს პროდუქტი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 2 5

ზოგადად, ნებისმიერი ადა ინდიკატორები მდა ნმოქმედებს შემდეგი თანასწორობა:

ამ იდენტურ ტრანსფორმაციას ე.წ ხარისხის მთავარი თვისება. მისი წაკითხვა შეიძლება ასე: პძალაუფლების ერთსა და იმავე ფუძეზე გამრავლებისას ფუძე უცვლელი რჩება და ემატება მაჩვენებლები. .

გაითვალისწინეთ, რომ ეს ტრანსფორმაცია შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი რაოდენობის გრადუსზე. მთავარი ის არის, რომ ბაზა იგივეა.

მაგალითად, ვიპოვოთ 2 1 × 2 2 × 2 3 გამოხატვის მნიშვნელობა. ფონდი 2

ზოგიერთ პრობლემაში შესაძლოა საკმარისი იყოს შესაბამისი ტრანსფორმაციის შესრულება საბოლოო ხარისხის გამოთვლის გარეშე. ეს, რა თქმა უნდა, ძალიან მოსახერხებელია, რადგან არც ისე ადვილია დიდი სიმძლავრის გამოთვლა.

მაგალითი 1. სიმძლავრის სახით გამოხატეთ გამოხატულება 5 8 × 25

ამ პრობლემაში, თქვენ უნდა გააკეთოთ ის ისე, რომ 5 8 × 25 გამოხატვის ნაცვლად, ერთი ხარისხი მიიღება.

რიცხვი 25 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 5 2 . შემდეგ ვიღებთ შემდეგ გამონათქვამს:

ამ გამონათქვამში შეგიძლიათ გამოიყენოთ ხარისხის ძირითადი თვისება - დატოვეთ 5 ბაზა უცვლელი და დაამატეთ ინდიკატორები 8 და 2:

მოკლედ დავწეროთ გამოსავალი:

მაგალითი 2. სიმძლავრის სახით გამოხატეთ გამოხატულება 2 9 × 32

რიცხვი 32 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 2 5 . შემდეგ მივიღებთ გამოხატვას 2 9 × 2 5 . შემდეგი, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ხარისხის საბაზისო თვისება - დატოვეთ საფუძველი 2 უცვლელი და დაამატეთ ინდიკატორები 9 და 5. ეს გამოიწვევს შემდეგ გადაწყვეტას:

მაგალითი 3. გამოთვალეთ 3 × 3 პროდუქტი ძირითადი სიმძლავრის თვისების გამოყენებით.

ყველამ კარგად იცის, რომ სამჯერ სამი უდრის ცხრას, მაგრამ ამოცანა მოითხოვს ხარისხის ძირითადი თვისების გამოყენებას ამოხსნის პროცესში. Როგორ გავაკეთო ეს?

შეგახსენებთ, რომ თუ რიცხვი მოცემულია ინდიკატორის გარეშე, მაშინ მაჩვენებელი უნდა ჩაითვალოს ერთის ტოლი. ასე რომ, 3 და 3 ფაქტორები შეიძლება დაიწეროს როგორც 3 1 და 3 1

3 1 × 3 1

ახლა ჩვენ ვიყენებთ ხარისხის ძირითად თვისებას. ჩვენ ვტოვებთ საფუძველს 3 უცვლელად და ვამატებთ ინდიკატორებს 1 და 1:

3 1 × 3 1 = 3 2 = 9

მაგალითი 4. გამოთვალეთ პროდუქტი 2 × 2 × 3 2 × 3 3 ძირითადი სიმძლავრის თვისების გამოყენებით.

ჩვენ ვცვლით პროდუქტს 2 × 2 2 1 × 2 1-ით, შემდეგ 2 1 + 1-ით და შემდეგ 2 2-ით. 3 2 × 3 3-ის ნამრავლი იცვლება 3 2 + 3-ით და შემდეგ 3 5-ით

მაგალითი 5. შეასრულეთ გამრავლება x × x

ეს არის ორი იდენტური ანბანური ფაქტორი ინდიკატორებით 1. სიცხადისთვის ჩვენ ჩამოვწერთ ამ ინდიკატორებს. შემდგომი ბაზა xდატოვე უცვლელი და დაამატეთ ინდიკატორები:

დაფაზე ყოფნისას არ უნდა ჩაიწეროს ძალაუფლების გამრავლება იმავე ფუძეებით ისე დეტალურად, როგორც აქ კეთდება. ასეთი გამოთვლები უნდა გაკეთდეს გონებაში. დეტალური ჩანაწერი დიდი ალბათობით გააღიზიანებს მასწავლებელს და ის ამისთვის ნიშანს დააკლებს. აქ მოცემულია დეტალური ჩანაწერი, რათა მასალა მაქსიმალურად ხელმისაწვდომი იყოს გასაგებად.

ამ მაგალითის გამოსავალი ასე უნდა დაიწეროს:

მაგალითი 6. შეასრულეთ გამრავლება x 2 × x

მეორე ფაქტორის ინდექსი ერთის ტოლია. მოდით ჩამოვწეროთ სიცხადისთვის. შემდეგი, ჩვენ ვტოვებთ ბაზას უცვლელად და ვამატებთ ინდიკატორებს:

მაგალითი 7. შეასრულეთ გამრავლება წ 3 წ 2 წ

მესამე ფაქტორის ინდექსი ერთის ტოლია. მოდით ჩამოვწეროთ სიცხადისთვის. შემდეგი, ჩვენ ვტოვებთ ბაზას უცვლელად და ვამატებთ ინდიკატორებს:

მაგალითი 8. შეასრულეთ გამრავლება aa 3 a 2 a 5

პირველი ფაქტორის ინდექსი ერთის ტოლია. მოდით ჩამოვწეროთ სიცხადისთვის. შემდეგი, ჩვენ ვტოვებთ ბაზას უცვლელად და ვამატებთ ინდიკატორებს:

მაგალითი 9. გამოხატეთ 3 8-ის სიმძლავრე, როგორც ძალაუფლების ნამრავლი იმავე ფუძით.

ამ პრობლემაში თქვენ უნდა გააკეთოთ ძალაუფლების ნამრავლი, რომლის ფუძეები უდრის 3-ს, ხოლო მაჩვენებლების ჯამი იქნება 8-ის ტოლი. შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ინდიკატორი. ჩვენ წარმოვადგენთ 3 8 ხარისხს 3 5 და 3 3 ხარისხების ნამრავლად

ამ მაგალითში ჩვენ კვლავ ვეყრდნობოდით ხარისხის ძირითად თვისებას. ბოლოს და ბოლოს, გამონათქვამი 3 5 × 3 3 შეიძლება დაიწეროს როგორც 3 5 + 3, საიდანაც 3 8 .

რა თქმა უნდა, შესაძლებელი იყო სიმძლავრის 3 8 წარმოდგენა, როგორც სხვა ძალების პროდუქტი. მაგალითად, სახით 3 7 × 3 1, რადგან ეს პროდუქტი ასევე არის 3 8

ხარისხის წარმოდგენა, როგორც ძალაუფლების პროდუქტი ერთი და იგივე ბაზისით, ძირითადად შემოქმედებითი სამუშაოა. ასე რომ, ნუ შეგეშინდებათ ექსპერიმენტების.

მაგალითი 10. წარადგინეთ ხარისხი x 12, როგორც სიმძლავრის სხვადასხვა პროდუქტი ბაზებით x .

გამოვიყენოთ ხარისხის მთავარი თვისება. წარმოიდგინე x 12 როგორც პროდუქტები ბაზებით x, და რომლის მაჩვენებლების ჯამი უდრის 12-ს

სიცხადისთვის დაფიქსირდა კონსტრუქციები ინდიკატორთა ჯამებით. უმეტეს შემთხვევაში, მათი გამოტოვება შესაძლებელია. შემდეგ მივიღებთ კომპაქტურ გადაწყვეტას:

პროდუქტის ექსპონენტაცია

პროდუქტის სიმძლავრემდე ასამაღლებლად, თქვენ უნდა ააწიოთ ამ პროდუქტის თითოეული ფაქტორი მითითებულ სიმძლავრემდე და გაამრავლოთ შედეგები.

მაგალითად, ავიყვანოთ პროდუქტი 2 × 3 მეორე ხარისხზე. ჩვენ ვიღებთ ამ პროდუქტს ფრჩხილებში და ვაჩვენებთ 2-ს, როგორც ინდიკატორს

ახლა მოდით ავიყვანოთ 2 × 3 პროდუქტის თითოეული კოეფიციენტი მეორე ხარისხზე და გავამრავლოთ შედეგები:

ამ წესის მოქმედების პრინციპი ემყარება იმ ხარისხის განსაზღვრას, რომელიც თავიდანვე იქნა მოცემული.

პროდუქტის 2 × 3 მეორე ხარისხზე აწევა ნიშნავს ამ პროდუქტის ორჯერ გამეორებას. და თუ ორჯერ გაიმეორეთ, შეგიძლიათ მიიღოთ შემდეგი:

2×3×2×3

ფაქტორების ადგილების პერმუტაციიდან პროდუქტი არ იცვლება. ეს საშუალებას გაძლევთ დააჯგუფოთ იგივე მულტიპლიკატორები:

2×2×3×3

განმეორებადი მულტიპლიკატორები შეიძლება შეიცვალოს მოკლე ჩანაწერებით - ბაზები ექსპონენტებით. 2 × 2 პროდუქტი შეიძლება შეიცვალოს 2 2-ით, ხოლო 3 × 3 პროდუქტი შეიძლება შეიცვალოს 3 2-ით. შემდეგ გამოხატულება 2 × 2 × 3 × 3 იქცევა გამოხატულებაში 2 2 × 3 2 .

დაე იყოს აბორიგინალური ნამუშევარი. ამ პროდუქტის ძალაზე აყვანა ნ, ცალკე უნდა წამოწიოთ ფაქტორები ადა ბმითითებულ ხარისხში ნ

ეს ქონება მოქმედებს ნებისმიერი რაოდენობის ფაქტორებზე. ასევე მოქმედებს შემდეგი გამონათქვამები:

მაგალითი 2. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა (2 × 3 × 4) 2

ამ მაგალითში თქვენ უნდა გაზარდოთ პროდუქტი 2 × 3 × 4 მეორე სიმძლავრისკენ. ამისათვის თქვენ უნდა გაზარდოთ ამ პროდუქტის თითოეული ფაქტორი მეორე ხარისხზე და გაამრავლოთ შედეგები:

მაგალითი 3. აწიეთ პროდუქტი მესამე ძალამდე a×b×c

ჩვენ ვამაგრებთ ამ პროდუქტს ფრჩხილებში და ინდიკატორად მივუთითებთ რიცხვს 3

მაგალითი 4. აწიეთ პროდუქტი მესამე ხარისხზე 3 xyz

ჩვენ ვამაგრებთ ამ პროდუქტს ფრჩხილებში და აღვნიშნავთ 3-ს, როგორც ინდიკატორს

(3xyz) 3

მოდით ავიყვანოთ ამ პროდუქტის თითოეული ფაქტორი მესამე ხარისხზე:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 წ 3 ზ 3

რიცხვი 3 მესამე ხარისხამდე უდრის რიცხვს 27. დანარჩენს უცვლელად ვტოვებთ:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 წ 3 ზ 3 = 27x 3 წ 3 ზ 3

ზოგიერთ მაგალითში, ძალაუფლების გამრავლება იგივე მაჩვენებლებით შეიძლება შეიცვალოს იმავე მაჩვენებლის მქონე ფუძეების ნამრავლით.

მაგალითად, გამოვთვალოთ 5 2 × 3 2 გამოხატვის მნიშვნელობა. აწიეთ თითოეული რიცხვი მეორე ხარისხზე და გაამრავლეთ შედეგები:

5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225

მაგრამ თქვენ არ შეგიძლიათ გამოთვალოთ თითოეული ხარისხი ცალკე. სამაგიეროდ, სიმძლავრეების ეს ნამრავლი შეიძლება შეიცვალოს ნამრავლით ერთი მაჩვენებლით (5 × 3) 2 . შემდეგი, გამოთვალეთ მნიშვნელობა ფრჩხილებში და გაზარდეთ შედეგი მეორე ხარისხზე:

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

ამ შემთხვევაში კვლავ გამოიყენეს პროდუქტის ექსპონენტაციის წესი. ბოლოს და ბოლოს, თუ (a x b)ნ = a n × b n , მაშინ a n × b n = (a × b) n. ანუ განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარე შებრუნებულია.

ექსპონენტაცია

ჩვენ განვიხილეთ ეს ტრანსფორმაცია, როგორც მაგალითი, როდესაც ვცდილობდით გაგვეგო ხარისხების იდენტური გარდაქმნების არსი.

სიმძლავრის სიმძლავრემდე აყვანისას, საფუძველი უცვლელი რჩება და მაჩვენებლები მრავლდება:

(a n)m = a n × m

მაგალითად, გამოთქმა (2 3) 2 არის სიმძლავრის ძლიერებამდე აწევა - ორი მესამე ხარისხზე ამაღლებულია მეორე ხარისხზე. ამ გამოხატვის მნიშვნელობის საპოვნელად, ბაზისი შეიძლება დარჩეს უცვლელი, ხოლო ექსპონენტები შეიძლება გამრავლდეს:

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

ეს წესი ეფუძნება წინა წესებს: პროდუქტის გაძლიერებას და ხარისხის ძირითად თვისებას.

დავუბრუნდეთ გამოთქმას (2 3) 2 . 2 3 ფრჩხილებში გამოსახვა არის სამი იდენტური ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის 2-ს. შემდეგ გამოსახულებაში (2 3) 2, ფრჩხილებში არსებული სიმძლავრე შეიძლება შეიცვალოს ნამრავლით 2 × 2 × 2.

(2×2×2) 2

და ეს არის პროდუქტის ექსპონენტაცია, რომელიც ადრე შევისწავლეთ. შეგახსენებთ, რომ პროდუქტის სიმძლავრემდე ასამაღლებლად, თქვენ უნდა გაზარდოთ ამ პროდუქტის თითოეული ფაქტორი მითითებულ სიმძლავრემდე და გაამრავლოთ შედეგები:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2

ახლა საქმე გვაქვს ხარისხის ძირითად თვისებასთან. ჩვენ ვტოვებთ ბაზას უცვლელად და ვამატებთ ინდიკატორებს:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

როგორც ადრე, მივიღეთ 26. ამ ხარისხის ღირებულებაა 64

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

პროდუქტი, რომლის ფაქტორებიც ასევე სიმძლავრეა, ასევე შეიძლება გაიზარდოს სიმძლავრემდე.

მაგალითად, ვიპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა (2 2 × 3 2) 3 . აქ, თითოეული მულტიპლიკატორის ინდიკატორები უნდა გამრავლდეს მთლიან მაჩვენებელზე 3. შემდეგი, იპოვნეთ თითოეული ხარისხის მნიშვნელობა და გამოთვალეთ პროდუქტი:

(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656

დაახლოებით იგივე ხდება პროდუქტის სიმძლავრის ამაღლებისას. ჩვენ ვთქვით, რომ პროდუქტის სიმძლავრემდე აყვანისას, ამ პროდუქტის თითოეული ფაქტორი ამაღლებულია მითითებულ სიმძლავრემდე.

მაგალითად, 2 × 4 ნამრავლის მესამე ხარისხზე ასამაღლებლად, თქვენ უნდა დაწეროთ შემდეგი გამოხატულება:

მაგრამ ადრე ითქვა, რომ თუ რიცხვი მოცემულია ინდიკატორის გარეშე, მაშინ მაჩვენებელი უნდა ჩაითვალოს ერთის ტოლი. გამოდის, რომ 2 × 4 ნამრავლის ფაქტორებს თავდაპირველად აქვთ 1-ის ტოლი მაჩვენებლები. ეს ნიშნავს, რომ გამოხატულება 2 1 × 4 1 ​​ამაღლდა მესამე ხარისხზე. და ეს არის ხარისხის ამაღლება ძალაუფლებამდე.

გადავიწეროთ ამონახსნი სიმძლავრის წესის გამოყენებით. იგივე შედეგი უნდა მივიღოთ:

მაგალითი 2. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა (3 3) 2

ჩვენ ვტოვებთ საფუძველს უცვლელად და ვამრავლებთ ინდიკატორებს:

მივიღე 3 6. რიცხვი 3 მეექვსე ხარისხში არის რიცხვი 729

მაგალითი 3xy)³

მაგალითი 4. შეასრულეთ ექსპონენტაცია გამოხატვაში ( abc)⁵

მოდით ავიყვანოთ პროდუქტის თითოეული ფაქტორი მეხუთე ხარისხზე:

მაგალითი 5ნაჯახი) 3

მოდით ავიყვანოთ პროდუქტის თითოეული ფაქტორი მესამე ხარისხზე:

ვინაიდან უარყოფითი რიცხვი −2 გაიზარდა მესამე ხარისხში, იგი აღებულია ფრჩხილებში.

მაგალითი 6. შეასრულეთ ექსპონენცია გამოხატულებაში (10 xy) 2

მაგალითი 7. შეასრულეთ ექსპონენტაცია გამოსახულებაში (−5 x) 3

მაგალითი 8. შეასრულეთ ექსპონენტაცია გამოსახულებაში (−3 წ) 4

მაგალითი 9. შეასრულეთ ექსპონენტაცია გამოსახულებაში (−2 აბქს)⁴

მაგალითი 10. გამოხატვის გამარტივება x 5×( x 2) 3

ხარისხი x 5 ამ დროისთვის უცვლელი დარჩება და გამოხატულებაში ( x 2) 3 შეასრულეთ სიმძლავრეზე სიმძლავრე:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6

ახლა გავაკეთოთ გამრავლება x 5 × x 6. ამისთვის ვიყენებთ ხარისხის ძირითად თვისებას - ფუძეს xდატოვე უცვლელი და დაამატეთ ინდიკატორები:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6 = x 5 + 6 = x 11

მაგალითი 9. იპოვეთ 4 3 × 2 2 გამოხატვის მნიშვნელობა ხარისხის ძირითადი თვისების გამოყენებით.

ხარისხის ძირითადი თვისება შეიძლება გამოყენებულ იქნას, თუ საწყისი გრადუსების საფუძვლები იგივეა. ამ მაგალითში, საფუძვლები განსხვავებულია, ამიტომ, დასაწყისისთვის, ორიგინალური გამონათქვამი ოდნავ უნდა შეიცვალოს, კერძოდ, რომ გრადუსების საფუძვლები გახდეს იგივე.

მოდით ყურადღებით დავაკვირდეთ 4 3-ის სიმძლავრეს. ამ ხარისხის საფუძველია რიცხვი 4, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 2 2 . შემდეგ ორიგინალური გამოხატულება მიიღებს (2 2) 3 × 2 2 ფორმას. გამოსახულებაში (2 2) 3 ხარისხზე გაზომვით მივიღებთ 2 6-ს. შემდეგ ორიგინალური გამოხატულება მიიღებს 2 6 × 2 2 ფორმას, რომელიც შეიძლება გამოითვალოს ხარისხის ძირითადი თვისების გამოყენებით.

მოდით დავწეროთ ამ მაგალითის ამოხსნა:

უფლებამოსილებების დაყოფა

სიმძლავრის გაყოფის შესასრულებლად, თქვენ უნდა იპოვოთ თითოეული სიმძლავრის მნიშვნელობა, შემდეგ შეასრულოთ ჩვეულებრივი რიცხვების დაყოფა.

მაგალითად, გავყოთ 4 3 2 2-ზე.

გამოთვალეთ 4 3, მივიღებთ 64-ს. ვიანგარიშებთ 2 2-ს, ვიღებთ 4-ს. ახლა ვყოფთ 64-ს 4-ზე, მივიღებთ 16-ს.

თუ ფუძის გრადუსების გაყოფისას ისინი ერთნაირი აღმოჩნდებიან, მაშინ ფუძე შეიძლება დარჩეს უცვლელი, ხოლო გამყოფის მაჩვენებლის გამოკლება დივიდენდის მაჩვენებელს.

მაგალითად, ვიპოვოთ გამოთქმის მნიშვნელობა 2 3: 2 2

ჩვენ ვტოვებთ საფუძველს 2 უცვლელად და გამოვაკლებთ გამყოფის მაჩვენებელს დივიდენდის მაჩვენებელს:

ასე რომ, გამოხატვის 2 3: 2 2 მნიშვნელობა არის 2.

ეს თვისება ეფუძნება ძალაუფლების გამრავლებას იმავე ფუძეებით, ან, როგორც ვამბობდით, ხარისხის ძირითად თვისებას.

დავუბრუნდეთ წინა მაგალითს 2 3: 2 2 . აქ დივიდენდი არის 2 3 და გამყოფი არის 2 2.

ერთი რიცხვის მეორეზე გაყოფა ნიშნავს ისეთი რიცხვის პოვნას, რომელიც გამყოფზე გამრავლებისას გამოვა დივიდენდი.

ჩვენს შემთხვევაში, 2 3-ის 2 2-ზე გაყოფა ნიშნავს სიმძლავრის პოვნას, რომელიც გამყოფზე 2 2-ზე გამრავლებისას მივიღებთ 2 3-ს. რა სიმძლავრე შეიძლება გავამრავლოთ 2 2-ზე, რომ მივიღოთ 2 3? ცხადია, მხოლოდ ხარისხი 2 1 . ხარისხის ძირითადი თვისებიდან გვაქვს:

თქვენ შეგიძლიათ დაადასტუროთ, რომ გამოხატვის მნიშვნელობა 2 3: 2 2 არის 2 1, გამოხატვის 2 3: 2 2 პირდაპირ შეფასებით. ამისათვის ჯერ ვიპოვით 2 3 ხარისხის მნიშვნელობას, მივიღებთ 8-ს. შემდეგ ვიპოვით 2 2 ხარისხის მნიშვნელობას, მივიღებთ 4-ს. გავყოთ 8 4-ზე, მივიღებთ 2 ან 2 1 , ვინაიდან 2 = 2 1 .

2 3: 2 2 = 8: 4 = 2

ამრიგად, ძალაუფლების ერთიდაიგივე ფუძით გაყოფისას მოქმედებს შემდეგი თანასწორობა:

შეიძლება ასევე მოხდეს, რომ არა მხოლოდ ბაზები, არამედ ინდიკატორებიც ერთნაირი იყოს. ამ შემთხვევაში პასუხი ერთი იქნება.

მაგალითად, ვიპოვოთ გამოთქმის მნიშვნელობა 2 2: 2 2 . მოდით გამოვთვალოთ თითოეული ხარისხის მნიშვნელობა და შევასრულოთ მიღებული რიცხვების გაყოფა:

მაგალითი 2 2: 2 2 ამოხსნისას, ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგივე საფუძვლებით გრადუსების გაყოფის წესი. შედეგი არის რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრისკენ, რადგან სხვაობა 2 2 და 2 2 მაჩვენებლებს შორის არის ნული:

რატომ უდრის რიცხვი 2 ნულოვან გრადუსამდე, ზემოთ გავარკვიეთ. თუ თქვენ გამოთვალეთ 2 2: 2 2 ჩვეულებრივი გზით, გრადუსების გაყოფის წესის გამოყენების გარეშე, მიიღებთ ერთს.

მაგალითი 2. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა 4 12: 4 10

ვტოვებთ 4-ს უცვლელად და გამოვაკლებთ გამყოფის მაჩვენებელს დივიდენდის მაჩვენებელს:

4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

მაგალითი 3. პირადი შეტყობინების გაგზავნა x 3: xროგორც ხარისხი ფუძით x

გამოვიყენოთ უფლებამოსილების განაწილების წესი. ბაზა xდატოვე უცვლელი და გამოაკელი გამყოფის მაჩვენებელი დივიდენდის მაჩვენებელს. გამყოფის მაჩვენებელი უდრის ერთს. სიცხადისთვის, მოდით დავწეროთ:

მაგალითი 4. პირადი შეტყობინების გაგზავნა x 3: x 2, როგორც ძალა ბაზით x

გამოვიყენოთ უფლებამოსილების განაწილების წესი. ბაზა x

გრადუსების დაყოფა შეიძლება დაიწეროს წილადად. ასე რომ, წინა მაგალითი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება დაიწეროს გაფართოებული ფორმით, კერძოდ, იდენტური ფაქტორების ნამრავლების სახით. ხარისხი x 3 შეიძლება დაიწეროს როგორც x × x × xდა ხარისხი x 2 როგორც x × x. შემდეგ მშენებლობა x 3 − 2 შეიძლება გამოტოვოთ და გამოიყენოთ წილადის შემცირება. მრიცხველში და მნიშვნელში შესაძლებელი იქნება თითოეულის ორი ფაქტორის შემცირება x. შედეგი იქნება ერთი მულტიპლიკატორი x

ან კიდევ უფრო მოკლე:

ასევე, სასარგებლოა ძალებისგან შემდგარი ფრაქციების სწრაფად შემცირება. მაგალითად, წილადი შეიძლება შემცირდეს x 2. წილადის შესამცირებლად x 2 თქვენ უნდა გაყოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი x 2

ხარისხების დაყოფა არ შეიძლება დეტალურად იყოს აღწერილი. ზემოაღნიშნული აბრევიატურა შეიძლება უფრო მოკლე იყოს:

ან კიდევ უფრო მოკლე:

მაგალითი 5. განახორციელეთ გაყოფა x 12 : x 3

გამოვიყენოთ უფლებამოსილების განაწილების წესი. ბაზა xდატოვე უცვლელი და გამოაკელი გამყოფის მაჩვენებელი დივიდენდის მაჩვენებელს:

ამოხსნას ვწერთ წილადის შემცირების გამოყენებით. უფლებამოსილებების დაყოფა x 12 : x 3 დაიწერება როგორც . შემდეგი, ჩვენ ვამცირებთ ამ წილადს x 3 .

მაგალითი 6. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

მრიცხველში ვასრულებთ ძალაუფლების გამრავლებას იგივე საფუძვლებით:

ახლა ჩვენ ვიყენებთ უფლებათა გაყოფის წესს იგივე საფუძვლებით. ჩვენ ვტოვებთ ფუძე 7-ს უცვლელად და გამოვაკლებთ გამყოფის მაჩვენებელს დივიდენდის მაჩვენებელს:

ჩვენ ვასრულებთ მაგალითს 7 2-ის სიმძლავრის გამოთვლით

მაგალითი 7. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

შევასრულოთ მრიცხველში მაჩვენებლები. თქვენ უნდა გააკეთოთ ეს გამონათქვამით (2 3) 4

ახლა შევასრულოთ ხარისხების გამრავლება იგივე ფუძეებით მრიცხველში.

მათემატიკაში ხარისხის ცნება შემოღებულია უკვე მე-7 კლასში ალგებრის გაკვეთილზე. და მომავალში, მათემატიკის შესწავლის განმავლობაში, ეს კონცეფცია აქტიურად გამოიყენება სხვადასხვა ფორმით. ხარისხი საკმაოდ რთული თემაა, რომელიც მოითხოვს ღირებულებების დამახსოვრებას და სწორად და სწრაფად დათვლის უნარს. მათემატიკის ხარისხებთან უფრო სწრაფი და უკეთესი მუშაობისთვის, მათ მიიღეს ხარისხის თვისებები. ისინი ხელს უწყობენ დიდი გამოთვლების შემცირებას, უზარმაზარი მაგალითის გარკვეულ რიცხვად გადაქცევას. ამდენი თვისება არ არის და ყველა მათგანი ადვილად დასამახსოვრებელი და პრაქტიკაში გამოყენებაა. აქედან გამომდინარე, სტატიაში განხილულია ხარისხის ძირითადი თვისებები, ასევე სად გამოიყენება ისინი.

ხარისხის თვისებები

ჩვენ განვიხილავთ ხარისხის 12 თვისებას, მათ შორის ერთიდაიგივე ფუძის მქონე ძალაუფლების თვისებებს და მოვიყვანთ მაგალითს თითოეული თვისებისთვის. თითოეული ეს თვისება დაგეხმარებათ გადაჭრათ პრობლემები ხარისხით უფრო სწრაფად, ასევე დაზოგოთ მრავალი გამოთვლითი შეცდომისგან.

1-ლი ქონება.

ბევრი ადამიანი ხშირად ივიწყებს ამ თვისებას, უშვებს შეცდომებს, ნულოვანი ხარისხით რიცხვს ნულის სახით წარმოადგენს.

მე-2 ქონება.

მე-3 ქონება.

უნდა გვახსოვდეს, რომ ამ თვისების გამოყენება შესაძლებელია მხოლოდ რიცხვების გამრავლებისას, ის არ მუშაობს ჯამით! და არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ ეს და შემდეგი თვისებები ვრცელდება მხოლოდ იმავე ბაზის მქონე ძალებზე.

მე-4 ქონება.

თუ მნიშვნელში რიცხვი ამაღლებულია უარყოფით ხარისხზე, მაშინ გამოკლებისას მნიშვნელის ხარისხი აღებულია ფრჩხილებში, რათა სწორად შეიცვალოს ნიშანი შემდგომი გამოთვლებით.

ქონება მუშაობს მხოლოდ გაყოფისას და არა გამოკლებისას!

მე-5 ქონება.

მე-6 ქონება.

ეს თვისება ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას საპირისპიროდ. ერთეული, რომელიც გარკვეულწილად იყოფა რიცხვზე, არის ეს რიცხვი უარყოფით ხარისხზე.

მე-7 ქონება.

ეს თვისება არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ჯამზე და განსხვავებაზე! ჯამის ან სხვაობის ხარისხზე გაზრდისას გამოიყენება გამრავლების შემოკლებული ფორმულები და არა სიმძლავრის თვისებები.

მე-8 ქონება.

მე-9 ქონება.

ეს თვისება მუშაობს ნებისმიერ წილად ხარისხზე ერთის ტოლი მრიცხველით, ფორმულა იგივე იქნება, მხოლოდ ფესვის ხარისხი შეიცვლება ხარისხის მნიშვნელის მიხედვით.

ასევე, ეს ქონება ხშირად გამოიყენება საპირისპირო თანმიმდევრობით. რიცხვის ნებისმიერი სიმძლავრის ფესვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც ეს რიცხვი ერთის ხარისხში გაყოფილი ფესვის ხარისხზე. ეს თვისება ძალიან სასარგებლოა იმ შემთხვევებში, როდესაც რიცხვის ფესვი არ არის ამოღებული.

მე-10 ქონება.

ეს ქონება მუშაობს არა მხოლოდ კვადრატული ფესვით და მეორე ხარისხით. თუ ფესვის ხარისხი და ამ ფესვის ამაღლების ხარისხი ერთნაირია, მაშინ პასუხი იქნება რადიკალური გამოხატულება.

მე-11 ქონება.

თქვენ უნდა შეძლოთ ამ თვისების დროულად დანახვა მისი ამოხსნისას, რათა თავი დააღწიოთ თავს უზარმაზარი გათვლებისგან.

მე-12 ქონება.

თითოეული ეს თვისება შეგხვდებათ არაერთხელ დავალებაში, ის შეიძლება იყოს სუფთა სახით, ან შეიძლება მოითხოვოს გარკვეული ტრანსფორმაციები და სხვა ფორმულების გამოყენება. ამიტომ სწორი ამოხსნისთვის საკმარისი არ არის მხოლოდ თვისებების ცოდნა, საჭიროა ივარჯიშოთ და დააკავშიროთ დანარჩენი მათემატიკური ცოდნა.

ხარისხების გამოყენება და მათი თვისებები

ისინი აქტიურად გამოიყენება ალგებრასა და გეომეტრიაში. ცალკე, მნიშვნელოვანი ადგილი უკავია მათემატიკის ხარისხს. მათი დახმარებით იხსნება ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობები, ასევე ძლიერებები ხშირად ართულებს მათემატიკის სხვა სექციებთან დაკავშირებულ განტოლებებსა და მაგალითებს. ექსპონენტები ხელს უწყობენ დიდი და გრძელი გამოთვლების თავიდან აცილებას, უფრო ადვილია ექსპონენტების შემცირება და გამოთვლა. მაგრამ დიდი სიმძლავრეებით, ან დიდი რიცხვების სიმძლავრეებით მუშაობისთვის, თქვენ უნდა იცოდეთ არა მხოლოდ ხარისხის თვისებები, არამედ კომპეტენტურად იმუშაოთ საფუძვლებთან, შეძლოთ მათი დაშლა, რათა თქვენი დავალება გაგიადვილოთ. მოხერხებულობისთვის, თქვენ ასევე უნდა იცოდეთ სიძლიერეზე აყვანილი რიცხვების მნიშვნელობა. ეს შეამცირებს თქვენს დროს გადაჭრის დროს ხანგრძლივი გამოთვლების საჭიროების აღმოფხვრის გზით.

ხარისხის ცნება განსაკუთრებულ როლს ასრულებს ლოგარითმებში. ვინაიდან ლოგარითმი, არსებითად, არის რიცხვის ძალა.

გამრავლების შემოკლებული ფორმულები ძალაუფლების გამოყენების კიდევ ერთი მაგალითია. მათ არ შეუძლიათ ხარისხების თვისებების გამოყენება, ისინი იშლება სპეციალური წესების მიხედვით, მაგრამ ყოველ შემოკლებულ გამრავლების ფორმულაში უცვლელად არის გრადუსები.

დიპლომები ასევე აქტიურად გამოიყენება ფიზიკასა და კომპიუტერულ მეცნიერებაში. ყველა თარგმანი SI სისტემაში ხდება გრადუსების გამოყენებით, ხოლო მომავალში, პრობლემების გადაჭრისას, გამოიყენება ხარისხის თვისებები. კომპიუტერულ მეცნიერებაში აქტიურად გამოიყენება ორი ძალა, რიცხვების დათვლისა და აღქმის გასამარტივებლად. შემდგომი გამოთვლები საზომი ერთეულების კონვერტაციისთვის ან ამოცანების გამოთვლებისთვის, ისევე როგორც ფიზიკაში, ხდება ხარისხის თვისებების გამოყენებით.

ხარისხები ასევე ძალიან სასარგებლოა ასტრონომიაში, სადაც იშვიათად შეგიძლიათ იპოვოთ ხარისხის თვისებების გამოყენება, მაგრამ თავად გრადუსები აქტიურად გამოიყენება სხვადასხვა რაოდენობისა და მანძილების ჩაწერის შესამცირებლად.

ხარისხები გამოიყენება ყოველდღიურ ცხოვრებაშიც, ფართობების, მოცულობების, მანძილების გაანგარიშებისას.

ხარისხების დახმარებით, ძალიან დიდი და ძალიან მცირე მნიშვნელობები იწერება მეცნიერების ნებისმიერ დარგში.

ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობები

ხარისხის თვისებებს განსაკუთრებული ადგილი უჭირავს ზუსტად ექსპონენციალურ განტოლებებსა და უტოლობაში. ეს ამოცანები ძალიან ხშირია, როგორც სკოლის კურსზე, ასევე გამოცდებზე. ყველა მათგანი მოგვარებულია ხარისხის თვისებების გამოყენებით. უცნობი ყოველთვის თავად ხარისხშია, ამიტომ, ყველა თვისების ცოდნით, ასეთი განტოლების ან უტოლობის ამოხსნა არ იქნება რთული.

წინა სტატიაში ვისაუბრეთ იმაზე, თუ რა არის მონომები. ამ მასალაში ჩვენ გავაანალიზებთ, თუ როგორ უნდა გადავჭრათ მაგალითები და პრობლემები, რომლებშიც ისინი გამოიყენება. აქ განვიხილავთ ისეთ მოქმედებებს, როგორიცაა გამოკლება, შეკრება, გამრავლება, მონომების გაყოფა და მათი ბუნებრივი მაჩვენებლის ხარისხზე აყვანა. ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ არის განსაზღვრული ასეთი ოპერაციები, მივუთითებთ მათი განხორციელების ძირითად წესებს და რა უნდა იყოს შედეგი. ყველა თეორიული დებულება, ჩვეულებისამებრ, ილუსტრირებული იქნება ამოცანების მაგალითებით გადაწყვეტილებების აღწერით.

ყველაზე მოსახერხებელია მონომების სტანდარტული აღნიშვნით მუშაობა, ამიტომ წარმოგიდგენთ ყველა გამონათქვამს, რომელიც გამოყენებული იქნება სტატიაში სტანდარტული ფორმით. თუ ისინი თავდაპირველად განსხვავებულად არის დაყენებული, რეკომენდირებულია პირველ რიგში მიიყვანოთ ისინი ზოგადად მიღებულ ფორმაში.

მონომების შეკრებისა და გამოკლების წესები

უმარტივესი მოქმედებები, რომლებიც შეიძლება შესრულდეს მონომებით, არის გამოკლება და შეკრება. ზოგად შემთხვევაში, ამ მოქმედებების შედეგი იქნება მრავალწევრი (მონომილი შესაძლებელია ზოგიერთ განსაკუთრებულ შემთხვევაში).

როდესაც ვამატებთ ან ვაკლებთ მონომებს, ჯერ ვწერთ შესაბამის ჯამს და განსხვავებას ზოგადად მიღებული ფორმით, რის შემდეგაც ვამარტივებთ მიღებულ გამოსახულებას. თუ არის მსგავსი ტერმინები, უნდა იყოს მითითებული, ფრჩხილები უნდა გაიხსნას. ავხსნათ მაგალითით.

მაგალითი 1

მდგომარეობა:დაამატეთ მონომები − 3 · x და 2, 72 · x 3 · y 5 · z.

გადაწყვეტილება

ჩამოვწეროთ ორიგინალური გამონათქვამების ჯამი. დაამატე ფრჩხილები და მათ შორის დადეთ პლუს ნიშანი. ჩვენ მივიღებთ შემდეგს:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

როდესაც ფრჩხილებს გავაფართოვებთ, მივიღებთ - 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z. ეს არის მრავალწევრი, დაწერილი სტანდარტული ფორმით, რომელიც იქნება ამ მონომების დამატების შედეგი.

პასუხი:(− 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z.

თუ გვაქვს სამი, ოთხი ან მეტი ტერმინი მოცემული, ამ მოქმედებას ანალოგიურად ვასრულებთ.

მაგალითი 2

მდგომარეობა:შეასრულეთ მოცემული მოქმედებები მრავალწევრებით სწორი თანმიმდევრობით

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

გადაწყვეტილება

დავიწყოთ ფრჩხილების გახსნით.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

ჩვენ ვხედავთ, რომ მიღებული გამოხატულება შეიძლება გამარტივდეს მსგავსი ტერმინების შემცირებით:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

გვაქვს მრავალწევრი, რომელიც იქნება ამ მოქმედების შედეგი.

პასუხი: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

პრინციპში შეგვიძლია ორი მონომის შეკრება და გამოკლება, გარკვეული შეზღუდვებით, ისე, რომ მივიღოთ მონომი. ამისათვის საჭიროა დაიცვან გარკვეული პირობები ტერმინებთან და გამოკლებულ მონომებთან დაკავშირებით. ჩვენ აღვწერთ, თუ როგორ კეთდება ეს ცალკე სტატიაში.

მონომების გამრავლების წესები

გამრავლების მოქმედება არ აწესებს რაიმე შეზღუდვას მულტიპლიკატორებზე. გასამრავლებელი მონომები არ უნდა აკმაყოფილებდეს დამატებით პირობებს, რათა შედეგი იყოს მონომი.

მონომების გამრავლების შესასრულებლად, თქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი ნაბიჯები:

1. ჩაწერეთ ნაჭერი სწორად.
2. გააფართოვეთ ფრჩხილები შედეგად გამოსახულებაში.
3. დაჯგუფება, თუ შესაძლებელია, ფაქტორები იგივე ცვლადებით და რიცხვითი ფაქტორები ცალ-ცალკე.
4. შეასრულეთ საჭირო მოქმედებები რიცხვებით და გამოიყენეთ იგივე საფუძვლებით ძალაუფლების გამრავლების თვისება დარჩენილ ფაქტორებზე.

ვნახოთ, როგორ კეთდება ეს პრაქტიკაში.

მაგალითი 3

მდგომარეობა:გავამრავლოთ მონომები 2 · x 4 · y · z და - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

გადაწყვეტილება

დავიწყოთ ნაწარმოების შემადგენლობით.

ვხსნით მასში ფრჩხილებს და ვიღებთ შემდეგს:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

ჩვენ მხოლოდ უნდა გავამრავლოთ რიცხვები პირველ ფრჩხილებში და გამოვიყენოთ power თვისება მეორეზე. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ შემდეგს:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

პასუხი: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

თუ ჩვენ გვაქვს სამი ან მეტი მრავალწევრი პირობით, ვამრავლებთ მათ ზუსტად იგივე ალგორითმის გამოყენებით. ცალკე მასალაში უფრო დეტალურად განვიხილავთ მონომების გამრავლების საკითხს.

მონომის ძალაუფლებაზე აყვანის წესები

ჩვენ ვიცით, რომ გარკვეული რაოდენობის იდენტური ფაქტორების ნამრავლს ეწოდება ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით. მათი რიცხვი მითითებულია ინდექსის ნომრით. ამ განსაზღვრების მიხედვით, მონომის ხარისხზე აყვანა უდრის მითითებული რაოდენობის იდენტური მონომების გამრავლებას. ვნახოთ, როგორ კეთდება.

მაგალითი 4

მდგომარეობა:აწიეთ მონომი − 2 · a · b 4 3-ის ხარისხზე.

გადაწყვეტილება

ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ სიმძლავრე 3 მონომის გამრავლებით − 2 · a · b 4 . ჩავწეროთ და მივიღოთ სასურველი პასუხი:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4 b 4) = − 8 a 3 b 12

პასუხი:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

მაგრამ რა შეიძლება ითქვას, როცა ხარისხს დიდი მაჩვენებელი აქვს? მულტიპლიკატორების დიდი რაოდენობის ჩაწერა მოუხერხებელია. შემდეგ, ასეთი პრობლემის გადასაჭრელად, ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ ხარისხის თვისებები, კერძოდ, პროდუქტის ხარისხის თვისება და ხარისხის თვისება ხარისხში.

მოდით გადავჭრათ ზემოთ მოყვანილი პრობლემა მითითებული გზით.

მაგალითი 5

მდგომარეობა:აწიეთ − 2 · a · b 4 მესამე ხარისხზე.

გადაწყვეტილება

ხარისხში ხარისხის საკუთრების ცოდნით, შეგვიძლია გადავიდეთ შემდეგი ფორმის გამოხატვაზე:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

ამის შემდეგ, ჩვენ ავწევთ სიმძლავრეზე - 2 და ვიყენებთ მაჩვენებლის თვისებას:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

პასუხი:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

ჩვენ ასევე მივუძღვენით ცალკე სტატიას მონომის ძალაუფლებაზე ამაღლებას.

მონომების გაყოფის წესები

ბოლო მოქმედება მონომებთან, რომელსაც გავაანალიზებთ ამ მასალაში, არის მონომის დაყოფა მონომებზე. შედეგად უნდა მივიღოთ რაციონალური (ალგებრული) წილადი (ზოგიერთ შემთხვევაში შესაძლებელია მონომის მიღება). მოდით, დაუყოვნებლივ განვმარტოთ, რომ გაყოფა ნულოვანი მონომით არ არის განსაზღვრული, რადგან გაყოფა 0-ზე არ არის განსაზღვრული.

გაყოფის შესასრულებლად უნდა ჩავწეროთ მითითებული მონომები წილადის სახით და შეძლებისდაგვარად შევამციროთ.

მაგალითი 6

მდგომარეობა:გაყავით მონომი − 9 x 4 y 3 z 7 − 6 p 3 t 5 x 2 y 2-ზე.

გადაწყვეტილება

დავიწყოთ მონომების წილადის სახით ჩაწერით.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

ეს ფრაქცია შეიძლება შემცირდეს. ამის შემდეგ მივიღებთ:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

პასუხი:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

ცალკეულ სტატიაში მოცემულია პირობები, რომლებშიც მონომების გაყოფის შედეგად ვიღებთ მონომს.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ბოლო ვიდეო გაკვეთილზე გავიგეთ, რომ გარკვეული ფუძის ხარისხი არის გამოხატულება, რომელიც არის ფუძისა და საკუთარი თავის ნამრავლი, აღებული მაჩვენებლის ტოლი რაოდენობით. მოდით ახლა შევისწავლოთ ძალების ზოგიერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისება და მოქმედებები.

მაგალითად, გავამრავლოთ ორი განსხვავებული ძალა ერთიდაიგივე ფუძით:

მოდით შევხედოთ ამ ნაწილს მთლიანად:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

ამ გამოთქმის მნიშვნელობის გამოთვლით მივიღებთ რიცხვს 32. მეორეს მხრივ, როგორც ჩანს იგივე მაგალითიდან, 32 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ერთი და იგივე ფუძის (ორი) ნამრავლი, აღებული 5-ჯერ. და მართლაც, თუ ითვლით, მაშინ:

ამრიგად, უსაფრთხოდ შეიძლება დავასკვნათ, რომ:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

ეს წესი წარმატებით მუშაობს ნებისმიერი ინდიკატორისა და ნებისმიერი საფუძველისთვის. ხარისხის გამრავლების ეს თვისება გამომდინარეობს პროდუქტში გარდაქმნების დროს გამონათქვამების მნიშვნელობის შენარჩუნების წესიდან. ნებისმიერი a ფუძისთვის, ორი გამონათქვამის (a) x და (a) y ნამრავლი უდრის a (x + y). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ერთი და იგივე ფუძის მქონე ნებისმიერი გამონათქვამის წარმოებისას, საბოლოო მონომს აქვს საერთო ხარისხი, რომელიც წარმოიქმნება პირველი და მეორე გამონათქვამების ხარისხის მიმატებით.

წარმოდგენილი წესი ასევე მშვენივრად მუშაობს რამდენიმე გამონათქვამის გამრავლებისას. მთავარი პირობაა, რომ საფუძვლები ყველასთვის ერთნაირი იყოს. Მაგალითად:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

შეუძლებელია გრადუსების დამატება და, ზოგადად, რაიმე ძალის ერთობლივი მოქმედებების განხორციელება გამოხატვის ორი ელემენტით, თუ მათი საფუძვლები განსხვავებულია.
როგორც ჩვენს ვიდეოში ჩანს, გამრავლებისა და გაყოფის პროცესების მსგავსების გამო, პროდუქტის დროს ძალების დამატების წესები შესანიშნავად გადადის გაყოფის პროცედურაზე. განვიხილოთ ეს მაგალითი:

მოდით, გამონათქვამის ტერმინი-ტერმინის გარდაქმნა სრულ ფორმაში და შევამციროთ იგივე ელემენტები დივიდენდსა და გამყოფში:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

ამ მაგალითის საბოლოო შედეგი არც ისე საინტერესოა, რადგან უკვე მისი ამოხსნის პროცესში ცხადია, რომ გამოხატვის მნიშვნელობა უდრის კვადრატს ორი. და ეს არის დეუზა, რომელიც მიიღება მეორე გამოხატვის ხარისხის პირველის ხარისხს გამოკლებით.

კოეფიციენტის ხარისხის დასადგენად აუცილებელია გამყოფის ხარისხი გამოვაკლოთ დივიდენდის ხარისხს. წესი მუშაობს იგივე საფუძვლით ყველა მისი ღირებულებისთვის და ყველა ბუნებრივი ძალისთვის. აბსტრაქტული ფორმით გვაქვს:

(ა) x / (ა) y = (ა) x - y

ნულოვანი ხარისხის განმარტება გამომდინარეობს იდენტური ფუძეების ძალებთან გაყოფის წესიდან. ცხადია, შემდეგი გამოთქმაა:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

მეორეს მხრივ, თუ უფრო ვიზუალურად გავყოფთ, მივიღებთ:

(ა) 2 / (ა) 2 = (ა) (ა) / (ა) (ა) = 1

წილადის ყველა ხილული ელემენტის შემცირებისას ყოველთვის მიიღება გამოხატულება 1/1, ანუ ერთი. მაშასადამე, საყოველთაოდ მიღებულია, რომ ნულოვან სიმძლავრემდე ამაღლებული ნებისმიერი ბაზა უდრის ერთს:

ა-ის ღირებულების მიუხედავად.

თუმცა, აბსურდული იქნება, თუ 0 (რომელიც მაინც იძლევა 0-ს ნებისმიერი გამრავლებისთვის) ერთგვარად უდრის ერთს, ასე რომ, ისეთი გამოხატულება, როგორიცაა (0) 0 (ნული ნულოვან ხარისხამდე) უბრალოდ აზრი არ აქვს და ფორმულას (a) 0 = 1 დაამატეთ პირობა: "თუ a არ არის 0-ის ტოლი".

მოდით გავაკეთოთ ვარჯიში. მოდით ვიპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

ვინაიდან ბაზა ყველგან ერთნაირია და უდრის 34-ს, საბოლოო მნიშვნელობას ექნება იგივე საფუძველი ხარისხით (ზემოხსენებული წესების მიხედვით):

Სხვა სიტყვებით:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

პასუხი: გამოთქმა უდრის ერთს.