დროებითი და სტაციონარული შროდინგერის განტოლება

დე ბროლის ტალღების სტატისტიკურმა ინტერპრეტაციამ და ჰაიზენბერგის განუსაზღვრელობის მიმართებამ მიგვიყვანა დასკვნამდე, რომ მოძრაობის განტოლება კვანტურ მექანიკაში, რომელიც აღწერს მიკრონაწილაკების მოძრაობას სხვადასხვა ძალის ველში, უნდა იყოს განტოლება, საიდანაც ნაწილაკების ექსპერიმენტულად დაკვირვებული ტალღის თვისებები იქნება. გაყოლა. მთავარი განტოლება უნდა იყოს ტალღური ფუნქციის განტოლება (x, y, z, t), რადგან ეს ფუნქცია, უფრო ზუსტად, რაოდენობა 2, განსაზღვრავს ალბათობას, რომ ნაწილაკი იყოს dV მოცულობაში t დროს. , ე.ი. არეში x და x+dx, y და y+dy, z და z+dz კოორდინატებით. ვინაიდან სასურველმა განტოლებამ უნდა გაითვალისწინოს ნაწილაკების ტალღური თვისებები, ის უნდა იყოს ტალღური განტოლება, ელექტრომაგნიტური ტალღების აღწერის განტოლების მსგავსი.

ეს განტოლება პოსტულირებულია და მისი სისწორე დასტურდება მისი დახმარებით მიღებული შედეგების გამოცდილებასთან შეთანხმებით.

არარელატივისტური კვანტური მექანიკის ძირითადი განტოლება (1926 წ.)

4.1 შროდინგერის დროის განტოლება:

განტოლება მოქმედებს არარელატივისტური ნაწილაკებისთვის<< ,

სადაც (\displaystyle \hbar =(h \over 2\pi )) არის ნაწილაკის მასა; - წარმოსახვითი ერთეული; არის ნაწილაკის პოტენციური ფუნქცია ძალის ველში, რომელშიც ის მოძრაობს; არის სასურველი ტალღის ფუნქცია; ∆ არის ლაპლასის ოპერატორი

ტალღის ფუნქციაზე დაწესებული პირობები:

ტალღის ფუნქცია უნდა იყოს სასრული, ერთმნიშვნელოვანი და უწყვეტი.

წარმოებულები ∂Ψ/∂x, ∂Ψ/∂y, ∂Ψ/∂z, ∂Ψ/∂t უნდა იყოს უწყვეტი.

ფუნქცია 2 უნდა იყოს ინტეგრირებადი (ეს პირობა მცირდება ალბათობის ნორმალიზაციის პირობამდე).

4.2 სტაციონარული შროდინგერის განტოლება

სტაციონარული ძალის ველის შემთხვევაში (ფუნქცია U=U(x, y, z)ცალსახად არ არის დამოკიდებული დროზე და აქვს პოტენციური ენერგიის მნიშვნელობა. ამ შემთხვევაში შრედინგერის განტოლების ამონახსნი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი ფუნქციის ნამრავლად, რომელთაგან ერთი მხოლოდ კოორდინატების ფუნქციაა, მეორე მხოლოდ დროის ფუნქციაა, ხოლო დროზე დამოკიდებულება გამოიხატება ფაქტორით. ).

მაშინ ტალღის ფუნქცია სტაციონარული მდგომარეობებისთვის (მდგომარეობები ფიქსირებული ენერგიის მნიშვნელობებით) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

სტაციონარული შროდინგერის განტოლება:

მიღებული ტალღის ფუნქციის შრედინგერის დროის განტოლებაში და გარდაქმნებში ჩანაცვლების შემდეგ (∆ არის ლაპლასის ოპერატორი, მ-ნაწილაკების მასა; - შემცირებული პლანკის მუდმივი (= სთ/2π); ეარის ნაწილაკების მთლიანი ენერგია, Uარის ნაწილაკების პოტენციური ენერგია. კლასიკურ ფიზიკაში რაოდენობა (ᲔᲕᲠᲝᲞᲐ) ტოლი იქნება ნაწილაკების კინეტიკური ენერგიისა. კვანტურ მექანიკაში, გაურკვევლობის მიმართების გამო, კინეტიკური ენერგიის ცნება უაზროა. აქ არის პოტენციური ენერგია Uარის თვისება გარე ძალის ველირომელშიც ნაწილაკი მოძრაობს. ეს მნიშვნელობა საკმაოდ განსაზღვრულია. ის ასევე კოორდინატების ფუნქციაა, ამ შემთხვევაში U =U(x,y,z)).

შროდინგერის მთავარი იდეაა გეომეტრიულ ოპტიკასა და კლასიკურ მექანიკას შორის მათემატიკური ანალოგიის გადატანა სინათლისა და ნაწილაკების ტალღურ თვისებებზე.

შრედინგერის განტოლებას ვიღებთ თავისუფალი ელექტრონის ტალღური ფუნქციის გამოსახულებიდან. მოდით გადავიწეროთ იგი რთული ფორმით.

სიხშირის ენერგიასთან და ტალღის რიცხვის იმპულსთან ურთიერთობის გამოყენებით, მივიღებთ: .

ზოგადად, არის ნაწილაკების მთლიანი ენერგია, , არის კინეტიკური ენერგია და არის ურთიერთქმედების ენერგია.

ვიპოვოთ პირველი წარმოებული Y ფუნქციის კოორდინატთან მიმართებაში: (1), (2).

ჩვენ ვამრავლებთ განტოლებას (1)-ზე და განტოლებას (2)-ზე (ამგვარად, ფაქტორებს მარჯვენა მხარეს ექნება ენერგიის განზომილება):

, .

ჩვენ ვამატებთ მიღებულ განტოლებებს:

.

ვინაიდან , ბოლო თანასწორობა შეიძლება გადაიწეროს ფორმაში .

ეს არის შროდინგერის განტოლება. მიღებული იყო ერთი კოორდინატისთვის. თუ ის გადაწერილია 3 კოორდინატზე, მაშინ ლაპლასის ოპერატორის შემოღებით საბოლოოდ გვექნება

.

შროდინგერის განტოლება არ შეიძლება პირდაპირ გამომდინარეობდეს კლასიკური ფიზიკის ფუნდამენტური კანონებიდან. შროდინგერის განტოლება საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ტალღის ფუნქცია დროის თვითნებურ მომენტში. ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ ტალღის ფუნქცია დროის ფიქსირებულ მომენტში, ნაწილაკების მასა და ნაწილაკების ძალის ველთან ურთიერთქმედების ენერგია. ნაპოვნი ტალღის ფუნქცია საშუალებას იძლევა გამოვთვალოთ ნაწილაკის პოვნის ალბათობა სივრცის თვითნებურ წერტილში დროის ნებისმიერ მომენტში.

ძირითადი თვისებები, რომლებიც უნდა აკმაყოფილებდეს ტალღის ფუნქციებს, არის შროდინგერის განტოლების ამონახსნები:

1. ტალღის ფუნქცია წრფივია, ე.ი. თუ … არის განტოლების ამონახსნები, მაშინ მათი წრფივი კომბინაცია არის ამონახსნები.

2. პირველი ნაწილობრივი წარმოებულები კოორდინატებთან მიმართებაში წრფივია

3. ტალღური ფუნქცია და მისი სივრცითი წარმოებულები უნდა იყოს ერთმნიშვნელოვანი, სასრული და უწყვეტი.

4. როგორც ∞-ისკენ მიდრეკილნი ვართ, ტალღის ფუნქციის მნიშვნელობა ნულისკენ უნდა იყოს მიდრეკილი.

შროდინგერის განტოლება სტაციონარული მდგომარეობებისთვის.

თუ ძალის ველი, რომელშიც აღწერილი ნაწილაკი მოძრაობს, სტაციონარულია, მაშინ მისი პოტენციალი პირდაპირ არ არის დამოკიდებული დროზე და ფუნქციას აქვს პოტენციური ენერგიის მნიშვნელობა და დამოკიდებულია მხოლოდ კოორდინატებზე. ამ შემთხვევაში, ტალღის ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორის ნამრავლი. ერთი ფუნქცია დამოკიდებულია მხოლოდ, მეორე დამოკიდებულია მხოლოდ დროზე:

ბოლო გამოსახულებას ვცვლით შროდინგერის განტოლებაში

დროის ფაქტორით და ზოგიერთი ელემენტარული ტრანსფორმაციის შემცირების შემდეგ მივიღებთ: (*).

ეს არის შროდინგერის განტოლება სტაციონარული მდგომარეობისთვის. იგი მოიცავს ტალღის ფუნქციის მხოლოდ კოორდინატულ ნაწილს - . თუ ეს უკანასკნელი იქნა ნაპოვნი, მაშინ მთლიანი ტალღის ფუნქცია იპოვება კოორდინატთა ნაწილის დროის ფაქტორზე გამრავლებით.

ვინაიდან ალბათობა განისაზღვრება ტალღის ფუნქციის კვადრატით, ხოლო რთული მნიშვნელობის კვადრატი კომპლექსურ კონიუგატზე გამრავლებით, მაშინ სტაციონარული ტალღის ფუნქციებისთვის მოქმედებს შემდეგი მიმართება:

ამრიგად, სტაციონარული მდგომარეობების ტალღის ფუნქციის მოსაძებნად აუცილებელია განტოლების (*) ამოხსნა და ჯამური ენერგიის ცოდნა.

ნაწილაკების თავისუფალი მოძრაობა.

კვანტური ნაწილაკის თავისუფალი მოძრაობის დროს მასზე არანაირი ძალა არ მოქმედებს და მისი პოტენციური ენერგია შეიძლება იყოს ნულის ტოლი. დაე, ნაწილაკი იმოძრაოს მიმართულებით, შემდეგ (*) მიიღებს ფორმას: .

ამ განტოლების კონკრეტული ამოხსნა არის ფორმის ფუნქცია , სადაც და არიან მუდმივები. თუ სასურველ ამოხსნას ჩავანაცვლებთ განტოლებაში, მაშინ მივიღებთ კავშირს ნაწილაკების ენერგიასა და რაოდენობას შორის:

სრული ტალღის ფუნქციას, თავისუფალი ნაწილაკისთვის დროის დამოკიდებულების გათვალისწინებით, აქვს ფორმა. ეს არის სიბრტყე მონოქრომატული ტალღა სიხშირითა და ტალღის რიცხვით. მას შემდეგ, რაც და, მაშინ.

შროდინგერის განტოლება
და მისი განსაკუთრებული შემთხვევები (გაგრძელება): ნაწილაკების გავლა პოტენციურ ბარიერში, ჰარმონიული ოსცილატორი

ნაწილაკების გავლა პოტენციურ ბარიერშიკლასიკური შემთხვევისთვის ჩვენ უკვე განვიხილეთ ლექცია 7-ში, ნაწილი 1 (იხ. სურ. 7.2). ახლა განვიხილოთ მიკრონაწილაკი, რომლის მთლიანი ენერგია დონეზე ნაკლებია Uპოტენციური ბარიერი (ნახ. 19.1). კლასიკურ ვერსიაში, ამ შემთხვევაში, ბარიერის მეშვეობით ნაწილაკების გავლა შეუძლებელია. თუმცა, კვანტურ ფიზიკაში არის იმის შესაძლებლობა, რომ ნაწილაკი გაივლის. უფრო მეტიც, ის არ "ხტუნავს" მასზე, არამედ, როგორც იქნა, "გაჟონავს", მისი ტალღის თვისებების გამოყენებით. ამიტომ, ეფექტს ასევე უწოდებენ "გვირაბს". თითოეული სფეროსთვის I, II, IIIვწერთ სტაციონარული შრედინგერის განტოლებას (18.3).

ამისთვის მედა III: , (19.1, ა)

ამისთვის II: https://pandia.ru/text/78/010/images/image005_107.gif" width="71" height="32">, სადაც a = კონსტ.მერე და y" = . y"-ით (19.1a) ჩანაცვლება იძლევა: დომენის საჭირო ზოგად გადაწყვეტას მედაწერილი როგორც სუპერპოზიცია

https://pandia.ru/text/78/010/images/image010_62.gif" width="132" height="32 src="> . (19.3)

ამ შემთხვევაში, ტალღის გავრცელების საწყისი წერტილი გადაინაცვლებს ლ, ა AT 3 = 0 , რადგან რეგიონში IIIარის მხოლოდ გამვლელი ტალღა.

ტერიტორიაზე II(ბარიერი) ჩანაცვლება y" (19.1b) იძლევა

https://pandia.ru/text/78/010/images/image012_51.gif" width="177" height="32">.

გავლის ალბათობა ხასიათდება გადაცემის კოეფიციენტი- გადაცემული ტალღის ინტენსივობის თანაფარდობა ინციდენტის ინტენსივობასთან:

(0) = y2"(0) , y2"( ლ) = y3"( ლ); (19.5)

რომელთაგან პირველი ორი ნიშნავს ფუნქციების „დაკერვას“ ბარიერის მარცხენა და მარჯვენა საზღვრებზე, ხოლო მესამე და მეოთხე - ასეთი გადასვლის სიგლუვეს. y1, y2 და y3 ფუნქციების (19.5) ჩანაცვლებით, ვიღებთ განტოლებებს.

მოდით დავყოთ ისინი მაგრამ 1 და აღნიშნეთ ა 2= ა 2/ა 1; ბ 1=ბ 1/ა 1; ა 3= ა 3/ა 1; ბ 2=ბ 2/ა 1.

. (19.6)

პირველ განტოლებას (19.6) ვამრავლებთ მეკდა დაამატეთ მეორეს. ავიღოთ 2 მეk = a 2(q +მეკ)-ბ 2(q-მეკ) . (19.7)

განტოლების მეორე წყვილი (19.6) ჩაითვლება, როგორც ორი განტოლების სისტემა უცნობიებით. ა 2 და ბ 2.

ამ სისტემის განმსაზღვრელი ფაქტორებია:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image017_33.gif" width="319" height="32">,

სადაც ე- qL(q+მელ) 2 » 0, რადგან qL >> 1.

ამიტომ https://pandia.ru/text/78/010/images/image019_32.gif" width="189" height="63"> და იპოვეთ რთული მნიშვნელობის მოდული ა 3, გავამრავლოთ მიღებული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი (-ზე q +მეკ)2. მარტივი გარდაქმნების შემდეგ მივიღებთ

https://pandia.ru/text/78/010/images/image021_30.gif" width="627" height="135 src=">ჩვეულებრივ ᲔᲕᲠᲝᲞᲐ~ 90% და მთელი კოეფიციენტი "ე"-მდე არის ერთი რიგის. ამრიგად, ბარიერში ნაწილაკის გავლის ალბათობა განისაზღვრება შემდეგი ურთიერთობით:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image023_24.gif" width="91" height="44">.

ეს ნიშნავს, რომ ზე ე< U ნაწილაკი არ გადალახავს ბარიერს, ანუ კლასიკურ ფიზიკაში არ არსებობს გვირაბის ეფექტი.

ეს ეფექტი გამოიყენება საინჟინრო პრაქტიკაში გვირაბის დიოდების შესაქმნელად, რომლებიც ფართოდ გამოიყენება რადიოსაინჟინრო მოწყობილობებში (იხ. ნაწილი 3, ლექცია 3).

გარდა ამისა, შესაძლებელი გახდა თერმობირთვული შერწყმის რეაქციის დაწყება ხმელეთის პირობებში, რომელიც ხდება მზეზე მზისთვის ჩვეულ პირობებში - ტემპერატურაზე. თ ~ 109 კ. დედამიწაზე ასეთი ტემპერატურა არ არის, თუმცა გვირაბის ეფექტის გამო რეაქციის დაწყება ტემპერატურაზეა შესაძლებელი. თ ~ 107 კ, რომელიც ხდება ატომური ბომბის აფეთქების დროს, რომელიც წყალბადის ბომბის აალების მოწყობილობა იყო. ამის შესახებ მეტი კურსის შემდეგ ნაწილში.

ჰარმონიული ოსცილატორი.კლასიკურიჰარმონიული ოსცილატორი ასევე უკვე განხილულია ჩვენ მიერ (ლექციები 1,2 ნაწილი 3). ეს, მაგალითად, არის ზამბარის ქანქარა, რომლის მთლიანი ენერგია ე = mV 2/2 + kx 2/2. თეორიულად, ამ ენერგიას შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობების უწყვეტი სერია, დაწყებული ნულიდან.

კვანტური ჰარმონიული ოსცილატორი არის ჰარმონიული კანონის მიხედვით რხევადი მიკრონაწილაკი, რომელიც შეკრულ მდგომარეობაშია ატომის ან ბირთვის შიგნით. ამ შემთხვევაში, პოტენციური ენერგია რჩება კლასიკური, რაც ახასიათებს მსგავსი ელასტიური აღდგენის ძალას kx. იმის გათვალისწინებით, რომ ციკლური სიხშირე ვიღებთ პოტენციურ ენერგიას https://pandia.ru/text/78/010/images/image026_19.gif" width="235" height="59">. (19.9)

მათემატიკურად, ეს პრობლემა კიდევ უფრო რთულია, ვიდრე წინა. ამიტომ, ჩვენ შემოვიფარგლებით იმით, თუ რა იქნება შედეგი. როგორც ერთგანზომილებიანი ჭაბურღილის შემთხვევაში, ვიღებთ დისკრეტულისაკუთრივ ფუნქციების და საკუთრივ ენერგიების სპექტრი და ერთი ენერგიის საკუთრივ მნიშვნელობა შეესაბამება ერთ ტალღურ ფუნქციას: ენÛ y ნ(სახელმწიფოების გადაგვარება არ ხდება, როგორც სამგანზომილებიანი ჭაბურღილის შემთხვევაში). ალბათობის სიმჭიდროვე |yn|2 ასევე რხევითი ფუნქციაა, მაგრამ "კამპების" სიმაღლე განსხვავებულია. აღარ არის ბანალური ცოდვა2 , ხოლო უფრო ეგზოტიკური ჰერმიტული პოლინომები ჰნ(x). ტალღის ფუნქციას აქვს ფორმა

, სად თანნ- დამოკიდებულია ნმუდმივი. ენერგიის საკუთრივ მნიშვნელობების სპექტრი:

, (19.10)

სად არის კვანტური რიცხვი ნ = 0, 1, 2, 3 ... . ამრიგად, არსებობს ასევე "ნულოვანი ენერგია" , რომლის ზემოთ ენერგეტიკული სპექტრი ქმნის „დასტას“, სადაც თაროები განლაგებულია ერთმანეთისგან იმავე მანძილზე (სურ. 19.2). იგივე ფიგურა გვიჩვენებს შესაბამისი ალბათობის სიმკვრივეს |yn|2 თითოეული ენერგეტიკული დონისთვის, ისევე როგორც გარე ველის პოტენციურ ენერგიას (წერტილი პარაბოლა).

ოსცილატორის არანულოვანი მინიმალური შესაძლო ენერგიის არსებობას ღრმა მნიშვნელობა აქვს. ეს ნიშნავს, რომ მიკრონაწილაკების რხევები არ ჩერდება არასოდეს, რაც თავის მხრივ ნიშნავს, რომ აბსოლუტური ნულოვანი ტემპერატურა მიუღწეველია.

1., ბურსიული ფიზიკა: ლექციების კურსი კომპიუტერული მხარდაჭერით: პროკ. შემწეობა სტუდენტებისთვის. უფრო მაღალი სახელმძღვანელო ინსტიტუტები: 2 ტომად - მ .: გამომცემლობა VLADOS-PRESS, 2001 წ.

პრინციპში, არაფერი განსაკუთრებული, მათი ნახვა შეგიძლიათ ცხრილებში და გრაფიკებშიც კი.

კვანტური სამყაროს ნაწილაკებისთვის სხვა კანონები ვრცელდება, ვიდრე კლასიკური მექანიკის ობიექტებზე. დე ბროლის ვარაუდით, მიკრო-ობიექტებს აქვთ როგორც ნაწილაკების, ასევე ტალღების თვისებები - და მართლაც, როდესაც ელექტრონის სხივი იფანტება ხვრელში, შეინიშნება დიფრაქცია, რაც დამახასიათებელია ტალღებისთვის.

მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია ვისაუბროთ არა კვანტური ნაწილაკების მოძრაობაზე, არამედ იმაზე, რომ ნაწილაკი დროის გარკვეულ მომენტში იქნება კონკრეტულ მომენტში.

რა აღწერს შროდინგერის განტოლებას

შროდინგერის განტოლება მიზნად ისახავს აღწეროს კვანტური ობიექტების მოძრაობის მახასიათებლები გარე ძალების ველებში. ხშირად ნაწილაკი მოძრაობს ძალის ველში, რომელიც დროზე არ არის დამოკიდებული. ამ შემთხვევისთვის შრედინგერის სტაციონარული განტოლება იწერება:

წარმოდგენილ განტოლებაში m და E, შესაბამისად, არის ნაწილაკების ენერგია ძალის ველში, ხოლო U არის ამ ველის ენერგია. არის ლაპლასის ოპერატორი. - პლანკის მუდმივი, ტოლია 6,626 10 -34 J s.

(მას ასევე უწოდებენ ალბათობის ამპლიტუდას, ან psi-ფუნქციას) - ეს არის ფუნქცია, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გაარკვიოთ, სად არის ყველაზე სავარაუდო სივრცეში ჩვენი მიკრო ობიექტი. ფიზიკური მნიშვნელობა არ არის თავად ფუნქცია, არამედ მისი კვადრატი. ალბათობა იმისა, რომ ნაწილაკი ელემენტარულ მოცულობაშია:

ამრიგად, შესაძლებელია სასრულ მოცულობაში ფუნქციის პოვნა ალბათობით:

ვინაიდან psi-ფუნქცია არის ალბათობა, ის არ შეიძლება იყოს ნულზე ნაკლები და არც ერთზე მეტი. უსასრულო მოცულობით ნაწილაკების პოვნის სრული ალბათობა არის ნორმალიზების პირობა:

psi ფუნქციისთვის მუშაობს სუპერპოზიციის პრინციპი: თუ ნაწილაკი ან სისტემა შეიძლება იყოს რამდენიმე კვანტურ მდგომარეობაში, მაშინ მისი ჯამით განსაზღვრული მდგომარეობა ასევე შესაძლებელია:

სტაციონარული შრედინგერის განტოლებას ბევრი ამონახსნი აქვს, მაგრამ ამოხსნისას უნდა გავითვალისწინოთ სასაზღვრო პირობები და შეარჩიოთ მხოლოდ სწორი ამონახსნები - ისეთები, რომლებსაც აქვთ ფიზიკური მნიშვნელობა. ასეთი გადაწყვეტილებები არსებობს მხოლოდ E ნაწილაკების ენერგიის ცალკეული მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც ქმნიან ნაწილაკების დისკრეტულ ენერგეტიკულ სპექტრს.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

მაგალითი 1

ვარჯიში	ტალღის ფუნქცია აღწერს მანძილს ელექტრონსა და წყალბადის ბირთვს შორის: r არის მანძილი ელექტრონსა და ბირთვს შორის, a არის ბორის პირველი რადიუსი. რამდენად შორს იქნება ელექტრონი ბირთვიდან?
გადაწყვეტილება	1) მოცულობის გამოსახატავად ბირთვის რადიუსის მიხედვით, ჩვენ ვპოულობთ ალბათობას, რომ ელექტრონი იყოს ბირთვიდან გარკვეულ მანძილზე: 2) ალბათობა იმისა, რომ ელექტრონი ელემენტარული "რგოლის" ფარგლებშია dr: 3) ყველაზე სავარაუდო მანძილის საპოვნელად ბოლო გამონათქვამიდან ვპოულობთ: ამ განტოლების ამოხსნით მივიღებთ r = a - ყველაზე სავარაუდო მანძილი ელექტრონსა და ბირთვს შორის.
უპასუხე	r = a – ყველაზე დიდი ალბათობით ბირთვი მდებარეობს ბირთვიდან ბორის პირველი რადიუსის მანძილზე.

მაგალითი 2

ვარჯიში

იპოვეთ ნაწილაკების ენერგეტიკული დონეები უსასრულოდ ღრმა პოტენციალის ჭაში.

გადაწყვეტილება

მიეცით ნაწილაკს გადაადგილება x-ღერძის გასწვრივ. ორმოს სიგანე - ლ. ჩვენ ვითვლით ენერგიას ჭაბურღილის ძირიდან და აღვწერთ მას ფუნქციით: ჩვენ ვწერთ ერთგანზომილებიან სტაციონარული შროდინგერის განტოლებას: განვიხილოთ სასაზღვრო პირობები. ვინაიდან ჩვენ გვჯერა, რომ ნაწილაკი კედლებში ვერ შეაღწევს, მაშინ ჭაბურღილის გარეთ = 0. ჭაბურღილის საზღვარზე psi ფუნქციაც ნულის ტოლია: ჭაბურღილში პოტენციური ენერგიაა U=0. შემდეგ ჭაბურღილისთვის დაწერილი შროდინგერის განტოლება გამარტივდება: ფორმით, ეს არის ჰარმონიული ოსცილატორის DE:

მიკრონაწილაკების მოძრაობა სხვადასხვა ძალის ველებში აღწერილია არარელატივისტური კვანტური მექანიკის ფარგლებში შროდინგერის განტოლების გამოყენებით, საიდანაც მოჰყვება ნაწილაკების ექსპერიმენტულად დაკვირვებული ტალღური თვისებები. ეს განტოლება, ისევე როგორც ფიზიკის ყველა ძირითადი განტოლება, არ არის მიღებული, არამედ პოსტულირებულია. მისი სისწორე დასტურდება გამოთვლის შედეგებსა და ექსპერიმენტს შორის შეთანხმებით. შროდინგერის ტალღის განტოლებას აქვს შემდეგი ზოგადი ფორმა:

- (ħ 2 / 2m) ∙ ∆ψ + U (x, y, z, t) ∙ ψ = i ∙ ħ ∙ (∂ψ / ∂t)

სადაც ħ = h / 2π, h = 6,623∙10 -34 J ∙ s - პლანკის მუდმივი;
m არის ნაწილაკების მასა;
∆ - ლაპლასის ოპერატორი (∆ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (x, y, z, t) - სასურველი ტალღის ფუნქცია;
U (x, y, z, t) არის ნაწილაკების პოტენციური ფუნქცია ძალის ველში, სადაც ის მოძრაობს;
მე არის წარმოსახვითი ერთეული.

ამ განტოლებას გამოსავალი აქვს მხოლოდ ტალღის ფუნქციაზე დაკისრებულ პირობებში:

1. ψ (x, y, z, t) უნდა იყოს სასრული, ერთმნიშვნელოვანი და უწყვეტი;
2. მისი პირველი წარმოებულები უნდა იყოს უწყვეტი;
3. ფუნქცია | ψ | 2 უნდა იყოს ინტეგრირებადი, რაც უმარტივეს შემთხვევებში მცირდება ალბათობის ნორმალიზაციის პირობამდე.

მიკროსამყაროში მომხდარი მრავალი ფიზიკური ფენომენისთვის განტოლება (8.1) შეიძლება გამარტივდეს ψ-ის დამოკიდებულების აღმოფხვრით დროზე, ე.ი. იპოვეთ შრედინგერის განტოლება სტაციონარული მდგომარეობებისთვის ფიქსირებული ენერგიებით. ეს შესაძლებელია, თუ ძალის ველი, რომელშიც ნაწილაკი მოძრაობს, სტაციონარულია, ე.ი. U = U (x, y, z) ცალსახად არ არის დამოკიდებული დროზე და აქვს პოტენციური ენერგიის მნიშვნელობა. შემდეგ, გარდაქმნების შემდეგ, ჩვენ შეგვიძლია მივაღწიოთ შროდინგერის განტოლებას სტაციონარული მდგომარეობისთვის:

∆ψ + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

სადაც ψ = ψ (x, y, z) არის მხოლოდ კოორდინატების ტალღური ფუნქცია;
E არის განტოლების პარამეტრი - ნაწილაკების ჯამური ენერგია.

ამ განტოლებისთვის, მხოლოდ გადაწყვეტილებებს, რომლებიც გამოხატულია ψ რეგულარული ფუნქციებით (ე.წ. საკუთრივ ფუნქციები), რომლებიც ტარდება მხოლოდ E პარამეტრის გარკვეული მნიშვნელობებისთვის, რომელსაც ეწოდება ენერგიის საკუთრივ მნიშვნელობა, აქვთ რეალური ფიზიკური მნიშვნელობა. E-ს ამ მნიშვნელობებს შეუძლიათ შექმნან უწყვეტი ან დისკრეტული სერია, ე.ი. უწყვეტი და დისკრეტული ენერგიის სპექტრი.

ნებისმიერი მიკრონაწილაკისთვის შრედინგერის (8.2) განტოლების არსებობისას კვანტური მექანიკის პრობლემა მცირდება ამ განტოლების ამოხსნამდე, ე.ი. ტალღური ფუნქციების ψ = ψ (x, y, z) მნიშვნელობების პოვნა, რომლებიც შეესაბამება ეგენერგეტიკულ სპექტრს E. შემდეგი, ალბათობის სიმკვრივე | ψ | 2 , რომელიც განსაზღვრავს კვანტურ მექანიკაში კოორდინატებთან (x, y, z) წერტილის სიახლოვეს ნაწილაკის პოვნის ალბათობას ერთეული მოცულობით.

შროდინგერის განტოლების ამოხსნის ერთ-ერთი უმარტივესი შემთხვევაა ნაწილაკის ქცევის პრობლემა ერთგანზომილებიან მართკუთხა „პოტენციურ ჭაში“ უსასრულოდ მაღალი „კედლებით“. ასეთი "ორმო" მხოლოდ X ღერძის გასწვრივ მოძრავი ნაწილაკისთვის აღწერილია ფორმის პოტენციური ენერგიით

სადაც l არის „ორმოს“ სიგანე, ხოლო ენერგია იზომება მისი ფსკერიდან (ნახ. 8.1).

შროდინგერის განტოლება სტაციონარული მდგომარეობებისთვის ერთგანზომილებიანი ამოცანის შემთხვევაში შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

იმის გამო, რომ „ორმოს კედლები“ ​​უსასრულოდ მაღალია, ნაწილაკი „ორმოს“ მიღმა არ აღწევს. ეს იწვევს სასაზღვრო პირობებს:

ψ (0) = ψ (ლ) = 0

"ორმოს" ფარგლებში (0 ≤ x ≤ ლ), განტოლება (8.4) მცირდება:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ E ∙ ψ = 0

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (k 2 ∙ ψ) = 0

სადაც k 2 = (2m ∙ E) / ħ 2

განტოლების (8.7) ამოხსნას, სასაზღვრო პირობების (8.5) გათვალისწინებით, უმარტივეს შემთხვევაში აქვს ფორმა:

ψ (x) = A ∙ sin (kx)

სადაც k = (n ∙ π)/ლ

n-ის მთელი მნიშვნელობებისთვის.

(8.8) და (8.10) გამონათქვამებიდან გამომდინარეობს, რომ

E n = (n 2 ∙ π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) (n = 1, 2, 3 ...)

იმათ. სტაციონარული მდგომარეობების ენერგია დამოკიდებულია მთელ რიცხვზე n (ე.წ. კვანტურ რიცხვზე) და აქვს გარკვეული დისკრეტული მნიშვნელობები, რომელსაც ენერგეტიკული დონეები ეწოდება.

შესაბამისად, მიკრონაწილაკი „პოტენციურ ჭაში“ უსასრულოდ მაღალი „კედლებით“ შეიძლება იყოს მხოლოდ გარკვეულ ენერგეტიკულ დონეზე E n, ე.ი. დისკრეტულ კვანტურ მდგომარეობებში n.

გამონათქვამის (8.10) ჩანაცვლებით (8.9) ვპოულობთ საკუთრივ ფუნქციებს

ψ n (x) = A ∙ sin (nπ / l) ∙ x

ინტეგრაციის მუდმივა A გვხვდება კვანტური მექანიკური (ალბათობითი) ნორმალიზაციის მდგომარეობიდან

რომელიც ამ შემთხვევისთვის შეიძლება დაიწეროს როგორც:

საიდანაც ინტეგრაციის შედეგად ვიღებთ А = √ (2/ლ) და შემდეგ გვაქვს

ψ n (x) = (√ (2 / ლ)) ∙ sin (nπ / l) ∙ x (n = 1, 2, 3 ...)

ψ n (x) ფუნქციის გრაფიკებს არ აქვთ ფიზიკური მნიშვნელობა, ხოლო ფუნქციის გრაფიკებს | ψ n | 2 გვიჩვენებს "ორმოს კედლებიდან" სხვადასხვა მანძილზე ნაწილაკების აღმოჩენის ალბათობის სიმკვრივის განაწილებას (ნახ. 8.1). მხოლოდ ეს გრაფიკები (ისევე როგორც ψ n (x) - შედარებისთვის) არის შესწავლილი ამ ნაშრომში და ნათლად აჩვენებს, რომ იდეები ნაწილაკების ტრაექტორიების შესახებ კვანტურ მექანიკაში დაუსაბუთებელია.

გამოთქმიდან (8.11) გამომდინარეობს, რომ ენერგიის ინტერვალი ორ მეზობელ დონეს შორის ტოლია

∆E n = E n-1 - E n = (π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) ∙ (2n + 1)

აქედან ჩანს, რომ მიკრონაწილაკებისთვის (როგორიცაა ელექტრონი) დიდი „ჭის“ ზომებით (l≈ 10 -1 მ), ენერგიის დონეები იმდენად მჭიდროდ არის განლაგებული, რომ ისინი ქმნიან თითქმის უწყვეტ სპექტრს. ასეთი მდგომარეობა ხდება, მაგალითად, მეტალში თავისუფალი ელექტრონების შემთხვევაში. თუ "ორმოს" ზომები შეესაბამება ატომურს (l ≈ 10 -10 მ), მაშინ მიიღება დისკრეტული ენერგიის სპექტრი (ხაზის სპექტრი). ამ ტიპის სპექტრის შესწავლა შესაძლებელია ამ ნაშრომში სხვადასხვა მიკრონაწილაკებისთვის.

მიკრონაწილაკების (ასევე მიკროსისტემების - ქანქარების) ქცევის კიდევ ერთი შემთხვევა, რომელიც ხშირად გვხვდება პრაქტიკაში (და განიხილება ამ ნაშრომში), არის წრფივი ჰარმონიული ოსცილატორის პრობლემა კვანტურ მექანიკაში.

როგორც ცნობილია, m მასის მქონე ერთგანზომილებიანი ჰარმონიული ოსცილატორის პოტენციური ენერგია უდრის

U (x) = (m ∙ ω 0 2 ∙ x 2)/ 2

სადაც ω 0 არის ოსცილატორის ბუნებრივი რხევის სიხშირე ω 0 = √ (k/m);
k - ოსცილატორის ელასტიურობის კოეფიციენტი.

დამოკიდებულებას (8.17) აქვს პარაბოლის ფორმა, ე.ი. „პოტენციური ჭა“ ამ შემთხვევაში პარაბოლურია (სურ. 8.2).

კვანტური ჰარმონიული ოსცილატორი აღწერილია შროდინგერის განტოლებით (8.2), რომელიც ითვალისწინებს გამოხატულებას (8.17) პოტენციური ენერგიისთვის. ამ განტოლების ამონაწერი იწერება შემდეგნაირად:

ψ n (x) = (N n ∙ e -αx2 / 2) ∙ H n (x)

სადაც N n არის მუდმივი ნორმალიზებადი ფაქტორი, რომელიც დამოკიდებულია მთელ რიცხვზე n;
α = (m ∙ ω 0) / ħ;
H n (x) არის n ხარისხის პოლინომი, რომლის კოეფიციენტები გამოითვლება რეკურსიული ფორმულის გამოყენებით სხვადასხვა მთელი რიცხვისთვის n.
დიფერენციალური განტოლებების თეორიაში შეიძლება დავამტკიცოთ, რომ შროდინგერის განტოლებას აქვს ამონახსნი (8.18) მხოლოდ ენერგიის საკუთრივ მნიშვნელობებისთვის:

E n = (n + (1 / 2)) ∙ ħ ∙ ω 0

სადაც n = 0, 1, 2, 3... არის კვანტური რიცხვი.

ეს ნიშნავს, რომ კვანტური ოსცილატორის ენერგიას შეუძლია მიიღოს მხოლოდ დისკრეტული მნიშვნელობები, ე.ი. კვანტურია. n = 0-ისთვის E 0 = (ħ ∙ ω 0) / 2 ხდება, ე.ი. ნულოვანი ვიბრაციების ენერგია, რომელიც დამახასიათებელია კვანტური სისტემებისთვის და გაურკვევლობის მიმართების პირდაპირი შედეგია.

როგორც შრედინგერის განტოლების დეტალური ამოხსნა გვიჩვენებს კვანტური ოსცილატორისთვის, ენერგიის თითოეულ საკუთრივ მნიშვნელობას სხვადასხვა n-ზე აქვს თავისი ტალღური ფუნქცია, ვინაიდან მუდმივი ნორმალიზების ფაქტორი დამოკიდებულია n-ზე

და ასევე H n (x) არის n ხარისხის ჩებიშევ-ჰერმიტის მრავალწევრი.
უფრო მეტიც, პირველი ორი მრავალწევრი ტოლია:

H 0 (x) = 1;
H 1 (x) = 2x ∙ √ α

ნებისმიერი შემდგომი პოლინომი დაკავშირებულია მათთან შემდეგი რეკურსიული ფორმულით:

H n+1 (x) = 2x ∙ √ α ∙ H n (x) - 2n ∙ H n-1 (x)

(8.18) ტიპის საკუთრივ ფუნქციები შესაძლებელს ხდის კვანტური ოსცილატორისთვის მიკრონაწილაკების პოვნის ალბათობის სიმკვრივის პოვნას, როგორც | ψ n (x) | 2 და გამოიკვლიეთ მისი ქცევა სხვადასხვა ენერგეტიკულ დონეზე. ამ პრობლემის გადაწყვეტა რთულია რეკურსიული ფორმულის გამოყენების აუცილებლობის გამო. ამ პრობლემის წარმატებით მოგვარება შესაძლებელია მხოლოდ კომპიუტერის გამოყენებით, რაც კეთდება წინამდებარე ნაშრომში.